Solucionario de Examenes de Fluidos .pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS GEOLOGIA Y CIVIL INGENIERIA CIVIL

DIAZ MEZA, R

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FLUIDOS I VISCOSIDAD DE LOS FUIDOS 1) En la figura se muestra un viscosímetro que contiene liquido viscoso de espesor e = 2cm, esta rota con una velocidad angular w = 6rad/s y genera una potencia de 0.015Hp.Calcular el valor de la viscosidad dinámica del líquido viscoso.

15cm

30cm

e

10cm

Solución: Para el casquete esférico calculamos R. 15cm

RSen

f

RSen 30cm

Rdf

f R

b

R R-10

R

15 10cm

fd q

q

df

dA

dq

R

e

R 2 = ( R - 10) 2 + 15 2 R = 16.25cm b = 67.38º dA = R d f . R sen f d q

Pero

t =

mr e

=

dF dA

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-1-


DIAZ MEZA, R

r e

=

dF

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dA

r * R 2 sen f d f d q e dTL = rdF Pero r = Rsenf dF

=

dT L

=

R 4 mw

Integrando

sen

3

f d fd q

e

R 4 mw 2p 67.38 sen 3f df dq 0 e 0 R 4 mw 2 p 67 .38 TL = (1 - cos 2 f ) d (cos 0 0 e R 4 mw TL = 0 . 301 ( 2p ) e



TL

0

dTL

 

=

 

f )d q

correccion

TL 1 = 1 .65 m Para la parte cilíndrica.

t =

mR e

=

dF dA

= m Re dA dA = 2 p Rdh mR dF = * 2 p Rdh dF

e R dTL = R * 2pRdh e TL h 2pmwR 3 dTL = * dh 0 0 e 2pmwR 3 TL = h e 2pm * 6 * (0.15) 3 TCILINDRO = 0 .3 0.02 TCILINDRO = 1.91m





Base del cilindro dF

=

dA

=

dT

b

=

.r

dA e 2 p . rdr 2 pm r 3 dr e

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R

dr r

-2-


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DIAZ MEZA, R

Integrando se tiene T 2 pm  0 dT b = T

b

pm

=



e

.R

2e

R 0

r 3 dr

4

figura encontrar la potencia consumida por efecto de la angular viscosidad en el y ω=6rad/s sistema, que la holgura e=1pulg., R=4pulg. , velocidad 2) De lasabiendo µ=0.05 poise R

70 º

70 º h

R

e

Solución: Se sabe: t =

. dv dy

=

m .v e

.r

=

e

R

q

q dx

x

h

dy

dl

a

dT L

.x ² .dA L e

= x .dF = t .dA L . x = m

Por semejanza de triángulos dy dx

h

=

(R

- a)

Donde: a

=

dT

R L

=

h

-

Tan 2

mwp e

q

º .x ³

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1

+

(

h R

-

a

)² dx

-3-


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DIAZ MEZA, R

Integrando



T

L

dT

0

1

e

+

1

e

mwp

=

TL

mwp

2 mwp

=

TL

2

=

L

1

+

R

h

-

R

-

a

x 4

)² .

4

)² .( R

-

)²

a 4

h R

Para la semiesfera

(

h

(

(

2e

+



R a

x ³ dx

R

|a -

a4)

a

f

RSen

RSen

f dq

R df

f R

df dq

q

R

= R d f . R .( Sen f

dA

r e

t =

dT

e

dT

e

)

dA r e

= r . dF = r . =

q

dF dA

= r e

=

dF

).( d

mw R

4 3

Sen

e

dA

f . d f .d q

Integrando



T

=

dT

0

e

T

e

e

mw R 4

= -

T

mw R 4

e

2p

  0

2p

  0

p

/4

0

p 0

(1

/4

Sen

3

f .d f .d q

- Cos 2f ). d ( Cos f ) .d q

4

=

4 pmw R 3e R

Base hueca dF dA

=

=

a

.r

e 2 p . rdr

dA

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dr

r

-4-


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DIAZ MEZA, R

dT

b

2 pm

=

r 3 dr

e


b

=

Pot Pot



e

pm

.( R

2e

-

4

= w .T total = w * (T L +

Te

R a

r 3 dr

a4)

+

Tb )

3) Para la siguiente figura determinar µ sabiendo que: R=30cm, h=H=30cm, r=15cm, velocidad angular ω=5rad/s, e=3cm y potencia de 0.011HP. r

e

H

R

h

Solución: m .r t =

=

e

dF dA

L

= t . dA L Similar al problema anterior dF

r

dl

dy

x

H

dx

R

dT

L

=

x . dF

= t . dA

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L

.x

= m

.x ² . dA e

L

-5-


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DIAZ MEZA, R

= 2 .p . x .dL = 2 .p . x

dA L

+ ( dy )² = 2 .p . x

( dx )²

1+

æ dy ö ç ÷ è dx ø

2

dx

Por semejanza de

triángulos dy dx

H

=

(R

-

r)

Donde: dT

L1

2

=

mwp

.x ³

e

+ çæ è

1

H

-

R

r

ö2 ÷ dx ø

Integrando



T

L1

0

dT

T L1

=

T L1

=

=

L1

mwp

2

2 mwp

e

mwp

1

2e

+

1

e 1

+

+

(

H

(

R

-

r

H R

-

r

(

H

-

r

x4 4

|r

4

-

R

)² .

)² .( R

)²



R a

x ³ dx

R

r4)

Análogamente para la parte inferior cónico R dx x

dy

dl

h

dT L 2



TL 0

2

= dT

2 mwp

.x ³ 1 + (

e L2

=

2

mwp e

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ò

h )² dx R

1

+

(

h )² R



R 0

x ³ dx

-6-


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DIAZ MEZA, R


b

=

pot

pm 2e

=w



e

.R

R

r 3 dr

0

4

* (T L 1

+

+

TL2

Tb )

Rpta

4) En el sistema de la figura determinar µ, sabiendo que e=2cm, R=20cm, h=50cm, ω

=4rad/s y potencia de 0.015HP.

R

e h

Solución: Para la semiesfera.

RSen

f

RSen

f dq

R df

f R

q

df dq

R

dA

=

R d f . R .( Sen

t = dF

=

f

).( d q )

rw dF = e dA rw dA e

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-7-


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DIAZ MEZA, R

dT

e

dT

e

=

=

r . dF

mw

=

rw dA e

r.

4

R

3

Sen

e

f .d f .d q

Integrando Te



dT

mw

=

e

e 4

0

T

e

= -

T

e

=

mw

R

4

R

e

2

p

/ 4

Sen

    (1 0

2p

3

f .d f . d q

0

p

0

4 pmw R

p

/ 4

Cos

0

2

f

). d ( Cos

f

) .d q

4

3e

Para la parte cónica R dx

x

dy

dl

h

dT



TL

0

L

2 mwp

=

dT L

TL

=

TL

=

.x ³ 1

e

=

2 mwp

2 mwp

e

mwp 2e

1

e 1+ ( 1+ (

+

+

( (

h )² dx R h )² R

h x4 )² . R 4



R

0

x ³dx

R

|

0

h 4 )² . R R

= w * TT = w * (T e + T L ) ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS 5) Para el sistema de la figura determinar la presión absoluta en el punto A. pot pot

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DIAZ MEZA, R

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g3

A gu a

40cm 20cm

Agua

A

Agua

1

5

cm

4 5º

m 0c 6

m c 0 4

B

G as

m c 0 5

C

g1

g2

g 1 = 0.029lbf / Pu lg ³, g 2 = 0.034lbf / Pu lg ³, g 3 = 0.049lbf / Pu lg ³ Solución:

g3 a 40cm 20cm c Agua

A 6

c 0

A gua

1

5

cm

45 º

h

m

G as

B

m c 0 4

g2

C

m c 0 5

b

Agua

g1

= Patm + g ( a ) + g 1 ( h + 0 .5) - b g + g 2 ( 0 .4 ) - g 3 ( 0 . 2 ) + g (C ) PA = Patm + g ( a + c - b ) + ( 0 . 106 + 0 .5 )g 1 + 0 . 4g 2 - g 3 ( 0 .2 ) Pero de la figura se tiene: a + h + 0 . 5 - b + 0 . 4 - 0 . 6 - 0 .2 + c = 0 . 4 a + h - b + c = 0 .3 pero h = 0 .15 Sen 45 º = 0 .106 m PA

\ a + c - b = 0 .194 m Þ PA = Patm + g ( a + c - b ) + ( 0 . 106 + 0 .5 )g 1 + 0 . 4g 2 - g 3 ( 0 .2 )

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DIAZ MEZA, R

Pero 1lbf = 0 .4536 kgf y 1 pu lg = 0 .254 m Þ g 1 = 802 . 731 kgf / m ³ g 2 = 941 . 132 kgf / m ³ g 3 = 1356 . 338 kgf / m ³ a + h - b + c = 0 .3 PA = Patm + 1000 ( 0 .194 ) + ( 0 .106 + 0 .5 )802 .731 + 0 . 4 ( 941 .132 ) - 0 . 2 (1356 .338 ) PA = Patm + 785 .64 kgf / m ² Patm = 101 .325 Pa » 10 .329 kgf / m ² PA = 10 . 329 + 785 . 64 = 795 .969 kgf / m ² Rta

6) Para el sistema determinar las presiones en los puntos A y B, así también calcular el valor de “h” agua

P=20lbf/Pulg² 10cm

12cm

Gas

12cm

Aceite

14cm

Petroileo

10cm

g5

agua

agua

agua

agua

30cm B

m c 0 3

m c 5 1

m c 0 2

h

g4

g3

g6 A

D.R.aceite = 0.82 D.R.Petroleo = 0.92 g 3 = 13600 kgf / m ³, g 4 = 8.2 grf / cm ³, g 5 = 9500 kgf Solución:

Gas Aceite

14cm

Petroileo

10cm

g5

m

agua

agua

n

agua a

30cm B

m c 0 31

h

m c 0 2

b

2

g6

/ cm ³

10cm

agua

12cm

g 6 = 16.5 grf

agua

P=20lbf/Pulg² 12cm

/ m ³,

g3

m c 5 1

g4

c

A

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- 10 -


DIAZ MEZA, R

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= P + g aceite (0 .12 ) + g petroleo (0 .14 ) + g ( 0 .10 ) + g ( a ) - g 3 ( 0 .2 ) + g (b ) - g 4 ( 0 .15 ) + g (c ) PA = P + g aceite ( 0 .12 ) + g petroleo ( 0 . 14 ) + g ( 0 .10 + a + b + c ) - g 3 ( 0 . 2 ) - g 4 ( 0 .15 ) Pero g D .R = Sust Þ g Sust = g H 2O * D .R g H 2O \ g aceite = 1000 * 8 .2 = 820 kgf / m ³ g Petroleo = 920 kgf / m ³ g 4 = 8200 kgf / m ³ g 5 = 16500 kgf / m ³ P = 20 lbf / Pu lg ² = 14061 . 63 kgf / m ² PA

Así también de la figura :

a + b + c = 0 . 85 m Þ PA = 14061.63 + 820 * 0.12 + 920 * 0.14 + 1000(0.1 + 0.85) - 13600 * 0.2 - 8200 * 0.15 PA = 11288.83kgf / m ² Calculando Presión en B. PB = P + g aceite (0.12) + g Petroleo (0.14) - g ( m) - g 5 (0.1) + g (n ) PB = 14061.63 + 820 * 0.12 + 920 * 0.14 + g ( n - m ) - 9500 (0 .1) PB = 13338.83 + 1000 (n - m ) pero n - m = 0.5m Þ PB = 13838.83kgf / m ² Calculemos la altura h De la figura. P1 = P2 P + g aceite (0.12) + g Petroleo ( 0.14) + g (0.4) = Patm + g 6 h 14061 .63 + 820( 0.12) + 920 (0 .14) + 1000 (0.4) = 10.329 + 16500 h 14688 .83 = 10.329 + 16500 h h = 88.96cm

7) Para el sistema de la figura calcular la diferencia de presiones entre A y B. ( D.R Aceite

= 0.8)

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DIAZ MEZA, R

Aire Aceite

CO Gas

CO2

m 0 3 . 0

A

15cm

Hg

D.R=0.8 Agua

0.3m

m 5 .2 0

m 0 4 . 0

Hg

CO

m c 0 2

N2

Agua Gas B m 2 . 0

m 2 . 0 m .1 0

0.2m

Hg

Hg Hg

Hg

Solución: PB = PA + 0.4g Hg - 0.25g Hg - 0.3g Hg + 0 .45g aceite + 0.2g Hg - 0.5g H 2O + 0.2g Hg + 0.3g H 2O - 0.2g Hg PB = PA + 0.4 * 13600 - 0.25 * 13600 - 0.3 * 13600 + 0.45 * 800 + 0 .2 * 13600 - 0.5 * 1000 + 0.2 * 13600 + 0.3 *1000 - 0.2 * 13600 PB - PA = 840 kgf / m ²

rotacion 8) Los cilindros concéntricos de 0.4m de diámetro interior, 1.20m de diámetro exterior y 1.5m de altura. Si el cilindro interior es hueco y el espacio entre los cilindros concéntricos está lleno de agua y herméticamente cerrado, determine la fuerza que se produce en la tapa, en el fondo y en las superficies medias cilíndricas interior y exterior cuando estoa giran a 60rpm al rededor de su eje vertical.

w 0.6m

h=1.5m

0.2m

Solución:

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DIAZ MEZA, R

x

H

Hr Zr Zo

h

Ro R

w

=

Z

2

2

X 2g

Para Z = Z0 ; X = R0 Z

=

0

w

2

2

R0 2g

;Z

=

r

w

2

2

X 2g

a) La fuerza que produce en la tapa es: d

=

F

pd

A

d = g Hr . 2 p Xdx ZDonde 200 = -

R

F

Hr

Z

r

d 2 22 00

= g

F

(Z

-

r

x

Z ) 2 p Xdx

wg2

2

dx Ro

w

÷÷ ø F 2d F2

g

F é pgw ê ë

=

F

=pgw p

F

=

g

R w X 2 (2 r 00 2 g

ú û

F

. 66 kgf

=

2

2

2

2 00

R

[00. 60 ( 100

) 2 p XdX

R

22 2( 2 00

R

p

R 2g

r Xù 2

X g-

R

w

) 2

)( 2 g

00. 2 )

2

]

2

-

b) Fuerza que se produce en el fondo. Visite mi página:

dx

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DIAZ MEZA, R

=

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+ g . hA base FF = 323.66 + 1001.5p (0.6 2 - 0.2 2 ) FF = 1831 .63kgf FF

323 . 66

c) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior. F

= g HgA L

F F

= 1000 ( 0 . 75 = 1413 . 72 kgf

) 2 p ( 0 . 2 )1 . 5

d) Fuerza que se produce en la pared lateral exterior. H

=

Zr

w

2

- Z0 0 .6

w

H

=

H

=

F

= gH G A L

F F

= 100 ( 0 . 75 + = 7860 . 28 kgf

2g 0 . 64 m

-

Z r Para X = 0.6 2

0 .2

2

Como w = 2p rad / s

2g

Þ La fuerza en la pared lateral exterior será: 0 . 64 ) 2 p * 0 . 6 * 1 . 5

Un tanque de sección transversal rectangular (6x1m) está lleno de agua hasta los 9) 4.0m de altura y está unido a un peso Q = 60000kg, por medio de una cuerda flexible e inextensible que pasa por una polea. El coeficiente de rozamiento entre el tanque y la superficie horizontal es: f = 0.6 y todos los demás rozamientos son despreciables. Hallar la presión en un punto del tanque situado 1.0m sobre el punto A de la figura. 6m

4m

Q 6m

T a

Solución:

T

a Q

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W N

4m f=m.N

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DIAZ MEZA, R

åF

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= ma

V

Q * a .......... .......... .......( 1) g W T - f = * a .......... .......... .....( 2 ) g W = g * V = 1000 * 4 * 6 * 1 = 24000 kgf Q

-T =

Þ f = m * N = m *W (1) + (2) Q

-

f

æ Q +W = çç è g

æ Q +W ö ÷÷ a - 0 .6 ( 6 * 4 * 1 * 1000 ) = çç è g ø 60000 + 24000 - 0 . 6 ( 24000 ) = ( )a

60000 60000

a

ö ÷÷ a ø

9 . 81

= 5 .32 m / s 2 6m 2 h Z

a=5.32

4m

1

g=-9.81

P 1m A

Aplicando ecuación de Euler. aX d X

+ aY d Y + a Z d Z =

5 . 32 d X

- 9 .81 d Z =

X2

5 . 32 X

dX

1

5 . 32 x |

6 0

-

r

- 9 . 81 Z

5 . 32 x 6 - 9 . 81 xZ

=

r

dP Z2

9 . 81 Z

dP

dZ

1

=

1

r

1 | = r |p

P

z

p2

0

1

1

r

( P2

Como P2 = P1 atmosféricas Þ 5.32 x 6 – 9.81 x Z = 0 Z = 3.254m Visite mi página:



P2

P1

dp

- P1 )

- 15 -


DIAZ MEZA, R

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Para el líquido se eleva respecto a la superficie libre inicial h

=

Z 2

Z o sea que: 2

= 1 . 627 m

La presión a 1m sobre el punto A será entonces: 2

P

= 1000 ( 4 + 1 . 627 - 1) =

4627 kg / m

Rpta

10) En el sistema de la figura se tiene un cilindro cerrado de 1.20m de diámetro y 0.30m de altura. Contiene líquido de 0.10m de altura, se hace girar alrededor de un eje vertical hasta que el líquido tome la forma aproximada de un cilindro hueco con una diferencia de 1% entre los diámetros d1 y d2 (d1 = 1.01d2). Calcular la velocidad angular. d1

d2

Solución: w D=1.2m d1 D=1.2m

H=0.30m H=0.30m

h=0.10m

h=0.10m

Z0 d2

Antes del giro

Con giro w

Se sabe: Z

=

w2X 2 2g

Para Z = Z 0

X

= d2 / 2

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DIAZ MEZA, R

w 2 d 22

=

Z0

.......... .......... .......... .......... ...(*) 8g Z = Z0 + H X = d1 / 2

Para Z0

+H =

w 2 d 12

.......... .......... .......... ..(**)

8g

(*) En (**)

w 2 d 22

+H =

8g

d

2 1

-d =

pD 2 4

2 2

8g

8 gH

w2

- h) =

(H

- h) =

D 2 (H

w 2 d 12 .......... .......... .......... .......(* * *)

p d 12 2*4

Z0 (d 1 2

(Z 0

+ H)-

- d 22 ) +

(*) y (**) en ( a ) D2 (H

- h) =

D 2 (H

-

w 2 d 22

*

8 gH 2

+

p d 22

* Z0 2*4 d H .......... .......... .....( a ) 2 2 1

d12 H

2 * 8g w 2 H h) = ( d 12 + d 22 ) 2

Por dato d 1 = 1 . 01 d 2 H [(1 . 01 d 2 ) 2 2 H D 2 (H - h) = ( 2 . 02 d 22 ) 2 D 2 ( H - h ) = 1 .01 * H * d 22 D 2 (H

-

h)

=

+

d 22 ]

Reemplazando datos. H = 0.30m h = 0.01m D = 1.20m Þ 1 .20 2 ( 0 .30 - 0 .10 ) = 1 .01 * 0 .30 * d 22

= 0 .975 m = 0 .985 m En la ecuación (***) d2 d1

w= =

8 gH d 12 - d 22 34 .66 rad / s

Rpta

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- 17 -


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DIAZ MEZA, R

11)

Se tiene una tubería circular por donde fluye petróleo con un peso específico de la distribución de velocidades en una sección es 2 V r = N (1 - 4 r / d 2 ) donde: d = diámetro, r = radio variable d 1 = 10 " y d 2 = 6" , N = número de letras del apellido paterno: a) Calcular la variación de masa respecto al tiempo entre las secciones 1 y 2. b) Calcular la fuerza total que ejerce la pared AB. 950 kg / m 3 .Si

0.20m Fuga

2 d2

0.15m

A

1

2

d1 B

1

Solución:

0.20m

Fuga

2 r

0.15m

A

1 d1

=

N (1 -

4r

d

2

B

1

Vr1

d2

FH

r

F1

F2

2

2 1

)

Vr 2

=

N (1 -

4r 2

d 22

)

a) Variación de masa respecto al tiempo. D Mt = rQ1 - r Q 2 Hallemos caudales. 4r 2 dQ 1 = Vr1 dA = N (1 - 2 ) * 2p rdr d1



Q1

0

Q1

dQ 1

=

d1 / 2

= 2 p N 0

(1

-

4r

2

d 12

) rdr

pNd 12 8

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- 18 -


DIAZ MEZA, R

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Análogamente: pNd 22 Q2 = 8

Þ D Mt = r (Q1 - Q 2 ) D Mt =

rp N

- d 22 )

2

(d1

8

N = RAMOS = 5 d1

= 10 || = 10 * 0 .0254

d1

= 0.254m = 6 || = 6 * 0 .0254 = 0 . 1524 m

d2 d2

r=

950 kg / m 3 9 .81

D Mt = 7 . 851 kg / seg .

b) Cálculo de fuerza ejercida. * Calculamos las presiones en el eje de la tubería. d P1 = g ( 0 . 15 + 1 ) = 263 . 15 kg / m 2 P2

= g

Þ

F1

= P1 A1 =

F2

= P2 A2 =

( 0 . 20

+

2 d

2

2

)

=

262 . 39 kg / m

263 . 15 * p * 262 . 39 * p *

d 22 4

d 12 4

=

=

2

13 . 334 kg

4 . 786 kg

Por la ecuación de la cantidad de movimiento. å Fex = r (Q 2V 2 - Q1V1 ) F1 - F2 - F H = r ( Q 2V 2 - Q1V1 ) Como QQ 2 = V 2 A2 Q V1 = 2 V2 = 1 A2

A1

FH

= F1 - F2 - r (

FH

=

Q 22 A2

-

Q12 ) A1

28 . 177 kg

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- 19 -


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12) En la figura se muestra una esfera de 2m de diámetro que contiene agua bajo presión. Está construido por dos secciones semiesféricas unidas mediante 50 pernos ¿Cuál es la fuerza total en cada perno para mantener unida la sección? Gas

P=2000kgf/m²

Agua 2.5m 0.25m

D.R=13.6

Agua

1m R=

Agua

Solución:

P=2000kgf/m²

PM = g (a + b + 1) + 13600* 0.25 + P PM = 1000 ( a + b + 1) + 13600 * 0 .25 + 2000 a + b + 0 .25 = 2 .5

a + b = 2 .25 m PM = 1000 ( 3 . 25 ) PM = 8650 kgf / m ² F F

Gas

2.5m 0.25m

+

13600

* 0 . 25

+

2000

= F +W =

1m R=

Agua

27174 . 776 4 (1) 2 W = g * V OL = 1000 * p * 3 2 W = 2094 .395 FT = F + W = 2926 . 17

FT

b D.R=13.6

= PM * A = 8650 p . 1 2 =

F en cada perno =

Agua

a

M

Agua

29269 . 17

W

= 585 .38 kg Rpta

50 13) Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo a y b con la horizontal como se

muestra en la figura, por donde se desliza un depósito que contiene agua y cuyo peso total es w1 . El descenso de dicho depósito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso total es w 2 . Calcular el valor del ángulo que hace la superficie libre del primer depósito con el plano horizontal. Visite mi página:

- 20 -


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m1 W1

W2

m2

b

a

Solución: z'

z'

T

N

f= m

N 1.

x'

T

a

x' N

a W1

.s e

n

a

a

Donde f

f

W2

.N

W1 g N

;

W

C 2.

sb

o

b

W2

b

.se

nb f'= m2. N

a

= W1 cos a

= m 1W1 cos a

W1 sen a T

-T - f = =

sa Co

W1

a

W1 sen a

W1

W1 a.......... .......... .......... .....( a ) g W = 2 a .......... .......... .......... ....( b ) g

- T - m 1W1 cos a =

- W 2 sen b - m 2W 2 cos b

Sumando a + b W1 sen a a

=

- W 2 sen b - m 1W1 cos a - m 2W 2 cos b = (

[W1 ( sen a -

1

cos a )

- W 2 ( sen b + + W2

2

cos

W1

+ W2 g

)a

b ) ]g

W1

Para a X = - a cos a a Z = g - asen a Por ecuación de Euler.

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- 21 -


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DIAZ MEZA, R

z -x -z q

1

x

2

a

dP

= axdx + a Z d Z

r



P2

P1

dP

r

-x

-Z

= 0 - a cos a dX + 0

(g

- asen a ) d Z

= + a cos a X - ( g - asen a ) Z a cos a = = tan q g - asen a a cos a tan q = g - asen a a cos a q = tan -1 ( ) g - asen a 0

Z X

14) En el sistema de la figura Nº 02 se tiene una compuerta OA de 8m. De longitud (perpendicular a OA), y pesa 4200kgf, puede pivotear en el eje O, R = 6m (radio de curvatura de OA) y a = 20º. Calcular “h” para que la compuerta inicie a levantarse. Campana cilindrico

Bloque

w Aire 1.5m

Petroleo D.R=0.95

Aire

h

Agua

1m

Aceite D.R=0.8

1m

A

e

O

a

Agua

Agua

Agua

0.5m

R

4m

R Agua Hg D.R=

Solución:

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- 22 -


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DIAZ MEZA, R

Bloque

Campana cilindrico

w Aire 1.5m

Aire

e Agua

a

Agua

4m

0.5m b

M

Hg D.R=

PM = 1000 * 1 . 5 + 1000 ( a + b ) + 13600 Pero de la figura. a + b = 3.5 Þ PM = 11800 kgf / m 2

* 0 .5

Petroleo

Petroleo D.R=0.95

h

h'

b 1m

a

FV1 FH1

N

O

a

A

A' 2m

D.R=0.8

FV2 d

1m

R

Agua

O

A2

R.Sena =2.05m

Aceite 6 20 6 5.64m

M

O'

10.1875m

0.62m

2m A

Agua

b

g Pet

Aceite 4.43m

A1

R

FIG. 1

h

1.21m

Aceite

c

FH2

Agua

H

b

q

2.05m O'

FIG. 2

+ 1) = g H 0 ( H + 1) + 1) = H + 1 H = 0 . 95 h - 0 . 05 (h

2

0 . 95 ( h

De la FIG. 2

q =

cos

-1

æ ç è

b = 22 .45 º p * 62 A1 =

4 . 05 6

ö = ÷ ø

* 22 . 45

360

-

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47 . 55 º

1 2

* 6 2 sen 22 . 45 º

- 23 -


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= 0 .18 m 2 A2 = 1 . 21 m 2 Area del triangulo (AA’O) Distancia de O’ a CG de A1 (FIG. 2) A1

d CG d CG

=

2 * 6 3 sen

3

( 22 . 45 / 2 )

3 * 0 . 18

= 5 .90 m

x = 0 . 62 m F H 1 = g hGA Pr oy F H 1 = 1000 ( H F H 1 = 16000 ( H Y P1

=

H

+1+

+ 1) 2 * 8 + 1) 8 * 2 3 / 12 (H

+ 1) 2

*8

=

+1+

H

1

+ 1)

3( H

a = Y P1 - H 3H + 4 a= 3 ( H + 1) FV 1 = g L ( A2 - A1 + 1 . 21 H ) FV 1 = 1000 x 8 (1 . 21 - 0 .18 + 1 .21 H ) FV 1 = 8000 (1 . 03 + 1 .21 H ) 2

+ 1 . 21 H ) b = 1 . 21 2 x 23 0 . 86 + 0 . 73 H b = ( ) 1 . 03 + 1 . 21 H De la figura 1 PN = PM - 2 . 05 x 1000 - 800 PN = 11800 - 2050 - 1600 PN = 8150 kg / m 2 g Aceite h ' = 8150 h ' = 10 . 1875 m FH 2 = 1000(10.1875 + 1).2 * 8 FH 2 = 179000kgf (1 . 03

YP2

= 11.1875 +

8 * 2 3 / 12

11.1875 * 8 * 2 - 10.1875m

0 . 18 x 0 . 62

+

1 . 21 2

H

x2

= 11.22m

= YP 2 = 1.03m FV2 = 1000 * 8(1.21 - 0.18 + 1.21 *10.1875) FV2 = 106855kgf

C C

13 .36 d

d

2

1 . 21 2

3

2

= 1 .21 2 * - 0 .18 * 0 . 62 +

= 0.62m Visite mi página:

* 10 . 1875

- 24 -


DIAZ MEZA, R

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Centro de aplicación del peso. W AO=4200kgf 0.67m

O

4.43m

dl

R A

dq R

b

q

RCosq

O'

Lc=2p*b*R/360 Lc=2.35m 42 . 45

= R 20 cos qd q X = 5 .098 » 5 .10 c = 0.67m 2

X

M 0 FH a +=FV b + W X = FH c + FV d å Falta verificar 0

1

1

2

2

= 8.06m Pero H = 0.95h - 0.05 Þ h = 8.54m 15) Dada la función de línea equipotencial f = a . x 2 + bxy - ay c son valores constantes. a) Comprobar que el flujo es irrotacional b) Hallar la función de la línea de corriente c) Hallar la aceleración d) Hallar el gradiente de presiones Solución Según gauchy riman H

2

, donde a, b y

a) que que: el flujo sea irrotacional se debe cumplir w = 0 PeroPara se sabe

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- 25 -


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DIAZ MEZA, R

w = V

1 2

Ñ

.V

é ¶f = -Ñ .f = - ê ë ¶x

¶f = ¶x

+

2 ax

i

+

¶f ¶y

+

¶f ¶z

2 ay

j

j

k

ù ú û

by

¶ f = bx - 2 ay ¶y ¶f = 0 ¶z ( i - )bx V = - (2 ax + )by m = - ( 2 ax + by ) u = - ( bx - 2 ay ) w = 0 éi j k ù ê¶ ¶ ¶ ú ú ÑV = ê ê ¶x ¶y ¶z ú ê ú u wû ëm

æ ¶w æ ¶u ¶u ö ¶w ö ¶m æ ¶m Ñ .V = çç ÷÷ i - èç ¶ z - ¶ x ø÷ j - çç ¶ x - ¶ y ¶ y ¶ z è ø è Ñ .V = 0 i + 0 j + ( - b + b ) k = 0 w =

1 2

Ñ

=

.V

ö ÷÷ k ø

0

\ El flujo es irrotacional

b) Según Las ecuaciones de

¶f ¶ = ¶x ¶y ¶f ¶y u = = ¶y ¶x Entonces: ¶f = 2 ax + by ¶x ¶ = 2 ax + by Integrando ¶y m =

y =

2 axy

+

1 2

by

2

+ f ( x ) -----------------(*)

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- 26 -


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DIAZ MEZA, R

Derivando respecto a x ¶ = 2 ay + f ' ( x ) ……………………………(a) ¶x Pero: ¶y ¶f = = bx - 2 ay ¶x ¶y ¶ Þ ¶x = 2ay - bx ………………………………………(b) (b) en (a) 2 ay - bx = 2 ay + f ' ( x ) f ' ( x) = -bx integrando respecto a x se tiene f (x)

= -

1 2

bx

2

………………………………………..(g)

(g) en (*)

y =

+

2 axy

1 by 2

2

-

1 bx 2

2

Rta

c) Calculando la aceleración ¶V ¶V ¶V ¶V a = +m +u +w t x y z a = 0 ¶- ( 2 ax + ¶by )( - 2 a )¶ - ( bx - 2¶ay )( - 2 a ) + 0 a = 4a² x + 2aby + 2abx - 4a ² y 16) Si la función equipotencial f = axy para un flujo plano. a) Verificar la ecuación de la continuidad b) Hallar la función de la línea de corriente c) ¿Qué flujo representa? d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm; y=2cm. Solución: a) la ecuación de la continuidad obliga : 2

2

2

¶¶ xf2 + ¶¶ y f2 + ¶¶ z f2 = f = axy

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0

- 27 -


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¶ 2f = 0 ¶x 2 ¶ 2f = 0 ¶y2 ¶ 2f = 0 ¶ 2 \ La función es continua b) función de la línea de corriente: f = axy Sabemos ¶y ¶f = = ay ¶y ¶x 1

y =

2

ay ²

+

f (x)

¶y = f '( x ) ¶x Pero ¶ ¶f = = ax ¶x ¶y f ' ( x ) = ax Integrando 1 f (x) = ax 2

\y =

2 1 ay ² 2

+

1 ax 2

Rta.

2

c) Para saber el tipo de flujo se debe determinar w =

1 2

Ñ .V =

0

si esto se cumple

entonces el flujo es irrotacional si no es rotacional:

w = V

1 2

Ñ

.V

é ¶f = -Ñ .f = - ê ë ¶x

¶¶ fx = ¶f = ¶y

i

+

¶f ¶y

j

+

¶f ¶z

k

ù ú û

ay ax

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DIAZ MEZA, R

¶f = 0 ¶z V = - ay i - ax j m = - ay u = - ax w = 0 j k ù éêi ú ¶ ¶ ¶ ú ÑV = ê ê ¶x ¶y ¶z ú ê ú u wû ëm æ ¶w ¶u Ñ .V = çç ¶ y ¶z è

w =

1 2

[0 +

0

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ö ÷÷ i - çæ ¶ m - ¶ w ÷ö ¶x ø è ¶z ø

- a + a ]=

j

æ ¶u ¶m - çç ¶ x ¶y è

ö ÷÷ k ø

0

\ Es un flujo irrotacional:

d) Si a=20 seg. Calcular las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas x=8cm; y=2cm. ay 20 * 0 . 08 1 .6 m um == -- ax == --20 * 0 . 02 == 0 . 4 m w = 0

/s /s

17) En el sistema de la figura se muestra a tres reservorios y una bomba de 153H.P. de potencia con una eficiencia del 100%, el sistema de tuberías transporta agua, la presión en el punto p es 36.5m de agua, la válvula V srcina una pérdida de 3.05m de agua y el coeficiente de Hazem y Williams es 120pie/s. Calcular los caudales en cada tubo y la cota “B”. Cota=??

B V

30.5m

A D

D L =3

00

= 24 ' 0m

'

=2

' 4'

50 24

m

L=

Bomba

P

Q

3.05m

11.6m

D=24'' L=1220m

D=12''

C

L=620m

Solución: Visite mi página:

- 29 -


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DIAZ MEZA, R

Cota=??

B 30.5m

V

A (4) Q4 (1)

Q1

(2)

P

11.6m

M (3)

Q2

Q

C

Q3

3.05m

La cota piezométrica P es 3.05+36.5=39.55m. y 30.5 cota del reservorio A, entonces el flujo va de P hacia A, cuyo caudal lo hallaremos: Sabemos que: Q=0.000426 CD

2 . 63

Q=0.000426 CD

2 . 63

S

=

h

f

L

æ hf çç è L S

ö ÷÷ ø

0 . 54

0 . 54

m/Km. 1 .85

Q ö÷ = L æç 2347 .242 è CD .63 ø Donde: Q=lts./s; L=Km.; D=Pulg. y C = Proseguiendo con nuestro calculus 39 . 55 - 30 . 5 S1 = = 3 . 02 hf

Q1

3 =0.000426* 120

* 24

2 . 63

Q 1 = 396 lts / s La bomba tiene una potencia: g Qh B Pot = Þ hB = hB

=

36 . 5

76 n E P - E

S

pie

/ seg .

m Km

0 . 54

76 n . pot

gQ

pero

Q

- EQ =

76 * 1 * 153 100 * 0 . 396 7 . 14 m

EQ = También Q1 = Q 2 = Calculemos h f

396 lts / s 2

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- 30 -


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DIAZ MEZA, R

1 . 85

2347 . 42 * 396 ö = 1 . 22 æç ÷ è 120 * 24 2 .63 ø h f 2 = 3 . 68 m Cota piezométrica en Q =3.05+7.14 =10.19m. Cota piezométrica en M=10.19 + 3.68 = 13.87m. El flujo va de M hacia C, ya que la cota piezométrica de M es mayor que la del

hf 2

reservorio C, cuyo caudal es: 13 . 87 - 11 . 6 m = 3 . 66 S2 =

Km

0 . 62

Q

3

Q

3

Q

4

= 0.000426* 120 * 12 2.63 S 0.54 = 71 lts / s = Q 2 + Q 3 = 467 lts /

s

1 .85

2347 .42 * 467 ö = 2 . 45 æç ÷ è 120 * 24 2 .63 ø h f 4 = 10 m Cota Reservorio B = Cota piezométrica de M + Pc.Válvula + Cota Reservorio B = 13.87 + 3.05 + 10 Cota Reservorio B = 26.95m

hf 4

h

f 4

18) En el sistema de la figura, se tiene una presa de concreto cuyo peso específico es 2400kgf/m³ y una longitud de 4m. Si el valor de C=0.25 m - 1 , Calcular: a) Determinar el valor de h para que la presa inicie su volteo. b) determinar la posición de la resultante de las fuerzas para h=10m. c) Determinar la máxima y mínima tensión de compresión en la base (h=10m), despreciando la fuerza ascensional hidrostático. 3m

Agua

y=cx²

4m

h

Solución:

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- 31 -


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DIAZ MEZA, R

n 3m

4m

FV W2

FH W1

m

h

W3

A2

A1

A3 O

a

a) 1º) para w 1 Donde g c : Peso específico de concreto. V: Volumen A1

=

1 ah 3

4 * ah ö = 2400 æç ÷ = 3200 * ah è 13 ø x1 = 7 + a Centro de gravedad con respecto a “o”

w1

4

2º) para w 2 A2 = 3h w 2 = 2400 * 4 * 3 h = 28800 * h x 2 = 5 . 5 Centro de gravedad con respecto a “o” 3º) para w 3 A3 = 2 h w3 = 2400 * 4 * 2 h = 19200 * h x

3

=

8 3

Centro de gravedad con respecto a “o”

Ahora calculemos FH y FV

= g hG

FH

FH

= 1000

m

=

1 3

*

A Pr oy

h *4*h 2

=

2000 h 2

h

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- 32 -


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DIAZ MEZA, R

FV n

2

= 1000 * 4 * ah = 8000 * 3

=

5

+

7

ah 3

a

8

* Haciendo momento con respecto a “o” å Mo = 0 w1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + FV .n = FH .m 41.67 a 4 - 2466.67a 2 - 41066.67 a - 209600 = 0

a = 12.88m pero h = ca 2 \ h = 41 . 47 m b) Sabemos a

=

h c

Para h=10m

a = 6.32m. Þ FH = 2000 h = FV

= 1000 * 4 *

2 3

20000 kgf

ah = 261540.598kgf

Falta c) calcular 10.95m 3m

4m

FV W2

FH

3.33m

h=10m

W3 W1

A1

A2

A3

6.32m

O

q1 q2

Con las ecuaciones de la parte a) calculemos, Para h=10m y a=6.32m w1 = 3200 * 6 .32 * 10 = 202240 kgf x 1 = 8 . 58 m w 2 = 28800 * 10 = 288000 kgf x 2 = 5 .5 m w 3 = 19200 * 10 = 192000 kgf x 3 = 2 . 67 m Visite mi página:

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DIAZ MEZA, R

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FH = 200000 kgf m = 3 .33 m FV = 168533 .33kgf n = 10 .95 m Fv = 0

å w1

+

q + q2 ö = çæ 1 ÷13 . 32 2 è ø a) = 127747 . 74 ----------------------------------------(

w2

+

w3

+

FV

q1 + q 2 Sumatoria de momentos con respecto a “O” åMo=0 w1 x 1

+

+

w2 x 2

w3 x 3

+

FV .n

=

FH .m

+

q1 *

13 . 32 2 2

+ çæ è

q2

- q 1 ö 13 . 32 2 ÷* 2 3 ø

Remplazando valores y resolviendo, se tiene: 2 q1 + q 2 = 169447 .798 ---------------------------------------(b) Resolviendo (a) y (b) q1 = 41700 .06 kgf / m q 2 = 86047 .68 kgf / m 19) En el sistema de la figura, suponiendo una distribución lineal de tenciones sobre la base de la presa de concreto, calcular: a) La posición donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base. b) La máxima y mínima tensión de compresión en la base. Despreciar el empuje ascensional hidrostático.

20) se tiene un conducto conformado por un tubo circular de 3pulg de radio y un cilindro macizo concéntrico de 2pulg de radio, entre ellas discurre agua con un caudal de 0.2pie³/s. Calcular la máxima velocidad de la distribución de velocidades y el esfuerzo cortante en las paredes. p 2p r dr - ( p + dp ) 2p r dx + t dx - (t + dt ) 2p ( r + dr ) dx = 0 Simplificando, obtenemos

= - tr - ddrt Sustituyendo t = dp dx

dp dx

=

= m(

1 du

+

r dr m d du (r ) r dr dr

du / dr , queda

d 2u ) dr 2

Esto se integra para dar Visite mi página:

- 34 -


DIAZ MEZA, R

r

du dr

=

1 dp

r2

4 m dx

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+A

Una segunda integración produce u (r )

=

1 dp

r2

4 m dx

+ A Ln r + B

Donde A y B son constantes arbitrarias cuyo valor se determina haciendo m = 0 en r = r1 y en r = r2 ; es decir 1 dp 2 0= r1 + A Ln r12 + B 4 m dx 0

1 dp

=

4 m dx

r22

+ A Ln r2 + B

La solución es 1 dp

r12

A

=

B

= - A Lnr2 -

- r22

4 m dx Ln ( r2 / r1 )

r22 dp 4 m dx

Entonces

é 2 2 ù r 2 - r12 r - r2 + 2 Ln ( r / r2 ) ú ê 4 m dx ë Ln ( r1 / r2 ) û Esto ser integra para dar la razón de flujo: Q =  u ( r ) 2 pr dr r u (r )

=

1 dp

2

1

=-

p 8m

dp é 4 êr2 dx ë

- r14 -

- r12 ) ù ú Ln( r2 / r1 ) û ( r22

21) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 4m de longitud y un peso de 100kgf/m² y puede rotar en el eje O, R=5m(radio de curvatura de OA) y a=20º Calcular h para que OB se mantenga Horizontal.

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- 35 -


DIAZ MEZA, R

Aceite D.R.=0.8

Agua

h

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R

a petroleo

2m

P=1141.06kgf/m2

D.R.=0.

D.R.=0.8

A Gas 0.8m

0.2m

1.2m

Agua

1.2m

Hg

Solución: Figura de solución P=1141.06

PM PM

=

A

PA + g a + g ( 0 . 2 ) + g b = 1141.06 + (a + b) *1000 + 13600 * (0.2) '

Ga s

a

Pero en la figura se puede observar que: a+b=1 PM = 4861 .06kgf / m 2

0.2m

1.2m

b

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- 36 -


DIAZ MEZA, R

Ace ite

R=

5m

b

h

Agu a

0.8h

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1.7m

20 d 2m

Agu a FH1 a

FV2 FH1 F3

c

FV1 N

b F4

0.8m

1.2m

Agu a

M

3.35m

FH

1

FH 1 Yp 1

= g h G A proy = g ( 0 . 8 h + 1 )( 2 * 4 ) = 8000 ( 0 . 8 h + 1)

=

( 0 .8 h

+ 1) +

4 * 2 3 / 12 ( 0 .8 h

+ 1) * 2 * 4

=

( 0 .8 h

+ 1) +

1 3 ( 0 .8 h

+ 1)

a = 2 + 0 .8 h - Yp1 2 .4 h + 2 a= 3( 0 .8h + 1) b = 27 .9 º A1

=

pR 2 b 360 º

-

R 2 Sen b 2

= 0.24 m 2

Distancia de o’ a CG de

A1

Distancia de o’ a CG de

A1

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- 37 -


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DIAZ MEZA, R

O'

b

b /2

R

q 1.71m

20

A2

R

A1

2m CG

20+b

0.68m

3.35m

1.35m

2 R 3 Sen 3 ( b / 2 )

d CG

=

Fv1 Fv 1

= g ( 0.8h * 1 .35 + A1 + A2 ) * 4 = g (1. 08h + 0. 24 + 1.35) * 4 = 4000 (1. 08h + 1 .59 )

3 A1

= 4.86 m

1.35 (1.08 h + 1.59 )b = 0.8h * 0 .73 h + 0 .77

b=

=

Fv 2

1 .35

+

3

2

+ 0.24 * 0.68

+ 1 .59 = g 2 (1)( 2 * 4 ) = 900 (8) = 7200 kgf

1 .08 h

FH 2 c

2

2

1 3

2

= 0.67 m

= g 2 (4 )(0.24 + 1.35) = 5724 kgf

1.59 d

=

1.35 2 3

+ 0.24(0.68)

d = 0 . 48 m F3 = g 2 ( 4)( 2 * 3.35 ) = 24120 kgf PN PN

= PM - g (1.2) - g ' (0 .8) = 4861 .06 - 1000 (1.2 ) - 850 (0 .8) Þ PN = 2981 .06 kgf

/ m2

F4 = PN (3 .35 * 4) Þ F4 = 39946 .2 kgf Aplicación del peso OA Figura peso centro

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- 38 -


DIAZ MEZA, R

Visite mi página: O'

q R

20

b

dq

A

R dl

w oB

B 0.76m

3.35m

1.35m

lx

'

=  xdl

2.43x

'

47.9

47.9

= 20 RCosq Rdq = R 2 Senq |20

x = 4 .11 Þ x = 4.11 - 3.35 = 0.76 m x = 0.76 m '

= 2.43 * 4 * 100 = 972 kgf = 3.35 * 4 * 100 = 1340 kgf å Mo = 0 æ 3.35 ö = F æ 3. 35 ö + w (0. 76) + FH (0 .67 ) + Fv (0 .48 ) FH 1 a + Fv 1 b + ( F3 + w OB )ç ÷ 4ç ÷ OA 2 2 è 2 ø è 2 ø

w OA w OB

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h= 2.62m 22) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 5m de longitud y un peso de 3150kgf y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a=25º Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.

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- 39 -


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DIAZ MEZA, R

Gas P=3020kgf/m²

h

D.R=0.92 Petrolio 2m

Aceite D.R=0.8

a

R

Agua

Agua

0.25m 1.40m

R

Agua Hg

Solución: Figura Gas P=3020kgf/m²

= PA + g a + g ' ( 0 . 25 ) + g b = 3020 + (a + b) *1000 + 13600 * (0.25) Pero en la figura se puede observar que: a+b=1.15m PM = 7570 kgf / m 2 PM PM

Agua

a

0.25m

1.40m

'

= PM - g ( 2.53) - g ( 2) = 3440 kgf / m ² Þ 3440 = g 1 h1 h1 = 4 .3m FH 1 = g h G A proy = g ' ( h + 1 )( 2 * 5 ) FH 1 = 920 ( h + 1)10 FH 1 = 9200 ( h + 1) PN PN

Yp 1

Yp 1

=

(h

+ 1) +

= ( h + 1) +

5 * 2 3 / 12 (h

+ 1) * 2 * 5 1

3(h

+ 1)

a = Yp1 - h 3h + 4 a = 3( h + 1)

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b

M

Hg D.R=13.6

D.R=0.92 Petrolio

h

h1

b a

F V1 F H1

2m

N Ac eite

c

F H2 F V2

A

O

D.R=0.8 d

a

R R

Ag ua

R.Sen a =2.53m

M

- 40 -


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DIAZ MEZA, R

g1

g'

h

h1

1.5m 2m

3.93m

O

A1 6 A

25

b

6

2.53m O'

b = 24.02 º pR 2 b R 2 Sen b A1 = = 0.23 m 2

360 º 2 Fv1 = g ' (5)(Area rec tan gulo+ Area triangulo- A1)

Fv1 = 920 (5)(1.5 h + 1 .5 - 0 .23) Þ Fv1 = 4600 (1 .5h + 1.27 ) Distancia de o’ a CG de A 2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) d CG = = 5.64 m 1

3 A1

1.5 (1.5 h + 1 .5 - 0.23)b = 1 .12 h + 1 .3

b=

1 .5

2 h+

+ 1 .27 = g 1 ( h 1 + 1 )( 2 * 5 )

2

3 * 2 - 0 .23( 0.57 )

1 .5 h

FH

2

Yp 2 c=

2

= ( h 1 + 1) + 3 h1

3( h1

Þ

FH

5 * 2 3 / 12 ( h1

+ 1) * 2 * 5

2

=

8000 ( h 1

= ( h1 + 1) +

+ 1) 1

3 ( h1

+ 1)

+4 + 1)

= 800 (5 )(1 .5 h1 + 1 .5 - 0 .23 ) Þ Fv 1 = + 1.3 Como h1 = 4.3m entonces: d= 1 .5h1 + 1 .27 FH 2 = 42400 kgf y c = 1 . 06 m Fv = 30880 kgf y d = 0 . 79 m 2 Aplicación del peso OA a x de O Figura peso centro Fv 2

4000 (1 . 5 h

+ 1 .27 )

1. 12 h1

W AO 0.82m

3.93m

R A

Longitud de OA ( l c ) 2p R b lc = = 2 .52 m

O

dl

dq R

q

b O'

360

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- 41 -


DIAZ MEZA, R

lc x

'

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=  xdl

2.52 x

'

49.02

49.02

= 25 RCos q Rd q = R 2 Sen q |25

x = 4 .75 Þ x = 4.75 - 3.93 = 0.82 m x = 0.82 m w OA = 3150 kgf '

M =0 å FH a + Fv b + w o

1 1 OA ( 0 . 82 ) = FH 2 ( c ) + Fv 2 ( d ) Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=0.73m 23) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta AOB de 8m de longitud y un peso de 120kgf/m² y puede rotar en el eje O, R=6m (radio de curvatura de OA) y a = 25º Calcular h para que la compuerta se mantenga en la posición mostrada. D.R Hg = 13.6 Solución: De la figura.

O' A

R

h

D.R=0.6

A Gas

Petroleo D.R=0.8

P= -1546kgf/m²

Agua

1m

B Agua

2.2m

Agua

O

A D.R=0.75

1m

0.3m Agua

0.2m

1.4m

Hg Hg

Solución: a + 0.3 - b + 0.2 + c = 2.2 a - b + c = 1.7 PM = -1546 + g ( a - b + c ) + g Hg ( 0.3 + 0.2) PM PM

= -1546 + 1000 (1.7 ) + 13600 (0.5) = 6954 kgf / m 2

Ga s

P= -1546kgf/m² Ag ua a

2.2m

Ag ua

0.3m

b 0.2m

c Hg

M

Hg

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- 42 -


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DIAZ MEZA, R

O

' A

f b

R

q

h

D.R=0.6

a

A

Petroleo

FH3 D.R=0.8

c FH2

e

O

Agua 1m

FV3

a f

B

1m

d FV2

FH1

FV1

b

A D.R=0.75

Agua

1.4m

M

f = 65 º 3 .54 Cos q = 6

O

'

Þ q = 53.84 º

3.54m Þ b = 11 .16 º | a) Para la parte O BO PB = PM - 1000 (1 .4 ) - 750 Þ 4804 = gH = 1000 H H PB = 4804 kgf / m 2 H = 4.8m y h1 = 2.34 m FH 1 = 1000 ( h 1 + 1 . 23 )( 2 . 46 * 8 ) 1m FH1 = 70257.6kgf

q

R

R

= ( h1 + 1 .23 ) + ( h1 + 1 . 23 ) * 8 * 2 .46 = 3 . 71 m a = Yp1 - h1 Þ a = 1.37 m 2 2 pR q R Sen q A1 = = 2.38 m 2 A2

=

360 º 2 2 . 46 * 4 .84 2

h1=2.34m

O

A2 A1

B

a

CG

FV1 A D.R=0.75

Agua

8 * 2 . 46 3 / 12

Yp 1

2.3m

Agua

2.46m

FH1 b

1.4m

M 4.84m

= 5 .95 m ²

Distancia de o’ a CG de A Visite mi página:

1

- 43 -


Visite mi página:

DIAZ MEZA, R

Figura centro 2 R 3 Sen 3 (q / 2 )

d CG

=

Fv 1 Fv 1

= 1000 ( A1 + A 2 + 4 .84 * 2 .34 )( 8 ) = 157244 . 8 kgf

3 A1

19 .66 b

= 5 .61m

2

= 2 .38 * 2 .3 + 5 .95 *

b = 2 .65 m

b) Para la parte

4 .84 ² * 2 .34

= 800 (1 . 73 ) * 3 . 46 = 38309.12kgf

Yp 2

= 1 .73 +

2

8 * 346 3 / 12 1. 73 * 8 * 3 .46

= 1 .31m pR 2 f A|1 = -

2

O | AB

FH 2

FH

( 4 .84 ) -

3

*8

O

65

A|2

360 º = 9 .41 m ²

R

= 2 .31m

25

c

R 2 Sen f 2

5.44m

'

A

Petroleo D.R=0.8

= 4.12 m 2

A'2

3.46m

CG '

O

A'1 |

1.93m

B

Distancia de o’ a CG de A Figura centro 3 3 2 R Sen (f / 2 ) d | CG = = 5 .42 m | 1

3A 1

= 800 ( A |1 + A | 2 )( 8 ) Fv 2 = 86592 kgf Fv 2

13 . 53d | d

d

|

= 4.12 * 2.91 + 9.41 *

1 3

( 5 .44 )

= 2.15m con respecto a B = 4.84 - 2.15 Þ d = 2.69 m Respecto a O

c) Para la parte FH

3

= 1000

O | AO (Reemplazando aceite por agua)

(0 .6 h

+

=

8000 ( 0 . 6 h

8000 ( 0 . 6 h + 0 . 5 ) 3 8 * 1 / 12 ( 0 .6 h + 0 .5 ) + ( 0 .6 h + 0 . 5 ) * 8 * 1 e = 0 .6 h + 1 - Yp 3

FH Yp 3

3

=

=

0 . 5 )( 1 * 8 )

Visite mi página:

=

+

( 0 .6 h

0 .5 )

+

0 .5)

+

1 12 ( 0 . 6 h

+ 0 .5 )

- 44 -


DIAZ MEZA, R

Visite mi página:

3. 6 h + 2

e=

12 ( 0 .6 h + 0 .5)

pR 2 b

A || 1

=

A || 2

= 0 .3 m ²

360 º

-

R 2 Sen b 2

0.6m

= 0.022 m 2

O

'

b

Aceite

R

Agua

|

Distancia de o’ a CG de A Figura centro 3 3 2 R Sen ( b / 2 ) d || CG = = 6.02 m || 1

R

Fv 3

A''2 CG A''1

+ 0 .6 * 0 . 6 h )( 8 ) = 8000 ( 0 . 36 h + 0 . 322 )

h

A

25

3A 1 Fv 3 = 1000 ( A || 1 + A || 2

0.6h

1m

O

0.34m

( 0 .36 h + 0 .322 ) f

=

f

= 0 .022 * 0 .34 +

0 . 3 * 0 .6 3

+ 0 .067 0 .36 h + 0 .322

+ 0 .36 h * 0 .3

0 .108 h

Aplicación del peso AOB a Figura peso centro

x

de O O

Longitud de OA ( l c ) 2pR f lc = = 6 .81m

65

q

360

lc x

|

=  xdl

6. 81x

|

'

R

65

dq

A

W AB

65

= 0 RSen q Rd q = - R 2 Cos q |0

x = 3.05 m Þ x = 4.84 - 3.05 = 1.79 m x = 1.79 m w AOB = 6 .81 * 8 * 120 = 6537 .6 kgf

R

O

|

åM

o

B

dl 1.79m

=0 |

FH 1 ( a ) + Fv1 (b ) = w OA ( x ) + FH 2 (c ) + Fv 2 ( d ) + FH 3 (e) + Fv 3 ( f )

Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=66.26m 24) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 7m de longitud y un peso de 3420kgf y puede rotar en el eje O, R=5m (radio de curvatura de OA) y a=20º Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse. D.R Hg = 13.6 Visite mi página:

- 45 -


DIAZ MEZA, R

Visite mi página:

Petroleo

h

D.R=0.8 O

G as

O

R

'

a

P= 2800kgf/m²

R Ac eit e

2m

Ag ua

D.R=0.75 A

1.6m

0.2m 2m

Ag ua

Hg

Solución: PM = PA + g a + g | ( 0 . 2 ) + g b PM = 2800 + (a + b) *1000 + 13600 * (0.2) Pero en la figura se puede observar que: a+b=1.4m PM = 6920 kgf / m 2 PM -kgf = 3420 g ( 2/ )m-² g ( 2) Liberando a una superficie libre PN PN

Gas P= 2800kgf/m² Agu a a

1.6m

0.2m

b

1

M

Hg Hg

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- 46 -


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DIAZ MEZA, R

Petroleo

Ace ite

h1 =4.56m

D.R=0.8

D.R=0.75 O

'

h

a

N

Ace ite

O

R

R

d

a

FV2

c

FH1 FH2

2m

F V1

b

A

Ag ua

2m

O

'

b M 1.35m

Þ

3420

R

= g 1 h1

= 4.56 m FH 1 = g 1 ( h 1 + 1 )( 2 * 7 ) FH 1 = 750 ( 4 .56 + 1)14 FH 1 = 58380 kgf

h1

Yp 1

=

( h1

Yp 1

=

5 . 56

A2 A1

R

2m

CG

0.67m A

3.35m

1

+ 1) + +

a

O

3 ( h1 1 3 ( 5 . 56 )

+ 1) = 5 . 62

a = Yp1 - h1 a = 1 . 06 m b = 27 .9 º

A1

=

pR 2 b

-

360 º

R 2 Sen b 2

= 0.24 m 2

= g | (5)( Area rec tan gulo + Area triangulo + A1 ) = 750 ( 7 )(1 .35 * 4 . 56 + 1 .35 + 0 . 24 ) Þ Fv 1 = 40666 . 5 kgf Distancia de o’ a CG de A Figura centro 2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) d CG = = 4.86 m 3 A1 Fv 1 Fv 1

1

7.746 b = 0.24 * 0 .67 + 1.35 * b

2 3

(1.35) +

1.35 2 2

* 4.56

= 0 .714 m

FH

2

=g

|

(h

+ 1 )( 2 * 7 )

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Þ

FH

2

= 11200

(h

+ 1)

- 47 -


DIAZ MEZA, R

Yp

2

3

7 * 2 / 12 (h

+ 1) * 2 * 7

=

= 800 ( 7 )(1 . 35 h 0 .91h + 1 . 38

+ 0 . 24 + 1 .35 ) Þ

1 .35 h + 1 .59 Aplicación del peso OA a Figura peso centro Longitud de OA ( l c )

=

lc x

1 3( h

+ 1)

3( h + 1)

Fv 2

lc

= ( h + 1) +

3h + 4

c=

d

= ( h + 1) +

Visite mi página:

'

2p R b

x

R.Cosq R

= 2.43 m

360

|

= 5600 (1 .35 h + 1 .59 )

de O

dq

O

=  xdl

2.43 x

Fv 1

47 . 9

47 . 9

= 20 RCos q Rd q = R 2 Sen q |20

x = 4.11 Þ x = 4.7 - 4.11 = 0.59 m x = 0.59 m w OA = 3420 kgf

a

O

'

b

R

W AO

dl

q

|

å

0.59m A

3.35m

+ Fv 1b== FH 2 ( c ) + Fv 2 ( d ) + wOA ( x ) Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.503m FH 1 a

M

o

0

25) En el sistema de la figura, se tiene una compuerta OA de 6m de longitud y un peso de 3500kgf y puede rotar en el eje O, R=4m (radio de curvatura de OA) y a=15º, Presión relativa en PQ es 6035kgf/m². Calcular h para que la compuerta inicie a levantarse.

Visite mi página:

- 48 -


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DIAZ MEZA, R

Petroleo

h

D.R=0.8

O

Petroleo Agua

1m

A

R

R

a

Solución:

Petroleo

h 1=3.995m

h

D.R=0.8

d

N O

FV2

a FV1

Agu a

F H1

R

b

Petroleo

1m

A

R

q

c

F H2

h

1.04m

b

0.42m

O

a P

A1

Q

CG

1m

3.86m

R

q = Cos

-1

æ 2 . 04 ö = ç ÷ è 4 ø

A

59 . 34 º

b = 15.66º Pero en la figura se puede observar que: PQ = 6035 kgf / m 2 PN = PQ - g ( 2 .04 ) Visite mi página:

0.24m

R

b a P

3.86m

- 49 -


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DIAZ MEZA, R

PN = 3995 kgf / m ² 3995 = gh1 h1 = 3 .995 m

Þ

FH 1 = g ( h 1 + 0 . 5 )( 1 * 6 ) FH 1 = 26970 kgf FH 1

Þ

FH

2

=

+

6000 ( h 1

0 .5 )

= 9200 ( h + 1)

a = Yp1 - h1 a = 0 .515 m

b = 15 .66 º

R 2 Sen b = 0.027 m 2 360 º 2 Fv1 = g (6)( Area rec tan gulo + Area triangulo - A1 ) Fv 1 = 1000 ( 6 )( 0 .42 * 3 . 995 + 0 .21 - 0 . 027 ) Þ Fv 1 A1

=

pR 2 b

-

= 11165 .4 kgf

Distancia de o’ a CG de A Figura centro 2 R 3 Sen 3 ( b / 2 ) d CG = = 3.99 m 1

3 A1

X = 0 . 24 m 2 2 0 .42 1.86 b = 0 .21 * ( 0.42 ) - 0.027 * 0.24 + * 3.995 3 2 b = 0.22 m FH 2 = g 1 ( h + 0 . 5 )( 1 * 6 ) Þ FH 2 = 4800 ( h

Yp

2

= (h +

0 .5 )

+

3

6 * 1 / 12 (h

+

0 .5 ) * 1 * 6

= (h +

0 .5 )

+

+

0 .5 )

1 12 ( h

+

0 .5 )

+2 c= 6 ( h + 0.5) 3h

0.25m W AO O

dl R A

dq R

b

q

a P R.cos

Fv 2

= 800 ( 6 )( 0 . 42 h + 0 . 21 - 0 .027 ) Þ Visite mi página:

Fv 1

=

4800 ( 0 . 42 h

q

+ 0 . 183 )

- 50 -


DIAZ MEZA, R

=

d

0 .09 h 0.42 h

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+ 0.052 + 0.183

Aplicación del peso OA a Figura peso centro Longitud de OA ( l c )

x

de O

2 R = p b = 1 .09 m

lc

360 º

lc x

'

=  xdl

1 .09 x

|

30 . 66

30.66

= 15 RCos q Rd q = R 2 Sen q |15

x = 3. 69 m Þ x x = 0.25 m w OA = 3500 kgf |

å

= 3.69 - 3 .44 = 0 .25 m

= 0 o + Fv 1b = FH 2 ( c ) + Fv 2 ( d ) + wOA ( x ) Reemplazando valores y despejando h obtenemos: h=4.81m M

FH 1 a

26) En la figura se muestra una compuerta AOB de 2m de ancho, OB es parábola donde c = 0 . 25 m - 1 Determinar el valor de h para que dicha Compuerta inicie a levantarse desprecie el peso de la compuerta. B Agua h

y=cx² Aire

CO2

Aceite

CO

m c 0 3

m c 2 3

Hg

O Agua

40cm

2.5cm

D.R=0.8 Agua

Hg

A

1.5cm

m c 5 2

Hg

m c 0 3

m c 0 2

N2

Hg

5.71cm D.R=16

Solución: PN

PN

= 0.32 *13600 - 0.25 *13600 - 0.3 *13600 + 800 * 0.04 + 1600 * 0.0571 - 1000(0.0721) + 0.2 *13600 - 0.3 *1000 = 165 .5kgf / m ²

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- 51 -


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DIAZ MEZA, R

Liberando presión b

B

= gh | = 1000 ( h | )

PN

h | = 0. 1655 m FH = 1000 ( h | + 0 .2 )( 0 . 4 * 2 ) FH = 292 .4 kgf

FV1

d h'

FH1 c

h

y=cx²

3

Yp

= ( 0 . 1655 + 0 . 2 ) +

2 * 0 . 4 / 12 ( 0 .1655 + 0 .2 ) * 2 * 0 .4

N a

Yp = 0 .402 m a = Yp - 0.1655 a = 0 . 236 m

O 40cm

FH A

Para la parte Parabólico: y = cx² Para y = h; x = b Þ h = cb² Ahora calculemos FH y FV FH 1 = g h G A Pr oy FH 1

= 1000

*

h *2*h 2

= 1000 h 2

1 h 3

m

=

Fv 1

= 1000 * 2 * bh = 4000 *

n

2 3

=

5 4

bh 3

b

Sumatoria de momentos con respecto a “O” å Mo = 0 FH ( a ) = Fv 1 .n + FH 1 .m 292 . 4 * 0 . 236

Pero b 2 =

h c

1

4000

3

3

= 1000 h 2 * h + donde c =

0 . 25 m

1000 h

5 4

b

-1

3

Þ 69 * 3 = h=101.48mm

bh *

2

+

20000 h

27) La presión a la salida de la bomba es de 110000kgf/m² para una potencia de 100HP co una eficiencia de 70% la carga perdida a través de la válvula “V” es de 10m los tubos son de hierro galvanizado con una rugosidad absoluta de 0.00015m., L1=150m., D1=0.3m., L2=300m., D2=0.15m., L3=200m., D3=0.2m., L4==300m. hallar la dirección del flujo y el caudal en cada tubería, así también la cota del nivel de Visite mi página:

- 52 -


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DIAZ MEZA, R

agua en el reservorio “R”. La viscosidad cinemática del líquido es n = 10 - 6 m 2 / s . 100m Cota=??

B

R (1)

N

(4) 10m (3)

30m

(2)

A

Solución: 100m Cota=??

B

R (1)

N

(4) 10m

Q 30m

(3)

(2)

Q

Q S

Q

A

Calculando la rugosidad relativa e = 0 . 00015 = 0 . 0005 D1

e

=

D3

0 . 00015 0 . 20

=

e =

0 . 00015

e

0 . 00015

D2

0 . 30

0 . 00075

=

D4

0 . 15 0 . 25

=

0 . 001

=

0 . 0006

.

Calculando el número de reynolds VD

=

Re

n

=

QD

Þ

npD 2 / 4

= 4.23 *106 Q1 Re 3 = 6 .35 *10 6 Q3 Calculando h f Perdida por fricción Re1

se

sabe :

hf

=

Q D Re 2 = 8.46 *10 6 Q2

= 1.27 *10 6

Re

Re 4

fLQ D5

0 . 0826

2

por Darcy

2

2

h f1 = 5098.76 f1Q1 2 h f 3 = 51625 f 3 Q 3 hB

=

76 n pot

gQ 4

= 5.08 *10 6 Q4

hf 2

Þ

hB

=

.98 f 2Q2 =h 326320 2 f 4 = 25374 .72 f 4 Q 4 5 .32

Q4

de bomba

BERNOULLI ( S _ B ) P

g

+

Q2 2 g (p 0.25 2 / 4)

+ 10 = 100 + h f 4

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- 53 -


DIAZ MEZA, R

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Þ F = 25374 . 72 f 4 Q 42 - 1 . 038 Q 42 = 20 -----------------(I) -Asumiendo caudal Q 4 = 0 . 1 m ³ / s Þ R e 4 = 5 . 08 * 10 5 Con R e 4 y e / D 4 del ábaco de Moody Þ f 4 = 0 . 0193 En (I) Þ F = 4 . 68 m -Asumiendo caudal Q 4 = 0 . 2 m ³ / s Þ R e 4 = 1 . 01 * 10 6 Con R e 4 y e / D 4 del ábaco de Moody Þ f 4 = 0 . 0179 En (I) Þ F = 18 . 405 m -Asumiendo caudal Q 4 = 0 . 25 m ³ / s Þ R e 4 = 1 . 27 * 10 6 Con R e 4 y e / D 4 del ábaco de Moody Þ f 4 = 0 . 0178 En (I) Þ F = 28 . 32 m Graficando Q VS F Del gráfico: con F=20m de (I) Q 4 = 0 . 21 m ³ / s Rpta. Þ f 4 = 0 . 0179 Pero Q 3 = Q 4 Þ Q 3 = 0 . 21 m ³ / s Þ R e 3 = 1 . 33 * 10 6 Con R e 3 y e / D 3 del ábaco de Moody Þ f 3 = 0 . 0186 Þ h f 3 = 42 . 345 m PS

ES

=

Þ

E Sg

ES

-

Q 42

+

2

+ 10 m = 110.046m

2 g ( 0.25 / 4) = 110 .p046 m

EI

=

hB

=

5 . 32

Q4

Þ

EI

=

84 . 716 m

Bernoulli (A – I) 30 m = E I + h f 3 + h f 2 = 84 . 716 + 42 . 345 + h f 2 Þ h f 2 = - 97 . 061 m El signo negativo indica que el sentido del flujo asumido es contrario: Þ h f 2 = 97 . 061 m el flujo entra al reservorio A Pero h f 2 = 326320.98 f 2Q22 Þ f 2Q22 = 0.000297 2 f 2 Q 2 = 0 . 000297 --------------------------------(II) -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 1 m ³ / s Þ R e 2 = 8 . 46 * 10 5 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 02 2

f 2 Q 2 = 0 . 0002 Luego -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 15 m ³ / s Þ R e 2 = 1 . 26 * 10 6 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 020 Luego f 2 Q 22 = 0 . 00045 -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 05 m ³ / s Þ R e 2 = 0 . 423 * 10 6 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 02 Luego f 2 Q 22 = 0 . 00005 Visite mi página:

- 54 -


DIAZ MEZA, R

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Graficando Q VS F Del gráfico: con f 2 Q 22 = 0 . 000297 obtenemos: Q 2 = 0 . 12 m ³ / s Rpta. Por continuidad Q 1 = Q 2 + Q 3 Þ Q 1 = 0 . 33 m ³ / s Rpta Luego R e 1 = 4 . 19 * 10 6 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco de Moody Þ f 1 = Þ h f 1 = 10 .1m Bernoulli (R – I) E R = E I + h f1 + h f 3 + hN Cota R = 84 . 716 + 10 . 1 + 42 . 345 + 10 Cota R = 147 . 161 m Rpta

0 . 0182

28) En el sistema de la figura las tuberías tiene una rugosidad absoluta de 0.00025m y n = 1 . 001 * 10 - 6 m 2 / s . Calcular el diámetro de las tuberías 2 y la perdida de carga total. 11 m

A (1 ) L1 =4 0 D1 =0 0m .2 m

4m 00

B

(2 ) L2=5 00 m D2= ?

C

Solución: 11m

A (1) 4m

Q

00m

B

(2)

Q

e D1

=

0 . 00025 0 . 20

=

0 . 00125

C

e D2

=

0 . 00025

D2

=

?

Q D

Re

= 1.27 * 10 6

Re1

= 6.36 * 10 6 Q1

6

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Re 2

= 1.272 * 10

Q2

D2 - 55 -


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DIAZ MEZA, R

se

sabe :

hf

= 103250f 1Q12

1

hf

=

fLQ D5

0 . 0826

hf 2

2

por Darcy

= 41.3 f 2

Bernoulli (A – B) E A = E B + h f 1 + h LA + h LB

=

11

+ 103250

4

+

f 1 Q 12

2 0 . 0826 Q 14 ( K D1

Q22 D5

A

+

K

B

)

= 103250 f 1 Q 12 + 77 . 44 Q 12 = 7 --------------------------(a) -Asumiendo caudal Q 1 = 0 . 05 m ³ / s Þ R e 1 = 3 . 18 * 10 5 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco de Moody Þ f 1 = 0 . 0215 En (a) Þ F = 5 . 76 m -Asumiendo caudal Q 1 = 0 . 06 m ³ / s Þ R e 1 = 3 . 816 * 10 5 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco de Moody Þ f 1 = 0 . 0214 En (a) Þ F = 8 . 24 m -Asumiendo caudal Q 1 = 0 . 055 m ³ / s Þ R e 1 = 3 . 498 * 10 5 Con R e 1 y e / D 1 del ábaco de Moody Þ f 1 = 0 . 021468 En (a) Þ F = 6 . 94 m a *) si al aasumir caudal f, reemplazamos en ( ) con estoprogramas no satisfacedeentonces se procede graficar comoyencalculado el problema anterior o interpolar calculadora: \ Q 1 = 0 . 055 m ³ / s Rpta F

Bernoulli (B – C) E B = E C + h f 2 + h LB 4

=

0

+

41 . 3 f 2

Q 22 D

5 2

+

0 . 0826 * K

Pero Q 1 = Q 2 K B = 0 .5

Þ

Q2

Þ

f2 D 25

+

4

=

0 . 1249

=

Q 22 B

D 25

0 . 055 m ³ / s

0 . 0001249

D 25

=

M

-----------------------(b)

e -Asumiendo Diámetro D 2 = 0 . 25 m Þ D 2 = 0 . 001 Como Q 2 = 0 . 055 m ³ / s Þ R e 2 = 279840 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 020667 En (b) Þ M = 2 . 67 m e -Asumiendo Diámetro D 2 = 0 . 30 m Þ = 0 . 00083 D2

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- 56 -


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DIAZ MEZA, R

Como Q 2 = 0 . 055 m ³ / s y D 2 = 0 . 30 m Þ R e 2 = 233200 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 02014 En (b) Þ M = 1 . 05 m e -Asumiendo Diámetro D 2 = 0 . 20 m Þ = 0 . 00125 D2

Como

Q2

=

0 . 055 m ³ / s

y

D2

=

Þ

0 . 20 m

Re2

=

349800

e Con Þ = En (b) Þ = De estos 3 valores se puede concluir que solo el diámetro de 0.25m satisface, ya que es un diámetro comercial de 10Pulg equivalente a 0.25m: D 2 = 0 . 25 m Rpta. Falta perdida de carga total 29) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de 10” de diámetro y 3000pies de longitud, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 6000pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan por una tubería MN de 5500pies de longitud. La distancia AM=1000pies y ND=2000pies. Calcular: Re2

y M

/ D 2 del ábaco de Moody 8 .5 m

f2

0 . 021468

a) Los caudales que entran a los reservorios B y D Cuando por la tubería MN discurren 1pie³/s. b) El mínimo diámetro que debe tener MN para transportar 1pie³/s. (Considere solo perdidas por fricción). 50'

A

(1) M

30' (2)

B

40' (5)

C

(3)

0' (4)

N

D

Solución: 50'=15m

A

(1) Q1 40'=12m

C

30'=9m M Q5

(5)

(2) Q2

B

(3) Q3

0' N

(4) Q4

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D

- 57 -


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DIAZ MEZA, R

L1 L2 L3 L4 L5

= 1000 | = 300 m = 2000 | = 600 m = 4000 | = 1200 m = 2000 | = 600 m = 5500 | = 1650 m

= 10 " = 0 . 25 m = 10 " = 0 . 25 m D 3 = 12 " = 0 . 30 m D 4 = 12 " = 0 . 30 m D5 = ?

D1

D2

Q 5 = 0 . 027 m ³ / s Calculando la rugosidad relativa 0 . 0002 e e = = = 0 . 0008 D1

D2

e D3

0 . 25

=

e D4

=

0 . 0002 0 . 30

=

0 . 00067

Calculando el número de reynolds Re

=

VD

n

=

QD

np D 2 / 4

Þ

Re

= 1 .27 * 10 6

Q D

= 5.08 *106 Q1 Re2 = 5.08 *106 Q2 6 Re 3 = 4.23 *10 Q3 Re 4 = 4.23 *10 6 Q4 Calculando h f Perdida por fricción Re1

se hf1

sabe :

hf

= 0 .0826

= 25374.72 f1Q12

fLQ 2 D5

por Darcy hf 2

= 50749.44 f 2 Q22

h f 4 = 20395.06 f 4 Q42 = 40790.12 f 3Q32 Las tuberías (1) Y (2) es la misma entonces. f 1 = f 2 lo mismo Las tuberías (3) y (4) Þ f 3 = f 4 Bernoulli (A – B) E A = E B + h f 1 + h2 15 = 9 + 25374 . 72 f 1 Q 12 + 50749 . 44 f 2 Q 22 6 = 25374 . 72 f 1 Q 12 + 50749 . 44 f 1 Q 22 Pero Q 1 = Q 2 + Q 5 Þ Q 1 = Q 2 + 0 . 027 Þ 6 = 25374 . 72 f 1 ( Q 2 + 0 . 027 ) 2 + 50749 . 44 f 1 Q 22 = F ----------------(a) -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 1 m ³ / s Þ R e 2 = 5 . 08 * 10 5 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 0193 En (a) Þ F = 17 . 69 m -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 05 m ³ / s Þ R e 2 = 1 . 27 * 10 4 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 03036 En (a) Þ F = 8 . 42 m -Asumiendo caudal Q 2 = 0 . 04 m ³ / s Þ R e 2 = 8128 Con R e 2 y e / D 2 del ábaco de Moody Þ f 2 = 0 . 0337 En (a) Þ F = 6 . 58 m Interpolando se tiene: Visite mi página: hf 3

- 58 -


DIAZ MEZA, R

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= 0 . 039 m ³ / s Rpta = Q 2 + Q 5 Þ Q 1 = 0 . 066 m ³ / s Bernoulli (C – D) E C = E D + h f 3 + h4 12 = 0 + 40790 . 12 f 3 Q 32 + 20395 . 06 f 4 Q 42 pero Q 4 = Q 3 + Q 5 Þ Q 4 = Q 3 + 0 . 027 Þ N = 12 = 40790 .12 f 3 Q 32 + 20395 . 06 f 3 ( Q 3 + 0 . 027 ) 2 - - - - - - - - - - - - ( b ) Q2 Q1

1º Asumiendo caudal Q 3 = 0 . 07 m ³ / s Þ R e 3 Con R e 3 y e / D 3 del ábaco de Moody Þ f 3 En (b) Þ N = 10 . 612 m 2º Asumiendo caudal Q 3 = 0 . 08 m ³ / s Þ R e 3 Con R e 3 y e / D 3 del ábaco de Moody Þ f 3 En (b) Þ N = 12 . 705 m

= 20727 = 0 . 027 = 27072 = 0 . 0257

3º Asumiendo caudal Q3 = 0.078 m ³ / s Þ Re 3 = 25735 .32 Con R e 3 y e / D 3 del ábaco de Moody Þ f 3 = 0 . 0259 En (b) Þ N = 12 . 27 m Interpolando se obtiene: Q 3 = 0 . 0779 m ³ / s Q 4 = Q 3 + Q 5 Þ Q 4 = 0 . 105 m ³ / s Calculemos h f 1 y h f 3 Para Q 1 = 0 . 066 m ³ / s Þ R e1 = 22128 . 48 h f 1 = 2 . 98 m Para Q 4 = 0 . 105 m ³ / s Þ R e 4 = 46435 . 75 h f 4 = 5 . 24 m Bernoulli (A – D) E A = E D + h f 1 + h4 + h f 5 15

=

Þ

f5 D 55

2 .98

+ 5 . 24 + 0 . 0826

* 1650

y

f1

y

f4

= =

0 . 027 0 . 0233

f 5 Q 52 D 55

= 68 . 24 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (g )

-Asumiendo Diámetro D 5 =

0 . 20 m

Þ

e D5

Como Q 5 = 0 . 027 m ³ / s Þ R e 5 = 171450 Con R e 5 y e / D 5 del ábaco de Moody Þ Visite mi página:

=

0 . 001

f5

=

0 . 0212

- 59 -


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DIAZ MEZA, R

En (g) Þ

f5 D 55

=

66 . 25 m

Un diámetro comercial adecuado es

=

D5

0 . 20 m

=8pulg Rpta.

30) Calcular los diámetros de las tuberías de la red de la figura, si los caudales en E y F son respectivamente 20 y 30L/s y el agua se libera con igual presión e igual velocidad en H / s para toda las tuberias presión, el diámetro del tramo CD Edeberá yF C = 100que pie ser mayor los diámetros DE y DF (D1=2D2).

20 m 20 m

7 00

D2 0m 80

D1

m

(1 ) 50 0

(2 )

m

(3 ) 5 00

15 m

m

(4 )

7

0 0

F

m

(5 )

10 m

E

Solución: 20m 20m

70 Q

D2 0m 80

D1

0m

Q

(2 )

(1 ) 500

P

Q3

m

(3 ) 50

Q

Q4

7

10m

0

0

m

Q

0m

15m

(4 ) F

(5 ) E

= 2D2 = 20 L / s Q 4 = 30 L / s VE = VF y PE = PF Q 3 = Q 4 + Q 5 Þ Q 3 = 50 L / s Q 1 + Q 2 = Q 3 Þ Q 1 + Q 2 = 50 L / s ……………………………………………( 1) Visite mi página: D1 Q5

- 60 -


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DIAZ MEZA, R

= VF

VE

Þ

30

20

=

(p D 4 / 4 ) 2

Þ

(p D 5 / 4 ) 2

D4

= 1 . 22 D 5 ..........

.......... .......... .(*)

Ecuación de la energía EQ = E F + h f 4 = EE + h f 5 PF

V F2 2g

+

g

+ 15 + h f 4 =

PE

g

+

V E2 2g

+ 10 + h f 5

como PF = PE y VF = VE Þ h f 5 - h f 4 = 5 .......... .......... .......... .......... .......... .........( a ) De la ecuación de Hazen y Williams 1 . 85 æ 2347 . 42 Q ö h f = Lç ÷ 2 . 63 è CD ø 1 . 85 1 . 85 æ 2347 . 42 * 20 ö æ 2347 . 42 * 30 ö ÷ ç ÷ De (a) 0 . 7 çç 0 . 5 = 2 . 63 2 . 63 ÷ ç ÷ è 100 D 4 ø è 100 D 5 ø 61319

-

D 54 . 86 De (*)

\

92733 . 64

y

Diametro

V4

=

5 . 81 "

y

D4

=

7 . 09 "

es :

y

D5

=

6"

0 . 20 m

Q4

=

D5

adecuado

comercial

= 8" = 8" =

D4

5 .......... .......... .......... .......... ..(**)

Þ

(**)

El diámetro

D4

=

D 44 . 86

5

( p D 42 / 4 )

æ 2347 è 100 + hf4

hf4

=

0 .5 ç

EQ

=

EF

EQ

= 15 +

0 . 03

=

0 . 95

p

* 0 .2 2 / 4

. 42 * 30 * 8 2 . 63 2

2 * 9 . 81 18 . 75 m

ö ÷ ø

=

0 . 95 m / s

=

3 . 74 m

1 . 85

+ 3 . 74 = 18 . 75 m

= = E Q + h f 3 = 18 . 75 m + h f 3 E P = 18 . 75 m + h f 3 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..( 2 ) Pero : E P = 40 - h f 1 = 35 - h f 2 .......... .......... .......... .......... .......... .....( a ) De ( 2 ) y ( a ) h f 1 + h f 3 = 21 . 25 m .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .( b ) h f 2 + h f 3 = 16 . 25 m .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .( q ) Pero : D 3 > D 4 Þ D 3 > 8" Escogiendo diámetro comercial adecuado EQ

EP

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- 61 -


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DIAZ MEZA, R

= 10 "

D3

hf3

=

æ è

0 .5 ç

2347 . 42 * 50 2 . 63

100 * 10 3 . 25 m

ö ÷ ø

1 . 85

=

3 . 25 m

= En (b) h f 1 = 18 m hf3

1 . 85

=

pero :

h f1

Þ

Q 11 . 85 D 24 . 86

8 . 24

0 . 7 æç 2347 . 42 *2 . 63Q 1 è 100 * D 1

÷ö ø

= 18 m

=

y

D1

6"

Rpta.

2D2

= 18 m

= 1 . 52 D 22 . 63 En (q) h f 2 = 13 m Q1

pero :

Þ

hf2

274 . 5

=

æ è

0 . 8 çç

Q 21 . 85 D 24 . 86

2347 . 42 * Q 2 100 * D

2 . 63 2

ö ÷÷ ø

1 . 85

= 13 m

= 13 m

= 0 . 19 D 22 . 63 Q 1 + Q 2 = 50 L / s 1 . 52 D 22 . 63 + 0 . 19 D 22 . 63 = 50 Þ D 2 = 3 .6 " D1 = 2 D 2 Þ D 2 = 7 .2" \ los diámetros comerciales adecuados son: D 1 = 8 " D 2 = 4 " D 3 = 10 " D 4 = Q2

8"

D5

=

31) Un oleoducto con una tubería aproximadamente horizontal de 30cm de diámetro, donde la rugosidad absoluta e=0.003cm tiene una estación de bombeo de 40HP de potencia cada 7 Km. La eficiencia de los equipos de bombeo es 75% peso específico del líquido es 850Kg/m³ la viscosidad cinemática es 4 * 10 - 6 m²/s a) Hallar el caudal b) si el caudal se incrementa en 50% hallar la nueva potencia de la bomba c) si con la nueva potencia la presión en el ingreso de la bomba es de 125kg/m² hallar la presión en la salida de la bomba. B

B

B

B

7km

Solución: Visite mi página:

- 62 -


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DIAZ MEZA, R

I

B

S

I

B

I

S

I

S B

D = 0 . 30 m e = 0 . 00003

S B

7km

7km

7km

g = 850 kg / m ³ n = 4 * 10 - 6 m ² / s e 0 . 00003 D = 0 . 30 = 0 . 0001

m

pot = 40 HP n = 0 . 75 gQ ( E s - E I ) pot = .......... .......... .......... .......... .......... ....( 1 ) 76 n

Ecuación de la energía (S – I) E

s

- E

Þ h

f

Q

= V

en

(1 )

Þ

I

= h

=

1190

p

*

fV ³

fL V 2 D 2 g

=

f

Þ Q =

4

=

* V ²

0 . 3 * 2 * 9 . 81

. 4 fV ²

0 .3 ²

=

40

f * 7000

=

850

0 . 071 V

* 0 . 071 V * 1190

. 4 fV ²

76 * 0 . 75

0 . 032

Asumiendo valores de velocidades 1º Asumiendo V = 1 m / s Con R e y Þ fV ³ =

e

/ D

Þ Re =

1 * 0 .3 4 * 10

-6

del ábaco de Moody Þ

=

7 . 5 * 10

f

=

4

0 . 0195

0 . 0195

2º Asumiendo V = 1 . 5 m / s

Þ Re =

1 .5 * 0 .3

Con R e y e / D del ábaco de Moody Þ Þ fV ³ = 0 . 062

Graficando

V VS

= 1 . 1 * 10 5

-6

4 * 10

=

f

0 . 0185

fV ³

Del gráfico: V = 1 . 17 m / s 1 . 17 * p * 0 . 3 ² a) Q = = 0 . 083 m ³ / s 4

b) Q f = 1 . 5 Q =

0 . 124 m ³ / s

=

0 . 124

Con

= 1 . 74 m / s 0 . 071 1 . 74 * 0 . 3 = Þ R e = 1 . 3 * 10 5 4 * 10 - 6 Re y e / D del ábaco de Moody

hf

=

64 . 87 m

Vf Re

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Þ

f

=

0 . 018

- 63 -


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DIAZ MEZA, R

En (1) pot =

850 * 0 . 124 * 64 . 87

76 * 0 . 75 pot = 119 . 95 HP Rpta c) E S - E I = h f = 64 . 87 m

PS

g PS

g PS

+ -

æP V2 ö - çç I + ÷÷ = 64.87 m 2g è g 2g ø

V2

125

g

= 64.87 Þ PS = 55694.51kgf

= 55694.51kgf

/ m²

/ m ² Rpta.

32) En la figura se muestra un sistema donde se instala una bomba entre las tuberías 3 y 4 con una potencia de 4HP y una eficiencia de 70%, la presión en I es 65kgf/m² (C=120) Calcular: a) los caudales en cada tubería. b) Las presiones en el punto “A” y salida de la bomba. 40m R

D= 12 ' L= ' 10 (1) 00 m

20m (2)

D= 10 ''

L=1500m

A

L= D=8 70 '' 0m

B (3)

(4) I

B

S

'' D=1 0 00m 6 = L

(5) L=2 00

D= 1 2' '

0m

M

10m

Solución: 40m R

Q1

(1)

20m (2) Q2

A

B

Q3 (3)

(4) I

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B

S

Q4

(5) M

Q5 10m

- 64 -


DIAZ MEZA, R

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= 1000 m D 1 = 12 " L 2 = 1500 m D 2 = 10 " L 3 = 700 m D 3 = 8" L 4 = 600 m D 4 = 10 " L 5 = 2000 m D 5 = 12 " Pot = 4 HP n = 70 % PI = 65 kg / m ² gQ3 ( E S - E I ) Þ ES - EI = Pot = L1

76 n * Pot

76 n

ES

S

- EI = hf

=

L

=

76 * 0 . 7 * 76 1000 Q 3 40

=

0 . 2128

Q3

gQ3

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ......( j )

-

20 = 20 m / km 1 0 .000426 * C * D 2 .63 S 0 .54

Q= = 0 .000426 * 120 * 12 2 .63 20 0.54 Q1 = 177 . 58 L / S Rpta.

Pero : Q1

De h f 2la=figura h f 3 + se h ftiene: 4 - (ES - E I ) Pero según Hazme y Williams 1 . 85 æ 2347 . 42 Q ö h f = Lç ÷ è CD 2 . 63 ø

Þ 5 .008 Q 21 .85 = 6 . 923 Q 31.85 + 2 .003 Q 41.85 -

0 . 2128

Q3

.......... .......... .......... .......... .( r )

Pero por continuidad se tiene: Q 3 = Q 4 y Q1 = Q 2 + Q 3 Þ Q 3 = 177 . 58 - Q 2 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....( l ) ( l ) en ( r ) se tiene Q 2 = 102 .542 L / S y Q 3 = 75 . 038 L / S 2 æ PI V 2 ö PS V En (j ) g + 2 g - ç g + 2 g ÷ = 2.836 m è ø PS

g

-

65

g

= 2.836m Þ PS = 2901kgf

/ m²

PS = 2901kgf / m ² Rpta. Ecuación de energía entre (R – A) ER = E A + h f1

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- 65 -


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DIAZ MEZA, R

=

40

PA

g

V A2

+

2g

+

20

+

h f 1 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .........( 1) 1 . 85

2347 . 42 * 177 . 58 ö = 1 æç = 19 . 94 m ÷ 120 * 12 2 . 63 è ø En (1) P A = - 261 . 8 kgf / m ² Rpta

hf1

33) En la figura se tiene dos reservorios A y B están conectados por una tubería de 10” de diámetro y 2500pies de longitud, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 12” de diámetro y 4500pies de longitud. Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan con una tubería MN de 3000 pies de longitud y 8” de diámetro. Las distancias AM = 1000pies y ND = 2500pies, rugosidad de las tuberías es 0.00015. y viscosidad cinemática es 10 - 6 m²/seg. Calcular los caudales en cada tubería (Considere flujo completamente turbulento). 80m

A

(1) M

50m (2)

B

40m (5)

C

(3)

20m (4)

N

D

Solución: 80m

A

(1) Q5

40m

C

50m

M

Q1

(5)

(2) Q2

B

(3) Q3

20m N

(4) Q4

D

1pulg=0.025m, 1pie=12pulg. L1 = 1000 | = 300 m D 1 = 10 " = 0 . 25 m L 2 = 1500 | = 450 m D 2 = 10 " = 0 . 25 m |

D 3 = 12 " = 0 .30 m = 2000 | = 600 m = 2500 = 750 m D 4 = 12 " = 0 . 30 m L 5 = 3000 | = 900 m D 5 = 8" = 0 . 20 m Calculando rogusidad relativa e e 0 . 00015 e e = = = 0 . 0006 = = L3 L4

D1

D2

0 . 25

D3

D4

0 . 00015 0 . 30

=

0 . 0005

Por ser el flujo completamente turbulento con e/D del ábaco obtenemos los valores: Visite mi página:

- 66 -


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DIAZ MEZA, R

f1

se

=

f2

=

sabe :

f3

0 . 01745

= 0 .0826

hf

=

fLQ D5

f4

=

0 . 01675

f5

=

0 . 01837

2

= 442.789Q12 h f 3 = 341.617Q32

por Darcy

= 664.183Q22 h f 4 = 427.022Q42

hf1

hf 2

2

= 4267.581Q5 Ecuación de energía entre (A – B) E A = E B + h f 1 + h2 80 = 50 + 442 . 789 Q 12 + 664 . 183 Q 22 30 = 442 . 789 Q 12 + 664 . 183 Q 22 ..........

.......... .......... .......... .......... .......... .......... (a )

Ecuación de energía entre (C – D) E C = E D + h f 3 + h4 2 2 40 = 20 + 341 . 617 Q 3 + 427 . 022 Q 4 2 2 20 = 341 . 617 Q 3 + 427 . 022 Q 4 ..........

.......... .......... .......... .......... .......... .......... ( b )

hf 5

Ecuación de energía entre (A – D) E A = E D + h f 1 + h4 + h f 5 2 2 80 = 20 + 442 . 789 Q 1 + 427 . 022 Q 4 60

=

Q1

= Q 2 + Q 5 .......... = Q 3 + Q 5 ..........

Q4

442 . 789 Q 12

De las ecuaciones

Q1 = 206.6L / s Q2

+

427 . 022 Q 42

+

+

2

4267 . 581 Q 5

4267 . 581 Q 52 .......... .......... .......... .......... .........(

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......( .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......(

( a ), ( b ), (q ), ( g ) y = 129.27L / s Q3 = 113.7 L / s

(f )

q)

g) f)

se obtiene:

Q4 = 191.03L / S

Q5

= 77.3L / s

34) A través de una tubería fluye agua, dos manómetros instalados en la tubería, en cuyo extremo existe un tubo de Pitot, tal como se muestra en la figura, se conocen los siguientes niveles de líquido h 1 = 0 . 01 m y h 2 = 0 . 02 m , la densidad relativa del mercurio es 13.6 calcular: a) El diámetro la tubería b) La velocidaddemáxima. c) La velocidad media d) La velocidad a una distancia del eje de 0.25m (n = 10 - 6 m 2 / S )

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- 67 -


DIAZ MEZA, R

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**) Dos reservorios A y B como muestra la figura, están conectados por una tubería de 2500pies de longitud y 0.0174 de coeficiente de fricción, otros dos reservorios C y D están conectados por una tubería de 4500 pies de longitud y 0.0167 de coeficiente de fricción, Para incrementar la cantidad de agua que entra a D las dos tuberías se conectan por una tubería MN de 3000pies de longitud y 0.0183 de coeficiente de fricción. La distancia AM=1000pies y ND=2500pies, por la tubería 1pie³/s. si el flujo es turbulento con superficie hidráulicamente rugosa MN y las discurren tuberías son del mismo material. Calcular: a) Los diámetros de las tuberías y sugerir que diámetros comerciales se compran. b) Los caudales en cada tubería

PROBLEMA 35: Una turbina Pelton de 0.9m de diámetro tangente al eje del chorro ( diámetro Pelton) posee unas cucharas que deflectan al chorro de agua un ángulo de 160°. El chorro es de 7.6cm. de diámetro. Despreciando la fricción, hallar la potencia desarrollada por la rueda y la eficiencia hidráulica cuando w = 300r.p.m. y la presión antes de la tobera es de 7.05kgf/cm2. Considerar que no hay perdidas en la tobera.

160°

a)

,

c)

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DIAZ MEZA, R

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·

·

· W=300rpm, H=7.05

·

·

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-2-


DIAZ MEZA, R

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PROBLEMA 36: En la figura N° 3 se tiene dos reservorios (A y B) y las tuberías (1 y 2) de hierro fundido con una rugosidad absoluta de 0.25 mm. por donde se trasporta agua desde A hasta B y luego descargar en C, el tubo (1) de 0.2m. de diámetro tiene una longitud de 400m. y el tubo (2) tiene una longitud de 500m. Considerando pérdidas por fricción y locales hallar el caudal que discurre por el sistema y el diámetro del tubo (2). C ota = 20 .00m .

A

(1 ) C ota = 5.00 m .

B

Figura

C ota = 0.00 m .

N ° 03 (2 ) C

DATOS:

SOLUCIÓN: 1. Analizamos el tramo A-B.

La rugosidad relativa: Para considerar pérdidas locales en la tubería 1, la relación entre su longitud y diámetro debe ser menor o igual a 1500. , en este caso la pérdida local se aproxima a cero: De la ecuación de la energía:

.

De la ecuación de Darcy: , despejando:

Asumiendo valores del caudal, hallamos el Número de Reynolds y con la relación , encontramos el valor de f en el diagrama de Moody, con todos los datos hallamos los valores de . Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla: Visite mi página:

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DIAZ MEZA, R

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Q(m3/s) 0,075 0,08 0,085 0,09

x105 Re 4,77 5,09 5,41 5,72

f

x10-4 fQ2

0,0205 0,0205 0,0205 0,0205

1,15 1,28 1,5 1,6

El caudal requerido se halla del gráfico fQ 2 vs Q:

De la fórmula obtenida hallamos el caudal Q para

.

2. Ahora analizamos el tramo B-C

Como en el tramo A-B debemos saber la relación L/D2 para considerar o no las pérdidas locales, pero no conocemos el diámetro D 2. Observemos la relación para una pérdida local despreciable: Para tuberías largas: Visite mi página:

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DIAZ MEZA, R

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El diámetro de la tubería 2 deberá ser menor o igual a 0.333m. Realizaremos los cálculos despreciando la pérdida local, en caso de que el diámetro resulte mayor a 0,33m, realizaremos nuevos cálculos considerando las pérdidas locales. De la ecuación de la energía:

La velocidad la podemos hallar del caudal:

De la ecuación de Darcy:

…(c)

Teniendo lashallamos ecuacioneslaa,b y c, podemos asumiendo para el diámetro D, relación , elresolver númeroesdesistema Reynolds, con estosvalores dos últimos valores encontramos el valor de f en el Ábaco de Moody, y finalmente hallamos como función de f y en la ecuación (c) y como función de la velocidad en la ecuación (a). Plasmamos todos los datos hallados en la siguiente tabla:

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DIAZ MEZA, R

D(m) 0,2 0,25 0,3 0,4 0,26

/d 0,00125 0,001 0,00083 0,00063 0,00096

De la tabla, graficamos y valor del diámetro q se busca:

Visite mi página: x105 Re 5,497 4,398 3,665 2,749 4,229

f 0,02 0,0205 0,0196 0,0188 0,0191

V(m/s) 2,6625 1,704 1,1833 0,6656 1,5754

hf(1) 19,24 6,463 2,483 0,565 4,95

hf(2) 4,6387 4,852 4,9286 4,9774 4,8735

vs el diámetro, al intersecar las rectas encontraremos el

Intersecamos las curvas igualando las ecuaciones y1 y y2:

·

El diámetro hallado D2 es igual a 0.26m<0.33m, entonces el procedimiento fue correcto al despreciar las pérdidas locales.

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DIAZ MEZA, R

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PROB 15.- En el sistema de la figura N° 2 se muestra a tres reservorios y una bomba de 180 H.P. de potencia con una eficiencia del 80%, el sistema de tuberías trasporta agua, la presión en el punto P es 35m. de agua, la válvula V srcina una pérdida de 2.05m. de agua y el coeficiente de Hazem y Williams es 100 √pie /seg. Calcular los caudales en cada tubo y la cota de “B”. 40m. A

cota = ?? V " 20 . D= m 00 18 L=

L= D=24 2,0 " 00 m.

B

Bomba P

Q 5m.

D = 24

L=72

"

0m. D=1 2"

L=2 100m .

10m. C

Figura N° 02

Solución

Hallando la cota en P:

Entonces asumimos el flujo de P hacia A Primero vamos que es un flujo turbulento con superficie hidráulicamente rugosa

Dónde:

……………………………(*)

Simplificando:

Remplazando en (*):

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DIAZ MEZA, R

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Remplazando tenemos: Potencia de la bomba:

Deduciendo Despejando:del grafico tenemos:

Concluimos que es absurdo OBSERVACIONES: Con respecto a Como la cota A y la cota P. no hay presencia del , ni mucho menos existe la bomba como se observa en el ejercicio, por ende no existe caudal. v

* Bueno si es que existiera la bomba, es decir un caudal entonces: = 0 lts/s v

Donde luego calculamos

mediante la expresión ya obtenida empericamente.

Por ende cota piezométrica en Q=?

* Indeterminado, ecuaciones absurdas Cota piezométrica en M: No existe!! Conclusión: Por ende:

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DIAZ MEZA, R

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Donde:

Posteriormente hallamos

conocemos por formula:

Cota reservorio …. Rpta

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