FILSAFAT MATEMATIKA http://abdanmatin.blogspot.com/2012/01/filsafat-matematika.html 19:19
No comments
Latar
Belakang
Ilmu matematika bukan hanya ilmu yang terbatas pada hitungan , melainkan banyak lagi bagian dari matematika
yang
belum
kita
ketahui
bentuknya.
Apakah matematika itu ? Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang “sempurna”. B anyak definisi yang dikemukakan oleh para ilmuan tentang
matematika ini, menunjukkan bahwa ilmu matematika ini adalah ilmu yang memiliki kajian luas. Pada makalah ini penyusun akan membahas seluk beluk ilmu matematika dan aliran – aliran dalam filsafat matematika. A.
Hakikat
1.
Pengertian
Matematika Matematika
Istilah matematika berasal dari dari bahasa Inggris , mathematics, mathematics, yang artinya
ilmu pasti, matematika. matematika.
Mathematical merupakan kata sifat, artinya berhubungan dengan dengan ilmu pasti. Mathematically adalah kata kerja yang artinya menurut ilmu pasti, secara mathematis, dan mathematician adalah kata benda yang artinya,
yaitu
orang
ahli
matematika.
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika artinya “ ilmu tentang bilangan, hubungan antara
bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”. Hudoyo (1979:96) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenaan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol- simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Sedang Soedjadi (1985:13) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup
semestanya.
Selain itu ada juga yang mengatakan bahwa matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat yang kurang jelas dan emosional. Matematika Matematika adalah metode berpikir logis. Matematika Matematika adalah sarana berpikir. Matematika adalah raja dari ilmu lain yang perkembangannya tidak tergantung ilmu lain. Matematika merupakan puncak kegemilangan intelektual. Di samping pengetahuan matematika itu sendiri, matematika memberikan bahasa, proses dan teori, yang memberikan ilmu suatu bentuk dan kekuasaan. Perhitungan 2.
matematika
menjadi
Matematika
dasar
bagi
adalah
desain ilmu
ilmu
teknik. Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode yang pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan
alam
adalah
metodeinduktif
dan
eksperimen.
Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif tanpa mempersyaratkan penalaran induktif. Penalaran deduktif ini lahir melalui kebenaran suatu konsep yang diperoleh sebagai akibat logis dari pernyataan sebelumnya sehingga kaitan pernyataan yang dahulu dengan berikutnya di dalam matematika selalu
konsisisten. Walaupun dalam mtematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi sterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa di buktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudahnya dibuktikan
secara
deduktif.
Matematika merupakan ilmu deduktif, aksiomatik, hirarkis, abstrak, bahasa simbol yang padat artinya dan semacam sistem matematika. Sistem matematika merupakan sistem yang berisi model-model matematika yang digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan di dunia nyata. Manfaat lain dari ilmu matematika adalah menjadikan pola pikir manusia yang mempelajarinya menjadi pola pikir matematis yang sistematis, logis,
kritis,
dengan
penuh
kecermatan.
Berdasarkan perspektif epistemologi, kebenaran matematika terbagi dalam dua kategori, yaitu pandangan absolut dan pandangan fallibilis. Absolutis memandang kebenaran matematika secara absolut, bahwa „mathematics is the one and perhaps the only realm of certain, unquestionable and objective knowledge
‟
,
sedangkan menurut fallibilis mathematicak truth is corrigible, and can never regarded as being above revision and
correction
(Ernest,
‟
1991).
Menurut Woozley (dalam Ernest, 1991), pengetahuan terbagi dalam dua kategori, yaitu pengetahuan a priori dan pengetahuan a posteriori (empirical). Pengetahuan apriori memuat proposisi yang didasarkan atas, tanpa dibantu dengan observasi terhadap dunia. Penalaran di sini memuat penggunaan logika. Deduktif dan makna dari istilah-istilah, secara tipikal dapat ditemukan dalam definisi. Secara kontras pengetahuan a posteriori memuat proposi yang didasarkan atas pengalaman, yaitu berdasarkan observasi dunia. Absolutis memandang pengetahuan matematika didasarkan atas dua jenis asumsi; matematika ini berkaitan dengan asumsi dari aksioma dan definisi, dan logika yang berkaitan dengan asumsi aksioma, aturan menarik kesimpulan dan bahasa formal serta sintak. Ada lokal (micro) dan ada global (macro) asumsi, seperti deduksi logika cukup untuk menetapkan kebenaran matematika. Menurut Wilder (dalam Ernest, 1991), pandangan absolutis menemui masalah pada permulaan permulaan abad 20, ketika sejumlah antinomis dan kontradiksi yang diturunkan dalam matematika. Kontradiksi lainnya muncul dalah teori himpunan dan teori fungsi. Penemuan ini berakibat terkuburnya pandangan absolutis tentang matematika. Jika matematika itu pasti dan semua teoremanya pasti, bagaimana dapat terjadi kontradiksi di antara teorema-teorema itu? Tesis dari fallibilis memiliki dua bentuk yang ekivalen, satu positif dan satu negatif. Bentuk negatif berkaitan dengan penolakan terhadap absolutis; pengetahuan matematika bukan kebenaran yang mutlak dan tidak memiliki validitas yang absolut. Bentuk positifnya adalah pengetahuan matematika dapat dikoreksi dan terbuka untuk direvisi B.
terus Aliran
menerus.
dalam
Filsafat
Matematika
Para ahli banyak berbeda pendapat tentang pemikiran filsafat dan matematika. Pemikiran tentang matematika diwarnai dengan perdebatan sengit antara ahli matematika yang satu dengan ahli matematika lainnya. Karena adanya perdebatan ini seoalah-olah para ahli terkotak-kotak menurut kelompoknya masing-masing berdasarkan
sudut
pandang
pandang
dan
ide
yang
dikeluarkannya.
Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan 1.
matematika, Aliran
termasuk
perkembangan Logikalisme
pendidikan atau
matematika,
yakni: Logisisme
Logisisme memandang bahwa matematika sebagai bagian dari logika. Penganutnya antara lain G. Leibniz, G. Frege (1893), B. Russell (1919), A.N. Whitehead dan R. Carnap(1931). Logisme dipelopori oleh filsuf Inggris
bernama Bertrand Arthur William Russell menerima logisisme adalah yang paling jelas, pernyataan penting yang dikemukakannya, yaitu semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika dan semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata. Dengan demikian logika dan matematika merupakan bidang yang sama karena
seluruh
konsep
dan
dalil
matematika
dapat
diturunkan
dari
logika.
Secara umum, ilmu merupakan pengetahuan berdasarkan analisis dalam menarik kesimpulan menurut pola pikir tertentu. Matematika, menurut Wittgenstein, merupakan metode berpikir logis. Berdasarkan perkembangannya, masalah logika makin lama makin rumit dan membutukan suatu metode yang sempurna. Dalam pandangan inilah, logika berkembang menjadi matematika. Menurut Russell, bahwa “ matematika merupakan
Menurut
masa
kedewasaan
Ernest
(1991),
matematika,
ada
sedangkan
beberapa
logika
keberatan
adalah
masa
terhadap
kecil
logisisme
matematika”
antara
lain:
a. Bahwa pernyataan matematika sebagai impilikasi pernyataan sebelumnya, dengan demikian kebenarankebenaran aksioma sebelumnya memerlukan eksplorasi tanpa menyatakan benar atau salah. Hal ini mengarah pada kekeliruan karena tidak semua kebenaran matematika dapat dinyatakan sebagai pernyataan implikasi. b.
Teorema
Ketiddaksempurnaan
Godel
menyatakan
bahwa
bukti
deduktif
tidak
cukup
untuk
mendemonstrasikan semua kebenaran matematika. Oleh karena itu reduksi yang sukses mengenai aksioma matematika
melalui
logika
belum
cukup
untuik
menurunkan
semua
kebenaran
matematika.
c. Kepastian dan keajegan logika bergantung kepada asumsi-asumsi yang tidak teruji dan tidak dijustifikasi. Program logisis mengurangi kepastian pengetahuan matematika dan merupakan kegagalan prinsip dari logisisme.
Logika
tidak
menyediakan
2.
suatu
dasar
tertentu
untuk
pengetahuan
matematika.
Aliran
Formalisme
Landasan matematika formalisme dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut airan ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal, matematika bersangkut paut dengan sifat – sifat struktural dari simbol – simbol dan proses pengolahan terhadap lambang – lambang itu. Simbol – simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi obyek matematika. Bilangan – bilangan misalnya dipandang sebagai sifat – sifat struktural yang paling sederhana dari benda – benda. Menurut
Ernest
(1991)
formalis
memiliki
dua
dua
tesis,
yaitu
1. Matematika dapat dinyatakan sebagai sistem formal yang tidak dapat ditafsirkan sebarangan, kebenaran matematika
disajikan
melalui
teorema-teorema
formal.
2. Keamanan dari sistem formal ini dapat didemostrasikan dengan terbebasnya dari ketidak konsistenan. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung aliran formalisme merumuskan matematika sebagai ilmu
tentang
sistem
sistem
–
formal.
Walaupun semua sistem matematika masih menggunakan sistem aksioma, tetapi menganggap matematika sebagai konsep formalisme tidak dterimaoleh beberapa ahli.keberatan bermula ketika Godel membuktikan bahwa tidak mungkin bisa membuat sistem yang lengkap dan konsisten dalam dirinya sendiri. Pernyataan ini dikenal
3.
dengan
Teorema
Ketidaklengkapan
Aliran
Godel
(Godel’s
Incompleteness
Theorem). Intuitonisme
Aliran intuitonisme yang dipelopori oleh ahli matematik dari Belanda yaitu Luitzen Egbertus Jan Brouwer,
be;iau berpendirian bahwa matematika adalah sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran matematika. Ketetapan matematika terletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol – simbol di atas kertas. Selanjutnya intuisionis menyatakan bahwa obyek segala sesuatu termasuk matematika, keberadaannya hanya
terdapat
pada
pikiran
kita,
sedangkan
secara
eksternal
dianggap
tidak
ada.
Dalam pemikiran intuitionisme matematika berlandaskan suatu dasar mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas sebuah seri bilangan yang tak terbatas, pernyataan ini pada hakikatnya merupakan suatu aktivitas berfikir tang yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa
dan
simbolis,
serta
bersifat
obyektif.
Keberatan terhadap aliran ini adalah bahwa pandangan kaum intuitisme tidak memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana matematika bekerja dalam pikiran. Kita tidak mengetahui secara tepat pengetahuan intuitif bekerja dalam pikiran. Seperti halnya cinta dan benci dalam pandangan setiap orang berbeda-beda. Bagaimanakah hasilnya kalau dalam setiap pandangan yang berbeda-beda itu setiap orang berbagi tentang matematika? Lalu, mengapaperlu diajarkan kalau matematika itu bersfat intutif? C.
Karakteristik
Matematika
Matematika selalu berkembang seiring peradaban manusia. Namun dibalik semua itu matematika juga mempunyai 1.
suatu
pandangan
yang
Memilliki
sudah
disepakati
Objek
bersama, Kajian
di
antaranya
sebagi
berikut
yang
:
Abstrak
Mungkin ada perbedaan pendapat mengenai mengenai konsep matematika abstrak ini. Ada empat kajian matematika,
yaitu:
2.
fakta,
operasi/
relasi,
Bertumpu
konsep,
pada
dan
prinsip. Kesepakatan
Simbol-simbol adalah istilah dalam matematika merupakan kesepakatan atau konvensi penting. Dengan simbol atau istilah yang disepakati dalam matematika, maka pembahasan selanjtunya akan lebih mudah
dilakukan
3.
dan
Berpola
dikumunikasikan. Pikir
Deduktif
Dalam matematika hanya diterima pola pikir yang bersifat deduktif. Pola pikir deduktif ini secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangakal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahakan kepada hal
yang
4.
Konsisten
bersifat
khusus.
dalam
sistemnya
Di dalam masing-masing sistem, berlaku ketaatasasan atau konsistensi. Artinya dalam setiap sistem tidak boleh
adanya
kontradiksi.
BAB
III
PENUTUP Kesimpulan Sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat dari para ilmuan matematika tentang apa yang disebut matematika. Untuk menafsirkan matematika para ilmuan belum pernah mencapai titik “puncak” kesepakatan yang
“sempurna”.
Sumardyono (2004) menjelaskan bahwa secara umum terdapat tiga aliran besar yang mempengaruhi perkembangan matematika, termasuk perkembangan pendidikan matematika, yakni: aliran logikalisme, aliran formalisme, Pandangan -
dan dalam Memiliki
matematika
aliran yang objek
telah
disepakati kajian
intuisionisme. bersama, yang
antara
lain: abstrak
-
Bertumpu
-
Berpola
-
pada
Konsistensi
kesepakatan
pikir
deduktif
dalam
sistemnya
DAFTAR
PUSTAKA
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. Kamus Besar Bahasa Indonesia. Jakarta: Balai
Pustaka.
Echols,John Fathani,Abdul Gie
,The
Sumardyono.
M
dan
Hasan
Halim.
2009.
Liang.
S.
Filsafat
Matematika
2003.
2003.
Kamus
Matematika(Hakikat
1981.
Karakterisitik
Suriasumantri,Jujun
Shadilly.
Ilmu
Inggris-Indonesia.
&Logika).
Matematika.
dan
Implikasinya
dalam
Perspektif.
Jogjakarta: Yogyakarta
Terhadap Jakarta:
file.upi.edu/Direktori/.../JUR...MATEMATIKA/.../Aliran_matematika.pdf
Jakarta:
Ar-Ruzz :
Media
Supersukses.
Pembelajaran Yayasan
Gramedia.
Obor
Matematika. Indonesia.
