FIELD DAN KARAKTERISTIK RING
MAKALAH
UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Struktur Aljabar II Yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul H
Oleh : Adisti Mutiara
(160312604915) (160312604915)
Alda Rizki M.
(160312604876) (160312604876)
Anggitya Ganang R.
(160312604918) (160312604918)
Annisa Rahmania
(140312605538) (140312605538)
Lita Maulidtika N.
(160312604841) (160312604841)
Nurul Hidayati
(140312606571) (140312606571)
UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA Februari 2018
A. FIELD
Definisi Field
A field is a commutative ring with unity in which every nonzero element is a unit. Field adalah Ring Komutatif dengan unity dan setiap elemen tidak nol adalah unit. Dapat ditulis: Misal R Ring komutatif dengan unity
ℎ ⇔ ∀ ∈ , ≠ 0 ∃ − ∈ ,∋ .− = 1 Contoh:
ℝ adalah field. Ring ℝ merupakan ring komutatif dengan unity 1 dan setiap anggota ℝ tidak nol memiliki invers perkalian di ℝ. Ring ℤ adalah bukan field. Ring ℤ merupakn ring komutatif dengan unity 1 tetapi ada anggota ℤ yang tidak memiliki invers perkalian, yaitu: 2 anggotaℤ tidak mempunyai invers perkalian di ℤ.
1. Ring
2.
Dari definisi field di atas didapat bahwa jika F field, maka F daerah integral. Tetapi, jika F daerah integral, belum tentu F field. Pernyataan ini dapat ditulis dalam kalimat matematika, yaitu: 1. Jika F field maka F daerah integral 2. Jika F daerah integral, belum tentu F field
Berikut satu teorema yang mengatakan bahwa dalam kondisi yang finite, integral domain dan field adalah sama.
Teorema 13.2 F inite I ntegr al Domain are F ields
A finite integral domain is a field. Daerah integral hingga adalah suatu field. Contoh: 1.
5 adalah suatu field. 5 = 0,1,2,3,4 Dapat dibuktikan dengan Tabel Cayley
×
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
2
0
2
4
1
3
3
0
3
1
4
2
4
0
4
3
2
1
Dari Tabel Cayley: a.
b.
c.
∀, ∈ 5, = Jadi 5 Ring komutatif ∃1 ∈ 5 ∋ ∀ ∈ 5 .1 = Jadi 1 unity di 5 untuk suatu ∈ 5 , ≠ 0,∄ ∈ 5 , ≠ 0,∋ = 0 Didapat 5 ring komutatif dengan unity 1 dan ∀ ∈ 5 bukan pembagi nol, maka 5 daerah integral.
Menurut Teorema 13.2,
5 adalah field.
Is a Field (adalah field) For every prime p,Z , the ring of integers modulo p, is a field. Untuk setiap bilangan prima p, Z ring bilangan bulat modulo p adalah field.
Corollary :
Contoh: 1. Diketahui
Z7 adalah ring bilangan bulat modulo 7.
Karena 7 adalah bilangan prima, maka menurut corollary di atas ring
Z adalah field.
Z8 adalah ring bilangan bulat modulo 8. Karena 8 bukan bilangan prima dan ada 2,4,6 ∈ Z 8 yang merupakan pembagi 0, maka Z8
2. Diketahui
bukan field.
B. Karakteristik Ring
Definisi Karakteristik Ring
Karakteristik ring R adalah bilangan bulat positif terkecil n sedemikian hingga
0,∀ ∈ .
. =
Jika bilangan bulat tersebut tidak terpenuhi, maka karakteristik R adalah
0.Karakteristik R dinotasikan dengan char R.
Misalkan R suatu ring.
ℎ = jika dan hanya jika bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi . = 0, untuk setiap ∈ . ii.ℎ = 0 jika dan hanya jika tidak ada bilangan bulat positif yang memenuhi . = 0, untuk setiap ∈ . i.
Contoh: 1. Karakteristik ring
,,∗ℎ
Perhatikan bahwa:
⋮ .2 = 0 hanya dipenuhi jika = 0 .1 = 0 hanya dipenuhi jika = 0 .0 = 0
2.
.1 = 0 hanya dipenuhi jika = 0 .2 = 0 hanya dipenuhi jika = 0 ⋮ Tidak ada nilai n dimana ∈ + , ≠ 0 yang memenuhi persamaan-persamaan di atas. Maka karakteristik dari ring ,,∗ adalah 0 ∴ ℎ = 0 Karakteristik ring , ,∗ ℎ Perhatikan bahwa:
.0 = 0 = 0 .1 = = 0 .2 = 2 = 0 .3 = 3 = 0 .4 = 4 = 0
⋮ merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian hingga . = 0 untuk setiap ∈ . ∴ ℎ = Dari persamaan-persamaan di atas, terlihat bahwa
Teorema 13.3: Characteristic of a Ring with Unity
Diketahui R adalah ring dengan unity 1. Jika 1 memiliki order tak hingga pada operasi penjumlahan, maka char R = 0. Jika 1 memiliki order n pada operasi penjumlahan, maka char R = n. Contoh:
1 = 1 0 ∈ Z . Order pada operasi penjumlahan dari 1 ∈ Z adalah tak hingga. Maka menurut Teorema 13.3karakteristik ring Z[i] adalah 0 ( ℎ Z = 0) Diketahui ring adalah ring dengan unity 1. 1.1 = 1 4 = 1 2.1 = 2 4 = 2 3.1 = 3 4 = 3 4.1 = 4 4 = 0
1. Diketahui ring Z[i] adalah ring dengan unity
2.
Didapat order pada operasi penjumlahan dari 1 adalah 4. Makamenurut Teorema 13.3 karakteristik ring
adalah 4 (ℎ = 4)
THEOREM 13.4: Characteristic of an Integral Domain
The characteristic of an integral domain is 0 or prime. Karakteristik dari suatu integral domain adalah 0 atau bilangan prima. Contoh: 1. Diketahu ringi
[√ 2] adalah integral domain dengan unity 1 0√ 2 = 1.
Order pada operasi penjumlahan dari 1 adalah tak hingga. Maka menurut Teorema13.3
[√ 2] adalah 0 (ℎ [√ 2] = 0) Diketahui ring adalah integral domain dengan unity 1 0 = 1. 1.1 = 1 3 = 1 2.1 = 2 3 = 2 3.1 = 3 3 = 0 karakteristik ring
2.
Didapat order pada operasi penjumlahan dari 1 adalah 3. Maka menurut teorema13.3 karakteristik ring
adalah 3 (ℎ = 3)
C. Latihan Soal
1. Misal d adalah bilangan bulat positif. Buktikan bahwa
[√ ] = { √ | , ∈ }
adalah suatu field. Penyelesaian: Kasus 1. Jika d mempunyai akar kuadrat di Q maka
[√ ] = , yang mana Q adalah field.
Kasus 2. Jika d tidak mempunyai akar kuadrat di Q. Akan langsung diperiksa bahwa
[√ ] komutatif perkalian:
,,, ∈ ( √ )( √ ) = √ = √ = ( √ )( √ ) Juga, ∃ 1 = 1 0√ ∈ [√ ], jadi [√ ] adalah ring komutatif dengan unity. Invers perkalian : misal √ ∈ , √ ≠ 0, ( √ )− = 1 ( √ ) = 1 ( √ ) ( √ ) ( √ ) = √ = √ = √ Karena ∈ , √ ∈ . − − maka ∀ √ ∈ , √ ≠ 0,∃ √ ∈ − − sehingga ( √ ) √ = 1 − − Misal
jadi,
[√ ] adalah field.
2. Temukan karakteristik dari
⨁4
Penyelesaian:
⨁4 = , | ∈ , ∈ 4 , = 0 , = 0,0 = 0,∀ ∈ dan = 0,∀ ∈ 4 yang memenuhi kedua kondisi tersebut hanya = 0, atau tidak ada bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi.
∴ ℎ ⨁4 = 0
