Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on on Examen Final de C´ alculo alculo III
10 de enero enero de 201 2017 7
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y − 2 xy˙ =(0) −=8x2,2, − 6y 6yy(0) + 2= −2
Respuesta:
Comenzamos con el sistema diferencial (LH) asociado. La matriz asociada al sistema (LH) es A =
6
4 −8 −6
,
cuyos valores propios son: λ1 = 2 y λ2 = −2. Por lo tanto, planteamos como soluci´on on del sistema (LH) asociado.: x = c = c 11 e2t + c12 e 2t y = c = c 21 e2t + c22 e 2t −
−
Determinamos una soluci´on on particular por tanteo, planteando x = α, y = β , derivamos y reemplazamos. Obtenemos el sistema de ecuaciones:
0 = 6α + 4β − 2 4β −
⇒ α = α = 1, β = = − 1.
0 = − 8α − 6β 6β + + 2
De donde, donde, tenemos tenemos como soluci´ on on general planteada: x = c = c 11 e2t + c12 e y = c = c 21 e2t + c22 e
2t
−
2t
−
+1 − 1. 1.
Remplazando las condiciones iniciales, obtenemos c11 + c + c12 + 1 = 2, 2, c21 + c + c22 − 1 = − 2. Asimismo, remplazando en la primera ecuaci´on, on, se tiene 2c11 e2t − 2c 2c12 e
2t
−
= (6c (6c11 + 4c 4 c21 )e2t + (6c (6c12 + 4c 4 c22 )e
2t
−
⇒ c 11 = − c21 ,
c22 = − 2c21 .
Combinand Combinandoo las ecuaciones ecuaciones obtenidas de las condiciones condiciones iniciales y las dos ultimas u ´ltimas relaciones, obtenemos 2t c12 = 0 y c 11 = 1, por lo tanto x = x = e e + 1, lo que da x(ln (ln 2) = 5 . 2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da,
y −
−x2 + 2x x 1 2x − 2 y + y = , x − 1 x − 1 x − 1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
Comenzamos resolviendo la ecuaci´on on (LH) asociada. Buscamos una soluci´on on de la forma y = c(x)x = cx, cx, derivamos y = c x + c, + c, y = c x + 2c 2c .
Remplazamos en la ecuaci´on on diferencial
(c x + 2c 2c ) −
x 1 x2 − 2x 2x + 1 x − 1 (c x + c + c)) + cx = cx = 0 ⇒ xc = c ⇒ c = c. x − 1 x − 1 x − 1 x
Reducimos el orden planteando z planteando z = c = c , de donde
1 1 )z ⇒ z = z = e e x ln x = ex . x x Por consiguiente, la otra soluci´on on linealmente independiente es y = e x y tenemos como sistema fundamental SF = {x, ex }. La soluci´ soluci´ on on general de la ecuaci´on on diferencial (LH) asociada es y = c = c 1 x + c + c2 ex . Ahora pasamos a buscar una soluci´on on particular particular p or tanteo, tanteo, planteand planteandoo y = αx 2 + β , derivamos y reemplazamos:
z = (1 −
−
2αx2 αx 2 + β −x2 + 2x 2x − 2 2αx + + (−2α + β + β ) 2x − 2 −2αx2 + 2αx −x2 + 2x ⇒ ⇒ α = 2α − + = = α = 1, β = = 0. x − 1 x − 1 x − 1 x − 1 x − 1 Soluci´ on particular encontrada y on encontrada y = x = x2 , de donde la soluci´on on general de la ecuaci´on on diferencial lineal es
y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 .
3. (30 puntos ) Utilizando Utilizan do m´ etodos etodos diferenciales, encontrar la ecuaci´ on general de la familia de curvas ortogonales del plano x-y a las circunferencias del plano x-y, que pasan por el origen y cuyo centro se encuentran en la + x = = 0 recta y + x Respuesta: x
La ecuaci´on on general de la familia de circunferencias del plano x x -y, de centro en la recta y = − x y que pasan por el origen, est´a dada por
y
=
−
y
(x + c + c))2 + (y (y − c) c)2 = 2c 2 c2 ⇒ x 2 + y 2 − c( c(−x + y + y)) = 0. Derivamos la ecuaci´on on general y obtenemos obtenemos
x
2x + 2yy 2yy − c( c(−1 + y + y ) = 0, despejamos y despejamos y de la ultima u ´ ltima ecuaci´on on y tenemos:
(2y (2y − c) c)y + (2x (2x + c + c)) = 0 ⇒ y = Introducimos c Introducimos c = =
2
2
x +y −x+y
, lo que da
y =
2
2
x +y −x+y
2x + x2 +y 2 −x+y
2xy + + y y 2 −x2 + 2xy = 2 . x + 2xy 2xy − y 2 2y − 2y
x + 2xy 2xy − y 2
Tenemos u(x, y) =
2x + c + c . c − 2y 2y
2
, como campo de vectores tangentes. Obtenemos v (x, y) el campo de 2xy + + y y 2 −x2 + 2xy vectores tangentes de las curvas buscadas, haciendo rotar 90 el campo campo u(x, y): ◦
2
v (x, y) =
2
2
2
0 1 x + 2xy x + 2xy 2xy − y 2xy − y −1 0
2
2xy + + y y −x + 2xy
=
2
2
x − 2xy 2xy − y 2
.
La ecuaci´on on diferencial de la familia buscada de curvas ortogonales, est´a dada por: x2 + 2xy 2xy − y 2 1 + 2( xy ) − ( xy )2 y = 2 = , x − 2xy 2xy − y 2 1 − 2( xy ) − ( xy )2
ecuaci´ on on de tipo homog´eneo. eneo. Planteamos z = y/x = y/x,, lo que conduce a la ecuaci´on on 1 + 2z 2 z − z 2 1 + z + z + + z 1 − 2z 2z − z 2 1 z 2 + z 3 xz = z = . ⇒ ⇒ 2 2 2 3 1 − 2z 2z − z 1 − 2z 2z − z 1 + z + z + + z z + z x Integramos el lado izquierdo de la ecuaci´on on
xz + z = z =
1 − 2z 2z − z 2 dz = 1 + z + z + + z z 2 + z 3
Por lo tanto, ln(
dz − z + 1
2z dz
z2 + 1
= ln(z ln(z + 1) − ln(z ln(z 2 + 1). 1).
z + z + 1 z + 1 ) = ln(cx ln(cx)) ⇒ 2 = cx, 2 z +1 z +1
remplazando z remplazando z = y/x = y/x,, se obtiene y +x x x2 +y 2 x2
= cx ⇒ x2 + y 2 =
1 (y + x + x)). c
Por consiguiente la ecuaci´on on general de la familia de curvas ortogonales a las circunferencias de centro la recta y = −x y que pasan por el origen, es: x
y
=
−
y y
=
x
x2 + y 2 + cx + cx + cy cy = = 0. x
2
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Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
10 de enero enero de 201 2017 7
1
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
f
2.
d
3.
b
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y − 2 xy˙ =(0) −=8x2,2, − 6y 6yy(0) + 2= −2
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 4, 4, d) x(ln (ln 2) = 3, 3, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = 0, 0, e) x(ln (ln 2) = − 1,
c) x(ln (ln 2) = − 4, f) x(ln (ln 2) = 5, 5,
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da,
y −
−x2 + 2x x 1 2x − 2 y + y = , x − 1 x − 1 x − 1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 x2 − x1 , d) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 − x1 , e) y = c = c 1 x + c + c2 e2x − x2 , −
c) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x − 21 x(ln x)2 , f) y = c = c 1 x + c + c2 e x − x2 + 2x 2x − 2, 2, −
3. (30 puntos ) Utilizando Utilizan do m´ etodos etodos diferenciales, encontrar la ecuaci´ on general de la familia de curvas ortogonales del plano x-y a las circunferencias del plano x-y, que pasan por el origen y cuyo centro se encuentran en la recta y + x + x = = 0 Respuesta:
a) x2 + y − c = c = c c x , d) xy = xy = c, c, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 + y 2 + cx + cx + cy cy = = 0, e) y = x = x 2 /(c − x) x),
c) x2 + y 2 + cx − cy = cy = 0, f) xy( xy(x + c + cy )2 = 1,
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Examen Final de C´ alculo alculo III II I
10 de enero enero de 201 2017 7
2
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
e
2.
c
3.
a
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y − 2 xy˙ =(0) −=8x2,2, − 6y 6yy(0) + 2= −2
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 0, 0, d) x(ln (ln 2) = − 1, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = − 4, e) x(ln (ln 2) = 5, 5,
c) x(ln (ln 2) = 3, 3, f) x(ln (ln 2) = 4, 4,
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da,
y −
−x2 + 2x x 1 2x − 2 y + y = , x − 1 x − 1 x − 1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 − x1 , d) y = c = c 1 x + c + c2 e2x − x2 , g) Ningun Ninguna a de las anter anterior iores. es. −
b) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x − 21 x(ln x)2 , e) y = c = c 1 x + c + c2 e x − x2 + 2x 2x − 2, 2, −
c) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , f ) y = c = c 1 x + c + c2 x2 − x1 ,
3. (30 puntos ) Utilizando Utilizan do m´ etodos etodos diferenciales, encontrar la ecuaci´ on general de la familia de curvas ortogonales del plano x-y a las circunferencias del plano x-y, que pasan por el origen y cuyo centro se encuentran en la + x = = 0 recta y + x Respuesta:
a) x2 + y 2 + cx + cx + cy cy = = 0, d) y = x = x2 /(c − x) x), g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x2 + y 2 + cx − cy = cy = 0, e) xy( xy (x + c + cy )2 = 1, 1,
c) xy = xy = c, c, f) x2 + y − c = c = c c x ,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
10 de enero enero de 201 2017 7
3
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
b
3.
f
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y − 2 xy˙ =(0) −=8x2,2, − 6y 6yy(0) + 2= −2
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = − 4, d) x(ln (ln 2) = 5, 5, g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
c) x(ln (ln 2) = −1, f ) x(ln (ln 2) = 0, 0,
b) x(ln (ln 2) = 3, 3, e) x(ln (ln 2) = 4, 4,
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da,
y −
−x2 + 2x x 1 2x − 2 y + y = , x − 1 x − 1 x − 1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x − 21 x(ln x)2 , d) y = c = c 1 x + c + c2 e x − x2 + 2x 2x − 2, 2, g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s. −
b) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , e) y = c = c 1 x + c + c2 x2 − x1 ,
c) y = c = c 1 x + c + c2 e2x − x2 , f) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 − x1 , −
3. (30 puntos ) Utilizando Utilizan do m´ etodos etodos diferenciales, encontrar la ecuaci´ on general de la familia de curvas ortogonales del plano x-y a las circunferencias del plano x-y, que pasan por el origen y cuyo centro se encuentran en la + x = = 0 recta y + x Respuesta:
a) x2 + y 2 + cx − cy = cy = 0, d) xy( xy (x + c + cy )2 = 1, 1, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) xy = xy = c, c, e) x2 + y − c = c = c c x ,
c) y = x = x 2 /(c − x) x), f) x2 + y 2 + cx + cx + cy cy = = 0,
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans Muller u ¨ ller Santa Cruz Departamento de Matem´aticas aticas
Examen Final de C´ alculo alculo III II I
10 de enero enero de 201 2017 7
4
Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´ a respondiendo, indicando claramente a que
pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. on El examen esta dise˜ nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ nado on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´ on on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas
del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
a
3.
e
1. (35 puntos ) Hallar x(ln2), sabiendo que y es soluci´ on del problema diferencial a valor inicial:
x˙ = 6x + 4y4y − 2 xy˙ =(0) −=8x2,2, − 6y 6yy(0) + 2= −2
Respuesta:
a) x(ln (ln 2) = 3, 3, d) x(ln (ln 2) = 4, 4, g) Ningun Ninguna a de las las ant anteri eriore ores. s.
b) x(ln (ln 2) = − 1, e) x(ln (ln 2) = 0, 0,
c) x(ln (ln 2) = 5, 5, f) x(ln (ln 2) = − 4,
2. (35 puntos ) Aprovechando que y = x = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea enea asociada, asocia da,
y −
−x2 + 2x x 1 2x − 2 y + y = , x − 1 x − 1 x − 1
encontrar su soluci´ on general. Respuesta:
a) y = c = c 1 x + c + c2 ex + x2 , d) y = c = c 1 x + c + c2 x2 − x1 , g) Ninguna Ninguna de las las ant anteri eriore ores. s.
b) y = c = c 1 x + c + c2 e2x − x2 , e) y = c = c 1 x + c + c2 x 2 − x1 , −
c) y = c = c 1 x + c + c2 e x − x2 + 2x 2x − 2, 2, 1 2 f) y = c = c 1 x + c + c2 x ln x − 2 x(ln x) , −
3. (30 puntos ) Utilizando Utilizan do m´ etodos etodos diferenciales, encontrar la ecuaci´ on general de la familia de curvas ortogonales del plano x-y a las circunferencias del plano x-y, que pasan por el origen y cuyo centro se encuentran en la recta y + x + x = = 0 Respuesta:
a) xy = xy = c, c, d) x2 + y − c = c = c c x , g) Ningun Ninguna a de las ant anteri eriore ores. s.
b) y = x = x 2 /(c − x) x), e) x2 + y 2 + cx + cx + cy cy = = 0,
c) xy( xy(x + c + cy )2 = 1, f) x2 + y 2 + cx − cy = cy = 0,
