Estadística Descriptiva e Inferencial

Antonio Vargas Sabadlas

E STADISTICA DESCRlPTIVA E lNFERENCIAL

COLECCIÓN

CIENCIAYTECNICA.

estadística descriptiva e inferencial

Thi s

One

BJ5Y-2AY-0R82

Antonio Vargas Sabadlas Catedrático de Matemáticas de I.B. Profesor Asociado de la Universidad de Castilla-La Mancha

ESTADÍSTICA descriptiva E INFERENCIAL

Universidad de Castilla-La Mancha

1995

VARGAS SABADÍAS. Antonio Estadística descriptiva e inferencial / Antonio Vargas Sabadlas. — [Cuenca] : Servicio de Publicaciones de la Universidad de Castilla-La Mancha. 1995. 576 p. ; 22 cm. — (Ciencia y técnica ; 8) I.S.B.N.: 84-88255-87-X 1. Estadística matemática. I. Universidad de Castilla-La Mancha ed. II. Título. 519.2

Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Castilla-La Mancha Diseño colección: García Jiménez Diseño portada: C.I.D.I. (Universidad de Castilla-La Mancha) © Antonio Vargas Sabadías I.S.B.N.: 84-88255-87-X Depósito Legal: MU- 105- 1996 Edición de: COMPOBELL. S.L. Murcia

A María Antigua, Antonio, Alberto y Aurelio. por el regalo de un tiempo que les pertenecía y la ilusión y el aliento que siempre encontré.

PROLOGO

La investigación, como proceso de resolución de problemas científicos, debe aspirar en todo momento a la objetividad y a la universalidad. El investigador se encuentra en numerosas ocasiones ante situaciones de incertidumbre, dependiendo del azar los resultados de sus experimentos, lo que supone la necesidad de recurrir a los métodos estadísticos. Ante un experimento aleatorio, siempre hay una primera fase de observación y recopilación de datos, cuya finalidad es la de darles una interpretación adecuada. En este primer proceso, interviene la Estadística Descriptiva, cuyo objetivo es el de resumir o describir numéricamente un conjunto de datos con el fin de facilitar esa interpretación. Sin embargo, no es suficiente la obtención de unas características que permitan sintetizar los resultados de la experimentación y el buen uso de la práctica operacional. La imposibilidad, por distintas razones, de hacer un estudio de todos los indivi duos de la población, obliga a seleccionar de modo conveniente un número relativa mente pequeño de datos, desde cuyo conocimiento se pretende extraer conclusiones acerca de la población completa. Interviene entonces la Estadística Inferencial, que permite realizar inferencias acerca de las características de los individuos de la población a partir de las caracte rísticas de una muestra de la misma. Los métodos propios de la Estadística Inferencial. haciendo la selección de las muestras, creando estrategias y controles para hacer mínimo el error, son las técnicas que usa una buena parte de la investigación de las Ciencias de la Naturaleza, de la Sociología, Psicología, Medicina, Ciencias de la Educación,... El contraste de hipótesis es una herramienta poderosa para realizar inferencias a partir de la información proporcionada por una muestra, supuesta una hipótesis de nulidad inicial, que es rechazada únicamente cuando su veracidad implica unos resultados «suficientemente improbables». El concepto de probabilidad proporciona una medida de lo que se entiende por un suceso «suficientemente improbable», aportando la razón para utilizar la Estadística Descriptiva como soporte en el que se apoya la Estadística Inferencial.

10 Las consideraciones que acabo de hacer, mi propia experiencia docente con estudiantes y la colaboración en trabajos con algunos compañeros que se sirven de estas técnicas en sus tareas investigadoras, han orientado el diseño de este libro, que no pretende ser un tratado teórico-matemático ni tampoco un simple formulario. La intención de conseguir el punto medio, de equilibrio entre ambos extremos, pero capaz de trasmitir un conocimiento profundo del proceso estadístico, es, tal vez, la razón última de este texto. Se distinguen, en él, tres partes fundamentales: la primera, sobre «Estadística Descriptiva», comprende los seis primeros capítulos y estudia las características fundamentales de localización, dispersión y forma de una distribución estadística de uno y de dos caracteres, abordando también los problemas de regresión y correlación. Los diversos tipos de gráficos estadísticos son descritos, situándolos en función de los tipos de caracteres y de sus modalidades, como un complemento que facilita el análisis exploratorio de los datos. La segunda parte, «Nociones sobre Cálculo de Probabilidades», es abordada en los capítulos séptimo y octavo, y contiene aquellos conceptos básicos de probabilidad y variable aleatoria, y el estudio de las distribuciones discretas y continuas necesarias para enlazar de un modo coherente, sin grandes brusquedades, con la «Estadística Inferencial», que constituye la parte tercera y fundamental del libro, a la que se dedican otros seis capítulos. En todo momento, he procurado dar un enfoque didáctico a los temas tratados, introduciendo la mayor parte de los conceptos a través de ejemplos sencillos de la vida diaria. Para evitar que el discurso del razonamiento se aparte de la idea central, en ocasio nes he pasado algún proceso de demostración al final del capítulo en forma de apéndice. La estrategia del contraste de hipótesis es analizada en sus diversas acepciones: ésta es la herramienta fundamental de que dispone el investigador para inferir los resultados de sus experiencias a la población, confiriéndoles un carácter de universa lidad y generalidad. El análisis de la varianza, los contrastes de bondad de ajuste, independencia y homogeneidad de la varianza. así como algunos de los contrastes no paramétricos, de uso cada día más frecuente, son también tratados y valorados con detalle. El problema de regresión y correlación ha requerido dos capítulos. En el capítulo decimocuarto, se complementa el contenido del sexto desde el punto de vista inferencial. Son muchos los trabajos de investigación que descuidan este aspecto, lo que les resta generalidad. La potencia del contraste, que da solidez y rigor a las conclusiones, se aborda desde su acepción conceptual y se resuelve de modo sencillo mediante la tabla estadística de Welkowitz. aportando la relación entre ambos métodos. Toledo, febrero de 1995.

El Autor

índice de materias

INTRODUCCIÓN 1.1. Sumas indicadas 1.2. Sumas dobles

23 23 27

PRIMERA PARTE: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.

DISTRIBUCIONES Y GRÁFICAS 1.1. Concepto y términos 1.2. Población, muestra e individuo 1.3. Caracteres y modalidades 1 .4. Variable estadística 1.5. Distribución de frecuencias 1.5.1. Frecuencia absoluta y relativa 1.5.2. Propiedades de las frecuencias 1.5.3. Frecuencias acumuladas 1.6. Parámetros y estadísticos 1.7. Tablas estadísticas 1.7.1. Tabla de una variable estadística discreta 1.7.2. Agrupación en clases 1.7.3. Tabla de una variable estadística continua 1.8. Representaciones gráficas 1.8.1. Representaciones de caracteres cualitativos 1.8.2. Representaciones de caracteres cuantitativos 1.8.2.1. Diagramas diferenciales 1.8.2.2. Diagramas integrales para variable discreta 1.8.2.3. Diagramas integrales para variable continua 1.9. Simetría y sesgo 1.10. Modalidad 1.11. Apuntamiento

33 33 33 34 35 35 36 36 36 37 37 38 39 43 44 44 49 49 53 54 56 56 57

12

1.12. Ejercicios propuestos

57

2.

CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN 2.1. Características de una distribución de frecuencias 2.2. Características de tendencia central 2.3. Media aritmética 2.3.1. Definición en el caso discreto 2.3.2. Propiedades de la media aritmética 2.3.3. Definición en el caso continuo 2.3.4. Ventajas e inconvenientes de la media aritmética 2.4. Otros valores medios 2.4.1. Media geométrica 2.4.2. Media cuadrática 2.4.3. Media armónica 2.4.4. Relación entre las distintas medias 2.5. Percentiles. Mediana 2.5.1. Definiciones 2.5.2. Cálculo de la mediana 2.5.2.1. Comportamiento de la mediana 2.5.3. Problema inverso 2.6. Cuartiles, quintiles y deciles 2.7. Moda 2.7.1. Definición 2.7.2. Cálculo de la moda 2.8. Ejercicios propuestos

63 63 64 65 65 66 68 70 70 70 72 73 74 75 75 76 79 80 81 81 81 82 84

3.

CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN Y FORMA 3.1. Dispersión o variabilidad 3.2. Medidas de dispersión absolutas 3.2.1. Recorrido 3.2.2. Desviaciones cuartílicas 3.2.2.1. Recorrido intercuartflico 3.2.2.2. Recorrido semiintercuartílico 3.2.3. Diferencias y desviaciones 3.2.4. Varianza y desviación típica 3.2.4.1. Definiciones 3.2.4.2. Propiedades de la varianza 3.2.4.3. Propiedades de la desviación típica 3.3. Medidas de dispersión relativas 3.3.1. Coeficiente de apertura 3.3.2. Recorrido relativo

89 89 90 90 90 91 91 92 93 94 94 96 97 98 98

13 3.3.3. Coeficiente de variación de Pearson 3.3.4. Coeficiente de variación media 3.4. Momentos 3.4.1. Momentos centrales 3.4.2. Momentos respecto al origen 3.4.3. Cálculo de momentos 3.5. Análisis de la forma 3.5.1. Coeficiente de asimetría de Fisher 3.5.2. Coeficiente de asimetría de Pearson 3.5.3. Coeficiente de asimetría de Bowley 3.5.4. Coeficiente absoluto de asimetría 3.5.5. Medidas de apuntamiento o curtosis 3.6. Medidas de concentración 3.7. Variable tipificada 3.8. Puntuaciones derivadas 3.8.1. Puntuaciones T 3.8.2. Puntuaciones SAT 3.9. Correcciones de agrupamiento de Sheppard 3.10. Ejercicios propuestos Apéndice al capítulo 3: Demostración de las propiedades 4. ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS 4.1. Estadística exploratoria 4.2. Principios fundamentales 4.3. índices de localización resistentes 4.3.1. Promedios de cuartiles 4.3.2. Trimedia 4.3.3. Medias recortadas 4.4. índices de dispersión 4.4.1. Rango intercuartílico pseudo-tipificado 4.4.2. Indice de variación cuartílica 4.5. índices de forma 4.5.1. índice de simetría de Yule 4.5.2. Indice de simetría de Kelly 4.5.3. índice de curtosis 4.6. Diagrama de tronco y hojas 4.7. Cuartos y octavos 4.8. Datos anómalos 4.9. Gráfico en caja y extensión 4.10. Promedios de simetría 4. 1 1 . Transformaciones de datos

98 99 100 101 101 102 103 104 105 105 105 105 107 109 1 10 111 111 112 1 13 117 119 1 19 1 20 121 121 121 121 123 123 124 124 124 125 125 126 130 132 133 135 136

14

5.

4.11.1. Transformaciones de potencias 4.11.2. Método de la pendiente para determinar la potencia 4.11.3. Transformaciones de raíz cuadrada 4.12. Ejercicios propuestos

137 138 140 141

DISTRIBUCIONES BIVARIANTES 5.1. Análisis de dos caracteres 5.2. Distribución conjunta 5.2.1. Propiedades de las frecuencias 5.3. Tablas estadísticas 5.4. Distribuciones marginales 5.4.1. Distribución marginal según el carácter X 5.4.1.1. Propiedades 5.4.2. Distribución marginal según el carácter Y 5.4.2.1. Propiedades 5.5 Distribuciones condicionadas 5.5.1. Propiedades 5.6. Medidas de posición y de dispersión 5.7. Dependencia e independencia funcional 5.7.1. Independencia 5.7.2. Dependencia 5.8. Momentos 5.8.1. Momentos centrales o respecto de las medias 5.8.2. Momentos respecto al origen 5.8.3. Primeros momentos 5.8.4. Propiedades 5.8.5. Covarianza 5.8.5.1. Propiedades de la covarianza 5.9. Poblaciones pequeñas 5.10. Representaciones gráficas 5.11. Los dos caracteres son cualitativos 5.11.1. Los dos caracteres presentan más de dos modalidades 5.11.2. Uno de los caracteres es dicotómico 5.12. Un carácter es cualitativo y el otro cuantitativo 5.13. Los dos caracteres son cuantitativos 5.13.1. Las dos variables son discretas 5.13.2. X es una variable continua e Y discreta 5.13.3. Las dos variables son continuas 5. 13. 3.1. Representación mediante puntos 5.1 3.3.2. Estereograma 5.14. Diagrama de dispersión

145 145 145 146 146 147 147 147 148 148 149 150 150 154 154 155 157 157 157 158 158 160 161 161 163 163 164 166 167 170 170 171 172 172 173 174

1?

6.

5.15. Ejercicios propuestos Apéndice al capítulo 4: Demostración de las propiedades de las frecuen cias condicionadas y de los momentos

175

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN 6.1. Dependencia aleatoria y funcional 6.2. Regresión y correlación 6.3. Métodos de ajuste 6.3.1. Ajuste por el método de mínimos cuadrados 6.4. Regresión lineal 6.4.1. Recta de regresión de Y sobre X 6.4.2. Recta de regresión de X sobre Y 6.4.3. Coeficientes de regresión y covarianza 6.4.4. Predicciones 6.5. Correlación 6.5.1. Coeficiente de correlación general de Pearson 6.5.1.1. Propiedades del coeficiente de correlación gene ral de Pearson 6.5.2. Coeficiente de correlación lineal de Pearson 6.5.2.1. Interpretación del coeficiente de correlación linea1. 6.5.2.2. Cálculo del coeficiente de correlación lineal 6.5.3. Variables incorreladas 6.5.4. Correlación y causalidad 6.6. Otros coeficientes de correlación 6.6.1. Coeficiente de correlación de Spearman 6.6.2. Coeficiente de correlación biserial puntual 6.6.3. Coeficiente O 6.6.4. Correlación tetracórica o de atributos 6.7. Regresión y series de tiempo 6.8. Regresión parabólica 6.9. Regresión exponencial y geométrica 6.10. Ejercicios propuestos Apéndice al capítulo 6: Demostración de las propiedades del coeficien te de correlación lineal de Pearson

183 183 184 185 185 186 187 189 190 190 192 193

180

193 194 195 196 198 199 200 200 201 202 204 205 206 208 21 1 215

SEGUNDA PARTE: CÁLCULO DE PROBABILIDADES 7.

PROBABILIDAD Y VARIABLE ALEATORIA 7.1. Experimentos aleatorios 7.2. Operaciones con sucesos 7.2.1. Propiedades de la unión e intersección de sucesos

219 219 220 221

16 7.2.2. Otras operaciones y relaciones entre sucesos 7.2.3. a-álgebra de sucesos 7.3. Frecuencia de un suceso 7.4. Definición de Probabilidad 7.4.1. Propiedades de la probabilidad 7.4.2. Asignación de probabilidades 7.5. Ejercicios resueltos 7.6. Probabilidad condicionada 7.6.1. Sucesos dependientes e independientes 7.7. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes 7.8. Variable estadística y variable aleatoria 7.9. Concepto de variable aleatoria 7.9.1. Variable aleatoria discreta y continua 7.10. Distribuciones discretas 7.11. Distribuciones continuas 7.12. Esperanza matemática 7.12.1. Esperanza de una función de una variable aleatoria 7.12.2. Propiedades de la esperanza matemática 7.13. Varianza y desviación típica 7.13.1. Propiedades de la varianza 7.14. Teorema de Tchebycheff 7.15. Cambio de variable 7.15.1. Cambio de variables aleatorias discretas 7.15.2. Cambio de variables aleatorias continuas 7.16. Momentos 7.16.1. Momentos respecto al origen 7.16.2. Momentos centrales 7.17. Función generadora de momentos 7.18. Ejercicios propuestos 8. MODELOS DE DISTRIBUCIONES 8.1. Distribuciones probabilísticas 8.2. Distribuciones discretas 8.2.1. Distribución uniforme 8.2.2. Distribución binomial 8.2.2.1. Ajuste de una distribución de frecuencias por una binomial 8.2.3. Distribución de Poisson 8.3. Distribución normal general 8.3.1 Propiedades 8.3.2. Representación gráfica de la normal general

223 224 226 227 227 229 230 232 234 236 238 238 239 240 242 244 246 246 247 248 249 252 252 253 254 254 254 255 256 263 263 264 264 265 269 270 273 275 275

17 8.4. Distribución normal tipificada 8.4.1. Propiedades de la normal tipificada 8.4.2. Representación gráfica de la normal tipificada 8.4.3. Función de distribución 8.4.4. Áreas bajo la curva normal 8.5. Aproximación de la binomial 8.6. Ejercicios Propuestos Apéndice al capítulo 8: Demostración de las propiedades de la distri bución normal

277 277 277 278 279 284 287 290

TERCERA PARTE: ESTADÍSTICA INFERENCIAL INFERENCIA ESTADÍSTICA 9.1. Fundamento teórico 9.2. Objetivos 9.3. Población y muestra 9.4. Muestreo aleatorio 9.5. Muestreo aleatorio simple 9.6. Estadístico 9.7. Distribución de los estimadores 9.8. Error típico 9.9. Propiedades de los estimadores 9.10. Distribución de la media muestral 9.11. Grados de libertad de un estadístico 9.12. Estimación puntual 9.12.1. Estimadores para una distribución normal 9.12.2. Estimadores para una población binomial 9.12.3. Estimadores para una distribución de Poisson 9.12.4. Estimadores de la diferencia de medias 9.12.5. Estimaciones del cociente de varianzas 9.12.6. Estimadores de la diferencia de datos apareados 9.12.7. Estimación de la diferencia de proporciones 9.13. Estimación por intervalos 9.14. Planteamiento general de un intervalo de confianza 9.14.1. Intervalo de confianza para la media de una distribución normal de varianza conocida 9.14.2. Intervalo de confianza para la media de una distribución normal de varianza desconocida 9.15. Relación entre la estimación puntual y por intervalo 9.16. Selección del tamaño de la muestra 9.17. Intervalo de confianza para la varianza

295 295 295 297 297 298 299 301 302 302 303 305 305 306 307 308 309 311 312 313 314 315 316 319 321 322 323

-18 9.18. Intervalo para la razón de varianzas 9.19. Ejercicios propuestos

324 326

10. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 10.1. Consideraciones previas 10.2. Contraste de hipótesis sobre la media de una distribución 10.2.1. La desviación típica es conocida 10.2.2. La desviación típica no es conocida 10.3. Contraste de hipótesis unilateral 10.4. Relación entre contrastes e intervalos de confianza 10.5. Potencia de un contraste de hipótesis 10.5.1. Idea de potencia 10.5.2. Variables que intervienen para fijar la potencia 10.5.3. Cálculo de la potencia 10.5.4. Factor de equilibrio 10.5.5. Cálculo práctico de la potencia 10.5.6. Curva de potencia 10.5.7. Selección del tamaño de la muestra 10.6. Ejercicios propuestos

331 331 331 332 336 337 339 342 342 343 344 346 346 348 349 351

11. DIFERENCIAS DE MEDIAS Y PORCENTAJES 11.1. Método de trabajo 11.2. Inferencias sobre diferencias de medias 1 1 .3. Muestras independientes 11.3.1. Contraste de diferencias con muestras grandes 11.3.1.1. Análisis de los resultados 11.3.1.2. Intervalo de confianza 11.3.1.3. Potencia del contraste 11.3.1.4. Gráfico de caja y extensión múltiple 11.3.2. Contraste de diferencia de medias con pequeñas muestras 1 1 .3.2. 1 . Contraste de diferencia de medias cuando las va rianzas poblacionales son conocidas 11.3.2.2. Potencia del contraste 11. 3. 2. 3. Contraste de homogeneidad de varianzas para muestras independientes 11. 3. 2.4. Contraste de diferencia de medias procedentes de poblaciones homogéneas 1 1.3.3. Contraste de diferencia de medias procedentes de poblacio nes no homogéneas 11.4. Diferencia de medias para muestras dependientes 11.4.1. Contraste de hipótesis

355 355 356 358 358 360 361 362 366 367 367 368 371 373 374 377 378

19

11.4.2. Intervalo de confianza 11.5. Inferencias sobre proporciones y porcentajes 11.5.1. Intervalo de confianza 11.5.2. Potencia del contraste 11.5.3. Determinación del tamaño de la muestra 11.6. Contraste de la diferencia de proporciones 11.7. Ejercicios propuestos

379 379 381 381 382 383 385

12. AJUSTE, INDEPENDENCIA Y HOMOGENEIDAD 12.1. Contrastes con frecuencias 12.2. Test de bondad de ajuste 12.2.1. Restricciones en el uso de la x2 12.2.2. Pruebas de normalidad 12.2.2.1. Prueba de normalidad basada en la x2 12.2.2.2. Prueba de normalidad basada en los residuales ... 12.3. Pruebas de independencia 12.3.1. Corrección de Yates 12.4. Pruebas de homogeneidad 12.5. Prueba de igualdad de proporciones 12.6. Coeficientes de contingencia 12.6.1. Coeficiente de Cramer 1 2.7. Ejercicios propuestos

389 389 390 393 394 394 395 398 402 402 404 406 406 407 407 408

13. ANÁLISIS DE LA VARIANZA 13.1. Técnica del análisis de la varianza 13.2. Tipos de diseño 13.3. Análisis de varianza unidireccional 13.3.1. Modelo matemático 13.3.2. Variaciones intragrupo e intergrupos 13.3.3. Contraste de la F de Fisher-Snedecor 13.3.4. Cálculos y tabla resumen 13.3.5. Comparaciones múltiples 13.3.5.1. Prueba LSD ó t protegida 13.3.5.2. Prueba de Scheffe 13.3.5.3. Prueba de Duncan 13.3.5.4. Prueba de Tukey 13.3.6. Intensidad de la relación 13.4. Diseño factorial 13.4.1. Modelo matemático

411 411 411 412 415 416 419 420 423 423 424 426 427 428 428 429

20

13.4.2. Establecimiento de las hipótesis 13.4.3. Descomposición de las variaciones 13.4.4. Medias cuadráticas y contrastes 13.4.5. Cálculos y tabla resumen 13.4.6. Pruebas de comparaciones múltiples 13.4.7. Prueba de los efectos principales simples 13.4.8. Interpretación de los resultados 13.5. Ejercicios propuestos 14. INFERENCIAS SOBRE REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN 14.1. Fases en la construcción del modelo de regresión 14.2. El modelo de regresión lineal 14.3. Elección del modelo de regresión lineal 14.4. Estimadores de los parámetros de regresión 14.4.1. Comprobación de hipótesis 14.4.2. Contraste sobre el coeficiente de regresión mediante análi sis de la varianza 14.4.3. Inferencias mediante la t de Student 14.4.4. Inferencias acerca de a 14.5. Intervalos para la respuesta media y para una sola respuesta 14.5.1. Intervalo para la respuesta media 14.5.2. Intervalo de predicción para una respuesta 14.6. Contraste sobre la linealidad del modelo de regresión 14.7. Estimación del coeficiente de correlación de Pearson 14.7.1. Contraste basado en la t de Student 14. 7. 1.1. Potencia del contraste 14.7. 1.2. Determinación del tamaño de la muestra 14.7.2. Coeficientes de determinación y de no alineación 14.7.3. Contraste del coeficiente de correlación basado en el análi sis de la varianza 14.8. Contraste de la diferencia de coeficientes de correlación 14.9. Ejercicios propuestos 15. CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS Y DE DISTRIBUCIÓN LIBRE 15.1. Consideraciones previas 15.2. Ventajas e inconvenientes de las pruebas no paramétricas 15.3. Pruebas basadas en rangos 15.3.1. Prueba de la suma de rangos 15.3.2. Prueba de Kruskal-Wallis 15.3.3. Prueba de Wilcoxon para dos muestras dependientes

431 432 433 434 439 439 442 445 451 451 452 452 454 456 456 460 461 462 462 464 465 470 471 473 474 474 475 476 478

483 483 483 485 485 490 494

21 15.4. Otras pruebas 15.4.1. Prueba de la mediana 15.4.2. Prueba de rachas de Wald-Wolfowit 15.4.3. Prueba de los signos 15.5. Ejercicios propuestos

497 498 501 503 505

APÉNDICE A: Tablas estadísticas Tablas estadísticas

509 509

APÉNDICE B: Teoría combinatoria Combinatoria B.1. Variaciones ordinarias B. 1.1. Formación de las variaciones ordinarias B.1.2. Número de variaciones ordinarias B.2. Variaciones con repetición B.3. Permutaciones B.4. Permutaciones con repetición B.5. Combinaciones B.6. Combinaciones con repetición

529 531 531 531 532 533 534 534 535 536

APÉNDICE C: Otros modelos de distribución Otros modelos de distribución C.1. Función (gamma) C.1.1. Distribución (gamma) C.1.2. Distribución exponencial C. 1 .3. Distribución X2 C.2. Distribución t de Student C.3. Distribución F de Fisher-Snedecor

537 537 539 539 540 540 542 543

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS

545

BIBLIOGRAFÍA

561

ÍNDICE ALFABÉTICO

567

INTRODUCCION

1.1. Sumas indicadas La Matemática, en su afán por definir los conceptos con precisión y expresar los razonamientos con claridad, emplea un lenguaje simbólico, que resulta difícil de enten der si no se conoce bien el significado de los símbolos y signos de que se sirve. Uno de los símbolos, que aparecerá profusamente a lo largo de las páginas de este libro, es el símbolo de la suma indicada o «sumatorio», que representamos con la letra griega Z (sigma mayúscula), y que emplearemos para expresar la suma de diversos conjuntos de números.

Ejemplo 1. 1 Supongamos que un dependiente de unos grandes almacenes ha ido registrando los ingresos por las ventas realizadas a lo largo del día, y que tiene almacenados los datos en una variable con índice: A =22600, A =15500, A =8250, A4=25200, A5=32400, Ai representa el valor 22600 de los ingresos por la primera venta, A, representa el valor 13500 de los ingresos por la segunda venta,

La variable con índice A define así el conjunto de los ingresos por ventas que ha realizado el dependiente. Para expresar la suma de todos los ingresos, se procede de acuerdo con el criterio que establece la siguiente definición:

24

Definición 1.1: Dado el conjunto de números reales {A ,A„. ..,An} representado por la variable con índice A , la expresión (1)

¿x indica la suma de todos sus elementos: A1+A,+...+An

y se debe leer como «la suma de» todos los valores que toma la variable A . empezan do por el primero, A, (A, cuando i=l ) y terminando por el último, An (A, cuando i=n): El índice inferior (i=l ) especifica que la suma empieza en A , y el índice superior (i=n), colocado sobre la Z. señala el último de los sumandos. La letra i, que hemos empleado para designar un índice genérico, es una variable «muda», que puede reemplazarse por otra letra que no haya sido utilizada. Así: n

n

n

lA, = lA,= lAk i=l

i=l

k=1

La suma de todos los ingresos por ventas del dependiente de los grandes almace nes se expresa como:

ÍA que, una vez desarrollado, resulta: 5

Xa = A, + A, + A, + A, + A, = 22600+ 15500 + 8250 + 25200 + 32400= 103950 M

Una generalización de la definición 1.1 es la siguiente: Definición 1.2: Consideremos el conjunto de los números reales { ArA„. ...A }. y sean p y q dos números naturales, siendo p
p,

(2)

indica la suma A +A ,+...+A Esta nueva fórmula permite especificar sumas parciales de cualquier subconjunto de un conjunto dado, sin más que señalar cuáles son el primero y el último de los sumandos. Volviendo al ejemplo 1. 1 , la expresión

Xa

25 representa la suma de los ingresos por los artículos vendidos en segundo, tercero y cuarto lugar: 4

X A. = 1 5500 + 8250 + 25200 = 48950 La especificación del primero y del último de los índices es importante. Sin embar go, en muchas ocasiones no se especifican. Cuando suceda esto, debe entenderse que la suma se extiende a todos los elementos del conjunto que define la variable A. Propiedades 1.

'Z(X + Y)=^X + ^Y

[3]

Esta propiedad nos dice que, si cada sumando de una suma indicada se descom pone en dos, el valor de ésta es el mismo que se obtiene de sumar los resultados de las dos sumas parciales. Ejemplo 1.2 Supongamos que el dependiente de los grandes almacenes del ejemplo I.1 cobra por separado el importe neto del producto y el impuesto (IVA) que lo grava. Los ingresos anteriores vendrían ahora desglosados en la forma: Valor del artículo (X) IVA(Y) Precio de venta (A)

0179 2421 2600

siendo

13839 1661 15500

7366

884 8250

22500 2700 25200

A=X+Y i i i

La suma de los valores de los artículos libres de impuesto es: tx=20179+13839+7366+22500+28929=92813 y la suma de los impuestos (IVA) de los artículos: X^ = 2421 + 1661 + 884 + 2700 + 3471 = 1 1 137 Comprobamos que efectivamente es 5

5

.5

X*,+X^ =92813+ 11 137= 103950 = XA

28929 3471 32400

26

(4)

X(x-y) = lx-ly

II.

Esta propiedad nos indica que, para hallar el precio neto, es igual sumar los pre cios de venta de los artículos por un lado y los impuestos por otro y restar, que sumar las diferencias entre el precio de venta y el IVA de cada uno de los artículos: 5

5

Xa, -X*;. =103950-11137=92813

X (A, -Y,)= 20179 + 13839 + 7366 + 22500+ 28929 = 92813 III. Si k es una constante (5)

lkA, = klA,

Así, por ejemplo, si todos los precios se multiplican por 2, el precio total será también el doble. Esta propiedad se conoce como «distributiva», y es la que permite sacar factor común: J

5

¿2Aí=2A1+2A2+2A3 + 2A4+2A5 = 2(a,+A2+A3+A4+A5) = 2Xa¡

IV. Si k es una constante %k = M

(6)

Lo comprobamos para k=7: 5

^7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5x7 = 35 Como caso particular, tenemos N

(7)

V. Si k es una constante N

N

X(Ai-k) = X,Ai-Nk

(8)

27

La expresión (8) surge de aplicar (4) y luego (6): N

N

N

n

Nos interesa ahora resaltar dos reglas que no cumple la suma indicada:

1)

YXY*(YX)(1Y)

es decir, no se obtiene el mismo resultado si se multiplica primero cada valor de X por cada valor de Y, sumando a continuación los productos, que si se suman, por un lado las X, y, por otro las Y, multiplicando a continuación las dos sumas. Tampoco es igual la suma de los cuadrados de los valores de X y el cuadrado de su suma. 2)

1X2*(1X)2

Ejemplo I.3 Si tenemos los valores X =2, X,=6, X =7 e Y=3, Y,=5, Y,=4, será: £aT = 2x3 + 6x5 + 7x4 = 6 + 30 + 28 = 64 (X*)(5^) = (2 + 6 + 7)x(3 + 5 + 4)=15xl2=180 lo que demuestra la desigualdad 1 ). Asimismo mientras que

^X2 =22 +62 +72 =4 + 36 + 49= 89 (X*)2 =(2 + 6 + 7). = 152 =225

lo que prueba la desigualdad 2).

1.2. Sumas dobles Son también numerosas las ocasiones en que nos encontramos con variables con dos índices. Vamos a servirnos de un ejemplo sencillo para que el lector no habituado a tratar con matrices descubra la necesidad y el modo de trabajar. Ejemplo I.4 Supongamos que un almacenista tiene cuatro tipos de artículos clasificados por el año de antigüedad (según los tres últimos años). Una tabla de doble entrada (4 filas por 3 columnas) le permite representar fácilmente sus datos, que serán guardados en una variable con dos índices:

28

Artículos

1 2 3 4

Años de antigüedad 1 2 3 >

>>>

A representa el precio del artículo 1 con 1 año de antigüedad, Ai2 representa el precio del artículo 1 con 2 años de antigüedad,... Si sustituimos los símbolos de las variables (las A ) por los valores que represen tan, quedará la matriz numérica:

1 2 3 4

1 50 25 16 12

2 60 30 10 8

3 35 10 14 24

que, realmente, es un cuadro de números ordenados por filas y por columnas. Los elementos de la primera fila son los precios del artículo 1 según el año de antigüedad: 50, 60, 35; los elementos de la primera columna son los precios de cada artículo con un año de antigüedad,... Cuando el número de filas(m) y de columnas(n) es grande, una manera de repre sentar la suma de todos los elementos de la matriz es mediante la expresión: (9) que, en el ejemplo I.4, es

M ¡=1

Por tratarse de sumas de números que cumplen las propiedades asociativa y conmutativa, el resultado es el mismo cualquiera que sea el orden que sigamos para sumar. Se puede proceder comenzando por sumar, en primer lugar, los elementos de cada columna, y después hallar la suma de sus resultados, o bien comenzar por la suma de las filas, para después sumar sus totales. Si sumamos primero las columnas, resulta:

29

4

3

4 í 3

"\

4

4

4

4

XXa„=X Xa„ =X(a, + An + A.,)=Xa.i + Xa,2 + Xa.3 = i=l i=i

,.1 l i.1

J

i-l

i=l

i=l

i=l

= (An + A2i + A.m + Aii) + (A12 + A22 + A35 + A42) + (A13 + A23 + A33 + A43) =

= (50 + 25 + l6 + 12) + (60 + 30 + 10 + 8) + (35 + 10 + 14+24) = 103 + 108 + 33 = 294 Empezando por la suma de las filas: 4

J

3 ( 4

\

3

3

3

.í

J

XX A/ = X X^, = XU, + A2; + A3J + A„) = Ia,j + XA2, + 2,A,, + XaJ, ./ /./

V./.1

/

;.'

= (A/, + A« + A,.i) + fA2i + A22 + AuJ + M.i/ + A» + A.it) + (A4/ + A42 + A4.l) = = (50 + 60 + 35) + (25 + 30 + 10) + ( 16 + 10 + 14) + (12 + 8 + 24) = 145 + 65 + 40 + 44 = 294 Hemos comprobado, por tanto, que el resultado es el mismo cualquiera que sea el orden que sigamos para sumar, lo que podemos expresar mediante la fórmula: rn

n

m

f n

Xa, XX\o =X ,.i ¡.i ,.i

\

( m

\

-i ,»1Xa„ )

(10)

Propiedades de la suma doble I. Si k es constante,

II* A« = * IS Ao

(11)

Esta propiedad resulta evidente, ya que la constante se puede sacar factor común en las sumas simples, según hemos visto en (5). También resultan fáciles de compro bar las siguientes: II.

IE(a,±B,)-IXA|±XXBi rn

III.

XXk - nink = Nk. si mn= N. nr

IV

(12)

n

(13)

n

X X I = mn = N, si mn = N.

(14)

,.1 i.i

V. Cuando cada uno de los términos a es un producto de dos factores de la forma b.c, donde cada factor depende de uno de los índices, la suma doble se puede expresar como producto de sumas simples: ( m

\f a

(15)

XXbiC¡= Xb, Le, 1.1 i.'

\\-\

)\r-\

)

M)

Ejemplo 1.5 r 4 > í' ^ 15>4i = 1 3, 14. = (3+32+33 + 3^X4 + 42+4')= 120-84 = 10080 ,=l j=1 .-, > \» ) J

3

En ocasiones, interesa obtener sumas parciales de una suma doble, como puede ser, en el ejemplo 1.4, la suma de los precios de todos los artículos con un año de antigüedad (que se corresponde con la suma de los elementos de la primera columna de la tabla): 4

5X¡ = An +A^1 +AH +A4l = 103 1=1

o la suma de los precios de los artículos 1 y 2 (suma de las dos primeras columnas): 4

PRIMERA PARTE

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CAPITULO 1 DISTRIBUCIONES Y GRÁFICAS

1.1. Concepto y términos Podemos definir la Estadística Descriptiva como un método para describir numéri camente conjuntos numerosos. Por tratarse de un método de descripción numérica, la Estadística Descriptiva utiliza el número como medio para describir un conjunto, que debe ser numeroso, ya que las permanencias estadísticas no se dan en los casos raros. No es posible, por tanto, sacar conclusiones concretas y precisas de los datos estadísticos. La Estadística Descriptiva se inicia con los trabajos que realiza John Graunt sobre la natalidad y mortalidad en Londres en el período que va de 1604 a 1661 . Debido a su origen, los términos que se utilizan son propios del ámbito de la Demografía. Conviene hacer una distinción entre lo que llamamos Estadística Descriptiva Di recta, que pretende describir las características relevantes de un conjunto de datos, y la Estadística Inferencial, que utiliza técnicas especiales para conocer los elementos de un conjunto a partir de los datos de un subconjunto del mismo. Francis Galton y Karl Pearson, en los últimos años del siglo XIX y en los primeros del siglo XX. sientan las bases de la Estadística Inferencial, cuyas técnicas se aplican hoy a casi todos los dominios de la investigación científica, como son la Medicina, Biología, Economía, Ciencias de la Educación, Psicología, Química,... La inferencia estadística intenta tomar decisiones basadas en la aceptación o el rechazo de ciertas relaciones que se toman como hipótesis. Esta toma de decisiones va acompañada de un margen de error, cuya probabilidad está determinada.

1 .2. Población, muestra e individuo Llamamos población o universo al conjunto de los elementos que van a ser obser

34

vados en la realización de un experimento. Cada uno de los elementos que componen la población es llamado individuo o unidad estadística. Los individuos no tienen por qué ser personas, sino que pueden ser objetos cualesquiera. Estos objetos pueden ser simples, como lámparas, automóviles, niños,... o colectivos, como familias de personas, equipos de fútbol.... Atendiendo al número de elementos que la componen, una población puede ser finita o infinita. Aún en el caso de una población finita, el número de individuos que la forman puede ser suficientemente grande como para que no puedan ser observados todos ellos. En otras ocasiones, no es posible la observación de todos los individuos de la población debido al coste que ello supone. En estas situaciones, se trabaja con un subconjunto de elementos de la población al que denominamos muestra. El número de elementos de la muestra es su tamaño.

1.3. Caracteres y modalidades Se llama carácter de un individuo a cada una de las facetas bajo las cuales éste puede ser analizado. El carácter es, por tanto, una propiedad que permite clasificar a los individuos de la población. Así, por ejemplo, los estudiantes de una universidad pueden ser analizados, entre otros, según los siguientes caracteres: sexo, edad, cociente intelectual, calificaciones en una determinada asignatura, estatura, peso,... Un mismo carácter puede presentar distintas situaciones, a las que llamaremos modalidades de dicho carácter. Así, el carácter sexo presenta dos modalidades: sexo masculino y sexo femenino. Aquellos caracteres que sólo admiten dos modalidades, como el sexo, se llaman dicotómicos. A) Propiedad fundamental: Las diversas modalidades de un mismo carácter deben ser incompatibles y exhaustivas es decir, cada uno de los individuos de la población debe tener una y sólo una de las modalidades del carácter. Para un mismo carácter, el número de modalidades que pueden ser analizadas es variable. Así, el estado matrimonial de una persona puede considerarse bajo dos modalidades: casado o soltero; tres modalidades: casado, soltero, viudo; cuatro mo dalidades: casado, soltero, viudo, divorciado; cinco modalidades: casado, soltero, viudo, divorciado, separado;...

35 B) Tipos de caracteres: Es conveniente distinguir entre dos tipos de caracteres: cualitativos y cuanti tativos. Un carácter se dice cuantitativo cuando sus diversas modalidades pueden ser medidas o numeradas. La talla, el peso, la edad, el diámetro de una pieza circular,... son caracteres cuantitativos. Un carácter se dice cualitativo cuando sus distintas modalidades no son medibles ni contables, sino que su variación se pone de manifiesto mediante cualidades que presentan formas alternativas, como puede ser el estado matrimonial, el sexo,...

1 .4. Variable estadística En el caso de un carácter cuantitativo, a cada modalidad del mismo se le asocia un número. Esta correspondencia define lo que llamamos variable estadística, de modo que los diferentes valores de las distintas modalidades son los posibles valores de dicha variable estadística. Cuando los valores posibles de la variable estadística son aislados, se dice que la variable estadística es discreta. Constituyen una variable estadística discreta el núme ro de miembros que pueden convivir en una misma familia, el número de goles que consiguen los equipos de fútbol de la primera división en una jornada.... Si los valores posibles de la variable estadística son infinitos o es posible encon trar individuos que los posean con una diferencia tan pequeña como se desee, se dice que la variable estadística es continua. El diámetro de una pieza circular, la capacidad de una bombona de gas butano, la talla de los quintos de un reemplazo,... son ejemplos de variable estadística continua. La distinción entre variable estadística discreta y continua es arbitraria. Suele considerarse como continua una variable capaz de tomar gran número de valores, aunque sean valores aislados, como pueden ser los salarios mensuales de los obreros de una gran empresa.

1 .5. Distribución de frecuencias La Estadística Exploratoria recomienda comenzar por el análisis de la estructura de los datos. Se clasifican éstos de acuerdo con la modalidad del carácter a que pertene ce cada uno de los individuos y se ordenan, anotando sus resultados en una tabla. La ordenación de los datos en la tabla, acompañados de las frecuencias corres pondientes, es lo que se llama distribución de frecuencias.

36

A continuación definimos el concepto de frecuencia y sus clases, y exponemos el diseño general de una tabla estadística.

1.5.1. Frecuencia absoluta v relativa Se llama frecuencia absoluta, n , de la modalidad C al número de individuos que presentan dicha modalidad. Se \lamafrecuencia relativa, f , de la modalidad Cal cociente de dividir su frecuen cia absoluta, n¡, por el número total de individuos de la población, N: n (1) A veces, la frecuencia relativa se da como porcentaje (frecuencia relativa referida a 100 individuos), que se obtiene de multiplicar por 100 la frecuencia relativa: (2)

P, = 100/

1.5.2. Propiedades de las frecuencias Como las modalidades Cr C, Ck del carácter C son incompatibles y exhausti vas, se verifica: 1. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de individuos de la población:

X«, = N

(3)

2. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1: ,4,

I/-1 i

k

.

k

i

En efecto: ,-i N

N ,=l

N

1.5.3. Frecuencias acumuladas Consideremos una población de N individuos, cuyo carácter C es cuantitativo. Llamamos frecuencia absoluta acumulada en el valor x¡ a la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a x^ y la representaremos por N :

37

(5)

Para obtener las frecuencias absolutas acumuladas, es conveniente ordenar los valores de la variable x . Llamamos frecuencia relativa acumulada en x. al cociente de dividir la frecuencia absoluta acumulada por el número de observaciones; la representamos por F : i

h,- N

N

tí '

1 .6. Parámetros y estadísticos A partir de los datos estadísticos contenidos en la distribución de frecuencias se obtienen unos valores numéricos, que se utilizan como resúmenes cuantitativos de la misma, y que se denominan estadísticos o estadígrafos de la distribución. La media aritmética, que después definiremos, es un estadístico. Hay dos tipos de estadísticos: descriptivos e inferenciales. Los estadísticos descriptivos son valores numéricos obtenidos a partir de los datos de una distribución de frecuencias y que señalan una característica de la misma. Los estadísticos inferenciales son también valores numéricos obtenidos a partir de los datos de una distribución estadística, pero que se utilizan para proporcionar información acerca de la población a que pertenece la muestra cuyos datos forman la distribución. Muchos de los estadísticos descriptivos son también utilizados como estadísticos inferenciales. Por ahora sólo trataremos estadísticos descriptivos. El valor correspon diente a un estadístico inferencial en la población se llama parámetro. La media arit mética poblacional es un parámetro. Los valores de los parámetros son. de ordinario, desconocidos, ya que las pobla ciones suelen ser demasiado amplias para poder tener un conocimiento directo de todos sus elementos. Por ello, los parámetros se estiman a partir de los datos de las muestras, usando técnicas propias de la Estadística Inferencial.

1.7. Tablas estadísticas Hecho el recuento de los individuos que pertenecen a cada modalidad del carácter analizado, se recogen los datos ordenados en una tabla.

38 Los paquetes informáticos disponen de módulos orientados al diseño de tablas de frecuencias, con opciones para dirigir la salida de resultados a la pantalla del ordena dor, a la impresora o a un «plotter». Supongamos una distribución de N individuos descrita según un carácter C que presenta k modalidades CrC, C. La forma general de la tabla es: Modalidades F. Absolutas F. Relativas Porcentajes

c, c.

n, n,

f, f.

lOOxf, lOOxf,

c

n

f

lOOxf

1

q Total

i

\ N

t; i

lOOxf^ 100%

Ejemplo 1.1 La tabla siguiente corresponde a la distribución de 50 personas atendiendo al color de los ojos: Modalidades F. Absolutas F. Relativas Porcentajes Azules Verdes Castaños Negros Total

16 12 14 8 50

032 0'24 0'28 0'16

roo

32% 24% 28% 16% 100%

1.7.1. Tabla de una variable estadística discreta Cuando el carácter estudiado es cuantitativo, si la variable estadística es discreta, las modalidades del carácter son los posibles valores x, de éstas.

39 La tabla estadística correspondiente a una variable discreta se construye ordenan do de menor a mayor los distintos valores de la variable y anotando en columnas sucesivas las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y los porcentajes: Valor de la variable F. Absoluta

"\

F. Relativa

Porcentajes

f

lOOxf lOOxf,

lOOxf

\ Total

N

1

100xfk 100%

La tabla estadística se completa añadiendo los valores de las frecuencias acumu ladas, que se suelen situar sobre las líneas con el fin de facilitar su comprensión y los cálculos posteriores. Ejemplo 1.2 Elegida al azar una muestra de 50 familias de una ciudad española, se contabiliza ron 7 familias sin hijos, 13 familias con un solo hijo, 15 con 2 hijos, 8 con 3 hijos y 7 familias con 4 ó más hijos. La tabla, completada con las frecuencias acumuladas, es: P%

1

14

0,14 7

0,14 0,26

13 20

26 0.40

0,30

15

30 0,70

35

16

0,16

43 4 ó más

0,86 0.14

Total

50

14 1,00

50 1,00

100%

40

1.7.2. Agrupación en clases Para facilitar el estudio de los posibles valores de una variable estadística conti nua, éstos se agrupan en clases o intervalos de clase, que constituyen las modalida des del carácter. Generalmente se toman los intervalos solapados de forma que cubran todos los posibles valores de la variable; son intervalos semiabiertos (cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha). Representaremos la i-ésima clase por te,,,e,)

(7)

donde e,, es el extremo inferior del intervalo y e es el extremo superior, que no forma parte del mismo. La amplitud de clase es la distancia entre sus extremos. La amplitud de la clase i-ésima es, por tanto: a.=e-e , (8) t

i

i-i

v

f

Las clases pueden tener una amplitud constante o variable, aunque es aconsejable elegir los intervalos con amplitud constante. Así, las estaturas de una muestra de estudiantes pueden agruparse en clases de la siguiente forma: de 1,55 m. a menos de 1,65 m. de 1,65 m. a menos de 1,75 m. de 1,75 m. a menos de 1,85 m. más de 1,85 m. La amplitud de las tres primeras clases es de 10 cm., mientras que la amplitud de la última clase es indeterminada. Se dice que esta clase es abierta. Los extremos de clase son 1,55; 1,65; 1,75;... Los intervalos de clase son [l'55,r65), [l'65,r75),... La última clase no tiene extremo superior. La elección del número de clases depende del recorrido y de la amplitud de cada uno de los intervalos. Se define el recorrido o rango de una variable estadística como la diferencia entre los valores mayor y menor de la variable. Si lo representamos por R. es: R = máx(x^ - mui(x)

(9)

Se puede fijar el número de intervalos y deducir la amplitud de éstos o bien fijar la amplitud y calcular el número de intervalos. Si son todos los intervalos de amplitud constante a=a, el número n de intervalos de clase, la amplitud y el recorrido verifican la relación: n = R/a

(10)

Se suele actuar de acuerdo con los siguientes criterios: 1) El número total de intervalos de clase debe estar comprendido entre 5 y 15. Si se elige un número menor, pueden darse inexactitudes, y un número mayor de 15 compli

41

ca excesivamente el proceso. Si se tienen N observaciones, Sturges propone tomar como número k de intervalos el valor k=l+[3'3-logN]

(11)

2) Siempre que sea posible, se debe procurar que todos los intervalos tengan la misma amplitud. Cuando se elige previamente la amplitud de clase, se toma, como valor de la misma, la raíz cuadrada del número de observaciones N: (12) N Se llama centro o marca de clase al punto medio de cada intervalo de clase. La marca de la i-ésima clase es: (13) C'~ *'.., 2+ ''. Es conveniente disponer, al hacer los cálculos, de la distancia entre dos marcas de clase consecutivas. La distancia entre las marcas de la clase i y de la clase i+1 viene dada por: ¿-r e¡ + el'¡ e"+e' e±LJ» (14) a,-cM ci- 2 ' 2 ~ 2 Cuando los datos están agrupados en clases, se considera que todos los indivi duos pertenecientes a una clase tienen el valor que señala la marca de clase. Por este motivo, la utilización de intervalos de clase, si bien supone una mayor comodidad en los cálculos, también conlleva una pérdida de información, sobre todo si la distribu ción de los datos en el intervalo no es homogénea. Ejemplo 1.3 Se ha realizado un test para evaluar la capacidad de abstracción de un grupo de treinta alumnos de primer curso de Bachillerato, obteniéndose los resultados que figuran en el siguiente recuadro: 22 40 45 36 38 24 32 41 50 41 29 44 33 38 28 29 45 34 26 28 28 32 47 5041 36 31 24 30 36 Para construir la tabla de frecuencias, como el recorrido es 50-22=28, se pueden elegir seis o siete clases. Si se opta por seis clases, los datos estarán agrupados de la siguiente forma: Intervalos Frecuencias [22,27) [2732) [3237) [37,42) [42,47) [47,52)

4 6 7 6 3 4

42

Es frecuente también el uso de intervalos que no están solapados, como pueden ser las puntuaciones facilitadas por el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.4 Las calificaciones obtenidas por los alumnos de un colegio han sido reflejadas en la siguiente tabla: Intervalos

Frecuencias

1-10 11-20 21-30 3140 41-50 51-60 61-70 71-80 Total

30 15 63 84 50 46 32 14 364

Es evidente que no están recogidas calificaciones no enteras, como puede ser una puntuación de 50' 5 puntos, y, sin embargo, en alguna situación podría ser interesante disponer de datos como éste. Por ello, es conveniente elegir nuevos intervalos que contengan estos posibles valores, manteniendo las frecuencias. En este ejemplo, basta con tomar como extremos a los puntos medios entre los extremos superior e inferior de cada dos intervalos contiguos, modificando también los intervalos de modo que todos ellos tengan la misma amplitud. La tabla de frecuencias para el ejemplo 1 .4. quedaría así: Intervalos

Frecuencias

0'5-10'5 10'5-20'5 20'5-30'5 30'540'5 40'5-50'5 W5-fti'5 60'5-70'5 70'5-80,5 Total

30 15 63 84 50 46 32 14 364

43

1.7.3. Tabla de una variable estadística continua

Si la variable estadística es continua, bien por su propia naturaleza, bien porque así sea considerada, las modalidades del carácter son las diferentes clases elegidas, que vienen determinadas por sus extremos. Para facilitar la lectura y comprensión de los datos, las frecuencias acumuladas se suelen situar sobre las líneas. Las modalidades extremas a veces son imprecisas, lo cual no es problemático, ya que las frecuencias correspondientes representan generalmente una fracción muy pequeña de individuos. Ejemplo 1.5 Una oficina de reclutamiento del ejército ha medido la estatura de 100 jóvenes de reemplazo, obteniendo los siguientes resultados (en centímetros): 183 169 163 177 187 195

182 191 181 158 168 173

165 176 187 161 156 178

179 174 172 181 191 172 179 162 161 168 188 164

171 179 182 193 168 175 160 171 176 181 174 176 174 167 180 172 183 172 186 179 163 170 164 168

188 166 184 185 192 159

164 164 171 188 157 169

186 171 169 174 168 187

170 176 169 177 178 184

173 175 177 181 188 183 179 178 162 171 182 163 173 183 157 166 169

168 188 178 172 166

El recorrido es 195-156=39 cm. que. dividido entre 6. da un resultado próximo a 7. Tomamos, por tanto, un número de 7 intervalos, cada uno con una amplitud de 6 centímetros. Si completamos la tabla con las marcas de clase, frecuencias absolutas, frecuen cias relativas, frecuencias acumuladas y porcentajes, queda: KriroiiK

Maros

Frcab.

Fre. ab. ac

Fre.reL

154-160 160-166 166-172 172-178 178-184 184-190 190-1% Total

157 163 169 175 181 187 193

5 13 22 21 21 13 5 100

5 18 40 61 82 95 100

005 0'13 0'22 0'21 0'21 0'13 0'05

roo

FrereLac 0'05 018 0'40 0'61 0'82 0'95

roo

Rirartajes 5% 18% 40% 61% 82% 95% 100% 100%

44 1 .8. Representaciones gráficas La forma tabular de presentar la distribución de un carácter suele ir acompañada de una gráfica. Un despliegue gráfico proporciona una impresión que ayuda a clarifi car la variabilidad y simetría de la distribución que figura en la tabla de frecuencias. Los programas informáticos permiten el uso de una amplia gama de gráficos esta dísticos, cada uno de ellos con múltiples opciones especiales, que ayudan a determi nar la estructura de los datos, a encontrar relaciones entre ellos e incluso a comprobar ciertas hipótesis, de forma que hoy se están utilizando para hacer inferencias. Los gráficos estadísticos, que constituyen una de las herramientas fundamentales de que se sirve la Estadística Exploratoria, están siendo utilizados también en la Esta dística Inferencial o Confirmatoria. Hay diferentes tipos de gráficos que dependen, en general, de la naturaleza del carácter estudiado: /. Carácter cualitativo: En este caso, se suelen utilizar figuras geométricas, como rectángulos o círculos: a esta categoría pertenecen los diagramas de rectángulos o barras y de sectores. También se usan figuras no geométricas, como los pictogramas. En las Ciencias de la Educación, es muy frecuente el uso de los perfiles ortogonal v radial. II. Carácter cuantitativo: Cuando el carácter es cuantitativo, hay diversos tipos de representaciones, dependiendo además del hecho de que se estudie una o más de una variable. Los tipos fundamentalmente son dos: 1) Diagrama diferencial: A esta categoría pertenecen el diagrama de barras o rectángulos, en el caso discreto, y el histograma. en el caso continuo. A estos gráfi cos se les asocia el polígono de frecuencias simples, que es usado en ambas situacio nes, y la cuna de frecuencias en el caso continuo. 2) Diagrama integral: Dentro de esta categoría se encuentra el diagrama de frecuencias acumuladas y el polígono de frecuencias acumuladas en el caso discre to, y la cuna acumulativa de frecuencias u ojiva, en el caso continuo. El análisis exploratorio de datos ha incorporado nuevos tipos de gráficos orienta dos, unos a la detección de asimetrías, lagunas y anomalías, y otros con carácter confirmatorio, que serán analizados en el capítulo que dedicamos al estudio de los métodos exploratorios.

1.8.1. Representaciones de caracteres cualitativos I. Diagrama de rectángulos El diagrama de rectángulos se construye sobre un sistema de ejes cartesianos, situando en uno de los ejes las distintas modalidades del carácter y en el otro los valores de las frecuencias.

45 Para elegir la unidad de medida, se considera la frecuencia mayor y se toma como máximo un valor próximo superior a ella. Así, si el mayor valor de la frecuencia fuese 9, se tomaría 1 0 como valor máximo sobre el eje correspondiente. Sobre cada modalidad se levantan barras o rectángulos de la misma base, que, por tratarse de datos discontinuos, no suelen estar solapados, y de altura proporcional a la frecuencia de la modalidad (se toma habitualmente la altura igual a la frecuencia). Según se sitúen las modalidades del carácter sobre el eje de abscisas o de ordena das, se tendrán diagramas de rectángulos verticales u horizontales. Ejemplo 1.6 La tabla siguiente contiene los datos de la distribución de 150 personas de 25 a 45 años de edad, según su estado civil. Estado

Soltero

Casado

Fr. absoluta

20

78

Viudo Divorciado Religioso No declarado 15

26

7

4

Se consideran las modalidades de soltero, casado, viudo, divorciado o separado, religioso y no declarado. Las figuras 1.1 y 1.2 contienen los diagramas de rectángulos vertical y horizontal correspondientes.

Figura 1.1. Diagrama vertical.

Figura 1 .2. Diagrama horizontal.

II. Diagrama de sectores El diagrama de sectores de una distribución se construye trazando una circunfe rencia de radio arbitrario y dividiendo su círculo en sectores. Cada sector circular se asocia con cada una de las modalidades del carácter, de modo que el ángulo central de cada sector sea proporcional a la frecuencia de la correspondiente modalidad.

46

Figura 1.3. Diagrama de .sectores.

A veces, al diagrama de sectores se le da una profundidad, lo que le confiere un aspecto de «pastel circular», «gráfico en ruedas» o «queso en porciones», apelativos con los que también se le denomina. Los diagramas de sectores se utilizan principal mente en Demografía y en Geografía Económica. III. Pictograma En este tipo de gráfico, cada modalidad del carácter se representa por una figura no geométrica, como puede ser un automóvil, un edificio, una herramienta de traba jo,... de tamaño proporcional a su frecuencia. Para evitar confusiones, según se tomen las frecuencias proporcionales a la longi tud, a la superficie o al volumen de la figura, debe tenerse en cuenta que. si la razón de las longitudes es de 1/r. la razón de las superficies es de 1/r y la de los volúmenes de 1/r". Un procedimiento alternativo consiste en tomar un dibujo como modelo y repetirlo un número de veces proporcional a la frecuencia de la modalidad correspon diente. Ejemplo 1.7 Consideremos la producción de determinado modelo de automóvil de una empresa en sus diversas factorías en cuatro ciudades A. B. C y D: Ciudad

A

B

t

D

N° de automóviles

500

KXX)

2000

3500

47

Representación alternativa: A: B: C l>.

IV. Perfiles Los perfiles pueden adoptar forma radial, cuando las modalidades del carácter se representan sobre radios que parten de un mismo punto, u ortogonal, cuando se representan sobre unos ejes cartesianos. La utilidad del perfil en el campo educativo se justifica por el hecho de captar, de una vez. diversos rasgos o características del alumno. Según los rasgos que se pretenden ilustrar, hay una gran variedad; hay perfiles sobre intereses, aptitudes, rendimiento,... Los perfiles sobre rendimiento académico reciben el nombre de nosogramas. Los perfiles, realmente no son gráficos que correspondan a distribuciones de un carácter. Sin embargo, los hemos incluido aquí, porque cabe la interpretación de las calificaciones como valor de la frecuencia de cada asignatura. A) Perfil ortogonal Dado un sistema de ejes cartesianos, sobre el eje de abscisas se sitúan las diver sas modalidades del carácter, como pueden ser las diversas asignaturas que cursa un alumno: Matemáticas. Física, Química. Dibujo y Biología. Sobre cada asignatura se marcan con un punto los valores correspondientes a cada calificación. Uniendo los distintos puntos, se obtiene una línea quebrada, que constituye el perfil ortogonal. Se suele completar la representación trazando alguna paralela al eje de abscisas para resaltar un determinado aspecto.

Ejemplo 1.8 La siguiente tabla contiene las calificaciones de un alumno, cuyo perfil ortogonal se muestra en la figura 1 .4.

4S

Asignaturas

Calificaciones

Matemáticas Física Química Dibujo Biología

6 5 8 7 9

/

Figura 1 .4. Perfil ortogonal.

B) Perfil radial Para construir el perfil radial, se fija un punto del plano como origen. A partir de dicho punto se trazan tantos radios como asignaturas, formando ángulos de la misma amplitud. Sobre cada radio se toman segmentos proporciona les a las calificaciones respectivas. La unión de los pun tos extremos de los segmentos determina un polígono, que constituye el perfil radial. La figura 1 .5 muestra el perfil radial correspondiente al ejemplo 1 .8. Figura 1.5. Perfil radial.

VI. Cartograma Se llama cartograma a la representación so bre un mapa de las diversas modalidades del carácter, que se corresponden con determina das zonas geográficas. Se trata de un método de representación por superficies, que asigna a cada zona un área pro porcional a la superficie representada. Cada zona geográfica se diferencia de otra por la intensidad luminosa, que viene marcada por el efecto del color o del tipo de sombreado, que le confiere una tonalidad específica. Para que dos zonas geográficas se conside Figura 1 .6. Cartograma. ren equivalentes deben tener la misma dimen sión y la misma tonalidad. No es conveniente utilizar más de 10 tonalidades diferentes en un cartograma; de lo contrario se pierde claridad y no resulta fácilmente legible.

49

1.8.2. Representaciones de caracteres cuantitativos 1 .8.2. 1 . Diagramas diferenciales I. Diagrama de barras o rectángulos Cuando la variable estadística es discreta y toma pocos valores, el gráfico adecua do es el diagrama de barras o rectángulos, que ya se trató en el caso de variables cualitativas, con la diferencia de que ahora sobre el eje de abscisas se sitúan los valores de la variable.

..',

Figura 1.7. Diagrama de barras para el ejemplo 1.2.

Si se utilizan barras, una vez colocados los valores de la variable en el eje de abscisas, se levantan sobre ellos unos segmentos (barras) de altura igual a la frecuen cia correspondiente. Según se tome la frecuencia absoluta o relativa, la suma de las longitudes de todos los segmentos será N ó 1. II. Histograma Cuando la variable estadística es continua, el diagrama diferencial que se utiliza es el histograma, cuya representación está fundamentada en la proporcionalidad de las áreas de rectángulos a las frecuencias de cada modalidad. Para construir el histograma, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángu lo de área proporcional a la frecuencia correspondiente a dicho intervalo. Si se trata de intervalos de la misma amplitud, las alturas de cada uno de ellos se toman iguales a las frecuencias correspondientes. Cuando las amplitudes son diferentes, las alturas de cada rectángulo deben de ser iguales a las frecuencias absolutas divididas por la amplitud correspondiente:

50 n¡

/>

(15)

Se conoce este valor como densidad de frecuencia del intervalo [e¡ rei). El área del rectángulo correspondiente a la clase i-ésima es, por lo tanto:

(16) 5, = — a,- = «, a,

y la suma de las áreas de todos los rectángulos es:

(17)

S = ¿i,= /V Si se toman frecuencias relativas, la suma de las áreas es igual a 1. Ejemplo 1.9 Un grupo de 200 alumnos han sido calificados de 0 a 100 por un profesor, que facilita los resultados agrupados en intervalos de diferente amplitud, según muestra la siguiente tabla: Calificac.

Núm. alumnos

0-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-100

22 26 31 38 30 15 12 16

20

10 40 50 60 70 80

100

Figura 1.8. Histograma correspondiente al ejemplo 1.9.

Las amplitudes de los intervalos de clase son diferentes: la primera y la última miden 20 unidades y el resto 10. Tomamos la altura de cada rectángulo igual a la densidad de frecuencia: Rectángulo Io: base =20, altura =11 T:

"

=10,

"

= 2'6

3o:

"

=10.

"

=3'1

8*

= 20,

El área total es: S = 20x1' 1+10x2,6+...+20x0'8 = 200

= 0'8

51 III. Polígono de frecuencias simples El polígono de frecuencias simples (o polígono de frecuencias) es el método grá fico más utilizado para la representación de la distribución de un carácter, lo que se debe a su fácil interpretación y a la sencillez de su realización. Vamos a distinguir dos situaciones, según se trate de una variable discreta o continua. A) Variable discreta En este caso, se trazan unos ejes cartesianos; sobre el eje de abscisas se sitúan los valores de la variable estadística X, y sobre el eje de ordenadas se llevan los valores de las frecuencias tal como se hizo para construir el diagrama de barras. En lugar de trazar la barras completas, ahora se señalan los puntos superiores de las mis mas; uniéndolos mediante seg mentos rectilíneos, se consigue el polígono de frecuencias. Para que la gráfica no quede colgada, se supone que hay dos valores más de la variable con fre cuencia cero, uno anterior al pri mero de sus extremos y otro pos terior al último. De esta forma, se prolonga el polígono en dos seg Figura 1.9. Calificaciones en Física y Matemáticas. mentos hasta que sus extremos toquen el eje de abscisas. Para hacer comparaciones, a veces sobre un mismo gráfico se representan los polígonos de frecuencias correspondientes a dos o más distribuciones. Ejemplo 1.10 La siguiente tabla contiene las frecuencias de las calificaciones, en Matemáticas y Física, de un grupo de 40 alumnos de COU: Calificaciones

2

3

4

5

6

7

8

9

Matemáticas

3

4

6

9

10

4

3

1

Física

4

5

9

6

6

6

2

2

La gráfica 1 .9. muestra los polígonos de frecuencias de ambas distribuciones.

52 B) Variable continua Si la variable es continua, para construir el polígono de frecuencias, se admite que la media de los valores correspondientes a cada intervalo se sitúa en el punto medio del mismo, es decir, se hace coincidir la media de las puntuaciones de cada clase con la marca de clase. Los valores de las frecuencias se sitúan en los puntos medios de las bases supe riores de cada uno de los rectángulos del histograma. El polígono de frecuencias es la poligonal que se obtiene de la unión de estos puntos mediante segmentos rectilíneos. Como en el caso discreto, se supone que existen dos interva los de clase de frecuencia cero, uno delante del primer intervalo y el otro detrás del último, lo que hace posible prolongar el polígo no hasta tocar al eje de abscisas. La figura 1.10. muestra el polí 20 30 40 50 60 70 80 100 gono de frecuencias correspon Figura 1.10. Polígono de frecuencias para el ejemplo 1.9. diente a la distribución del ejem plo 1 .9 superpuesto al histograma. IV. Curva de frecuencias El histograma de una distribución, cuando se toman frecuencias relativas, es tal que la suma de las áreas de todos los rectángulos es igual a uno. Por ello, todos los valores de la distribución están bajo la gráfica del polígono de frecuencias simples. Se puede expresar, por tanto, la población como el área bajo esta gráfica, que está formada por segmentos rectilíneos. Los datos de una distribu ción habitualmente forman parte de una muestra extraída de una población grande, cuyo conoci miento es el objetivo final. El polígono de frecuencias simples, cuando aumenta el tama ño de la muestra y se hacen más Figura 1.11. Curva de frecuencias para el ejemplo 1.9.

53 pequeñas las amplitudes de los intervalos de clase, se aproxima a una curva de una distribución teórica, llamada «curva de frecuencias». La curva de frecuencias es una especie de polígono de frecuencias simples suavi zado, que proporciona una representación aproximada de la distribución de la pobla ción correspondiente. 1.8.2.2. Diagramas integrales para variable discreta I. Diagrama de frecuencias acumuladas Cuando la variable estadística es discreta, para construir el diagrama de frecuen cias acumuladas, se dibujan unos ejes cartesianos. En el eje de abscisas se sitúan los valores de la variable, y sobre ellos se toman segmentos perpendiculares de longitud igual a la frecuencia acumulada. El diagrama de frecuencias acumuladas se consigue trazan do segmentos de paralelas al eje de abscisas a partir del extremo superior de cada segmento per pendicular hasta tocar al siguien , te situado a su derecha. Esta gráfica se completa con dos semirrectas horizontales, una con origen en la base de la primera barra dirigida hacia la iz quierda, y la otra con origen en la parte superior de la última ba Figura 1.12. Diagrama de frecuencias acumuladas. rra y dirigida hacia la derecha. También se pueden tomar porcentajes acumulados, en cuyo caso los valores so bre el eje de ordenadas estarán comprendidos entre 0 y 100, siendo 100 la longitud de la última barra. La línea quebrada (en escalera) así obtenida es la gráfica de una función del conjunto de los números reales, R, en el intervalo cerrado [0,1], que a cada número real x le hace corresponder la proporción de individuos cuya modalidad del carácter es menor o igual a x: F:9í-»[0,l] Esta curva es conocida también como curva de distribución, y la función F como función de distribución. La figura 1.12 recoge el diagrama de frecuencias acumuladas del ejemplo 1.2.

54 II. Polígono de frecuencias acumuladas Para trazar el polígono de frecuencias acumuladas, se procede como en el caso del diagrama de frecuencias acumuladas, dibujando, en primer lugar, el diagrama de barras crecientes (la altura de la última barra es 1 ó 100, según se tomen frecuencias relativas acumuladas o porcentajes acumulados). Uniendo los extremos supe riores del diagrama de barras cre cientes mediante segmentos rectilíneos, se obtiene una línea quebrada creciente, que corres ponde al polígono de frecuencias acumuladas. La figura 1.13. muestra el po lígono de frecuencias acumula das para la distribución de las calificaciones en Matemáticas del ejemplo 1.10. Figura 1.13. Polígono de firecuencias acumuladas.

1.8.2.3. Diagramas integrales para variable continua I. Curva acumulativa de frecuencias u ojiva Cuando la variable estadística es continua, una vez fijados los intervalos de clase sobre el eje de abscisas, se llevan sobre el eje de ordenadas las frecuencias relativas acumuladas o los porcentajes acumulados. Al trazar el polígono de frecuencias para variable continua, se tomaban los valores de las frecuencias sobre el punto medio de la base superior de los rectángulos del histograma. En cambio, para trazar la curva acumulativa de frecuencias relativas, se toman sobre la ordenada correspondiente al límite superior de cada intervalo de clase, pues to que a cada extremo superior de los intervalos de clase se le asocia el tanto por ciento de individuos de la población que quedan por debajo de dicho límite. Trazando segmentos de paralelas al eje de abscisas a partir de cada punto hasta llegar a la ordenada correspondiente al siguiente extremo de clase, y completando la gráfica con dos semirrectas horizontales de modo análogo a como se procedió con variables discretas, se obtendría el polígono de frecuencias acumuladas. Sin embargo, en el caso continuo, no se suele utilizar el polígono de frecuencias acumuladas, sino que se aproxima éste por una curva que se adapta a los puntos obtenidos, sin que necesariamente tenga que tocar a todos.

55 Esta curva tiene forma de arco apuntado, por lo que también recibe el nombre de ojiva. Fijado un valor xo de la variable, es decir sobre el eje de abscisas, la ordenada correspondiente en la ojiva señala el porcentaje de individuos de la población cuyo carácter es menor o igual a x0. Por ello, la ojiva puede ser utilizada para el cálculo gráfico de los centiles, según veremos. Ejemplo 1.11 Veamos cómo se procede para trazar la curva acumulativa de frecuencias para la distribución de los pesos (en kgs.) de 100 jóvenes dada por la siguiente tabla: Clase

Frec.

F.r.

F.na.

Porc.

Porc. ac.

21-30 3140 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 8 14 35 17 15 7 2

0-02 0"08 0'14 0'35 0'17 0'15 0-07 0'02

0-02 010 0'24 0'59 0'76 0'91 0'98

2% 8% 14% 34% 17% 15% 7% 2%

2'.í 10% 24% 59% 76% 91% 98% 100%

roo

Vamos a utilizar la columna de porcentajes acumulados. Como los intervalos de clase no están solapados, hay que tomar nuevos extremos de clase, que se sitúan sobre el eje de abscisas: 20'5, 35'5, 40'5,... El extremo superior del primer intervalo es 30'5. A partir de dicho punto se toman verticalmente 2 unidades (valor que corresponde al porcentaje del 2% de alumnos que pesan menos de 30'5 kgs.), dibujando el primer punto. Sobre el extremo superior del segundo intervalo, 40'5, se toman verticalmente 10 unidades (valor que corresponde al 1 0% de alum nos con peso menor de 40'5), y se dibuja el segundo punto. Procediendo de este modo, se trazan los 8 puntos correspon dientes a los 8 intervalos de cla se. Una vez dibujados, se adap ta a ellos una línea curva, que no tiene por qué tocar a todos Figura 1.14. Ojiva correspondiente al ejemplo 1.11.

IOS puntos.

56 La línea que resulta es la curva acumulativa de frecuencias que buscábamos.

1 .9. Simetría y sesgo En múltiples ocasiones, interesa conocer el aspecto general de una distribución de frecuencias, como puede ser la presencia de simetría o sesgo hacia alguno de los extremos de su curva de frecuencias. Una distribución es simétrica cuando su curva de frecuencias puede ser dividida en dos mitades por una recta perpendicular al eje de abscisas, siendo cada una de ellas la imagen de la otra en un espejo.

Figura 1.15. Cuna simétrica.

Figura 1.16. Curva sesgada liacia la derecha.

Las distribuciones simétricas gozan de la propiedad de que las observaciones que equidistan del valor central tienen la misma frecuencia. Así ocurre con la distribución de la gráfica de la figura 1.15. Cuando los datos de una distribución tienden a agruparse en una parte de la gráfica, con una rama extendiéndose hacia la otra parte (cola), se dice que es asimétrica y que está sesgada en la dirección de dicha «cola». Así ocurre con la distribución correspondiente a la gráfica de la figura 1.16, que tiene un sesgo hacia la derecha.

1.10. Modalidad

Figura 1.17. Curva con dos modas.

La modalidad de una distribución esta dística hace referencia al número de «pi cos» que se distinguen en ella. Las distribuciones de las figuras 1.15 y 1.16 son unimodales, ya que presentan un solo pico. En cambio, la gráfica de la figura 1.17 corresponde a una distribución bimodal.

57 Las distribuciones que poseen más de dos modas reciben el nombre de

multimodales.

1.11. Apuntamiento Tiene también interés conocer el grado de apuntamiento o curtosis de la curva de frecuencias de una distribución. Las gráficas de la figura 1.18 corresponden a dos distribuciones simétricas y unimodales, pero la segunda presenta un mayor apuntamiento, lo que significa que las diferencias entre las frecuencias de los valores centrales y extremos son mayores en ésta:

Figura 1.18. Curvas con distinto apuntamiento.

Las medidas del grado de apuntamiento de una curva así como de su asimetría serán objeto de estudio en el capítulo 3.

1.12. Ejercicios propuestos 1.1. Las edades de los visitantes de un museo un día determinado de la semana han sido: 27 23 37 31 38 23 36 25 22 34 27 28 35 26 34 33 23 32 29 31 30 3 1 33 24 32 27 34 39 30 29 32 28 29 25 24 37 23 35 24 33 31 30 31 22 35 37 24 24 23 36 22 29 37 33 3421 22 28 36 29 1 ) Construir la tabla de frecuencias absolutas, completándola con las frecuencias acumuladas y porcentajes. 2) Representar la distribución mediante el diagrama integral adecuado. 1.2. Los pesos (en Kgs.) de los niños recién nacidos en una clínica maternal durante el último año han sido: 2'5-2'75

2'75-3

3- 3'25

27

36

85

3-25-3'5 3'5-3'75 144

98

3'75-4

4-4'25

4'25-4'S

56

32

32

58 1 ) Construir la tabla de frecuencias. 2) Hacer la representación gráfica más adecua da. 1 .3. Durante el mes de junio se han registrado las siguientes temperaturas máximas cada día: 26 30 3028 28 27 2627 28 27 2628 28 3024 25 2833313127 303130 29 343130 3029 1) Construir la tabla de frecuencias. 2) Hacer una representación gráfica de la distribución. 1 .4. Las calificaciones de un alumno de primero de B.U.P. han sido: 7; 6; 8'5; 9; 6; 6; 5,5; 4'5; 8 y 7'5 en las asignaturas de Matemáticas, Lengua. Ciencias de la Natura leza, Inglés, Francés, Historia. Formación Religiosa, Educación Física, Dibujo y Músi ca, respectivamente. Dibujar sus perfiles ortogonal y radial. 1.5. Los obreros de una gran industria han sido clasificados por categorías labora les, dándose los siguientes resultados: Especialistas Oficiales de 2a Oficiales de Ia

1250 975 510

Técnicos de grado medio Técnicos superiores Altos cargos

35 12 8

1 ) Representar los datos mediante un diagrama de barras y otro de sectores. 2) Construir el polígono de frecuencias simples y el polígono de frecuencias acumuladas. 1.6. El número de viajeros (en miles de personas) durante los 6 primeros meses del año por carretera y ferrocarril ha sido el siguiente: Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Carretera Tren

210 170

195 180

320 230

180 260

310 280

390 410

1 ) Dibujar los polígonos de frecuencias de las dos distribuciones. 1.7. Los resultados de un test de visión espacial realizado a un grupo de alumnos fueron: 59 72 7 1 68 67 78 57 57 75 61 69 39 80 46 57 94 59 76 54 64 62 61 61 48 48 86 65 65 63 60 64 41 66 68 67 68 27 68 64 76 72 67

59 1) Construir la tabla de frecuencias y dibujar el polígono de frecuencias acumula das. 1.8. La producción de trigo y cebada en una cooperativa agrícola durante los 10 últimos años ha sido: Trigo (fanegas)

487

546

434

465

503

3X8

405

298

600

446

Cebada (fanegas)

458

730

895

978

802

630

754

790

878

910

Construir la tabla de frecuencias y los polígonos de frecuencias de las dos distri buciones. 1.9. Un saltador de pértiga ha realizado, durante los 10 últimos días, las siguientes marcas: 4'86

501

5'42

5'82

5' 12

5'01

6'00

5-92

5'90

5'95

1) Construir la tabla de frecuencias. 2) Dibujar el diagrama de barras y el de fre cuencias acumuladas. 1.10. La distribución del empleo de los españoles por sectores económicos el primer trimestre de 1991 era: Agricultura Construcción Industria Servicios Otros

14'6% 8'5% 23'7% 43'3% 9'9%

Representar la distribución mediante un diagrama de sectores. 1.11. Suponiendo que la siguiente tabla muestra la producción de trigo, cebada, maíz, girasol, uva y aceituna en las cinco provincias de Castilla-La Mancha:

Albacete Ciudad Real Cuenca Guadalajara Toledo

Trigo

Cebada

Maíz

Girasol

uva

Aceituna

2500 3480 1250 2460 4250

3260 2560 2450 1470 3270

3245 2360 3200 4200 1580

4135 3270 5270 5270 1890

3280 5680 2450 1480 4250

1275 1360 980 1380 4270

Construir un cartograma que refleje los datos de la tabla.

60

1.12. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de universitarios en unas pruebas de aptitud para aprender inglés han sido las siguientes: 35 48 63 24 46 58 46 32 26 83 84 96 32 94 28 46 53 62 75 76 44 3 1 59 83 45 22 29 91 60 61 5442 56 31 64 5648 59 91 87 78 7644 58 26 28 40 81 70 70 63 64 37 45 1 ) Construir la tabla de frecuencias y hacer una representación gráfica adecuada de los datos. 1.13. La siguiente tabla contiene los resultados de las calificaciones de un test de aptitudes realizado entre los obreros de una fábrica: Puntuación (X)

[38,44) [44,50)[50,56) [56,62) [62,68) [68,74) [74,80) 7

N° Trabajadores

8

15

25

18

9

6

1) Construir la tabla de frecuencias, completándola con las marcas de clase, las distancias entre marcas de clase, las amplitudes de clase, las frecuencias absolutas y relativas acumuladas y los porcentajes. 2) Dibujar el gráfico más adecuado a esta distribución. 1.14. Dada la distribución definida por la siguiente tabla: X1

3

4

9

15

20

a

3

3

8

6

2

Dibujar: 1) el diagrama de barras vertical; 2) el diagrama de frecuencias acumula das. 1.15. Las puntuaciones obtenidas en una oposición al cuerpo de auxiliares de la administración civil del Estado figuran en la siguiente tabla agrupadas en intervalos: Puntuaciones

Hasta 50

50-70

70-100

100-150

150-200

n

15

30

56

85

46

200-300 300400 másde400

30

22

12

Dibujar el histograma, el polígono de frecuencias, la curva de frecuencias y la curva acumulativa de frecuencias. 1.16. Representar, mediante un pictograma, la evolución del paro por sectores en el primero y segundo trimestres de un año, si los datos (en miles de personas) fueron:

61

Sector

Primer trimestre

Segundo trimestre

Agricultura Industria Construcción Servicios

438 457 406 589

241 350 683 170

1.17. Las temperaturas máximas y mínimas durante los 15 primeros días de julio, en una ciudad, han sido: Máximas

37 30 33 28 35 36 36 32 34 30 28 30 36 34 32

Mínimas

16 14 18 15 20 21 19 17 18 16 16 20 20 21 19

1 ) Dibujar los polígonos de frecuencias de las dos distribuciones. 2) ¿Qué conclu siones se pueden sacar de comparar los dos gráficos? 1.18. La siguiente tabla recoge la vida media (en horas) de 500 lámparas: Vida media V lámparas

[200,299) [300,399) [400,499) [500,599) [600,699) [700,799) 54

%

130

88

85

47

1) Construir el histograma correspondiente. 2) Dibujar la curva acumulativa de frecuencias. 1.19. Dibujar la curva de frecuencias y la curva acumulativa de frecuencias para el ejercicio 1.17.

CAPITULO 2 CARACTERÍSTICAS DE POSICIÓN

2.1. Características de una distribución de frecuencias Después de agrupar los datos en distribuciones de frecuencias, éstas se describen por medio de un conjunto de valores, mediante los cuales se pretende sintetizar toda la información. Entre estos valores, están: 1 ) las medidas de tendencia central, también llamadas promedios o medidas de posición, ya que señalan la localización o posición de los valores alrededor de los cuales fluctúan los demás. 2) las medidas de dispersión, que expresan el grado de desviación de los datos respecto de las medidas de tendencia central. 3) las medidas de simetría (o asimetría) de la distribución de los datos respecto del punto de máxima concentración. 4) las medidas de apuntamiento, que señalan el grado de concentración respecto de la tendencia central. En este segundo capítulo se estudian las medidas de tendencia central, las restan tes medidas serán analizadas en el siguiente. La media aritmética y la mediana, como medidas más usuales, son tratadas con detalle. También se aborda el cálculo de percentiles y el problema inverso: dado un valor de la variable, averiguar el rango del percentil correspondiente. Las medias geométrica, armónica y cuadrática, y la moda son tratadas evaluando su operatividad y sus deficiencias. Las medidas de centralización resistentes, que juegan un papel importante en los métodos exploratorios, son tratadas en el capítulo 4.

64

2.2. Características de tendencia central Las tablas de frecuencias y los gráficos que acompañan a los datos de una distri bución estadística no cabe la menor duda de que son métodos interesantes para presentar un resumen de la misma, que puede resultar incluso vistoso y elegante. Sin embargo, hemos definido, al principio, la Estadística Descriptiva como un método de «descripción numérica». Nuestro interés se centra ahora en encontrar esos valores numéricos o medidas que, por sí solos, describan la localización de datos de una distribución. Nos serviremos de un ejemplo1 sencillo que pone de manifiesto cómo estas medi das nacen espontáneamente. En una clase de Matemáticas, surge la necesidad de medir la longitud del encerado, y, al no disponer de una unidad de medida, el profesor propone que cada alumno anote en un papel la medida que estime a simple vista. Se recogen las anotaciones y se disponen en una tabla: Longitud estimada

N° de alumnos

2'00

5 6 7 12 11 6 4 5 1 3

rio 2'20 2'30 2'40 2'50 2'60 270 2'80 2'90

Se trata ahora de decidir, ante estos datos, qué valor se debe tomar como medida de la longitud de la pizarra. Un alumno sugiere como medida 2'30 m., argumentando que éste es el valor que más se da (la moda). Al profesor no le parece mal la elección, pero la encuentra poco democrática, ya que sólo se tiene en cuenta la opinión de una quinta parte de la clase. Otro alumno insinúa que se tome 2'35 m.; lo argumenta diciendo que la mitad de la clase ha dado una medida menor o igual que 2'30, y la otra mitad, una medida mayor o igual que 2'40 (la mediana). Tampoco el profesor queda satisfecho del todo porque no se valora en su justa medida la opinión de cada uno de los alumnos. Así surge la idea de sopesar cada

1 El ejemplo está tomado de un trabajo del Profesor Pascual Ibarra, publicado en 1968 con el título de «Democracia y Estadística».

65 medida de acuerdo con el número de alumnos que la ha anotado en su papel (media aritmética). Continuando el razonamiento, se pueden ir descubriendo otras medidas de localización. Iremos definiéndolas, a lo largo del capítulo, valorando sus ventajas y sus inconvenientes. Como resumen, podemos decir que las medidas de tendencia central son valores numéricos que describen la localización de una distribución de datos, o bien, los valores alrededor de los cuales se sitúan los demás. Estas medidas, para proporcionar un valor más preciso de la distribución, deben ir acompañadas de otras características de dispersión, que serán objeto de estudio en el capítulo 3.

2.3. Media aritmética El valor de tendencia central de mayor interés es la media aritmética (o simple mente media), que representaremos por j. Aunque se trata de un mismo concepto, debido a las peculiaridades de su cálculo, vamos a tratar por separado el caso discreto del caso continuo, distinguiendo también según estén dados los datos: agrupados (frecuencias absolutas distintas de la uni dad) o sin agrupar (frecuencias absolutas iguales al).

2.3.1. Definición en el caso discreto 1) Media aritmética para datos agrupados: Sea X una variable estadística discre ta que toma los valores x ,x ,...,x con frecuencias absolutas a.ja.,...jL, respectivamen te. Se define la media aritmética como el valor: A, x,'h

(1)

tV N A n. También es: x = ¿¿xJ, ~ xif, + x2Í2+---+xJk , va que -77 ~ f,Ejemplo 2.1 Supongamos que un grupo de 20 alumnos obtiene las siguientes calificaciones en la asignatura de Matemáticas: Calificaciones

2

4

5

6

8

10

Número de alumnos

3

6

5

3

12

66

La calificación media de los 20 alumnos en esta asignatura es: 2x3+4x6+5x5+6x3+8x1+10x2 x =.

101 = 5,05

20

20

2) Media aritmética para datos no agrupados: En el caso particular de que cada uno de los k valores de la variable estadística aparezca una sola vez (n =n2=...=nk=1), como caso particular del anterior, la expresión de la media aritmética adopta la forma:

(2)

Las edades de tres niños son de 5, 7 y 9 años. La edad media de los tres es 7 + 8+9

x = -¿- = 8 2.3.2. Propiedades de la media aritmética 1. La suma de las desviaciones de todos los valores a la media es cero. k

(3)

En efecto: 2j(x¡-x)n¡ = 2-,x, n, - ¿,xn¡ = Nx - Nx = 0 La media, por tanto, compensa la suma de las desviaciones positivas y negativas. Por ello, afirmamos que la media proporciona la localización de la distribución. 2. Si a todos los valores x de una distribución se les suma (resta) un mismo número c, la media de la nueva distribución, y.=x±c, es igual a la media de las x más (menos) c. En efecto, sea y=x± c. Entonces la media de la nueva variable será: A.

Xy,"l

A.

Y,(x¡±c)n,

jrk

k

~ = x+c

67

3. Si todos los valores x de una distribución se multiplican (dividen) por un mismo número d, distinto de cero, la media queda multiplicada (dividida) por d. En efecto, sea y¡ = dx,; la media de y será: k

y Consecuencia inmediata de las propiedades 2 y 3 es la siguiente: 4. Si definimos una variable Z a partir de la variable X mediante un cambio de origen c y un cambio de escala d, siendo d distinto de cero, la media de la nueva variable x-c se obtiene a partir de la variable X por medio del mismc cambio de origen y escala: x-c

Despejando x, se obtiene: .x = c + dz

(4)

Esta última fórmula permite hallar la media de X a partir de la media de Z, cuyos cálculos resultan más sencillos si se eligen adecuadamente el nuevo origen y la escala. Ejemplo 2.2 Se trata de calcular el diámetro medio de 1 00 émbolos obtenidos en una cadena de producción en serie, cuyas medidas (en milímetros) están recogidas en la siguiente tabla: Diámetro N° de émbolos

153,7

153,8

153,9

154,0

154,1

1542

154,3

10

15

19

21

14

13

8

Tomando como origen el valor c=154 y como escala d=0,l vamos a construir la tabla con los nuevos datos:

68

x. - c

n,

x¡

x,-c

l n d

153,7 153.8 153,9 154.0 154.1 154JZ 154.3

10 15

-03 -02

-3 -2

-30 -30

19 21

-0.1 0

-1 0

-19 0

14 13 8

0.1 02 03

1 2 3

14 26 24 -15

100

Total

La media de la variable Z es 1 ^

-15

luego la media de X será: x = 154 + 0,1 (-0,1 5) =154 -0,0 15 = 153.985 2.3.3. Definición en el caso continuo Si la variable estadística es continua, se conviene en tomar como media aritmética la de una variable discreta cuyos valores son las marcas de clase c de cada uno de los intervalos y cuyas frecuencias absolutas n son las de cada clase. Según advertimos en el capítulo anterior, cuando se agrupan los valores en clases, se pierde precisión. En efecto, al calcular la media, sólo se va a tener en cuenta el número de valores que caen dentro de un intervalo de clase y no la forma en que están repartidos en su interior. Ejemplo 2.3

Se ha medido la estatura de 80 jóvenes de 1 6 años seleccionados al azar de entre los colegios de una ciudad de 100000 habitantes, dando los siguientes resultados (en centímetros): 174 185 189 173 186

190 189 168 177 160

183 169 161 182 187

180 172 165 178 164

168 163 175 161 174 166 170 175 171 188

194 173 167 174 158

182 170 186 182 186

168 184 178 181 169

171 190 178 162 165

171 166 173 177 159

188 162 173 180 187

191 191 181 185 156

167 174 176 160 159

167 179 172 161 176

185 189 180 195 191

69 Vamos a calcular la media, en primer lugar, agrupando todos los valores en clases. El recorrido es R= 195- 156=39, que, aumentándolo en 1, resulta 40. Se pueden elegir 7 clases de amplitud 6. Aunque hoy es menos importante simplificar los cálculos, ya que disponemos de excelentes calculadoras y paquetes informáticos que los evalúan directamente, vamos a efectuar un cambio de origen y de escala, reflejando los datos en la tabla para observar los distintos pasos. Tomaremos como origen el valor de una de las marcas situadas hacia el centro, por ejemplo, c=175, y, como unidad de escala, la distancia entre dos marcas de clase consecutivas, d=6. Calcularemos también la media para valores sin agrupar con el fin de corroborar cómo efectivamente hay un pequeño sesgo con respecto al valor real de la media, debido a la suposición tácita de que los datos se distribuyen de una manera homogé nea en sus correspondientes intervalos de clase. c¡ - c

Extremos 154-160 160-166 166-172 172-178 178-184 184-190 190-1%

c.

a

1

i

157 163 169 175 181 187 193

4 11 15 16 13 14 7

Total

C.-C

-18 -12 -6 0 6 12 18

zi~

el -3 -2 -1 0 1 2 3

80

z¡n¡

-12 -22 -15 0 13 28 21 13

La media de la variable auxiliar Z es

-

/ i

13

.volr. .yo.0'1625 Haciendo uso de (4), la media de la variable X es: x = c + d~z = 175 + 6x0'1625 = 175 + 0'975 = 175' 975 Si efectuamos la media de todos los valores sin agruparlos en clases, obtenemos la media real: _ 14032 X,= =175'4 ' 80 La media obtenida agrupando los datos difiere en 0'575 de la media real.

70

2.3.4. Ventajas e inconvenientes de la media aritmética Las ventajas fundamentales que proporciona el uso de la media aritmética como medida de localización son: A) La media aritmética contiene toda la información de los datos de la distribución, lo que le confiere, como promedio, un carácter muy representativo. B ) La media aritmética siempre puede ser determinada, es fácil de calcular y admite todas las operaciones aritméticas. C) La media aritmética es el estadístico más útil para análisis posteriores. El inconveniente que presenta es su gran sensibilidad al cambio de valores extre mos por un lado, que no se compensen por valores extremos en el lado contrario. Tratemos de aclararlo con un ejemplo sencillo: Ejemplo 2.4 En la siguiente tabla, se han modificado los datos del ejemplo 2. 1 , de modo que los dos alumnos que tenían una calificación de 10 en Matemáticas, tienen ahora un 1. Calificaciones

2

4

5

6

8

1

V de alumnos

3

6

5

3

1

2

La media aritmética de la nueva distribución es -

2x3 + 4x6 + 5x5 + 6x3 + 8x1 + 1x2 83 = 4,15 20 20 Su valor disminuye en 0'90, lo que supone más del 17% del valor anterior. Por ello, se cuestiona el uso de la media aritmética como valor descriptivo de la localización de un conjunto de datos, si éste se encuentra muy influido por un valor extremo.

2.4. Otros valores medios Valores medios de uso menos frecuente que la media aritmética son la media geométrica, la media cuadrática y la media armónica. 2.4.1. Media geométrica A) Definición Dada la variable estadística X, que toma los k valores xrx2„.„xk con frecuencias absolutas nrn, nk, siendo n,+n,+...+nk=N1 se define la media geométrica como:

71

(5)

xc = *IxVxV...xV En el caso particular de que las frecuencias absolutas de los k valores de la variable estadística sean todas iguales a 1 (n,=n,=...=n1 = l), queda la expresión: xc

yjxix2...

«»

B) Cálculo Para efectuar el cálculo de la media geométrica, se toman logaritmos en los dos miembros: iogío = log Vx7'...*í* = iogU;'...*í")'/,v = -logU'. ..*!')= l

i

]

<

= — [logf x, /"+...+ logfxi r] = —[nilogx, +... + «JogxÁ/= — L».logx, /V

Aí

« ¡=/

Esta última relación nos dice que «el logaritmo de la media geométrica es igual a la media aritmética de los logaritmos2». Para calcular la media geométrica, basta con tomar antilogaritmos en la igualdad anterior: t X'iJogx, xG = antilog — N Por tratarse de un caso particular, se procede de igual modo para calcular la media geométrica cuando los datos no se dan agrupados: log*,,; =l0g \¡x ,x2...xí =\Og(x ,x2... xk)

=

= -\og(x,x2...xk) = -(\ogx, + \ogx:+... + \ogxí) = -YJ\°%x,

XlogJr,

Tomando antilogaritmos, queda: xc = antilog J

Para el ejemplo 2. 1 , la media geométrica de las calificaciones será: 3x0,301 + 6x0,602 + 5x0,6989 + 3x0,7781 + 1x0,903 + 2x1 xc = antilog 20 : antilogO.6623921 = 4,596 2 Por cumplir esta propiedad, la media geométrica es llamada por algunos autores «media logarítmica»,

72

Ejemplo 2.5 La siguiente tabla contiene las calificaciones de un alumno de COU en sus diver sas asignaturas:

Asignaturas

L

M

Q

B

F

D

Calificaciones

7

8

7

6

5

9

La media geométrica de sus calificaciones es: 0'84 + 0'90 + 0'84 + 0'77 + 0'69 + 0'95 = o 5'02 = antilog —— = antilogO'83 = 6 76 6

xa = antilog

B) Ventajas e inconvenientes La media geométrica es muy útil en el caso de algunas magnitudes, ya que: a) es menos sensible que la media aritmética al cambio de valores extremos. b) está determinada siempre que los valores de la variable sean positivos, y se comporta bien ante las operaciones algebraicas. c) es representativa, ya que en su cálculo intervienen todos los datos de la distri bución. Sin embargo, si un valor de la variable es cero, la media geométrica vale cero, lo cual cuestiona su representatividad. La media geométrica se utiliza siempre que la variable presenta variaciones que se van acumulando, como sucede en las relaciones de cambio, tasas y porcentajes.

2.4.2. Media cuadrática A) Definición Dada la variable estadística X, que toma los k valores x^x,,...^ con frecuencias absolutas n.fL,...JL, siendo n,+n,+...+nk=N, se define la media cuadrática como:

]x]n, + x\ri2+.

. + xink (7)

Xq =

\

N 605

Su valor para el ejemplo 2.1 es: Xa = J

= J30,25 = 5,5

73

En el caso particular de que las frecuencias absolutas de los k valores de la variable estadística sean todas iguales a 1 (n,=n,=...=nk=l), resulta la expresión:

\x2, + xi+. . + xí

(81

XQ =

\

k

B) Ventajas e inconvenientes a) la media cuadrática es representativa de todos los datos de la distribución. b) soporta bien las operaciones aritméticas. Tiene el inconveniente de las unidades en que se expresa: no son unidades sim ples. La media cuadrática se usa en aplicaciones físicas y en la determinación de las características de dispersión.

2.4.3. Media armónica A) Definición Dada la variable estadística X, que toma los k valores x,,x2,...,xk con frecuencias absolutas n^n,,...,nk, siendo n,+n2+...+nk=N, se define la media armónica como: N

N

Xa ni

n2

Xl

x2

— + — +. .+—

Su valor para el ejemplo 2.1 es: x ., =

Xk

(9) 1~ i.l x,

20 = 4.145 4,825

En el caso particular de que las frecuencias absolutas de los k valores de la variable estadística sean todas iguales a 1 (n,=n2=...=n|=l), se obtiene la expresión:

x.

k ' — 1 — 1 + +. Xl

x2

k 1 - * 1 Xk

¡.1 x¡

(10)

74

B) Ventajas e inconvenientes a) es representativa de todos los datos de la distribución. b) admite bien las operaciones algebraicas. Presenta un inconveniente cuando la variable toma algún valor igual a cero, en cuyo caso, la media armónica carece de sentido. También es poco precisa cuando los valores son pequeños. Es la más adecuada para hallar promedios de las variaciones con respecto al tiem po, como la velocidad de un móvil o el rendimiento de un capital.

2.4.4. Relación entre las distintas medias Las cuatro medias, que acabamos de definir, están relacionadas entre sí por la cadena de desigualdades: r A < xc,
(11)

Ejemplo 2.6 Las estaturas de 10 jugadores de un equipo de baloncesto son: 1,90; 1,93; 1,96; 1 ,98: 1 ,98; 1 ,99; 2,01 ; 2,03; 2.04 y 2,08. Vamos a calcular las diferentes medias: 1 ) Media armónica: 10

-=X

10

r-jMTs-1.9887

1,90+'"+2.08 2) Media geométrica: / / \ogxc, = —(\ogl.90+... + ]og2,08)=— (0.2787+.. .+0.3180) = 0.2987 Luego

xc, = antilogO.2987 = 1.9892

3) Media aritmética: / '" 1 ~x-iblr-T¡9-9-h"

75 4) Media cuadrática: 3,61 + 3,7249+. ..+4,3264

w

39,6264

.i^r.'.9906

Comprobamos que se cumple la relación (11): 1 '9887 < 1 '9892 < 1'99 < 1 '9906

2.5. Percentiles. Mediana Supongamos que el profesor de Matemáticas comunica a uno de sus alumnos que ha obtenido una calificación de 6 en el examen de nuestro ejemplo 2.1. El alumno puede estar interesado en obtener una información adicional que le permita comparar su calificación con las restantes calificaciones de la clase. Si el examen ha sido muy fácil para la mayoría de los alumnos, su calificación de 6 puede representar un rendimiento bajo. En cambio, si el examen resultó difícil para la mayoría de sus compañeros, su calificación de 6 puede ser de las mejores. Se trata, por tanto, de transformar la puntuación original (llamada directa) en una nueva puntuación (transformada), que muestre de modo inmediato la situación de un estudiante en comparación con los restantes compañeros de clase. Entre los diferentes valores transformados, están los percentiles (también llama dos centiles), los cuartiles, los quintiles y los deciles. Se utiliza la expresión «cuantil» para designar al colectivo formado por los percentiles, deciles, cuartiles y quintiles.

2.5. 1 . Definiciones A) Percentil Sea a un número entero, siendo l
76

II. Dado un valor de la variable, averiguar el rango del percentil correspondiente. Vamos a tratar de responder con cierto detalle a estos dos interrogantes, que se utilizan con frecuencia en algunas ramas de la investigación.

2.5.2. Cálculo de la mediana Como respuesta a la primera cuestión, calcularemos el rango del percentil 50, o, lo que es igual, la mediana, a la que vamos a denotar por M . Para efectuar su cálculo, distinguiremos tres posibles situaciones, que van a de pender de la forma en que se den los datos: 1) La variable es discreta y la frecuencia de cada observación es la unidad. En esta situación pueden tener lugar dos alternativas: i) La variable toma un número impar de valores: X= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} La mediana es el valor que ocupa la posición central: 5. ii) La variable toma un número par de valores: X= {2, 3, 5, 7, 8, 9} Se toma como valor mediano la media aritmética de los dos valores centrales: 5+7 =6

Mi

2) La variable es discreta, pero los datos están agrupados. Vamos a exponer el proceso de cálculo que se sigue sobre un ejemplo: Ejemplo 2. 7 Las calificaciones en Matemáticas de 20 alumnos están recogidas en la siguiente tabla de frecuencias: Calificaciones

Frec. Absolutas (n.)

Frec. Acumuladas (N,)

10 8 6 5 4 2

2 1 3 5 6 3

20 18 17 14 9 3

77

Las frecuencias están agrupadas. Para efectuar su cálculo, suponemos, en primer lugar que todos los datos están distribuidos uniformemente en el intervalo mediano. Entonces podemos seguir el siguiente proceso de cálculo: A) Dividimos el número de observaciones, N=20, entre 2, con lo que tenemos que la mediana es el valor de la variable que deja 20/2=10 puntuaciones por debajo y 10 por encima. B) Comprobamos si este número obtenido. N/2, se encuentra en la columna de frecuencias acumuladas N . Pueden darse dos alternativas: i) N/2 no figura en la columna de las frecuencias acumuladas, como es el caso de nuestro ejemplo: i

X

n

10 8 6

2 1 3

5 4 2

5 6 3

20 -18 17 14 N/2 9 —3 0123456789 10

Figura 2.1. Tabla y curva de frecuencias acumuladas para el ejercicio 2.7.

Se toma como valor mediano el primer valor de la variable que. en la curva de frecuencias relativas acumuladas, sobrepasa a 1/2, y que es: M,i = 5 ii) El valor N/2 obtenido figura en la columna de las N. N/2 coincide con la frecuencia absoluta de algún valor x , y, por tanto, la ordenada de la curva acumulativa de frecuencias corresponde a los infinitos puntos del interva lo [x, x ,). Tal es el caso anterior si lo modificamos de la siguiente forma: X

n -20

10 8 6 5 4 2

2 1 7 1 6 1

-18 - 17 10 9 3 0 -

1 1-

i

' N/2 r1'5-

0123456789

10

Figura 2.2. Tabla y curva de frecuencias acumuladas para el ejercicio 2.7. modificado.

7S Tenemos así el intervalo mediano [5,6). Como valor de la mediana se suele tomar el punto medio de dicho intervalo: 5+6 M„ = —— -5,5 3) La variable es continua El proceso que se sigue en este caso, para encontrar el valor particular, cuya frecuencia acumulada sea igual a N/2, es el siguiente: A) Se divide el número de observaciones N entre 2. B) Se lleva el valor N/2 a la columna de frecuencias absolutas acumuladas (N). Ahora puede suceder: i) Que el valor N/2 se encuentre en la tabla, con lo que N/2 será la frecuencia absoluta acumulada de un cierto intervalo de clase [e ^e), y la mediana será el extre mo superior del mismo. ii) Que N/2 no se encuentre en la columna de las N . Entonces, este valor estará comprendido entre los valores N y N, que corresponden a las frecuencias absolutas acumuladas de los intervalos [e¡ ,,e t) y [e ..e), respectivamente. Como N/2>N , la mediana se encontrará en el intervalo [c ,,e), al que llamamos «intervalo mediano». Por interpolación, se halla el incremento de intervalo que co rresponde al incremento de la frecuencia hasta llegar a N/2. La mediana se obtiene de sumar este valor al extremo inferior, e ,, del intervalo mediano [ei ,,e). El siguiente ejemplo clarifica el proceso: Ejemplo 2.8 Supongamos que nos interesa averiguar el salario mediano de los 50 empleados de una empresa, cuya tabla de frecuencias es:

,l Salario lensual

• eipleados

N, 50

100

110

90

100

4

B0

90

6

í

-

t

2 18

12

44

1

15

1 <

70

80

10

60

70

;'.

50

60

13

x

>

28 13

> 0

Figura 2.3.

Interpolación para calcular la mediana.

74

En la columna de las frecuencias acumuladas, N., no aparece N/2=25, valor que divide a la población en dos partes iguales. La frecuencia 1 3 corresponde al 26% de los empleados, y la frecuencia 28 corres ponde al 56%, lo que indica que la mediana está por encima del límite inferior del intervalo correspondiente 60, pero sin llegar al límite superior 70, es decir, se encuen tra en el intervalo [60.70). Por lo tanto, a 60 habrá que sumarle, interpolando, el incremento de intervalo que corresponda al incremento de la frecuencia: si la frecuencia aumenta en 28-13=15, el intervalo aumenta 10, si la frecuencia aumenta en 25-13=12, el intervalo aumenta: 12x10/15=8 (25-13)x(70-60) 12x10 28-13 - 15 ~8 La mediana es Md=60+8=68, luego el salario mediano es de 68.000 ptas. Podemos resumir el razonamiento anterior en la siguiente expresión:

N/2- N, Mi

'Ü¡

— Si i +

(12)

II,

donde:

e¡ es el extremo inferior del intervalo mediano, N i-i, es la suma de frecuencias absolutas anteriores al intervalo mediano, n. es la frecuencia absoluta correspondiente al intervalo mediano, a es la amplitud del intervalo mediano.

2.5.2. 1 . Comportamiento de la mediana a) Si la distribución está sesgada en sentido negativo, la media se desvía hacia el lado de los valores más pequeños, es decir, disminuye, resultando menor que la me diana. Del mismo modo, en una distribución positivamente sesgada, la media será mayor que la mediana. Así. en el ejemplo 2.1. la media es 5.05. en tanto que la

mediana es M d = 5. En el ejemplo 2.4, que supone una modificación del ejemplo 2. 1 . en que se altera un valor extremo (los dos alumnos que tenían 10 pasan a tener un 1), la media (4,15) queda notablemente alterada, en tanto que la mediana no varía. B) Si las observaciones están distribuidas simétricamente, la media y la mediana coinciden. Estos razonamientos nos llevan a la conclusión de que la mediana debe usarse en aquellas distribuciones que presentan un sesgo acusado en los extremos. Cuando los datos vienen dados en escala ordinal, la mediana es la medida de tendencia central más representativa de la distribución.

80 2.5.3. Problema inverso La segunda cuestión que teníamos planteada era: «dado un valor de la variable, averiguar el rango del percentil correspondiente». Para ilustrar su cálculo, tratemos de hallar el rango del percentil correspondiente a un salario de 83.000 ptas. en el ejemplo 2.8. Se trata de: a) Localizar el intervalo al que pertenece dicho salario; le vamos a llamar «intervalo crítico»; en el ejemplo, es el intervalo [80,90). b) Localizado el intervalo crítico, se clasifican las frecuencias (n ) en tres catego rías: i) las que corresponden a todos los salarios superiores al intervalo crítico; ii) las que corresponden a los salarios del intervalo crítico; iii) las correspondientes a los salarios que están por debajo del intervalo crítico. Como podemos observar, hay 38 personas que perciben menos dinero que las 6 personas del intervalo crítico, y otras 6 personas que tienen un salario superior, lo que supone unos porcentajes de: 76% con salarios inferiores a los del intervalo crítico 1 2% están dentro del intervalo crítico 1 2% con salarios superiores a los del intervalo critico Debemos considerar el salario de 83.000 ptas. en relación con el tama 5a lar io mensoal N" eupleados Ni ño del intervalo crítico. 100 - 110 21 '- 48 Para determinar la situación del 4J salario en cuestión en el intervalo 90 - 100 crítico, tomamos el límite inferior real 80 - 90 6 38 J del mismo, que es 80. Luego el sala 70 - 80 1028 rio de 83.000 ptas. está 3 puntos por 60 - 70 15 38 13 encima del límite inferior real del in 50 - 60 13 0 tervalo. Como el tamaño del intervalo es 10, la amplitud 3 corresponde al 30% del intervalo. Por tanto, al 76% de los salarios inferiores a los salarios del intervalo crítico hay que sumarle el 0,3 del 12% de personas del intervalo crítico: 76% + 0,3 x ( 1 2%) = 76% + 3,6% = 79,6% El rango del percentil es igual al 79,6%, lo que nos indica que aproximadamente un 80% de los salarios son menores o iguales a 83.000 ptas. y sólo alrededor del 20% de los salarios están por encima de las 83.000 ptas.

SI 2.6. Cuartiles, quintiles y deciles Además de la mediana, que ya hemos estudiado, algunos otros percentiles reciben nombres específicos. Tenemos así los cuartiles, que son tres valores de la variable que corresponden a los percentiles 25%, 50% y 75%, que se conocen como primero, segundo y tercer cuartil, y se representan por: Q„Q2.Q, El segundo cuartil coincide con la mediana. El primer cuartil es el valor de la variable que deja la cuarta parte de las observaciones por debajo de él y las tres cuartas partes restantes por encima. El tercer cuartil. por tanto, es el valor de la variable que deja las tres cuartas partes de las observaciones por debajo de él y la cuarta parte de las mismas por encima. Los «quintiles» son los valores de la variable que dividen a la población en 5 partes iguales. Son cuatro y se representan por Kr K„ K , K4. Los «deciles» son los valores que corresponden a los percentiles múltiplos de 10. Así, «el decil de orden h» es el valor de la variable que deja h/10 partes de las observaciones por debajo de él y el resto por encima; se representa por Dh. Para el cálculo de cualquiera de los cuantiles, se siguen los mismos criterios que hemos expuesto para la determinación de la mediana.

2.7. Moda Otra característica de tendencia central es la moda que, como la mediana, sólo necesita, para su cálculo, que las observaciones estén ordenadas.

2.7. 1 . Definición Se define la moda (Mj como «el valor de la variable estadística que corresponde al máximo del diagrama diferencial». Si la variable estadística es discreta, es el valor de la variable estadística que tiene mayor frecuencia. De la propia definición se despren de que la moda no tiene por qué ser única, ya que pudiera haber dos o más valores de la variable con la misma frecuencia máxima. Una distribución con dos modas recibe el nombre de bimodal, con tres modas, trimodal,... La moda no tiene en cuenta una parte importante de los datos, por lo que se utiliza como medida descriptiva de localización, y no suele usarse en la investigación. Un ejemplo en que tiene interés el uso de la moda es el caso de apostar al número que aparece en la cara superior de un dado si éste tiene la cara opuesta cargada. Es

82 evidente que al número de dicha cara corresponde la mayor frecuencia, por lo que este número es al que tenemos que apostar si deseamos ganar.

2.7.2. Cálculo de la moda 1 ) Si la variable es discreta, la moda queda perfectamente definida: es el valor o los valores de la variable de mayor frecuencia. En el ejemplo 2.1, la moda es 4. 2) Si la variable es continua, se habla de intervalo (o clase) modal, que es el intervalo que tiene mayor frecuencia por unidad de amplitud. A veces es necesario conocer cuál es la situación puntual del valor de la moda en el intervalo modal. Para hallar este valor, se pueden seguir distintos criterios, como puede ser tomar, como valor de la moda, la marca de la clase modal, el extremo inferior de la misma o el extremo superior. Si suponemos que todos los valores de la distribución que caen en el intervalo modal, se distribuyen uniformemente en el mismo, el siguiente razonamiento nos lleva a un valor más apropiado. Parece razonable que el valor de la moda corresponda a un punto del intervalo modal más cercano al intervalo contiguo que tenga mayor frecuen cia por unidad de amplitud. En la práctica, vamos a distinguir dos situaciones posibles, según sean los inter valos de clase de la misma o de distinta amplitud. A) Los intervalos tienen la misma amplitud En este caso, el valor de la moda debe estar más cerca del intervalo contiguo al intervalo modal de mayor frecuencia. La figura 2.5 permite encontrar el valor del incre mento que hay que añadir al valor del extremo de la izquierda, e , del intervalo modal, para obtener un valor puntual de la moda. En efecto, los triángulos APC y BPD son semejantes por tener los ángulos iguales: los ángulos P por ser opuestos por el vértice, y los otros dos por ser alternos internos entre paralelas. Sus lados homólogos son, por tanto, proporcionales, y también son proporcionales sus bases y alturas. Utilizando las propiedades de la Figura 2.4. Cálculo de la moda. proporcionalidad, se deduce

83

PN BD MP~ AC de donde

MP =

PN+MP MP

BD+AC AC

MP

PN+MP

AC BD+AC

n, - n, , AC (PN + MP) = a BD + AC («, - «w ) + (", - ",-, )

puesto que AC=n -n r BD=n -n y PN+MP=MN=ai. Si llamamos h ,=n -n , y h ,=n -n ,, se obtiene como valor de la moda: h M

.e,.,+

(13) /l,/ + /l,w

donde: e i- 1, es el extremo inferior de la clase modal, h . la diferencia de las frecuencias de la clase modal y de la clase inferior contigua, h.+1 la diferencia de las frecuencias de la clase modal y de la clase superior contigua, & la amplitud del intervalo modal. B) Los intervalos no tienen la misma amplitud En este caso, el intervalo modal es el de mayor frecuencia por unidad de amplitud (n/a ), luego el valor de la moda debe ser un punto del intervalo modal que estará más cerca del intervalo contiguo al que corresponda una mayor frecuencia media por unidad de amplitud. Un razonamiento similar al que hemos hecho para intervalos de igual amplitud, nos lleva a la expresión de la moda: k M„ = e,.i +

¡/

(14)

*(./+*,.

donde ahora: e 1-i, es el extremo inferior de la clase modal, k , la diferencia de las frecuencias medias por unidad de amplitud de la clase modal y de la clase inferior. k+¡ la diferencia de las frecuencias medias por unidad de amplitud de la clase modal y de la clase superior, ai la amplitud del intervalo modal. Ejemplo 2.9 Se trata de calcular la moda de la distribución descrita en el ejemplo 2.3. Todos los intervalos tienen la misma amplitud, por lo que se toma la expresión (13). El intervalo modal es el intervalo [172,178) y su frecuencia: n = 16.

84 La frecuencia del intervalo contiguo inferior es n. =15, y la frecuencia del intervalo contiguo superior es nl, =13, luego h. =16-15=1 y h¡, =16-13=3. Como la amplitud de cada intervalo es a=6, la moda es:

Aí„ = 172 +

6 = 172 + 1'5 = 173'5 1+3

2.8. Ejercicios propuestos 2.1. Los resultados de un test de razonamiento realizado a un grupo de alumnos fueron los siguientes: 59 72 71 68 67 78 57 57 75 61 69 39 80 46 57 94 59 76 54 64 62 616148 48 86 65 65 63 60 644166 68 67 68 27 68 64 76 72 67 1 ) Construir la distribución de frecuencias. 2) Hallar la media, la mediana y la moda. 3) Hallar los centiles 10 y 20. 2.2. Un saltador de longitud ha conseguido hacer, durante los 10 últimos días, unas marcas de: 7'68; 8'04; 7'86; 8'01 ; 7'82; 8' 1 2; 801; 7'92; 8'00; 7'95. 1) Hallar la media de las marcas en esos 10 días. 2) Determinar la mediana y la moda. 2.3. En un examen, se han planteado cuatro cuestiones, a las que el profesor ha asignado distinto peso: 2 puntos para la primera, 3'5 para la segunda, 3 para la tercera y 1'5 para la cuarta. Si cada cuestión ha sido calificada de 0 a 10, ¿qué nota le corresponde a un alumno que ha obtenido 9, 6, 4 y 8? 2.4. Se lanza un dado 30 veces, obteniéndose los siguientes resultados: 2345261436 155233324665 1233 161 2 Calcular la media, la mediana y la moda. 2.5. La producción de trigo en una cooperativa agrícola durante los 7 últimos años viene recogida en la siguiente tabla:

85

Año

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

N" de fanegas

450

680

525

802

630

754

720

1 ) Hallar las medias aritmética, geométrica, armónica y cuadrática. 2) Calcular los deciles de orden 4 y 6. 3) Determinar la moda. 2.6. Las calificaciones de 15 alumnos en la asignatura de Ciencias de la Naturaleza son: 7; 6; 2; 8'5; 9; 6; 6; 5; 5,5; 4'5; 3; 1; 8; 7'5; 6'5 1) Calcular la mediana y la moda. 2) Hallar los percentiles de orden 20 y 70. 3) Determinar el rango del percentil correspondiente a una calificación de 5. 2.7. Las temperaturas máximas y mínimas durante los 15 primeros días de julio, en una ciudad, aparecen en la siguiente tabla: Máximas

37

30

33

28

35

36

36

32

34

30

28

30

36

34

32

Mínimas

16

14

18

15

20

21

19

17

18

16

16

20

20

21

19

1 ) Calcular las medias de las temperaturas máximas y mínimas. 2) Hallar las tempe raturas medianas máximas y mínimas. 3) Encontrar las modas. 2.8. Dada la distribución expresada por la siguiente tabla: Clases

36-42

42-48

48-54

54-60

6CV66

66-72

72-78

ni

5

9

17

26

19

8

4

1) Hallar los cuartiles Io y 3°. 2) Calcular los percentiles de orden 30 y 90. 3) Determinar el rango del percentil que corresponde al valor 56. 2.9. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de universitarios en unas pruebas para acceder a un puesto de trabajo en una industria fueron: Puntuaciones

0-10

10-20

20-30

3040

40-50

5060

60-70

70-80

ni

10

34

48

72

164

142

118

78

80-90 90-100 100-110 40

34

12

1 ) Calcular la media, la mediana y la moda. 2) Si la empresa piensa rechazar al 40 por ciento de los que han sacado peor puntuación, ¿cuál es la puntuación mínima requerida para ser admitido?

86 2.10. Según los indicadores económicos facilitados por la CEE, el PIB por habitante de los diversos países de Europa en el año 1986 era: Alemania Bélgica Dinamarca España Francia Grecia

780.300 99.500 70.100 205.300 622.400 42.100

Holanda Italia Irlanda Luxemburgo Portugal Reino Unido

158.300 443.600 23.400 4.300 26.400 533.800

1 ) Hallar la media, la mediana y la moda. 2) ¿Qué países están por encima de la media? 3) ¿Qué países están por debajo de la mediana? 2.1 1. Un profesor facilita las notas de sus alumnos por medio de la siguiente tabla: Notas N° alumnos

10-20

20-30

30-50

50-60

9

13

21

11

1) Determinar el intervalo modal. 2) Suponiendo que los datos se distribuyen de modo homogéneo en el intervalo modal, hallar el valor más apropiado para la moda. 2. 12. Calcular las medias aritmética, geométrica, armónica y cuadrática para la distribu ción definida por la siguiente tabla, y comprobar la relación que existe entre ellas: X.

3

4

9

15

20

"'

3

3

8

6

2

2.13. Se ha aplicado un test de aptitudes a los empleados de una factoría. La s puntua ciones C<), agrupadas en clases, están recogidas en la siguiente tabla: Puntuación (X) N° TVabajadores

[38,44) [44.50) [50,56) [56,62) [62,68) [68,74) [74,80) 7

8

15

25

18

9

6

1) Calcular la mediana y la moda. 2) Hallar la puntuación, por encima de la cual quedan el 30%. 2.14. La oficina central de un banco ha contado la cantidad de dinero que retiraron los clientes en un determinado día, agrupando las cantidades en clases de 20000 ptas.:

87

Miles de ptas.

[0,20)

[20,40)

[40.60)

[60,80)

[80.100)

N° de clientes

33

17

19

14

7

1 ) Hallar la cantidad media de dinero retirada por los clientes. 2) Calcular la media na, interpretando su resultado. 3) Hallar el rango del percentil correspondiente a 70000 ptas. 2.15. Las calificaciones obtenidas por 1300 alumnos en las pruebas de acceso a la universidad, que se evaluaron de 0 a 100, han sido: Puntuaciones (X) (17,25] (25,33] (33,41] (41.49] (49,57] (57,65] (65,73] (73,81] (81,89] N" Alumnos

18

66

132

216

425

212

117

90

18

1 ) Hallar la calificación, por debajo de la cual están el 10% de los alumnos. 2) Si la universidad sólo admite a mil alumnos, ¿cuál es la nota mínima para que un alumno sea admitido? 2. 16. Hallar los cuartiles para los datos del ejercicio 2.9 e interpretar los resultados que se obtengan. 2.17. Hallar la media, la mediana y la moda del ejercicio 1 . 1 7 del primer capítulo. 2. 1 8. En una prueba de velocidad lectora realizada a 30 estudiantes, se obtuvieron los siguientes resultados (en palabras por minuto): 58 76 45 88 93 45 63 56 101 97 52 78 110 89 64 95 49 102 96 58 65 77 95 62 71 83 86 91 58 105 Hallar: 1) la mediana y los cuartiles primero y tercero; 2) el rango del percentil correspondiente a una velocidad lectora de 75 palabras por minuto.

CAPITULO 3 CARACTERÍSTICAS DE DISPERSIÓN Y FORMA

3.1. Dispersión o variabilidad Se llama variabilidad o dispersión de una distribución a la mayor o menor separa ción de sus datos con respecto a una de sus características de posición o promedio. La mínima dispersión posible es cero, dándose tal situación cuando todos los valores de la variable son iguales. Este sería el caso en que todos los alumnos de una clase obtuvieran la misma nota en una determinada asignatura. La variabilidad de una distribución pretende medir la representatividad de una característica de centralización, evaluando la separación de los datos de la distribu ción con respecto a dicha característica. Fijémonos en la figura 3.1, que contiene una representación de las distribuciones de las calificaciones obtenidas por 28 alumnos en Física y Biología: en Física, hay 14 alumnos calificados con 3 y otros catorce con 9, mientras que, en Biología, hay 8 alumnos calificados con 5, 12 alumnos con 6 y 8 alumnos con 7. La calificación media es de 6 puntos en ambas asignaturas, pero el 6 es más representativo de la distribución de las calificaciones de Biología que de las califica ciones de Física, donde ninguna de las notas se aproxima a 6.

Figura 3.1. Diagramas para las calificaciones en Física y Biología.

40

Son diversos los coeficientes que se definen para medir la dispersión, dependien do, en cada caso, de la característica a la que se hace referencia y de si se pretende o no relacionar una distribución con otra. Atendiendo a este último criterio, se pueden clasificar en medidas de dispersión absolutas y relativas.

3.2. Medidas de dispersión absolutas Entre las medidas de dispersión absolutas están el recorrido y las desviaciones cuartílicas, que proporcionan una primera evaluación de la dispersión, pero sin ofre cer una medida del grado de representatividad, ya que no hacen referencia a ningún promedio. Las diferencias y desviaciones son otros índices de la dispersión que, haciendo referencia a alguna característica de tendencia central, presentan algunos inconve nientes. La varianza y la desviación típica son las medidas de dispersión más intere santes, proporcionando una buena medida del grado de representatividad de la media.

3.2. 1 . Recorrido Se llama «recorrido o rango» de una distribución a la diferencia entre el valor más alto y el más bajo de la variable estadística. R = máx (x ) - mín (x )

(1)

El recorrido proporciona una primera información interesante de la variabilidad de una distribución, pero es insuficiente, ya que, si un solo valor de la variable es muy bajo o muy alto en relación con el resto, la información puede inducir a engaño. Algunos autores definen el recorrido como la diferencia entre los valores más alto y más bajo de la variable aumentada en una unidad: R=R+1

3.2.2. Desviaciones cuartílicas Cuando la distribución de una variable estadística no es simétrica, juegan un papel importante la mediana, como característica para localizar la tendencia central y la dife rencia entre los cuartiles primero y tercero, como medida de la dispersión.

91 3.2.2.1. Recorrido intercuartílico Se define el «recorrido o rango intercuartílico» como la diferencia entre el terce ro y el primer cuartil: (2)

R,=Q,-Q,

El recorrido intercuartílico nos indica que. en un intervalo de amplitud Rr se en cuentran el 50% de los valores de la distribución. 3.2.2.2. Recorrido semiintercuartílico A veces se toma como medida de la variabilidad la mitad del recorrido intercuartílico, que recibe el nombre de recorrido semiintercuartílico: ft-Q.

R, (3)

R« = Ejemplo 3. 1

En la siguiente tabla figuran las calificaciones de un test de conducta realizado por un grupo de 80 alumnos. Vamos a calcular las desviaciones cuartílicas: Clases

Frecuencias

Frec. acumuladas

10-20 20-30 3040 40-50 50-60 60-70 70-80

3 6 15 20 21 9 6

3 9 24 44 65 74 80

El primer cuartil. Q . deja por debajo el 25% de las puntuaciones, que son 20: por tanto Q, cae dentro del intervalo 30-40. Hasta el límite inferior del intervalo, 30, hay 9 puntuaciones; faltan 1 1 para llegar a 20. Entonces, interpolando, resulta que si 15 valores corresponden a una amplitud 10 del intervalo, 1 1 valores corresponden a 1 lxlO/15=7'33. luego Q=30+7'33=37'33 El tercer cuartil, Q , deja por debajo el 75% de las puntuaciones, que son 60; este valor es mayor de 44. por lo que Q, cae dentro del intervalo 50-60.

92 Hay 44 puntuaciones hasta el límite inferior del intervalo, 50, y faltan 16 para llegar a 60. Interpolando como antes, resulta si 21 valores corresponden a una amplitud 10 del intervalo, 16 valores corresponden a 16x10/21=7'62, luego Q=50+7'62=57'62 El recorrido intercuartílico es: R=57'62-37'33=20'09 y el recorrido semiintercuartílico: RS =20' 09/2= 10' 045

3.2.3. Diferencias y desviaciones Dada una característica de tendencia central C y un valor x de la variable, se tienen las cantidades: l) x-C, que es la diferencia a la característica de tendencia central C, 2) Ix-CI, que es la desviación a la característica de tendencia central C. Las cantidades x^C, cuando varía x, definen una variable estadística, cuyo prome dio puede ser utilizado como medida de la dispersión. Sin embargo, este promedio tiene un grave inconveniente, puesto que podría dar se el caso de una distribución con valores muy dispersos a ambos lados, siendo la media ponderada de las diferencias x-C pequeña, al contrarrestarse las diferencias negativas con las positivas. (En el caso de tomar la media como característica de tendencia central C, la media de las diferencias es cero). En cambio, las cantidades Ix-CI, cuando varía x , definen una variable estadística positiva, cuyo promedio se puede utilizar como medida de la dispersión. Según sea la característica de tendencia central C, se obtienen distintos índices de dispersión. Así, tenemos: A) Desviación mediana (o probable): Es la mediana de las desviaciones a la mediana. B) Desviación media respecto de la mediana: Es la media de las desviaciones a la mediana. 1

l

/ *

(4)

Cuando D es grande, la mediana no es representativa, mientras que si DMe es pequeña, la mediana es representativa de la distribución. C) Desviación media respecto de la media: Es la media de las desviaciones a la media:

Di-—px,-Jdn,

(51

93 Ejemplo 3.2 Las puntuaciones de un grupo de 1 1 alumnos en un test de conducta son: 40 14 20 16 34 12 29 21 25 23 18 Vamos a calcular los recorridos, las diferencias y las desviaciones: 1) Recorrido R=40- 1 2=28 ; R ' =40- 1 2+ 1 =29 es el recorrido aumentado en 1 . 2) Recorridos cuartílicos Primer cuartil: Q,=16; segundo cuartil: Q,=29 Recorrido intercuartílico: R =29- 16= 13 Recorrido semiintercuartílico: Rs¡= 13/2=6' 5 3) Desviaciones Para determinar la desviación mediana, ordenamos los datos de menor a mayor, determinamos la mediana, y, una vez halladas las desviaciones a la mediana, reordenamos los datos para evaluar la nueva mediana: Datos ordenados

X -X

\x, -x\

12

16

18

20

21

23

25

-10'9 -8'9 -6'9 -4'9 -2'9 -1'9 O'l 10'9 8'9 6'9 4'9 2'9 1'9 O'l

2'1 2'1

%-Mg\

-9 9

Datos reordenados

0

A-*a

14

29

34

40

6'1 111 IV 1 6'1 111 17'1

-5 5

-3 3

-1 1

0 0

2 2

4 4

8 8

13 13

19 19

12

3

4

5

7

8

9

13

19

-7 7

72'9

71

Media=252/ll=22'9 Mediana= 21 Desviación media respecto de la mediana=71/l 1=6'45 Desviación media respecto de la media=72'9/l 1=6'62 Desviación mediana=5

3.2.4. Varianza y desviación típica Las desviaciones medias proporcionan medidas interesantes de la dispersión, ya que se basan en el promedio de las desviaciones a la mediana o a la media. Es frecuente su uso en algunos campos de la investigación, como la Pedagogía. Sin embargo, los valores absolutos no son muy adecuados para realizar posterio res estudios y cálculos, por lo que se han buscado otras medidas que, siendo fáciles de interpretar, admitan mejor las operaciones algebraicas. Cuando los datos se ajustan a la distribución normal, las medidas de dispersión más representativas son la varianza y la desviación típica.

94 3.2.4.1. Definiciones La varianza de una distribución se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones a la media, y se denota por s2: (6)

Si la varianza es cero, todos los valores de la variable coinciden con la media, lo que significa que la dispersión es nula. Cuanto más alejadas estén las observaciones de la media, mayor será la varianza. La varianza presenta todavía una dificultad: al estar elevadas al cuadrado todas las desviaciones, la unidad de medida de la varianza viene dada en cuadrados de las unidades de los datos originales. Con el fin de disponer de una medida de la dispersión que venga en unidades de medida de los datos originales, se utiliza la raíz cuadrada positiva de la varianza, que se llama desviación típica y se denota por s:

(7)

3.2.4.2. Propiedades de la varianza La varianza cumple una serie de propiedades interesantes; basándose en ellas, se puede simplificar su propio cálculo y hacer comparaciones de datos expresados en diferentes escalas de medida. Las enunciamos a continuación sin demostrar. En el apéndice de fin de capítulo pueden verse las demostraciones. I. Si todos los valores de una distribución se multiplican (o dividen) por una constante d (distinta de cero), la varianza de la nueva variable queda multiplicada (o dividida) por el cuadrado de la constante. Así: Siy = -

(8)

II. Si a todos los valores de una distribución se les suma (o resta) una constante k, la varianza de la nueva distribución no varía.

Si y = x ± k => si = si

95 III. La media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media es

min

' ±4Xf x, - c )' n, = —I Xf x, - x Y n

(10)

N

Esta última propiedad nos dice que, si efectuamos la media de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un valor C, el valor mínimo se obtiene cuando C es igual a la media, lo que hace que la varianza sea la medida cuadrática de dispersión óptima. IV. Teorema de Konig: Dado un número real c, la media de los cuadrados de las desviaciones respecto de c es igual a la varianza más el cuadrado de la distancia entre la media y c: k

(11)

-xff, + (x-cf i-l

¡=i

En el caso particular en que c=0, resulta:

(12)

¿.(xi-xff = Y.x1 f ,- x2

que nos indica que «la varianza es la diferencia entre la media de los cuadrados y el cuadrado de la media». Esta última fórmula (o su expresión con frecuencias absolutas), que exponemos a continuación, simplifica notablemente los cálculos:

¿J x,- x )' n,

¿éx:n,

N

N

(k y X*'«_

k

(13)

N

N

Caso de frecuencias unitarias: Si la frecuencia de cada uno de los valores de la variable es igual a 1 , resulta: ( k

Yé(x,-x)'

¿xi

'

P

k

Z.xi i.i

-x = -

)

k

(14)

96

3.2.4.3. Propiedades de la desviación típica De las propiedades de la varianza se deducen fácilmente, para la desviación típica, las siguientes: I. Si todos los valores de una distribución se multiplican (o dividen) por una constante d (distinta de cero), la desviación típica de la nueva variable queda multipli cada (o dividida) por la constante. Así: x a

1 a

(15)

II. Si a todos los valores de una distribución se les suma (o resta) una constante k, la desviación típica de la nueva distribución no varía. Si y = x ± k

(16)

. Sr = sx

III. La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la diferencia entre la media de los cuadrados y el cuadrado de la media.

(17)

Ejemplo 3.3 Vamos a calcular la varianza y la desviación típica de la distribución correspon diente al ejemplo 2.1., donde se conocen las calificaciones de 20 alumnos en Matemá ticas: Calificaciones

2

4

5

6

8

10

N° de alumnos

3

6

5

3

12

La forma más sencilla de evaluar estas características es mediante una calculadora o alguno de los paquetes informáticos preparados para ordenador. Sin embargo, sobre todo en los comienzos, es conveniente hacer uso de la definición y de alguna de las propiedades que ayudan a simplificar los cálculos. A) Utilizando la definición, el proceso de cálculo se puede seguir en el siguiente cuadro, donde hemos situado los valores de la variable, las frecuencias, los productos de los valores de la variable por las frecuencias, las diferencias con respecto a la media, sus cuadrados y el producto de éstos por las frecuencias. El total de la última columna dividido por el total de las observaciones es el valor de la varianza:

97

x¡

n,

x, n,

Xt-X

(xi-xf

( x, - x f m

2 4 5 6 8 10

3 6 5 3 1 2

6 24 25 IS 8 20

-3,05 -1,05 -0,05 0,95 2,95 4,95

9,3025 1,1025 0,0025 0,9025 8,7025 24,5025

27,9075 6,6150 0,0125 2,7075 8,7025 49,0050

Total

20

101

94,9500

-

101 94,95 = 4,7475' s= 2,1788 20 20 B) Haciendo uso de las propiedades y utilizando la fórmula (13), el proceso segui do también está recogido en el siguiente cuadro: Xt

n¡

x,n,

x¡

2 4 5 6 8 10

3 6 5 3 1 2

6 24 25 18 8 20

4 16 25 36 64 100

12 % 115 108 64 200

Total

20

101

245

605

XiTk

(ioir \60520

. 4,7475: s = 2,1788 20

3.3. Medidas de dispersión relativas Con frecuencia surge la necesidad de hacer comparaciones entre las dispersiones de dos distribuciones expresadas en distintas unidades. Así, puede ser que tengamos necesidad de averiguar cuál de las características de centralización, Ci y C2, de dos distribuciones es más representativa. En principio, no es posible dar una respuesta, ya que las distribuciones, probablemente, no estarán dadas en las mismas unidades, y, en el caso de que lo estén, los promedios pueden ser diferentes. Esto obliga a encontrar una medida relativa de la variabilidad de una distribución mediante un número abstracto, independiente de las unidades de medida de las variables.

98 Se definen varias medidas de dispersión relativas, como el coeficiente de apertu ra, el recorrido relativo, el coeficiente de variación de Pearson y los coeficientes de variación media.

3.3.1. Coeficiente de apertura Se define el coeficiente de apertura(A) como el cociente de dividir el mayor valor de la distribución entre el menor: (18)

El coeficiente de apertura es adimensional, y tiene dos graves inconvenientes: en primer lugar, no hace referencia a ningún promedio, por lo que no sirve para comparar la representatividad, y, por otra parte, al tener en cuenta sólo los valores extremos, puede tomar un valor grande, si éstos están muy separados, estando los restantes valores agrupados entre sí.

3.3.2. Recorrido relativo Si % -¿ q, se define el recorrido relativo como el cociente entre el recorrido y la media aritmética, y se representa por Rr: R Rr = — x

(19)

El recorrido relativo indica el número de veces que el recorrido contiene a la media aritmética.

3.3.3. Coeficiente de variación de Pearson Si X ^0, se define el coeficiente de variación de Pearson(CV) como: CV--

(20)

Se trata de una cantidad sin dimensión, puesto que, al efectuar el cociente, se eliminan las unidades, y nos indica el número de veces que la desviación típica con tiene a la media.

99 El coeficiente de variación se suele utilizar con variables positivas y multiplicado por 100, lo que permite emplear un lenguaje de porcentajes: V = 1O0xCV

(21)

Cuanto mayor sea el coeficiente de variación, menor será la representatividad de la media. El coeficiente de variación de Pearson utiliza toda la información de la distribución, y su valor mínimo es V=0, que se obtiene para s=0, en cuyo caso, no hay dispersión y la media es totalmente representativa de la distribución. Cuando la media es cero, el coeficiente de variación de Pearson no es válido.

3.3.4. Coeficientes de variación media También se utilizan los coeficientes de variación media respecto a la media y a la mediana, tomando valores absolutos en el denominador, ya que se trata de coeficien tes de variación positivos: /. Coeficiente de variación media respecto a la media (22)

SiX*0

11. Coeficiente de variación media respecto a la mediana SiMe*0

(23)

Ejemplo 3.4 Los alumnos de un grupo de primer curso han sido calificados en Matemáticas de 0 a 50 y en Física de 0 a 10 por sus respectivos profesores. ¿Cuál de las dos distribu ciones es más homogénea con respecto a la nota media? Para dar una respuesta, vamos a calcular el coeficiente de variación de Pearson: La media de las calificaciones en Matemáticas es 39' 1 1 y la desviación típica 8'65, luego el coeficiente de variación de Pearson es: CV=8'65/39'11=0'221 y expresado en porcentajes: V=0'221xl00=22'l%

100

Matemáticas

Física

Calificaciones

N° de alumnos

Calificaciones

15 25 35 40 45 47 49

3 5 8 14 16 5 3

2 3 5 6 7 9 10

Total

54

N° de alumnos 12 9 12 5 4 4 8 54

La calificación media de Física es 5 '27 y la desviación típica 2 '80, luego el coefi ciente de variación de Pearson es: CV=2'80/5'27=0'531 y expresado en porcentajes: V=0'531xl00=53'l Comparando ambos coeficientes, se llega a la conclusión de que hay una mayor homogeneidad en las calificaciones de Matemáticas.

3.4. Momentos Tanto la media como la varianza son casos particulares de un concepto más gene ral, el de momento. Los momentos de una distribución son unos valores específicos que se deducen a partir de todos sus datos y que son característicos de cada distri bución, de modo que dos distribuciones son iguales si tienen iguales todos sus momentos. Se utilizan, en Estadística, dos tipos de momentos (potenciales y factoriales). Definimos los momentos potenciales, que son los que vamos a necesitar: Sea r un número entero positivo y c un número real cualquiera. Se llama momento de orden r respecto de c al valor dado por la expresión: % (c) = ¿¡(xi - c )' /, = — 2/X.. - c í n, i- 1

(24)

«V /. i

Según los diferentes valores de c, vamos a considerar dos clases de momentos potenciales: los momentos centrales o momentos respecto de la media y los momen tos respecto al origen.

101 3.4.1. Momentos centrales Cuando c = x se tienen los momentos centrales o momentos respecto de la media: I * «r = — EU--*/n¡

(25)

Los primeros momentos centrales son:

i,Í m„ = — £(*,-* /n, = 77 X», = ^ / 4 N i.i

1 !

La varianza es. por tanto, el momento central de segundo orden.

3.4.2. Momentos respecto al origen Cuando c=0 se tienen los momentos respecto al origen. Así, el momento de orden r respecto al origen, que representaremos por ar, es:

ar = -l(xr0fn¡=-Z¿n

(26)

Los primeros momentos respecto al origen son: 1

k

i

k

a„= —ZéX°ni = —'£n¡ = 1 N „, Ni.¡ 1 , a, = —Z^xin, = x 1 ■

Con la terminología de momentos, la fórmula (13) puede escribirse en la forma: m2 = ü2 - a.

(27)

102 Esta fórmula relaciona el momento central de orden 2 con los momentos respecto al origen. Es otra manera de expresar el teorema de Kónig para C=0.

3.4.3. Cálculo de momentos Los momentos centrales y momentos respecto al origen están relacionados entre sí. El cálculo práctico de los momentos centrales de una variable se realiza a partir de los momentos respecto al origen. Las relaciones entre unos y otros momentos se obtienen desarrollando las expre siones de su definición por la fórmula del binomio de Newton. /. Desarrollo de los momentos centrales mr = 2Jx,-aiífi i-i

Desarrollando esta expresión, resulta: * - § [( „>r-( íKlM íHv- . . + i-'1 rhti -

-gx/f.-(-)¿xr«lfl+(-)gxr^f.-... + (-l)^«^.'«r-(J)«A-l+(J)«l««---- + (-l¡r*i" Para valores particulares de r, se tienen las siguientes fórmulas que dan los prime ros momentos centrales en función de los momentos respecto al origen: m2 = a2 - a) (teorema de Kónig) m3 = a3-3a2ai+2ai

'

m4 =a4-4a3ai + 6ala2-3ai

(30)

II. Desarrollo de los momentos respecto del origen k

k

i

ar = X*f/, = Z,(x,-ai+a,)rf, = ¿\(x,-ai) + aj[ í. ¿=/

C28)

,.i

Desarrollando esta expresión, resulta:

i. i

'

103

Para valores particulares de r, se tienen las siguientes relaciones, que permiten obtener los momentos respecto del origen en función de los momentos centrales y de la media: a2 = m:+a'i > a¡ = m} + 3m2ai + a:¡ . a4 = m4 + 4m.lai + 6m2a'i+ai

(31)

Ejemplo 3.5 Un test de aptitudes aplicado a un grupo de 30 alumnos ha dado las siguientes puntuaciones: 12 13 50 70 35 12 65 74 15 76 40 38 45 20 35 30 25 45 44 76 82 53 60 25 23 57 90 40 35 80 Tratemos de hallar los 4 primeros momentos respecto del origen y respecto de la media. 1 ) Momentos respecto del origen: — 1365 x=a/ = __ = 45.5

a3 =

5034610 = 167820 '33 30

77601 «, = — = 25*67

a* =

353818317 = 11 793943' 9 30

2) Momentos centrales: ,„/ = 0 m2= 2586'7-45'52 = 51645 m} = 167820'33 - 3x2586'7x45'5 + 2x45'5' = 3128'7 m. = 11793943'9-4xl67820'33x44'5+6.x45'5:x2586,7-3x45'5J=523501'76

3.5. Análisis de la forma Cuando los datos estadísticos se adaptan a la distribución normal o, cuando me nos, la distribución es simétrica, la media coincide con la mediana, siendo, en tales situaciones, la media y la desviación típica las características idóneas para resumir la localización y variabilidad de la distribución.

104 Sin embargo, no siempre sucede esto. A veces, la distribución de frecuencias se aparta de la normal, contiene datos anómalos o carece de simetría, en cuyas situacio nes, la media y la desviación típica no reflejan fielmente la distribución. Conviene, por lo tanto, conocer la forma de la distribución. Los métodos clásicos ofrecen unas características, conocidas como «medidas de asimetría», que detectan la no presencia de simetría con respecto a un valor de tendencia central y miden el grado de su intensidad. Una distribución es simétrica cuando posee el mismo número de valores a la izquierda y a la derecha de la media de modo que cumplen: 1) dos a dos son equidistantes de la media. 2) cada uno de los pares de valores que equidistan de la media tienen la misma frecuencia. Otras características, conocidas como «medidas de curtosis» señalan el grado de concentración respecto de la tendencia central, que se traduce en un mayor o menor apuntamiento de su gráfica. Los nuevos métodos exploratorios han dado una especial importancia al estudio de la forma, aportando nuevos estadísticos y soluciones al problema de la representatividad, según veremos en el próximo capítulo. 3.5.1. Coeficiente de asimetría de Fisher Si una distribución es simétrica, el tercer momento central / * m.t = tt 2/ *¡ - * / ". será nulo, ya que se anularán entre sí los cubos de las diferencias positivas con los de las negativas. En cambio, si la distribución es asimétrica, el tercer momento central es tanto mayor en valor absoluto cuanto más acentuada sea la asimetría de la curva. En efecto, al elevar al cubo las diferencias, los valores extremos influyen más que los valores próximos a la media en el cálculo de m,. Además, el signo de m coincidirá con el sentido de la asimetría. Por lo tanto, el momento central de orden 3 es un valor adecuado para obtener una medida de la asimetría de una distribución. Con el fin de utilizar una magnitud sin dimensión, se usa el coeficiente de asimetría de Fisher (AK): Ah= — s Si AF>0, la distribución presenta asimetría positiva (hacia la derecha). Si AF=0, la distribución es simétrica. Si AF<0, la distribución presenta asimetría negativa (hacia la izquierda).

(32)

105 3.5.2. Coeficiente de asimetría de Pearson Otra peculiaridad de la distribución asimétrica es que, cuanto mayor es la asime tría, mayor es la distancia entre la media y la moda, de forma que, en una distribución asimétrica positiva, la media se desplaza a la derecha de la moda, y, en una distribu ción asimétrica negativa, la media se desplaza a la izquierda de la moda. En esta propiedad se basa el uso del coeficiente de Pearson, A , que se define como: x-Mo A

(33)

Este coeficiente se utiliza si la distribución es unimodal. El signo del coeficiente señala el sentido de la asimetría: si A >0, la asimetría es positiva, si A p=0, la distribución es simétrica, si A p <0, la asimetría es negativa. c

3.5.3. Coeficiente de asimetría de Bowley El coeficiente de asimetría de Bowley tiene su fundamento en la posición de los cuartiles primero, segundo y tercero. Si se tiene en cuenta que el segundo cuartil es la mediana, se define el coeficiente de Bowley como: Q,+ Qr2Mi1 (34)

A„ =

La distribución será simétrica si AR=0, tendrá asimetría positiva si AB>0 y negativa si AB<0.

3.5.4. Coeficiente absoluto de asimetría Con el mismo fundamento que el coeficiente de Bowley se define el coeficiente absoluto de asimetría como: Q.i + Q,-2Md

(35)

3.5.5. Medidas de apuntamiento o curtosis Si dos distribuciones tienen la misma varianza, aquella que tenga mayores frecuen

106 cias en los valores próximos a la media, tendrá también mayores frecuencias en los valores extremos y, en cambio, tendrá menores frecuencias en los valores intermedios. El momento central de orden 4 será, por tanto, mayor en la distribución que tenga un mayor apuntamiento. Esta es la razón por la que se usa, como medida del apunta miento de una distribución, el coeficiente del momento de aplastamiento: A.

nu s4

(36)

En el caso de distribuciones unimodales, con una cierta simetría, la mayor o menor concentración en tomo a la media origina un mayor o menor apuntamiento en la grá fica. El grado de apuntamiento se determi mesocúrtica na comparándolo con una distribución que se toma como modelo, la distribución nor mal, que tiene una gráfica en forma de cam platicúrtica pana, cuyo estudio se hace en el capítulo 8. Para esta curva, el coeficiente del mo Figura 3.2. Apuntamiento o curtosis. mento de apuntamiento vale A4=3, por lo que se utiliza, como medida del apuntamiento, el coeficiente de aplastamiento leptocúrtica

g4 = A4-3

(37)

Si g4>0. la curva es más apuntada que la normal de misma media y misma desvia ción típica (se dice leptocúrtica), si g4=0, la curva es igual de apuntada que la normal (mesocúrtica), si g4<0, la curva es menos apuntada que la normal (platicúrtica). En la figura 3.2 tenemos una imagen de tres curvas con distinto apuntamiento. Ejemplo 3.6 Veamos cuáles son las medidas de asimetría y aplastamiento para la distribución del ejemplo 3.5: 1 ) Coeficiente de asimetría de Pearson: La distribución es unimodal, siendo la moda M =42, luego

r> 45'5-42 0'I5 75/675 22725 El coeficiente de asimetría de Pearson es A =0' 1 5>0. que indica un sesgo hacia la derecha. X-M„

A.=

107 2) Coeficiente de asimetría de Fisher: m, S3

31287 22725"

31287 11736'6

Por ser AF=0'266>0, el coeficiente de Fisher confirma el sesgo hacia la derecha. 3) Coeficiente del momento de aplastamiento: m 5235327 5235327 A4 = V= 22725' = 266695'42 = ''96S Luego el coeficiente de apuntamiento de Fisher es: gJ = AJ-3 = 1'963-3 = -1'037 Al ser g4=-1'037<0, la curva es platicúrtica, es decir, está más aplastada que la distribución normal de la misma media y desviación típica. 3.6. Medidas de concentración Se entiende por concentración el mayor o menor grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable. Se utiliza este concepto fundamentalmente con variables económicas, como son la producción, los salarios, las rentas,... El interés en la distribución de la renta, más que en la dispersión, está en el reparto equitativo de la misma. Por ello, Corrado Gini introduce el concepto de concentración con el fin de medir el grado de equidistribución de la variable. Se puede estudiar la concentración por métodos gráficos o mediante algún estadístico. Sea la distribución dada por los valores de la variable x y los valores de la frecuen cia n,. Para estudiar la concentración, necesitamos añadir a la tabla de frecuencias: 1 ) los totales acumulados para cada valor de la variable: u, = ¿jXirii 2) las frecuencias relativas acumuladas en forma de porcentajes: p = 100f 3) los totales acumulados expresados en porcentajes: q - /00— u„ Ejemplo 3.7 Se trata de estudiar la concentración de los salarios de los empleados de una empresa, cuya distribución viene dada por: Salarios

70-90

90-110

110-130

130-150

150-170

170-190

190-210

N° obreros

60

180

300

200

150

80

30

108 El estudio gráfico se realiza por medio de la curva de concentración o curva de Lorenz. La curva de Lorenz es la representación de los totales acumulados (q.) en función de las frecuencias acumuladas (p.), cuyos valores tenemos calculados en la tabla de distribución: Salarios

n

c

N1

en.

u1

P.1

80 100 120 140 160 180 200

60 240 540 740 890 970

4800 18000 36000 28000 24000 14400 6000

4800 22800 58800 86800 110800 125200 131200

6 24 54 74 89 97 100

i

70-90 90-110 110-130 130-150 150-170 170-190 190-210

60 180 300 200 150 80 30

1000

% 3'65

1737 44'81 66' 15 84'45 95'42

100

Para dibujar la curva de Lorenz, se construye un cuadrado de lado 100, y, tomando como origen el vértice inferior izquierdo, se sitúan sobre el eje de abscisas las p , y sobre el eje de ordenadas los qr La poligonal que une los puntos (p¡,q¡) es la curva de Lorenz. La curva pasa por los puntos O(0,0) y P( 100, 100), y está situada siempre por debajo de la diagonal que une O y P, siendo cóncava. La concentración mínima se daría cuando todos los empleados percibieran el mismo sala 100 rio, en cuyo caso p -q para todo i, y la curva 80 •de Lorenz coincidiría con la diagonal del cua drado. En cambio, la máxima concentración se 60 daría cuando uno de los empleados se llevara todo el dinero de los salarios, no percibiendo nada el resto de los empleados. 20 .. En tal caso, la curva de Lorenz estaría for mada por los lados inferior y lateral derecho del cuadrado. 20 40 60 80 100 Por tanto, cuanto más se aproxime la curva a la diagonal del cuadrado, menor será la con Figura 3.3. Cuna de Lorenz centración y más equitativa será la distribución de los salarios. Para medir la concentración, se utiliza el índice de concentración de Gini, que se define como: (42)

109 Si la concentración es mínima, es p¡=q¡, y, por tanto, IG=0; mientras que, si la concentración es máxima, q =q,=...=qn^=0, e I0=1. Por tanto, IG vana de 0 a 1. Se comprueba además que el índice de Gini es aproximadamente «igual al área encerrada entre la diagonal y la curva dividida por la mitad del área del cuadrado». El índice de Gini correspondiente al ejemplo 3.7 es Ia=0'06. Otro índice de concentración interesante es la mediala, que se define como el valor de la variable x tal que q(x)=0'5xl00% q(x) es la proporción (en tanto por ciento) de la cantidad total de salarios ganada por los empleados cuyo salario es menor que x. La mediala es, por tanto, el salario tal que los empleados que ganan individualmen te menos que la mediala ganan globalmente tanto como los empleados cuyo salario sobrepasa el salario medial. La mediala cuando los datos están agrupados, se calcula, como la mediana, por interpolación a partir de los extremos de la clase medial: 50 -qn Mi = e¡¡+

a¡

(43)

donde: e es el límite inferior de la clase medial, qM es la cantidad acumulada (en porcentaje) inferior a la clase medial, q. es la cantidad acumulada (en porcentaje) de la clase medial, a. es la amplitud de la clase medial. En el ejemplo 3.7, la mediala es M=l 30+4' 86= 134' 86.

3.7. Variable tipificada En numerosas ocasiones, interesa deducir el valor relativo de un dato con respecto al grupo al que pertenece, utilizando para ello la media y la desviación típica del grupo. Supongamos que tenemos que asignar un puesto de trabajo a uno de entre dos candidatos y que, para seguir un criterio ecuánime, hemos decidido asignar la plaza a aquel que haya obtenido mejor calificación en una prueba que ambos candidatos realizaron en sus ciudades de residencia. Uno de los candidatos obtuvo 55 puntos sobre un total de 80, mientras que el otro candidato fue calificado con un 7 sobre un total de 10 puntos. Conocemos además la media y la desviación típica de las distribuciones de ambas pruebas: X, = 45y s, = 12 X2 = 6 y si = 2

no Al no ser iguales las unidades de medida utilizadas, las calificaciones de los can didatos no son comparables. Debemos, por lo tanto, transformar las calificaciones, pasándolas a una escala común de modo que las transformadas tengan la misma media y la misma desviación típica. Si a las calificaciones originales les restamos su media y dividimos por su desvia ción típica, se transforman ambas en otras de media cero y desviación típica 1 . Las calificaciones de nuestros dos candidatos son ahora: X,-X,

55-45

10

ft 2 2 Como estas nuevas calificaciones tienen una distribución de media cero, observa mos que las dos están por encima de la media y asimismo, al ser la desviación típi ca 1 . comprobamos que la primera calificación está 0,83 desviaciones típicas por en cima de la media, en tanto que la segunda está solamente 0,5 desviaciones típicas por encima de la media. El proceso que acabamos de seguir, por el cual transformamos los valores x de una variable en otros z, que se obtienen de restar a cada valor x de la variable su media y dividir el valor así obtenido por la desviación típica s: X,-X

(44)

Z, =

se conoce con el nombre de tipificación de la variable, y la nueva variable Z, así obtenida, se llama variable tipificada. Proposición: La variable tipificada tiene media cero y desviación típica 1. En efecto: j. = 0. Por las propiedades 2) y 3) de la media, y, en virtud de la propie dad I de la desviación típica, será: s- — —s = I. 3.8. Puntuaciones derivadas Las puntuaciones tipificadas son cantidades referidas a una misma unidad de medida, lo que facilita la comparación entre los distintos datos, ya que su valor es independiente de la distribución de origen. La tipificación de una variable permite conocer a simple vista si una puntuación

111 queda por encima o por debajo de la media de su distribución, puesto que se sabe que ésta es igual a cero. Además, al ser la desviación típica igual a 1, nos indica cuántas desviaciones típicas está por encima o por debajo de la media. Las puntuaciones tipificadas poseen la gran ventaja de que la distribución normal N(0,1 ) está tabulada y es sencilla de manejar e interpretar. Sin embargo, el investigador debe comunicar los resultados por él obtenidos y hacerlos inteligibles a personas no versadas, como puede ser el caso del profesor que quiere facilitar las calificaciones de sus alumnos a los padres de éstos. Seguramente algún padre no entenderá que una calificación de cero indica que su hijo está en la media del curso, ni sabrá interpretar una calificación negativa. Por este motivo, se han diseñado otras calificaciones de interpretación más fácil.

3.8.1. Puntuaciones T Las puntuaciones T se obtienen a partir de las puntuaciones tipificadas Z median te un cambio de origen y un cambio de escala que viene dado por la transformación T = 10Z + 50

(45)

De esta forma, una calificación Z=- 1 se transforma en T=10x(-1H50=-I0+50=40 La nueva variable T tiene media 50 y desviación típica 10. La puntuación T=40 significa que está por debajo de la puntuación media (50) y a una distancia de una desviación típica de la misma. Las puntuaciones T son positivas y se pueden redondear a números de dos cifras, lo que facilita su comprensión, ya que no hay números negativos ni decimales. Este tipo de puntuación tuvo gran difusión al ser habitualmente utilizado por las fuerzas armadas de los Estados Unidos de América.

3.8.2. Puntuaciones SAT Otro tipo de puntuaciones derivadas muy utilizado en las Ciencias de la Educación y en Psicología son las puntuaciones SAT (Scholastic Aptitude Test o test de aptitud escolar). Las puntuaciones SAT se obtienen de las puntuaciones tipificadas también por medio de un cambio de origen y de escala mediante la transformación

112

SAT = 1002 + 500

(46)

Las puntuaciones SAT siguen, por lo tanto, una distribución de media 500 y desviación típica 100. Así, una puntuación Z=l se transforma en una puntuación SAT= 1 OOx 1 +500=600, lo que significa que está por encima de la media (500) y a una distancia de la misma de una desviación típica.

3.9. Correcciones de agrupamiento de Sheppard En alguna ocasión, hemos advertido cómo la agrupación en intervalos de una distribución de frecuencias produce una cierta pérdida de información, que será tanto mayor cuanto menor sea la uniformidad de la distribución de los datos dentro de cada intervalo, dependiendo también de la amplitud de los intervalos. Esta pérdida de información hace que los resultados que se obtienen cuando calculamos un momento sean diferentes según se evalúen para la totalidad de los datos o para la distribución agrupada en intervalos. W.F. Sheppard estudió estas diferencias y llegó a la conclusión de que entre los momentos para distribuciones agrupadas (que representamos por mr, ar) y los momen tos de las distribuciones originales (m'r, a'r), cuando la distribución es de tipo campa niforme, no muy asimétrica, y todos los intervalos tienen la misma amplitud c, se dan las siguientes relaciones:

III

-'iVfjá?'" donde r'=0, cuando 2i>r. Si damos valores particulares a r, para los cuatro primeros momentos respecto al origen, resulta: ~ c c c c ao = a'o = 1, ai = a', = x, a2 = a'2 + —, a.l = a'l + —a',, a4 = a'4 + ~ZU2 + TT 12 4 2 80 y, para los momentos centrales: c2 c2 c4 mo = m',i = 1, mi = m'i = 0, m2 = m'2 + —, m3 = rrí'l , m4 = rrí4 + —ní2 + 12 2 oí/ A partir de estas relaciones, los momentos corregidos de segundo y cuarto orden respecto de la media quedan: 1) Momento central de orden 2 corregido:

113

m"2

= mi

c~ ' 12

(49)

2) Momento central de orden 4 corregido: 7

«4-»-J«'-Jo"«-2

,

luego el momento central de orden cuatro corregido es (50)

2

240

Para los momentos impares m, y m, no es necesario hacer ninguna corrección. La corrección de Sheppard debe utilizarse con cuidado, únicamente en las condi ciones antes reseñadas y después de analizar cada situación, para evitar una correc ción excesiva, que incrementaría un error con otro. Ejemplo 3.8 Los pesos de 50 estudiantes de primer curso de Ciencias Químicas vienen dados por la siguiente tabla: Altura

50-56

56-62

62-68

68-74

74-80

N° estudiantes

3

10

14

13

10

Veamos cuáles son la varianza y el momento de cuarto orden respecto de la media sin la corrección de Sheppard y corregidos. A) Sin corrección: m2=49'8584 y m=5204' 1006. B) Corregidos: m\=49'8584-3=46'8384; m' =5204' 1006-397'0912+37'8=4344'8094.

3.10. Ejercicios propuestos 3.1. En el ejercicio 2.6, teníamos las calificaciones obtenidas por 1300 alumnos en las pruebas de acceso a la universidad, que se evaluaron de 0 a 100 puntos:

114

Puntuaciones 17-24 25-32 33-40 41-48 49-56 57-64 65-72 73-80 81-88 89-96 V alumnos

18

66

132

216

425

212

117

90

I8

6

1) Hallar las desviaciones medias respecto de la media y respecto de la mediana. 2) Hallar la varianza y la desviación típica. 3) Estudiar la simetría y el apuntamiento. 3.2. Dada la distribución definida por la siguiente tabla: X1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

8

5

6

4

9

3

2

2

"l

Hallar: 1 ) los 4 primeros momentos respecto al origen; 2) los 4 primeros momentos centrales. 3.3. Los beneficios repartidos por una empresa aparecen reflejados en la siguiente tabla: Cantidad (millares)

3540 4045 45-50 50-55 55-60 6065 65-70 7075

N° de empleados

8

9

18

25

28

12

14

6

1) Estudiar la concentración de los beneficios, trazando la curva de Lorenz y calculando el índice de Gini y la medíala. 3.4. Las calificaciones en Matemáticas de 313 alumnos de primer curso de un centro escolar, distribuidas en intervalos de clase, han sido las siguientes: Calificaciones

3.54 44'5 4'5-5

V alumnos

6

10

31

5.5'5 5.5.6 6#5 6'5-7 7-75 T5-8 8-8'5 8'5-9 9-9'5 38

63

70

41

20

15

8

6

5

Hallar: 1 ) la desviación mediana y las desviaciones medias; 2) el recorrido y los recorridos cuartílicos; 3) la varianza y la desviación típica. 3.5. Hallar el coeficiente de asimetría de Fisher, el coeficiente del momento de aplasta miento y el coeficiente de aplastamiento de la siguiente distribución: X. "i

3

4

5

6

7

8

9

3

5

9

8

6

6

4

115 3.6. Hallar los cuatro primeros momentos respecto al origen de la distribución del ejercicio 2. 1 1 del capítulo 2. 3.7. La talla (en metros) de 200 reclutas está recogida en la siguiente tabla

x,

r60-r64 1'64-l'68 r68-r72 r72-r76 r76-r80 1'80-l'84

n.

20

8

60

52

20

30

Calcular: 1) la varianza y la desviación típica; 2) el coeficiente de variación de Pearson; 3) los coeficientes de variación media. 3.8. Las gratificaciones que han percibido los empleados de una compañía están refle jadas en la siguiente tabla, expresadas en miles de pesetas: 3540

4045

45-50

50-55

55-60

60-65

65-70

70-75

80

111

130

166

100

78

40

19

t

a i

Hallar; 1) la varianza y la desviación típica; 2) los coeficientes de asimetría; 3) el coeficiente de aplastamiento, clasificando la distribución según su apuntamiento. 3.9. Hallar la varianza. la desviación típica y el coeficiente de variación de Pearson del ejercicio 2.6. 3.10. Calcular los cuatro primeros momentos centrales de la distribución del ejercicio 2.2 del capítulo 2. 3.1 1. Las puntuaciones obtenidas en un test de visión espacial realizado a dos grupos de alumnos de tercero de Bachillerato en dos institutos de Toledo han sido: 21-15 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55

Puntuaciones

<20

Instituto A

1

8

4

6

13

3

1

0

Instituto B

0

3

4

12

4

4

2

i

7

>56

1 ) Hallar los coeficientes de variación de Pearson correspondientes a cada uno de los centros. 2) ¿Cuál de ellos tiene una distribución más homogénea? 3.12. La siguiente tabla contiene los cocientes de inteligencia de 100 alumnos de primero de BUP:

116

Cocientes N° de alumnos

<70 3

70-79 8

80-89 18

90-99 100-109 110-119 120-129 22 20 17 8

>129 4

Hallar la media, la varianza, la desviación típica y los coeficientes de asimetría. 3.13. Las calificaciones en Matemáticas de primer curso de las facultades de Químicas de dos ciudades A y B han sido: Ciudad B

Ciudad A Calificación

N° de alumnos

Calificación

N° de alumnos

4 5 6 7 8 9

16 8 22 6 12 7

4 5 6 7 8

7 20 8 10 10 8

Total

71

63

¿Cuál de las dos distribuciones es más homogénea? 3.14. Se ha medido la cantidad de litros de leche que da diariamente una vaca de una determinada raza durante un período de 15 días, obteniéndose los siguientes resulta dos: 20'5 12*6 23'8 19'2 16'4 15 21 18'3 22 17'4 18 18'6 9 172 19'4 1) Calcular la media, la varianza y la desviación típica. 2) Hallar el recorrido intercuartílico y el recorrido semiintercuartílico. 3.15. Las puntuaciones obtenidas por 30 alumnos sometidos a un test de personalidad de Eysenck han sido las siguientes: 20 17 10 6 15 9 13 10 8 21 18 27 12 31 6 17 5 24 29 11 7 8 20 16 31 15 12 21 24 16 1 ) Tipificar la variable y convertirlas en puntuaciones T y SAT. 3.16. Se han realizado diez mediciones del diámetro de un émbolo, obteniéndose las siguientes medidas: 3'97

3'87

3'99 4'05

4'06 4'01

4'01

3'89

3'97

3'99

117 Hallar los cuatro primeros momentos respecto al origen y los coeficientes de asi metría de Fisher y de Pearson. 3.17. Las calificaciones obtenidas por veinte alumnos en un ejercicio de Matemáticas han sido

845678293654887551 1 12144661 127 1 ) Analizar la simetría y el apuntamiento Apéndice al capítulo 3: Demostración de las propiedades Propiedad I La varianza de y = x¡ / d es k ( ,.

-v

[xx

l

X(-v,-y//í, X7--7 n, /=/ , = i\<> ") si N N N N Propiedad II: La varianza de y =x+k es j

k

j

-

"

-fZix,-xfm , d~ ¡,¡ '- 2 N ~ d2 Sx

k

j

k

si = — Xí y¡ - y fn¡= 77XU, - k -x+k)2n¡= — Xí x, - x fn¡= si Propiedad III: Llamemos P(c) = Y,(x,-cff = — Y,(x,-cfn¡ ti N% Desarrollando el cuadrado del último miembro, resulta: k

í

1

?

*

/ .xiri: -2c¿..x-n + c2 ¿-n =c~ —2cx +— y^x'n

¿jx*n¡

c~ - 2cx+ x~

¿¿x2n¡

. = (c -x )' + . N

N

Como (c -x )' > 0, el valor mínimo de la expresión se obtiene para c - J Propiedad IV: Vamos a expresar P(c) en función de su mínimo: P(c)= S(xí-c;2/,. = ~Z(xi-x+x-c)2f,= Desarrollando el cuadrado y teniendo en cuenta las propiedades de las sumas, queda i

P(c)= 'L[(xi-xf + 2(x,-x)(x-c)+(x-cf]fi =

118

t

= X( x, - x ff, + 2(x- c) X(X, -x)f, + (x - cfZf, k

Como

J,(x¡-x)f, = 0

k

y

k

X/, = /, P(c)=t,(xi-x)2f, + (x-cf ¡=/

lo que demuestra el teorema de Kónig.

CAPITULO 4 ANÁLISIS EXPLORATORIO DE DATOS

4.1. Estadística exploratoria y medios informáticos La Estadística Exploratoria tiene como objetivo describir los datos, organizandolos y presentándolos de forma que pueda entenderse fácilmente su estructura. Desde que, en 1977. J.W. Tukey publicó su obra «Exploratory Data Analysis», la Estadística Descriptiva ha ido evolucionando, adquiriendo en ella el aspecto exploratorio una especial relevancia. Se han elaborado nuevos métodos de organización y presentación de los datos, que se han llevado a cabo con una variada gama de detalles gracias a las posibilida des ofrecidas por los paquetes informáticos. Los tres primeros paquetes orientados específicamente hacia la Estadística son: SPSS (Statistical Package for the Socials Sciences), SAS (Statistical Analysis System) y BMD (Biomedical Statistical Software). El primero de ellos es propio del mundo de la empresa y de la investigación científica, y los dos últimos, con un carácter más específico, se dirigen hacia el campo de las Ciencias Sociales y Médico-Sanitarias, respectivamente. Con el desarrollo de los ordenadores personales, surgen nuevos paquetes como STATGRAPHICS, SYSTAT. MINITAB o CSS. Son programas de fácil adquisición, con una gran potencia y sencillos de manejar. Estos paquetes, además de facilitar la organización de los datos, permiten su interpretación y proporcionan los resultados. Con la ayuda del ordenador, la Estadística Exploratoria ha conseguido aportar nuevos métodos de representación gráfica, que pueden ser utilizados incluso con carácter confirmatorio, y una gama de nuevos estadísticos, más resistentes a varia ciones extremas que los clásicos.

120 4.2. Principios fundamentales Los principios fundamentales en que se basan las nuevas técnicas estadísticas fueron expuestos por Tukey. Mientras que los métodos clásicos tratan de ajustar los datos a un modelo previamente fijado, en los nuevos métodos de análisis de datos, se diseña el modelo adecuado a cada serie estadística a partir de la estructura que presentan los propios datos. Esta nueva forma de trabajar se caracteriza por: 1) El papel relevante que adquieren los «métodos gráficos». Se han aportado nuevos procedimientos de visualización: diagrama de tronco y hojas, gráfico en caja y extensión, gráfico de centiles,... capaces de detectar anomalías que, de otro modo, pasarían desapercibidas. 2) El uso de modelos de «línea resistente» para tratar el ajuste de distribuciones, de forma que se elimine la influencia que pudieran ejercer los casos raros, como pueden ser los datos muy alejados de los valores centrales. 3) la utilización de «transformaciones», potenciales y logarítmicas, que clarifi can la estructura de los datos. 4) La información adicional que aportan los «residuales», es decir, las diferen cias entre los datos reales y los valores ajustados. Los métodos exploratorios son considerados por algunos autores como una nueva rama de la Estadística. Otros, entre los que podemos citar a Good, les restan importancia. La realidad es que las técnicas que proporcionan, con la ayuda del ordenador, están adquiriendo cada día mayor relevancia. Los tres capítulos anteriores se han dedicado fundamentalmente al estudio de las características de tendencia central y de dispersión clásicas, dando escasa impor tancia al análisis de la forma. Dicho tratamiento es correcto cuando la distribución de los datos es simétrica o se aproxima a la normal. Las nuevas técnicas ponen el acento en el análisis de la forma, jugando un papel importante las representaciones gráficas. La principal dificultad que ofrecía la media aritmética era su sensibilidad a cambios de valores extremos. Por ello, se buscan nuevos índices de localización «resistentes» (poco afectados por el influjo de valores extremos), y «robustos» (poco influenciables por las desviaciones de los postulados iniciales como la exigencia de la normalidad del modelo). La media aritmética carece de estas dos cualidades. La mediana, sin embargo, aunque no es un índice robusto, sí es resistente, y juega un papel importante en el «Análisis Exploratorio de Datos». Junto a la mediana, se utilizan como índices de localización: el «promedio de cuartiles», la «centrimedia» y las «medias recortadas», entre las que vamos a considerar la «trimedia» y la «mediana extendida».

121 4.3. índices de loralización resistentes Hemos señalado que la media es una medida muy sensible a cambios en los extremos. En general, siempre que un conjunto de datos estadísticos presente alguna anomalía o haya motivos para creer que su distribución se aparta de la normal, se deben utilizar características que ofrezcan una mayor resistencia. Se dice que una característica es «resistente» cuando es afectada mínimamente por la presencia de datos anómalos (alejados de los valores centrales). La mediana, M , es el índice de localización principal en las nuevas técnicas. El valor d(M,) señala la distancia de la mediana a los valores extremos, que. en principio y según la definición establecida en el capítulo 2, viene determinada por: / d(M,¡)=-(N + l)

(1)

siendo N el número de datos. A partir de la mediana y de los dos cuartiles se definen el promedio de cuartiles y la trimedia. 4.3.1. Promedio de cuartiles Se define el «promedio de cuartiles» como la media aritmética de los dos cuartiles: (2) Q,*Q.l Q= Este índice recoge el 50# de los valores centrales de la distribución de los datos, eliminando así la influencia de valores extremos. 4.3.2. Trimedia Se define la «trimedia», que vamos a representar por TRI, como la media aritmética de la mediana y el promedio de cuartiles. o, lo que es equivalente, como la media ponderada de los tres cuartiles (el primero y tercer cuartil y la mediana):

(3) 2

4

4.3.3. Medias recortadas Las «medias recortadas» constituyen una familia de características de loca lización resistentes. Se obtienen las medias recortadas eliminando un determi

122 nado porcentaje de datos extremos y calculando la media aritmética del resto de los datos. Es frecuente el uso de tales medidas en las puntuaciones o mediciones de algunas competiciones deportivas, donde, para evitar posibles tendencias de los jueces, se eliminan los valores extremos en el cálculo de los promedios. La «media recortada al 20%» es la media aritmética del 60% de los datos que quedan después de eliminar el 20% de las observaciones inferiores y el 20% de las superiores. La media aritmética se puede considerar como la media recortada al 0%, mientras que la mediana es una aproximación de la media recortada al 50%. Las medias recortadas de mayor uso son la «centrimedia» y la «mediana extendida». I. Centrimedia o media intercuartílica La media recortada al 25% se conoce como «centrimedia o media intercuartílica» y la vamos a representar por MID: MID = —

-h.

.

(41

En el numerador aparece la suma de todos los datos comprendidos entre los dos cuartiles, y en el denominador el número C de tales datos. Al evaluar la centrimedia, no se deben de tener en cuenta los datos repetidos, procurando, en todo caso, que el número de valores repetidos que se suprimen sea el mismo a ambos lados. Estudiando la posición relativa de la media aritmética y de la centrimedia, se puede detectar la presencia o no de simetría. Se sabe que un valor de la centrimedia superior a la media aritmética denota un sesgo hacia la izquierda. II. Mediana extendida Para paliar la sensibilidad de la mediana a los errores de redondeo o truncamien to, se define la «mediana extendida»(MEj). Su definición depende de la paridad y del número de datos: Si n es impar y 412, se toma la media de los cinco valores centrales; si n es par y 412, se toma la media de los seis valores centrales. Ejemplo 4.1 Se trata de evaluar los índices que acabamos de introducir para la serie de datos que constituyen los pesos de 20 jóvenes:

123 39 42 36 34 43 42 45 52 54 37 44 72 33 49 56 62 63 44 44 47 Ordenamos los datos: 33 34 36 37 39 42 42 43 44 44 44 45 47 49 52 54 56 62 63 72 La mediana es: M=44. d Los cuartiles son: Qt - 40'5 y Q =53 luego el promedio de cuartiles es: Q

40'5 + 53 = 4675

„ Q + M, 4675 + 44 El valor de la tnmedia es: TRI = = = 45'37 2 2 La media es 46'9, superior a la centrimedia, MID=45'2, lo que es señal de un cierto sesgo hacia la derecha. Mediana extendida: el número de datos es par y mayor que 12, por lo que se toma la media de los seis valores centrales, obteniéndose ME,=44'5.

4.4. índices de dispersión Los métodos exploratorios utilizan «el rango intercuartílico»^) y la «mediana de las desviaciones absolutas»(MAD), como medidas de dispersión absolutas. Se toma, como medida de dispersión relativa, el «coeficiente de variación cuartílica»(C\ ). El rango intercuartílico y la mediana de las desviaciones absolutas (denominada desviación mediana o probable), se estudiaron en el capítulo 3.

4.4.1. Rango intercuartílico pseudo-tipificado El «rango o amplitud intercuartílico» (R,), también llamado «dispersión me dia», es la distancia entre los dos cuartiles:

ií# = G,-0,

(5)

Encierra el 50% de los datos. Si se le compara con la distribución normal tipificada, el intervalo que contiene la mitad de los valores centrales en ésta es (-0'6745 y 0'6745), cuya amplitud es de 2x0'6745=1 '369. Entonces, dividiendo la amplitud intercuartílica por 1'349, se obtiene un nuevo

124 índice comparable con los índices tradicionales, S K , denominado «rango intercuartílico pseudo-tipificado» : R, 1'349

(6)

Para los datos del ejemplo 4.1, se obtienen los valores: R, = 53-40'5= 12'5 y s„,

12'5 1'349

9'26

4.4.2. Indice de variación cuartílica En lugar del coeficiente de variación de Pearson, la unidad de dispersión relativa más usada por los métodos exploratorios es el «coeficiente de variación cuartílica»(CV ). que se define como el cociente de dividir la mitad del rango intercuartílico por el promedio de cuartiles: R./2

Q,-Q,

CVe =

.7. Q "Q., + Q,

Con los datos del ejemplo 4.1, resulta: CVt=12'5/93'5=0'133.

4.5. índices de forma Ya hemos advertido la importancia que, en los métodos exploratorios adquiere el estudio de la forma. Se definen nuevos índices de simetría y de curtosis. Para la simetría, se utilizan el «índice de Yule» y el «índice de Kelly». 4.5.1. Indice de simetría de Yule El índice de simetría de Yule(H,) se basa en la posición relativa entre la mediana y los cuartiles, por lo que tiene en cuenta solamente el 50% de los datos: H,:

Q,+ Qr2Md 2 M,,

Su interpretación es la siguiente: Si H^O, la distribución es simétrica. Si H^O, hay asimetría positiva. Si H <0, hay asimetría negativa.

(8)

125

4.5.2. Indice de simetría de Kelly El índice de Kelly hace uso del 80% de los datos. Se define como: Cío + CiR,

(9)

H2 = M,¡

Este índice ha dado lugar a un nuevo índice adimensional, H , de mayor interés: H,=

Cw+Cw-2Mi 2 M¿

(10)

Se interpreta del mismo modo que el índice de Yule. 4.5.3 índice de curtosis Entre los diversos índices para el estudio del apuntamiento, el más interesante es el índice K. que se define a partir de los centiles de orden 10 y 90 y de los cuartiles: K=

(11)

¡'9(Q,-Q,) Se Si Si Si

interpreta en el siguiente sentido: K=1. la distribución es mesocúrtica. K>1, la distribución es leptocúrtica. K<1. la distribución es platicúrtica.

Ejemplo 4.2 Veamos cuáles son los valores de los índices de forma correspondientes a los datos del ejemplo 4. 1 : 1) Indice de simetría de Yule: Q,+ Qi-2MJ

40^+53-2x44

2 Md 2\44 lo que indica un insignificante sesgo hacia la derecha. 2) Indice de simetría de Kelly: Cw+C^^Mj Hi =

~

2M,, que confirma el resultado anterior. 3) Indice de curtosis: C yfí - C /o

34 + 63-2x44 ~ ~~ = O'IO 2x44

63-34

K= 1'9(QrQ,) luego la curva es leptocúrtica.

1'22 1'9(53-40'5)

126 4.6. Diagrama de tronco y hojas Uno de los métodos más ingeniosos que surge del análisis exploratorio de Tukey es el «diagrama de tronco y hojas». Se trata de una mezcla entre histograma y tabla de frecuencias, que permite hacer un análisis transversal detallado de los datos. Se complementa con el gráfico en caja y extensión, cuyo diseño es de menor precisión. El enfoque transversal permite , una vez ordenados los datos, seleccionar mejor la representatividad de los intervalos de clase. Para describirlo, nos vamos a servir del siguiente ejemplo: Ejemplo 4.3 Queremos analizar las puntuaciones obtenidas por 45 empleados de una empresa en un test de aptitud: 545 580 526 503 573 501 606 641 623 705 391 422 365 343 437 428 453 452 526 112 445 726 338 497 563 625 639 451 446 873 536 652 561 734 542 586 573 492 740 920 647 433 565 329 525 Para ello, diseñemos el correspondiente diagrama de tronco y hojas. Atendiendo a los objetivos que pretendemos conseguir, comprenderemos mejor su estructura: I. II. III. IV. V. VI.

Localizar las características de posición central. Conocer la dispersión con respecto a los valores centrales. Obtener una visión panorámica que muestre la simetría. Descubrir alguna zona (laguna) en que no haya datos. Detectar posibles anomalías. Encontrar valores de uso poco frecuente.

El diagrama de tronco y hojas resalta la parte fundamental de los datos (el tronco), mostrando también las ramas, parte secundaria, pero importante para des cubrir la forma de la distribución. En el ejemplo que nos ocupa, el tronco va a estar formado por las centenas. A cada tronco le sigue una rama, cuyas hojas van a ser los dígitos de las decenas, (prescindiremos de las unidades simples, ya que la información que aportan es de menor importancia). También pueden ponerse todos los dígitos en las ramas; lo que no conviene es redondear los últimos dígitos, ya que sería complicado recuperar después el dato completo. Los troncos son los que marcan los intervalos de clase, y se sitúan en una

127 columna central ordenada desde el tronco más bajo al más alto, incluyendo todos los valores intermedios, aunque no formen parte de ningún dato. La rama que contiene a la mediana (índice fundamental en los métodos exploratorios), se resalta en uno de los márgenes de la tabla (la primera columna, habitualmente). Esta columna se denomina «columna de frecuencias», y, en ella se sitúan las frecuencias acumuladas, pero sumándolas en un doble sentido, comenzan do por ambos extremos hasta llegar a la fila en que se encuentra la mediana, en cuyo lugar se pone el valor de la frecuencia absoluta correspondiente a su rama entre paréntesis. De este modo, se consigue destacar la rama que divide a la población en dos partes iguales. La suma de la frecuencia de la rama que contiene a la mediana y de los dos valores contiguos en la columna de frecuencias es igual al número N de datos, lo que puede ser útil como elemento comprobatorio de que no se ha olvidado ningún valor. La columna de frecuencias facilita el cálculo de la «profundidad» de cada dato. La «profundidad» de un dato es su distancia al extremo más próximo. El diagrama de tronco y hojas correspondiente a los datos del ejemplo 4.3 podría ser entonces:

Frecuencias

Troncos

1 1 6 17 (15) 13 4 2

1 2 3 4 5 6 7 8

Ramas y Hojas 1 2 3469 22 3 3445 5 99 00222 3 446667788 0222444 5 6 02 7

Tenemos 9 troncos, y detectamos ya una «laguna» en la rama 2 además de la presencia de algunos datos alejados. Duplicando el número de troncos, se pueden observar mejor las lagunas y anomalías, puesto que, cuanto menor es la amplitud del intervalo, mayor es la contribución de cada dato individual. Tendremos entonces los troncos 3* y 3o; al primero le asociaremos las hojas 0, 1, 2, 3 y 4, y al segundo las restantes: 5, 6, 7, 8 y 9. El diagrama de tronco y hojas debe ir acompañado del número de datos, de la unidad, y de un ejemplo aclaratorio. Se consigue así la siguiente disposición:

128

Frecuencias

Troncos

1 1 1 1 4 6 12 17 (8) 20 13 7 6 2 2 2 1

1* lo 2* 2o 3* 3o 4* 4o 5* 5o 6* 6o 7* 7o 8* 8o 9* N=45

Ramas y Hojas 1

43 2 96 2 3 2443 55959 42002342 8766876 042 234 5 02 34

7 2 UNIDAD=10

3ol6=360-369

Este último gráfico nos muestra mejor las lagunas que hay entre los troncos 1 y 3 y del 7* al 8o. También se aprecia que el 6 es un valor poco frecuente y la presencia de datos alejados en ambos extremos. El número de ramas que se elige está en función de la forma de los propios datos, por lo que no se siguen las normas de la elección del número de clases que vimos en el capitulo 1. Dentro de la flexibilidad que hay, uno de los criterios más extendido consiste en seleccionar un máximo de L ramas, que en función del número N de datos, es: (12) L = 2-JÑ, si /V < 100 L= 10\ogmN, úN > 100

(13)

El número máximo de ramas para el ejemplo, según este criterio, es 12. Si los datos son muy numerosos (pasan de 300), para evitar un gráfico que podría resultar confuso, se procede a un «remuestreo», y se trabaja con una «submuestra» de los datos. En función del número de datos se selecciona la amplitud del intervalo, que es el cociente de dividir el rango de la distribución entre el número de ramas, pero redondeado a una potencia de 10.

129 Cuando se detecta, en los extremos, la presencia de datos bastante alejados de los valores centrales, dichos datos se suelen poner separados, en la parte superior o inferior, utilizando como tronco la palabra ALTOS o BAJOS según sean sus valores, y situando el dato completo en la rama. Si elegimos 12 ramas y separamos los datos alejados, la forma en que quedaría nuestro diagrama en un paquete informático como STATGRAPHICS es: BAJOS 1 112 4 6 12 17 (8) 20 13 7 6 2 2 2

3* 3o 4* 4o 5* 5o 6* 6o 1* 7o 8* 8o

2 34 69 223344 5 5 599 00222344 6667 7 8 8 0 2 2 3 44 5 0234

7

ALTOS 1 920 N=45

JNIDAD== 100

3ol6=360-369

Aún se puede aumentar el número de troncos, por ejemplo, subdividiendo cada uno en 5 partes. En tal caso, se utilizan, para designar a los nuevos troncos, las iniciales inglesas de los dígitos: T(two y three), F(four y five), S(six y seven); para cero y uno se utiliza el «*», y para ocho y nueve el símbolo «o». En otras ocasiones, cuando el número de datos es pequeño, se pueden agrupar los troncos, utilizando dos dígitos para designarlos, separados por una coma, mien tras que las ramas correspondientes a distintos troncos se separan con dos puntos. Así, por ejemplo: 2,3 I 14:6 indica que las hojas 1 y 4 pertenecen al tronco 2, y la hoja 6 al tronco 3. También se diseñan diagramas nominales, en los que las frecuencias se sitúan como troncos y las diversas categorías como hojas, representándolas con un símbo lo, como puede ser la letra inicial de cada categoría.

130 4.7. Cuartos y octavos

Hasta ahora hemos venido trabajando con la mediana y los cuartiles. Sin embar go, los métodos exploratorios suelen utilizar otros índices, los «cuartos» y los «octavos»; incluso la mediana se determina siguiendo otro criterio cuando el número de datos es par. El criterio que se sigue para determinar la mediana es: A) Si el número N de datos es par, se toma como valor de la mediana, M ,, el valor de la variable que ocupa, en la serie de datos ordenada, el lugar 1/2 (N+l) - 1/2, que representamos por d(M )': / / (1(M.l)=-(N + 1)--

(14)

B) Si el número N de datos es impar, se toma, como valor de la mediana, el valor habitual, es decir el que ocupa la posición: d(M,)=-(N + l)

(15)

Determinada la mediana, se definen los «cuartos» como aquellos valores de la variable que dividen en dos partes iguales a cada una de las dos mitades en que la mediana divide a los datos (mediana de cada mitad). El «primer cuarto» o «cuarto inferior», al que vamos a designar por H , se define como el valor de la variable, que, situado por debajo de la mediana, tiene una profundidad igual a la parte entera de 1/2 (d (Md) +1), mientras que el «tercer cuarto» o «cuarto superior», al que vamos a designar por H,, es el valor de la variable, que situado por encima de la mediana, tiene una profundidad igual a la parte entera de 1/2 (d (Md) +1). Luego: d(H)=-{d(Mj)+l)

(16)

nos indica la posición de cada cuarto con respecto al extremo más cercano. Aunque no siempre coinciden, se pueden utilizar, en su lugar, los cuartiles, ya que, en la práctica, la diferencia no es substancial. También se suele dividir cada cuarto en dos partes iguales, obteniéndose dos nuevos índices: «octavo inferior(E) y superior(EJ». El «octavo inferior» es, por tanto, el valor de la variable que, situado por debajo del primer cuarto, tiene una profundidad igual a la parte entera de 1/2 (d (H ) +1),

1

De esta forma, la mediana siempre coincide con uno de los datos, lo que resulta razonable cuando se

trabaja con variables discretas.

131 mientras que el «octavo superior» es el valor de la variable que. situado por encima del cuarto superior, tiene una profundidad igual a la parte entera de 1/2 (d (H ) +1). La distancia. d(E). de los octavos al extremo más próximo es d(E)=-{d(H)+l)

(17)

Estos conceptos dan lugar a nuevos índices: sus promedios y rangos. El «rango intercuartos» (IQR) es la distancia entre ambos cuartos: (18)

IQR= H,-H, El promedio de cuartos es la media aritmética de los dos cuartos: //, + //,

(19)

H=

El «promedio de octavos» es la media de los dos octavos: - £,' + £, £=

(20)

Ejemplo 4.4 Se trata de determinar la mediana, los cuartos y los octavos correspondientes a los datos del ejemplo 4.1. Para ello: 1 ) Se ordenan los datos de menor a mayor, anotando su profundidad (distancia al extremo más próximo). 2) Se determina la mediana según el nuevo criterio. 3) Se evalúan los cuartos y octavos en función de la profundidad (distancia al extremo más cercano). La figura 4. 1 . presenta, de modo esquemático, el proceso seguido: d(E)=3

d(Md)=10

d(E)=3

d(H)=S

1

2 Q] 4 [g] 6

d(H)=5

7

B

9 pLO] 10

9

6

7

6 fj] 4 [I] 2

33 11 (36) 37(:)9) 42 42 43 44(44)45 45 47 49 5 2 (Ti) 5 6 (p.í) 6 3 72

H1 = 39 y.

"

Hs = 54 ttri=44

1

E =62 S

Figura 4.1.: Determinación de índices.

132 4.8. Datos anómalos Son «datos anómalos» aquellos valores de la variable que se apartan en gran medida de los valores centrales. Cuando hablamos de datos anómalos, estamos refiriéndonos al comportamiento de los datos con respecto a un patrón referencial: la distribución normal. Para precisar ideas, vamos a definir el concepto de «paso»: El «paso» es una medida de dispersión que equivale a 1'5 veces el rango intercuartos: (21) P„ = 1'SxIQR Sucede que, si comparamos la serie de datos con que trabajamos con la distribu ción normal, la amplitud del rango intercuartos debe ser igual a 1'5 veces la desviación típica. Entonces, si consideramos un intervalo formado añadiendo a cada uno de los extremos del intervalo intercuartos la extensión 1'5 . IQR, el nuevo intervalo cubrirá todos los valores de la población salvo el 7% de los mismos, dejando un 3'5% en cada uno de los extremos. A los valores que quedan fuera de dicho intervalo se les denomina «exteriores». Los valores más alejados del centro, pero todavía interiores, son denominados «adyacentes». Se distinguen dos tipos de valores exteriores: «alejados» y «remotos». Para definirlos con precisión, se introducen dos pares de límites llamados «limites inter nos», que distan un «paso» de los cuartos, y «límites externos», que distan 2 «pasos» de los cuartos. Entonces los límites internos inferioriL) y superior(LJ se obtienen de restar y sumar un paso a cada uno de los cuartos inferior y superior, respectivamente: H,-P„, L, = H.*P,

(22)

Los límites externos inferior(T) y superior(T ) se obtienen de restar y sumar 2 pasos a cada uno de los cuartos inferior y superior, respectivamente: T, = Hi-2P„ T,= H. + 2P¡,

(23)

Los valores de la variable que caen en el espacio comprendido entre los límites internos y los externos, se consideran datos «alejados», y aquellos que sobrepasan los límites extemos se consideran datos «remotos». Las fronteras para determinar los datos anómalos se han establecido comparando estos intervalos con los correspondientes a la normal, de modo que la probabilidad de que aparezca un dato remoto es inferior a CT00698.

133 Estos índices se resumen en una tabla en forma de U invertida, que recibe el nombre de «tabla de letras-índices» («tabla de 5 letras» si recoge la mediana, los cuartos y los límites internos, y «tabla de 7 letras» si contiene además los octavos). La tabla de letras-índice incluye el número de datos, las profundidades y los promedios. La figura 4.2 contiene la tabla de 7 letras para el ejemplo 4. 1 .

4.9. Gráfico en caja y ex tensión n=20 (1,3 = 44 H^39 El gráfico en caja y exten p(nd)=ic Hs = 52 B=46'5 sión tiene también su origen El=62 P(H)=5 El=36 E=49 en los métodos exploratorios L =33 P(E)=3 L =72 i 5 introducidos por Tukey y se basa en los estadísticos des criptivos que proporciona la tabla de letras-índices. Por tan Figura 4.2.: Tabla de 7 letras. to, debe permitir apreciar fá cilmente la situación de la mediana, los cuartos y los límites internos. El gráfico en caja analiza la parte central de la distribución y las colas, zonas éstas en las que se suelen dar anomalías. No recoge los datos con la precisión del diagrama de tronco y hojas, ya que tiene una finalidad distinta: proporcionar una visión espacial de conjunto. Es recomendable que vaya siempre acompañado del diagrama de tronco y hojas.

*

remotos

O

alejados

2 P

..... adyacentes.

1' 5 P 11. Paso

"d H ,

1' 5 P adyacentes O

alejados

*

remotos

Figura 4.3.: Diseño del gráfico en caja y extensión.

2 P

134 Una caja rectangular forma el núcleo del gráfico. Para construirla, se toman sobre una recta vertical u horizontal, según la posición que se quiera dar al gráfico, divisiones que abarquen el rango de la distribución. Se marcan los cuartos y la mediana mediante tres segmentos paralelos con las medidas que proporciona la tabla de letras-índices. Uniendo sus extremos por dos segmentos paralelos, queda determinada la caja, que abarca el 50% de los datos. Del punto medio de ambos costados de la caja salen dos segmentos rectilíneos («exten siones» o «patillas»), cuya longitud máxima es 1'5 pasos. Los extremos de las patillas coinciden con los datos «adyacentes». La longitud máxima será nula cuando el dato «adyacente» coincida con el cuarto correspondien te. Más allá de las extensiones se encuentran los datos «alejados» en una zona que va desde los límites internos hasta los límites externos; se representan por el símbolo «o». Los datos remotos son los que caen fuera de los límites externos, y se representan por un «*». El gráfico en caja y extensión proporciona: 1) La «mediana» (segmento interior a la caja), que nos da una idea de la localización de los valores centrales. 2) La «dispersión» (facilitada por la posición de los cuartos). 3) La «simetría central» (detectada por la posición de la mediana respecto de los cuartos). 4) La «simetría de los extremos» (puesta de manifiesto por la longitud de las extensiones). 5) El «apuntamiento» (relación entre la longitud de la caja y las extensiones). 6) Los «datos anómalos», (situados fuera de los límites internos). Ejemplo 4.5 Las siguientes calificaciones en la asignatura de Física y Química corresponden a una muestra seleccionada al azar de 3 1 alumnos de segundo curso de Bachillerato: Calificaciones

12

4

5

6

7

8

N" de alumnos

112

7

7

8

5

La tabla de 7 letras puede apreciarse en la figura 4.4, y, a su derecha, el diagrama de tronco y hojas nominal correspondiente.

135 BAJOS 1 10 N-31 tld = 6 P(«d) = 16

H1=S

p(H)=8

E =4

Hs^7 E =B

i

1

L ^2

L =8 s

P(E)=3

i

H= 6

~ E= 6

Figura 4.4.: Tabla de 7 letras para el ejemplo 4.5.

2 2 4 11 (7) 13 5

2 3 4 5 6 7 8

UNIDAD=0'1

0 00 0000000 0000000 00000000 00000 1 12=1'2

La mediana es el valor de la variable estadística que ocupa la decimosexta posición: Md=6. Los cuartos están situados en la posición dada por 1/2(15+1), (lo que supone 8 posiciones a partir de cada uno de los extremos): R=5 y H =7. Los octavos ocupan la posición que señala la parte entera de 1/2(8+1) (4 posicio nes a partir de cada uno de los extremos): E=4 y E =8. El paso es P =l'5x(7-5)=3. Como 5-3=2, el límite interno inferior es L=2, y 2 es el valor del «dato adyacente donde se sitúa el extremo de la patilla inferior. Al ser 8+3= 1 1 mayor que todos los datos, y no haber otro dato que supere al 8, es 8 el límite interno superior, donde se sitúa el fin de la patilla correspondiente: L =8. Los límites externos son: T =7-6= 1 y T =8. El gráfico en caja para el ejemplo 4.5 está recogido en la figura 4.5. l Se detecta un dato anómalo (la calificación 1 ).

Figura 4.5.: Gráfico en caja v extensión.

4.10. Promedios de simetría Además de los métodos gráficos, un buen procedimiento para detectar la presen cia de asimetría consiste en observar la posición relativa de los promedios (mediana, promedio de cuartos y promedio de octavos), que, analizados conjuntamente, se comportan del siguiente modo: A) Si la distribución es simétrica, los promedios toman los mismos valores o valores muy próximos.

136 B) Si la distribución presenta un sesgo hacia la derecha, los promedios cumplen la relación: Md < H < E C) Si la distribución presenta un sesgo hacia la izquierda, la relación entre los promedios es: Md > H > E Los paquetes informáticos disponen de órdenes que proporcionan la tabla de promedios.

4. 1 1 . Transformaciones de datos Las técnicas exploratorias tienen por objeto detectar la presencia de saltos, anomalías, asimetrías o algún tipo de relación no lineal cuando se comparan dos o más series de datos. La finalidad que, con ello, se persigue es la de corregir dichos inconvenientes. Cuando, en una serie de datos falla la simetría, los estadísticos clásicos (media y desviación típica) no son una síntesis adecuada de los mismos. Si, por medio de las representaciones gráficas o a través de la tabla de prome dios, se detecta un cierto sesgo en la serie de datos original x,,x,,...,xn, interesa buscar una transformación T de los datos originales, de modo que la serie de datos transformados T(x,),T(x,),...,T(xn) no posea tal inconveniente y pueda ser tratada por los métodos clásicos en orden a conseguir inferencias para la población. En el capítulo 3 hemos estudiado una transformación (tipificación de la varia ble), que consiste en un cambio de origen y un cambio de escala. La tipificación facilita los cálculos y la interpretación de los datos, pero no realiza ninguna altera ción en la forma de la distribución, como puede ser la simetría de los datos. Nos interesa encontrar transformaciones que realicen alteración en el crecimien to de la variable. De esta forma, se puede conseguir la aproximación de los datos alejados y hacer más simétrica la distribución. No toda transformación de este tipo va a ser válida. Los requisitos exigidos son: 1) Que conserve el orden de los datos, alterando únicamente la distancia entre los mismos. 2) Que mantenga los índices, es decir, el transformado del primer cuarto sea el primer cuarto de los transformados,... 3) Que sea continua, de modo que datos cercanos entre sí se transformen en datos también próximos entre sí. Las transformaciones que mejor desempeñan estas funciones son las transforma ciones de potencias, con las que pretendemos conseguir la «simetrización» de los datos.

137 La razón fundamental por la que tratamos de «simetrizar» los datos reside en el hecho de que los estadísticos que se utilizan habitualmente son representativos cuando su distribución se ajusta a la normal. Pero, incluso cuando se dan desviacio nes de la normal, estos estadísticos clásicos son válidos para realizar inferencias de los parámetros de la población siempre que exista una relación de simetría entre los datos.

4. 1 1 . 1 . Transformaciones de potencias Para conseguir la «simetrización» de una serie de datos, las transformaciones de potencias que se utilizan son funciones reales de una variable real de la forma: -Xp,sip<0 T:
logX sip = 0

(24)

. X,,sip>0 Cuando la potencia p es negativa, se cambia de signo la variable para mantener el orden de los datos. El problema está en elegir, para cada caso, el valor más adecuado de la potencia: p. Tukey propone la siguiente «escala de potencias», según el tipo de asimetría: 1) Si la asimetría es positiva, se toman valores de p menores que 1: p: -2, -1, -1/2, 0, 1/2 2) Si la asimetría es negativa, se toman valores de p mayores que 1: p: 2, 3 Cuando p=0, la transformación es T(x)=log(x). Estas transformaciones se deben de realizar sobre los datos originales, no sobre los datos tipificados. En otro caso, la transformación afectaría a los índices de tendencia central y a la propia forma, y nos encontraríamos con valores negativos que podrían no tener imagen. Sin embargo, a veces se dan este tipo de valores en los datos originales, en cuyo caso será conveniente realizar un cambio de origen antes de aplicar la transforma ción de potencia. Para saber cuál es el valor de la potencia más adecuado, una manera de proceder consiste en ensayar varias transformaciones y calcular los nuevos promedios de cada serie de datos transformados, eligiendo aquella que dé unos promedios más precisos entre sí. Existen otros métodos menos laboriosos, como puede ser el de la pendiente, que exponemos seguidamente.

138 4. 1 1 .2. Método de la pendiente para determinar la potencia Una vez se ha observado el sesgo de la serie de datos, de acuerdo con la relación de los promedios, se construye un gráfico, que consiste en representar, en unos ejes cartesianos, los pares de valores dados por los puntos cuya primera componente es (X^-MA + (M,i-X.r 4Mi

(25)

y cuya segunda componente es X,+ X.

.-M.¡

(26)

donde X representa el extremo inferior de los cuartos u octavos (H.,E), y Xs el extremo superior de dichos índices (H ,E ). Así, (E+E )/2-Md es la diferencia entre el promedio de cuartos y la mediana. Cuando la distribución es simétrica, estas diferencias serán nulas, mientras que si la serie de datos presenta un sesgo hacia la derecha o la izquierda, tendrán signos positivos o negativos, respectivamente. Si se detecta algún tipo de sesgo, se estima la pendiente, m , de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (u.,v.) y el origen:

(27)

Como valor m de la pendiente de la recta que aproxima los puntos, se toma la mediana de dichas pendientes. El valor de p que da la mejor transformación de potencia para conseguir la «simetrización» de los datos es 1-m

(28)

Ejemplo 4.6 Las puntuaciones obtenidas por 15 alumnos en una prueba han sido: 12 16 20 25 30 35 38 40 45 50 57 65 74 76 90 Se trata de encontrar la transformación de potencia más adecuada para hacer simétrica la distribución de estos datos. Efectuados los cálculos, la tabla de promedios nos proporciona los valores:

139

Mj = 40.Ü = 45, E = 46 que cumplen la relación: Mj < H < E lo que indica un sesgo hacia la derecha, luego debe de ser p<1. Apliquemos ahora el método de las pendientes para determinar el mejor valor de p. La siguiente tabla recoge un resumen de los resultados:

H 1

X,

x5

UJ

vi

m.i

25 16

65 76

5,3 11.7

5 6

0.94 0.51

La mediana de las pendientes es m=0'51, que proporciona el valor de p=l-0'51=0'49 que se puede aproximar a 0'5. Luego la transformación más adecuada es: T(X)= X": La serie de nuevos datos que se obtiene aplicando la transformación es: 3'46 4 4'47 5 5"47 5'91 6" 16 6'32 6'7 7'07 7'54 8'06 8'6 8'71 9'48 Los datos transformados proporcionan unos promedios más próximos entre sí: M.i = 6'32/H = 6'53,~E = 635 lo cual es señal de que la nueva serie de datos tiene menos sesgo. Podemos compro bar este resultado trazando los diagramas de tronco y hojas correspondientes a las dos series de datos (los situamos «espalda contra espalda» para compararlos mejor): F

Datos originales

2 4 7 (2) 6 4 3 1 1 N=15

2 5 8 5 5 7

1 0 0 0 0 5 6 4 0

Unidad=l

1/2=12

T

D. transformados

F

1 2 3 4 5 6 7 S 9

4 0 0 1 0 0 4

1 3 6 (3) 6 4 1

N=15

4 4 9 3 7 5 67 Unidad=0,l

3/4=34

140 4. 1 1 .3. Transformaciones de raíz cuadrada El diagrama diferencial clásico para representar una variable estadística conti nua es el histograma, cuyo diseño estudiamos en el capítulo 1. No siempre el histograma es una buena representación de los datos. Sabemos que no refleja bien la distribución empírica cuando los datos no están repartidos uniformemente a lo largo de cada uno de los intervalos de clase o cuando el número de intervalos de clase no es el adecuado. Para corregir estos inconvenientes, los métodos exploratorios sugieren la cons trucción de un histograma suavizado, que consiste en sustituir la «densidad de frecuencia» por su raíz cuadrada. Se consigue, de este modo, el «diagrama de raíz cuadrada», formado por rectángulos, cuyas bases son las amplitudes a.=e-e de los intervalos de clase y altura la raíz cuadrada de la densidad de frecuencia del intervalo:

(28) Como resultado se obtiene una figura «más suave». La transformación de raíz cuadrada es un elemento importante para la comprobación de la linealidad del modelo de regresión y para averiguar si una distribución empírica se ajusta a la distribución normal. Ejemplo 4.7 Las puntuaciones de una prueba realizada a 400 estudiantes han sido: Puntuaciones

[150,200) [200,250) [250,300) [300,350) [350,400) [400,450) [450,500) [500,550)

N" de alumnos

16

70

120

115

24

30

Los histogramas para los datos del enunciado y para sus imágenes por una transformación de raíz cuadrada pueden apreciarse en las figuras 4.6 y 4.7.

11U 2

90

1'5 H 50 30

dd 250

350

450

Figura 4.6.: Histograma.

550

150

250

350

450

550

Figura 4.7.: Diagrama de raíz cuadrada.

141 4.12. Ejercicios propuestos 4.1 Determinar la mediana, los cuartos, los octavos y los límites externos para la serie de datos: 55 45 29 45 16 28 71 36 92 63 10 11 26 18 32 91 26 18 32 91 26 27 73 31 26 4.2. Construir el diagrama de tronco y hojas para los datos del ejercicio 4.1. 4.3. Los resultados de un test de inteligencia realizado a un grupo de 19 estudiantes han sido: 98 120 130 95 100 110 97 125 128 97 94 105 101 99 90 100 102 93 102 Estudiar la forma de la distribución a partir de los índices de asimetría y curtosis. 4.4. El volumen de ventas de un determinado artículo en un hipermercado durante las 16 últimas semanas ha sido: 70 220 205 360 410 800 920 980 770 420 196 190 145 95 350 400 Hallar la tabla de 7 letras y construir el gráfico en caja y extensión. 4.5. Se ha realizado una encuesta para averiguar el número de personas que convi ven en una misma vivienda de un barrio de determinada ciudad, obteniéndose los resultados: N° de personas

1

2

3

4

5

6

7

8

Frecuencias

10

25

56

15

10

8

3

1

1 ) Hallar los índices de localización resistentes (promedio de cuartiles, trimedia, centrimedia y mediana extendida). 2) Determinar los índices de dispersión (rango intercuartílico, rango intercuartílico pseudo-tipificado e índice de variación cuartílica. 4.6. Construir el diagrama de tronco y hojas para la siguiente serie de datos: 18 13 18 19 16 17 14 17 16 15 16 17 14 14 16 13 15 16 13 16 18 18 12 19 12 16 18 16 16 4.7. Se ha contabilizado la duración (en segundos) de 60 conversaciones telefónicas, obteniéndose los siguientes resultados:

142

404 326 125 65 89 326 145 190 63 109 320 208 190 216 314 60 92 185 280 143 200 66 189 218 63 313 216 180 204 324 109 63 140 105 107 79 88 69 208 400 270 109 66 403 66 360 305 275 180 402 120 208 122 200 55 78 55 202 160 102 1) Agrupar los datos en intervalos de clase. 2) Construir el histograma y el diagrama de raíz cuadrada, y analizar las diferencias. 4.8. Preguntados por los gastos que realizan a la semana 850 adolescentes de 12 a 14 años, se han obtenido las siguientes respuestas: Gasto

(0,100] (100.200] (200.300] (300,400] (400,500] (500.600] (600,700] (700.800]

Frecuencias

40

80

100

130

220

160

82

38

1) Dibujar el histograma correspondiente. 2) Realizar una transformación de raíz cuadrada y construir el histograma correspondiente a los datos transformados. 4.9. Las puntuaciones obtenidas por dos grupos de alumnos en dos pruebas, una de conocimientos (X ) y otra de capacidad de abstracción (Y) han sido: x,

15 15 16 17 17 18 18 18 18 18 19 20 20 21 21 21 22 22 23 23 23 26 29

Y.

17 16 17 18 16 17 18 19 19 20 18 20 19 20 18 19 22 21 18 13 16 22 21

1 ) Construir el diagrama de tronco y hojas, la tabla de 7 letras y el gráfico en caja y extensión para las dos series de datos. 2) Hacer un análisis de la simetría, lagunas, puntos que se repiten y anomalías de las mismas. 4.10. Una empresa ha decidido hacer un reajuste laboral entre sus empleados, con el acuerdo de asignar las distintas categorías laborales en función de unos baremos acordados con los trabajadores, de forma que: 1) Se ordena la población según la puntuación obtenida, y se divide en cuatro partes iguales. 2) Se asignan las categorías A, B, C y D, por este orden, a los empleados que se encuentren en cada una de las partes. Baremo N" empleados

[200.260) [260,320) [320,380) [380,440) [440,500) [500.560) [560,620) [620,680) 12

102

200

260

140

Hallar las puntuaciones que separan a cada categoría.

90

70

50

143 4.11. El volumen de ventas (en millones de pesetas) realizado por las veinte sucur sales de unos grandes almacenes ha sido: 63 60 32 85 44 83 120 150 240 90 38 46 52 24 10 62 74 83 86 90 1) Hacer un análisis gráfico de la forma. 2) Determinar si existen datos anóma los. 3) Hallar la media recortada al 40%, la trimedia y la mediana extendida. 4.12. La producción de trigo y maíz obtenida en los diez últimos años por una cooperativa agrícola (expresada en fanegas) ha sido la siguiente: Trigo

180

195

214

217

220

253

260

300

298

306

302

298

Maíz

95

87

101

103

105

96

107

98

80

76

86

79

Hallar los índices de variación cuartílica de las dos series de datos. ¿Cuál de ellas es la más homogénea? 4.13. En una prueba de velocidad lectora realizada a 500 estudiantes, se obtuvieron las siguientes puntuaciones: Puntuación N" de estudiantes

[40,50)

[50,60)

[60,70)

[70,80)

82

108

123

115

[80.90) [90,100) [100,110) 46

16

10

1) Construir la tabla de 5 letras y el gráfico en caja y extensión. 2) Analizar la forma de la serie de datos gráficamente y mediante los coeficientes de asimetría y curtosis de los métodos exploratorios. 4.14. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en una prueba objetiva han sido: 21 23 25 33 35 37 38 38 39 39 42 42 43 43 44 46 48 48 51 51 52 54 54 55 55 56 58 61 61 61 62 64 65 66 68 68 70 70 70 70 70 70 70 70 71 72 72 73 74 74 75 76 76 76 77 80 81 86 91 92 93 94 94 95 95 98 98 99 Construir el gráfico en caja y extensión correspondiente a las calificaciones. 4.15. Se han tomado dos muestras de 180 familias para hacer un estudio de las declaraciones sobre la renta en dos provincias (A y B) de una comunidad autónoma, obteniéndose los siguientes resultados:

144

Renta sobre limo ptas. (0,10) [10.20)[20,30) [30.40) [40.50) [50.60) [60,70) [70,80) (80.90) N° familias de A

18

35

43

29

18

10

12

6

9

N" familias de B

12

30

53

39

15

14

9

6

2

1 ) Hallar la mediana y la mediana extendida de las rentas de las familias de cada provincia. 2) Determinar los cuartos y sus rangos en cada una de las muestras. 3) ¿Cuál es la provincia con una renta más homogénea?

CAPITULO 5 DISTRIBUCIONES BIVARIANTES

5. 1 . Análisis de dos caracteres Los individuos de una población pueden ser clasificados atendiendo a dos carac teres simultáneamente. Así, puede hacerse un estudio de la población adulta de un país atendiendo a dos caracteres de sus individuos, como pueden ser la talla y el peso. De este modo se obtiene una distribución bivariante de frecuencias, cuyos datos pretendemos: a) presentar mediante una tabla estadística de doble entrada; b) definir sus distribuciones marginales; c) definir sus distribuciones condicionadas; d) estudiar las distintas representaciones gráficas; e) analizar los problemas de regresión y correlación. Los dos caracteres observados, X e Y, no tienen por qué ser del mismo tipo. Pueden ser los dos cuantitativos, como es el caso de la talla y el peso, los dos cualitativos, o uno cualitativo y otro cuantitativo. La representación gráfica de una variable estadística bidimensional depende de la naturaleza de los caracteres. Según sean los caracteres cualitativos o cuantitativos, y éstos discretos o continuos, pueden presentarse seis alternativas.

5.2. Distribución conjunta Consideremos una población de N individuos, a los que vamos a clasificar aten diendo a dos caracteres simultáneamente, X e Y. Vamos a suponer que el carácter X presenta p modalidades XrX, X , en tanto que el carácter Y presenta q modalidades Y^Y? Y .

146 Sea n. el número de individuos de la población que presentan a la vez la modali dad X del carácter X y la modalidad Y del carácter Y. Este valor es la frecuencia absoluta del par (X,Y). La frecuencia relativa del par (X,Y ) será, por tanto: f = ^Ja N

(1)

5.2.1. Propiedades de las frecuencias I. La suma de las frecuencias absolutas extendida a todos los pares de modalida des es igual al número de individuos de la población:

£í>«=.V

(2)

=i J.\

ya que se supone que tanto las modalidades X como las modalidades Y deben ser incompatibles y exhaustivas. II. La suma de las frecuencias relativas extendida a todos los pares de modalidades es igual a la unidad:

££/„=

(3)

¡-i

En efecto: P

i

Pin

1

P

i

/

5.3. Tablas estadísticas La tabla estadística que describe los N individuos de la población, atendiendo a dos de sus caracteres, es una tabla de doble entrada. En las filas, figuran las p moda lidades X del carácter X, y, en las columnas, las q modalidades Y del carácter Y. En general, p y q serán distintos, ya que el número de modalidades que presenta el carácter X no tiene por qué coincidir con el número de modalidades que ofrece el carácter Y. En la intersección de la fila correspondiente a la modalidad X con la columna correspondiente a la modalidad Y , situaremos el valor n. de la frecuencia absoluta del par(X,Y).

147

X\Y

Y,

Y2

n„

n 12 n 22 n.,i2

n„

X, Xp l

n p2,

Yq

\ n.ii

n ,iq

n 2i n n pi

n iq n pq

2q

5.4. Distribuciones marginales 5.4.1. Distribución marginal según el carácter X Si nos fijamos en el número de veces que aparece la modalidad X del carácter X, con independencia de las modalidades que presenta el carácter Y, tenemos la frecuen cia marginal de X, cuyo valor puede calcularse sumando las frecuencias que aparecen en la i-ésima fila de la tabla. Vamos a representar la frecuencia absoluta marginal de X por n , y será: n¡.= ¿n,y = n// + na+...+n,y+...+ni»

(4)

Para cada i, los valores n se obtienen de sumar las frecuencias absolutas de cada fila de la tabla. Los n. se sitúan en la columna marginal de la derecha, y definen la distribución marginal del carácter X. La frecuencia relativa marginal de la modalidad X es: l.

n

(5)

/,= N

5.4.1.1. Propiedades I. La suma de las frecuencias marginales según el carácter X es igual al número total de individuos de la población. En efecto: ¡=i

¡=li,l

II. La suma de las frecuencias relativas marginales según el carácter X es igual a la unidad. p

E ii

,.i

,=¡N

7

E

/

En efecto: N ,,,

N

148 5.4.2. Distribución marginal según el carácter Y Análogamente, se define la distribución marginal del carácter Y. La frecuencia absoluta de la modalidad Y del carácter Y, con independencia de las modalidades que presente el carácter X, viene dada por la suma de las frecuencias que aparecen en la columna j de la tabla. La representaremos por n , y será:

", = XB«

(6)

ni, + ri2i +. . . + no +. . . + nPi

Para cada Ji, los valores n i se obtienen de sumar las frecuencias absolutas de cada una de las columnas de la tabla, se sitúan en una fila marginal en la parte inferior de la tabla, y definen la distribución marginal del carácter Y. La frecuencia relativa marginal de la modalidad Y será: (7)

/..- N 5.4.2.1. Propiedades

Las frecuencias absolutas y relativas marginales del carácter Y cumplen propieda des análogas a las del carácter X. I. La suma de las frecuencias marginales según el carácter Y es igual al número total de individuos de la población. N

En efecto:

II. La suma de las frecuencias relativas marginales según el carácter Y es igual a la unidad. En efecto: ¿,fi= Xt^ = ttS" / N .N = 1 La tabla estadística de doble entrada se completa añadiendo dos columnas y dos filas con las frecuencias absolutas y relativas marginales: X\Y

\

Y2

....

Yj

....

Yq

Eam.

l.r.m.

n2

L f

x2

n 12 n

n ii n ?i

n lq n.2q

X.

n i2

n 'i

n ,q

n i.

i.

n p-

n pi

n pq

np

fr

n f

n fJ

ni

N 1

1

Xp F.U.111.

Fxm.

B.1

f,

.i

fq

149 5.5. Distribuciones condicionadas Fijémonos ahora en los n individuos de la población que presentan la modalidad Y del carácter Y, y observemos la columna j-ésima de la tabla; figuran en ella: los n, individuos que. teniendo la modalidad Y . poseen la Xr los n, individuos que, teniendo la modalidad Y , poseen la X„ los n pi individuos que, teniendo la modalidad Y , , poseen la X p , n r Estos n individuos forman una población, que es un subconjunto de la población total. Sobre este subconjunto se define la distribución de X condicionada por Y, a cuyas frecuencias vamos a denotar por f1, para i=l,2,...,p, siendo: (X, n.,

Se trata de una distribución, ya que el cociente n/n representa la proporción de individuos de la población que presentan la modalidad X, del carácter X, de entre los individuos que ya tienen la modalidad Y . Habrá q distribuciones de X condicionadas por cada una de las Y. La tabla correspondiente que proporciona la distribución del carácter X condicio nado por Y tiene la forma: «;J

X

"«

X,

n.¡

(¡

x,

11 ,

fV

-,

X

n 'i

f¡

X

n

f¡

p

pi

Total

p

n

1

De modo análogo, se definen las distribuciones de Y condicionadas por cada una de las X- Así tendremos la frecuencia relativa de Y condicionada por X:

'

n,

(?)

Habrá p distribuciones de Y condicionadas por cada una de las X . La tabla correspondiente a la distribución Y condicionada por X será de la forma:

150

Y

\

Y2

Yi

Yq

Total

nu

n„

n,

n 'i

n iq

n

f¡

f;

f¡

f

fi

1

i

5.5. 1 . Propiedades I.

(10)

II.

(11)

/v =/,/;.=//;

Las demostraciones de estas propiedades están en el apéndice del capítulo.

5.6. Medidas de posición y de dispersión De acuerdo con las definiciones establecidas en el capítulo 3, las medias y varianzas marginales son: ^x¡n¡ N

ty¡n.,

1 p I 1 . si = '77 X( x¡ - x fn¡., sx = y\~Zj(x¡ - x fn¡

N~i

N~i

j ,

ryi,

(12)

~

En la columna j-ésima de la tabla de doble entrada, tenemos las frecuencias abso lutas de los n individuos de la población que presentan el valor y del carácter Y según los valores de la variable X. Esta columna define, la distribución de la variable X condicionada por Y=y . Por tanto, la media y la varianza de X condicionada por Y=y son: Media de X/Y=y :

(13)

151 Varianza de X/Y=y : Vi(X) = —%(x, - x, fn„ = l( jc, - Xy ///

(14)

Análogamente, la fila i-ésima de la tabla describe la distribución de la variable Y condicionada por X . Por tanto: Media de Y/X=x': -

]

i

i

(15) Varianza de Y/X=x :

v,(Y) = - í( y, - y, fnii = Í( y, - y, ff, n¡,,i

(16)

¡,i

Ejemplo 5. 1 Tratemos de clarificar estos conceptos a través de un ejemplo sencillo, como es el que representa la siguiente tabla, que se ha obtenido de medir la estatura y de pesar a 100 jóvenes de una determinada comarca: X\Y

1'5-1'6

1'6-1'7

1*7-11

11-11

4045 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85

3 1 2 1 4 2 0 1 1

2 2 4 7 6 3 2 2 2

0 1 4 3 6 4 3 4 5

0 1 5 1 4 6 3 3 2

Las distribuciones marginales de X e Y vendrán dadas por las columnas y filas adicionales, que se obtendrán de sumar las frecuencias por filas y por columnas:

152

X\Y

1'5-1'6

i'6-r7

1'7-1'8

1*84*9

n,

f

4045 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85

3 1 2 1 4 2 0 1 1

2 2 4 7 6 3 2 2 2

0 1 4 3 6 4 3 4

5

0 1 5 1 4 6 3 3 2

5 5 15 12 20 15 8 10 10

0.05 0'05 0'15 0'12 0'20 O. 15 0'08 0'10 OMO

n

15

30

30

25

100

1

f

0'15

0'30

0'30

0'25

1

Podemos observar cómo hay 1 5 jóvenes que miden entre 1 .50 y 1 ,60; 30 jóvenes que miden de 1 .60 a 1 ,70; 30 jóvenes que miden de 1 ,70 a 1 ,80, y 25 jóvenes que miden de 1.80 a 1,90. Asimismo, hay 5 jóvenes que dan un peso comprendido entre 40 y 45 kilogramos; 5 jóvenes con peso entre 45 y 50. etc. La media de los pesos es: - 42,5x5 + 47,5x5 + 52.5x15+... +82,5x10 6370 x= —' = —zr = 63,7 100 100 y la media de las estaturas: - 1,55x15 + 1,65x30 + 1,75x30 + 1,85x25 v= 100

171.5 100

1,715

Varianzas y desviaciones típicas: 1 4, , 12206 i « = -7^Jx,-63,7 y>t, = -77—- = 122,06; s, = -J122,06 = 11,04 100 100 ~;

t*lñti(yr1'715fn>

1.027 100

0.0102; ív = y/0,0102 =0.10

Veamos ahora cuál es la distribución de los pesos (variable X). pero únicamente de los jóvenes que miden de 1,60 a 1,70. Se trata de la distribución de la variable X condicio nada por Y=1.65, que vendrá dada por la siguiente tabla:

153

f Y=I,65 i

"i V.i*

40-45 45 - 50 50-55 55-60 60-65 65-70 70 - 75 75-80 80-85

2 2 4 7 6 3 2 2 2

0,066 0.066 0,133 0,233 0.200 0.100 0,066 0.066 0,066 1

30

La media, varianza y desviación típica de esta distribución son

Xy=l.6S '.

42,5x2 + 47,5x2 + 52,5x4+. ..+82,5x2 30 3296.4 30

Vr.l.6s(X) =—Í,(xr61,16fnB

6116 100

61,16

109,88

Dr.i.6s(X) = y¡ 109,88 = 10,48 La distribución de las estaturas (variable Y), pero sólo de los jóvenes que pesan de 70 a 75 Kilogramos, es decir, la distribución de Y condicionada por X=72,5 vendrá dada por la tabla: 1,5-1,6

1,6-1,7

1,7-1.8

1,8-1,9

nx=72^i

0

2

3

3

8

f X=72,5 j

0

0.2

03

05

1

La media, varianza y desviación típica de esta distribución son: 1,55x0 + 1,65x2 + 1, 75x3 + 1,85x3

14, 1

8

8

= 1,76 1¿ , 0,0488 Vx.72,s(Y) = - ld(yrl,76)-n7l = —— = 0,0061 o i. o Dx.n.s(Y) = yl0,0061 = 0,078

154 5.7. Dependencia e independencia funcional 5.7.1. Independencia Se dice que el carácter X es independiente del carácter Y si son idénticas las distribuciones condicionadas de X/Y, para j=l,2,...,q. Por lo tanto, las frecuencias relativas f' no dependen de j. Proposición 5.1: Si X es independiente de Y, las distribuciones condicionadas de X/Y son idénticas a la distribución marginal de X. En efecto, por ser X independiente de Y, serán: n¡¡

n¡2

n¡¡

n*,

n.¡

n2

n,

nq

Cada una de estas fracciones es igual a la fracción que se obtiene de sumar numeradores y denominadores: n¡¡ n,¡

n¡¡ + n¡2 +. . . + n¡¡ +. . . + n^ n,+ n,2 +... + /i ,+... + n.,

n, N

luego f. = /. , c.q.d. Por lo tanto, si el carácter X es independiente de Y, las distribuciones condiciona das X/Y. son todas ellas idénticas a la distribución marginal de X, es decir, las colum nas de la tabla de frecuencias son proporcionales entre sí y proporcionales a la colum na marginal. Proposición 5.2: Si X es independiente de Y, Y es independiente de X. En efecto, por la propiedad II de 5.5.1, se tiene:

Al ser X independiente de Y., en virtud de la proposición anterior, será: i i

i i.

Luego

lo que significa que Y/X tiene la misma distribución que Y, para todo i. Luego Y es independiente de X, c.q.d. La proposición 5.2 nos dice que «siempre que un carácter X sea independiente de

155 otro carácter Y, lo será Y de X». Por ello, se dice que los dos caracteres son indepen dientes. Proposición 5.3: Si X e Y son independientes, se verifica que

En efecto, al ser/', =/., será:/„ = /, //, y, por tanto: n„ N

n, n., N N

.«« = «,« 1

Ejemplo 5.2 La siguiente distribución corresponde a dos caracteres independientes: \'

y,

y2

y,

?4

y,

n,

2 6 4 8

í

4 12 8 16

i

9 6 12

5 15 10 20

3 2 4

15 45 30 60

20

30

50

40

10

150

A «i

x, X, X4

n.o

Basta con observar cómo las frecuencias absolutas de cada modalidad son pro porcionales entre sí y a las frecuencias absolutas marginales; en otras palabras, las filas son proporcionales entre sí, y también lo son las columnas. 5.7.2. Dependencia El carácter X depende funcionalmente del carácter y si a cada modalidad Y de Y corresponde una única modalidad posible de X. Por lo tanto, cualquiera que sea j, la

frecuencia absoluta n vale cero salvo para un valor i correspondiente a una columna j tal que n =n . Cada columna tendrá, pues, un único tétmino distinto de cero. Si a cada modalidad X, de X corresponde una única modalidad posible de Y, será Y funcionalmente dependiente de X. La dependencia funcional de X respecto de Y no implica que Y dependa funcionalmente de X. Para que la dependencia funcional sea recíproca, los caracteres X e Y deben pre sentar el mismo número de modalidades (p=q), y en cada fila así como en cada colum na de la tabla debe haber uno y sólo un término distinto de cero.

156 Ejemplo 5.3 Supongamos el hipotético caso de la distribución de los 1700 matrimonios de una ciudad, en que las edades de esposo y esposa vienen dadas por la siguiente tabla: Edad Esposo Edad Mujer

25

26

27

28

29

19 20 21 22 23

150 0 0 0 0

0 280 0 0 0

0 0 320 0 0

0 0 0 440 0

0 0 0 0 410

Es evidente que hay una relación funcional entre las edades de marido y mujer: cada hombre está casado con una mujer 6 años más joven. Ejemplo 5.4 En una ciudad próxima a la del ejemplo anterior, al analizar las edades de marido y mujer entre sus 1500 matrimonios, se obtuvieron los siguientes resultados: Edad Esposo Edad Mujer

25

26

27

28

29

30

31

Total

19 20 21 22 23

220 0 0 0 0

0 210 0 0 0

0 0 230 0 0

0 130 0 0 0

170 0 0 0 0

0 0 0 0 280

0 0 0 260 0

390 340 230 260 280

Total

220

250

230

130

170

280

260

1540

En esta ciudad, la edad de la mujer depende funcionalmente de la edad del marido. Así, todo varón casado de 28 años de edad tiene una mujer de 20. En cambio, si nos dicen que una mujer casada tiene 20 años, no sabemos cuál es la edad del marido, ya que éste puede tener 26 ó 28 años. Se trata de un claro ejemplo en que un carácter depende funcionalmente del otro, no siendo recíproca la depen dencia. Ejemplo 5.5 En una tercera ciudad, menos hipotética que las anteriores, al comparar las edades

157 entre marido y mujer de 7500 matrimonios jóvenes, se obtuvieron los siguientes resul tados: Edad Esposo Edad Mujer

25

26

27

28

29

30

31

Total

19 20 21 22 23

220 310 150 120 220

150 220 220 300 260

285 225 180 210 185

190 310 260 180 230

125 220 180 230 200

140 230 290 250 190

130 240 195 240 215

1240 1755 1475 1530 1500

Total

1020

1 150

1085

1170

955

1100

1021

75(X)

En esta última ciudad no hay dependencia funcional entre las edades de esposo y esposa. No obstante, puede existir una cierta relación de dependencia entre ambas edades, relación que será estudiada en el capítulo 6.

5.8. Momentos Supongamos una distribución bivariante determinada por el par (X,Y ). Entonces, dados dos números naturales r y s, y dado el par de números reales (c,d), se llama momento respecto al par (c,d) de órdenes r y s, y lo representamos por Mr (c,d) a la expresión: p

i/

-c/(y. -dfn,i

(17)

Mr (c,d) ■-

N

Tienen interés los momentos que se obtienen cuando el par (c,d) es el par formado por las medias marginales o el par formado por las coordenadas (0,0) del origen.

5.8.1. Momentos centrales o respecto de las medias p i 2,'L(x,-x)r(y1-y),n,i

N

5.8.2. Momentos respecto al origen (19)

158 5.8.3. Primeros momentos

El momento central m,, es la covarianza, que será analizada en el apartado 5.8.5. Las varianzas marginales son: p

p

i

i

ZMx,-xf(y¡-yfnv

¿,¿t(xi-x?nv

¡.i ¡.i

MJ.l

mxN p i Y.yL(x,-xf(yryfn¡¡

N p

t

z,L(y¡-yfn, 1=1 ¡=1

2

m¡2 -

N

N

5.8.4. Proiriedades

1 p I.

x = —£*,«,

11.

1 Y 2

111.

mvi =a^n-a'm

-

l V (20)

1 *

(21) (22)

Las demostraciones de estas propiedades pueden verse en el apéndice al capítulo.

159 La propiedad III nos permite obtener las varianzas marginales de modo más senci llo a partir de los momentos respecto al origen. Ejemplo 5.6 Un grupo de 25 estudiantes obtuvo las siguientes calificaciones en Matemáticas y Física: M

3344445555566667777888899

F

4644564566756776889789 10 9 10

Se trata de: 1) construir la tabla de frecuencias, 2) hallar las medias y varianzas marginales. Solución: 1 ) La variable M toma 7 valores (del 3 al 9) y la variable F toma otros 7 (del 4 al 10). La tabla de doble entrada es: M\F

4

5

6

7

8

9

10

Total

3 4 5 6 7 8 9

1 2 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0

1 1 2 1 0 0 0

0 0 1 2 0 1 0

0 0 0 0 2 1 1

0 0 0 1 2 1

0 0 0 0 0 1 0

2 4 5 4 4 4 2

Total

4

3

5

4

4

3

1

25

0

2) Para hallar la media, varianza y desviación típica marginal de las calificaciones en Matemáticas, completamos su tabla marginal y utilizamos las fórmulas (20), (2 1 ) y (22):

Mu

Ml

"i

3 4 5 6 7 8 9

2 4 5 4 4 4 2

6 16 25 24 28 32 18

25

149

i

M2

M.2n.

9 16 2=¡ 36 49 64 81

18 64 125 144 196 256 162

i.

965

160

— 149 M = a,„ = — = 5,96 965 a2o = ^r = 38,6 Sm = m2o = dio- a]o = 38,6 - 35.5216 =3,0784 s„ = J3,0784 =1,7545 Completamos ahora la tabla marginal de las calificaciones en Física para calcular su media, varianza y desviación típica (la dispondremos en columnas para mayor comodidad): Fi

n.i

Fa

F2i

■fr

4 5 6 7 8 9 10

4 3 5 3 4 3 3

16 15 30 21 32 27 30

16 25 36 4l) 64 81 100

64 75 180 147 256 243 300

25

171

1265

171 F= a„, = — = 6,84 1265 Om = -zj- = 50,6 s'F = nio2 = a02 - ah¡ = 50,6 - 46, 78 = 3,82 si.. = ^82 = 1,954

5.8.5. Covarianza El momento central de orden ( 1 , 1 ) de la variable estadística bidimensional (X,Y) recibe el nombre de covarianza de las variables X e Y. La covarianza es, por tanto, la media ponderada del producto de X-a|o por Y-a0|. Este producto es positivo cuando, a valores grandes de X, les corresponden valores

161 grandes de Y, o, a valores pequeños de X, les corresponden valores pequeños de Y. En cambio, el producto (X-a10)(Y-am) resulta negativo cuando, a valores grandes de X, correspondan valores pequeños de Y, o, a valores pequeños de Y, corresponden valores grandes de X. El signo de la covarianza indica, por tanto, si la relación entre las variables es positiva o negativa. La covarianza proporciona una medida del grado de dependencia entre las varia bles X e Y. Sin embargo, la covarianza tiene el inconveniente de depender de la dimensión de las variables. Como medida adimensional del grado de dependencia entre dos variables, se uti liza el coeficiente de correlación de Pearson, que se estudia en el capítulo sexto, y que se define a partir de la covarianza, por lo que sus propiedades se van a basar en las propiedades de ésta. 5.8.5. 1 . Propiedades de la covarianza 1.

inn =aii-aioaoi

(23)

Esta propiedad nos indica que la covarianza es la media del producto de las varia bles menos el producto de las medias. 2. Si X e Y son dos variables estadísticas independientes, su covarianza es cero. La recíproca de esta propiedad no es cierta. Puede suceder que la covarianza de dos variables estadísticas sea nula, y éstas no sean independientes. Las demostraciones de estas propiedades pueden verse en el apéndice del capítulo. Ejemplo 5.7 Vamos a calcular la covarianza de las variables del ejemplo 5.6. Para ello, utilizamos la fórmula (23), realizando el cálculo de an a partir de la tabla de doble entrada: v, v, / 7026 = 41,04 an =¿^¿_M F,n„ = —(4x3x1 + 6x3xl+. .. + 10x10x1) = —— 25 25 luego

m„ = «„ - a,nam = 41,04 - 5,96x6.84 = 41.04 - 40,76 = 0,28

5.9. Poblaciones pequeñas Si la población estudiada según dos caracteres continuos X e Y es pequeña, al

162 hacer una agrupación en clases, éstas serían muy poco numerosas y de gran ampli tud, por lo que los cálculos resultarían poco precisos. En estas situaciones, se estudian los pares de valores (xi,y,). donde i recorre los N individuos de la población, considerando la frecuencia absoluta de cada par igual a la unidad. De esta forma, las medias y varianzas marginales vienen dadas por:

~x=iÍx-~y=ity,

(24)

V(X)=j¿t(x,-x? V(Y)-—tAyryf

(25)

1 N mu = —?,(x,-x)(y,-y)

(26)

y la covarianza por:

« * i= 1

Ejemplo 5.8 La tabla adjunta representa los pesos y las alturas de los 12 estudiantes de una clase: p

71

72

72

73

73

75

75

75

76

76

76

77

F

166

1"68

1'68

T69

T68

T68

170

170

173

173

175

177

Vamos a calcular: 1 ) El peso medio: 2) la altura media; 3) la altura mediana; 4) las varianzas y desviaciones típicas marginales; 5) la covarianza. Solución: 1 ) Peso medio:

- 1 % 891 P = — X P, = ~TT = 74,25 12 i=¡

2) Altura media:

12

- 1 & 20.45 A = — ^A, = —— = 1.7041 12,-¡

12

3) Para calcular la altura mediana, ordenamos las alturas en orden creciente: 1 ,66; 1 ,68; 1 ,68: 1 ,68; 1 ,68; 1 .69; 1 ,70; 1 ,70; 1 ,73; 1 ,73; 1 ,75; 1 ,77 Como el número de valores es par, la altura mediana será la media aritmética de los dos valores centrales: 1.69 + 1.70 M,, = ~ = 7.695

163 4) Las varianzas y desviaciones típicas son: s* = m20 = a20 - alo = 5516,58 - 5513,06 = 3,52 => sP = 4^52 = 1,876 Sa = mn = a02 - al, = 2,9052 - 2,9039 = 0,013 => sA = ^0,013 = 0,036 5) Para hallar la covarianza, calculamos primero an 1 £ / 1520,46 a,, =J¡Lp~A. = —(71x1,66+. .. + 77x1,77) = n = 126,705 entonces ni „

= a„ - amaoi = 126, 705 - 74,25x1, 7041 = 126, 705 - 126,529 = 0,176

5.10. Representaciones gráficas Las alternativas que pueden presentarse según sea la naturaleza de los caracteres son: a) los dos caracteres son cualitativos; b) X es cualitativo e Y cuantitativo discreto; c) X es cualitativo e Y cuantitativo continuo; d) X e Y son cuantitativos discretos; e) X e Y son cuantitativos continuos; f) X es cuantitativo discreto e Y cuantitativo continuo. Por otra parte, al hacer la representación gráfica de una variable bidimensional, podemos pretender: i) mostrar la distribución conjunta; ii) mostrar cada una de las distribuciones condicionadas según un carácter en función de las modalidades del otro. Esto da lugar a una gran variedad de representaciones gráficas, dependiendo también su uso del campo de investigación.

5.11. Los dos caracteres son cualitativos En este caso, se representan, en un mismo gráfico, la distribución conjunta y una de las dos familias de distribuciones condicionadas (bien la de X condicionada por las Y . bien la de Y condicionada por las X). Distinguiremos dos situaciones, según el número de modalidades de cada carácter: i) ambos caracteres presentan más de dos modalidades; ii) uno de los caracteres es dicotómico.

164 5.11.1. Los dos caracteres presentan más de dos modalidades El método de representación se basa en el uso de rectángulos con una superficie proporcional a la frecuencia absoluta n... La base de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia marginal absoluta n y la altura proporcional a la frecuencia condicionada f.i. Por tanto, el área del rectángulo es proporcional a f, «¡ n, Para cada modalidad del carácter X, se construyen los rectángulos correspondien tes a las modalidades de Y, superponiéndolos. Al final, se añade un rectángulo que corresponde a todas las variedades. Este tipo de gráfico pone de manifiesto: - las frecuencias marginales (bases de los rectángulos); - las frecuencias de la distribución conjunta (áreas de los rectángulos); - las frecuencias condicionales (alturas de los rectángulos). Ejemplo 5.9 Queremos representar la distribución bidimensional (X,Y), correspondiente a la producción anual (X) de carbón, petróleo, hierro y acero (en millones de toneladas) de cuatro de los principales países productores (Y), China, EE.UU., Canadá y la URSS, según datos del año 1990, que reproduce la siguiente tabla: X\Y Carbón Petróleo Hierro Acero Total

China

EEUU.

860 130 107 59

765 460 59 90

1156

1374

Canadá

URSS

Total

80 72 20 25

605 625 252 162

2310 1287 448 336

207

1644

4381

Para representar la producción de los productos según el país, son necesarias las distribuciones condicionadas acumuladas para cada uno de los productos, que vie nen dadas por: X\Y Carbón Petróleo Hierro Acero Total

China

EEUU.

Canadá

URSS

37'2 10' 1 23'9 175 26'4

70'3 45'8 371 44'3 577

73'7 51'4 43'8 51'7 62'4

100 100 100 100 100

165 100

50 -

China

Carbón

Petróleo

Hierro

Acero

Todos

Figura 5.1: Producción según el país.

En la figura 5.1 se aprecia la producción de los distintos productos según el país donde se obtienen y el volumen de producción. Se pueden permutar los caracteres, considerando la distribución según los pro ductos de cada país. Para ello, se necesitan las distribuciones condicionadas acumu ladas para cada país, que vienen dadas por:

X\Y Carbón Petróleo Hierro Acero

China

EEUU.

Canadá

URSS

Total

74'4 85'6 94'8 100'0

55'6 89' 1 93'4 100'0

38'6 73'4

36'8 74'8 90' 1 l00'0

39'7 52'5 73'8 100'0

879 100'0

La figura 5.2 muestra la distribución de los distintos productos según el volumen de producción y el país de origen.

EE.UU.

Canadá

Figura 5.2: Producción según el volumen.

166 5.1 1.2. Uno de los caracteres es dicotómico Cuando uno de los dos caracteres, por ejemplo X, presenta únicamente dos moda lidades, se puede utilizar un diagrama de sectores constituido por dos semicírculos de diferente radio (uno por cada modalidad del carácter), que se elabora de acuerdo con los siguientes criterios: i) los radios se toman proporcionales a la raíz cuadrada de las frecuencias absolu tas marginales del carácter dicotómico, n ; ii) los ángulos centrales son proporcionales a las frecuencias relativas condiciona das V. i De este modo, se consiguen dos semicírculos de diferente radio, cada uno de los cuales corresponde a una de las dos modalidades del carácter dicotómico. Las áreas de los sectores serán, por tanto, proporcionales a las frecuencias abso lutas de la distribución conjunta, n , ya que el área del sector es proporcional a la amplitud del ángulo por el cuadrado del radio: /' (yin,) = /' /', =—/',.= n n, Ejemplo 5.10 Consideremos la distribución, por razón del sexo y estado civil, de las personas de 40 a 50 años residentes en el año 1990 en una pequeña ciudad, según describe la siguiente tabla: Solteros Casados

S\E

Viudos Divorciados Otros

Total

Mujeres Hombres

303 623

6453 5210

728 956

205 126

276 350

7%5 7265

Total

926

11663

1684

331

626

15130

Los radios de los semicírculos deben ser proporcionales a las frecuencias absolu tas: 7965 y 7265. Necesitamos, para determinar los ángulos centrales, las distribuciones condiciona das acumuladas según el estado civil para las dos modalidades (mujeres y hombres) del carácter dicotómico: S\E Mujeres Hombres

Solteros Casados 3'8 8'6

84'8 80'3

Viudos Divorciados Otros 940 93.5

%'6 95'3

100 100

167 Varones(7265)

Soiteros

Divorciados

1tujere5(7965)

Figura 5.3: Diagrama de sectores con uno de los caracteres dicotómico.

En la figura 5.3 puede apreciarse el diagrama de sectores de la distribución de mujeres y hombres atendiendo al estado civil.

5. 1 2. Un carácter es cualitativo y el otro cuantitativo El tipo de representación es similar al expuesto en los apartados anteriores: mues tra la distribución global y una de las distribuciones condicionadas mediante diagramas diferenciales. Vamos a suponer que el carácter cualitativo es X y el cuantitativo Y. Cuando se representan las distribuciones del carácter cuantitativo Y condicionado por las moda lidades Xi del carácter cualitativo X, se suelen añadir los diagramas diferenciales correspondientes a cada una de las modalidades del carácter cualitativo. Estos últimos gráficos serán diagramas de barras o histogramas, según sea discre to o continuo el carácter cuantitativo. Ejemplo 5.11 La siguiente tabla contiene la distribución del número de hijos por familia según la clase social a que pertenecen: C1\N°H

1

2

3

4

5

Total

Baja Media Me-Alta Alta

45826 35456 34625 15260

61200 32124 38246 14916

31324 28425 25430 8241

7150 5322 5224 1280

803 1165 976 324

146403 102492 104492 40021

131167

146486

93430

19076

3259

15230

Total

168

Construimos la tabla de frecuencias condicionadas acumuladas según el número de hijos, que nos va a permitir hacer la representación.

CI\N" H

1

2

3

4

5

Baja Media Uta

313 34'6 33'2 38' 1

73' 1 66'0 69"8 75'4

94'5 937 94'2 %'8

99"5 98'9 99'2 98"0

100 100 100 100

Total

33'4

70'6

94.4

99'2

100

Mi- Mía

Las cuatro primeras filas nos proporcionan las alturas acumuladas de los rectán gulos que corresponden a las distribuciones condicionadas según el número de hijos, en tanto que una quinta fila contiene los datos globales. En la figura 5.4 puede apreciarse su representación. La quinta pila de rectángulos corresponde a la distribución conjunta.

ido -i

zz ,¡),

en 4 hijos 50 -

3 hijos

h1 jos

1 hi jo C baja

C. media

C.m-a1ta Ca1ta

Conjunta

Figura 5.4: Representación de las clases sociales según el n° de hijos

Para tener la representación gráfica de las distribuciones condicionadas en fun ción de la clase social, necesitamos las tablas de frecuencias condicionadas acumula das según la clase a que pertenecen:

169

C1WH

1

2

3

4

Baja Media Me-Alta Alta

34'9 62'0 88'4 100

41'8 637 89'8 100

33'6 64' 1 91 '3 100

38'0 65'9 96'3 100

5 24'6 60'6 90' 1 100

Total 379 63' 1 89'9 100

Tomando las alturas de los rectángulos proporcionales a los valores de cada co lumna de la tabla, se obtiene la representación de la distribución global y de las distribuciones condicionadas según la clase social, tal como recoge la figura 5.5.

□

1 hijo

2 hijos

3 hijos

4

5

Todos

Figura 5.5: Representación según la clase social.

El carácter cuantitativo Y (número de hijos) es discreto, por lo que utilizamos diagramas de barras para representar las distribuciones condicionadas según el núme ro de hijos. Se añaden al final, por consiguiente, tantos diagramas de barras como modalida des (las cuatro clases sociales consideradas).

2

3

4

5"

Clase baja

Clase ned1a

Clase nedia-alta

Clase alta

170 5.13. Los dos caracteres son cuantitativos Cuando los dos caracteres son cuantitativos, la representación de las distribucio nes condicionadas es análoga a la utilizada en el caso de un carácter cualitativo, utilizándose diagrama de barras o histograma según sea la variable discreta o conti nua. En cambio, para representar la distribución global, se utilizan distintos métodos, según la naturaleza de los caracteres, algunos de los cuales exponemos en los si guientes apartados.

5.13.1. Las dos variables son discretas Si las dos variables, X e Y, son discretas, las frecuencias absolutas correspondien tes a cada par (x,y ) se representan por círculos con centro en dicho punto y radio proporcional a la raíz cuadrada de n . Se consigue, de esta forma, que la superficie de cada círculo sea proporcional a la frecuencia absoluta n de cada par (x,y ). Ejemplo 5. 12 La siguiente tabla recoge las calificaciones de 100 alumnos de primer curso de bachillerato en Matemáticas y Ciencias de la Naturaleza: MVCN

4

5

6

7

8

9

10

Total

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 3 4 5 2 1 0

3 5 5 4 4 2 1 0

1 4 4 4 4 3 0 1

0 2 2 4 5 2 2 1

0 2 2 2 3 4 2 0

0 1 1 2 2 2 1 0

0 0 0 0 1 0 1 1

6 7 17 20 24 15 8 3

Total

19

22

18

17

13

8

3

100

Se trata de dos variables discretas, cuya distribución global representamos en la figura 5.6.

171 5.13.2. X es una variable con tinua e Y discreta

O—

1U 9

•'

—°

1

IF

Cuando una de las varia á 4k 8 \r irk bles es continua y la otra dis creta, la distribución global se éí M 7 representa por medio de histogramas. 6 1) Habrá tantos histogra mas como valores toma la va 5 riable discreta. 2) Cada histograma tendrá 4 las bases iguales a las ampli tudes de los intervalos de cla se de la variable continua X. 3) Las alturas serán propor Figura 5.6: Representación global de variables discretas. cionales a las frecuencias me dias por unidad de amplitud. De este modo, las áreas de los histogramas serán proporcionales a las frecuencias absolutas marginales de la variable discreta Y. No todas las bases de los distintos rectángulos se sitúan sobre una misma hori zontal, sino que se sitúa en una posición más baja la base del rectángulo al que corresponde una mayor altura; de este modo se consigue una figura simétrica con respecto a la línea recta horizontal que divide a cada rectángulo en dos partes iguales. La figura que se consigue presenta una simetría axial respecto de la horizontal que parte del valor correspondiente a la variable discreta. Ejemplo 5.13 Las alturas de 90 niños de edades comprendidas entre 11 y 14 años vienen refle jadas en la siguiente tabla: M\CN

11

12

13

14

Total

130-140 140-150 150-160 160-170 170-180

0 3 7 3 0

1 1 10 12 2

0 0 12 15 5

0 1 6 5 3

1 9 35 35 10

Total

13

27

35

15

100

172

c

130

140

150

160

170

180

Figura 5.7: Gráfica para una variable discreta y otra continua.

Los histogramas de la figura 5.7 muestran la representación de su distribución global.

5.13.3. Las dos variables son continuas

Cuando las dos variables son continuas, se puede representar la distribución global, bien por medio de puntos en el plano cartesiano, o bien se intenta dar una visión espacial a la representación de la distribución global por medio del estereograma.

5.13.3.1. Representación mediante puntos Si las variables son continuas, se representan, en un plano cartesiano, los rectán gulos correspondientes a los distintos pares de intervalos de clase. Sobre cada rectángulo, se sitúa un número de puntos proporcional a su frecuencia absoluta. Así, si se trata de los intervalos [x ,x], [y ,y.], el número de puntos que se situarán será proporcional a la frecuencia n... Una pequeña variante consiste en poner el valor de la frecuencia absoluta en cada rectángulo. Ejemplo 5.14 La siguiente tabla recoge las alturas y los pesos de 470 jóvenes de una de las provincias de Castilla-La Mancha:

173

A\P

45-50 50-55 55-60 60-65 65-70

150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185

9 10 29 29 20 10

10 11 10

9 31 60 20 20 9

20 9 29 31 21 11

21 10 11 10 10

Por ser las frecuencias múltiplos de 10 o valores muy próximos a un múltiplo de 10, vamos a tomar este valor como razón de la proporcionalidad. Así, para representar una frecuencia absoluta de 60. dibujaremos 6 puntos.

150

)55

t6)

165

170

175

180

185

Figura 5.8: Representación mediante puntas.

5.13.3.2. Estereograma El estereograma es la generalización del histograma para el caso de una variable bidimensional. Consiste en la representación de la distribución global por medio de paralelepípedos rectangulares de volumen proporcional a las frecuencias absolutas correspondientes. Se construye, para cada par de clases (una correspondiente a la variable X y otra a la variable Y), un paralelepípedo, cuya base es el rectángulo de dimensiones iguales a los intervalos de clase, y, cuya altura es proporcional a sus frecuencias absolutas. Si se trata de los intervalos de clase [xi.rxj, [y -ry ], cuyas amplitudes son, respec tivamente, a=x-x y b=y -y , la altura del paralelepípedo será:

174 f'' y el volumen a b —— f = /-. ab ' ' «A " La suma de los volúmenes de todos los paralelepípedos será igual a la unidad, ya que

/.=, La representación por medio de estereogramas presenta la dificultad práctica de que, con frecuencia, algunos paralelepípedos quedan tapados por encontrarse situa dos en un plano más lejano, y no se percibe una visión completa de la distribución. La figura 5.9 contiene el estereograma para los datos del ejemplo 5.14.

126 íee uo f,0

40 ¿O O 170

175

100

ALTURA

Figura 5.9: Estereograma.

5.14. Diagrama de dispersión Cuando se conoce, para cada individuo de la población, el par de valores que le corresponden, en el caso de que los dos caracteres sean cuantitativos, la representa ción más adecuada consiste en trazar los puntos cuyas coordenadas corresponden a cada par de valores de las variables sobre un gráfico cartesiano. Se obtiene, de este modo, el diagrama de dispersión o nube de puntos para la distribución global.

175 Ejemplo 5.15 La siguiente tabla recoge los pesos y las alturas de 12 jóvenes de 16 años, cuyo diagrama de dispersión puede apreciarse en la figura 5.10.

(X)

45

(Y)

53

57

61

67

63

49

54

61

53

49

60

165 172 166 174 159 180 169 177 183 180 169

175

195 + +

175 155

-i 40

i

i 50

i

i 60

i

i 70

i—r~ 80

Figura 5.10: Diagrama de dispersión.

5.15. Ejercicios propuestos 5.1. La siguiente tabla contiene las frecuencias absolutas de la distribución conjunta de dos variables estadísticas X e Y.

X\Y

100

50

25

14 18 22

1 2 —

1 3 1

— 2

Determinar: 1) las distribuciones marginales de X e Y; 2) la distribución de X condicionada por Y=100; 3) la distribución de Y condicionada por X=22. 5.2. Obtenidas las distribuciones marginales y condicionadas que se piden en el ejer cicio 4. 1 , hallar: 1) las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales; 2) la media, varianza y desviación típica de la distribución de Y condicionada por X=22.

176 5.3. Poner un ejemplo de variable estadística bidimensional (X,Y), en que las variables X e Y sean independientes, y otro en que sean dependientes. 5.4. Las variables X e Y se distribuyen según muestra la siguiente tabla: X\Y

11

8 9 10 11 15

8

12

13

32

14

17

18

8 2 10 40

¿Qué tipo de relación se da entre ellas? 5.5. La siguiente tabla de doble entrada contiene las frecuencias absolutas de la distri bución conjunta de las variables estadísticas X e Y. ¿Son independientes X e Y? ¿Cómo debería ser la tabla para que fueran independientes? X\Y

Y1

Y2

Ym i

x2

2 5

3 15

4 10

5.6. Determinar, para la distribución del ejercicio 4.1, los siguientes momentos respecto al origen:

5.7. La siguiente tabla contiene los pesos y las alturas de 20 jugadores de un equipo de fútbol: Peso (X) Altura (Y) N° de jugadores

73

76

80

73

78

82

1'65

1'68

1'76

170

172

176

4

3

4

2

5

2

Hallar: 1 ) la altura mediana; 2) el peso mediano; 3) la altura media y el peso medio; 3) la varianza de las alturas; 4) la covarianza. 5.8. Los ingresos totales (I) de 10 familias y los gastos en transporte (T) durante el último mes han sido:

177

I

95

115

125

160

178

208

237

128

210

99

T

3

5

10

9

11

11

12

8

7

7

Hallar: 1) las medias y las varianzas marginales; 2) la covarianza. 5.9. Las calificaciones de 15 alumnos en el primero (X) y segundo (Y) examen parcial de Estadística son: X

647845678566537

Y

567 10 64975867837

Hallar: 1) la media y la varianza de las dos pruebas; 2) la covarianza; 3) ¿hay una relación de dependencia entre X e Y? 5.10. Se ha impartido un curso de recuperación a 145 alumnos de un colegio de niños especiales, evaluando el avance de la capacidad psicomotora, cuyos resultados, por edades, nos muestra la siguiente tabla: AvanceVEdad

7

8

9

10

11

12

13

14

10- 16 17-23 24-30 31-37 38-44 45-51 52-58

3 6 1 !

2 5 10 2 1 2

1 2 2 2 3 2 2

1 9 5 6 3

3 4 4 9 10

1 3 9 7 6

2 2 4 5 1

1 2 1

Hallar las distribuciones marginales y la distribución del avance de la capacidad psicomotora condicionada por una edad de 10 años. 5.1 1. Para los datos del ejercicio 5.10, hallar las varianzas marginales y la covarianza. 5.12. La siguiente tabla recoge el espacio (en metros) recorrido por un coche desde que el conductor pisa el freno hasta que se detiene, para distintas velocidades (en km./h.): Velocidad

20

30

40

50

60

70

Distancia

18

29

46

67

98

132

Hallar la covarianza y estudiar si hay relación de dependencia.

178 5.13. Se sabe que los caracteres X e Y de los 50 individuos de una población son independientes. Si X presenta 4 modalidades e Y seis, construir una tabla en la que aparezca claramente la independencia de ambos caracteres. 5.14. Los pesos y las alturas de 290 hombres están recogidos en la siguiente tabla:

i'st-rss

Y

1'55-1'60 1'60-P65 1'65 170 1'70-1'75

X .>

50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85

1 8 15 12 7 2

7 5 2

4 22 63 28 10 ll

2 7 1l)

1 5 12 7 2

12 2() 4

Hallar: 1 ) las distribuciones marginales; 2) la distribución de X condicionada por Y=1'625: 3) la distribución de Y condicionada por X=62'5: 4) ¿Hay relación de depen dencia entre los pesos y las alturas? 5.15. La producción de automóviles de una nación con un buen nivel de desarrollo industrial, en el período que va de 1980 a 1989 está reflejada en la siguiente tabla. La variable X representa el año (0 corresponde a 1980. 1 a 1981....) y la variable Y al número de unidades (en centenas de millar) X

0

1

2

3

4

5

6

Y

62

43

6.4

8.4

8.6

12.1

11,3

7

8

12.9 13.7

9 14.1

1 ) Hacer la representación gráfica de la distribución conjunta. 2) Representar la distribución del número de automóviles por año de producción. 5.16. La siguiente tabla recoge las edades en que se han casado 20 parejas: Edad Mujer

25 18 21 29 24 19 23 27 25 23 24 30 19 17 26 20 25 28 27 21

Edad Esposo 28 13 22302722222625 24 25292225262427262725

Hacer una representación de la distribución conjunta. 5.17. Hacer una representación gráfica de la distribución conjunta del ejercicio 5.10, y representar también el avance de la capacidad psicomotora en función de las edades.

179 5.18. La siguiente tabla contiene los pesos y las alturas de los alumnos de una clase: Pesos (X) Alturas (Y) N° de alumnos

73

76

78

82

80

73

170

1'68

172

176

176

1'65

2

3

5

2

4

4

Representar la distribución conjunta utilizando la forma más adecuada. 5.19. La siguiente tabla contiene la distribución de 270 familias de una ciudad según los gastos (X) mensuales totales (en miles de ptas.) y los gastos (Y) que habitualmente dedican a cosas superfluas (en miles de ptas.): X\Y

0-2

2-4

4-6

6-8

0-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110

2 3 1 0 0 0 1

4 6 3 3 2 0 1

6 7 5 5 4 2 0

0 9 7 8 7 5 3

8-10 10-12 12-14 14-16 0 0 9 8 6 4 3

0 0 11 12 9 9 9

0 0 6 14 11 13 17

0 0 0 7 8 10 10

1 ) Trazar la gráfica más adecuada para representar la distribución conjunta. 5.20. La producción (X) de trigo, maíz, arroz y mijo en los países de Francia, Australia, EE.UU. y China (en miles de toneladas) en 1990 viene recogida en la siguiente tabla: X\Y

Francia

Australia

EEUU

Canadá

Trigo Maíz Algodón Tabaco

30000 13030 230

13803 3478

49315 1 15643 3202 560

15502 2750 120 45

276

67

Hacer una representación de la distribución conjunta y de la producción según el país.

180 Apéndice al capítulo 5: Demostración de las propiedades de las frecuencias condicionadas y de los momentos I. Demostración de (10): p

.

p n

J p

1

Lfí = L— = — Z"« = —ni = 1 i.i

i.i nl

ni i.i

n,

i i n; 1 1 l ¿,fi = X— = ~ S"« = ~~ «i. = i i.i i.i n, n, i.i n,

y II. Demostración de (1 1):

" jr

y

N

JV«,

n'i

ni n'i

' f

ri

,~ N~ N n~ ' '

III. Demostración de (20): 1

p

i

l

p

l/

l

p

i

1

p

x = — xx^yj"./ = ttXX*»* = T7X*Zn« = ttS^«/ '» i.1 J.l

« , = ;/=/

A, ,./

I

l

J

P

i

P

i

i-i

i

P

A" 1 = / J

i

y = -TfLLrfyinv = ttXIv,«v = -¡¿LyiLnv = — 5>/«.; IV. Demostración de (21): l

p

¡

1

Af„,,=, l

p

'

i

p

i

i

p

i

¡

p

/v/.//.i

A",=,

,-,

N ,.l

l

l

p

l

p

i

i

i

ao2 « — ZéLx°,y2inu = — Z^y)^ = —¿,y)¿,nv = — ¿,y)ni '» l.l J-i

N i=l i=l

'V l.l

¡=l

'" '-'

V. Demostración de (22): y

p

i

~

1

p

i

«20 = TtXXf*. - * )V y/ - y )"n„ = — YSL(x, - x fn„ = « i.l i.i 1

,'

•-

N ,=/ i.2 1

p

i

i

» j

1

p

i

= ..IX(r --ri +x )», =-:IXx»,r ;,-,'XI,l;"» + TT> SX»« = <»,=//=/ N i., l-i A. /=//=/ A1 ,./>/ = a 20 - 2 x2 + x2 = a20 - x2 = a» - a/o

181

]

p

i

i

r

i

mo2 = —'Z^(x,-x f(y¡-y fn„ = — XXí .v, - y fn¡¡ . N ,.i¡.i N ¡.i l

r

i

1 .,,

= T:ÍX(yr2yy,+ y"M, = — £5».,-— 2y££y,«,+— v",II«.= /> ,./ /./ ¡y i.i i,i n ¡.i i.i ¡y ,.i ¡.i = «o: - 2 y" + y" = a„: - y = a02 - ai¡ VI. Demostración de (23): I p i l p ¡, m,, = —Y^(x,-x)(yry)n„ = —Y^(x¡yl-xyr^x, + xy)n, =

ÍVH* Aí ¡./

A' i.i

*>>. A* ,./

N ¡.

= a/,-x;y-yx + xy = a„ -*>' = an-aioaoi, c.q.d. VII. Demostración de la propiedad 2 de la covarianza: Según (23), la covarianza de X e Y es: mu = ai r aioOoi

(*) Ahora bien:

YHéxiy¡n« m ,-i

a,, .

N y, al ser independientes X e Y, en virtud de la proposición 5.2, es n, n,

Sustituyendo este resultado en (**), se tiene: l p i

i p

\( 1 4

K

= ~¿Hx,y' n,n, N Llevando este resultado al segundo miembro de (*), resulta: mu =an-aioam=amaoraioam = 0, c.q.d.

ainam

CAPITULO 6 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

6. 1 . Dependencia aleatoria y funcional Estudiamos, en el capítulo quinto, la dependencia e independencia funcional entre dos caracteres, analizando las condiciones que debían cumplir sus distribuciones condicionales y marginales. Son éstas dos situaciones extremas de relación entre variables estadísticas. Hay, sin embargo, caracteres entre los que sabemos que, a pesar de no ser inde pendientes ni tener una relación funcional, existe una cierta dependencia entre ambos. Se dice entonces que hay una dependencia aleatoria. Este es el caso de la estatura y el peso de personas adultas, que no están relacio nados mediante una ecuación matemática, pero que, si nos dan la estatura de una persona, algo podemos predecir acerca de su peso. Aunque son numerosos los problemas científicos que requieren más de una varia ble independiente, nos vamos a limitar al estudio de modelos de regresión en que sólo interviene una variable independiente. Supondremos también que tanto la variable independiente como la variable depen diente actúan en el modelo de forma lineal. A veces, el planteamiento del problema sugiere una transformación de los datos, en cuyo caso el modelo se sigue consideran do lineal con tal de que sea lineal en los parámetros de la transformación. En este sentido, se incluyen dentro de la regresión lineal algunos modelos en que intervienen exponenciales y potencias. Trataremos, no obstante, la regresión parabólica como ejemplo de ajuste no lineal. En este capítulo, analizamos la relación de dependencia entre dos variables para un conjunto de observaciones. Más adelante, en el capítulo 14, se estudiarán las inferencias sobre la intensidad de la relación entre dos variables poblacionales a partir de los datos de una muestra.

184 6.2. Regresión y correlación y-f (x)

Sea (X,Y) una variable esta dística bidimensional, cuya nube de puntos (x .y ) tenemos repre sentada en el plano. La representación de dichos puntos pone de relieve la presen cia o ausencia de regresión. En la gráfica de la figura 6. 1 , el conjunto de puntos muestra Figura 6. i : Ajuste de una cuna. cómo es posible ajustar una cier ta curva. El problema de ajustar una curva de regresión1 consiste en encontrar una función y=f(x), cuya gráfica se adapte lo más posible a esa nube de puntos, de forma que nos proporcione una cierta relación entre las variables X e Y, con el fin de que, conocido el valor de una de dichas variables, obtengamos un valor aproximado de la otra. Si la ecuación es una parábola, hablaremos de regresión parabólica; si se trata de una función exponencial, hablaremos de regresión exponencial; si la ecuación es una recta, hablaremos de regresión lineal.... La relación aleatoria entre dos variables puede que sea debida a alguna causa, pero también es posible que se deba únicamente al azar. Por ello, cuando, en un problema de regresión se habla de variable dependiente e independiente, no se está afirmando que exista una dependencia causal de una sobre la otra, sino simplemente que se está haciendo uso del convencionalismo propio del lenguaje matemático en el ámbito de la teoría de funciones. Se llama correlación al estudio del grado de dependencia que existe entre dos variables. Para cuantificar este grado de dependencia, se definen los coeficientes de correlación. En el caso particular en que todo par de valores de la nube de puntos pertenezca a la curva de regresión, se dice que hay correlación perfecta. La correlación no será perfecta si cada par de valores de la variable estadística bidimensional sólo satisface le ecuación de la curva de regresión de modo aproximado. Se habla de correlación positiva o directa cuando la curva de regresión es cre ciente, y de correlación negativa o inversa cuando es decreciente.

1 El término regresión, que hoy usamos con un sentido de «relación» entre variables estadís ticas, tiene su origen en un estudio que publicó Francis Galton en 1886. en el que. analizando la estatura media de los esposos y la estatura media de los hijos, llegó a la conclusión de que hay una tendencia a aproximarse (regresar) a la estatura media de la población.

185 6.3. Métodos de ajuste Elegida la variable que se va a considerar independiente (X, por ejemplo), y dada la nube de puntos (x,y.), i=1,2,..., p, j=1,2,...,q, se selecciona la función que mejor se puede adaptar. Supongamos que ésta viene dada en la forma y=f(x,a,,a2,...,an) donde a,,a2,...,an son n parámetros, que dependen del tipo de función y que han de ser determinados. A cada valor x de la variable independiente X le corresponden entonces dos valores de la variable Y: uno es el valor y que le corresponde en la nube de puntos, al que llamaremos observado o real, y otro y .', al que llamaremos teórico, que se obtiene de sustituir x en la función elegida: y.'=f(x,a,,a,

a)

Se tienen así dos distribuciones, una real u observada y otra teórica, dependiendo esta última de los valores que se puedan asignar a los parámetros a.,a,,...,a . El problema que se plantea es el de determinar estos parámetros de forma que ambas distribuciones se aproximen lo más posible. Las distintas formas de conseguir lo dan lugar a los diversos procedimientos de ajuste. Una manera de resolver este problema es tratando de igualar los momentos de ambas distribuciones, lo que constituye el método de los momentos. Nos vamos a limitar al procedimiento de ajuste más usual, que se conoce como método de mínimos cuadrados, y cuyo proceso exponemos a continuación.

6.3.1. Ajuste por el método de mínimos cuadrados Tratamos de ajustar una función de la forma y=f(x,a,,a,,...,an) a la nube de puntos (x,y.),i=1,2,...,p,j=1,2 q. Para cada valor x de la variable independiente X, tenemos dos valores de Y: el valor observado y y el valor teórico y ', entre los cuales hay una diferencia, que

vamos a llamar residuo y que representaremos por c : c-y-y ' La idea, en principio, es la de determinar los parámetros a,.a,,...,an de forma que la suma ponderada de los residuos sea mínima: l

p

q'I

186 En esta expresión, habrá sumandos positivos y negativos, que pueden compensarse unos con otros, dando una suma pe queña aún cuando el ajuste no sea bueno. Por ello, el método de mínimos cuadrados consiste en «determinar los parámetros a,,a„...,a , tratando de hacer mí12 n nima la media ponderada de los cuadrados de los residuos», es decir, se trata de hacer mínima la expresión

Figura 6.2: Residuo.

ai, a?, ;y M /=/

. ..aj\ a,.

/v M i-i

La condición necesaria para que esta expresión sea mínima es que las derivadas parciales de primer orden respecto de cada uno de los parámetros se anulen. De esta manera se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, llamadas normales, cuya resolución nos permite obtener los valores de los parámetros y, por tanto, la expresión de la función ajustada: ac rvl y =-2¿J2J[y,-f(x,.a,M:

1 « \ aj\n„f Ui =0

o ai

da2

dC da„

~~l

p

J

1

-2^^,-^x¡.01.02

on)\n,J\ = 0

6.4. Regresión lineal Elegida una de las variables como independiente y representados los valores de la variable bidimensional, si observamos que la función que mejor se adapta a la forma de la nube de puntos es una recta, tendremos un problema de regresión lineal. Si hemos elegido el carácter X como variable independiente, tendremos la recta de regresión de Y sobre X. Si elegimos Y como variable independiente, se obtendrá la recta de regresión de X sobre Y.

187 6.4.1. Recta de regresión de Y sobre X De entre todas las rectas del plano, tenemos que determinar la que mejor se adapta a la nube de puntos P de la distribución. Sea y=a+bx la ecuación de la recta. Nuestro problema consiste en determinar los coeficientes a y b, utilizando los datos (x,y ) que nos proporciona la distribución Figuia 6.3: Recta de regresión de Y sobre X. y sirviéndonos del método de mínimos cuadrados. Para simplificar, vamos a suponer que la variable estadística (X,Y) toma los valores (XrY,),(X„Y,) (XN,YN) con frecuencia 1. A cada valor \¡ de la variable que hemos considerado independiente le correspon den: i) una ordenada y dada por la distribución, ii) un valor teórico y', que sería la ordenada correspondiente a xi en la recta de regresión, es decir, y '=a+bx . Sea c^y-y. la diferencia entre ambos valores (desviación vertical o residuo). El método de mínimos cuadrados consiste en determinar los coeficientes a y b de la recta, «haciendo mínima la suma ponderada de los cuadrados de los residuos c ». Se trata, por tanto, de hacer mínima la expresión d)

Al ser y, = bx,+ü, será c, =.v,-.v, = y,- bx,- a, y, por tanto í V

2

C=—¿t(y,-bx,-ar

(2)

Hemos de hacer mínima una función que depende de dos variables, a y b, lo cual se consigue igualando a cero las derivadas parciales. No obstante, vamos a tratar de determinar los parámetros a y b en el supuesto de que sólo se tengan conocimientos sobre funciones reales de una única variable real. Tratamos de buscar, para un valor b dado, el valor de a que hace mínimo a C. Después determinaremos b haciendo mínimo el mínimo parcial que hayamos obtenido previamente. Por tanto, supuesto b fijo, la expresión C depende de a, y, si posee algún mínimo, éste debe ser una raíz de

188

da Ahora bien dC

2 v

1 N b f ¡te* -*§*-■

2

= -2[y-¿x-a] Entonces, haciendo -2[y-¿x-a] = 0, resulta \-bx-a = 0, de donde

(3)

v = bx + a

Esta expresión nos dice que el punto w^ v) pertenece a la recta, es decir, la recta de regresión de Y sobre X pasa por el centro de gravedad G de la nube de puntos P . La expresión (3) nos dice también que el mínimo de C se obtiene para el valor a = v - bx . El mínimo parcial obtenido será I v - - i m = min C = — ¿J v,-bx,- v + bx ) = «

N ¡.i

= ^I[y,-v-^x,-x)]-' Debemos encontrar ahora el valor de b que hace mínimo a m. Para ello, debe ser b tal que dm

Tb-° dm

2 .¡L,

-,r

-

- ,

1E--^lU-4y,-y-Mx,-x}) Igualando a cero, se tiene 2 £. N i.i

l

'

y desarrollando el primer miembro, resulta

$Ax,-x»yry)-bYAx,-xf = 0 La expresión entre corchetes debe, por tanto, anularse. Despejando b, en dicha expresión, resulta

189

,

N 1, i

mu

,¡i/*-'* Para este valor de b, se obtiene como valor de a: - mua = y-bx= y-—Tx s\ Como la recta es y=bx+a, sustituyendo los valores hallados para a y b, se tiene - mu -

mu

mn

-

-

y = y-—rx+—rx = —T(x-x)+y r, s; rt de donde resulta - mn — y-y = —T(x-x) si

(4)

que es la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X en la forma punto-pendien te, y observamos que: 1) pasa por el baricentro G(x,y) 2) su pendiente es b

= —7-

La pendiente de esta recta recibe el nombre de coeficiente de regresión de Y sobre X, y es, según acabamos de ver

(5) si

6.4.2. Recta de regresión de X sobre Y Permutando X e Y, y razonando de modo análogo, se obtiene la recta de regresión de X sobre Y, que es la recta de mínimos cuadrados de las desviaciones d=x '-x tomadas paralelamente al eje de abscisas. Se trata de hacer mínima la expresión: y n

l p 1

D=—!
Ni.i¡.i

Procediendo de modo análogo, se obtiene la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y, que es:

190

(6) I',x,y,

^^

^^

'&

X ' -

De la expresión de la recta de regresión de X sobre Y se sigue que:

X

1 ) pasa por el baricentro G(x,y) 2

*

2) tiene como pendiente b' = —- , mu

Llamamos coeficiente de regre sión de X sobre Y, y lo representa mos por B a la inversa de la pendiente de la recta de regresión de X sobre Y: Figura 6.4: Recta de regresión de X sobre Y.

b.. =.

(7)

6.4.3. Coeficientes de regresión v covarianza El coeficiente de regresión de Y sobre X es el valor de la pendiente de la recta de regresión de Y sobre X. Su valor absoluto indica la cuantía de la variación del carácter dependiente (Y) por cada unidad de variación del carácter independiente (X). De igual modo, el coeficiente de regresión de X sobre Y señala la cuantía de la variación de X por cada unidad de variación de Y. Ahora bien, los coeficientes de regresión tienen el mismo signo, que coincide con el signo de la covarianza, m . puesto que: m.

Llegamos, por tanto, a las siguientes conclusiones: 1. Si la covarianza es positiva, los coeficientes de regresión son positivos y las rectas de regresión son crecientes. 2. Si la covarianza es negativa, los coeficientes de regresión son negativos y las rectas de regresión son decrecientes. 3. Si la covarianza es nula, los coeficientes de regresión son nulos y las rectas de regresión son cada una paralela a uno de los ejes de coordenadas, y, por consi guiente, perpendiculares entre sí. 6.4.4. Predicciones La finalidad que persigue la regresión es la de predecir el comportamiento de una

191 variable para un determinado valor de la otra, de modo que, si la recta de regresión de Y sobre X tiene por ecuación y=a+bx la predicción del valor que tomará Y cuando X=xi vendrá dada por y,=a+bx. Ejemplo 6. 1 Se han seleccionado al azar 15 alumnos de primer curso de Ciencias Químicas, cuyas calificaciones en Matemáticas (X) y Física (Y) son: Matemáticas (X)

8

86678567787868

Física (Y)

4

63546446457656

Determinar: 1) la recta de regresión de Y sobre X; 2) la recta de regresión de X sobre Y; 3) dibujarlas; 4) estudiarlas a partir de los coeficientes de regresión; 5) hacer una predicción sobre la nota que tendría en Física un alumno que tuviera un 8 en Matemáticas. Aunque hay pares de valores que se repiten, al ser pocos, trataremos todos los pares de datos con frecuencia 1. a„=7;

a„i=5;

a„=35'53

sx2 = a2i¡-a¡o2 = 49'93-49 = 0'93 s 2 = a - a- = 26'2-25 = 1'2 y

02

01

s=0'96;

sy=1'09; b\x =0'5714;

mn=0'5333 bxy=fr4444

1 ) Recta de regr. de Y sobre X: y-5=0'57(x-7) 2) Recta de regr. de X sobre Y: y-5=2'25(x-7) 3) La figura 6.5 contiene las gráficas de las rectas de regresión.

192

X

Y

XY

X2

Y

8 8 6 6 7 8 5 6 7 7 8 7 8 6 8

4 6 3 5 4 6 4 4 6 4 5 7 6 5 6

32 48 18 30 28 48 2(1 24 42 28

64

48

36 49 64 25 36 3) 49 64 49 64 36 64

16 36 9 25 16 36 16 16 36 16 25 49 36 25 36

IOS

75

533

749

393

40 44 48

30

64 36

Figura 6.5: Rectas de regresión del ejemplo 6.1.

4) La covarianza es positiva, luego son positivos los coeficientes de regresión, y, por tanto, las dos rectas son crecientes. En efecto, al ser b >0, a mayor nota en Física corresponde mayor nota en Matemáticas. 5) Se puede predecir que un alumno con un 8 en Matemáticas tendrá una nota de 5,57 en Física, pues: y=5-fO'57(8-7)=5-fO'57=5'57

6.5. Correlación La correlación hace referencia al grado de relación entre dos variables. El problema que se nos plantea es el de encontrar una medida que nos indique el grado de inten sidad de la relación entre variables. En otras palabras, pretendemos hallar un valor que nos dé una medida del grado de ajuste de la curva a la nube de puntos. Una manera de obtener esa medida es calculando la varianza de los residuos o varianza residual: (8) En efecto, cuanto mayores sean las diferencias entre los valores observados y los valores teóricos de la variable dependiente, menor será la intensidad de la relación entre las variables. Se dará una dependencia funcional cuando todos los puntos de la nube caigan sobre la gráfica de la función ajustada, en cuyo caso la varianza residual será nula.

193 6.5.1. Coeficiente de correlación general de Pearson La varianza residual, como medida del grado de dependencia entre dos variables, presenta dos inconvenientes: 1 ) La unidad de medida no permite hacer comparaciones de la dependencia entre grupos de variables. 2) Proporciona una medida inversa del grado de intensidad entre las variables: si la varianza residual es grande, los puntos de la nube están alejados de la curva ajustada y, en consecuencia, la dependencia entre las variables será pequeña. Estas dos dificultades se resuelven dividiendo la varianza residual por la varianza marginal de la variable dependiente (Y), y restando este cociente de la unidad:

con lo cual el valor de la medida que se obtiene armoniza con el sentido de la correla ción. A este índice de la correlación se le llama coeficiente de determinación y se le representa por R2: S'n

R- = 1-

.').

si Extrayendo la raíz cuadrada del coeficiente de determinación, se obtiene una medi da adimensional, que es el coeficiente de correlación general de Pearson, al que representamos por R: (10) R-

iA

6.5.1.1. Propiedades del coeficiente de correlación general de Pearson De la expresión del coeficiente de determinación se deduce, para la varianza resi dual, la expresión: sÍ, = s;(l-R')

(11)

Si tenemos en cuenta que tanto la varianza residual como la varianza marginal son no negativas, debe ser también \- R2 >0 y, por tanto R2 < / de donde se deduce que -1
(12)

Analizando los posibles valores del coeficiente de correlación general de Pearson, resulta: 1. Si 0
194 2. Si -1
6.5.2. Coeficiente de correlación lineal de Pearson Cuando la regresión es lineal, el coeficiente de Pearson se conoce como coeficien te de correlación lineal de Pearson. y lo representamos por r. El coeficiente de correlación lineal de Pearson proporciona, por tanto, una medida del grado de aproximación de la recta de regresión a la nube de puntos. Para obtener una expresión de r, tenemos que evaluar la varianza residual, sustitu yendo los valores teóricos de la variable dependiente y ' por la expresión obtenida para la recta de regresión: l

pr

i

" ,-l i-l

Con el fin de simplificar los cálculos, vamos a suponer una vez más que la variable estadística (X,Y) toma los N valores (xi,y,) con frecuencia 1. Tendremos

si, = TfJjy,-y, t = —1\ v, -y-:(xi -x) = N ¡.i

N i.il

* *

-..

s,

J

_. (Sny»

Yt(yl-yf-2-^Jt(x,-xHyi-y)+ ~^ It(x,-xf

Sx

Entonces

St

Sx

Sx

Sx

195 Luego el coeficiente de correlación lineal de Pearson tiene por expresión: (13) í,í,

y cumple las propiedades del coeficiente general. La expresión del coeficiente de determinación lineal es: .V,

(14) SxS>

6.5.2. 1 . Interpretación del coeficiente de correlación lineal Los coeficientes de regresión están relacionados con el coeficiente de correlación. En efecto: s rv s rv s v s xy s v , .?; sx sx sxsy s, st lo que permite expresar la recta de regresión de Y sobre X en función de r: s¡

y- y = r—(x-x)

(15)

El coeficiente de regresión de X sobre Y en función de r es:

lo que permite expresar la recta de regresión de X sobre Y en función de r:

x-x=r—(y-y)

(16)

Sy

Podemos utilizar el coeficiente de correlación para analizar la regresión lineal. En efecto: 1 ) Si r=0, la correlación es nula, y las rectas son paralelas a cada uno de los ejes y perpendiculares entre sí:

2) El signo de r señala la dirección de la correlación.

196 3) El valor absoluto de r señala la intensidad de la relación. Irl=l indica una corre lación perfecta. Un valor absoluto de r grande (próximo a 1) indica una fuerte correlación. 4) El mayor valor de r es 1. en cuyo caso la varianza residual es cero, por lo que todos los puntos de la nube están sobre la recta. Se trata de correlación positiva perfecta. 5) El menor valor de r es -1, en cuyo caso la varianza residual es también nula, pero ahora las pendientes son negativas. Se trata de correlación perfecta, pero negativa. La situación de las rectas, cuando r=- 1 o r= 1 , es:

6) Como lrl< 1 , es I l/rl>l . y, por tanto, la recta de regresión de X sobre Y se aproxima más a la vertical que la de Y sobre X. Gráficamente, se darán las siguientes situaciones:

6.5.2.2. Cálculo del coeficiente de correlación lineal de Pearson Las siguientes propiedades facilitan el cálculo del coeficiente de correlación lineal de Pearson: I. Si X'=aX+b e Y'=cY+d. el coeficiente de correlación lineal de X' e Y' es igual al coeficiente de correlación lineal de X e Y. El coeficiente de correlación lineal es, por tanto, invariante, tanto frente a un cambio de escala como frente a un cambio de origen. II. Si la variable aleatoria bidimensional (X,Y) toma los N valores (x^y,) con fre cuencia absoluta 1, es:

v

ív 1ÍV N =/

N

( .V

Y

N%x¡- Xx, i.i

V'='

J

/ ,V

( N

V

(17)

197 La demostración de estas propiedades figura en el apéndice al capítulo 6. A veces, los pares de valores no vienen dados con frecuencia absoluta igual a 1 . Supongamos que se trata de una población de N individuos, tal que la variable esta dística bidimensional (X ,Y ) toma n veces cada valor (x ,y ). donde i=l,2 p señala las p modalidades del carácter X, y j=l,2 q señala las q modalidades del carácter Y. Entonces, si es n la frecuencia absoluta del par (X ,Y ), el coeficiente de correlación lineal se puede calcular a partir de la expresión: p

i

ir

\(i

\


III.

(18)

N^xin, - Z..x,n, ,-/

\¡.i

Omitimos la demostración, que es un simple ejercicio de desarrollo matemático, siguiendo el mismo esquema argumental de la anterior. Ejemplo 6.2 La siguiente tabla recoge la estatura y el peso de 5 personas adultas: Estatura (X)

1.60

1,65

1,70

1,75

1.80

Peso (Y)

M

«>

68

70

72

Hallar el coeficiente de correlación lineal de Pearson e interpretar su valor. Vamos a calcularlo utilizando la propiedad II. Para facilitar los cálculos, dispone mos los datos en la forma: X

Y

X2

Y:

XY

1.60 1,65 1.70 1.75 1.80

64 « 7() 72

2.% 2,72 2.89 3.06 3.24

4096 4356 4624 4900 5184

102.4 108.9 1 15.6 1 22.5 129.6

8.50

340

14.47

13160

(vS

579

El coeficiente de correlación lineal es. por tanto: 5x579 -8'5x340 y¡ [5xl4'475 - 8'52}[5x23160 - 340:\

198 Luego hay correlación positiva perfecta entre la estatura y el peso.

6.5.3. Variables incorreladas El coeficiente de correlación de Pearson es un valor adimensional, que da una medida del grado de relación entre dos variables, bien entendido que la correlación se refiere únicamente a una relación de dependencia lineal. Definición: Las variables estadísticas X e Y se dicen incorreladas cuando el coeficiente de correlación es cero. El hecho de que dos variables sean incorreladas significa que entre ellas no hay ninguna relación de dependencia lineal, pero puede haber otro tipo de dependencia. La relación entre dependencia y correlación la establece la siguiente proposición: Proposición 6.1: Si X e Y son dos variables independientes, X e Y están incorreladas. En efecto, como consecuencia de la proposición 4.2, si X e Y son independientes, su covarianza es cero, luego ntn

0

SxSy

S,Sy

=0

La recíproca de esta proposición no es cierta. Ya decíamos en el capítulo 5 que la covarianza de dos variables aleatorias X e Y puede ser cero, y no ser éstas independien tes. Los conceptos de independencia y ausencia de correlación no son equivalentes. Ejemplo 6.3 Dada la variable estadística bidimensional (X,Y), cuya distribución de frecuencias viene dada por la siguiente tabla Y X 1 2 3 4 5 6

4

7

10

13

16

17

3

4 7

3

0 4 12 2 4 0

0

9

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

3

0 0 7 4

4 4 9 3

0 4 4

0 0

199 se trata de obtener: 1 ) las ecuaciones de las rectas de regresión; 2) el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Solución: Para mayor comodidad en los cálculos, completemos la tabla de doble entrada con las distribuciones marginales: Y X

4

7

10

13

1 2 3 4 5 6

3 0 0 0 0

3

4 7 0 0 7 4

3 9 4 4 9 3

0 4 12 2 4 0

6

22

32

32

16

17

" 4 4 0 0

0 0 0 0 0 0

10 20 20 20 20 10

8

0

100

0

Serán entonces: —

350

,

_,

1450 12.25 = 2,25; s, = 1,5

1042 , -, 11830 Y = ^rr = ¡0,42; s\ = am - Y' = —rz^r - 108,5764 = 9,7236; s, = 3,1182 100 100 3647 = 36,47; in„ = a„-XY = 36,47 - 36,47 = 0 an , 100 Luego K=-jT = ñs Las rectas de regresión son: y-IO,42 = 0 y x-3,5=0 ni

0

= 0, las variables son incorreladas. Como r = —- = s.í. 1,5x3.1182 6.5.4. Correlación y causalidad Establecida la relación de dependencia entre las variables X e Y, y, suponiendo que el valor del coeficiente de correlación es, en valor absoluto, próximo a 1. no podemos concluir, sin embargo, que haya una relación de causalidad entre las varia bles, afirmando que una de las variables es causante de los efectos de la otra.

200

El coeficiente de correlación sólo da una medida de la covariación entre ambas variables. Es conocida la anécdota narrada por Joan Welkowitz sobre el estudio de la corre lación entre el número de cigüeñas y el número de nacimientos de niños en algunas ciudades europeas, que dio como resultado una correlación positiva alta. Alguien interpretó este resultado afirmando el influjo que ejercían las cigüeñas en el número de niños que nacían. La realidad es más prosaica: el alto número de nacimientos no es debido al mayor número de cigüeñas, sino al mayor número de habitantes de las ciudades de mayor extensión y, por tanto, con más chimeneas y torres donde anidar.

6.6. Otros coeficientes de correlación Cuando las variables cuya relación de dependencia tratamos de averiguar, no son continuas, bien porque lo sea una sola de ellas, bien porque no lo sea ninguna, o porque realmente lo que interesa no es tanto la relación entre dichas variables, sino entre el orden en que aparecen sus valores, se utilizan otros coeficientes de correla ción. Estos otros coeficientes de correlación están basados en el mismo fundamento conceptual.

6.6.1. Coeficiente de correlación de Spearman Cuando los datos proporcionados por los valores de las variables no vienen da dos por sus frecuencias absolutas, sino por el orden que éstas ocupan en la observa ción, resulta más difícil medir la intensidad de la relación, puesto que se posee menos información sobre las variables. Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.4 Cinco alumnos son evaluados en Física y Química por dos profesores. Estos, en lugar de dar las calificaciones, han facilitado el lugar que ocupan en las respectivas asignaturas: Física Química Luis Carlos Pedro Manuel Julián

2 5 3 1 4

2 4 3 1 5

201 Manuel es el alumno que mejor calificación ha obtenido en Física. Aunque su calificación es mejor que la de Luis, no es posible saber, con los datos que proporcio na el enunciado, si las calificaciones de Manuel y de Luis son próximas o no. En este caso, para medir el grado de relación, se utiliza el coeficiente de correla ción gradual o de Spearman, rs, que viene dado por:

(19)

donde d. es la diferencia entre el orden obtenido por el i-ésimo individuo en ambas series de datos. El coeficiente de Spearman, rs, varía entre -1 y 1. Un valor positivo alto de rs indica una fuerte tendencia hacia la igualdad de los números de orden asociados, mientras que un valor muy negativo de rs indica una fuerte tendencia hacia la desigualdad de los ordinales asociados. El valor cero significa que no existe relación entre los dos conjuntos de números ordinales. Volviendo al ejemplo 6.4., el coeficiente de Spearman será: s

6[(2-2f + (5-4f + (3-3f + (l-lf + (4-5f] 5(25-l)

12 120

El valor obtenido, 0'9, es muy próximo a 1, lo que indica que los profesores han dado calificaciones similares. Un valor muy próximo a -1 habría indicado que los alumnos mejor calificados por un profesor, serían los peor calificados por el otro.

6.6.2. Coeficiente de correlación biserial puntual Cuando se dispone de dos variables, una de las cuales es continua y la otra dicotómica, se utiliza el coeficiente de correlación biserial puntual. Este coeficiente no es sino un caso particular del coeficiente de Pearson, que se obtiene de asignar un número fijo (el cero o el uno) a una de las dos categorías que presenta la variable dicotómica, y cualquier otro número a su alternativa. Estos dos números son conside rados como los valores que toma la variable dicotómica. Los números que se asignan a las categorías de la variable dicotómica no influyen en el valor del coeficiente, puesto que en él los valores de las variables se dan tipificados. El coeficiente de correlación biserial puntual se representa por rh . Si designamos por X a la variable dicotómica, siendo Y la variable continua, y

202 asignamos a X los valores 0 y 1, se obtiene el coeficiente de correlación biserial puntual evaluando la expresión:

NlY,-N,lY (20)

^/^[/vlr-d>f siendo:

N ^número de observaciones en las que X=l, N, =número de observaciones en las que X=0, N=N,+Nn=número total de observaciones, ZY=suma de observaciones Y asociadas a una X con valor 1, ZY=suma de todos los valores de Y. ZY:=suma de los cuadrados de todos los valores de Y. Una aplicación típica es la relación existente entre el sexo y las aptitudes para determinados estudios, como puede ser la aptitud para el conocimiento de un idioma que se plantea en el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.5 Un centro escolar ha seleccionado al azar a 1 6 alumnos de COU, a los que se les ha pasado un test de aptitud para el conocimiento del idioma inglés. De los 16 alum nos, 9 resultaron ser chicos y 7 chicas. La siguiente tabla recoge los resultados obtenidos después de haber asignado a la variable dicotómica sexo los valores 1 y 0 para chico y chica, respectivamente. Sexo Puntuación

1

0

24 17

0101 8

1

100101101

31 24 16 25 30 31

17

14 16 20

8

16 24

Si efectuamos los cálculos necesarios, resulta: N =9, N0=7, N=9+7=16,ZY=192,ZY=321,ZY:=7245. Luego:

16x192-9x321 183 *" = J9x7[,6x7245-32í] =^6=°'2°

El valor obtenido, 0'20, nos indica una correlación muy débil entre el sexo y la aptitud para el idioma inglés. 6.6.3. Coeficiente 0 Si las dos variables son dicotómicas por su propia naturaleza, se utiliza el coefi ciente . cuyo fundamento se estudia en el capítulo 15.

203 Supongamos que las variables dicotómicas admiten las dos modalidades A (acier to) y E (error), y designemos por: a=número de individuos con la modalidad A de X y la A de Y. b=número de individuos con la modalidad E de X y la E de Y. c=número de individuos con la modalidad A de X y la E de Y, d=número de individuos con la modalidad E de X y la A de Y. según se recoge en la siguiente tabla

A v X

A E

Y |

E

a d

c b

Entonces, el coeficiente viene dado por la expresión:

;

cd-ab yj(a + c)(d + b)(a + d)(c + b)

(21)

Ejemplo 6.6 Supongamos que se realiza una prueba a 80 estudiantes con dos tandas de pre guntas, y se pretende averiguar si existe correlación entre las dos tandas de pregun tas a la vista de las respuestas dadas por los estudiantes: 1 8 respondieron con acierto a las dos tandas de preguntas. 16 contestaron erróneamente a ambas, 20 respondieron con acierto a la primera y erróneamente a la segunda, y 26 respondieron erróneamente a la primera y con acierto a la segunda. El siguiente cuadro recoge los resultados: i

X

A E

'

A

E

18 26

20 16

El coeficiente correspondiente a estos datos es: 20x26-18x16 : 075 y¡( 18 + 20)(26 + 16)( 18 + 26)(20 + 16) lo que supone una correlación muy débil.

204 6.6.4. Correlación tetracórica o de atributos Surgen, a veces, situaciones, en que, siendo continuas por su naturaleza las varia bles, sus resultados se dan dicotomizados. Es éste el caso en que, tras someter a un conjunto de personas a una serie de pruebas, se les asigna la calificación final de «apto» o «no apto». Cuando deseemos estudiar la relación entre dos variables de naturaleza continua, cuyos valores se han dicotomizado, si estamos interesados en la relación existente entre las variables representadas por los datos dicotomizados, se utiliza el coeficiente de correlación tetracórica o de atributos, que designamos por rr La expresión de este coeficiente es muy compleja. Vamos a utilizar una expresión que da una aproximación bastante buena:

(22,

Los valores a, b, c y d se asignan del mismo modo que en el apartado 6.6.3. Por tratarse del coseno de un ángulo, este coeficiente varía de -1 a 1, y tiene una interpretación análoga a la del coeficiente de Pearson. El coseno se evalúa en grados sexagesimales. El coeficiente O debe ser utilizado con una cierta cautela, ya que el cambio en la escala de medida que implica «dicotomizar» las variables lleva consigo una pérdida importante en la información. Ejemplo 6. 7 Los 20 empleados de una oficina que tienen relación directa de trato con el público han sido evaluados a través de una encuesta que ha permitido clasificarlos según su trato B(bueno) o M(malo) con los clientes. Un directivo de la empresa piensa que existe una relación entre la forma en que un empleado trata a los clientes y su dimensión humana. Atendiendo a este criterio, los empleados han sido clasificados en gruesos(G) y delgados(D). según pasen o no de 55 kgs. de peso. Se trata de estudiar la correlación entre estas variables, cuyos resultados dicotomizados se recogen en la siguiente tabla: Y

X

B M

G

D

7 4

3 6

205 Solución: Se debe utilizar el coeficiente de correlación tetracórica. cuyo valor aproxi mado es: ISO rT = eos

180

3,6 ™ñ-™

Este resultado indica una correlación negativa muy débil entre el peso de los empleados y su forma de tratar al público.

6.7. Regresión y series de tiempo Cuando la variable independiente es el tiempo, los datos de la variable bidimensional nos muestran los valores de Y en diferentes instantes. Al conjunto de los datos ordenados en relación al tiempo se le denomina serie de tiempo. En este caso, la recta de regresión de Y sobre X se llama recta de tendencia, que se utiliza para hacer predicciones o pronósticos temporales. Ejemplo 6.8 La siguiente tabla nos muestra el censo de trabajadores (en millones de personas) del sector primario en Francia durante el período de 1981 a 1988. Año

I9K1

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

Trabajadores

3,1

3.0

2,9

18

Z6

16

15

14

Se trata de: 1) hallar la ecuación de la recta de tendencia; 2) dibujar la recta de tendencia; 3) predecir el censo de trabajadores del sector primario en el año 2000, suponiendo que se mantiene la tendencia. X

Y

X:

1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988

3.1 3.0 19 2.8 2.6 2,6 15 2,4

3924361 3928324 3932289 3936256 3940225 3944186 3948169 3952144

15876

21'9

31505964

Y: 9,61 9.00 8.41 7.84 6,76 6,76 6,25 5.76 6039

XY 6141.1 5946,0 5750.7 5555.2 5161.0 5163.6 4%7.5 47712 434563

206

Figura 6.6: Recta de tendencia.

- 15876 , -, 31505964 x = —— = 1984,5; sx = a20 - x = 3938240,3 = 5,25; sx = 2,29 S - 21,9 -, 60.J9 v = —— = 2, 7375; j' = a„, - y 7,4939 = 0,0548; sy = 0,23 8 8 43456,3 ÍJ/, = = 5432,04; mu = a,i-awa0i = 5432,04 - 5432,57 = -0,53 8 mu -0,53 El coeficiente de regresión es p ,, = ~~r = . -. = -0, / j, 5,25 y la recta de tendencia es, por tanto: y -2,7375 = -0,l(x- 1984,5) Previsión para el año 2000: y-2,7375 = -0,1(2000- 1984,5) = 2,7375-1,55 = 1,1875 Si la tendencia no varía, en el año 2000, habrá 1.187.500 trabajadores del sector primario en Francia.

6.8. Regresión parabólica Supongamos que, observada la nube de puntos, la curva que mejor se adapta es una parábola. El procedimiento que se utiliza para ajustar una parábola y=ax2+bx+c a la nube de puntos consiste también en determinar los coeficientes a, b y c, utilizando el método de mínimos cuadrados. Si suponemos que cada par de valores de la variable estadística (X,Y) se da una sola vez, se trata de hacer mínima la expresión:

207 1 N D = — ^(ax-+bx,+c-yi)2 Derivando con respecto a las tres variables e igualando a cero, se tiene: 3D da

2i N^t

,

dD

2i

.

T7" = T, ¿Jax, +bx, +c-y,)x¡ = 0

dD

2£

.

Aplicando las propiedades de la suma indicada, las ecuaciones anteriores quedan en la forma: N

N

OL^xi + b^xí + c¿,xa = Xx.\v, l-l

i=l

¡-l

i=l

N

N

K

N

a^,xi+b^xf + c^x¡ = ¿,x¡y¡ /=/

l-l ,V

i, l

¡=i

\

N

a¿,x¡ + b^x, + cN = X y,

Resolviendo este sistema, se obtienen los valores de a, b y c, que proporcionan la ecuación de la parábola. Ejemplo 6.9 La siguiente tabla muestra los porcentajes de niños fallecidos durante los seis meses que duró una epidemia: Mes Porcentaje

12 2'2

3'3

3

4

5

6

5'5

9'4

14'4

22' 1

Si se dibuja la nube de puntos, parece lógico ajustar una parábola. Vamos a cons truir una tabla para facilitar los cálculos:

208

X

Y

X2

X3

1 2 3 4 5 6

2'2

9'4 14'4 22' 1

1 4 9 16 25 36

21

56'9

91

3'3 5'5

X4

XY

X**7

1 8 27 64 125 216

1 16 81 256 625 12%

2'2 6'6 16'5 37'6 72'0 132'6

2'2 13'2 49'5 150'4 360'0 795'6

441

2275

2675

1370'9

Se llega al sistema: 2275a + 441b + 91c = 1370 9 441a + 91b + 21c = 267 5 91a + 21b + 6c = 56'9 Resolviéndolo, se obtiene: a=0' 789, b=- 1 ' 6 1 9 y c=3 ' 1 8 Luego la parábola ajustada es: y=0'79xM'62x+3'18

6.9. Regresión exponencial y geométrica En numerosos fenómenos del campo de las Ciencias Experimentales, se da una cierta dependencia entre las variables de tipo exponencial o potencial. Interesa, por tanto, ajustar a la nube de puntos una curva de uno de los siguientes tipos: A)

u = rp

(23)

donde p>0. (Suele tomarse p=e) Tomando logaritmos de base p, se tiene

B)

u = kt"

(24)

Tomando logaritmos, se tiene: logw = \ogk+b\ogt

\ogpu = \ogPr+bx\ogpp de donde, si llamamos de donde, si llamamos y = logw, x = logí, a = \ogk, y = log/U, a = logpr, resulta: resulta:

y = a + bx y = a + bx

(26)

(25)

con lo cual ambos problemas quedan reducidos al caso de regresión lineal, ya que las ecuaciones (25) y (26) son las ecuaciones de una recta.

209 Se procede entonces de modo análogo al caso de regresión lineal, con lo que se obtienen los valores de a y b. Conocidos a y b, se determina la ecuación (23) o (24) de la función dada. Para detectar cuándo se deben utilizar estos tipos de curvas, conviene representar la nube de puntos de las variables en un papel funcional. Así, cuando se trata de una relación exponencial (u=rpbx), la nube de puntos es lineal en papel semilogarítmico. La transformación adecuada es (X. logU). En cambio, si la relación es de tipo geométrico (u=kth), la nube de puntos es lineal en papel logarítmico. La transformación adecuada es (logT. logU). Ejemplo 6.10 La siguiente tabla muestra los valores experimentales de la presión P (expresada en kilogramos por centímetro cuadrado) de una masa de gas y los valores correspondien tes del volumen que ocupa (expresados en centímetros cúbicos): Volumen(V) (cmJ)

950

1081

1267

1552

2075

2386

Presión(P) (Kg/cm2)

45

3.7

2.8

2.1

1,4

1.1

Se trata de: 1 ) ajustar una recta de mínimos cuadrados; 2) determinar la ecuación que relaciona P con V; 3) estimar el valor de la presión correspondiente a un volumen V=1750cm'. Solución: Se puede resolver este ejercicio de dos formas: I. Haciendo un cambio de variables y tomando logaritmos, con lo que se consigue una relación lineal, cuya recta de mínimos cuadrados hay que determinar; II. Representando los datos directamente sobre papel logarítmico, y ajustando manualmente una recta a la nube de puntos. Lo vamos a resolver mediante un cambio de variables: La ley que relaciona la presión P con el volumen V de un gas es: PV" =k donde B y k son constantes. Tomando logaritmos, resulta logf+ P log V = log Ade donde se deduce logP = log^- p logV El cambio de variables consiste en hacer x = logV, y = log P, a = log k, b = -P, con lo cual, la relación (*) se transforma en

(*)

210

y = a + bx 1) Vamos a determinar la recta de mínimos cuadrados de Y sobre X; para ello, disponemos los valores necesarios en la siguiente tabla:

-

X=logV

Y=logP

X2

Y:

XY

2.9777 3.0338 3,1027 3.1908 33170 3,3776

0.6532 05682 0.4471 0,3222 0.1461 0,0413

8.8666 92039 9,6267 10.1812 11.0024 11.4081

0.4266 03228 0.1998 0,1038 0.0213 0,0017

1.9450 1.7238 1,3872 1.0280 1.4846 0,1394

18.99%

2.1781

603892

1.0762

6,7082

18,9996

60,2892 = 3,1666; s\ = a:o-x'

10,0273 = 0,0208; s, = 0,1444

6 2,1781

1.0762 0.3630; sl = a02-y =

y=

0.1317 = 0.0476; s, =0.2181

6 6,70) au ,

= 1,11804; mn = an-awam= 1,1 1804- 1,14947 = -0.03143

El coeficiente de regresión de Y sobre X será: Pv.=

mu v,

-0.03143 0,0208

-1.51

Luego la recta de regresión de Y sobre X es: y-0.3630 = -1,51(x- 3,1666) de donde resulta:

y = 5,1 44566 - 1,5 1 x

2) Determinación de la ecuación que relaciona P con V: Como a=5 ' 1 44566=logk, es k= 1 39497. y, al ser b=-B=- 1 .5 1 , es B= 1 .5 1 . Si deshacemos el cambio de variables, la ecuación que relaciona P con V será: PV'

139497

3) Estimación de la presión correspondiente al volumen V=1750 cm': Si V=1750 cm\ será log/J+ llogV = log 139497, de donde: logP = \ogl39497-l,51 \ogl750 = 5,1445-4.8969 = 0,2476 Tomando antilogaritmos, se obtiene como valor de la presión: P=l,768Kg/cm:

211 6.9. Ejercicios propuestos 6. 1 . Para los datos de los ejercicios 5. 1 y 5.2, 1 ) hallar la recta de regresión de Y sobre X; 2) calcular el coeficiente de correlación, dando una interpretación del valor obteni do. 6.2. Calcular el coeficiente de correlación de las variables X e Y, cuyos valores están recogidos en la siguiente tabla: X

3

5

7

8

12

Y

24

20

12

10

4

6.3. Hallar la recta de regresión de Y sobre X y de X sobre Y para los datos del ejercicio 5.12. Hacer una predicción de los gastos superfluos que tendrá una familia cuyos gastos totales son de 85000 ptas. 6.4. El equipo directivo de un banco ha impartido un cursillo a 10 de sus agentes encargados del servicio de promoción de nuevos clientes, evaluando al final el nivel de aprovechamiento adquirido. Transcurrido un período de tiempo, se ha puntuado la capacidad de captación de nuevos clientes. La siguiente tabla recoge las puntuacio nes de los 10 agentes en la evaluación del cursillo junto con el baremo por su capaci dad de captación posterior: Nivel cursillo (X)

7

4

19

13

25

16

22

12

10

15

Escala posterior (Y)

3

7

8

17

4

7

6

20

16

20

1) Hallar las desviaciones típicas marginales, la covarianza y el coeficiente de correlación de X e Y. 2) ¿Desarrolla el cursillo la capacidad de captación de nuevos clientes? 6.5. La siguiente tabla contiene el número de meses que lleva entrenando un jugador de golf y el número de golpes que necesita para hacer el recorrido de un determinado campo: Tiempo (X) N" de golpes (Y)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

80

77

74

71

69

68

68

65

63

1) ¿Están correlacionados el tiempo de entrenamiento y el número de golpes en que se hace el recorrido? 2) ¿De qué tipo de correlación se trata? 3) ¿Qué se puede esperar cuando el jugador lleve 12 meses de entrenamiento?

212 6.6. Si, en el ejercicio 6.4, se multiplica cada valor de X por 3 y se le suma 8, y se multiplica cada valor de Y por 4 y se le resta 1 0, hallar las desviaciones típicas margi nales, la covarianza y el coeficiente de correlación de las nuevas variables. Comparar el resultado obtenido con el que se obtuvo en el ejercicio 6.4., dando una explicación de lo ocurrido. 6.7. El coeficiente de correlación entre dos variables X e Y es r=0'56, y se conocen las medias, que son 12 y 24, respectivamente, así como las varianzas, que son sx2=3'6 y sY2=2'5. Determinar las ecuaciones de las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. 6.8. Cien personas son sometidas a dos pruebas, una física y otra de tipo psicotécnico. Veinticinco personas superaron correctamente ambas pruebas, veinte fallaron en las dos, dieciocho superaron la prueba física y fallaron en la prueba psicotécnica, y treinta y siete superaron la prueba psicotécnica y no pasaron la prueba física. Para estudiar la correlación entre ambas pruebas, ¿qué coeficiente de correlación se debe usar? Calcularlo. 6.9. Con los datos del ejercicio 5.1 1, 1) ajustar la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados y por el método gráfico; 2) hacer una estimación del número de bacterias que habrá al cabo de 12 horas. 6.10. Las calificaciones en Estadística de 12 alumnos, de los cuales 7 son varones y 5 mujeres, son:

Sexo

V

V

M

M

V

V

M

M

M

V

V

V

Calificación

7

8

6

7

9

5

3

4

6

4

3

6

Averiguar si hay correlación entre el sexo y la calificación obtenida en Estadística. 6. 1 1 . La siguiente tabla contiene la distribución de 200 familias según los ingresos totales (X) y los gastos que por término medio dedican a transporte (Y) (en miles de pesetas): X\Y

0-2

2-4

4-6

6-8

0-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110

3 2

4 4 3

5 4 6 5 2 3

4 6 8 8 5 4 4

8-10

10-12 12-14 14-16

4 8 9 10

3 8 10

s

s

6

10

6 10 8

2 6 4

213 1 ) Hallar los coeficientes de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. 2) Hallar el coeficiente de correlación. 6.12. Pensando que hay una cierta relación entre el peso y las calificaciones, se han clasificado los alumnos de una clase de 40 en gordos(G), si pesan más de 50 kgs. y delgados(D), si pesan menos, y en aplicados(A), si su calificación supera el 5, y no aplicados(N), en otro caso. Los resultados están recogidos en la siguiente tabla: G

D

A

12

10

N

11

7

¿Qué coeficiente de correlación hay que aplicar? ¿Hay alguna relación entre el peso y las calificaciones? 6.13. Se ha realizado un cultivo artificial en una incubadora a 30°C y 210 r.p.m. Partien do de un pH inicial de 2'5 y un tanto por ciento de oxígeno variable, se mide la concentración en levadura y glucosa en función del tiempo, obteniéndose los si guientes resultados: Tiempo (horas)

0

C. Ievadura(g/1)

12

3

4

5

6

8

12

OMOO'15 015 0M7 0'21 0-2I 0-26 0'26 0'35 r03

C. glucosa* g/1)

10

10

10

8'3 8'3

8'3

8'3

6'3

6'3

5'5

13

rio 5'5

1 ) Representar el crecimiento de la concentración de la levadura (Y) en función del tiempo (X). 2) Analizar el tipo de ajuste, determinando la curva de regresión de Y sobre X más adecuada. 6.14. Se pretende averiguar si los ingresos familiares influyen en el éxito o fracaso escolar de un niño. Para ello, se escogen 12 alumnos al azar, cuyos ingresos familiares en miles de pesetas por cada miembro de la unidad familiar junto con el éxito(E) o fracaso(F) al final de curso, son recogidos en la siguiente tabla: Ingresos

3

10

9

3

8

9

3

7

7

4

3

2

Calificación

F

E

F

F

E

E

F

F

E

F

F

F

¿De qué tipo de correlación se trata? Hallar el coeficiente de correlación que co rresponda, y analizar la posible dependencia.

214 6. 15. Para los datos del ejercicio 6. 1 3, representar la curva de regresión de crecimiento de la concentración de glucosa (Z), y estudiar el tipo de ajuste que conviene, hallando la curva de regresión de Z sobre X. 6. 1 6. Para los datos del ejercicio 6. 1 1 , 1 ) determinar la recta de regresión de Y sobre X; 2) ¿cuánto se espera que dedique a transporte una familia que tiene unos ingresos totales de 150000 ptas. al mes? 6.17. El mismo tipo de cultivo artificial y con los mismos datos iniciales del ejercicio 6.13, se llevó a cabo en un fermentador, obteniéndose los siguientes resultados para la concentración de glucosa: Tiempo (horas)

0

1

2

3

4

5

6

7

C. glucosa(g/I)

4

2"5

3'1

5.2

8'6

14'2

21'0

29'4

1) Representar el crecimiento de la concentración de glucosa (Z) en función del tiempo (X). 2) Estudiar el tipo de ajuste que conviene, y hallar la curva de regresión de Z sobre

X 6.18. Diez alumnos del Curso de Orientación Universitaria han sido evaluados por sus respectivos profesores de Matemáticas y de Física, quienes han facilitado el listado de los alumnos ordenados atendiendo a la calificación, pero sin especificarla, siendo: Nombres

Carlos

Luis

Juan

José

Mario Pedro Antonio Julián Alberto Felipe

Matemáticas

fi

1

3

7

8

5

2

10

4

9

Física

8

7

6

4

5

9

10

1

3

2

¿Qué coeficiente se debe utilizar para estudiar la relación entre las calificaciones de los dos profesores? Calcularlo.

215

Apéndice al capítulo 6: Demostración de las propiedades del coeficiente de correlación de Pearson I. Llamemos m'n a la covarianza de X' e Y', y a' respectivamente. Entonces:

y a'o, a las medias de X' e Y',

m'u = X(í)x, + £-í)'/„)(cy. + í/-í)'o,)/* = YXaXi + b-ax-bt,cy, + d-cy-d)f o = N

N

= YÁflx,-ax\cyrcy)f H = acL{x,-'x\yi.-y)fu = acmu /=/

i./

Ahora bien, por las propiedades de la desviación típica, es s.V= dSx y Sy= CSy

luego r =

m'n acmu mu , = = , c. q. d. Sx-Sr asx cs, sxsr

II. Para demostrar esta propiedad, partimos del segundo miembro de la expresión (13), y desarrollamos por separado numerador y denominador: Desarrollando el numerador multiplicado por N, se obtiene: ,v

N

Ns„ = Nmn= ^(x,-x)(yry) = ^/x,y, - x,y -x y,+ xy) =

N

\

N

= X*' y - y 5**' - x¿,y, + Nxy = i.l

;=/

Teniendo en cuenta que x = —— ey = ~

( N

, resulta

\

1>' I*

l

\

\ ,,±yl —+ N

x, y, N

N (N

( N

\

NN N

(N

\

I* X.v

lx,

)f

X*

lx, N

lx,y,-2^

V"1

N

)

N

N

Desarrollando ahora el denominador de (13) multiplicado por N, y, teniendo en cuenta las definiciones de s y de s , se tiene

216

(N

N Y ¿gXi

Ns.sy=N

Iv;- v=/A7 /

,v

N

I* Lrf.

V

S.v,

Y

S.v,

i=l

N

(=/

A7

Por lo tanto, será

Nm,i N sKs,

/ a7 Multiplicando por

,— , queda finalmente y[N2 N

í N

>

I.v, ,c.q.d. N

(N

Y

N

(N

Y

M

\M

)

SEGUNDA PARTE

NOCIONES DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

CAPITULO 7 PROBABILIDAD Y VARIABLE ALEATORIA

7. 1 . Experimentos aleatorios Llamamos experimento a cualquier proceso que genera un conjunto de datos. En numerosas ocasiones, los resultados de un experimento dependen del azar, no siendo posible predecir el resultado que va a tener lugar antes de realizarse. Un ejemplo típico de experimento dependiente del azar es el lanzamiento de un dado regular sobre el tablero de la mesa; el número que aparecerá en la cara superior del dado no puede predecirse. Precisando algo más. un experimento se dice aleatorio cuando se puede repetir en las mismas condiciones, sus posibles resultados son conocidos previamente, y el resultado de cada prueba depende del azar. En un experimento aleatorio, no suele conocerse la población directamente, sino que se estudian sus propiedades a partir de una muestra representativa de la misma. Un problema que se presenta frecuentemente en la investigación científica es el de tener que decidir a partir de los datos aportados por un experimento sobre la validez o no de un planteamiento previamente establecido. Este podría ser el caso del peda gogo que pretende averiguar si un nuevo método de estudio mejora el rendimiento de los alumnos a partir de una experiencia con un grupo. Para ello, el investigador necesita establecer un postulado (hipótesis nula). Ante este postulado inicial, plantea otro alternativo (hipótesis alternativa) y realiza una prueba o experiencia con una muestra representativa de la población. A la vista del resultado de la prueba, el investigador tiene que decidir si acepta la hipótesis nula o, por el contrario, la rechaza, aceptando en su lugar la hipótesis alter nativa. La decisión está basada en un conjunto de cálculos que le proporcionan la probabi lidad de obtener el resultado si se cumple la hipótesis nula. Cuando esta probabilidad, de verificarse la hipótesis nula, es «suficientemente pequeña», se rechaza la hipótesis nula. El concepto de probabilidad es la base que permite adoptar la decisión adecuada.

220

7.2. Operaciones con sucesos Vamos a llamar espacio muestral, en principio, al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, y lo vamos a representar por E. Más adelante precisaremos este concepto. Cuando lanzamos un dado, el espacio muestral está formado por los seis resulta dos posibles E={1,2,3,4,5,6} y, cuando el químico hace sus mediciones, el espacio muestral está formado por todas las medidas posibles. Llamaremos suceso a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral. Así, hablaremos del suceso «obtener par en el lanzamiento de un dado», que estará forma do por P={2,4,6} Aquellos sucesos que no se pueden descomponer en otros sucesos más simples serán llamados sucesos elementales. El suceso «obtener 2» es un suceso elemental del experimento que consiste en «lanzar el dado». Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Los sucesos aso ciados a este experimento se comportan del mismo modo que los conjuntos, admitien do las operaciones de unión e intersección, con respecto de las cuales los sucesos van a tener también una estructura de álgebra de Boole. Intersección de sucesos: La intersección de dos sucesos A y B, que represen taremos por Ar\B' es el suceso que tiene lugar si se verifican a la vez A y B. En el experimento del lanzamiento de un dado sobre el tablero de la mesa, si consideramos el suceso A={ obtener número par} y el suceso B={ obtener un número mayor que 3 } , el suceso intersección será: AnB = {4,6}

Si hay dos sucesos de un mismo experimento que no pueden tener lugar simul táneamente, como es el caso de los sucesos P={ obtener número par} e I={ obtener núme ro impar} cuando se lanza el dado, se dice que los sucesos PeI son incompatibles. La intersección de dos sucesos incompatibles, en principio, carece de sentido. Por ello, se define el suceso imposible como aquel suceso que no puede tener lugar nunca; de este tipo es el suceso «obtener un número mayor que 6». Representaremos al suceso imposible por el símbolo 0, y consideraremos que forma parte de todo experimento. De esta forma, la intersección de dos sucesos in compatibles es el suceso imposible.

221

Unión de sucesos: La unión de dos sucesos A y B, que vamos a representar por AuB, es el suceso que tiene lugar siempre que se verifica A, B o ambos a la vez. En el lanzamiento de un dado, si consideramos los sucesos A={ obtener número par} y B={obtener un múltiplo de 3}. el suceso unión de A y B es: AuB = {2.3.4.6} Suceso contrario: Se llama suceso contrario del suceso A. y se representa por A', a aquel suceso que tiene lugar siempre que no se verifica A. El suceso contrario del suceso A={ obtener número par} es A'={ obtener número impar}. La unión de un suceso con su suceso contrario es un suceso que siempre tiene lugar. A tal suceso le llamamos suceso seguro. Relación de contenido: Se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, y se representa por ^ c B. cuando siempre que tiene lugar A se verifica B. Esto sucede cuando todo elemento de A está en B. Cualquier suceso A está contenido en el suceso seguro: AcE.VA y también se cumple que el suceso imposible está contenido en todo suceso: 0cA,V¿ Igualdad de sucesos: Los sucesos A y B son iguales, y lo representamos por A=B. si A
7.2.1. Propiedades de la unión e intersección de sucesos

1. 2. 3. 4.

Las operaciones de unión e intersección de sucesos Son idempotentes: AnA= A y A u A = A. yA Son asociativas: An(finC) = (AnB)nC vAu(BkjC) = Uufl)uC, VA.B.C Son conmutativas: AnB = BnAyAuB= Bu A. V/4.fi Poseen elemento neutro: El elemento neutro para la intersección es E: Ar\E = A, VA El elemento neutro para la unión es 0: /4u0 = A, VA

222 5. Cada operación es distributiva respecto de la otra:

An(BuC) = (AnB)u(AnC) y Au(BnC) = (AuB)n(AuC), \/A,B,C 6. Se cumplen las leyes de Morgan: (AnB) = A'uB'y (AuB) =A'nB',VA,B Algunas de las demostraciones de estas propiedades son inmediatas. Como ejem plo, vamos a demostrar una de ellas: la distributiva de la unión con respecto de la intersección: Au(finC) = (AuB)n(AuC) El proceso de demostración es el que se utiliza para demostrar una igualdad entre conjuntos, que consiste en demostrar la doble inclusión. Veamos, en primer lugar que

jMfinC)c(AuB)nUuC) Sea x un suceso elemental cualquiera perteneciente al primer miembro: xe Au(BnC) Entonces, por la definición de la unión de sucesos, se tiene: xe Au(BnC) => xe A ó xe BnC Si x e A => x e AuBv.r e AuC, y, por tanto xe (Aufi)n(AuC) Si xe BnC => xe Byxe C, luego xe AuByxe AuC, y, por tanto xe (AuB)n(AuC) Demostremos ahora la relación de contenido recíproca: (Aufi)n(AuC)cAu(finC) Sea x un elemento cualquiera perteneciente al primer miembro: xe (AuS)n(AuC) Por la definición de la intersección, se tiene: xe AuByxe AuC Entonces, puede suceder que xe A, en cuyo caso jce Au(SnC), y estaría de mostrado, o bien xe A, en cuyo caso, como xe AuByxe AuC, se verifica que xe Byxe C, y, por tanto, x e Au(BnC), lo que completa la demostración.

223 7.2.2. Otras operaciones y relaciones entre sucesos Diferencia de sucesos: La diferencia de dos sucesos A y B, que vamos a representar por A-B, es el suceso que tiene lugar cuando se verifica A y no tiene lugar B. La diferencia de sucesos A-B se puede expresar en la forma: A-B = AnB' Utilizando un diagrama de Venn para representarlos gráficamente, en la figura 7.1, observamos cómo la diferencia A-B viene dada por los sucesos elementales de A que no están en B (zona rayada). Cuando lanzamos el dado, si A={2, 4, 6} y B={ 1, 2, 4, 5}, es A-B={6}. Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de los sucesos A y B, que repre sentamos por AAB, se define como el suceso que tiene lugar cuando se veri fica uno sólo de los dos A, B.

Figura 7.1: Diferencia de sucesos (A-B).

Figura 7.2: Diferencia simétrica.

La diferencia simétrica se puede expresar por la igualdad: AAB = (A-B)u(B-A)

Sistema completo de sucesos: Los sucesos A ,A,,...,A forman un sistema completo de sucesos si verifican las dos siguientes condiciones: A,r\Ai = ®, si i * j

UA,=E

224 7.2.3. a-álgebra de sucesos A una colección de sucesos le llamamos clase o familia de sucesos. Dado un suceso C, la clase de todos los sucesos contenidos en C es llamada clase de las partes de C, y se representa por P(C). Sea U una clase de sucesos. Se dice que U es cerrada para una operación * si se verifica la siguiente condición: V A, e U => A,* A2* A¡*...e U Se dice que U es cerrada para contrarios si VA e U => A' e V a-álgebra: La clase U es una a-álgebra si verifica las siguientes condiciones: 1. U es cerrada para la unión numerable. 2. U es cerrada para contrarios. 3. U contiene al suceso imposible. El álgebra de Boole es un caso particular de a-álgebra, que sólo exige que se cumpla el primer axioma para la unión finita. La clase de las partes de C es una a-álgebra. Con estas definiciones, es posible precisar algunos de los conceptos que hemos introducido de una manera intuitiva. Espacio muestral: Dado un experimento S, el espacio muestral asociado es un par (E.U). donde E es el conjunto de todos los resultados posibles asociados al experimento, y U es una a-álgebra de sucesos de E. A los elementos de U se les llama sucesos, y a los elementos de E se les llama puntos muestrales. Si un suceso está formado por un único punto muestral, se le llama suceso elemental. Cuando hablamos de E como espacio muestral, estamos dando por supuesto que E lleva asociada una clase de sucesos, que es una a-álgebra. Los espacios muestrales pueden ser de tipo discreto o continuo, según el número de puntos muestrales que contengan. Un espacio muestral se dice que es de tipo discreto si contiene, a lo sumo, una infinidad numerable de puntos muestrales. La clase asociada es la clase de las partes P(E). Ejemplo 7.1 La medida del número de piezas defectuosas que produce una máquina es un ejemplo de espacio muestral discreto, que está formado por el par (E,U), siendo

225 E={0.1,2,3,4,...}yU=P(E) Un espacio muestral es de tipo continuo si contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales. Ejemplo 7.2 La selección al azar de un punto del segmento [0,1] es un ejemplo de espacio muestral continuo, que está formado por el par (E,U), donde E = {xeyi\0
Un experimento compuesto consis te en sacar una bola de una urna que contiene tres bolas: azul(A), blanca (B) y roja(R). Si la bola extraída es azul, se introduce de nuevo en la urna y se vuel ve a sacar una bola, mientras que, si no es azul, se lanza una moneda al aire, ob servando si sale cara(C) o cruz(X).

/ / *-

~-~

\

A

AA

B

AB

R

AB

^^ C

BC

—— x

Bx

- c

RC

x

Rx

'

B

\

^^

C

R

Figura 7.3: Diagrama de árbol con los puntos muestrales del ejemplo 7.4.

226 En la figura 7.3, se observa cómo las distintas trayectorias del diagrama de árbol proporcionan los diferentes puntos muestrales.

7.3. Frecuencia de un suceso El concepto de frecuencia de un suceso nos va a conducir a la idea de probabili dad, que nos permitirá establecer una medida de la incertidumbre de que ocurra un suceso asociado a un determinado experimento aleatorio. Sea (E,U) el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, y sea A un suceso de dicho espacio. Se llama frecuencia absoluta del suceso A, y la representamos por nA, al número de veces que tiene lugar A en una serie de n pruebas o repeticiones del experimento en las mismas condiciones. Se llama frecuencia relativa del suceso A, que representamos por f(A), al cociente de dividir la frecuencia absoluta del suceso A por el número de pruebas realizadas: f(A) = ^ n Propiedades de las frecuencias: 1. Cualquiera que sea el suceso A, f(A)>0 y f(A)<1. En efecto, la frecuencia relativa es un cociente de dos números no negativos, donde el numerador es siempre menor o igual que el denominador. 2.fl0) = O Esta propiedad es evidente, puesto que el suceso imposible nunca puede tener lugar. 3.f(E)=1. Resulta también evidente, ya que el suceso seguro siempre tiene lugar, por lo que la frecuencia absoluta coincidirá con el número de pruebas. 4. Si A y B son dos sucesos incompatibles, f(AuB) = f(A) + f(B) En efecto, por ser A y B incompatibles, no pueden darse a la vez, por lo que el número de veces que se da la unión es igual a la suma de las veces que tiene lugar A más las veces que se da B, luego f(AuB) =

= n

ii

= — + — = f(A) + f(B) n n

Estas propiedades que se dan entre las frecuencias de los sucesos aleatorios se generalizan, dando lugar a la definición axiomática de la probabilidad, establecida por Kolmogorov en 1933, cuyos axiomas son el fundamento del modelo matemático gene ralmente aceptado para estudiar las probabilidades.

227

7.4. Definición de Probabilidad Consideremos un experimento aleatorio, al que tenemos asociado un espacio muestral (E,U), siendo U una a-álgebra de sucesos de E. Se define la probabilidad como una aplicación P de U en el conjunto de los números reales P:U->3i que verifica los tres siguientes axiomas: I. P(A)>0,VAeU

(1)

II. Si Ai,A2,...e U, siendo los A incompatibles dos a dos, se verifica P\yiA;\=XP(Ai)

m.P(E)=1.

(2)

0)

En esta definición intervienen tres elementos fundamentales: el suceso seguro E, la a-álgebra U de sucesos de E y la aplicación P. A la terna (E,U,P) formada por estos tres elementos se le denomina espacio probabilístico o espacio de probabilidades. 7.4.1. Propiedades de la probabilidad Como consecuencia de los axiomas que acabamos de definir, se deducen las pro piedades que van a permitir calcular la probabilidad de un suceso cualquiera. 1 . Si A' es el suceso contrario de A, esP(A') = 1 - P(A), VA e V En efecto, por el tercer axioma, es

(4)

P(A\jA') = P(E) = 1 y, por el segundo axioma, al ser A y A' incompatibles, P(AuA') = P(A) + P(A') luego P(A)+P(A')=1, de donde resulta P(A')=1-P(A). 2. P(0) = 0 En efecto, 0 = £", y, por la propiedad 2, esP(0) = 1 - P(E) = 1-1 = 0

(5)

3.SiA,BeUyAczB^>P(A)0 por el primer axioma, debe ser P(A)
228

5. Dados dos sucesos cualesquiera A y B de U, se verifica P(AuB) = P(A) + P(B)-P(AnB)

(8)

En efecto, el suceso AuB se puede poner como la unión de tres sucesos incom patibles: Aufi = (A- B)u(B- A)u(AnB) de modo que (*)

P(AuB) = P(A - B) + P(B-A) + P(AnB) También los sucesos A y B se pueden poner como unión de dos sucesos incom patibles: A = (A - B)u(A n B) y B = (B - A)u(A n B) según puede apreciarse en la figura 7.4. Entonces P(A) = P(A - B) + P(A nB)y P(B) = P(B-A)+ P(An B) Sumando miembro a miembro estas dos últimas igualdades, resulta: P(A) + P(B) = P(A-B) + P(AnB) + P(B-A) + P(AnB) Figura 7.4: Unión de dos sucesos.

Restando P{AnB) en los dos miembros, queda: (**)

P(A) + P(B)-P(AnB) = P(A-B) + P(B- A) + P(AnB)

Si comparamos (*) y (**), tenemos P(AuB) = P(A) + P(B)-P(AnB), c.q.d. 6. P(AuB) < P(A) + P(B), \/A,BeU Esta propiedad es una consecuencia inmediata de la anterior.

(9)

7. Si el espacio muestral está formado por un número finito de sucesos elementa les, E={a,,a,,.. .,a },será P{aWP{aJ+...+P{a}=1.

(10)

Los sucesos elementales son incompatibles dos a dos, luego P(E) = P{{a,}u{a2}v...u{a„}) = P{a,} + P{a2}+...+P{aJ = 1 8. Sea E={a.,a,,...,a }, donde son conocidas P{aJ, P{a2},...,P{an}. Entonces, si un suceso A está formado por k sucesos elementales, A={a,,a,,...,ak}, se verifica: k

P(A) = ^P(a,)

(11)

229

En efecto, al ser los sucesos elementales incompatibles dos a dos, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. 7.4.2. Asignación de probabilidades El tipo de sucesos más frecuente en la práctica diaria nos obliga a hacer una restricción, que nos va a conducir a la definición clásica de probabilidad o regla de Laplace. Sea un espacio muestral finito, donde E={ara: an} y la s-álgebra de sucesos es la clase de las partes de E, U=P(E). Si es admisible el axioma adicional de que «todos los sucesos elementales son equiprobables», es decir P{a,}=P{a:}=...=P{an} será:

P(E)=P{a¡}+P{a,}+...+P{a„}=nP{a}=l

y, por tanto P{a}=l/n, para i=l,2 n. Entonces, si un suceso A de P(E) está formado por k sucesos elementales, será: • / ¿ 7r¡ « « donde k es el número de veces que se da el suceso A (casos favorables), en tanto que n es el número de pruebas realizadas (casos posibles). Podemos expresar la relación anterior en la forma: k n° . de casos favorables P(A) = - = n n . de casos posibles

(12)

Este resultado se conoce como «regla de Laplace», y nos dice que «la probabili dad de un suceso es el cociente de dividir el número de casos favorables a dicho suceso entre el número de casos posibles», siempre que los sucesos elementales se puedan considerar todos con la misma probabilidad. La regla de Laplace permite asignar probabilidades en una gran parte de las situa ciones que se presentan: suele tratarse de espacios muestrales finitos, en que los sucesos elementales son equiprobables. Ejemplo 7.5 Consideremos el experimento consistente en lanzar una moneda trucada de tal forma que la probabilidad de cara es el triple que la de cruz. En este caso, no es aplicable la regla de Laplace, puesto que los sucesos elemen tales no tienen la misma probabilidad. Ahora bien, si denotamos por C(cara) y X(cruz) a los sucesos elementales, en virtud de la propiedad 7 de la probabilidad, se tiene: P(C)+P(X)=1

230 Como P(C)=3P(X), será 3P(X)+P(X)= 1 , y, por tanto 4P(X)= 1 , de donde P(X)=l/4yP(C)=3/4 Ejemplo 7.6 Se selecciona una carta al azar de una baraja española. Describir el espacio probabilístico, y hallar la probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey. 1) El espacio muestral está formado por el par (E,U), donde E es el conjunto de las cuarenta cartas que tiene la baraja, y U=P(E). Todas las cartas de la baraja tienen la misma probabilidad de ser extraídas, luego podemos hacer uso de la regla de Laplace: 1/40 es la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales, lo que determina la función de probabilidad, y, por consiguiente, el espacio probabilístico (E,U,P). 2) La probabilidad de obtener rey es P(rey)=4/40=1/10, ya que son 40 los casos posibles y 4 los favorables (el n° de reyes de la baraja). Determinar el número de puntos muestrales en un espacio probabilístico, para aplicar la regla de Laplace, no siempre resulta fácil. Dependerá, en cada caso, de la forma en que estén agrupados los puntos muestrales. La teoría combinatoria1 se ocu pa del estudio de los distintos tipos de agrupaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto.

7.5. Ejercicios resueltos Ejercicio 7.5.1 Consideremos el experimento consistente en lanzar tres monedas al aire. 1) Describir el espacio probabilístico. 2) Hallar la probabilidad de obtener: i) tres cruces; ii) una cruz; iii) al menos una cruz; iv) obtener más cruces que caras. Solución: 1) Si designamos por C «cara» y por X «cruz», el suceso seguro E estará formado por los 8 puntos muestrales: L^{CCCCCXCXC^CCCXX^CX^ÍXC^XX} Se trata de un espacio de tipo finito, por lo que la clase asociada a E es la clase de las partes P(E). 1

El apéndice A contiene los conceptos fundamentales sobre combinatoria.

231 La función de probabilidad estará determinada si se conocen las probabilidades de los sucesos elementales. Se puede admitir que todos los sucesos elementales son equiprobables, y, en consecuencia, aplicar la regla de Laplace. El número de sucesos elementales es igual al de variaciones con repetición de 2 elementos tomados de 3 en 3: VR23=23=8 luego la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales es P(a)=l/8 2) Probabilidad de los sucesos A=«obtener tres cruces», B=«obtener una cruz», C=«obtener al menos una cruz» y D=«obtener más cruces que caras»: El número de casos posibles a los cuatro sucesos es 8. Veamos los casos favora bles a cada uno de los sucesos considerados: i) hay 1 caso favorable al suceso A: XXX; luego P(A)=l/8 ii) hay 3 casos favorables al suceso B: CCX, CXC y XCC; por lo tanto: P(B)=3/8 iii) La probabilidad del suceso C, como sucede en general siempre que figura la condición «al menos», se halla mejor pasando al suceso contrario, y utilizando la primera de las propiedades de la probabilidad. Así, el suceso contrario de C es C'=«no obtener ninguna cruz», para el que sólo hay un caso favorable: CCC; luego: P(C)=l-P(C')=l-1/8=7/8 iv) El suceso D se da cuando hay dos o más cruces, por lo que son 4 los casos favorables: CXX, XCX, XXC y XXX; la probabilidad es: P(D)=4/8=l/2 Ejercicio 7.5.2 En una determinada ciudad se publican dos periódicos, P y Q. Se estima que, de la población adulta, el 54 por ciento lee P, el 30 por ciento lee Q y el 9 por ciento lee P y Q. Hallar la probabilidad de que un ciudadano adulto cualquiera, elegido al azar: 1) lea alguno de los periódicos; 2) no lea ninguno; 3) lea sólo uno de los dos. Solución: Designemos por A al suceso «ser lector de P» y por B al suceso «ser lector de Q». 1) El suceso «leer alguno de los periódicos» es la unión de los sucesos A y B, que, al no ser incompatibles, habrá que utilizar la expresión (8) para hallar su probabi lidad:

232

P(AuB) = P(A) + P(B)-P(AnB) = 0'54 + 0'30-0'09 = 0'75 2) «No leer ningún periódico» es el suceso A'r&', 1uego, utilizando una de las leyes de Morgan y la primera propiedad de la probabilidad, resulta: P(A'r\B') = P[(AuB)'] = l-P(AuB) = Figura 7.5: Porcentaje de = l-0'75 = 0'25 3) El suceso «leer sólo uno de los periódicos» es la diferencia simétrica de los sucesos A y B. Entonces:

lectores.

P(AAB) = P[{A- B)u(B- A)] = P(A- B) + P(B - A) Ahora bien, y

P(A - B) = P(A ) - P(A r\B) = 0'54 - 0'09 = 0'45 P(B-A) = P(B)-P(AnB) = 0'30-0'09 = 0'21

luego

P(AAB) = 0'45 + 0'21 = 0'66

7.6. Probabilidad condicionada Sea (E,U,P) un espacio probabilístico y A un suceso de U tal que P(A)>0. Entonces, para todo suceso B de U se define la «probabilidad del suceso B con dicionado por A», y se representa por P(B/A), como P(B/A)

P(AnB) P(A)

(13)

Proposición 7.1: Dado un espacio probabilístico (E,U,P), para cada suceso A de U tal que P(A)>0, (E,U,P(./A)) es un espacio probabilístico. Demostración: 1. P(B/A)>0, cualquiera que sea B perteneciente a U. En efecto, P(Ar\B) >0 P(B/A): P(A) 2. Si B ,B,,... son sucesos de U, incompatibles dos a dos, entonces P(B,^jB2v... / A)= P(B,/ A)+ P(B,/ A)+.

233 En efecto: P(B,uB^../A) = P-

— : P(A)

-=—

— P(A)

.-^-J-=

Como Br B„ ... son incompatibles dos a dos, también lo son los sucesos AnBi,AnB.. ... y, Por tanto, el último miembro de la última igualdad anterior es P(AnB,)+ P(AnB:)+... P(A)

Enefecto,

P(AnB,) P(AnB:) P(A) + P(A)

W^-^j- = — = '

Cuando se condiciona la probabilidad de que ocurra un suceso B a la realización de otro suceso dado A, en realidad se está restringiendo el espacio muestral original (E,U) a un espacio muestral (A,UA), donde UA es la a-álgebra que constituyen los sucesos de la forma BnA. P(./A) es una función de probabilidad sobre UA. Cuando evaluamos la probabilidad condicionada, podemos hacerlo utilizando la definición o razonando desde el espacio restringido, en cuyo caso, se simplifican notablemente los razonamientos. Propiedades: 1. P(AnB)= P(A)P(B/A), P(A)>0

(14)

Esta propiedad se obtiene de despejar P(A) en (13). 2. P(Ar\Br\C) = P(A)P(B/ A)P(C / Ar>B)

(15)

En efecto, P(AnBnC) = P(AnB)P(C/ AnB) = P(A)P(B/ A)P(C / AnB) Ejemplo 7.7 Una urna contiene 4 bolas blancas y dos rojas. Se extraen dos bolas consecutiva mente sin devolución. Si la primera bola extraída resultó blanca, ¿cuál es la probabili dad de que la segunda bola también sea blanca? Solución: Llamemos A al suceso «la primera bola extraída es blanca» y B al suce so «la segunda bola extraída es blanca». Nos piden la probabilidad de B condicionado por A. Si aplicamos la definición, resulta: P(A)=4/6

234 El suceso Ar\B es el suceso «obtener dos bolas blancas». El número de casos posibles es el de las combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2, mientras que los casos favorables son las combinaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2; por lo tanto Cl 2 P(Ar\B) = Luego la probabilidad pedida es P(B/A) =

P(AnB) cWcl P(A) ~ 4/6

2/5 2/3

o • •

o o

o o

• •

o

o o

Figura 7.6: Espacio muestra! original y restringido.

A este resultado podríamos llegar, de modo más sencillo, si trabajáramos en el espacio muestral restringido, que tiene 3 bolas blancas y 2 rojas. La probabilidad de dos blancas en este espacio es 3/5, ya que son 5 los casos posibles y 3 los favora bles.

7.6.1. Sucesos dependientes e independientes En el ejemplo 7.7, la probabilidad de que tenga lugar B no es la misma que la probabilidad de ese mismo suceso si se le condiciona a que se haya verificado A. Se dan también ocasiones en que la condición de que haya tenido lugar un suceso A no modifica la probabilidad de que se verifique otro suceso B. Cuando P(B/A) es distinta de P(B), se dice que B depende de A. Independencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B de un espacio probabilístico (E,U,P), se dice que el suceso B es independiente de A si P(B/A) = P(B)

235

Propiedades 1 . Si B es independiente de A, P(AnB) = P(A)P(B) En efecto, P(AnB) = P(A)P(B/A) = P(A)P(B) al ser B independiente de A.

(16)

2. Si B es independiente de A, también A es independiente de B. P(AnB) En efecto, P(A /B) = — -, con P(B)>0. (*) Pero, al ser B independiente de A, es P(Ar\B) = P(A)P(B). Sustituyendo en (*), se obtiene: P(AnB) P(A)P(B) P(A/B) = — = = P(A) P(B) P(B) Este resultado permite decir que A y B son independientes. 3. Si A y B son independientes, son también independientes A y B, A y B', A y B'. En efecto, por ser A y B independientes, se verifica P(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B) Entonces: i) P(A/B)=1-P(A/B)=1-P(A)=P(A), luego A' y B son independientes. ii) P(B7A)=1-P(B/A)=1-P(B)=P(B'), luego B'yA son independientes. ffi)

P(A'/B') - P(A'nB'J P(B')

p[(A^B>'J ~ 1-ñAuB) P(B') P(B')

l-P(A)-P(B) + P(AnB) P(B')

1-P(A)-P(B) + P(A)P(B) P(B')

(1-P(A))(1-P(B))

P(A')P(B')

P(B')

P(B')

= P(A')

luego A'yB' son independientes. Sucesos independientes dos a dos: Los sucesos de una familia S se dice que son independientes dos a dos cuando VA, Be S=> A y B son independientes. Para la generalización del concepto de independencia a más de dos sucesos, se establece la siguiente definición:

236

Sucesos mutuamente independientes: Los sucesos de una familia S se dice que son mutuamente independientes si para toda subfamilia finita { A ,A ....,AiJ de sucesos de S, se verifica que P(A,nA2r\.nAt) = P( A,)P( A2)...P( Ak) Es evidente que, si los sucesos de una familia son mutuamente independientes, son independientes dos a dos. Ejemplo 7.8 En una escuela universitaria, el 55 por ciento de los estudiantes son chicos y el resto chicas. Se sabe que el 40 por ciento de los estudiantes de la escuela son fuma dores, y que el 25 por ciento de los fumadores son chicas. Se selecciona una chica al azar. 1) ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumadora? 2) ¿Es independiente el suceso «ser fumador» del suceso «ser chica»? Solución: Designemos por A al suceso «ser chica» y por B al suceso «ser fuma dor». 1) Con los datos del enunciado, tenemos: P(A) = 0'45, P(B) = O1 40, P(Ar\B) = 0' 10 P(Ar\B) a10 ,C22 P(A) 0'45 2) Como P(B/A)=0'22 y P(B)=0'4, el suceso B depende de A, y los sucesos «ser fumador» y «ser chica» no son independientes.

luego

P(B/A)-

7.7. Teoremas de la probabilidad total y de Bayes Sea (E,U,P) un espacio probabilístico, { A,,A2,...,An} un sistema completo de suce sos, donde son conocidas las probabilidades P(A^, y sea B un suceso tal que también son conocidas las probabilidades P(B/A). Con estas hipótesis, se verifica: P(B) = J,P(A,)P(B/A,)

(17)

P(A)P(B/A.)

(18)

P(A,/B), ^P(AJP(B/A.)

237 La expresión (17) se conoce como teorema de la probabilidad total, y la expre sión ( 18) es el teorema de Bayes. Las probabilidades P(A ) son llamadas «probabilidades a priori» o «causas», las probabilidades P(A/B) «probabilidades a posteriori», y las probabilidades P(B/A) «verosimilitudes». Demostración: I. P(B)= P(BnE) = p\Bn(KjA,)\=P[(Br\A,)v(BnA:KJ...]= como los sucesos A, constituyen un sistema completo, son incompatibles dos a dos, y, por tanto, los sucesos BnA, también son incompatibles dos a dos; luego, en virtud del segundo axioma de la probabilidad, la expresión anterior es igual a = P(Br\A,)+ P(Bn A: )+...= 5,P(BnA,)= ¿P( A,)P(B / A,) ,-i

i-i

la última igualdad se deduce de la definición de probabilidad condicionada. II. Por la definición de probabilidad condicionada, se tiene P(A,r\B) = P(A,)P(B / A,) = P(B)P(A, / B) P(A,/B) = P(AJP(B/AJ P(B)

luego

P(A,)P(B/AJ ^

donde la última igualdad surge de aplicar el teorema de la probabilidad total. Ejemplo 7.9 En una ciudad hay tantos hombres como mujeres. El 30 por ciento de los hombres son universitarios y el 20 por ciento de las mujeres también lo son. Se elige una persona al azar que resulta ser universitaria. Hallar la probabilidad de que se trate de una mujer. Solución: Designemos por A, al suceso «ser hombre», por A, al suceso «ser mujer» y por B al suceso «ser universitario». Por los datos del enunciado, se tiene: P(A,)=l/2. P(A,)=l/2, P(B/A,)^^ y P(B/A,)=0'2 Entonces P( A./ B)=

P(A^)p(B/A')

as o?

'——— — P( A,)P(B / A,)+ P(A: )P(B / A: )

0'5 . 0'3 + 05 . 0'2

= 0'4

238 7.8. Variable estadística y variable aleatoria Cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio, es interesante la construcción de ciertas funciones numéricas de sus resultados. Si lanzamos dos monedas al aire, los posibles resultados están formados por el conjunto de los puntos muestrales E={cc,c+,+c,++} Sin embargo, nos interesa conocer, no el resultado en sí de cada prueba, sino el número de caras que resultan. Así obtenemos la función numérica que a cada suceso elemental le asigna un número: X(cc)=2, X(c+)=1, X(+c)=1, X(++)=0 Si realizamos un cierto número de pruebas, el conjunto de los valores numéricos asignados a cada uno de los resultados del experimento, acompañados de sus fre cuencias, es lo que constituye una distribución estadística de frecuencias, a cuyo estudio hemos dedicado los seis primeros capítulos. Si suponemos una infinidad de pruebas del experimento, la infinidad de resultados posibles, si éstos son numéricos, o una función numérica de los mismos, define una variable asociada al experimento, que llamaremos variable aleatoria. Además, esta variable tomará esos posibles valores con unas probabilidades, que corresponden a los valores límites a que tienden las frecuencias cuando el número de pruebas es muy grande. De esta forma, mediante un proceso de abstracción, que hay que precisar, pasa mos de los conceptos de variable estadística y frecuencia a los conceptos de variable aleatoria y probabilidad. El concepto de variable aleatoria permite definir determinadas funciones reales de variable real, que conducen a modelos matemáticos que se adaptan a los diversos fenómenos aleatorios. 7.9. Concepto de variable aleatoria Una variable aleatoria es una aplicación que asocia a cada suceso elemental un número real. Conviene definir este concepto con precisión, puesto que es la idea fundamental que permite dar un tratamiento riguroso a los fenómenos aleatorios. Variable aleatoria: Sea (E.U.P) un espacio probabilístico asociado a un expe rimento aleatorio. Una variable aleatoria es una aplicación X definida sobre E y que toma valores en el conjunto de los números reales X:E->3Í\a -> X(a)e "R si se verifica que v* e % el conjunto {a e E\ X(a) < x) e U

239 Ejemplo 7.10 Consideremos el experimento consistente en lanzar dos monedas al aire. El espacio muestral está formado por el par (E,U). donde E={cc,c+,-k:.++} y U=P(E) La aplicación que a cada suceso elemental le asocia el número de caras viene dada por X(cc)=2, X(c+)=1, X(+c)=l, X(++)=0 Veamos que se trata de una variable aleatoria. Para ello, tenemos que hallar las imágenes recíprocas de los intervalos de la forma (-oo,x], y comprobar que pertenecen aU. Síx
si 0
7.9.1. Variable aleatoria discreta v continua Una variable aleatoria X puede tomar un conjunto de valores finito, infinito nume rable o una infinidad no numerable de valores reales. Será discreta o continua, por tanto, según sea su contradominio o imagen. Variable aleatoria discreta: La variable aleatoria X es discreta cuando toma un conjunto finito o infinito numerable de valores reales. La variable aleatoria definida por el número de caras que salen cuando se lanzan dos monedas es una variable discreta; su contradominio está formado por los puntos del conjunto: C={0,U} Hay variables aleatorias que tienen por imagen toda la recta real o algún intervalo de la misma (a,b), [a.b), (a,b), (-oo,a), [a,+oo),... A este tipo de variable aleatoria, que no toma valores aislados, le llamamos varia ble aleatoria continua, esto es:

240

Variable aleatoria continua: La variable aleatoria X es continua cuando toma valores en una escala continua. Habitualmente, la variable aleatoria continua corresponde a datos medidos, como distancias, pesos, temperaturas,... En cambio, la variable aleatoria discreta representa datos contados, como el número de hijos, el número de piezas defectuosas en un lote, el número de caras cuando se lanzan varias monedas,...

7. 10. Distribuciones discretas Si tenemos una variable aleatoria discreta, como puede ser el número de caras que aparecen al lanzar dos monedas, es conveniente representar las probabilidades con que toma la variable aleatoria cada uno de los valores numéricos x, por una fórmula. Esta fórmula debe ser una función de x, f(x), esto es flx) = P(X = x) = P{{a e E\X(a) = x}) Al conjunto de los pares ordenados (x,f(x)) le llamaremos distribución de probabi lidad o función masa de probabilidad de la variable aleatoria X. Precisando el con cepto, establecemos la definición: Distribución de probabilidad: El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una distribución de probabilidad o función masa de probabilidad de la variable aleatoria X si, para cada valor posible x, se verifica 1.f(x)>0, 2.Sf(x)=l, 3. P(X=xK(x). Ahora estamos en condiciones de asociar a la variable aleatoria X una función real de una variable real, que permite construir los modelos matemáticos adecuados para tratar los problemas originados por fenómenos que se rigen por la ley del azar. Función de distribución: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). Se llama función de distribución de la variable aleatoria X a la función real de una variable real F

tal que

F(x) = P(X
(19)

241 Ejemplo 7.11 Consideremos, una vez más, el experimento consistente en lanzar dos monedas. Asociada a este experimento tenemos la variable aleatoria X, que hace corresponder a cada suceso elemental el número de caras. La distribución está recogida en la siguiente tabla: X

0

1

2

fíx)

1/4

1/2

1/4

puesto que la variable X toma los valores 0, 1 y 2 con probabilidades: f(0)=P(X=0)=P{++}=l/4,f(l)=P(X=l)=P{c+,-K;}=2/4=l/2,f(2)=P(X=2)=P{cc}=l/4 La distribución de probabilidad de X está representada en la figura 7.7, que recoge los puntos (x,f(x)). Si se unen los puntos por medio de segmentos verticales con el eje de abscisas, se obtiene un diagrama de barras, gráfico que utilizamos en la primera parte. También se podrían dibujar rectángulos de la misma base en lugar de segmen tos, y se obtendría un diagrama rectangular. La función de distribución correspondiente a la variable aleatoria X viene dada por:

f °. six <0 F(x) =

1 s¡0< x < 1 4 3 si 1 2

La gráfica de la función de distribución de la variable aleatoria X está dibujada en la figura 7.8. Corresponde a la curva de frecuencias acumuladas, que estudiamos en la primera parte, cuando tratábamos con variables estadísticas. Podemos observar, en la gráfica 7.8, que se trata de una función en escalera, monótona no decreciente y acotada entre 0 y 1 . En efecto, la función de distribución verifica las siguientes propiedades: 1 . Está acotada entre 0 y 1 : 0 < F(x) < 1, Vjc e 9Í 2. Es monótona no decreciente, es decir si x, < x2 => F( x,) < F(x2) 3. Si la variable aleatoria X toma valores en un intervalo acotado (a,b), es: F(x)=0, para xb.

242

.

t

T

O

I

2

D

Figura 7.7: Distribución de probabilidad.

-i-

I

2

Figura 7.8: Función de distribución.

7.11. Distribuciones continuas Si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que X tome un valor concreto es cero. En efecto, pensemos en un experimento consistente en medir la longitud de ciertas plantas, y supongamos que estamos considerando medidas entre 2' 30 dm. y 2'40 dm. Entre estas dos medidas hay infinitas, por ello es cero la probabi lidad de encontrar una planta que mida exactamente 2'325 dm., ya que se trata de un solo caso favorable entre infinitos casos posibles. Se habla, por esto, en el caso de variable aleatoria continua, de la probabilidad de que tome valores en un intervalo, como puede ser P(a
f(x)>oyxe(X

(20)

2

í^f(x)dx = /

(21)

3.

P(a
(22)

Utilizamos el término de «distribución de probabilidad» cuando nos referimos in distintamente a variables aleatorias discretas o continuas, reservando el de «función masa de probabilidad» o «función de densidad» cuando queremos destacar la dife rencia entre el carácter discreto o continuo de la variable aleatoria. La segunda condición nos dice que el área total bajo la gráfica de f(x) y sobre el eje de abscisas es igual a 1 . El área es utilizada así para representar probabilidades, y la suma de todas las probabilidades es 1.

243

Consecuencia inmediata de la definición anterior son las siguientes propiedades: 1 ) Si X es una variable aleatoria continua, es P(X=a)=0. 2) Si a y b son dos números reales tales que a
(23)

Dos propiedades que se deducen inmediatamente de esta definición son: 1 . P(ci
(24)

dF(x) 2. Si F(x) es derivable. f(x) = ——

(25)

Es conveniente resaltar tres aspectos: 1 ) La función de densidad desempeña, en el caso continuo, el mismo papel que la función masa de probabilidad en el caso discreto. 2) En el caso continuo, la integral sustituye a la suma. 3) Cuando la variable aleatoria X es continua, la probabilidad de que X tome un valor aislado es cero. Ejemplo 7.12 Si la variable aleatoria X tiene como función de densidad K(x + 2), siO
1) ¿Qué valor debe tener k? 2) ¿Cuál es la función de distribución? Solución: 1) Como fes una función de densidad, debe cumplir (21), luego: / , ]j(x)dx = ]'k(x + 2)dx = k de donde resulta k=2/5.

1(1)5

244 La función de densidad es, por tanto 2/5(x+2). siO
1, six>l Observemos, una vez más, el paralelismo con el estudio de la variable estadística. La gráfica de la función de densidad (figura 7.9) corresponde a la curva de frecuen cias, y la gráfica de la función de distribución (figura 7.10) corresponde a la curva acumulativa de frecuencias u ojiva.

7.12. Esperanza matemática

Figura 7.9. Función de densidad del ejemplo 7.12.

Figura 7. 10. Función de distribución del ejemplo 7.12.

El papel que, en la primera parte, desempeñaba la media aritmética ponderada, como característica más importante de localización, lo va a desempeñar ahora la espe ranza matemática? de una variable aleatoria.

2 Este término tan expresivo para designar el valor medio se establece en los orígenes del "Cálculo de Probabilidades", hacia el sigo XVII. en que los juegos de azar eran el campo de aplicación de la Estadística, y el interés del jugador se centraba en la "esperanza" de conseguir un premio.

245

Esperanza matemática: Sea X una variable aleatoria con distribución de pro babilidad f(x). La esperanza matemática o media de X que denotamos por |ix, \lx = E(X):

(26)

- 5>«.

si X es discreta; y, si X es continua, es (27) \iX = E(X) = J xf(x)dx, Se supone la convergencia absoluta de la serie y de la integral. Cuando no haya lugar para la confusión, la esperanza matemática de X se denotará por \i en lugar de ux. Veamos cómo la esperanza matemática generaliza el concepto de media aritmética. Para ello, consideremos un experimento aleatorio en el que se han realizado n pruebas, habiéndose obtenido n, veces el valor x,, n, veces el valor x,,..., nk veces el valor xk, siendo n1+n,+...+nk=n. Entonces, la media aritmética ponderada es: A =

x,n, + x2n2+...+ xknk n

= XlJ ,+ X2J 2 + —+XkJ k

donde t ~ Ü. es la frecuencia relativa del valor x , i=l ,2,...,k. Si suponemos que el número de pruebas es muy grande, la frecuencia relativa tiende a la probabilidad, es decir: f = p,=P(X = x,),i=l2,...X y, por tanto, la media tiende al valor X,P, + X2P2 + -+xkPl

que es la esperanza matemática de la variable aleatoria X. Ejemplo 7.13 Vamos a calcular la esperanza matemática de las variables aleatorias de los ejem plos 7.10y 7.12. „ 11112 1) E(X)=^xf(x) = 0-- + l-- + 2-- = - + - = l Este resultado se interpreta en el siguiente sentido: si lanzamos dos monedas, como promedio, obtendremos una cara cada vez. 2)

1 *x > E(X)=)~xflx)dx = \'ox-(x + 2)dx=- l~3X+X

ir1!- 1

246 7.12.1. Esperanza de una función de una variable aleatoria Sea (E,U,P) un espacio probabilístico, y sea X una variable aleatoria definida en él. Consideremos la función real de una variable real /i:9í —» 91 tal que la imagen de la variable aleatoria X está contenida en el dominio de h. Podemos hablar entonces de la función compuesta h-X=h(X), que es una aplica ción de E en 9? tal que (h-X)(a)=(h(X))(a)=h(X(a)), para a perteneciente a E. Si la imagen inversa por h(X) de cualquier intervalo de la forma (-lx,,x] es un suceso de U, h(X) será una variable aleatoria. Una condición suficiente para que h(X) sea una variable aleatoria es que h sea uniforme y continua. Dada una variable aleatoria X, si h(X) es una variable aleatoria, se puede hablar de la esperanza matemática de h(X): Proposición 7.2: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y sea h(X) una variable aleatoria. Entonces la esperanza matemática de h(X) es íi.,v, = E[/iW] = 5>M/W, (28) si X es discreta; y, si X es continua, es uM.J = E[h(X)] = ¡'~h(x)f(x)d*

(29)

Ejemplo 7.14 Si, para la variable aleatoria X del ejemplo 7.12, definimos la función h(X)=2X+l, la esperanza matemática de esta nueva variable aleatoria será: V 2 2(i , 31 E(2X + l) = ]o(2x+l)-(x + 2)dx = -)J2xr + 5x + 2)dx = — 7.12.2. Propiedades de la esperanza matemática 1. Sea X una variable aleatoria. Si las funciones de X, g(X) y h(X), son dos varia bles aleatorias tales que existen E[g(X)] y E[h(X)], entonces existe también E[g(X)±h(X)] y es E[g(X)±h(X)]=E[g(X)]±E[h(X)]

(30)

247

2. Si g(X) es una función de la variable aleatoria X tal que existe E[g(X)] y es a un número real cualquiera, existe E[ag(X)] y es E[ag(X)]=aE[g(X)]

(31)

Las propiedades 1 y 2 nos dicen que la esperanza matemática es un operador lineal, y se deducen inmediatamente de la definición, puesto que la integral y la suma indicada son dos operadores lineales. En efecto, si la variable aleatoria es continua, tendremos: E[g(X)± h(X)} = í"Jg(X)±h(x)]f¡x)dx = = £*W/W
E[ag(X)] = Sjag(x)]f(x)dx = a[~g(x)f(x)dx = aE[g(X)]

3. En particular, si a y b son dos números reales y X una variable aleatoria, se verifica: E[aX±b]=aE[X]±b E[aX]=aE[X] E[b]=b

(32) (33) (34)

7.13. Varianza y desviación típica La varianza de la variable aleatoria X es una buena medida de la dispersión. No obstante, esta medida no está dada en las mismas unidades que X, por lo que se utiliza su raíz cuadrada positiva, que conocemos como desviación típica. Para varia bles aleatorias, se define: Varianza: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La varianza de X. que representaremos por ax: es la esperanza matemática de la variable aleatoria (X-|i):. De acuerdo con la definición, si X es una variable aleatoria discreta, es ov = E[(X - u f\ = ¿> - u ff(x)

(35)

y, si X es una variable aleatoria continua, es ai = E[(X - u f] = ¡Jx - u / flx)dx

(36)

248 También aquí se supone la convergencia absoluta de la serie y de la integral. Si no hay lugar para la confusión, se escribe a2 en vez de ox2, para designar la varianza de X. Desviación típica: La desviación típica de la variable aleatoria X, que se representa por O ó ox, es la raíz cuadrada positiva de la varianza de X. Ejemplo 7.15 Las varianzas y desviaciones típicas correspondientes a las variables aleatorias de los ejemplos 7.10 y 7.12 son: n

,

V"

!

1 1

1 1

,1111

i ri a=r2'2 o =-

2)

y

7 , 14 , 208 2 128 o2 = ¡Jx-\iff(x)dx = ^ 4X + 15 x ' 225 x + 225 X.

37 450

^=\\-^=0,28 \450

7.13.1. Propiedades de la varianza 1. Si X es una variable aleatoria, o2x = E(X2)- \lx

(37)

Demostración: Lo demostramos para el caso continuo. (Si la variable fuese discre ta, se seguiría el mismo proceso, pero con sumas indicadas). oi = E[(X - U /] = ¡Jx - U f f(x)dx = ¡Jx2 -2\ix-\i2 )f(x)dx =

= \Z*2fMdx - 2\ilZrfx)dx + "2£ñx)dx

Como J xf(x)dx =u y J_ f(x)dx = 1 , resulta:

O2 = í'"x2f(x)dx-2]i2 + \i2 = )x2f(x)dx-\l2 = E(X2)-H2

249 2. Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), y sea g(X) una función de la variable aleatoria X. Entonces la varianza de la variable aleatoria g(X) es:

<&„ = E^g(X) - \isJ] = J\g(X) - V-Jfl.x)

(38)

si X es una variable aleatoria discreta, y

<¿* = E\g(X) - iiJ] = £[«W - tJf(xHlx

(39)

si X es una variable aleatoria continua. La demostración es inmediata. Por ser g(X) una variable aleatoria, basta con apli car la proposición 7.2. 3. Si a y b son dos números reales, se verifica: —2

Demostración:

2

>

(40)

oivw, = £'{[(aX + b) - u aX^\

Como u.rf+,, = E(aX + b) = aE(X) + b = a\i+b es alx^t = E[(aX + ¿-au -bf] = E[(aX-a\i f] = a2E[(X- u f] = flV* 4. Si hacemos a=l en (40), resulta aL* = 0~*

(41)

5. Si hacemos b=0 en (40), resulta olx = í)oí

(42)

7.14. Teorema de Tchebycheff La varianza y su raíz cuadrada, la desviación típica, son medidas de la dispersión de los datos de una dis tribución con respecto a su media. Una desviación típica pequeña indica una mayor agrupación de los valores alrededor de la media Por otra parte, esta mos utilizando el área como una medida de la -2o n 20 probabilidad. Esto supo ne que una desviación tíFigura 7.11: El área entre -2a y 2a es al menos 3/4.

250 pica pequeña corresponde a un área comprimida alrededor de la media, mientras que a una desviación típica grande le va a corresponder un área más expandida. El teorema de Tchebycheff proporciona una relación entre el valor de la desviación típica y la fracción de área comprendida entre dos ordenadas simétricas respecto de la media, lo cual es una razón poderosa para usar la desviación típica como medida de la dispersión. Teorema de Tchebycheff: La probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor que diste de la media menos de k desviaciones típicas, siendo k>0, es al menos 1-l/k2 , esto es: P(\í-ha 1-— k~

(43)

Demostración: Haremos la demostración para una variable aleatoria continua. (Si se tratara de una variable aleatoria discreta, el proceso sería el mismo, pero utilizando sumas indicadas). Partimos de la definición de varianza de una variable aleatoria X, que es una integral que vamos a descomponer en suma de tres integrales: oi = E[(X - u f] = íjx - u f f(x)dx = = ttC(x - H f f(x)dx + Jf-Jx - u f f(x)dx + fcjx - u f f(x)dx >

> f~*°fx - u f f(x)dx + J~ (x - u / f(x)dx

i*)

\i+ka

por ser J

(x-\iff[x)dx > 0-

Si xu+ko, es \x - u| > ka , y, por lo tanto, (x-^)2>k2a2 en las dos integra les de (*). Tenemos, por una parte, que:

a > t""(x - u f f(x)dx + ¡~Jx - u f f(x)dx > t^k'a f(x)dx + j^k'cr f(x)dx Ahora bien, como ttak2crf(x)dx + í^ k2crf(x)dx = k2a\ tk°f(x)dx + t f(x)dx

251 resulta que ct > k2a[tk°flx)dx + i~koflx)dx]

de donde se deduce que

El primer miembro de la última desigualdad es la probabilidad de que X tome valores fuera del intervalo (u-kg, |i+ko), que es menor que _, luego pasando al complementario, será: *

P(\i-ko3). Solución: 1 ) Utilizando el teorema de Tchebycheff, tomando k=5/2, resulta: 5 5 "| / 4 21 r= 1-— = — P(5 < X < 15) = P 10-- 2< X <10 + - 2 \>12 2 ) (5/ 2 y 25 25 Luego P(521/25. < 3 3)45 2)p{\X-ia<3) = P(-3 /--=2 2 4 9 3 3)14 3) P(\X-10\>3) = 1- P{\X-10\<3) = 1- P 10--.23)<-

252 7. 1 5. Cambio de variable Dada una variable aleatoria X con distribución de probabilidad f(x), si Y=h(X) es una variable aleatoria, también Y tiene una distribución de probabilidad. El problema de encontrar la distribución de esta nueva variable lo vamos a tratar distinguiendo dos situaciones posibles, según se trate de una variable aleatoria discreta o continua.

7.15.1. Cambio de variables aleatorias discretas Consideremos una variable aleatoria discreta X, cuya función masa de probabili dad es f(x), y sea Y=h(X) una transformación biyectiva, de la que pretendemos hallar su distribución de probabilidad. Por ser Y=h(X) biyectiva, a cada valor x de X le corresponde un único valor y=h(x) de Y, y, a cada valor y de Y le corresponde un único valor de X, que se obtiene resolviendo la ecuación y=h(x), es decir x=h '(y)=g(y). Entonces se verifica la siguiente proposición: Proposición 7.3: Sea X una variable aleatoria discreta con función masa de probabilidad f(x). Si Y=h(X) es una variable aleatoria que define una transfor mación biyectiva entre los valores de X e Y de tal forma que la ecuación y=h(x) puede resolverse en función de y, siendo x=g(y), entonces la distribución de la variable aleatoria Y es t(y)=flg(y)]

(44)

En efecto: t(y)=P(Y=y)=P[X=g(y)]=f[g(y)] Ejemplo 7.18 Tratamos de determinar la distribución de Y=3X+1, siendo X la variable aleatoria discreta dada por la siguiente tabla: X

6

10

21

Rx)

0'3

O'l

0'6

La variable aleatoria Y puede tomar los valores 19, 31 y 64. Y-l La inversa es X = —— , y la probabilidad con que Y toma sus valores es: g(19) = P(Y = 19).

19-1 P(X =6) = 0.3 3 )

253

31-l) ,P(X = 10)=0,1

g(3l) = P(Y=3l),

g(64) = P(Y=64) = Áx = ^\=P(X = 2l) = 0,6 La función masa de probabilidad de Y=3X+1 es, por tanto: Y

19

31

64

«yi

0'3

O'l

0'6

7.15.2. Cambio de variables aleatorias continuas La siguiente proposición establece cuál es la función de densidad de una función de una variable aleatoria continua: Proposición 7.4: Sea X una variable aleatoria continua con función de densi dad f(x). Si Y=h(X) define una transformación biyectiva entre los valores de X e Y de tal forma que existe y es única la transformación inversa x=h '(y)=g(y), entonces la función de densidad de la variable aleatoria Y es t(yHlg(y)P

(45)

donde J=g'(y) es el Jacobiano de la transformación.

Ejemplo 7.19 Sea X una variable aleatoria continua, cuya función de densidad es / flx) =

, si a < x < b b -a

Vamos a determinar la función de densidad de la variable aleatoria Y=-3X. Aplicando el resultado anterior, es:

,íu

/ --y

l/í-í-7^3 b-a

/ si -3b < y < -3a 3(b-a)

254 7. 16. Momentos Momento de orden r respecto de un punto: Sea X una variable aleatoria, r un número natural y C un número real cualquiera. Se llama momento de orden r respecto a C, y se denota por M (C) a la esperanza matemática de (X-C)r, esto es: M(C)=E[(X-Cfl

(46)

Si la variable aleatoria X es discreta, será:

Mr(Q^(x-CfJ(x)

(47)

y, si X es una variable aleatoria continua: Mr(C)=)(x-Cff(x)dx

(48)

7.16.1. Momentos respecto al origen Cuando C=0, se tienen los momentos respecto al origen, que se denotan por ar. Si la variable aleatoria X es discreta, será: ar = Zx'f(x)

(49)

y, si X es una variable aleatoria continua: + 00

a, = ¡ xrf(x)dx

(50)

Como casos particulares, están: a =1 y a=u

7.16.2. Momentos centrales Cuando C=fl, se tienen los momentos centrales o momentos respecto de la media, que se denotan por |i. Si la variable aleatoria X es discreta, será:

"r = I>-u/./W

(51)

y, si X es una variable aleatoria continua: \ir=)(x-\i)rf(x)dx

(52)

255 Como casos particulares, están:

u=l,u=0yn=ox

7. 17. Función generadora de momentos Los momentos de una variable aleatoria pueden ser evaluados directamente, a partir de sus definiciones. Existe, sin embargo, un procedimiento indirecto para eva luarlos, por medio de la función generadora de momentos. Función generadora de momentos: Dada una variable aleatoria X, se define la función generadora de momentos, y se denota por Mx(t), como la función real de una variable real que, a cada número real t le hace corresponder Mv(t)=E[e'x]

(53)

Para la existencia de la función generadora de momentos, se supone la convergen cia de la serie o integral de la definición. Las proposiciones 7.5 y 7.6. que enunciamos a continuación, tienen un interés especial, ya que permiten hallar el momento de orden r respecto al origen e identificar una distribución por su función generadora de momentos. Proposición 7.5: Si X es una variable aleatoria cuya función generadora de momentos es Mx(t), entonces /drMx(t)y (54) ,

di

i =0

Esta proposición nos indica que el momento de orden r respecto al origen coincide con el valor de la derivada de orden r de Mx(t) en el punto t=0. Ejemplo 7.20 Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos Mx(t) = {pe +q)', donde 0
256 2) Para hallar la varianza. necesitamos la derivada segunda de la función generado ra de momentos: M"x(t)= np\e'(n-1)(pe' + q) luego y por tanto, será:

pe' + (pe' + q) c\

M "x(0) = np[(n - 1 )p + /] = a:


7. 1 8. Ejercicios propuestos 7.1. Se selecciona una carta de una baraja de 52 cartas. Llamemos A al suceso «obte ner espadas» y B al suceso «obtener as». Calcular: P(A). P(B) y P(AnB) 7.2. Consideremos un dado cargado de tal forma que la probabilidad de que salga un número es proporcional a dicho número. 1 ) Describir el espacio probabilístico. 2) Hallar la probabilidad de que salga un número impar. 3) Hallar la probabilidad de que salga un número mayor que 2. 4) Hallar la probabilidad de que salga un número impar mayor que 2. 7.3. De un lote que contiene 10 piezas, de las cuales cuatro tienen defecto, se extraen dos al azar. Hallar la probabilidad de que: 1 ) las dos piezas tengan defecto; 2) ninguna de las dos piezas tenga defecto; 3) al menos una de las piezas tenga defecto. 7.4. En una ciudad se publican 3 periódicos. A, B y C. Por una encuesta realizada, se estima que, de las personas adultas, el 20% lee A, el 16% lee B, el 14% lee C, el 8% lee A y B, el 5% lee A y C, el 4% lee B y C, y el 2% lee los tres periódicos. 1) ¿Cuál es el porcentaje de los que leen al menos uno de los tres periódicos? 2) ¿Qué porcentaje no lee ningún periódico?

257 7.5. Sea E un espacio muestral que consta de tres puntos muestrales, E={a,,a,,a,}. Averiguar si las funciones siguientes definen un espacio de probabilidades: 1) P(a,)=l/2, P(a>l/3, P(a,)=l/3. 2) P(a,)=l/2, P(a>-1/4, P(a,)=l/2. 3) P(a,)=l/3, P(a2)=l/3, P(a,)=l/3. 7.6. Se sacan tres cartas simultáneamente de una baraja española. Hallar la probabili dad de que: 1) las tres cartas sean reyes; 2) dos sean rey y otra caballo; 3) las tres cartas sean de distinto palo. 7.7. Un experimento consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de puntos de sus caras superiores. Hallar la probabilidad de: 1) obtener una suma igual a 13; 2) obtener una suma igual a 10; 3) obtener suma mayor que 5. 7.8. Una urna contiene 10 bolas blancas y 6 rojas. Si se extraen sucesivamente dos bolas, hallar la probabilidad de que: 1) las dos bolas sean rojas; 2) la primera bola sea blanca y la segunda roja; 3) una bola sea blanca y la otra roja. 7.9. En una facultad universitaria, el 30 por ciento de los estudiantes son extranjeros. De ellos, el 20 por ciento disfrutan de beca. También son becados el 10 por ciento de los estudiantes nacionales. Hallar la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga beca. 7. 10. Tres matrimonios salen a cenar juntos. El camarero del restaurante les asigna un puesto al azar en la mesa. Hallar la probabilidad de que: 1) se sienten juntas las mujeres; 2) coincida un matrimonio concreto; 3) no coinci da un matrimonio concreto. 7.11. Un submarino dispone de 9 misiles, siendo 3/5 la probabilidad de hacer blanco con uno cualquiera de ellos. Si lanza 5 misiles sobre un portaaviones, hallar la proba bilidad de: 1) hacer blanco con dos misiles; 2) acertar al menos con uno. 7.12. Un experimento consiste en lanzar un dado y una moneda al aire. Hallar la probabilidad de obtener: 1 ) cara en la moneda y 5 ó 6 en el dado; 2) cara en la moneda y cualquier resultado en el dado; 3) 1 , 2 ó 3 en el dado y cualquier resultado en la moneda.

258 7.13. Dos urnas tienen las siguientes composiciones: la primera tiene 8 bolas azules, 6 blancas y 4 rojas, y la segunda tiene 12 azules, 6 blancas y 8 rojas. Se saca una bola al azar de la primera urna y se traslada a la segunda. A continuación se extrae una bola al azar de la segunda urna, que resulta ser roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se traspasó de la primera a la segunda urna sea azul? 7.14. Tres cazadores, disparando a la vez, matan un león, acertándole con dos impac tos. La probabilidad de que el primer cazador haga blanco es de 5/6, la del segundo es de 4/6 y la del tercer cazador es de 3/6. ¿Cuál es la probabilidad de que sean los dos últimos los que han acertado? 7.15. En una factoría hay dos máquinas que fabrican la misma pieza. Se sabe que la primera produce un 5% de las piezas con defecto, y la segunda un 6%. Un cierto día, en que se han producido 100 piezas con la primera de las máquinas y 200 con la segunda, se realiza una inspección, que consiste en elegir una pieza al azar. 1) Hallar la probabilidad de que la pieza elegida tenga defecto. 2) Si la pieza selec cionada es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada con la primera de las máquinas? 7.16. Un vendedor llama al domicilio de una familia que tiene dos hijos. Le abre la puerta uno de los hijos, que resulta ser varón. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos hijos sean varones? 7. 17. Carlos y Luis juegan una partida de dados. Comienza Carlos lanzando un dado, luego lo lanza Luis, y se repite el proceso hasta que uno de los dos gana. Ganará Carlos si sale un 2, sin haber salido 4, y ganará Luis si sale 4 sin que haya salido el 2. ¿Cuál es la probabilidad de que gane Carlos? 7.18. Disponemos de 20 urnas, seis de las cuales tienen 3 bolas blancas y 6 rojas, cinco tienen 4 blancas y 4 rojas, siete tienen 5 blancas y 5 rojas, y dos tienen 6 blancas y 4 rojas. Se elige una urna al azar y se saca una bola que resulta ser blanca. Hallar la probabilidad de que la urna elegida tenga 5 bolas blancas y 5 rojas. 7.19. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la siguiente tabla X

1

3

5

7

9

11

fU)

0'05

0'25

O'IO

0'30

OTO

0'20

1) Hacer la representación gráfica de la distribución de probabilidad. 2) Hallar la función de distribución y representarla gráficamente. 3) Hallar la media, la varianza y la desviación típica.

259 7.20. La variable aleatoria X tiene como distribución de probabilidad

f(x) = ~x,x=l,2

20

Hallar: 1 ) P(X=6); 2) P(5
-10

«x)

1/4

1/4

12 1/3

1/6

Determinar su función de distribución. 7.23. La variable aleatoria X tiene como función de distribución I

0, si x<2 I

F(X)--

x- 1, si 2 < x <4 1, six>4

1) Determinar su función de densidad. 2) Hallar P(2
- . si 0 < x < n 0, si x > n

1 ) Determinar la función de distribución. 2) Hallar P(0
260 7.26. Un juego consiste en sacar una carta de una baraja española, de modo que, si la carta extraída es un caballo o un rey, el jugador percibe 500 ptas., y, si se trata de un as o un tres, percibe 1000 ptas.; en cambio, si se extrae otra carta diferente de las anteriores, el jugador tiene que pagar 400 ptas. Hallar: 1) la ganancia media esperada; 2) la varianza de la ganancia. 7.27. Una variable aleatoria, cuya distribución de probabilidad es desconocida, tiene como varianza s2=0'004. Determinar el valor que debe tener r para que se verifique que P[\X-E(X)\0,9 7.28. Sea X una variable aleatoria, cuya distribución de probabilidad viene dada por la siguiente tabla: X

ti/4

7t/2

3ji/4

Rx)

0'3

0'5

0'2

Determinar la distribución de probabilidad de la variable Y=senX. 7.29. Dada la variable aleatoria X con función de distribución 0, six<2 I

;x - 1, si 2 < x <4

F(x) =

1, six>4 Hallar: 1) P(X<0,3); 2) P(X<3); 3) P(X>5). 7.30. La variable aleatoria discreta X tiene como distribución de probabilidad: X

0.1

0.4

0.6

f(x)

0'2

0'3

0'5

Estimar la probabilidad de que IX- ul0 F(x): 0, resto

261 Hallar: 1 ) El tiempo medio de espera; 2) la probabilidad de que un enfermo tenga que esperar más de 10 días. 7.32. La variable aleatoria discreta X tiene como distribución de probabilidad: X

5

2

4

fix)

O'l

0'3

0'6

Hallar los momentos centrales de segundo, tercero y cuarto orden.

CAPITULO 8 MODELOS DE DISTRIBUCIONES

8. 1 . Distribuciones probabilísticas La necesidad de inferir los valores de los parámetros de una población a partir de una muestra exige el conocimiento de la distribución de la muestra. Algunas de estas muestras poseen una distribución de frecuencias que se aproxi ma a una de las distribuciones teóricas mediante las cuales se describen ciertas pobla ciones naturales. A dichas poblaciones se les denomina «poblaciones aleatorias», y son descritas por medio de las distribuciones probabilísticas teóricas que sirven de modelos para numerosos fenómenos naturales. Con frecuencia nos encontramos con muestras, cuyas observaciones, procedien do de distintos experimentos, se comportan de igual forma. Las variables aleatorias a que dan lugar dichas observaciones tienen idéntica distribución, por lo que se expre san mediante la misma fórmula. En realidad, la mayoría de las variables aleatorias que se dan en la práctica, pueden ser descritas por medio de unas pocas distribuciones de probabilidad. Analizaremos tres de las más importantes distribuciones discretas: la distribución uniforme, la de Poisson y la binomial. Esta última se aplica siempre que aparecen sucesos del tipo «éxito-fracaso», como sucede en el control de calidad de un proceso, «curar-no curar» a un enfermo en Medicina, obtener «cara-cruz» al lanzar una moneda,... Especial atención merece la distribución normal o de Gauss, modelo de distribu ción continua al que se adaptan gran parte de los fenómenos empíricos. La distribución normal es además el fundamento sobre el que se construye la Inferencia Estadística, que nos va a permitir sacar conclusiones acerca de los parámetros de la población a partir de los datos de una muestra. Además, la distribución de algunos estadísticos muestrales tiende a la normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande. Otras distribuciones discretas y continuas pueden verse en el apéndice B.

264 8.2. Distribuciones discretas Una variable discreta X está determinada por su distribución de probabilidad: P(X = x,)=p„i = l,2,... que cumple la condición

Una variable aleatoria discreta también queda determinada por su función de dis tribución: F(x) = P(X < x)

8.2.1. Distribución uniforme Cuando una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con la misma probabilidad, se dice que sigue la distribución uniforme. Así sucede cuando lanzamos un dado regular sobre un tablero y observamos el número que aparece en la cara superior. Cada uno de los resultados posibles {1,2,3,4,5,6} tiene la misma probabilidad de salir. Siendo más precisos, diremos: Definición 8.1: Si la variable aleatoria X toma los valores x,,x2,...,x con la misma probabilidad, se dice que sigue la distribución discreta uniforme: 1 P(X = x)=-,x = x,,x2 n

xn

(1)

Utilizaremos la notación U(x;n) para designarla, indicando que la distribución uni forme depende del parámetro n. Proposición 8.1: La media y la varianza de la distribución discreta uniforme vienen dadas por l "

V- =

n ,•„/

y
-n/

Demostración: U = E[X] = YjX.Uixiin) = £x,- = -£x¡ i.i i.i n n¡,¡

(2)

265

i.I

n

n ,=i

Ejemplo 8.1 Consideremos el lanzamiento de un dado regular sobre el tablero. En este caso, la probabilidad de cada uno de los resultados posibles es 1/6. Luego: / E[XJ = -(l + 2 + 3 + 4+5 + 6) = 3'5 6 a\ = -[(l-3'5f + (2-3'5f+...+(6-3'5f]= — = 2'9I66 o '12 8.2.2. Distribución binomial Consideremos un experimento aleatorio tal que cada vez que tiene lugar, pueden darse dos resultados: A (al que llamaremos éxito) o su contrario A' (fracaso), de modo que la probabilidad de éxito es: P(A)=p y la probabilidad de fracaso: P(A')=q=l-p permaneciendo invariables dichas probabilidades durante toda la experiencia. Un experimento con estas características se conoce como experimento de Bernoulli. Supongamos que se realizan dos pruebas consecutivas e independientes. Enton ces el espacio muestral estará formado por los cuatro sucesos: AA, AA, A A, A A a los que corresponden, respectivamente, las probabilidades: p2, pq, qp. q2 Si definimos la variable aleatoria X= «número de éxitos en dos pruebas consecutivas» la distribución de probabilidad de X viene dada por la siguiente tabla: X

0

1

2

p,

q2

2pq

p2

266 Generalizando el experimento para n pruebas, tendremos el proceso de Bernoulli, que se caracteriza por: I. La realización de n pruebas sucesivas independientes. II. Los resultados de cada una de las pruebas pueden ser calificados como éxito o fracaso. III. La probabilidad de éxito permanece constante para todas las pruebas. La variable aleatoria X= «número de éxitos en n pruebas consecutivas independientes» recibe el nombre de variable aleatoria binomial, y la distribución de probabilidades de esta variable aleatoria discreta es llamada distribución binomial; la representare mos por B(x;n,p). El espacio muestral E se obtiene asignando los valores A y A' de todas las formas posibles a las componentes de la n-upla (x,,x2,...,xn), lo que supone 2n elementos (varia ciones con repetición de dos elementos, A y A', tomados de n en n). Al ser p la probabilidad de éxito y q=l-p la probabilidad de fracaso en una prueba particular, será: p'q"' la probabilidad de un suceso de r éxitos y n-r fracasos. Ahora bien, el suceso «obtener r éxitos y n-r fracasos» se puede dar de n! r!(n-r)!

formas distintas, que coinciden con las permutaciones con repetición de n elementos en que r son A y n-r son A': AA...r.AAA\.."r.A' La probabilidad de que X=r será:

r!(n-r)!

Definición 8.2: Consideremos un proceso de Bernoulli, en el que la probabili dad de éxito en una prueba particular es p, siendo q=l-p la probabilidad de fracaso. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X=«número de éxitos en un suceso compuesto de n pruebas particulares» es llamada distribución binomial, siendo

B(x;n,p) = P(X = x) = \x \p' q" ' , x = 0,1,2

n

(3)

267

El nombre de binomial se debe a que las probabilidades B(x;n,p) corresponden a los n+1 términos del desarrollo del binomio (p+q)n:

= B(0;n,p) + B(l;n,p) + B(2;n,p)+...+B(n;n,p) =

Proposición 8.2: La distribución B(x:n,p) es una distribución de probabilidad.

(p + q)"=l

En efecto: !(">,

ya que p+q=l. La función de distribución de la binomial será F(x) = P(X < x)

i("K'

Una población se dice que es binomial respecto a un carácter cuando la distribu ción de frecuencias respecto a dicho carácter de una muestra aleatoria suficientemen te grande de individuos de dicha población, se puede superponer a la distribución binomial teórica.

o

L-L

~L 0

Figura 8.1:

12

3

4

5

0)23456789

)0

Distribuciones binomiales para n=5 y n=IO, con p=0'5.

En otras palabras, una población sigue una distribución binomial respecto a un carácter cuando los valores que toma la variable estadística correspondiente pueden ser considerados el resultado de la repetición de un proceso de Bernoulli. La población de moscas Drosophila Melanogaster sigue una distribución binomial

268 cuando se atiende al carácter «tener alas vestigiales». La extracción de n bolas conse cutivas de una urna que contiene bolas de dos colores, cuando se extraen con reem plazamiento, es otro ejemplo de distribución binomial. Proposición 8.3: La media y la varianza de la distribución binomial B(x ;n,p) vienen dadas por

H =np y ct:=npq

(4)

Demostración: Vamos a determinar la función generatriz de momentos para obte ner la media y la varianza: Mx(t) = E(e") T=0

Vr /

l(fjl Derivando con respecto a t, se tiene: dMy(t)

= n(pe'+q)" pe' dt

d:Mx(t) ~'— = np\e(pe +q) +(n- l)(pe +q] pe e'\ dt

Para t=0. resulta: a¡ = np y a: = np[l + (n - l)p] Luego la media es u v = a, = np y la varianza o- = a, - a] = np[l + (n-¡ )p] - n~ p2 =np(l-q) = npq Ejemplo 8.2 La población de moscas Drosophila Melanogaster. cuando se considera el carác ter «tener alas vestigiales» sigue una distribución binomial B(x;n,l/4). Para una mues tra de 10 moscas, hallar: a) la media de moscas de alas vestigiales: b) la desviación típica: c) la probabilidad de que haya menos de 3 moscas de alas vestigiales. a) La media es:

I u =np = 10-=25

b) la desviación típica: a=Jn~p~q=JlO.-.-=¡'875 c) la probabilidad de que de alas vestigiales es te haya menos de 3 moscas de P(X < 3) - ¿I x O'25'075' ' = tT5256

269 Estas probabilidades están tabuladas para distintos valores de n y p. Ver tabla A. 1 del apéndice A. 8.2.2.1. Ajuste de una distribución de frecuencias por una binomial Una variable estadística puede satisfacer las condiciones para ser considerada binomial. Sin embargo, su distribución se separa del modelo teórico a causa de las fluctuaciones del muestreo, según veremos en el próximo capítulo. Para que una distribución empírica coincida con la distribución teórica, habría que realizar infinitas experiencias. Cuando una distribución de frecuencias satisface las condiciones necesarias para ser considerada binomial, la distribución teórica que mejor se ajusta es la que tiene la misma media que la distribución empírica. Por ello, para efectuar el ajuste, se calcula la media de la distribución empírica de frecuencias, x, y se utiliza la binomial de parámetro p = xln, ya que la media de la binomial B(n,p) es x = np. Una cuestión importante es establecer una medida de la bondad del ajuste, pero esta cuestión se aborda en el capítulo 1 2. Ejemplo 8.3 Consultados 100 grupos de 50 jóvenes sobre el tema de la eutanasia activa, se obtuvieron las siguientes respuestas: N° de jóvenes favorables

5

9

10

11

13

14

16

17

18

19

N° de grupos

2

6

13

14

25

16

12

7

3

2

Para ajustar la binomial. hay que identificar la media de la distribución, que viene dada por el cociente de dividir el número de jóvenes ( 1 300) entre el número de grupos ( 1 00): -A

1300 /00

,

luego 1 3 jóvenes de cada 50 son favorables a la eutanasia activa por término medio. Si suponemos que la probabilidad de que un joven sea partidario de la eutanasia activa es p, como cada grupo de jóvenes se compone de 50, se trata de una binomial B(50,p), siendo x 13 P=n =— 50 = 0'26 Por tanto, admitimos que la opinión de los jóvenes sobre el tema de la eutanasia activa sigue una distribución binomial B(50,0'26).

270 8.2.3. Distribución de Poisson Aquellos experimentos en que una variable aleatoria representa el número de su cesos independientes que tienen lugar en un intervalo de tiempo dado o en una región específica del espacio se conocen como experimentos de Poisson. Un ejemplo típico es el número de llamadas que atiende una central telefónica en un cierto período de tiempo. Otro ejemplo de experimento de Poisson es el número de partículas que emite una porción de material radioactivo. Un experimento de Poisson viene caracterizado por cumplir las siguientes condi ciones: A) La probabilidad de que un suceso tenga lugar en un intervalo de tiempo o en una región es proporcional a la amplitud de dicho intervalo o región. B) El número de sucesos que tienen lugar en un intervalo o región es independiente del número de sucesos que tienen lugar en otro intervalo o región. Definición 8.3: La variable aleatoria X que re presenta el número de sucesos que tienen lugar en un intervalo de tiempo o en una región específica t. se llama variable aleatoria de Poisson, cuya distribución de probabilidad representaremos por P(x;h) = P(X = x) = e

(5)

x! ,x = 0,1,2...

siendo A>0 una constante que representa el número promedio de resultados por uni dad de tiempo o región. El número promedio de resultados se calcula a partir de u=Xj. donde t es el tiempo o región específica, con lo que la distribución de probabilidad es de la forma

x! La variable aleatoria de Poisson teóricamente puede tomar cualquier valor entero,

I ,. 0 1

2 3 4

5

6

01

2

3 45678

01234

56789

10

Figura 8.2: Distribuciones de Poisson para valores I. 5 v 10 del parámetro.

271 pero la probabilidad de que tome un valor alto disminuye rápidamente cuando x toma un valor superior a \i. Proposición 8.4: La distribución de Poisson es una distribución de probabili dad. En efecto, veamos que ¿,P(X, HJ = 1 r

ili:

Si tenemos en cuenta que Y ü- es el desarrollo de &. se tiene Sí x!

Proposición 8.5: La media y la varianza de la distribución de Poisson P( x;u) vienen dadas por E(X)-- = H = Xty var(X) = u = Xt En efecto:

ya que el primer término de la suma es nulo. Entonces se tiene:

E(X)=pe^^=t^^ = ^p^^l Haciendo y=x-1, se tiene la última igualdad, pues

„,

(x-l)!

,.o

y!

Por lo tanto: E(X)=\il=\l Veamos ahora el cálculo de la varianza. Para ello, utilizaremos la expresión var(X) = E{x2)-[E(X)]2

(6)

272 Ahora bien

y teniendo en cuenta que x~ =x(x- l) + x, resulta

E(x2) = ÍUx-l) + x\e»^- = Yéx(x-l)e»^- + Y
.*"

x=O

A>'

J-0

.*'

Como los dos primeros sumandos del anterior sumatorio son nulos, se tiene

La igualdad anterior es evidente si se pone z=x-2. Luego £(XJ)=|iJ+u

con lo que var(X) = £U-) - [E(X)\ = u : + u - u * = H Ejemplo 8.3 Se sabe que es 8 el número promedio de llamadas telefónicas que atiende una central telefónica por minuto. Con los medios técnicos de que dispone la central, se pueden atender como máximo 12 llamadas por minuto, produciéndose una sobresaturación en la línea si se sobrepasa dicho número. Hallar la probabilidad de que, en un determinado minuto, haya sobresaturación en las líneas. Si representamos por X el número de llamadas que se reciben por minuto, se trata de hallar: P(X>12) = l-P(X<12) = l-Yé Pfo*} = / - 0'9362 = 0'0638 En este ejemplo, la media de llamadas por minuto y la varianza valen 8. Utilizando la desigualdad de Tchebycheff, podemos llegar a ver que, con una probabilidad de al menos 0'75. el número de llamadas que se reciben por minuto está comprendido entre )i-2o y n+2o. es decir, entre 2'34 y 13'65. Luego las tres cuartas partes del tiempo, la central telefónica atiende entre 3 y 1 3 llamadas.

273 Cuando una distribución de frecuencias cumple las condiciones que permiten con siderar que sigue la ley de Poisson, la distribución que mejor se ajusta es aquella que tiene la misma media que la distribución empírica. Para efectuar el ajuste, se calcula la media de la distribución empírica, y se utiliza la distribución de Poisson de parámetro igual a dicha media. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximar distribuciones binomiales cuando la probabilidad p de éxito es próxima a 0 y el número de pruebas muy grande. La siguiente proposición, cuya demostración omitimos, establece las condiciones para que la aproximación sea buena. Proposición 8.6: Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad B(x;n,p). Cuando n—>°° p—>0 y n=np permanece constante, se verifica B(x;n,p)->P(x;u,)

(7)

Como consecuencia de esta proposición, la distribución de Poisson puede ser interpretada como límite de la binomial cuando n es suficientemente grande y p sufi cientemente pequeño. En la práctica, la aproximación es buena cuando n>30 y np<5. Ejemplo 8.4 La probabilidad de que una persona muera debido a un cierto virus es de 0'001. ¿Cuál es la probabilidad de que mueran al menos 3 personas en una población de 3000 personas afectadas por dicho virus? El número de personas afectadas es de n=3000>30, y la probabilidad de que una persona afectada muera es de p=0'001, luego np=3000x0'001=3<5. Por tanto, la aproxi mación por la distribución de Poisson de parámetro u=np=3 es buena, siendo la pro babilidad pedida: P(X>3)=1 -P(X<3)=l-0'4232=0'5768

8.3. Distribución normal general Abrahan De Moivre, en 1733, desarrolló la ecuación de la curva normal. Después, Gauss llegó a ella estudiando los errores en las mediciones de una misma magnitud. Desde entonces, la distribución normal es conocida como «distribución de Gauss» y su gráfica como «curva de Gauss». La distribución normal depende de dos parámetros, la media m y la desviación típica s. y se representa por N(x;u.,a). Tiene especial interés el caso particular en que u.=0 y a=1, que se conoce como «normal reducida» o «normal tipificada», y que representaremos por N(z;0,l).

274

Definición 8.4: Una variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros |i y o, siendo |i un número real cualquiera y o>0, cuando su fun ción de densidad es f(x) = —p-éFT , Vx € 9? oV27t

(8)

Esta definición proporciona una familia de distribuciones normales, de modo que, para cada pareja de valores que asignemos a los parámetros |i y o, tendremos una distribución diferente. Fijados los valores de |i y o, queda perfectamente determinada la distribución normal. Proposición 8.7: La función (8) es una función de densidad. En efecto, esta función satisface las dos condiciones necesarias para ser una función de densidad:

1)

f(x)>Oyxeft

2)

jfMdx = /

Demostración 1 ) Que f(x)>0 es inmediato, ya que se trata de una función exponencial. 2) Veamos que se cumple la segunda condición:

Si hacemos el cambio y =

x- M 1 , se tiene dv = —dx, con lo cual o o

J flx)dx = J -fE=e Trfv = -?== J eldy , .- V27t V2Jt o 2

Tomando ahora ; = '—, será dz = ydy, de donde se deduce .

dz

dz

Luego

7

2 7 r 2 7 / / Jl\ 1 ,ífix)dx = 72i l e7dy = im ! z:e^dz - iz\ir ^rn - '

275 Para deducir la última igualdad, hemos utilizado la propiedad de la función matemática P : = Vrc

a¡ 8.3.1. Propiedades La función de densidad de una variable aleatoria X, cuya distribución es normal N(x;u,o), cumple las propiedades: I. El dominio de f es todo el campo real y su imagen está contenida en el conjun to de los números reales positivos. II. Es simétrica respecto de la recta x=|i. III. Tiene una asíntota horizontal, y=0. / IV Alcanza un máximo absoluto en el punto MoJJk Y Es creciente en el intervalo (-°°,n) y decreciente en (n,-H!°). VI Posee dos puntos de inflexión en x=|i-a y x=|i+a. VIL La función generatriz de momentos viene dada por

g(t) = em~2~yte'X VIH. Los parámetros |i y o son, respectivamente, la media y la desviación típica de la distribución normal. Pasamos la demostración de las propiedades al apéndice de este capítulo.

8.3.2. Representación gráfica de la normal general Las propiedades anteriores nos permiten trazar la gráfica de la curva normal de media u y desviación típica o. Por su forma acampanada, es conocida como campana de ,,„. Gauss. Sobre el eje de abscisas, se representan los valores observados (valores de la varia ble x) y, sobre el eje de ordenadas, las fre cuencias (valores que toma la función). Todos los posibles valores que toma la función están bajo la curva, por lo que se puede decir que el área total comprendida entre la curva y el eje de abscisas contiene Figura 8.3: Gráfica de la normal general. 1

La función Y se define en el apéndice B.

276 el 100% de los individuos de la población (si las frecuencias se expresan en porcenta jes). Si dibujamos dos curvas normales con la misma desviación típica, pero distintas medias, |ll[ y u,2, las dos curvas tienen la misma forma, aunque están situadas en distintas posiciones con respecto al eje de abscisas: la primera centrada en \i y la segunda centrada en uv

m=m Figura 8.4: Curvas normales con la misma varianza y distintas medias.

Figura 8.5: Curvas normales de igual inedia v distintas varianzas.

En cambio, dos curvas normales con la misma media y distintas varianzas estarán situadas en la misma posición sobre el eje de abscisas; la curva con mayor desviación típica será más baja y dispersa. Esto es así, porque el área bajo las dos curvas tiene que ser igual a 1 . La proporción de la población, cuyos valores están comprendidos entre dos pun tos x, y x2, es el área bajo la curva y sobre el eje de abscisas comprendida entre las ordenadas correspondientes a dichos puntos, que, en otras palabras, es la probabili dad de que la variable aleatoria X tome cualquier valor entre x, y x,. El cálculo de dicha probabilidad o área se realiza por medio de integrales definidas: P(x,
Figura 8.6: Área comprendida entre xi v xr

277

1.4. Distribución normal tipificada Dada la variable aleatoria X de distribución normal N(x;u,o). la variable

es también una variable aleatoria cuya distribución es normal de parámetros |i=0 yo=1. Al cambio de variable Z=

X-u a

que permite pasar de X a Z, se le llama tipificación de la variable, según hemos visto en capítulos anteriores. La nueva variable Z es llamada variable tipificada y su distri bución, distribución normal tipificada. La función de densidad de la nueva variable Z viene dada por:

f(z)=^eí''yze*

(9)

8.4.1. Propiedades de la normal tipificada

A) Su dominio de definición es todo el campo real y su imagen está contenida en el conjunto de los números reales positivos. B) Es simétrica respecto del eje de ordenadas. C) Tiene una asíntota horizontal, y=0. ( 1 D) Alcanza un máximo absoluto en el punto 0, r— V V27I E) Es creciente en el intervalo (-°°.0) y decreciente en (0,+°°). F) Posee dos puntos de inflexión en x=-1 y x=1. G) La función generatriz es „(t) ~ e\ yre <^. H) Su media es 0 y su desviación típica 1 .

8.4.2. Representación gráfica de la normal tipificada Las propiedades que acabamos de ver nos permiten trazar la gráfica correspon diente a la función de densidad de la normal tipificada N(x;0,l ). En la figura 8.7, se observa la simetría con respecto al eje de ordenadas, el valor máximo que corresponde a x=0, y cuya ordenada es aproximadamente 0'4, así como los puntos de inflexión para x=-1 y x=1.

278

Figura 8.7: Función de densidad de la normal tipificada.

El área bajo la normal compren dida entre las ordenadas z=-2 y z=2 es 0'9544. lo que supone que el 95'44% del total se sitúe entre -2 y 2 desviaciones típicas de la me dia, quedando en ambos extremos dos colas, cada una con el 2'28% del total del área. Precisando más. entre las orde nadas correspondientes a -1'96 y 1'96 está el 95% del área bajo la curva normal tipificada, quedando un 2'5% de la misma en cada una de las colas.

8.4.3. Función de distribución La función de distribución de la normal tipificada viene dada por la expresión

F(z)= ]-¡=eí'!dt,VzeX

(10)

Esta integral proporciona el área que hay bajo la curva normal tipificada y sobre el eje de abscisas en el intervalo (-°°,z\. La función de distribución da la probabilidad de que la variable tipificada Z tome un valor menor o igual que z. F(z) = P(Z
F(-z) = l-F(z),Vze 9?

(11)

279 Esta propiedad resulta evidente por la simetría de la gráfica de la función de densidad de la normal tipificada. Nos dice que el área bajo la curva de la normal tipificada a la izquierda del valor -z es igual al área que queda a la derecha de z.

8.4.4. Áreas bajo la curva normal

Figura 8.9: Áreas iguales por simetría.

Si X es una variable aleatoria normal con función de densidad N(x;|i,a), la proba bilidad de que X tome un valor comprendido entre x=x, y x=x, es igual al área bajo la curva de la función de densidad y sobre el eje de abscisas, comprendida entre las ordenadas x=x, y x=x,. Este valor nos lo proporciona la integral 1 &j2n ,,

U

P(x, < X < x,) = J N(x;\i,o)dx =

M

U-n\2

~dx

M

Figura 8.10: Áreas de diferente tamaño entre c, y t,.

Esta área depende de los valores de |i y o. La figura 8.10 nos muestra el área bajo dos curvas normales, N(x^^) y N(x;|i,,o\). comprendida entre dos valores x, y x,. Se puede apreciar cómo las dos regiones son de distinto tamaño. Este resultado parece indicar la necesidad de elaborar infinitas tablas, una por cada media y cada desviación típica, para calcular el área comprendida entre los valo res x, y xr El siguiente resultado, sin embargo, nos va a permitir calcular el área bajo una curva normal cualquiera comprendida entre dos valores, por medio del área bajo la normal tipificada comprendida entre los valores transformados de los anteriores.

280

Proposición 8.8: Sea X una variable aleatoria normal, cuya función de distri bución es Fx(x) y sea F?(z) la función de distribución de la variable aleatoria tipificada Z=(X-u.)/a. Entonces se verifica que

En efecto, de la igualdad de los conjuntos

{x
Fx(x) = P(X
JLfj
P(Z
Esta proposición nos permite relacionar áreas bajo una curva normal general con áreas bajo la normal tipificada. En efecto, acabamos de demostrar la siguiente igualdad:

P(a,
(12)

Por tanto, el área bajo la curva normal general comprendida entre las ordenadas x=a, y x=a2 es igual al área bajo la curva normal tipificada comprendida entre sus transformadas z=b y z=bv f (z)

Figura 8.11: El área bajo la normal general es igual al área transformada bajo la normal tipificada.

La distribución normal N(z;0.1) está tabulada. Las tablas A. 3 del apéndice propor cionan el área bajo la curva normal tipificada correspondiente a P(Z
281 0. La tabla A.3.2 proporciona áreas correspondientes a valores positivos de la variable, comenzando en cero y terminando en 3'49. Para cada valor de z, las tablas A. 3.1 y A.3.2 dan el área desde el comienzo de la curva hasta la orde nada que corresponde a z. Así:

F(1'34) = P(Z < 1'34)

proporciona el área de la parte raya Figura 8.12: Área correspondiente a F(l'34). da de la figura 8.12. Las tablas A. 3 dan probabilidades redondeadas a 4 y 5 cifras decimales, para valores de z con 2 decimales. Si queremos hallar P(Z<1'34), se mira en la columna de la izquierda el valor de z igual a 1'3. Avanzando horizontal mente hacia la derecha hasta llegar a la columna encabezada por 0'04 (columna que señala las centésimas), se encuentra el valor 0'90988 que corresponde a la probabilidad buscada. 0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,09

0,0

03000

03040

03080

03120

0.5160

0,5359

1,2 1.3

0,8849 0.90320

0.8869 0.90490

0,8888 0.90658

0,8907 0,90824

0,8925 0.90988

0.90147 0,91774

Ejemplo 8.5 Sabiendo que la variable aleatoria X sigue una distribución normal de media u=10 y desviación típica a=2'5, vamos a calcular: a) la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que 12; b) la probabilidad de que X tome un valor comprendido entre 9 y 12; c) la proba bilidad de que X sea mayor que 12. Solución: a) Para calcular P(X<12), tipificando la variable, resulta: P(X < 12) t 2'5

12-10' : P(Z < 07}) = (Y7881 2'5

282

I ¡ x l

10

12

0

O'B

Figura 8.13: Región original v región transformada.

b)

P(9
Í9-10 X-10 12-10} P(-0'4
0'8) - P(Z < -ff4) = (Y7881 - O'3446 = 0'4435 c)

P(X>12) = 1-P(X<12) = 1

X-10 12-10" < = /-P(Z
= 1-0'7881 = 0'2119 Ejemplo 8.6 Una empresa que tiene 2000 empleados paga a éstos un salario cuya media es de 800 ptas. por hora de trabajo, con una desviación típica de 75 ptas. Si los salarios están distribuidos normalmente, se trata de hallar: a) el porcentaje de empleados que cobra menos de 650 ptas. a la hora: b) el porcentaje de empleados que ganan más de 900 ptas. a la hora: c) el porcentaje de empleados que ganan un salario comprendido entre 700 y 900 ptas. por hora de trabajo; d) la probabilidad de que un empleado elegido al azar gane un salario inferior a 750 ptas. por hora de trabajo; e) el número de empleados que ganan por debajo de las 750 ptas. a la hora; f) el valor del salario por hora de trabajo, por encima del cual se encuentran el 20% de los empleados que más ganan. Solución: a) El porcentaje de empleados con salario inferior a 650 ptas. se obtiene de multiplicar por 100 la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que 650. Para calcular esta probabilidad, tenemos que tipificar la variable, haciendo X-800

283 'X-800 con lo que

650 -800 a

P(X < 650) = P

P(Z < -2) = 0'02275 7?

Por tanto, un 2'27% de los emplea dos percibe un salario menor de 650 ptas. b) Para hallar el porcentaje de em pleados que cobran un salario superior a 900 ptas. por hora de trabajo, hay que calcular la probabilidad de que la varia ble aleatoria X tome un valor mayor que 900, y esta probabilidad es:

Figura 8.14: Empleados con salario superior a 900 pías.

P(X>900) = 1-P(X<900):

*

1-P\Z<

900-800 = 1-P(Z<¡'33). 75 1-0'9082 = 0'0918

lo que supone un 97c de los emplea dos. c) Calculamos, en primer lugar, la probabilidad de que un empleado ele gido al azar gane un salario comprendi do entre 700 y 900 ptas.

Figura 8.15: Empleados que cobran entre 700 y 900 ptas.

P(700
P(X < 750) :

Z<

750-800] = P(Z < -O'66) = 0'2546 75

e) Acabamos de encontrar que la probabilidad de que un empleado perciba un salario inferior a 750 ptas. a la hora es 0'2546. lo que supone un porcentaje del 25'46% de los empleados de la empresa. Dado que la empresa cuenta con 2000 empleados, el 25'46% de 2000 supone unos 509 empleados.

284 O El valor, por encima del cual se encuentran el 20% de los empleados que más ganan, coincide con el valor por debajo del cual se encuentran el 80% de los emplea dos que menos ganan. Luego se trata de hallar, en primer lugar, el valor de la variable tipificada z, tal que P(Z
8.5. Aproximación de la binomial En el apartado 8.2.3, hemos visto cómo la distribución de Poisson aproxima a la binomial cuando n es grande y p próximo a 0 ó a 1 . La distribución normal proporciona una buena aproximación de la binomial cuando n es grande y p no muy próximo a 0 ó a 1, y, a veces también cuando n es pequeño si p se aproxima a 1/2. Es correcto utilizar la distribución normal como aproximación de la binomial cuan do np>5 y nq>5. Si p es muy próximo a 0'5, la aproximación es válida si np>3, aún cuando n sea pequeño. La siguiente proposición, conocida como teorema de Laplace-De Moivre, que enun ciamos sin demostración, permite la aproximación de una distribución discreta (la binomial) por una distribución continua (la normal). Proposición 8.8: Sea X una variable aleatoria binomial de media |i=np y varianza (T=npq. Cuando n tiende a °°, la variable aleatoria X-np .Jripq sigue una distribución normal tipificada N(z;0,l). Un gráfico nos ayudará a entender el proceso que se sigue para aproximar una distribución binomial por una normal: A) Se dibuja el histograma correspondiente a la binomial. B) Se superpone la curva normal con la misma media y varianza que la binomial. La probabilidad de que la variable aleatoria binomial X tome un valor concreto xo es igual al área del rectángulo del histograma cuya base contiene el valor xo.

285 Cuando se realiza la aproximación, hay que tener en cuenta que se está aproximan do una variable discreta por una variable continua, lo que exige una corrección de continuidad, que consiste en utilizar la siguiente igualdad: P(a
(13)

Esta igualdad nos indica que, para calcular la probabilidad de que la variable binomial tome valores enteros mayores o iguales que a y menores o iguales que b. se aproxima por el área bajo la normal comprendida entre a-0'5 y b+0'5, lo que supone añadir la mitad de las áreas de los rectángulos extremos, que, de otro modo, se perde rían. En el caso particular en que X tome un determinado valor entero r, la corrección de continuidad viene dada por la igualdad (14). Se aproxima por el área bajo la normal comprendida entre los valores r-0'05 y r+0'05, que es una aproximación del área del rectángulo cuya base está centrada en r. P(X =r) = P(r-0'05
(14)

Ejemplo 8.7 Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial B(x;n,p) con n=10 y p=0'4. Veamos la aproximación que se consigue con la normal, calculando las probabilidades P(X=5) y P(3
Figura 8.16: Aproximación de la binomial.

286 a) Las tablas de la binomial nos proporcionan, para n=10, r=5 y p=0'4, el valor 0'2007. Si aproximamos el valor de P(X=5) por la normal, hay que evaluar el área bajo la normal de media n=10x0'4=4 y varianza a2=10x0'4x0'6=2'4, comprendida entre los va lores 4'5 y 5'5: Í4'5-4 5'5-4) P(4'55 y nq=100x0'8=80>0, se puede aproximar por una normal N(x;20,4). Entonces Í9'5-20 T0S -20' P(10 < X <20)= P(9'5 < X < 2'05) = P\
287

: P(-7625
8.6. Ejercicios Propuestos 8.1. La probabilidad de que un enfermo se recupere tomando un nuevo fármaco es 0'95. Si se les administra a 8 enfermos, hallar: A) La probabilidad de que se recuperen 6 de los 8 enfermos. B ) La probabilidad de que se recuperen al menos 5 de los enfermos. 8.2. La probabilidad de que una persona muera a causa de un virus es 1/250. Hallar la probabilidad de que mueran seis de las 1000 personas siguientes que sean contagia das por el virus. 8.3. Un examen se compone de 12 preguntas con cinco opciones de respuesta cada una, de las cuales una sola es correcta. Si un alumno realiza el examen respondiendo al azar, hallar: 1 ) la probabilidad de que responda correctamente más de 5 preguntas; 2) la proba bilidad de que acierte al menos una: 3) la probabilidad de que no acierte ninguna; 4) el número medio esperado de respuestas acertadas. 8.4. La probabilidad de que una válvula cardíaca funcione al cabo de dos años es 0'75. Hallar la probabilidad de que, de las 3500 válvulas colocadas, 2600 estén funcionando al cabo de 2 años. 8.5. Se sabe que el 0'002 por ciento de los terremotos que se dan en una zona propen sa a los seísmos es superior al índice 6 de la escala de Richter. Si se producen 500 temblores de tierra en un año, 1 ) hallar la probabilidad de que más de dos tengan una intensidad superior a 6 en dicha escala. 2) ¿Cuál es el número de terremotos de inten sidad superior a 6 esperado? 8.6. El número medio de aviones que piden pista para aterrizar en un aeropuerto es de tres por minuto. Si la torre de control puede atender a ocho aviones por minuto como máximo, ¿cuál es la probabilidad de que, en un determinado minuto, el número de aviones sea tal que no puedan ser controlados? 8.7. Una industria de electrónica ha adquirido un robot para montar sus productos. Durante el mes de prueba, se ha comprobado que 14 días no hubo ningún fallo, 12 días hubo un solo fallo, 3 días se dieron 2 fallos y un solo día se produjeron 3 fallos.

288 1) Ajustar una distribución binomial a la distribución empírica observada. 2) Hallar la probabilidad de que un día determinado se dé un fallo, usando la distribución teórica. 8.8. Se sabe que el 25% de los estudiantes de una universidad son fumadores. Se selecciona al azar una muestra de ocho estudiantes. 1) ¿Cuántos de ellos se espera que sean fumadores? 2) Hallar la probabilidad de que ninguno sea fumador. 3) Hallar la probabilidad de que tres sean fumadores. 8.9. Una factoría del automóviles adquiere 500 componentes para montar en sus co ches. La empresa suministradora le comunica que uno de cada 100 componentes tiene defecto. Calcular: 1 ) la probabilidad de que 5, 6 ó 7 sean defectuosos; 2) la media y la desviación típica de la variable X= «número de componentes defectuosos»; 3) los extremos del intervalo entre los que se encuentran las 3/4 partes del número de com ponentes defectuosos (utilizar la desigualdad de Tchebycheff); 4) la probabilidad co rrespondiente al intervalo del apartado anterior. 8.10. De una urna, que contiene 15 bolas rojas y 20 blancas, se extraen seis bolas con reemplazamiento. Si se define la variable X = «número de bolas rojas extraídas», 1) ¿qué distribución sigue la variable X?; 2) ¿cuál es el número medio de bolas rojas extraídas? 8.11. La llegada de aviones a un aeropuerto sigue una distribución de Poisson de parámetro 1 '4. Hallar las probabilidades de los siguientes sucesos: 1 ) Que el número de aviones que lleguen sea mayor que cuatro. 2) Que lleguen entre tres y cinco aviones. 3) Que llegue algún avión. 8.12. Una máquina saca con defecto un 20% de las piezas que fabrica. Si se seleccio nan seis piezas fabricadas por la máquina, hallar la probabilidad de que: 1 ) dos de ellas tengan defecto; 2) tengan defecto más de dos; 3) ninguna tenga defecto. 8.13. En un paquete de 25 lámparas hay tres que están fundidas. Hallar la probabilidad de que, al sacar 3 al azar, una al menos de las tres esté fundida. 8.14. Dada una distribución normal N(z;0,l), calcular las siguientes probabilidades: 1) P(Z<2'25); 2) P(Z>0'35); 3) P(Z<-1 '34); 4) P(Z£2'28); 5) P(-1'5
P(X<2'35); 2) P(X<-2'35); 3) P(X<5'56)

289 8.16. Dada una distribución normal N(z;0,l ), calcular el valor de a tal que: 1 ) P(Z4)=0'3085 y P(X<7'5)=0'8944 Hallar su media y su desviación típica. 8.18. Se sabe que la estatura de los jóvenes españoles en edad de cumplir el servicio militar sigue una distribución normal de media 1 '69 m. y desviación típica 0'08 m. Si se incorporan al ejército 10000 jóvenes, hallar: 1 ) El número de reclutas cuya estatura está comprendida entre 1 '60 y 1 '70 cm. 2) El número de reclutas que miden menos de 1 '60 m. 3) El número de reclutas que miden más de 1 '70 m. 8. 19. Se sabe que la talla de una población de pigmeos se distribuye según una normal de media 1,35 y desviación típica 0'6. Hallar: 1 ) Entre qué valores en torno a la media de la población se encontrarán el 80% de los pigmeos. 2) La altura, por encima de la cual, se halla el 15% de los más altos. 8.20. Si se lanza un dado 400 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 3 ó un 4 más de 1 00 veces, pero menos de 1 30? 8.21. Un equipo de biólogos midió la longitud de 365 arbustos de una determinada especie, obteniendo los siguientes resultados: Longitud (cm.) N° arbustos

15-16

16-17

17-18

18-19

19-3)

31-21

21-22

22-13

23-24

24-15

15-26

26-27

4

6

17

22

59

78

62

53

34

20

7

3

1 ) Dibujar el polígono de frecuencias. 2) Calcular la media y la desviación típica. 5) Aproximar mediante una distribución normal que tenga la media y la desviación típi cas calculadas. 6) Si el número total de arbustos se sabe que es de 5000, ¿cuántos habrá que midan entre 18 y 21 cm.? 8.22. En una clase de 60 alumnos, se sabe que cada uno falta el 4 por ciento de los días. Hallar la probabilidad de que un día determinado: 1) estén todos los alumnos en clase; 2) Falten 10 alumnos: 3) falten más de 10 alumnos.

290 Apéndice al capítulo 8: Demostración de las propiedades de la distribución normal I. Se trata de una función exponencial, que está definida para todo número real y toma valores estrictamente positivos. II. La simetría respecto de x=u resulta evidente, puesto que f(u-x)=f(M+x)III. y=0 es una asíntota horizontal, ya que ümf(x) = 0 IV. La derivada primera es

Si igualamos a cero la derivada primera, se tiene 0 de donde resulta x - u = 0 => x = u. o La derivada segunda es

1-5

f^i44*»ffl-4».-

Como/Tu ) = -—r/(|i)< 0. queda probado que f alcanza su máximo en x=u. Ade°~ 1 más f toma, para x=u, el valor /(u ) = cW27i . Y Si x0, luego f es creciente en (-°°,|i) y si x>n, es f'(x)<0, luego fes decreciente en (|i, +<*,). VI. Igualando a cero la derivada segunda, se tiene: x-\l V .1=0

/ => (X - u Y = cr

de donde se deduce: o y, por tanto:

x - u = o y x - u = -o => x = u + o y x = u - o

291 luego los puntos de abscisa x=|i-s y x=|i+s pueden ser dos puntos de inflexión. Los intervalos de concavidad y convexidad se obtienen fácilmente: Si -°°0 y la curva es cóncava, si |i-o0 y la curva es cóncava. Esto corrobora que en x=n~o y x=n+o hay dos puntos de inflexión. VII. Por definición, la función generatriz de momentos es t vi 7)e"-^e~-^rdx 1 iV'rf g(t)=E[e,x]=

Si hacemos el cambio . - r~ u , es x=u+oz y dx=odz y, por tanto

° g(t) = í ¿">«*'-l=eLTadz = e» í ~¡= e"* r dz

Pero

1 , 2taz-z: -(z2-2taz) -(z2-2taz+a:r-a:r) taz--z= —= ~ = = 2 2 2 2 -(z2-2taz+a2r). oY -(z-atf (atf + —— = —-— + 2 2 2 2 Í¡

~7=e -(z-aif 2 ' (oír ? dz = el"e (oír -' "T J ~7=]

g iz.aír

Haciendo ahora el cambio y=z-ot, con lo que dy=dz, queda \-j=eldy = e¡'

' e 2 d\ = I . ya que Jí T— - \27t VIII. Si utilizamos la función generatriz de momentos, resulta: i)

g'(t) = e»'--r(Vi+tdl)

Entonces E(X)=g'(0)=|i. ü)

g'(t)=e,u-~h(\l+tat r + crV"*^

luego e(x:) = g"(0) = u" +o:. y, por lo tanto, la varianza será var(X) = E[X:] - [E(X)f = u : +a: - |i 2 = O"'

dz

TERCERA PARTE

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

CAPITULO 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA

9. 1 . Fundamento teórico Las poblaciones, con cuyos datos trabaja el estadístico, son habitualmente dema siado amplias, de tal forma que no suele ser posible recoger la información de todos sus elementos, ni siquiera de una parte importante de los mismos. Incluso en poblaciones menos numerosas, la recogida de datos no siempre es fácil, unas veces porque lo impide el coste de la propia toma de la información y otras porque la información lleva consigo la destrucción de los individuos que la compo nen. Ante estas situaciones, el investigador puede optar por la selección de un subconjunto de elementos de la población (muestra), del que recopilará la información que necesita. El estadístico, por lo tanto, sólo utiliza los datos que le proporciona la muestra seleccionada, y, sin embargo, las conclusiones que obtiene deben ser válidas para toda la población. Conseguir las técnicas necesarias para realizar inferencias acerca de una población completa a partir de los datos de una muestra de la misma es el objeto de la «Estadís tica Inferencial», cuyo fundamento teórico está basado en el modelo matemático del «Cálculo de Probabilidades».

9.2. Objetivos La Estadística Inferencial posee múltiples aplicaciones en todos los campos de la investigación, por lo que sus métodos se describen de forma genérica. En la práctica diaria, el investigador lo que desea es sacar conclusiones para toda la población a partir del conocimiento de una parte de la misma.

296 Ejemplo 9.1 Supongamos el caso de un fabricante de lámparas que quiere ensayar un nuevo método de producción que supone una importante inversión económica para su in dustria. Considera que dicho método es interesante para la empresa si mejora la vida media de las lámparas en un cierto número de horas. Para ello, tiene la posibilidad de expe rimentar con una muestra de 60 lámparas elaboradas previamente según los nuevos criterios. El interés del fabricante, en un principio, está en hacer una estimación de la vida media de todas las lámparas que vaya a producir a partir del resultado que le propor cionarán las 60 lámparas de que dispone. La vida media de las lámparas de la muestra de 60 le permite acceder a una primera estimación de la vida media de la población. Pero a nuestro fabricante le gustaría tener una idea más precisa de la proximidad entre el valor estimado y el valor real de la media de la población; está interesado en obtener un intervalo pequeño, que incluya el valor de la duración media real de las nuevas lámparas con una probabilidad alta. Suponiendo que la muestra le proporciona una duración media superior a la de las lámparas que ya produce, sería muy interesante saber si la ganancia en horas obteni da es una garantía que le permite concluir que las nuevas lámparas forman parte de una población cuya vida media es distinta de la vida media de la población actual. Estos objetivos se corresponden con las tres categorías de problemas que aborda la «Estadística Inferencial»: A) La estimación de los valores de los parámetros de la población. B) La determinación de un conjunto de valores (suele ser un intervalo) con una probabilidad alta, dada, de contener al verdadero valor del parámetro. C) La evaluación de ciertos resultados cuando se cumplen determinados valo res de los parámetros de una población. El conjunto de métodos utilizados para la estimación de un parámetro de la pobla ción a partir de la información que proporcionan los datos de la muestra constituye la «estimación puntual». La «estimación por intervalo» da respuesta al segundo de los objetivos plantea dos. Estos dos métodos son el objeto de la «Estadística Inferencial Inductiva», que desarrolla técnicas para la estimación de los parámetros de la población: a) bien a partir de los datos de una muestra, proporcionando una medida de la incertidumbre de la propia inducción, como actúan los métodos clásicos de esti mación. b) bien combinando la información muestral con una información previa, como hacen los métodos bayesianos. La respuesta a la tercera de las alternativas la proporciona la "Estadística Inferencial

297 Hipotético-Deductiva", que facilita procedimientos para aceptar o rechazar una hipó tesis, generalmente sobre un parámetro desconocido de la población, dando una me dida del posible error cometido. Hemos de señalar también que, para que las conclusiones de la "Estadística Inferencial" sean válidas, las muestras seleccionadas deben ser aleatorias y represen tativas de la población. La "Teoría de Muestras" y el "Diseño de Experimentos" son dos ramas de la "Estadística" que tienen por objeto el estudio de la selección y representatividad de las muestras. Las consideraciones anteriores ponen de manifiesto la necesidad de introducirnos en el conocimiento de algunas técnicas basadas en estas disciplinas, que permiten obtener las distribuciones muestrales de los estadísticos y encontrar una medida del error debido al muestreo.

9.3. Población y muestra Cuando hablamos de estimar un parámetro de la población a partir de los datos proporcionados por una muestra, estamos manejando unos conceptos que conviene precisar. Entendemos por población el conjunto de todos los elementos que van a ser objeto de un experimento aleatorio. Estos elementos están representados a veces por una variable. Una muestra es un subconjunto de elementos de la población. Hay, sin embargo, distintas formas o métodos de seleccionar una muestra, que dependen, en general, de las características de la población que se va a estudiar. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas, según apuntábamos en el capítulo primero. Sin embargo, en la mayoría de los casos que se presentan en la práctica, poblacio nes con un número finito de individuos pueden ser consideradas infinitas. Así, cuan do una muestra contiene un número de individuos menor o igual al 5% de los indivi duos de la población, ésta se considera infinita.

9.4. Muestreo aleatorio El muestreo aleatorio es un proceso de selección de muestras, mediante el cual se garantiza que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de la muestra. A la muestra seleccionada de este modo se le llama muestra aleatoria. Este tipo de muestreo es el procedimiento habitual que utiliza la Estadística para seleccionar una muestra.

298 En el proceso de selección de una muestra, puede suceder que, una vez seleccio nado y computado un elemento, éste sea devuelto a la población, pudiendo ser selec cionado de nuevo para formar parte de la misma muestra. En tal caso, se habla de muestreo con reemplazamiento. En cambio, si una vez seleccionado un elemento, no puede volver a formar parte de la misma muestra, se habla de muestreo sin reemplazamiento. Cuando utilizamos el método de muestreo con reemplazamiento, el resultado de la extracción de cada elemento es independiente de los resultados anteriores. Además, en el muestreo con reemplazamiento, el número de individuos de la población no se acaba nunca, por lo que se puede dar el hecho de muestras con tamaño mayor que el número de individuos de la población. En poblaciones finitas, si el muestreo es sin reemplazamiento, el resultado de una extracción depende de los resultados de las anteriores.

9.5. Muestreo aleatorio simple Un experimento aleatorio se caracteriza por el hecho de que, a pesar de no ser predecible el resultado de una realización particular del mismo, sí es posible tener una idea de los resultados globales cuando el número de realizaciones es grande. Si consideramos a los individuos de la población como un conjunto de elementos que presentan un carácter medible y ordenamos las medidas de dichos elementos acompañadas de sus respectivas frecuencias, tenemos lo que hemos llamado una distribución de frecuencias. Las frecuencias de estas medidas tienden a mostrar una cierta regularidad, por lo que se pueden describir por medio de un modelo probabilístico. Por ello, las variables que intervienen pueden ser consideradas como variables aleatorias, recibiendo el nom bre de "variables de respuesta" del modelo correspondiente. Una muestra aleatoria de tamaño n consiste en n realizaciones independientes de un experimento aleatorio. Se obtiene así un conjunto de n medidas con sus correspon dientes frecuencias, lo que proporciona la distribución frecuencial de la muestra. El conjunto de todos los valores posibles, que pueden representarse por un punto (X,,X,,..., Xn) del espacio n-dimensional, se denomina espacio muestral asociado al modelo probabilístico. El conjunto de n valores particulares (x,,x2,...,xn) observados constituye la realiza ción de la muestra. Podemos establecer como definición formal de muestra aleatoria simple de tamaño n la siguiente: Sean X , X ,...,X n variables aleatorias independientes, cada una con la misma distri bución de probabilidad f(x). Una muestra aleatoria simple de tamaño n de la población cuya distribución es f(x), es una variable aleatoria n-dimensional (X^,,...^).

299 La distribución de probabilidad conjunta de la muestra, al ser las variables inde pendientes, viene dada por f(x„x

x>f(x,)fiX)...fiX)

9.6. Estadístico Sea (X,,X2,...,Xn) una muestra aleatoria simple. Si ahora, para cada muestra posible, definimos una función numérica de sus datos: l(X,,X2,...,Xn) los valores así obtenidos junto con las probabilidades de obtener las respectivas muestras constituyen una distribución del estadístico 1 en el muestreo. El estadístico 1(X .Xy...X ) es, por tanto, una variable aleatoria. A este estadístico nos referíamos en el apartado 1 .2.3, llamándolo entonces estadístico inferencial para indicar que se trataba de un estadístico cuya función es la de inferir o estimar el valor de algún parámetro de la población; en adelante, le llamaremos estadístico solamente. Si el estadístico 1 sirve para estimar el parámetro poblacional L, se dice que 1 es un estimador' de L. La notación más frecuente consiste en designar al parámetro de la población por una letra del alfabeto griego (n será la media, O la desviación típica,...) y al estadístico que se utiliza como estimador de dicho parámetro con la misma letra sobre la que se coloca el acento circunflejo: ÍMT,...

Una estimación puntual de algún parámetro de la población X es un valor particu lar X del estadístico X. Así, por ejemplo, un valor particular del estadístico media muestral, calculado desde una muestra de tamaño n, es una estimación puntual del parámetro poblacional u. Entre los estadísticos de uso más frecuente se encuentran: A) La media, mediana y moda, como estimadores de parámetros de tendencia

central. B) La cuasivarianza y la desviación típica muestral, como estimadores de los parámetros de variabilidad. Las definiciones de estos estadísticos coinciden con las que se dieron en los primeros capítulos para las características de una variable estadística. Aparecen aho ra, como novedad, la cuasivarianza y la desviación típica muestral.

1 Un estimador también recibe el nombre función de decisión, siendo la estimación particular la decisión que se toma.

300

Definición 9.1: Si (XrX la cuasivarianza2 como

,X ,r) es una muestra aleatoria de tamaño n, se define n

J -

„-/

siendo X la media muestraI La desviación típica muestral es, por definición, la raíz cuadrada positiva de la cuasivarianza, y se representa por s. Proposición 9.1: La cuasivarianza de ul ía muestra aleatoria de tamaño n se puede expresar como n

%x]

(2)

i-i n(n - ¡) Demostración: Desarrollando el cuadrado, resulta: s~ =

1 " I " :¿Á.x,-xf = -¿Xx2,-2xxl + x:) = n-li, n-li.i n I n ¿jrf -2x^x, + nx: n-1

14 Teniendo en cuenta que x ■- J,*, si se multiplica y divide por n, se tiene: "~ n¿,jn-n ¡

Y.x¡-2nx~ + nx~ =

Mn-lKZ

n(n-l)

-

n^x,'- Xr ,.i V.w ¡ n(n-l)

El conocimiento de la distribución de un estadístico es un problema que resuelve el «Cálculo de Probabilidades».

2 En el apartado 9.12.1 se ve que la cuasivarianza es un esimador insesgado de la varianza poblacional. lo que justifica el uso de la cuasivarianza en el muestreo.

3JM 9.7. Distribución de los estimadores La distribución muestral del estadístico 1 (X,,X, Xn) depende de los parámetros de la variable aleatoria poblacional X, y estos parámetros son generalmente descono cidos. Consideremos una población cuya distribución tiene de media |i, sea (X,,X ,...,X ) una muestra aleatoria de tamaño n, y sea -

X, + X2+... + X.

A —

la media muestral. Para cada muestra particular k, tenemos un valor particular de la media muestral — x¡ + xi+... + x„ x,= n Con estos valores j podemos construir una distribución de frecuencias, con lo que tendríamos la distribución muestral de la media. Ejemplo 9.2 Consideremos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado sobre el tablero y observar el número que aparece en su cara superior. Podemos admitir que la probabilidad de cada uno de los seis sucesos posibles (obtener 1 . 2. 3, 4, 5, 6) es de 1/6. Si imaginamos todos los pares de valores que se pueden obtener cuando realiza mos dos lanzamientos independientes, tenemos definida la muestra (X^X,). Se trata de una variable aleatoria bidimensional. Cada uno de los pares de valores particulares obtenidos, por ejemplo (3.5). es una realización de la muestra. La variable aleatoria bidimensional (X|5X2) tiene una distribución de probabilidad, dada por los 36 sucesos elementales formados por todos los pares posibles: E={(1,1),(1,2)

(1,6)

(6.6)}

todos ellos con probabilidad igual a 1/36, al ser independiente el resultado de cada una de las pruebas, por tratarse de muestreo aleatorio. Si consideramos la media muestral de los pares de valores obtenidos en cada muestra, tenemos el estadístico y Xl + X2 X= 2 Se trata de una variable aleatoria bidimensional. que puede tomar los valores 1; 1'5; 2; 2'5; 3; 3'5; 4; 4'5; 5; 5'5 y 6, cuyas probabilidades se pueden obtener a partir de la distribución de (X ,X,).

302 Así, por ejemplo:

= P{X, = l,X: = 3) + P(xl=2,X: = 2) + P{xl = 3,X: = l) = ^- = ^JO

12

9.8. Error típico Si el tamaño de la muestra coincidiera con el número de individuos de la pobla ción, el valor del estimador coincidiría con el valor del parámetro. Sin embargo, esta situación no se da, y se producen diferencias entre el parámetro poblacional y su estimador. Estas diferencias pueden ser debidas a una elección defectuosa de la muestra, en cuyo caso se conocen como errores muestrales, pero también pueden ser debidas a fenómenos de puro azar, y, en tal caso, son llamadas errores aleatorios. Si los elementos de la muestra han sido seleccionados aleatoriamente, el error aleatorio puede ser estimado gracias a las técnicas del «Cálculo de Probabilidades» a partir de una muestra elegida aleatoriamente de la población. Definición 9.2: Se llama error típico de un estadístico 1 (XrX, Xn) a la des viación típica de la distribución de dicho estadístico en el muestreo.

9.9. Propiedades de los estimadores La estimación que hace un estimador del parámetro poblacional no está carente de error. Cuando se trata de hacer una estimación de un parámetro, como puede ser la media de la población, podemos optar entre diversos estimadores: la media muestral o alguna de las otras medidas de tendencia central: la mediana de la muestra a veces proporciona una mejor estimación que la propia media. Son diversas las condiciones que se pueden exigir a un estimador para que sea preferible a otro: A) Estimador insesgado: Es conveniente que la distribución muestral de un estimador tenga una media igual al parámetro poblacional que trata de estimar. A un estimador que cumple esta propiedad se le llama insesgado o centrado. En otro caso, se dice que es sesgado.

303

Definición 9.3: Se dice que un estadístico A, es un estimador insesgado del parámetro X si |i;=EA¿=A. B) Estimador más eficiente: Si tenemos dos estimadores insesgados de un mismo parámetro, será preferible aquel de los dos cuya distribución muestral tenga la menor varianza. Definición 9.4: Dados dos estimadores insesgados A, y X de un mismo parámetro X, se dice que X es más eficiente que /L, si or
9. 10. Distribución de la media muestral La distribución de una muestra es, en general, distinta de la distribución de la población de que procede; la muestra suele tener distinta media, distinta mediana, ... Esto es debido, fundamentalmente, al error que producen las fluctuaciones del muestreo, es decir, a los datos que se introducen en la muestra por puro azar. El error de muestreo disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Ejemplo 9.3 Un equipo de profesores de Educación Física está interesado en el estudio del salto de longitud de los jóvenes de edades comprendidas entre 14 y 16 años. La variable salto se puede considerar normalmente distribuida. La selección de un número considerable de muestras de cuarenta alumnos permi tiría analizar la distribución empírica de las medias muestrales, que, si el número de muestras fuera suficientemente grande, estarían distribuidas normalmente, aún en el caso de que la distribución de la población no fuera normal. Para sacar conclusiones acerca de la media poblacional, es necesario tener una medi da de la dispersión de la muestra, que no coincide con la dispersión de la población. En efecto, supongamos que es conocida la media poblacional de saltos de longi tud y que ésta es u=4'85, siendo la desviación típica de la población G=1'3. Será

304 entonces poco probable un salto de 7'50 metros, pero mucho menos probable será obtener una muestra completa de 40 jóvenes cuyo salto medio sea de 7'50 metros. Es menos probable obtener un valor extremo de la media muestral que obtener el mismo valor extremo en un salto particular. Este razonamiento nos lleva a pensar que será menor la dispersión de la media muestral que la de la distribución de la población, disminuyendo la dispersión muestral a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El teorema central del límite permite estimar la dispersión de la distribución de las medias muestrales a partir de una muestra. Teorema central del límite: Dada una población de media \i y varianza finita O2, la distribución en el muestreo de la media tiende, cuando aumenta el tama ño n de la muestra, a la distribución normal (3)

N

V

VnJ

Por tanto, en las hipótesis del teorema1, la media muestral será u- = u y la varianza de la media muestral a-r = — n . En la práctica, si n>30, se considera válido el uso de este teorema. Cuando la población es normal, el teorema también es válido para n<30. La desviación típica de la media muestral proporciona una medida de la calidad de la estimación del parámetro; es igual a

a,--?v«

(4)

y se conoce como error típico de la media. La desviación típica de la población a suele ser desconocida. En este caso se toma la desviación típica muestral s como estimación de a, quedando como error típico estimado de la media:

a, --L

(5)

Vn

En general, se llama error típico de un estadístico* a la desviación típica de su distribución muestral.

3 El teorema central del límite es válido en el caso discreto y en el caso continuo (sólo exige que la varianza sea finita), dependiendo el grado de aproximación del tamaño de la muestra y del tipo de población. 4 La mayoría de los autores al «error típico estimado» le llaman «error típico» únicamente.

305

9.11. Grados de libertad de un estadístico Si en el cálculo de un estadístico intervienen r valores independientes de la varia ble, se dice que r es el número de grados de libertad (gl) del mismo. Cuando un estadístico se obtiene sólo a partir de los n datos de una muestra, el número de grados de libertad del estadístico coincide con el tamaño de la muestra. Sin embargo, hay ocasiones en que un estadístico es función de algún parámetro de la población, que, al ser desconocido, debe ser estimado con valores de la propia muestra. Ejemplo 9.4 Supongamos la distribución de una población de la que se conoce su media u, pero de la que se desconoce su desviación típica o. En este caso, se utiliza, como estimador de la desviación típica poblacional. la desviación típica muestral s. Entonces el estadístico —

donde x es la media muestral, u es la media de la población y s- = s es la desviación típica de la muestra, tiene n-1 grados de libertad. En efecto, para calcular la desviación típica de la muestra, se utilizan n desviacio nes respecto a la media, pero no todas ellas varían libremente: como la suma de todas las desviaciones a la media debe ser cero, el último de los valores queda determinado por los n-1 primeros. Por lo tanto, el estadístico t posee n-1 grados de libertad. Cada vez que, para calcular un estadístico, necesitamos estimar un parámetro de la población, se reduce en 1 el número de grados de libertad. Luego, si son k los parámetros que se deben estimar, a partir de una muestra de tamaño n, para construir un estadístico, el número de grados de libertad de éste será: r=n-k

9. 1 2. Estimación puntual Las técnicas para realizar inferencias acerca de los parámetros de la población están basadas en el conocimiento de los diferentes estadísticos que se utilizan para estimar dichos parámetros. Los estadísticos son variables aleatorias que dependen de la muestra y que tienen una distribución de probabilidad, a la que hemos llamado distribución muestral del estadístico. Esta distribución depende de la población, del tipo de muestreo que se realiza y del tamaño de la muestra, según acabamos de comprobar en el teorema central del límite.

306

Para seguir haciendo inferencias, es necesario conocer las distribuciones muestrales de los estadísticos que se emplean en cada situación. No es objeto de este libro hacer un estudio de los diferentes métodos que se utilizan para conocer las diversas distribuciones muestrales. Para ello, se puede con sultar cualquier tratado sobre «Cálculo de Probabilidades» de los que figuran en el apéndice bibliográfico. Recogemos a continuación las distribuciones de los estadísticos más usuales con sus propiedades fundamentales, que serán utilizadas en los próximos capítulos. En ellos haremos un estudio de los contrastes de hipótesis, estableciendo la relación entre este método de inducción y los intervalos de confianza.

9.12.1. Estimadores para una distribución normal Consideremos una población que tiene una distribución normal N(|i.o). donde u. es la media y a la desviación típica, y sea (XrX, Xn) una muestra aleatoria simple de dicha población. Entonces: A) Un estimador puntual de la media poblacional |i es la media maestral:

B) Un estimador puntual de la varianza poblacional & es la cuasivarianza muestral:

C) Como estimador puntual de la desviación típica o se tiene: s= a Propiedades: 1. ft es un estimador insesgado y de mínima varianza. 2. Ó"2 es un estimador insesgado y de mínima varianza. n a *

3. La distribución de ji es N

4. La distribución de

;— es unaxcon (n-1) gl. o"

5. Las variables tipificadas siguientes son: a) Z=

£i-|i —t= normal N(0. 1 ) cuando a es conocida. o I yin

307

b) Z-

r- aproximadamente normal N(0,1 ) cuando a es desconocida y n>30.

s/ Jn c) (

= " " una t de Student con (n-1) gl, cuandon< jq. s / -Jn ~

Ejemplo 9.5 Los siguientes datos corresponden al número de flexiones que realizan 80 alumnos de primero de Bachillerato elegidos al azar de entre los distintos centros de la provin cia de Toledo. Suponiendo la normalidad de la característica «número de flexiones», hacer una estimación de la media y de la varianza de la población de todos los alum nos de la provincia. N" flexiones

35

41

46

48

50

52

53

54

56

60

N° alumnos

5

6

2

10

15

6

11

10

5

5

Una estimación de la media es \in=xn=-^?ix¡ni=—^-=49'79

y una estimación de la varianza es <$;,=—2Jx¡~xo)~n,=5' 92 '" ¡,i

9.12.2. Estimadores para una población binomio! Consideremos una población constituida por individuos que presentan un carác ter dicotómico, que puede tomar las modalidades A y B, de modo que la probabilidad de que un individuo de la población tenga la modalidad A del carácter es p=P(A) y la de la modalidad B es q=l-p. La distribución muestral de la proporción de individuos que presentan la modali dad A del carácter en una muestra de n individuos es una binomial de media p. La proporción de individuos que poseen la modalidad A del carácter en una mues tra de tamaño n es n° de veces que aparece A P=-

A) p es un estimador insesgado de p. \ ri( I n )

B) p es de mínima varianza, siendo op =J C) Si n es suficientemente grande, p sigue una distribución normal ( N

pMi-v)

(6)

308 Ejemplo 9.6 Se han cruzado dos moscas «Drosophila melanogaster», obteniéndose 189 mos-cas, de las cuales 101 tienen los ojos blancos. Dar una estimación de la proporción de moscas de ojos blancos para un gran número de cruces, así como de la desviación típica de la distribución muestral de la proporción de moscas con ojos blancos. Una estimación de la proporción será: A 101 -189-0'54

y una estimación de la desviación típica: 0'54x0'46 0,Q45 120 9.12.3. Estimadores para una distribución de Poisson Supongamos una población tal que las modalidades del carácter siguen una distri bución de Poisson de parámetro \l, y sea (X ,X,,..., X ) una muestra aleatoria simple. Entonces, un estimador puntual del parámetro es la media muestral: i

"

Propiedades: 1. |1 es un estimador insesgado de u. 2. \i es un estimador de mínima varianza, siendo o^J— •

(7)

3. Si el tamaño de la muestra n es suficientemente grande, (i sigue una distribución normal

Ejemplo 9.7 Se han llenado 95 cámaras de recuento con un cultivo bacteriano diluido, obteniéndose los números de bacterias por cuadrícula que figuran en la siguiente tabla. Sabiendo que sigue una distribución de Poisson, hallar una estimación del parámetro.

309

Número de bacterias

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Número de cámaras

(1

2

7

16

16

18

13

8

7

3

3

2

487 La estimación es u>-jr=-=J' 13

9.12.4. Estimadores de la diferencia de medias Sean dos poblaciones independientes y distribuidas normalmente. Designemos por X e Y las variables aleatorias correspondientes a las modalidades del carácter en estudio, respectivamente. Supongamos que X sigue una distribución normal N(u^o,) y que Y sigue una distribución normal N(|i,,G,), y tomemos una muestra aleatoria simple de la primera población (X,, X, X ) , y otra (Y,, Y,, .... Y ) de la segunda. Tenemos entonces como estadísticos: las dos' medias muestrales. x e p', y las dos cuasivarianzas, s 2 y s,2. Conocemos las distribuciones de las medias muestrales, pero nos interesa conocer la distribución de x - Y , que va a depender del hecho de que sean o no conocidas las desviaciones típicas poblacionales. A) Las varianzas poblacionales son conocidas: El estadístico^ .p tiene una distribución normal a/

O2

ni

ni

¡V v

Entonces Z

X-Y-(\l,-\l2) a, a^ —+— II I

(Si

sigue una distribución normal N(0.1).

II2

B) Las varianzas son desconocidas: Pueden darse dos situaciones: i) la suma de los tamaños de ambas muestras es mayor que 30, siendo los tamaños muestrales próximos; ii) la suma de tamaños muestrales es menor o igual que 30. i) n +n,>30y n =n,

310

El estadístico^,, y es normal Wj \l,- \íi,J— + —

Entonces Z =

(?)

X - Y -( u - u ) , ' es normal N(0, 1 ). Si S2 —+— n,

ri2

ii) n +nn<30

En esta situación, debemos considerar dos posibles alternativas, según sean las varianzas poblacionales desconocidas íguales o distintas: a) Varianzas iguales: El estadístico f -

X-Y-(y*r\i2) r~. j sigue una t de Student con n^n^-2 gl, s¡— + — V n, ri2

siendo s la raíz cuadrada positiva de la media ponderada de las cuasivarianzas muestrales: (n,-l)s] + (n2-l)s22

(10)

ni +n2-2

B) Varianzas distintas: El estadístico Z =

X - Y - ( u - u ,) , ~- sigue una t de Student con w gl, II I

II2

( 2 Si

2Y S2

\nl

"-V

siendo

(11) f 2V S,

n, + 1

( 'V S

n2 + /

Ejemplo 9.8 Un laboratorio quiere determinar si dos métodos de análisis producen los mismos resultados, lo que será cierto si las medias de las determinaciones con los dos méto dos son iguales. Para ello, se hacen 10 determinaciones con el primer método y 12 con el segundo de un mismo compuesto, obteniéndose los siguientes resultados:

311

Primera muestra

8'2 83 8'4 8"4 8'5 8'6 8'6 8'6 87 8'8

Segunda muestra

8'1 8'2 8'2 8'3 8'4 8'4 8'5 8'5 8'5 87 8'8 8'9

Suponiendo que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con la misma desviación típica, aunque desconocida, se trata de hallar una estimación para la des viación típica de la diferencia de medias. Las cuasivarianzas muestrales son: si = 0'003S í3 = 0'0055 Como n,+n,= 10+12=22<30 y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero iguales, la estimación que tomaremos de la desviación típica de la diferencia de medias es: a,,=sj—+— =0029

9.12.5. Estimaciones del cociente de varianzas En ocasiones, es necesario hacer una estimación de la razón de las varianzas de dos poblaciones para decidir, por ejemplo, si son iguales. Consideremos dos poblaciones independientes y distribuidas normalmente y de signemos por X e Y las variables aleatorias correspondientes. Supongamos que X sigue una distribución normal N(^.o,) y que Y sigue una distribución normal N(u„a,), y tomemos una muestra aleatoria simple de la primera población (Xr X, Xn ). y otra (Yr Y„ .... Yn ) de la segunda. Entonces: 1. El estadístico ÍL es un estimador insesgado de la razón de varianzas de la población. í¡ 2. El estadístico F = , , sigue una F de Fisher-Snedecor con (n,-1 ) y (n,-1) gl.

Ejemplo 9.9 Un equipo de cardiólogos trata de decidir sobre la eficacia de dos tipos de marcapasos con el fin de establecer las pautas de revisión de sus pacientes. Para ello, disponen de los resultados experimentales obtenidos a partir de sendas

312 muestras que han dado los siguientes resultados en cuanto al número de horas con tinuadas de funcionamiento correcto: Tamaño

Media muestra!

Varianza muestral

Ia muestra

35

26500

2100

2a muestra

40

32760

2650

Para tomar una decisión, los cirujanos necesitan hacer una estimación del cociente de las varianzas de la población. Suponiendo que las dos poblaciones sean normales, una estimación de la razón de las varianzas viene dada por el cociente de las varianzas muestrales: s) 2100 -, = = 079 s\ 2650 9. 1 2.6. Estimadores de la diferencia de datos apareados Consideremos ahora dos poblaciones dependientes en que las variables aleatorias X e Y correspondientes a las modalidades del carácter en estudio están distribuidas normalmente, la primera con una distribución normal N(u,,a ) y la segunda con una distribución normal N(u.,,a,). pero que no sean independientes. Un ejemplo de uso frecuente es el caso en que se asignan pares de valores a los mismos individuos, como puede ser la evaluación de las reacciones de las mismas personas antes(X) y después(Y) de un cierto acontecimiento. El estadístico / = —¡=^ sigue una t de Student con n-1 gl.

siendo D = -£d, , D = X - Y y 4 =

rXv0, ~d)'

(12)

Ejemplo 9.10 El candidato número uno de un determinado partido político desea conocer la influencia del mensaje electoral que va a transmitir a través de la televisión. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 15 telespectadores de quienes solicita que evalúen de 0 a 100 el programa electoral de su partido antes de pronunciar el mensaje y después de hacerlo. Los resultados son: Telespectadores Punt. antes l'iint. después

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 56 65 60 43 28 62 39 70 29 31 57 51 18 54 41 59 70 60 49 50 50 50 75 15 40 57 60 30 61

313 Se trata de hacer una estimación de la media de las diferencias de valoraciones, así como de la desviación típica de la distribución muestral de la media de dichas diferen cias. Al ser las puntuaciones apareadas tomadas del mismo sujeto, las muestras son dependientes. Una estimación de la media de las diferencias es D

Í,D, = —(-66)=-4'4

y una estimación de la varianza es sí = —- X( D, - D)~ = — 125V9 = 8'935 luego una estimación de la desviación típica es sD = j8'935=2'98

9.12.7. Estimación de la diferencia de proporciones Consideremos ahora dos poblaciones formadas por individuos que presentan un carácter dicotómico, y sean p, y p, las probabilidades respectivas de que se presente la modalidad A del carácter dicotómico en dichas poblaciones. Supongamos que disponemos de una muestra de tamaño n, de la primera pobla ción y otra de tamaño n, de la segunda. Designemos por /?, la proporción de individuos de la primera población que po seen la modalidad A del carácter en una muestra de tamaño n , y designemos por /;, la proporción de individuos de la segunda población que poseen la modalidad A del carácter en una muestra de tamaño nv Si el tamaño de las muestras es mayor que 30. el estadístico p - p2 sigue una distribución normal "i(!-Pi)

P2O-P2)

IIi

II .

N P,-P2.

por lo que la variable z= (PrP, Hp-P, )

(13)

es normal N(0,1).

Pi(l-Pt) P2(l-P2)

n,

«,

Ejemplo 9.11 Para conocer la eficacia de una vacuna anticatarral, se suministra ésta a una mues tra aleatoria de 50 personas. Se observa que sólo 4 de ellas se han acatarrado.

314

Se selecciona asimismo otra nueva muestra aleatoria de 50 personas a quienes no se les suministra la vacuna, observando que 9 de ellas se han acatarrado. Se trata de hacer una estimación de la diferencia de proporciones de individuos vacunados y no vacunados de la población que sufren un catarro. El número de personas vacunadas sigue una binomial B(p ,n ) y el de personas no vacunadas sigue una binomial B(p,,n,). P, es un estimador de p, y p2 es un estimador de p,, por lo que una estimación de » a 9 4 5 1 P,-P2 es P,-P2=5o-JorlT10-

La estimación de la desviación típica dep - £>,es: 4(,-4-) 50) =0'066

9.13. Estimación por intervalos Sucede que, al estimar un parámetro, incluso utilizando un estimador insesgado de mínima varianza, no se obtiene una estimación exacta del mismo. A no ser que conoz camos la población en su totalidad, no podemos estar seguros de que la estimación puntual de una muestra proporcione el verdadero valor del parámetro. Por ello, son muchas las situaciones en las que interesa encontrar un intervalo entre cuyos valores extremos se espera que esté el valor del parámetro. Un intervalo así representa una estimación de la distancia probable entre el valor del parámetro y el valor del estimador que se utiliza para su estimación. Por este motivo, se le llama intervalo de confianza, ya que habrá una confianza razonable de que contenga el valor del parámetro. Las estimaciones por intervalo se basan en las estimaciones puntuales, por lo que su estudio se apoya en el conocimiento de los estimadores y el tipo de distribución de éstos. En numerosas situaciones es conveniente, por tanto, determinar un intervalo que cubra el valor del parámetro con una cierta probabilidad. Este es el caso que se plantea en el siguiente ejemplo: Ejemplo 9.12 Un equipo de profesores de Educación Física está interesado en conocer el núme ro medio de flexiones continuadas que realizan sus alumnos. Para ello, seleccionan una muestra aleatoria de 80 estudiantes, que realizan una prueba cuyos resultados figuran en la siguiente tabla:

315

N° de flexiones

35

41

45

46

48

50

52

53

54

56

60

N" de alumnos

5

6

5

2

10

15

6

11

10

5

5

Una primera estimación la proporciona el valor particular de la media muestral:

En principio, este valor de aproximadamente 50 flexiones será tomado como esti mación de la media de la población. Los profesores saben que esta estimación no tiene por qué coincidir con el verda dero valor del parámetro, debido fundamentalmente al error de muestreo. Por ello, desean estimar un intervalo de valores en el que haya una probabilidad alta de que se encuentre el valor que tratan de estimar. Les interesa, por lo tanto, encontrar un intervalo que les permita conocer el grado de aproximación al verdadero valor del número medio de flexiones de la población y que les proporcione una cierta garantía o confianza de que contenga dicho valor. Tal intervalo recibe el nombre de intervalo de confianza.

9. 14. Planteamiento general de un intervalo de confianza La estimación por intervalo de un parámetro poblacional X consiste en hallar un par de estadísticos ÍA,,A,), que van a corresponder a los extremos del intervalo, a los que se les llama límites de confianza. Se trata, por tanto, de una variable aleatoria bidimensional (A,,A,), cuya distribu ción depende de la distribución del estimador A, del parámetro poblacional. Por tratarse de una variable aleatoria, tiene sentido hablar de probabilidad de que el intervalo cubra el verdadero valor del parámetro P(X,
donde A., y A, son los límites aleatorios inferior y superior. A esta probabilidad se le llama coeficiente de confianza, y se denota por 1-a, siendo a un número real comprendido entre cero y uno, al que se le llama nivel de significación. A los extremos del intervalo se les llama límites de confianza (inferior y superior). Si a=0'05, es l-a=0'95, y se habla, en este caso, de un intervalo de confianza del 95%. Si a=0'01, es l-a=0'99, y se habla de un intervalo de confianza del 99%. Un intervalo de confianza del 99% resulta más amplio que un intervalo del 95%, y, por lo tanto, ofrece mayor garantía de contener al verdadero valor del parámetro. Sin embargo, lo que se gana en amplitud se pierde en precisión.

316 En efecto, si tomamos a=0, el intervalo estará formado por la recta real completa, pero no hemos conseguido información alguna; ya sabíamos que el parámetro era un número real. Los valores más usuales para a son a=0'05 ó a=0'01, siendo preferible el valor 0'05 que proporciona un intervalo de confianza del 95%; pero la elección dependerá, en cada caso, de las necesidades y exigencias del investigador. Una vez seleccionado el nivel de significación a, hay que determinar a partir de la distribución del estadístico A, dos valores X y X , que dependen de a, tales que P(X,
9.14.1. Intervalo de confianza para la media de una distribución normal de varianza conocida Se trata de encontrar un intervalo aleatorio para la media de una distribución normal N(u.,a2). Como estimador, tomamos la media de una muestra de tamaño n. Sabemos, por el teorema central del límite, que la media muestral y tiene una ( o A distribución normal N X— u Por tanto, la variable tipificada Z = —-— se distribuye según una normal N(0, 1 ).

A/ñ Si elegimos un nivel de significación a=0'05, tendremos que hallar dos valores Xi y X2 tales que P(Xi
(15>

En el caso de la normal N(0,1), sabemos encontrar estos valores críticos, que vienen tabulados y que representamos por -7. y z , ya que determinan el área de la función de densidad comprendida entre ambos, dejando fuera dos colas correspon dientes cada una a un área de a/2, según puede apreciarse en la figura 9. 1 .

317

Ot/2.0025 a/2.0'02b

Figura 9.1: Intervalo de confianza del 95% para la media.

Por lo tanto, debe verificarse P

= l-a

Multiplicando cada término de las desigualdades por a/ O, se obtiene:

i

o — a -za/2-r
/-a

v«

Si se resta y a cada uno de los términos, resulta: —

o

-o /-a

Multiplicando ahora por -1 cada uno de los términos, se invierte el orden de las desigualdades, resultando:

4

a

a

V»

\n

= l-a

Se obtiene así el intervalo de confianza aleatorio —

a ~

o 1

X ~ Zn /z ~7= , X + za 12 ~7=

(16)

Este intervalo es tal que contiene el valor del parámetro con una probabilidad igual al-a. Una vez realizado el experimento, para una muestra concreta, se obtiene un valor particular de la media muestral xo.

318 Para este valor, se obtiene el intervalo no aleatorio (17)

h V'i

\rt.

Este intervalo particular, según señalamos antes, puede cubrir o no el verdadero valor del parámetro. No se puede decir que este intervalo contiene el valor del parámetro con una probabilidad de 0'95. Lo que sí tendría sentido es afirmar que, a construyéramos 100 intervalos igua les, probablemente 95 de ellos cubrirían el valor del parámetro. Volvamos sobre el ejemplo 9.13. La distribución del número de flexiones se sabe que es normal. Si los profesores conocen el valor de la varianza poblacional, y éste es o:=7'5, eligiendo un nivel de significación a=0'05. la tabla de la normal N(0, 1 ) propor ciona como valor crítico

y, como el tamaño de la muestra es n=80, se tienen los datos necesarios para hallar un intervalo confidencial: 2'75 2'75 4978 - 1'96 -r= < u < 4978 + 1'96 -¡= y¡80 yÍ80 4978 - 0'60 < n < 4978 + 0'60 49']8 < n < 50'38 El intervalo de confianza del 95% para la media del número de flexiones es / = [49'18.50'38J que, al ser un intervalo particular, podrá cubrir o no el verdadero valor del parámetro.

Figura 9.2: Intervalos de confianza para un mismo parámetro.

319 Distintas muestras darán diferentes valores de la media y, por tanto, darán lugar a distintos intervalos de confianza. Así pueden observarse los intervalos de la figura 9.3; todos ellos son de la misma amplitud, ya que ésta depende únicamente del valor crítico, una vez se ha fijado el tamaño de la muestra. Los centros de los intervalos señalan las diferentes estimaciones puntuales. No todos los intervalos cubren el valor del parámetro.

9.14.2. Intervalo de confianza para la media de una distribución normal de varianza desconocida Cuando se desconoce la varianza de la población, es necesario estimarla a partir de la muestra. Como estimador de la misma se utiliza la cuasivarianza. Por el «Cálculo de Probabilidades», sabemos que: A) La cuasivarianza, s2, es un estimador insesgado de la varianza poblacional. B) La desviación típica muestral, s, es un estimador insesgado de la desviación típica de la población. X- u. C) La distribución de la variable t = j= es una t de Student con n-1 gl. s / V'/ Utilizando s como estimador de la desviación típica poblacional, podemos determi nar un intervalo con un coeficiente de confianza 1-a. La tabla de la distribución t de Student, para n-1 gl y un nivel de significación a nos proporciona un valor crítico fot/2

tal que

P{-ta./2
Como t =

—

(18)

\

X-ti X-ti t=, sera P -ta/2< , r
Multiplicando cada miembro de las desigualdades por /4ñ, restando después jf , y, multiplicando finalmente por -1 para cambiar de sentido las desigualdades, se obtiene: X-ta/2-¡=< ti
/=

í —

s

X-ta/2 r~ , X + ta/2 r' Vn y1n

(19)

320 Para una muestra particular, se tendrán los valores Xa y sa que darán lugar al intervalo particular Io =

— Jlo- — ~SoX-o-ta/2 ¡— ,X-o + ta/2 r~

(20)

Ejemplo 9.13 Se trata de hallar un intervalo de confianza del 95% para cubrir la vida media de una población de lámparas halógenas a partir de los resultados que se han obtenido en una muestra de 20 lámparas, cuyos períodos de duración (expresados en horas) han sido: 480 436

345 451

427 466

386 394

432 422

429 412

378 507

440 433

434 480

503 429

Se supone que la duración de las lámparas sigue una distribución normal, pero se desconocen la media y la varianza de la población. Como estimador de la media, se toma la media muestral, y, como estimador de la varianza, la cuasivarianza. Calculando sus valores, resulta: Yo = 434'2 so = 40'63 Si fijamos un nivel de significación a=0'05, al ser n=20, la variable

s / yjn

sigue una distribución de Student con 19 gl. El nivel a=0'05 proporciona en las tablas un valor crítico t0,o2j=2'093. El intervalo de confianza del 95% es, por lo tanto: 40'63

1„

434'2 - 2'093

40'63 434'2 + 2'093

420 es decir: I=[415'18,453'21] Este intervalo puede cubrir o no el verdadero valor del parámetro (vida media de las lámparas).

}2\

9.15. Relación entre la estimación puntual y por intervalo La estimación por punto proporciona un único valor que se obtiene a partir de la muestra, en tanto que la estimación por intervalo facilita, también a partir de los datos de la muestra, un intervalo que cubre el valor del parámetro con una probabilidad alta, una vez elegido el nivel de significación. En otras palabras, fijado el nivel de significación a, el 100x(1-a)% de los intervalos que se obtengan a partir de diversas muestras cubrirá el verdadero valor del parámetro. Sin embargo, los dos métodos de estimación están íntimamente relacionados, ya que ambos se basan en la distribución muestral de un estadístico, como es la media muestral en el caso que acabamos de tratar. En efecto, si se realiza una estimación puntual a través de la media muestral, una medida de la precisión de su estima la proporciona su desviación típica muestral: o

Tn cuando la varianza de la población o: es conocida. La estimación por intervalo de la media poblacional, en este caso, se basa en la misma distribución, obteniéndose como límites de confianza: — o v — o V«

v71

donde se puede observar cómo la amplitud del intervalo depende también del error típico de la media muestral. En el caso de que la varianza de la población sea desconocida, se actúa de modo similar, salvo que es necesario utilizar la cuasivarianza como estimador de la varianza poblacional. Entonces se toma como medida estimada de la precisión en la estimación por punto s y el intervalo tiene como límites de confianza yin

yin

y la amplitud del intervalo depende del error típico (ahora estimado) de la distribución de la media muestral. Hablando, por tanto, en sentido de amplitud, no se puede afirmar que el intervalo de confianza proporcione mayor calidad que la estimación por punto.

322 9. 16. Selección del tamaño de la muestra Una muestra pequeña puede proporcionar resultados poco fiables, mientras que una muestra grande puede resultar demasiado costosa. Por ello, en numerosas ocasio nes, interesa determinar previamente el tamaño de la muestra. Se trata de determinar el tamaño n que debe tener una muestra para que la distan cia entre la media poblacional y la media muestral sea menor que un cierto valor e al que llamaremos error. Debe ser, por lo tanto \X-\i\
X-e< u
Ahora bien, el intervalo de confianza para la media de una distribución normal, cuya varianza es conocida, es -

o

-

0

X-za/2-r<\i
X-e

O

.X-Za,2-T V/l

a X+E =X + za/2

fn de donde se obtiene e =za/2-¡= Despejando n en la igualdad anterior, resulta: (22)

e Ejemplo 9.14 El contenido en glucosa de los frutos de una determinada especie sigue una distribución normal, cuya varianza o2=0,2 es conocida. ¿Cuántas observaciones son necesarias para tener una confianza del 95% de que el error máximo cometido cuando se estima la media poblacional por medio de la media muestral es 0' 1 ? Solución Por tratarse de una distribución normal, sabemos que, al ser l-a=0'95, es a=0'05, y el valor crítico que proporciona la tabla de la normal N(0, 1 ) es z .= 1 '96. Luego

323

, V2 a2 (1'96?0'2 »-(**) 7—^7—™» «77 La muestra debe tener, por consiguiente, 77 elementos.

9.17. Intervalo de confianza para la varíanza La varianza poblacional suele ser desconocida. Para estimarla, se utiliza la cuasivarianza muestral, que es un estimador insesgado de la varianza de la población. Si se pretende hallar un intervalo de confianza para la varianza, cuando la muestra se obtiene a partir de una población normal, sabemos que el estadístico

(n-l)s'

(23)

X =

se distribuye según una X ' de Pearson con n- 1 grados de libertad.

Figura 9.3: Intervalo del il-a)-1009c.

Por consiguiente, fijado un nivel de significación a, se tiene que

p(xL,2
J 2

(n-l)s2

,

1-a \ Si dividimos cada término de las desigualdades por (n-1)s2, al tratarse de una cantidad positiva, se mantiene el orden de las mismas:

324

X'l-a/2 . (n-l)s2<
^ Xa/2

% l-a/2 >

Se obtiene, de esta forma, el intervalo de confianza del (l-a)xl00% para la varianza: (24)

Ejemplo 9.15 En una prueba efectuada a 25 animales de una determinada especie, cuya pobla ción está distribuida normalmente, se obtuvo una media de 82 y una desviación típica muestral de 0'85. Vamos a construir un intervalo de confianza del 90% para la varianza de la población. Solución: La cuasivarianza es s2=0'852=0'7225 Entonces, para oc=0' 10, es a/2=0'05 y l-a/2=0'95. Las tablas de la X ' para 24 gl y a=0'05, nos proporcionan los valores %los.24 = 36'415 y J¿w.» = 1'3848 El intervalo de confianza para a2 vendrá dado, por consiguiente por: ' 24 07225 24.0'7225\ (P'47,1'25) 36'415 13'848 ) Si extraemos las raíces cuadradas de los extremos del intervalo, se obtiene un intervalo para la desviación típica a: I

1 = {0'68,ril)

9. 1 8. Intervalo para la razón de varianzas Si s,2 y s,2 son las cuasivarianzas de dos muestras independientes de tamaños n, y n,, respectivamente, procedentes de poblaciones normales, el estadístico O' 2 s] 02s22

se distribuye según una F de Fisher-Snedecor con n,-1 y n,-1 gl.

(25)

325 Este estadístico nos permite construir un intervalo de confianza para el cociente de varianzas. En efecto, será: Gisl

i

F I-a/2. m-l. n2-l < ~^T^¡ < Fa/2 ,n,-l. n2,l 05 s2

= /-a

donde F2-a/2. „r/. n2-, es el valor de la abscisa que deja a la izquierda un área de aJ2, y f

es el valor de la F que deja a su derecha un área de l-a/2.

/7,n,-U,-l

Multiplicando cada uno de los términos de las desigualdades por s22/s,2, e invirtiendo el sentido de éstas, queda: O]

Ái '

/

Si

1-a

<-7<— .

^S2 r a/2.nrlMrl

®2

^2 * I-a I2.nrl.nrl J

I

Teniendo en cuenta que

— *'a/2,nr/,nr, Fl-a/2.nrl.n2-l

( 2 5/

I

resulta \S2 fa/2.nrl.n2-l

< ~2 < 2 ra/2.n2-l.ni-l O? S

1-a

quedando finalmente como intervalo de confianza del (1-a) 100% para el cociente de las varianzas a,/CJ2: .

,,

(26)

$2 Fa/2.nrl.ni-1 í

°/2,n -l,n -1

Figura 9.4: Valores de F de Fisher-Snedecor.

Ejemplo 9.16 Para probar el gasto de combustible de dos marcas de coches A y B, se seleccionan al azar 9 coches de la marca A, que proporcionan una media de 18 km. recorridos por

326 cada litro de combustible, con una cuasivarianza de l'l km. por litro, y otros 12 coches de la marca B, que proporcionan una media de 15 km. recorridos por litro, con una cuasivarianza de 2'9 km. por litro. Si se supone que la distancia recorrida por cada litro de combustible sigue una distribución normal en ambas marcas, hallar un intervalo de confianza para el cociente de varianzas. Solución: Si a=0' 10, Fa/lnrlxrl = FffoS.S.u =2 95-1 Fa/2.n¡-l.n, I = Fffo5.II.K = 3 31

Entonces

síFov5.s.,i

2v

v-

2'9 2'95

con lo que se obtiene el intervalo 1 = (VI3,1'25) Un intervalo de confianza para el cociente de los errores típicos ojo, se obtiene del anterior extrayendo la raíz cuadrada de los extremos: / =((T36,1'12)

9.19. Ejercicios propuestos 9. 1 . Hallar la media y la cuasivarianza de la distribución de la muestra de tamaño n=100 dada por la siguiente tabla: 1350

1480

1610

1740

24

30

40

6

1

".

9.2. Una población se compone de los números 1, 2, 3 y 4. Si se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2, hallar la media y la desviación típica de la distribución de la media muestral. 9.3. Los pesos de los alumnos de una escuela universitaria están distribuidos normal mente con media |i=51,5 kgs. y desviación típica a=2,8 kgs. Si se selecciona una muestra de tamaño n=50, hallar la media y la desviación típica muestrales. 9.4. Se sabe que el peso medio de los alumnos de una universidad es de 50'3 kgs. con una desviación típica de 2,4 kgs. Si se selecciona una muestra de 40 alumnos, hallar:

327 1 ) la probabilidad de que el peso total de los alumnos esté comprendido entre 1960 y 2000 kgs.; 2) la probabilidad de que el peso total sea superior a 2000 kgs. 9.5. Una máquina produce 200 piezas diarias, siendo 0,2 la probabilidad de que una pieza salga con defecto. Hallar: 1) la probabilidad de que 70 de las piezas fabricadas en un día sean defectuosas; 2) la probabilidad de que las 3/4 partes de las piezas no tengan defecto. 9.6. La calificación media de los 2200 alumnos de Bioestadística de una facultad de Ciencias Biológicas es de 5'5 puntos con una desviación típica de 2'3 puntos. Si se selecciona una muestra aleatoria de 50 alumnos, hallar la probabilidad de que la media muestral: 1) sea mayor o igual que 6; 2) sea menor o igual que 5; 3) esté comprendida entre 5 y 6. 9.7. Una población se compone de los números 3, 4, 6, 8 y 10. Consideremos todas las muestras posibles que se pueden formar de tamaño 2, con reposición. Hallar: 1) la media y la desviación típica de la población; 2) la media y la desviación típica de la media en el muestreo. 9.8. Se ha medido la duración (en horas) de 36 pilas producidas en una fábrica, obteniéndose los siguientes resultados: 13 19 12 16 13 3 10 7 10 18

7 8 15 16 5 13 6 10

7 19 27 10 4 10 15 7 5 7 13 7 9 13 22 18 25 14

1 ) Hallar la media y la cuasivarianza de la muestra, y estimar la media y la varianza de la población. 9.9. Los pesos de 4500 estudiantes de bachillerato de una ciudad están distribuidos normalmente con una media de 56' 5 kgs. y una desviación típica de 2' 5 kgs. Si se seleccionan 40 muestras con reposición de 20 estudiantes cada una, hallar la media y la desviación típica de la distribución de las medias muestrales. 9.10. De una población distribuida normalmente con media 40 y desviación típica 2'5 se extrae una muestra de tamaño 8, y, de otra población también distribuida normal mente, con media 35 y desviación típica 2, se extrae una muestra de tamaño 6. Hallar la probabilidad de que la diferencia de las medias muestrales sea menor que 7. 9.11. Se extrae una muestra de tamaño n=20 de una población normal con varianza conocida a2=5. Hallar la probabilidad de que la cuasivarianza muestral: 1) sea mayor que 8' 5; 2) sea mayor que 3 y menor que 5.

328 9.12. Se sabe que los alumnos de la universidad A tienen un cociente de inteligencia medio de 1 15, con una desviación típica de 5'2, mientras que los alumnos de la univer sidad B tienen un cociente de inteligencia medio de 110, con una desviación típica de 3'6. Si se seleccionan al azar 40 alumnos de cada universidad, ¿cuál es la probabilidad de que los alumnos seleccionados de la universidad A den un cociente de inteligencia medio que supere en 6 puntos al de los alumnos de la universidad B? 9.13. Se extraen dos muestras aleatorias de tamaños 10 y 15, de dos poblaciones distribuidas normalmente y con la misma varianza. Si s,2 es la cuasivarianza de la primera muestra, y s,2 es la cuasivarianza de la segunda, hallar la probabilidad de que el cociente de cuasivarianzas s^/s,2 sea menor que 5. 9.14. Un almacenista ha adquirido de una fábrica 100 lámparas, cuya duración media ha sido de 1000 horas. Sabiendo que la desviación típica de la producción de lámparas de la fábrica es de 40 horas, hallar un intervalo de confianza del 99% para la duración media de la población. 9.15. Un científico está interesado en conocer la media poblacional de una variable aleatoria a partir de una muestra extraída de la misma. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media de la población en más del 20% de la desviación típica, sea 0'95? 9. 1 6. La calificación media de una muestra aleatoria de 30 alumnos de primer curso de una facultad es 5'2. Suponiendo una desviación típica poblacional a=0'7, encontrar dos intervalos de confianza, uno del 95%, y otro del 99% que contengan la califica ción media de todos los alumnos de primer curso. 9.17. Si se desea que la estimación de la media poblacional difiera de ésta en menos de 0'05, ¿cuál debe ser el tamaño muestral para construir un intervalo de confianza del 95% para los datos del ejercicio 9.16? 9. 1 8. Una batería de campaña dispone de un aparato capaz de medir el alcance del cañón con una desviación típica a=40 m. Se realizan 5 disparos en las mismas condi ciones, obteniéndose un alcance medio de 2000 m. Hallar un intervalo de confianza del 95% que contenga el alcance real del cañón en las condiciones dadas. 9. 19. Una muestra aleatoria de 100 automovilistas consultados por el servicio nacional de tráfico ha dado como resultado que un automóvil recorre por término medio 1 6400 km. al año con una desviación típica muestral de 2300 km. Hallar un intervalo de confianza del 95% para el recorrido medio de un automóvil en España.

329 9.20. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para el ejercicio anterior si se quiere tener una confianza del 95% de que la media muestral difiera menos de 400 kilómetros de la media real? 9.21. Suponiendo que la estatura media de los estudiantes de la universidad de CastillaLa Mancha está distribuida normalmente con media de 1 '71 m. y desviación típica de 0'35 m., hallar los límites entre los que se encontrará la estatura del 90% de los estudiantes de dicha universidad. 9.22. De una población normalmente distribuida con desviación típica conocida o=3'5, se quiere extraer una muestra. ¿Qué tamaño debe tener si la probabilidad de que la media muestral diste de la media poblacional más de 1 '5 debe ser igual a 0'05? 9.23. En un centro escolar, se sabe que el número de faltas de ortografía que cometen los alumnos está distribuido normalmente. Se seleccionan dos muestras al azar, una de 8 alumnos de un grupo, y otra de 10 alumnos de otro grupo, a quienes se les hace un dictado, que da los siguientes resultados: Grupo 1

9

7

9

11

11

12

12

15

Grupo 2

7

9

9

11

11

11

11

13

13

14

Construir un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias. 9.24. La desviación típica de la duración media de una muestra de 25 pilas alcalinas es de 6 horas. Hallar un intervalo de confianza del 95% para la desviación típica de la población. 9.25. Se conoce, por sondeos previos, que el 80% de los 1000 alumnos de una univer sidad son partidarios de hacer huelga. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que, con un nivel de significación del 5%, la proporción de alumnos partidarios de la huelga diste menos de 0'02 de la proporción de la población? 9.26. El tiempo que un niño está ante el televisor sigue una distribución normal. Una muestra de 90 niños dio una media de 8 horas semanales con una desviación típica de 2'5 horas. Hallar un intervalo de confianza del 95% para la media de horas que un niño está ante el televisor. 9.27. Una población se distribuye normalmente con media 30 y desviación típica 6'5. Si se extraen muestras de tamaño 20, hallar un intervalo de confianza para la desvia ción típica muestral.

CAPITULO 10 CONTRASTES DE HIPÓTESIS

10. 1 . Consideraciones previas Un problema que se presenta frecuentemente en la investigación científica es el de tener que decidir a partir de los datos aportados por un experimento sobre la validez o no de un planteamiento previamente establecido. Este podría ser el caso del peda gogo que pretende averiguar si un nuevo método de estudio mejora el rendimiento de los alumnos a partir de una experiencia con un grupo. Para ello, el investigador necesita establecer un postulado (hipótesis nula). Ante este postulado inicial, plantea otro alternativo (hipótesis alternativa) y realiza una prueba o experiencia con una muestra representativa de la población. A la vista del resultado de la prueba, el investigador tiene que decidir si acepta la hipótesis nula o, por el contrario, la rechaza, asumiendo en su lugar la hipótesis alternativa. Por muy poderosas que sean las razones que le inclinen en uno u otro sentido, el investigador debe tener siempre claro que, a no ser que examine toda la población, no hay certeza de que su decisión sea correcta, puesto que siempre existe la posibilidad de cometer un error. En los siguientes apartados, se irán precisando estos conceptos. Antes conviene resaltar que, para apoyar una nueva teoría, el método más adecuado consiste en encon trar razones para el rechazo de la teoría en uso. Por tanto, el interés debe centrarse en encontrar razones poderosas para rechazar la hipótesis nula. De este modo, el pedagogo, para apoyar su teoría, debería establecer la hipótesis nula de que «no hay diferencia en el rendimiento medio de los alumnos que utilizan los dos métodos de estudio».

10.2. Contraste de hipótesis sobre la media de una distribución Se trata ahora de hacer un contraste acerca de la media de una población de la que se sabe que sigue una distribución normal.

332 Pueden presentarse dos situaciones: 1 ) La desviación típica o de la población es conocida. 2) Se desconoce la desviación típica de la población. Un ejemplo sencillo nos va a servir para ilustrar la primera de las situaciones e ir precisando, a la vez. los conceptos que intervienen en un contraste de hipótesis. Este mismo ejemplo, con unas modificaciones, será utilizado para ilustrar la segunda alter nativa.

10.2.1. La desviación típica es conocida Ejemplo ¡0.1 Un fabricante de baterías recibe la oferta de la patente de un nuevo proceso de fabricación, que le permitirá mejorar notablemente la vida media de las mismas y, por tanto, su calidad. El fabricante es conocedor de la vida media de las baterías que produce su empresa, es más, sabe que sigue una distribución normal de media n=4950 horas y desviación típica o=350 horas. Para decidir si el nuevo proceso de producción supone una mejoría en la calidad, ha dispuesto de una muestra de 100 de las nuevas baterías que, una vez probadas, han dado una duración media de 5025 horas. Por lo tanto, el problema que se le plantea al fabricante es el de averiguar si el valor de 5025 horas puede ser debido únicamente al error propio del muestreo, en cuyo caso no se podría concluir que la vida media de las baterías en el nuevo proceso es diferente de la que obtiene con el proceso tradicional, o bien, si el resultado de 5025 horas es suficiente garantía para invertir en la patente que le ofrecen. La estrategia que sugiere La Estadística Inferencial es la siguiente: /. Establecimiento de las hipótesis nula y alternativa: Establecer la hipótesis de trabajo de que «la vida media de la población de baterías con el nuevo proceso no varía». Esta hipótesis de trabajo se denomina «hipótesis nula» y se denota por Hn. En términos estadísticos, se formula como sigue: H„ = u = 4950 Aceptar esta hipótesis supone admitir que la muestra, cuya media es igual a 5025, es una muestra que procede de una población de media 4950, de forma que la diferen cia entre el valor estimado 5025 y el valor del parámetro es debida al error del muestreo. Frente a esta hipótesis, se plantea otra, llamada «hipótesis alternativa» y denota da por H , que, en nuestro caso va a ser H, = u * 4950

333 El significado de esta alternativa supone admitir que la diferencia entre el valor del estimador y el valor del parámetro no se debe a un error de muestreo, sino a que la hipótesis nula no es correcta. En otras palabras, si la hipótesis nula fuera correcta, se habría producido un suceso «suficientemente improbable» como para rechazar dicha hipótesis, lo cual supone admitir que la muestra seleccionada pertenece a otra pobla ción con una media distinta de 4950. //. Decisiones posibles: Fijadas las hipótesis nula y alternativa, al fabricante de baterías se le ofrecen las siguientes opciones: A) Aceptar la hipótesis nula H : Entonces puede suceder que: 1) La vida media de la nueva producción sea 4950. Al aceptar Ho, el fabricante habrá procedido correctamente. 2) La vida media de la nueva producción no sea 4950. Aceptando Ho, el fabri cante habrá cometido un error (error de tipo II), que ocasiona las pérdidas que suponen la inversión en una nueva patente más el coste de adaptación de la maquinaria,...

B) Rechazar la hipótesis nula Ho: Esto equivale a aceptar la hipótesis alternativa Hr Ahora puede suceder que: 3) La vida media de la nueva producción sea 4950. Rechazando Ho, se habría cometido un error (error de tipo /), pues favorece a la competencia, que tendría la posibilidad de adquirir la patente. 4) La media de la nueva producción no sea 4950. La decisión de rechazar H0 es acertada, suponiendo una situación de ventaja en el mercado. El siguiente cuadro recoge las distintas alternativas con los posibles resultados: Situación real H es cierta H, es cierta Decisión del fabricante

Acepta H0

Decisión correcta

Error de tipo II

Rechaza Ho

Error de tipo I

Decisión correcta

334 ///. Nivel de significación El problema se centra ahora en averiguar cuándo se puede afirmar que el suceso «obtener un valor de la media muestral de 5025 siendo la media de la población u=4950» es «suficientemente improbable». Se utilizan diferentes criterios para medir cuándo un suceso es «suficientemente improbable», dependiendo de la importancia que se quiera dar al riesgo de cometer un error de tipo I. Se suelen establecer tres valores, que reciben el nombre de nivel de significación y que corresponden al valor de la probabilidad por debajo del cual un suceso se considera «suficientemente improbable»: 1 ) a=0'005, y se dice que el resultado ha sido muy significativo. 2) a=0'05. y se dice que el resultado ha sido significativo. 3) a=0'01, y se dice que el resultado ha sido casi significativo. El nivel de significación especifica, por tanto, la probabilidad de cometer un error de tipo I (rechazar la hipótesis nula, siendo cierta). Este nivel se fija previa mente, teniendo en cuenta, en el momento de fijarlo, que cuando disminuye la probabilidad de cometer un error de tipo I, aumenta la probabilidad de cometer un error de tipo II1. El nivel de significación más generalmente utilizado en la investigación científica es0'05. Se debe aclarar que el criterio estadístico que ha llevado a tomar esta decisión no garantiza que dicha decisión sea correcta, ya que una garantía total sólo se tendría si se pudieran probar todas las baterías que se van a producir. Cabe, según señalamos antes, la posibilidad de cometer un error que favorecería a la competencia. Sin embargo, la Estadística indica cuál es el modo de tomar la mejor decisión sobre una población a partir de los resultados obtenidos en una muestra de la mis ma. Vamos a utilizar un ni vel de significación a=0'05. con lo que, si se ha de rechazar la hipóte sis nula, el resultado será «significativo». Las áreas de rechazo Figura 10.1: Colas o áreas de rechazo. de la hipótesis nula co

1 La probabilidad de cometer un error de tipo II no se fija previamente. Será analizada cuando se estudie la potencia de un contraste en el apartado 10.5.

335 rresponden a las dos colas de la figura 10.1. El área de cada cola es a/2=0'025, y el área total de rechazo, también llamada «región crítica», es la suma de las áreas de ambas colas: 0'025-tO'025=0'05 que es el valor del nivel de significación elegido. IV. Selección del estadístico adecuado Para poder adoptar una decisión, se necesita conocer la distribución del estadísti co adecuado, que, en nuestro ejemplo, es la media muestral. Sabemos que la media muestral X sigue una distribución normal .V

Por lo tanto, la variable tipificada Z =

es normal N(0,1).

o/Vñ El conocimiento de la normal tipificada, cuyos valores límites están tabulados, permitirá encontrar la región crítica o área de rechazo, que llevará a rechazar la hipótesis nula cuando el valor de la media muestral caiga en ella. V. Determinación del valor crítico Si el valor de la variable tipificada Z obtenido se encuentra fuera del intervalo (-1 '96, l'96), estará en el área de rechazo. En efecto, para un nivel de significación a=0'05. hay un área de 0'025 en cada una de las colas de la normal N(0,1 ), lo que supone un área de 0'975 a la izquierda del valor correspondiente a la variable tipificada z , si dicho valor es positivo. Para una probabilidad de 0'975 la tabla A.3.2 de la normal tipificada N(0, 1 ) propor ciona un valor de la variable z„/,= l'96, denominado valor crítico, ya que determina la región crítica, zona de rechazo de los valores de la variable tipificada. En nuestro caso, la región crítica, en virtud de la simetría de la gráfica, está formada por los valores Z menores de -1'96 o mayores de 1 '96.

Figura 10.2: Valor crítico para un área de 0'975 y región critica.

336 VI. Decisión final Volviendo al ejemplo de las baterías, para el valor de la media muestral 5025 y el valor de la desviación típica poblacional ct=350, que se supone conocido, se obtiene una estimación de la variable tipificada: Z=

X-u 5025-4950 75 = = — = 2 14 <3/4n 350/JWÓ 35

Al ser 2' 14>1'96=zoy2 , la decisión adecuada es la de rechazar la hipótesis nula. El fabricante de baterías, a la vista del resultado, consideraría que ha tenido lugar un suceso «suficientemente improbable» (de probabilidad menor de 0'05), por lo que rechazaría la hipótesis nula, adoptando el nuevo proceso de producción, lo que se expresa diciendo que «el contraste es significativo al nivel del 5%».

10.2.2. La desviación típica no es conocida Son numerosas las situaciones que se presentan en las que se desconoce la desviación típica de la población, por lo que hay que hacer una estimación de la misma a partir de la desviación típica de la muestra:

Se toma la cuasivarianza como estimador de la varianza poblacional en lugar de la varianza muestral por ser ésta un estimador sesgado. En cambio, la cuasivarianza es un estimador insesgado de la varianza de la población. El planteamiento general del contraste de hipótesis es el mismo que hemos diseña do en el apartado anterior con la diferencia de que, para determinar el valor crítico, hemos de utilizar ahora la variable tipificada X-\i que no sigue una distribución normal. La distribución normal es una buena aproxima ción cuando el tamaño de la muestra es mayor que 30. La distribución de la variable t, válida para todos los tamaños de la muestra, es una t de Student con n-1 grados de libertad. Para hallar la cuasivarianza muestral, hay que calcular las n diferencias a la media X, -X. Como la suma de todas las diferencias es cero, en virtud de esta relación, la nésima diferencia queda determinada cuando se han evaluado las n-1 primeras. Luego,

337 en el cálculo de la cuasivarianza sólo vanan libremente n-1 valores, lo que significa que son n-1 los grados de libertad. La distribución t de Student viene tabulada para diferentes grados de libertad (tabla A.4 del apéndice A); cada fila se refiere a una distribución distinta, correspon diente a un determinado número de grados de libertad. Ejemplo 10.2 Consideremos la situación planteada en el ejemplo 10.1, pero modificada en el sentido de que el fabricante desconoce la desviación típica de la población, y ahora dispone de una muestra de 20 baterías elaboradas según el nuevo proceso de produc ción, que han sido probadas, dando unos períodos de duración (en horas) de: 4917 5136

4948 5084

5082 4909

5105 4935

4865 5120

5068 4936

4935 5014

5090 5125

5045 4933

5080 5088

Con estos datos, los valores obtenidos para la media y la desviación típica muestrales son: X = 502075 Y s = 87'94 luego el error típico de la media es: S 87'94 a-x = -¡= = —f— = 87'94 4n V20 Como la media de la población establecida en la hipótesis nula es u=4950, será: t=

X-u. 502075-4950 7075 = = = 3'59 s/Jn 19'66 1966

El valor crítico que corresponde, en la tabla, a la t con 19 gl al nivel 0'025=0'05/2 es ta/2„=2'093 El valor estimado t=3'59 es mayor que el valor crítico 2'093, por lo que el suceso es lo «sufientemente improbable» como para rechazar la hipótesis nula Ho y llegar a la conclu sión de que no se puede admitir que la duración media de las baterías sea de 4950 horas.

10.3. Contraste de hipótesis unilateral Los contrastes de hipótesis que hemos planteado hasta aquí se caracterizan por el hecho de existir dos colas o áreas de rechazo de la hipótesis nula, una en un sentido y otra en el lado opuesto de la curva.

338 Contrastábamos H0 = \i =X0 con //, = u *Xn, lo que caracteriza a los tests de hipótesis bilaterales. El siguiente ejemplo plantea una situación en que el investigador no está interesa do en un contraste bilateral. Ejemplo 10.3 Supongamos el caso de un profesor que pretende ver si mejora el rendimiento en las calificaciones de sus alumnos después de realizar una serie de prácticas con me dios audiovisuales. El profesor conoce la calificación media de los alumnos en este tema, 55 puntos, y piensa que la realización de las prácticas no puede rebajar la nota media, por lo que no está dispuesto a realizar un contraste bilateral que le obligaría a reservar la mitad de la región crítica (2,5% si utiliza un nivel a=0'05) para valores extremos menores que la media y que son descartados por él. Quiere, por lo tanto, dedicar toda la región crítica al extremo superior, ya que está convencido de que, con las prácticas audiovisuales, la calificación media de sus alum nos no puede bajar. Se trata de contrastar la hipótesis nula Hn = \i < 55 con la hipótesis alternativa H¡ =\l > 55 al nivel de significación a=0'05. Vamos a considerar dos situaciones, según sea el tamaño de la muestra: A) Muestras pequeñas (n<30) Si el tamaño de la muestra (número de alumnos) es 26, el valor de la t de Student con 25 gl que deja el 5% de las calificacio nes medias por encima del valor crítico, (es decir, en la cola supe rior de la distribución), corres ponde al valor crítico

W=1'708 Luego la hipótesis nula será rechazada si la variable tipificada Figura 10.3: Contraste unilateral (n<30).

toma un valor superior a 1 '708.

339 De esta forma, resulta más fácil rechazar la hipótesis nula para el profesor cuando los resultados se producen en el sentido por él previsto, ya que un contraste bilateral exigiría un valor de t superior: t,5nn,5=2'060. B) Muestras grandes (n>30) Si el número de alumnos cali ficados es mayor o igual que 30. se puede utilizar la distribución normal. En este caso, el valor crí tico para la variable tipificada Z=

O /4ñ que deja el 57c de las calificacio nes por encima corresponde al valor

W1'»

Figura 10.4: Contraste unilateral (n>30).

La hipótesis nula será rechazada si la variable toma un valor superior a 1 '65, en lugar de 1 '96, como sucedía en el caso bilateral. Valoración crítica del contraste unilateral: Las pruebas unilaterales, aunque el investigador puede utilizarlas en algún caso, no son recomendables en la práctica general de la investigación científica. Mediante un contraste unilateral, el investigador consigue una mayor probabilidad de rechazar la hipótesis nula y confirmar así su teoría; sin embargo, se vería en una situación difícil si le apareciera un valor extremo en la dirección contraria. En el apartado B). no sería válido rechazar la hipótesis nula si ese valor extremo en el sentido contrario fuese menor que - 1 '44, ya que, en tal caso, el profesor estaría trabajando con un nivel de significación a=0'075 (59f para valores positivos y 2'5% para valores negativos de t). En la práctica de la investigación, se recomienda repetir el experimento si. al ensa yar un contraste unilateral, se obtienen resultados extremos en el sentido opuesto.

10.4. Relación entre contrastes e intervalos de confianza En el capítulo 9. al analizar el planteamiento general de un intervalo de confianza para un parámetro de la población, se trataba de encontrar dos funciones de los valores de la muestra

340

h(X,,X2

XJy \2(XhX2

X.)

tales que PÍh(X,,X2

XJ
X„)]>l-a

cualquiera que sea el parámetro \. Una vez seleccionada una muestra particular X0=(xrx„...,xn), se tiene el intervalo particular In=(\l(xi,x2

x„),X2(xi,x2

x„j)

que puede cubrir o no el valor del parámetro. Establecida la hipótesis nula //„ = X = \, si, para una muestra particular, el interva lo I0 no cubre el valor del parámetro, estaríamos ante un suceso de probabilidad muy pequeña, menor que a, y rechazaríamos la hipótesis nula. De este modo, se establece un paralelismo entre la estimación por intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis. Si el valor del parámetro expresado por la hipótesis nula Hn cae dentro del interva lo, se acepta dicha hipótesis. Determinar el intervalo de confianza supone una ventaja, ya que se especifican los valores del parámetro para los que se debe aceptar la hipótesis nula, lo cual permite hacer el contraste de diferentes valores hipotéticos del parámetro a la vez. Ejemplo 10.4 Supongamos que, en el ejemplo 10.2., el fabricante desea contrastar distintos valo res para la vida media de baterías, ya que está interesado en otros tantos nuevos procesos de fabricación: \)H,= \í=5000 3)//,= u.=5700

2)//,= u=5050 4)H,= n=5300

Se puede realizar un nuevo contraste para cada uno de los valores, pero resulta más interesante y cómodo construir un intervalo de confianza y comprobar si cada uno de estos valores hipotéticos del parámetro caen dentro o fuera de dicho intervalo. Para la construcción del intervalo, se parte de una muestra teórica de 20 baterías. Fijado un nivel de significación cc=0'05, para 19 grados de libertad y un contraste bilateral, la tabla de la t de Student proporciona un valor crítico ^=2'093, lo que indica que el valor más alejado de la media muestral con respecto a la media de la población es de -2'093 s/Jñ hacia abajo y de 2'093 sl4n hacia arriba. En efecto, al ser

—

341 los valores más alejados inferior y superiormente se obtienen para: -7093 = í/Vn r= y 7093 = s/yjn £ Despejando u. en ambas ecuaciones, resulta: \i=X±7093

4~n Luego los límites del intervalo son: límite inferior:

X-7093-¡=

límite superior:

X + 7093-^

Por lo tanto, el intervalo de confianza será: X-7093-r<\i
Figura 10.5: Intervalo de confianza del 95% para la vida media de baterías.

Este es un intervalo aleatorio tal que la probabilidad de que cubra el valor de la media de la población es 0'95. Ahora bien, el fabricante dispone de una única muestra y, para esa muestra particular, el valor de la media muestral es en el ejemplo que nos ocupa: X„=5020'75 y el valor de la desviación típica muestral: so = 8794 So

= 1966

luego

420 y, por lo tanto, se tiene el intervalo particular

342

502075 - 2'093x19'66 < u < 502075 + 2'093x19'66 4979W < u < 506F90 El intervalo de confianza del 95% es: (497960, 5061'90) Este es el intervalo, a partir del cual se toma la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula. Si un valor hipotético de |i cae dentro de este intervalo, se aceptará la hipótesis nula, mientras que será rechazada si cae fuera del mismo. Los valores 5000 y 5050 caen dentro de este intervalo particular. En cambio, los valores 5100 y 5300 caen fuera, por lo que, en estas dos situaciones, el fabricante rechazaría la hipótesis nula y optaría por iniciar un nuevo proceso de producción. Una vez tomada la decisión, el investigador no puede garantizar que dicha elec ción sea la correcta (para ello, habría sido necesario estudiar toda la población), por lo que cabe la posibilidad de cometer un error. Hay un paralelismo de lenguaje, según se hable en términos de intervalo de con fianza o de contraste de hipótesis. Así: «el intervalo no cubre el parámetro» equivale a «cometer error de tipo I» «el intervalo cubre valores erróneos» equivale a «cometer error de tipo II»

10.5. Potencia de un contraste de hipótesis Quien utiliza las técnicas de los contrastes de hipótesis, generalmente está intere sado en que la hipótesis alternativa sea aceptada, ya que suele ser ésta su hipótesis de trabajo. Por este motivo, es importante, al plantear un contraste de hipótesis, que haya una probabilidad alta de aceptar la hipótesis alternativa cuando ésta sea correcta.

10.5.1. Idea de potencia Hemos llamado error de tipo II a la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando ésta es falsa. El error de tipo II se designa con la letra B. En relación con este concepto, surge el de potencia. Se Lama potencia de un contraste de hipótesis a la «probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa», es decir, de obtener un resultado significativo. La potencia de un contraste es, por tanto, la probabilidad del suceso contrario de cometer un error de tipo II, que viene dada por l-B

343 Resulta evidente que el interés del investigador, además de trabajar con un nivel de significación pequeño, está en que el contraste tenga la mayor potencia posible, de tal modo que se disponga de una probabilidad alta de que sea aceptada la hipótesis alternativa (que es la hipótesis de trabajo), cuando ésta sea correcta.

10.5.2. Variables que intervienen para fijar la potencia La potencia de un contraste depende de tres factores: el nivel de significación elegido, el tamaño de la muestra y el índice de discrepancia (medida del grado de falsedad de la hipótesis nula en el caso de que ésta sea falsa). A) Nivel de significación: Resulta evidente que cuanto menor sea el nivel de significación (probabilidad de cometer un error de tipo I, es decir, de rechazar la hipótesis nula siendo cierta), habrá una mayor dificultad para aceptar la hipótesis alternativa, en el supuesto de que permanezcan constantes el resto de las variables que intervienen. Esto significa que, si disminuye el nivel de significación, decrece la potencia. Por este motivo, en todo contraste de hipótesis, es necesario conjugar un nivel de signi ficación lo más pequeño posible con una potencia lo más alta posible. B) Tamaño de la muestra: Se ha podido ver cómo el error típico de cada estadístico depende del tamaño n de la muestra, que aparece en el denominador como raíz cuadrada de n, raíz cuadrada de n-1,... lo que confirma que la significación de un contraste, que está en función del estadístico elegido, depende del tamaño de la muestra a partir de la cual éste ha sido evaluado. Por tanto, si permanecen constantes las restantes variables, cuando el tamaño muestral aumenta, disminuye el error típico del estadístico y, en consecuencia, crece la potencia.

C) Indice de discrepancia de la hipótesis nula: Cuando una hipótesis nula es falsa, puede serlo en un grado más o menos alto. No es posible conseguir apreciar la intensidad de su grado de falsedad comparándola con una hipótesis alternativa genérica, como sucede al contrastar las hipótesis

El grado de falsedad de la hipótesis nula se puede determinar si se compara ésta

344

con una hipótesis alternativa específica, en que se fija un valor concreto del parámetro, como puede ser: H,= n = li0+2 Como medida del grado de falsedad de la hipótesis nula se utiliza el índice de discrepancia, T, que proporciona una medida de la diferencia entre las hipótesis nula y alternativa, y que se expresa como un valor tipificado.

r=do siendo d = u - u0 El índice de discrepancia señala la diferencia entre los valores postulados en las hipótesis, medida en desviaciones típicas. Este factor Y está relacionado con las restantes variables que intervienen en la determinación de la potencia, de forma que, si se aumenta el índice de discrepancia, crece la potencia, ya que resulta más probable rechazar la hipótesis nula cuando aumenta el grado de falsedad. Por otra parte, si se mantienen constantes el resto de los factores, cuanto mayor sea el índice de discrepancia, menor es el tamaño de la muestra necesario para obtener un contraste significativo. En la práctica, a veces no resulta fácil determinar el índice de discrepancia más adecuado; en estas situaciones, se toma algún valor convencional de modo similar a la forma en que se procede para fijar el nivel de significación. Los valores que habitualmente se toman en estas situaciones son específicos de cada prueba. En el con traste de la media, se suelen tomar los valores: r=0'2, T=0'5 ó T=0'8, según se desee una potencia pequeña, media o alta.

10.5.3. Cálculo de la potencia Supongamos una población de la que conocemos su varianza s-. Estamos intere sados en contrastar la hipótesis nula

con la hipótesis alternativa //, = u = u , siendo H, = u0 +d. Planteamos una prueba unilateral, con un nivel de significación a y un tamaño de la muestra n. La potencia de la prueba, de la que conocemos las tres variables a, n y la distancia entre los valores de la hipótesis nula y de la hipótesis alternativa específica, viene dada, según su definición, por:

345 1 -B=P(rechazar Hn, cuando H, es verdadera)= =P( rechazar Hn, cuando u=|i,) Bajo las condiciones establecidas, será: 7-(3= P{x>a, u = u,, + d) o donde a = un + z^ —j=, siendo z el valor crítico correspondiente al nivel de significaV« ción a para una prueba unilateral. Cuando tiene lugar la hipótesis alternativa, la variable X-(\i„+d)

z=

a/Vñ sigue una distribución normal tipificada N(z;0,l). Entonces, la probabilidad de cometer error de tipo II es: X-(\i„+d) P= P(x >a, u = uo + d)= P J

a-(\l»+d)

p\z<

)

J

a-(&,+d) —¡^,\i= \í„+d

a-\l„

'7r> = n„+j = p\z<—ff

d H-llg+tl -

/Vn = P Z
H = |i„ + ¿

(li

o/Vn De ( 1 ) se deduce que (2)

"¿P ~
a / 4ñ de donde se obtiene 2a +;

V¿

(3)

Cuando el tipo de prueba es bilateral, la ecuación (2) queda en la forma: (4,

~Zp - Za

a / 4ñ de donde resulta , /r + z» =-V«

(5)

Las ecuaciones (3) y (5) relacionan los errores de tipo I y de tipo II con el tamaño de la muestra y la distancia entre los valores del parámetro en la hipótesis nula y en la hipótesis alternativa específica.

346

y» - ,

M

Figura 10.6: Probabilidades de cometer error de tipo I y error de tipo II.

Figura 10.7: Potencia del contraste.

10.5.4. Factor de equilibrio En la práctica, no es necesario recurrir al «Cálculo de Probabilidades» para hallar la potencia de un contraste. El nivel de significación, el índice de discrepancia y el tamaño de la muestra están relacionados entre sí por medio de una función 8, a la que llamamos «factor de equi librio», cuyos valores están tabulados. Se define el factor de equilibrio 8 como el producto del índice de discrepancia, T, por una función del tamaño de la muestra 8=T f(n)

(6)

El factor de equilibrio coincide con el primer miembro de las expresiones (3) ó (5), según el tipo de prueba: (7)

para una prueba unilateral y para una prueba bilateral

: Za /2 + Zp

(S)

El factor de equilibrio relaciona la probabilidad de cometer error de tipo I con la probabilidad de cometer error de tipo II, manteniendo el «equilibrio» entre el nivel de significación, a, y la potencia del contraste, 1 -B.

10.5.5. Cálculo práctico de la potencia Los valores de la potencia están tabulados. La tabla A.7 del apéndice A propor ciona los valores de la potencia en función del factor de equilibrio 8, del nivel de significación a y del tipo de prueba (bilateral o unilateral). El índice de discrepancia, T, y la función del tamaño de la muestra, f(n), son específicas de cada prueba.

347 El índice de discrepancia, que mide la diferencia entre los valores del parámetro en ambas hipótesis, viene dado en unidades de desviación típica. Así, en la prueba anterior:

r=d/a La función f(n) depende del papel que n desempeña en la expresión del error típico del estadístico que se utiliza para cada prueba. En el contraste anterior: fin) = 4n~ Ejemplo 10.5 Supongamos que el fabricante de baterías de los ejemplos anteriores desea con trastar la hipótesis nula H,=|i=4950 con la hipótesis alternativa específica H =u=5000, siendo u la media de una población cuya desviación típica o=350 es conocida. Se trata de hallar la potencia del contraste si el tamaño de la muestra es n=100. Solución: Si tomamos a=0'05, es z a/2, =1 '96,' Jy 50 ,u =n„+d\=P Z>1'96-/4n~ 350 /V 100 ) á

/-(3

Z>:

= P(Z> (Y53) = 1-P(Z< 0'53) = 1 - (Y701 9 = (Y2981 Por tanto, la potencia del contraste es aproximadamente 0'3. Resulta más cómodo traba jar con el factor de equilibrio, puesto que la tabla A.7 nos da directamente el valor de la potencia en función de 5, para el nivel de significación y el tipo de prueba elegidos. El factor de equilibrio, para los datos del ejemplo 10.5, es

Figura 10.8: Potencia del contraste de il-4950 con M=5000 (l-fi=0 3).

5= r-fin) = —yfñ-

50 1100 = 1'42 350 '

Para 8=1 '42, a=0'05 y una prueba bilateral, la tabla A.7 proporciona, para la poten cia, un valor de 0'3, que coincide con el resultado que acabamos de obtener. Si se quiere una mayor potencia, habrá que modificar alguna de las variables. Así,

348 aumentando el tamaño de la muestra, aumentaría la poten cia del contraste. En cambio, la potencia disminuye si, manteniendo fi jas las restantes variables, tomamos un valor específico de la hipótesis alternativa más próximo al valor del parámetro de la hipótesis nula, 4950, como puede ser u=4975. La hipótesis alternativa es ahora:

Rechazo

Figura 10.9: Potencia del contraste de |t=.í950 con 11=4975 (l-fi=0ll).

H,= \i =4975= \ln + 25 Entonces: u» + 25-u„ 4975-4950 —= a 350

r=—

25 350

= — = O'o7

y, por tanto 8 = Vf(n) = ff074wb = &7 Si o=0'7, para una prueba bilateral y un nivel de significación a=0'05, la tabla A.7 proporciona un valor de la potencia 1-B=0'11 Observamos cómo, al acercarnos al valor real del parámetro, la potencia disminu ye, mientras que la probabilidad de error de tipo II aumenta: B=1-011=0'89

10.5.6. Curva de potencia Cuando se plantea un contraste de hipótesis, es conveniente determinar la potencia del mismo para distintos valores del parámetro. De esta forma, para cada valor |i que asignemos al parámetro en la hipótesis alternativa, se obtendrá un valor para la potencia. Si se representan gráficamente los valores así obteni dos, se consigue una curva, llamada curva de potencia del contraste, que pro porciona una panorámica de la probabilidad de rechazar la hipótesis nula para los diferentes valores del parámetro. La curva de potencia pasa por el punto (|in,a), donde |i0 es el valor del parámetro

349 correspondiente a la hipótesis nula y a el nivel de significación. Cuanto más se aproxima el valor específico del parámetro en la hipótesis alternativa al valor de la hipótesis nula, mayor es el error de tipo II y, en consecuen cia, menor es la potencia. Para un contraste bilateral, la poten |J = Ho cia es simétrica respecto de la recta u=H0 y alcanza su valor Figura 10.10: Curva de potencia. mínimo para 1-P=^,. Para el nivel de significación prefijado a=0'05 y muestras de tamaño 100, si con trastamos diferentes pares de valores, obtendremos distin tos puntos, cuya representa ción gráfica nos dará la po tencia correspondiente a n=100ya=0'05. Si trazamos las curvas de potencia de un contraste para diferentes valores de n, éstas se van cerrando según au menta n, ya que la potencia aumenta al aumentar el tama ño de la muestra.

Figura 10.11: Curvas de potencia de nivel a=0'05 para n = 100 y n = 120.

10.5.7. Selección del tamaño de la muestra En el análisis que venimos haciendo, las variables a, T, n y la potencia del con traste 1-B están relacionadas entre sí. Por ello, a la hora de diseñar un contraste de hipótesis, es importante hacer un estudio previo acerca del tamaño más adecuado de la muestra. En primer lugar hay que fijar el nivel de significación y la potencia del contraste con que se desea trabajar. Estos dos factores se deben seleccionar de modo que haya un cierto equilibrio. Hemos visto cómo el nivel de significación más recomendable es a=0'05. Del mismo modo, se suele recomendar que se trabaje con una potencia 1-B=0'80, o lo que es igual, que se trabaje con una probabilidad B=0' 20 de cometer un error de tipo II. Una potencia superior a 0'80 suele llevar a la necesidad de aumentar considerable

350 mente el tamaño de la muestra. Por otra parte, es de desear una probabilidad alta, como B=0'20, de cometer un error de tipo II, si se tiene en cuenta que el investigador debe ser cauto a la hora de rechazar una hipótesis nula cuando ésta sea verdadera, pues ello le podría causar una notable falta de prestigio profesional. Supongamos que, en lugar de predeterminar el tamaño de la muestra, quisiéramos averiguar cuál debe de ser el tamaño adecuado de la misma en función de la potencia y del nivel de significación, para una prueba bilateral. Las relaciones (3) y (5) nos permiten evaluar el tamaño de la muestra en función del nivel de significación, de la potencia y de la distancia entre los valores del parámetro correspondientes a las hipótesis nula y alternativa específica, obteniéndose:

(9)

para una prueba unilateral, donde 8=za+z„. Para una prueba bilateral, se obtiene la expresión:

tu '2+za)~ a

5-V

d2

d2

8(10)

n

" r2

donde ahora es 8=z ¡x/2„+z„.(i Ejemplo 10.6 Se trata de determinar el tamaño de la muestra más adecuado para contrastar las hipótesis del ejemplo 10.5 para una prueba bilateral, con un nivel de significación a=0'05 y una potencia l-B=0'95. Solución: Si a=0'05 y 1-B=0'95, para una prueba bilateral, la tabla 1.7 proporciona el valor 8=3 '6.

Como

resulta:

50 50 T = — = — = 0.143 a 350 3'6 (y143

= 634

Se necesita una muestra de 634 baterías para conseguir una potencia de 0'95 con un nivel de significación del 5% en una prueba bilateral.

351 10.6. Ejercicios propuestos 10.1. De una población normalmente distribuida con desviación típica a=4,3, se extrae una muestra de tamaño n=100, cuya media es 27,6. Efectuar el contraste de H,=|i=26 con H = n * 26 al nivel de significación del 5%. 10.2. Un laboratorio farmacéutico ha elaborado un fármaco en forma de comprimidos cuyo peso está distribuido normalmente con una desviación típica de 0" 1 2 mg. Se sabe que una dosis de comprimidos cuyo peso medio sea superior a 0'60 mg. produce efectos muy perjudiciales. Por este motivo, el hospital comprueba el peso medio de una partida de 150 comprimidos, que resulta ser de 0'64 mg. Hacer un contraste de hipótesis con un nivel de significación del 0'05 para averiguar si es posible adminis trar la medicación al enfermo sin riesgo. 10.3. La estatura media de las mujeres de Castilla-La Mancha se estima que es de 1 '65 m. con una desviación típica de 0'68 m. Se selecciona aleatoriamente una muestra de 60 mujeres de la provincia de Toledo, que da una estatura media de 1 '67 m. ¿Se puede sacar la conclusión de que las mujeres de Toledo son más altas que las del resto de la comunidad? 10.4. Una máquina, que llena botes de refrescos, se ajusta de modo que la cantidad de refresco que deja en cada bote siga una distribución normal de media 250 mi. y con una desviación típica de 20 mi. Se realiza una prueba de inspección para ver si la cantidad servida por la máquina está de acuerdo con la programación establecida. La prueba consiste en tomar una muestra aleatoria de 25 refrescos y medir su contenido, resultando una media de 236 mi. A la vista del resultado, ¿se puede llegar a la conclu sión de que la máquina se ajusta a la programación? 10.5. De una población normalmente distribuida se ha extraído una muestra de tamaño n=20, obteniéndose una media de 1 10 y una desviación típica muestral de 3,4. Con trastar la hipótesis H,=|i=1 15 con Hi = u * 1 15 al nivel de significación del 1%. 10.6. Con los datos del ejercicio 10.5, hacer el contraste de H,=u=l 15 con H =H<1 15. 10.7. De una población normalmente distribuida con desviación típica conocida a=3'6, se extrae una muestra de tamaño 20, que da una media de 25 '4. Para un nivel de significación del 5% y una prueba bilateral, hallar la potencia del contraste de H, =H=27 con IL=ií=30. 10.8. Con los datos del ejercicio 10.7, hallar el tamaño mínimo que debe tener una muestra si se quiere conseguir una potencia del 80%.

352 10.9. ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo muestra1, en el ejercicio 10.4, para conseguir un nivel de significación del 5% y una potencia del 80%, si se quiere contrastar la hipó tesis nula Hn:u=250 con la hipótesis alternativa específica H,:n=240? 10.10. En una determinada región de España, se ha hallado que la vida media de una muestra aleatoria de 90 personas que han fallecido en los tres últimos meses, es de 71 años. Si suponemos que la vida media de los españoles sigue una distribución normal de media 69 años y desviación típica 8'5 años, ¿se puede afirmar que la vida media en esa región es mayor? 10. 1 1 . La duración de cierto modelo de neumáticos de automóvil es de 49000 km. con una desviación típica de 3400 km. Un inventor presenta una patente asegurando que la duración media aumenta considerablemente. Para contrastar esta afirmación, se prueban 15 neumáticos fabricados con la nueva patente, obteniéndose los siguientes resultados: 49500, 52000, 57000, 60000, 45000, 45000, 5 1000, 56000, 58000, 61000, 46000, 57000, 54000, 58000 y 55000. 1) Plantear el contraste de hipótesis adecuado. 2) Averiguar si el contraste es significativo. 10.12. Se supone que el recorrido medio anual de un automóvil en España es de 16000 km. al año. Para rebatir este aserto, una compañía de seguros, consulta a 20 automo vilistas elegidos al azar, que le proporcionan una media de 17000 km. con una desvia ción típica muestral de 2400 km. ¿Al nivel del 5%, puede llegar la compañía de seguros a la conclusión de que la media en kilómetros recorridos por un automóvil es superior a los 16000? 10.13. La longitud de una población de mazorcas sigue una distribución normal de media 26 cm. con una desviación típica de 4'5 cm. De una finca tratada con un nuevo tipo de abono, se obtuvo una muestra de 60 mazorcas que dio una longitud media de 27'5 cm. ¿Se puede asegurar al nivel del 5% que el abono es efectivo? 10.14. Construir un intervalo de confianza del 95% para el ejercicio 10.13, y hallar la potencia del contraste para una hipótesis alternativa específica H :H=27 cm. en una prueba bilateral con un nivel de significación del 5%. 10.15. Se sabe que una población está distribuida normalmente con media |1=12 y desviación típica a=30. Determinar el tamaño que debe tener una muestra para efec tuar el contraste de H,=u=12 con H=u=6, si se quiere conseguir una potencia de 0'95 y un nivel de significación o(=0'05.

353

10.16. Un industrial de la rama del frío quiere demostrar que la vida media de sus motores para frigoríficos es superior a las 90000 horas. Para ello dispone de una muestra de 35 frigoríficos. 1 ) ¿Qué tipo de contraste debe formular? 2) ¿Cómo cometería un error de tipo I? 3) ¿Cómo cometería un error de tipo II? 10.17. Un fabricante de hilo de acero afirma que el hilo fabricado por su empresa tiene un coeficiente de ruptura de 120 Kgs. con una desviación típica de 4'5 Kgs. Se selecciona una muestra de 40 hilos de acero y se miden los coeficientes de ruptura, dando una media de 1 1 5 kgs. 1) Diseñar una prueba para contrastar la hipótesis H=|i=120 con la hipótesis alternativa H =u<120. 2) Si se establece la hipótesis alternativa H,=ii=l 18, determi nar la potencia del contraste para a=0'05.

CAPITULO 1 1 DIFERENCIAS DE MEDIAS Y PORCENTAJES

11.1. Método de trabajo En el capítulo anterior, se ha analizado la estrategia que utiliza la Estadística Inferencial Hipotético-Deductiva. partiendo, en cada situación, de un ejemplo típico. Por motivos metodológicos, se seguirá este mismo tratamiento, procurando facilitar las técnicas necesarias a cada situación. Los diversos tipos de contrastes utilizados se basan en el conocimiento de las distribuciones de los estadísticos que se precisan en cada caso, cuyas propiedades fueron tratadas en el capítulo 9. Para el contraste de la diferencia de medias es necesario seleccionar dos muestras. La independencia y el tamaño de las mismas son los condicionantes que determinan la elección de uno u otro estadístico, y han condicionado también el desarrollo expositivo del capítulo. Dada la relación entre intervalos de confianza y contrastes de hipótesis y, para poner de relieve la relación existente entre ambas técnicas de trabajo, en lugar de hacer un estudio separado, se presenta, en la mayoría de las situaciones, el intervalo asociado a un determinado contraste. Se analizan, en primer lugar, los contrastes de diferencias de medias para muestras independientes, distinguiendo según se trate de grandes o pequeñas muestras. Pronto surge la necesidad de contrastar la homogeneidad de las varianzas, para seleccionar uno u otro tipo de prueba cuando se trabaja con pequeñas muestras. Se incluye, por ello, la prueba de Fisher-Snedecor. Sigue el estudio de la diferencia de medias para muestras dependientes, lo que sucede cuando los datos se dan en forma de pares. Por último, se estudian las inferencias sobre proporciones y diferencias de propor ciones, construyendo los intervalos de confianza relacionados con estas pruebas, y desarrollando el concepto de potencia.

356 1 1 .2. Inferencias sobre diferencias de medias El contraste de la diferencia de medias de dos poblaciones es un problema muy frecuente en todas las áreas que se sirven de la estadística como instrumento de trabajo. Así, un ingeniero puede estar interesado en averiguar la diferencia en la precisión de dos aparatos de medida, lo que conseguirá contrastando la diferencia de las medias de dos conjuntos de mediciones realizadas con cada uno de ellos; un pedagogo puede estar interesado en la eficacia de un nuevo método de enseñanza, para lo cual ensayará la diferencia de las medias de las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos a los que ha aplicado las técnicas del nuevo método y otro grupo de alumnos con los que utilizó un método clásico de enseñanza. En todos estos casos, hay un modelo común de trabajo, que consiste en seleccio nar dos muestras, una formada por individuos de la población en los que se va a ensayar la nueva experiencia, por lo que recibe el nombre de grupo experimental, y otra segunda muestra a la se aplica el método clásico y que se utiliza para contrastar los resultados, por lo que se le llama grupo de contraste. Cuando se efectúa el contraste de la diferencia de medias de dos poblaciones, se han de tener en cuenta tres aspectos fundamentales: a) la normalidad de las poblaciones, b) la homogeneidad de las poblaciones, c) el tamaño de los grupos experimental y de contraste. La normalidad de las poblaciones se refiere al hecho de que éstas sigan o no una distribución normal, mientras que la homogeneidad hace referencia a la igualdad de las varianzas de ambas poblaciones. Más adelante veremos cómo es posible contras tar la homogeneidad de las varianzas así como la bondad de ajuste de los datos a un tipo de distribución. Por ahora, baste con decir que, cuando nos planteamos un contraste de este tipo, admitimos, como hipótesis de trabajo, que las muestras que van a formar los grupos experimental y de contraste son aleatorias y tales que: 1) las poblaciones de donde son extraídas tienen una distribución normal. 2) las varianzas de ambas poblaciones son iguales (a^oV). Otro factor importante que interviene en el contraste de la diferencia de medias es la independencia o dependencia de las muestras. Los métodos que se utilizan cuan do las muestras son independientes no son válidos cuando hay una relación de dependencia entre los datos. En cuanto al tamaño de las muestras, es conveniente que ambas tengan el mismo tamaño, aunque no siempre esto va a ser posible. En cualquier caso, cuanto mayores sean los tamaños de las muestras, más correctos serán los resultados del contraste. Hablaremos de muestras grandes, cuando su tamaño sea mayor o igual que 30, y de muestras pequeñas, cuando su tamaño sea inferior a 30. Sin embargo, para obtener un resultado satisfactorio, no siempre es imprescindible

357 el cumplimiento de las hipótesis de homogeneidad y normalidad. Tras los trabajos publicados por Boneau en 1960 y las aportaciones posteriores de estadísticos como Edwards, las conclusiones sobre las condiciones exigibles para que un contraste de diferencia de medias produzca un buen resultado son: /. Muestras grandes: A) La distribución t de Student produce buenos resultados en general, incluso cuando no se satisfacen las condiciones de homogeneidad y normalidad. Se utiliza el estimador

(x-r)-(nrn.) t= Sx-r

que se distribuye según una t de Student con n +n,-2 grados de libertad, donde (n,-l)s)+(n2-l)s]¡ 1 Sxr = i'

1

7

1

1 +_

B) Si las varianzas de las poblaciones son conocidas, se utiliza la variable tipificada

(x-y)-(n,-l0 z= —+ — til

n2

que sigue una distribución normal N(0,1). //. Pequeñas muestras: Cuando se trabaja con pequeñas muestras, se deben hacer las siguientes precisio nes: A) Si las dos muestras tienen el mismo tamaño o un tamaño muy próximo y las poblaciones tienen la misma forma o una forma muy parecida, el contraste de la t de Student produce resultados correctos. B) Si los tamaños muestrales son distintos, pero las varianzas poblacionales, aun que desconocidas, son iguales, el uso de la t de Student es correcto. C) Si los tamaños muestrales son distintos y las varianzas de las poblaciones también son diferentes, no es correcto el uso de la t de Student. En este caso, se debe intentar seleccionar muestras del mismo tamaño; si esto no fuera posible, hay pruebas especialmente diseñadas. Vamos a estudiar, en primer lugar, el contraste de diferencia de medias en el caso de muestras independientes, haciendo dos apartados según se trate de grandes o pequeñas muestras.

358 11.3. Muestras independientes 11.3.1. Contraste de diferencias con muestras grandes Entendemos por muestras grandes aquellas cuyo tamaño es mayor o igual que 30, para las cuales son válidos los contrastes de diferencias de medias que se basan tanto en la t de Student como en la distribución normal. Ambos métodos dan un buen resultado; su finalidad es comprobar si la diferencia entre los resultados de las medias muestrales es un reflejo de una situación real en las poblaciones o se trata de una diferencia debida al azar. En todos los campos de la investigación se presentan a menudo situaciones simi lares a la que plantea el siguiente ejemplo: Ejemplo 11.1 Un profesor de Matemáticas realiza un programa de ordenador, en que se simula un modelo para estudiar los conceptos de Estadística Descriptiva de primero de Bachillerato. La finalidad del modelo es la de afianzar los conocimientos y agilizar los cálculos de las principales medidas de centralización y de dispersión. Para comprobar la eficacia del programa, el profesor elige al azar un grupo formado por 38 alumnos (grupo experimental) con el que va a ensayar el programa. Del mismo modo, selecciona un segundo grupo en el que hay 32 alumnos (grupo de contraste) para comparar los resultados. Después de trabajar el tema en los dos grupos, se hace pasar a todos los alumnos por el ordenador, desarrollando con el primer grupo el programa de simulación, en tanto que los alumnos del grupo de contraste trabajan con un programa no relaciona do con el tema de estudio. De este modo, el profesor trata de evitar la influencia psicológica que pueda ejercer el hecho de trabajar con el ordenador. Finalizada la experiencia, los alumnos son evaluados obteniendo los siguientes resultados: Calificaciones

N° alumnos G.E.

Na alumnos G.C.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0 1 3 7 8 5 6 7 1

1 1 1 2 7 6 4 6 4 0

359 Efectuados los cálculos, las medias y cuasivarianzas de ambas muestras con sus tamaños figuran en el siguiente cuadro: G. experimental

G. de contraste

Media

6'68

6' 15

Cuasivarianza

3' 10

4'00

38

32

Tamaño muestral

Por medio de esta prueba, el profesor quiere saber si el incremento que se observa en la nota media del grupo experimental es una garantía de que el modelo de simula ción supone una mejora en el rendimiento escolar de los alumnos. En otras palabras, hay que conocer si la diferencia entre las calificaciones medias de ambas muestras es motivo suficiente para afirmar que las medias de las respectivas poblaciones son también diferentes y, por tanto, lo son las propias poblaciones, o bien, si dicha diferencia se debe únicamente al error que introduce el azar al seleccio nar cada muestra. El interés se centra en discernir si la diferencia H, - n, entre las medias de las dos poblaciones, que se suponen distribuidas normalmente, es igual a cero', o lo que es igual, si |i, = |i, . Luego las hipótesis nula y alternativa para un contraste bilateral son:

Por tratarse de muestras grandes de dos poblaciones cuyas varianzas son desco nocidas, se realiza el contraste por medio de la t de Student. Bajo la hipótesis nula, el estadístico X-Y /=Sx-Y

sigue una t de Student con n +n¡-2 grados de libertad, donde (n,-1)s]+(n,-l)S2 (1

— + —I

Sxr —

n¡ + ri2-2

Hay que evaluar s=

~ n¡ + n2 - ¿

1 También podría contrastarse la hipótesis de que la diferencia de medias tome otro valor distinto de cero.

360 que es la media ponderada de las cuasivarianzas muestrales, y proporciona el error típico de la diferencia de medias:

En efecto, sustituyendo s: en esta expresión, resulta:

S,y = ,

I — 1) ¡(n,-I)s;+(n2-l)s-; í — + ~

El número de grados de libertad es n,+n,-2, puesto que, al estimar la varianza con la primera muestra, se utilizan n^l gl, y se usan otros n,-1 gl para estimar la varianza con la segunda muestra. Si, en el ejemplo del modelo de simulación, se realiza el contraste bilateral para un nivel de significación a=0'05. se obtiene, para los datos de las muestras, el valor X -Y (n,-l)sl+(n2-l)sl( 1 ni + ti2 -2

\n¡

1n? ,

0'53 40'202

6'68-6'15 37 3'10 + 3I 4( 1 I + 68 (38 32 0'53 = 1'18 0'45

La tabla de la t de Student para una prueba bilateral con a=0'05 y 68 gl da un valor crítico t =1'99. Como el valor obtenido, 1'1 8. es menor que 1'99, el profesor se ve obligado a aceptar la hipótesis nula, lo que seguramente le decepcionará, ya que tiene que admitir que el programa que ha elaborado no influye en el rendimiento del alumno en la forma que él esperaba. 1 1 .3. 1 . 1 . Análisis de los resultados A) Hemos de advertir que, aún cuando los resultados del contraste conducen a la aceptación de la hipótesis nula, no debemos inferir que se haya demostrado que las medias de ambas poblaciones son iguales, pues, aunque no estuviera determinada, había una probabilidad de cometer un error de tipo II. La conclusión que se debe sacar es similar a ésta: «no se ha encontrado una razón suficiente para aceptar la hipótesis de que el modelo de simulación influya en el rendimiento académico del alumno». B) Si, por el contrario, el resultado del contraste hubiera dado un valor superior al valor crítico, por ejemplo, t=2'03; en otras palabras, si el contraste hubiera resultado significativo, habríamos tenido que rechazar la hipótesis nula, aceptando, por consi

361 guíente, la hipótesis alternativa. Tampoco, en este caso, se debe tomar el resultado como decisivo, puesto que existía una probabilidad de cometer un error de tipo I. Sería conveniente que el investigador (en este caso, el pedagogo) repitiera el experimento para ratificar que el modelo de simulación ejerce influencia en el rendi miento del alumno. C) En el caso de que se hubiera producido un resultado estadísticamente significa tivo, surge el problema de averiguar cuál es la intensidad de la relación entre las dos variables. Interesa también dar una medida de dicha intensidad para saber si el paso de los alumnos por el ordenador tiene una influencia grande, moderada o débil en su rendi miento. Una medida de esta intensidad la proporciona el coeficiente de correlación, según vimos en el capítulo sexto y, cuyo valor en la población debe ser inferido a partir de la muestra.

1 1 .3. 1 .2. Intervalo de confianza Vamos a tratar de construir un intervalo de confianza para la diferencia de medias del ejemplo 11.1. Para ello, disponemos del estimador (X-Y)-{\ir\i,) Sx-r que se distribuye según una t de Student con ^+^-2 grados de libertad. Este estadístico da lugar al intervalo de confianza aleatorio del 95% dado por X - Y - 1'99 s¡ , < u, - u , < X - Y + Y99 . sxj Para las muestras del ejemplo, se tiene: X =6'68, F = 675 y sü-Y = 0'45 y, para a=0'05, las tablas de la t proporcionan un valor crítico t680025=l'99. Sustitu yendo estos valores, resulta el intervalo: 6'68 - 675 - Y99 . 0'45 < u, - u, < 6'68 - 675 + Y99 . 0'45 0'53-0'89< \i,-\i,<0'53 + 0'89 -C56< \i,-\i2
362

que contiene el valor 0 correspondiente a la hipótesis nula |1 - |L .= 0 según era de esperar.

11.3.1 .3. Potencia del contraste Para hacer un estudio de la potencia, es necesario plantear una hipótesis alterna tiva concreta y específica, como puede ser el contraste de Hn=\lr\í2 = 0 con H,= \xr\i: = J Entonces, la potencia del contraste, para una prueba unilateral, viene dada por 7-P =p(xrX:>a.nr\i: = d)

siendo a = /aíx,.*,, y Ia probabilidad de cometer error de tipo II: ' XrX2-d

a-d

}

\ *x).x2

*i,%

J

P =P(XrX2
71/ +712 -2

\rti

n: )

Bajo la hipótesis alternativa específica, sabemos que el estadístico X~i-X~2-d t =. SxTxi

se distribuye según una t de Student con n,+n,-2 grados de libertad. Luego, para una prueba unilateral, se tiene (

a

P-Jh

\ f d, -,uru,=
\ ,|ir|i, =
de donde se deduce que -t9 = r„ Sx,x:

y, por tanto tu +/p =. íFi-F,

(I)

363

Para una prueba bilateral, se obtendría la expresión /a/2 + f3

(2) S.V

Y.

Teniendo en cuenta que / m

/ I n, resulta di

di n¡n.

S I— 1 —1 +

S V«/ + «'

Se tiene, por tanto, la relación í/

«i/fc

(3)

/„ +/u i V «/+«:

Si la prueba es bilateral, se obtiene la relación í/

n¡n2

fa/.' + fp

(4) S V /// + B2

M,-n.= 0

M, . M,= d

H,-H,»0

Figura 1 1 . 1 : Errores de tipo 1 y //.

H,- m- d

Figura 11.2: Potencia del contraste.

Cuando los tamaños de las muestras son distintos, se toma como tamaño común a ambas muestras la media armónica de sus tamaños: 2

2it/7i2

]-

]-

fl i

ll:

n¡ + n.2

de donde resulta

n¡ + ll:

2

364 Las expresiones (3) y (4) quedan entonces en la forma:

'"+'9=7\

§

(5)

t„,2+h =-

1

(6)

Según este resultado, el índice de discrepancia y la función del tamaño muestral vienen dados por

d

¡ü

siendo (ni-Dsl+(n2-l)s2 n¡ +n.2-2 El factor de equilibrio será: 8=t¡+tB, si el tipo de prueba es unilateral 8=t -+L, si el tipo de prueba es bilateral Las expresiones (5) y (6) permiten determinar el tamaño de cada una de las mues tras, una vez han sido fijados el nivel de significación y la potencia del contraste. En efecto, despejando n, se obtiene 2(ta+tfj)'s (7)

2(ta/2 + t»)'s2 d

(Si

según el tipo de prueba. Como 8=t. +t , para una prueba unilateral y 8=t„/,+tB, si el tipo de prueba es bilate ral, sustituyendo 8 y V en (7) y (8), llegamos a la misma expresión:

(8^ (9) Ejemplo 11.2 En el ejemplo 11.1, queremos contrastar la hipótesis nula H^)^-u^O con la hipó tesis alternativa específica H,^1,-^=0'S. 1 ) ¿Cuál será la potencia del contraste para un nivel de significación a=0'05 y una prueba bilateral?

365

2) ¿Qué tamaño deben tener las muestras experimental y de contraste para conse guir una potencia de 0'90 con un nivel de significación del 5%? Solución I) Potencia del contraste: Vamos a calcular la potencia por los dos métodos que discutimos en el capítulo anterior. A) Método directo: Utilizando el «Cálculo de Probabilidades», sabemos que la probabilidad de cometer error de tipo II es a

Á

d

P =P-ta,2\

d -<'
Sxix2

Sxrx:

Al ser n,+n,-2=68, la t de Student tiende a la normal tipificada, y podemos tomar t^^z^. Para un contraste bilateral, si a=0'05, es z =1'96, quedando * C5 0'5 P=f .¡'96- ,
d n

0'5

35

La tabla A.7, para a=0'05 y un valor del factor de equilibrio de 1 '087 en una prueba bilateral, proporciona un valor de la potencia de 0'2, que coincide con el que acaba mos de obtener por el método directo. 2) Determinación del tamaño muestral: Si a=0'05 y 1 -B=0'90, la tabla 1 .7 proporciona el valor 8=3'25. Entonces

d (.T5 r= —= = ff267 s V 87

366

con lo que

(3'25 2 148 = 296

Se necesitan, por lo tanto, dos muestras de tamaño 296 para obtener un nivel de significación del 5% y una potencia del 90%.

11.3.1.4. Gráfico de caja y extensión múltiple

¡jí Figura 11.3: Gráfico de cajas hemliitus

Cuando los grupos de datos estadísticos presentan alguna anomalía, la mediana es más adecuada que la media para realizar comparaciones. La mediana se puede utilizar, en una expresión gráfica, para detectar e incluso confirmar la diferencia en la localización de los datos. El gráfico más idóneo es el «gráfico de cajas hendidas» o «gráfico de caja y extensión múltiple», que presenta una hendidura en torno a la mediana, que sirve para marcar un intervalo de confianza del 95% con el centro en ésta. Los extremos del intervalo son: A\ Md-1'57x-fir yM,i + 1'57x ,Jn S donde M es la mediana, Rsl es el valor del rango semiintercuartílico, n el tamaño muestral y 1'57 una constante. Se trata de un gráfico con carácter confirmatorio tal que, si se comparan dos grupos de datos, el criterio que se sigue consiste en admitir que los datos proceden de la misma distribución cuando los intervalos marcados en los gráficos se solapan.

367 En la figura 11.3, puede apreciarse cómo la diferencia en la localización de los grupos experimental y de contraste del ejemplo 11.1 no es significativa.

11.3.2. Contraste de diferencia de medias con pequeñas muestras Cuando el número de grados de libertad es grande, la distribución de la t de Student tiende a confundirse con la normal N(0,1). El uso de cualquiera de las dos variables, Z ó t, para realizar el contraste, conduce al mismo resultado si el número de grados de libertad es alto. El límite a partir del cual se considera que la t de Student marca diferencias apreciables con respecto a la variable Z se sitúa en torno a los 30 grados de libertad. Desde 30 grados de libertad hacia abajo la t difiere notablemente de la normal, y es cuando la t produce resultados más fiables que aquella.

11.3.2.1. Contraste de diferencia de medias cuando las varianzas poblacionales son conocidas Ejemplo 11.3 De una población normal con desviación típica a=2'l se extrae una muestra aleatoria de tamaño ^=20, cuya media muestral es 7'4. Se extrae una segunda muestra aleatoria de tamaño n,=24 de una población normal diferente con desviación típica a2=1'5, dando una media de 6'9. Ensayar la hipótesis de que las medias poblacionales son iguales. Al ser conocidas las varian zas de las poblaciones, la dife rencia de medias muestrales X -Y es un estimador insesgado de la diferencia de medias p,-p, de la población, que sigue una distribución normal ( N u,-u.

/ n,

\

2 5%

ll2

Se trata de contrastar la hi pótesis nula H^|i^|i^O con la hipótesis alternativa H ^|i^|i^O. Entonces, si elegimos el ni vel de significación a=0'05, bajo

fírfrrrrTr,-

Figura 1 1 .4: Región crítica para la diferencia de medias.

368 la hipótesis nula, se obtiene como valor de la variable tipificada A Y

7'5-6'S

/=

= ¡'25

(y¡~4= i4'41 2'25 n, + n2

1 20 + 24

que, comparado con el valor crítico, 1 '96, correspondiente a la normal N(0,1 ) para un contraste bilateral con un nivel de significación a=0'05, conduce al mismo resultado que la t de Student. Ya vimos que la t, cuando el número de 'grados de libertad es grande, tiende a confundirse con la normal N(0.1 ). 1 1.3.2.2. Potencia del contraste Se trata de contrastar la hipótesis nula //„ = u / = u , =0 con la hipótesis alternati va específica //, = u ( - u , = d para la diferencia de medias de dos poblaciones, de las que se conocen sus desviaciones típicas G¡ y a,. La potencia del contraste viene dada por

/-P =i>(\xrY¡>a,nr\ií-d) siendo a = ;o/2-sj¡.j}, y la probabilidad de cometer error de tipo II: P =P(-a<~X,-~X2
.-a-d = <

O'i —

+

o} —

XrX.-d

a-d .V,-V2 = d

= <

,

o}

o}

— +— tl¡

B2

Bajo la hipótesis alternativa específica, sabemos que el estadístico X -X d Z= o

o

«/

tl:

se distribuye según una normal N(z;0.1 ), por lo que, para una prueba bilateral, resulta: i

d

d

P=/> .z*,r


n¡

n:

Tt/

it: )

369 Por tanto "Zli "Mt/

de donde se llega a la expresión
(10)

Si los tamaños de ambas muestras fuesen iguales, n,=n,=n, la relación anterior quedaría en la forma

fn

Za/2 + Z|J -

(11)

Vo/+oÍ Cuando los tamaños muestrales son distintos, se puede tomar como tamaño co mún de ambas muestras la media de n, y n,. La expresión (11) nos indica que podemos tomar como índice de discrepancia d

r=

Vo/+o: y como función del tamaño muestral

f(n) = V77 donde n es la media de n, y n„ cuando las muestras experimental y de contraste tienen distinto tamaño, quedando como factor de equilibrio X

d

.j¡ Si despejamos n en la expresión ( 1 1 ), se obtiene la relación

u, ..+2n)"(cr; + cr:) n =

(12)

d2

que nos proporciona el tamaño que deben de tener las muestras experimental y de contraste para un nivel de significación a y una potencia dada 1-B. Si el contraste es unilateral, la expresión (11) toma la forma

V^

¿u T «.p

Vo/+o;'

(13)

370

y la expresión (12) quedaría (za + zpHcrJ + ai) (14) Ejemplo 11.4 Si, en el ejemplo 1 1 .3, queremos contrastar la hipótesis nula H0=n -|i =0 con la alternativa específica HMi -h2=0'5, veamos cuál es la potencia del contraste para una prueba bilateral y a=0'05. También vamos a calcular el tamaño que deberían de tener ambas muestras para conseguir un nivel de significación oc=0'05 y una potencia l-B=0'95. 1) Cálculo de la potencia A) Método directo: Utilizando el «Cálculo de Probabilidades», al ser conocidas las varianzas poblacionales, el estadístico Xi-X.-ffS 4'41 725 20 + 24 se distribuye según una normal N(z;0, 1 ). Entonces Z=

(*=/i -Y96-

V5
0'5 4'41 725 20 * 24 )

= P(-785
fn J4'41 + 725 que depende del tamaño de las muestras. Al ser los tamaños distintos, tomando como tamaño de ambas la media de n y n.,, resulta 20 + 24 n = —-— = 22

371 Luego o


i—

Para 8 = 0'90, a = 0'05 y una prueba bilateral, la tabla A.7 proporciona una potencia de 0' 15, que coincide con el valor que acabamos de encontrar. 2) Tamaño de la muestra Si a=0'05 y l-B=0'95, será B=0'05, luego zaQ=l'96yze=l'65 Por tanto n=

(l'96 + r65f(4'41 + 2'25) = 347'12 = 347 0'5-

El tamaño que deben de tener las muestras experimental y de contraste es n=347.

11.3.2.3. Contraste de homogeneidad de varianzas para muestras independientes Con frecuencia, desconocemos si las varianzas poblacionales son iguales o dife rentes. Así sucede en el siguiente ejemplo: Ejemplo 11.5 Para probar la eficacia de un nuevo fertilizante en la producción de trigo, se selec cionan 26 parcelas de igual tamaño y de características similares. Se siembran todas con el mismo tipo de trigo, siendo tratadas la mitad de las parcelas con el nuevo fertilizante y la otra mitad con el fertilizante tradicional. Efectuada la recolección de la cosecha, las parcelas tratadas con el nuevo fertili zante produjeron una media de 10'8 fanegas, con una cuasivarianza de 1'7, y las 13 parcelas que no fueron tratadas con el nuevo fertilizante produjeron una media de 9'4 fanegas, con una cuasivarianza de 1 '4. ¿Se puede inferir, a partir de estos resultados, que el nuevo fertilizante incrementa de una manera significativa la producción de trigo? Para comprobar la homogeneidad de las varianzas de la población, necesitamos hacer un contraste previo sirviéndonos de los valores particulares obtenidos para las cuasivarianzas de las muestras. La prueba que se utiliza con mayor frecuencia para comparar las varianzas poblacionales a partir del conocimiento de las cuasivarianzas de las muestras se cono ce como prueba F de Fisher-Snedecor. Esta prueba se basa en el cociente entre la

372 mayor y la menor de las cuasivarianzas; un cociente grande o pequeño señala una diferencia notable entre las cuasivarianzas, en cambio, un cociente próximo a uno es señal de una diferencia pequeña. Las condiciones en que se puede aplicar este contraste de homogeneidad vienen dadas en las hipótesis de la siguiente proposición, y son la independencia de las muestras y la normalidad de las poblaciones. Proposición 11.1: Si s{2 y s,2 son las cuasivarianzas de dos muestras indepen dientes de tamaños n, y n,, respectivamente, procedentes de poblaciones dis tribuidas normalmente, el estadístico s]/a2, S2/O2

sigue la distribución F de Fisher-Snedecor con (n,-1) gl de la cuasivarianza mayor, s,2, y (n,-1) gl de la cuasivarianza menor, s22. Las hipótesis nula y alternativa son:

Bajo la hipótesis nula, la variable F es:

El valor que se obtiene para F se compara con el valor crítico de la tabla de la distribución F de Fisher-Snedecor; este valor se encuentra en la intersección de la columna de los n,-1 gl de la cuasivarianza del numerador con la fila que contiene los n,-1 gl de la cuasivarianza del denominador de la tabla de la F. En el apéndice A, se incluyen cuatro tablas de la F: dos con los valores correspon dientes al nivel de significación a=0'05 y otras dos para a=0'01. Si el valor de la F que se obtiene en la fórmula del cociente de cuasivarianzas es menor que el valor de la tabla para a=0'05 (o a=0'01), se acepta la hipótesis nula al nivel 0'05 (ó 0'Ol), y, en caso contrario, la hipótesis nula es rechazada. En el ejemplo 1 1.5, las cuasivarianzas muestrales son S|2=l'7y s,2=l'4 con lo que la F de Fisher-Snedecor toma el valor sj

1'7

El valor crítico lo proporcionan las intersecciones de la columna 1 2 con la fila 1 2 de las tablas, cuyos valores son

373 F,2.12.oo5=2,6866yF,,,,»ol=4'1553

Entonces, al ser el valor F=l '21 menor que los valores críticos a los niveles 0'05 y 0'O1, aceptamos la hipótesis nula, o lo que es igual, la igualdad de las varianzas poblacionales.

11.3.2.4. Contraste de diferencia de medias procedentes de poblaciones homogéneas Una vez ha sido aceptada la homogeneidad de las varianzas de la población, se puede realizar el contraste de diferencia de medias a partir de los datos de que dispo nemos. Tenemos los resultados de dos pequeñas muestras del mismo tamaño, 13. Las hipótesis nula y alternativa son: //H=|i, = p., y H,3\i,*\i2 Para llevar a cabo el contraste, sabemos que, bajo la hipótesis nula, la variable X-Y t =

Sx-r

es una t de Student con n +n.,-2 grados de libertad, donde

Sxy

¡(ni-l)sl + (n2-l)s2 (1 — + —' nl + n2-2

Con los datos del ejemplo 1 1.5, resulta: 10'8 - 9'4

1'4

ros

1\ 12 1'72 + I2 1'4 Y / 24 13 + 13

Para un contraste bilateral y un nivel de significación a=0'05, la tabla de la t de Student proporciona un valor crítico, para 24 gl, de t24.0023=2'064

El valor obtenido en el contraste. 2'03, es menor que el valor crítico, 2'064, por lo que el contraste no es significativo y podemos concluir que «no hay motivo suficien te para pensar que el nuevo fertilizante mejora la producción de trigo». Sin embargo, el valor obtenido para t es muy próximo al valor crítico, por lo que sería aconsejable repetir la experiencia antes de tomar una decisión definitiva.

374

11.3.3. Contraste de diferencia de medias procedentes de poblaciones no homogé neas Cuando las muestras son pequeñas y las varianzas distintas, ciertas modificacio nes en la t de Student conducen a un resultado fiable. Vamos a exponer dos métodos que exigen, para su aplicación, que las muestras sean independientes y las distribuciones de las poblaciones normales o aproximada mente normales. Más adelante veremos cómo se puede inferir la normalidad de una población a partir de los datos aportados por la muestra. /. Método de Cochran-Cox: Este método compara la variable t, no con el valor que se obtiene de la tabla de la t de Student, sino con el valor crítico que proporciona la fórmula de Cochran-Cox, que, para un nivel del 0'05 y una prueba bilateral, es: t¡S'- +?.'Sf 2 '

tims =

donde t, es el valor de la t de Student con n,-1 gl y nivel a=0'05 t2 es el valor de la t de Student con n,-1 gl y nivel a=0'05 X es la media del grupo experimental. Y es la media del grupo de contraste. S. =

es el cuadrado del error típico de la media para el grupo experimental. n,-l es el cuadrado del error típico de la media para el grupo de contraste.

'

n¡ - 1

El contraste se realiza evaluando el valor de la variable X-Y t =.

v4 + Si que se compara con el valor t0 proporcionado por la fórmula de Cochran-Cox, de forma que, si el valor de la variable t es menor que el valor que proporciona la fórmula, se acepta la hipótesis, y si es mayor, se rechaza. Ejemplo 11.6 Un laboratorio farmacéutico pretende averiguar si un nuevo fármaco detiene una cierta enfermedad. Dispone de 1 9 cobayas en las que acaban de provocar la enferme dad. Se seleccionan 10 de ellas al azar y se les administra el nuevo fármaco, compro

375 bando los días de supervivencia del grupo de estas 10 cobayas y de las 9 restantes, a las que se les administra el fármaco tradicional. Los resultados obtenidos (expresa dos en horas) son los siguientes: Tratados No tratados

1503

620

752 1215 1890

340 1670 1256 1887 1310

790

3%

681

898 1024

630 1030

745

910

Con los datos del ejemplo, para un nivel del 0'05, se obtienen los siguientes valores: n=10, n2=9,

X = 1244'3, Y = 789'33,

s=530'54, s2=204'07,

s,2=281479'7 s22=41644'7

Las muestras son independientes y también se admite la normalidad de las dos poblaciones. En cambio, necesitamos comprobar si son iguales o no las varianzas. Para ello, utilizamos la F de Fisher-Snedecor para hacer un contraste de homogenei dad. Las hipótesis nula y alternativa son:

El estadístico que se utiliza para realizar el contraste es sj 2814797 F=4= = 675 s2 416447 Las tablas de la F para 9 gl de la cuasivarianza mayor y 8 gl de la menor proporcio na los valores críticos: F9. 8. oo5 =3'39vF J '), 8, O'Oi =5'91 El valor obtenido en el contraste , F=6'75, es superior a los valores de la F para 9 gl y 8 gl a los niveles 5% y 1%, por lo que se rechaza la hipótesis nula, concluyendo que las varianzas de ambas poblaciones son distintas. Por tratarse de poblaciones con varianzas distintas, pero que se pueden conside rar normalmente distribuidas, es posible aplicar el método de Cochran-Cox. Para usar la fórmula de Cochran-Cox, debemos hallar los valores t. y t,, que son los valores críticos de la t de Student para (n^1) gl y (n,-1) gl, respectivamente, y un nivel a=0'05. La tabla de la t proporciona los valores:

376 Los cuadrados de los errores típicos de las medias muestrales son: s2, 2814797 s\x = n,-l7 = = 31275'52 9 r

s¡ m-1

416447 8

5205'58

Sustituyendo los valores obtenidos en la fórmula de Cochran-Cox, resulta: f

2'262 . 31275'52 + 2'306 . 5205'58 31275'52 + 5205'58

7962174 36481'! 1~

y ]5i

Este es el valor crítico, al nivel del 5%, que se toma para comparar el valor de la variable t, que, para los datos del ejemplo 1 1.6, es: X-Y 1244'3 -789 33 454'97 t= i , = , = = 2'38 t]s2x + s¡ J31275'52 + 5205'58 191 Este valor de t=2'38 es mayor que el valor t005=2' 1 8 que proporciona la fórmula de Cochran-Cox para un nivel a=0'05, por lo que se rechaza la hipótesis nula, llegando a la conclusión de que el nuevo fármaco es efectivo para detener la enfermedad. //. Método de los grados de libertad: Se basa en la siguiente propiedad: Si las muestras son independientes y las distribuciones de las poblaciones norma les o aproximadamente normales, siendo las varianzas poblacionales distintas y des conocidas, el estadístico

(x-y)-(ivu.,) r= n,

n,

sigue una distribución t de Student con (s2, I ni + si I n2)' v= [(s2,/n,f/(n,-l)] + [(sl/n2f/(n2-l)] grados de libertad. Aplicando este tipo de contraste al ejemplo 11.6, que satisface las condiciones exigidas, se tiene: (530322 /10 + 204'072 / 9)2 v=r 2 ^~T~f , , |= 1184 = 12 ( 530'32' / 10)' /9\ + [( 204'07' / 9J / 8\

377 El valor de la variable t, para los datos del ejemplo, es: 1244'3 -789'33 454'94 t= , = = 2'51 \530'542 204'072 18V04 10

+

9

La tabla de la t de Student, para una prueba bilateral con 12 gl y un nivel a=0'05, da un valor crítico t -=2' 179. Como el valor de t=2'5 1 es superior a 2' 179, el contraste es significativo al nivel 0'05, luego rechazamos la hipótesis nula, admitiendo que el nuevo fármaco es eficiente y alarga la vida media de los cobayas.

1 1 .4. Diferencia de medias para muestras dependientes El estudio que acabamos de realizar para contrastar la diferencia de medias no es válido cuando los datos están correlacionados. Así sucede cuando se toman medidas en situaciones diferentes sobre el mismo conjunto de individuos. Tenemos un ejemplo cuando se mide la actitud de un grupo de personas antes y después de recibir un mensaje disuasorio. Otra situación de este tipo se produce cuando se seleccionan las muestras por pares de individuos con propiedades equivalentes en las características que se estudian. Ejemplos clásicos son las muestras formadas por pares de hermano y hermana para hacer algún tipo de estudio comparativo sobre una cualidad en el hombre y la mujer, así como las muestras formadas también por pares de hermanos (primero y segundo en edad) para analizar un factor psicológico como puede ser el grado de introversión del primogénito,... Son múltiples las situaciones análogas a éstas que se presentan en los diversos campos de la investigación. Como punto de partida, vamos a estudiar la situación originada por el siguiente ejemplo, que ya se nos planteó en el capítulo 9: Ejemplo 11.7 El candidato número uno de un determinado partido político desea conocer la influencia del mensaje electoral que va a transmitir a través de la televisión. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 15 telespectadores de quienes solicita que evalúen de 0 a 100 el programa electoral de su partido antes de pronunciar el mensaje y después de hacerlo. Los resultados son: Telespectadores Puntuaciones antes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 56 65 60 43 28 62 39 70 29 31 57 51 18 54

Puntuaciones después

41 59 70 60 49 50 50 50 75 25 40 57 60 30 61

378 1 1 .4. 1 . Contraste de hipótesis Los datos se dan apareados, no habiendo independencia entre las muestras, ya que cada par de valores proceden de la misma persona. El estadístico que se utiliza, según se vio en el capítulo 9, es: t=

¡Sn que sigue una t de Studenl con n-1 gl. / ni=l

±D. ,

/>

siendo n el número de pares y

sb =

D,=

~. ¿¿{D, - D)

Como hipótesis nula se establece que la diferencia de las medias de las valoracio nes antes y después de la recepción del mensaje es cero. Si se pretende hacer un contraste bilateral, las hipótesis nula y alternativa son:

Entonces, bajo la hipótesis nula, el estadístico D

¡sb

V« sigue una t de Student con n-1 gl. Con los datos de la muestras, resulta: -

/¿ n l=l

66 15

s:n=^-¡yÍD-D)'=-l-¡973'6=69'54 Luego D

4'4

4'4

4'4

~ [si~ ¡69'54 ~ 4*64 ~ 2'15 ' /, v 15 Si elegimos el nivel de significación a=0'05, el valor crítico de la t de Student con 14 gl para un contraste bilateral es:

379 Como el valor obtenido t=2'04 es menor que 2' 145, se acepta la hipótesis nula, concluyendo que el mensaje no ha ejercido influencia en el electorado. 11.4.2. Intervalo de confianza En el caso de dos muestras dependientes, el estadístico f~P-H0 ¡Sd V n acabamos de recordar que se distribuye según una t de Student con n-1 gl. Luego el intervalo de confianza aleatorio del 95% será:

Comot a/2,14 ,,, =T 145, será: D - 2'145-1— < H D < D + 7145,1— V n \ n Si se toman los valores proporcionados por las muestras, se tiene el intervalo particular: 4'4 - 71454^64 < u „ < 4'4 + 7145^64 4'4-4'62<\iD<4'4 + 4'62 -0'22<\in<9'02 que contiene el valor 0 correspondiente a la hipótesis nula del contraste que se hacía en el apartado anterior, según era de esperar, puesto que el contraste no resultó significativo.

1 1 .5. Inferencias sobre proporciones y porcentajes Problemas similares al que plantea el ejemplo que se propone a continuación son habituales en cualquier campo de investigación. En un principio puede parecer un problema de inferencia sobre la media de una población. No obstante, hay un matiz nuevo: los datos vienen dados ahora en forma de proporciones. Ejemplo 11.8 El gobierno de una nación desea someter a referéndum una ley fundamental que, para ser aprobada, necesita de la mayoría absoluta de los sufragios emitidos.

380 Antes de someterla a referéndum, el gobierno encarga un sondeo de opinión, que produce el siguiente resultado: de las 350 personas consultadas, 1 89 son favorables a la nueva ley, mientras que 161 manifiestan que votarán en contra. A la vista de estos datos, ¿puede el gobierno tener una garantía suficiente de que saldrá adelante la mencionada ley? La aprobación de la ley es fundamental para la continuidad del gobierno, que la someterá a referéndum si los resultados del sondeo le garantizan que la ley será votada por un porcentaje superior al 50% de la población. La decisión que tome el gobierno se debe basar en el conocimiento de que: a) dispone de una muestra aleatoria de 350 personas que han manifestado su intención de voto. b) el 54% de las personas consultadas ha manifestado que votará afirmativamente. c) el 46% de los consultados votará «no» a la ley. Para simplificar, se han eliminado los casos de votos indecisos y las abstenciones. El problema estadístico consiste en la realización de un contraste de hipótesis sobre proporciones. Un estimador insesgado de la proporción de individuos de una población es la proporción de individuos de la muestra, que, según vimos, sigue una distribución normal P(l-P) Y

Por lo tanto, la variable tipificada P-P P(l-P) es normal N(0, 1 ). Se puede plantear un contraste de hipótesis bilateral: Hipótesis nula: //o = p = 05 Hipótesis alternativa: H, = p±05 Si se elige un nivel de significación del 5%, al ser p=0'54, tendremos: 0'54-0'5 05,05 350

0'04 00267

V49

Como el valor de Z=1'49 es inferior al valor crítico correspondiente a la normal N(0,1) para a=0'05, que es z =1'96, no se puede rechazar la hipótesis nula, y, por tanto, no es improbable que la encuesta haya dado un 54% de partidarios del «sí», siendo así que votará «sí» el 50% de la población.

381 1 1.5.1. Intervalo de confianza Si se quiere un intervalo de confianza que contenga todos los valores probables de la proporción p de la población, habrá que utilizar el valor particular del parámetro para hacer una estimación del verdadero valor de p. Esto es posible siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande para que la estimación que se hace de p no afecte mucho al error típico de la proporción

-¡P(1-P)

En el caso particular de nuestro ejemplo, el tamaño de la muestra es suficientemen te grande. Luego, tomando p=0'54, tendremos el siguiente intervalo de confianza al nivel del 5%:

p-r96ah
w

a 54(1-0' 54) =0026 350

con lo que el intervalo resultará: 0'54 - 1'96 0'026
1 1.5.2. Potencia del contraste Para determinar la potencia, es necesario concretar la hipótesis alternativa. La hipótesis nula que se trata de contrastar consiste en admitir que la ley sometida a referéndum va a ser votada afirmativamente por un 50% de los votantes, es decir:

382 H,FP„=0.5 Supongamos que se desea contrastar con la hipótesis alternativa de que hay una diferencia de 5 centésimas, utilizando una prueba bilateral:

Si se elige un nivel de significación a=0'05 y una muestra de tamaño 350, el índice de discrepancia será: r-

prP, 0'55-0'50 -0'05-0,¡ yjpji-PJ Jff50.(l-ff50) 0'5 '

El factor de equilibrio, 8, viene dado, del mismo modo que en el caso del contraste de la media, por

5 =rV^ por lo que 8 =07 4350 = J'87 Llevando este valor a la tabla de potencias, para 6=1 "87 y a=0'05, se obtiene el correspondiente valor de la potencia: 1-B=0'44 Una potencia de 0'44 debe hacer pensar que, aunque el resultado del contraste fue no significativo, esta conclusión no se puede considerar determinante, ya que supone una probabilidad de cometer error de tipo II bastante alta: B=0'56

1 1 .5.3. Determinación del tamaño de la muestra La agencia encargada de hacer el sondeo, antes de proceder a su realización, podría haber planteado la necesidad de determinar previamente el tamaño necesario de la muestra para conseguir una potencia de 0'80. trabajando con un nivel de signi ficación de 0'05, utilizando el mismo índice de discrepancia r=0' 1, para contrastar las hipótesis: H.FP.r0'5

383 Como 8 = rv« , será:

"ÍT¡ Para determinar n, se busca, en la tabla A.7, el valor de 8 correspondiente a una potencia 1-B=0'80 y un nivel de significación a=0'05. resultando: 6=2'8 Entonces

(2'sY n=[—j=28- = 784 Como puede apreciarse, para conseguir en las mismas condiciones, una potencia de 0'80, se necesita una muestra de tamaño mucho mayor.

1 1.6. Contraste de la diferencia de proporciones Para contrastar la diferencia de medias, nos hemos servido de un estadístico que, según el tamaño de la muestra, seguía una t de Student o la normal tipificada. En ambas situaciones, el proceso consistía en elegir como hipótesis nula el co ciente de dividir la diferencia de dos estadísticos entre el error típico de dicha diferen cia. Este mismo método va a ser el que utilizaremos para efectuar el contraste de la diferencia de dos proporciones o tantos por ciento. Se trata, en definitiva, de contrastar la diferencia entre dos parámetros, p¡ y p, de poblaciones binomiales. Para ello, se seleccionan dos muestras, una experimental y otra de contraste, de tamaños n, y n„ respectivamente. Si es x, el número de éxitos de la primera muestra y x, el número de éxitos de la segunda, tenemos las proporciones

Sabemos que un estimador puntual de la diferencia de proporciones es £,-/>,. Entonces, si las muestras son independientes, el estadístico p-p, se distribuye aproxi madamente según una normal de media p,-p, y varianza P,1,

P,<¡,

iti

n2

Podemos servirnos, para hacer el contraste, del estadístico

384

z=:ÍPrPzHPrP2) PAijP2l2

Se trata de contrastar la hipótesis nula Ht=p-p=0 con la hipótesis alternativa Bajo la hipótesis nula, serán p^p^p y q,=q.=q, y, por tanto (PrP2)

/= /"/ '.'' que se distribuye según una normal N(z;0,l). En la práctica, para calcular el valor de Z, hay que estimar los parámetros p y q. Para ello, se usa la siguiente estimación combinada de la proporción „ xi+x2 n,p,+n,p, P= n,+n, Si sustituimos p por/? y q por q=l-p, el valor del estadístico Z viene determina do por la expresión A A (PrP,)

z=

itt\ El contraste se realiza por medio de la normal tipificada, de modo que, fijado un nivel de significación a, para una prueba bilateral, si el valor de la estimación del estadístico Z es mayor que el valor crítico z o menor que -z^, se rechaza la hipóte sis nula, aceptándose en caso contrario. Ejemplo 11.9 El equipo rector de una universidad planteó una consulta sobre la necesidad de una asignatura de Cálculo Automático en los planes de estudios de las licenciaturas en Ciencias Geológicas y Biológicas. Con este motivo, se elaboró un cuestionario, al que contestaron 1 10 geólogos y 95 biólogos; 50 geólogos y 62 biólogos respondieron que consideraban necesaria dicha disciplina. Se trata de contrastar la significación de la diferencia de proporciones de las respuestas de cada uno de los grupos consultados. Solución: Proporción de geólogos que ven la necesidad: /?,=yr-r=0'45

385

Proporción de biólogos que ven la necesidad: p,=-^=0'65 Entonces la estimación combinada de la proporción es . 50+62 „■-. p=7m95=0 54 y

q=14)'54=0'46 Por lo tanto, la estimación del estadístico es ff45-0'65 Z= ,

= -789

Si elegimos un nivel de significación a=0'05 y una prueba bilateral, es z^l '96 y -za/2 =-1'96. Como el valor de la estimación z=-2' 89<- 1'96, se rechaza la hipótesis nula, conclu yendo que es mayor la proporción de los biólogos que ven la necesidad de una asignatura de Cálculo Automático en sus planes de estudio.

1 1 .7. Ejercicios propuestos 11.1. Una muestra aleatoria de tamaño n=24, seleccionada de una población normal con una desviación típica a,=4'9, dio una media x = 78. Extraída una segunda muestra de tamaño n,=34 de otra población también normal con desviación típica o\=3'2, dio como media 3c =70. Realizar un contraste para la igualdad de las medias de ambas poblaciones. 1 1.2. Una muestra aleatoria de 36 estudiantes de una universidad A dio un cociente de inteligencia medio de 120, mientras que otra muestra de 36 estudiantes de la universi dad B dio una media de cociente de inteligencia de 110. Suponiendo que el cociente de inteligencia de los estudiantes universitarios se distribuye normalmente con una desviación típica conocida a=32, ¿se puede afirmar que hay una diferencia significati va entre la media de los cocientes intelectuales de los estudiantes de las dos univer sidades al nivel del 5%? 1 1.3. La presión arterial de 15 enfermos es controlada antes y después de que les sea administrado un medicamento, dando los siguientes resultados: Antes 9 Después 9

7 6

8 9

11 9

10 9

8 6

9 8

10 9

11 10

8 8

9 6

10

S

7 X

9 7

10 9

386 Realizar un contraste para la media de las diferencias en la presión arterial antes y después de tomar el medicamento, y construir un intervalo de confianza del 95%. 1 1.4. Una factoría de automóviles quiere decidir si, con un nuevo tipo de neumáticos, se logra reducir el consumo de combustible. Para ello, realiza dos pruebas con 15 de sus coches: una, con los neumáticos habituales y la otra, con el nuevo tipo de neumá ticos en las mismas condiciones de recorrido y con los mismos conductores. Los resultados de ambas pruebas fueron los siguientes (expresados en kilómetros recorridos por litro de combustible consumido): Nuevo

5*3 6'1 4'8 5'2 71 4'9 5'3 5'1 5*3 67 6'8 6'6 5'8 4'9 6'3

Habitual

5'1 5'9 47 5'3 6'8 47 5'4 4'9 5'0 6'4 67 6'4 5'9 57 5'9

Suponiendo que las dos poblaciones se distribuyen normalmente, ¿se puede con cluir que. con el nuevo tipo de neumáticos, el consumo es menor? Utilizar un nivel de significación de 0'05. 1 1.5. En un grupo de 2000, se han contabilizado 2 personas daltónicas, mientras que, en un segundo grupo de 2400, hay 4 daltónicas. ¿Se puede afirmar que, en el segundo grupo, es mayor la probabilidad de que una persona sea daltónica al nivel 0'05? 11.6. ¿Qué tamaño deberían tener las muestras del ejercicio 1 1.4 para conseguir una potencia de 0'90, si se quiere contrastar una diferencia entre las medias de 200 metros en una prueba bilateral al nivel de significación del 5%? 1 1.7. Para estudiar la influencia de determinados mensajes subliminares, un psicólogo plantea un test de actitudes a un grupo de 12 personas. Después de proyectar una película con una serie de mensajes en imágenes subliminares, les propone de nuevo el mismo test de actitudes. Las puntuaciones obtenidas en ambas pruebas fueron las siguientes: Antes

21

18

9

20

16

25

10

17

26

23

25

20

I8

Después

20

22

18

25

21

29

16

21

29

22

27

23

21

Definir la hipótesis adecuada y realizar el contraste. 1 1.8. El servicio de abastecimiento de agua de una ciudad ha observado una concen tración de nitritos superior al nivel máximo permitido. Dos industrias de productos químicos le ofrecen sendos tratamientos. Para decidir sobre el mejor de los tratamien tos, se recogen 1 5 botellas de agua tratada con el primero, que, analizadas, dan una

387 media de 26 mg. por litro con una desviación típica de 4 mg. por litro. Una segunda muestra de 20 botellas de agua tratada con los productos de la otra industria da una media de 24 mg. por litro con una desviación típica de 2'5 mg. por litro. Suponiendo que la concentración de nitritos en el agua sigue una distribución normal, se pide: 1 ) Realizar un contraste de homogeneidad de varianzas al nivel de significación del 0'05. 2) Hacer un contraste para averiguar si el segundo método es más eficaz que el primero con un nivel de significación a=0'05. 1 1.9. Determinar el tamaño que deben tener dos muestras procedentes de poblaciones independientes y homogéneas, de las que desconocemos su varianza. para contrastar una diferencia entre las medias de 3 unidades, con un nivel de significación a=0'05 y una potencia de 0'80 en una prueba bilateral. Se dispone de una estimación de la varianza de 10'3. 1 1.10. Una cadena de televisión realizó una encuesta para averiguar las preferencias de programación entre sus telespectadores, a la que respondieron 180 mujeres y 134 hombres. 64 mujeres y 30 hombres mostraron su preferencia por uno de los progra mas. ¿Se puede concluir, con un nivel de significación del 0'05, que hay una preferen cia en cuanto al sexo por ese programa? 11.11. De los 50 alumnos consultados de primero de Bachillerato de un centro de Madrid, han aprobado 5 en la convocatoria de junio. En otro centro, de 36 alumnos de primero consultados, aprobaron 3. 1 ) ¿Hay una diferencia significativa entre el número de alumnos de primero que aprueban en junio en ambos centros? 2) Hallar un intervalo de confianza para el porcentaje de aprobados en el primero de los centros. 1 1 . 1 2. Un grupo de 1 2 alumnos que trabaja con un programa de ordenador especialmente diseñado para adquirir destreza en el cálculo, realiza una serie de ejercicios antes y después de trabajar con el programa. Los tiempos invertidos en su resolución fueron: Previo

30

41

44

36

25

37

22

46

32

44

15

38

Posterior

27

36

37

33

26

38

20

44

26

40

25

33

¿Se puede decir que hay una diferencia significativa entre los tiempos empleados antes y después de utilizar el programa? 11.13. Se han seleccionado dos muestras, de tamaños 132 y 166, de estudiantes de tercero de Ciencias Químicas de dos Universidades A y B, a quienes se les ha pro

388 puesto una prueba de conocimientos. Los estudiantes de la universidad A han ob tenido, en la prueba, una calificación media de 58 puntos con una desviación típica de 4, y los de la universidad B han obtenido una media de 53 con una desviación típica de 5'7. 1 ) ¿Puede inferirse de estos resultados que los alumnos de la universidad A están mejor preparados en conocimientos que los de la universidad B? 2) ¿Se puede concluir que los estudiantes de A superan a los de B en 7 puntos en la media de conocimientos? 3) Hallar los límites del intervalo entre los que estará la diferencia entre las puntuaciones medias de ambas universidades. 11.14. En una ciudad, se han seleccionado dos muestras aleatorias de 180 y 90 jóve nes. El 18% de los jóvenes de la primera muestra y el 23% de la segunda resultaron fumadores. 1 ) ¿Se puede decir que hay una diferencia significativa entre las dos muestras en cuanto al número de fumadores? 11.15. Se pretende demostrar la hipótesis de que, en una determinada especie animal, la proporción de machos es mayor que la de hembras. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 35 individuos, resultando 22 machos y 13 hembras. ¿Qué conclu sión se puede sacar a partir de estos datos? 11.16. Un hospital materno-infantil ha facilitado la talla media de los 12 últimos niños nacidos en él, que ha sido de 50'63 cm. con una desviación típica de 2' 87 cm. También dispone de las tallas de las 12 últimas niñas que han nacido, con una media de 49'68 cm. y una desviación típica de 3'02 cm. ¿Existe una diferencia significativa en el tamaño de los recién nacidos de ambos sexos? 11.17. Se ha medido la fluidez verbal de los jóvenes de dos zonas de una ciudad. Una muestra de 18 jóvenes de la primera zona dio una fluidez verbal media de 30 palabras con una desviación típica de 3.5. Una muestra de 16 jóvenes de la otra zona dio una media de 27 palabras con una desviación típica de 4,1. ¿Se puede decir que hay una diferencia significativa entre la fluidez verbal de los jóvenes de ambas zonas al nivel de significación del 5%? 1 1.18. Se han seleccionado 18 personas de una zona rural y 12 de una zona urbana, a quienes se les ha pasado un test preparado para medir el nivel de conciencia frente al problema de la droga. La zona rural ha dado una puntuación media de 38 con una desviación típica de 7'2, mientras que la media de la zona rural ha sido de 39' 1 con una desviación típica de 3'2. 1 ) Hacer un contraste para la homogeneidad de varianzas. 2) ¿Se puede sacar la conclusión, al nivel de significación del 0'05. de que los habitantes de la zona rural están más mentalizados frente al problema de la droga que los de la zona urbana?

CAPITULO 12 AJUSTE, INDEPENDENCIA Y HOMOGENEIDAD

12.1. Contrastes con frecuencias Hasta ahora hemos venido realizando contrastes de hipótesis sobre la magnitud de determinadas características, como la vida media de una población de baterías, la diferencia entre las calificaciones medias de dos grupos de alumnos, la diferencia en días de la supervivencia de dos grupos de animales enfermos tratados con un fárma co,... Se trataba de pruebas acerca de los valores de determinados parámetros de la población. Sin embargo, son numerosas las ocasiones en que los datos de que disponemos se refieren únicamente al número de individuos que cumplen una determinada carac terística, sin que haya información sobre la magnitud de la misma. Conocidas las frecuencias con que se presentan los datos de una muestra (fre cuencias observadas), tenemos que inferir si es cierta o no la hipótesis nula, compa rando dichas frecuencias con aquellas frecuencias teóricas (frecuencias esperadas), que se darían si la hipótesis nula fuera verdadera. Vamos a analizar tres situaciones que se presentan habitualmente, y que son co nocidas como contraste de bondad de ajuste, que trata de determinar si una pobla ción tiene una distribución específica, prueba de independencia, que pretende poner de manifiesto la independencia de dos variables, y la prueba de homogeneidad, que intenta demostrar que las categorías o proporciones en que se divide la población son homogéneas. También veremos una generalización del contraste de la diferencia de dos propor ciones tratado en el capítulo anterior, ensayando la hipótesis de igualdad de k parámetros de una distribución binomial. La estrategia que vamos a seguir es la misma que hemos venido desarrollando, con la diferencia de que en todas estas pruebas utilizaremos el estadístico %2.

390 12.2. Test de bondad de ajuste Esta prueba tiene una aplicación fundamental cuando se pretende determinar la bondad o calidad del ajuste de una distribución empírica por medio de una distribu ción teórica. Tiene especial interés la prueba de normalidad, en que se trata de averiguar si la distribución empírica que resulta de cuantificar los datos de una muestra se aproxima a la distribución normal, condición que es requerida en numerosas situaciones. En una prueba de bondad de ajuste interviene una única variable que presenta diversas categorías o niveles, de modo que. observada una muestra, se contabiliza el número de individuos que presentan cada una de dichas categorías y se compara con el número de individuos que presentarían esa misma categoría en una distribución hipotética. Ejemplo 12.1 Consideremos el experimento consistente en lanzar un dado sobre el tablero y observar el número que aparece en su cara superior. Para que el experimento tenga éxito, necesitamos saber que el dado es regular, es decir, que los resultados que se obtienen al lanzarlo sobre el tablero siguen la distribución uniforme, teniendo, por tanto, cada uno de los seis resultados posibles una probabilidad de 1/6. Se realizan 240 lanzamientos con el dado y se registran sus resultados, que son: Resultados (X) Frecuencias (O)

12 42

40

3

4

5

6

43

38

37

35

De acuerdo con estos datos, ¿se puede inferir que las discrepancias con respecto a los valores esperados son debidas a las fluctuaciones en el muestreo?, o ¿debería mos concluir que el dado está cargado y la distribución resultante no es uniforme? En el problema interviene una variable, que es el número que aparece en la cara superior del dado. Las categorías o niveles son los seis posibles valores: 1 , 2, 3, 4, 5, 6. Los resultados obtenidos nos muestran las frecuencias observadas, que represen taremos por CL Así: 0=42 es el número de veces que salió el número 1. Establecida la hipótesis nula, que consiste en suponer que «cada uno de los resultados tiene una probabilidad de salir igual a 1/6», se obtienen las frecuencias esperadas, que representaremos por E, y son: E1 =240/6=40

para cada una de las categorías.

391 El estadístico que se utiliza para el contraste de la bondad de ajuste es la variable

(1) cuya distribución muestral es aproximadamente la de una y- con k-1 gl, donde O y Et representan las frecuencias observadas y esperadas, respectivamente. Cuando las diferencias entre las frecuencias observadas y esperadas son peque ñas, es pequeño el valor de la y2. Cuando las diferencias son grandes, lo es también el valor de y-. Entonces, si las diferencias fueran tan grandes que sólo pudieran darse en el 5% o menos de los casos, cuando la hipótesis nula fuera cierta, se rechazaría dicha hipó tesis; en caso contrario, se aceptaría. En la práctica, la significación del contraste se comprueba eligiendo previamente un nivel, como puede ser a=0'05, y comparando el valor obtenido en la expresión de y- con el valor crítico que proporciona la tabla A. 5 del apéndice A. La y1 es una familia de distribuciones que depende del número de grados de libertad, y éstos del número de categorías, no del tamaño de la muestra. Si se dispone de una variable que presenta k categorías o niveles, el número de grados de libertad es k-1, ya que, una vez ha sido determinada la frecuencia de k-1 de las categorías, la frecuencia de la k-ésima categoría queda perfectamente determinada. Volviendo a nuestro ejemplo, si se tabulan los datos según aparecen en el siguien te cuadro, el cálculo de la y} se simplifica: Número

O

E

OrE

40 40 40 40 40 40

4 -3 3 -2 0 -5

i

1 2 3 4 5 6

44 37 43 38 40 35

((W (CW/E, 16 9 9 4 0 25

0.400 0,225 0,225 0,100 0,000 0,625 1,575

El valor que se obtiene para la variable es X2= 1,575

Para un nivel de significación a=0'05 y 5 gl, la tabla A.5 proporciona el valor crítico: Y2 1 1 07 A. 005.5 = "'"'

392 Como 1'575 es menor que el valor crítico, se acep ta Ho, concluyendo que no hay razón para pensar que el dado está cargado. Vamos a analizar un segundo ejemplo que plantea un tipo de prueba habitual en nuestros días, como es una encuesta de opinión. Se hace patente el contraste de las fre cuencias de unos datos Figura 12.1: Valor critico para 5 gl v nivel a=0.05 empíricos obtenidos por medio de una muestra con las frecuencias teóricas que se darían si se acepta la hipótesis de que los datos de la población se distribuyen de una determinada forma. Ejemplo 12.2 El alcalde de una ciudad quiere saber el estado de opinión de los ciudadanos sobre tres posibles proyectos alternativos de remodelación para la ciudad. Con este fin. una agencia se encarga de seleccionar una muestra aleatoria de 200 personas a quienes se les pide que manifiesten su preferencia al respecto. El resultado fue de 74 respuestas favorables al primero de los proyectos, 64 al segundo y 62 al tercero. A la vista de estos datos, el alcalde debe decidir si la opinión de los ciudadanos está dividida en tres partes iguales, como pensaba en un principio. En el problema aparece una variable, la opinión favorable de los ciudadanos, que se reparte en tres categorías, según sea favorable al primero, segundo o tercero de los proyectos. La hipótesis nula establece que «los tres proyectos gozan de las mismas preferen cias por parte de los ciudadanos». Luego, si se cumple la hipótesis nula, las frecuen cias esperadas serán todas iguales a 200/3=66'6. (Se utiliza una cifra decimal por tratarse de frecuencias teóricas). Las operaciones necesarias para calcular el valor de la x2 vienen dadas en la siguiente tabla:

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3

O,

*¡

0,-E,

((W

(OrE^

74 64 62

66"6 66"6 66-6

74 -2'6

5476 6'76 3116

0'82 0'I0 0"31

-46

1'23

393 A partir de los datos se obtiene, para el estadístico, el valor:

r = ¡'23 La tabla A.5. para a=0'05 y 2 gl. da un valor crítico:

Como la estimación del estadístico, 1'23, es menor que el valor crítico, 5 '99. el Figura 12.2: Valor crítico para 2 gl v nivel a-0'05. alcalde puede aceptar la hi pótesis nula de que la opinión de los ciudadanos está dividida en tres partes iguales con relación a los proyectos que les presenta, y actuar en consecuencia.

1 2.2. 1 . Restricciones en el uso de la X El uso del estadístico X" en un contraste de hipótesis exige unas determinadas condiciones para que su aplicación dé resultados satisfactorios: 1 . Las categorías que presenta la variable deben ser incompatibles y exhaustivas. es decir, todos los individuos de la muestra deben formar parte de una categoría, y no puede haber un individuo que forme parte de dos categorías distintas a la vez. 2. La suma de frecuencias observadas debe ser igual a la suma de las frecuencias esperadas. 3. Las observaciones efectuadas deben ser independientes, o lo que es igual, las respuestas que se den no pueden estar relacionadas unas con otras. 4. En cuanto al valor de las frecuencias, nos debemos atener a los siguientes criterios: a) las frecuencias esperadas, para cada categoría, deben ser mayores o iguales que 5. b) si varias categorías contiguas tienen una frecuencia esperada menor que 5, se pueden agrupar en una sola. En este caso, debe tenerse en cuenta que se pierden grados de libertad. En efecto, el uso de la X" se basa en el hecho de que las frecuencias de la muestra, para cada categoría, están normalmente distribuidas en torno al valor esperado de la población. Por este motivo, cuando el valor esperado es próximo a cero, al no poder ser negativas las frecuencias, la distribución no puede ser normal. La hipótesis de normalidad crea, por tanto, problemas cuando las frecuencias esperadas son pequeñas.

394 Cuanto mayor sea el número de grados de libertad de la X. menor será la exigencia en cuanto al valor mínimo de la frecuencia.

12.2.2. Pruebas de normalidad Hemos podido comprobar que son numerosos los procedimientos estadísticos que dependen del supuesto teórico de que los datos procedan de una distribución normal. Por este motivo, incluimos un ejemplo detallado del proceso que se sigue para contrastar la normalidad de una distribución específica siguiendo la prueba x . También incluimos un apartado en el que se expone una prueba sencilla basada en el estudio de los residuales como ejemplo del carácter comprobatorio de los métodos exploratorios.

12.2.2.1. Prueba de normalidad basada en la x2 Ejemplo 12.3 Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 60 estudiantes del Curso de Orienta ción Universitaria, a quienes se les ha aplicado un test de aptitudes, cuyas puntuacio nes han sido: Puntuación

Frecuencia

15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 4045 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70

1 3 3 5 6 15 11 6 5 3 2

¿Se puede afirmar que la distribución de frecuencias de las puntuaciones del test puede ser aproximada por una distribución normal de media u=43 y desviación típica o=ll? Se trata de realizar un contraste de bondad de ajuste de una variable (la puntua

395 ción obtenida por cada uno de los alumnos), que presenta 1 1 categorías (los interva los de clase). Las tres primeras categorías tienen una frecuencia menor de 5, por lo que se agrupan en una sola categoría, así como las dos últimas. Quedan 8 categorías y, por tanto, serán 7 los grados de libertad. La siguiente tabla recoge las nuevas categorías y sus frecuencias observadas y esperadas más las columnas adicionales con los cálculos necesarios para obtener el valor del estadístico: Puntuación 15-30 30-35 35 - 40 40 - 45 45-50 50-55 55 - 60 60-70

o,,

e¡

0,E,

(OrE,):

(0,-E.)7E.

7 5 6 15 11 6 5 5

7'1 7 9'6 106 9"9 7'6 4'5 37

-O'l -13 -3'6 4'4

0'01 4"00 12"% 19\36 T21 2'56 0'25 T69

0001 0'57 1'35 1'82 0'12 0'34 0.06 O'45

n -T6 0'5

n

4711

Las frecuencias esperadas se han obtenido calculando el área que corresponde en la curva normal a cada una de las categorías o clases. Para ello, se tipifican los límites de los intervalos de cada clase, y se evalúa el área correspondiente utilizando las tablas A. 3 de la normal N(0,1 ) que figuran en el apéndice A. La primera categoría viene dada por todos los alumnos con una puntuación menor de 30. La frecuencia relativa esperada coincide con la probabilidad de obtener una puntuación menor que 30: P(X < 30)

Teniendo en cuenta la hipótesis nula, que asegura que la distribución teórica es normal N(43,l 1 ), se tipifica la variable, obteniéndose: P(X <30) = P

(X-43 30-43] < P(Z<-1'18) \ 11 11

La tabla de la normal N( 0. 1 ) nos da el valor 0' 1 1 90: P(Z<-1'18) = 0'¡190 Si 0' 1 190 es la frecuencia relativa correspondiente a la primera clase, será: E=0.1190x60=7.l su frecuencia absoluta, ya que 60 es el tamaño de la muestra.

396 Para hallar la frecuencia correspondiente a la segunda categoría, [30,35), se debe calcular: (30-43

X-43

35-43\ = p(-ri8
: P(Z < -0'72) - P(Z < -1'18) = 0*2358 -ff1190 = 0'I 168 Luego Ev=0' II 68x60=7 De modo análogo se cal culan las frecuencias espera das de las restantes catego rías. El valor que resulta para el estadístico es: -118

-072

-0'27 0't8

063

109

1.54

X:=4'714 Como las categorías se han reducido a 8 al combinar las frecuencias de clases contiguas, el número de grados de libertad es 7. La tabla A.5. para 7 gl y un nivel de significación a=0'05, proporciona un valor crítico ran5: = 1'4067 Puesto que el valor del estadístico, 4714, es menor que el valor crítico, 14'067, se acepta la hipótesis, y, por consiguiente, que las puntuaciones del test se ajustan a una distribución normal de media 43 y desviación típica 1 1 . Figura I2..V Área correspondiente a cada categoría.

12.2.2.2. Prueba de normalidad basada en los residuales Los métodos exploratorios, además de ayudar a conocer la estructura de una serie de datos estadísticos, tienen un carácter confirmatorio. Así, la transformación de «do ble raíz cuadrada», aplicada a los residuales, puede ser utilizada para comprobar la bondad del ajuste de la distribución empírica a una distribución teórica. Veamos cómo se puede aplicar la transformación de doble raíz para comprobar la normalidad de la serie de datos. Se trata de aplicarla a los «residuales». Entendemos por residuales las diferencias que se dan entre los valores reales (observados) de los datos y los valores teóricos (de la distribución que se trata de ajustar), es decir: R. =Do-DK

d

397 donde DQ es el valor del dato observado, DA el valor del dato ajustado y R el residual. En concreto, vamos a trabajar con la expresión del residual en función de las frecuencias: R, = X,-X'i

(3)

siendo X el valor de la frecuencia observada y X' el valor de la frecuencia teórica (ajustada) según el modelo elegido. En lugar de trabajar directamente con los datos X y X', se realiza una transforma ción previa tanto de los datos observados como de los teóricos. Sobre los datos observados se aplica la siguiente transformación:

T,(X) ,

yl2 + 4X, si X*0 1, si X =0

Sobre los datos teóricos se aplica la transformación: T2(X) = Jl + 4X'

(5)

Se obtiene así, para los residuales, el valor: J2 + 4X, - yll + 4X'i, si Xi * 0 DRR,

(6) l-yll + 4X',, si X, = 0

que se conocen como «residuales de doble raíz» (Double Root Residual). Estos residuales siguen una distribución normal N(0,1), por lo que se puede apli car un test de hipótesis, que consiste en contrastar la hipótesis nula Hn:DRR=0 con la hipótesis alternativa H1:DRR*0. Para un nivel de significación a=0'05 y una prueba bilateral, si los residuales de doble raíz caen dentro del intervalo (-1'96, 1 '96), se acepta la hipótesis, mientras que, si alguno de los valores cae fuera de dicho intervalo, se rechaza la hipótesis nula, y, en consecuencia, la bondad del ajuste. Ejemplo 12.4 Vamos a aplicar la prueba de doble raíz para estudiar si se ajusta a la normal la distribución de las puntuaciones obtenidas por 500 estudiantes en una prueba de velocidad lectora, cuyos resultados son:

398

Puntuación

\" estudiantes

40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110

82 108 123 115 46 16 10

La media de la distribución empírica es 65'46 y la desviación típica 14'4. Tenemos que hallar las probabilidades que corresponderían en la distribución normal de media 6546 y desviación típica 14'4. La siguiente tabla recoge los distintos cálculos: X

X'

J2 + 4X

y/l + 4X'

DRR

0164 0'216 0'246 0'230 O092 0'032 0'020

0"1096 0'2154 02699 0'2140 01073 0'0342 O0074

1'629 T692 1'727 1708 T538 1458 1442

1'286 1'364 1'408 1'385 ri69 T062 1'099

0.343 0'328 0319 0323 0'369 03% 0403

En la última columna de la tabla figuran los residuales de doble raíz. Como ninguno de los valores cae fuera del intervalo (-T96, 1,96), aceptamos la hipótesis nula y. en consecuencia, que la distribución empírica de los datos se ajusta a la normal.

12.3. Pruebas de independencia Hemos utilizado el estadístico y£- para contrastar una hipótesis sobre las frecuen cias teóricas esperadas de datos referidos a una sola variable. Vamos a ver ahora que también es posible utilizar este estadístico para hacer un contraste sobre la relación entre dos variables cuando se conocen las frecuencias conjuntas de sus datos. Cada una de las variables puede presentar dos o más categorías, cuyas frecuen cias se presentan en una tabla de doble entrada, que recibe el nombre de tabla de contingencia. Las categorías de una de las variables se sitúan en las filas y las categorías de la otra en las columnas.

399 En la celda intersección de la fila i y de la columna j se sitúa la frecuencia conjunta (número de individuos que forman parte de la categoría i de la primera variable y de la categoría j de la segunda. Las sumas de las frecuencias de cada fila y de cada columna corresponden a las frecuencias marginales de las diferentes categorías de cada variable. La hipótesis nula Ho establece «la independencia de ambas variables». Ejemplo 12.5 Se desea comprobar si las calificaciones en las asignaturas de Física y Química del Curso de Orientación Universitaria de un determinado centro son independientes. Para ello, se selecciona una muestra de 155 alumnos que cursan dichas asignatu ras. Las calificaciones se dividen en tres categorías: suspensos, calificaciones medias (aprobados y bien) y calificaciones altas (notables y sobresalientes). Hecho el recuento de datos, las frecuencias observadas aparecen reflejadas en la siguiente tabla de contingencia: Calificaciones en Química Suspensos C. medias

C. altas

Calificaciones

Suspensos

32

21

4

57

en Física

C. medias

15

40

22

77

C. altas

6 53

11

14

31

72

40

155

La prueba se basa en las diferencias entre los valores de las frecuencias observa das y de las frecuencias esperadas. Las frecuencias esperadas son las que tendrían lugar si H„ fuera verdadera; se obtienen fácilmente si se estiman las probabilidades de que se den simultáneamente las categorías A y B de ambas variables a partir de las frecuencias marginales. Consideremos los siguientes sucesos: A=tener suspenso en Física, B =tener suspenso en Química, A,=tener calificación media en Física, B,=tener calificación media en Química, A,=tener calificación alta en Física, B,=tener calificación alta en Química. Las probabilidades de cada uno de los sucesos se estiman a partir de las frecuen cias marginales: P(A,)=57/155.

P(A>77/155.

P(A,)=31/155

P(B,)=53/155.

P(B,)=72/155.

P(B,)=40/155

Consideremos ahora los sucesos:

400

AiOB^tener suspenso en Física y en Química, A^B^tener suspenso en Física y calificación media en Química, AiOB^tener suspenso en Física y calificación alta en Química, Como las variables se consideran independientes, al suponer cierta la hipótesis nula, la probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual al producto de sus probabilidades. Se obtiene, de este modo, una estimación de la probabilidad de cada una de las celdas de la tabla de contingencia: P(A,nB,)=P(A,)P(B,)=(57/155)x(53/155) P(A,nBJ=P(A,)P(B,)=(57/155)x(72/155) P(A,nB,)=P(A,)P(B,)=(57/155)x(40/155) P(A2nB,)=P(A,)P(B,)=(77/155)x(53/155) P(A2nB,)=P(AJP(BJ=(77/155)x(72/155) P(A2nB,)=P(A2)P(B,)=(77/155)x(40/155) P(A,nB,)=P(A,)P(B,)=(31/155)x(53/155) P(A,nB,)=P(A,)P(B,)=(31/155)x(72/155) P(A,nB,)=P(A,)P(B,)=(3 1/1 55)x(40/l 55) Multiplicando la probabilidad de cada celda por el número total de alumnos califi cados, se obtienen las frecuencias esperadas: Fr. esperada de (A,nB,)=(57/155)x(53/155)xl55=(57x53)/(155)=15'8, Fr. esperada de (A,nB>(57/155)x(72/155)xl55=(57x72)/(155)=26,5,

Llegamos, en cada caso, a expresar la frecuencia esperada de una celda como el producto de las frecuencias marginales comunes dividido por el total de los individuos: Frec. esperada de A, n Bi =

(total de fila i)x(total de columna j) N

(7)

La siguiente tabla de contingencia recoge todas las frecuencias; en cada celda, las frecuencias esperadas figuran entre paréntesis junto a las observadas: Calificaciones en Química Suspensos C. medias Calificaciones en Física

Suspensos C. medias C. altas

32 (15'8) 15 (21 '4) 6 (8'6) 53

21 (26'5) 40 (35'8) 11 (14'4) 72

C. altas 4 (14'7) 22 (19'9) 14 (8) 40

57 77 31 155

401

El estadístico que se utiliza es también la variable

2 v(Q,-£,):

X =1 donde k=rs. siendo r el número de filas y s el número de columnas. La distribución de este estadístico es aproximadamente la de una ^con (r-D(s-1)gl. Para efectuar los cálculos, dispondremos los datos en la forma:

0, 22 21 4 15 40 22 6 11 14

(X-E

«w

(O.-e^/E,

158

6'2

26'5

-5'5 -107 -6'4

743 ri4

0'49 0'22 0'79 0'80

4'5

E

14'4

-2'6 -3'4

38'44 30'25 1 14'49 40'% 17"64 4'41 6'76 11 "56

8

6

36

147 2T4 35'8

199 8'6

4'2 2'1

779

T91

20'07 Se obtiene, para el estadístico, el valor: X = 2O07 Los grados de libertad son: (3-1 )x(3-1 )=2x2=4. En efecto, si nos fijamos en los 53 suspensos de Química, el número de suspensos en Física es 32 y el de calificaciones medias 15. lo que suma 47; luego la siguiente categoría debe ser necesariamente 53-47=6, lo que significa que no hay libertad para cambiar. Análogamente sucede con las calificaciones medias y altas de Químicas. Por tanto, los grados de libertad son 2x2=4. La tabla A.5 nos proporciona, para 4 gl y un nivel de significación a=0'05. un valor crítico:

XL,=^49 Como el valor del estadístico, 20'07. es mayor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula, aceptando, por consiguiente, la hipótesis alternativa de que «hay una relación de dependencia entre las calificaciones en Física y en Química.

402

12.3.1. Corrección de Yates La distribución x2 es continua, y, sin embargo, estamos aplicando sus resultados a datos discretos, como son las frecuencias de cada una de las celdas, a partir de las cuales evaluamos el estadístico. La distribución continua de X2 proporciona una aproximación bastante buena del estadístico x2 cuando el número de grados de libertad es mayor que 1 . En cambio, si la tabla de contingencia es de dimensiones 2x2, solamente se dispone de un grado de libertad, en cuya situación el valor del estadístico está sobreestimado. En tal caso, se aplica una corrección en la fórmula del cálculo de x2, que se denomina corrección de Yates para la continuidad, quedando la fórmula en la forma:

(8) Esta corrección consiste en restar el valor 0'5 cuando la frecuencia observada es mayor que la esperada, y sumar el valor 0'5 en caso contrario. Hay quienes opinan que, cuando el número de grados de libertad es 1, se debe utilizar siempre la corrección de Yates. En realidad, lo que sucede es que, para mues tras grandes, los resultados son prácticamente iguales cuando se usa la fórmula con corrección o sin ella. Pero, cuando se trabaja con pequeñas muestras, si la frecuencia esperada tiene un valor entre 5 y 10, es conveniente utilizar ambas fórmulas y comparar sus resultados. Si los valores obtenidos conducen a la misma conclusión al nivel de significación a=0'05. la conclusión es correcta; si no es así, se debe incrementar el tamaño de la muestra o utilizar otro tipo de contraste.

12.4. Pruebas de homogeneidad Al realizar la prueba de independencia de dos variables, seleccionamos una mues tra de N individuos. A partir de dicha muestra, determinamos las diferentes frecuen cias, obteniéndose así los totales por filas y columnas. Si fijamos los totales de las filas o de las columnas, es decir, si seleccionamos previamente las frecuencias de las categorías de una de las variables (por ejemplo, fijamos los totales de las columnas), y las clasificamos con respecto a las categorías de la otra variable, aceptando como hipótesis nula que «las proporciones de la pobla ción dentro de cada fila son iguales», se obtiene un tipo particular de prueba, llamada de homogeneidad de las variables.

403

Ejemplo 12.6 El Seminario de Matemáticas de un Instituto de Bachillerato desea comprobar la homogeneidad a la hora de calificar de tres profesores Bl, B2 y B3, que imparten una misma asignatura. Con este fin, se seleccionan tres muestras aleatorias de 38, 40 y 32 alumnos que han sido calificados respectivamente por cada uno de los profesores. Se tendrá en cuenta únicamente si la calificación es positiva o negativa. Contabilizados los resultados, se obtuvo la siguiente tabla de contingencia: Prof. Bl Prof. B2 Prof. B3 C. negativa

17

15

20

52

C. positiva

21

25

12

58

38

40

32

110

Se asume como hipótesis nula que la proporción de suspensos de cada uno de los profesores es la misma, así como la proporción de aprobados. En definitiva, se trata de probar si las calificaciones dadas por los tres profesores son homogéneas con respecto al número de alumnos que suspende o aprueba cada uno de ellos. La asunción de la homogeneidad como hipótesis nula supone que las frecuencias estimadas se deben obtener de la misma forma que en la prueba de independencia, es decir: Frec. esperada de A, n B, =

(total de fila i)x(total de columna j) N

donde Ai es el suceso «suspender» A, es el suceso «aprobar» B¡ es el suceso «ser calificado por el profesor B 1. B, es el suceso «ser calificado por el profesor B2. B es el suceso «ser calificado por el profesor B3. AinB, es «suspender con el profesor Bl» AinB, es «suspender con el profesor B2» AnB es «suspender con el profesor B3» A,nB i es «aprobar con el profesor B 1 » A,nB, es «aprobar con el profesor B2» A,nB, es «aprobar con el profesor B3»

(9)

404 Hechos los cálculos, la siguiente tabla de contingencia recoge las frecuencias esperadas entre paréntesis junto a las frecuencias observadas: Prof. Bl

Prof. B2 Prof. B3

C. negativa

17 (18)

15 (18*9) 20 (15'1)

52

C. positiva

21 (20)

25 (21'1)

12 (16'9)

58

38

40

32

110

Dispuestos los datos para efectuar los cálculos, se tiene:

o,

«i

O.E

«w

(O.-E^/E

17 15 20 21 25 12

18 18,9 15,1 20 21,1 16,9

-1 -3,9 4.9 1 3.9 .4$

1 15,21 24,01 1 15,21 24,01

0,05 0,80 1,59 0,05 0,72 1,42 4'63

Luego, el valor del estadístico es: . 4'63 Los grados de libertad son: (3-1)x(2-1)=2xl=2. La tabla A.5, para a=0'05 y 2 gl, proporciona un valor crítico

Como el valor obtenido, 4'63, es menor que el valor crítico, 5'99, se acepta la hipótesis nula, y, por tanto, la homogeneidad de las calificaciones de los tres profeso res en cuanto al número de alumnos que aprueban y suspenden. 12.5. Prueba de igualdad de proporciones Esta prueba es una generalización del contraste de diferencia de proporciones que se estudió en el capítulo 1 1 , donde se trataba de contrastar la igualdad de dos propor ciones pt y pr Ahora generalizaremos la prueba al caso de r proporciones. La hipótesis nula es: H0:p=p,=...=pr donde p ,p,,...,pr son los parámetros de r distribuciones binomiales B(p.,q.).

405 Hay que contrastarla con la hipótesis alternativa H,: «no todas las proporciones de la población son iguales». El contrate se verifica seleccionando r muestras aleatorias independientes de ta maños nr n, nr, respectivamente. Como estadístico, se utiliza también la variable

= 1 (0,-E.): cuya distribución es aproximadamente una x2 con (r-1)x(2-1)=r-1 gl. El criterio, para valorar las frecuencias esperadas, es análogo al que hemos empleado para las pruebas de independencia y homogeneidad. Ejemplo 12.7 Una factoría de electrónica se sirve, para elaborar sus productos, de circuitos integrados que encarga a tres compañías ubicadas en Taiwan, Tokio y Hong-Kong. La dirección de la empresa está interesada en conocer la proporción de circuitos defectuosos que se producen en cada una de las empresas subsidiarias. Con este fin, analiza una muestra aleatoria de 600 circuitos que le han sido suministrados por las tres factorías. Los datos están recogidos en la siguiente tabla de contingencia: Taiwan Hong-Kong Con defecto Sin defecto

Tokio 9

7 180

10 194

200

26 574

187

204

209

600

La tabla de contingencia, con las frecuencias esperadas entre paréntesis, es:

Con defecto Sin defecto

Taiwan

Hong-Kong

Tokio

7

180 (187"9)

10 (8'8) 194 (195"2)

9 (9M) 200(199"9)

26 574

187

2(W

209

600

(8.1)

Dispuestos los operandos para efectuar el cálculo del estadístico, se tiene:

406

o, 7 10 9 180 194 200

E

0,-E

«W

(O.-E^/E. ir i

8,1 S.S 9,1 178,9 1952 199,9

-1.1 1.2 -0,1 1.1 -1.2 0,1

1,21 1,44 0,01 121 1,44 0,01

0,15 0,16 0,01 0,01 0,01 0,00 0,34

Luego, el valor del estadístico es: .0'34 Los grados de libertad son: (3-1)x(2-1)=2xl=2. La tabla A.5 del apéndice A. para a=0'05 y 2 gl, proporciona un valor crítico

La estimación del estadístico es 0'34, que es menor que el valor crítico, 5'99, por lo que se acepta la hipótesis nula, admitiendo que la proporción de circuitos integrados defectuosos que suministran las tres factorías es la misma.

12.6. Coeficientes de contingencia La prueba sobre independencia nos permite averiguar si hay algún tipo de depen dencia entre dos variables a partir del conocimiento de las frecuencias. Sin embargo, aún cuando el contraste de independencia resulte significativo, no podemos sacar ninguna conclusión acerca de la magnitud de la intensidad de la relación entre las dos variables. Se utilizan habitualmente tres tipos de medidas, llamadas coeficientes de contin gencia, para evaluar el grado de relación: el coeficiente O, que se utiliza cuando la tabla de contingencia es de dimensión 2x2, y los coeficientes C y O de Cramer, que se usan con tablas de dimensiones superiores a 2x2.

12.6.1. Coeficiente 0 El coeficiente de contingencia O consiste fundamentalmente en convertir el esta dístico x2 en un coeficiente de correlación. Sólo es válido para tablas de dimensio nes 2x2, y se define por:

407

(10)

O!

y tiene una interpretación análoga al coeficiente de correlación de Pearson. Varía de 0 a 1, de forma que, cuanto mayor es su valor, más intensa es la relación entre las variables. Este coeficiente se da sin signo, por lo que hay que analizar los datos para poder interpretar el sentido de la intensidad.

12.6.2. Coeficiente C El coeficiente C se utiliza cuando la tabla de contingencia es superior a 2x2, y se define como (11) Este coeficiente tiene la dificultad de que no se puede interpretar como un coefi ciente de correlación de Pearson, puesto que el valor máximo que puede alcanzar depende, en cada caso, del número de filas y columnas de la tabla. Se demuestra que el valor máximo que puede tomar es:

Cm

(12)

.

donde k=mín(r,s), siendo r el número de filas y s el número de columnas de la tabla de contingencia. Si calculamos el valor de C para el ejemplo 12.4, se obtiene: 20'07

= 0'34 155+20W que indica una relación más bien pequeña en las calificaciones de Física y Química. El valor máximo, en este ejemplo, sería:

A pesar de la dificultad de su interpretación, se utiliza con bastante frecuencia.

12.6.3. Coeficiente
408

(13)

O, =

N(h-l) donde h=mín(r,s), siendo r el número de filas y s el número de columnas. El coeficiente 4>c de Cramer es independiente del tamaño de la tabla y, por tanto, se puede utilizar con tablas superiores a 2x2. Este coeficiente varía de 0 a 1, resolviendo los problemas de interpretación que originaba el coeficiente C. Para el ejemplo 12.4, el valor del coeficiente Oc de Cramer es: 20'07 = 0'25 155(3-1)

O,

que confirma la relación más bien débil entre las calificaciones en Física y Química. El coeficiente C es más usado que el coeficiente

1 2.7. Ejercicios propuestos 12.1. Un especialista en medicina ha preparado tres tratamientos distintos para atacar un nuevo virus, que ha aplicado a 100 enfermos, obteniendo los siguientes resultados:

Tratamiento 1 Tratamiento 2 Tratamiento 3

Curados

No curados

18 24 28

10 8 12

¿Se pueden considerar igualmente eficaces los tres tratamientos al nivel del 0'05? 12.2. Tres clases de individuos están localizados geográficamente según se muestra en la siguiente tabla: Clase 1 Clase 2

Clase 3

Total

3

77 70

3

15 7 4

66 19

114

29

232

Zona A Zona H

30 6

44 49

ZonaC

41 12

18

ZonaD Total

89

409 ¿Es independiente el hecho de pertenecer a una de las clases sociales de la localización geográfica? 12.3. Un equipo de médicos ha ensayado cinco tratamientos diferentes con 460 enfer mos, observando si los pacientes mejoraban o no. Los resultados obtenidos figuran en la siguiente tabla: Tratamiento N" de enfermos N° enfermos curados

A 95 17

B 108 10

C 82 13

1) 90 20

E Total 85 460 7 67

Al nivel de significación del 5%, ¿se puede llegar a la conclusión de que existe diferencia significativa entre la eficacia de los medicamentos? 12.4. Se quiere averiguar si la práctica religiosa está relacionada con el nivel de ingre sos de una familia. Consultadas mil familias, se obtuvieron los siguientes resultados: Nivel de ingresos Bajo

Medio

Alto

215

206

180

136

107

156

Sí No

Práctica Religiosa

Según estos resultados, ¿es correcto afirmar que la práctica religiosa es indepen diente del nivel de ingresos de las familias? 12.5. Se lanza un dado 200 veces, obteniéndose los siguientes resultados: X

1

2

3

4

5

6

n¡

26

30

37

34

39

31

Al nivel del 5%. ¿se puede asegurar que se trata de un dado equilibrado? 12.6. Se lanza una moneda 200 veces, obteniéndose 136 caras y 64 cruces. Con un nivel de significación de 0'05, ¿se puede garantizar que la moneda no está cargada en una de sus caras? 12.7. Se ha seleccionado aleatoriamente una muestra de 100 alumnos de una facultad universitaria para estudiar la dependencia entre el hábito de fumar y el sexo. Consul tados los alumnos, se obtuvo el siguiente resultado:

410

Fumador

No fumador

H

19

31

M

20

28

Sexo

Con un nivel de significación del 0'05, ¿se puede afirmar que el hecho de ser fumador es independiente del sexo? 12.8. Las calificaciones en Matemáticas de los alumnos de primer curso de Ciencias Químicas han sido: Calificación N° de alumnos

1-2

2-3

34

4-5

5-6

6-7

7-8

8-9

9-10

3

8

15

31

40

26

10

20

2

¿Se puede considerar que estos datos proceden de una población normal de media 6 y desviación típica 1 '2, al nivel de significación del 0'05?

CAPITULO 13 ANÁLISIS DE LA VARIANZA

13.1. Técnica del análisis de la varianza En los contrastes de diferencias de medias, las técnicas utilizadas permitían deter minar el efecto de una variable sobre la media de otra variable, por ejemplo, el efecto de haber realizado prácticas de ordenador sobre la calificación media obtenida. Se trataba de estudiar el efecto de una variable independiente sobre la que actúa una única causa (que los alumnos refuercen sus conocimientos con un programa de orde nador) más el azar. En la práctica, sin embargo, es frecuente que sobre la variable independiente influ yan una serie de causas asignables distintas A. B. C... además del azar (causa no asignable, 8). Este modelo, llamado lineal por admitir que el resultado de los efectos de las causas es aditivo R=A+B-^+...+o fue estudiado por Fisher. quien utilizó unas técnicas que consisten fundamentalmente en separar las componentes de las variaciones que aparecen en el conjunto de los datos, por lo que les llamó «Análisis de la varianza1». El «Análisis de la varianza» se incluye dentro del ámbito del «Diseño de experi mentos», que engloba tres grandes apartados o diseños generales: el «diseño com pletamente aleatorio», el «diseño de bloque aleatorio» y el «diseño factorial».

1 3.2. Tipos de diseño FJ diseño completamente aleatorio es el diseño más básico, utilizado cuando 1 El análisis de la varian/u es también conocido como ANOVA. contracción del inglés Analysis of Variance. Algunos autores españoles utilizan la expresión AVAR.

412 interviene una única variable independiente, que presenta diversos niveles de trata miento o causas asignables. Es también llamado «análisis de la varianza unidireccional» o «diseño de factor único». El diseño completamente aleatorio se basa en la aplicación de cada nivel de trata miento a un grupo de unidades o sujetos experimentales, de modo que las unidades se asignan a los grupos aleatoriamente, y los tratamientos son asignados también de forma aleatoria a cada uno de los grupos. La variable independiente puede ser causa de diferencias apreciables en la varia ble dependiente, en cuyo caso se hace necesario controlar la variable independiente. El control se puede ejercer clasificando los sujetos en bloques o grupos homogéneos con respecto a la variable independiente. La asignación de los sujetos a cada bloque se hace de forma aleatoria, y también los bloques son asignados aleatoriamente a cada nivel de tratamiento. Este tipo de diseño se conoce como «diseño de bloque aleatorio». Cuando el diseño completamente aleatorio incluye dos o más variables experimen tales independientes, presentando cada una de ellas dos o más niveles de tratamien tos, se tiene el «diseño factorial» o «diseño de factor múltiple». El diseño factorial se utiliza para estudiar los efectos que producen dos o más niveles de tratamientos. Con el fin de optimizar los diseños generales, hay una serie de procedimientos, como la replicación o el equilibrio de los efectos, cuyo uso da lugar a diseños especia les cuales son el diseño «de bloques incompletos», el de «parcela dividida» y el diseño «jerárquico». Nos vamos a limitar al estudio de los diseños generales, siguiendo la metodología habitual, partiendo, en cada situación, de un ejemplo tipo.

13.3. Análisis de varianza unidireccional El análisis de varianza unidireccional (experimento de factor único o diseño com pletamente aleatorio) considera una variable experimental o factor independiente, que presenta varios niveles o tratamientos, los cuales se asignan a las unidades experimentales, cuya heterogeneidad es la causa de los errores que se presentan en todo experimento. La técnica seguida por Fisher se fundamenta en la posibilidad de construir dos estimadores insesgados de la varianza de una misma población cuando se tienen en cuenta tres condiciones: /. Normalidad: Los n grupos corresponden a n poblaciones distribuidas normal mente. //. Homogeneidad: Las n distribuciones tienen la misma varianza o2. ///. Independencia: Las n muestras elegidas son independientes.

413 En estas condiciones, se formula la hipótesis nula de que «las medias de las poblaciones son todas iguales», es decir: Ho:u=u2=...=u„ Como hipótesis alternativa, se establece la negación de la hipótesis nula: H.: «al menos dos de las medias no son iguales». Se parte, pues, de n poblaciones diferentes, que se suponen independientes y normalmente distribuidas con medias u.,,u.,,..,u.n y la misma varianza a2. Estas poblaciones se clasifican de acuerdo con los diferentes niveles de tratamiento, formándose, de este modo, n grupos o muestras de tamaño m de cada una de las poblaciones. Hablaremos de n grupos o niveles de tratamiento (j=1,2,...,n) con m ob servaciones o réplicas en cada uno, siendo mn=N. Muestras 1

2

j

n

XTI X

X 12 X

X Ii X

X In X

Xmi

X m2

Xmi

X mn

Unidades

Partiendo de un ejemplo concreto, vamos a analizar la estrategia que sigue el análisis de la varianza. Ejemplo 13.1 Un profesor de Matemáticas desea contrastar cuatro métodos distintos de ense ñanza. Con este fin, selecciona al azar 4 grupos de 5 estudiantes cada uno, aplicando a cada grupo un método distinto. Finalizada la experiencia, propone el mismo examen a todos los grupos, obteniendo las siguientes calificaciones: Método 1

Método 2

Método 3

Método 4

65 72 59 70 64

82 SO 91 89 67

71 72 80 62 69

59 63 70 58 65

414 Se trata de determinar si hay diferencia significativa entre los cuatro métodos de enseñanza, una vez elegido un nivel de significación a. El problema se podría abordar contrastando la diferencia entre cada dos muestras, lo que supondría 6 pruebas diferentes. Esto, además de la laboriosidad que supone, implica un incremento notable del error de tipo I. En efecto, si hay h medias, se pueden hacer r=h(h-1)/2 comparaciones pareadas. Entonces, si es a la probabilidad de cometer error de tipo I en una de las pruebas, «la probabilidad de rechazar al menos una de las hipótesis, siendo verdadera», es l-(l-a)'; a esta probabilidad se le llama probabilidad de error de tipo experimental. La probabilidad de error de tipo experimental en el caso de 4 medias, para un nivel de significación cc=0'05, es l-0'956=0'26. Analicemos lo que sucede si comparamos la variación que experimenta una de las calificaciones con respecto a la media de su grupo y a la media global: A) Medias correspondientes a cada grupo: X, = 66, X2 = V16 . Xj = 7'08, X4 = 63 B) Media global:

X = 704 Si elegimos una de las calificaciones, por ejemplo, la cuarta de la segunda muestra, 89, su variación respecto de la media global es: 89-70'4=18'6 Esta variación es la suma de la variación con respecto a la media de la segunda muestra, a la cual pertenece, más la variación de la media global con respecto a la media de la segunda muestra: 89-70'4=(89-8 1 '6H<8 rf>70'4)=74+ 1 1'2= 1 8'6 -11,2-

-7

70'4 81 '6 89 La igualdad anterior es cierta para cada puntuación con respecto a la media de su correspondiente muestra: X¡¡ - X = (X¡¡- Xj + (X.¡ - X.)

(1)

donde X es la media del i-ésimo nivel de tratamiento, X .. la media global y X una calificación cualquiera, La igualdad ( 1 ) permite dar una explicación sencilla de lo que sucede: La calificación seleccionada se desvía de la media de su grupo en 7'4 unidades.

415

Esta diferencia no puede deberse a la influencia del método utilizado por el profesor, puesto que se siguió el mismo método con todos los alumnos del grupo 2; se trata, por tanto, de una diferencia que no tiene explicación a no ser que se haya producido un error a causa del mismo proceso de muestreo. La diferencia entre la media global y la media del grupo aporta, en cambio, la influencia del método seguido en cada muestra más la parte de error que corresponda al propio muestreo. La igualdad (1 ) surge de admitir un modelo matemático lineal, que supone aceptar la aditividad de los efectos de las causas asignables y no asignables.

13.3.1. Modelo matemático Cualquier puntuación observable X diferirá de la media de la población corres pondiente, para cada tratamiento j, en 8., que es un elemento o error experimental aleatorio: Xv=\íi+bv (2) Se supone que los errores se distribuyen normalmente con media cero y varianza a2. Si u es la media de la población para todos los tratamientos, es decir: 1 "

y llamamos a la diferencia entre la media de cada tratamiento y la media de la población, será: u,= u+a, Entonces, sustituyendo este valor en (2), resulta: = li +a ,+8«

(3)

X* .u = a, +§o

(4)

Xy

o, lo que es igual:

donde Xa i = 0, ,. -i

En efecto:

£or, = £(u, - u) = £u .- £u = «u -,,u = 0 /./

i-i

i-i

i.i

416 La ecuación (3) corresponde a un modelo matemático teórico, donde: 1 ) u. es la media de todas las observaciones, y representa la parte de actuación que se puede atribuir al hecho de ser un miembro de la población (un estudiante) de la que se extraen las muestras; 2) a representa el efecto debido al tratamiento j; 3) 8i es una medida de la observación j-ésima del grupo i-ésimo, y representa la parte de actuación que corresponde al hecho de que se trata de un individuo único, cuya actuación no se ha explicado, por lo que se le llama error. El único elemento de la expresión (3) que podemos observar realmente es X; los otros elementos representan componentes del modelo hipotético que hemos elegido. Si se repite el experimento, haciendo observaciones sobre un cierto número de sujetos (estudiantes) de cada grupo, se pueden obtener estimaciones empíricas de las componentes del modelo teórico: X es un estimador de |i, X , - X es un estimador de a , Xn . X , es un estimador de 8i , siendo x = — XXx„ la media global y x, ■— ^X„ la media de cada grupo j. " M M m 1= Como los errores 8 se distribuyen según una normal N(0,o:), los Xi siguen una distribución normal N(|i,a). Se establece la hipótesis nula Hn de que «las medias de todos los tratamientos son iguales», es decir H„= |i, = n, para j= 1,2

n

H„ = a, =0, paraj=l,2

n

o lo que es equivalente

Si Hn es verdadera, las poblaciones de los tratamientos seguirán todas la misma distribución (normal con la misma media y la misma varianza). En tal hipótesis, no hay diferencia significativa entre los tratamientos. La hipótesis alternativa es: H, = a,*0, para algún j.

13.3.2. Variaciones intragrupo e intergrupos El modelo matemático que acabamos de diseñar, permite separar las componentes de las variaciones de los datos y construir dos estimadores independientes de la

417 varianza poblacional: estimador de la varianza «intragrupo» y estimador de la varianza «intergrupos». En efecto, si partimos del modelo dado por la ecuación (4), utilizando los estimadores de las componentes del modelo, se obtiene la igualdad

x,1-x=(xo-x,) + (x,-x) en que se basa la construcción de estos estimadores. El estimador intragrupo es una medida de la dispersión de los datos de cada muestra o grupo con respecto a los restantes datos del propio grupo. El estimador intragrupo viene dado en función de las diferencias de las observa ciones y la media de cada grupo; a la suma de estas diferencias se le llama suma de cuadrados «intragrupo» o debidos al tratamiento (SCA):

(5) donde x.i es Ia media del j-ésimo grupo y X son las distintas observaciones. Al tratarse de n grupos, una vez evaluadas n-1 diferencias, la siguiente es obligada, luego a la suma de cuadrados intragrupo corresponden gla=n- 1 grados de libertad. El estimador «intergrupos» es una medida de la dispersión de las medias de los diferentes grupos. El estimador intergrupos, por tanto, viene dado en función de las diferencias de las medias de los distintos grupos y la media global X.,-X A la suma de los cuadrados de dichas diferencias le llamamos suma de cuadrados intergrupos o suma de cuadrados debidos al error (SCE):

SCE = ¿¿tt, ~ X. f = 2>U, ~ xj

(6)

En cada grupo hemos supuesto m réplicas u observaciones, por lo que hay m-1 grados de libertad para cada grupo; como son n grupos, a la suma de cuadrados intergrupos le corresponden gle=n(m-1)=nm-n=N-n grados de libertad. Proposición 13.1: Cuando se cumple la hipótesis nula, los estimadores MCA =

SCA .^ SCE y MCE = — n-l n(m-l)

son dos estimadores insesgados de la varianza de la población.

(7)

418 MCA es la «media cuadrática intragrupo o media cuadrática debida al trata miento» y MCE es la «media cuadrática intergrupos o media cuadrática debida al error». El análisis de la varianza se basa en que el estadístico MCA MCE

(8)

se distribuye, cuando la hipótesis nula es cierta, según una F de Fisher-Snedecor con n-1 y n(m-1) grados de libertad. La variación total corresponde a la suma de las desviaciones intragrupo más las desviaciones intergrupos, según prueba la siguiente proposición: Proposición 13.2: «La suma de los cuadrados de las desviaciones con respec to a la media global es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones intragrupo más la suma de las desviaciones intergrupos»: m

n

m

n

m

n

(9) donde X,=—aX¡ y X =

¿¿¿¿X¡¡ =/ i=1

Demostración: En efecto, partiendo del primer miembro de la igualdad (9), al que designamos por SCT, restando y sumando X , resulta: m

n

m

n

SCT = X XUr xf = X X (Xa - xi + X.i - X f i.1 i.1

lW H

Desarrollando el cuadrado del último sumando, se obtiene: SCT = XX (Xii - xj + 2(X, - X.iXX., - X) + (X.i - X t i.1 /=/ m

n

m

n

ni

n

Hll[X„-x1)' + 2j,J,(X„-XJ)(xi-x.)+Il(x,-l).' .i J.1

i.1 i.1

Pero, como X . - X.. no depende de i, es: m

n

n

m

Y£(XirxiX%-x) = %(xrX)%\Xv-xi) ¡,i i.i

¡,i

Ahora bien,

XU,rxJ = o

¡,i

419 por ser la suma de las desviaciones de los elementos de cada grupo respecto a su media. „ „, Por consiguiente 'L(xi-Xj^L[Xii-xJ) = 0 i=i m

quedando

n

in

n

m

n

XXUr X). =II(XrXy)2 + II(xy-X.).,c.q.d.

Llamamos suma de cuadrados total (SCT) a la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media global: (10)

A la suma de cuadrados total le corresponden glt=N-1 grados de libertad. Podemos observar cómo la igualdad (9) no sólo descompone la variabilidad total de las observaciones en dos sumandos, sino que también descompone el número de grados de libertad: glt = gla + gle En efecto:

'

(11)

gla+gle=n- 1 +n(m- 1 )=n- 1 +nm-n=nm- 1 =N- 1 .

13.3.3. Contraste de la F de Fisher-Snedecor El estimador de la varianza intergrupos recoge únicamente el error debido al uso del muestreo, en tanto que el estimador de la varianza intragrupo contiene el error del muestreo así como el efecto debido al tratamiento (método de enseñanza, en el ejemplo). Si fuera cierta la hipótesis nula de que «todas las muestras proceden de una misma población que sigue una distribución normal, o incluso de poblaciones dife rentes, pero todas ellas con la misma media y desviación típica», no habría influjo debido al tratamiento, y ambos estimadores serian aproximadamente iguales. En cambio, si el efecto debido al tratamiento fuera grande, el estimador de la varianza intragrupo sería sensiblemente mayor que el estimador de la varianza intergrupos. Por ello, cabe pensar que un estadístico adecuado para efectuar el contraste, es el cociente entre el estimador de la varianza intragrupo y el estimador de la varianza intergrupos. En esta idea se basa el uso de la F de Fisher-Snedecor como estadístico adecuado para realizar el contraste.

420 Ya hemos señalado, en efecto, que el estadístico F=

MCA MCE

sigue una distribución F de Fisher-Snedecor con n-1 y n(m-1) grados de libertad. La distribución F presenta una asimetría acusada hacia la derecha en las distintas combinaciones según las diferentes parejas de grados de libertad. Para hallar el valor crítico necesario para rechazar Hn, se entra en una de las tablas A.6 del apéndice A, que corresponden a la distribución F de Fisher-Snedecor, consul tando la intersección de la columna en que figuran los grados de libertad del numera dor y la fila con los grados de libertad del denominador. Se obtiene así el valor crítico para el nivel de significación elegido (a=0'05 ó a=0'01 ). Si el valor de la estimación obtenida para F en (8) es inferior al valor crítico al nivel de significación elegido, se acepta la hipótesis nula. (Esto sucederá también siempre que el valor obtenido sea menor o igual que 1 , según el razonamiento anterior). En caso contrario, se rechaza la hipótesis nula.

13.3.4. Cálculos y tabla resumen Los cálculos del estimador F se efectúan de acuerdo con las definiciones conoci das. Sin embargo, éstos resultan más cómodos si se utilizan métodos abreviados para evaluar las varianzas, y se sigue un cierto orden. Para obtener las variaciones, se procede del siguiente modo: /) Suma de cuadrados: A) Suma de cuadrados total (SCT): m

n

SCT = J,^(xrx): Para su cálculo, es más cómodo utilizar la expresión equivalente:

\'m " XI>.

T (12)

donde N=mn es el número total de observaciones. Veamos el proceso para computar (12): a) se suman todas las observaciones(S): S=65+72+...-fó5=1408

422 b) se suman los cuadrados de todas las observaciones(C): C=65:+72:+...+65:= 1 00870 c) se divide el cuadrado de la suma de todas las observaciones entre el número total de observaciones(D): D=1408720=99123'2 d) la suma de cuadrados total es: SCT=C-D=100870-54915,2=1746,8 B) Suma de cuadrados intragrupo (SCA): m

n

scx=2ux¡-x) Para el cálculo, es más cómodo utilizar la expresión equivalente:

(13)

donde m es el número de observaciones de cada grupo y N el número total de obser vaciones. El último término de ( 13) coincide con el último término de (12): lo hemos designado por D. Entonces: a) se suman los cuadrados de los totales de cada grupo dividividos por el número de observaciones de cada grupo(E). 330: E=

409: +

354: 3152 + —— + = 1001 44'4

b) la suma de cuadrados intragrupo es SCA=E-D: SCA=E-D=100144'4-991 23'2=102l'2 C) Suma de cuadrados intergrupos (SCE): En la proposición anterior, hemos demostrado que SCT=SCA+SCE luego, para calcular SCE, basta con despejar: SCE=SCT-SCA SCE=1746'8-1021.2=725.6

422 2) Grados de libertad: A) Grados de libertad intragrupo (gla): gla=n-1=4-1=3 B) Grados de libertad intergrupos (gle): gle=n(m- 1 )=nm-n=N-n=20-4= 1 6 C) Grados de libertad totales (glt): glt=20-1=19 Se puede comprobar que no hay error, teniendo en cuenta que: glt=gla+gle=3+16=19 3) Medias cuadráticas: A) Media cuadrática intragrupo (MCA): MCA=SCA/gla= 1 02 1 ' 2/3=340'4 B) Media cuadrática intergrupos (MCE): MCE=SCE/gle=725'4/l 6=45'35 4) Estimación del estadístico (F): El valor del estadístico F es: F=MCA/MCE=340'4/45'35=7'5 Para la distribución F con 3 y 1 6 grados de libertad, la tabla correspondiente nos proporciona, para niveles 0'05 y 0'Ol, los valores: F F

=3'24 =V>9

'005. 3. 16 J "

Como F=7'5>3'24 y F=7'5>5'29, el contraste es significativo tanto al nivel a=0'05 como al nivel a=0'01. Luego se rechaza la hipótesis nula, y se acepta que «hay diferencia significativa entre algunas de las medias». Una vez realizados los cálculos, los datos fundamentales se recogen en una tabla similar a la siguiente:

423

SC

gl

MC

F

Intragrupo (Tratamiento) Intergrupos (Error)

10212 725'6

3 16

340-4 45'35

7-5

Totales

1746'8

19

Origen de la variación

13.3.5. Comparaciones múltiples El análisis de la varianza aplicado al ejemplo 13.1 ha resultado significativo. El profesor debe rechazar naturalmente la hipótesis nula, pero necesita establecer compara ciones entre las distintas medias, para averiguar cuáles son las que difieren entre sí. Se abre un abanico amplio de posibilidades, según el planteamiento del experimen to, que puede requerir el contraste de las distintas parejas de medias, de sólo algunas de ellas, o puede ser que haya que agrupar algunas para compararlas con otras. La complejidad de las distintas necesidades ha dado lugar a diversos contrastes adecua dos a cada caso. Vamos a exponer algunas de las pruebas más usuales, como son la prueba LSD de Fisher, la prueba de Tukey, la de Duncan y la de Scheffé. Gracias a los paquetes integrados, su uso se ha generalizado.

13.3.5.1. Prueba LSD ó t protegida Se trata de una de las pruebas más sencillas en su aplicación y, a la vez, más adaptable a las diferentes posibilidades. Se conoce con el nombre de «contraste de mínima diferencia significativa (LSD)» de Fisher, aunque también es conocida como «prueba t protegida». La prueba t protegida es, como el resto de las pruebas que vamos a analizar, una prueba «a posteriori»; se utiliza una vez el contraste de análisis de varianza ha resul tado significativo, y se basa en el uso de la t de Student, pero empleando la media cuadrática intergrupos como estimador de la varianza poblacional. De este modo se aprovecha el agrupamiento de las varianzas de todas las muestras y de los grados de libertad que se combinan por medio de las muestras. Al exigir que el contraste de la F haya resultado significativo, se «protegen» las distintas t de Student de los errores de tipo experimental. Dadas dos medias muestrales \ . y y., el estadístico Xh ~ Xk

t=

(14) JMCE

424

sigue una distribución t de Student con N-n grados de libertad, donde N es el número total de observaciones, n el número de grupos, mh el número de observaciones de la h-ésima muestra y m^ es el número de observaciones de la k-ésima muestra. Utilizando este estadístico, se pueden ir contrastando cada pareja de medias por separado, rechazando aquellas parejas que den un resultado significativo al nivel de significación elegido previamente. En el caso particular de que todas las muestras tengan el mismo número de ele mentos (mh=mk=m), se puede determinar, para un nivel de significación a, «la menor de las diferencias significativas (LSD: Least Significant Difference) entre las medias, necesaria para que el contraste dé un resultado significativo». En efecto, basta con hallar LSD =U MCE

(15)

donde t es el valor de la t de Student con N-n gl. que corresponde a un nivel de significación a, y m el número de elementos de cada una de las muestras. En el ejemplo 13.1, para una prueba bilateral, con un nivel de significación a=0'05, como N-n=16, se tiene tVoS, 16 =2' 12 ^ í¿-

"'.i i4535- = 2'12-4'26 = 9'03

luego:

Entonces todos los pares de medias que difieran en más de 9'03, serán significativamente diferentes al nivel 0'05. El resultado se suele disponer en una tabla de doble entrada, marcando con un * la diferencia cuyo contraste resulta significativo. Así, para el ejemplo 13.1, si ordena mos las medias de menor a mayor, para evitar valores negativos, resulta: X.4

X.J X, X.} X.2

0

X, 3 0

X.3

X.i

7,8 4.8 0

18,8* 15,8* 11,0* 0

Según la prueba t protegida, resultan significativas, al nivel 0'05, las diferencias entre la primera y segunda muestra, entre la segunda y tercera y entre la segunda y cuarta.

425 13.3.5.2. Prueba de Scheffe La prueba anterior se podía haber realizado elevando t al cuadrado, con lo que

(Xk-Xkf I 1 MCE — + — ^nth

ml J

sería una F de Fisher-Snedecor con gla y gle grados de libertad. Sobre esta idea, se define el rango de Scheffe *s = y¡(p-l)F, donde p es el número de medias y Fa ¡a h es el valor crítico que proporciona la tabla de la F de Fisher-Snedecor para un nivel de significación a con los grados de libertad de la media cuadrática intragrupo y los grados de libertad de la media cuadrática intergrupos. La prueba de Scheffe consiste en comparar cada diferencia de medias con el valor que se obtiene de multiplicar el rango de Scheffe rs por la desviación típica de las diferencias o : Rs=rs°, Si el valor absoluto de la diferencia entre dos medias es mayor que Rs, se conside ran las medias correspondientes significativamente diferentes. Vamos aplicar la prueba de Scheffe al problema planteado en el ejemplo 13.1.: Tenemos ya calculada ^=4'26, y la tabla de la F nos proporciona el valor FffQ5 , ¡í=3'24, con lo que el rango de Scheffe es: 's = y¡(p-¡) F„ .„,.,„ = V'3x3-24 =? 11 LuegoRs=3,llx4,26=13'25. Comparando las diferencias entre las distintas medias después de ordenarlas de mayor a menor, y disponiéndolas en una tabla, resulta: Y

xj X, X,

x2

0

X

3 0

Y

A' .

7,8 4,8 0

18,8* 15,8* 11.0 0

De la prueba de Scheffe se deduce que las diferencias significativas se dan entre la primera y segunda muestra, y entre la segunda y cuarta.

426 13.3.5.4. Prueba de Duncan Esta prueba se basa en la noción de rango «estudentizado», cuya idea es que el rango de cualquier subconjunto de h medias debe sobrepasar un cierto valor antes de que se encuentre que cualesquiera de las h medias son diferentes. Este valor es el «rango menos significativo» para las h medias, y lo designaremos por RD en el caso de la prueba de Duncan. El rango menos significativo es el producto del rango «estudentizado» menos significativo de Duncan, rD, por la desviación típica de la diferencia de medias, oD:

siendo

on ,

El rango «estudentizado» de Duncan depende del nivel de significación a, del número de grados de libertad, de la media cuadrática del error y del número de medias que se comparen. Los valores de rD vienen tabulados en las tablas A.8 del apéndice A. Si el valor absoluto de una de las diferencias es mayor que RD, se consideran dichas medias significativamente diferentes. Apliquemos la prueba de Duncan al problema planteado en el ejemplo 13.1.: La desviación típica de la diferencia de medias es, como en las anteriores pruebas, aD=4'26. Para el nivel de significación a=0'05 y gle= 16 grados de libertad, según el número de medias que se comparen, la tabla A.8. 1 nos da como valores de rD: para p=2, es r =2'99 y R2=2'99x4'26= 1 2'73 para p=3, es r =3' 14 y RJ=3' 14x4'26=13'37 parap=4,esr4=3'23yR4=3'23x4'26=13'75 Ordenamos las medias de menor a mayor y comparamos: 1) Comparando X2-X< con R4l es 18'6>9'72, luego j, resulta mayor que ~x 4 de modo significativo. 2) Comparando x 3- X^ yx,-j[, conR,, resulta 7'8<9'45 y 15'6>9'45, luego x2 es significativamente mayor que ~x , 3) Comparando xV^j- Í¡-X, y X,~X , con R,. resulta 3<8'73, 4'8<8'73 y 10'8>8'73, luego \ 2 es significativamente mayor que x, De la prueba de Duncan se deduce, por tanto, que las diferencias significativas se dan entre la segunda y cuarta, entre la segunda y primera, y entre la segunda y tercera de las medias.

427

X.4

X, X.}

Xa

X,

0

3 0

x2

Xj

7,8 4.8 0

x2 18,8* 15,8* 11,0* 0

13.3.5.3. Prueba de Tukey La prueba de Tukey también se basa en la noción de rango «estudentizado». El rango «estudentizado» de Tukey rT es una función de a, k y gle: rT=T(a.k,gle) siendo a el nivel de significación elegido, k el número de tratamientos y gle el número de grados de libertad de la media cuadrática del error. La prueba de Tukey consiste en comparar el valor absoluto de las diferencias entre las medias con el rango menos significativo de Tukey, RJ. que es el producto del rango «estudentizado» de Tukey, rT, por la desviación típica de las diferencias, aT:

MCE siendo a, = Los valores del rango estudentizado de Tukey vienen tabulados en la tabla A.9 del apéndice A. Si el valor absoluto de una de las diferencias es mayor que RT, se consideran las medias correspondientes significativamente diferentes. Apliquemos la prueba de Tukey al problema planteado en el ejemplo 13.1.: El valor del rango de Tukey, para a=0'05, k=4 y gle=16, nos lo da la tabla A. 9, y es r=4'05 Como la desviación típica de las diferencias es oT=4'26, el rango menos significa tivo de Tukey es Comparando las diferencias entre las distintas medias y disponiéndolas en una tabla, se obtiene el mismo resultado que daba la prueba de Scheffé (ver tabla pág. 428). De la prueba de Tukey se deduce, por tanto, que las diferencias significativas se dan entre la primera y segunda, y entre la segunda y cuarta medias. Observamos cómo la diferencia entre la segunda y tercera medias no es detectada como significativa por las pruebas de Scheffé y de Tukey, mientras que sí es detecta da esta diferencia por la prueba de Duncan y la prueba t protegida.

428

x4

X.4

X,

x¿

X2

0

3 0

7,8 4,8 0

18,8* 15,8* 11,0 0

Xj X.i X.i

13.3.6. Intensidad de la relación El hecho de que el contraste de la igualdad de medias resulte significativo sólo significa que hay alguna relación entre las variables independiente y dependiente, pero no dice nada acerca de la intensidad de dicha relación. Una medida de la intensidad de la relación entre las variables viene dada por el índice r I ela(F-l) (16) El coeficiente r, se comporta como una r de Pearson. En el ejemplo 13.1, se tiene: I 3(7'5-l)

Este valor nos indica que hay una relación bastante fuerte entre los distintos métodos de enseñanza y las calificaciones del alumno.

13.4. Diseño factorial Hemos estudiado el tipo de diseño utilizado cuando los grupos que se comparan se clasifican atendiendo a un único criterio, es decir, cuando interviene una única variable independiente. Si se considera una segunda variable independiente o factor, éste puede tener única mente el carácter de control de la variable independiente, en cuyo caso tenemos el diseño de bloque aleatorio. En cambio, si la segunda variable independiente es una variable de tratamiento, cuyos efectos deseamos conocer, se trata de diseño factorial. Ambos tipos de diseño son estudiados como «análisis de varianza doble», y sólo difieren en el modo de interpretar el análisis. Nos limitaremos al estudio del diseño factorial. Cuando son más de dos las variables independientes, se habla de «análisis de varianza multidireccional». No hay limitación teórica en cuanto al número de variables independientes, aunque, en la práctica, existen limitaciones a la hora de obtener el

429

A,III' . ,, A.,, .,...,' A mil, . 211'

v

// /

—7/

y

/

Al

co

c„

c,,

c

A?

c.

c-

c

c

Hl

B2

B3

IW

Figura 13.1: Diseño de dos factores.

número de sujetos adecuado para los diferentes niveles de tratamiento de cada varia ble, así como en el momento de hacer una interpretación de los resultados. Con el fin de facilitar las fórmulas generales, vamos a considerar un experimento de dos factores A y B, en el que las observaciones se asignan de modo aleatorio. Se consideran n niveles de tratamiento para el factor A y p niveles de tratamiento para el factor B, obteniéndose así np celdas de tratamiento, distribuidas en n filas y p columnas. Cada una de las celdas contiene m observaciones, que constituyen m réplicas de combinaciones de tratamientos de los diversos niveles de cada factor. En concreto, trabajaremos sobre un ejemplo tipo, con dos variables independien tes (dos factores A y B), presentando el primer factor dos niveles de tratamientos (Al y A2), y el segundo, cuatro niveles (B1, B2, B3, B4). Tenemos así 2x4=8 celdas. El diagrama de la figura nos puede ayudar a comprender el diseño. En la celda Cn están las m observaciones o réplicas Xn,,X,n,...,Xml,, que correspon den a la combinación de los tratamientos Al y B1. Ejemplo 13.2

Un agricultor dispone de dos tipos de fertilizantes (Al y A2) y de semillas de trigo de cuatro variedades distintas (B1, B2, B3, B4), y desea contrastar la eficacia de las distintas semillas tratadas con cada uno de los fertilizantes. Para ello, cuenta con 40 parcelas de características similares para realizar el experi mento, y decide tratar la mitad de las parcelas con cada uno de los fertilizantes. Divide las 20 parcelas tratadas con el fertilizante Al en 4 grupos de 5 parcelas cada uno, sembrando en cada uno de los grupos una variedad de trigo. En las 20 parcelas tratadas con el fertilizante A2, repite el mismo proceso.

430 Realizada la cosecha, se obtuvieron los siguientes resultados (expresados en fane cas por hectárea):

Al

Bl 8 10 13 11 8

Variedades B2 B3 11 7 8 13 9 13 6 11 6 6

B4 14 7 11 11 12

10 12 11 13 11

3 8 8 5 6

4 3 8 7 8

Fertilizantes

A2

9 10 16 11 14

Por tratarse de dos factores independientes (los fertilizantes, que presentan 2 niveles de tratamientos y la variedad del trigo, que presenta 4 niveles), se habla de diseño factorial 2x4. Hablaremos de 2 filas por 4 columnas, lo que supone 8 celdas, en cada una de las cuales hay 5 réplicas.

1 3.4. 1 . Modelo matemático El modelo matemático teórico, al cual se debe ajustar cualquier puntuación obser vable X- v viene dado ahora por la expresión: A^ = u+a, + p\+Y,i+5^

(17)

Xyt-\i =a, + p\+Y,i+8,

(18)

o, lo que es igual:

La ecuación (17) corresponde a un modelo matemático teórico, donde: 1) (a es la media de las poblaciones de todos los tratamientos; 2) a es el efecto correspondiente al tratamiento del primer factor, que es constante para todos los sujetos que reciben el tratamiento j del mismo; 3) Bk es el efecto que corresponde al tratamiento del segundo factor, que es cons tante para todos los sujetos que reciben el tratamiento k del mismo; 4) yk es el efecto debido a la interacción de los dos factores (columna-fila), por lo que afecta a la parte no aditiva de los efectos a y Bk; 5) 8. . es el efecto error, que se supone independiente y distribuido normalmente con media cero y varianza a2.

431 Se admite la homogeneidad entre todas las varianzas de las np poblaciones. Las restricciones del modelo vienen dadas por:

Xrk es el único elemento observable, que corresponde a la i-ésima repetición de la fila j-ésima (tratamiento j del factor A), columna k-ésima (tratamiento k del factor B). Si se repite el experimento, observando un cierto número de individuos de cada celda, se obtienen las estimaciones empíricas de las componentes del modelo teórico: X, - X es un estimador de a , X k - X es un estimador de Bk, X.,k-X.¡-X¡l + X- es un estimador de yik, Xiik-X.ik es un estimador de 8,v donde ¿^¿^¿jX^ es la media global, mnp ,m, ,m, M

1 A yk es la media de cada celda. ni

-

1

»,

P

J P

X , = — Z,ljXiik = — ¿i X a es la media de las filas, mp„,M pk=, X k=

Áj^LXiik = ~ 2-,X n es la media de las columnas.

13.4.2. Establecimiento de las hipótesis Tres son las hipótesis nulas que se pueden establecer: H ': «Todas las medias de los tratamientos del primer factor son iguales», es decir: H,í:a=0,j=1.2 n. Esta hipótesis se contrasta con la alternativa: H,': a. * 0, para algún j. Ho2: «Todas las medias de los tratamientos del segundo factor son iguales», es decir: H02:Bk=0,k=1,2,...,p. Esta hipótesis se contrasta con la alternativa: H 2: Bk £ 0, para algún k.

432 H0': «Las interacciones entre los tratamientos debidos al primero y segundo factor son nulas», es decir: H„':Ylk=0,j=1.2 nyk=1.2 p. Esta hipótesis se contrasta con la alternativa: Hi': Yk*0, Para algún par de valores j,k. Las dos primeras hipótesis se refieren a la no existencia de diferencias entre las medias de la población. La tercera hipótesis contrasta la interacción debida a los dos factores.

13.4.3. Descomposición de las variaciones Utilizando los estimadores de las componentes del modelo teórico dado por la ecuación (18). se obtiene la igualdad:

x,,í - x = [xi - x) +0f,. -x)+{xlk- X, - Xk + x) +(x* - *j

(19)

Esta igualdad permite descomponer la variación total en la suma de las variaciones debidas a cada uno de los factores más la interacción de los dos más el error residual. La suma de cuadrados totales se descompone así en las sumas de los cuadrados del primero y segundo factor más la suma de los cuadrados debida a la interacción de ambos factores más la suma de los cuadrados intergrupos. Designemos por: SCT a la suma de cuadrados totales:

sc,-XXXta-xJ2

(20)

a la que corresponden glt=N-1=mnp-1 grados de libertad. SCE a la suma de cuadrados intergrupos: (21) ¡-/ /./ l=í

a la que corresponden gle=N-np grados de libertad. SCI ala suma de cuadrados para el factor 1 :

SCI = tí£(XrXy ,=l i-1 k-l

a la que corresponden gll=n-1 grados de libertad.

(22)

433

SC2 a la suma de cuadrados para el factor 2:

«2-SZZU-*-*-)2

(23)

a la que corresponden gl2=p-1 grados de libertad. SCI 2 a la suma de cuadrados para la interacción de ambos factores: SC72 = ¿¿¿(*.,-X.rX.í +*~)"'

(24)

a laque corresponden gll2=gllxgl2=(n-1)(p-1) grados de libertad, siendo n el número de niveles del primer factor y p el número de niveles del segundo factor. Proposición 13.3: La descomposición de la variación total viene dada por la igualdad: SCT=SC1+SC2+SC12+SCE (25)

13.4.4. Medias cuadráticas y contrastes

Dividiendo las sumas de los cuadrados por el correspondiente número de grados de libertad, se obtienen las medias cuadráticas: A) Media cuadrática del primer factor (MCI ):

MCI

SCI ,11

(26)

B) Media cuadrática del segundo factor (MC2):

SC2 MC2.

(27)

g'2 C) Media cuadrática de la interacción (MCJ2):

MC12 =

SC12 gll2

(28)

SCE gle

(29)

D) Media cuadrática intergrupos (MCE):

MCE =

434 En el caso concreto del diseño 2x4, se comprueban tres hipótesis nulas que hacen referencia al primero y segundo factor y al efecto conjunto de ambos factores. La primera prueba trata de comprobar el efecto del primer factor (tipo de fertilizan te) sobre la cosecha. Se utiliza el estadístico F=

MCI MCE

(30)

que sigue una F de Fisher-Snedecor con gil y gle grados de libertad. La segunda prueba contrasta el efecto del segundo factor (variedad de trigo) sobre la cosecha. Se utiliza el estadístico MC2 MCE

(31)

que sigue una F de Fisher-Snedecor con gl2 y gle grados de libertad. La tercera de las pruebas contrasta el efecto de interacción. Se utiliza el estadístico F=

MC12 MCE

(32)

que sigue una F de Fisher-Snedecor con gl 1 2 y gle grados de libertad.

13.4.5. Cálculos y tabla resumen Para efectuar los contrastes, en primer lugar tenemos que calcular las sumas de los cuadrados, que, divididas por los respectivos grados de libertad, conducen a las medias cuadráticas y éstas a los estadísticos de cada una de las pruebas. Construimos la tabla de totales, a partir de la cual se evalúan fácilmente las sumas de cuadrados:

Al A2 Suma columnas

Bl

B2

B3

B4

Suma filas

50 57 107

40 30 7(1

50 60 110

55 30 85

195 177 Total=372

1) Sumas de cuadrados: A) Suma de cuadrados total (SCT): Se calcula del mismo modo que en el análisis unidireccional, utilizando la igualdad:

435

.

IÍ¿x„ N

donde N=mnp es el número total de observaciones. Entonces: a) se halla la suma(R) de los cuadrados de todas las observaciones: R=82+...+82+ll2+...+62+...+42+...+82=3840 b) se halla el cociente(D) de dividir el cuadrado de la suma de todas las observa ciones entre el número total de observaciones: D=372V40=3459'6 d) la suma de cuadrados total es: SCT=R-D SCT=R-D=384O-3459'6=380'4 B) Suma de cuadrados para el primer factor: La suma de cuadrados para el primer factor (tipo de fertilizante), sin tener en cuenta el segundo, se calcula usando la siguiente expresión:

£]>>,«

£l>,

SC1 = mp

mp

/ , / . xod 2^2-,2^ ^'Jk im ) \m i.l M J -+...+mp N

cuyo proceso de cálculo consiste en: a) hallar la suma(S) de los cuadrados de los totales de cada fila divididos por el número de elementos de cada fila: 1952 1772 S = —- + -— = 3467 7 20 20 b) restar de S el valor D. ya evaluado para el cálculo de SCT: SCl=S-D=3467'7-3459'6=8' 1 C) Suma de cuadrados para el segundo factor: La suma de cuadrados para el segundo factor (variedad de trigo), cuando no se tiene en cuenta el primero, se evalúa usando la siguiente expresión: m , \,=i i-i

Sí „, P )

+... + -

SC2 = mu

mu

cuyo proceso de cálculo consiste en:

mn

N

436 a) hallar la suma(T) de los cuadrados de los totales de cada columna divididos por el número de elementos de cada columna: 1072 702 11O2 852 T = -,o-+w+lo+ Jo-356T4 b) restar de T el valor D, ya evaluado para el cálculo de SCT: SC2=T-D=3567'4-3459'6=107'8 D) Suma de cuadrados para la interacción: La suma de cuadrados para la interacción se obtiene, en la práctica, utilizando la expresión:

( '" SC12 = y-'

fm

Y ) .

Y

-+...+

fm .S-T+L

cuyo proceso de cálculo consiste en: a) hallar la suma(U) de los cuadrados de los totales de cada celda divididos por el número de elementos de cada una: 502 402 502 552 572 302 602 302 U = — + -T + T + — + — + — + T + — = 3654'8 b) restar de U los valores de S y T, y sumarle el valor de D evaluado para el cálculo de SCT: SC12=U-S-T+D=3654'8-3467'7-3567'4+3459'6=79'3 E) Suma de cuadrados intergrupos (SCE): Teniendo en cuenta que SCT=SC1+SC2+SC12+SCE para calcular SCE, basta con despejar: SCE=SCT-SC1-SC2-SC12 Entonces:

SCE=380'4-8' 1-107'8-79'3=185'2

2) Grados de libertad: Los grados de libertad que corresponden a cada suma de cuadrados, según he mos ido viendo, son: A) Grados de libertad del primer factor (gil): Vienen dados por el número de niveles del primer factor menos 1 : gll=n-1

437 En el ejemplo:

gl 1=2- 1=1

B) Grados de libertad del segundo factor (gl2): Vienen dados por el número de niveles del segundo factor menos 1 : gl2=P-1 En el ejemplo:

gl2=4- 1 =3

C) Grados de libertad de la interacción (gil 2): Los grados de libertad para la interacción de ambos factores son el producto de los grados de libertad de los dos factores: gll2=gllxgl2=(n-1)(p-1) En el ejemplo:

gll2=lx3=3.

D) Grados de libertad totales (glt): El número total de grados de libertad es N-1: En el ejemplo:

glt=40-1=39

E) Grados de libertad intergrupos (gle): Los grados de libertad intergrupos vienen dados por el número total de sujetos menos el número de grupos: gle=N-np. En efecto: gle=glt-gll-gl2-gll2=N-1-(n-1)-(p-1)-(n-1)(p-1)=N-np En el ejemplo:

gle=40-8=32

3) Medias cuadráticas: Conocidas las sumas de cuadrados y los correspondientes grados de libertad, las medias cuadráticas son evaluadas sin más que hallar sus cocientes respectivos: A) Media cuadrática para el primer factor (MCI ): MCl=SCl/gll=8' 1/1=8' 1 B) Media cuadrática para el segundo factor (MC2): MC2=SC2/gl2=107'8/3=35'93 C) Media cuadrática para la interacción (MCI 2): MC 1 2=SC 1 2/gl 12=79'3/3=26'43 D) Media cuadrática intergrupos (MCE): MCE=SCE/gle=l 85'2/32=5'78

438 Los contrastes dan los siguientes resultados: /. Primera prueba: F=MC1/MCE=8' 1/5'78=1'40 Para la distribución F con 1 y 32 grados de libertad, la tabla correspondiente nos proporciona, para un nivel 0'05, el valor: 1

=4' 15 0'05. 1.32

Como F=l'40<4' 15, el contraste no es significativo al nivel a=0'05, y se acepta la hipótesis nula a dicho nivel. //. Segunda prueba: F=MC2/MCE=35,93/578=6'21 Para la distribución F con 3 y 32 grados de libertad, la tabla correspondiente nos proporciona, para el nivel 0'05, el valor: F

=2'90

1 0'05. 3. 32 * *"

Como F=6'21>2'90, el contraste es significativo al nivel a=0'05, y se rechaza la hipótesis nula a dicho nivel. ///. Tercera prueba: F=MC12/MCE=26,43/578=4,57 Para la distribución F con 3 y 32 grados de libertad, la tabla correspondiente nos proporciona, para el nivel 0'05, el valor: F

1 005. 3. 32

=2'90

Como F=4'57>2'90, el contraste es significativo al nivel a=0'05, y se rechaza la hipótesis nula a dicho nivel. Los datos se recogen también en una tabla resumen: Origen de la variación

SC

gl

MC

F

Primer factor (fertilizante) Segundo factor (variedad) Interacción Variación intergrupos

8'1 10T8 79'3 185'2

1 3 3 32

8' 10 35'93 26'43 578

1'4 6'21 4.57

Totales

380'4

39

439 1 3.4.6. Pruebas de comparaciones múltiples De modo similar al proceso seguido en el análisis de la varianza, si el resultado del contraste de la F es significativo, se deben realizar pruebas adicionales para especifi car cuáles son las medias que difieren entre sí y cuál es la influencia de la interacción de los factores. Según sean los resultados del contraste de la interacción (resultado de la tercera prueba), tenemos dos alternativas: /. El resultado de la interacción es significativo: Si la interacción es significativa, los efectos de los factores no pueden ser analiza dos aisladamente. Para hacer un análisis conjunto, se debe realizar una prueba adicio nal, como la prueba de «efectos principales simples». //. El resultado de la interacción no es significativo: Al ser nulo el efecto de la interacción, se considera cada uno de los factores como si se tratara de análisis de la varianza unidireccional. Pueden presentarse, en este caso, las siguientes situaciones: 1 ) Una de las dos primeras pruebas no es significativa: El factor correspondiente a la prueba no significativa no ejerce efecto alguno sobre los resultados, por lo que no se deben hacer comparaciones múltiples. 2) Uno de los factores significativos sólo tiene dos niveles: No es necesario realizar la prueba de comparaciones múltiples, puesto que ya se sabe que la dife rencia entre las dos medias es significativa. 3) Una de las dos primeras pruebas es significativa y el factor correspondiente tiene más de dos niveles: En este caso, se realizan las pruebas de comparaciones múltiples para las distintas medias. En el ejemplo 13.2. han resultado significativas la prueba de interacción y la del segundo factor.

13.4.7. Prueba de los efectos principales simples La interacción de los tratamientos de ambos factores significa que el tratamiento de un factor se comporta de distinto modo ante los diferentes niveles de tratamiento del otro factor. Cuando el resultado de la interacción es significativo, no es posible hacer una interpretación aislada de los resultados de cada uno de los factores. La prueba de los «efectos principales simples» está diseñada para conseguir una

440 interpretación de los efectos de la interacción. Consiste esencialmente en contrastar las siguientes hipótesis nulas: Hn: Hn: Hn: Hn:

a=0, a=0, a=0. a=0,

para para para para

todo tratamiento j todo tratamiento j todo tratamiento j todo tratamiento j

al al al al

nivel nivel nivel nivel

B1. B2. B3, B4.

Hn: Bk=0. para todo tratamiento k al nivel A1, Hn: Bk=0. para todo tratamiento k al nivel A2, Se trata de aplicar la técnica del ANOVA para analizar los efectos de cada trata miento del primer factor en cada uno de los niveles del segundo factor, y a la inversa. Designaremos por SCA(Bk) a la suma de cuadrados del factor A para el nivel k del factor B y por SCB( Aj) a la suma de los cuadrados del factor B para el nivel j del factor A. El proceso de cálculo es análogo al que hemos seguido antes, y partiremos tam bién de la tabla de totales (T , ): Bl Al A2 Ap

B2

Bk

Total

T T

T T

T:

T,

T

p1

Total

p2

p

T,

T,

T\

T

La tabla de totales correspondiente al ejemplo 13.2 es: Bl

B2

B3

B4

Tot. filas

50 60 110

55 30

195 177 Total=372

Al

50

40

A2 T. columnas

57 107

30 70

85

A) Suma de cuadrados de A a los distintos niveles de B: ( " r-l

SCA(B¡)=

V 505

575

107= 4,9 10

441

V 405

30- ~ 705 10

w

505

605

11010

10

mn

mu

555

305

85' = 62,5 10

SCA(B2) = mu

11I

( n

1t¡3 SCA(B3) :

~H

ln ~\£¿

m

J

( n

SCA(B4) = ni

La suma de estos cuatro sumandos debe ser igual a la suma de cuadrados del primer factor más la suma de los cuadrados de la interacción: SC1+SC12=SCA(B1)+SCA(B2)+SCA(B3)+SCA(B4)=87'4 lo que puede servir de comprobante de las operaciones. A) Suma de cuadrados de B a los distintos niveles de A:

ín f^ SCB(Al)-.

505

402 5

502 5

552 1952 5 ~20

572

302

602

302 ~1772

? ?, .,.-

v X

lT2•

ni

mu

SCB(A2) =

= 163' 35 5555 "20

La suma de estos dos sumandos debe ser igual a la suma de cuadrados del segun do factor más la suma de los cuadrados de la interacción: SC2+SC12=SCB(A1)+SCB(A2)=187'1 lo que sirve de comprobación. Al hacer los diferentes contrastes con la F de Fisher-Snedecor, hemos de tener en cuenta que el factor A se ha dividido en 2 niveles, por lo que debemos dividir el nivel de significación a en dos partes, de modo que, para encontrar el valor crítico en la tabla de la F, hay que buscar el valor correspondiente a a/2=0'05/2=0'025

442

Del mismo modo, el factor B se ha dividido en 4 niveles, por lo que el nivel de significación correspondiente será a/4=0'05/4=0'0125 El valor de la F para estos niveles no está tabulado, por lo que se debe calcular por aproximación, interpolando con los valores de la tabla para a=0'05 y a=0'01. El valor crítico de F para las cuatro primeras pruebas es Fmas ,i,32 =7'29 puesto que, a un incremento negativo de 0'04 en el nivel, corresponde un incremento en el valor de F de 3'35, a un incremento negativo de 0'0375 en el nivel, corresponde un incremento del valor de F de 3'35x0'0375/0'04=3' 14. Como F0.05 , ,2=4' 15, será Fo,„25 ,,2=4' 15+3' 14=7' 29. De modo análogo se obtiene el valor crítico de F para las otras dos pruebas: 0'025. 3, 32

Con los datos obtenidos, construimos la tabla resumen del ANOVA:

Origen de la variación

SC

Si

A en nivel Bl A en nivel B2 A en nivel B3 A en nivel B4 B en nivel Al B en nivel A2 Variación interceldas

4.9 10 10 62,5 23,75 1633 1852

1 I 1 1 3 3 32

Totales

459,7

40

MC 4,9 10 10 623 7,91 54,45 5,78

F 0,86 1,73 1,73 10,81 136 9,42

Han resultado significativas la cuarta y la sexta de las pruebas.

13.4.8. Interpretación de los resultados El factor A (tipo de fertilizante) tiene una incidencia significativa en el rendimiento de la cosecha sobre la variedad B4 de trigo. Se puede concluir, a la vista del rendimiento medio, que el tipo de fertilizante Al incide positivamente en el rendimiento de la cosecha cuando se aplica a la variedad B4. Se comprueba, en efecto, que el fertilizante Al aplicado a la variedad B4 produce una media de 1 1 , muy superior a la media 6 que se obtiene de aplicar el fertilizante A2 a la misma variedad.

443

Bl

B2

B3

B4

Figura 13.2: Interacción nula

Bl

B2

B.1

B4

Figura 13.3: Interacción para el ejemplo 13.2

El efecto de la interacción puede apreciarse gráficamente si se marcan las medias de cada celda, y se unen mediante segmentos, de una parte, las medias correspon dientes al primer nivel (fertilizante A), y, de otra parte, las medias correspondientes al segundo nivel (fertilizante B). Si el efecto de la interacción fuera nulo, la distancia entre los segmentos de las poligonales que se obtienen permanecería constante (éste es el caso de la figura 13.1). En cambio, cuando el efecto de la interacción existe, los segmentos no son parale los, llegando incluso a cortarse cuando el efecto es inverso, como sucede en la figura 13.2, que corresponde al ejemplo que venimos analizando. Observamos cómo el tipo de fertilizante incide en el rendimiento cuando se le aplica a la variedad de trigo B4. Los efectos de la interacción son independientes de los efectos de los factores. Puede suceder que los efectos de la interacción sean significativos, no siéndolo los efectos de uno de los factores, e incluso no siéndolo los efectos de ninguno de los factores. Al analizar los efectos del factor B, los resultados obtenidos nos señalan que hay diferencias significativas entre las medias de algunos de sus niveles y también que el factor B incide de modo significativo en el nivel A2 del factor A. Sin embargo, el factor B tiene 4 niveles, y las pruebas realizadas no indican entre qué niveles se dan las diferencias. Necesitamos, por tanto, servirnos de una prueba de comparación múltiple, y va mos a utilizar la prueba t protegida, buscando «la menor de las diferencias significati vas» para comparar con ella las medias de los distintos niveles de B. Vamos a contrastar: 1) las medias de los 4 niveles (columnas) del factor B entre sí. 2) las medias del factor B en el nivel A2. /) Contraste de las medias de las columnas: Las medias de las columnas son: X.., = 107, X..,= 7. X..,= 11.X..4 = 8,5

444

Debemos hallar el valor de «la menor de las diferencias significativas (LSD)». Para ello, utilizaremos la fórmula (15), en donde MCE=5'78. m=10 y t005 ,,=2'037; luego MCE- = 2'037J5'78— = 279 m V 10 Si restamos cada una de las parejas de medias después de ordenarlas de menor a mayor, se obtiene:

sK

X:

X,

0

1"5 0

X, 37* 2'2 0

'H*1^

X , 4* 2'5* 0'3 0

Resultan significativas las diferencias de las medias de Bl con B2, B2 con B3 y B3 con B4. 2) Contraste de las medias del factor B en el nivel A2 (interacción): Las medias del factor B en el nivel A2 son: X.2¡= 11'4. X.., = 6, X ,,= 12. A\4 = 6 Debemos hallar el valor de «la menor de las diferencias significativas (LSD)», Para ello, utilizaremos la fórmula (15). donde MCE=5'78 y m=5. pero, al estar dividido el factor B en 4 niveles, el nivel de significación será: a/4=0.05/4=0'0125 Interpolando, llegamos al valor t0n¡,, ,2=2'66; luego

MCE— = 766J5'78- = 4'04 Si restamos cada una de las parejas de medias después de ordenarlas de menor a mayor, se obtiene:

x.2. x .24

x.„ x.2.

X-21

X '24

A".,,

x.„

0

0 0

5.4 5,4* 0

6* 6* 0,6 0

445 Resultan significativas, en el nivel A2. las diferencias de las medias de Bl con B2, B 1 con B4. B2 con B3 y B3 con B4. Como resumen final, podemos concluir: A) Si se siembra la variedad de trigo B4, se debe utilizar el tipo de fertilizante Al . ya que Al incide de modo positivamente significativo en la variedad B4. B) Si se utiliza el fertilizante A2. es preferible sembrar las variedades Bl ó B3. C) Si se actúa con independencia del fertilizante, con las variedades B 1 ó B3 se obtiene una mejor producción.

1 3.5. Ejercicios propuestos 13.1. Las calificaciones obtenidas por cuatro estudiantes en Matemáticas, Física. Quí mica y Dibujo han sido: Matemáticas Física 6.2 8.5 6.0 8.6

IM lidiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4

Química

Dibujo

6.8 8.2 73 9.1

5.8 9.6 8.0 6,7

7.3 9,0 6.4 7.5

Con un nivel de significación del 0'05, ¿se puede llegar a la conclusión de que las cuatro asignaturas tienen el mismo grado de dificultad? 13.2. Con el fin reforzar el crecimiento de un cierto tipo de planta, un equipo de biólogos utiliza cinco concentraciones diferentes de un determinado elemento. Se seleccionan 30 plantas al azar, que se distribuyen en 5 grupos de 6 plantas cada uno. Después de aplicar un tipo distinto de concentración a cada uno de los grupos, se midieron las plantas, obteniéndose los siguientes resultados: Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

1T4 117

10'3 107

129 íri

12'3 12'6 ll'l 12'3

9'3 10'5 107 10'8

10'2 10'0 10'9 11'6

Grupo 4

Grupo 5

8'6

107

10'2 10'5 11'2 10'3

10'5 10'2

9'5

97 11'6 11'3

1 ) ¿De qué tipo de análisis de la varianza se trata? 2) Contrastar la igualdad de las medias. 3)¿Existe diferencia entre las medias del primero y del tercer grupo?

446 13.3. Para probar la eficacia de cuatro tratamientos distintos sobre tres tipos diferentes de enfermedades, se confeccionaron aleatoriamente 4 grupos, a cada uno de los cua les se asignaron al azar 9 pacientes con el mismo tipo de enfermedad. Tres de los pacientes de cada grupo fueron tratados con una terapia distinta. Los resultados de los distintos tratamientos se evaluaron de 0 (mínima efectividad) a 5 (efectividad máxima), según recoge el siguiente cuadro:

Bl

Tipo de Terapia

Enfermedad B2 B3

B4

Al

0 0 1

2 1 1

2 0 2

3 2 4

A2

2 1 0

1 0 1

3 4 5

0 1 0

A3

1 4 4

0 0 0

1 1 2

0 2 0

Realizar la prueba de análisis de varianza adecuada, analizando su resultado. 13.4. Con el fin de evaluar los efectos de las distintas formas de administrar un nuevo fármaco para regular la hipertensión arterial, se ha seleccionado al azar una muestra de 20 enfermos, a los que se les ha distribuido en cuatro grupos también aleatoriamente. El primero de los grupos será tratado con una dosis que debe tomar una vez al día, el segundo con la misma dosis administrada dos veces al día, el tercero tomará doble dosis cada dos días y el cuarto tomará la dosis equivalente cada tres días. Después de dos meses de tratamiento, se hizo un control de la tensión a todos los enfermos, obteniéndose los siguientes resultados: Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

14'5 14'2 14'7 15'3 16-1

173 16'8 16'3 15'9 167

159 14.8 16'2 170 15'9

16'6 16'2 14'6 16'8 157

1 ) Realizar el contraste para ver que no hay diferencia significativa en las distintas formas de administrar el tratamiento. 2) Si el contraste resulta significativo, aplicar

447 alguna de las pruebas pareadas para detectar dónde se dan unas diferencias significa tivas. 13.5. Se han preparado tres tipos de piensos compuestos para alimento del ganado vacuno, que se administra a vacas de tres razas distintas, anotando la ganancia media en peso al cabo de un mes: Tipo de pienso ABC Raza 1 Raza 2 Raza 3

21 20 18

20 26 28

15 21 15

1) ¿Se puede asegurar que la ganancia en peso es la misma para cada tipo de pienso? 2) ¿Influye el tipo de pienso en la ganancia de peso en una determinada raza? 13.6. En un análisis sobre los efectos del tiempo que se dedica diariamente al estudio de una determinada asignatura y el rendimiento, se seleccionaron al azar 30 estudian tes, a los que se distribuyó en cinco grupos de modo que: los estudiantes del primer grupo dedicaron una hora, los del segundo, una hora y media, los del tercero, tres, y los otros dos grupos, cuatro y cinco horas de estudio, respectivamente. Transcurridos tres meses, se les hizo una evaluación, que dio los siguientes resul tados: Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 4 5 3 3 5 4

3 5 6 4 4 5

6 7 5 7 9 8

9 10

s 8 9 9

9 10 9 8 9 9

1) Efectuar el tipo de análisis de varianza que corresponda. 2) Si el resultado es significativo, aplicar las pruebas de Tukey. de Scheffé, de Duncan y la t protegida. 13.7. Se han aplicado 4 tratamientos de abonos diferentes a una misma variedad de trigo, pero sembrada en tres parcelas de diferente tipo de suelo. Realizada la cosecha, se obtuvo el resultado que muestra la tabla de contingencia que sigue:

448

Abono A Abono B Abono C Abono D Parcela 1 Parcela 2 Parcela 3

12 9,5 6

9.5 7,6 8

14.5 82 7

8 9 7,5

Realizar un análisis de la varianza, analizando los resultados. 13.8. Una compañía de autobuses desea saber el efecto que produce en sus conduc tores el número de horas de servicio continuado. Selecciona 24 conductores, a los que distribuye en cuatro grupos. Somete a cada uno de los grupos a una prueba después de haber realizado un servicio continuado de 4, 6, 8 y 10 horas de conducción. Los resulta dos de la prueba sobre los efectos negativos de la conducción (reflejos, percepción visual, somnolencia,...) están resumidos en los datos del siguiente cuadro:

Grupo 1 5 6 4 4 5 4

Grupo 2 7 6 6 8 7 8

Grupo 3 9 8 X 4 10 9

Grupo 14 12 14 15 16 16

Estudiar la incidencia del número seguido de horas de conducción en la falta de reflejos. 13.9. Plantea el ANOVA correspondiente al ejercicio 13.8, si cada uno de los grupos se divide en dos niveles atendiendo a la edad de los conductores, de forma que los tres primeros resultados de cada uno de los grupos correspondiera a conductores con edad inferior a 40 años, y los tres últimos a conductores de 40 años de edad en adelante. 13.10. Un equipo de profesores, que ensaya cuatro métodos diferentes de enseñanza, piensa que, en los resultados, tiene gran influencia el factor memorístico. Por este motivo, selecciona 48 alumnos, a los que divide aleatoriamente en 4 grupos, a cada uno de los cuales se les aplica un método diferente de enseñanza. Para analizar el influjo del factor memorístico, se decide que la mitad de los alum nos de cada uno de los grupos responda a las cuestiones de examen con libros o apuntes, mientras que al resto no les está permitido. Los resultados que obtuvieron los 48 alumnos quedan recogidos en la tabla siguiente.

449

Enfermedad

Al

Tipo

Bl

B2

B3

m

37 31 35 29 43 39

27 24 29 32 28 33

30 33 28 22 29 35

44 44 47 39 33 31

21 23 25 20 27 24

22 21 19 25 26 22

29 26 22 31 23 26

32 37 40 37 32 27

de examen

A2

Realizar la prueba de ANOVA adecuada, y analizar su resultado, estudiando los efectos de las posibles interacciones.

CAPITULO 14 INFERENCIAS SOBRE REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN

14.1. Fases del modelo de regresión lineal La recta de regresión y el coeficiente de correlación tienen sentido en tanto en cuanto son un instrumento para inferir la relación de las variables en la población. De ahí la necesidad de este nuevo capítulo en el que profundizamos algo más en el análisis del modelo de regresión lineal. El conocimiento exacto del coeficiente de correlación sólo es posible si analizamos la totalidad de la población. Sin embargo, a la hora de evaluarlo, nos encontramos con el problema habitual de tener que inferirlo desde la estimación que proporcionan los datos de una muestra. La recta de regresión lineal y=a+bx, que deducíamos en el capítulo 6. es también una estimación de la recta de regresión de la población y=a+Bx. Los parámetros a y (3 son evaluados a partir de los datos de una muestra, y es fundamental tener unas garantías de que los valores a y b estimados no difieren significativamente de los parámetros poblacionales a y B. El proceso que se sigue en la construcción del modelo de regresión se compone de tres fases o etapas. En la primera fase, se comprueba si la relación entre las varia bles que componen el modelo está de acuerdo con la propia forma del modelo. La segunda fase consiste en la estimación de los parámetros de acuerdo con el criterio elegido (en nuestro caso, el método de mínimos cuadrados). Estas dos etapas han sido tratadas en el capítulo 6. Falta la última fase, fundamen tal para el investigador, que debe comprobar si las inferencias o pronósticos que se pueden hacer de la relación encontrada entre las variables se ajustan a los datos empíricos. La tercera fase lleva consigo la verificación del ajuste del modelo de forma que tengan consistencia las inferencias que se saquen para la población.

452

14.2. El modelo de regresión lineal El modelo de regresión lineal simple es un proceso experimental en el que intervie nen dos variables: una variable dependiente Y, que no es controlada por el experimen to, y que depende de otra variable independiente X, que sí es controlada por el experimento, por lo que ésta no es una variable aleatoria. Para estudiar la relación de dependencia entre estas variables, se dispone de una muestra aleatoria de tamaño N, que vamos a representar por {(X,Y)}i=, , N Cuando tomamos distintas muestras para un mismo valor de X, es de esperar que varíen los correspondientes valores de Y; por ello, el valor y del par (x,y ) se puede considerar como valor de una variable aleatoria Y que corresponde al valor fijado x. Vamos a representar a esta variable aleatoria por Y , que tendrá una media M(Yx) y una varianza V(Y ). Por lo tanto, para x=x., tenemos una variable aleatoria a la que vamos a designar por Y, que tendrá una media M(Y) y una varianza V(Y). Admitir el modelo de regresión lineal supone aceptar que la media de la variable aleatoria M(Y^) está relacionada linealmente con la variable x por medio de la ecuación de la regresión de la población, es decir: M(YJ=a + (k

(1)

donde ayB son los parámetros de la población. M(Yx) es la respuesta promedio; para simplificar la terminología, vamos a desig narla por P Los parámetros de la recta de regresión poblacional, a y B, son desconocidos, y deben ser estimados mediante los valores de a y b en la recta de regresión muestral, que se obtienen a partir de los datos de la muestra de acuerdo con las fórmulas desarrolladas en el capítulo 6. Una vez evaluadas a y b, una estimación de la respuesta promedio P es: p=a+bx

(2)

que es la recta de regresión muestral o linea de regresión ajustada; p es una estima ción particular de la respuesta promedio P.

14.3. Elección del modelo de regresión lineal Nuestro problema es encontrar una recta de ecuación y=a+By que nos de la mejor estimación posible de la relación entre las variables X e Y.

453 Sea {(X,,Y1),(X2,Y2),...,(XN,YN)} una muestra aleatoria de tamaño N. Entonces, para cada valor x. tenemos una variable aleatoria Y , según acabamos de ver. Si admitimos que todas las medias M(Y.) caen sobre la línea recta, cada variable aleatoria Y puede ser descrita por la expresión (3)

y,=a+P X,+E,

llamada modelo de regresión lineal simple, donde E es el error del modelo, que debe tener necesariamente media cero. Cada una de las observaciones particulares de la muestra debe verificar la ecua ción (3): v =a + (3 x¡+bi donde 8 es el valor particular del error cuando Y=y .

P = tt + I3 x

Figura 14.1: Error del modelo (8¡) y error residual (eI).

Por otra parte, cada una de las observaciones particulares de la muestra verifica la relación y¡ = a + bx¡ + e¡

donde e es el valor del error en el ajuste de la recta de regresión muestral en el punto i. Este error se conoce como residuo, y viene dado por la diferencia e = y.-y. Si se tiene en cuenta que e = y.-y. = y.-a-bxr la suma de los cuadrados de los residuos viene dada por: SCE = 'Z(y¡-a-bx¡i

,4,

454 Haciendo mínima esta expresión, en el capítulo 6, encontramos las fórmulas para obtener las estimaciones a y b:

b

Nlx,y,-{lx,tLy, Nlx;-(lx.f

(5)

5>,-b?.x, N

(6)

a-

14.4. Estimadores de los parámetros de regresión Los valores a y b que proporcionan las fórmulas (5) y (6) son sólo estimaciones particulares de los parámetros poblacionales a y B. Ahora bien, si pudiéramos repetir el experimento, para los mismos valores de x, en cada repetición se obtendrían distintas estimaciones de a y B. Estas estimaciones pueden ser tomadas como posibles valores que tomarían dos variables aleatorias A y B, que son los estimadores de a y B. De acuerdo con el modelo de regresión planteado, los valores de x permanecen fijos, variando únicamente los valores de y, lo que implica que los estimadores A y B dependen sólo de los valores que tomen las variables aleatorias Y., que a su vez dependen del modelo elegido Y,=a + B X, + E, Pues bien, si se admite que, para cada experiencia particular, las variables aleatorias E. son independientes y, además de tener media cero, tienen la misma varianza a2, las variables aleatorias Y. serán también independientes con media a+Bxi y varianzas iguales a a2. Para poder hacer un contraste de hipótesis sobre los parámetros poblacionales a y B, es necesario admitir además la hipótesis de normalidad de las E., i=l,2 N. Bajo estas hipótesis, se demuestran fácilmente las dos siguientes propiedades: I. El estimador b .

Nlx.Y.-jlxXlY.) tiene una distribución normal de media

Nl.xf-{lxif CT

|is=B y varianza o"„

2b II. El estimador A = —

- tiene una distribución normal de media u a -a y N

Sxf cr.

varianza a; =

.VSU - x)

455

Acabamos de ver que A y B son dos estimadores insesgados de a y B, respecti vamente. Ahora bien, para hacer inferencias acerca de a y B, hemos de conocer la varianza a2 del error del modelo, parámetro que aparece en el cálculo de las varianzas de A y B. El parámetro o2 es habitualmente desconocido, por lo que tendrá que ser estimado a partir de los momentos muestrales. En lugar de utilizar promedios en las variaciones, vamos a utilizar las sumas de los cuadrados de las desviaciones sin promediar, con el fin de preparar una descomposi ción de la variación de los valores que toma la variable aleatoria Y en dos componen tes, que nos servirán para utilizar las técnicas del análisis de la varianza. Tendremos, de este modo, los totales de las desviaciones de las x así como los de las y con respecto a su media, y los totales de la covarianza:

ti= su -*)'= ixf. í%£

(7)

N r; = I(v-y)2=Iv

, (M.

(8)

A'

III. Entre la suma de los cuadrados de los residuos, se da la relación: SCE = T;-bT„ Demostración:

SCE = ¿¿(y,.- a - b x,)

Sumando y restando y = a + bx . queda: SCE = X(.v, - y + a + bx - a -bx,)' = L[(v - y)-b(x¡ - x)f = = Z[( y, - y )2 - 2b( x, - x)( y, - y) + b2( x, - x f] = = I/.v, - y f^bY/xi-xHy, - y) + b2ljx, -xf = = 7';-2fc7„ + b2Tl Ahora bien. teniendo en cuenta que

s]

1 .* x\ N 1 „2 " T\ NTx

(10)

456

T T~ resulta: SCE = 7"; - 2-^T„ +^7; = T; - bT„, cqd. Con las mismas hipótesis que las propiedades I y II, se verifica: IV. El estadístico T =

B- B ¡= se distribuye según una t de Student con n-2 grados

de libertad.

14.4.1. Comprobación de hipótesis El proceso que se sigue, en la comprobación de hipótesis, es doble. De una parte, hay que comprobar las hipótesis del modelo, y, de otra, se debe comprobar la estima ción de los parámetros. Las hipótesis exigidas al modelo son: 1) «Los errores son mutuamente independientes», lo que se puede formular como: Cov(E,,E,)=0, i* j. 2) «La esperanza matemática de los errores es cero» E(X,) = 0, i = 1,2

N.

3) «La varianza de los errores es constante»: Var(X,)=a, i = 1,2,...N. 4) «Cada variable aleatoria E sigue una distribución normal». La comprobación de estas hipótesis de independencia, homogeneidad y normali dad se pueden realizar mediante las pruebas de la yj que analizamos en el capítulo 12. Para la normalidad, puede utilizarse la prueba de residuales.

14.4.2. Contraste sobre el coeficiente de regresión mediante análisis de la varianza Utilizamos la recta de regresión para predecir el valor de la variable dependiente, y nos interesa frecuentemente obtener una medida de la precisión de tal predicción. La varianza de la variable aleatoria Y. proporciona una medida de dicha precisión, ya que cuantifica la variación total de la variable dependiente. La variación que proporciona la varianza de la variable dependiente Y se puede descomponer en dos partes, y utilizar así las técnicas del análisis de la varianza.

457 La relación ( 10) se puede poner en la forma Tl = bT„+SCE que, a su vez, si se desarrollan las expresiones que definen a T \ bT y SCE, se llega a la relación di)

Yíy-y?=2í$¡-y?+Eí:y, -y, )'

El primer miembro de esta igualdad es la variación total de la variable dependiente Y, que se puede descomponer en dos sumandos: el primero recoge la variación de los valores de Y debida a la elección del modelo, o lo que es igual, a la recta de regresión que se ha postulado; el segundo recoge la variación alrededor de la recta de regresión muestral. El último de los sumandos del segundo miembro es la suma de los errores o suma de cuadrados residuales, que hemos representado por SCE (suma de cuadrados de los errores):

SCE=Jjy,-y,f Designaremos a la suma de los cuadrados del primer sumando del segundo miem bro por SCR (suma de cuadrados debida a la regresión):

SCR=Jjy,-y,)? y a la suma de cuadrados del primer miembro le designaremos por SCT (suma de cuadrados totales):

La expresión ( 1 1 ) se puede poner, por consiguiente, en la forma SCT = SCR + SCE

(12)

que permite calcular SCE en función de SCT y SCR. Estamos ya en condiciones de efectuar el contraste de la hipótesis nula H{l = [} =0

con la hipótesis alternativa H = fj *0. La hipótesis nula consiste en aceptar que el modelo de regresión viene dado por P=a. lo que supone una recta de regresión horizontal, y, por tanto, que Y es indepen diente de los valores de x. Bajo la hipótesis nula, se verifican: I. ±>CR y S£R son dos estimadores independientes, que siguen una X cr
con 1 y

458

SCR/1 sigue una distribución F de Fisher-Snedecor con SCE/(n-2) 1 y n-2 grados de libertad. Designaremos por MCR (media cuadrática de la regresión) al cociente de dividir la suma de cuadrados debida a la regresión (SCR) por su número de grados de libertad ( 1 ): II. El estimador F =

SCR MCR = I

El cociente de dividir la suma de cuadrados residuales (SCE) por su número de grados de libertad (n-2) es la media cuadrática residual, que designaremos por MCE: MCE.

SCE n-2

El estimador para el contraste es: MCR MCE

(13)

El contraste se realiza calculando una estimación de F. Entonces, fijado el nivel de significación a, si el valor de la estimación dada por F es mayor que el valor crítico F^ , que proporciona la tabla de la F de Fisher-Snedecor, se rechaza la hipótesis nula, y, si es menor, se acepta. Los cálculos se suelen disponer en una tabla de varianza que recoge las fuentes de variación, las sumas de cuadrados, los grados de libertad y las medias cuadráticas: Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Regresión

SCR

1

MCR

Error

SCE

n-2

MCE

Total

SCT

n-1

Contraste

F=MCR/MCE

Ejemplo 14.1 En un laboratorio de análisis químicos, se han obtenido los siguientes valores de la capacidad calorífica de la plata metálica: T("K)

15

Cp(J/mol) 0.7

30

50

70

90

110 130 150 170 190 210 230 270 290 300

4.7 11,6 16,3 19.1 20.9 22,1 22,9 23,7 24,1 21,4 24,2 25,3 25,4 25,5

Se trata de efectuar un contraste de hipótesis para ver si se puede aceptar la

459 existencia de una relación lineal entre la capacidad calorífica de la plata y la tempera tura. Solución: Tenemos que hacer el contraste de la hipótesis nula Ha = P =0 con la hipótesis alternativa H, = (3 * 0 . Siguiendo la técnica del análisis de la varianza, debemos calcular las sumas de cuadrados, sus grados de libertad y los cuadrados medios. A) Sumas de cuadrados: ^ , ( !y,)" 287, 92 SCT = lyj — = 6358,87 = 833, 1 1 N 15 b=

WXX,y,-(IjO(S.v,) 15x52713,5-2305x287,9 '—;—V^ = ^— = 0,069 Nlx;-(I.x,)~ 15x477125-2305-

T„ = Ix,y,-

(Ix,)(lv) 2305x287,9 = 52713,5— = 8472,87 N 15

SCR = bT„ = 0,069x8472,87 = 584,63 SCE = SCT - SCR = 833, 1 1 - 584, 63 = 248,48 B) Cuadrados medios: SCR MCR = —— =584,63

MCE =

SCE 248,48 = = 19,11 n-2 13

C) Estimador: MCR 584,63 = — = 30,59 MCE 19,11 Si elegimos un nivel de significación a=0'05, el valor crítico es F , =4'67. Como F=30'59>4'67, el contraste resulta significativo, luego rechazamos la hipóte sis nula y admitimos, por lo tanto, la existencia de una relación lineal entre la tempera tura y la capacidad calorífica de la plata, de acuerdo con los datos de la muestra. Los datos se recogen en la siguiente tabla resumen: F=

460

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Regresión

584.63

1

584,63

Error

248,48

13

19,11

Total

833.1 1

14

Contraste

F=30.59

14.4.3. Inferencias mediante la t de Studeni En el apartado 14.4. 1 ., hemos utilizado las técnicas del análisis de la varianza para contrastar la hipótesis nula H„ ■ P =0 con la hipótesis alternativa H¡ = P *0. Este contraste se podía haber realizado también haciendo uso de las propiedades del esta dístico B. cuando se admite que en el modelo Y iir =a+BX +E , los errores E i están distri~ buidos normalmente. Ahora vamos a servirnos del estimador T .

B-P ¡/yfti

Como T sigue una distribución t de Student con n-2 grados de libertad, bajo la hipótesis nula H„ ■ p = 0, se evalúa el valor que toma b T=

TJr! para la estimación de B proporcionada por la muestra. Elegido un nivel de significación a, para una prueba bilateral, si T<-t„/, o TVt^, se rechaza la hipótesis nula. En otro caso, se acepta. El estadístico T permite también la construcción de un intervalo de confianza para B. que vendrá dado por

^,,^
s

/ =

Ejemplo 14.2 Con los datos del ejemplo 14.1, se trata de: i) contrastar la hipótesis nula H„ u p =0 con la hipótesis alternativa H = P * 0 utilizando el estimador T; ii) hallar un intervalo de confianza para B.

461 Solución: i) Contraste: Hemos evaluado antes b=0'069. Necesitamos calcular: , v , (Ix.)' 23052 T\ = Lx- = 477125 = 1229233 N 15 r-r , , SCE 25171 jT\ = J122923'3 = 350'6 y s2 = = => s = 4'4 n-2 13 „ , 0V69 Por lo tanto t= = 5'49 4'4/350'6

luego

Si elegimos un nivel de significación a=0'05, para una prueba bilateral, la tabla de la t de Student nos da un valor crítico t . , =2' 16. Como t=5'49>2' 16, se rechaza la hipótesis nula. Este resultado coincide con el que habíamos obtenido en el apartado anterior. En realidad, estamos utilizando el mismo procedimiento. En efecto, si elevamos al cuadrado el estadístico t, resulta: b' sT/Tl

b2T\ s'

bT„ s'

SCR s'

SCR SCE /(n-2)

que es el estadístico utilizado para el análisis de la varianza. ii) Intervalo de confianza para B: Tenemos calculados los datos necesarios: b=0'069, s=4'4, -Jt] = 350'6 y t^=2'16. El intervalo particular del 95% de confianza será: ( 4'4 4'4 \ I = 0'069 . 2'16 ,0'069 + 2' 16 + = (0'04,0'09) { 350'6 350'6 I

14.4.4. Inferencias acerca de a Si aceptamos la hipótesis de normalidad de la distribución de errores, podemos utilizar la distribución del estadístico A-a

que sigue una t de Student con n-2 grados de libertad, para realizar el contraste de la hipótesis nula H„ = a =0 con la hipótesis alternativa H, = a * 0 . Este estadístico también permite construir un intervalo de confianza para a, que vendría dado por:

462

a-t„/2—i==-
Ejemplo 14.3 Con los datos del Ejemplo 14.1: i) contrastar la hipótesis nula Ha=a = 0 con la hipótesis alternativa Hl = a * 0. ii) hallar, para a, un intervalo de confianza del 95%. Solución: Además de los datos que ya hemos evaluado, necesitamos Xy,-¿iX*N Entonces

288' 8-0' 069x2305 = 8' 65 15

a-0 8' 65-0 / = —iys = , = = 3' 93 .XI 477125 4'4J NT. V 15x122923'3

Como t=3'93>2' 16, rechazamos la hipótesis nula, ii) Intervalo de confianza del 95%: ' 4'4^477125 4'4J477125 / = 8'65 - 2'16 , ,8'65 + 276 , 415x122923^3 Jl5xl229233

. (3'32,13'48)

14.5. Intervalos para la respuesta media y para una sola respuesta La recta de regresión muestral se utiliza para hacer predicciones, que pueden ser de dos tipos. Fijado un valor concreto xo de la variable independiente X, podemos: a) hallar o predecir la respuesta media Po; b) predecir un valor particular y0 de Y0 cuando x=x0. 14.5.1. Intervalo para la respuesta media Para construir un intervalo de confianza para la respuesta media Pn=a+Bx0, se puede utilizar el estimador Y=A + Bxn que sigue una distribución normal de media Pi =a+Bxo y varianza

oi=
j- (x0-xY N T2

463 Entonces, si aproximamos a2 por s2, el estimador ,

Y -P

TI (x0-x)

v10

sigue una t de Student con n-2 gra dos de libertad. Este estimador nos permite cons truir un intervalo de confianza del (l-a)100% para la respuesta media Pn, que vendrá dado por:

100

20C

Figura 14.2: Intervalo para la respuesta media.

/ , (x0-xf

1 M0-xY

siendo t- el valor crítico de la t de Student con n-2 grados de libertad para un nivel de significación a y una prueba bilateral. Ejemplo 14.4 Con los datos del ejemplo 14. 1 . queremos determinar un intervalo de confianza del 95% para la respuesta media Po correspondiente a un valor de la temperatura x, = 100°K. Solución: Por los cálculos realizados antes, sabemos que b=0'069 y a=8'65, luego la ecuación de la recta de regresión muestral es y=8'65+0'069x Entonces, para xQ=100, se obtiene y =8'65+0?069- 100= 15'55 Disponemos de los datos: s=4'4, TsM22923'3, \lP , =2' 16 y = = — X* = 153'66. N Luego un intervalo de confianza del 95% para PQ es: , 1 100 - 1537 ' 1 (100 - 1537 y / = 15'6-2'16-4'4-l— + ,15'6 + 2'16-4'4,— + 15 122923'3 \ 15 122923'3 = (13,18'4) Si repetimos los cálculos para cada uno de los distintos valores que le podemos asignar a xo, se irán obteniendo los correspondientes límites de los intervalos de confianza para cada respuesta media Po.

464 De este modo, se obtienen, para la recta de regresión estimada, los límites de confianza superior e inferior de la respuesta media P0, según puede apreciarse en la figura 14.2.

14.5.2. Intervalo de predicción para una respuesta El intervalo de predicción de una respuesta es el intervalo correspondiente a un solo valor y0 de la variable Yo, que difiere del intervalo de confianza para la respuesta media. El intervalo de predicción de una respuesta se obtiene a partir del estimador y0-Yg, que nos permite estimar la varianza de las diferencias que hay entre las ordenadas yg que nos da la recta de regresión y las ordenadas reales y0. El estimador y0-Yg sigue una distribución normal de media cero y varianza =cr

/ (x0-x) N T2

Si se toma s2 como estimación de a2, el estimador y0-Yg que se obtiene, se distri buye aproximadamente según una t de Student con n-2 grados de libertad. El intervalo de predicción para una sola respuesta yo es, por lo tanto: a

,

/, 1 ,(x„-x)T „

¡ ] (x,-xf

/=

El intervalo de predicción de (l-a)100% de confianza se debe interpretar como un intervalo con una probabilidad 1-a de contener, no un parámetro de la población como es Pn, sino un valor futuro de la variable Y¡i. Ejemplo 14.5 Con los datos del ejemplo 14.1, determinemos un intervalo de predicción del 95% de confianza para yo cuando xn=100. Solución: Tenemos ya los datos necesarios calculados: s=4'4, n=15, t.,2=2' 16, T¿=122923'3,x=153'66ey0=15'55. El intervalo será: r 1 (100-1537 y 1 (100-1537 f 5'6-2'16-4'4,l + — + ,15'6 + 2'16-4'4,1 + — +1 15 122923'3 V 15 122923'3 = (5'63,25'47)

465 Podemos observar cómo este intervalo es más amplio que el intervalo para la respuesta media, como era de esperar, ya que el error de predicción es mayor cuando se predice un solo valor que cuando se predice una media de valores.

14.6. Contraste sobre la linealidad del modelo de regresión En la selección del modelo de regresión lineal, hemos supuesto que no hay térmi nos de grado superior al primero, por lo que, en la suma de los cuadrados de los errores, sólo influyen las fluctuaciones propias debidas al error de muestreo. Sin embargo, cuando es admisible realizar repeticiones del experimento y observar las distintas respuestas a un mismo valor de la variable independiente X, la suma de cuadrados de los errores se puede descomponer en dos sumandos, uno de los cuales contiene la variación de Y en función de los valores asignados a X, es decir, la variación debida únicamente al azar, el segundo sumando contiene la variación debida a los términos de orden superior al primero, por lo que se conoce como varia ción debida a la falta de ajuste. Supongamos, por tanto, que se pueden realizar distintas observaciones para un mismo valor x de la variable X. En concreto, vamos a suponer que disponemos de una muestra aleatoria de tamaño N. en la que se dan k valores distintos de x, de modo que «para cada valor x de x se han realizado n observaciones de la variable Y . Para cada uno de los k valores x de la variable X, tenemos n observaciones yn,y,:,...,yu de Y., de modo que i

i

N = 2>, Si designamos por i- i

es decir, la suma de los n valores que toma la variable Y, correspondiente a x=x , la media que corresponde a las observaciones de Y para x=x será:

y¡ = —

(14)

Para conseguir la descomposición de la suma de los cuadrados de los errores, se calculan las cuasivarianzas correspondientes a cada uno de los valores de x:

(15) fli ~ ' i=l

466 Una combinación lineal de éstos viene dada por

(16)

cuyo numerador es una medida de la variación debida únicamente al azar, ó suma de cuadrados debida al error puro, que denotaremos por SCEP. Esta suma de cuadrados se evalúa fácilmente si se desarrolla:

SCEP = I(«, - /) s? = X(,., - /) — £(y - y. f = í=i

k

í=i

n,

k

i.i i.i k

n¡ ~ l i=í

nl

¡,i i.i n¡

k

k

n,

n¡

k

k

n,

Rr

R La última igualdad surge de hacer la sustitución y¡ = — teniendo en cuenta que

¡=1

Finalmente queda: k

n,

k

R;

(17)

A la suma de cuadrados del error puro le corresponden n-k grados de libertad. Si restamos la suma de cuadrados debida al error puro (SCEP) de la suma de cuadrados debida al error (SCE), se obtiene la suma de cuadrados debida a la falta de ajuste (SCA): SCA = SCE -SCEP

(18)

A la suma de cuadrados debida a la falta de ajuste le corresponden, por tanto, n-2-(n-k)=k-2 grados de libertad. Para llevar a cabo el contraste de falta de ajuste, se evalúan, en primer lugar, los cuadrados medios:

467

MCA

SCE-SCEP k-2

(19)

es la media cuadrática debida a la falta de ajuste.

MCEP-

SCEP n-k

(20)

es la media cuadrática debida al error puro. Entonces el contraste se lleva a cabo por medio del estimador: MCA MCEP

(21)

Si la estimación que da F es superior al valor crítico que proporciona la tabla de la F de Fisher-Snedecor para un nivel de significación a con k-2 y n-k grados de libertad, es decir si F>fa. ,k-2., n.k, se rechaza la hipótesis nula. y, por tanto, el modelo de regresión lineal. Los datos se recogen en una tabla de análisis de la varianza, en la que se suele incluir el contraste de B=0. Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Regresión Error Falta Ajuste Error puro

SCR SCE SCA SCEP

1 N-2 k-2 N-k

MCR MCE MCA MCEP

Total

SCT

N-l

Contraste

F=MCR/MCE F=MCA/MCEP

Ejemplo 14.6 Para una serie de disoluciones acuosas de etanol, se han determinado los volúme nes específicos(Y) para las fracciones(X) de masa de etanol. controlando éstas a tres niveles, cuyos resultados figuran a continuación. Se trata de: 1 ) Ajustar una recta de regresión de Y sobre X. 2) Realizar un contraste para la falta de ajuste.

468

Prueba

Fracción de masa de etanol

Vol. específico/cnv1 g"1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

02 0'2 07 0'3 07 0'3 0'4 0'4 0'4 0'5 0'5 0'5 0'6 0'6 0'6 07 07 07 0'8 0'8 0'8 0'9 0'9 0.9

roo9 ron roi8 ro30 1'025 T023 ro6o T053 ro70 1'076 row T099 noi ri3o ri25 1'180 ri53 1'171 1701 1195 ri83 1'194 1710 1728

Solución: 1 ) Recta de regresión muestral: Tenemos: N=24, k=8 y n =n,=...=n8=3 Las medias de ambas variables son: x = 0'55 y y= l'l 1

X«,í, =75'2.X«,-«-: =«'52. ZX.v„ =2&64ly X£.v,; = 29693145 k-l ,=l

i=l l=l

Por tanto T\ = 1'26, T\ = 0'12052 y T„ = 0'38375 Los coeficientes de regresión son: . b = —t = 0'30456 y a = JzlJ=i—¡r-^

= 0'94253

469 Luego la recta de regresión muestral es: y=0'9425+0'3045x 2) Contraste sobre falta de ajuste: Se trata de contrastar Hi= «la regresión es lineal» con la hipótesis alternativa H = «la regresión no es lineal». Calculamos, en primer lugar, las sumas de cuadrados: SCT = Ti = 0'12052, SCR = bT„ = 0'l 1687, SCE = Ti - bT„ = 0W365 Para calcular la suma de cuadrados del error puro, necesitamos los R: Para x,=0'2, es R=3'044 y R,2=9'26593 Para x,=0'3. es R =3'078 y R,2=9'47408 Para x =0'4, es R =3' 183 y R,2=10' 13 148 Para x 4=0'5, es R 4=3'265 yJ R,2=10'66028 4 Para x,=0'6, es Rs=3'356 y R^l 1 '26273 Para x =0'7, es R =3'504 y R 2=1 1 '27801 Para x7=0'8, es R7=3'579 y R72=12'80924 Para x8=0'9, es R8=3'637 y R82=13' 19142 con lo cual, es: SCEP = X £ yl - Z ' = 29'693145 - 29'691055 = 0'002089 La suma de cuadrados debida a la falta de ajuste es. por tanto: SCA=SCE-SCEP=0'00365-0'00209=0'00 1 56 Las medias cuadráticas son MCR=0' 11687/1=0' 11687 MCE=0'004/22='00181 MCA=0'00 1 56/6=0'00026 MCEP=0'00209/1 6=0'000 1 3 La estimación para el contraste de la falta de ajuste es F,=2. Al ser los grados de libertad debidos a la falta de ajuste k-2=8-2=6 y los grados de libertad del error puro N-k=24-8=16, para el nivel de significación a=0'05, el valor crítico de F es

470 La siguiente tabla de ANOVA recoge todos los datos: Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Regresión

0' 11687

1

0' 11687

Error

0'004

22

0'00181

Falta Ajuste

0'00156

6

0'00026

Error puro

0'00209

16

0'000B

Total

0' 12052

23

Contraste

F=2

Como la estimación de F es 2<2'74, se acepta la hipótesis nula. La conclusión a que hemos llegado, a partir de los datos, es que no hay necesidad de considerar términos de grado superior al primero, sino que se debe aceptar la linealidad del modelo. Podemos observar cómo la variación debida a la falta de ajuste es muy pequeña. Dejamos para el lector el estudio del contraste de B.

14.7. Estimación del coeficiente de correlación de Pearson Cuando se plantea un problema de relación entre dos variables de una población, es importante conocer su coeficiente de correlación. Si el coeficiente de correlación poblacional es cero, no habrá una relación de dependencia lineal entre ambas variables. En cambio, si dicho coeficiente es 1 ó -1, se dará una relación lineal perfecta entre las mismas. Sin embargo, según hemos repetido en varias ocasiones, el coeficiente de correla ción de la población no suele ser conocido, ya que ello exigiría examinar todos los datos. Debemos contentarnos con estimar el coeficiente de correlación poblacional a partir de los datos de una muestra. Sabemos que el estadístico

que aprendimos a calcular en el capítulo 6, es un estimador del coeficiente de correla ción de la población, y conocemos también los siguientes resultados, en que nos apoyaremos para sacar inferencias: 1 ) El estadístico r se distribuye según una normal

471

N

4n~i 2) El estadístico t =

"'

se distribuye según una t de Student con (n-2) gl.

14.7.1. Contraste basado en la t de Student Habitualmente, el interés del investigador se centra en averiguar si la correlación proporcionada por la muestra es significativa o sólo se debe a fluctuaciones del muestreo debidas al azar. Se trata de hacer el contraste de la hipótesis nula H„ = p = 0 con la hipótesis alternativa //, = p *0. Utilizaremos el estadístico /

que se distribuye según una t de Student con

-ir? n-2 grados de libertad. Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo 14.7 Un empresario realiza un estudio comparativo de los gastos que ha venido reali zando en publicidad en las distintas cadenas de televisión y de las ventas de sus productos durante diez semanas, obteniendo los siguientes resultados (expresados en miles de pesetas): Publicidad

Ventas

25 30 20 25 35 40 45 30 25 40

450 500 430 480 520 550 600 460 460 500

Al empresario le interesa averiguar si existe alguna relación de tipo lineal entre las

472

inversiones en publicidad y el incremento de ingresos por ventas a partir de lo que ha sucedido durante las diez semanas, y, en el caso de que exista esa relación, desearía conocer cuál es el grado de intensidad de la misma. Para ello, partiendo de los resultados que acabamos de enunciar, podemos utilizar el estadístico

para contrastar la hipótesis nula H„=p=0

con la hipótesis alternativa H,= p*0 Con los datos de la muestra, se obtiene una estimación del coeficiente de correla ción m„ 342'5 0V1 s,s> ~776-48'6 Este resultado señala una fuerte correlación lineal en el caso de la muestra. A partir de él, hay que averiguar si se puede concluir lo mismo para toda la población, es decir, si la inversión en publicidad en televisión lleva consigo un incremento en las ventas de los productos anunciados. Para el valor de r=0'91. el estadístico t toma el valor particular rj^2

4U?

2'574 0'172

14'97

Las tablas de la t de Student. para una prueba bilateral, con 8 gl y un nivel de significación a=0'05. proporciona un valor crítico Ws=2'306 Como t=14'97>2'306. se rechaza la hipótesis nula, aceptando que hay razones para pensar que el coeficiente de correlación lineal de la población es distinto de cero, o lo que es igual, que existe correlación entre la inversión en publicidad y las ventas de los productos anunciados. Hemos utilizado el hecho de que el estadístico t sigue una distribución t de Student. Sin embargo, para realizar el contraste del coeficiente de correlación lineal, no necesitamos hacer uso del estadístico, ya que existen unas tablas de correlación debidas a Pearson (A. 10 en el apéndice A). Para N-2 gl y un nivel de significación a, proporcionan el valor crítico, con el que se debe comparar el valor r obtenido a partir de la muestra. Si el valor absoluto de r es mayor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula; en otro caso, se acepta.

473 Volviendo al ejemplo 14.7, si tomamos un nivel de significación a=0'05. la tabla A. 10. para una prueba bilateral y N-2=8 gl. proporciona un valor crítico r=0'632. Como el valor de la estimación del coeficiente de correlación es r=0'91>0'632, se rechaza la hipótesis nula, aceptando que efectivamente se da en la población una correlación lineal entre la cantidad que se invierte en publicidad y la recaudación por ventas, que coincide con el resultado que hemos obtenido antes.

14.7.1.1. Potencia del contraste Para determinar la potencia del contraste, debemos establecer una hipótesis alter nativa específica. Consideremos como hipótesis nula H„ = p =0 y como hipótesis alternativa H,=p=pr Como índice de discrepancia, sirve el propio valor específico del coeficiente de correlación, p,. Si tomamos como función del tamaño de la muestra

f(n) = yÍfTl el factor de equilibrio será: 5 =Vf(n)= p,y[Ñl Supongamos que, en el ejemplo 14.7, contrastamos el valor específico concreto para la hipótesis alternativa

Entonces, el valor del factor de equilibrio es 8 = 0'7S'j8 = 272 Al valor 8=2'12. para una prueba bilateral y un nivel de significación a=0'05, corresponde, en la tabla A.7. un valor de la potencia de 0'57. La potencia obtenida supone que es 0'57 la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, o lo que es igual, la probabilidad de cometer error de tipo II es 0'43. Un valor de la potencia de 0'57 para contrastar el coeficiente de correlación lineal, es considerado suficientemente grande en la mayoría de los campos de la investiga ción. Si se desea aumentar la potencia, habrá que modificar alguna de las variables, como puede ser el tamaño de la muestra.

474

14.7.1.2. Determinación del tamaño de la muestra Si estamos interesados en determinar el tamaño muestral más adecuado para con trastar la hipótesis nula con la alternativa H,= p,=0'80 con el fin de conseguir una potencia de 0'70, en una prueba bilateral con un nivel de significación a=0'05. teniendo en cuenta que

5 = p,JÑ^H resulta /

5

8-

Pl

Pi

La tabla A. 7, para a=0'05 y una potencia de 0'70, nos proporciona el valor 8=2'5. Entonces 2'52 N = -—;+I = lI 0'8Luego se necesita una muestra de tamaño 1 1 para conseguir una probabilidad 0'70 de rechazar la hipótesis nula, si el valor de p, es 0'8 (ó -0'8, puesto que el contraste es bilateral).

14.7.2. Coeficientes de determinación y de no alineación El coeficiente de correlación lineal p nos proporciona una medida de la relación lineal entre dos variables X e Y, que se estima a partir del coeficiente de correlación muestral r. Cuando r toma valores entre - 1 y 0 ó entre 0 y 1 , por ejemplo 0'4 y 0'8, no se puede interpretar este valor diciendo que 0'8 señala una correlación dos veces mayor que 0'4; sólo se puede afirmar que, en ambos casos, hay correlación positiva, siendo algo mayor en el segundo. En cambio, el cuadrado del coeficiente de correlación muestral, r, que recibe el nombre de coeficiente de determinación muestral. sí representa la proporción de la variación debida a la regresión de Y en x. En efecto: ,- s'„ s'„ 1 SCR S',s'v

í"¡ íi

«i

Esta expresión nos muestra cómo el coeficiente de determinación muestral repre senta la proporción de la variación total de los valores de Y que se pueden explicar por una relación lineal con los valores de X.

475

Por lo tanto, si r=0'8, es r=0'64, y podemos afirmar que el 64% de la variación total de los valores de Y en la muestra se debe a una relación lineal entre los valores de X e Y. También es útil su complemento, 1-r, llamado varianza residual o coeficiente de no alineación, que representa la proporción de la variación de Y que no es explicada por la relación lineal con los valores de X.

14.7.3. Contraste del coeficiente de correlación basado en el análisis de la varianza Realizar el contraste de la hipótesis nula Ho = p, = p, con la hipótesis alternativa //, = p, * p2 es equivalente a realizar el contraste de la hipótesis Ho m p =0 con la alternativa //, = (3 * 0 . Podemos utilizar, por lo tanto, los métodos empleados para estudiar la linealidad del modelo. Además, si tenemos en cuenta la relación: SCR/I SCE/(n-2)

r2sl/l (l-r)s;/(n-2)

r

(l-r)/(n-2)

llegamos al contraste (22) (l-r)/(n-2) que coincide con el que encontramos para el coeficiente de regresión, aunque ahora aparece como cociente del coeficiente de determinación (dividido por 1 gl) entre la varianza de los residuos (dividida por n-2 gl). Se utiliza, por tanto, para contrastar la variación debida al modelo postulado con la variación debida al error. Ejemplo 14.8 La siguiente tabla recoge las puntuaciones (X) obtenidas por 12 alumnos en un test de inteligencia y sus calificaciones medias (Y) de final de curso. Test (X)

7

9

4

7

4

6

9

5

2

3

4

6

C. final (Y)

4

4

3

6

2

8

6

7

3

6

5

6

Veamos si se puede aceptar la hipótesis de que no hay una relación lineal entre las dos variables. Solución: Se trata de contrastar la hipótesis nula H. = p=p, con la hipótesis alternativa Ho = p, * p2.

476 Siguiendo la técnica del análisis de la varianza, debemos calcular las sumas de cuadra dos, sus grados de libertad y los cuadrados medios. A) Sumas de cuadrados: SCT = S y, - -—— =356- — = 35'66 ' N 12 b=

Nlx,yr(lx,){ly) 12x361-66x62 ; --,— = — = (Y36 Nlx:-{Ix,y 12x418-66-

(Ix,)(lv) 66x62 T„ = lx,yr- = 361—^ = 20 N 12 SCR = bT„=0'36x20 = 72 SCE = SCT - SCR = 35'66 - 77 = 28'46 B) Cuadrados medios: SCR MCR =

= 7'2

SCE 2'846 MCE = —- = —— = 2'846 n-2 10 C) Estimador: F=

MCR MCE

72 : 2'529 2'846

Si elegimos un nivel de significación a=0'05, el valor crítico es FooS i M =4'96. Como F=2'529<4'96, se acepta la hipótesis nula, y, por tanto, que el coeficiente de correlación es cero, lo que supone que no existe una relación lineal entre las puntua ciones del test de inteligencia y las calificaciones finales. Los datos se recogen en la siguiente tabla resumen: Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

Regresión

72

1

72

Error

28'46

10

2'846

Total

35'66

12

Contraste

F=2'529

477

14.8. Contraste de la diferencia de coeficientes de correlación Hay situaciones en que el investigador tiene la necesidad de contrastar la signifi cación de la diferencia entre dos valores del coeficiente de correlación obtenidos a partir de dos muestras independientes. La hipótesis nula consiste en establecer que no hay diferencia alguna entre los parámetros de las poblaciones:

y la hipótesis alternativa será: H,= p,* p. El contraste se lleva a cabo utilizando la transformación Z de Fisher, que es un estadístico obtenido a partir de r mediante una transformación, cuyos valores apare cen tabulados en la tabla A.1 1 del apéndice A. El error típico del estadístico Z de Fisher es estimado por /

Ejemplo 14.9 Supongamos que hemos extraído muestras independientes para estudiar la rela ción entre dos variables X e Y. La primera muestra, de tamaño 100, nos proporciona un coeficiente de correlación ^=0'8. y la segunda, de tamaño 130. da un coeficiente de correlación r,=0'7. ¿Se puede concluir que hay una diferencia significativa entre los dos coeficientes? Solución: Para contrastar la hipótesis nula //„ = p, = p , de que «no hay diferencia alguna entre los dos parámetros poblacionales», tenemos que transformar cada coefi ciente en el correspondiente estadístico Z de Fisher. La tabla A. 1 1 nos proporciona: parar^S. Z=1'099 parar,=0'7. Z,=0'867 El error típico de la diferencia Z,-Z, viene dado por SzrZi = \S/' + S/:

1 ComO Sy =

r——

resulta:

rr—í

H \lh-3

T ti2-.

478 Entonces, el estadístico que se utiliza para el contraste es:

z=

Z,-Z¡ 1 . - 1 + \n.i-3

n:-3

En el ejemplo que nos ocupa, se obtiene: 1'099- 0'867

0'232

\97 + 127 Por ser Z=1'72 menor que 1 '96, que es el valor crítico de la normal para un nivel de significación a=0'05 y una prueba bilateral, la conclusión es que la diferencia no es significativa.

14.9. Ejercicios propuestos 14.1. Se pretende averiguar la relación existente entre la riqueza de lenguaje de los jóvenes y los ingresos económicos (en miles de ptas.) de sus padres. En una muestra seleccionada al azar de 13 jóvenes, se obtuvieron los siguientes resultados: Palabras X

36

18

15

13

26

26

28

13

31

13

38

18

40

Ingresos Y

190 155 190 160 180 165 175 170 185 140 205 155 215

1 ) Ajustar la recta de regresión muestral. 2) Realizar un contraste sobre la linealidad del modelo. 14.2. Se han medido las alturas (X) de 15 padres y las alturas (Y) de sus primogénitos. La siguiente tabla recoge los resultados (expresados en centímetros): Altura padre X 182 172 177 165 160 170 162 165 187 175 167 162 185 182 167 162 Altura hijo Y 177 167 172 167 170 177 167 172 182 170 177 160 182 177 167 167

1 ) Ajustar la recta de regresión de Y sobre X. 2) Hallar el coeficiente de correla ción. 3) Realizar un contraste para ver si es posible aceptar la existencia de una relación lineal entre las alturas de padres e hijos. 14.3. Con los datos del ejercicio 14.2., hallar: 1) un intervalo de confianza para el coeficiente de regresión; 2) un intervalo de confianza para el término independiente

479 (a) de la recta de regresión; 3) los límites del intervalo de predicción de una respuesta para las alturas de los hijos cuyos padres midan 162 cm. 14.4. El gabinete psicopedagógico de un centro escolar estudia la relación entre las calificaciones medias(Y) de los alumnos del centro y su grado de ansiedad(X). Una muestra de alumnos del centro elegida al azar ha proporcionado los siguientes datos:

Grado de ansiedad

37 30 26 23 18 16 10 10 12 14 22 19 28 27 16 22 18

Calificación media

5

6765997865

8

3

6566

1 ) Ajustar la recta de regresión muestral de Y sobre X. 2) Estimar la calificación que se puede esperar en un alumno con 17 puntos de ansiedad. 3) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la respuesta media a una puntuación 17 en ansiedad. 14.5. Con los datos del ejercicio 14.2., contrastar la hipótesis de que el coeficiente de correlación de la población es 0'7. 14.6. Se calculó el coeficiente de correlación de las calificaciones en Latín y Griego de un grupo de 30 alumnos, resultando ser 0'40. ¿Se puede llegar a la conclusión de que el coeficiente de correlación poblacional es distinto de cero al nivel de significación del 0'05? (Utilizar el contraste de la t). 14.7 Dos muestras de tamaños n,=25 y n,=32 han dado como coeficientes de correla ción r^0'6 y r,=0'45. ¿Se puede decir que hay una diferencia significativa entre los dos coeficientes de correlación al nivel del 1%? 14.8 Una muestra de tamaño 24 ha dado como coeficiente de correlación un valor de 0'3. ¿Es posible deducir que el coeficiente de correlación de la población es cero al nivel del 5%? (Utilizar la tabla de valores críticos de Pearson). 14.9. Determinar el tamaño mínimo que debe tener una muestra para poder afirmar que un coeficiente de correlación de 0'4 difiere de cero significativamente para un nivel de 0'05 y una potencia de 0'75? 14.10. Una sustancia química, al ser sometida mediante un proceso industrial a dife rentes temperaturas, dio las siguientes cantidades: Temperatura IX) Cantidad (Y)

l'O TI

1'2 1'3

1'4 1'5

1'6 17 1'8 1'9 2'0 2'1 2'2 2'3

103 9'0 107 ll'O 117 11'1 10'8 12'4 1T5 11'4 127 12'9 13'4 127

480 1) Determinar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. 2) Hallar la cantidad promedio que se producirá cuando la temperatura sea de 1 '75. 3) Median te el análisis de la varianza, realizar el contraste H„ = P =0 frente a la hipótesis alternativa H m p *0. 14.1 1. Para los datos del ejercicio 14.10., dibujar la línea de regresión y las bandas de confianza del 95% para la respuesta media. 14.12. En un laboratorio de Química, se llevó a cabo un experimento consistente en medir las cantidades de una sustancia compuesta que se disuelven en 100 cm' de agua a diferentes temperaturas, obteniéndose los siguientes resultados: Temperatura (X) 10 20 30 40 50 60 70

Cantidad (Y) 13 26 35 40 49 57 67

14 24 33 46 51 57 59

12 27 33 45 48 59 66

14 23 37 45 52 61 68

1) Determinar la recta de regresión. 2) Estimar la cantidad que se disolverá en 100 cm' de agua a 45°C. 3) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la respuesta media a una temperatura de 45°C. 4) Determinar el intervalo de predicción del 95% para la cantidad que se disolverá a una temperatura de 45°C. 14.13. Estudios sobre la posible relación entre la riqueza de léxico de los jóvenes y los ingresos familiares han proporcionado para una muestra de 120, un coeficiente de correlación de 0'45, y, para otra muestra de 230, un coeficiente de correlación de 0'3 1 . 1) ¿Se puede concluir que hay una diferencia significativa entre los dos coeficien tes de correlación? 2) ¿Puede admitirse como cierto el valor que proporciona la primera muestra? 14.14. Con los datos del ejercicio 14.12. hacer un contraste sobre la linealidad del modelo. 14.15. El coeficiente de correlación de una muestra de tamaño 25 es r=0'8. Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede rechazar la hipótesis de que el coeficiente de correlación de la población sea 0'55?

481 14.16. Para los datos del ejercicio 14.10.. determinar un intervalo de confianza del 957c para la cantidad correspondiente a una temperatura de 1 '75. 14.17. Controlando la densidad de corriente de un cátodo y modificándola en tres niveles, se midió la presión electrolítica del hidrógeno, obteniéndose los siguientes resultados: Densidad (mA/cnr)

Presión (atm)

0'5 0'5 0'5

85'6 77'5 9T8 140'4 118'3 155'9 209"8 156'9 2017 251'4 272'6 199'5 357'8 405.8 366'2

ro ro ro 1'5 T5 1'5 2'0 2'0 2'0 2'5 2'5 2'5

1) Determinar la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. 2) Realizar un contraste sobre la falta de ajuste.

CAPITULO 15 CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS Y DE DISTRIBUCIÓN LIBRE

15. 1 . Consideraciones previas Los contrastes paramétricos tratan de estimar algún parámetro de la población, y su fundamento radica en la suposición de que la muestra que se utiliza para la estima ción, procede de una población normal. Existen otros métodos estadísticos alternativos que. bien porque no requieren una tal estimación del parámetro, bien porque no suponen la normalidad de la población, reciben el nombre de métodos no paramétricos o de distribución libre. Aunque se puede precisar la diferencia entre métodos no paramétricos y métodos de distribución libre, sin embargo no se suelen hacer distinciones entre uno y otro. En realidad, la mayor parte de las pruebas no paramétricas son de distribución libre y, recíprocamente, la mayoría de las pruebas de distribución libre son pruebas no paramétricas. Hemos realizado ya alguna prueba de distribución libre en aplicaciones de la dis tribución X2 para resolver problemas de bondad de ajuste, independencia y homoge neidad. Los métodos no paramétricos se utilizan fundamentalmente cuando los datos se dan en una escala ordinal o por rangos, que es una forma muy habitual de facilitar los resultados en algunas investigaciones científicas y técnicas.

15.2. Ventajas e inconvenientes de las pruebas no paramétricas El uso de los métodos no paramétricos tiene ciertas ventajas y también sus incon venientes, que conviene tener presentes, principalmente en aquellas situaciones en que son aplicables ambos.

484 Recordemos que, cuando las muestras son grandes, los métodos paramétricos se pueden aplicar aún en el caso en que la población no sea normal, dando resultados fiables. Analicemos algunas de las ventajas e inconvenientes que se aprecian en los mé todos no paramétricos: 1) No se exige la normalidad de la distribución de la población de donde se extrae la muestra. 2) Las pruebas no paramétricas son más simples y fáciles de aplicar. Los estimadores que se utilizan requieren un nivel menos amplio de conocimientos matemáticos, y sólo son necesarios cálculos muy sencillos como ordenar, contar o sumar. 3) Cuando el tamaño de la muestra no es muy grande, los cálculos en las pruebas no paramétricas son más rápidos. 4) Los contrastes no paramétricos son aplicables a una clase más amplia de pobla ciones, pues requieren menos precisión en las hipótesis. 5) La dificultad más importante que presentan los métodos no paramétricos es que no aprovechan toda la información que proporciona la muestra, por lo que una prueba no paramétrica resulta menos eficiente que la correspondiente prueba paramétrica. 6) Cuando los dos métodos son aplicables, la prueba paramétrica resulta más potente que la correspondiente prueba no paramétrica. Una prueba no paramétrica requiere un tamaño muestral mayor que una prueba paramétrica. Con relación a este último aspecto, se introduce el concepto de eficiencia de la potencia de la prueba no paramétrica (Ep) como la razón entre el tamaño muestral de la prueba paramétrica (Np) y el tamaño muestral de la prueba libre (N, ), expresado en porcentaje, es decir: Er = 100—

(1)

Supongamos que, para realizar un contraste sobre diferencia de medias, podemos aplicar una prueba de distribución libre además de la prueba paramétrica. Si, para un nivel de significación a y una potencia 1-B predeterminados, la prueba paramétrica requiere un tamaño muestral de Np=125 y la prueba no paramétrica un tamaño muestral de NL = 150, la eficiencia de la potencia de la prueba no paramétrica es 125 EP = 100jJq=83% Cuando se cumple la condición de normalidad, la eficiencia de las pruebas no paramétricas es inferior al 100%. Como consecuencia de estos razonamientos, podemos hacer el siguiente resumen: A) Cuando sea aplicable a un mismo número de datos tanto una prueba paramétrica como una no paramétrica, se debe utilizar la prueba paramétrica.

485 B) Si se cree que la población no es normal, se debe emplear la prueba no paramétrica. C) Cuando se necesite una aproximación rápida o no haya necesidad de tener en cuenta la potencia de la prueba, se puede elegir una prueba no paramétrica.

15.3. Pruebas basadas en rangos Las pruebas basadas en rangos se utilizan cuando los datos reflejan la posición relativa de los individuos de la población, dando su número de orden con respecto a dos variables, sin dar los valores que toman éstas. El problema que se plantea es el de estudiar las diferencias de localización entre las poblaciones a partir, no del conocimiento de los valores que toman las variables, sino del orden en que están dados sus valores. En los contrastes paramétricos, cuando hablábamos de localización, nos refería mos al valor de la media de forma que, al afirmar que «las puntuaciones de una distribución eran mayores que las de otra», se entendía que la media de la primera era mayor que la media de la segunda. En cambio, cuando los datos vienen dados por rangos, decir que «las puntuacio nes de una distribución son mayores que las de otra», significa que, si vamos obte niendo, uno a uno, datos de ambas poblaciones, más de la mitad de las veces, el valor del dato que se obtiene en la primera será mayor que el correspondiente de la segun da. En el estudio de las pruebas basadas en rangos, vamos a distinguir dos posibles situaciones, según sean las muestras independientes o no. Para muestras independientes, estudiaremos la prueba de la suma de rangos en el caso de dos muestras, y la prueba H de Kruskal-Wallis, que se emplea para comparar la localización de más de dos muestras. Para muestras dependientes, veremos la prue ba de Wilcoxon. 15.3.1. Prueba de la suma de rangos La prueba de la suma de rangos es aplicable a muestras extraídas independiente mente, que pueden ser de diferente tamaño, pero siempre que éste sea mayor o igual de 6 en una muestra y mayor o igual de 8 en la otra. Si los tamaños de las muestras son más pequeños, se utiliza la prueba U de MannWhitney, que requiere un método distinto y unas tablas de gran precisión. La prueba de la suma de rangos es sencilla de aplicar. Al trabajar con números naturales, se cumplirán las siguientes propiedades que simplifican las operaciones: I. La suma de los N primeros números naturales (suma de rangos de 1 a N) es

486 *

N(N + 1)

X*. =

2

(2)

Esta fórmula es muy conocida; se trata de la suma de los N primeros términos de una progresión aritmética: 1+2+3+...+N. Se llama ordinal medio (R) de N observaciones a la media del conjunto de los N primeros números naturales. II. El ordinal medio de N observaciones es -

Enefecto:

N+l

^ = ^r = ^- = K±l

Esta última propiedad nos dice que, si hay 18 observaciones, el ordinal medio es 19/2=9'5. III. Si extraemos Ni datos de un conjunto de N, la suma de ordinales esperada (TE) eS: - N,(N+1) TE=N,R = 2 (4) De este modo, si tenemos N=18 ordinales y elegimos 3 aleatoriamente, la suma de ordinales esperada es T, = 3-9'5 = 28'5 Si se tienen N ordinales, y se eligen, de entre ellos, N, al azar, se obtiene la suma T de los N, ordinales. Si se eligen otros N, ordinales, se obtendrá otro valor para la suma T,... Luego, para cada muestra, la suma T de ordinales es un estadístico, para el que se cumple la siguiente propiedad: IV. La suma T de ordinales es un estadístico que se distribuye según una normal de media u=TH y de desviación típica ¡N,N2(N-I) G'=V—ir~

(5)

siendo N =N-N . Este último resultado nos permite utilizar el estadístico T, cuya distribución es normal, para realizar el contraste de hipótesis. Si nos dan dos muestras independientes, el contraste va a consistir en comparar la suma de los ordinales de una de ellas (T^ con la suma total esperada (TF). La estrategia que sigue este contraste consiste en: 1) Seleccionar dos muestras independientes de tamaños N y N .

487 2) Reagrupar las N=N|+N, observaciones en orden ascendente, asignando a cada observación un rango de 1 a N. 3) Elegir uno cualquiera de los dos grupos, por ejemplo el primero, y establecer la hipótesis nula

(la suma de los ordinales del grupo elegido es igual a la suma de ordinales espera da para dicho grupo). , T,-TE 4) Estimar el valor del estadístico Z = o, Fijado un nivel de significación a y un tipo de prueba (bilateral o unilateral), si el valor que se obtiene para Z cae fuera de la región crítica, se rechaza la hipótesis nula, y, por tanto, se admite que la suma de los ordinales del primer grupo es distinta de la suma de los ordinales esperada por azar, lo que nos lleva a la conclusión de que hay una diferencia significativa en la localización de ambas poblaciones. Si la estimación de Z fuera positiva y el contraste significativo, llegaríamos a la conclusión de que los rangos de la primera población serían superiores a los rangos de la segunda, lo que significa que la mediana de la primera población es superior a la mediana de la segunda. Aquí, por tanto, la mediana juega un papel importante como medida de la localización. Ejemplo 15.1 La siguiente tabla contiene las puntuaciones obtenidas por 25 estudiantes en un test, las cuales se han acomodado al azar en dos grupos, de 11 y 14 puntuaciones, respectivamente: Grupo 1

51

76

54

55

80

60

71

76

57

74

60

Grupo 2

63

54

85

98

%

77

78

66

97

91

91

63 82

52

Vamos a realizar un contraste para averiguar si las dos muestras proceden de la misma población. Solución: Si observamos los datos de ambas muestras, cabe pensar que las poblaciones no son normales. De ahí que nos planteemos un contraste no paramétrico como la prueba de la suma de rangos. Para realizarlo, ordenamos las N=N +N =14+1 1=25 observaciones por rangos, asig nando a la puntuación más baja el rango 1, y el rango 25 a la más alta. Si aparecen observaciones repetidas, se reemplazan éstas por su rango medio.

488 Después de ordenar por rangos, tenemos el siguiente cuadro, en el que los rangos 14'5, 3'5, 7'5 y 9'5 no vienen expresados por números naturales, ya que corresponden a observaciones repetidas, que han sido reemplazadas por su rango medio: Grupo 1 X

R

51 76 54 55 80 60 71 76 57 74 60 63 82 52

1 145 35 5 18 75 12 145 6 13 75 95 19 2

Grupo 2 Y R 63 54 85 98 96 77 78 66 97 91 91

95 35 20 15 23 16 17 11 24 215 215

Haciendo operaciones, resulta: N.=14.

T,=133.

N =11.

T=192.

N= 14+ 11=25,

T+T =133+192=325. que coincide con N(N+1 )/2=325. Vamos a realizar el contraste utilizando la suma de rangos del primer grupo, T=l 33. La suma de ordinales esperada para el primer grupo es:

Tf =

N,(N + 1) 14 26 2 = ~~2- = l82

y la desviación típica de la suma de ordinales del primer grupo (que coincide siempre con la del segundo) es: ¡14 II 24 = .J308 = 17'55 La estimación del estadístico utilizado para el contraste es: T, - T, Z = o

133 - 182 17'55 = -2'79

489 Para un nivel de significación a=0'05 y una prueba bilateral, el valor crítico de la normal tipificada es z^l '96. Como el valor estimado de Z es -2'79 < -1 '96, se rechaza la hipótesis nula, conclu yendo que las dos muestras proceden de poblaciones distintas. El contraste se podría haber llevado a cabo utilizando la suma de ordinales del otro grupo, Tr El resultado habría sido el mismo, puesto que ahora T2=192yTE=(llx26)/2=143 con lo cual

z=

192 - 143 ]7'55 = 2'79

es decir, se obtiene el valor opuesto al que teníamos antes, lo que conduce a la misma solución. La diferencia está en que ahora hemos utilizado el grupo de puntuación más alta. Eficiencia de la prueba Cuando las poblaciones son normales, la prueba paramétrica correspondiente a la que acabamos de realizar, es la prueba t de Student para diferencia de medias, ya que se trata de pequeñas muestras. Si las muestras son pequeñas, la eficiencia de la potencia de la suma de ordinales es de un 92%, lo que significa que, con un 92% de los datos, se llegaría al mismo resultado en un contraste paramétrico, si las poblaciones se distribuyen normalmente. Intensidad de la relación Realizado el contraste, el hecho de que resulte significativo nos dice que hay una diferencia entre las localizaciones de las dos poblaciones. Sin embargo, nada sabemos acerca de la intensidad de la relación entre las localizaciones. Es interesante obtener una medida de dicha intensidad. El coeficiente rf., que proporciona una medida de la relación entre la variable dicotómica (pertenecer o no al grupo) y la variable continua, que ha sido ordenada de 1 a N, se define como

2(R,-R.) (7) siendo R i la media de los rangos del grupo 1 , R , la media de los rangos del grupo 2, y N el número de observaciones. Con los datos del ejemplo 15.1, se obtiene: rl-

2(9'5-17'45) 25 -°'63

490 15.3.2. Prueba de Kruskal-Wallis La prueba de Kruskal-Wallis. también conocida como prueba H de Kruskal-Wallis, se utiliza para comparar la localización de más de dos muestras independientes. Su fundamento es el mismo del análisis de la varianza unidireccional para contras tes paramétricos, con la ventaja de que. al trabajar con números enteros, los cálculos van a resultar más sencillos. La prueba de suma de rangos, que hemos analizado en el apartado anterior, es el caso particular de la prueba de Kruskal-Wallis cuando sólo hay dos grupos. Esta prueba es utilizada con frecuencia, ya que son muchas las ocasiones en que el investigador no quiere molestarse en hacer una prueba previa de normalidad. Se pretende contrastar la diferencia de localización de k poblaciones por medio de k muestras independientes de tamaños respectivos N, i=l,2,....k. El proceso que se sigue es análogo al de la suma de rangos, y consiste en: 1 ) Acomodar, en primer lugar, las observaciones de todas las muestras en orden ascendente, sustituyéndolas por el rango correspondiente ( 1 para la observación más baja y N para la más alta, siendo N=N,+N,+...+Nk). Cuando aparecen observaciones repetidas, se les asigna a todas ellas su rango medio. Vamos a designar por T a la suma de los rangos correspondientes a las N obser vaciones de la muestra i. 2) Calcular las sumas de los cuadrados intragrupo (SCA) de los rangos. La fórmu la que conocemos del capítulo 13. se simplifica en el caso de rangos, quedando: T. T. Tl N(N + ,y SCA = — + — +...+ — N, N? Nk 4

,X.

Se utiliza, para el contraste, el estadístico H de Kruskal-Wallis: 12SCA

La hipótesis nula va a ser: Hn=«las k poblaciones tienen la misma localización» Entonces, bajo la hipótesis nula, el estadístico H se distribuye aproximadamente como una x2 con k-1 grados de libertad. Fijado un nivel de significación a y elegido el tipo de prueba, si el valor estimado de H es mayor que el valor crítico x\lV., proporcionado por la tabla A.5 del apéndice, se rechaza la hipótesis nula, y, en el caso contrario, se acepta. Para utilizar la prueba de Kruskal-Wallis, habrá que tener en cuenta si el tamaño de alguno de los grupos es muy pequeño.

491 Como norma, si el número de grupos es 3, cada grupo deberá tener al menos 5 observaciones. Cuando haya más de 3 grupos, se puede aplicar la prueba con 2 ó más observaciones por grupo. En cuanto a la eficiencia de la potencia, cuando se pueden utilizar los dos tipos de pruebas, la eficiencia de la prueba H de Kruskal-Wallis con respecto a su análoga F del análisis de la varianza unidireccional, es del 95% para muestras grandes y del 90% para pequeñas muestras. Ejemplo 15.2 Para probar tres proyectos de motor, una industria del automóvil midió la potencia media desarrollada por cada uno de ellos a partir de tres muestras, cuyos datos están recogidos en la siguiente tabla: Grupo 1

Grupo 2

34'2 29'6 33'8 33' 1 30'5 28'4

28'9 28'2 33'2 279 30'9 29'5 29'2

Grupo 3 29'2 28'3 276 276 33'5 30' 1 28'6 28'8 26'4 276

Se trata de aplicar la prueba de Kruskal-Wallis para ver si se puede considerar que los tres motores desarrollan la misma potencia. Solución: La hipótesis nula es H = «las tres medias son iguales» Para a=0'05, como k=3, el valor crítico será X 2m5 , = 5'991 Para determinar el valor de la estimación de H, en primer lugar, convertimos las 23 observaciones en ordinales, asignando el rango 1 al valor más pequeño, 26'4, y el rango 23 al mayor valor, 34' 2, según se recoge en la siguiente tabla:

492

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

X

R

\

R

X

R

342 29,6 33,8 33,1 305 28,4

23 15 22 19 18 8

28.9 282 332 27,9 30.9 29.5 292

11 6 20 5 17 14 125

292 283 27,6 27,6 335 30,1 28,6 28.8 26.4 27.6

12.5 7 3 3 21 16 9 10 1 3

Tenemos, por lo tanto: N,=6. T=105.

N=7,

T,=85'5.

N=10.

T=85'5

23.24 Comprobamos que T=Ti+T2 + T¡ =

=276

La suma de cuadrados intragrupo es: 1052 85'52 85'52 23 -242 SCA = + —— +... + = 3612'84-3312 = 300'85 6 7 10 4 Entonces H=

12.300'85 = 6'54 23.24

Como la estimación de H. 6'54, es mayor que el valor crítico. 5'991. se rechaza la hipótesis nula, y, consecuentemente, que las poblaciones tengan la misma localización. Cuando la prueba de Kruskal-Wallis resulta significativa, como acaba de suceder, debemos realizar pruebas adicionales, tal como hacíamos en la prueba F del análisis de la varianza, para determinar qué poblaciones son las que difieren entre sí. Vamos a realizar la prueba de suma de rangos para cada pareja de grupos. Esta prueba es una prueba protegida del tipo de la prueba LSD de Fisher. En la práctica, cuando comparemos dos grupos, por ejemplo, el 1 y el 2, prescindi remos del grupo 3. Por tanto, habrá que reasignar de nuevo los rangos, ahora del 1 al 13, en los dos primeros grupos:

493

Grupo 1 X R 34'2 29'6 33'8 33' 1 30'5 28'4

Grupo 2 X R

13 7 12 10 9 3

28'9 28'2 33'2 279 30'9 29'5 29"2

4 2 11 1 8 6 5

Tenemos entonces los siguientes datos: N,=6,

T=54,

N,=7,

T2=37,

T,+T2=54+37=91=(13xl4)/2=61

Para el grupo 1, la suma de rangos esperada es TE=(6xl4)/2=42 y la desviación típica: ¡6-712 . 6'48 Por lo tanto Ti-Te 54-42 Ot ' 6'48

1'85

Como Z=1'85 es menor que el valor crítico z =1'96, concluimos que entre los grupos 1 y 2 no hay diferencia significativa. Si comparamos los grupos 1 y 3, reagrupando los datos, resulta: Grupo 1 X R 34'2 29'6 33'8 33' 1 30'5 28'4

16 10 15 13 12 6

Grupo 3 X R 29'2 28'3 27'6 27'6 33'5 30'1 28'6 28'8 26'4 27'6

9 5 3 3 14 11 7 8 1 3

494

Tenemos ahora los siguientes resultados: N,=6,

T=72.

N=10.

T=64.

T,+T =72+64= 136=(16xl7)/2

Para el grupo 1, la suma de rangos esperada es TE=(6xl7)/2=51 y la desviación típica: ¡6 10 .75 o, = J

— = 8'66

Por lo tanto

Como Z=2'42 es mayor que el valor crítico z¡U= 1 '96. concluimos que resulta signi ficativa la diferencia entre los grupos 1 y 3. Dejamos para el lector la comparación de los grupos 2 y 3. Eficiencia de la prueba La prueba paramétrica que corresponde a la prueba de Kruskal-Wallis. es la prueba F del análisis de la varianza unidireccional. Cuando las muestras son pequeñas, la eficiencia de la prueba H con respecto a la F es del 90%, llegando a ser del 95% para el caso de muestras grandes. Intensidad de la relación La medida de la intensidad de la relación entre el hecho de formar parte de uno de los k grupos y la ordenación de la variable se evalúa mediante el coeficiente H-k + I

ÜÑT

(10)

donde k es el número de grupos y N el número total de observaciones. En el ejemplo 15.2, la medida de la intensidad de la relación viene dada por 6'54-3+l

15.3.3. Prueba de Wilcoxon para dos muestras dependientes Cuando comparamos la diferencia de medias de dos muestras dependientes, pro cedíamos evaluando las diferencias D entre los valores correspondientes, X-Y. de las

495 observaciones, y se contrastaba la hipótesis nula de que «la media de la suma de las diferencias era cero». La prueba de Wilcoxon se aplica también cuando las dos muestras son dependien tes, habiendo, por tanto, una cierta relación entre cada par de observaciones. El proceso consiste en: 1 ) Establecer, como hipótesis nula, que las dos muestras tienen la misma localización. 2) Hallar las diferencias entre cada pareja de observaciones. 3) Eliminar las diferencias que den valor cero, y ordenar de 1 en adelante los valores absolutos de las diferencias que no se hayan anulado. 4) Construir dos grupos, uno con los rangos de las diferencias que resultaron positivas, y, otro con los rangos de las que resultaron negativas. Si las dos poblaciones tuvieran la misma localización, lo que establece la hipótesis nula, un razonamiento sencillo nos llevaría a la conclusión de que el número de dife rencias con signo positivo debería ser igual al número de diferencias con signo nega tivo. Por tanto, bajo la hipótesis nula, la suma esperada de ordinales correspondientes a las diferencias positivas debe ser igual a la suma esperada de los ordinales corres pondientes a diferencias negativas. Ahora bien, como la suma de ordinales esperada es N(N+1)

con lo que la mitad de la suma será U,=

N(N + 1) ' 4

(11)

Entonces, el procedimiento de Wilcoxon consiste en comparar la suma de los rangos correspondientes a las diferencias positivas (T,) con UE. También se llega al mismo resultado si se compara con UH la suma de los rangos que corresponden a las diferencias negativas. El fundamento de la prueba está en el hecho de que tanto el estimador T, como T„ cuando la hipótesis nula es cierta, se distribuyen según una normal de media UE y desviación típica (2N + 1)UE

í El último paso consiste en: 5) Hallar una estimación de

z.T-^

(12)

496 Fijado un nivel de significación a y un tipo de prueba, se determina el valor crítico en la tabla A.3 de la normal tipificada. Si el valor de la estimación de Z cae fuera de la región crítica, se rechaza la hipótesis nula, y, en caso contrario, se acepta. Ejemplo 15.3 La siguiente tabla contiene las puntuaciones obtenidas por 12 personas antes y después de ser sometidas a unas prácticas de adaptabilidad para determinado trabajo: 2a prueba

53

54

40

30

53

60

36

38

59

39

42

40

Ia prueba

47

53

42

26

60

54

38

39

58

36

42

38

Se trata de realizar un contraste para estudiar la influencia de las prácticas de adaptabilidad. Solución: Las dos muestras son dependientes, puesto que se trata de las mismas personas, a quienes se les califica dos veces, luego parece adecuada la prueba de Wilcoxon. Para facilitar los cálculos, situamos, en un cuadro, las diferencias en valor absolu to, la ordenación de éstas por rangos, y los dos subgrupos correspondientes a las diferencias positivas y negativas con sus rangos.

x2

x,

D

R|DI

R+

53 54 40 30 53 60 36 38 59 39 42 40

47 53 42 26 60 54 38 38 56 36 42 38

6 1 -2 4 -7 6 -2 0 3 3 0 2

8.5 1 3 7 10 8,5

8,5 1

R

3 7 10 8.5

3

3

5.5 5.5

5.5 5.5

3

3

Tenemos los siguientes resultados: N=7,

T=39,

N=3,

T=16,

T,+T=39+16=55=(10x11)/2

497 La mitad de la suma de los ordinales esperada es t/E=(10xll)/4=27,5 y la desviación típica: ¡(2 10—1)-UE + 6


6

9'81

Luego la estimación de Z es

z=

39 -27'5 9'81

=l'n

Si elegimos un nivel de significación a=0'05 y un tipo de prueba bilateral, el valor crítico es z a/2 =1'96. Al ser Z=1'17<1'96, el contraste no es significativo, por lo que llegamos a la conclusión de que las prácticas de adaptabilidad no ejercen una influencia significati va en los resultados. Se llegaría al mismo resultado, si se hubiera elegido T,. Eficiencia de la prueba La prueba paramétrica que corresponde a la prueba de Wilcoxon es la prueba t para observaciones apareadas. Cuando las muestras son pequeñas, la eficiencia de la prueba H con respecto a la t es del 90%, llegando a ser del 95% para el caso de muestras grandes. Intensidad de la relación La medida de la intensidad de la relación entre el signo y el ordinal correspondien te la proporciona el coeficiente 4(T,-T2)

Puesto que la prueba de Wilcoxon no ha resultado significativa, carece de sentido calcular este coeficiente en el ejemplo 15.3.

15.4. Otras pruebas Al pasar de una prueba paramétrica a una prueba no paramétrica basada en ran gos, hemos observado cómo hay una pérdida de información, que lleva consigo una pérdida de potencia.

498 Por ejemplo, si nos dan las observaciones ...,27,86,87,..., cuando las sustituimos por sus rangos ...,5,6,7,..., se pierde la información de que la primera observación es mucho menor que las otras dos y de la proximidad entre éstas. A pesar de todo, la pérdida de potencia de las pruebas basadas en rangos es pequeña; varía de un 5% para muestras grandes a un 10% para muestras pequeñas. Hay otro tipo de pruebas no paramétricas que, aún siendo de uso muy común, soportan una mayor pérdida de información, teniendo una eficiencia del 70% ó 75%. Vamos a analizar tres de dichas pruebas, dos para muestras independientes, como son la prueba de la mediana y la prueba de rachas de Wald-Wolfowit, y estudiare mos la prueba de los signos para muestras dependientes.

15.4.1. Prueba de la mediana La prueba de la mediana se utiliza para comparar la diferencia de localización de k poblaciones a partir de k muestras independientes, una de cada población, que pue den ser de diferentes tamaños. En la prueba de la mediana, se establece la hipótesis nula H¡=«todas las poblaciones tienen la misma mediana» Se dispone de s muestras independientes, de tamaños respectivos N,,N,,...,N, siendo s>2 y N +N +...+N =N. La prueba se basa en el hecho de que, si dos o más muestras proceden de la misma población, en cada una de ellas la mitad de los valores deben estar por debajo de la mediana y la otra mitad por encima. El proceso que se sigue consiste en: 1) Calcular la mediana combinada de la gran muestra de tamaño N, a la que se denomina gran mediana, y que designaremos por GM. 2) Contabilizar las observaciones que caen por encima de la gran mediana y aque llas otras que son menores o iguales que GM. 3) Con las frecuencias obtenidas en 2), se construye la tabla de contingencia 2 x s, y se efectúa una prueba de independencia por medio de la X¿ del mismo modo que se procedió en el capítulo 12. Si la prueba de la Xj es significativa, se concluye que las k poblaciones no siguen la misma distribución. Ejemplo 15.4 Se ha pasado un test de aptitudes a jóvenes procedentes de tres sectores A, B y C de la población, diferenciados socialmente, obteniéndose las siguientes puntuacio nes:

499

A B C

87 68 77 68 75 69 80 69 82 73 97 93 68 93 76 76 98 7 1 78 89 73 70 82 93 96 87 95 99 75 86 70 98 72 75 97 93 85 78 77 75 92 94 83 83 76 71 75 94 98 78 77 77 73 72 76 84 83 71 72 93 91

Observamos que las muestras están sesgadas, por lo que vamos a realizar la prueba de la mediana. Con este fin, calculamos, en primer lugar, la gran mediana, cuyo valor es: GM=78 La tabla de contingencia con el número de puntuaciones mayores que 78 y meno res o iguales que 78 es:

Mayores de 78 Menores o iguales de 78 Total

A

B

C

Total

13 7

8 14

7 11

28 32

20

22

18

60

Completamos la tabla de contingencia situando las frecuencias esperadas entre paréntesis:

Mayores de 78 Menores o iguales de 78 Total

A

B

C

Total

13 (9'33) 7(10'66)

8(10'26) 14(1173)

7 (8-4) 11 (9'6)

28 32

20

22

18

60

Debemos evaluar el estadístico

donde k=rs, siendo r el número de filas y s el número de columnas, cuya distribución es aproximadamente la de una x2 con (r- 1 )(s- 1 )= 1 x2=2 gl. Para facilitar los cálculos, disponemos los datos en la forma:

500

0¡ 13 7 8 14 7 11

* 9\33 10,66 10,26 11,73 8,4 9.6


(O-E)2 v 1 K

(O.-E^/E

3,67 -3,66 -2,26 2,27 -1,4 1.4

15.46 1339 5,10 5,15 1,% 1.%

144 T25 0'49 0'44 0'23 0.20 3'56

Se obtiene así la estimación X = ^56 Para contrastar si las 3 medianas poblacionales difieren de modo significativo, la tabla A.5 del apéndice C nos proporciona, para un nivel de significación a=0'05, el valor crítico A.y - ¡ros.: = .*5'99 Al ser el valor estimado del estadístico, 3'56, menor que el valor crítico, se acepta la hipótesis nula, y, en consecuencia, que las tres poblaciones tienen la misma localización. Cuando la prueba de la mediana produce un resultado significativo, se deben hacer las comparaciones múltiples necesarias para averiguar entre qué parejas de poblaciones se da esa diferencia. Para ello, se repetirá la prueba de la mediana para cada par de grupos, de modo que, en cada una de las comparaciones se va a obtener un valor distinto para GM. Eficiencia de la prueba Aunque teóricamente se dan unos porcentajes más elevados, en la práctica la prueba de la mediana tiene una eficiencia que va del 65% al 70%, lo cual supone una gran desventaja con respecto a las correspondientes pruebas paramétricas. Intensidad de la relación La intensidad de la relación se puede medir con cualquiera de los coeficientes de contingencia que estudiamos en el capítulo 12. como pueden ser el coeficiente C o el coeficiente 4>c de Cramer. El valor del coeficiente C para los datos del ejemplo 15.4 es

C=

N+X

JJ6 = 0'236 60 + y56

y el valor del coeficiente
501

^N(h-l)

Í601

J

Los dos coeficientes nos indican que la intensidad de la relación entre la pertenen cia a un determinado sector social y la actitud hacia el estudio es pequeña.

15.4.2. Prueba de rachas de Wald-Wolfowit La prueba de rachas se basa en el orden en que se obtienen las observaciones muestrales. De ahí el interés de la prueba para averiguar si realmente una muestra ha sido obtenida aleatoriamente. Con el fin de aclarar los conceptos, vamos a partir de un ejemplo concreto: Ejemplo 15.5 Supongamos que se selecciona una muestra de 1 1 personas a quienes se les pasa un cuestionario para que respondan con un SI(V) o un NO(F), y se obtienen las respuestas en el siguiente orden: VVFFVFVVVFF Cada respuesta es una sucesión de símbolos V y F, que pueden agruparse en subsucesiones formadas por un mismo símbolo de la forma: VV FF V F VVV FF Cada una de estas subsucesiones es una racha. Se puede definir la racha como un conjunto de símbolos idénticos separados por dos símbolos diferentes, o por uno solo cuando está al comienzo o al final de la sucesión. Mediante la prueba de rachas, se divide a la población en dos categorías de datos (SI o NO, VERDADERO o FALSO,...), que son mutuamente excluyentes. Cada catego ría tendrá N| símbolos VyN, símbolos F, siendo N^N^N. En la muestra del ejemplo 15.5, con un tamaño 1 1 , hay 6 rachas: la primera con dos V, la segunda con dos F,... Esta prueba tiene su fundamento en el número de rachas que cabe esperar que se den por puro azar, de tal forma que, si el número de rachas es superior o inferior al que cabría esperar, se rechaza la hipótesis de que la muestra fue seleccionada aleatoriamente. Supongamos que se forman todas las sucesiones posibles con los N, símbolos V y los N, símbolos F, para un total de ^r^+N, símbolos. El conjunto de todas estas sucesiones posibles tiene una distribución muestral, de modo que, si definimos la variable aleatoria

502

R=«número de rachas que se dan en un experimento» este estadístico R, cuando N, y N, son ambos mayores o iguales que 8. se distribuye según una normal de media 2N,N? UK=

, +]

(11)

y vananza , 2N,N:(2N,N,-N,-N:) °R~ (N, + N:f(N, + N?-l)

(12)

Entonces, el estadístico (13) sigue una distribución normal N(z;0,l), que permite construir el contraste de aleatoriedad. El proceso que se sigue para determinar si los datos de la muestra son aleatorios, consiste en: 1 ) Colocar los datos de la muestra en el mismo orden en que fueron tomados. 2) Hallar la mediana y sustituir cada dato por un símbolo (V o F), (+ o -),..., según que su valor sea mayor o menor que la mediana. Los valores que coincidan con la mediana se suprimen. 3) Se considera que la muestra es aleatoria o no según lo sea o no la sucesión de las rachas. Ejemplo 15.6 Se ha consultado a 19 amas de casa sobre el número de días que les dura una bombona de gas butano. Las respuestas aparecen en el orden en que se dieron: 20 3033 13 60 55 65 23 1440 58 18 47 45 15 2154 36 24 ¿Se puede afirmar que se trata de una muestra elegida aleatoriamente? Solución: La mediana de la muestra es 33. valor único que coincide con un dato, por lo que prescindimos de él. Sustituimos ahora cada dato por el signo +, si es mayor que el valor de la mediana. y, por el signo -. si es menor. De esta forma, se obtiene la sucesión: + + + -- + + - + + -- + + El número de rachas es R=9. habiendo 9 símbolos + y 9 símbolos -. La media y la varianza de R son, por tanto:

503

2-9-9 , .

,„

,

2-9-9(2-9-9-9-9)

La estimación del estadístico es: 9-10 ..-0-55 1'79 Para un nivel de significación a=0'05 y una prueba bilateral, el valor crítico es za/2 =1'96. Al ser Z=-0'55>-1'96, se acepta la hipótesis nula, y, en consecuencia, se admite que la muestra ha sido seleccionada aleatoriamente. La prueba de rachas también se puede utilizar para probar la diferencia de localización de dos poblaciones. En efecto, si consideramos dos muestras de tamaños N, y N,, el proceso que se sigue para decidir si las muestras proceden o no de la misma población, consiste en ordenar los N +N valores de las dos muestras en orden creciente. De este modo, obtenemos una secuencia de N,+N, símbolos. Puede suceder que algunos de los valores coincidan, en cuyo caso se ordenan dichos elementos por medio de cualquier procedimiento aleatorio. Si la secuencia resultante es aleatoria, la conclusión es que las muestras provienen de la misma población.

15.4.3. Prueba de los signos La prueba de los signos se utiliza con muestras dependientes, y necesita menos información aún que la prueba de Wilcoxon. La prueba de Wilcoxon se basaba en los ordinales de las diferencias entre cada par de valores asociados de la muestra, mien tras que la prueba de los signos sólo va a tener en cuenta el signo de esas diferencias. Se prescindirá de aquellos pares cuya diferencia sea cero, con lo que se reduce el tamaño de la muestra. Se establece entonces la hipótesis nula: H, =«la mediana de las diferencias entre cada pareja de valores de las muestras es cero». Si la hipótesis nula se satisface, el número esperado de signos positivos debería coincidir con el número esperado de signos negativos. Para realizar la prueba de los signos, por tanto, necesitamos las frecuencias espe radas, que, de ser cierta la hipótesis nula, serán N/2, y compararlas con las frecuencias observadas (número de signos + ó -). Luego el contraste se lleva a cabo mediante la %2 con una sola variable que presenta dos modalidades (+ y -). Por ello, se toma como estadístico:

504

X —V

(14)

donde f es el número de diferencias positivas, f el número de diferencias negativas, y N el número total de observaciones, después de haber eliminado los casos en que las diferencias se anulaban. Si la estimación que se obtiene para el estadístico es mayor que el valor crítico X2005 , se rechaza la hipótesis nula, y, por tanto, que las dos muestras tienen distribu ciones distintas. Ejemplo 15.7 Un profesor de Estadística piensa que mejorarán las calificaciones SAT de sus alumnos en 50 puntos si realizan prácticas de ordenador con un paquete informático. Para realizar el contraste, selecciona una muestra de 16 alumnos, y les hace una prueba previa y otra posterior a las prácticas de ordenador, obteniendo los siguientes resultados: Previa

630 62 1 552 530 742 525 480 545 624 690 750 503 530 730 720 624

Post.

670 702 57 1 584 72 1 570 480 634 624 670 794 58 1 610 725 720 624

Este ejemplo presenta una pequeña variante, ya que la hipótesis nula no es que la mediana de las diferencias entre pares de datos sea cero, sino que sea 50. Por ello, hallaremos las diferencias, y restaremos 50. A los valores así obtenidos les aplicare mos la prueba de los signos en la forma en que ha sido expuesta. Disponiendo los resultados en una tabla, queda: 19

54 -21

35

n,4>. -10 31 -31

4 -71

-15

Ȓ

40

81

0

89 -20

39 -70

0

44

7S

80

-6

28

30 -55

-5

0

0

Hay 5 diferencias positivas, 7 diferencias negativas y 4 que se anulan, luego el valor del estadístico es: ,

(5-7 f

Para un nivel de significación a=0'05 y 1 gl, la tabla A.5 proporciona el valor crítico

Puesto que 0'33<3'841. se acepta la hipótesis nula. y, por tanto, que la diferencia entre las calificaciones medias es de 50 puntos.

505 15.5. Ejercicios propuestos 15.1. Nos dicen que, en 30 lanzamientos de una moneda, se ha obtenido la siguiente secuencia de resultados:

cxccxcccxxxccxcccxxccxxccccxcx ¿Se puede afirmar que la secuencia es aleatoria? 15.2. Un electricista ha recibido dos partidas de lámparas. Para ver si proceden de la misma población, selecciona dos muestras, comprobando la duración de las lámparas de las muestras, que resultan: Primera muestra

693 660 754 710 647

Segunda muestra

702 640

715

701

682 670 705

610 721

682

588

690

683

620 685

¿Se puede afirmar que las dos muestras proceden de la misma población? (Realizar el contraste de la suma de rangos). 15.3. Las calificaciones en un test de inteligencia de 30 alumnos elegidos al azar de una universidad han sido: 83 95 52 60 62 61 48 64 76 79 86 57 86 7 1 67 78 55 46 67 73 95 84 64 82 93 70 40 78 43 72 66 74 Contrastar la hipótesis de que la mediana es 70, al nivel de significación del 5%. 15.4. La siguiente tabla contiene los datos de tres muestras aleatorias de una pobla ción ordenadas por rangos: Ia muestra 2a muestra 3a muestra

8 2 10

4 4 9

7 5 8

6 7 6

3 5

9

Al nivel de significación del 5%, ¿existe diferencia significativa entre las tres mues tras? 15.5. Se han seleccionado cuatro muestras formadas por 5 lámparas de cuatro marcas diferentes (A, B, C y D). Calculada la duración de las lámparas, se obtuvieron los siguientes resultados:

506

A B C D

3140 3240 3830 4220

3780 2730 3690 4050

3360 2980 4010 3420

3450 3140 3550 3370

3320 3810 3830 3510

Averiguar si hay diferencia entre las marcas al nivel de significación del 0'O1. En caso afirmativo, realizar la prueba de suma de rangos para determinar qué marcas difieren entre sí. 15.6. Se ha hecho una pregunta a 20 personas, que debían responder con V (verdade ro) o F (falso). La secuencia con las 20 respuestas ha sido: VVFVVFVVVFVFFVFFVFFV ¿Se puede considerar que las respuestas han sido aleatorias? Utilizar los niveles de significación del 1% y del 5%. 15.7. Una compañía de seguros imparte un cursillo a 20 agentes domiciliarios con el fin de incrementar el número de pólizas. Al cabo de un mes, se constata que 12 de los agentes han conseguido incrementar el número de pólizas con respecto a meses ante riores, 5 han conseguido los mismos resultados, y 3 han bajado. ¿Se puede afirmar que el cursillo ha sido eficaz? 15.8. Un profesor imparte clase a dos grupos de alumnos. Uno de los grupos es de tercero de bachillerato diurno y el otro también de tercero, pero de régimen nocturno. Con el mismo método de enseñanza y el mismo examen, las calificaciones obtenidas fueron: Diurno

68745 8437665 7 3 666852

Nocturno

573246567443356

1 ) ¿Se puede afirmar que hay una diferencia significativa entre las calificaciones de ambos grupos? 2) En caso afirmativo, hallar una medida de la intensidad de la relación. 15.9. Se ha pasado un test de reflejos a 10 personas en condiciones de reposo y después de realizar un viaje conduciendo durante 4 horas, obteniéndose los siguien tes resultados: Condiciones de reposo

60 45 38 42 50 58 63 62 28 34

Después de conducir

41 35 29 36 32 50 46 33 29 30

507 Contrastar, mediante la prueba de Wilcoxon, la hipótesis de que no hay diferencia significativa entre las puntuaciones de los dos grupos. Si el resultado es significativo, hallar una medida de la intensidad de la relación. 15.10. Un topógrafo realiza 10 mediciones con dos instrumentos de medida distintos, obteniendo los siguientes resultados: Instrumento I

91

94

59

77

81

64

89

75

82

%

Instrumento II

84

79

51

68

69

70

76

88

74

87

Averiguar si los instrumentos dan los mismos resultados.

APÉNDICE A

TABLAS ESTADÍSTICAS

511 TABLA A.l Distribución binomial1 P(X

B(n,p)

0.01

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

1/3

«-(1)^

0.35 0.40 0.45

0.49

0.5

.9801 .9026.8100.7225 .6400.5625 4900 4444 4225 3600 3025 .2601 .2500 .0198 .0950.1800.25 50 .3 200.3750 4200 4444 4550 4800 4950 .4998 .5000 .0001 .0025 .0100.0225 .0400.0625 0900 1111 1225 1600 2025 .2401 .2500 .9703 .8574 .7290.6141 .5120.3219 .3430.2963 .2746 .2 160 . 1664 . 1 327 . 1 250 .0294.1354.2430.3251 .3840.4219.4410.4444.4436.4320.4084.3823.3750 .0003 .007 1 .0270 .05 74 .0960.1406 . 1 890 .2222 .2389 .2880 .3 34 1 .3674 .3750 .0000.0001 .0010.0034.0080.0156.0270.0370.0429.0640.091 1 .1 176.1250 .9606 .8145 .656 1 .5 220 .0388 .1715 .2916.3685 .0006 .0135 .0486.0975 .0000.0005 .0036.01 15 .0000.0000.0001 .0005

.4096 .3 164 .4096.4219 .1536 .2109 .0256.0469 .0016.0039

.2401 . 1 975 .4 1 1 6 .395 1 .2646.2963 .0756.0988 .0081 .0123

. 1 785 . 1 296 .09 1 5 .0677 .0625 .3 845 .3456 .2995 .2600.2500 .3105 .3456 .3675 .3747 .3750 .1115 .1536.2005 .2400.2500 .0150.0256.0410.0576.0625

.9510.7738 .5905 .4437 .0480.2036.3280.3915 .0010.0214 .0729.1382 .0000.0011 .0081 .0244 .0000.0000.0004.0022 .0000.0000.0000.0001

.3 277 .2373 .1681 .1317 .1 160.07 7 8 .0503 .0345 .0312 .4096.3955 .3602 .3292 .3 I 24 .2592 .2059 . 1 657 . 1 562 .2048 .2637 .3087 .3292 .3364 .3456.3369.3185 .3125 .0512 .0879.1323 . 1 646 . 1 8 1 1 .2304 .2757 .3060 .3 1 25 .0064.0146.0284.0412.0488.0768 . 1 1 28 . 1470 . 1562 .0003 .0010.0024.0041 .005 3 .0 1 02 .0 1 85 .0283 .03 12

.9415 .7351 .5314.3771 .2621 .1780.1 176.0878 .0754 .0467 .0277 .0 1 76 .0 1 56 .0571 .2321 .3 543 .3 993 .3932.3560.3025 .2634.2437 .1866.1359.1014.0938 .0014.0305 .0984.1762 .2458 .2966 .324 1 .3292 .3280 .3 1 10.2780.2437.2344 .0000.0021 .0146.0415 .0819 .1318 .1852.2195 .2355 .2765 .3032 .3121 .3125 .0000.0001 .0012 .0055 .0 1 54 .0330 .0595 .0823 .095 1 .1382 .1861 .2249 .2344 .0000 .0000 .0001 .0004 .0015 .0044 .0102 .0165 .0205 .0369 .0609 .0864 .0938 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0007 .0014 .0018 .0041 .0083 .0139 .0156 .9321 .6983 .4783 .3206 .2097 .1335 .0824 .0585 .0490.0280.0152 .0090.0078 .0659.25 73 .3720 .3960 .3670 .3 1 1 5 .247 1 .2048 . 1 848 . 1 306 .087 2 .0603 .0547 .0020.0406.1240.2097 .2753 .3 1 1 5 .3 1 77 .3073 .2985 .261 3 .2 1 40 . 1 740 . 1 64 1 .0000.0036.0230.0617 .1 147 .1730.2269 .2561 .2679 .2903 .1918 .2786.2734 .0000 .0002 .0026 .0109 .0287 .05 77 .0972 . 1 280 . 1442 . 1 935 .2388 .2676 .2734 .0000.0000.0002.0012 .0043 .0115 .0250.0384.0466.0774.1 1 72 . 1 543 . 1 64 1 .0000.0000.0000.0001 .0004.0013 .0036.0064.0084.0172 .0320 .0494.0547 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0005 .0006 .0016 .0037 .0068 .0078

1 Adaptada de «Tables of Cumulative Binomial Probability Press, Cambridge. Massachussetts, 1955.

Distribution». Harvard University

512

P n

k

0.01

0.0 5

0.10 0.15

0.20

0.25

0.30

1/3

0.35 0.40 0.45

0.49

0.5

8

0 1 2 3 4 5 6 7 g

.9227 .0746 .0026 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000

6634 2793 .0515 0054 0004 0000 0000 0000 0000

4305 3826 1488 0331 0046 0004 0000 0000 0000

2725 3847 2376 0839 0158 0026 0002 0000 0000

1678 3555 2936 1468 0459 0092 0011 0001 0000

1001 2670 3115 2076 0865 0231 0038 0004 0000

0576 1977 2965 2541 1361 0467 0100 0012 0001

0390 1561 2731 2731 1707 0683 0171 0024 0002

0319 1373 2587 2786 1875 0808 0217 0033 0002

0168 0896 2090 2787 2322 1239 0413 0079 0007

0084 0548 1569 2568 2627 1719 0703 0164 0017

0046 0352 1183 2273 2730 2098 1008 0277 0033

0039 0312 1094 2188 2734 2188 1094 0312 0039

9

0 1 2 3 4 5 6 7 S 9

.9135 .0830 .0034 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000

6302 2985 0629 0077 .0006 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000

3874 3874 1722 0446 .0074 .0008 0001 .0000 .0000 .0000

2316 3679 2597 1069 0283 0050 0006 0000 0000 0000

1342 3020 3020 1762 0661 .0165 0028 0003 0000 0000

0751 2253 3003 2336 1168 0389 0087 0012 0001 0000

0404 1556 2668 2668 1715 .0735 0210 0039 0004 0000

0260 1171 .2341 .2731 2048 1024 0341 0073 0009 0001

0207 1004 2162 2716 2194 1181 0424 0098 0013 0001

0101 0605 1612 2508 2508 1672 0743 0212 0035 0003

0046 0339 1110 2119 2600 2128 1 160 0407 0083 0008

0023 0202 0776 1739 2506 2408 .1542 0636 0153 0016

0020 .0176 0703 1641 2461 2461 1641 0703 0176 0020

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.9044 .0914 .0042 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000

.5987 .315 1 .0746 .0105 .0010 .0001 .0000 .0000 .0000 .0000

.3487 .3874 .1937 .0574 .01 12 .0015 .0001 .0000 .0000 .0000

.1969 .3474 2759 1298 0401 0085 .0012 .0001 .0000 .0000

1074 2684 3020 .2013 0881 .0264 .0055 .0008 .0001 .0000

.0563 .1877 2816 2503 1460 0584 .0162 0031 0004 0000

.0282 .1211 .2335 2668 .2001 .1029 .0368 .0090 .0014 .0001

0173 0867 1951 .2601 .2276 .1366 .0569 .0163 .0030 .0003

.0135 .0725 .1757 .2522 .2377 .1536 .0689 .0212 .0043 .0005

0060 0403 1209 2150 2508 2007 1115 .0425 .0106 .0016

0025 0207 0763 1665 2384 2340 .1596 .0746 .0229 .0042

.0012 .0114 .0495 .1267 .2130 .2456 .1966 .1080 .0389 .0083

.0010 0098 0439 1 172 .2051 .2461 .2051 .1172 .0439 .0098

.0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001 .0003 .0008 .0010

513 TABLA A.2 Distribución de Poisson2 P(\l)

P(X = k) .«,-

k! p.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 1

12

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

.9048 .8187 .7408 .6703 .6065

0905 .0045 1637 .0164 2222.0333 2681 .0536 3033.0758

0002 001 1 0033 0072 0126

0000 0001 0002 0007 0016

0000 0000 0001 .0000 .0002 .0000

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

.5488 .4966 .4493 .4066 .3679

3293 .0988 3476.1217 3595 .1438 3659.1647 3679.1839

0198 0284 0383 0494 0613

0030 0050 0077 01 1 1 0153

.0004 .0007 .0012 .0020 .0031

.0000.0000 .0001 .0000 .0002 .0000 .0003 .0001 0000 .0005 .0000 0000

1.1 1.2 1.3 1.4 1 .5

.3329 .3012 .2725 .2466 .2231

3662 .2014 3614.2169 3543.2303 3452.2417 3347 .2510

0738 0867 0998 1 128 1255

0203 0260 0324 0395 0471

.0045 .0062 .0084 .01 1 1 .0141

.0008.0001 .0012.0002 .0018.0003 .0026.0005 .0035 .0008

0000 0000 0001 .0000 0001 .0000 0001 .0000

1.6 1 .7 1 .8 1.9 2.0

.2019 .1827 .1653 .1496 .1353

3230.2584 3106.2640 2975 .2678 2842 .2700 2707 .2707

1378 1496 1607 1710 1804

0551 0636 0723 0812 0902

.0176 .0216 .0260 .0309 .0361

.0047.0011 .0061 .0015 .0078.0020 .0098.0027 .0120.0034

0002 0003 0005 0006 0009

.0000 .0001 .0001 .0001 .0002

.0000 .0000 .0000 .0000

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

.1 108 .0907 .0743 .0608 .0498

2438.2681 2177.2613 1931 .2510 1703 .2384 1494.2240

1966 2090 2176 2225 2240

1082 1254 1414 1557 1680

.0476 .0602 .0735 .0872 .1008

.0174.0055 .0241 .0083 .0.3 19 .0118 .0407 .0163 .0504.0216

0015 0025 00.38 0057 0081

.0004 .0007 .00 1 1 .0018 .0027

.0001 .0002 .0003 .0005 .0008

0000 0000 OOOI OOOO 0001 0000 0002 0001

3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

.0408 .0334 .0273 .0224 .0183

1304.2087 1 135 .1929 0984 .1771 0850.1615 0733 .1465

2226 2186 2125 2046 1954

1781 1858 1912 1944 1954

. 1 140 .1264 .1.377 .1477 .1563

.0608.0278 .0176.0348 .0826.0425 .0936.0508 .1042.0595

0111 0148 .0191 0241 0298

.0040 .0056 .0076 .0102 .0132

.0013 .0019 .0028 .0039 .0053

0004 0006 0009 0013 0019

.0001 .0002 .0003 0004 0006

2 Adaptada de «Poisson's Exponential Binomial Limit», de E.C. Molina. .Wadsworth Publishing Company», Belmonl. California, 1942.

514

k 0

1

i

10.0

.0067 .0025 .0009 .0003 .0001 .0000

.0337 .0149 .0064 .0027 .001 1 .0005

n

0

5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

.0013 .0052 .0142 .0296 .0504 .0729

1» 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

10.0

3

4

.0842 .0446 .0223 .0107 .0050 .0023

1404 .0892 0521 .0286 0157 0076

.1755 .1339 .0912 .0573 .0337 .0189

1

2

3

4

.0005 .0022 .0071 .0169 .0324 .0512

.0002 .0009 .0033 .0090 .0193 .0347

0003 0014 0045 .0109 0217

.0001 .0006 .0021 .0058 .0128

5 1755 1606 1277 0916 0607 0378

5

0002 0009 0029 0071

6 1462 1606 1490 1221 091 1 0631

6

7

8

1044 1377 1490 1396 1171 0901

0653 1033 1304 1396 1318 1 126

7

8

9 0363 0688 1014 1241 1318 1251

9

10 0181 0413 0710 0993 1 186 1251

10

1 1

1 2

.0082 .0225 .0452 .0722 .0970 . 1 137

0034 0113 0264 0481 0728 0948

1 1

1 2

.0001 0004 0002 0001 0014 0006 0003 0001 .0037 0019 0009 0004 .0002 .0001

515 TABLA A3.1 Distribución normal N(0,1)3

T¿ dz

P(Z<-z„.)--

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

-0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4

.5000 .4602 .4207 .3821 .3446

.4960 .4562 .4168 .3783 .3409

.4920 .4522 .4129 .3745 .3372

.4880 .4483 .4090 .3707 .3336

.4840 .4443 .4052 .3669 .3300

.4801 .4404 .4013 .3632 .3264

.4761 .4364 .3974 .3594 .3228

.4721 .4325 .3936 .3557 .3192

.4681 .4286 .3897 .3520 .3156

.4641 .4247 .3859 .3483 .3121

-0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9

.3085 .2743 .2420 .2119 .1841

.3050 .2709 .2389 .2090 .1814

.3015 .2676 .2358 .2061 .1788

.2981 .2643 .2327 .2063 .1762

.2946 .2611 .2297 .2005 .1736

.2912 .2578 .2266 .1977 .1711

.2877 .2546 .2236 .1949 .1685

.2843 .2514 .2206 .1922 .1660

.2810 .2483 .2177 .1894 .1635

.2776 .2451 .2148 .1867 .1611

-1.0 -1.1 -1.2 -1.3 -1.4

.1587 .1357 .1151 .09680 .08076

.1562 .1335 .1131 .09510 .07927

.1539 .1314 .1112 .09342 .07780

.1515 .1292 .1093 .09176 .07636

.1492 .1271 .1075 .09012 .07493

.1469 .1251 .1056 .08851 .07353

.1446 .1230 .1038 .08691 .07215

.1423 .1210 .1020 .08534 .07078

.1401 .1190 .1003 .08379 .06944

.1379 .1170 .09853 .08226 .06811

-1.5 -1.6 -1.7 -1.8 -1.9

.06681 .05480 .04457 .03593 .02872

.06552 .05370 .04363 .03515 .02807

.06426 .05262 .04272 .03438 .02743

.06301 .05155 .04182 .03362 .02680

.06178 .05050 .04093 .03288 .02619

.06057 .04947 .04006 .03216 .02559

.05938 .04846 .03920 .03144 .02500

.05821 .04746 .03836 .03074 .02442

.05705 .04648 .03754 .03005 .02385

.05592 .04551 .03673 .02938 .02330

-2.0 -2.1 -2.2 -2.3 -2.4

.02275 .01786 .01390 .01072 .008198

.02222 .01743 .01355 .01044 .007976

.02169 .01700 .01321 .01017 .007760

.02118 .01659 .01287 .009903 .007549

.02068 .01616 .01255 .009642 .007344

.02018 .01578 .01222 .009387 .007143

.01970 .01539 .01191 .009137 .006947

.01923 .01500 .01160 .008894 .006956

.01876 .01463 .01130 .008656 .006569

.01831 .01426 .01101 .008424 .006387

-2.5 -2.6 -2.7 -2.8 -2.9 -3.0

.006210 .004661 .003467 .002555 .001866 .001350

.006037 .004527 .003364 .002477 .001807 .001306

.005868 .004396 .003264 .002401 .001750 .001264

.005703 .004269 .003167 .002327 .001695 .001223

.005543 .004145 .003072 .002256 .001641 .001183

.005386 .004025 .002980 .002186 .001589 .001114

.005234 .003907 .002890 .002118 .001538 .001107

.005085 .003793 .002803 .002052 .001489 .001070

.004940 .003681 .002718 .001988 .001441 .001035

.004799 .003573 .002635 .001926 .001395 .001001

3 Adaptada de «Introduction to Mathematical Statistics». de P.G. Hoel, «John Wiley» Nueva York, 1971.

516 TABLA A3.2 Distribución normal N(0,1) (Continuación) P(Z
J e~2~ dz

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.5000 .5398 .5793 .6179 .6554

.5040 .5438 .5832 .6217 .6591

.5080 .5478 .5871 .6255 .6628

.5120 .5517 .5910 .6293 .6664

.5160 .5557 .5948 .6331 .6700

.5199 .5596 .5987 .6368 .6736

.5239 .5636 .6026 .6406 .6772

.5279 .5675 .6064 .6443 .6808

.5319 .5714 .6103 .6480 .6844

.5359 .5753 .6141 .6517 .6879

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.69 1 5 .7257 .7580 .7881 .8159

.6950 .7291 .7611 .7910 .8186

.6985 .7324 .7642 .7939 .8212

.7019 .7357 .7673 .7967 .8238

.7054 .7389 .7703 .7995 .8264

.7088 .7422 .7734 .8023 .8289

.7123 .7454 .7764 .8051 .8315

.7157 .7486 .7794 .8078 .8340

.7190 .7517 .7823 .8106 .8365

.7224 .7549 .7852 .8133 .8389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

.8413 .8643 .8849 .90320 .91924

.8438 .8665 .8869 .90490 .92073

.8461 .8686 .8888 .90658 .92220

.8485 .8708 .8907 .90824 .92.364

.8508 .8729 .8925 .90988 .92507

.8531 .8749 .8944 .91149 .92647

.8554 .8770 .8962 .91309 .92785

.8577 .8790 .8980 .91466 .92922

.8599 .8810 .8997 .91621 .93056

.8661 .8830 .90147 .91774 .93189

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.93319 .94520 .95543 .96407 .97128

.93448 .94630 .95637 .96485 .97193

.93574 .94738 .95728 .96562 .97257

.93669 .94845 .95818 .96638 .97320

.93822 .94950 .95907 .96712 .97381

.93943 .95053 .95994 .96784 .97441

.94062 .95154 .96080 .96856 .97500

.94179 .95254 .96164 .96926 .97558

.94295 .95352 .96246 .96995 .97615

.94408 .95449 .96327 .97062 .97670

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

.97725 .98214 .98610 .98928 .991802

.97778 .98257 .98645 .98956 .992024

.97831 .98300 .98679 .98983 .992240

.97882 .98341 .98713 .990097 .992451

.97932 .98382 .98745 .990358 .992656

.97982 .98422 .98778 .990613 .992857

.98030 .98461 .98809 .990863 .993053

.98077 .98500 .98840 .991106 .993244

.98124 .98537 .98870 .991344 .993431

.98169 .98574 .98899 .991576 .993613

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

.993790 .995339 .996533 .997445 .998134 .998650

.993963 .995473 .996636 .997523 .998193 .998694

.994132 .995604 .996736 .997599 .998250 .998736

.994297 .995731 .996736 .997673 .998305 .998777

.994457 .995855 .996928 .997744 .998359 .998817

.994614 .995975 .997020 .997814 .998411 .998856

.994766 .996093 .997110 .997882 .998462 .998893

.994915 .996207 .997197 .997948 .998511 .998930

.995060 .996319 .997282 .998012 .998559 .998965

.995201 .996427 .997365 .998074 .998605 .998999

517 TABLA A.4 Distribución t de Student4

litZta») n/p

.40

.30

.20

. 10

n5

.025

(110

.005

.001

.0005

1 2 3 4 5

.325 .289 .277 .271 .267

727 617 584 569 559

1.376 1.061 .978 .941 .920

3.078 1.886 1 .638 1.533 1.476

6.314 2.920 2.353 2.132 2.015

12.71 4.303 3.182 2.776 2.571

31.82 6.965 4.541 3.747 3.365

63.66 9.925 5.841 4.604 4.032

318.3 22.33 10.22 7.173 5.893

636.6 31.60 12.94 8.610 5.859

6 7 g 9 10

.265 .263 .262 .261 .260

553 549 546 543 542

.906 .896 .889 .883 .879

1.440 1.415 1.397 1.383 1.372

1.943 1.895 1.860 1 .833 1.812

2.447 2.365 2.306 2.262 2.228

3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

5.208 4.785 4.501 4.297 4.144

5.959 5.405 5.041 4.781 4.587

11 12 13 14 15

.260 .259 .259 .258 .258

540 539 538 537 536

.876 .873 .870 .868 .866

1.363 1 .356 1 .350 1 .345 1.341

1.796 1.782 1.771 1.761 1.753

2.201 2.179 2.160 2.145 2.131

2.718 2.681 2.650 2.624 2.602

3.106 3.055 3.012 2.977 2.947

4.025 3.930 3.852 3.787 3.733

4.437 4.318 4.221 4.140 4.073

16 17 18 19 20

.258 .257 .257 .257 .257

535 534 534 533 533

.865 .863 .862 .861 .860

1.337 1 .333 1 .330 1.328 1 .325

1.746 1.740 1 .734 1.729 1.725

2.120 2.110 2.101 2.093 2.086

2.583 2.567 2.552 2.539 2.528

2.921 2.898 2.878 2.861 2.845

3.686 3.646 3.611 3.579 3.552

4.015 3.965 3.922 3.883 3.850

21 22 23 24 25

.257 .256 .256 .256 .256

532 532 532 531 531

.859 .858 .858 .857 .856

1.323 1.321 1.319 1.318 1.316

1.721 1.717 1.714 1 711 1.708

2.080 2.074 2.069 2.064 2.060

2.518 2.508 2.500 2.492 2.485

2.831 2.819 2.807 2.797 2.787

3.527 3.505 3.485 3.467 3.450

3.819 3.792 3.767 3.745 3.725

26 27 28 29 30

.256 .256 .256 .256 .256

531 531 530 530 530

.856 .855 .855 .854 .854

1.315 1.314 i Ji3 1.311 1.310

1.706 1 .703 1.701 1.699 1.697

2.056 2.052 2.048 2.045 2.042

2.479 2.473 2.467 2.462 2.457

2.779 2.771 2.763 2.756 2.750

3.435 3.421 3.408 3.396 3.385

3.707 3.690 3.674 3.659 3.646

40 50 60 80 100

.255 .255 .254 .254 .254

529 528 527 527 526

.851 .849 .848 .846 .845

1 .303 1.298 1.296 1.292 1.290

1.684 1.676 1.671 1.664 1.660

2.021 2.009 2.000 1.990 1.984

2.423 2.403 2.390 2.374 2.365

2.704 2.678 2.660 2.639 2.626

3.307 3.362 3.232 3.195 3.174

3.551 3.495 3.460 3.415 3.389

200 500

.254 .253 .253

526 525 525

.845 .842 .842

1.286 1.283 1.282

1 .653 1.648 1.645

1.972 1 .965 1.960

2.345 2.334 2.326

2.601 2.586 2.576

3.131 3.106 3.090

3.339 3.310 3.291

oo

4 Adaptada de «Statistical Tables for Biological. Agricultural and Medical Research», de R.A. Fisher y F. Yates, Oliver and Boyd. Edimburgo, 1963.

518 TABLA A.5 Distribución y - de Pearson5

p{x2zxU n/a

0.995

0.99

0.98

0.975

0.95

1 2 3 4 5

.000039 0.0100 0.0717 0.207 0.412

,00015 0.0201 0.115 0.297 0.554

.00062 0.0404 0.185 0.429 0.752

0.00098 0.0506 0.216 0.484 0.831

0.00393 0. 1 03 0.352 0.711 1.145

0.0158 0.211 0.584 1.610 1.610

2.706 4.605 6.251 7.779 9.236

6 8 9 10

0.676 0.989 1.344 1.735 2.156

0.872 1.239 1.646 2.088 2.558

1.134 1.564 2.032 2.532 3.059

1.237 1.690 2.180 2.700 3.247

1 .635 2.167 2.733 3.325 3.940

2.204 2.833 3.490 4.168 4.865

1 1 12 13 14 15

2.603 3.074 3.565 4.075 4.601

3.053 3.571 4.107 4.660 5.229

3.609 4.178 4.765 5.368 5.985

3.816 4.404 5.009 5.629 6.262

4.575 5.226 5.892 6.571 7.261

16 17 18 19 20

5.142 5.687 6.265 6.844 7.434

5.812 6.408 6.408 7.633 8.260

6.614 7.255 7.906 8.567 9.237

6.908 7.564 8.231 8.907 9.591

21 22 23 24 25

8.034 8.643 9.260 9.886 10.520

8.897 9.542 10.196 10.856 11.524

9.915 10.600 11.293 11.992 12.697

26 27 28 29 30

11.160 11.808 12.461 13.121 13.787

12.198 12.879 13.565 14.256 14.953

13.409 14.125 14.847 15.574 16.306

"

0.90

0.10

0.05

0.025

0.02

0.01

3.841 5.991 7.815 9.488 11.070

5.024 5.412 7.378 7.824 9.348 9.837 11.143 11.668 12.832 13.388

6.635 9.210 11.345 13.277 15.086

10.645 12.017 13.362 14.684 15.987

12.592 14.067 15.507 16.919 18.307

14.449 16.013 17.535 19.023 20.483

15.033 16.622 18.168 19.679 21.161

16.812 18.475 20.090 2 1 .666 23.209

5.578 6.304 7.042 7.790 8.547

17.275 18.549 19.812 21.064 22.307

19.675 21.026 22.362 23.685 24.996

21.920 22.618 23.337 24.054 24.736 25.472 26.1 19 26.873 27.488 28.259

24.725 26.217 27.688 29.141 30.578

7.962 8.672 9.390 10.117 10.851

10.312 10.085 10.865 11.651 12.443

23.542 24.769 25.989 27.204 28.412

26.296 27.587 28.869 30.144 31.410

28.845 29.633 30.191 30.995 31.526 32.346 32.852 33.687 34.170 55.020

32.000 33.409 34.805 36.191 37.566

10.283 10.982 11.688 12.401 13.120

11.591 12.338 13.091 13.848 14.611

13.240 14.041 14.041 15.659 16.473

29.615 30.813 32.007 33.196 34.382

32.671 33.924 35.172 36.415 37.652

35.479 36.781 38.076 39.364 40.646

36.343 37.659 38.968 40.270 41.566

38.932 40.289 41.638 42.980 44.314

13.844 14.573 15.308 16.047 16.791

15.379 16.151 16.928 17.708 18.493

17.292 18.114 18.939 19.768 20.599

35.563 36.741 37.916 39.078 40.256

38.885 40.113 41.337 42.557 43.773

41.923 43.194 44.461 45.722 46.979

42.856 44.140 45.419 46.693 47.962

45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

5 Adaptada de «Table of percentage points of the x~ distribution», de C.M. Thompson. «Biometrica». vol. 32, 1941.

519 TABLA A.6.1 Distribución F de Fisher-Snedecor6 p{f>F,wx„iM) = 0'05 a=0.05 n/n,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5

161.45 199.50 18.513 19.000 10.128 9.5521 7.7086 6.9443 6.6079 5.7861

215.71 19.164 9.2766 6.5914 5.4095

224.58 230.16 233.99 19.247 19.296 19.330 9.1 172 9.0135 8.9406 6.3883 6.2560 6.1631 5.1922 5.0503 4.9503

236.77 19.353 8.8868 6.0942 4.8759

238.88 19.371 8.8452 6.0410 4.8183

240.54 19.385 8.8123 5.9988 4.7725

6 7 8 9

5.9874 5.5914 5.3177 5.1 174 4.9646

5.1433 4.7374 5.4590 4.2565 4.1028

5.757 1 4.3468 4.0662 3.8626 3.7083

5.5337 4.1203 3.8378 3.6331 3.4780

4.2066 3.7870 3.5005 3.2927 3.1355

4.1468 3.7257 3.4281 3.2296 3.0717

4.0990 3.6767 3.3881 3.1789 3.0204

14 15

4.8443 4.7472 4.6672 4.6001 5.5431

3.9823 3.8853 3.8056 3.7389 3.6823

3.5874 3.5874 3.3567 3.2039 3.0123 2.9480 2.8962 3.4903 3.2592 3.1059 2.9961 2.9134 2.8486 2.7964 3.4105 3.1791 3.0254 2.9153 2.8321 2.7669 2.7144 3.3439 3.1 122 2.9582 2.8477 2.7642 2.6987 2.6458 3.2874 3.0556 2.9013 2.7905 2.7066 2.6408 2.5876

16 17 18 19 20

4.4940 3.6337 4.4513 3.5915 4.4139 3.5546 4.3808 3.5219 4.3513 3.4928

21 22 23 24 25

4.3248 3.4928 3.0725 2.8401 4.3009 3.4434 3.0491 2.8167 4.2793 3.4221 3.0280 2.7955 4.2597 3.4028 3.0088 2.7763 4.2417 3.3852 2.9912 2.7587

26 27 28 29 30

4.2252 4.2100 4.1960 4.1830 4.1709

40 60 120 oo

4.0848 3.2317 2.8387 2.6060 2.4495 4.0012 3.1504 2.7581 2.5252 2.3683 3.9201 3.0718 2.6802 2.4472 2.2900 2.8415 2.9957 2.6049 2.3719 2.2141

10 1 1

12

13

6

3.3690 3.3541 3.3404 3.3277 3.3158

4.3874 3.9715 3.6875 3.4817 3.3258

4.2839 3.8660 3.5806 3.3738 3.2172

3.2389 3.0069 2.8524 2.74 13 3.1968 2.9647 2.8100 2.6987 3.1599 2.9277 2.7729 2.6613 3.1274 2.8951 2.7401 2.6283 3.0984 2.8661 2.7109 2.5900 2.6848 2.6613 2.6400 2.6207 2.6030

2.6572 2.6143 2.5767 2.5435 2.5140

2.5727 2.4976 2.5491 2.4638 2.5277 2.4422 2.5082 2.4226 2.4904 2.4047

2.9751 2.7426 2.5868 2.4741 2.9604 2.7278 2.5719 2.4591 2.9467 2.7141 2.5581 2.4453 2.9340 2.7014 2.5454 2.4324 2.9223 2.6896 2.5336 2.4205 2.3359 2.2540 2.1750 2.0986

2.3883 2.3732 2.3593 2.3463 2.3343

2.591 1 2.5480 2.5102 2.4768 2.4471

2.5377 2.4943 2.4563 2.4227 2.3928

2.4205 2.3661 2.3965 2.3419 2.3748 2.3201 2.3551 2.3002 2.3371 2.2821 2.3205 2.3053 2.2913 2.2782 2.2662

2.2655 2.2501 2.2360 2.2229 2.2107

2.2490 2.1802 2.1240 2.1665 2.0970 2.0401 2.0867 2.0164 1.8588 2.0096 1.9384 1.8799

Adaptada de «Biometrica Tables for Slatisticians». de E.S. Pearson y H.O. Harley. 1954.

520 TABLA A.6.1 Distribución F de Fisher-Snedecor (Continuación) a=0.05

10

12

15

20

24

30

40

60

120

OO

1 2 3 4 5

241.88 19.396 8.7855 5.9644 4.7351

243.91 19.413 8.7446 5.9117 4.6777

245.85 19.429 8.7029 5.8578 4.6188

248.01 19.446 8.6602 5.8025 4.5581

249.05 19.454 8.6385 5.7744 4.5272

250.09 19.462 8.6166 5.7459 4.4957

251.14 19.471 8.5944 5.7170 4.4638

252.20 19.479 8.5720 5.6878 4.4314

253.25 19.487 8.5494 5.6581 4.3984

254.32 19.496 8.5265 5.6281 4.3650

6 7 8 9 10

4.0600 3.6365 4.3472 3.1373 3.9782

3.9999 3.5747 3.2840 3.0729 3.9130

3.9381 3.5108 3.2184 3.0061 3.8450

3.8742 3.4445 3.1503 2.9365 2.7740

3.8415 3.4105 3.1152 3.9005 3.7372

3.8082 3.3758 3.0794 2.8637 2.6996

3.7743 3.3404 3.0428 2.8259 2.6609

3.7398 3.3043 3.0053 2.7872 2.621 1

3.7047 3.2674 2.9669 2.7475 2.5801

3.6688 3.2298 2.9276 2.7067 2.5379

1 1

12 13 14 15

2.8536 2.7534 2.6710 2.6021 2.5437

2.7876 2.6866 2.6037 2.5342 2.4753

2.7186 2.6169 2.5331 2.4630 2.4035

2.6464 2.5436 2.4589 2.3879 2.3275

2.6090 2.5055 2.4202 2.3487 2.2878

2.5705 2.4663 2.3803 2.3082 2.2468

2.5309 2.4259 2.3392 2.2664 2.2043

2.4901 2.3842 2.2966 2.2230 2.1601

2.4480 2.3410 2.2524 2.1778 2.1 141

2.4045 2.2962 2.2064 2.1307 2.0658

16 17 18 19 20

2.4935 2.4499 2.4117 2.3779 2.3479

2.4247 2.3807 2.3421 2.3080 2.2776

2.3522 2.3077 2.2686 2.2341 2.2033

2.2756 2.2304 2.1906 2.1555 2.1242

2.2354 2.1898 2.1497 2.1141 2.0825

2.1938 2.1477 2.1071 2.0712 2.0391

2.1507 2.1040 2.0629 2.0264 1.9938

2.1058 2.0584 2.0166 1.9796 1.9464

2.0589 2.0107 1.9681 1.9302 1.8963

2.0096 1.9604 1.9168

21 22 23 24 25

2.3210 2.2967 2.2747 2.2547 2.2365

2.2504 2.2258 2.2036 2.1834 2.1649

2.1757 2.1508 2.1882 2.1077 2.0889

2.0960 2.0707 2.0476 2.0267 2.0075

2.0540 2.0283 2.0050 1.9838 1.9643

2.0102 1.9842 1.9605 1.9390 1.9192

1.9645 1.9380 1.9139 1.8920 1.8718

1.9165 1.8895 1.8649 1.8424 1.8217

1.8657 1.8380 1.8128 1.7897 1.7684

1.8178 1.7831 1.7570 1.7331 1.71 10

26 27 28 29 30

2.2197 2.2043 2.1900 2.1768 2.1646

2.1479 2.1323 2.1179 2.1045 2.0921

2.0716 2.0558 2.0411 2.0275 2.0148

1.9898 1.9736 1.9586 1.9446 1.9317

1.9464 1.9299 1.9147 1.9005 1.8874

1.9010 1.8842 1.8687 1.8543 1.8409

1.8533 1.8361 1.8203 1.8055 1.7918

1.8027 1.7851 1.7689 1.7537 1.7396

1.7684 1.7307 1.7138 1.6981 1.6835

1.7110 1.6717 1.6541 1.6377 1.6223

40 60 120

2.0772 1.9926 1.9105 1.8307

2.0035 1.9174 1.8337 1.7522

1.9245 1.8364 1.7505 1.6664

1.8389 1.7480 1.6587 1.5705

1.7929 1.7001 1.6084 1.5173

1.7444 1.6491 1.5543 1.4591

1.6928 1.5943 1.4952 1.3940

1.6373 1.5343 1.4290 1.3180

1.5766 1.4673 1.3519 1.2214

1.5089 1.3893 1.2539 1.0000

n/n,

oo

1.8780 1.8432

521 TABLA A.6.2 Distribución F de Fisher-Snedecor P[F>Fmuni.n) = 0'01 a=0,01 n,/n,

'

1

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5

4052.2 4999.5 5403.3 5624.6 5763.7 5859.0 5.928.3 5981.6 6022.5 98.503 99.000 99.166 99.249 99.299 99.332 99.356 99.374 99.388 34.1 16 30.817 29.457 28.710 28.237 27.91 1 27.672 27.489 27.345 21.198 18.000 16.694 15.977 15.222 15.207 14.976 14.799 14.659 16.258 13.274 12.060 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158

6 7 8 9 10

13.745 12.246 1 1.259 10.561 10.044

10.925 9.5466 8.6491 8.0215 7.5194

9.7795 8.4513 7.5910 6.9919 6.5523

9.1483 7.8467 7.0060 6.4221 5.9943

9.7459 7.4604 6.6318 6.0569 5.6363

8.4661 7.1914 6.3707 5.8018 5.3858

8.2600 6.9928 6.1776 5.6129 5.2001

8.1016 6.8401 6.0289 5.4071 5.0567

8.9761 6.7188 6.9106 5.351 1 5.9424

1 1

12 13 14 15

9.6400 9.3302 5.0708 8.8616 8.5310

7.2057 6.9266 6.7010 6.5149 6.3589

6.2167 5.9526 5.7394 5.5639 5.4170

5.6683 5.41 19 5.2053 5.0354 4.8932

5.3160 5.0643 4.8616 4.6950 4.5556

5.0692 4.8206 4.6204 4.4558 4.3183

4.8861 4.6395 4.4410 4.2779 4.1415

4.7445 4.4994 4.3021 4.1399 4.0045

4.6315 4.3875 4.191 1 4.0297 3.8948

16 17 18 19 20

8.5310 8.3997 8.2854 8.1850 8.0960

6.2262 6.1 121 6.0129 5.9259 5.8489

5.2922 5.1850 5.0919 5.0103 5.9382

4.7726 4.6690 4.5790 4.5003 4.4307

4.4374 4.3359 4.2479 4.1704 4.1027

4.2016 4.1015 4.0146 3.9386 3.8714

4.2059 3.9267 3.8406 3.7653 3.6987

3.8896 3.7910 3.7054 3.6305 3.5644

3.7804 3.6822 3.5971 3.5225 3.4567

21 22 23 24 25

8.0166 7.9454 7.8811 7.8229 7.7698

5.7804 5.7190 5.6637 5.6136 5.5680

4.8740 4.8166 4.7649 4.7181 4.6755

4.3688 4.0421 4.3134 3.9880 4.2635 3.9392 4.2184 3.8951 4.1774 3.8550

3.81 17 3.7583 3.7102 3.6667 3.6272

3.6396 3.5867 3.5390 3.4959 3.4568

3.5056 3.4530 3.4057 3.3679 3.3239

3.3981 3.3458 3.2986 3.2560 3.2172

26 27 28 29 30

7.7213 7.6767 7.6356 7.5976 7.5625

5.5263 5.4881 5.4529 5.4205 5.3904

4.6166 4.6009 4.5681 4.5378 4.5097

4.1400 4.1056 4.0740 4.0449 4.0179

3.8183 3.7848 3.7539 3.7254 3.6990

3.5911 3.5580 3.5276 3.4995 3.4735

3.4210 3.3882 3.3581 3.3302 3.3045

3.2884 3.2558 3.2259 3.1982 3.1726

3.1818 3.1494 3.1195 3.0920 3.0665

40 60 120

7.3141 7.0771 6.8510 6.6349

5.1785 4.3126 4.9774 4.1259 4.7865 3.9493 4.6052 3.7816

3.8283 3.6491 3.4796 3.3192

3.5138 3.3389 3.1735 3.0173

3.2910 3.1238 3.1187 2.9530 2.9559 2.7918 2.8020 2.6393

2.9930 2.8233 2.6629 2.51 13

2.8876 2.7185 2.5586 2.4073

oo

522

TABLA A.6.2 Distribución F de Fisher-Snedecor (Continuación) a=0.01

10

12

i 2 3 4 5

6055.8 99.399 27.229 14.546 10.051

6106.3 99.416 27.052 14.374 9.8883

6 7 8 9 Id

7.8741 6.6201 5.8143 5.2565 4.0492

1 1 12 13 14 15

20

24

30

40

60

120

6157.3 99.432 26.872 14.198 9.7222

6708.7 99.449 26.690 14.020 9.5527

6234.6 99.458 26.598 13.929 9.4665

6260.7 99.466 26.505 13.838 9.3793

6286.8 99.474 26.411 13.745 9.2912

6313.0 99.483 26.316 13.652 9.2020

6339.4 99.491 26.221 13.558 9.1 1 18

6366.0 99.501 26.125 13.463 9.0204

7.7183 6.4691 5.6668 5.1114 4.7059

7.5590 6.3143 5.5151 4.9621 4.5582

7.3958 6.1554 5.3591 4.8080 4.4054

7.3127 6.0743 5.2793 4.7290 4.3269

7.2285 5.9921 5.1980 4.6486 4.2469

7.1432 5.9084 5.1156 4.5667 4.1653

7.0568 5.8236 5.0316 4.4831 4.0819

7.9690 5.7372 4.9460 4.3978 3.9965

7.8801 5.6495 4.8588 4.3105 3.9090

4.5393 4.2961 4.1003 3.9394 3.8049

4.3974 4.1553 3.9603 3.8001 3.6662

4.2509 4.0096 3.8154 3.6557 3.5222

4.0990 3.8584 3.6646 3.5052 3.3719

4.0209 3.7805 3.5868 3.4274 3.2940

3.9411 3.7008 3.5070 3.3476 3.2141

3.8596 3.6192 3.4253 3.2656 3.1319

3.7761 3.5355 3.3413 3.1813 3.0471

3.6904 3.4494 3.2548 3.0942 2.9595

3.6025 3.3608 3.1654 3.0040 2.8684

16 17 18 19 20

3.6909 3.5931 3.5082 3.4338 3.3682

3.5527 3.4552 3.3706 3.2965 3.231 1

3.4089 3.31 17 3.2273 3.1533 3.0880

3.2588 3.1615 3.0771 3.0031 2.9377

3.1808 3.0835 2.9990 2.9249 2.8594

3.1007 3.0032 2.9185 2.8442 2.7785

3.0182 2.9205 2.8354 2.7608 2.6847

2.9330 2.8348 2.7493 2.6742 2.6077

2.8447 2.7459 2.6597 2.5839 2.5168

2.7528 2.6530 2.5660 2.4893 2.4212

21 22 23 24 25

3.3098 3.2576 3.2106 3.1681 3.1294

3.1729 3.1209 3.0740 3.0316 2.9931

3.0299 2.9780 2.9311 2.8887 2.8502

2.8796 2.8274 2.7805 2.7380 2.6993

2.8011 2.7488 2.7017 2.6591 2.6203

2.7200 2.6675 2.6202 2.5773 2.5383

2.6359 2.5831 2.5355 2.4923 2.4530

2.5484 2.4951 2.4471 2.4035 2.3637

2.4568 2.4029 2.3542 2.3099 2.2695

2.3603 2.3055 2.2559 2.2107 2.1694

26 27 2S 29 30

3.0941 3.0618 3.0320 3.0045 2.9791

2.9579 2.9256 2.8959 2.8685 2.8431

2.8150 2.7827 2.7530 2.7256 2.7002

2.6640 2.6316 2.6017 2.5742 2.5487

2.5848 2.5522 2.5223 2.4946 2.4689

2.5026 2.4699 2.4397 2.4118 2.3860

2.4170 2.3840 2.3535 2.3253 2.2992

2.3273 2.2938 2.2629 2.2344 2.2079

2.2325 2.1984 2.1670 2.1378 2.1107

2.1315 2.0965 2.0642 2.0342 2.0062

40 60 120

2.8005 2.6318 2.4721 2.3209

2.6648 2.4961 2.3363 2.1848

2.5216 2.3523 2.1915 2.0385

2.3689 2.1978 2.0346 1.8783

2.2880 2.1154 1.9500 1.7908

2.2034 2.0285 1.8600 1.6964

2.1162 1.9360 1.7628 1.5923

2.0194 1.8363 1.6557 1.4730

1.9172 1.7263 1.5530 1.3246

1.8047 1.6006 1.3805 1.0000

523 TABLA A.7 Potencia de un contraste en función de a y 5 Contraste 0.05

ContrasU

8

(1.10

0.08

(

unilateral iai

0.04 0.025 0.02

0,01

0.05

0.005

(1.02

0.04 0.025 0.02

i¡X)

0.01

0.005

Contraste bilateral (a)

bilateral (a) 0.05

ontras e unilateral

0,02

0.01

o

0.10

0.08

0.05

0.04

0.02

0.01

2.4 2.5 2.6 2.7 2,8

0,78 0,78 0.83 0.85 0.87

0,74 0.77 0.80 0.83 0.85

0,67 0.67 0.74 0.77 0,80

0,63 0.57 0.71 0.74 0,77

0,53 0.55 0,61 0.64 0.68

0,43 0,51

0.(1 0,1 0.2 0.3 0.4

0,05 0.06 0.07 0.08 0.10

0.04 0,05 0.05 0.05 0.08

0,02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.01 0,02 0,02 0.04 0.05

0.09 0.01 0.02 o.o: 0.02

0.01 0.01 0.01 0.01 0.02

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.12 0,14 0,17 0.19 0,22

0,10 0.07 0.15 0.17 0.19

0.07 0.09 0.10 0.12 0.14

0.06 0.07 0.09 0.1 1 II. 1 í

0.03 0.04 0.05 0.06 0.08

0.02 0.02 0.03 0.04 0.05

2.9 3.0 3,1 3.2 3.3

0.89 0.91 0.93 0.94 0.95

0.87 0.90 0.91 0.93 0,94

0.83 0.85 0.87 0.90 0,91

0.80 0.83 0,85 0.87 0.89

0.72 0,75 0,78 0,81 0,83

0.63 0.70 0,70 0.73 0.76

1.0 1.1 1.2 1.3 1,4

0,25 0,29 0,33 0,36 0.40

0,23 0.26 0.30 0.33 0,36

0.17 0,19 0,22 0,25 0.29

0,15 0,17 0.20 0.23 0.26

0.09 0,11 0, 1 3 0,15 0.18

0.06 0.07 0.09 0.10 0.12

3,4 3.5 3.6 3.7 3.8

0.96 0.97 0.97 0.98 0,98

0.95 0.96 0.96 0.97 0.98

0.93 0.94 0.95 0.96 0.97

0.91 0.93 0.94 0.95 0.96

0.86 0.88 0.90 0.91 0.94

0.79 0.82 0.85 0.87 0,91

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.44 0.48 0.52 0.56 0.60

0,50 0,44 0.48 0.52 0.56

0.32 0.36 0.40 0.44 0.48

0.30 0.33 0.36 0.40 0.44

0.21 0.24 0.27 0.30 0.34

0.14 0.16 0.19 0.22 0.25

3.9 l.ll 4,1 4.2

4,3

0.99 0.99 0.99 0.99 0.99

0.98 0.99 0.99 0.99 0.99

0.97 0.98 0.98 0.99 0.99

0.96 0.97 0.98 0.98 0.99

0.94 0.95 0.97 0.97 0.96

0,91 0,92 0,96 0,95 0,96

2.0 2,1 2 2 2,3

0.63 0.67 0.71 0,74

0.59 0,63 0,67 0,71

0.52 0.55 0.59 0.63

0.48 0.5 1 0,56 0,60

0.37 0.41 0,45 0.49

0.28 0.32 0.35 0.39

4.4 4,5 4,6 4.7

0.99 0.99 0,99 0,99

0.99 0.99 0.99 0,99

0.99 0.99 0.99 0.99

0.99 0.99 0.99 0,99

0.98 0.99 0.99 0.99

0.97 0,97 0.98 0,98

0,51 0,55 0,59

Factor de equilibrio en función de la potencia y a

l-B

0.10

Unilateral (a) 0.025 Bilateral (a) 0.05 0.08

0.30 0.35 0.40 0,45 0,50 0.55 0.60 0,65

1.13 1.27 1.40 1,53 1.65 1,78 1.91 2.04

1.13 1.37 1.50 1.63 1.75 1.88 2.01 2,14

1.44 1.58 1.71 1.84 1.96 2.09 2.22 2.35

1.53 1.67 1.80 1.93 2.05 2.18 2.31 2.44

1.81 1.95 2.08 2,21 2.33 2.46 2.59 2.72

2.06 2.20 2.33 2,46 2,58 2.71 2,84 2,97

0.70 0,75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.99 0.999

2.18 2.33 2.50 2.69 2.94 3.30 1.98 4.74

2.28 2.43 2.60 2.79 3.04 3.40 4.08 4.84

2.49 2.64 2.81 3.00 3.25 3.61 4.29 5.05

2.58 2.73 2.90 3.09 3.34 3.70 4.38 5.14

2.86 3.01 3.18 3.37 3.62 3,98 4.66 5.42

3.11 3.26 3,43 3.62 3,87 4,23 4.91 5.67

0.05

0.04

0.02

0.01

0.005

0.04

0.02

0.01

524 TABLA A.8.1 Rangos «studentizados» de Duncan (rl¡)7 ct=0.01 p V

2

3

4

5

6

7

s

9

10

1 2 3 4 5

90.03 14,04 8.261 6.512 5.702

90.03 14,04 8,321 6.677 5.893

90,03 14.04 8.321 6.740 5.989

90.03 14,04 8.321 6.756 6.040

90.03 14.04 8.321 6.756 6.065

90.03 14.04 8.321 6.756 6.074

90.03 14.04 8,321 6.756 6,074

90,03 14.04 8.321 6.756 6.074

90,03 14,04 8,321 6.756 6,074

6 7 8 9 10

5.243 4,949 4,746 4,596 4,482

5,439 5,145 4.939 4.787 4,671

5.549 5.260 5.057 4,906 4,790

5,614 5.334 5.135 4.986 4.871

5.655 5,383 5.189 5.043 4.931

5,680 5,416 5.227 5.086 4,975

5.694 5.439 5,256 5,118 5.010

5,701 5.454 5.276 5.142 5.037

5,703 5.464 5.291 5,160 5.058

1 1 12 13 14 15

4,392 4.320 4.260 4,210 4,168

4.579 4.504 4,442 4,391 4,347

4.697 4.622 4,560 4,508 4,463

4.780 4.706 4.644 4,591 4,547

4,841 4.767 4.706 4.654 4,610

4,887 4.815 4,755 4.704 4.660

4.924 4.852 4.793 4.743 4,700

4,952 4,883 4.824 4,775 4,733

4.975 4,907 4,850 4,802 4,760

16 17 18 19 20

4.131 4.099 4,071 4,046 4,024

4.309 4.275 4.246 4.220 4,197

4.425 4,391 4.362 4.335 4,312

4,509 4,475 4,445 4,419 4.395

4,572 4,539 4.509 4.483 4.459

4.622 4.589 4.560 4.534 4.510

4,663 4.630 4.601 4.575 4.552

4.696 4,664 4,635 4,610 4.587

4,724 4,693 4.664 4,639 4,617

24 30 40 60 120

3,956 3,889 3,825 3,762 3,720 3,643

4.126 4.056 3.988 3.922 3.858 3.796

4.239 4.168 4.098 4.031 3.965 3.900

4,322 4.250 4,180 4.1 1 1 4,044 3.978

4,386 4,314 4.244 4.174 3.107 3,040

4.437 4,366 4.296 4.226 4.158 4.091

4.480 4.409 4,339 4,270 4.202 4.135

4,516 4,445 4.376 4,307 4,239 4.172

4,546 4,477 4.408 4,340 4.272 4.205

oo

7 Adaptada de «New Tables for Multiple Comparison with a Control», de Ch.W. Dunnet. «Biometrica», vol. 20. 1964.

525 TABLA A.8.2 Rangos «studentizados» de Duncan (rn) (Continuación)" 0=0.05 p V

2

3

4

1 2 3 4 5

17,97 6,085 4.501 3,927 3.635

17.97 6.085 4,516 4.013 3.749

17.97 6.085 4.516 4.033 3.797

17.97 6.085 4.516 4,033 3.814

17,97 6.085 4,516 4,033 3,814

17.97 6.085 4.516 4.033 3.814

17.97 6.085 4.516 4.033 3.814

17.97 6.085 4.516 4.033 3.814

17.97 6.085 4,516 4.033 3,814

6 7 8 9 10

3.461 3,344 3,261 3,199 3,151

3.587 3.477 3.399 3.339 3.293

3,649 3,548 3.475 3,420 3.376

3,680 3.588 3.521 3.470 3.430

3,694 3,611 3.549 3.502 3.465

3.697 v62: 3.566 3.523 3.489

3.697 3,626 3.575 3.536 3.505

3.697 3.626 3.579 3.516 3.516

3,697 3,626 3,579 3.522 3.522

1 1 12 13 14 15

3,1 13 3,082 3.055 3,033 3.014

3.256 3.225 3.200 3.178 3.160

3,342 3.313 3.289 3.268 3.250

3,397 3.370 3.348 3.329 3.312

3,435 3.410 3.389 3.372 3.356

3.462 3.439 3,419 3,403 3.389

3.480 3.459 1,442 3.426 3.413

3.493 3,474 3.458 3,444 3.432

3,501 3,484 3,470 3,457 3.446

16 17 18 19 20

2,998 2,984 2.971 2.960 2.950

3.144 3.130 3.1 18 3,107 3.097

3.235 3.222 3.210 3.199 3.190

3.298 3.285 3.274 3.264 3.255

3.343 3.331 3.321 3.311 3.303

3.376 3.366 3.356 3.347 3.339

3.402 3.392 3.383 3.375 3.368

3.422 3.412 3.405 3,397 3,391

3,437 3,429 3,421 3,415 3,409

24 30 40 60 120

2,919 2,888 2.858 2.829 2.800 2.772

3.066 3,035 3.006 2.976 2.974 2.918

3.160 3,131 3,102 3,073 3,045 3.017

3.226 3.199 3,171 3,143 3.116 3.089

3,276 3.250 3.224 3,198 3.172 3,146

3.315 3.290 3.166 3,241 3.217 3.193

3.345 3,322 3,300 3.277 3.254 3.232

3.370 3.349 3.328 3.307 3.287 3.265

3.390 3.371 3.352 3,333 3,314 3.294

Do

5

6

7

8

9

10

8 Adaptada de . Critical Values lor Duncan's New Multiple Range Test», de H.L. Harter. «Bimetrics», 1960.

526 TABLA A.9 Percentiles superiores de rangos de Tukey:í/(O'05, ¿,v ) cfc=0.05 Número de tratamientos ikl V

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 3 4 5

18.00 6.09 4.50 3.93 3.64

27.00 8,33 5.91 5.04 4.60

32.80 9.80 6.83 5,76 5.22

37.20 10.89 7.51 6.29 5.67

40.50 11.73 8,04 6.71 6.03

43,10 12.43 8.47 7.06 6.33

45.40 13.03 8.85 7,35 6.58

47.30 13.54 9,18 7.60 6.80

49,10 13.99 9,46 7.83 6.99

6 7 8 9 10

3.46 3.34 3.26 3.20 3.15

4,34 4,16 4,04 3.95 3,88

4.90 4.68 4,53 4.42 4,33

5.31 5.06 4,89 4.76 4,66

5,63 5,35 5,17 5.02 4.91

5.89 5,59 5.40 5.24 5,12

6.12 5.80 5.60 5,43 5.30

6.32 5.99 5,77 5.60 5.46

6.49 6.15 5.92 5.74 5,60

1 1 12 1.1 14 15

3.11 3,08 3,06 3.03 3.01

3.82 3,77 3,73 3,70 3,67

4.26 4.20 4,15 4,11 4.08

4.58 4,51 4,46 4.41 4,37

4.82 4,75 4,69 4,64 4,59

5.03 4.95 4.88 4.83 4.87

5.20 5,12 5.05 4.99 4.94

5,35 5,27 5,19 5,13 5.08

5.49 5.40 5,32 5.25 5.20

16 17 18 19 20

3,00 2,98 2,97 2,96 2,95

3,65 3,62 3,61 3.59 3.58

4.05 4.02 4.00 3.98 3.96

4.34 4,31 4.28 4.26 4,24

4,56 4,52 4.49 4.47 4,45

4.74 4.70 4,67 4.64 4.62

4.90 4.86 4.83 4.79 4,77

5.03 4.99 4.96 4.92 4,90

5.15 5.1 1 5.07 5.04 5.01

24 30 40 60 120 oo

2,92 2.89 2,86 2,83 2,80 2.77

3.53 3.48 3.44 2.40 2.36 2.32

3.90 3.84 3.79 3.74 3.69

4.17 4.1 1 4.04 3.98 3.92 3.86

4.37 4.30 4.23 4,16 4,10 4.03

4,54 4.46 4.39 4.31 4,24 4.17

4,68 4.60 4.52 4.44 4.36 4.29

4.81 4,72 4.63 4,55 4,47 4.39

4.92 4.83 4,74 4,65 4,56 4.47

.y

Vfl <

527 TABLA A.10 Valores críticos del coeficiente r de Pearson' Nivel de significación para una prueba unilateral (a) 0,005 0.01 0.05 0.025 Nivel de significación para una prueba bilateral (a) 0.02 0.01 0.05 gl=N-2 0.10 1 2 3 4 5

0,988 0.900 0.805 0,729 0,669

0.997 0.950 0.878 0.811 0.754

0.9995 0.98(1 0.934 0,882 0,883

0.9999 0,990 0,959 0,917 0.874

6 7 8 9 10

0.622 0,582 0,549 0,521 0,497

0,707 0.666 0.632 0.602 0.576

0,789 0.750 0,716 0.685 0.658

0,834 0,798 0,765 0.735 0,708

1 1 12 13 14 15

0.476 0.458 0,441 0,426 0.412

0.553 0.532 0,514 0.497 0.482

0,634 0.612 0.592 0.574 0,558

0,684 0,661 0,641 0,623 0,606

16 17 18 19 20

0.400 0,389 0,378 0,369 0.360

0.468 0.456 0.444 0,433 0,423

0,542 0.528 0.516 0.503 0.492

0,590 0,575 0.561 0,549 0.537

21 22 23 24 25

0.352 0,344 0,337 0,330 0.323

0,413 0,404 0.396 0.388 0,381

0,482 0,472 0,462 0.453 0,445

0.526 0,515 0,505 0,496 0,487

26 27 28 29 30

0.317 0,311 0,306 0,301 0,296

0,374 0,367 0,361 0.355 0,349

0,437 0,430 0,423 0,416 0,409

0.479 0.471 0,463 0,456 0,449

35 40 45 50

0,275 0,257 0,243 0,231

0,325 0.304 0,288 0,273

0,381 0.358 0.338 0.322

0,418 0,393 0,372 0,354

60 70 80 90 100

0.211 0,195 0,183 0.173 0.164

0,250 0,232 0,217 0,205 0.195

0,295 0,274 0,256 0,242 0,230

0,325 0,302 0,283 0,267 0,254

9 Adaptada de «Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research», de R.A. Fisher y F. Yates. «Oliver and Boyd», Edimburgo, 1962.

528 TABLA A.11 Valores del estadístico de Fisher en función de r1" r

X

r

X

r

X

r

X

r

X

.000 .005 .010 .015 .020

.000 .005 .010 .015 .020

.200 .205 .210 .215 .220

203 208 213 218 224

.400 .405 .410 .415 .420

.424 .430 .436 .442 .448

.600 .605 .610 .615 .620

.693 .701 .709 .717 .725

.800 .805 .810 .815 .820

1.099 1.113 1.127 1.142 1.157

.025 .030 .035 .040 .045

.025 .030 .035 .040 .045

.225 .230 .235 .240 .245

229 234 239 245 250

.425 .430 .435 .440 .445

.454 .460 .466 .472 .478

.625 .630 .635 .640 .645

.633 .741 .750 .758 .767

.825 .830 .835 .840 .845

1.172 1.183 1.204 1.221 1.238

.050 .055 .060 .065 .070

.050 .055 .060 .065 .070

.250 .255 .260 .265 .270

255 261 266 271 277

.450 .455 .460 .465 .470

.485 .491 .497 .504 .510

.650 .655 .660 .665 .670

.775 .784 .793 .802 .811

.850 .855 .860 .865 .870

1.256 1.274 1.293 1.313 1.333

.075 .080 .085 .090 .095

.075 .080 .085 .090 .095

.275 .280 .285 .290 .295

282 2SS 293 299 304

.475 .480 .485 .490 .495

.517 .523 .530 .536 .543

.675 .680 .685 .690 .695

.820 .829 .838 .848 .858

.875 .880 .885 .890 .895

1.354 1.376 1.398 1.422 1.447

.100 .105 .110 .115 .120

.100 .105 .110 .115 .120

.300 .305 .310 .315 .320

310 315 321 326 332

.500 .505 .510 .515 .520

.549 .556 .563 .570 .576

.700 .705 .710 .715 .720

.867 .877 .887 .897 .908

.900 .905 .910 .915 .920

1.472 1.499 1.528 1.557 1.589

.125 .130 .135 .140 .145

.125 .130 .135 .140 .145

.325 .330 .335 .340 .345

337 343 348 354 360

.525 .530 .535 .540 .545

.583 .590 .597 .604 .611

.725 .730 .735 .740 .745

.918 .929 .940 .950 .962

.925 .930 .935 .940 .945

1.623 1.658 1.697 1.738 1.783

.150 .155 .160 .165 .170

.150 .155 .160 .165 .170

.350 .355 .360 .365 .370

365 371 377 383 388

.550 .555 .560 .565 .570

.618 .626 .633 .640 .648

.750 .755 .760 .765 .770

.973 .984 .996 1.008 1.020

.950 .955 .960 .965 .970

1.832 1.886 1.946 2.014 2.092

.175 .180 .185 .190 .195

.175 .180 .185 .190 .195

.375 .380 .385 .390 .395

394 400 406 412 418

.575 .580 .585 .590 .595

.655 .662 .670 .678 .685

.775 .780 .785 .790 .795

1.333 1.045 1.058 1.071 1.085

.975 .980 .985 .990 .995

2.185 2.298 2.443 2.647 2.994

10 Adaptada de «S1atistical Tables for Biological. Agricultural and Medical Research», de R.A. Fisher y F. Yates, «Oliver and Boyd», Edimburgo, 1962.

APENDICE B

TEORÍA COMBINATORIA

COMBINATORIA

La aplicación de la regla de Laplace depende, en cada caso, de la forma en que están agrupados los puntos muestrales. La combinatoria se ocupa del estudio de los distintos tipos de agrupaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. Estas agrupaciones pueden llevarse a cabo atendiendo a dos criterios: la naturaleza de los elementos que se van a agrupar y el orden en que van a ser seleccionados. Cuando, en una agrupación de elementos sólo interviene la naturaleza de éstos, se forman las combinaciones; cuando además interviene el orden, se tienen las variaciones.

B.1. Variaciones ordinarias (o sin repetición) Se llaman variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n a las diferen tes agrupaciones que se pueden formar con los m elementos de un conjunto, de tal forma que, en cada agrupación entren n elementos distintos, diferenciándose una agrupación de otra, bien por la naturaleza de alguno de sus elementos, bien por el orden de colocación de los mismos.

B.1.1. Formación de las variaciones ordinarias Si disponemos de los guarismos 1 , 2, 3 y 4, y queremos formar las variaciones de estos cuatro elementos tomados de dos en dos, nos podemos servir de un diagrama de árbol. Partimos de las cuatro variaciones monarias (de una sola cifra). Si añadimos a la derecha de cada variación de orden 1 los tres elementos que quedan, se forman las variaciones de orden 2, que son 4x3= 1 2. Las variaciones de orden 3 se obtendrán añadiendo a la derecha de cada variación de orden dos los elementos que falten. Habrá 4x3x2=24.

532

2

1 , ' T

3 4

'

1 -,

2

4

3

1

4

1

.

2

1 3

2 '

4

3

Figura B.I.: Formación de variaciones binarias.

B.1.2. Número de variaciones ordinarias El número de variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n es el producto de n números enteros consecutivos, donde m es el primer factor y (m-n+1) el último: (1) V;i, = m(m -l)(m-2)-(m-n + l) Para expresar el número de variaciones ordinarias, se emplea el símbolo V', el número m se conoce como base y el número n se llama orden. El proceso de formación de las variaciones nos sirve de ayuda para deducir la expresión (1). En efecto, tenemos: 1) m variaciones monarias: V'-, = m 2) m(m-1) variaciones binarias, ya que, por cada variación monaria, se pueden formar m-1 binarias añadiendo a la monaria los m-1 elementos que quedan: V2„, = V'jm-l) = m(m-l) 3) Por cada una de las m(m-1) binarias, se pueden formar m-2 ternarias, añadiendo a cada una de las binarias los m-2 elementos que quedan: Vi = VÍ (m-2) = m(m -l)(m- 2) 4) Para formar las variaciones de orden n, por cada variación de orden n-1, se pueden formar m-(n-1)=m-n+1, que son los elementos que quedan, luego hemos dedu cido que VI = Vm'[m-(n - l)] = m(m - l)(m -2)-(m-n+ I)

533 Ejemplo B. 1 En una carrera compiten 10 caballos. En los boletos de apuestas hay que poner el nombre del primero, segundo, tercero y cuarto caballo. ¿Cuántos boletos hay que rellenar, como mínimo, para estar seguros de acertar? Solución: Cada agrupación diferirá de la otra por el orden en que coloquemos los 4 caballos o por la naturaleza de uno de los caballos, y no puede haber elementos repetidos. Se trata de variaciones ordinarias de 10 elementos tomados de 4 en 4. Luego el resultado es:

Vn = 10 9 8 7= 5040 boletos.

B.2. Variaciones con repetición Cuando, en las distintas agrupaciones de las variaciones ordinarias puede haber elementos repetidos, tenemos las variaciones con repetición. Si utilizamos también un diagrama de árbol para formar las variaciones con repeti ción, la cifra que ahora tenemos que añadir a la derecha de cada variación del orden inferior, puede ser alguna de las que figuran en dicha agrupación. De este modo, el número de variaciones con repetición de orden n se obtiene de multiplicar por m el número de variaciones con repetición de orden n-1: VR"m = VR"m'm Tenemos, por tanto:

y^ - m VRÍ = VRÍ,m = m: VRm = VR'm m = m: m = m ' (2) VRl = VR"Jm = m"'m = m"

Ejemplo B.2 Para acertar con seguridad una quiniela de fútbol de 14 resultados, ¿cuántos co lumnas hay que rellenar? Por cada apuesta, con los tres signos (1, X, 2) hay que rellenar las catorce celdas de cada columna: luego hay elementos que se van a repetir. Se trata de variaciones con repetición de 3 elementos tomados de 14 en 14, y su número es: VR'J = 3N = 4782969 columnas

534 B.3. Permutaciones Se llaman permutaciones de n elementos a las distintas agrupaciones que se pue den formar con los n elementos, de tal forma que una agrupación difiera de otra solamente por el orden de colocación de los elementos. Las permutaciones de n elementos pueden ser consideradas como caso particular de variaciones de n elementos tomadas de n en n. Al número de permutaciones de n elementos se le representa con el símbolo P , y es:

P„ = V';, = n(n-l)(n-2)---3-2-l

El producto n(n-1)(n-2)...1 es también llamado factorial de n, y se representa por n!. Por tanto P„ = n! = n(n - l)(n -!).. -3 -21

(3)

Ejemplo B.3 ¿De cuántas maneras pueden sentarse seis personas en un banco?, ¿y en una mesa camilla? Hay tantas formas de sentarse seis personas en un banco como ordenaciones posibles de seis elementos distintos. Se trata de permutaciones de 6 elementos: P6=6!=720. Cuando las seis personas se sientan en una mesa camilla, observamos que, si trasladamos a cada persona un asiento a la derecha (o a la izquierda), se obtiene una situación idéntica a la anterior. Entonces, si se fija una persona, y se permuta el resto, se tienen todas las formas posibles: P=5!=120 B.4. Permutaciones con repetición Se llama permutaciones con repetición de n elementos a las distintas agrupaciones que se pueden formar con los n elementos de modo que se cumplan las condiciones: 1) en toda agrupación figuran todos los elementos; 2) entre los elementos de cada agrupación los hay que son iguales entre sí. El número de permutaciones con repetición se denota por P J-b-, donde m es el índice inferior, que indica el número de elementos de que consta cada agrupación, y a,b,... son los índices superiores, que señalan el número de veces que se repite cada elemento. Para determinar cuántas son, pensemos sobre un ejemplo concreto:

535 Ejemplo B.4 Queremos hacer quinielas de fútbol que contengan 7 signos 1, cuatro X y tres 2. Con estas condiciones, ¿cuántas columnas distintas se pueden rellenar? Una posible combinación es 1111111 XXXX222 Si se permutan entre sí los siete unos, las 4 X y los 3 signos 2, se tienen 7!4!3! agrupaciones, que corresponden a la misma apuesta. Luego el número de agrupaciones distintas es el cociente de dividir el número de permutaciones ordinarias de 14 elementos entre 7!4!3!: 14' p7A.i . ru .

120120 P7P4P}

7!4!3!

Generalizando este resultado, el número de permutaciones con repetición de m elementos, en donde uno de ellos se repite a veces, otro b veces,..., otro c veces, siendo m=a+b+...+c, es

r Pt " p„p„.

Pe

m! " a!b!...c!

(a + b+. a!b!. .c!

(4)

B.5. Combinaciones Se llama combinaciones de m elementos tomadas de n en n a las distintas agrupa ciones que se pueden formar tomando n elementos de los m de tal forma que una agrupación difiera de otra por la naturaleza de algún elemento. Representaremos por Cmn al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n. Este número coincide con el número de subconjuntos de n elementos que se pueden obtener de un conjunto de m elementos. Para hallarlo, se pueden formar las variaciones de los m elementos tomados de n en n. Fijada una de éstas, hay, con los mismos elementos pero en distinto orden, tantas variaciones como permutaciones de n elementos. Luego el número de combi naciones de m elementos tomados de n en n es igual al número de variaciones de m elementos tomados de n en n dividido por el número de permutaciones de n elementos: Y.

('

Ó)

A este número se le llama número combinatorio, se le denota por ('» ], y se lee «m sobre n». "' ' Teniendo en cuenta las definiciones y propiedades de variaciones y permutaciones, resulta:

536

(6)

En efecto:

\n)

V"„, P„

m(m- l)-(m-n+ l)

m(m- 1 ). . (m-n + l)(m- n)! n!(m - n)!

n!(m - n)!

Ejemplo B.5 ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres cartas a la vez de una baraja española? La solución es equivalente a contabilizar el número de subconjuntos posibles de 3 elementos de un conjunto de 40; son, pues, combinaciones de 40 elementos tomados de 3 en 3: . % Am 40 \ 40! - 9880 3 / " 3!37!

\?)

B.6. Combinaciones con repetición Se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n al número de agrupaciones distintas que se pueden formar con n elementos de entre los m, en las que pueden aparecer elementos repetidos, y donde dos agrupaciones son diferentes exclusivamente si tienen algún elemento distinto. El número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se representa por CRm", y viene dado por la expresión: CR','„ = Cm-n., = I

I

f7)

Ejemplo B.6 Disponemos de varios recipientes de 1 litro de las bebidas A, B y C. y nos dispo nemos a experimentar cócteles en envases de 4 litros. ¿Cuántos cócteles distintos podemos hacer? Se trata de las combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3: CRÍ=Ct = (l)=Y = 15

APÉNDICE C

OTROS MODELOS DE DISTRIBUCIÓN

C. 1 . Función r (gamma) Además de la distribución normal, cuyo papel relevante en los problemas de inferencias resulta evidente, es conveniente conocer otras distribuciones, en las que se basa gran parte de la estrategia de la Estadística Inferencial. Estas distribuciones se pueden introducir a partir de la distribución p (gamma), que toma su nombre de la función del mismo nombre, de gran interés en el análisis matemático. La distribución gamma sirve además de modelo para numerosos experimentos en los que interviene el tiempo, como sucede en las llegadas de aviones a un aeropuerto y, en general, en los problemas de teoría de colas. Las distribuciones exponencial y la X2 de Pearson son casos particulares de la distribución gamma; la primera se aplica a la resolución de problemas de fiabilidad y de procesos de Poisson, y la segunda tiene especial importancia en la construcción de test de hipótesis. Definición C. I: Se llama función T (gamma) ala aplicación r..9T -» 9T dada Por V(a ) = ]xa Vdc.Vcc e 9í

(1)

Esta función cumple las siguientes propiedades: I. ÜI.

V(l) = ]e'dx=l

D.

r(l/2) = ]x":eKdx = Jñ

r(z) = (z-I)r(z-D

IV

r(n) = (n-l)!, V« € N

C.1.1. Distribución r (gamma) Definición C.2r. La variable aleatoria X se dice que tiene una distribución gamma, de parámetros a y B, si su función de densidad es: -xa'e'Ksix>0 /To

P'T(ar 0

siendo coO y B>0.

(2) , resto

540 A partir de las propiedades de la función gamma, se demuestra que es una función de densidad, así como la siguiente proposición: Proposición C.l: La media y la varianza de la distribución gamma son: u = ceS y cr = rxB-

C.1.2. Distribución exponencial La función exponencial es el caso particular de la función gamma en que a=l . Por lo tanto, se puede definir: Definición C.3: La variable aleatoria X tiene una distribución exponencial de parámetro B si su función de densidad viene dada por: -e~>,six>0

(3)

f(x)=' 0

, resto

siendo B>0. Por tratarse de un caso particular de la distribución gamma, la media y la varianza de la distribución exponencial se determinan inmediatamente: L La media de la distribución exponencial es u=B. II. La varianza de la distribución exponencial es a2=BA C.1. 3. Distribución %2 La distribución X ' es otro caso particular de distribución gamma; se obtiene cuando a=n/2 y B=2. Esta distribución desempeña un papel fundamental en los problemas de inferencia estadística, sobre todo, los problemas referentes a bondad de ajuste, independencia y homogeneidad. Definición C.4: La variable aleatoria X tiene una distribución X ' con n gra dos de libertad, si su función de densidad viene dada por: 7

*

x'2~' e p , si x > 0

"'" \22r(f2> 0 siendo n un número entero positivo.

(4) , resto

541 Por tratarse de un caso parti cular de la distribución gamma, re sultan evidentes las siguientes propiedades: I. La media de la distribución X es n=n. II. La varianza de la distribuFigura C.I: Graficas de la X2 con 2 y 5 gl.

ción X ' es a2=2n. También se verifican las siguientes proposiciones, cuyas demostraciones omiti mos: 1. Sean las n variables aleatorias Z,,Z,,...,Zn independientes entre sí y todas ellas con distribución normal N(0,1). Entonces la variable aleatoria X2=Zf+- + Z2K se distribuye según una X ' con n grados de libertad. Un caso particular de éste es Z2 cuando Z es una variable aleatoria con una distribución normal N(0,1). Z2 es una X ' con 1 grado de libertad. En la figura C.I tenemos las gráficas de la X ' con n=l y n=6. Para n>2, las curvas correspondientes tienen forma algo parecida a la de la normal, pero con sesgo hacia la derecha. Esta distribución está tabulada para distintos valores de n (tabla A.5 del apéndice A). Para el uso de la tabla, se consi deran áreas a la derecha del punto crítico j£a2n, que representa el valor de la abscisa que deja a su derecha, bajo la curva, un área igual a a: r

0 2

P{x2^XÍ„)=a La tabla A.5 proporciona valores de Xñ.„ en función de a y n. Cada

Figura C.2: Área y valor critico de la X2.

columna, a partir de la segunda, está encabezada por los valores a de las áreas. La primera columna tiene los grados de libertad n, y, en el cuerpo de la tabla, figuran los valores de X 2Así, por ejemplo, el valor de la X ' con 6 grados de libertad, que deja a la derecha un área de 0'05, es X0205.6 = 12592 El 95% del área de una X ' se encuentra entre Xows y X0025.

542

Proposición C.2: Si x ' y x l son dos variables aleatorias con distribución X ' con r y p grados de libertad, respectivamente, entonces X

r + /»

Ai r

Ai p

La proposición C.2. nos indica que la suma de dos y2. es otra %2 que tiene, como grados de libertad, la suma de los grados de las otras dos.

C.2. Distribución t de Student' Otra distribución continua que desempeña un papel fundamental en la inferencia estadística, sobre todo cuando se trabaja con pequeñas muestras, es conocida como t de Student.

Figura C.3: Gráficas de la 1 con 2 y 5 gl.

Definición C.5: Si Y es una variable aleatoria que sigue una distribución nor mal N(0,1) y Xn2 otra variable aleatoria independiente de Y, que se distribuye según una X2 con n grados de libertad, la variable aleatoria Y

Vx;/« es una variable aleatoria, cuya distribución es conocida como t de Student con n grados de libertad, siendo n un número entero positivo. La distribución t de Student representa una familia de funciones que depende del parámetro n. La función de densidad de la distribución t está definida en todo el campo real, su gráfica es simétrica con respecto al eje de ordenadas y se asemeja a la normal tipificada, a la que converge cuando n crece. La figura C.3 nos muestra dos de las funciones de la familia de las t (con 2 y 5 gl). 1 Student es el seudónimo que utilizó W.S. Gossei cuando publicó, en 1908. la distribución que lleva este nombre, para evitar que el dueño de la cervecería donde trabajaba conociera su identidad.

543

En la tabla A.4 del apéndice A, están tabulados los diferentes valores de la t para distinto número de grados de libertad. Para utilizar la tabla A.4, se consideran áreas a la derecha de un punto t (punto crítico), que corresponde al valor de la abscisa que deja a su derecha un área igual a a en una t con n grados de libertad, es decir: P(t>ta.„)=a La tabla A.4 difiere de la tabla de la normal en que las áreas, en la t, son los encabezamientos de las columnas y los valores de t figuran en el cuerpo de la tabla, al contrario de la normal. Media y varianza de la t de Student: I. La distribución t de Student con n grados de libertad tiene como media u=0, si n>1. II. La distribución t de Student con n grados de libertad tiene como varianza i cr =

n , si n > 2 n-2

C.3. Distribución F de Fisher-Snedecor La distribución F de Fisher-Snedecor también va a desempeñar un papel funda mental en los problemas de inferencia, sobre todo en los relativos al análisis de la varianza. La definición de la distribución F se puede introducir a partir de la Xj. Definición C.6: Si xl y Z„ son dos variables aleatorias independientes, que siguen una distribución %2 con ni y n, grados de libertad, respectivamente, entonces la variable aleatoria X„,'/ni F= x„;/n2 tiene una distribución F con n y n, grados de libertad. Se trata también de una familia de distribuciones, que dependen de los parámetros n, y n,, donde ni es el nú mero de grados asociados a la fun ción del numerador y n, el número de grados asociados al denominador. Por consiguiente, la gráfica de F va a depender del orden en que se dan los parámetros n y nv

Figura C.4: Gráfica de la F de Fisher-Snedecor.

544 La distribución F está también tabulada para distintos valores de los parámetros y distintos niveles de significación (tablas A.6 del apéndice A; se incluyen cuatro ta blas: dos para a=0'05 y dos para a=0'01). Las tablas nos proporcionan el valor de la abscisa, Fa , que deja a su derecha un área igual a a en una F con n, y n2 grados de libertad: P{F„,.„2>Ftt,„,„)=a La propiedad que enunciamos a continuación relaciona los valores de la F los de la F , que permite evaluar los valores de la F para a=0'95 y a=0'99. Proposición: En una distribución F con ni y n, grados de libertad, se verifica / * /-« ,n,.n2 ~ rp * a .n2.n1

con

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE NÚMERO PAR

547 CAPITULO 1 1.2. La tabla de frecuencias es: Clases

n1

2' 5-2'75 2' 75iS3

27 36 85 144

3-3 '25 3' 25-3' 5 3' 5-3' 75 3' 75-4 4-4'25 4' 25-4'5

Total

«I

98 56 32 22 500

»1

y el perfil radial:

lOOfj

0'054 5'4 — 27 0'072 7'2 — 63 0'170 — 148 - 17 0' 288 28' 8 — 2920' 196 19' 6 -39011' 2 0' 112 — 4460' 064 6' 4 -47B4' 4 0' 044 — 500l'DO

100

1 .6. Los polígonos de frecuencias de las dos distribuciones son:

Se trata de una distribución continua, cuya representación más adecuada es el histograma: 0' 15 -

0' 30

0' 05

0. 20

1 .8. La siguiente tabla contiene las distri buciones del trigo y de la cebada:

0' 10 Ano

2'5

3'25 3'5

1 .4. El perfil ortogonal es:

n1

fi

n'l

'l

4

465

5

503

6

388

0' 106 0'119 0'094 0' 101 0' 110 0084

7

405

cose

754

B

298

0065

790

9 10

600 446

0' 131 0' 097

878 910

0' 112 O' 165

Total 457Z

1- 000

7825

1' 000

1

407

2

546

3

434

458 730 095 978 80Z 630

0'058 0'093 0' 114 0' 125 0'102 0085 0'096 O'IOO

Los polígonos de frecuencias del tri go y de la cebada son:

..a \ \

HLCIFHREDMU

123456

7

99

10

548 1 . 1 0. El diagrama correspondiente a la dis tribución del empleo es:

1 . 1 6. Un posible pictograma es: Pitner u Inestre

Segundo t t inest re

Construcción

Induttrla

CM Agricultura

d¡5É

Otro»

■■■"

Servicios

1 . 12. La tabla de frecuencias es: 1.18. 1 ). El histograma correspondiente es: 20-30

7

30-40 40-50

6 11

50-60 60-70

8 7

70-BO

6

80-90

5

90-100

4 200 300 400 500 600 700 800

1.14. 1 ). Diagrama de barras vertical: 2) Curva acumulativa de frecuencias:

,1 Mw i

4

•

ti

10

2). Diagrama de frecuencias acumuladas: —i i

250

¡

U'5 -

I

1

i—i

i

i

,

»

t

1

1

1

350

450

550

650

1—

750

549 CAPITULO 2 2.2. Media : 7'941. mediana = 7'82, moda = 8'01. 2.4. Media=3'333, mediana=3, moda=3. 2.6. Mediana = 6, moda = 6, P = 3'75, P„, = 6'75 Rango=33%. 2.8. Q, = 50'82.Q, = 62,84. Rango : 44'95 ■ 45%.

m. cuadrática=l 1 '427; m. armónica=7'0088. Es 7'008<8'574<10'136<11'427, lo que comprueba la relación conocida entre las 4 medias. 2.14. 1) Media=37'777 ptas., mediana=34'l1. 2) Que la mediana es igual a 34' 1 1 signifi ca que la mitad de los clientes retiraron una cantidad inferior a 341 10 ptas. y la otra mitad una cantidad superior. 3) Rango=84'4%.

2. 10. Media=250791'66. mediana=l 28900; todos los valores se dan una sola vez: carece de moda. Por encima de la media: Alemania, Francia. Italia y Reino Unido. Bajo la mediana: Bélgica. Dinamarca. Gre cia. Irlanda. Luxemburgo y Portugal.

2.16.Q,=4r46,Q=67'96. La cuarta parte de los alumnos tiene una calificación inferior a 41'46 y otra cuarta parte de los alumnos una califica ción superior a 67'96.

2. 1 2. M. aritmética = 10' 1 36; m. geométrica = 8'574:

2.18. Mediana=77'5, Q=58. Q =95, Rango=43%.

CAPÍTULO 3 3.2.

3.4.

1) a,=4'372, a,=152'139. 2» m,=0, m=2'66.

a =24' 139. a4=1040'79.

3.6.

a=33'33, a=1280'5, a =54888'8, a4=2550069'4.

m4=52'53.

3.8.

l)o=8O'9O.a=8'99. 2) A^'28. Ap=0'33. 3)g4=2'41-3=-0'59<0, luego es platicúrtica.

1) M,=6'06. Media=6'12. d Desviación mediana=0'44, D.a.m. respecto de la media na^' 84, D.m. respecto de la media=0'837. R2=6,Rl=6'62-5'41=r21. 2l R.=0'605. 3) o:=ri9,a=r09.

3.10. m,=0, nv=0'014. m =-1'25, m=6'07. 3.12.

a,=100'1,o:=274'99,a=16'58, A,.=0'067. Ap=0'06.

550 3.14.

1) Media=17'891. Varianza=13'61. Desviación típica=3'69.

3.16.

a=3'981;a=15'851;a=63'13; a4=25'14.

2) R=20'75-15'7=5'05. ^=2-525.

Los dos coeficientes señalan que hay simetría negativa.

AJH)'64;Ap=-0'154.

CAPITULO 4 4.S

4.2. i 6 8 e G f. 7 o

ru 100

300

500

700

4.4. M=16 Bd=350 ,190

H,=770 HM80

i!IEi-2

E,=9S

E^920

L, = 70

L =980

É=507-S

100

4.6. 12

oo

13

000

14

ooo

15 16

00 ooooooooo

1?

ooo

líi

00000

19

00

300

4.10. Las puntuaciones que separan cada una de las categorías son la mediana y los dos cuartiles, que son: Q,=355, Md=481 yQ=630. Pertenecen a D los que puntúan por de bajo de 355; a la categoría C los que puntúan de 355 a 48 1 ; a la categoría B los que puntúan de 481 a 630, y forman parte de la categoría A los que puntúan por encima de 630. 4. 1 2.

Para el trigo es CV =0' 1 6. Para el maíz es CV =0' 10. La distribución del maíz es más homogé nea. Luego, aunque poco, es más homogénea la producción de maíz.

551

4.14.

CAPITULO 5 5.2. 1) Características de las distribucio nes marginales: a» = 18'4,sx:=7,84,sx=2'8, an,=60, s;=774'99, sY=27"83. 2) Características de la condicionada: Media=33,33,Var=138'88, D.u'pica=11'78. 5.4. X depende funcionalmente de Y; en cambio, Y no depende funcionalmente de X. 5.6.

La distribución de la capacidad psicomotora condicionada por una edad de 10 años es: 10-16

0

17-23

0

24-30 31-37

9

38-44

45-51 52-58

1

5 6 3

a,,=7,84,an=774,99.a,=1060. a„=6659,2.an =365625. 5.12. mn=665. Hay una relación de depen dencia funcional entre las dos variables.

5.8.

a,l=155'5, a„ =8'3, a2n=2307'45, a0,=7'41,m,=92,05." 5. 14. 1 ) La distribución marginal de X vie ne dada por la tabla:

5.10. La distribución marginal del avance de la capacidad psicomotora viene dada por la tabla: 10-16 17-23 24-30 31-37 38-44 45-51 52-58

6 13 20

rr.o rss r55-ri.o rdn-r65 i'G5-r7o i'7o-i'75

La distribución marginal de Y viene dada por:

24 50-55

3

55-60 60-65 65-70

21

101

70-75

59

75-80 80-85

39

28 32 22

La distribución marginal de la edad es: 7

8

9

10

11

12

13

14

11

22

14

24

30

26

14

.1

50

17

552 2) La distribución de X condicionada por Y=l '625 es: 55-60

4

60-65

22

5.18. Una representación adecuada de la distribución conjunta es mediante círculos:

I- 76

w

o"

1'72

65-70

63

1'70

70-75

28

I" 68

—i» i

75-80

10

80-85

14

3) La distribución de Y condicionada por X=62'5 es:

Ul 73

76

78

80

82

5.20. La producción según el país es: ****-^l

pa

¡a

b«¿.&»¿ Canadá

r50-l'55 1' 55-1' 60 I'601'65 l'65-r70 T70-r75 EE UU II 1 I 1 I Austral!a

4) No hay relación de dependencia fun cional.

m18 A lg od 6 n Tabaco

\///A franela Todos

5.16. Se trata de una población descrita individuo por individuo, por lo que está indicado representar la distribución con junta mediante el diagrama de dispersión:

CAPITULO 6 6.2. r=-0'97. 6.4. 1) ox=6'19,oY=6,34,m1=-7'84y r=-0'199. 2) La correlación es muy débil y ne gativa; no parece que el cursillo influya

en la capacidad de captación de nuevos clientes. 6.6. sx.= 18'59, sY.=25'34, m', =-94'08, r'=-0'199. Se observa que los coeficientes de co-

553 rrelación son iguales. Se cumple la pro piedad I de 6.5.2.2. 6.8. Se debe aplicar el coeficiente . =0'069, luego no existe correla ción. 6.10. Se utiliza el coeficiente de correla ción biserial puntual, que es rb =0'21. La correlación es muy débil. 6.12. Se trata de dos variables continuas dicotomizadas, por lo que se usa el coefi ciente de correlación tetracórica, que es: rT=0'09 lo que indica una relación positiva muy débil entre el peso y la aplicación en el estudio.

6.14. Se trata de dos variables, una conti nua y otra dicotómica, luego se utiliza el coeficiente de correlación biserial puntual, que vale: Sí hay correlación. 6.16. 1) la recta pedida tiene por ecuación y=0'119x-0'668 2) El gasto estimado en transporte es de 17182 ptas. 6. 1 8. El coeficiente de Spearman, que vale: rs=0'68.

CAPITULO 7 7.2. l)Es(E,B,P), donde E={ 1.2,3,4,5,6}, B es el conjunto de las partes de E, y P viene dada por las probabilidades de los sucesos elementales, que son: P(1)=l/21, P(2)=2/21, P(3)=3/21, P(4)=4/21, P(5)=5/21 yP(6)=6/21. 2)P{l,3,5}=3/7; P{3,4,5,6}=6/7; P{3.5}=8/21.

7.14. p=l/18. 7.16. p=35/92. 7.18. p=3/8. 7.20. l)p=l/35;p=34/105;p=6/35. 0, si x<-1

7.4. 1)E1 35% lee al menos uno de los periódicos. 2) El 65% no lee ninguno.

-., 4 si -1
7.6. 1 ) p= 1 /2470; 2) p=3/ 1 235 ; 3)p=100/247.

F(x)= |, si 02

7.8. l)p=l/8;2)p=l/4;3)p=l/2. 0, six<0 7.10. l)p=3/10; 2) p=2/5; 3) p=3/5. 7.24.

(1 -cosx), si0
7.12. l)p=l/6; 2) p=l/2; 3) p=l/2. 1, SÍ x > 71

554 7.26. 1) Ganancia media esperada=60 ptas. 2) Varianza=146080.

7.30. p=0'85. 7.32. m2=l'05; m3=-0'6; m4=2"06.

7.28. Y = {V2.'} con P{j2) = 05y HD = 05. CAPÍTULO 8 8.2. p=0' 1042.

8. 14. 1 ) p=0'9878; 2) p=0'3632; 3) p=0'0901 ; 4)p=0.0113:5)p=0,7647.

8.4. p=0'83. 8.6. p=0'O039.

8.16. 1) a=2"05; 2) a=-0'93; 3) a=0'84; 4) a=-0'53.

8.8. 1 ) n=2; 2) p=0' 1 00 1 ; p=0' 2076.

8.18. 1) n=4194; 2) n=1303; 3) n=4503.

8.10. 1 ) Binomial B(6,3^7): 2) np=2'57.

8.20. p=0'36.

8.12. l)p=0.2458;2)p=0'0989;3)p=0.2621.

8.22. l)p=0'0907;2)p=0.0002;3)p=0.

CAPITULO 9 9.2. Media=2'5; desviación típica=0'64.

9.18. Intervalo del 95%: I=[ 1965.2035].

9.4. l)p=0'2126;2)p=0,7874.

9.20. El tamaño de la muestra debe ser n=130.

9.6. 1) p=0'063; 2) p=0.()63; 3) p=0'874. 9.8. 1) Mediana=l 1 ; Q =7; Q =15'5; R=24.

9.22. El tamaño de la muestra debe ser n=21.

9.10.p=0,9934.

9.24. Intervalo para la desviación típica: I=[2r94,69'67].

9.12.p=0'0125. 9.14. Intervalo para duración media: I=[98972,1010'27]. 9.16. 1) Intervalo del 95%: I=[4'95.5'45]. 2) Intervalo del 99%: I=[4'87,5'53].

9.26. Intervalo del 95% para la media de horas: I=[7'48.8'52].

555 CAPITULO 10 10.2. Resulta Z=4'08>1'65, por lo que se rechaza la hipótesis nula, tomando la de cisión de no administrar el medicamento. 10.4. Z=-3'5<-1'96, por lo que se rechaza la hipótesis nula, concluyendo que la máquina no se ajusta a la programación. 10.6. t=-6'57<-2'53, luego se rechaza la hipótesis nula, aceptando que U<1 15. 10.8. El tamaño debe ser n=l 1 . 10.10. Z=2'23>1'96, luego se rechaza la hipótesis nula, por lo que, en principio se acepta una vida media superior en dicha región.

10.12. t=l'8690000, utilizando la t de Student, puesto que se desconoce la desviación típica muestral. 2) Si admite una duración superior a 90000 horas, y resulta falso. 3) Si acepta una media de 90000 horas, cuando la media es superior.

CAPÍTULO 11 11.2. Valor estimado de Z=l'32<
1 1 . 1 2. El valor estimado del parámetro es t=3 ' 82 1 >t , , 0.025=2'20 1 , luego sí es signifi cativa la diferencia entre los tiempos em pleados antes y después de utilizar el pro grama. 1 1.14. Z=-0'97>-1 '96, por lo que se acep ta la hipótesis nula: no hay diferencia sig nificativa al nivel del 0'05.

1 1 .6. El tamaño debería ser n=33. 11.8. 1) El valor estimado para el contras te de varianzas es F=1'638z0.025=l'96, luego resulta significativa la influencia del sexo.

11.16. t=0'789- 1 '772, por lo que se acep ta la hipótesis nula, no apreciándose di ferencia en cuanto a la forma de pensar frente al problema de la droga.

556 CAPITULO 12 12.2. El valor estimado del estadístico es X2 =12'59>X62oo5=12'59, luego se re chaza la hipótesis nula, y, por tanto, se admite una dependencia entre el hecho de vivir en una determinada zona y perte necer a una clase. 12.4. El valor estimado del estadístico es X ' = 25'92)xl¡m5 = 5'99' Por lo tanto' se rechaza la hipótesis nula, y se admite una relación de dependencia entre la práctica religiosa y el nivel de ingresos de las fa milias.

12.6. El valor estimado del estadístico es % 2 = I095>X¿o« = 5'". luego se rechaza la hipótesis nula, llegando a la conclu sión de que la moneda está cargada. 12.8. El valor estimado del estadístico es % 2 = \69'45)xla05 = 15'51, por lo que se rechaza la hipótesis nula, y no se puede aceptar que los datos procedan de una normal N(6,l '2).

CAPITULO 13 13.2. 1) Se trata de análisis de la varianza simple. 2) El contraste resulta significati vo. La tabla resumen del ANOVA es: origen de la variación

se

91

Intragrupo

12' 36

4

Intergrupos ierrori

15'32

25

27' 69

29

Total

nc

F

3 '092 5'044 0'613

13.6. 1) Se trata de análisis de varianza simple. El contraste resulta significativo. La tabla es:

3) Las pruebas LSD, de Tukey, Duncan y Scheffé dan todas diferencias significati vas entre las medias del tercero y cuarto grupo, y entre las del primero con el se gundo, cuarto y quinto. No la hay entre el primero y tercer grupo. 1 3.4. 1 ) La prueba del ANOVA simple re sulta significativa. La tabla resumen es: origen de la variación

SC

gi

Inttagrupo

6'905

3

Intergrupos ¡error )

8' 972

16

Total

15' 877

19

2) Las pruebas de comparación múltiples LSD, de Duncan, Tukey y Scheffé indi can diferencias significativas entre las medias de los grupos primero y tercero, y primero y cuarto.

HC

F

2.3018 4' 104 Q'5608

origen de la va laclón Intragrupo Intergrupos Total

SC

i32' 33 ei

rori

gl 4

24' 33 156' 66

nV 33'o8

F 33'9

D 97

¡:'.'

2) Las cuatro pruebas dan diferencias sig nificativas entre las medias del grupo ter cero con el primero y segundo, del grupo cuarto con el primero, segundo y tercero, y entre la media del quinto con el prime ro, segundo y tercero.

557

13.8. Es un ANOVA simple, cuya tabla resumen es: origen de lo variación

Intragrupo Intergrupos (error) Total

se

91

3i6'83

3

2i' 66

20

238 '50

23

HC

F

Origen de la variación

se

Prluer factor iaenor la i

567' 18

i

567' 18 30'76

Segundo factor iné todo i

859' 76

3

286'25 i5'52

Interacción

133'54

3

M'M

Va i lacló n Intergrupos

737' 49

40

i8'43

229696

47

tte

91

r

2'4i

10561 9746

roa

La prueba resulta significativa. Las pruebas de comparaciones múltiples LSD. de Tukey, Duncan y Scheffé dan diferen cias significativas entre las medias del grupo primero y segundo, la del grupo tercero con las del primero y segundo, y la media del cuarto con las de los otros tres. 13.10. 1) Se trata de un ANOVA de dos factores independientes: el método de enseñanza, que presenta cuatro niveles de tratamiento, y el factor memorístico, con dos niveles. Resumiendo, es un di seño factorial 2x4. La primera prueba y la interacción no son significativas. Resulta significativa la segunda prueba. La tabla resumen es:

Total

Para el segundo factor realizamos un ANOVA simple, cuya tabla resumen es: origen de ta variación Intragrupo

SC

.H

858' 72

3

Intergrupos ierrori

i43825

44

Total

2296' 97

47

HC

í

286' 24 8' 75 32 '68

Esta prueba resulta significativa, indi cando la prueba t protegida una diferen cia significativa de la media del grupo cuarto con respecto a las medias de los otros tres.

CAPITULO 14 14.2. 1) Recta de regresión: F Variación

5 Cuadrado

¡L

C Hedías

Contraste

Regresión

3 39' 1

1

339' 1

F=19. 96

Error

237'8

M

Total

576-9

15

y=0'528x+8r41.

2) r=0'76. 3) Valor estimado del estadístico: F=19'96; valor crítico: F™, , 14=4'60; lue go el contraste es significativo, y recha zamos la hipótesis nula, aceptando una relación lineal entre las alturas de padres e hijos. La tabla resumen del ANOVA para el contraste es:

16' 98

14.4. 1) Recta de regresión: y=-0'11x+8'66. 2) Calificación estimada: 6' 79. 3) Intervalo: I=[6'436,7'336].

558 14.6. Para una prueba bilateral, se obtiene como valor estimarlo: t=2'309; el valor crítico es: t0.05 ,8=2'048, luego el contras te resulta significativo, por lo que se pue de admitir que el coeficiente de correla ción de la población es distinto de cero. 14.8. Para una prueba bilateral, valor esti mado: r=0'3, valor crítico: r=0'404; por tanto se acepta la hipótesis nula, y, en consecuencia, que el coeficiente de co rrelación de la población es cero. 14.10. 1) Recta de regresión: y=2'4747x+7'459. 2) Cantidad promedio a 1'75: y=11'7897. 3) Valor estimado del estadístico: F=36'49, valor crítico: F0.05 , I2=4'75, lue go el contraste resulta significativo, por lo que se admite una relación lineal entre la temperatura y la cantidad.

La tabla resumen del ANOVA es: origen de 1 3 variación

SC

Regresión

gl

13' 93

1

Error

4'58

12

Total

18' 51

1 i

nc

r

13' 93 36' 65 o' 38

14.12. 1) Recta de regresión ajustada: y=0'849x+7'5. 2) Cantidad estimada: 45'705. 3) Intervalo para la respuesta media: I=[44'59,46'81] 4) Intervalo para una cantidad: I=[39'91,51'49] 14.14. Valor estimado del estadístico: F=2'958; valor crítico: F005 5 ,=2'68; luego el contraste es significativo, por lo que no es posible aceptar la linealidad del modelo. 14.16. I=[9' 11, 14'46].

CAPITULO 15 15.2. Valor estimado del estadístico: Z=0'159; valor crítico: Z0.o5=1'96; luego el contraste no resulta significativo. Se acepta que las dos muestras proceden de la misma población. 15.4. Valor estimado del estadístico: H=5'2552; valor crítico: 5'99; el contraste no es significativo, por lo que se admite que no hay diferencia entre las dos mues tras. 15.6. La prueba de rachas proporciona un valor estimado del estadístico: Z=0'975; el valor crítico para una prueba bilateral y

a=0'01 es 2'57; el contraste no es signifi cativo, y se puede admitir que las res puestas han sido aleatorias. 15.8. 1) La prueba de suma de rangos da un valor estimado del estadístico: Z=9'26; el valor crítico es 1'96, para una prueba bilateral y a=0'05, luego el contraste es significativo, y se admite una diferencia significativa entre las calificaciones de los dos grupos. 2) Una medida de la intensidad es: rG=0'32.

559 15.10. El contraste se puede hacer por medio de la suma de rangos. El valor estimado del estadístico es Z=l '35. que es menor que el valor crítico, 1 '96.

Se acepta la hipótesis nula, admitiendo que los dos instrumentos de medida dan los mismos resultados,

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ÍNDICE ALFABETICO

Agrupación en clases, 40 Ajuste, bondad de, 390 Ajuste de curvas -método de mínimos cuadrados. 185 Ajuste de una distribución de frecuencias -por una binomial, 269 Aleatoria, variable. 238-240 Aleatorio -experimento, 219 -suceso, 220 Alfa. Ver «Nivel de significación» Algebra, ó. 224 Alineación, coeficiente de no, 474 Altos, valores, 129 Amplitud del intervalo, 40 Análisis de dos caracteres, 145 Análisis exploratorio de datos. 1 19 Análisis de la varianza -Una variable independiente (análisis de varianza unidireccional), 412-428 -Cálculos. 420 -Comparaciones múltiples, 423-428 -Contraste de la F de Fisher-Snedecor. 420 -Estimador intragrupo e intergrupo. 419 -Grados de libertad. 422 -Intensidad de la relación, 428 -Medias cuadráticas, 418. 422 -Modelo matemático, 415 -Pruebas de comparaciones múltiples, 423 -Prueba de Duncan, 426 -Prueba LSD ó t protegida. 423 -Prueba de Tukey, 427 -Prueba de Scheffe, 425 -Suma de cuadrados, 420 -Tabla resumen, 423

-Técnicas del ANOVA. 411 -Variaciones intra e intergrupos. 417 Anómalos, datos, 132 ANOVA. Ver «Análisis de la varianza» Aplastamiento. 106 Aproximación de la binomial. 284 Apuntamiento. 106 -coeficiente de. 106 Área de rechazo, 335 Área bajo la curva normal, 279 Aritmética, media, 65-70 Armónica, media, 72-74 Asimetría -coeficiente de Fisher, 1 04 -coeficiente de Pearson, 105 -coeficiente de Bowley, 105 -coeficiente absoluto, 105 -índices, 123-124 -de Kelly, 124 -de Yule, 123 -medidas, 104-105 Atributos, correlación de. 204 Azar. 219 B

Bajos, valores, 129 Bayes, teorema de, 236 Bernoulli. pruebas de, 265 Beta. Ver «Error de tipo II» Bivariantes. distribuciones. 145 Bilateral, prueba. Ver «Contraste de hipótesis sobre la media» Binomial, distribución, 265-269 Biserial, correlación, 201 Bondad de ajuste. 390

570

Caja. Ver «Gráfico en caja» Cambio de variable, 252-256 Caracteres, 34 Cartograma, 48 Causalidad, 199 Centrimedia, 122 Centro de gravedad de la nube de puntos, 188 Clase, intervalo de, 40 Clase modal, 82 Cochram-Cox, modelo de, 374 Coeficiente -de apertura, 98 -de confianza, 315 -de contingencia, 406-408 -coeficiente <1>, 406 -coeficiente C, 407 -coeficiente Oc de Cramer, 407 -de correlación. Ver «Correlación» -de determinación, 193, 195, 474 -de regresión, 190 -de variación de Pearson, 98 -de variación media -respecto de la media, 99 -respecto de la mediana, 99 Combinaciones, 535 -con repetición, 536 -ordinarias, 535 Comparaciones múltiples. Ver «Análisis de varianza» Comprobación de hipótesis. Ver «Contrastes de hipótesis» Condicionada, probabilidad, 232 Contrastes de hipótesis, 331-354 -bondad de ajuste, de, 390 -bilateral, 338 -coeficiente de regresión (sobre el), 456 -consideraciones previas, 33 1 -con frecuencias, 389 -decisión final, 336 -decisiones posibles, 333 -determinación del valor crítico, 335 -diferencia de medias (sobre), 355-388 -establecimiento de las hipótesis, 332

-medias (sobre), 33 1 -selección del estadístico, 335 -nivel de significación, 334 -potencia, 342-350 -no paramétricos. Ver «Distribución libre» -unilateral, 337 -valoración del contraste, 339 Corrección de agrupamiento de Sheppard, 1 12 Correlación, 184, 192-205 -al cuadrado (r), 474 -biserial puntual, 201 -causalidad (y), 199 -coeficiente de, 193,194 -coeficiente *, 202 -contraste basado en el ANOVA, 456 -contraste de la diferencia, 476 -contraste basado en la t, 471 -datos agrupados, 197 -de Pearson, 193-194 -de Spearman, 200 -demostración de propiedades, 215 -estimación, 470 -negativa, 194 -positiva, 193 -potencia y correlación, 476 -tablas para el contraste, 471, 527 -tetracórica, 204 -variables incorreladas, 198 Covarianza, 160 Crítica -región, 335 -valor, 335 Cuadrática, media, 72 Cualitativos, caracteres, 35 Cuantiles, 75 Cuantitativos, caracteres, 35 Cuartil, 81 Cuarto, 130 Cuasivarianza, 300 Curtosis, 105, 125 Curva -acumulativa de frecuencias, 54 -de frecuencias, 52 -de Lorenz, 108 -de potencia, 348

571 -de regresión, 184 -normal general, 273 -normal tipificada. 277

Datos agrupados en clases, 40 Datos anómalos, 132 -adyacentes, 132 -alejados, 132 -remotos, 132 Decil. 81 Decisión, 333 Decisión final en un contraste, 336 Delta. Ver «Factor de equilibrio» Dependencia funcional. 155 Descriptiva. Ver «Estadística» Desigualdades de las medias, 74 Determinación. Ver «Coeficiente de determi nación» Determinación del valor crítico, 335 Desviación típica -definición, 94 -propiedades, 94 Diagrama -de dispersión, 174 -diferencial. 44 -de frecuencias acumuladas. 53 -integral. 53 -de rectángulos, 44 -de sectores, 45, 167 -de tronco y hojas, 126 Diferencia de medias, 353-388 -contraste con muestras grandes. 358 -varianzas población conocidas, 367 -determinación tamaño muestral. 365 -potencia del contraste. 362 -contraste con muestras pequeñas. 367 -potencia del contraste, 368 -inferencias sobre, 356 -intervalo de confianza para, 379, 381 -método de Cochram-Cox. 374 -método de los grados de libertad, 376 -método de trabajo, 355 -muestras independientes. 358-376

-muestras dependientes, 377-380 -poblaciones homogéneas. 373 -poblaciones no homogéneas, 374 Diseño de experimentos, 428-442 -Dos variables independientes (diseño factorial), 428 -Cálculos, 434 -Descomposición de las variaciones, 432 -Establecimiento de las hipótesis, 431 -Interpretación de los resultados, 442 -Medias cuadráticas, 433 -Modelo matemático, 429 -Pruebas de comparaciones múltiples. 439-443 -Prueba de los efectos principales, 442 -Tabla resumen, 443 Dispersión -concepto, 89 -medidas absolutas, 90-96 -medidas relativas, 97-100 Distribución de frecuencias, 35 Distribución libre, contrastes de, 483-505 -pruebas -basadas en rangos. 485 -de Kruskall-Wallis, 490 -de rachas, 501 -de signos, 503 -eficiencia de la potencia, 489, 494, 497, 500 -suma de rangos, 485 -Wilcoxon, 494 -ventajas e inconvenientes, 483 Distribuciones -condicionadas. 149 -continuas -exponencial. 540 -F de Fisher. 543 -Gamma, 539 -normal general, 273-277 -normal tipificada, 277-284 -t de Student, 542 -X: de Pearson, 540 -discretas -binomial, 265-270 -de Poisson, 270-273

572 -uniforme. 246 -leptocúrticas, 106, 125 -marginales. 147. 148 -mesocúrticas, 106. 125 -platicúrticas, 106, 125 -simétricas, 56 e Eficiencia. Ver «Distribución libre» Eficiente, estimador, 303 Error de -tipo I. 333 -tipo II. 333 Error típico, 302 Escala de potencias, 137 Espacio muestral, 224 Esperanza matemática, 244-246 Estadística -Descriptiva, 33 -Exploratoria, 1 19 -Hipotético-Deductiva, 33 -Inferencial, 33, 295 Estadístico. 299 Estereograma, 174 Estimación -por intervalo, 314-320 -puntual, 305-314 Estocástico. suceso, 219 Experimento aleatorio. Ver «Aleatorio». Exponencial -distribución, 540 -regresión, 208 Extensión, 133

Factor de equilibrio, 346 Fisher. Ver «Coeficiente» Formación de las variaciones ordinarias, 531 Frecuencia -absoluta. 36. 146 -acumulada. 36 -marginal. 147

-relativa. 36, 146 Frecuencias -contrastes con, 389 -propiedades de las, 36, 146 Función -de densidad. 242 -de distribución, 240 -de una variable continua. 243 -de una variable discreta. 239 -Gamma. 527 -generadora de momentos, 255 -masa de probabilidad. 239

Gamma -distribución, 539 -función, 539 Geométrica -media, 70 -regresión, 208 Gini. índice de, 108 Grados de libertad. 305 Gráficas -para distribuciones bivariantes. 163-175 -para distribuciones simples. 44-56 Gráfico -en caja y extensión, 133 Gran mediana. 498 Grupo -de contraste, 356 -experimental, 356 II

Hipótesis -aceptar. 333 -alternativa, 331 -contraste. Ver «Contraste de hipóte sis», 331 -nula, 331 -rechazar, 333 Histograma, 49 Homogeneidad de las varianzas. 37 1 Homogeneidad, pruebas de, 402

573 I

Igualdad de proporciones, prueba de, 404 Incompatibles, sucesos, 220 Incorreladas, variables. 198 Independencia funcional. 161 Independencia, pruebas de, 398 índice de discrepancia de la hipótesis nula, 343 índice de Gini, 108 índices

-de cuitóos, 125 -de forma -asimetría -de Kelly, 125 -de Yule, 124 -de dispersión, 1 23 -de localización resistentes. 121 -de variación cuartílica. 124 Inferencia, 281 Inferencias sobre -diferencias de medias. 356 -diferencias de proporciones, 383 -medias, 373 -proporciones, 379 Inferencial. Ver «Estadística» Interacción, 443 Intercuartílico. recorrido. 91 Intervalo de clase, 40 -amplitud. 40 -extremos, 40 -marca de clase, 41 Intervalo de confianza -para la diferencia de medias, 361 -para la media. 331 -varianza conocida. 316 -varianza desconocida. 3 1 9 -para la proporción, 379 -para la razón de varianzas, 324 -para la varianza, 323

Ji cuadrado (X:) -distribución, 540 -tabla. 518

K

Kolmogoroff. axiomática de. 526 Kruskal-Wallis, prueba de, 490

Laplace. regla de. 229 Límite de confianza, 315 Límites -internos -interiores, 132 -exteriores. 132 -externos -interiores. 132 -exteriores. 132 Línea resistente, 130 Linealidad del modelo, 465 LSD. prueba. Ver «Análisis de la varianza» M Media -aritmética, 65-71 -armónica, 73 -contraste sobre la. Ver «Contraste» -cuadrática. 72 -geométrica. 70 -global. 414 -recortada, 121 -intercuartílica. 122 Mediala. 109 Mediana -cálculo. 76

-definición, 75 -extendida, 122 -prueba de la, 498 Medidas -de aplastamiento, 105 -de apuntamiento. 105 -de dispersión, 90 Mínimo cuadrática, recta. 187 Moda -cálculo, 82 -definición, 81

574 Modalidad, 56 Modalidad del carácter. 34 Modelo -lineal, 452 -matemático. 415. 429 Momentos -centrales. 100, 157 -factoriales. 100 -potenciales. 100 -respecto al origen, 101 Muestra, 297 Muestral. espacio, 224 Muestreo -aleatorio, 297 -aleatorio simple. 298 N Nivel de significación, 334 Normal. Ver «Distribuciones» Normalidad, pruebas de. 394, 396 Nube de puntos. 184

Octavos, 130 Ojiva, 55 Operaciones con sucesos, 220

Paso, 132 Pearson, coeficiente de -asimetría. 105 -correlación general, 193 -correlación lineal, 194 -variación, 98 Parabólica, regresión, 206 Parámetro. 37 Patillas, 134 Perfil -perfil ortogonal, 47 -perfil radial. 48 Permutaciones -con repetición, 534

-ordinarias, 534 Pictograma, 46 Población, 33. 297 Poisson, distribución de, 270 Polígono de frecuencias acumuladas, 54 Polígono de frecuencias simples, 52 Porcentajes. Ver «Proporciones» Posición, características de. 63 Potencia del contraste sobre -diferencia de medias, 356 -media, 342 -coeficiente de correlación, 473 -proporciones, 381 Primeros momentos -centrales, 100, 157 -respecto al origen, 101, 157 Probabilidad -asignación, 229 -condicionada, 232 -definición, 227 -propiedades, 227 -total, teorema de la, 236 Probabilístico, espacio, 227 Profundidad, 126 Promedio de cuattiles. 121 Promedio de cuartos, 131 Promedios de octavos, 131 Puntuaciones derivadas, 1 10 -T, 111 -SAT. 111 R Raíz, trasformaciones de raíz cuadrada. 140 Recorrido, 90 -intercuartílico, 91 -semiintercuartflico, 91 Recortadas, medias. 121 Recta. Ver «Regresión» Región de aceptación, 335 Región crítica, 335 Regla de Laplace, 229 Regresión -exponencial, 208 -geométrica, 208

575 -lineal, 168 -contraste. Ver «Contrastes» -elección del modelo, 452 -inferencias mediante la t, 460 -modelo de, 452 -parámetros, 452 -parabólica, 206 -recta de regresión de Y sobre X, 1 87- 1 89 -recta de regresión de X sobre Y, 1 89 Relación entre contrastes e intervalos, 339 Residuales, 396 Resistentes, índices de localización, 121 Respuesta promedio, 462 Restricciones en el uso de la X2, 393 Riesgo de cometer error de tipo I, 334

SAT (puntuaciones), 1 1 1 Sectores (diagrama de), 46, 167 Selección del estadístico para un contraste. 335 Sesgo, 56 Sheppard, corrección de, 112 Simetría, 56 Sistema completo de sucesos, 223 Spearmann (coeficiente de), 200 Sucesos, 220-225 -contrario, 221 -dependientes, 234 -diferencia de, 223 -diferencia simétrica de. 223 -igualdad de, 221 -incompatibles. 220 -independientes dos a dos. 235 -independientes (mutuamente), 236 -intersección de, 220 -operaciones con, 220 -relación de contenido, 221 -unión, 221 Sumas indicadas, 23 Sumas dobles. 27

t de Student, 542 T (puntuaciones), 1 1 1 Tabla -de contingencia, 391 -de letras-índice, 1 33 Tablas de distribuciones -de una variable continua, 43 -de una variable discreta, 38 Tablas estadísticas, 509 -binomial. 51 1 -Fde Fisher-Snedecor. 519-522 -normal. 515. 516 -percentiles de Tukey, 526 -Poisson. 513-514 -potencia, 523 -rangos studentizados de Duncan. 524. 525 -t de Student. 517 -valores críticos del coeficiente r de Pearson. 527 -valores del estadístico de Fisher. 528 -X2 de Pearson, 5 1 8 Teoremas de -Bayes, 236 -central del límite. 304 -Tchebycheff, 249 -de la probabilidad total. 236 Test. Ver «Contrastes» Tetracórica. Ver «Correlación» Transformaciones de potencias, 137 Trimedia. 121 Tronco. Ver «diagrama en tronco». Tukey, 119 -prueba de. 427 -tabla con los percentiles de. 526 l Uniforme, distribución. 264 Universo. 33

576

Valoración crítica del contraste unilateral, 339 Variabilidad, 89 Variable -aleatoria, 238 -continua, 242 -discreta, 240 -estadística, 35 -continua, 35 -discreta, 35 -tipificada, 1 10 Variables -cambio de, 252-254 -incorreladas, 198 -dependientes, 155 -independientes, 154

Variables que intervienen para la potencia, 343 Variación. Ver «Coeficiente» Variaciones -con repetición, 533 -ordinarias, 532 Varianza -definición, 94 -propiedades, 94 Verosimilitudes, 237

W

Wald-Wolfowit, prueba de, 501 Wilcoxon, prueba de, 494

Ediciones de la Universidad de Castilla-La Mancha

9

788488 255877