Università degli Studi di Cagliari
Esercitazione: Edificio Multipiano in Acciaio
Sommario
Introduzio Introduzione ne .............................. .............................................. .............................. .............................. ................................ .............................. .............................. .......................... .......... 2 1. Analisi Analisi dei carichi carichi .............................. ............................................ .............................. ................................ .............................. .............................. .......................... .......... 3 2. Verifica Verifica delle travi travi .............................. .............................................. ................................ ............................... ............................... ................................ ...................... ...... 5 2.1. Trave N° 1...................................... .................................................... .............................. ................................ .............................. .............................. .......................... .......... 5 2.2. Trave N° 2...................................... .................................................... .............................. ................................ .............................. .............................. .......................... .......... 7 2.3. Trave N° 3...................................... .................................................... .............................. ................................ .............................. .............................. .......................... .......... 9 2.4. Trave N° 4...................................... .................................................... .............................. ................................ .............................. .............................. ........................ ........ 14 3. Verifica dei pilastri ................................................................................................................ 17 3.1. Pilastrata Pilastrata N° 1 ................................ .............................................. .............................. ................................ .............................. .............................. ........................ ........ 17
Introduzione Normativa di riferimento: -Norme tecniche per le costruzioni 2008.
1. Analisi dei carichi Pesi dei materiali dalla Tabella 3 .1.I delle Norme Tecniche -Il solaio è realizzato in: -lamiera grecata con soletta collaborante 3 -strato di cls alleggerito per il passaggio degli impianti di 80 mm del peso di 14 kN/m 3 -pavimento in piastrelle di 20 mm del peso di 20 kN/m .
Carichi permanenti non strutturali strato di cls alleggerito pavimento in piastrelle di 20 mm del peso di peso totale
3
14 kN/m · 0.08m = 20 kN/m3· 0.02m=
1,12 0,4 1,52
2
kN/m kN/m2 kN/m2
-Sul solaio sono presenti dei tramezzi così formati:
20 kN/m3 0,9 kN/m2
-Intonaco civile spessore 15 mm e peso unitario -Muratura in forati spessore 100 mm e peso a m2 di parete
I tramezzi sono alti 3,30 m.
intonaco Muratura in forati intonaco peso totale
20 kN/m3· 0.015m = = 20 kN/m3· 0.015m =
0,3 0,9 0,3 1,5
kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2
I carichi dovuti ai tramezzi possono essere ragguagliati ad un carico permanente portato uniformemente distribuito che nel caso di un peso per unità di lunghezza pari a 1,5 kN/m 2·3.30m=4,95 kN/m è pari a 2,00 kN/m2. (par.3.1.3.1)
Carichi variabili - Carichi variabili pari a 2 kN/m2 per edifici ad uso ufficio non aperto al pubblico (par.3.1.4) I carichi con i quali verrà dimensionata la lamiera grecata sono i carichi permanenti non strutturali ed i carichi variabili. Carichi permanenti non strutturali
=
3,52
kN/m2
Carichi variabile peso totale
=
2,00 5,52
kN/m2 kN/m2
-Scelta del tipo di solaio Considerando un carico di 5,52 kN/m2 ed una luce di 2,4 m si opta per un solaio in lamiera grecata con getto di calcestruzzo collaborante con le seguenti caratteristiche: -lamiera tipo HI-BOND Type A55/P 600 -calcestruzzo della classe Rck 250 -Altezza del solaio 10 cm -spessore della lamiera 0,70 mm -Peso proprio del solaio:
1,9
kN/m2
1,9 3,52 2,00
kN/m2 kN/m2 kN/m2
Riepilogo analisi dei carichi -Peso proprio del solaio: - Carichi permanenti non strutturali -Carichi variabile
-Caratteristiche dell’acciaio (par.11.3.4.1) Modulo elastico Modulo di elasticità trasversale Densità Tensione di snervamento Tensione di rottura
E=210000 G=80769 ρ=7850 f yk =275 f tk =430
N/mm2 2 N/mm 3 kg/m N/mm2 N/mm2
2. Verifica delle travi 2.1.Trave N° 1 -Predimensionamento della trave Considerando una luce di 4,8 m ed un rapporto h/l, altezza trave/luce, pari a 1/16-1/20 si assume una trave di h=240 mm.
-Dati del profilo: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area -momento d’inerzia rispetto all’asse forte -modulo di resistenza plastico rispetto all’asse forte -Peso per unità di lunghezza
h b tf tw r A Ix Wpl,x gt
240 mm 120 mm 9,8 mm 6,2 mm 15 mm 3912 mm2 3892 cm4 366,6 cm3 0,31 kN/m
-Classificazione del profilo per le azioni flettenti (par.4.2.3.1) acciaio S275→ ε =
235 f y
= 0,924 con f y=275N/mm 2 tensione di snervamento dell’acciaio.
Poiché è rispettato il seguente rapporto:
d t w ⋅ ε
= 33,22 < 72 →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f ⋅ ε
= 4,62 < 9 →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1.
-Carichi sulla trave Peso proprio della trave: Peso proprio del solaio: Carichi permanenti portati: Carichi variabili:
-Combinazione di carico SLU (par.2.6.1) Fsd=γG1· G1+ γG2· G2+ γQ1· QK1 dove: γG1=1,3 γG2=1,5 γQ1=1,5
G1=Carichi permanenti G2= Carichi permanenti non strutturali QK1= Carichi variabili
Carico a metro lineare:
2
1, 9 kN/m · 2,4m= 3,52 kN/m2·2,4m= 2,00 kN/m2·2,4m=
0,31 4,56 8,45 4,8
kN/m kN/m kN/m kN/m
F sd = 1,3 ⋅ (0,31 + 4,56) + 1,5 ⋅ 8,45 + 1,5 ⋅ 4,8 = 26,21kNm
-Calcolo delle sollecitazioni Massimo taglio sollecitante:
V sd =
F sd ⋅ L
=
2
26,21 ⋅ 4,8 2
= 62,9kN
Massimo momento sollecitante: 2
M sd =
F sd ⋅ L
8
=
26,21 ⋅ 4,8 2 8
= 75,5kNm
-Calcolo della resistenza a taglio (par.4.2.2.1.2) AV=A-2b·t f +(tw+2·r)tf =1914,7 mm
V Pl , Rd = Av
f yk / 3
γ M 0
= 1914,7 ⋅
2
275 1.05 ⋅ 3
= 289866 N ≈ 289,8kN
Poiché si ha Vsd=62,9kN
-Calcolo della resistenza al momento flettente Il momento resistente di progetto è (essendo la sezione di classe1):
M c, Rd = W pl
f yk
γ M 0
= 366600 ⋅
275 1.05
= 96014285 N ≈ 96,0kNm
Poiché si ha Msd=75,5kNm
-Verifica agli stati limite di esercizio (deformazione) (par.4.2.4.2.1) Spostamenti e deformazioni che possano compromettere l’efficienza e l’aspetto di elementi non strutturali, o che possano limitare l’uso della costruzione, la sua efficienza e il suo aspetto.
δ tot = δ 1 + δ 2 δ1
Spostamento elastico dovuto ai carichi permanenti
δ2
Spostamento elastico dovuto ai carichi variabili
δc
monta iniziale della trave
δmax
spostamento finale depurato della monta iniziale = δtot- δc
Abbassamento totale: 4 L 5 [0,31 + ( 4,56 + 8, 45) + 4,8)] ⋅ 4800 ⋅ = 15,3mm ≤ 19,2mm(= δ max = ) 4 384 250 210000 ⋅ (3892 ⋅ 10 ) Abbassamento dovuto ai carichi variabili: 4 L 5 4,8 ⋅ 4800 mm mm ⋅ = ≤ = δ 2 = 4 , 1 16 ( ) 384 210000 ⋅ (3892 ⋅ 10 4 ) 300
2.2.Trave N° 2 -Dati del profilo: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area -momento d’inerzia rispetto all’asse forte -modulo di resistenza plastico rispetto all’asse forte -Peso per unità di lunghezza
h b tf tw r A Ix Wpl,x gt
240 mm 120 mm 9,8 mm 6,2 mm 15 mm 3912 mm2 4 3892 cm 366,6 cm3 0,31 kN/m
-Carichi sulla trave Peso proprio della trave: Peso proprio del solaio: Carichi permanenti portati: Peso dei pannelli prefabbricati esterni: Carichi variabili:
2
1, 9 kN/m · 1,2m= 3,52 kN/m2·1,2m= 2,00 kN/m2·1,2m=
0,31 2,28 4,23 8,0 2,4
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
-Combinazione di carico SLU (par.2.6.1) Fsd=γG1· G1+ γG2· G2+ γQ1· QK1 dove: γG1=1,3 γG2=1,5 γQ1=1,5
G1=Carichi permanenti G2= Carichi permanenti non strutturali QK1= Carichi variabili
Carico a metro lineare:
F sd = 1,3 ⋅ (0,31 + 2,28) + 1,5 ⋅ (4,23 + 8,0) + 1,5 ⋅ 2,4 = 25,31kNm -Classificazione del profilo per le azioni flettenti (par.4.2.3.1) acciaio S275→ ε =
235 f y
= 0,924 con f y=275N/mm 2 tensione di snervamento dell’acciaio.
Poiché è rispettato il seguente rapporto:
d t w ⋅ ε
= 33,22 < 72 →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f ⋅ ε
= 4,62 < 9 →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1.
-Calcolo delle sollecitazioni Massimo taglio sollecitante:
V sd =
F sd ⋅ L
2
=
25,31 ⋅ 4,8 2
= 60,75kN
Massimo momento sollecitante: 2
M sd =
F sd ⋅ L
8
=
25,31 ⋅ 4,8 2 8
= 72,9kNm
-Calcolo della resistenza a taglio (par.4.2.2.1.2) AV=A-2b·t f +(tw+2·r)tf =1914,7 mm2
V Pl , Rd = Av
f yk / 3
γ M 0
= 1914,7 ⋅
275 1.05 ⋅ 3
= 289866 N ≈ 289,8kN
Poiché si ha Vsd=60,75kN
-Calcolo della resistenza al momento flettente Il momento resistente di progetto è (essendo la sezione di classe1):
M c, Rd = W pl
f yk
γ M 0
= 366600 ⋅
275 1.05
= 96014285 N ≈ 96,0kNm
Poiché si ha Msd=72,9kNm
-Verifica agli stati limite di esercizio (deformazione) (par.4.2.4.2.1) δ tot = δ 1 + δ 2 δ1
Spostamento elastico dovuto ai carichi permanenti
δ2
Spostamento elastico dovuto ai carichi variabili
δc
monta iniziale della trave
δmax
spostamento finale depurato della monta iniziale = δtot- δc
Abbassamento totale: 4 5 [0,31 + ( 2,28 + 4,23 + 8) + 2,4)] ⋅ 4800 L δ max = ⋅ = 14,6mm ≤ 19,2mm( = ) 4 384 250 210000 ⋅ (3892 ⋅ 10 ) Abbassamento dovuto ai carichi variabili: 4 L 5 2,4 ⋅ 4800 δ 2 = ) ⋅ = 2,03mm ≤ 16mm(= 4 384 210000 ⋅ (3892 ⋅ 10 ) 300
2.3.Trave N° 3 Poiché devo verificare la trave n°3 devo valutare il carico concentrato trasferito su di essa dalle due travi su di essa vincolate. Il carico sulla trave n°3 sarà pari alla metà del carico delle due travi che sono state definite come trave n°1. Avremo una Fsd=63+63=126,0kN
-Dati del profilo: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area -momento d’inerzia rispetto all’asse forte -momento d’inerzia rispetto all’asse debole -momento d’inerzia torsionale -costante d’ingobbamento= =
I y ⋅ (h − t f ) 2
4
-modulo di resistenza plastico rispetto all’asse forte -Peso per unità di lunghezza
h b tf tw r A Ix Iy IT
330 160 11,5 7,5 18 6261 11770 778,10 28,15
Iω
199800 cm
Wpl,x gt
804,3 0,49
mm mm mm mm mm mm2 cm4 cm4 cm4 6
cm3 kN/m
-Classificazione del profilo per le azioni flettenti (par.4.2.3.1) acciaio S275→ ε =
235 f y
= 0,924 con f y=275N/mm 2 tensione di snervamento dell’acciaio.
Poiché è rispettato il seguente rapporto:
d t w ⋅ ε
= 39,1 < 72 →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f ⋅ ε
= 5,48 < 9 →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1.
-Calcolo delle sollecitazioni Massimo taglio sollecitante = taglio dovuto al carico concentrato + t aglio dovuto al peso proprio della trave. F 1.3 ⋅ 0,49 ⋅ 4,8 V sd = sd + = 64,5kN 2 2 Massimo momento sollecitante = momento dovuto al carico concentrato + momento dovuto al peso proprio della trave. F ⋅ 4,8 1.3 ⋅ 0,49 ⋅ 4,8 2 + = 153,0kNm M sd = sd 4 8
-Calcolo della resistenza a taglio AV=A-2b·t f +(tw+2·r)tf =3081,2 mm2
V Pl , Rd = Av
f yk / 3
γ M 0
275
= 3081,2 ⋅
1.05 ⋅ 3
= 465918 N ≈ 466kN
Poiché si ha Vsd=65,0 kN
-Calcolo della resistenza al momento flettente Il momento resistente di progetto è (essendo la sezione di classe1):
M c, Rd = W pl
f yk
γ M 0
= 1019000 ⋅
275 1.05
= 210650000 N ≈ 210,7kNm
Poiché si ha Msd=153,0kNm
-Verifica alla stabilità delle aste inflesse (svergolamento) Approccio Norme tecniche 2008 par 4.2.4.1.3.2 Il momento resistente di progetto per i fenomeni di instabilità di una trave lateralmente non vincolata può essere assunto pari a:
M b , Rd = χ LT ⋅ W pl
f yk
γ M 0
Il fattore χLT è il fattore di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale, dipendente dal tipo di profilo impiegato; può essere determinato per profili laminati o composti saldati dalla formula: 1,0 1 1 χ LT = ⋅ ≤ 1 ⋅ 1 f Φ + Φ 2 − β ⋅ λ 2 λ 2 f LT LT LT
2
LT
2
2
Φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − λ LT , 0 ) + β ⋅ λ LT Il coefficient αLT è un fattore di impefezione funzione del tipo di sezione. Il fattore f considera la reale distribuzione del momento flettente t ra i ritegni torsionali dell’elemento inflesso ed è definito dalla formula: 2
2
f = 1 − 0,5 ⋅ (1 − k c ) 1 − 2 ⋅ (λ LT − 0,8 ) I coefficiente k c è tabellato in funzione del diagramma del momento flettente. Il coefficiente di snellezza adimensionale λ LT è dato dalla formula:
λ LT =
W pl ⋅ f yk M cr
Mcr è il momento critico elastico di instabilità torsionale considerando la sezione lorda del profilo e i ritegni torsionali nell’ipotesi di diagramma di momento flettente uniforme: 2
π EI ω ⋅ M cr = ψ ⋅ ⋅ EI y ⋅ GI T ⋅ 1 + Lcr Lcr GI T π
2
M ψ = 1,75 − 1,05 ⋅ + 0,3 ⋅ B con M B < M A M A M A M B
Approccio EC3 Il momento resistente di progetto (EC3) per i fenomeni di instabilità di una trave lateralmente non vincolata può essere assunto pari a:
M b , Rd = χ LT ⋅ W pl
f yk
γ M 0
Il fattore χLT è il fattore di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale, dipendente dal tipo di profilo impiegato; può essere determinato per profili laminati o composti saldati dalla formula:
1
χ LT =
2
2
Φ LT + Φ LT − ⋅λ LT 2
2
Φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − 0,2) + λ LT Il coefficient αLT è un fattore di impefezione funzione del tipo di sezione.
Il coefficiente di snellezza adimensionale λ LT è dato dalla formula: λ LT =
W pl ⋅ f yk M cr
Mcr è il momento critico elastico di instabilità torsionale: M cr = C 1 ⋅
π 2 EI Y ( k ⋅ Lcr )
2
⋅ (
k k w
2 ) ⋅
I ω I Y
+
( k ⋅ Lcr ) 2 ⋅ GI T 2
π ⋅ Lcr ⋅ EI y
+ (C 2 ⋅ z g ) − (C 2 ⋅ z g ) 2
Con: zg
distanza tra punto di applicazione del carico e centro di taglio
k
coefficiente di lunghezza efficace nei confronti nei confronti della rotazione di un estremo nel piano
k w
coefficiente di lunghezza efficace nei confronti nei confronti dell’ingobbamento di un estremo
Lcr
distanza tra due ritegni torsionali
I valori di C1 e C2 sono tabellati in funzione della condizione di carico e di vincolo.
Procedimento 1)Determinazione dei coefficienti: k=1 k ω=1 zg=0 mm C1=1,879 Lcr=2400 mm αLT=0,34
2)Calcolo del momento critico: M cr = 1,879 ⋅
π 2 210000 ⋅ 7781000 (2400) 2
⋅
I ω I Y
2
+
⋅ 2400 ⋅ 80769 ⋅ 281500
π 2 ⋅ 2400 ⋅ 210000 ⋅ 7781000
= 972,1kNm
3)Calcolo di λ LT:
λ LT =
W pl ⋅ f yk M cr
=
804000 ⋅ 275 972100000
= 0,477
4) Calcolo del fattore di riduzione χLT: 2
Φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − 0,2) + λ LT = 0,5 ⋅ 1 + 0,34 ⋅ (0,477 − 0,2) + 0,477
χ LT =
1 Φ LT + Φ
= 2 LT
2 LT
− ⋅λ
1
= 0,894 2
0,618 + 0,618 − ⋅0,477
2
5)Calcolo del momento resistente di progetto: f yk 275 M b , Rd = χ LT ⋅ W pl = 0,894 ⋅ 804300 = 188321100 N ≅ 188kNm γ M 0 1,05 Poiché si ha Msd=153,0kNm
2
= 0,660
-Verifica agli stati limite di esercizio (deformazione)
δ tot = δ 1 + δ 2 δ1
Spostamento elastico dovuto ai carichi permanenti
δ2
Spostamento elastico dovuto ai carichi variabili
δc
monta iniziale della trave
δmax
spostamento finale depurato della monta iniziale = δtot- δc
Abbassamento totale: L 5 0,49 ⋅ 4800 4 1 [(0,31 + 4,56 + 8,45 + 4,8) ⋅ 4800] ⋅ 4800 3 ) ⋅ + ⋅ = 8,3mm ≤ 19,2mm(= δ max = 4 4 384 210000 ⋅ (11770 ⋅ 10 ) 48 250 210000 ⋅ (11770 ⋅ 10 ) Abbassamento dovuto ai carichi variabili: (4,8 ⋅ 4800) ⋅ 48003 1 L ) δ 2 = ⋅ = 2,15mm ≤ 16mm( = 4 48 210000 ⋅ (11770 ⋅ 10 ) 300
2.4. Trave N° 4 Poiché devo verificare la trave n°4 devo valutare il carico concentrato trasferito su di essa dalla trave su di essa vincolata. Il carico sulla trave n°4 sarà pari alla metà del carico della trave che definita come n°1. Avremo una Fsd=63,0kN
-Dati del profilo: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area -momento d’inerzia rispetto all’asse forte -momento d’inerzia rispetto all’asse debole -momento d’inerzia torsionale -costante d’ingobbamento= =
I y ⋅ (h − t f ) 2
4
-modulo di resistenza plastico rispetto all’asse forte -Peso per unità di lunghezza
h b tf tw r A Ix Iy IT
300 mm 150 mm 10,7 mm 7,1 mm 15 mm 5381 mm2 8356 cm4 603,8 cm4 4 20,12 cm
Iω
126336.8 cm
Wpl,x gt
628,4 0,42
6
cm3 kN/m
-Classificazione del profilo per le azioni flettenti (par.4.2.3.1) 235
acciaio S275→ ε =
f y
= 0,924 con f y=275N/mm 2 tensione di snervamento dell’acciaio.
Poiché è rispettato il seguente rapporto:
d t w
= 35,01 < 72 ⋅ ε = 66,528 →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f
= 5,28 < 9 ⋅ ε = 8,316 →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1.
-Calcolo delle sollecitazioni Massimo taglio sollecitante = taglio dovuto al carico concentrato + taglio dovuto al peso proprio della trave+ taglio dovuto al peso della tamponatura.
V sd =
F sd
2
+
1.3 ⋅ 0,42 ⋅ 4,8 2
+
1.5 ⋅ 8,00 ⋅ 4,8 2
= 61,6kN
Massimo momento sollecitante = momento dovuto al carico concentrato + momento dovuto al peso proprio della trave + momento dovuto al peso della tamponatura.
M sd =
F sd ⋅ 4,8
4
+
1.3 ⋅ 0,42 ⋅ 4,8 8
2
+
1.5 ⋅ 8,00 ⋅ 4,8 8
2
= 112,0kNm
-Calcolo della resistenza a taglio AV=A-2b·t f +(tw+2·r)tf =2568 mm2
V Pl , Rd = Av
f yk / 3
γ M 0
= 2568 ⋅
275 1.05 ⋅ 3
= 388309 N ≈ 388kN
Poiché si ha Vsd=62,0 kN
-Calcolo della resistenza al momento flettente Il momento resistente di progetto è (essendo la sezione di classe1):
M c, Rd = W pl
f yk
= 628400 ⋅
γ M 0
275 1.05
= 164580952 N ≈ 164,5kNm
Poiché si ha Msd=112,0kNm
-Verifica alla stabilità delle aste inflesse (svergolamento) Approccio EC3 Il momento resistente di progetto (EC3) per i fenomeni di instabilità di una trave lateralmente non vincolata può essere assunto pari a:
M b , Rd = χ LT ⋅ W pl
f yk
γ M 0
Il fattore χLT è il fattore di riduzione per l’instabilità flesso-torsionale, dipendente dal tipo di profilo impiegato; può essere determinato per profili laminati o composti saldati dalla formula:
1
χ LT =
2
2
Φ LT + Φ LT − ⋅λ LT 2 2 Φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − 0,2) + λ LT
Il coefficient αLT è un fattore di impefezione funzione del tipo di sezione.
Il coefficiente di snellezza adimensionale λ LT è dato dalla formula: λ LT =
W pl ⋅ f yk M cr
Mcr è il momento critico elastico di instabilità torsionale:
M cr = C 1 ⋅
π 2 EI Y ( k ⋅ Lcr )
2
⋅ (
k k w
2
) ⋅
I ω I Y
+
( k ⋅ Lcr ) 2 ⋅ GI T
+ (C 2 ⋅ z g ) − (C 2 ⋅ z g ) 2
2
π ⋅ Lcr ⋅ EI y
Con: zg
distanza tra punto di applicazione del carico e centro di taglio
k
coefficiente di lunghezza efficace nei confronti nei confronti della rotazione di un estremo nel piano
k w
coefficiente di lunghezza efficace nei confronti nei confronti dell’ingobbamento di un estremo
Lcr
distanza tra due ritegni torsionali
I valori di C1 e C2 sono tabellati in funzione della condizione di carico e di vincolo.
Procedimento 1)Determinazione dei coefficienti: k=1 k ω=1 zg=0 mm C1=1,879 Lcr=2400 mm αLT=0,21 2)Calcolo del momento critico: M cr = 1,879 ⋅
π 2 210000 ⋅ 6038000 ( 2400) 2
I ω
⋅
I Y
2
+
⋅ 2400 ⋅ 80769 ⋅ 201200
π 2 ⋅ 2400 ⋅ 210000 ⋅ 6038000
= 687,1kNm
3)Calcolo di λ LT:
λ LT =
W pl ⋅ f yk M cr
=
628400 ⋅ 275 687100000
= 0,501
4) Calcolo del fattore di riduzione χLT: 2
Φ LT = 0,5 ⋅ 1 + α LT ⋅ (λ LT − 0,2) + λ LT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21 ⋅ (0,501 − 0,2) + 0,501
χ LT =
1
= 2
2
Φ LT + Φ LT − ⋅λ LT
1 2
2
2
= 0,657
= 0,924
0,657 + 0,657 − 0,501
5)Calcolo del momento resistente di progetto: f yk 275 = 0,924 ⋅ 628400 = 152072800 N ≅ 152kNm M b , Rd = χ LT ⋅ W pl γ M 0 1,05 Poiché si ha Msd=112,7kNm
-Verifica agli stati limite di esercizio (deformazione) Abbassamento totale: 4 3 5 (0,42 + 8) ⋅ 4800 1 [(0,31 + 4,56 + 8,45 + 4,8) ⋅ 2400] ⋅ 4800 L ) ⋅ + ⋅ = 9,0mm ≤ 19,2mm(= δ max = 4 4 384 210000 ⋅ (8356 ⋅ 10 ) 48 250 210000 ⋅ (8356 ⋅ 10 ) Abbassamento dovuto ai carichi variabili: 3 1 ( 4,8 ⋅ 2400) ⋅ 4800 L mm mm δ 2 = ⋅ = ≤ = 1 , 51 16 ( ) 48 210000 ⋅ (8356 ⋅ 10 4 ) 300
3. Verifica dei pilastri
3.1.Pilastrata N° 1 -Carichi sul pilastro (poiché l’area d’influenza di un pilastro è pari a 2,4 m x 2,4 m, ogni pilastro porta i carichi di 23,1 m2 di solaio): Dati del pilastro HEA 220: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area -momento d’inerzia rispetto all’asse forte -momento d’inerzia rispetto all’asse debole -Peso per unità di lunghezza
h b tf tw r A Iy-y Iz-z gt
210 mm 220 mm 11 mm 7 mm 18 mm 2 6434 mm 5410 cm4 4 1955 cm 0,505 kN/m
Dati del pilastro HEA 240: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area -momento d’inerzia rispetto all’asse forte -momento d’inerzia rispetto all’asse debole -Peso per unità di lunghezza
h b tf tw r A Iy-y Iz-z gt
230 mm 240 mm 12 mm 7,5 mm 21 mm 7684 mm2 4 7763 cm 4 2769 cm 0,603 kN/m
Dati del pilastro HEB240: -altezza -larghezza -spessore delle ali -spessore dell’anima -raggio di raccordo -area
h b tf tw r A
240 240 17 10 21 10600
mm mm mm mm mm mm2
-momento d’inerzia rispetto all’asse forte -momento d’inerzia rispetto all’asse debole -Peso per unità di lunghezza
Iy-y Iz-z gt
11260 cm4 3923 cm4 0,832 kN/m
-Carichi sul pilastro Peso proprio della trave n°3 IPE 240 0, 31 kN/m·4,8m= Peso proprio della trave n°3 IPE 330 0,49 kN/m·4,9m= Peso travi sul pilastro: 2,35+1,5+ 0,375+0,375+0,375+0,375=5,35 kN Peso proprio del solaio: Carichi permanenti portati: Carichi variabili: Carico dovuto ai permanenti strutturali e portati: N Ed = 1,3 ⋅ (5,55 + 43,8) + 1,5 ⋅ 81,1 = 185,6kN
1, 9 kN/m2·23,1m2= 3,52 kN/m2·23,1m2= 2,00 kN/m2·23,1m2=
1,5 2,35
kN kN
43,8 81,1 46,1
kN/m kN/m kN/m
Questa procedura, valida per carichi diversi nei piani, risulta superflua nel nostro esempio avendo ipotizzato i piani caricati tutti nello stesso modo. Si perviene in questo caso agli stessi risultati dell’esempio caricando con il valore del coefficiente di amplificazione maggiore direttamente l’ultimo piano.
-Massime azioni assiali con cui verificare i pilastri 1° Tronco HEA 220 (base piano n°6) Nmax: 494 kN 2° Tronco HEA 240 (base piano n°3) Nmax: 1205 kN 3° Tronco HEB 240 (base piano Terra) Nmax: 1919 kN
-Classificazione del profilo per le azioni flettenti Profilo HEA 220: acciaio S235→ ε =
235 f y
= 0,924 con f y=275N/mm 2 tensione di snervamento dell’acciaio.
Poiché è rispettato il seguente rapporto:
d t w ⋅ ε
= 23,5 < 33 ⋅ →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f ⋅ ε
= 8,7 < 9 ⋅ →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1. Profilo HEA 240: Poiché è rispettato il seguente rapporto:
d t w ⋅ ε
= 23,66 < 33 ⋅ →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f ⋅ ε
= 8,59 < 9 ⋅ →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1.
Profilo HEB240:
d t w ⋅ ε
= 17,75 < 33 ⋅ →l’anima appartiene alla classe 1,
dove d=h-2·(t f +r) è l’altezza dell’anima. Poiché è rispettato il seguente rapporto:
c t f ⋅ ε
= 5,98 < 9 ⋅ →l’ala appartiene alla classe 1,
dove c=(b-2·r-t w)/2. La sezione è classificata in base alla classe della componente più alta, nel nostro caso la sezione appartiene alla classe 1.
-Compressione -1° Tronco HEA 220 (base piano n°6), N max:494 kN Resistenza di calcolo a compressione:
N c , Rd =
A ⋅ f yk
γ M 0
6434 ⋅ 275
=
1,05
≅ 1685kN
Poiché si ha NEd=494kN< N c,Rd =1685kN la verifica risulta soddisfatta. -2° Tronco HEA 240 (base piano n°3), N max:1205 kN Resistenza di calcolo a compressione:
N c , Rd =
A ⋅ f yk
γ M 0
7684 ⋅ 275
=
1,05
≅ 2012kN
Poiché si ha NEd=1205kN< N c,Rd =2012kN la verifica risulta soddisfatta. -3° Tronco HEB 240 (base piano Terra), N max:1919 kN Resistenza di calcolo a compressione:
N c , Rd =
A ⋅ f yk
γ M 0
=
10600 ⋅ 275 1,05
≅ 2776kN
Poiché si ha NEd=1919kN< N c,Rd =2776kN la verifica risulta soddisfatta.
-Instabilità Resistenza di calcolo all’instabilità:
N b, Rd =
⋅ A ⋅ f yk
γ M 1 1
χ =
≤1
Φ + Φ 2 + λ 2
λ =
A ⋅ f yk N cr
Ncr è il carico critico elastico dell’asta pari a:
N cr =
2
Φ = 0,5[1 + α (λ − 0,2) + λ ]
π 2 ⋅ E ⋅ I L20
dove L0=β· L è la lunghezza di libera inflessione.
Per un’asta incernierata agli estremi β=1,0, per cui L0,y= L0,z=1,0·3,3=3,3m.
-1° Tronco HEA 220 (base piano n°6), N max:494 kN Per le sezioni laminate quando si ha h/b<1,2 e tf <100 mm, si considera la curva d’instabilità b per l’asse forte y-y e la curva d’instabilità c per l’asse debole z-z. -asse forte y-y Dalla curva d’instabilità b ricavo il fattore di imperfezione α=0,34.
N cr =
λ =
π 2 ⋅ E ⋅ I y− y 2
L0, y
6434 ⋅ 275 10286000
=
π 2 ⋅ 210000 ⋅ 54100000 3300
2
≅ 10286kN
= 0,414
2 Φ = 0,5[1 + 0,34(0,414 − 0,2) + 0,414 ] = 0,622
χ =
1 2 2 0,622 + 0,622 − 0,414
= 0,920
e quindi la resistenza di calcolo a compressione rispetto all’asse forte y-y: 0,730 ⋅ 6434 ⋅ 275 = 1550kN N b, Rd = 1,05 -asse debole z-z Dalla curva d’instabilità c ricavo i l fattore d’ imperfezione α=0,49.
N cr = λ =
π 2 ⋅ E ⋅ I z − z 2
L0, z
6434 ⋅ 275 3717000
=
π 2 ⋅ 210000 ⋅19550000 3300
2
= 3717kN
= 0,689
Φ = 0,5[1 + 0,49(0,689 − 0,2) + 0,6892 ] = 0,857
χ =
1 2
0,857 + 0,857 − 0,689
2
= 0,731
e quindi la resistenza di calcolo a compressione rispetto all’asse debole z-z: 0,731⋅ 6434 ⋅ 275 N b, Rd = = 1231kN 1,05 La resistenza di calcolo a compressione sarà la minore tra quelle calcolate rispetto ai due assi. Poiché si ha NEd=494kN< Nb,Rd =1231kN la verifica risulta soddisfatta.
-2° Tronco HEA 240 (base piano n°3), N max:1205 kN Per le sezioni laminate quando si ha h/b<1,2 e tf <100 mm, si considera la curva d’instabilità b per l’asse forte y-y e la curva d’instabilità c per l’asse debole z-z. -asse forte y-y Dalla curva d’instabilità b ricavo il fattore di imperfezione α=0,34. π 2 ⋅ E ⋅ I y − y π 2 ⋅ 210000 ⋅ 77630000 N cr = = ≅ 14760kN L20, y 3300 2 λ =
7684 ⋅ 275 14760000
= 0,378 2
Φ = 0,5[1 + 0,34(0,378 − 0,2) + 0,378 ] = 0,601 1
χ =
2
0,601 + 0,601 + 0,378
2
= 0,936
e quindi la resistenza di calcolo a compressione rispetto all’asse forte y-y: 0,936 ⋅ 7684 ⋅ 275 = 1833kN N b , Rd = 1,05 -asse debole z-z Dalla curva d’instabilità c ricavo il fattore di imperfezione α=0,49. π 2 ⋅ E ⋅ I z − z π 2 ⋅ 210000 ⋅ 27690000 = = 5264kN N cr = L20, z 3300 2
λ =
7684 ⋅ 275 5264000
= 0,633 2
Φ = 0,5[1 + 0,49(0,683 − 0,2) + 0,683 ] = 0,806 1
χ =
2
0,806 + 0,806 − 0,633
2
= 0,766
e quindi la resistenza di calcolo a compressione rispetto all’asse debole z-z: 0,766 ⋅ 7684 ⋅ 275 = 1541kN N b , Rd = 1,05 La resistenza di calcolo a compressione sarà la minore tra quelle calcolate rispetto ai due assi. Poiché si ha NEd=1205kN< N b,Rd =1541kN la verifica risulta soddisfatta.
-3° Tronco HEB 240 (base piano Terra), N max:1919 kN Per le sezioni laminate quando si ha h/b<1,2 e tf <100 mm, si considera la curva d’instabilità b per l’asse forte y-y e la curva d’instabilità c per l’asse debole z-z. -asse forte y-y Dalla curva d’instabilità b ricavo il fattore d’ imperfezione α=0,34. π 2 ⋅ E ⋅ I y − y π 2 ⋅ 210000 ⋅ 112600000 N cr = = ≅ 21408kN 3300 2 L20 , y
λ =
10600 ⋅ 275 21408000
= 0,369 2
Φ = 0,5[1 + 0,34(0,369 − 0,2) + 0,778 ] = 0,597 1 = 0,937 χ = 2 2 0,597 + 0,597 − 0,369 e quindi la resistenza di calcolo a compressione rispetto all’asse forte y-y: 0,937 ⋅10600 ⋅ 275 N b, Rd = = 2601kN 1,05 -asse debole z-z Dalla curva d’instabilità c ricavo i l fattore d’imperfezione α=0,49. π 2 ⋅ E ⋅ I z − z π 2 ⋅ 210000 ⋅ 39230000 N cr = = = 7459kN L20, z 3300 2
λ =
10600 ⋅ 275 7459000
= 0,625 2
Φ = 0,5[1 + 0,49(0,625 − 0,2) + 0,625 ] = 0,799 1 = 0,771 χ = 2 2 0,799 + 0,799 − 0,625 e quindi la resistenza di calcolo a compressione rispetto all’asse debole z-z: 0,771⋅10600 ⋅ 275 N b, Rd = = 2140kN 1,05 La resistenza di calcolo a compressione sarà la minore tra quelle calcolate rispetto ai due assi. Poiché si ha NEd=1919kN< N b,Rd =2140kN la verifica risulta soddisfatta.