Exercícios Resolvidos: Distribuição Binomial

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Publicado em 14/03/2019 por Diego Oliveira

Vamos neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:

O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número n de vezes. 

Cada repetição do experimento admite apenas dois resultados: sucesso ou fracasso. 

 Os resultados obtidos devem ser independentes, isto é, o resultado de um experimento não deve afetar o resultado dos outros.

No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade q ( q = 1 − p) do insucesso manter-se-ão constantes. 

Resolv esolver eremo emos s proble problemas mas do tipo: tipo: deter determin minar ar a proba probabil bilida idade de de se obter obterem em

k sucessos sucessos em n tentativas. P(X) =

n

 k

p k · qn− k

Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial .

1

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Exemplos Resolvidos: 1. Uma moeda moeda é lançada lançada 5 vezes seguidas seguidas e independent independentes. es. Calcule Calcule a probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas. Resolução:

Temos: Temos: n = 5 e k = 3

Pela lei binomial, podemos escrever: 5



P( X ) =

3

p3 · q5− 3 =

5



p3 q2

3

Se a probabilidade de obtermos "cara" numa só prova (sucesso) é p =

1 2

então a probabilidade de não obtermos "coroa" numa só prova (insucesso) é q = 1 −

1 2

=

1 2

, então: P( X ) =

5

1

3

1

    ·

3

·

2

2

2

=

5 16

Logo: = 3 ) = P( X =

5 16

2. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos. Resolução:

Temos: Temos: = 4; P = ? e q = 1 − n = 6; k =

1 3

=

2 3

.

Para deter determin minamo amos s P (pr (proba obabil bilida idade de do time time A ganhar ganhar uma vez) vez) pensam pensamos os o seguinte: a probabilidade de num jogo o time A ganhar uma partida é igual a probabilidad probabilidade e do mesmo mesmo perder ou empatar empatar.. Seja P essa probabili probabilidade dade então: P + P + P = 1

⇒

3P = 1

⇒

P =

1 3

Assim, a probabilidade do time A ganhar uma única vez é de 1/3. Então: P( X ) =

6

1

4

2

    4

·

3

·

3

2

=

20 243



3. Dois Dois times times de futeb futebol ol,, A e B, joga jogam m entr entre e si 6 veze vezes. s. Enco Encont ntre re a probabilidade de o time A:

a. ganhar dois ou três jogos; b. ganhar pelo menos um jogo.

Resolução de A:

Pela propriedade de soma das probabilidades sabemos que: P( 2 ou 3) = P (2) + P ( 3)

Onde: P( 2 ) =

e P( 3 ) =

6

1

2

2

     2

×

6

×

3 1

3

2

3

×

3

=

3

     ×

6− 2

6− 3

=

3

240 729 160 729

O que implica em:

P( 2 ou 3) =

240 729

160

+

729

=

400 729

Resolução de B:

Nesse caso vamos determinar a probabilidade de A não ganhar nenhuma partida partida e depois depois encontra encontrarr a probabil probabilidade idade do evento evento compleme complementar ntar.. Que é a probabilidade do time A ganhar ao menos uma partida. P( 0 ) =

⇒

6

1

0

2

     0

P ( 0) =

×

3

×

6

3

64 729

Como o que queremos é o complementar, então: P(A ganhar pelo menos um jogo) = 1 −

⇒

P(A ganhar pelo menos um jogo) =

64 729

665 729



4. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta apresenta 10% de peças peças defeituos defeituosas. as. Qual a probabil probabilidade idade de serem defeituosos dois deles? Resolução: P( 2 ) =

6

  2

×

( 0, 1 ) 2 × ( 1 − 0, 1 ) 6 − 2

6

( 0, 1)2 × ( 0, 9) 4

⇒

P ( 2) =

⇒

P( 2) = 0 , 098415 ou 9,8415%.

2

×

5. Deter Determin mine e a proba probabil bilida idade de de obter obtermos mos exata exatamen mente te 3 caras caras em 6 lances de uma moeda. Solução:

O número de lançamentos n é 6. Já a probabilidade de se obter uma cara em um lançamento p é de O número de sucessos k que estamos considerando é 3. Por fim a probabilidade de insucesso q é de q = 1 − p ⇒ q = 1 −

1 2

1 2

=

1 2

.

. 1 2

Logo: = 3 ) = P( X =

6

1

3

1

     3

×

2

×

2

6− 3

=

5 16

6. Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade se de obter um múltiplo de 3 duas vezes. Solução:

O número de lançamentos n é 3. Já a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 em um único lançamento p é de

2 6

ou, simplificando, 1/3.

O número de sucessos k , em se obter um múltiplo de 3, que estamos considerando é 2.



Logo: = 2 ) = P( X =

3

1

2

2

     2

×

3

×

3− 2

3

7. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?

=

2 3

2 9

. Se ele atirar 5 vezes,

Solução: P( 2 ) =

5

2

2

    ×

2

⇒

P ( 2) =

⇒

P ( 2) =

3

5 2

4 ×

9

×

1−

2 3



5− 2

1 ×

27

40 243

5. Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta apresenta 10% de peças peças defeituos defeituosas. as. Qual a probabil probabilidade idade de serem defeituosos dois deles? Solução: P( 2 ) =

6

  2

×

( 0, 1 ) 2 × ( 1 − 0, 1 ) 6 − 2

6

( 0, 1)2 × ( 0, 9) 4

⇒

P ( 2) =

⇒

P( 2) = 0 , 098415 ou 9,8415%.

2

×



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