Ecole Centrale de Nantes Option Génie Civil
Eléments de Mécanique des Sol et de Géotechnique (suite)
Cours tiré de : Fondations et Ouvrages en terre G. Philipponnat, B. Hubert Edition Eyrolles, 1998, ISBN 2-212-07218-X Polycopié de Christophe Dano, ITII – ECN filière BTP Yvon Riou Ecole Centrale de Nantes Département MMGC
Sommaire Chapitre 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 Chapitre 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 Chapitre 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 Chapitre 4. 4.1 4.2 4.3 4.4 Chapitre 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 Chapitre 6. 6.1 6.2 6.3 6.6 Chapitre 7. 7.1 7.2 Chapitre 8. Chapitre 9. Chapitre 10.
Constitution et Propriétés physiques des Sols Définition d’un sol Reconnaissance des sols Caractérisation de la phase solide Classification des sols Propriétés Hydrauliques des Sols Propriétés de l’eau libre Ecoulements souterrains Résultats pratiques : détermination de la perméabilité, Formules d’écoulement en régime permanent Drainage et rabattement Théorie de la Consolidation Sols saturés, sols non saturés Etude qualitative de la consolidation Théorie de la consolidation Essai de compressibilité à l’œdomètre Comportement Mécanique des Sols Rappel de mécanique des milieux continus Théorie de la plasticité Détermination des caractéristiques mécaniques des sols Reconnaissances des propriétés mécaniques sols Etats de service et états limites Définitions Représentation des actions Combinaisons d’actions Propriétés des matériaux et des produits Données géométriques Formats de vérification des constructions Cas de la géotechnique Stabilité des pentes et des talus Généralités Rupture circulaire avec coefficient de sécurité global Rupture circulaire avec coefficients de sécurité partiels Stabilité des pentes en rupture plane Actions des terres sur les soutènements Etats d’équilibre limites Considérations pratiques pour la détermination des efforts de poussée – butée sur les écrans Fondations superficielles Fondations profondes Pathologie des fondations
5.
Fondations profondes et semi-profondes 5.1.
Définition et principes de dimensionnement
Les fondations profondes (pieux) permettent de reporter les charges d'un ouvrage au niveau des couches situées en profondeur. Elles sont en général utilisées quand la résistance des couches des terrains superficiels n'est pas suffisante pour supporter les charges transmises par une fondation superficielle ou que les tassements induits par ce type de fondation sont trop importants. En général l’élancement 𝐷⁄𝐵 > 6 et 𝐷 > 3𝑚, 𝐷 étant la 𝐷 longueur enterrée dans le sol et 𝐵 la largeur. Il existe un autre critère : 𝑒⁄𝐵 > 5, 𝐷𝑒 étant la hauteur d’encastrement équivalente, définie plus loin. Les fondations semi profondes rentrent dans la catégorie des fondations profondes ou des fondations superficielles selon les modes d’exécution et la nature du sol. Dans certains cas elles font l’objet d’un dimensionnement particulier. Nous avons vu que, dans les fondations superficielles, l'effort était transmis à la base de la fondation et que l'on cherchait à rester éloigné d'une éventuelle rupture du sol ou d'une déformation importante sous cette fondation. Dans une fondation profonde, l'effort transmis à la fondation profonde est repris à la fois par la base de la fondation, mais aussi par le frottement latéral qui va s'exercer à l'interface entre le sol et le pieu.
Pieu soumis à une charge verticale
Les fondations profondes traversent généralement une ou plusieurs couches de qualité diverses pour s’ancrer dans un horizon présentant une bonne résistance mécanique (couche d’ancrage). La fiche 𝐷, longueur enterrée, est appelé hauteur d’encastrement. 𝐻 est la hauteur d’ancrage. 𝐷 = 𝐻 pour un sol homogène Pour les fondations profondes la charge se transmet : à la base de la fondation (sous la pointe). La résistance de Hauteur d’encastrement 𝐷 et hauteur d’ancrage 𝐻 pointe est peu influencée par le type de pieu par le frottement latéral entre le fût du pieu et le sol. Le frottement latéral dépend : o du matériau constitutif du pieu : bois, métal, béton, o du mode de mise en place : battu, pilonné (préfabriqué, métal), foncé, vibrofoncé, foré (tarière, bétonnage tubé ou non (boue), ...). Refoulement ou non du sol (rapprochement avec la poussée et la butée des écrans). Les injections renforcent encore le frottement latéral. 𝐻1 : hauteur libre ℎ𝑐 : profondeur critique Profondeur critique : profondeur au-delà de laquelle la position de la surface n’intervient plus, pour un pieu donné, dans la capacité portante
La charge de fluage 𝑄𝑐 marque la limite du domaine pseudo-élastique (charge en deçà de laquelle l’enfoncement est proportionnel à la charge).
Définition des charges Remarque : La charge limite n’est pas toujours bien définie (asymptote oblique). Dans ce cas on considère la charge pour un enfoncement de /10 , 𝐵 étant le diamètre ou la largeur du pieu
Cas particuliers de pieux : Les colonnes ballastées (sol substitué par du gravier) Les barrettes (pieux forés de section rectangulaire) Les micropieux, picots (𝜙 < 250𝑚𝑚)
Picots pieux, micropieux
On parlera de pieu colonne ou de pieu flottant selon que la part prise par la résistance de pointe dans la portance du pieu (respectivement importante ou faible). Le type de sol conditionne également cette capacité portante : le cisaillement du sable peut s’accompagner d’une déformation volumique « empêchée » qui augmente le frottement latéral, par contre certaines agiles peuvent subir un remaniement produisant une décohésion et ainsi une résistance au frottement dégradée. La charge limite du pieu est donnée par la formule suivante : 𝑄𝑢 = 𝑄𝑝𝑢 + 𝑄𝑠𝑢 𝑄𝑝𝑢 : charge de pointe 𝑄𝑠𝑢 : charge mobilisable par frottement au niveau du fût du pieu 𝜌𝑝 : 𝜌𝑠 : 𝐴: 𝑃: 𝑞𝑝𝑢 : 𝑞𝑠𝑖 : 𝑒𝑖 :
𝑄𝑝𝑢 = 𝜌𝑝 . 𝐴. 𝑞𝑝𝑢 𝑄𝑠𝑢 = 𝜌𝑠 . 𝑃. ∑ 𝑞𝑠𝑖 . 𝑒𝑖
coefficient réducteur de l’effort de pointe (voir tableau ci-dessous) coefficient réducteur du frottement latéral (voir tableau ci-dessous) aire de la section droite du pieu (voir figure ci-dessous) périmètre de de la section droite du pieu (voir figure ci-dessous) résistance limite de pointe frottement latéral unitaire dans la couche 𝑖 épaisseur de la couche 𝑖 (pour la couche d’ancrage, 𝑒𝑖 est remplacé par 𝐻
A noter que cette charge limite peut concerner la compression comme la traction (pas d’effort de pointe en traction). Pour un groupe de pieux rapprochés, il convient de vérifier la stabilité d’un pieu et celle du groupe.
Pieux soumis à des efforts parasites divers o Pieux soumis à un chargement horizontal ou à un moment en tête o Pieux soumis à un frottement négatif lié à un tassement du sol environnant o Pieux soumis à une poussée horizontale sous l’effet du fluage horizontal des sols mous chargés dissymétriquement
Ne sont pas abordées ici les résistances des matériaux constitutifs (résistance propre (RDM) et durabilité (bois, béton)).
Méthodes pratiques de détermination de la charge ultime d’un pieu sollicité selon axe
Toutes les méthodes font appel à des essais in-situ ou en laboratoire. Certaine sont basées sur des principes de la mécanique. Comme pour les fondations superficielles on distingue 2 grandes catégories : Interprétation d’essais in-situ (formules empiriques) o Essais au pénétromètre statique (sols meubles) o Essais au pénétromètre dynamique o Essai au pressiomètre Ménard, très répandu en France o Essais de chargement de pieu o Essai au phicomètre, peu répandu en France Formules basées sur la mécanique et des essais en laboratoire Observations : L’essentiel des règles de dimensionnement provient d’observations et mesures sur le terrain. En effet les modélisations ne permettent pas généralement de représenter le remaniement du sol lors de la mise en place des pieux. Suite à de nombreux essais instrumentés sur le terrain, il a été observé que, dans un 1er temps, la charge est reprise par le frottement latéral dans les premières couches de sol. Assez rapidement ce frottement va se stabiliser (frottement limite). Mais la charge sur le pieu augmente au fur et mesure que le pieu s’enfonce, la surface latérale augmentant. La résistance de pointe au départ nulle va progressivement augmenter avec l’enfoncement. A une certaine profondeur, le frottement latéral est saturé sur tout le fût et la rupture va apparaître lors l’effort de pointe est totalement mobilisé.
Evolution de la résistance de pointe et du frottement latéral unitaire en fonction de l’enfoncement
5.2.
Méthode par essais de laboratoire
Même si pas recommandée dans la pratique (avec les Eurocodes, ça évolue), on la présente ici puisqu’elle permet de comprendre les phénomènes.
Résistance limite de pointe
Elle est basée sur une formule similaire à celle correspondant à une fondation superficielle : 𝑞𝑝𝑢 = 𝛾. 𝐷. 𝑁𝑞 + 𝑐. 𝑁𝑐 On néglige le terme de portance 𝑁𝛾 vu la faible largeur de la fondation. Par ailleurs les autres coefficients sont plus élevées vu la hauteur d’encastrement et la forme des lignes de glissement qui remontent sur le fût. Cas du sol pulvérulent (𝒄 = 𝟎) 𝑞𝑝𝑢 = 𝛾. 𝐷. 𝑁𝑞 D’après cette formule la résistance de pointe augmente avec la profondeur 𝐷, ce qui ne correspond pas à la réalité. Ceci est dû au fait qu’il se forme un effet de voute qui a tendance à soulager le sol avoisinant latéralement. A partir d’une certaine profondeur appelée ancrage critique 𝐷𝑐 , cette résistance est constante. pour un monocouche 𝐷𝑐 = 𝑚𝑎𝑥 (6𝐵, 3𝑚) pour un multicouche : 𝐷𝑐 = 3𝐵 Figure 11.6 : Schéma de fonctionnement d’un pieu d’après Costet et Sanglerat Si cette profondeur critique dépend de la compacité du sol et fait l’objet de désaccords entre auteurs, d’une manière générale, il est proposé le fonctionnement suivant : zone I : correspond au frottement latéral le long du fût ; dans cette zone, le milieu est en équilibre de quasi-butée ; zone II : correspond à l'effort de pointe ; dans cette zone on a également un équilibre de butée ;
zones III et IV situées au-delà des lignes de glissement ne sont pas en équilibre plastique, mais pseudoélastique.
Des calculs théoriques ont été développés sur la base de ce fonctionnement. Ils conduisent à des formules complexes et pas toujours en accord avec les expérimentations. Des essais de laboratoire, ont conduit Caquot et Kerisel à proposer la valeur de 𝑁𝑞 suivante : 𝑁𝑞 = 𝑒 7.𝑡𝑎𝑛𝜑 = 103,04 tan 𝜑 Des essais complémentaires in-situ ont conduit à modifier cette formule : avec : 3,7 < 𝑁 < 2,7 suivant le diamètre du pieu 3,7 pour des petits diamètres, 2,7 pour des grands diamètres
𝑁𝑞 = 10𝑁.tan 𝜑
Rappel : Pour les fondations superficielles les calculs théoriques conduisaient à : 𝜋 𝜑 𝑁𝑞 = tan2 ( + ) . 𝑒 𝜋.𝑡𝑎𝑛𝜑 4 2 Cette relation est considérée fournir le 𝑁𝑞 minimum. Si les lignes de glissement ne se referment pas complètement sur le fût, i.e. 𝐷 < 𝐷𝑐 (𝐷𝑐 : encastrement critique), on utilise la relation 𝛾. 𝐷. 𝑁𝑞 . La taille des lignes de glissement est fonction de .
Figure : Influence de l’angle de frottement sur les lignes de glissement issues de la pointe : d’après Caquot et Sanglerat. Caquot et Kérisel proposent pour 𝐷𝑐 : 2 𝐵 𝐷𝑐 = 4 . 𝑁𝑞 ⁄3 𝐵 étant le diamètre du pieu Si 𝐷 > 𝐷𝑐 , conformément à ce qui a été dit précédemment, la charge n’est plus proportionnelle à la fiche. C’est généralement le cas d’un milieu homogène. On utilise alors la relation suivante : 𝑞𝑝𝑢 = 𝛾. 𝐷𝑐 . 𝑁𝑞 ou 𝑞𝑝𝑢 = 𝑎. 𝑁𝑞 avec a : constante = 50 𝑘𝑃𝑎 Cas du sol présentant une cohésion, 𝒄𝒖 (calcul en contraintes totales) Si 𝐷 < 𝐷𝑐 , 𝑞𝑝𝑢 = 𝛾. 𝐷. 𝑁𝑞 + 𝜆. 𝑐. 𝑁𝑐
Si 𝐷 > 𝐷𝑐 , 𝑞𝑝𝑢 = 𝛾. 𝐷𝑐 . 𝑁𝑞 + 𝜆. 𝑐. 𝑁𝑐 ou 𝑞𝑝𝑢 = 𝑎. 𝑁𝑞 + 𝜆. 𝑐. 𝑁𝑐 avec 𝜆 = 1,3 pour une section circulaire ou carré 𝐵 𝜆 = 1 + 0,3. 𝐿 pour les barrettes et parois, 𝐿 étant la plus grande dimension transversale 𝑁𝑞 −1 𝑁𝑐 = 𝑡𝑎𝑛𝜑 Si 𝜑 = 0, sol purement cohérent, cette relation est remplacée par : 𝑞𝑝𝑢 = 7. 𝜆. 𝑐𝑢 ( !!!)
Résistance due au frottement latéral
Il peut être positif (résistant) ou négatif (terrain en cours de tassement, souvent lié à un rabattement de nappe ou une surcharge par un remblai, risque de flambement). Soit à considérer le frottement latéral positif. On a la relation : 𝜏𝑙𝑖𝑚 = 𝑐 + 𝜎′𝑛. . 𝑡𝑎𝑛𝜑 ∗ 𝜑∗ : angle de frottement sol-pieu, généralement pris égal à 2⁄3 𝜑′ si pieu en béton. 𝜎′𝑣 = 𝛾. 𝑧 𝜎′ℎ = 𝜎′𝑛 = 𝐾. 𝛾. 𝑧 On prendra : 𝐾 = 𝐾0 Si le pieu ne modifie pas l’état des contraintes dans le terrain 𝐾 = 𝐾𝑝 en cas de refoulement du sol (pieux battus, foncés) 𝐾 = 𝐾𝑎 en cas de décompression du sol (pieux forés) .z
Refoulement du sol
Décompression du sol
Valeurs du coeffcient (cas passif) Ainsi : 𝜏𝑙𝑖𝑚 = 𝑐 + 𝐾. 𝛾. 𝑧. 𝑡𝑎𝑛𝜑∗ Le frottement latéral limite total dans un sol homogène est alors égal à : 1 𝑄𝑠𝑢 = 𝑃. (𝑐. 𝐷 + 2 . 𝐾. 𝛾. 𝐷 2 . 𝑡𝑎𝑛𝜑∗ )
Ainsi le frottement latéral unitaire est proportionnel à la profondeur. Or on observe généralement que ce frottement est constant à partir d’une certaine profondeur. Ce phénomène serait lié à la contractance - dilatance empêchée des milieux pulvérulents. Si le sol est lâche, on n’a pas de dilatance et on observe une stabilisation de ce frottement avec la profondeur. Si le sol est dense, la contractance empêchée fait croître la contrainte horizontale vers une valeur qui ne dépend plus de la profondeur. Aussi, pour un sol purement cohérent, on utilise la relation suivante : 𝜏𝑙𝑖𝑚 = min( 𝛽. 𝑐, 𝑞𝑠𝑚𝑎𝑥 ) avec le tableau suivant pour le coefficient 𝛽
Le tableau suivant pour les valeurs de 𝑞𝑠𝑚𝑎𝑥
Pour un sol pulvérulent, on considère uniquement 𝑞𝑠𝑚𝑎𝑥 . Dans le cas général, on se considère dans un des cas précédents. Le frottement latéral total s’écrit alors :
𝐻
𝑄𝑠𝑢 = 𝑃. ∫0 𝜏𝑙𝑖𝑚 (𝑧). 𝑑𝑧 P : périmètre de la fondation la cohésion variant avec la profondeur.
Remarques sur la détermination de la capacité portante à partir des caractéristiques de laboratoire Dans ce qui précède, nous avons vu que la détermination de la capacité portante est relativement délicate et fait appel à des formulations semi-empiriques, dont les coefficients ont été déterminés à partir d'essais limités et dont la valeur varient en fonction des auteurs. Les insuffisances de cette méthode sont en partie liées à la variation de densité du sol, lors de la mise en place du pieu (par fonçage ou forage). Les règlements actuels préconisent d'effectuer les calculs à partir des informations extraites d'essais in situ. Les formules empiriques issues de ces méthodes ont été ajustées à partir d'expérimentation in-situ.
5.3.
Dimensionnement à partir des essais au pénétromètre statique
Il y a une certaine analogie entre le pénétromètre statique (CPT, enfoncement à vitesse constante) et le pieu. Toutefois l’essai au pénétromètre statique est réalisé pour caractériser des sols meubles, alors que pour le pieu il s’agit de reprendre des efforts verticaux pour assurer la stabilité d’un ouvrage. Il convient donc d’adapter les résultats de l’essai in-situ pour calculer la résistance de pointe et le frottement latéral. Différents auteurs se sont penchés sur ce problème, avec des approches et des observations différentes. Les tables fournies sont parfois divergentes. Ce qu’il faut retenir des informations données dans ce document c’est plus l’approche que les coefficients numériques que l’on trouvera dans les règlements. Contrainte limite de pointe Elle est donnée par la formule : 𝑞𝑝𝑢 = 𝐾𝑐 . 𝑞𝑐𝑒 avec : 𝐾𝑐 coefficient de portance (rapport entre les résistances de pointe (pieu, pénétromètre)) 𝑞𝑐𝑒 résistance de pointe lissée équivalente Valeur du coefficient de portance
La résistance de pointe lissée équivalente, pour une fiche donnée, permet d’obtenir une même valeur avec différents pénétromètres (diamètres différents). En effet plus le diamètre est grand plus on observe un effet de lissage dans l’évolution de cette résistance avec la profondeur. 𝐷+3𝑎 1 𝑞𝑐𝑒 = .∫ 𝑞 (𝑧). 𝑑𝑧 𝑏 + 3𝑎 𝐷−𝑏 𝑐𝑐 Avec :
𝑎 = 𝑚𝑎𝑥(𝐵⁄2 , 0,5) exprimé en m 𝑏 = 𝑚𝑖𝑛 (𝑎, ℎ) ℎ : ancrage de la couche porteuse (hauteur de la fondation dans la couche porteuse) 𝑞𝑐𝑐 résistance de pointe écrêtée à 1.3 ∗ 𝑞𝑐𝑚 , 𝑞𝑐𝑚 étant la valeur moyenne sur la hauteur 𝐷 − 𝑏 à 𝐷 + 3𝑎
𝑞𝑐𝑚 =
𝐷+3𝑎 1 .∫ 𝑞 (𝑧). 𝑑𝑧 𝑏 + 3𝑎 𝐷−𝑏 𝑐
On définit également une hauteur d’encastrement équivalente : 𝑑 étant généralement pris égal à 0.
𝐷𝑒 =
𝐷 1 . ∫ 𝑞 (𝑧). 𝑑𝑧 𝑞𝑐𝑒 𝑑 𝑐
On obtient ainsi des valeurs assez théoriques de la résistance de pointe qu’il va falloir adapter aux conditions de réalisation des fondations. En effet il n’est pas toujours aisé de déterminer la position exacte du toit de la couche porteuse qui intervient dans la détermination de 𝑏. On n’aborde pas ici le cas des couches sous-jacentes peu résistantes. Frottement latéral (unitaire) limite Des essais instrumentés, sur site, ont permis d’évaluer le frottement latéral sur les pieux.. L’interprétation statistique de ces essais de pénétration n’a pas permis de trouver une relation entre ces 2 frottements, mais elle a permis de trouver une relation entre la résistance de pointe et le frottement latéral en fonction des types de sol, à condition toutefois de plafonner la valeur de 𝑞𝑠 : 𝑞
𝑞𝑠 = min ( 𝛽𝑐𝑒 , 𝑞𝑠𝑚𝑎𝑥 ) 𝑞𝑠𝑚𝑎𝑥 , 𝛽 donnés dans le tableau ci-joint.
5.4.
Dimensionnement par la méthode pressiométrique
Méthode la plus utilisée en France Pour mémoire, l'essai pressiométrique permet de déterminer : 𝐸𝑝 : le module pressiométrique 𝑝𝑙 : la pression limite 𝑝𝑓 : la pression de fluage ∆𝑉
Il a été établi (voir cours GCBMC) que : 𝑉 ~2. Soit :
∆𝑝
∆𝑟 𝑟
= 2.
1+𝜐 . Δ𝑝 𝐸𝑝
𝐸𝑝 ~2,66. 𝑉. Δ𝑉 formule proposée par Ménard
Contrainte limite de pointe Comme pour les fondations superficielles, Ménard propose la formule générale suivante : 1
∗ 𝑞𝑝𝑢 = 𝐾𝑝 . 𝑝𝑙𝑒
𝐷+3𝑎
∗ ∗ 𝑝𝑙𝑒 étant la pression limite nette équivalente donnée par : 𝑝𝑙𝑒 = .∫ 𝑝𝑙∗ (𝑧). 𝑑𝑧 𝑏+3𝑎 𝐷−𝑏 Les paramètres 𝑎, 𝑏 étant définis comme précédemment avec le pénétromètre statique.
Le facteur de portance est donné dans le tableau suivant.
Comme pour la méthode précédente, ces relations exigent certaines précautions d’emploi. Frottement latéral unitaire Il a été montré statistiquement des corrélations entre le frottement latéral unitaire et la pression limite du sol 𝑝𝑙 . Toutefois, ces corrélations dépendent du type de sol. En effet un sable et une argile qui présente la même pression limite ne présentent pas le même frottement unitaire limite. Par ailleurs, ce frottement dépend du type de pieu. Les règlements proposent des courbes types : voir figure et tableau ci-dessous. L'effort total Qs mobilisable par frottement latéral sur toute la hauteur h du fût est calculé par intégration des efforts unitaires : 𝐻 𝑄𝑠𝑢 = 𝑃. ∫0 𝑞𝑠 (𝑧). 𝑑𝑧 où P est le périmètre du pieu
Courbes de frottement unitaire limite le long du fût d’un pieu
5.5.
Dimensionnement des pieux sollicités en compression ou en traction
Charge limite Si la charge limite du pieu en compression est 𝑄𝑢 = 𝑄𝑝𝑢 + 𝑄𝑠𝑢 , celle de traction est naturellement 𝑄𝑡𝑢 = 𝑄𝑠𝑢 . Charge admissible A l’ELS, on considère la charge de fluage de compression donnée par les relations suivantes : Pieux forés (sans refoulement) : 𝑄𝑐 = 0,5. 𝑄𝑝𝑢 + 0,7. 𝑄𝑠𝑢 Pieux battus (avec refoulement) : 𝑄𝑐 = 0,7. 𝑄𝑝𝑢 + 0,7. 𝑄𝑠𝑢 En traction dans les 2 cas : 𝑄𝑡𝑐 = 0,7. 𝑄𝑠𝑢 Quant aux charges limites, le D.T.U 13.2 donne : Etats limites Ultimes : 𝑄𝑎𝐸𝐿𝑈 = 0,5. 𝑄𝑝𝑢 + 0,75. 𝑄𝑠𝑢 Etats limites de Service : 𝑄𝑎𝐸𝐿𝑆 = 0,33. 𝑄𝑝𝑢 + 0,50. 𝑄𝑠𝑢
5.6.
Tassements des pieux
De nombreux essais ont montré que ces tassements sont très faibles lorsqu’ils sont convenablement dimensionnés (0,5 à 2 𝑐𝑚). Sauf ouvrages très particuliers nécessitant des déformations faibles, on ne traitera pas les tassements. On pourra trouver dans la littérature des relations permettant d’estimer ces tassements : R. Frank et S.R. Zhao. Ces relations sont basées sur le module pressiomètrique. Remarque : Le pénétromètre dynamique ne permet pas de procéder à un calcul faible de la charge admissible des pieux.
5.7.
Groupe de pieux
Il arrive que la charge limite globale du groupe de pieux soit inférieure à la somme des charges limites des pieux considérés comme isolés. On note le coefficient d’efficacité du groupe de pieux :
𝑄
𝐶𝑒 = ∑ 𝑔𝑢
𝑄𝑢𝑖
𝑄𝑔𝑢 : étant la charge de rupture du complexe constitués des 𝑛 pieux On observe que 𝐶𝑒 diminue quand le nombre de pieux augmente. Il est fonction de la distance entre pieux. On distingue notamment les cas où cet écart est inférieur ou supérieur à 3 diamètres. Les interférences des contraintes induites par chaque pieu peuvent provoquer un effet « radier » (assimilation du groupe de pieux à un radier dont les propriétés mécaniques sont obtenues par homogénéisation). K. Terzaghi et R. Peck considère le groupe de pieux comme une pile monolithique de largeur 𝐵𝑔 et d’aire correspond à l’enveloppe. La résistance à la rupture est la somme de la résistance de pointe sur l’aire 𝐴 et du frottement latéral sur le fût. Selon le rapport 𝐷⁄𝐵 on traitera cette pile comme une semelle superficielle ou un 𝑔
pieu. On peut trouver dans la littérature d’autres méthodes pour ce calcul de groupe de pieux (Converse2.arctan(𝐵⁄ )
1
1
𝑆 𝐶𝑒 = 1 − . (2 − − ) 𝜋 𝑚 𝑁 avec 𝐵 : diamètre des pieux, 𝑆 l’entre-axe, 𝑚 et 𝑛 étant le nombre de lignes et le nombre de colonnes du groupe
Labarre) :
D’une manière générale, il conviendra de lire les dispositions réglementaires spécifiques, non abordées dans ce document.
5.8.
Pieux soumis à des sollicitations non verticales en tête
L’utilisation de fondations sur pieux dans des zones de sols très mous peut poser deux sortes de problèmes : le premier est la reprise des efforts horizontaux de la superstructure (efforts de freinage, de température, de vents, poussée du remblai sur les murs de soutènement, etc.). Dans ce cas, le sol est appelé à jouer un rôle résistant ; le second se produit très souvent pour les fondations de culées ayant à supporter un remblai : le sol peut alors fluer latéralement sous la charge du remblai et les déplacements horizontaux tendent à entraîner les pieux, engendrant des poussées parasites et des efforts de flexion qui peuvent être très importants. A défaut de méthodes pour prendre en compte des moments en tête, on réalisait autrefois des pieux inclinés ou des groupes de pieux verticaux. Actuellement les pieux forés de grand diamètre ou les barrettes moulées à forte inertie permettent de reprendre des efforts horizontaux et des moments élevés. Les techniques de calcul ont suivi. 4 types de sollicitations en tête (voir figure ci-dessous) : efforts horizontaux : 𝑇0 (effort tranchant) moment de renversement (moment fléchissant) déplacement horizontal imposé rotation imposée
Exemples de sollicitations en tête
Pieu sur appuis élasto-plastiques
Le pieu est considéré comme une poutre reposant sur des appuis élastoplastiques caractérisés par un coefficient de réaction horizontal 𝑘ℎ (appelé également module de réaction, ou raideur de l’appui élastique) et une pression de plastification 𝑝𝑝 : voir figure ci-dessus. Il est exprimé en kPa/m. En RDM on considère généralement 𝑝(𝑧). 𝐵, 𝑝(𝑧) étant la pression horizontale. Aussi on remplace ce module de réaction par 𝐾𝑓 , appelé module de réaction linéique. Idem pour la pression de plastification remplacée par le seuil de plasticité : Le module de réaction linéique 𝐾𝑓 = 𝐵. 𝑘ℎ (kPa) Le seuil de plasticité 𝑟𝑓 = 𝐵. 𝑝𝑝 (kPa/m) B étant la largeur du pieu (perpendiculaire à la pression horizontale) Généralement seule la réaction latérale est considérée (pas de frottement). Elle est représentée schématiquement sur la figure suivante.
Les valeurs de 𝐾𝑓 et 𝑟𝑓 sont données par :
Pour des sollicitations de courte durée :
𝐾𝑓𝑐 =
12.𝐸𝑀 𝐵 2,65.𝐵 𝛼 1,33.( 0).( ) +𝛼
pour 𝐵 ≥ 𝐵0
12.𝐸𝑀 1,33.(2,65)𝛼 +𝛼
pour 𝐵 < 𝐵0
𝐵
avec 𝐵0 = 0,60𝑚 𝐾𝑓𝑐 =
Pour des sollicitations de longue durée :
𝐾𝑓𝑙 =
𝐵0
𝐾𝑓𝑐 2
𝑟𝑓 = 𝐵. 𝑝𝑓 pour les 2 types de sollicitations avec
𝐸𝑀 𝛼 𝑝𝑓
module pressiométrique (voir chapitre correspondant) coefficient rhéologique pression de fluage selon l’essai pressiométrique
La résolution avec les schémas élastoplastiques passe par des calculs numériques (DF). La résolution dans le domaine élastique se fait en résolvant l’équation locale des poutres sur appuis élastiques. 𝐸𝐼.
𝑑4 𝑦 𝑑𝑧 4
+ 𝐾𝑓 . 𝑦 = 0
équilibre d’un élément de longueur 𝑑𝑥 suivant la verticale 𝑑𝑇 𝑑𝑥
+ 𝐾𝑓 . 𝑦 = 0
𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2
𝑀
= 𝐸𝐼
𝑇=
𝑑𝑀 𝑑𝑥
Le pieu est considéré comme constitué de n tronçons présentant des caractéristiques constantes tant pour le pieu que pour le sol : 𝐸𝑀𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝐵𝑖 . Pour chaque tronçon on obtient le déplacement horizontal (« déformée »), la courbure, le moment fléchissant et l’effort tranchant : 𝑦(𝑧) = 𝐶1 . 𝐴𝑖 + 𝐶2 . 𝐵𝑖 + 𝐶3 . 𝐶𝑖 + 𝐶4 . 𝐷𝑖 𝑦′(𝑧) = 𝑙0𝑖 [𝐶1 . (𝐶𝑖 − 𝐵𝑖 ) + 𝐶2 . (𝐷𝑖 − 𝐴𝑖 ) + 𝐶3 . (𝐴𝑖 − 𝐷𝑖 ) + 𝐶4 . (𝐵 + 𝐶𝑖 )] 𝑀(𝑧) = 0,5. 𝐾𝑓𝑖 . 𝑙0𝑖 2 (−𝐶1 . 𝐷𝑖 + 𝐶2 . 𝐶𝑖 − 𝐶3 . 𝐵𝑖 + 𝐶4 . 𝐴𝑖 ) 𝑇(𝑧) = −0,5. 𝐾𝑓𝑖 . 𝑙0𝑖 (𝐶1 . (𝐶𝑖 + 𝐵𝑖 ) + 𝐶2 . (𝐷𝑖 − 𝐴𝑖 ) + 𝐶3 . (𝐴𝑖 + 𝐷𝑖 ) + 𝐶4 . (𝐵 − 𝐶𝑖 ))
avec :
𝑧 𝑧 𝑙0𝑖 𝑙0𝑖 𝑧 𝑧 𝐵𝑖 = 𝑐ℎ (𝑙 ) . sin (𝑙 ) 0𝑖 0𝑖 𝑧 𝑧 𝐶𝑖 = 𝑠ℎ ( ) . 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑙0𝑖 𝑙0𝑖 𝑧 𝑧 𝐷𝑖 = 𝑠ℎ (𝑙 ) . 𝑠𝑖𝑛 (𝑙 ) 0𝑖 0𝑖 0,25 4.𝐸𝑀𝑖 .𝐼𝑖 𝑙0𝑖 = ( 𝐾 ) 𝑓𝑖
𝐴𝑖 = 𝑐ℎ ( ) . 𝑐𝑜𝑠 ( )
On reconnaîtra ici les fonctions de forme utilisée en mécaniques qui permettent de proposer une solution de la forme d’une combinaison linéaire de fonctions de base (voir MEF). On complète ces équations par les équations de liaison entre tronçons : 𝑦𝑖−1 (𝑙𝑖−1 ) = 𝑦𝑖 (0) 𝑦′𝑖−1 (𝑙𝑖−1 ) = 𝑦′𝑖 (0) 𝑀𝑖−1 (𝑙𝑖−1 ) = −𝑀𝑖 (0) 𝑇𝑖−1 (𝑙𝑖−1 ) = −𝑇𝑖 (0) On dispose ainsi d’un système de 4𝑛 équations avec 4𝑛 inconnues (constantes 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 et 𝐶4 pour chaque tronçon), si on définit les conditions aux limites au nombre de 4 (𝑇 et 𝑀 en tête et en pied, on prendra en général 𝑇 = 𝑀 = 0 en pied). Pour un pieu à inertie constante et un sol homogène, on a des relations plus simples (voir document de Philipponnat). La « déformée » adimensionnelle a la forme suivante : voir figure 11.22 Le logiciel du LCPC Pilate et le logiciel Rido, dans son adaptation aux pieux, permettent de prendre en compte ces schémas. On peut également traiter ce problème en éléments finis 2D. Afin de traiter le problème de manière plus économique, on peut déterminer un élément fini de poutre reposant sur un appui élastique. Figure : Structure modélisée : Eléments fini de type poutre reposant sur un appui élastique
La largeur de la poutre (dimension perpendiculaire au plan représenté ici) est égale au diamètre du pieu et la charge est considérée comme répartie uniformément sur cette largeur. On considère un schéma de type contrainte plane, sachant que la réalité est entre contrainte et déformation plane. Cet élément fini est basé sur l’élément de poutre classique auquel on va rajouter une composante relative à l’appui élastique. Rappel sur l’élément poutre classique Soit un élément de poutre de longueur L , de hauteur Hp et de largeur . On considère les variables nodales : v1 1 v 2 2 Il a été vu en cours que la flèche à l’abscisse x pouvait être représentée sous la forme suivante :
v(x) = N(x) e .V e = N 1
N
N
2
3
v1 N . 1 4 v 2 2
y, v nœud 2
nœud 1
x
(1)
La matrice de rigidité élémentaire correspondant à la flexion a été établie en considérant l'énergie de déformation associée à cet élément poutre en flexion et l’hypothèse de Bernoulli (section plane restant plane lors de la flexion) : 2.Edef
L
L
L
0 s
0 s
0
2 2 . .dV xx . xx .ds.dx Ep .( y.v ,xx ) .ds.dx Ep .I.(v ,xx ) .dx T
e
Sachant que cette énergie de déformation s’écrit sous la forme :
(2)
2.Edef V e .Kef .V e T
L
T
On montre que K ef matrice de rigidité élémentaire en flexion, s’écrit : K ef B .E p .I.B .dx : 0
Il a été vu en cours de Mécanique des Milieux Continus que cette matrice de rigidité élémentaire prenait la forme suivante : 6.L 12 6.L 12 E p .I 6.L 4.L2 6.L 2.L2 K ef 3 . 12 6.L 12 6.L L 2 2 6.L 2.L 6.L 4.L
exprimée dans la base : v1 1 v 2 2
Prise en compte de l’appui élastique dans la matrice de rigidité élémentaire de l’élément poutre sur appui élastique Pour ce faire, la participation de l’appui élastique va être rajoutée dans l’expression de l’énergie interne de déformation (relation 2), en considérant une portion d’appui comme un élément barre en compression. Les résultats obtenus pour un élément barre en compression – traction, sont rappelés ci-dessous. Rappel sur l’élément barre On considère un élément barre unidimensionnel représentant une section d’appui élastique à l’abscisse x, de longueur dx et de largeur et de hauteur H b : y, v Poutre nœud 2
Elément barre H b
nœud 1 Base rigide dx L’approximation du déplacement s’écrit : v( x,y ) 1
y Hb
y v1 ( x ) . H b v 2 ( x )
(3)
L’énergie de déformation pour cet élément barre s’écrit : Hb
Hb
0
0
2.Edeb yy . yy .s.dy Eb . yy
Sachant que :
2
2.Edea V e .Kea .V e T
Hb
.s.dy Eb . v ,y 0
2
.s.dy
𝐸 .𝑠 [𝐾𝑒𝑎 ] = 𝑏 . [ 1 −1] dans la base (𝑉1 , 𝑉2 ) On obtient la matrice de rigidité élémentaire de la barre : 𝐻𝑏 −1 1 Il ne reste plus qu’à assembler les 2 matrices en respectant la position des degrés de liberté. En pratique on décompose le pieu en éléments finis dont la matrice de rigidité élémentaire correspond à cette matrice « assemblée ». On assemble ensuite ces matrices élémentaires pour former la matrice de rigidité globale. Il ne reste plus qu’à définir le vecteur force généralisé représentant les efforts extérieurs (moment, déplacement ou force en tête et en base (plus difficile à définir). La résolution de ce système d’équations linéaires fournit le déplacement en tout nœud de la discrétisation. On peut alors calculer les rotations, moments et efforts tranchants en tous ces points à l’aide des équations locales.
On peut également traiter le problème avec des éléments finis 3D (projet GCMOD 2012)
5.9.
Efforts parasites sur pieux
Frottement négatif Fluage latéral d’une couche compressible
5.10. Fondations semi-profondes
