PLAN DE PRODUCCIÓN1 La empresa "Triturados y Derivados, S.A." (TRIDESA), desea producir tres diferentes tipos de block de concreto I, II, III. Esta compañía cuenta con el siguiente suministro de materiales diariamente: 12,000 kg de cemento, 8000 kg de arena, 600 kg de grava y 400 litros de agua. Adicionalmente, dispone de 300 horas-máquina por día. En la tabla mostrada a continuación, se proporcionan las estimaciones que TRIDESA ha elaborado del consumo necesario de cada elemento, para fabricar cada uno de los tipos de block, así como de la utilidad unitaria que obtiene en la venta de los mismos.
Consumo de elemento/block Block (tipo) I II III
Cemento (kg) 1.50 1.20 0.80
Arena (kg)
Grava (kg)
Agua (litros)
Horas máquina
Utilidad ($/unidad)
0.80 0.60 1.00
0.40 0.60 0.80
0.30 0.40 0.50
0.004 0.002 0.010
6 8 9
Basándose en la información anterior, se ha pedido a la dirección de Ingeniería Industrial, determinar el número de blocks a fabricar diariamente para maximizar la utilidad. Formular como un modelo de PL. VARIABLES DE DECISION
X1: Cantidad de unidades a fabricar del block tipo I X2: Cantidad de unidades a fabricar del block tipo II X3: Cantidad de unidades a fabricar del block tipo III LIMITANTES DEL PROBLEMA
1
1,5X1 + 1,2X2 + 0,8X3 ≤ 12.000 0,8X1 + 0,6X2 + X3 ≤ 8.000 0,4X1 + 0,6X2 + 0,8X3 ≤ 600 0,3X1 + 0,4X2 + 0,5X3 ≤ 400 0.004X1 + 0.002X2 + 0.010X3 ≤ 300
Jesus Arreola Risa, Antonio Arreola Risa, Programación Lineal, Una Introducción A La Toma De Decisiones,
FUNCION OBJETIVO
Zmax: 6X1 + 8X2 + 9X3 SOLUCION WINQSB
Según la solución de WINQSB podemos observar que solo deben fabricarse 1333.33 block tipo I y ninguno de los tipos II y III, con esto se logra una utilidad de 8.000 por cada día. ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Si se aumenta la utilidad del block tipo III an algo más de 1, podríamos decir que esta variable haría parte de la solución.
Vemos que tenemos una gran limitante con el agua, podría decidirse abastecerse con algo mas de este recurso ya que por cada litro adicional la utilidad aumentaría en 20.
Hay un gran desbalance en el suministro de recursos, ya que tenemos unos sobrantes muy grandes de recursos (cemento, arena y horas maquina) y unos con muchas limitantes (grava y agua) se sugiere hacer un balance de materiales, para poder optimizar el modelo.
SEGUNDO Un país está atravesando una aguda crisis económica a raíz del enorme incremento de la deuda externa. Uno de los efectos más visibles de la crisis es el carácter especulativo que está adquiriendo el mercado de capitales; la influencia de diversos agentes: Gobierno, Fondo Monetario Internacional, Banca Nacional y Banca Extranjera, etc, hace que los indicadores económicos (inflación, devaluación, entre otros) experimente constantes modificaciones haciendo muy poco fiables las previsiones a medio y a largo plazo. En este contexto, los inversionistas se han decantado por una política de inversión a corto y muy corto plazo como mecanismo de defensa ante la inestabilidad del mercado. Uno de estos inversionistas está estudiando cómo invertir $ 100.000.000 producto de una herencia; un asesor financiero le proporciona el siguiente cuadro en el que se recogen las posibles inversiones, su rendimiento, plazo, así como dos índices de calidad de la inversión, uno proporcionado por un organismo estatal y el otro proveniente de una fuente extranjera. Para la obtención de estos índices de calidad se tienen en cuenta conceptos tales como liquidez, riesgo, etc, de difícil cuantificación; el índice estatal recorre una escala de la A a la Z, siendo A la mejor calidad, mientras que el índice extranjero califica a las inversiones en una escala de 0 a 100, siendo 100 la mejor calidad.
INDICE DE CALIDAD Organismo Fuente Estatal Extranjera
Inversion
Tipo
Dias
Neto
1
Bonos Empresa Privada
C
95
10
3,166
2
Bonos Estatales
B
85
15
3,99
3
Deuda Publica Nacional
A
92
21
6,3
4
Deuda Publica Regional
B
90
21
5,94
5
Pagares Estatales
A
97
30
6,38
6
Moneda Extranjera
D
93
7
1,75
El inversionista pretende elegir su cartera de modo que alcance los máximos beneficios. No obstante, el asesor financiero le aconseja que diversifique su inversión de acuerdo con los criterios siguientes:
La cantidad colocada en inversiones estatales no debe ser superior al 70% del total invertido. La cantidad invertida en bonos debe ser superior a lo invertido en deuda pública. La razón entre las inversiones en efectos de titularidad pública (inversiones 2, 3, 4 y 5) y las inversiones en efectos de titularidad privada (inversiones 1 y 6) deben ser a lo sumo de tres a uno. No debe colocarse más de un 60% en inversiones catalogadas por el organismo estatal con un índice inferir o igual a B. La calidad media de la inversión según el índice de fuente extranjera debe ser como mínimo 92. Debido a las disposiciones legales, la cantidad máxima que puede invertirse en pagarés estatales es de $4.000.000. La duración media de la inversión debe estar comprendida entre 14 y 21 días. Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal. VARIABLES DE DECISION
X1: Cantidad de Dinero a invertir en bonos empresa privada X2: Cantidad de Dinero a invertir en bonos estatales X3: Cantidad de Dinero a invertir en deuda pública nacional X4: Cantidad de Dinero a invertir en deuda pública privada X5: Cantidad de Dinero a invertir en pagarés estatales X6: Cantidad de Dinero a invertir en moneda extranjera
LIMITANTES DEL PROBLEMA
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≤ 100 -0,7X1 + 0,3X2 + 0,3X3 + 0,3X4 + 0,3X5 - 0,7X6 ≤ 0 X1 + X2 - X3 - X4 > 0 -3X1 + X2 + X3 + X4 + X5 - 3X6 ≤ 0 0,4X1 + 0,4X2 - 0,6X3 + 0,4X4 - 0,6X5 + 0,4X6 ≤ 0 3X1 - 7X2 - 2X4 + 5X5 + X6 ≥ 0 X5 ≤ 4 -11X1 - 6X2 + 9X5 - 14X6 ≤ 0 -4X1 + X2 + 7X3 + 7X4 + 16X5 - 7X6 ≥ 0
FUNCION OBJETIVO
Zmax: 3,166X1 + 3,99X2 + 6,3X3 + 5,94X4 + 6,38X5 + 1,75X6
SOLUCION WINQSB
Podemos observar que al final del ejercicio de inversión se obtiene una ganancia neta de 493,4016 millones, la inversión se distribuyó de la siguiente manera:
Inversion
Tipo
Monto invertido en millones
1
Bonos Empresa Privada
31.6
2
Bonos Estatales
16.4
3
Deuda Publica Nacional
48
4
Deuda Publica Regional
0
5
Pagares Estatales
4
6
Moneda Extranjera
0
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El modelo solo escogería invertir en deuda pública regional si esta inversión elevara sus utilidades netas en algo más de 0.5248. Si se deseare invertir en moneda extranjera esta deberá aumentar su utilidad en un poco mas de 3.0242. Por cada millón adicional que se obtenga para invertir agregaríamos 4.8566 Millones a la utilidad total.
TERCERO La Granja Manizales tiene como actividad principal la cría y engorde de cerdos destinados al consumo humano como también a la fabricación de embutidos. La tarea principal encargada por medio del veterinario es supervisar la preparación de un alimento (salvado) especial, reconstituyente para alimentar una camada que se encuentra convaleciente de una leve enfermedad. Se precisan 1000 kg del alimento cuya composición debe cumplir las siguientes especificaciones: La cantidad de peso de hidratos de carbono (H) debe estar comprendida entre un 40% y un 70%. La cantidad en peso de proteínas (P) debe estar entre un 15% y un 50%. La cantidad de peso en grasas (G) debe estar comprendida entre un 10% y un 30%. La cantidad en peso de minerales (M) debe ser superior al 3%. Para la preparación del alimento se puede recurrir a tres tipos de cuido proporcionados por la compañía FINCA, dos tipos de harina de pescado suministrados por la empresa PURINA o bien comprar directamente en el almacén paquetes de minerales con la composición adecuada. La siguiente tabla muestra la composición porcentual en peso de cada uno de estos productos, así como su costo por kilogramo:
ALIMENTOS
H
P
G
M
COSTO/Kg
Cuido A
76
21
3
0
22
Cuido B
64
24
12
0
31
Cuido C
45
37
18
0
45
Harina 1
71
2
26
1
17
Harina 2
69
1,5
29
0,5
15
Minerales
0
0
0
100
125
El gerente desea evitar una excesiva dependencia de un único proveedor, Al tiempo que desea mantener buenas relaciones comerciales con ambos proveedores; por ello, piensa que el pedido debería repartirse de manera equitativa entre las empresas FINCA y PURINA. En este sentido lo más que podría tolerarse es una diferencia en más o en menos entre los dos pedidos de hasta un 20% de la cantidad total pedida a ambos proveedores. Por otra parte la compañía FINCA ha avisado que las existencias de su cuido más barato el A, son un tanto escasas, por lo que solo podrá suministrar a tiempo a lo sumo 300 kgr. El problema que debe resolver la gerencia es determinar qué cantidades compra de cada producto para fabricar el alimento necesario para el ganado porcino al menor costo posible. VARIABLES DE DECISION
X1: Cantidad de Kg de cuido A a comprar para la preparación del salvado X2: Cantidad de Kg de cuido B a comprar para la preparación del salvado X3: Cantidad de Kg de cuido C a comprar para la preparación del salvado X4: Cantidad de Kg de harina 1 a comprar para la preparación del salvado X5: Cantidad de Kg de harina 2 a comprar para la preparación del salvado X6: Cantidad de Kg de Minerales a comprar para la preparación del salvado LIMITANTES DEL PROBLEMA
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 1000 -0.36X1 - 0.24X2 - 0.05X3 - 0.31X4 - 0.29X5 ≤ 0 -0.06X1 + 0.06X2 + 0.25X3 - 0.01X4 + 0.01X5 ≥ 0 -0.06X1 - 0.09X2 - 0.22X3 + 0.13X4 + 0.135X5 ≤ 0 0.29X1 + 0.26X2 + 0.13X3 - 0.48X4 + 0.485X5 ≥ 0 -0.07X1 + 0.02X2 + 0.08X3 + 0.16X4 + 0.19X5 ≥ 0 -0.27X1 - 0.18X2 - 0.12X3 - 0.04X4 + 0.01X5 ≤ 0 -0.02X4 - 0.025X5 + 0.97X5 ≥ 0 -0.8X1 - 0.8X2 - 0.8X3 + 1.2X4 + 1.2X5 ≥ 0 1.2X1 + 1.2X2 + 1.2X3 - 0.8X4 - 0.8X5 ≥ 0 X1 ≤ 300
FUNCION OBJETIVO
Zmin: 22X1 + 31X2 + 45X3 + 17X4 + 15X5 + 125X6 SOLUCION WINQSB
Podemos observar que la solución factible del problema minimiza los costos a 23.893,72 comprando los siguientes productos para su concentrado. ALIMENTOS
CANTIDAD A COMPRAR (kg)
Cuido A
300
Cuido B
224.65
Cuido C
69.23
Harina 1
0
Harina 2
395.92
Minerales
10.2
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Si se deseara incluir la harina 1 dentro de la solución, esta deberá reducir su costo en algo más de 0.95 Por cada Kg adicional que se agregue a la mezcla se aumenta en 25.62 el costo total Si el proveedor del cuido A lograra abastecerse un poco más de este producto, podríamos asegurar que el costo del concentrado disminuirá en 5.77 por cada kg adicional de este alimento.
CUARTO
El gobierno actual requiere el máximo apoyo para que se apruebe en el Congreso el plan de desarrollo propuesto para el próximo año. A través de sus consejeros ha sabido que hay 35 congresistas de un grupo de coalición y 27 de otro partido que aún no han definido su voto. El presidente decide entonces concertar por teléfono a estos congresistas indecisos para convencerlos de que lo apoyen, sabiendo que tiene una probabilidad 0,9 de éxito con los miembros de la coalición y 0,6 de otro partido. ¿Cuántos congresistas de cada partido deberán telefonear para maximizar su probabilidad de éxito si no puede realizar un número total de llamadas superior a 30 en el actual régimen de austeridad? VARIABLES DE DECISION
X1: Número de llamadas a realizar a congresistas del grupo de coalicion X2: Número de llamadas a realizar a congresistas de otro partido LIMITANTES DEL PROBLEMA
X1 + X2 ≤ 30 X1 ≤ 35 X2 ≤ 27
FUNCION OBJETIVO
Zmax: 0,9X1 + 0,6X2 SOLUCION WINQSB
.
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
El software arroja que se deben realizar las 30 llamadas al grupo de coalición, si se deseara incluir las llamadas a otros congresistas en el modelo su probabilidad debera aumentar en algo más de 0.3 QUINTO Una destilería dispone de malta propia en cantidad de 300 barriles / día. Además, puede comprar malta de dos distribuidores A y B con costos de $12000 y $15000 por barril, en cantidades máximas de 600 y 400 barriles / día, respectivamente. La malta puede mezclarse directamente o destilarse para producir malta enriquecida de dos tipos 1 y 2. El destilador puede procesar a lo sumo 800 barriles / día. Un barril destilado de la propia
casa produce 0,3 barriles de malta tipo 1y 0,6 barriles de malta tipo 2; un barril de malta A produce 0,4 barriles de malta tipo 1 y 0,4 barriles de malta tipo 2; un barril de malta B produce 0,7 barriles de malta tipo 1 y 0,1 barriles de malta tipo 2. La mezcla de malta no procesada se vende a $16000 el barril, limitándose el mercado a 150 barriles / día; el sobrante de malta debe destruirse con costo de $1200 el barril; con las maltas destiladas pueden hacerse dos productos un de superior calidad (S) que se vende a $20.000 el barril y debe contener al menos el 60% de producto 1 y otro de baja calidad (B) que se vende a $15.000 barril y puede contener a lo sumo el 50% de producto 2. La destilería desea satisfacer la demanda del producto de alta calidad, que es de 250 barriles por día y asegurarse un beneficio de $300.000 diarios; además, puesto que se espera un cambio en el mercado del producto de baja calidad, la destilería desea minimizar su producción. Formular un modelo de Programación Lineal que responda al problema de planificación planteado teniendo en cuenta las limitaciones en la producción y las exigencias de demanda y beneficio económico, suponiendo, además, que la venta de la mezcla está garantizada.
VARIABLES DE DECISION
X1: Cantidad de Barriles de malta propia a producir X2: Cantidad de Barriles de malta A a comprar al distribuidor A X3: Cantidad de Barriles de malta B a comprar al distribuidor B X4: Cantidad de Barriles de malta propia a destilar en malta tipo 1 X5: Cantidad de Barriles de malta propia a destilar en malta tipo 2 X6: Cantidad de Barriles de malta A a destilar en malta tipo 1 X7: Cantidad de Barriles de malta A a destilar en malta tipo 2 X8: Cantidad de Barriles de malta B a destilar en malta tipo 1 X9: Cantidad de Barriles de malta B a destilar en malta tipo 2 X10: Cantidad de Barriles de malta propia si proceso a vender X11: Cantidad de Barriles de malta A si proceso a vender
X12: Cantidad de Barriles de malta B si proceso a vender X13: Cantidad de Barriles de malta propia si proceso a destruir X14: Cantidad de Barriles de malta A si proceso a destruir X15: Cantidad de Barriles de malta B si proceso a destruir X16: Cantidad de Barriles de malta de superior calidad a producir X17: Cantidad de Barriles de malta de baja calidad a producir LIMITANTES DEL PROBLEMA
X1 ≤ 300 X2 ≤ 600 X3 ≤ 400 X1 - X4 - X10 - X13 = 0 X2 - X6 - X11 - X14 = 0 X3 - X8 - X12 - X15 = 0 X4 - X6 - X8 ≤ 800 X4 - X5 = 0 X6 - X7 = 0 X8 - X9 = 0 X16 = 0 X10 + X11 + X12 = 150 X16 - 0,3X4 - 0,4X6 - 0,7X8 ≤ 0,4 X17 - 0,6X5 - 0,4X7 - 0,1X9 ≥ 0,5
FUNCION OBJETIVO
Zmax: 16X10 + 4X11 + X12 + 20X16 + 15X17 - 1,2(X13 - X14 - X15) SOLUCION WINQSB
Podemos observar que el software presenta una solución factible del modelo de la siguiente manera: Se deben producir 150 barriles y se deben comprar 600 y 200 barriles a los proveedores A y B respectivamente; se deben vender 150 barriles sin procesar, 250 barriles de alta calidad y 620 de baja calidad llevando la utilidad a un valor de 16.707.5000ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Si se deseara incluir en la solución factible la venta de barriles de malta A sin procesar su precio de venta deberá aumentar en algo mas de 25.500. Si se deseara incluir en la solución factible la venta de barriles de malta B sin procesar su precio de venta deberá aumentar en algo más de 15.000. Por cada barril adicional que se compre al proveedor A se agregan 13.500 a la ultilidad final.
