Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
11 de enero enero de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y + 2 xy˙ =(0)−=8x0,0,− 6yy(0)− 2= 0
Respuesta:
Comenzamos con el sistema diferencial (LH) asociado. La matriz asociada al sistema (LH) es A = cuyos valores propios son: λ1 = 2 y λ2 = asociado.:
6
4 6
−8 −
,
−2. Por lo tanto, planteamos como soluci´on on del sistema (LH) x = c = c 11 e2t + c12 e y = c = c 21 e2t + c22 e
2t
−
2t
−
Determinamos una soluci´on on particular por tanteo, planteando x = α, y = β , derivamos y reemplazamos. Obtenemos el sistema de ecuaciones:
0 = 6α + 4β 4β + + 2 0=
= 1. −8α − 6β − 2 ⇒ α = −1, β =
De donde, donde, tenemos tenemos como soluci´ on on general planteada: x = c = c 11 e2t + c12 e y = c = c 21 e2t + c22 e
2t
−
2t
−
1 + 1. 1.
−
Remplazando las condiciones iniciales, obtenemos c11 + c + c12 1 = 0, c21 + c + c22 + 1 = 0. 0.
−
Asimismo, remplazando en la primera ecuaci´on, on, se tiene 2c11 e2t
− 2c
2t
−
12 e
= (6c (6c11 + 4c 4 c21 )e2t + (6c (6c12 + 4c 4 c22 )e
2t
−
⇒c
11 =
−c
21 ,
c22 =
−2c
21 .
Combinand Combinandoo las ecuaciones ecuaciones obtenidas de las condiciones condiciones iniciales y las dos ultimas u ´ltimas relaciones, obtenemos 2t c12 = 0 y c 11 = 1, por lo tanto x = x = e e 1, lo que da x(ln (ln 2) = 3 .
−
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da, y
− x −x 1 y
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
1
+
x
−1
y =
x2
− 2x + 2 , x−1
Comenzamos resolviendo la ecuaci´on on (LH) asociada. Buscamos una soluci´on on de la forma y = c(x)x = cx, cx, derivamos y = c x + c, + c, y = c x + 2c 2c .
Remplazamos en la ecuaci´on on diferencial
(c x + 2c 2c )
1 − x −x 1 (c x + c + c)) + cx = cx = 0 ⇒ xc x−1
=
x2
Reducimos el orden planteando z planteando z = c = c , de donde
=
x
− 1c .
x
1 x e . x Por consiguiente, la otra soluci´on on linealmente independiente es y = e x y tenemos como sistema fundamental SF = x, ex . La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on diferencial (LH) asociada es y = c = c 1 x + c + c2 ex . Ahora pasamos a buscar una soluci´on on particular particular p or tanteo, tanteo, planteand planteandoo y = αx 2 + β , derivamos y reemplazamos:
z = (1
{
2α
− x1 )z ⇒ z = e = e x
− 2x + 1 c ⇒ c x−1
ln x
−
=
}
2αx2 αx α x2 + β x2 2x + 2 + = x 1 x 1 x 1
−
2
⇒ −2αx
+ 2αx 2αx + + ( 2α + β + β ) x2 2x + 2 = x 1 x 1
−
−
= 0. − − − ⇒ α = −1, β = Soluci´ on particular encontrada y on encontrada y = −x , de donde la soluci´on on general de la ecuaci´on on diferencial lineal es
− −
−
2
y = c = c 1 x + c + c2 ex
2
−x .
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, di ferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para atrapar al ingeniero. Respuesta:
En el instante t instante t el ingeniero se encuentra en el punto I = (0, (0, 5t) y el jaguar se encuentra en el punto J punto J = (x, y), ver figura. figura. Como el jaguar jaguar persig p ersigue ue al ingeniero con la vista, la velocidad es colineal y tiene el mismo sentido que J I , de donde
−→
x˙ y˙
=
10
−J→I J−→I .
Por consiguiente
x˙ y˙
=
Utilizando el hecho que y que y = y/ ˙ x˙ , se tiene
10 x2 + (5t (5t
y
y =
− 5t ,
− y)
2
xy = y
x
−x . 5t − y
− 5t;
derivando otra vez, y sabiendo que t = 1/ 1 /x˙ , se obtiene
x − (y − 5t) x + x y 2
xy =
−5t
=5
2
10 10x x
2
=
2
2x
2
.
√
1+y2
Como x Como x 0 se tiene xy tiene xy = . 2 Debemos resolver una ecuaci´on on diferencial de segundo orden, reducimos el orden planteando z planteando z = = y y , obteniendo
≥
√ 1z+ z + z
2
=
1 2x
⇒ ln(z ln(z +
1 + z + z ) = ln(Cz ln(Cz 2
1/2
)
⇒ z +
1 + z + z
2
= Cz C z 1/2 .
Determinemos C Determinemos C ,, por las caracter´ caracter´ısticas del problema, ver figura, y figura, y (400) = z = z(400) (400) = 0, de donde C = 1/20. Despejemos z Despejemos z , 1 x1/2 (1 + z + z 2 ) = (x1/2/20 z )2 y = z = z = 20 20x x 1/2 2 20
−
⇒
Integramos y obtemos
−
−
1 3/2 x 20 20x x1/2 + D. 60 D determinamos utilizando la condici´on, on, ver figura, y figura, y(400) (400) = 0, de donde D = 800/ 800/3. El ingenier i ngeniero o deber deb er´´ıa recorrer r ecorrer 800 800/ /3 m antes de ser atrapado, esto obtenemos calculando y (0). Ahora bien, el jaguar corre dos veces m´as as r´apido apido que el ingeniero, por que debe recorrer el doble de recorrido en el mismo lapso de tiempo; es decir, 1600/ 1600/3 m . y =
−
2
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
11 de enero enero de 201 2017 7
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y + 2 xy˙ =(0)−=8x0,0,− 6yy(0)− 2= 0
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 4, 4, d) x(ln (ln 2) = 5, 5, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 0, 0, e) x(ln (ln 2) = 1,
−
c) x(ln (ln 2) = 4, f) x(ln (ln 2) = 3, 3,
−
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da, y
− x −x 1 y
+
1 x
−1
y =
x2
− 2x + 2 , x−1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 x2 x1 , d) y = c = c 1 x + c + c2 ex x2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
− −
b) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 x1 , e) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , −
−
c) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x 21 x(ln x)2 , f) y = c = c 1 x + c + c2 e x x2 + 2x 2x 2, −
− −
−
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, di ferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para atrapar al ingeniero. Respuesta:
a) 600 m, d) 500 m, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 1600 m, 3 e) 400 m,
c) f)
800 3
, 15 150 m,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
11 de enero enero de 201 2017 7
2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y + 2 xy˙ =(0)−=8x0,0,− 6yy(0)− 2= 0
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 0, 0, d) x(ln (ln 2) = 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 4, e) x(ln (ln 2) = 3, 3,
c) x(ln (ln 2) = 5, 5, f) x(ln (ln 2) = 4, 4,
−
−
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da, y
− x −x 1 y
+
1 x
−1
y =
x2
− 2x + 2 , x−1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 x1 , d) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. −
−
b) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x 21 x(ln x)2 , e) y = c = c 1 x + c + c2 e x x2 + 2x 2 x 2, −
− −
−
c) y = c = c 1 x + c + c2 ex f ) y = c = c 1 x + c + c2 x2
2
−x , − x, 1
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, di ferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para atrapar al ingeniero. Respuesta:
a) 1600 m, 3 d) 400 m, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es.
b) 800 , 3 e) 150 m,
c) 500 m, f ) 60 600 m,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
11 de enero enero de 201 2017 7
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y + 2 xy˙ =(0)−=8x0,0,− 6yy(0)− 2= 0
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 4, d) x(ln (ln 2) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 5, 5, e) x(ln (ln 2) = 4, 4,
−
c) x(ln (ln 2) = 1, f) x(ln (ln 2) = 0, 0,
−
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da, y
− x −x 1 y
+
1 x
−1
y =
x2
− 2x + 2 , x−1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x 21 x(ln x)2 , d) y = c = c 1 x + c + c2 e x x2 + 2x 2 x 2, g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. −
− −
−
b) y = c = c 1 x + c + c2 ex e) y = c = c 1 x + c + c2 x2
2
−x , − x, 1
c) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , f) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 x1 , −
−
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, di ferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para atrapar al ingeniero. Respuesta:
a) 800 , 3 d) 150 m, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 500 m, e) 600 m,
c) 400 400 m, 1600 f) m, 3
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
11 de enero enero de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1. 2. 3.
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y + 2 xy˙ =(0)−=8x0,0,− 6yy(0)− 2= 0
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 5, 5, d) x(ln (ln 2) = 4, 4, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 1, e) x(ln (ln 2) = 0, 0,
−
c) x(ln (ln 2) = 3, 3, f) x(ln (ln 2) = 4,
−
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da, y
− x −x 1 y
+
1 x
−1
y =
x2
− 2x + 2 , x−1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 ex x2 , d) y = c = c 1 x + c + c2 x2 x1 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
− −
b) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , e) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 x1 , −
−
c) y = c = c 1 x + c + c2 e x x2 + 2x 2x 2, 1 f) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x 2 x(ln x)2 , −
− −
−
3. (30 puntos ) Un ingeniero civil se encuentra en el Beni inspeccionando la construcci´ on de un camino. A 400 m al este del ingeniero se encuentra un jaguar que empieza a perseguirlo con una rapidez de 10 m/s; el ingeniero al darse cuenta corre de sur a norte con una velocidad de 5 m/s para refugiarse en su movilidad. Utilizando m´ etodos etodos diferenciales, di ferenciales, determinar la longitud que recorrer recorrer´ ´ıa el jaguar para atrapar al ingeniero. Respuesta:
a) 500 m, d) 600 m, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) 400 m, e) 1600 m, 3
c) f)
15 150 m, 800 , 3
