FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK
Disusun untuk memenuhi Tugas Akhir Semester Genap pada mata kuliah Statistik Matematik II Tingkat 2A Oleh : Dewi Agita P. (08. 5602) Dinny Pravitasari Erma Ziamah Fathoni
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK 2009/2010
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK 2009/2010
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DEFINISI MGF
Fungs ungsii
Pemb Pemban angk gkiit
Mom Momen atau tau
Momen omentt
gener enerat atiing
function (MGF) dari sebuah RV X dapat didefinisikan sebagai: Mxt=EetX untuk t dalam R
di mana T = {t ∈ R : MX (t) < ∞}. Jika X memiliki distribusi diskrit, dengan densitas f , maka Mxt=x∈Setxf(x)
Jika X memiliki distribusi kontinu, dengan densitas f , maka Mxt=Setxf(x) dx
Definisi MGF tergantung pada distribusi dan pilihan nilai t. Misalnya, Mx(t) didefinisikan untuk semua t jika X normal, tidak didefinisikan untuk t mana pun jika X adalah Cauchy dan didefinisikan didefinisikan untuk t < 1θ jika X ~ Exp(θ). Dengan menggunakan deret Taylor sendiri, turunan ke r dari Mx(t) terhadap peubah t dapat dituliskan sebagai: Mxt=1+μ+μ21t22!+…+μr1t2r!+… d1Mx(t)dt1t=0=μr1 drMx(t)dtr=xxretxfx drMx(t)dtr=xxretxfx bila x diskret-∞∞xretxf(x) diskret-∞∞xretxf(x) dx bila x kontinu
Teorema
Misalkan Y adalah random variable di mana Y = a + bX. Jika Mx(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak X dan a dan b (b ≠ 0) adalah konstanta maka: MYt=eatMXbt
Bukti MYt=EetY=Eeat+btX=eatEe(bt)X=eatMXbt
Dengan sedikit manipulasi aljabar dari hasil perhitungan di atas, dapat kita simpulkan bahwa: •
Mx + a (t) = eat Mx (t)
•
Max (t) = Mx (at)
•
M(x + a) / b (t) = eat/b Mx (t/b)
Hasil ini dapat pula digunakan untuk membuktikan Ea+bX=a+bE[X] karena MY(1)t=aeatMXbt+beatMX(1)bt MY(1)0=aMX0+bMX(1)0= a+bE[X]
PERHITUNGAN MGF DARI BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG Distribusi Geometri X ~ Geo(p), q = 1-p Mxt=x=1∞etxpqx-1=petx=1∞et (x-1)qx-1=pet1-qet
Distribusi Poisson X ~ Poi(λ) Mxt=x=1∞etxe-λλxx!=e-λx=1∞(etλ)xx!=eλ(et-1)
Distribusi Uniform X ~ U(a,b) fx=1b-a, a<&x
Fungsi pembangkit momennya Mxt=abetxb-adx=ebt-eatb-at
Distribusi Eksponensial X ~ Exp(ϴ) fx=1θe-xθ, 0<&x<∞ 0 , untuk x lainnya
Fungsi Pembangkit Momennya MXt=0∞etx1θe-xθdx=0∞θe-1θ-txdx=-θ1θ-te-1θ-tx0∞=11-θt
Perhatikan bahwa integral ini hanya terdefinisi saat t < 1θ
EKSISTENSI MGF
Tidak semua momen. Ada probabilitas
dua tidak
distribusi memiliki fungsi pembangkit alasan
mengapa
mungkin
memiliki
sebuah fungsi
distribusi
pembangkit
momen:
1. Pertama, semua momen distribusi mungkin tidak ada. Hal ini dapat menunjukkan bahwa jika moment ke-n suatu distribusi tidak ada, maka tidak ada momen dengan orde yang lebih besar dari n. Kita akan melihat bahwa properti yang paling penting dari MGF adalah bahwa, semua momen distribusi dapat dihitung dari MGF ini. Jadi, jika suatu distribusi tidak memiliki semua momen, ia pasti tidak memiliki sebuah MGF. Kasus semacam ini terjadi, misalnya, pada distribusi tn Student yang tidak memiliki momen di luar momen ke (n - 1). Secara khusus, jika n = 1, distribusi t berubah menjadi distribusi Cauchy, yang tidak memiliki momen. 2. Suatu distribusi mungkin saja memiliki semua momen, dan namun tidak memiliki fungsi pembangkit momen karena ekspresi mendefinisikan MGF akan mengarah pada suatu kuantitas yang jumlahnya tak berhingga. Hal ini terjadi, misalnya, dari distribusi lognormal.
MENGAPA KITA MENGGUNAKAN MGF?
1. Untuk menghitung momen-momen. Akan lebih mudah menghitung momen menggunakan MGF daripada dengan langsung menghitung E[ X r ].
2. Untuk menentukan distribusi dari suatu fungsi random variable
3. Untuk memperkirakan distribusi. Misalnya MGF dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa dengan semakin bertambahnya n, distribusi Bin(n; p) dapat mendekati distribusi normal.
DEFINISI MOMEN Momen Pusat ke-R di Sekitar Titik Asal
Momen ke-r di sekitar titik asal dari sebuah random variable X dapat didefinisikan sebagai E[Xr] asalkan nilai ekspektasi itu ada. Untuk X diskrit dengan f peluang f(x) : EXr=X1rfX1+X2rfX2+…+XnrfXn =i=1nXirfXi
Untuk X kontinu dengan f kepekatan f (x) : EXr=-∞∞XrfXdx
Dalam hal ini, E[X r] merupakan turunan ke-r dari MXt=EetX saat t=0. MXt=0=EX0=1 Mx't=0=EX1 Mx't=0=EX1 Mx''t=0=EX2
. . .
Mx(r)t=0=EXr
Momen pertama di sekitar titik asal dari suatu distribusi adalah rata-ratanya. Mx't=0=EX1=EX=μ
Momen Pusat ke R di Sekitar Rataan
Momen ke-r di sekitar rataan dari sebuah random variable X dapat didefinisikan sebagai : μr=E[(X-μ)r]
Momen pertama jarang dibicarakan karena nilainya akan selalu nol. Mx't=0=EX-μ1=EX-μ=EX-μ=0
Momen kedua di sekitar rataan dari suatu distribusi adalah varians. Mx''t=0=EX-μ2=σ2
Momen ketiga di sekitar rataan digunakan menunjukkan kemencengan suatu distribusi dan digunakan sebagai suatu ukuran keasimetrisan. Mx(3)t=0=EX-μ3 α3=EX-μ3σ3=μ3σ3
α3 = koefisien kemencengan kurva (skewness) Jika suatu distribusi simetris di sekitar rataannya fμ-x=f(μ+x), koefisien kemencengan kurvanya akan bernilai nol. Sebaliknya,
koefisien kemencengan kurva tidak bernilai nol, maka distribusi yang bersangkutan asimetris. Namun demikian, distribusi yang asimetris dapat memiliki koefisien kemencengan kurva = 0. Contoh distribusi yang simetris adalah distribusi normal, Beta(a; a), Bin(n; p =0,5).
Contoh distribusi yang asimetris antara lain : Distribution
Skewness
Bin(n; p)
np(1- p)(1- 2 p)
Pois(λ)
λ
Exp(λ)
2/ λ
Momen keempat di sekitar rataan digunakan menunjukkan keruncingan (kurtosis) suatu distribusi. Kurtosis untuk distribusi normal adalah3σ 4. Mx(4)t=0=EX-μ4 α4=EX-μ4σ4=μ4σ4
α4 = koefisien kurtosis Teorema
Jika momen ke-r dari suatu variable acak ada, maka momen ke-s dari random variable itu pasti ada untuk semua nilai s < r.
Momen ini dapat digunakan untuk menghitung rataan dan varian dari random variable yang ditransformasi, serta untuk menghitung koefisien kemencengan dan keruncingan kurva. Contoh
Hitung rataan dan varian dari A = πR2
Jadi dalam hal ini, kita harus meghitung E[R], E[R 2], dan E[R4]
MENGHITUNG MOMEN MENGGUNAKAN MGF
Momen pusat ke-r dari suatu random variable di sekitar titik asal dapat diperoleh dengan menghitung turunan ke-r dari MGF MXt=EetX saat t=0
Contoh X ~ Exp(λ) M(1)t=λλ-t2 ;EX=1λ M(2)t=2λλ-t3 ;EX2=2λ2 M(r)t=Γ(r+1)λλ-tr+1 ;EXr=Γ(r+1)λr
X ~ Geo(p), q = 1-p M(1)t=pet1-qet+pqe2t(1-qet)2;EX=1p M(1)t=pet1-qet+3pqe2t(1-qet)2+2pq2e3t(1-qet)3;EX2=5-6p+2p2p
Teorema
Jika Mx(t) dari suatu random variable X adalah terhingga dan ada dalam suatu interval terbuka yang memuat 0, maka Mx(t) akan mempunyai derivative untuk semua order. MXrt=E[XretX] MXr0=E[Xr]
Bukti MX1t=ddt-∞∞etxfXxdx =-∞∞ddtetxfXxdx =-∞∞xetxfXxdx =E[XretX] MX(2)t=ddtMX1t =-∞∞xddtetxfXxdx =-∞∞x2etxfXxdx =E[X2etX]
dan seterusnya dapat dibuktikan dengan induksi. Cara lain untuk memperoleh hasil semacam ini adalah melalui ekspansi deret Taylor ey=1+y+y22!+y33!+… , -∞
yang memberikan : MXt=E 1+Xt+X2t22!+X3t33!+… =1+EXt+EX2t22!+EX3t33!+…
MENENTUKAN NILAI TENGAH DAN RAGAM MELALUI MGF
Misalkan ada random variable X dengan MGF g(t) sebagai berikut : gt=EetX=k=0∞μktkk!=Ek=0∞Xktkk!=j=0∞etxjpxj
Jika g(t) dedifferentiate sebanyak n kali dan t=0,
akan
didapatkan μn: dndtngtt=0=gn0=k=n∞k!μktk-nk-n!k!t=0=μn
Contoh
Misalkan X ={1,2,3,…,n} dan pxj=1n untuk 1≤j≤n (distribusi uniform) maka gt=j=1n1netj=1net+e2t+⋯+ent=etent-1net-1
Jika menggunakan rumus di atas akan terlihat seperti berikut: μ1=g'0=1n1+2+3+⋯+n=n+12, μ2=g''0=1n1+4+9+⋯+n2=n+12n+16
dan μ=μ1=n+12 dan σ2=μ2-μ12=n-112.
Contoh
Misalkan X ={1,2,3,…,n} dan pxj=njpjqn-j untuk 0≤j≤n (distribusi Binomial), maka gt=j=0netjnjpjqn-j=j=0nnjpetjqn-j=pet+qn
perhatikan bahwa μ1=g'0=npet+qn-1pet|t=0=np, μ2=g''0=nn-1p2+np,
maka μ=μ1=np, dan σ2=μ2-μ12=np1-p. Contoh
Misalkan X ={1,2,3,…,n} dan pxj=qj-1p untuk semua j (distribusi Geometric), maka gt=j=1∞etjqj-1p=pet1-qet
dimana μ1=g'0=pet1-qet2|t=0=1p, μ2=g''0=pet+pqe2t1-qet3|t=0=1+qp2, μ=μ1=1p, dan σ2=μ2-μ12=qp2.
Contoh
Misalkan X ={1,2,3,…,n} dan pxj=e-λλjj! untuk semua j (distribusi Poisson dengan rataan λ), maka gt=j=0∞etje-λλjj!=e-λj=0∞λetjj!=e-λeλet=eλet-1
dimana μ1=g'0=eλet-1λet|t=0=λ, μ2=g''0=eλet-1λ2e2t+λet|t=0=λ2+λ, μ=μ1=λ, dan σ2=μ2-μ12=λ. Dalam beberapa hal, akan lebih mudah bekerja dengan menggunakan logaritma dari MGF, yang sering disebut Cumulant-Generating Function (CGF), dan didefinisikan oleh Rt=ln[M(t)]. R't=M'(t)M(t) R''t=Mt M''t-[M'(t)]2M(t)2 Sebelumnya, telah diketahui bahwa : Mt=0=EX0=1 M't=0=EX1=EX=μ
Sehingga saat t=0 R't=M'(t)M(t)=E[X]1=μ R''t=Mt M''t-[M'(t)]2M(t)2=1 . EX2-[E(X)]212=EX2-[E(X)]2=σ2
TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Fungsi Pembangkit Momen Fungsi Peubah Acak
Misalkan X1, X2, …,Xn merupakan contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dan fungsi kepekatan peluang gabungan X1, X2, …,Xn adalah h (x1,x2,…,xn) untuk Y1 = u (X1, X2, …,Xn) dan akan dicari g(y1) yang merupakan fungsi kepekatan peluang Y1. Bila fungsi pembangkit momen bagi Y 1 ada maka untuk peubah acak kontinu dapat ditulis : MYt=Eety1=-∞∞ety1g(y1)dy1
Dan jika fungsi pembangkit momen bagi Y1 terlihat merupakan fungsi pembangkit momen tertentu maka dengan sendirinya fungsi kepekatan peluang bagi Y1 dapat ditentukan. Contoh
Ambil peubah acak X1 dan X2 bebas dan mempunyai fungsi masa peluang sama yaitu: fx=16 ,untuk x=1,2,3 0 ,untuk x lainnyya
Cari sebaran peluang Y = X1 + X2 Jawab : Untuk X1 =1, 2, 3, dan X2 = 1, 2, 3 maka nilai Y = 2, 3, 4, 5, 6 dan sebaran peluang Y dengan mudah dilihat dalam tabel sebaran peluang gabungan:
X2 F(x1,x2) X1
1
1
2
3
1/36
2/36
3/36
2
2/36
4/36
6/36
3
3/36
6/36
9/36
Sehingga sebaran peluang Y = X1 + X2 adalah: Y
2
3
4
5
6
G(y)
1/36
4/36
10/36
12/36
9/36
Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen, sebaran peluang bersamanya dapat dilakukan tanpa merinci sebaran peluang gabungannya. Misalkan Fungsi pembangkit momen Y = M y(t) MYt=EetY=Eet(X1+X2)=E[etX1etX2] =EetX1EetX2=MX1tMX2t EetX1=EetX2=16et+26e2t+36e3t MYt=16et+26e2t+36e3t2 =136e2t+436e3t+1036e4t+1236e5t+936e6t
Dari hasil di atas, dapat diketahui Fungsi kepekatan peluang bagi Y(y) adalah sebagai berikut : gy=136, &y=2436, &y=31036, &y=41236, &y=5936, &y=60, &y lainnya
FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DUA ATAU LEBIH PEUBAH ACAK Fungsi Pembangkit Momen Gabungan
Fungsi pembangkit momen gabungan atau Joint MGF dapat didefinisikan sebagai fungsi pembangkit momen yang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan atau fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak. Dalam hal ini, fungsi pembangkit momen gabungan dapat digunakan untuk memperoleh momen-momen, baik untuk satu peubah acak maupun dua peubah acak. Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y (dinotasikan dengan M(t1,t2)) didefinisikan sebagai:
Mx1x2t1,t2=E(et1x1+t2x2) Ex1rx2s=∂(r+s)∂t1r∂t2s(Mx1x2t1,t 2)t1=t2=0 untuk -h1 < t1 < h1 , -h2 < t2 < h2 , h1 > 0 , h2 > 0.
Untuk peubah acak X1 dan X2 yang bebas satu sama lain, maka:
Mx1x2t1,t2=-∞∞∞∞et1x1+t2x2f1x1f2x2dx2dx 1
=-∞∞et1x1f1x1dx1
.-∞∞
et2x2f2x2dx2 =Mx1t1Mx2t2 Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Diskrit
Jika X dan Y adalah peubah acak diskrit dengan p(x,y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari X dan Y di (x,y), maka fungsi pembangkit momengabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai :
MX,Ys,t=(x,y)∈Sexpsx+tyf(x,y) Fungsi Pembangkit Momen Gabungan Kontinu
Jika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan f(x,y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari X dan Y di (x,y), maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai:
MX,Ys,t=Sexpsx+tyfx,ydxdy Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y, kita dapat menentukan fungsi pembangkit momen masingmasing dari X dan Y yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X dan fungsi pembangkit momen marginal dari Y. Fungsi pembangkit momen marginal dari X diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t2 = 0, sehingga: M(t1,0) = M(t1) = E[exp(t1X)]
Penentuan momen-momen dari peubah acak X berdasarkan fungsi pembangkit momennya digunakan rumus sebagai berikut:
μx=EX=∂M(t1,0)∂t1t1=0 =∂M(0,0)∂t1 EX2=∂2M(t1,0)∂t12t1=0 =∂2M(0,0)∂t12 Adapun penentuan varians dari X digunakan rumus sebagai berikut:
VarX=σx2=∂2M(0,0)∂t12-∂M(0,0)∂t12 Fungsi pembangkit momen marginal dari Y diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t1 = 0, sehingga: M(0,t2) = M(t2) = E[exp(t2 Y)] Penentuan momen-momen dari peubah acak Y berdasarkan fungsi pembangkit momennya digunakan rumus sebagai berikut:
μy=EY=∂M(0,t2)∂t2t2=0 =∂M(0,0)∂t2 EY2=∂2M(0,t2)∂t22t2=0 =∂2M(0,0)∂t22 Adapun penentuan varians dari Y digunakan rumus sebagai berikut:
VarY=σy2=∂2M(0,0)∂t22-∂M(0,0)∂t22 Adapun nilai E(XY) ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
EXY=∂2M(t1,t2)∂t1∂t2t1=t2=0 =∂2M(0,0)∂t1∂t2
Teorema
Suatu himpunan terhingga vektor acak, yang mempunyai pembangkit momen bersama, dikatakan saling bebas, jika dan hanya jika fungsi pembangkit momen bersama itu dapat dinyatakan sebagai hasil kali masing-masing fungsi pembangkit momen. Bukti: Untuk dua vektor acak, selengkapnya dapat diselesaikan dengan induksi. Misalkan vektor acak
x=x1,x2,…,xm y=y1,y,…,yn Mx,yt1…tm,u1…un=E(et1X1+… +tmXm+u1Y1+…+unYn) =Eet1X1
Eet2X2
EetmXm[Eeu1Y1 …EeunYn ]
…
Eeu2Y2
=Mx1t1
Mx2t2…
MxmtmMY1u1MY2u2… MYn(un) Dengan demikian, jika X1 , X2 ….Xn saling bebas dengan MGF Mx1(t), …… Mxn(t), serta jika S = X 1 + X2+ ….. + Xn , maka Ms(t) = Mx1(t) Mx2(t) ……. Mxn(t) Fungsi pembangkit momen jumlah peubah acak yang saling bebas
yang
banyaknya
sama
dengan
hasil
kali
fungsi
pembangkit momen masing-masing.
Korolari 1
Jika X1, X2, …., Xn hasil pengamatan contoh acak dengan fungsi pembangkit momen M(t) maka a)
Fungsi pembangkit momen
Y=i=1nXi adalah MY(t)=i=1nMt=Mtn b)
Fungsi pembangkit momen
X=i=1n1nXi adalah MX(t)=i=1nMtn=Mtnn
Korolari 2
Misalkan X1 , X2, … , Xm adalah peubah acak yang saling bebas dan
berdistribusi
normal
dengan
EXi=μi
dan
varXi=σi2, i=1, 2, 3,…,m pembangkit momen dari
maka fungsi
x=x1,x2,…,xm adalah:
Mxt1,
…
,
tm=exp(i=1mtiμi+12i=1mti2σi2) Jumlah
terhingga
peubah
acak
yang
saling
bebas
dan
berdistribusi normal adalah juga berdistribusi normal. Korolari 3
S'=X1+X2+…+Xm Mst=i=1mMxit=eti=1mμi+12t2i=1 mσi2 Misalkan X1 , X2, … , Xm sampel (contoh) acak dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata µ
dan varians
maka x berdistribusi normal dengan mean = µ
σ
2
,
dan variansi =
σ2n. Bukti Akan dihitung MGF dari adalah:
x= Sn. Dengan mengingat MGF S
Mst=exp ti=1mμi+12t2i=1mσi2 =exp t n μ+ 12t2n σ2 dan
Msnt=Mstn=exp t μ+t22σn2
Sifat-sifat yang paling penting dari MGF adalah bahwa jika dua distribusi peluang memiliki MGF yang sama, maka mereka juga identik pada semua poin (memiliki densitas/distribusi yang sama). Dalam hal ini, untuk semua nilai t : maka untuk semua nilai x.
Teorema [Uniqueness theorem]
Jika MGF dari X ada untuk t dalam sebuah interval terbuka yang memuat 0, maka MGF itu secara unik menentukan CDF dari X, yaitu tidak ada dua distribusi berbeda yang memiliki nilai MGF yang sama dalam interval yang memuat 0.
Contoh
Misalkan X 1, X 2, … , X n merupakan identical independent random variable yang masing-masing berdistribusi Exp(λ). Apakah distribusi dari S=ΣX i ?
MSt=i=1nλλ-t=λλ-tn
Perhatikan bahwa MGF di atas bukan MGF exponensial. Jadi, MGF dari jumlah RV di atas tidak berdistribusi exponensial. Sebagaimana pembahasan sebelumnya kita ketahui bahwa MGF Gamma(α,λ) adalah
Dengan demikian S= ΣXi ~ Gamma(n;λ) Pendekatan ini juga memberikan pembuktian yang mudah bahwa jumlah dari independent normal variable adalah normal juga. MGF dari random variable normal N( µ,σ 2) adalah: Mt=eμ1t+12σ12t2
Sehingga jika XiiidN(μi,σi2), i = 1,2, …, n, maka MXit=i=1neμit+12σi2t2=expti=1nμii+t22i=1nσi2
di mana MGF di atas adalah MGF dari distribusi N(Σμi,Σσi2),
FUNGSI KARAKTERISTIK DEFINISI
Dalam
teori
peluang,
fungsi
karakteristik
dari
setiap variabel acak benar-benar menggambarkan distribusi peluangnya. Fungsi karakteristik dari suatu distribusi peluang diberikan oleh rumus berikut, dimana X adalah setiap variabel acak dengan distribusi yang bersangkutan :
φXt=EeitX=eitXdFXx=-∞∞fXxeitxdx dimana t adalah bilangan riil, i adalah bilangan imajiner, dan E melambangkan nilai
ekspektasi,
F(x ) adalah fungsi
distribusi
kumulatif. Bentuk
φXt=eitXdFXxmerupakan
suatu
Riemann-Stieltjes
integral dan selalu valid tanpa memperhatikan apakah fungsi densitas ada. Bentuk φXt=-∞∞fXxeitxdx hanya valid bila fungsi densitas ada. Jika variabel acak X mempunyai pdf ƒ X maka fungsi karakteristiknya merupakan transformasi fouriernya.
Fungsi
karakteristik dari sebuah PDF yang simetris (p(x)=p(-x)) adalah riil,
karena
komponen
imaginer
yang
diperoleh
dari x>0 menghapus bagian di mana x<0. Contoh
Fungsi karakteristik dari random variable distribusi Uniform U(– 1,1).
Fungsi ini bernilai riil karena berhubungan dengan sebuah random variable yangsimetris di sekitar titik asal. Namun, umumnya fungsi karakteristik dapat bernilai kompleks. Notasi fungsi karakteristik digeneralisasikan untuk variabel acak multivariat dan random elements yang lebih kompleks. Pada umumya beberapa definisi dinotasikan sepertiabawah ini:
• Jika X adalah suatu vektor acak berdimensi k , maka untuk tЄRk
φXt=Eeit'X • Jika X adalah suatu matriks acak berdimensi k , maka untuk tЄRkxp
φXt=Eeitrt'X • Jika X adalah variabel acak kompleks, maka untuk tЄC φXt=EeiRetX • Jika X adalah vektor acak kompleks, maka untuk tЄCk φXt=EeiRet*X • Jika X(s) adalah suatu proses stokastik, maka untuk semua fungsi t(s) seperti integral ∫Rt(s)X(s) ds konvergen untuk hampir semua bentuk X .
φXt=Eei∫RtsXsds Di sini (') menyatakan transpose matriks, tr(·) – operator trace matriks, Re adalah bagian nyata dari suatu bilangan kompleks, z menandakan konjugasi kompleks dan (*) adalah konjugasi transpose (z*= z').
FUNGSI KARAKTERISTIK DAN DERET FOURIER
Fungsi karakteristik berhubungan erat dengan transformasi fourier : fungsi karakteristik suatu pdf p(x) merupakan hubungan yang kompleks dari transformasi fourier kontinyu dari p(x). (Berdasarkan konvensi yang umum; berikut bentuk alternatif dari tranformasi fourier yang kontinyu). φXt=eitX=-∞∞eitXpxdx=-∞∞e-itXpxdx=Pt
Di mana P(t) melambangkan transformasi fourier yang kontinyu dari pdf p(x). Demikian juga, p(x) dapat dikembalikan dari φXt melalui inversi transformasi fourier. Fungsi karakteristik suatu distribusi dengan fungsi densitas f adalah sebanding dengan kebalikan tranformasi fourier dari f. (6 ) Tentu saja, bahkan ketika variabel acak tidak mempunyai suatu densitas, fungsi karakteristik dapat terlihat sebagai transformasi fourier yang merupakan ukuran yang berhubungan dengan variabel acak. Berikut adalah fungsi karakteristik dari berbagai distribusi peluang.
Distribution
Degenerate δa Binomial B(n, p) Poisson Pois( λ)
Characteristic function φ(t)
Uniform U(a, b)
Laplace L( μ, b) Normal N( μ, σ 2) Chi-square χ2k Cauchy Cauchy( μ, θ) Gamma Γ(k, θ) Exponential Exp( λ) Multivariate normal N( μ, Σ)
KONTINUITAS
Bijeksi menyatakan antara distribusi peluang dan fungsi karakteristik adalah kontinyu. Sehingga kapan saja suatu urutan fungsi distribusi {F j(x)} konvergen (dengan lemah) ke beberapa distribusi
F(x),
urutan
yang
bersesuaian
terhadap
fungsi
karakteristik {φ j(t)} juga akan konvergen, dan batas φ(t) akan menyesuaikan dengan fungsi karakteristik hukum F . Secara lebih formal, ini dinyatakan sebagai : Teorema Kontinuitas Levy. Suatu urutan {X j} dari n-variate
variabel acak konvergen ke distribusi variabel acak X jika dan hanya jika urutan {φXj} konvergen ke suatu fungsi φ yang berKontinuitas pada titik asal maka φ adalah fungsi karakteristik
X . Teorema ini sering digunakan untuk membuktikan hukum
bilangan-bilangan besar, dan Teorema limit sentral. FORMULA INVERSI
Karena ada suatu korespondensi satu-satu antara cdf dan fungsi karakteristik, selalu memungkinkan untuk menemukan salah satu dari fungsi-fungsi ini jika kita mengetahui yang lain. Rumusan dalam definisi fungsi karakteristik memungkinkan kita untuk menghitung φ ketika kita mengetahui fungsi distribusi F ( atau densitas f ). Dengan kata lain, jika kita mengetahui fungsi karakteristik φ dan ingin menemukan fungsi distribusi yang bersesuaian maka salah satu dari Teorema inversi dapat digunakan: Teorema. Jika fungsi karakteristik φ X dapat diintegralkan, maka F X pasti kontinyu dan oleh karena itu, X memiliki pdf sebagai
berikut:
saat X adalah skalar; Pada
kasus
multivariate,
pdf
tersebut
dipahami
sebagai
turunan dari distribusi μ X berkaitan dengan ukuran Lebesgue λ:
Teorema (Levy). Jika φ X adalah fungsi karakteristik dari fungsi
distribusi F X , dua titik
a
adalah suatu himpunan kontinuitas dari μ X (dalam kasus univariate, kondisi ini setara dengan kontinuitas F X pada titik a dan b), maka:
FXb-FXa=12πlimT→∞-T+Te-ita-e-itbitφXtdt
jika X adalah skalar, dan
μXa
Teorema. Jika a adalah sebuah atom dari X (dalam kasus
univariate, artinya adalah suatu titik diskontinuitas dari F X ) maka
, saat X adalah sebuah random variabel scalar, dan
, saat X adalah suatu random variabel vektor. Teorema
(Gil-Pelaez).
Untuk
suatu
random
variabel
univariat X , jika x adalah titik kontinuitas dari F X maka :
Formula inversion untuk distribusi multivariate tersedia.
PENGGUNAAN FUNGSI KARAKTERISTIK
Fungsi karakteristik selalu ada ketika diperlakukan sebagai fungsi
suatu
argumen
bernilai
riil,
tidak
seperti
fungsi
pembangkit momen. Ada hubungan antara sifat-sifat fungsi karakteristik suatu distribusi dan sifat-sifat distribusi, seperti keberadaan momen dan keberadaan suatu fungsi densitas. Fungsi karakteristik memberikan suatu cara alternatif untuk menggambarkan suatu variabel acak. Sebagaimana halnya
fungsi
distribusi
sepenuhnya
kumulatif
menentukan
(FXx=E1X≤x)
perilaku
dan
yang
sifat-sifat
dengan distribusi
peluang variabel acak X , fungsi karakteristik ( φXx=EeitX ) juga dengan
sepenuhnya
menentukan
perilaku
dan
sifat-sifat
distribusi peluang variabel acak X . Dua pendekatan tersebut sama dalam artian pengetahuan mengenai salah satu fungsi dapat selalu digunakan untuk menemukan fungsi yang lain, namun keduanya memberikan pengertian yang berbeda untuk memahami jenis variabel acak kita. Bagaimanapun, pada kasus khusus, akan ada perbedaan apakah fungsi ini dapat diwakili sebagai ekspresi yang menyertakan fungsi standard sederhana. Jika suatu variabel acak merupakan suatu fungsi kepadatan (densitas) maka fungsi karakteristik merupakan dualitasnya. Maksudnya, masing-masing dari variable acak tersebut adalah transformasi fourier dari yang lainnya. Jika suatu variabel acak mempunyai suatu fungsi pembangkit momen maka fungsi karakteristik dapat diperluas menjadi daerah yang kompleks sehingga φx-it=MXt
Catatan :
Bagaimanapun
fungsi
karakteristik
suatu
distribusi selalu ada, bahkan ketika pdf atau mgf tidak ada. Suatu fungsi karakteristik ada untuk sembarang variabel acak. Lebih dari itu, ada suatu bijeksi antara fungsi karakteristik dan fungsi peluang kumulatif. Dalam hal ini, untuk sembarang 2 random variabel X 1, X 2 :
Dengan kata lain, dua distribusi peluang tidak akan pernah memiliki fungsi karakteristik yang sama.
Misalkan ada suatu fungsi karakteristik φ, adalah mungkin untuk merekonstruksi fungsi distribusi peluang kumulatif F yang bersesuaian : FXy-FXx=limτ→+∞12π-τ+τe-itx-e-ityitφXtdt
Umumnya,
ini adalah suatu improper integral, fungsi yang
diintegralkan
mungkin
hanya
dapat
diintegralkan
secara
besyarat, dibanding Lebesgue-Integrable, yaitu integral di mana nilai mutlaknya mungkin tak hingga. Pendekatan
fungsi
karakteristik
berguna
untuk
menganalisis kombinasi linier variabel acak yang bebas. Aplikasi penting yang lain yaitu dalam teori dekomposabilitas variabelvariabel acak. Ada ketertarikan untuk menemukan kriteria yang simple ketika suatu fungsi yang ditemukan bisa jadi merupakan fungsi karakteristik suatu Random variabel.
Ada berbagai teori yang
mencoba menjelaskan hal ini, diantaranya adalah Bochner’s theorem, Khinchine’s, Mathias’s, or Cramér’s, serta Pólya’s theorem. Teorema Polya menyediakan kondisi konveksitas yang simple dan cukup. Fungsi karakteristik yang memenuhi kondisi ini disebut Pólya-type. Bochner’s theorem. Suatu fungsi sembarang φ: Rn
C adalah
fungsi karakteristik dari beberapa random variabel jika dan hanya jika φ adalah nonnegative definite, kontinyu pada titik asal dan φ(0) = 1. Khinchine’s criterion. Suatu fungsi bernilai kompleks yang
kontinyu secara absolut φ sama dengan 1 pada titik asal adalah sebuah fungsi karakteristik jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat mewakili
Mathias’ theorem. Sebuah fungsi riil yang genap, kontinyu, dan
integrable secara absolut φ sama dengan 1 pada titik asal adalah sebuah fungsi karakteristik jika dan hanya jika
untuk n = 0,1,2,…, dan semua p > 0. Di sini H2n menyatakan Hermite polynomial dengan derajat 2n.
Teorema Polya dapat digunakan untuk membangun suatu contoh dari dua variabel acak yang memiliki fungsi karakteristik bersamaan dalam suatu interval terhingga tetapi berbeda di luar interval tersebut. Pólya’s theorem. Jika φ adalah suatu fungsi kontinyu bernilai riil
yang memenuhi syarat-syarat : 1. φ (0) = 1; 2. φ merupakan fungsi genap;
3. φ(∞) = 0; 4. φ adalah fungsi konvex untuk t> 0 maka φ(t) adalah fungsi karakteristik dari suatu distribusi simetris yang kontinyu secara mutlak.
Akibat teorema kontinuitas di atas, fungsi karakteristik seringkali digunakan untuk membuktikan Teorema limit sentral (CLT). Manipulasi aljabar utama yang terlibat dalam membuat perhitungan dengan fungsi karakteristik adalah mengenali fungsi sebagai fungsi karakteristik dari suatu distribusi tertentu. SIFAT-SIFAT FUNGSI KARAKTERISTIK
• Suatu kombinasi linier yang konvex nanφn(t) (dengan an≥0 , • nan=1 ) dari sejumlah fungsi karakteristik yang berhingga atau dapat dihitung juga merupakan fungsi karakteristik
• Hasil perkalian dari sejumlah fungsi karakteristik nφn(t) juga merupakan fungsi karakteristik. Hal yang sama berlaku pula untuk suatu hasil perkalian tak terhingga yang konvergen ke sebuah fungsi yang kontinyu pada titik asal.
• Jika φ adalah suatu fungsi karakteristik and α adalah suatu bilangan riil, maka φ, Re[φ], |φ|2, dan φ(αt ) juga merupakan fungsi karakteristik.
Fungsi karakteristik yang sangat berguna untuk menangani kasus fungsi variabel acak yang independen. Sebagai contoh, jika X 1, X 2, ..., X n adalah barisan variabel acak yang independent ( tidak harus terdistribusi secara identik), dan
Sn=i=1naiXi dimana ai adalah tetap, maka fungsi karakteristik untuk Sn diberikan oleh : φSnt=φX1a1tφX2a2t…φXnant
Secara khusus,
φX+Yt=φXtφYt
Untuk melihatnya, tuliskan definisi fungsi karakteristik: φX+Yt=EeitX+Y=EeitXeitY=EeitXEeitY=φXtφYt
Amati bahwa independensi dari variabel X dan Y diperlukan untuk menetapkan persamaan ekspresi keempat dan ketiga. Kasus khusus lain yang menarik adalah ketika ai = 1 / n dan Sn adalah rata-rata sampel. Dalam hal ini, penulisan X untuk ratarata, φXt=φXtnn . MOMEN-MOMEN
Fungsi
karakteristik
dapat
digunakan
untuk
menemukan momen dari suatu variabel acak. Asalkan n th momen ada, fungsi karakteristik dapat diturunkan (differensialkan) sebanyak n kali dan
EXn=i-nφXn0=i-ndndtnφXtt=0. Sebagai contoh, X memiliki Distribusi Cauchy standar maka
φXt=e-t.
Fungsi
menunjukkan
ini
tidak
bahwa
terdiferensiasi di t=0. distribusi
Hal
Cauchy
ini tidak
memiliki ekspektasi. Lihat juga bahwa fungsi karakteristik ratarata sampel X dari n pengamatan independen memiliki fungsi karakteristik
φXt=e-tnn=e-t, menggunakan hasil dari bagian sebelumnya. Ini adalah fungsi karakteristik dari distribusi Cauchy standard. Jadi, rata-rata
sampel
memiliki
distribusi
yang
sama
dengan
parameter
skala
θ
populasinya sendiri. Contoh
Suatu
distribusi
gamma dengan
parameter bentuk k yang memiliki fungsi karakteristik
dan
1-θit-k .
Misalkan X~Γk1,θ and Y~Γk2,θ dengan X dan Y independen satu sama lain, dan kita ingin tahu apakah distribusi dari X+Y. Fungsi karakteristik dari X dan Y masing-masing adalah : φXt=1-
θit-k1 dan φYt=1-θit-k2 yang dengan independensi dan sifat dasar fungsi karakteristik menyebabkan :
φX+Yt=φXtφYt= 1-θit-k11-θit-k2=1-θit-k1+k2. Ini adalah fungsi karakteristik dari distribusi gamma parameter skala θ dan parameter bentuk k1 + k2. Dengan Hasilnya
demikian dapat
kita
dapat
diperluas
menyimpulkan
untuk
n
X+Y~Γk1+k2,θ.
variable-variabel
acak
berdistribusi gamma yang independen dengan parameter skala yang sama, dan kita mendapatkan :
i 1,⋯,n : Xi~Γki,θ ⇒ i=1nXi~Γi=1nki,θ
∀∈
DAFTAR PUSTAKA
“Chapter 10. Generating Functions” (diakses tanggal 30 Juni 2010)
“Characteristic Function”, http://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_karakteristik (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Characteristic Function (Probability Theory)”, http://en.academic.ru/dic.nsf/enwiki/1524436 (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Characteristic Function (Probability Theory)”, http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(proba bility_theory) Irwin, Mark E. “Moment Generating Function”, Statistics 110, Harvard University, Summer 2006 (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Materi Pokok 18. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN PEUBAH ACAK KONTINU KHUSUS” (diakses tanggal 30 Juni
2010) “Materi Pokok 23. TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN FUNGSI PAMBANGKIT MOMEN” ” (diakses tanggal
30 Juni 2010) “Materi Pokok 10. MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT
MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DUA PEUBAH ACAK”
