Escurrimiento de Fluidos Aplicaciones

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ESCURRIMIENTO DE FLUIDOS Aplicaciones

ALEJANDRO REYES SALINAS

ESCURRIMIENTO DE FLUIDOS Aplicaciones

© Editorial Universidad de Santiago de Chile Av. Libertador Bernardo O`Higgins #2229 Santiago de Chile Tel.: 56-2-7180080 www.editorial.usach.cl [email protected] © Alejandro Reyes Salinas Inscripción Nº: 194.968 I.S.B.N.: 978-956-303-100-3 Portada y diseño: Andrea Meza Vergara Diagramación: Andrea Meza Vergara Primera edición, septiembre de 2010 Impreso en Gráfica LOM Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida en manera alguna ni por ningún medio, ya sea eléctrico, químico o mecánico, óptico, de grabación o de fotocopia, sin permiso previo de la editorial. Impreso en Chile.

ÍNDICE Prefacio

11

CAPÍTULO 1 CONCEPTOS GENERALES DE FLUIDOS 1.1. Concepto de fluido 1.2. Propiedades de los fluidos 1.3. Hidrostática Ejercicios

15 15 17 28 33

CAPÍTULO 2 BALANCES MACROSCÓPICOS 2.1. Ecuación de balance 2.2. Balance de masa 2.3. Balance de energía Ejercicios

37 37 38 42 48

CAPÍTULO 3 FLUJO DE FLUIDOS 3.1. Naturaleza del flujo de fluidos 3.2. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, en situaciones que la fricción es despreciable 3.3. Definición de factor de fricción 3.4. Descripción de cañerías, válvulas y accesorios 3.5. Evaluación de pérdidas en válvulas y accesorios 3.6. Aplicaciones que involucran la evaluación de factores de fricción 3.7. Evaluación de pérdidas en ductos no circulares 3.8. Diámetro óptimo económico (DOE) 3.9. Situaciones complejas 3.10. Fluidos no newtonianos Ejercicios

51 51 54 63 68 71 74 82 84 88 99 104

CAPÍTULO 4 MEDIDORES DE FLUJO 4.1. Medidores que funcionan en base a principios fluido-dinámicos Tubo de Pitot Placa orificio, tobera y Venturi Ejercicios

116 116 120 148

CAPÍTULO 5 TRANSPORTE DE LÍQUIDOS A.1 Bombas alternativas o recíprocas A.2 Bombas rotatorias B.1 Bombas centrífugas Teoría de bombas centrífugas Funcionamiento real de una bomba centrífuga Determinación del caudal de operación Selección de bombas centrífugas B.2 Bombas con efectos especiales Ejercicios

151 151 156 162 170 177 186 194 195 205

CAPÍTULO 6 FLUJO DE GASES 6.1. Flujo isotérmico 6.2. Flujo adiabático 6.3. Equipos impulsores de gases Ejercicios

209 210 215 219 227

CAPÍTULO 7 CARACTERIZACIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS 7.1. Tamaño de partículas 7.2. Forma de las partículas Ejercicio

229 229 235 241

CAPÍTULO 8 FACTORES DE FRICCIÓN EN MEDIOS POROSOS 8.1. Teoría del conjunto de tubos 8.2. Teoría del medio continuo Ejercicios

243 243 248 255

111

CAPÍTULO 9 FILTRACIÓN 9.1. Filtros de lecho profundo 9.2. Filtros sobre superficies 9.3. Teoría de filtración de lechos profundos 9.4. Teoría de filtración sobre superficies 9.5. Filtración de tortas compresibles 9.6. Auxiliares filtrantes Ejercicios

257 257 263 275 279 307 309 313

CAPÍTULO 10 FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS 10.1. Velocidad Terminal 10.2. Coeficientes de arrastre Ejercicios

317 319 320 323

CAPÍTULO 11 FLUIDIZACIÓN 11.1. Introducción a la fluidización 11.2. Aplicaciones industriales de la fluidización 11.3. Calidad de la fluidización 11.4. Equipos de fluidización 11.5. Parámetros de diseño y de operación de lechos fluidizados Ejercicios

325 325 330 333 335 336 343

CAPÍTULO 12 SEDIMENTACIÓN Sedimentación libre Sedimentación retardada Sedimentación floculada 12.1. Análisis de sedimentadores con sedimentación retardada 12.2. Dimensionamiento de espesadores continuos Ejercicios

345 347 348 349 350 360 376

CAPÍTULO 13 SEPARACIONES GAS-PARTÍCULA 13.1. Separadores gravitatorios 13.2. Separadores centrífugos (ciclones) Ejercicios

377 381 385 392

CAPÍTULO 14 TRANSPORTE HIDRÁULICO DE SÓLIDOS EN TUBERÍAS 14.1. Introducción 14.2. Modelos para predecir pérdidas de carga Modelo de Durand Modelo de Newitt Ejercicios

395 395 398 398 401 411

Apéndice

413

Capítulo 1: Conceptos generales de fluidos

PREFACIO Con el propósito de reunir los aspectos más importantes, originalmente con diversas nomenclaturas propias de cada autor, se presenta este texto que pretende entregar en forma coherente y sencilla los temas más relevantes del Escurrimiento de Fluidos y sus aplicaciones. Este material ha sido utilizado en cursos de Mecánica de Fluidos y de Separaciones Fluidopartícula, de la carrera de Ingeniería Civil Química y de Fluidodinámica de la carrera de Ingeniería en Biotecnología de la Universidad de Santiago de Chile, USACH, y en programas de Postítulo y cursos cerrados de formación profesional ofrecidos por el DIQ/USACH. El autor agradece a los colegas del área de Operaciones Unitarias del Departamento de Ingeniería Química de la USACH por haberme facilitado diversos apuntes de clases, en especial al Profesor Rolando Vega. También se agradece a los alumnos ayudantes de diversas promociones, que han colaborado revisando los ejercicios propuestos.

11

A mi esposa Elizabeth que me incentivó y apoyó incondicionalmente en la preparación de este texto, y a nuestros hijos Esteban, Alejandro y Daniela.


CAPÍTULO 1 CONCEPTOS GENERALES DE FLUIDOS

1.1.

Concepto de fluido

Previo a la definición del término “fluido”, se aclarará el concepto de esfuerzo de corte, el cual es fácil de comprender analizando las 3 situaciones físicas siguientes:

Figura 1.1. Tipos de fuerza ejercida por el peso P.

En la Figura 1.1.a, la cuerda está manteniendo al peso P, el que ejerce una fuerza que tiende a estirar la cuerda. Por otro lado, una tensión es el cuociente entre una fuerza y el área sobre la cual se ejerce esta fuerza. La fuerza que trata de estirar la cuerda se llama fuerza de tracción y la tensión producida se llama tensión de tracción. En Figura 1.1.b, una columna mantiene un peso P, el que ejerce una fuerza que tiende a comprimir la columna. Esta clase de fuerza se llama fuerza compresiva y la fuerza en la columna se llama tensión compresiva. En Figura 1.1.c, un pegamento mantiene adherido a las paredes el peso P, el que ejerce una fuerza que tiende a deslizarlo, bajando por las paredes y así tensiona el pegamento. Esta fuerza, que tiende a deslizar una

15

Escurrimiento de fluidos

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superficie paralela a una superficie adyacente se denomina fuerza de corte y la tensión en el pegamento, vale decir la fuerza dividida por el área de pegamento se llama tensión de cortadura o esfuerzo de corte (τ). Luego, (1.1)

Con el propósito de diferenciar fluidos y sólidos, es posible establecer que los sólidos son sustancias que pueden resistir permanentemente grandes esfuerzos de corte. Al ser sometidos a una fuerza de corte pueden moverse solamente una pequeña distancia (por deformación elástica) y entonces dejarán de moverse. Si la fuerza de corte es aún más grande se cortarán, es decir se rompen (Figura 1.2).

Figura 1.2. Aplicación de una fuerza de corte sobre un sólido.

Los materiales que son fluidos no pueden resistir permanentemente una fuerza de corte, no importando cuan pequeña sea ésta. Cuando son sometidos a dichas fuerzas ellos comienzan a moverse y continúan en movimiento mientras se aplica la fuerza (es decir fluyen). Dentro de este contexto el término fluido es general, incluyendo tanto a líquidos como a gases.

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1.2.

Propiedades de los fluidos

Entre las propiedades que caracterizan a los fluidos se tiene la densidad, gravedad específica, viscosidad, tensión superficial, presión de vapor, conductividad térmica, etc. Definiremos a continuación algunas de éstas propiedades físicas y conceptos fundamentales en mecánica de fluidos: A) Densidad (ρ): Se define como el cuociente entre masa y volumen.

ρ=

masa volumen

(1.2)

Existen numerosas técnicas experimentales e instrumentos que permiten evaluar la densidad de gases, líquidos y sólidos, existiendo los densímetros, picnómetros de líquidos y gases. Frecuentemente los textos de mecánica de fluidos y manuales en general, incluyen tablas con valores de densidad para diferentes líquidos y sólidos, referidos a 1 atmósfera y temperatura de 4 ºC o 20 ºC. Para el caso de gases, dado que su densidad depende fuertemente de la presión y temperatura, es práctica común emplear relaciones P-V-T (ecuaciones de estado) para tal efecto. Si las condiciones de presión no son severas puede usarse la ecuación de gas ideal:

ρ=

p⋅M R ⋅T

en que: p = presión absoluta M = peso molecular T = temperatura absoluta R = constante de los gases

17

(1.3)


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Ejemplo 1.1 En un ducto de ventilación circula aire a 20 ºC y P = 1.1 at. ¿Cuál es la densidad del aire? Solución: Considerando que el aire se comporta como gas ideal, usaremos la ecuación de gases ideales, ecuación 1.3. Introduciendo los valores respectivos, se obtiene ρ = 1,33 (kg/m3). Note que en esta situación, si la presión aumenta al doble, la densidad del aire también se duplica. Ejemplo 1.2 Determine la densidad de metano a 50 ºC y 2.5 atmósferas. Solución:

B) Gravedad específica (G.E.): Gravedad específica se define como el cuociente entre la densidad del fluido y la densidad de un fluido de referencia, en condiciones establecidas. Vale decir: (1.4) Esta definición tiene el mérito de ser una razón, por lo tanto, es un número puro, sin dimensión. Debe tenerse en cuenta el fluido de referencia y las condiciones de presión y temperatura de éste. Normalmente el fluido de referencia es agua y la presión de referencia es 1 atmósfera. Como temperatura de referencia para sólidos y líquidos se utiliza 4 ºC (39 ºF) o 21.1 ºC (70 ºF).

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Para gases suele utilizarse como fluido de referencia aire a 1 atmósfera, a las temperaturas ya señaladas. Algunos procesos industriales utilizan escalas especiales de densidades de fluidos, las que usualmente se refieren como “gravedades”. Algunas de ellas son: “gravedad API” para aceites y petróleo, “gravedad Brix” para industria del azúcar y “gravedad Baumé” para ácido sulfúrico. Cada una de estas escalas es convertible en densidad, existiendo tablas y fórmulas para este efecto. C) Viscosidad: La viscosidad es una medida de la resistencia a fluir. Por ejemplo el agua es menos viscosa que la miel. Una definición más precisa para viscosidad es posible en términos del siguiente experimento:

Consideremos dos placas largas, separadas por un pequeño film de líquido. Si se mueve la placa superior en la dirección X con velocidad Vo, se requerirá una fuerza para vencer la fricción en el fluido entre las placas. Esta fuerza será diferente para diferentes velocidades, diferentes fluidos y diferentes separaciones entre placas. Midiendo la fuerza por unidad de área de la placa se obtiene el esfuerzo de corte (μ).

Figura 1.3. Experimento de la placa deslizante.

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Experimentalmente se ha demostrado que a bajos valores de Vo el perfil de velocidades en el fluido entre placas es lineal, es decir:

También se ha demostrado experimentalmente que para la mayoría de los fluidos los resultados de este experimento pueden mostrarse en forma más conveniente graficando τ vs dV/dy. En la Figura 1.4 se describen los comportamientos más frecuentes:

Figura 1.4. Comportamiento reológico de diferentes fluidos, en función del esfuerzo de corte (τ) vs dV/dy.

El comportamiento más común es el representado por la línea recta que parte del origen, llamada newtoniana porque describe la ley de Newton de la viscosidad: τ = −µ

dV dy

Aquí μ corresponde a la viscosidad o coeficiente de viscosidad.

20

(1.5)


Los gases como el aire, presentan bajos valores de la viscosidad, quedando la recta μ vs dV/dy muy cerca del eje horizontal. Para fluidos tales como jarabe de maíz el valor de μ es muy grande, pasando la línea recta cercana al eje τ. Los fluidos que siguen el comportamiento ya descrito son llamados fluidos newtonianos. Todos los otros son llamados fluidos no-newtonianos. ¿Qué fluidos son no-newtonianos? Aquellos formados de moléculas o partículas mucho mayores que las moléculas de agua, tales como suspensiones concentradas y pastas en general. Dimensiones y unidades de la viscosidad (μ). Las dimensiones de la viscosidad se pueden deducir de la ley de Newton de la viscosidad:

Utilizando dimensiones de masa, longitud, tiempo (es decir, un sistema absoluto), tenemos:

En el sistema centímetro-gramo-segundo (CGS), la unidad de viscosidad es el poise:

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Por comodidad se emplea frecuentemente el centipoise. 1 centipoise = 0.01 poise = 0.001 [kg /(m s)] Variación de la viscosidad con la temperatura y presión La variación de la viscosidad con la temperatura es significativa, por lo que se debe considerar este efecto en el diseño de equipos. La viscosidad de líquidos disminuye al aumentar la temperatura, mientras que para gases el efecto es inverso. El efecto de la presión en la viscosidad de líquidos normalmente es despreciable. Para gases a presiones elevadas, la viscosidad aumenta con la presión. En tablas y nomogramas se dispone de valores de la viscosidad de líquidos y gases, normalmente referidos a 1 atmósfera. En literatura especializada se dispone de ecuaciones para determinar la viscosidad en función de la presión. Fluidos no newtonianos Existen numerosos fluidos que no siguen el comportamiento newtoniano, tales como suspensiones concentradas y pastas en general. Para estos fluidos se han propuesto ecuaciones que representan su comportamiento específico en términos de la relación entre esfuerzo de corte (τ) y el gradiente de velocidad. A continuación se muestran las ecuaciones de dos modelos: Modelo de Bingham Toda sustancia que sigue este modelo de dos parámetros se denomina plástico de Bingham; permanece rígida mientras el esfuerzo cortante es menor de un determinado τo, comportándose como fluido newtoniano para τ > τo. 22


(1.6) y (1.7)

Tabla 1.1. Parámetros para fluidos de Bingham (Levenspiel, 1993). Fluido

Tensión de fluencia, τo (Pascales)

Ketchup (30 ºC) Mostaza (30 ºC) Oleomargarina (30 ºC) Mayonesa

14 38 51 85

Viscosidad plástica, (kg/m s) 0.08 0.25 0.72 0.63

Modelo de Ostwald de Waele (o ley de la potencia) En este modelo, K es el índice de consistencia de flujo y n es el índice de comportamiento de flujo. Si n<1, entonces el fluido es pseudo plástico, mientras que si n>1, el fluido es dilatante. En Tabla 1.2. se presentan parámetros para algunos fluidos que siguen la ley de la potencia (1.8)

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Tabla 1.2. Parámetros de fluidos que siguen la ley de la potencia (Levenspiel, 1993). Fluido Compota de manzana (24 ºC) Papilla de plátanos (24 ºC) Sangre humana Sopas y salsas Jugo de tomate (5.8% de sólidos, 32 ºC) Jugo de tomate (30% de sólidos, 32 ºC) Pasta de papel en agua (4%) Cal en agua (33%) Carboximetilcelulosa en agua (15%)

n (-) 0.41 0.46 0.89 0.51 0.59 0.40 0.575 0.171 0.554

K (kg/ms2-n) 0.66 6.5 0.00384 3.6 - 5.6 0.22 18.7 20.7 7.16 3.13

D) Presión: La fuerza normal que actúa sobre un área plana dividida por el área es la presión media. Si el área tiende a cero, se habla de presión puntual, la cual es la misma en todas las direcciones (x, y, z). En situaciones de mecánica de fluidos es frecuente trabajar con escalas de presión absolutas y escalas relativas como por ejemplo presiones manométricas y presiones de vacío. Las relaciones entre ellas son directas: Pmanométrica = P de vacío

=

P absoluta

-

Patmosférica local

(1.9)

Pabsoluta

(1.10)

Patmosférica local -

En la Figura 1.5 se muestran gráficamente estas relaciones. Debe observarse que las presiones absolutas siempre serán positivas, no así las manométricas que podrían ser negativas.

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Figura 1.5. Escalas de presión (Absoluta y relativas).

Instrumentos para medir presión. El manómetro Bourdon (Figura 1.6) es uno de los aparatos típicos que se usan para medir presiones manométricas. El elemento que soporta la presión es un tubo metálico curvado, cerrado por un extremo, y que por el otro se conecta al recipiente que contiene el fluido cuya presión va a medirse. Cuando la presión interna aumenta, el tubo tiende a enderezarse, tirando de un eslabón que actúa sobre la aguja obligándola a moverse. En la esfera se lee cero cuando en el interior y en el exterior del tubo reina la misma presión, cualesquiera que sean sus valores particulares. La esfera puede ser graduada con las unidades que se prefieran, tales como mm de mercurio o metros de agua. Por su construcción, este manómetro sirve para medir presiones relativas a la presión del medio que rodea al tubo, que suele ser la presión atmosférica local.

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Figura 1.6. Instrumentos de medición. a) manómetro de Bourdon, b) Vista interna del manómetro de Bourdon, c) Calibrador de peso muerto.

El manómetro de Bourdon, por ser un dispositivo de tipo mecánico debería ser calibrado periódicamente utilizando, por ejemplo, un calibrador de peso muerto (Figura 1.6.c). Otros instrumentos para medir presión funcionan en base a diafragmas (Figura 1.7), transductores piezoresistivos, transductores piezoeléctricos, columnas de líquidos manométricos. Estos últimos serán descritos más adelante.

Figura 1.7. Instrumentos para medir presión en base a diafragmas.

E) Presión de vapor: Los líquidos se evaporan porque las moléculas se escapan de su superficie. Cuando el espacio por encima del líquido está limitado, las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en dicho espacio, llamada

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presión de vapor. Después de un tiempo suficiente, el número de moléculas de vapor que chocan contra la superficie del líquido y de nuevo se condensan es justamente igual al número de las que escapan en un intervalo de tiempo, existiendo un equilibrio. Como este fenómeno depende únicamente de la actividad molecular, la cual es función de la temperatura, la presión de vapor de un fluido dado depende de la temperatura y aumenta con ella. Cuando la presión encima del líquido se iguala a la presión del vapor del líquido, éste hierve. La ebullición del agua, por ejemplo, puede ocurrir a la temperatura ambiente si la presión se reduce suficientemente. Así a 20 ºC el agua tiene una presión de vapor de 2337 (Pa), equivalente a 0.00000176 kgf/cm2. En algunas situaciones que implican el movimiento de líquidos es posible que se produzcan presiones muy bajas en determinados sectores del sistema. Bajo tales circunstancias la presión puede llegar a ser igual o menor que la presión del vapor. Cuando ocurre esto, el líquido se transforma en vapor. Este es el fenómeno de cavitación, en el cual se forman bolsas o cavidades de vapor, que normalmente son sacadas de su punto hacia zonas donde la presión es mayor que la presión del vapor, produciéndose el colapso de estas cavidades o burbujas. Este crecimiento y decaimiento de las burbujas de vapor afecta al rendimiento de funcionamiento de las bombas y turbinas hidráulicas y puede dar como resultado erosiones en las partes metálicas de la región de cavitación (Ver capítulo 5). F) Tensión superficial: En la superficie de contacto entre líquido y gas, parece formarse en el líquido una película o capa especial, debida en apariencia a la atracción de las moléculas del líquido situadas por debajo de la superficie. Esto se comprueba fácilmente al colocar una pequeña aguja en la superficie del agua en reposo y observando como es soportada por la película. Esta propiedad de la película superficial de ejercer una tensión se llama tensión superficial y es la fuerza necesaria para mantener la unidad de longitud de la película en equilibrio. La tensión superficial agua/aire dismi-

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nuye desde 72.8 mili Newton/m (0,00745 kgf/cm) a 20 ºC hasta 58.9 mili Newton/m (0,00596 kgf/m) a 100 ºC.

1.3.

Hidrostática

Un fluido se considera estático si todos los elementos constituyentes

del fluido se encuentran en reposo o se mueven con velocidad uniforme, con respecto a un sistema de referencia. Esto se cumple cuando existe un equilibrio de las fuerzas que actúan sobre el fluido.

En un fluido en reposo sólo actúan esfuerzos normales (presión) y necesariamente los esfuerzos de corte (τ) deben ser cero.

Para un fluido en reposo la presión es la misma en todas las direccio-

nes, pero varía con la altura, según la ecuación fundamental de la hidrostática (conocida también como ecuación de Torricelli), es decir: (1.11) p = presión ρ = densidad del fluido h = altura g = aceleración de gravedad De acuerdo con la Figura 1.8, pa = pb = pc, siempre que entre a, b, y c exista un medio continuo y homogéneo. Conociendo la presión en la aparte inferior del estanque, se puede evaluar la presión en h = h1, integrando la ecuación fundamental de la hidrostática:

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d p = - ρ⋅g⋅dh

Considerando que el fluido es incompresible (ρ = constante) se obtiene: pa = pd – ρ g h1

(1.12)

Esta última expresión se utiliza para evaluar cambios de presión en estanques, columnas de líquido, etc.

Figura 1.8. Presiones en un estanque de líquido, de densidad ρ.

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Ejemplo 1.3 Deduzca una expresión que permita evaluar la presión en el fondo de un tambor (px) que contiene en su parte inferior agua y en la parte superior aceite: Solución:

p2 = patmosférica

p1 = p2+ ρaceite· g·h2

px = p1 + ρagua· g·h1

Luego: px = p2 + g [ρaceite· h2 + ρagua · h1] Ejemplo 1.4 Un manómetro en U consiste en una columna de vidrio curvada, que contiene en su interior un líquido, inmiscible con el fluido del estanque al cual se conecta. Al respecto, un manómetro en U se encuentra conectado a un gasómetro que contiene 02. Si la presión atmosférica es de 760 mm de Hg, determine la presión absoluta y la presión manométrica en el interior del estanque, considerando que el líquido manométrico es mercurio y que la rama de la derecha está abierta a la atmósfera. Solución: p1 = p2; (puntos a igual nivel) p3 ≠ p4; (están a un mismo nivel, pero entre ellos no existe un medio continuo y homogéneo)

30


Aplicando la ecuación de la hidrostática a la rama izquierda y luego a la rama derecha del manómetro: p1 = pO2 + ρO2 · g · 0.5(m) + ρO2 · g · 0.2(m) p2 = patmosférica + ρHg · g · 0.5(m) + ρaire · g · 0.2(m) Igualando estas expresiones: pO2 = patmosférica + ρHg · g · 0.5(m) + ρaire · g · 0.2(m) – ρO2 · g · 0.5(m) - ρO2 · g · 0.2(m) pO2 = Patmosférica + g [ρHg · 0.5 + ρaire · 0.2 – ρO2 · 0.7] pO2 = 760 mmHg + 9.8 m/s2 [13.600 kg/m3 · 0.5 m + 1.1 kg/m3 · 0.2 m – 1.3 kg/m3 · 0.7] pO2 = 760 mmHg + 66633.2 kg/s2m; pero: 1 kg/s2m = 0.0075 mmHg, luego: pO2 = 1259.75 [mmHg] (presión absoluta) Para obtener la presión manométrica se debe restar a este valor la presión atmosférica local: pmanométrica de O2 = 499.75 mm Hg

Ejemplo 1.5 Un manómetro Bourdon se encuentra conectado a una tubería por la cual circula agua, según se muestra en la figura. Si el manómetro indica una presión de 60 psig, ¿Cuál es la presión absoluta en la cañería si en el lugar la presión atmosférica es de 14 psia (724 mm Hg)?

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Solución:

p1 (manométrica) = 60 psig = 3102.9 mm Hg p1 (abs) = 60 psi + 14 psia = 74 psia = 3826.9 mm Hg p1 = p2 + ρagua· g · 0.61 m

p2 = p1 – ρagua· g · 0.61 = 3826,9 mm Hg –1000 kg/m3 · 9.8 m/s2 · 0.6 m p2 = 3826,9 mm Hg – 5978 kg/ms2 · 0.0075 mm Hg/(kg/ms2) = 3782 mmHg p2 = 73.13 psia (absoluta) = 58.4 psi (manométrica)

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EJERCICIOS 1.1. A nivel del mar se tiene una presión de 14,7 lbf/pulg2 y una temperatura de 20 ºC. Determine la presión atmosférica a alturas de 300; 3.000 y 30.000 m. sobre el nivel del mar, considerando una atmósfera isotérmica. 1.2. Grafique la viscosidad de aire, agua y ácido sulfúrico al 60%, a una temperatura de 0; 50 y 75 ºC, a la presión atmosférica. ¿Qué conclusiones deduce de estos resultados? 1.3. Utilizando las propiedades críticas del N2, determine su viscosidad a 1; 10; 50 y 100 at. y a una temperatura de 293 K.1.4. Determine la densidad de flujo de cantidad de movimiento (esfuerzo de corte) en estado estacionario, expresado en kgf/m2 y kg/m.s2, cuando la velocidad V de la lámina superior es de 0,3 m/s. La distancia entre las láminas es de 0,3 mm. y la viscosidad del fluido es 0,7 c.p.

1.4. Exprese una presión manométrica de 0,6 kgf/cm2, cuando la presión atmosférica es de 750 mm de Hg, en: a) metros de columna de agua. b) psia. c) kgf/cm2 (abs). d) Newton/m2 (abs). e) Kilo-Pascales (abs). f) torr (abs).

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1.5. El agua que se encuentra en un depósito cerrado está sometida a una presión manométrica de 0,3 kgf/cm2, ejercida por aire comprimido introducido en la parte superior del depósito. En la pared lateral del mismo hay un pequeño orificio, situado 5 m. por debajo del nivel del agua. Calcular la velocidad con la cual sale el agua por este orificio. 1.6. El tubo de la figura está lleno de aceite. Determine la presión en A y B en metros de columna de agua.

1.7. Una manera de determinar la densidad de un líquido, ρx, (con densidad cercana pero menor que la del agua) es el sistema que se muestra en la figura siguiente:

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1.8. La pérdida de presión a través del accesorio X se mide utilizando un manómetro de la forma indicada, con un aceite cuya densidad relativa es 0,75. El líquido que fluye tiene una densidad relativa de 1,5. a) Utilizando las medidas que se indican, calcular la diferencia de presión entre las dos conexiones piezométricas en unidades MKS y en columna de fluido circulante. b) Determine qué densidad debe tener el líquido manométrico para que una diferencia de presión de 0,1 atmósferas produzca una diferencia de 100 cm.

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Capítulo 2: Balances macroscópicos

CAPÍTULO 2 BALANCES MACROSCÓPICOS

2.1.

Ecuación de balance

La expresión general para un balance tiene la forma siguiente: (2.1)

Esta ecuación de balance puede ser aplicada a cualquier propiedad extensiva X, entendiéndose por propiedad extensiva aquella que se duplica al duplicarse la masa del sistema, por ejemplo, energía, entalpía, masa, cantidad de movimiento, etc. También es aplicable a unidades contables: dinero, personas, árboles, etc. Al aplicar la ecuación de balance deben especificarse claramente los límites del sistema sobre el cual se aplica el balance. Los tipos de sistema son: • Un sistema abierto, aquel cuyos límites permiten la entrada y salida de energía y masa. • Un sistema cerrado, aquel cuyos límites sólo permiten la entrada y salida de energía. • Un sistema aislado, aquel que no permite el intercambio de energía ni de masa. Si se elige como sistema alguna región arbitraria del espacio en la cual puedan existir flujos de entrada y/o salida, entonces este sistema será el volumen de control.

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La ecuación de balance no es aplicable a unidades incontables ni a propiedades intensivas (temperaturas, presión, viscosidad, dureza, color, densidad, etc.).

2.2.

Balance de masa

Como ya se señaló, a la masa, propiedad extensiva, se le puede apli-

car la ecuación de balance. Los términos de creación y destrucción de masa son cero, por lo que el balance de masa será:

(2.2)

La ecuación de balance de masa se conoce también con los nombres

de: ecuación de conservación de masa, ecuación de continuidad o principio de continuidad.

Si el término de acumulación de masa se hace despreciable, se habla

de balance de masa en estado estacionario. En este caso se obtiene: {Flujo másico de entrada} = {Flujo másico de salida}

(2.3)

Esta expresión se conoce como ecuación de continuidad en estado estacionario.

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Ejemplo 2.1 Por una tubería circula agua en estado estacionario. En un sector de la tubería de diámetro 0,1 m la velocidad es de 3 m/seg. Si luego el diámetro de la tubería aumenta a 0,2 m, determine la nueva velocidad del agua. ρagua = 1000 (kg/m3)

V1 = 3 (m/s) D1 = 0.1 (m) D2 = 0.2 (m) V2 = ¿? Solución: El sistema será el fluido comprendido entre 1 y 2. Flujo másico = w1 = ρ1 (kg/m3) · A1 (m2) · V1 (m/s)

Pero, de acuerdo con el balance de masa: w1 = w2 = ρ2 A2 V2, de aquí:

Note que:

w1 = w2 = ρ1 A1 V1 = ρ2 A2 V2

Si el fluido es un líquido como en este caso (fluido incompresible): D  V2 = V1  1   D2 

2

Ejemplo 2.2 Un estanque cilíndrico de diámetro 3 m posee una tubería de entrada de diámetro 10 cm y una tubería de salida de diámetro 15 cm. En la primera entra

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agua a una velocidad de 3 (m/seg) y en la segunda sale agua a una velocidad de 1 (m/seg) ¿El nivel de agua en el estanque sube o baja? Esta situación corresponde a un balance de masa en estado no estacionario. D1 = 0.1 m V1 = 3 m/s D2 = 0.2 m V2 = 1 m/s

Dado que el fluido es incompresible ⇒ ρ ρ= =ρ1ρ= ρ2ρ 2 1 =

El valor positivo de dv/dt nos indica que el nivel del estanque sube. Ejemplo 2.3 Se desea saber en cuánto tiempo se llenará el estanque del problema anterior, considerando que cuando se abren las válvulas de entrada y salida contiene 5 m3 de agua. La altura del estanque es de 2 metros. Solución: El planteamiento del problema es similar al anterior, vale decir:

40

; luego


vinicial = 5 m3, para t = 0 vfinal = (π/4) D2 L = (π/4) · 32 · 2 = 14.137 m3 vfinal - vinicial = 0.00589 · t ⇒ t t==1551.3(s) 1551.3 ( s )==25.9 25 .9(min) (min) Ejemplo 2.4 El estanque de la figura contiene aire que puede ser considerado como un gas ideal. La bomba de vacío está extrayendo aire del estanque. Durante el proceso los serpentines mantienen la temperatura constante en el interior del estanque en 70 ºF. El flujo volumétrico de salida de aire es de 1 pie3/min, independiente de la presión. ¿Cuánto tiempo emplea la bomba en disminuir la presión desde 1 atm a 0.001 atm? Solución: El estanque es el sistema en estudio:

Pi = 1 at Pf = 0.001 at Qsalida = 1 (pie3/min)

La ecuación general es: = wentrada – wsalida

;

pero: wentrada = 0

41


= – wsalida

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;

wsalida = Q · ρ

d ( ρ v) = −–QQ⋅ ρ · ρ ; ;v = cons v = constante tan te dt

2.3.

Balance de energía

Un sistema puede poseer diversas clases de energía: interna, cinética,

potencial, electrostática, magnética, etc. Definiremos las tres primeras por ser las más importantes en el flujo de fluidos: •

• •

Energía interna (U). Es una propiedad intrínseca del fluido. El sistema a estudiar estará integrado por moléculas orientadas según una geometría particular, en el caso de sólidos, o bien siguiendo un movimiento errático en el de los fluidos. Energía potencial (Φ). Se debe a la posición del fluido con respecto a un plano de referencia arbitrario. Energía cinética (K). Está asociada al movimiento del fluido.

Para estas dos últimas existen expresiones que permiten su evaluación. El sistema a considerar será abierto, siendo el sistema el fluido que pasa por el circuito general mostrado a continuación:

42


Figura 2.1. Circuito sobre el cual se realizará el balance de energía.

Consideremos que el sistema puede almacenar energía interna, potencial y cinética y que pueden existir además energía “en tránsito” como calor (Q) y trabajo (W).

Usaremos la siguiente nomenclatura:

Energía (Energía/tiempo) (Energía/masa) uˆ Energía interna U u ˆ Energía potencial Φ φ φ kˆ Energía cinética K k Aceptaremos además la siguiente convención de signos:

Figura 2.2. Convención de signos.

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En el sistema elegido puede entrar o salir cualquiera de los tipos acumulables de energía (interna, potencial, cinética), al igual que las energías en tránsito (calor y trabajo). Usando la ecuación general de balance, aplicada al sistema señalado en Figura 2.1, se obtiene:

(2.4)

En este balance no se han considerado términos de “generación” o de

“destrucción” de energía, ya que normalmente no se producen en situaciones corrientes de escurrimiento de fluidos. A continuación, plantearemos expresiones para cada uno de los términos que aparecen en la ecuación de balance, y luego los introduciremos en ella:

φˆ = g⋅Z g = aceleración de gravedad Z = altura respecto a un nivel de referencia uˆ = (energía interna/masa) kˆ = ½ ⋅V2/α (energía cinética/masa) V = velocidad media en la tubería α = parámetro de corrección de la energía cinética. Se evalúa con Figura 2.3 para fluidos newtonianos. Con respecto al término de trabajo, en un sistema como el mostrado en Figura 2.1 existen dos formas de trabajo: a) Un trabajo que debe realizarse para que la masa de fluido entre y salga del sistema. Se le llama trabajo de flujo. En unidades de energía/masa, el trabajo de flujo = p/ρ. b) Un trabajo relacionado con partes móviles (bomba, compresor, turbina, etc.). Se denomina W en unidades de energía/tiempo y se llama W cuando está en unidades de energía/masa.

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Figura 2.3. Factor de corrección de energía cinética (α) vs Reynolds (Adaptado de Hicks T. Pump, selection and application, 1957).

Para fluidos no-newtonianos que siguen la ecuación 2.5, α puede ser evaluado con expresión 2.6, válida en régimen laminar. (2.5) (2.6) Introduciendo cada uno de los términos en la expresión general de balance de energía, para un fluido incompresible, se obtiene: (2.7) Si el en sistema no hay acumulación de masa, podemos considerar w1 = w2 = w. Además si consideramos que el balance se realiza en estado estacionario, el término de acumulación de energía será cero. Luego, dividiendo por w, se obtiene: (2.8)

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Reordenando esta expresión y multiplicando por -1 se llega a: (2.9) (2.10)

Introduciendo las expresiones para la energía cinética y potencial: (2.11) Reescribiendo esta ecuación se obtiene: (2.12)

En la mayoría de las aplicaciones de interés práctico es posible con-

siderar α = 1 [Régimen turbulento].

De acuerdo con lo especificado anteriormente, el significado de cada

uno de estos términos es: p/ρ = energía de flujo por unidad de masa del fluido gZ = representa la energía potencial sobre un nivel de referencia por unidad de masa del fluido. 1V2 = energía cinética por unidad de masa del fluido. 2 α = es el trabajo realizado por el fluido o el trabajo realizado sobre el fluido. Es distinto al trabajo entregado por los equipos mecánicos, aunque se relacionan a través de la eficiencia de las unidades mecánicas.

46


(∆ uˆ − Qˆ ) = corresponde a las pérdidas por fricción al ir el fluido desde 1 a 2. Llamaremos a (∆ uˆ − Qˆ ) = Eˆ v Siempre se cumplirá que Eˆ v > 0 (de lo contrario significaría que es posible enfriar un fluido mediante fricción).

De acuerdo con esto, la ecuación de balance de energía será: (2.13) (2.14) Pero p/ρ = vˆ p ; siendo vˆ = volumen específico (2.15) Por definición: entalpía: Hˆ = uˆ + pvˆ Luego: ∆Hˆ = ∆ uˆ + ∆( pvˆ)

(2.16)

Introduciendo el término de entalpía en la ecuación de balance: (2.17) Esta ecuación es de gran utilidad para evaluar cambios energéticos en sistemas en que la temperatura varía considerablemente. Se conoce como balance de energía total.

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EJERCICIOS 2.1. Un estanque de agua tiene una tubería de entrada de 30 cm. de diámetro y dos tuberías de salida de 15 cm. y 10 cm., respectivamente. La velocidad en la tubería de entrada es 1,5 m/s y en la salida de 15 cm. de diámetro es 2 m/s. La masa del estanque aumenta a razón de 23,6 kg/s. ¿Cuál es la velocidad, el flujo volumétrico y el flujo másico en la tubería de 10 cm.? ¿Si esta tubería se cierra cuál será la variación de la masa del estanque en el tiempo? 2.2. Gas Metano (M=16 kg/kgmol) circula por una cañería en estado estacionario a 25 ºC. En la sección (1) de la cañería, la velocidad es 2,2 (m/s) y la presión es 1,2 (at). ¿En qué proporción se debe disminuir el diámetro de la cañería para que en el punto (2) la velocidad del gas aumente a 8,8 (m/s), considerando que la presión en esa sección es de 1,1 (atm)? [Solución: D1/D2 = 1.9]

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2.3. Dos estanques de grandes dimensiones conteniendo agua se encuentran conectados con una tubería. El estanque A tiene una presión sobre el agua de 1,2 (at), mientras que el estanque B se encuentra abierto a la atmósfera. ¿Es posible que físicamente se dé esta situación? Justifíquelo.

49

Capítulo 3: Flujo de fluidos

CAPÍTULO 3 FLUJO DE FLUIDOS

3.1.

Naturaleza del flujo de fluidos

Antes de iniciar las aplicaciones de los balances de masa y energía al flujo de fluidos, es fundamental considerar algunos aspectos del comportamiento de los fluidos. En 1883, Osborne Reynolds (1842-1912), un físico británico, concluyó que a bajas velocidades de agua, esta fluía en láminas o capas paralelas. En efecto, Reynolds en 1883 realizó el siguiente experimento: conectó un depósito de agua a un tubo de vidrio horizontal. En el extremo por donde ingresa la corriente de agua instaló una boquilla por la que se inyecta agua coloreada, tal como se esquematiza en la Figura 3.1. A bajas velocidades, a lo largo del tubo permanece el filamento de tinta, ya que las partículas de tinta difunden lentamente y no tienen tiempo de diseminarse. A este flujo se le llama “laminar”. Reynolds probó disminuir y aumentar la viscosidad del fluido, calentando y enfriando el agua respectivamente. El experimento mostró que en todos los casos existe una velocidad crítica que varía en proporción directa con la viscosidad del flujo. Al aumentar la velocidad del agua encontró que a una velocidad determinada, velocidad crítica, desaparecía el chorro coloreado y la masa global de fluido se coloreaba uniformemente, concluyendo que sobre la velocidad crítica las partículas dejan de moverse en forma ordenada y paralela, moviéndose en forma caótica, mezclándose completamente.

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Figura 3.1. Experimento de Reynolds.

Reynolds determinó que la velocidad crítica dependía del diámetro del tubo y de las propiedades físicas del fluido: densidad (ρ) y viscosidad (µ). Posteriormente, se concluyó que estos parámetros se pueden agrupar en un número adimensional, número de Reynolds, Re, definido de la forma siguiente:

(3.1)

ρ = densidad del fluido. μ = viscosidad del fluido. V = velocidad media del fluido. L = longitud que caracteriza al ducto. Para tuberías circulares L = D (diámetro). Experimentalmente se determinó que para el flujo en el interior de tuberías, cuando Re ≤ 2100 el flujo es laminar y que cuando Re > 4000, el régimen de flujo es turbulento. En la zona comprendida entre 2100 y 4000 el flujo puede ser laminar o turbulento, dependiendo de las características superficiales de la tubería, llamándose esta zona de régimen de transición. En régimen laminar es posible describir totalmente el comportamiento del fluido en el interior de ductos, a partir de ecuaciones teóricas. Por ejemplo, para un fluido newtoniano, se ha demostrado que el perfil de velocidades en

52


el interior de un ducto circular es parabólico, con la velocidad máxima en el centro del ducto, cuando el flujo esta establecido (sin perturbaciones). La expresión para el perfil de velocidades en esta situación es:

(3.2)

en que: v = velocidad puntual o local para cualquier r v máx = velocidad en el centro del ducto

r R

= posición dentro del ducto (radial) = radio del ducto

En problemas de escurrimiento de fluidos, normalmente interesa conocer la velocidad media del fluido, V. Esta puede evaluarse utilizando la definición de velocidad media:

(3.3)

Al introducir en esta definición general de velocidad media, el perfil para régimen laminar de un fluido newtoniano e integrar, se obtiene:

(3.4)

Por otro lado, existen instrumentos que permiten medir la velocidad puntual o local v máx en función del radio. Si este instrumento, por ejemplo un tubo de Pitot, se coloca en el centro del ducto y el régimen es laminar, es posible conocer la velocidad media usando la expresión V = v máx /2. Dado que en general, en régimen turbulento no es posible describir teóricamente el comportamiento del fluido, se han establecido relacio-

53


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nes empíricas, observándose que en régimen altamente turbulento V/ v máx ~ 0.81. En la Figura 4.6 se presenta un gráfico que relaciona el cuociente V/ v máx con el número de Reynolds.

3.2.

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli, en situaciones que la fricción es despreciable

En la sección 2.3. se obtuvo la ecuación de Bernoulli, expresión que

corresponde a un balance de energía mecánica en estado estacionario:

(2.13)

Considerando que en algunas aplicaciones el término de pérdidas por fricción (Êv) es pequeño frente a los otros términos, se obtiene una expresión simplificada de la ecuación 2.13:

(3.5)

Esta última expresión es aplicable sólo en algunas situaciones particulares: Ejemplo 3.1 Un estanque se encuentra lleno de agua y abierto en el tope. Posee un pequeño orificio cerca del fondo, cuyo diámetro es pequeño comparado con el diámetro del estanque, ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida del orificio? Solución: Aplicaremos el balance de energía mecánica (Bernoulli) entre la superficie del estanque (Punto 1) y el fluido que sale por el orificio (Punto 2).

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Debe observarse que las presiones Consideraciones: absolutas siempre serán positivas, no así las manométricas que podrían ser a. v1 = 0 (Velocidad de descenso del negativas. agua en el estanque). b. P1 = P2 Presión atmosférica. c. Fricción despreciable

∧

⇒

Ev

≈0

∧

d. No hay trabajo externo ⇒ W = 0 e. El flujo es estacionario, es decir el nivel del agua no baja. f. Z2 = 0 (nivel de referencia). g. α2 =1

Luego:

Simplificando:

Introduciendo valores numéricos:

Nota: Si se consideran las pérdidas por fricción debido a la expansión, dada por ÊV = K · ν2/2, con K=1, se obtiene:

Este último valor es más cercano a la realidad.

55


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Ejemplo 3.2 El mismo estanque del ejemplo anterior se encuentra ahora sumergido en otro estanque de mayor diámetro, que contiene gasolina. (G.E. = 0,72) ¿Cuál será el valor de la velocidad de salida del agua? Solución:

Datos: ρH20 = 1000(kg/m3); ρgasolina = 720(kg/m3) • De acuerdo con lo visto en hidrostática ⇒ p1 = p1* . • Punto 2 se encuentra ubicado a la salida del estanque de agua. p1 = p0 + ρgasolina · g · x p2 = p1 + ρgasolina · g · h • Nótese que p 2 ≠ p 2* , ya que * si p 2 = p 2 , no se produciría la descarga de agua. Además

p 2* > p 2 .

• Z2 = 0 (nivel de referencia)

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre 1* y 2 (el sistema es el agua) se obtiene:

56


Introduciendo los valores numéricos:

v2 = 2,34(m/s) Nota: Si se evalúan las pérdidas por fricción debido a la expansión, con la expresión ÊV = K · ν2/2, con K=1, se obtiene:

Este último valor es razonable, ya que la pérdida por expansión reduce la energía disponible para la salida del agua. Ejemplo 3.3 En la figura que se entrega a continuación, se muestran dos estanques conectados a través de una tubería. ¿El agua circula de A a B o a la inversa? Solución: En esta situación debe escribirse la ecuación de Bernoulli con todos sus términos:

Debe suponerse una dirección de flujo y aplicar Bernoulli en esa dirección. Si el valor que se obtiene para ÊV es positivo, la dirección del flujo supuesto es correcta, en caso contrario, la dirección será opuesta.

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Supondremos flujo de 1 a 2:

Luego:

∧

–101,318 (m2/s2) + 9,8 (m/s2) · 8(m) = – EV = 22,9 ( m 2 s 2 ) ∧

2 2 2 EV == 22,9(m 22,9 ( m2/s s) )

Dado que ÊV > 0, la dirección de flujo supuesta es correcta y el fluido va desde el estanque A al B. Ejemplo 3.4 Un flujo volumétrico de 0,25(m3/s) de agua circula a través de una turbina. ¿Cuál es la potencia entregada por el fluido a la turbina, si a la entrada el diámetro es de 30(cm) y la presión de 2,5(atm), mientras que en la salida el diámetro es de 60(cm)y la presión de 0,8(atm)?

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Solución: Cálculos de las velocidades:

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2:

(m ) Nivel de referencia: z 22 == 0 ⇒ z11 = 11(m)

Introduciendo estos valores en Bernoulli:

Pero: Potencia = Ŵ · w = Ŵ · Q · ρ Potencia = 187,9(m2/s2) · 0,25(m3/s) · 1000(kg/m3) Potencia =

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Ejemplo 3.5 Una bomba centrífuga se utiliza para elevar petróleo Nº 6, desde un depósito subterráneo hasta un estanque ubicado sobre la bomba. Manómetros ubicados a la entrada y salida de la bomba señalan presiones de –10(psig) y 20(psig), respectivamente. Si los diámetros de succión y descarga son iguales y el flujo volumétrico transportado es de 300(l/min), ¿Cuál es la potencia que entrega la bomba al fluido? Solución:

ρpetróleo = 910(kg/m3) patmosférica = 14,696(psi) pabs 1 = (14,696 – 10)(psi) = 4,696(psi) pabs 1 = 4,696(psi) = 0,32(atm) pabs 2 = (14,696 + 20)(psi) = 34,696(psi) pabs 2 = 34,696(psi) = 2,36(atm)

Aplicando Bernoulli entre la entrada y salida de la bomba se obtiene:

Se ha considerado despreciable la diferencia de altura entre succión y descarga de la bomba. Luego:

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Luego: 227,13(m2/s2) = −Ŵ Ŵ = – 227,13(m2/s2) Potencia = Potencia = Nota 1: El signo negativo indica que la energía es entregada por la bomba al fluido. En el ejemplo 3.4 la potencia era positiva ya que la energía la suministraba el fluido a la turbina. Nota 2: La potencia así calculada corresponde a la energía requerida por el fluido. La potencia “consumida” por el grupo moto-bomba debe ser mayor, a fin de compensar las diferentes pérdidas que se producen: fricción del fluido en el interior de la bomba, roce de las partes mecánicas de la bomba, flujo circulatorio, etc. Estas pérdidas se consideran en la eficiencia o rendimiento del grupo moto-bomba, definido como:

La eficiencia es un parámetro característico de cada bomba, es función del caudal y debería ser entregado por el fabricante del grupo motobomba. Valores corrientes de eficiencia oscilan entre 0,55 y 0,75. Ejemplo 3.6 Freón 12 circula en estado estacionario a través de una válvula reductora de presión. A la entrada de la válvula de presión es de 100(psia) y la tempera-

61


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tura de 100 ºF. Si la presión a la salida de la válvula es de 20(psia). ¿Cuál es la temperatura a la salida de la válvula? Solución:

El balance de energía mecánica (Bernoulli) entre los puntos 1 y 2 es:

∧  Considerando sistema adiabático  Q = 0  , flujo horizontal y despre  ciando la variación de energía cinética, se obtiene: ∧

∧

H1 = H 2

Desde un diagrama presión v/s entalpía para Freón 12, se obtiene: ∧

(100ººF, ( psia )) ==888,5(Btu/lb) H 1 (100 F ,100 100(psia)) ,5(Btu lb ) Pero, por lo anterior:

∧

(T2, 2020(psia)) ( psia )) = 888,5(Btu/lb) H 2 (T ,5(Btu lb )

Del mismo diagrama citado se obtiene que la temperatura es aproximadamente 75 ºF.

62


3.3.

Definición de factor de fricción

Para evaluar el término de pérdidas por fricción (Êv) que aparece en la ecuación de Bernoulli, es necesario definir y luego evaluar factores de fricción. Se considerará el flujo estacionario de un fluido incompresible (ρ = cte.) que circula por un ducto recto de sección uniforme. El fluido ejerce sobre la superficie interna del ducto una fuerza F, que puede descomponerse en dos: Fs y Fk, definidas de la siguiente forma: Fs = fuerza estática. Es la fuerza que ejerce el fluido, aunque esté en reposo. Fk = fuerza dinámica. Es la fuerza relacionada con el comportamiento cinético del fluido. Tiene la misma dirección que la velocidad media V en el ducto. El valor de la fuerza Fk puede expresarse como el producto entre un área característica A, una energía cinética característica por unidad de volumen K y un número adimensional f, denominado factor de fricción:

FK = A · K · f

(3.6)

Esta expresión no es una ley de mecánica de fluidos, sino una definición de f. Es evidente, que para un determinado sistema de flujo, f no está definido mientras no se especifiquen A y K. Esta definición es general, válida incluso para la situación en que un fluido circula alrededor de un objeto sumergido. Para el flujo en ductos A corresponde a la superficie mojada y K representa la energía cinética por unidad de volumen, dada por ½ ·ρ · V2. Para tubos circulares de radio R y longitud L, f está definido por:

FK = (2πRL) · (½ · ρ · V2) · f 63

(3.7)


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Dado que generalmente lo que se mide no es FK sino que la caída de presión y la diferencia de altura, se buscará una expresión para FK aplicando un balance de fuerzas al fluido que circula por la tubería mostrada en la Figura 3.2, entre 1 y 2:

Figura 3.2. Esquema para la aplicación de fuerzas.

En estado estacionario se tiene que:

π R2 · p1 – π R2 · p2 – FK – π R2 · L · ρ · g · senα = 0

Pero: sen α =

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Z 2 − Z1 L

π R2 · p1 – π R2 · p2 – FK – π R2 · ρ · g · (Z2– Z1) = 0

(3.11)

FK = π R2 · [(p1 – p2) – ρ · g · (Z2– Z1)]

(3.12)

64


Utilizando el concepto de potencial fluido-dinámico: P = p + ρ · g · Z, se obtiene: FK = π R2 (–ΔP) (3.13) Reemplazando esta última expresión en la definición de factor de fricción, se obtiene: (3.14)

Despejando f:

(3.15)

Este factor así definido, se denomina factor de fricción de Fanning. En algunos textos de mecánica de fluidos en vez de utilizar el factor de Fanning, definen un factor f* que equivale a 4f, denominado factor de Darcy. Un análisis del factor de fricción muestra que éste depende de características, tanto del fluido como del sistema de escurrimiento. Planteando un balance de energía mecánica al sistema mostrado en Figura 3.2, se obtiene:

(3.16)

Introduciendo la definición de potencial fluido-dinámico:

(3.17)

Reemplazando (–ΔP/ρ) por Êv, en la definición de factor de fricción, se obtiene: (3.18)

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Esta última expresión es de gran utilidad ya que permite evaluar las pérdidas por fricción, Êv, si se conoce el valor de f. Si se utiliza el factor de Darcy (f*), entonces:

(3.19)

La técnica de análisis dimensional, en unión con lo observado experimentalmente, permite establecer de cuántos y cuáles grupos adimensionales depende cualquier parámetro de naturaleza física. Para el factor de fricción se encontró que f = f(Re, L/D, ε/D), donde ε es la rugosidad del material, definida como el promedio de altura de las irregularidades de la superficie del material del ducto. En los sistemas de flujo, habitualmente se considera que ε es un parámetro constante. Sin embargo, en ductos de grandes longitudes (L >> 1000), pequeñas variaciones en ε debido a corrosión y/o depósito de incrustaciones a lo largo del tiempo, pueden afectar significativamente los requerimientos de potencia para una determinada exigencia de flujo, por su efecto en el factor de fricción.

ε/D se conoce con el nombre de rugosidad relativa. En el apéndice

se muestra un gráfico de ε/D vs D para diferentes materiales de ductos. Para ductos en que L/D >> 1 (como generalmente ocurre en las situaciones prácticas), entonces el factor de fricción se hace independiente de L/D, luego: f = f (Re, ε/D). Valores experimentales de f vs Re para diversos tipos de materiales y por ende diferentes ε/D, fueron graficados por Moody en un gráfico que lleva su nombre, obteniéndose resultados satisfactorios (Figura 3.3).

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Figura 3.3. Gráfico de Moody. Factor de fricción de Fanning, f, versus rugosidad relativa, ε/D.

Con respecto a este gráfico hay que señalar que aparece una recta para f (independiente de la rugosidad relativa) para la zona de flujo laminar. La ecuación de f en esta zona es:

f = 16/Re

(3.20)

Pasada una cierta zona de número de Reynolds, las curvas se hacen paralelas al eje de Reynolds, independizándose de éste, dependiendo sólo de ε/D. Se habla entonces de régimen altamente turbulento. Para las zonas de transición y de régimen turbulento, en la literatura se encuentran varias ecuaciones, que ajustan en diferentes rangos de Reynolds y condiciones de ε/D, los factores de fricción del gráfico de Moody. En general, a medida que se complican estas ecuaciones, aumenta la exactitud de sus predicciones.

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Una de las ecuaciones más sencillas indica que:

(3.21)

la cual tiene un error máximo de 0,75% para Re > 30000 y ε/D > 0,004.

Una ecuación más general es la ecuación de Shacham (Ecuación 3.22), la que presenta un error máximo de 1%, respecto a las curvas del gráfico de Moody. Esta ecuación es válida para Re > 4000 y 0.005 < 4f < 0.08

3.4.

(3.22)

Descripción de cañerías, válvulas y accesorios

Las tuberías pueden fabricarse con cualquier material de construcción disponible, dependiendo de las propiedades corrosivas del fluido que se maneja, su temperatura y presión. Entre los materiales se incluyen aceros, cobre, polímeros, vidrio, concreto, etc. Sin embargo, los materiales de tubería más comunes en la industria son el acero (varias calidades), el cobre y el bronce, seleccionándose el más adecuado de acuerdo con la aplicación específica y los costos involucrados. Dado que los tubos se fabrican de diversos diámetros y espesores de pared, existe una normalización establecida por la American Standards Associations (ASA), la que establece las características de las dimensiones de los tubos.

En el caso específico de los tubos de acero (común o comercial), se

ha establecido que el tamaño de los tubos y de las conexiones asociadas se realice en función del diámetro nominal y del espesor de pared. Por lo tanto, el diámetro nominal no corresponde para los tubos de acero, ni al diámetro

68


exterior ni interior de los tubos. El espesor de pared se expresa por el número de cédula, el cual es un cociente entre la presión interna y la tensión permisible (# cédula ∼ 1000 ∙ presión interna/tensión permisible). Se utilizan diez números de cédula, a saber: 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 140 y 160. El espesor de pared aumenta con el número de cédula. Para tubos de acero comercial, la cédula 40 corresponde al tubo “normal”, para emplear en aplicaciones sin mayores exigencias. En las instalaciones es imprescindible el uso de diversas conexiones para trasladar el fluido de un sector a otro. Una conexión cumple el papel de: a) Juntar dos tuberías [coplas, unión americana] b) Cambiar la dirección de la tubería [codos] c) Cambiar la sección de flujo [reducciones] d) Terminar la tubería [tapones] e) Unir o diversificar una corriente [tees, cruces e yes] f) Control de flujo [válvulas]

Figura 3.4. Conexiones.

69


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Las válvulas son conexiones que cumplen diversas funciones en un circuito de escurrimiento de fluidos. Las válvulas se utilizan para regular el flujo o bien cerrar el paso completamente. Entre las válvulas de mayor uso se tienen las de compuerta, de globo y en los últimos años, la de bola. La válvula de compuerta consiste en un disco que se desliza perpendicularmente al flujo. Su uso principal es para sellar o detener el flujo en forma rápida, ya que pequeñas variaciones en la altura del disco se traducen en grandes cambios en el área disponible al flujo. La válvula de bola, ampliamente utilizada tanto a nivel doméstico como industrial, sirve para los mismos fines que la válvula de compuerta. Su principal característica es que cuando está 100% abierta, prácticamente no produce ninguna obstrucción al paso del fluido.

La válvula de globo por su diseño es más adecuada para regular el paso de fluido. En esta válvula, el fluido pasa a través de una abertura cuya área se controla mediante un disco colocado en forma casi paralela a la dirección del flujo.

Figura 3.5. Válvulas. a) Compuerta, b y c) Bola.

70


Figura 3.6. Válvula de globo: 1- Disco que interrumpe el paso del fluido. 2- Eje o husillo (conduce y fija el obturador). 3- Asiento: Sector de la válvula donde se realiza el cierre con el disco. 4- Empaquetadura del eje. 5- Juntas de cierre. 6- Cuerpo de la válvula. 7- Extremos de la válvula que permiten la conexión a la tubería. 8- Pernos de unión. 9- Manilla de accionamiento.

3.5.

Evaluación de pérdidas en válvulas y accesorios

Las pérdidas por fricción, provocadas por conexiones (válvulas y accesorios) pueden ser determinadas inicialmente en forma experimental, para obtener un valor característico para cada conexión en particular. A continuación se describe el procedimiento para determinar la pérdida provocada por una válvula.

Figura 3.7. Esquema de un sistema para determinar experimentalmente pérdidas en una válvula.

71


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De acuerdo con lo presentado en la sección anterior, las pérdidas en los tramos de cañería recta están dados por:

(3.23)

(3.24)

Si D1 = D2, entonces V1= V2 y f1 = f2, luego:

(3.25)

(3.26)

ÊV total se obtiene al aplicar Bernouilli entre 1 y 4:

(3.27)

Las presiones p4 y p1 se leen en los manómetros ubicados en 1 y 4. Luego, las pérdidas por fricción en la válvula quedan expresadas por:

(3.28)

De esta forma es posible evaluar, experimentalmente, las pérdidas provocadas por cada uno de los accesorios utilizados en las diferentes instalaciones de redes de flujo de fluidos. Los valores de ÊV de conexiones, obtenidos experimentalmente, pueden ser presentados en dos formas:

72


a) Método del coeficiente de resistencia, K En este método las pérdidas son presentadas en función de un parámetro K, característico de cada accesorio, el cual se considera constante, independiente del régimen de flujo. Entonces:

(3.29)

El método del coeficiente de resistencia K, se utiliza también para evaluar las pérdidas por expansiones o contracciones producidas al cambiar de diámetro una tubería o en entradas y salidas de estanques. En este caso, la velocidad V corresponde a la velocidad en la sección de menor área. b) Método de longitud equivalente En este método se caracteriza la fricción de un accesorio por una longitud de tubería ficticia, la que produciría la misma fricción que el accesorio. La fricción provocada por esta longitud de tubería ficticia se evalúa como ya se presento anteriormente, es decir:

(3.30)

Aunque el término (L/D) es adimensional, es costumbre denominarlo longitud equivalente.

73


USACH

Figura 3.8. Equipo para determinar pérdidas en accesorios (LOPU/DIQ/USACH).

3.6.

Aplicaciones que involucran la evaluación de factores de fricción

Una vez que se han planteado las ecuaciones válidas para un determinado sistema de flujo, los problemas pueden ser resueltos en forma directa (tipo 1), o se requerirá iterar (tipo 2), aunque esta iteración puede ser obviada si se utilizan los llamados gráficos de Von Kárman. Finalmente, si no se puede evitar la iteración, se tiene un problema tipo 3. La tabla siguiente muestra esta clasificación: Tipo de problema

Datos

Incógnita

1

D, ε, μ, ρ, Q

Êv, ó Ŵ, ó potencia

2

D, ε, μ, ρ, Êv

Q, ó w, ó V

3

ε, μ, ρ, Q, Êv

D

Problemas tipo 1: La solución de este tipo de problema es directa, no se requiere iterar, como se muestra en el siguiente ejemplo. 74


Ejemplo 3.7 Dos estanques de agua son conectados mediante 200(m)de cañería de 3" de acero comercial tipo 40. Deben transportarse 12,5(l/s) desde uno a otro estanque. Los niveles en los estanques son los mismos y ambos están abiertos a la atmósfera. En las pérdidas deben incluirse un codo de 90º, una válvula de globo totalmente abierta, una expansión y una contracción. ¿Cuál es la potencia de la bomba requerida? Solución:

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre 1 y 2:

Considerando que: p2= p1 = presión atmosférica z2= z1 v2= v1 = 0

75


USACH

Se obtiene que:

∧

∧

W = − EV ∧

Determinar el trabajo, W y luego la potencia de la bomba, debe evaluarse en primer lugar el término de pérdidas por fricción, ÊV:

De las tablas del apéndice se obtienen los siguientes valores: (L/D)válvula = 340; (L/D)codo = 30; Kexpansión = 1,0; Kcontracción = 0,5 ρagua = 1000(kg/m3) μagua = 1(cp) = 0,001(kg/m · s) di = 3,068(pulg) = 0,078(m); ε/D = 0,0006 Para evaluar el factor de fricción f ó f * = 4 f, debe evaluarse previamente el número de Reynolds:

76

; Pero:


Luego: Re = 2,04 ·105 del gráfico de Moody se lee f = 0,0049 Introduciendo estos valores en (*) se obtiene:

Entonces: Potencia = Potencia = –202(m2/s2) · 0,0125(m3/s) · 1000(kg/3) Potencia = Potencia = 3,4(hp) Problemas tipo 2: En este tipo de problema, en que se conocen las pérdidas por fricción, pero se desconoce la velocidad del fluido, la solución al problema se obtiene mediante una iteración. Esta última puede evitarse si se utiliza el gráfico de Von Kárman, en el cual se representa (4 f)-0,5 v/s Re · (4 f)0,5, donde:

(A)

(B)

El parámetro Re · (4 f)0,5 se conoce como el número de Kárman y puede evaluarse sin conocer v. Con este gráfico se evita la iteración que sería necesaria si se emplea el gráfico de Moody. El procedimiento es el siguiente:

77


USACH

De la ecuación (B) se calcula Re · (4 f)-0,5, con ε/D se lee 1 de Von Kárman y de la ecuación (A) se despeja v.

4 f en el gráfico

Ejemplo 3.8 Petróleo a 70 ºF es transportado desde un lugar A al otro B, a través de 4000(ft) de tubería de diámetro interno de 6" y ε = 0,0002(ft). El punto B está ubicado a 50,5(ft)sobre el punto A y la presión en A y B son de 123(psi) y 48,6(psi) respectivamente. ¿Cuál es el flujo volumétrico, Q, del petróleo? Solución:

Datos: (μ/ρ) = υ = 4,12 · 10-5 (ft2/s) ρ = 854(kg/m3) = 53,3(lb/ft3) di = 6(in) = 0,5(ft) ε/D = 0,0004 Aplicando Bernoulli entre (1) y (2):

78

(*)


Considerando que: v1 = v2 z1 = 0; z2 = 50,5(ft)

Reemplazando estos valores en (*):

4f · v2 = 1,211 Una forma de resolver esta ecuación sería suponerse un valor de f, calcular v y con esta velocidad comprobar el valor de f supuesto, previo cálculo de Re. Otra forma de resolver es utilizar el método de Von Kárman:

Leyendo en el gráfico de Von Kárman, con ε/D = 0,0004 se obtiene que 1 4 f = 7 , pero:

Problemas tipo 3: Como se muestra en el ejemplo 3.9, en este tipo de problemas, es inevitable la iteración.

79


USACH

Ejemplo 3.9 Debe transportarse agua desde un estanque abierto a la atmósfera a través de 200(ft) de longitud equivalente (cañería recta más codos, expansión y contracción), para ser descargada a la atmósfera en un punto 12(ft) sobre el estanque. ¿Cuál es el diámetro mínimo de cañería requerido para asegurar un flujo de 200(gal/min), si la bomba es de 2(hp), con una eficiencia de 60,7%? Solución:

Aplicando un balance de energía mecánica entre 1 y 2:

Reemplazando valores:

80


Pero:

Luego:

(*)

Como puede observarse, la ecuación (*) debe resolverse en forma iterativa: supondremos un diámetro, calcularemos Re, se leerá f y se comprobará la igualdad en la ecuación (*). A continuación se muestran algunos valores de las iteraciones: Dno min al

di (ft)

Re

ε/D

4f

Igualdad en (*)

2"

0,1723

3 · 105

0,0009

0,021

4284

3"

0,256

2 · 105

0,0006

0,019

520,9

3½"

0,296

1,8 · 105

0,0005

0,0185

242

El valor del diámetro que “hace cumplir” la igualdad en (*) está entre valores de diámetro interno de 0,256(ft) y 0,296(ft), vale decir entre diámetros nominales de 3" y 3½". Dado que no existen cañerías entre 3" y 3½" se seleccionará la tubería de 3½" para la instalación propuesta.

81


3.7.

USACH

Evaluación de pérdidas en ductos no circulares

Cuando la sección del ducto no es circular, o cuando el fluido no llena totalmente la tubería, se debe utilizar un parámetro empírico, que se ha verificado entrega buenas predicciones cuando el régimen es turbulento. Es llamado radio hidráulico, RH. Este RH debe relacionarse con el diámetro de un ducto circular, a fin de emplear las fórmulas habituales de ductos efectivamente circulares. Para este fin se calculará el RH de un ducto circular, obteniéndose:

Esto último es lo que se emplea como diámetro equivalente, Deq, es decir: Deq = 4 ∙ RH. Luego, una vez calculado Deq, el problema se resuelve igual que como si fuera un ducto circular, reemplazando en las ecuaciones que se requiera el diámetro del ducto D por Deq. Ejemplo 3.10 Determine el diámetro equivalente de un canal de regadío, abierto a la atmósfera, con una geometría y dimensiones señaladas en la figura:

82


Solución:

Ejemplo 3.11 Vapor saturado circula por el ducto anular de un intercambiador de calor concéntrico. Determine el Deq, que se empleará para evaluar la caída de presión del fluido que circula por la sección anular.

83


3.8.

USACH

Diámetro óptimo económico (DOE)

Con las ecuaciones anteriormente planteadas (balances de masa y energía), es posible resolver numerosas situaciones de flujo de fluidos, aunque en aplicaciones de diseño se requiere una ecuación o información adicional. Por ejemplo, consideremos la necesidad de especificar el diámetro de la tubería (D), junto con la potencia de la bomba necesaria para transportar un flujo Q de agua desde un estanque a otro, según muestra la Figura 3.9:

Figura 3.9. Transporte de agua desde un estanque a otro.

Para esta situación, al plantear Bernoulli entre 1 y 2, se observa que la potencia de la bomba requerida depende del diámetro de la tubería, existiendo infinitas soluciones. A medida que se disminuye D, aumenta el consumo de energía (potencia de “bombeo”), para un mismo flujo Q:

84


En situaciones de este tipo la elección del diámetro se decide por alguna de las consideraciones siguientes: a) Stock en bodega de cañerías de un determinado tamaño. b) Consideraciones de espacio disponible para el paso de la tubería. c) Consideraciones económicas. En esta última consideración, los costos a tomar en cuenta son: i) Costos de energía para el transporte del fluido. ii) Costos de mantención de bomba, tubería y conexiones. iii) Costos de inversión e instalación de bomba y tubería.

Al disponer de ecuaciones para cada uno de estos costos, el diámetro

óptimo económico (DOE) corresponde al diámetro que se obtiene al derivar la expresión de costos totales, con respecto al diámetro de la tubería, despejándose de la ecuación resultante el diámetro:

Si bien es cierto en algunos textos se presentan expresiones analíticas para cada uno de estos costos, el procedimiento aceptado es trabajar con valores de DOE recomendados, en función del caudal y densidad del fluido.

85


USACH

Figura 3.10. Diámetro económico en función del flujo volumétrico y de la densidad del fluido, válido para tuberías de acero comercial, cédula 40 (Adaptado de Perry y Chilton, Manual del Ingeniero Químico,1973).

86


En vez de trabajar con el concepto de diámetro económico, se puede emplear el concepto de velocidad económica, Veco, dada la relación entre ambos términos:

En la tabla siguiente se entregan algunos valores de velocidad económica en función de la densidad del fluido: Tabla 3.1. Velocidades económicas en función de la densidad del fluido.

Veco (m/s)

1.7

1.9

3.1

6.0

11.9

24.0

ρ (kg/m3)

1600

800

160

16

1.6

0.16

Ejemplo 3.12 Se desea transportar 200(gal/min) de agua a 60 ºF, a través de una tubería de acero comercial tipo 40 de 5000(ft) de longitud. ¿Qué diámetro de tubería especifica? ¿Cuál es la potencia que debería entregar la bomba al fluido? Solución:

Q = 200(gal/min) = 0,446(ft3/s) ρH2O = 62,4(lb/ft3) μH2O = 7,4 · 10-4(lb/ft · s)

87


USACH

Aplicando Bernoulli entre 1 y 2:

De la Figura 3.8 con Q = 200(gpm) y ρ = 62,4(lb/ft3) se lee: di = 3,5"

ε/D = 0,0006, usando gráfico de Moody ⇒ f ==0,0047 0,0047 Introduciendo valores se obtiene ÊV = 7169(ft2/s2) ∧

(

2 2 2 Luego W == –7169(ft −7169 ft2/s )s

3.9.

)

Situaciones complejas

En esta sección se presentarán, a través de ejemplos, diversas situaciones que involucran la utilización del balance de energía mecánica (Bernoulli).

88


Ejemplo 3.13 En la figura se muestra un sifón por el cual circula agua. La cañería tiene un diámetro interno de 3(cm) y su longitud es de 16 m. Los codos instalados son estándar de 90º. La rugosidad relativa puede considerarse en 0,0005. Suponiendo que el nivel del estanque permanece constante y que la temperatura del agua es de 20 ºC, ¿Cuál es el flujo volumétrico Q, que circula por la tubería? Solución: Q=? di = 0,03(m) L = 15(m)

ε/D = 0,0005 f = ≈0,35 0047 Kcontracción = 0,78 ⇒ L/D f = ≈0,45,6 0047 Kexp ansión = 1,0 ⇒ L/D

Aplicando un balance de energía mecánica entre (1) y (2) se obtiene:

Considerando: p2 = p1 =1(atm) ,0047 z2 = 0 ⇒ zf1 = 01,25(m) v1 = 0

89


USACH

Introduciendo los valores en el balance de energía se obtiene:

Dado que f es función de v2, esta última ecuación debe resolverse en forma iterativa: Suponerse un f → calcular v2 → calcular Re y verificar el valor supuesto de f. Considerando régimen turbulento ⇒ ff==0,00425, 0,00425con este valor se ob4 tiene v2 = 1,46(m/s) y Re = 4,4 · 10 . Del gráfico de Moody se lee f = 0,006. Con este nuevo valor de f se obtiene v2 = 1,19(m/s) y Re = 3,6 · 104. Del gráfico de Moody se obtiene f = 0,006, el cual coincide con el valor supuesto. Para este valor:

Ejemplo 3.14 Un depósito cilíndrico de 1(m) de diámetro y 4(m) de altura está lleno de agua a 20 ºC. El fondo del depósito está conectado a un tubo de 1,5" y 5" de longitud, a través del cual se vacía. ¿Cuál es el tiempo que tarda en descender 1(m) el nivel del agua en el depósito?

90


Solución:

p1 = p2 = 1(atm) v1 = 0 ; (Incluye el Kcontracción= 0,6(m))

Dado que el nivel del estanque disminuye, disminuye también la presión a la entrada del tubo de descarga, por lo que la velocidad del agua a través del tubo varía en función del tiempo. Considerando un punto del depósito a una altura h, al descender el nivel dh en el tiempo dt, el caudal estará dado por:

(1)

En este instante, a través del tubo de sección A2, circulará el mismo caudal: Q = A2 · v2 (2) Tomando como nivel de referencia z2 = 0 y aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2), se obtiene:

91


USACH

z1 = h = variable

(3)

Igualando (1) y (2), habiendo introducido v2 en (2), se obtiene:

(*) Para integrar la ecuación * supondremos un valor promedio de f, entre las condiciones iniciales y finales:

h = Tiempo de descarga del estanque. El valor de finicial debe evaluarse en forma iterativa, vale decir: Suponerse una vinicial → Calcular Re → Leer f y calcular v2 de la ecuación (3). Si v2 calculado coincide con el supuesto, se tendrá el ffinal. Para el valor de ffinal, el procedimiento iterativo es similar, solo que en la ecuación (3) el valor de h será menor en 1(m) con respecto al considerado en el cálculo de finicial. Con la rutina de cálculo señalada se obtiene 4 finicial = 0,0212 y 4 ffinal = 0,021: ∴ 4 fpromedio 0,0211 promedio==0,0211 Con este valor se obtiene que el tiempo de descarga es de 91(s).

92


Ejemplo 3.15 Por una tubería de 25(cm) de diámetro interno se transporta petróleo a lo largo de una longitud total de 30(km), con un caudal de 1000(m3/día). Con el objeto de aumentar el caudal, conservando las mismas presiones de entrada y salida, se conecta a la tubería primitiva, 5(km) antes del lugar de descarga, otra tubería del mismo diámetro y paralela a la primitiva. Si en las condiciones de transporte la densidad del petróleo es 920(kg/m3) y su viscosidad es de 5(poises), ¿Cuál es el aumento de caudal? Solución:

Calcularemos la fricción en la tubería antes de hacer la conexión adicional:

Una vez realizada la conexión, dado que se conservan las presiones de entrada y salida, “la carga de fricción total ha de ser la misma” que en la situación original.

93


USACH

La fricción antes de hacer la conexión será:

En que v1 es la nueva velocidad en la tubería, en el tramo 1-2. Si v2 es la velocidad en el tramo final de 5(km), en cualquiera de las 2 tuberías, la fracción en este tramo será:

Por otro lado, el caudal antes de la ramificación ha de ser igual a la

suma de los caudales a lo largo de las tuberías paralelas, es decir:

Luego:

Pero:

Despejando se obtiene v1 =0,276 (m/s) y el caudal será 1171(m3/día). En consecuencia se logra aumentar en un 17,1% al transporte de petróleo. Nota: En tuberías en paralelo las pérdidas de energía mecánica (fricción) son las mismas en cualquiera de las ramas, y no son acumulativas.

94


Ejemplo 3.16 Como se muestra en la figura, desde un recipiente, fluye agua a través de una cañería a un punto de bifurcación, desde donde circula a otros recipientes mediante cañerías separadas. Las cañerías son de acero comercial, catálogo 40. Calcular el flujo en (gal/min) de agua que llega a cada recipiente, suponiendo flujo estacionario. Solución:

Sección 1 = 2000', cañería de 6" Sección 2 = 2000', cañería de 3" Sección 3 = 1000', cañería de 4"

Para grandes líneas, el término cinético en la ecuación de energía mecánica (Bernoulli) se puede despreciar (comprobando al final su efecto), y las presiones manométricas en las superficies libres son cero. Por lo tanto, las expresiones para la ecuación de Bernoulli, para las tres secciones de tubería son:

95


USACH

(1)

(2)

(3)

Sumando las ecuaciones (1) y (2) y luego las ecuaciones (1) y (3) se

obtienen:

Por otro lado, de un balance de masa se obtiene que:

v1 = v2 ·(D2/D1)2 + v3 ·(D3/D1)2

(4) (5)

(6)

Despejando v2 de la ecuación (4) y v3 de la ecuación (5) se obtiene:

(7)

(8)

Para evaluar los factores de fricción se puede emplear el gráfico de Moody, o bien alguna correlación empírica, como la de Shacham:

96


En el siguiente diagrama de bloques se presenta un esquema de resolución para evaluar Q1, Q2 y Q3. Los valores iniciales necesarios (v2; v3), pueden estimarse empleando el concepto de diámetro óptimo económico (DOE).

Los valores finales son: Q1 = 285(gal/min) Q2 = 60(gal/min) Q3 = 225(gal/min)

97


USACH

Diagrama de bloques para resolver ejemplo 3.10

98


3.10. Fluidos no newtonianos Para fluidos no newtonianos sigue siendo válida la ecuación 2.13 (Ecuación de Bernoulli), con la salvedad de que α debe ser evaluado con la expresión correspondiente. Para fluidos que siguen la ley de la potencia (o modelo de Ostwald de Waele), se dispone de la ecuación 2.6, válida en régimen laminar:

(2.6)

Si el régimen de flujo es turbulento, se considera α = 1.

El factor de fricción, f, necesario para evaluar Êv, debe leerse de figuras de f vs Reynolds. Por ejemplo, para fluidos cuyo comportamiento se puede representar por la ley de la potencia, debe usarse la Figura 3.11. Para fluidos que siguen el comportamiento de Bingham (ec. 1.6) se debe utilizar la Figura 3.12, la cual lleva como parámetro el número adimensional de Hedstrom (He).

99


USACH

Figura 3.11. Gráfico de f vs Re’, para líquidos que siguen la ley de la potencia (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

Si el fluido sigue el comportamiento de Bingham, entonces debe usarse la Figura 3.12:

Figura 3.12. Gráfico de f vs Re’, para líquidos de Bingham [ [

],

] (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

100


Ejemplo 3.17 En la figura se muestra un sistema de tuberías, a través del cual se transporta, desde un estanque cocedor de diámetro 0,5(m) compota de manzana hasta el sector de envases, la que sigue la ley de la potencia (n = 0,4; K = 0,6(kg/m · s2-n)). Determine el tiempo que demora disminuir desde un nivel inicial de 1(m) a un nivel final de 0,1(m). La longitud de la tubería de acero inoxidable es de 2,75(m) y su diámetro interno es de 25 (mm). El codo indicado es de radio largo. La rugosidad del acero es ε = 0,001(mm).

Considerando la ecuación de Bernoulli:

Igualando los caudales de (1) y (2) tenemos:

101


USACH

Reemplazando el factor de fricción en la ecuación de Bernoulli se tiene:

Ordenando y despejando en función de v2 se tiene:

Para Regen se tiene que:

FINAL

INICIAL

Iterando: f =gen0,=00425 Si v2 = 1(m/s) ⇒ Re 1168 ⇒ f =gen0,=00425 Si v2 = 2,4(m/s) ⇒ Re 4740 f =gen0,=00425 Si v2 = 3,2(m/s) ⇒ Re 7510 f =gen0,=00425 Si v2 = 2,5(m/s) ⇒ Re 5060 Si v2 = 0,5(m/s) Si v2 = 0,9(m/s) Si v2 = 1,5(m/s) Si v2 = 1,9(m/s)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

0,00425= 0,0137 ⇒ vf2==1,89(m/s) 0,00425 f ==16/1168 ⇒ f = 0,0054 0,00425⇒ vf2 == 3,2(m/s) 0,00425 ⇒ f ==0,0046 0,00425⇒ vf2 == 2,6(m/s) 0,00425 ⇒ f ==0,0050 0,00425⇒ vf2 == 2,56(m/s) 0,00425

f =gen0,=00425 0,00425⇒ vf2 == 0,94(m/s) 0,00425 Re 385 ⇒ f ==0,0415 f =gen0,=00425 0,00425 ⇒ vf2 == 1,38(m/s) 0,00425 Re 986,8 ⇒ f ==0,016 f =gen0,=00425 0,00425 ⇒ vf2 == 1,82(m/s) 0,00425 Re 2235 ⇒ f ==0,007 f =gen0,=00425 0,00425⇒ vf2 == 1,9(m/s) 0,00425 Re 3262 ⇒ f ==0,0060

;

Por otro lado, de un balance de masa (continuidad):

102


103


USACH

EJERCICIOS 3.1. Determinar la potencia entregada por la bomba que descarga 28 lt/s de agua en el sistema mostrado en la figura. Las pérdidas del sistema son equivalentes a 10 · v2/2 y el diámetro interior de la cañería es de 15 cm.

3.2. Un líquido circula con flujo estacionario, a través de una tubería de 3" de diámetro interno. La densidad es 1050 kg/m3 y la viscosidad de 2 cp. Empleando un tubo de Pitot, se obtuvieron los siguientes valores de velocidades puntuales:

V(m/s ) (Pulg.) -------------------------2,28 0 2,26 0,15 2,23 0,30 2,18 0,45 2,14 0,60 2,09 0,75 2,01 0,90 1,89 1,05 1,77 1,20 1,53 1,35 1,11 1,425 0,00 1,59

Calcular: a) V empleando el gráfico V/Vmáx vs Re máx. b) α empleando gráfico α vs Re. c) V empleando la definición e integrando numéricamente. d) α empleando la definición e integrando numéricamente.

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3.3. Para transportar aceite desde un depósito A a otro B con un caudal de 200 lt/min., es necesario instalar un grupo motobomba, cuya potencia se desea determinar. La tubería es de 3" de diámetro y las pérdidas a lo largo del sistema son de 3,5 kgf · m/kg. El nivel del aceite en el depósito B se mantiene 12 m. por encima del nivel del estanque A. En las condiciones de transporte, la densidad del aceite es de 840 kg/m3. Obtenga la potencia de la bomba y compare sus resultados al realizar balances entre: a) 1 – 4. b) 2 – 3. c) 2 – 4.

3.4. Un motor suministra 20 HP a una bomba por la que circula agua a razón de 500 gal/min. 25% de la potencia se consume elevando la energía interna del agua y para vencer el roce en las partes mecánicas de la bomba. El diámetro de la cañería de entrada a la bomba es de 6" y el de descarga de la bomba es de 4". Ambas tuberías están a la misma altura. Calcular el aumento de presión del agua.

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USACH

3.5. Circulan 3600 ton/h de agua desde un estanque, elevado a una turbina ubicada a menor nivel, a través de un conducto circular de diámetro uniforme. En un punto del conducto ubicado a 300 pies sobre la turbina la presión es 30 psia. A 10 pies bajo la turbina la presión es 18 psia. La potencia de la turbina a la salida del eje es de 1000 Hp. Si la eficiencia de la turbina es de 90%, a) Calcule las pérdidas por fricción en el conducto. b) Si no se produce transferencia de calor al ambiente, ¿En cuánto podría subir la temperatura del agua? 3.6. En el sistema de la figura circula agua. Calcular la potencia entregada por la bomba si el caudal es de 80 lt/s. El diámetro de succión es de 6" y el de descarga es de 4". Considere despreciables las pérdidas.

3.7. A través de una cañería horizontal de acero comercial, tipo 40 de D.N. 10", circulan 2 m3/min. de agua a 20 ºC. La cañería de 20 m. de longitud tiene además un codo standard de 90º, una válvula de retención (“check”), una válvula de compuerta (“gate”) y una válvula de globo (“globe”), todas totalmente abiertas ¿Cuál es la caída de presión? 3.8. En la figura se muestra un sifón, el cual es utilizado para extraer agua desde un estanque. El sifón está construido con cañería de 10" y su

106


longitud total es de 18 metros. Cuando el agua se encuentra en su mínimo nivel, calcule: a) El flujo. b) La presión en el punto A. La curvatura del tope del sifón es equivalente a dos codos de 90º standard.

3.9. Dos grandes recipientes de agua están conectados por una cañería de acero comercial de 8 pulgadas de diámetro nominal y 5000 pies de largo. El nivel de uno de los recipientes está 200 pies por sobre el nivel del otro, ambos abiertos a la atmósfera. ¿Cuál es el flujo de agua que circula? 3.10. Se desea transportar 100 gal/min. de agua, desde un lago a un estanque ubicado a una altura de 100 metros. La longitud de la cañería debe ser de 400 m. y contar con 10 codos de 90º y 2 válvulas de compuerta. La temperatura media es de 15 ºC. a) Determine el diámetro óptimo económico. b) ¿Cuál es la potencia de la bomba en HP? c) ¿Qué sucede con sus respuestas a) y b) si el caudal a transportar aumenta al doble?

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3.11. Para concentrar una solución de NaCl, ésta se bombea desde un depósito hacia un evaporador, a través de una tubería lisa de P.V.C. de diámetro interno 3 cm, a razón de 8 m3/h. A la temperatura de bombeo, la solución tiene una densidad de 1150 kg/m3 y una viscosidad de 2,3, cp. Si el trayecto a recorrer es de 350 m, ¿Cuál es la potencia de la bomba requerida? 3.12. Se retira agua de un depósito y se bombea una longitud equivalente de 2 millas, a través de un ducto horizontal, circular, de concreto de 10 pulgadas de diámetro interno. Al final de este ducto el flujo se divide en 2 cañerías de acero comercial, cédula 40, una de 4" (D.N.) y otra de 3" (D.N.). La línea de 4" tiene una longitud equivalente de 200 pies y se eleva hasta un punto a 50 pies sobre la superficie del agua del depósito, donde el flujo se descarga a la atmósfera. Este flujo debe mantenerse en 100 gal/min. La línea de 3" (horizontal) descarga también a la atmósfera en un punto a 700 pies, desde la bifurcación y al nivel del agua en el depósito. Determinar los HP entregados a la bomba, la que tiene una eficiencia de 70%. 3.13. Una bomba de 5 C.V. con una eficiencia de 70% toma amoniaco al 20%, desde un depósito y lo transporta a lo largo de una tubería de 100 m. de longitud total, hasta el lugar de descarga situado a 15 m. por encima del lugar de succión. Determine el diámetro de tubería a emplear si el caudal que circula es de 10 m3/h. 3.14. Debe bombearse una pasta de dientes (no-newtoniana), a través de una tubería de acero inoxidable de 50 mm d.i., desde la máquina de mezclado de los ingredientes hasta la máquina de llenado de los tubos de pasta. La longitud equivalente de la línea, incluyendo las pérdidas en codos, uniones, entrada y salida, es 10 m y la velocidad media del flujo es de 1 m/s.

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a) ¿Qué diferencia de presión (en at.) dará este caudal? b) ¿Que tamaño de motor hará el trabajo para una eficacia de la moto bomba de un 30%?

3.15. Como se muestra en la figura, desde un recipiente fluye agua a través de una cañería a un punto de bifurcación, desde donde fluye a otros recipientes mediante cañerías separadas. Las cañerías son de acero comercial, tipo 40. Calcule el flujo en (gal/min) de agua que llega a cada recipiente, suponiendo flujo estacionario.

Sección 1 = 2000', cañería de 3" Sección 2 = 2000', cañería de 3" Sección 3 = 1000', cañería de 3"

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Capítulo 4: Medidores de flujo

CAPÍTULO 4 MEDIDORES DE FLUJO

Para cuantificar el flujo de fluidos existen métodos directos e indirectos. En los primeros se determina el peso o volumen de fluido, que pasa a través de una sección en un determinado tiempo, registrado con un cronómetro. En los métodos indirectos, se determina la altura, la diferencia de presiones o de velocidades en varios puntos de una sección, calculándose el flujo con esta información. Adicionalmente, existen métodos basados en conceptos físicos de electrónica, electromagnetismo, óptica, ultrasonido, entre otros. La medición puede obedecer a distintos fines: información, control automatizado de un proceso, registro de variaciones de caudal en el tiempo, etc. Para estos efectos existen en el mercado una variedad de dispositivos cuyo funcionamiento obedece a distintos principios. Cada uno de ellos tiene una serie de ventajas y limitaciones, que lo hacen más o menos recomendable para una aplicación determinada, en función del fin que se persiga y del medio en el cual se utilizará (gas, líquido, fluido corrosivo o no, sólidos, etc.). A continuación se dará una breve descripción de medidores que funcionan en base a principios electrónicos, magnéticos, radioactivos, etc. Al final, se describirán instrumentos que funcionan en base a principios hidrodinámicos, indicándose además sus ecuaciones de diseño. A) Anemómetro de hilo caliente: Este medidor se utiliza para determinar velocidades puntuales o locales, en ductos por los que circulan gases. El sensor es un hilo de platino (a veces revestido en cuarzo), que es calentado por una corriente eléctrica. La resistencia eléctrica del hilo es función de su temperatura. El flujo de gas alrededor del hilo caliente lo enfría y de este modo varía su resistencia eléctrica. Dejando constante la tensión o la intensidad de

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la corriente en el hilo mediante un circuito conveniente, la variación en la intensidad o tensión, respectivamente, son función de la velocidad del flujo gaseoso que rodea al hilo caliente. Este hilo debe ser calibrado previamente, colocándolo en una corriente gaseosa de velocidad conocida. B) Medidores electromagnéticos: Estos se basan en la ley de Faraday, según la cual, cuando un conductor eléctrico se mueve dentro de un campo magnético, se induce en él una fuerza electromotriz que es proporcional a su velocidad. Un medidor electromagnético consiste esencialmente en un carrete de tubería de material no magnético, que lleva adosado una serie de bobinas las cuales, una vez conectadas a un circuito eléctrico, crean un campo magnético transversal al tubo. Al atravesar este campo el fluido, hace el papel del conductor eléctrico; la fuerza electromotriz inducida en el fluido, cuyo valor es proporcional a la velocidad media del flujo, es detectada por dos sensores instalados en paredes opuestas al tubo. Un circuito electrónico auxiliar recibe las señales de los sensores y, después de procesar esta información determina la velocidad o caudal que está circulando.

Figura 4.1. Medidor electromagnético.

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La gran ventaja de este medidor es que no presenta ninguna obstrucción al paso del fluido, e incluso su pared interna se puede recubrir con revestimientos adecuados, para evita el ataque de fluidos corrosivos. Puede ser utilizado para la medición de fluidos pastosos. La principal desventaja es su alto precio, que es en función del diámetro de la tubería. C) Medición radioactiva: La medición radioactiva se puede emplear en conducciones abiertas o cerradas. El método consiste en inyectar, en un punto del circuito, un trazador radioactivo y contar el tiempo que transcurre, hasta ser detectado por un contador Geiger, situado aguas abajo del anterior. Conocida la distancia entre ambos puntos, se determina la velocidad del fluido. Este método tiene el inconveniente, además del derivado de las precauciones que hay que observar en el manejo del material radioactivo, de que no se tiene una medición continua, sino únicamente la correspondiente al momento de introducir el trazador. D) Medición por ultrasonidos: Existen distintos dispositivos que se basan en el efecto Doppler o en la recepción de ecos. En ambos métodos se utiliza un elemento emisor, que envía impulsos de ultrasonido a través del fluido en distintas direcciones. Los impulsos que viajan en el mismo sentido que el fluido, lo hacen a mayor velocidad que aquellos otros que viajan en sentido contrario. Una serie de sensores recogen estos impulsos y un circuito electrónico auxiliar procesa la información, calculando el tiempo transcurrido entre la emisión y la recepción del impulso. Como las distancias entre el emisor y los sensores son fijos y conocidos, se puede obtener la velocidad a la que viajó el impulso que, a su vez, es función de la velocidad del fluido. E) Medición por impacto: La medición se efectúa introduciendo en el seno del fluido a medir una paleta, que se desplaza en la dirección de la corriente. La fuerza que ejerce el fluido en movimiento sobre esta paleta será proporcional al caudal que circula. Aunque este dispositivo se puede emplear con

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cualquier fluido, su utilización está en general limitada a la medición de líquidos extremadamente viscosos o de alto punto de fusión: pastas, asfaltos, resinas, azufre fundido, etc.

Figura 4.2. Medidor de impacto.

F) Anemómetro de aire: En este medidor, como se muestra en Figura 4.3, las aspas actúan sobre contadores que indican el número de revoluciones, las que se relacionan con la velocidad del gas.

Figura 4.3. Anemómetro de aire.

G) Medidores de desplazamiento positivo (volumétricos): Estos medidores constan de émbolos o tabiques, que son desplazados por la corriente fluida y de un mecanismo contador, que registra el número de desplazamientos en una unidad conveniente, como litros o metro cúbicos. Un medidor volumétrico es el utilizado en la mayoría de sistemas domésticos de distribución de agua. El caudal se obtiene determinando con un cronómetro el tiempo que tarda en pasar un volumen dado de fluido.

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H) Medidor de turbina: El principio de funcionamiento del medidor de turbina es similar al del anemómetro de aire, con la diferencia de que se hacen impermeables y se colocan en el interior de una tubería, para medir caudales de fluidos. El núcleo del rodete puede contener un magneto, que al girar el rotor, produce un campo magnético variable. El campo se detecta en una bobina eléctrica que va montada en la armadura externa de la unidad. La frecuencia de los impulsos magnéticos indican el caudal en un equipo de lectura. Debido a que la construcción y control de estos medidores es complicado, estos medidores son de elevado precio, aunque su gran exactitud los hace recomendables en operaciones automatizadas. I) Medición por producción de torbellinos: Cuando un fluido en movimiento se encuentra en su camino con un obstáculo, las líneas de flujo intentan seguir el contorno de éste. Cuando el cuerpo no tiene un contorno aerodinámico, el fluido no se puede adaptar a su forma y, entonces, se crean torbellinos aguas abajo del cuerpo en la zona de menor presión. Estos torbellinos se desprenden alternativamente de ambos lados; la frecuencia con que se desprenden de un lado u otro resulta ser proporcional a la velocidad del fluido. La velocidad en ambos lados del obstáculo nunca es la misma. En efecto, cuando se desprende un torbellino, la velocidad del fluido aumenta en ese punto, y como consecuencia, disminuye la presión. En el lado opuesto ocurre lo contrario, por lo que en todo momento existe una diferencia de presiones a ambos lados del obstáculo, cuyo valor cambia con una frecuencia idéntica a la del momento del desprendimiento de los torbellinos. Midiendo las variaciones de presión a ambos lados del obstáculo se puede determinar el caudal. J) Codos: Un codo de una tubería puede utilizarse en ciertas condiciones, para estimar el caudal (Figura 4.4). En efecto, la fuerza centrífuga que actúa sobre el fluido al girar 90º, produce que la presión en la pared externa de la curva tenga un valor superior al que existe en la pared interna. Esta diferencia se relaciona con el caudal. Este método de medición, en determinadas

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condiciones tiene la suficiente reproducibilidad como para permitir su uso con fines de control.

Figura 4.4. Medidor de codo.

4.1.

Medidores que funcionan en base a principios fluidodinámicos

K) Medición por diferencia de presiones: La obtención de velocidades y/o caudales, a partir de la información de la diferencia de presión entre dos puntos de la conducción es el principio en el cual se basa la mayoría de las mediciones de fluidos, en conducciones cerradas. Dentro de los instrumentos que funcionan en base a este método se tiene a: tubos de Pitot, placa orificio, Venturi y tobera (o boquilla). K.1) Tubo de Pitot. Este dispositivo se caracteriza por medir velocidades puntuales ( V ) de fluidos. Existen diversas configuraciones, pero en esencia consisten en dos tubos abiertos: uno está orientado de forma que su abertura se enfrente al movimiento del fluido (tubo de impacto). El otro, tubo estático, está orientado de forma que no le influya la presión debida a la velocidad del fluido. El tubo de impacto detecta tanto la presión estática del fluido como la equivalente a su energía cinética. La diferencia de ambas mediciones dará por resultado la presión de impacto, a partir de la cual se puede obtener la velocidad del fluido. En la Figura 4.5 se muestran algunas configuraciones de tubos de Pitot.

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A continuación se hará la deducción de la ecuación del tubo de Pitot simple. Como se muestra en la Figura 4.5(a), la abertura del tubo horizontal está dirigida agua arriba, de modo que el fluido impacte la abertura.

Figura 4.5. a) Tubo de Pitot simple, b) Tubo de Pitot compuesto, c) Tubo de Pitot comercial, d) Tubo de Pitot traverso.

El punto 2 se llama punto de estancamiento y en éste, la velocidad del fluido es cero. La toma piezométrica bajo el punto 1 detecta la presión estática del fluido. Aplicando la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente entre 1 y 2 se obtiene: (4.1)

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Considerando que el fluido es incompresible, que Z2 = Z1 y que  V2 = 0 se obtiene: (4.2)

Además entre 1 y 2, Eˆ v ≈ 0 , luego: (4.3)

A fin de compensar las aproximaciones, se introduce un factor experimental Cp, el cual se conoce como coeficiente de descarga del tubo de Pitot. Para tubos bien diseñadosCCpp ≅ 1. 1 Utilizando ecuación de la hidrostática se obtiene: Δp = g ΔH (ρm – ρ), luego: (4.4) Todas las versiones de tubos de Pitot tienen la misma ecuación, que relaciona la velocidad puntual con la diferencia de presiones que señala algún manómetro. Dado que este medidor determina velocidad local, lo usual es situarlo en el centro de la tubería, a fin de calcular con la ecuación 4.4 la velocidad máxima. Obtenido este valor, es posible obtener la velocidad media utilizando Figura 4.6. Para obtener buenas medidas, es necesario que el Pitot esté ubicado lejos de cualquier perturbación: a lo menos uno 100 diámetros de distancia de cualquier accesorio. El medidor en sí no produce alteraciones en el flujo, es de bajo costo y ofrece posibilidades de determinar velocidades puntuales en cualquier ducto y posición. Si es inevitable la presencia de accesorios cerca del medidor, estos provocarán distorsión en el perfil de velocidades y ya no podría usarse

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la Figura 4.6 para obtener la velocidad media. En este caso deben hacerse lecturas en diferentes posiciones (radiales) del ducto y obtener la velocidad media, usando la definición de ésta, vale decir:

(4.5)

La selección de los puntos adecuados de medición, es decir, los ra-

dios en el caso de ductos circulares, o la posición x,y en ductos de sección rectangular, implica dividir el área de flujo en N sub-áreas iguales, colocando el medidor en el centro de cada una de estas sub-áreas. Luego, estos . valores ( V , r) se introducen en la integral anterior para así obtener V.

Figura 4.6. Gráfico para obtener velocidad media a partir de la velocidad máxima, obtenida en el centro de la tubería (Adaptado de Foust y col., 1961).

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K.2) Placas orificio, tobera y Venturi. Estos medidores de ΔP variable con el flujo, tienen ciertas características similares, siendo posible deducir una expresión general para todos ellos.

Figura 4.7. Placas orificio.

Una corriente forzada aumenta su velocidad, al pasar a través de una estrangulación a costa de perder presión. Este fenómeno se representa en Figura 4.8, para el flujo a través de una placa orificio.

Figura 4.8. Flujo a través de una placa orificio.

Al pasar el fluido por un orificio de menor diámetro que el conducto, la vena fluida experimenta una contracción considerable. El punto en que la sección transversal es mínima no se encuentra en el orificio mismo, sino aguas abajo de él. Esta zona se llama “vena contracta” y es donde tienen lugar las máximas diferencias de presión (caída de presión temporal). Aunque

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la presión vuelve a aumentar una vez pasada esta zona como consecuencias de la disminución de velocidad, nunca llegará al valor original, produciéndose una “pérdida permanente” de presión, la cual depende de las características de la placa orificio, Venturi o tobera. Consideremos el esquema siguiente, válido para los medidores recién descritos:

Figura 4.9. Esquema general para medidores de ΔP variable con el flujo.

En esta situación los puntos 1 y 2 se encuentran muy próximos, separados una distancia despreciable comparada con la longitud total del sistema. El punto 3, denominado “aguas abajo” no es afectado por la presencia del medidor. Aplicando Bernoulli entre 1 y 2, considerando fluido incompresible y que Z1 = Z2, se obtiene: (4.6) Luego: (4.7)

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De un balance de masa entre 1 y 2 (ecuación de continuidad) se obtiene: (4.8) Reemplazando en la ecuación de Bernoulli, se obtiene: (4.9)

Esta es una expresión general para fluidos incompresibles, para medidores de Δp variable. El término (–Δp/ρ –Êv) representa el efecto en el fluido del cambio de energía cinética. Es decir, a causa del estrechamiento, el fluido aumenta su velocidad, lo cual se traduce en una disminución de presión, asociado con una disipación de energía por fricción. Placa orificio. Este medidor consiste básicamente de una placa plana, con un orificio concéntrico, aunque existen diseños con algunas variaciones, tal como muestra la Figura 4.7. Aplicando la ecuación general 4.9 a este medidor (Figura 4.8) y considerando que el término Êv es proporcional a –Δp (caída de presión temporal, que comenzaremos a llamar –Δpt), se tendrá: (4.10) Con lo cual se obtiene: (4.11)

Definiendo un coeficiente de contracción Cc como el cuociente entre la sección de flujo de la vena contracta A2 y la sección del orificio se obtiene: (4.12)

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Entonces se tiene que: (4.13)

Usando la ecuación de continuidad es posible cambiar V2 por Vo (velocidad en el orificio): V2 A2 = Vo Ao, luego: (4.14)

Llamando β = D0/D1, entonces: (A0/A1)2 = β4. Luego:

(4.15)

Multiplicando arriba y abajo por 1 − β 4 , con el objeto de definir un coeficiente que caracterice al medidor, de modo que:

(4.16)

Se define Co, coeficiente de descarga del medidor de orificio como: ,

luego:

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(4.17)


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(4.18) El coeficiente de descarga Co depende de la geometría del orificio, de la relación de diámetros β y también del número de Reynolds. En principio, Co se debería determinar experimentalmente para cada caso. Sin embargo, existen gráficos de Co vs Re con β como parámetro que permiten evaluar Co. En Figura 4.10 se muestra este gráfico para una placa orificio centrada, con bordes afilados, con toma de presión en la vena contracta. Para estas condiciones se cumple que con Re > 30.000, Co se aproxima a 0.61 y se hace independiente de Re y β.

Figura 4.10. Coeficiente de descarga para placa orificio y rotámetro en función del número de Reynolds (Adaptada de Brown G., Operaciones básicas de la Ingeniería, 1963).

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Para ubicar el punto de la vena contracta (punto de mínima presión) se puede utilizar la Figura 4.11, donde se presenta la distancia desde el plato orificio (como fracción del diámetro interno de la tubería) vs β. La primera toma piezométrica se ubica un diámetro interno de tubería antes de la paca orificio.

Figura 4.11. Ubicación de la vena contracta (Adaptado de Spink, L. Principles and Practice of Flow Meter Engineering, 1958).

En la Figura 4.12 se sugieren las mínimas longitudes de tubería recta, que deberían respetarse antes y después del plato orificio, dependiendo de los accesorios presentes en la tubería.

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Figura 4.12. Distancias recomendadas de tubería recta antes y después de la placa orificio.

Para evaluar la caída de presión permanente provocada por la presencia de medidores de placa orificio, con orificio centrado, se dispone de la expresión: (4.19) Para la medición de líquidos o gases limpios y no corrosivos, se utiliza la placa de orificio concéntrico y canto vivo. Si el gas arrastra ligeras cantidades de condensado o el líquido está próximo a las condiciones de evaporación, se pueden practicar, si la placa va a ser instalada en un tramo horizontal, orificios de drenaje o venteo debajo o encima del orificio principal. Si las cantidades de condensado son significativas, se utiliza la placa de orificio excéntrico. Si el fluido arrastra sedimentos, se puede utilizar la placa de orificio segmentado, en la cual el radio de este orificio es el 98 por 100 del radio interno de la tubería y la cuerda del círculo también tiene el canto vivo, en su cara de entrada.

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Es fundamental que el canto de entrada en los orificios de las placas sea afilado, a fin de asegurar la exactitud de la medida. Un desgaste incipiente de este canto puede introducir errores de hasta un 20 por 100 del fondo de escala. Por otro lado, la placa orificio de canto afilado puede introducir grandes errores para bajos caudales y elevadas viscosidades. Para estas aplicaciones se puede utiliza la placa de orificio con canto en cuarto de círculo. El radio de curvatura del borde de entrada es función del diámetro del orificio. Venturi Una de las desventajas de la placa de orificio es que produce una gran pérdida irrecuperable de presión. Otra desventaja es su poca precisión cuando se trata de medir fluidos con sólidos en suspensión y el inconveniente que supone colocar barreras al paso de estos fluidos. Tales inconvenientes se soslayan en el tubo de Venturi. El tubo de Venturi es, en esencia, un tubo con una garganta que presenta una forma tronco-cónica aguas arriba y después del estrechamiento. El ángulo de entrada suele ser de 21º ya que ángulos mayores producirían cavitación en los líquidos al atravesar la garganta, y menores supondrían un tubo demasiado largo. El ángulo de salida está entre los 5 y 15º con el fin de recuperar el máximo de presión. (Figura 4.13). Entre las desventajas del tubo Venturi está su construcción delicada, que se traduce en un elevado precio, y la necesidad de disponer de largos tramos rectos, aguas arriba y abajo, en su instalación.

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Figura 4.13. Dimensiones críticas para el medidor Venturi (Adaptado de Spink, L. Principles and Practice of Flow Meter Engineering, 1958).

La ecuación general de medidores de ΔP variable con el flujo, ecuación 4.9, es aplicable al Venturi, obteniéndose:

(4.20) Donde Vv es la velocidad en la garganta del Venturi, Cv es el coeficiente del Venturi. En la Figura 4.14 se presenta un gráfico de Cv vs Re en la tubería. De allí se observa que para Re > 200.000, Cv = 0.985. En esta figura la línea continua representa el promedio de la data experimental disponible, las líneas punteadas indican el rango de dispersión de la información experimental.

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Figura 4.14. Coeficiente de descarga para medidores Venturi. El punto 1 se refiere a la velocidad y diámetro en la tubería (Adaptado de Foust y col., 1961).

La caída de presión permanente en un Venturi es entre 10 y 15% de la caída de presión temporal, cuando el ángulo en la salida está entre 5 y 7% y de 10 y 30% para ángulos del orden de 15º, siendo mayores las pérdidas para bajos valores de β. Toberas (boquillas) Las toberas son elementos derivados del Venturi, que se insertan en los conductos para producir la estrangulación del fluido. En ellos se ha eliminado la zona de salida existente en el tubo Venturi y la zona convergente o de entrada queda convertida en una forma más redondeada. Se utilizan formas muy distintas para la boca de entrada de las boquillas, pero las más utilizada es la de cuadrante de elipse. El costo de estos elementos, su tamaño y la exigencia de tramos rectos a la entrada son muy inferiores a los del tubo Venturi. Producen una pérdida irrecuperable de presión ligeramente superior a las del tubo Ventu-

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ri, pero muy inferior a la producida por la placa de orificio. En Figura 4.15 se muestran algunas toberas.

Figura 4.15. a) Dimensiones para la construcción de una tobera, b) Vista en corte de una instalación que incluye una tobera, c) Esquema de una tobera.

También para las toberas es aplicable la ecuación 4.9, obteniéndose: (4.21) En Figura 4.16, se presenta un gráfico de C vs Re (basado en el diámetro de la tubería), donde: (4.22)

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Figura 4.16. a) Vista en corte de una tobera, d1 es el diámetro de la cañería y do es el diámetro interno de la tobera. b) Gráfico de coeficiente de descarga, C, versus Re1 (Adaptado de Spink, L. Principles and Practice of Flow Meter Engineering, 1958).

(4.23) La expresión recién escrita permite evaluar la caída de presión permanente, provocada por la presencia de la tobera. Para el flujo de gases, las ecuaciones para el plato orificio, Venturi y tobera, son modificadas por el factor Y, el cual considera que el gas se expande adiabáticamente desde P1 a P2. Para el plato orificio, la ecuación es: (4.24) Donde p1: presión antes del plato orificio. p2: presión en la vena contracta. En la Figura 4.17 se entrega el factor Y para orificio, Venturi y tobera:

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Figura 4.17. Factor de expansión Y para orificios, Venturi y tobera. r = P2/P1 y k = Cp/Cv.

Ejemplo 4.1 Para medir petróleo que circula a 15 ºC a través de una cañería de acero comercial tipo 40 de 2", se instalará una placa orificio. Se desea que para un caudal de 3(l/s) el manómetro marque una diferencia de nivel de 40(cm). El líquido manométrico es mercurio. Calcule: a) Diámetro del orificio (D0). b) La pérdida de potencia provocada por el orificio, para un caudal de 3(l/s). Solución: ρpetróleo = 965(kg/m3) μpetróleo = 3,5(kg/m · s) ρmercurio = 13600(kg/m3) Dc = 0,0525(m) Q = 0,003(m3/s)

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La ecuación para el plato orificio es:

(a)

Del enunciado ⇒ –∆p f == 0,00425 ∆H · g · (ρmercurio – ρpetróleo) = 0,4(m)·9,8(m/s2)·(13600 – 965)(kg/m3) f = 0,= 00425 51,33(m2/s2) –∆p = 49529,2(kg/m · s2) ⇒ –∆p/ρ Inicialmente consideraremos: β4 ≈ 0, luego:

Supondremos C0 ≈ 0,61 ∴D D00 == 0,0249(m) 0,0249(m ) 0,00425 ⇒ βf4 = 0,05 0,00425 Con este valor de D0 ⇒ βf ==0,473 Introduciendo este valor en la ecuación (a) y considerando C0 ≈ 0,61

0,00425 ⇒ βf4 = 0,047 0,00425 Con este valor de D0 ⇒ βf ==0,4667 Introduciendo este valor en la ecuación (a) se obtiene D0 = 0,0246(m), eRe0 0==4242,8 ,8 ⇒ 0,600425 4 Con este valor de C0 se obtiene final⇒CCf00 ≅ = 0,64. para el cualR mente D0 = 0,024(m).

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De la ecuación correspondiente se obtiene:

Luego La potencia perdida en el medidor es: Potencia = 40(m/s)2 · 0,003(m3/s) · 965(kg/m3) = 116(kg · m/s3) Potencia =

Ejemplo 4.2 Agua asciende a través de un medidor Venturi de coeficiente 0,98 y β = 0,5. Un manómetro en U indica una diferencia de nivel de 3,88(ft), siendo el líquido manométrico un fluido de densidad 78(lb/ft3). ¿Cuál es el flujo de agua en (ft3/s)?

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Solución: Debe aplicarse ecuaciones de la hidrostática al manómetro, para poder determinar Δp: pa = p1 + ρ · g ·(Y +3,88) pb = p2 + ρ · g ·(1,5+ Y) + ρM · g · 3,88 pa = pb = p1 + ρ · g · Y + ρ · g · 3,88 = p2 + ρ · g ·1,5 + ρ · g · Y + ρM · g · 3,88 p2 – p1 = ρ · g · 3,88 – ρ · g ·1,5 – ρM · g · 3,88 p2 – p1 = g · (62,4 · 2,38 – 78 · 3,88) p2 – p1 = – 4962,92(lb/ft · s2)

La ecuación del venturi es:

(b)

Pero, esta caída de presión es la suma de la caída de presión provocada por el estrangulamiento, más el efecto de la columna de líquido entre (1) y (2). Para “aislar” el efecto de caída de presión por el estrangulamiento, debe restarse el peso de la columna de líquido: – (Δp)temporal = 4962,9 – 62,4 · 32,2 · 1,5 = 1949(lb/ft · s2) Introduciendo los valores en (b):

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Nota: Para este mismo medidor (pero invertido), considerando que el flujo es de “bajada”, manteniendo los valores señalados por el manómetro, se obtiene: Q = 3,18(ft3/s) Ejemplo 4.3 Un tubo de Pitot se introduce en el centro de una cañería de 3" tipo 40 de acero comercial que conduce nitrógeno, registrándose una lectura de 35(mm) en un manómetro inclinado (1/10) en conexión con el Pitot. La temperatura del nitrógeno en la tubería es de 15 ºC y la presión en el lugar en que se introduce el tubo de Pitot es 850(mmHg). Determine el caudal, referido a condiciones normales de presión y temperatura. Solución: La ecuación del Pilot es:

R eConsiderando 2 ,8 ⇒ CC0p ≅ 10,64 0 = 4

p1 = 850(mmHg) = 1,118(atm) DC = 0,0779(m)

En la rama inclinada se lee 35(mm), pero la variación vertical es de 3,5(mm) (de acuerdo con la inclinación del manómetro). Por lo tanto, usando las ecuaciones de la hidrostática se obtiene: (p2 – p1) = ΔH · g · (ρM – ρN2)

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Considerando comportamiento de gas ideal para el nitrógeno:

(p2 – p1) = 0,0035(m) · 9,8(m/s2) · (1000 – 1,33) (kg/m3) (p2 – p1) = 34,25(kg/m · s2) Introduciendo valores en las ecuaciones del Pitot se obtiene:

Esta es la velocidad máxima, ya que el Pitot se ubicó en el centro ⋅ de la tubería. Usando la figura se obtiene una razón V V max , entrando con Remax:

Este es el caudal a 850(mmHg) y 15 ºC. En las condiciones normales de (0 ºC y 760(mmHg)) será:

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Ejemplo 4.4 A través de una cañería de 2" de acero comercial, tipo 40, se conduce hidrógeno a 30 ºC. Para medir el flujo volumétrico (Q) se instala una placa orificio de 2(cm) de diámetro. La lectura obtenida en un manómetro diferencial de mercurio, conectado a ambos lados del plato, es de 5(cm), y la presión de hidrógeno en las proximidades de la placa es 1,5(atm). ¿Cuál es el caudal? Solución:

La ecuación para la placa orificio, para un fluido compresible es:

(–Δp) = ΔH · g · (ρM – ρ) = 0,05(m) · 9,8(m/s2) · (13600 – 0,121)(kg/m3) (–Δp) = 6664(kg/m · s2) Para el hidrógeno: Cp / Cv = K = 1,405 f =r)/K 0,00425 r = p2 / p1 = 0,956 ⇒ (1– = 0,031 Con estos valores en la figura se lee Y = 0.988. Considerando inicialmente C0 = 0,61, se obtiene V0 = 202(m/s). Con este valor se calculará el Re0, para verificar el calor de C0.

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Con este valor, de la Figura 4.9 se lee C0 = 0,61, luego el valor supuesto es correcto. , en las condiciones del problema. L) Medidores de área variable con el flujo: La utilización de placas, boquillas, etc., supone la creación de una caída de presión variable, a través de una estrangulación cuya área permanece constante. Para caudales pequeños hemos visto que dichos dispositivos resultan inexactos, por la relación cuadrática entre el caudal y la diferencia de presión. Se puede realizar la medición de caudales a la inversa: manteniendo constante la diferencia de presión, a través de la estrangulación y haciendo variaFigura 4.18. Rotámetros. ble el área de la misma. La cantidad del fluido que circula en la unidad de tiempo, es en este caso proporcional a dicha superficie. El dispositivo más utilizado que sigue este principio es el rotámetro.

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El rotámetro consiste, en síntesis, en un tubo colocado verticalmente que tiene forma tronco-cónica ensanchado hacia la parte superior. En su interior lleva un flotador. Al fluido se le hace circular hacia arriba y al pasar entre el flotador y el tubo, se crea una diferencia constante de presión, cuyo valor se puede modificar variando la masa y forma del flotador. La conicidad del tubo determina que el espacio anular por donde debe pasar el fluido aumenta de sección, conforme el caudal aumenta.

Al circular fluido, la corriente “trata” de llevar el flotador hacia arri-

ba. Para un caudal dado, existe una posición del flotador en la cual queda en equilibrio y donde se cumple: Σ Fi = 0

(4.24)

Las fuerzas que actúan sobre el flotador son:

FE = fuerza de empuje

FG = fuerza de gravedad FD = fuerza de arrastre En el equilibrio = FG = FE + FD

140


FG = m g = ρ flotador Vflotador g

→

F G = ρF V F g

FE = ρ VF g FD = (– ΔPF) SF = (– ΔP12) CF2 SF (– ΔPF): caída de presión a través del flotador. (– ΔP12): caída de presión entre la entrada del rotámetro y la posición del flotador. SF: área de la sección transversal máxima del flotador.

Reemplazando en el balance de fuerzas:

ρF VF g = VF ρ g + (– ΔP12) SF CF2

(4.25)

De aquí se obtiene:

(4.26)

Por otro lado, en forma similar a lo demostrado para medidores de ΔP variable con el flujo, es posible plantear que: (4.27) en que:

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Introduciendo (– ΔP12) del balance de fuerzas, en esta última ecuación se obtiene: (4.28) (4.29) Pero, de la ecuación de continuidad: W = VR S2 ρ = Q ρ = Flujo másico S2 es la sección anular, en la posición del flotador Luego:

w = CR S2

(4.30)

CR puede ser evaluado con Figura 4.9, usando: ReR =

(4.31)

En que: D2 = diámetro del tubo en la posición del flotador. DF = diámetro del flotador en su parte más ancha. M) Medidores en canales abiertos: Existen dos tipos de medidores: rebosaderos y canales de medida. M.1) Rebosaderos. En un canal se coloca una represa cuyo rebosadero puede adoptar distintas formas. El líquido alcanzará diferentes alturas en función del caudal: a mayor caudal, mayor altura. Esta altura se mide en un tubo tranquilizador por cualquier método establecido para la medición de niveles, como se muestra en Figura 4.19.

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Figura 4.19. Rebosadero.

La altura está relacionada con el caudal por ecuaciones semi-empíricas que dependen del tipo de rebosadero, como se muestra en la Tabla 4.1. Tabla 4.1. Forma rebosadero Ecuación para Q de descarga en pie3/seg. Q = 1,43 x H2,5 Q = 2,49 x H2,48 Q = 3.33 H3/2 (L - 0.2 H) Q = (pie3/seg), H = pie, L = pie Estos son los rebosaderos más sencillos, existiendo otros de forma más complicada. M.2) Canales. Existen distintos tipos de canales que se diferencian por sus dimensiones y ángulos de entrada y salida. En la Figura 4.20 se muestra uno de ellos. Como se ve, consisten en esencia en intercalar una garganta, para conseguir que las variaciones de caudal se reflejen en una variación de nivel en el tubo de medida.

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La relación existente en los canales entre el caudal y la altura del nivel adopta la siguiente forma:

Figura 4.20. Canal Parshall.

En la Tabla 4.2 se presenta una comparación de los distintos medidores, con sus ventajas y desventajas.

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Tabla 4.2. Características generales y limitaciones de medidores (Revista Española de Ingeniería Química, 1978). Características generales

A favor

En contra

- Fácil instalación. - Bajo costo. - Precio independiente del tamaño tubería. - Estático. - Aceptación universal. - No necesita calibrar.

- Necesidad de tramos rectos de tubería. - Obstruye el paso. - La exactitud depende del grado de desgaste del canto. - Influyen la viscosidad y la densidad. - Alta pérdida irrecuperable. - Necesita otro elemento auxiliar para determinar la medición.

- Baja pérdida permanente. - Elemento estático. - No necesita calibrar. - Auto-limpiable. - Bajo mantenimiento.

- Necesidad de tramos rectos de tubería. - Precio alto. - Tamaño grande. - Influye la viscosidad. - Necesita otro elemento auxiliar para determinar la medición.

Boquillas y tubos

- Baratos. - Pérdida permanente aceptable. - Estáticos. - Bajo mantenimiento. - Auto-limpiables.

- Datos experimentales son escasos. - Necesita calibración. - Necesidad de tramos. - Influenciados por condiciones operación.

Tubo Pitot

- Muy barato. - Precio independiente tamaño conducto. - Fácil instalación. - Pérdida permanente mínima.

- Medición puntual. - Sujeto a ensuciamiento. - Necesidad de tramos. - Necesita otro elemento auxiliar para determinar la medición.

Placa de orificio

Servicio: Líquidos + gases Rango: 3:1 Exactitud: Buena Señal: Cuadrática Error: 3,4% Pérdida permanente: 50-90% Tramos rectos: 10-30 diámetros

Tubo Venturi

Servicio: Líquidos + gases + vapor agua Rango: 3:1 Exactitud: Buena Señal: Cuadrática Error: 1% Pérdida permanente: 10-20% Tramos rectos: 5-10 diámetros

Servicio: Líquidos + gases + vapor agua Rango: 3:1 Exactitud: Buena Señal: Cuadrática Error: 1,5% Pérdida permanente: 30-70% Tramos rectos : 10-30 diámetro

Servicio: Líquidos + gases + vapor agua Rango: 3:1 Exactitud: Mediana Señal: Cuadrática Error: 1% Pérdida permanente: Despreciable Tramos rectos: 20-30 diámetros

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Codo

- Muy barato. - Puede ser bi-direccional. - Auto limpiable. - Pérdida permanente casi nula.

- No recomendable para medir. - Necesita velocidad min. - Necesita calibración. - Necesita de tramos.

Rotámetro

- Barato en general. - Autosuficiente si es indicación local. - Casi auto-limpiable - Puede leer másico. - Ideal caudales bajos. - Independiente de viscosidad. - Pérdida permanente constante. - Casi estático.

- Instalación vertical solamente. - En gas necesita contrapresión. - Tamaño limitado por peso y precio.

Volumétricos

- Ideal para líquidos viscosos. - Ídem para mezclas y oper. de venta. - Pueden ser autónomos. - No necesita tramos. - Posibilidad de lectura másica. - Gran variedad de rangos.

- Desgaste mecánico. - Sólo fluidos limpios. - Limitación de peso, tamaño y precio. - Mantenimiento. - Sobre velocidad. - Propenso a daño por fluidos abrasivos.

- Exactitud excelente. - Gran rango de caudales. - Mantenimiento bajo. - Ligero. - Fácil instalación. - Casi auto-limpiable.

- Necesita conversión de señal para determinar medición. - Necesita calibrar. - Influye viscosidad. - Sólo fluidos limpios. - Necesita de tramos. - Caro. - Propenso a sobre velocidad. - Necesita contrapresión. - Sujeto a desgaste. - Re. Min. 10.000.

- Ideal para baja velocidad gas. - Posibilidad lectura másica. - Nula pérdida permanente.

- Delicado. - Sujeto a ensuciamiento por fluido. - Necesita tramos. - Precio independiente tamaño conducto. - Necesita calibrar.

Servicio: Líquidos Rango: 3:1 Exactitud: Mala Señal: Cuadrática Error: Mayor 1% Pérdida permanente: Despreciable Tramos: 20-30 diámetros

Servicio: Líquidos + gases Rango: 10:1 Exactitud: Mediana Señal: Lineal logarítmica Error: 2% Pérdida permanente pequeña Tramos rectos: No

Servicio: Líquido + gas Rango: 10:1 Exactitud: Muy buena Señal: Lineal Error: 1/2% Pérdida permanente: Baja Tramos rectos: Despreciables

Medidor de turbina

Servicio: Líquido + gas + vapor agua Rango: 14:1 Exactitud: Excelente Señal: Lineal Error: 1/2% Pérdida permanente: Despreciable Tramos rectos: 5-10 diámetros

Hilo caliente

Servicio: Líquido + gas Rango: 10:1 Exactitud: Buena Señal: Exponencial Error: 1% Pérdida permanente: Nula Tramos rectos: 5-10 diámetros

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Electromagnético

- No influenciado por densidad ni viscosidad. - Pérdida permanente nula. - Bi-direccional. - Estático. - Sanitizado. - Auto-limpiable.

- Caro. - Voluminoso y pesado en tamaños grandes. - No funciona con gas ni fluidos no conductores. - Limitación por temperatura. - Necesita calibrar. - Necesita potencia eléctrica.

Medidor de impacto

- Barato. - Casi estático. - Ideal para fluidos muy viscosos. - Idem caudales bajos. - Instalación fácil.

- Necesita de tramos. - Necesita calibrar.

Medidor ultrasonidos

- Independiente tamaño del tubo. - Paso diáfano. - Sanitizado. - Bi-direccional. - Estático. - Pérdida permanente nula.

- En fase de desarrollo. - Necesita calibrar. - Necesita de tramos. - Únicamente líquidos.

- Precio razonable. - Mantenimiento bajo. - No necesita calibrar. - No influyen la viscosidad ni densidad. - Estático. - Instalación sencilla. - Independiente del tamaño del tubo.

- No adecuado para líquidos sucios ni abrasivos. - No adecuado para líquidos viscosos. - Necesita de tramos. - Limitación de velocidad en líquidos por cavitación. - Necesidad de velocidad mínima.

Servicio: Líquido Rango: 30:1 Exactitud: Muy buena Señal: Lineal Error: 1% Pérdida permanente: Nula Tramos rectos: No necesarios

Servicio: Líquido + gas + vapor agua Rango: 10:1 Exactitud: Mediana Señal: Cuadrática lineal Error: 2% Pérdida permanente: Pequeña Tramos rectos: 5-10 diámetros

Servicio: Líquido Rango: ± 40 pies/seg.

Exactitud: Buena Señal: Lineal Error: 1% Pérdida permanente: Despreciable Tramos rectos: 5-10 diámetros

Medidores de torbellinos

Servicio: Líquidos + gas + vapor agua Rango: 20:1 Exactitud: Buena Señal: Lineal Error: 1% Pérdida permanente: Baja Tramos rectos: 5-10 diámetros

Nota: El error se refiere al fondo de escala. Son valores típicos que pueden variar según el tipo de instalación y de fluido. Los porcentajes de pérdida permanente se refieren al valor de la diferencia de presiones que se haya elegido en cada caso.

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EJERCICIOS 4.1. A través de un medidor Venturi de coeficiente 0,98 y β = 0,5 circula agua. Un manómetro en U indica una diferencia de nivel de 1m, siendo el líquido manométrico un fluido de densidad 1400 kg/m3.

a) ¿Cuál es el flujo si el agua asciende en el Venturi? b) ¿Cuál es el flujo si el agua desciende en el Venturi, manteniéndose los valores de la figura?

4.2. Nitrógeno a 20 ºC y 15 cm de agua de sobre presión fluye a través de una tubería de acero comercial de 4". Para determinar su flujo se dispone de una placa orificio (d0 =30 mm). Si el manómetro conectado a la placa indica una diferencia de presión equivalente a 1,2 m de agua, determine el flujo si la presión atmosférica es de 710 mm Hg. 4.3. Para medir un flujo de petróleo a 15 ºC (ρ = 950 kg/m3; μ = 35 cp) se desea utilizar una placa orificio, que indique una diferencia de nivel de 40 cm de Hg. Determine el diámetro de la placa orificio y la pérdida de potencia producida por el medidor de orificio.

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4.4. Un tubo de Pitot instalado en el centro de una tubería de 3" por la que circula oxígeno (15 ºC y 820 mm de Hg), indica una lectura de 50 mm de agua en el manómetro inclinado (1/10) conectado al Pitot. Determine la velocidad máxima, la velocidad media y el flujo másico. 4.5. En una tubería de 2" se dispone de una placa orificio de diámetro 3 cm, acoplado a un manómetro en U con mercurio como fluido manométrico. Determine el diámetro del orificio si se desea que la lectura disminuya a la mitad, cuando circula el mismo flujo de agua. 4.6. Para medir petróleo que circula a 15 ºC a través de una cañería de acero comercial tipo 40 de 2", se instalará una placa orificio. Se desea que para un caudal de 5 (l/s) el manómetro marque una diferencia de nivel de 50 cm. El líquido manométrico es mercurio. Calcule: c) Diámetro del orificio (D0). d) La pérdida de potencia provocada por el orificio, para un caudal de 5 l/s. Datos: ρpetróleo = 965(kg/m3); μpetróleo = 3,5(kg/m. s); ρmercurio = 13600(kg/m3)

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Capítulo 5: Transporte de líquidos

CAPÍTULO 5 TRANSPORTE DE LÍQUIDOS

Los equipos impulsores de líquido reciben la denominación general de bombas. Definición de bomba La bomba es el aparato destinado a extraer, elevar, e impulsar un fluido en una dirección determinada. Convierte la energía suministrada por un elemento motriz en energía de fluido, ya sea energía cinética, potencial o de presión. Las bombas se clasifican en dos grandes grupos: de desplazamiento positivo y dinámicas. Las bombas de desplazamiento positivo se subdividen en las categorías de alternativas y rotatorias, mientras que las dinámicas comprenden las centrífugas y las bombas de efectos especiales. A.1. Bombas alternativas o recíprocas. Pertenecen a este grupo las bombas de pistón o émbolo y las bombas de diafragma. (Figura 5.1).

Figura 5.1. Clasificación de bombas de desplazamiento positivo.

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Figura 5.2. Clasificación de bombas dinámicas.

Figura 5.3. Esquema de una bomba de pistón de doble efecto.

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Figura 5.4. Bomba de pistón de simple efecto.

Bombas de un pistón o émbolo: En éstas, un pistón o émbolo desplaza en cada carrera un volumen dado de líquido, generando un flujo pulsante. Las pulsaciones pueden ser disminuidas, usando una bomba de doble acción o aumentando el número de cilindros, como se muestra en la Figura 5.5.

Figura 5.5. Curvas de descarga para bombas de pistón. a) Acción sencilla de un pistón, b) Doble acción de un pistón, c) Acción doble de dos pistones.

La mayoría de las bombas de pistón son de doble efecto, es decir, el líquido puede admitirse a cada lado del pistón, de manera que mientras se llena una parte del cilindro, la otra se vacía. El movimiento del pistón o émbolo puede realizarse por la acción de un motor eléctrico, o mediante un ci-

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lindro de vapor que acciona directamente el vástago del émbolo. La presión máxima de descarga en las bombas comerciales de pistón es de aproximadamente 50 at. Para presiones superiores se emplean bombas de émbolo, en las cuales el cilindro es de pequeño diámetro y de pared gruesa. Las bombas de émbolo son de efecto sencillo, generalmente accionadas por un motor, y pueden alcanzar presiones de 1400 at, e incluso mayores. Tanto en las bombas de pistón como de émbolo, debe instalarse una válvula de seguridad y una línea de recirculación (by-pass) para evitar daños en la bomba, en el caso de un cierre inadvertido de la válvula en la descarga (Figura 5.6). Se utilizan para impulsar fluidos viscosos. Los líquidos que contienen sólidos abrasivos no pueden ser bombeados con bombas de pistón o émbolo, ya que dañan la superficie de las piezas. Tienen la desventaja de su gran tamaño y alto costo inicial.

Figura 5.6. Válvula de alivio (LOPU/USACH).

Bomba de diafragma: Éstas utilizan una membrana flexible como elemento de desplazamiento del líquido. Pueden ser móviles mecánicamente por una excéntrica o hidráulicamente por un líquido de bombeo secundario. Se usan cuando no se pueden permitir fugas del fluido o bien éste es corrosivo. Si son movidas mecánicamente, su presión de bombeo máxima es de 9-11 atm. Si la bomba es accionada hidráulicamente se pueden obtener presiones de hasta 340 atm. Los diafragmas se construyen de elastómetros, plásticos y metales (Figura 5.7).

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Figura 5.7. Bomba de diafragmas.

Parámetros de diseño de una bomba alternativa Capacidad de la bomba. Es el volumen total de fluido realmente descargado por unidad de tiempo. Incluye tanto el líquido como los gases en él disueltos en las condiciones de operación (temperatura y presión de descarga). Está dada por: Q = D (1 – S), donde: Q = capacidad (L3/θ). D = desplazamiento de la bomba (L). S = fuga de líquido, en porcentaje. Desplazamiento de la bomba (D). Es el volumen desplazado por cilindro en una carrera del pistón, émbolo o diafragma sin pérdidas por fugas o por compresibilidad del fluido. D depende del desplazamiento de cada cilindro, del número de pistones, émbolos o diafragmas y del número de ciclos de bombeo.

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Rendimiento o eficiencia global. Es el cuociente entre la potencia de salida de la bomba y la potencia de entrada total (potencia requerida para manejar la bomba: puede tratarse de potencia eléctrica o la entregada por el vapor en las bombas de accionamiento directo). Rendimiento o eficiencia volumétrica. Es el cuociente entre la capacidad y el desplazamiento de la bomba. Condiciones de succión. El sistema de bombeo debe satisfacer ciertas condiciones en la succión, requeridas por el equipo impulsor, y dadas por el parámetro NPSH (net positive suction head). Este parámetro, similar para bombas alternativas, rotatorias y centrífugas, será definido más adelante. A.2. Bombas rotatorias. La acción de bombeo se produce por el movimiento relativo entre los elementos rotantes y los estacionarios de la bomba. Existe una gran variedad de bombas rotatorias, algunas de las cuales se muestran en la Figura 5.8. Constan de las siguientes partes: Cámara de bombeo: Es el espacio interno que se llena de líquido mientras funciona la bomba. Cuerpo o carcasa: Es la parte de la bomba que rodea la cámara y cuando permanece estacionario se llama estator. Rotor: Es la parte que rota cuando la bomba funciona y recibe un nombre específico de acuerdo al tipo de bomba (engranaje, lóbulo, tornillo, etc.). Sellos: Los hay estáticos y móviles. Los primeros dan un cierre hermético de líquido entre las partes estacionarias desmontables de la bomba.

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Figura 5.8. Bombas rotatorias. a) Engranajes internos, b) Trilobular, c) Engranajes externos.

En las bombas rotatorias, la presión de descarga puede aumentar peligrosamente si se obstruye la descarga, por lo que se instalan válvulas de seguridad (alivio), que se abren a una presión determinada. Funcionamiento. En todos los tipos de bombas rotatorias se distinguen tres etapas: 1) Se abre la aspiración, aumentando el volumen de líquido a medida que rota la bomba. 2) El volumen permanece constante, se cierra la aspiración y la descarga. 3) Se abre la descarga, disminuyendo el volumen de líquido. Características de operación de las bombas rotatorias. Las bombas rotatorias son capaces de entregar una capacidad aproximadamente constante, contra cualquier presión dentro de los límites del diseño de la bomba. El flujo de descarga proveniente de una bomba rotatoria, varía directamente con la velocidad. La descarga está casi libre de pulsaciones, particularmente para las bombas de engranajes. Las características de capacidad típicas para una bomba de engranajes externos se ilustran en la Figura 5.9.

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Figura 5.9. Características de capacidad de bomba de engranajes rotatorios.

Bombas de engranajes. Las bombas de engranajes son el tipo más simple de bombas rotatorias. Como se muestra en la Figura 5.10, las hay de engranajes internos y externos. Un caso especial de bomba se muestra en la Figura 5.10.c, la que puede ser utilizada para bombear suspensiones, ya que sus engranajes son de polímeros.

Figura 5.10. a) Bomba de engranajes externos, b) Bomba de engranajes internos, c) Bomba de neopreno (engranajes flexibles).

En la bomba de engranajes externos, el centro de rotación de cada engranaje es externo al diámetro mayor del engranaje vecino y todos los

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engranajes tienen dientes externos. Al girar los engranajes, una cantidad de líquido queda atrapado entre los dientes y es devuelto al lado de aspiración. El caudal desplazado por revolución (capacidad) depende del diámetro y ancho de los engranajes. En la bomba de engranajes internos, el líquido es introducido en el cuerpo de la bomba y queda atrapado entre los dientes del rotor y la corona dentada. La forma creciente del cabezal de la bomba, divide el líquido y sirve como un sello entre las compuertas de entrada y descarga. En la Figura 5.11 se muestra el ciclo de funcionamiento de una bomba de engranajes internos. En éstos, cualquiera de las dos ruedas de engranajes puede accionarse por el motor, siendo la otra “loca”.

Figura 5.11. Ciclo de funcionamiento de una bomba de engranajes internos.

Bombas lobulares. Son similares a la bomba de engranajes, excepto en que los engranajes son reemplazados por rotores que tienen dos o más lóbulos. Ambos rotores están accionados externamente. En la Figura 5.12 se muestran alguna vistas de bombas lobulares.

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Figura 5.12. Esquemas de bombas lobulares. a) Bomba bilobular, b) Bomba trilobular.

Bomba de tornillos. Existen varios tipos de bombas de tornillos, mostrándose en la Figura 5.13 una de ellas. El rotor central va accionado mecánicamente y engrana con los rotores locos, formando cavidades llenas de fluido. El fluido penetra por cada uno de los extremos de los rotores, queda aprisionado entre éstos y la caja, y es entonces impulsado suavemente hacia la cámara central de descarga. Otras bombas pueden contar con dos o más tornillos, manteniéndose el principio de funcionamiento.

Figura 5.13. Sección de una bomba de dos tornillos.

Las bombas de tornillos son eficientes, silenciosas, el caudal es continuo con poca fluctuación. Entregan presiones en la descarga de hasta 170 at. y caudales de 450 lt/min.

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Bombas de aletas. Un disco provisto de ranuras, en las cuales se insertan unas aletas deslizantes, constituye el mecanismo esencial de este tipo de bomba. Las aletas mantienen contacto y se deslizan por la superficie interna de una caja elíptica, tal como se representa en la Figura 5.14. La fuerza centrífuga lanza las aletas hacia fuera y, por el giro del rotor, el espacio posterior a cada una de ellas, primero aumenta y aspira fluido, más luego disminuye y lo impele hacia afuera. Prácticamente, son las aletas las que soportan todo el desgaste y pueden reemplazarse fácilmente. Una variante de este tipo lo constituye la forma especial de aleta (tipo martillo) y la disposición mostrada por la Figura 5.14.b. Los “martillos”, moviéndose hacia afuera por la fuerza centrífuga, atrapan al fluido. Como estas aletas se desgastan, la variación de su tamaño está compensada automáticamente, hasta que llega un momento en que el cierre deja de ser perfecto, obligando a substituirlas por otras nuevas, lo que se efectúa sin necesidad de herramientas especiales.

Figura 5.14. Bombas de aletas deslizantes.

Bomba rotatoria de pistón. En lugar de engranajes, este tipo de bomba rotatoria consta de un rotor circular, montado excéntricamente en el centro del cuerpo de la bomba. La Figura 5.15 es un corte de una bomba rotatoria de pistón. El movimiento en el ciclo de operación origina un espacio para el fluido en la cámara de bombeo, mientras simultáneamente se descarga fluido a través de la válvula de salida. Esta bomba da excelentes resultados para bombear gases.

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Figura 5.15. Corte parcial de una bomba rotatoria de pistón.

Bomba peristáltica. Este tipo de bomba es muy utilizada en instalaciones de laboratorio, ya que permite impulsar líquidos corrosivos y/o conteniendo partículas, al no estar en contacto con la superficie de la bomba en ningún momento, debido a que lo hace por el interior de una manguera flexible. Se utiliza industrialmente para dosificar reactivos, por lo que se conoce también como bomba dosificadora.

Figura 5.16. Bomba peristáltica.

B.1. Bombas centrífugas. En su forma más simple, la bomba centrífuga consiste en un impulsor (rodete) que gira dentro de una carcasa. El fluido entra a la bomba, cerca del centro del impulsor rotatorio y es llevado hacia arriba por acción centrífuga. La energía cinética del fluido aumenta, desde el

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centro del impulsor hasta los extremos de las aletas impulsoras. Esta carga de velocidad se convierte en carga de presión cuando el fluido sale de la bomba. Las bombas centrífugas se usan ampliamente en los procesos industriales, debido a la simplicidad de su diseño, bajo costo inicial, bajo mantenimiento y flexibilidad de aplicación. Se han construido bombas centrífugas para bombear cantidades tan pequeñas como unos cuantos litros/minuto, con una pequeña altura de carga y también para bombear cantidades como 2000m3/ minuto, contra alturas de carga de 100 metros. Sin embargo, el uso frecuente se restringe a volúmenes del orden de 35 m3/minuto, con presiones de descarga moderadas (inferiores a 20 at.). Existe una gran variedad de bombas centrífugas que difieren en la forma de la carcasa, tipo de rodete, succión sencilla o doble, etc. (Figura 5.17).

Figura 5.17. Bombas centrífugas.

Dependiendo de la forma de la carcasa se tienen las bombas de voluta y las bombas con difusores, como se muestra en la Figura 5.18. Si el área disponible para el flujo aumenta gradualmente entre el borde externo del impulsor y la carcasa, la bomba se llama de voluta. Este aumento en el área de flujo origina que la velocidad del fluido disminuya gradualmente, reduciendo por tanto la formación de remolinos. La carcasa con difusores tiene guías estacionarias que ofrecen al líquido una trayectoria estrecha del impulsor a la carcasa. Los difusores sirven para el mismo propósito que la voluta y ambos tipos de bomba tienen aproximadamente la misma eficiencia.

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Figura 5.18. a) bomba de voluta, b) bomba con difusores.

Impulsores El impulsor o rodete consiste en una serie de aletas o alabes, curvados o rectos, para que el flujo sea lo más liso posible dentro de la bomba. Al aumentar el número de alabes, se controla mejor la dirección de movimiento del fluido y se disminuyen las pérdidas por turbulencia entre aletas. De acuerdo a su construcción mecánica, los impulsores se subdividen en: Abiertos: Las aletas están fijadas a un eje; su principal desventaja es la debilidad estructural. Resultan aptos para manipular líquidos con sólidos pulposos y sólidos abrasivos. Semi-cerrados: Las aletas están apoyadas en un plato y pueden tener o no aletas suplementarias, colocadas en la cara posterior del plato. Se utilizan para transportar aguas servidas (alcantarillado). Cerrados: Son casi universalmente usados para líquidos limpios o suspensiones de pequeñas partículas. En ellos, los platos cierran completamente la trayectoria del fluido, desde la aspiración a la periferia del impulsor.

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Por otro lado, de acuerdo a la dirección principal del flujo, con referencia al eje de rotación, los impulsores se clasifican en: Impulsores con flujo radial: Las superficies de las aletas son generadas por líneas rectas, perpendiculares al eje de rotación. Impulsores con flujo axial: Si la aleta forma un ángulo con el eje, el flujo es estrictamente paralelo al eje de rotación. En otras palabras, se mueve el fluido solo axialmente. Impulsores con flujo mixto: Los bordes de las aletas de un impulsor de flujo axial se curvan para dirigir el flujo perpendicular al eje; así se agrega la fuerza centrífuga a la fuerza de empuje, dada al fluido por las aletas. En la Figura 5.19 se muestran diferentes tipos de impulsores.

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Figura 5.19. Diseños de impulsores o rodetes (Adaptado de Foust y col., 1961).

Las bombas centrífugas pueden tener: Impulsores con aspiración única, donde el fluido ingresa por una sola entrada. Figura 5.20.a. Impulsores con doble aspiración, con el fluido entrando al impulsor simétricamente a cada lado. Figura 5.20.b.

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Figura 5.20. a) Bomba centrífuga con aspiración unilateral, b) Bomba centrífuga de doble aspiración.

Bombas centrífugas de auto-cebado. Una bomba centrífuga común es incapaz de auto-cebarse e iniciar su trabajo, si en su interior contiene sólo aire o vapor. En las bombas auto-cebantes se ha modificado la ubicación de la succión, como se muestra en la Figura 5.21, con las conexiones de succión y de descarga en la parte superior de una carcasa, con dos cámaras encima del rotor, lo que permite mantener en la bomba una cantidad de líquido, aún cuando la bomba no esté en funcionamiento. Cuando se reinicia el funcionamiento de la bomba, el rodete lanza al líquido hacia los lados de la caja y comienza a bombear aire, tomándolo de la tubería de aspiración. En las cercanías de los extremos de las aletas se mezclan el aire y el líquido, formando una espuma. Esta espuma sigue alrededor del rodete hasta el borde, desviándose la espuma fuera de la zona del rodete, hacia la cámara superior. Allí el aire se eleva y escapa, agotándose de esta forma el aire en la tubería de aspiración, efectuado lo cual, la acción se normaliza y sólo se aspira líquido.

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Figura 5.21. Bomba auto-cebante.

Bombas centrífugas de achique, o bombas sumergidas. La bomba centrífuga se puede construir en tamaños reducidos, con dimensiones tales que puede proyectarse una unidad de múltiple efecto en una carcasa de sólo 4 pulgadas (10 cm) de diámetro. La bomba puede trabajar sumergida en el agua, al igual que el motor eléctrico (Figura 5.22).

Figura 5.22. Bombas sumergibles.

Bombas de turbina. Antiguamente, la bomba con difusores recibía el nombre de turbina por su similitud con las turbinas generadoras de energía. Actualmente, el nombre de turbina se reserva a la bomba cuyo rotor es como el mostrado en Figura 5.23. La turbina está construida de una pieza que gira y actúa como una centrífuga de rodete semiabierto.

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En esta bomba la recirculación está muy favorecida. El fluido que abandona una aleta es arrastrado alrededor del canal por la propias aletas, vuelve a penetrar por la zona de admisión de las aletas y recibe así uno o más impulsos, antes de que recorra una vuelta completa por la periferia, desde el lugar de succión hasta el de descarga o impulsión. Aunque estas bombas poseen una holgura pequeña, no pertenecen al tipo de desplazamiento positivo. No es posible en ellas el “taponamiento” por aire y no necesitan ser cebadas.

Figura 5.23. a) Vista en corte de bomba de turbina, b) Funcionamiento de una bomba de turbina.

Bombas de múltiple efecto (multi-etapas). La carga proporcionada por un rotor simple viene limitada por las propias restricciones prácticas de su diámetro y velocidad de giro del rodete. Para conseguir elevadas presiones o cargas, se recurre a dos o más rodetes montados sobre un eje común que actúan en serie (Figura 5.24).

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Figura 5.24. Bomba múltiple etapas.

Teoría de bombas centrífugas Las ecuaciones fundamentales que relacionan la potencia, carga desarrollada y capacidad de una bomba centrífuga, se deducen para una bomba ideal a partir de los principios fundamentales de la mecánica de fluidos. Dado que el funcionamiento de una bomba real difiere considerablemente de una ideal, las bombas reales se diseñan corrigiendo la situación ideal con parámetros experimentales.

Figura 5.25. Esquemas de bombas centrífugas.

170


En la Figura 5.25, se representa esquemáticamente como fluye el líquido a través de una bomba centrífuga. El líquido ingresa axialmente por la toma de succión, punto a. En el orificio giratorio del rodete, el líquido se proyecta radialmente y penetra en los canales que existen entre los alabes, en el punto 1. Circula a través del rodete, y abandona la periferia del mismo en el punto 2, es recogido en la voluta y finalmente sale por el conducto de descarga de la bomba, en el punto b.

El funcionamiento de la bomba, se analiza considerando separadamente las tres partes del recorrido total: primero, el flujo desde el punto a al 1; segundo, el flujo a través del rodete desde el punto 1 al punto 2; y tercero, el flujo a través de la voluta desde el punto 2 al b. La parte esencial de una bomba es el rodete, y por esta razón se realizará en primer lugar el análisis teórico de esta etapa. En la Figura 5.26 se representa uno de los alabes de un rodete. Los vectores representan las distintas velocidades en los puntos 1 y 2, a la entrada y a la salida del alabe, respectivamente. Consideremos en primer lugar los vectores en el punto 2. Como consecuencia del diseño de la bomba, la tangente al rodete en este punto, forma un ángulo β2 con la tangente a la circunferencia descrita por el extremo del rodete.

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Figura 5.26. a) Velocidades a la entrada y en la descarga de un alabe de una bomba centrífuga, b) Diagrama vectorial en un extremo de un alabe.

El vector v2* es la velocidad del fluido, que vería un observador situado sobre el extremo del alabe, punto 2, y moviéndose con él, siendo por lo tanto una velocidad relativa. Supongamos ahora: primero, que todo el líquido situado sobre la circunferencia descrita por el rodete, se mueve con la misma velocidad, es decir, que el valor numérico (aunque no la dirección del vector) es v2* en todos los puntos; segundo, que el ángulo formado por el vector v2* con la tangente, es el ángulo real del alabe β2. Esta suposición, es equivalente a su vez a admitir que hay un número infinito de alabes, sin espesor y separados por una distancia infinitesimal. Este estado ideal se conoce como orientación perfecta. El punto 2 está en movimiento de rotación alrededor del eje de la bomba y se mueve con una velocidad periférica u2 con respecto al eje. El vector V2 es la velocidad resultante de la corriente de fluido, que abandona el rodete, tal como la vería un observador en reposo y recibe el nombre de velocidad absoluta del fluido. Esta velocidad, por la ley del paralelogramo, es igual al vector suma de la velocidad relativa v2* y la velocidad periférica u2. El ángulo formado por los vectores V2 y u2 se representa por α2. A la entrada de los alabes, en el punto 1, se tiene un conjunto semejante de vectores, tal como se representa en la Figura 5.26.a. En

172


los diseños corrientes, α1 es aproximadamente igual a 90º y el vector V1 es prácticamente radial. La Figura 5.26.b, que es el diagrama vectorial para el punto 2, indica la relaciones más útiles que existen entre los diversos vectores. Indica igualmente como se descompone el vector velocidad absoluta V2 en dos componentes: una radial que se representa por Vr2 y otra periférica Vu2. La potencia que se suministra al rodete, y por consiguiente, la potencia que necesita la bomba, se obtiene utilizando principios de la mecánica de cuerpos en rotación: Uno de ellos establece que la potencia necesaria para mantener un cuerpo en movimiento circular es igual al producto de la velocidad angular por el par, es decir: P = ω (ΔT)

(5.1)

T = par ω = velocidad angular (=) rad/tiempo

El otro principio establece que, en el movimiento de rotación de una partícula alrededor de un eje, el par es igual a la velocidad de aumento del momento de la cantidad de movimiento, estando el momento de la cantidad de movimiento definido como el producto de la cantidad de movimiento por la distancia normal, medida desde el eje a la línea de acción del vector cantidad de movimiento. Con el fin de establecer este concepto, consideremos una pequeña masa m, moviéndose en la dirección del vector V2 según muestra la Figura 5.26.b. La cantidad de movimiento en la dirección V2, es igual a m ⋅ V2. La descomposición del vector cantidad de movimiento en dos componentes proporciona el componente radial m ⋅ Vr2 y el componente tangencial m ⋅ Vu2. La línea de acción del componente radial pasa por el centro de rotación y el momento de este componente de la cantidad de movimiento,

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es igual a cero. La distancia desde el componente tangencial Vu2 es igual al radio r2, y el momento de la cantidad de movimiento de este componente con respecto al eje es igual a m ⋅ r2 ⋅ Vu2. Luego:

(5.2)

Al aplicar esta ecuación al flujo estacionario, a través de un volumen de control, se obtiene el balance de momento de la cantidad de movimiento, similar a un balance de cantidad de movimiento. Considerando como volumen de control el volumen total, limitado por los alabes del rodete, el par es igual a la diferencia que existe entre la velocidad de flujo de cantidad de movimiento que abandona el rodete en el punto 2, y la que entra al rodete por el punto 1. Si la velocidad de flujo de masa del líquido a través del rodete • es igual a m , entonces: •

•

Δ T = m (r2 Vu2 – r1 Vu1) = m (r2 V2 cos α2 – r1 V1 cos α1)

(5.3)

En flujo radial, α1 = 90º y por lo tanto Vu1 = 0, luego: •

T = m r2 Vu2

(5.4)

De las ecuaciones 5.1 y 5.4 se obtiene la expresión que permite determinar la potencia de una bomba ideal, sin fricción: •

Pideal = Pi = m ω r2 Vu2

(5.5)

Por otro lado, el trabajo realizado por unidad de masa de fluido es: ∧

•

W = Pi / m = ω r2 Vu2

174

(5.6)


Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2, suponiendo que no existe fricción, despreciando Za – Zb, y suponiendo que la orientación es perfecta, se obtiene: ω r2 Vu2 = p2/ρ – p1/ρ + V22/2 – V12/2

(5.7)

Por otra parte, la ecuación de Bernoulli aplicada entre los puntos a -1, y b -2, proporcionan: pa/ρ + Va2/2 = p1/ρ + V12/2

(5.8)

p2/ρ + V22/2 = pb/ρ + Vb2/2

(5.9)

Sumando ecuaciones (5.7), (5.8) y (5.9) se obtiene:

pa/ρ + Va2/2 = pb/ρ + Vb2/2 – ω r2 Vu2

(5.10)

Por otro lado, definiremos altura H (dimensiones de longitud) a la expresión que incluye los términos de presión, energía potencial y cinética, divididos por la aceleración de gravedad. (5.11)

Luego, la ecuación 5.10 puede ser reescrita usando esta definición:

g Ha = g Hb – ω r2 Vu2

(5.12) ∧

g (Hb – Ha) = ω r2 Vu2 = g ΔH = W i

∧

(5.13)

Donde W i es el trabajo ideal, sin fricción, realizado por la bomba.

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Relación entre la carga y la velocidad de flujo de una bomba ideal. El componente radial Vr2, es la velocidad absoluta del líquido que abandona el rodete, medida perpendicularmente a la periferia del mismo. El producto de Vr2 y el área total de las secciones transversales de los canales que determinan los alabes en la periferia del rodete, Ap, da la velocidad volumétrica del flujo a través de la bomba, en metro cúbicos por segundo. Q = Vr2 ⋅ Ap

(5.14)

De la Figura 5.26 b: (5.15)

Y utilizando la definición de velocidad angular: ω =

u2 r2

Sustituyendo los valores de ω y Vr2, se obtiene:

(5.16)

De aquí se observa que la carga virtual (ideal) o variación de altura es una función lineal de la velocidad volumétrica de flujo. La pendiente de esta recta depende del signo tg β2. Si β2 es menor de 90º, la pendiente es negativa, si es igual a 90º la recta es horizontal y si es mayor de 90º, la pendiente es positiva. El primer caso corresponde a que los alabes del rodete son convexos en el sentido de giro, el segundo a alabes rectos, y el tercero a alabes cóncavos. El primer tipo de diseño es el que se elige casi siempre, ya que si la curva de carga frente a velocidad volumétrica de flujo es horizontal o de pendiente positiva, puede dar lugar a inestabilidad en el sistema de flujo.

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Funcionamiento real de una bomba centrífuga. La carga desarrollada por una bomba real, es considerablemente menor que la calculada por la ecuación 5.16 para una bomba ideal. Por consiguiente, el rendimiento es menor que la unidad y la potencia utilizada por el fluido será menor que la potencia al freno. Curvas características I) Curvas ΔH vs Q: La curva real ΔH vs Q, difiere de la curva teórica, por las siguientes pérdidas: a) Flujo circulatorio: Una suposición en la teoría de la bomba ideal ha sido la de orientación perfecta, de forma que el ángulo real formado por los vectores V2 y u2, es igual al ángulo del alabe β2. En realidad, la orientación no es perfecta en una bomba real y la corriente de fluido sale con un ángulo considerablemente menor que β2. Esto produce un flujo circulatorio de líquido dentro del rodete que se superpone al flujo neto. b) Fricción del fluido: De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, la fricción del fluido disminuye la carga. El flujo a través de los pasos y canales de la bomba, va acompañado de una fricción, que es aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad volumétrica de flujo. La pérdida de carga por fricción es por lo tanto mayor para flujos elevados, tal como se indica en la Figura 5.27. c) Pérdida de choque: En una bomba de voluta, el líquido que sale del rodete en la dirección del vector V2 se introduce repentinamente en la corriente de líquido que se mueve alrededor de la carcasa. El cambio brusco de dirección provoca turbulencia y conduce a pérdidas, tanto de carga como de potencia. Las pérdidas de este tipo se denominan pérdidas

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de choque. Estas pérdidas son menores en una bomba con difusores, ya que éstos varían gradualmente el cambio de dirección.

Figura 5.27. Curvas de ∆H vs Q.

II) Curva de potencia vs Q. Existen varias causas que producen pérdidas de potencia. a) Fugas de líquido: La barrera al flujo de retroceso que opone el anillo de cierre no es perfecta, originándose una inevitable fuga interior, desde la descarga del rodete hacia el orificio de succión. El efecto de una fuga es el de reducir el volumen de descarga de la bomba, por unidad de potencia que se consume. b) Fricción de disco: Es la fricción que tiene lugar entre la superficie exterior del rodete y el líquido situado entre el rodete y el interior de la carcasa. Corresponde a la mayor fricción que se origina por la acción de bombeo del líquido, que tiene lugar en este mismo espacio. El líquido que está en contacto con el rodete giratorio es recogido y lanzado hacia la voluta. El líquido fluye hacia atrás a lo largo de la pared interior de

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la carcasa, es tomado de nuevo por el rodete y vuelto a bombear. Esta acción secundaria inútil consume potencia. c) Pérdidas en los cojinetes: Corresponden a la potencia que se requiere para vencer la fricción mecánica que tiene lugar en los cojinetes y en las cajas prensa estopas de la bomba. d) Pérdidas por choque y fricción del fluido, ya fueron descritas para el caso de la curva ΔH vs Q. En la Figura 5.28 se representa cómo disminuye la potencia al freno consumida por una bomba, debido a las diferentes pérdidas de potencia, para quedar finalmente la potencia comunicada al fluido. El punto b corresponde a las condiciones de diseño de la bomba.

Figura 5.28. Curvas de potencia vs Q.

III) Curva de rendimiento vs Q. El rendimiento es la relación que existe entre la potencia, absorbida por el fluido (potencia hidráulica), y la potencia entregada por el motor a la bomba (potencia al freno). El rendimiento es máximo para las condiciones de diseño, y disminuye cuando las velocidades de flujo son diferentes de aquella para la que ha

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sido proyectada, que recibe el nombre de velocidad de flujo característica. A medida que la velocidad de flujo se aparta de las condiciones de diseño, aumentan las pérdidas por choque, disminuyendo la eficiencia de la bomba. IV) Curva de NPSH vs Q. Para asegurar el buen funcionamiento de la bomba, se deben verificar ciertas condiciones mínimas en la succión de la bomba. El parámetro NPSH es una característica de la bomba y depende de una serie de factores intrínsecos a su diseño y fabricación. El valor de NPSHr aumenta con el acrecentamiento del caudal. Cavitación. La potencia hidráulica depende de la diferencia de presiones existente entre la descarga y la succión, por lo tanto, es independiente de la presión absoluta y por consideraciones estrictamente energéticas, las presiones de succión y descarga podrían estar por debajo o sobre la atmosférica. Sin embargo, en la práctica, el límite inferior de la presión de succión está fijado por la presión de vapor del fluido a la temperatura de la succión, ya que si la presión sobre el líquido alcanza su presión de vapor, parte de él sufre una vaporización súbita, proceso que recibe el nombre de cavitación. La cavitación no tendrá lugar, si la suma de las cargas de velocidad y presión en la succión de la bomba, son sensiblemente mayores que la presión de vapor de líquido. Esta diferencia recibe el nombre de carga neta de succión positiva (NPSH), que es igual a: En la práctica, para evitar la cavitación se debe verificar que: NPSH > NPSHr

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(5.17)


Si no se cumple esta desigualdad, se produce la gasificación total o parcial de líquido en el interior de la bomba, siendo arrastradas las burbujas de gas por el líquido y al llegar a puntos de mayor presión, la fase de vapor condensa nuevamente de forma brusca, implosionando y produciéndose una repentina e importante disminución de volumen, que se traduce en una disminución de caudal, acompañada de ruidos, vibraciones y una gran erosión en las zonas de implosión, principalmente en los bordes de los alabes; todo esto bajo el punto de vista mecánico. Hidráulicamente se observa una importante disminución del rendimiento, al perder capacidad y presión.

Figura 5.29. Fenómeno de cavitación. a) Burbujas implosionando, b) Daño en rodete.

Consideraciones para tener una correcta aspiración Para lograr que en un determinado sistema NPSH sea mayor que NPSHr, debe analizarse la posibilidad de modificar algunos de los siguientes factores: Desnivel de aspiración: Si éste es positivo, al aumentarlo elevamos la carga de aspiración y si es negativo, al disminuirlo reducimos la elevación de aspiración. Diámetro de la tubería de aspiración: Con diámetros mayores se reducen las pérdidas por fricción.

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Longitud de la tubería de aspiración: Al reducirla, se disminuyen las pérdidas por fricción, aumentando el NPSH disponible. Estado superficial de la tubería de aspiración: Las tuberías nuevas o de materiales poco rugosos disminuyen las pérdidas por fricción. Accesorios en la aspiración: La mayor simplicidad en el recorrido disminuye las pérdidas por fricción. Viscosidad cinemática del líquido: Su variación modifica la pérdida de presión por fricción, de tal suerte que al aumentar aquél la disminuye el NPSH disponible. Temperatura del líquido: La presión de vapor aumenta al elevar la temperatura, disminuyendo el NPSH disponible. Flujo: Influye principalmente en la pérdida de carga por fricción, en proporción al cuadrado de las variaciones del mismo. De acuerdo con lo recién descrito, son varios los parámetros que afectan el valor del NPSH disponible, aunque no todos son susceptibles de modificar en una instalación dada. De los factores dependientes del sistema sólo será posible modificarlos en caso de nuevas instalaciones; de los que afectan al tipo de fluido sólo es factible modificar su temperatura, instalando enfriadores previos al bombeo, aunque esto aumenta la pérdida de carga en la instalación y por otro lado, modifica su viscosidad, por lo que deberá meditarse su viabilidad técnica y económica. El flujo se puede reducir recurriendo a la instalación de varias bombas que trabajen en paralelo. También será muy importante tener en cuenta al realizar la instalación que ésta impida la entrada de aire en el sistema, para lo cual se procurará que

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todos los accesorios y tramos de tubería ajusten perfectamente a fin de que en la tubería no se formen bolsas de aire. La Figura 5.30, muestra algunos detalles de la correcta instalación de una bomba centrífuga.

Figura 5.30. Instalación de bomba centrífuga.

En Figuras 5.31, 5.32 y 5.33 se muestran las curvas características para tres modelos de bombas centrífugas. Dependiendo del catálogo de bombas que se use, puede variar ligeramente la forma de entregar dicha información.

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Figura 5.31. Curvas características para una “familia” de bombas centrífugas (AURORA).

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Figura 5.32. Curvas características para una “familia” de bombas centrífugas (Wernert Pumpen).

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Figura 5.33. Curvas características para una “familia” de bombas centrífugas (Wernert Pumpen).

Determinación del caudal de operación Para determinar el caudal que entregará la bomba para un determinado sistema de flujo (caudal de operación), debe graficarse la curva de trabajo ∧ requerido del sistema (ΔHr = W /g) vs Q. La intersección de esta curva con la curva ΔH vs Q de la bomba, entregará el caudal de operación como se muestra en Figura 5.34.

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Figura 5.34. Determinación del caudal de operación (Q1).

Modificación del punto de trabajo El punto de trabajo de la instalación es fijo para unas condiciones dadas y si éste no corresponde al requerido por el proceso debería ser modificado, existiendo tres opciones: 1. Modificar la curva de la bomba Esto se puede conseguir con la misma bomba, variando el diámetro de su impulsor o su velocidad de giro, dentro de ciertos límites. También se puede cambiar la bomba o instalar dos o más bombas en serie o en paralelo. Debe tenerse presente que si se colocan dos bombas en paralelo, el nuevo flujo total descargado no corresponde al doble del entregado por una bomba. En este caso, el caudal de operación será el que corresponda al punto de trabajo con la nueva curva equivalente de las dos bombas. Para obtener la curva equivalente a 2 bombas en paralelo (ambas idénticas), a iguales alturas le corresponde la suma de caudales de las bombas. Así, en el ejemplo que ilustra la Figura 5.35.a, con dos bombas en paralelo (idénticas) el caudal de operación es Q2 y no el doble de Q1 que correspondería a Q3. Es fundamental 187


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tener presente que para instalar bombas a trabajar en paralelo, sus curvas características han de ser idénticas, pues de lo contrario se produciría un desequilibrio de carga para cada una de ellas. Si el problema es de alturas y no de caudales, se puede recurrir al acoplamiento de bombas en serie, en las cuales la descarga de la primera bomba alimenta la aspiración de la segunda y así sucesivamente. Por tanto, el caudal será el mismo, pero las alturas se suman sucesivamente. En la Figura 5.35.b podemos ver un sistema resuelto por este procedimiento.

Figura 5.35.a. Dos bombas idénticas en paralelo.

Figura 5.35.b. Bombas en serie.

2. Modificar la curva del sistema Consiste en modificar las pérdidas por fricción entre la succión y descarga, lo cual se puede realizar por varios procedimientos: - Instalando accesorios de pérdida de carga variable, como válvulas de regulación. - Cambiando el diámetro de una parte del recorrido (líneas en serie). - Cambiando el diámetro en todo el recorrido. - Colocando una tubería en paralelo a la original, parcialmente o en todo el recorrido.

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Figura 5.36. Modificación de la curva del sistema al aumentar el diámetro desde φ1 hasta φ2.

En la Figura 5.36 se muestra el efecto de un cambio de diámetro en la tubería. En estos casos hay que pensar en la economía, pues aumentar el diámetro de la tubería conservando la misma bomba puede ser claramente antieconómico, lo mismo que cambiar la bomba conservando la tubería existente. Hay que hacer un balance de costos para analizar que es lo más conveniente. Existe un diámetro económico en cada caso, el que pone en equilibrio el costo de la instalación y el de la energía. La curva de un sistema en paralelo se obtiene aplicando el procedimiento descrito en Capítulo 4, disminuyendo las pérdidas por fricción, al aumentar el área de flujo utilizando tuberías en paralelo, mientras que para un sistema en serie, que consiste en un tendido único, pero formado por varios diámetros de tubería, en éstos se cumplirá que para un determinado caudal la pérdida de carga será la suma de las correspondientes a cada uno de los ramales.

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3. Modificación en bomba y sistema El procedimiento más radical es la unión de los dos ítems anteriores. En efecto, cuando se modifica el punto de trabajo en una bomba hay que tener presente que la potencia absorbida es variable, aumentando con el caudal. En algún caso puede que el motor instalado sea de suficiente potencia para la que se requiere en el punto de funcionamiento, pero que al variar éste puede ser insuficiente. Por este motivo, será necesario verificar cada vez si el nuevo requerimiento de potencia es entregado por el motor disponible, especialmente cuando el nuevo punto está hacia la derecha de la curva, como se indica en la Figura 5.37. Esto mismo ocurre si se cambia el diámetro del impulsor o si por cambio de servicio se ha de bombear líquido de mayor densidad.

Figura 5.37. Curvas carga y potencia vs caudal.

Modificación de las curvas características de la bomba Cuando la bomba es capaz de ser operada a velocidades variables, se obtienen curvas características como las mostradas en la Figura 5.38.a. Por otro lado, lo usual es que las curvas características estén referidas al agua. Las curvas se modifican cuando se bombean fluidos con una viscosidad dis-

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tinta, aumentando el consumo de potencia y reduciéndose la altura, flujo bombeado y eficiencia (Figura 5.38.b).

Figura 5.38. Curvas características a) Efecto de la velocidad de giro del rodete, b) Efecto del aumento de la viscosidad del fluido.

Para bombas con dimensiones similares pero diferentes diámetro de impulsor, se presentará un cambio en el área de descarga, lo que origina directamente un cambio en la capacidad. El cambio del diámetro también tiene influencia directamente sobre la presión total de descarga, la que aumenta en relación al cuadrado de los diámetros de los impulsores y en la potencia, que aumenta directamente proporcional al cubo de los diámetros. El efecto del diámetro del impulsor o rodete en las características de una bomba centrífuga, se ilustra en la Figura 5.39.

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Figura 5.39. Efecto del diámetro del rodete en las curvas características.

Leyes de semejanza de bombas centrífugas Si llamamos n1 y n2 a las revoluciones por minuto que giran los rodetes de 2 bombas centrífugas iguales, se tienen las siguientes relaciones:

Dichas relaciones pueden ser utilizadas para cambios moderados en la velocidad. Velocidad específica (Ns) Velocidad específica es un concepto que une los tres parámetros más importantes de una bomba centrífuga: capacidad (Q), carga (H) y velocidad de giro del rodete (n), en un solo término. Ns está dado por: 192


H (=) pie Si bien es cierto que Ns podría evaluarse para cualquier condición de operación, la definición de Ns asume que la carga (H) y capacidad (Q), usadas en la ecuación deben corresponder a las condiciones de máxima eficiencia de la bomba. Esto es porque Ns se utiliza para comparar diferentes tipos de bombas centrífugas, especialmente disímiles en los rodetes. Usando leyes de semejanza se puede demostrar que bombas geométricas y dinámicamente semejantes tienen el mismo rendimiento. En la Figura 5.40 se muestran los rangos de velocidades específicas para cada tipo de rodete.

Figura 5.40. Ns para diferentes rodetes (Adaptado de Foust y col., 1961).

En la tabla siguiente se entrega la zona de eficiencia máxima para diferentes tipos de bombas centrífugas.

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Tabla 5.1. Zonas de máxima eficiencia para cada tipo de bomba. Tipo Flujo radial “ “ “ “ “ Flujo mixto “ “ “ Flujo axial “ “

Velocidad específica 500 750 1000 2000 3500 4500 4000 5000 7000 10000 9000 12000 15000

Zona de eficiencia máx. en % 45 – 70 55 – 75 65 – 85 70 – 90 82 – 92 85 – 90 85 – 92 80 – 90 80 – 88 80 – 85 82 – 88 80 – 85 78 – 82

Selección de bombas centrífugas Para elegir una bomba para una determinada aplicación, se deben considerar los siguientes aspectos (normalmente solicitados por los proveedores de bombas): 1. Capacidad requerida (Q). 2. Carga que requiere el fluido, normalmente expresada como “altura” de fluido (ΔH). 3. Potencia requerida por el fluido. 4. Eficiencia del grupo moto-bomba (se debe elegir un grupo moto-bomba que funcione en la zona de mayor eficiencia). 5. NPSH del sistema. Debe ser mayor que el requerido por la bomba.

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6. Naturaleza del fluido (corrosivo, temperatura, presión de vapor, viscosidad, suspensión, abrasivo). 7. Presión de descarga requerida. 8. Localización de la bomba (espacio disponible, aire libre o no, etc.). 9. Naturaleza de la energía disponible para accionar la bomba.

En la Figura 5.41 se muestra la altura que alcanza una columna de tres líquidos de diferente densidad, siendo la presión de descarga de la bomba de 1 bar, en los tres casos.

Figura 5.41. Efecto de la densidad del líquido, para una misma presión de descarga de la bomba.

B.2. Bombas con efectos especiales Electromagnéticas. Una bomba electromagnética no tiene partes móviles, por lo que no se requiere usar sellos de ningún tipo. Dado que la bomba electromagnética trabaja según el mismo principio que el motor de inducción, sólo metales líquidos, con una conductividad eléctrica alta, pueden ser bombeados con este dispositivo. El metal líquido fluye a través del campo de un electroimán. Una corriente externa pasa a través del metal, en una dirección perpendicular al campo magnético. La fuerza ejercida como resultado de estos campos origina el flujo.

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Empuje a gas. Una forma sencilla y económica para transportes líquidos y que no incluye partes móviles, se realiza mediante el uso de un gas a presión, tal como se muestra en la Figura 5.42. En la ilustración, el líquido se alimenta dentro de un estanque, por gravedad y es fugado hacia afuera por medio de aire comprimido. Este sistema es muy útil para transportar fluidos corrosivos. Figura 5.42. Empuje a gas.

Eyectores. Un eyector es un dispositivo, que usando un fluido impulsor provoca un vacío que se puede utilizar para transportar otro fluido. En Figura 5.43 se muestra un esquema de un eyector.

Figura 5.43. Eyector.

En la literatura existe poca uniformidad con respecto al empleo del término eyector e inyector. Usaremos el término eyector cuando se trate de un dispositivo que utiliza tanto un gas como un líquido como agente motor (fluido impulsor), y que descarga a una presión intermedia entre la presión 196


motriz y la presión de succión. En cambio un inyector es un aparato que utiliza un gas condensable (vapor) para arrastrar a un líquido, al que descarga a una presión mayo que la inicial. Un eductor es un eyector que utiliza un líquido como fluido motor para arrastrar a otro líquido. Las partes esenciales de un eyector son la boquilla (tobera) y el difusor. La boquilla es un dispositivo que transforma la presión elevada del fluido motor en una gran velocidad. El difusor es una cámara de mezcla, y es la zona donde se convierte de nuevo la velocidad final de la mezcla en presión.

Usando la nomenclatura de la Figura 5.43, consideremos que por el tubo de diámetro D circula un fluido, por ejemplo, aire comprimido. Su presión se controla por una válvula de estrangulamiento, no indicada en la figura. Gracias a la depresión que se crea en d el agua sube por la tubería de diámetro D’. Este inyector es, pues, una bomba cuya gran ventaja consiste en carecer de partes móviles.

Despreciando las pérdidas escribamos la ecuación de Bernoulli entre

las secciones 1 y 2: si los puntos 1 y 2 están en el mismo plano horizontal Z1 = Z2, y por lo tanto p1/ρ + V12/2 = p2/ρ + V22/2 ; luego p2/ρ = P1/ρ + V12/2 – V22/2

Usando continuidad (balance de masa):

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Donde Q – caudal de aire que pasa por la tubería D y, por tanto

Introduciendo estos valores en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:

Con una válvula (no indicada en la figura) se puede regular P2. Así por ejemplo, al abrir la válvula aumenta Q, con lo que disminuye P2. Aplicaciones de los eyectores. Los eyectores son frecuentemente utilizados para provocar vacío, aunque también son usados como compresores. Dependiendo del vacío requerido pueden ser instalados en serie o en paralelo (si los flujos son muy altos). La Tabla 5.2 muestra los límites de aplicación, de acuerdo con el número de eyectores. Tabla 5.2. Presión absoluta en función del número de eyectores. Presión absoluta (mm Hg)

Número de eyectores en serie

760 – 76

uno

130 – 13

dos

50 – 1

tres

5 – 0.05

Cuatro o cinco

198


Ejemplo 5.1 Una bomba se instala en un sistema para bombear 240 m3/h de agua a 20 ºC, con p1 = 0.5 bar y p2 = 1.1 bar. El diámetro de succión es 150 mm y el de descarga es de 125 mm. La diferencia de nivel entre los puntos 1 y 2 es de 355 mm. Determine la altura de descarga de la bomba. Solución:

La altura es dada por:

Ejemplo 5.2 Una industria química obtiene agua desde un río cercano, debiendo ser tratada y purificada es estanques abiertos, para su posterior distribución a los servicios de la planta. La conducción está construida en cañería de acero comercial de 6(in) de diámetro nominal, cédula 40. El tramo de succión tiene una longitud equivalente de 10(m); la descarga tiene 310(m) de cañería y los accesorios incluidos en este tramo equivalen a 30(m) de cañería de igual diámetro. Si la bomba instalada tiene una curva característica representada por:

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ΔH = 200 – 1585 · Q2

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Con: H[=](m) y Q[=](m3/s)

a) ¿Cuál es el caudal que circula por el sistema? b) ¿Cuál es la presión de descarga de la bomba? c) Si el NPSH requerido por la bomba es de 2(m), ¿Cavitará?

Solución: Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2) se tiene:

200

(a)


Para determinar el caudal de operación de la bomba, debe igualarse ΔHsistema = ΔHbomba. 30 + 4f · 3,34 · 105 · Q2 = 200 – 1585 · Q2

(b)

ε/D = 0,0003 y considerando régimen altamente turbulento a 4f = 0,015 tenemos: 6595 · Q2 = 170 Q = 0,161(m3/s)

4f = 0,0155 Usando la ecuación (b) ⇒ Q = 00,159(m ,159(m 33/s) s) Re = 1,31 · 106 ⇒ 4f Q = 00,0155 ,159(m 3 s ) ∴Q Q == 0,159(m 0,159(m33/s)s ) Por otro lado Pd = Ps + 1000(kg/m3) · 9,8(m/s2) · (200 – 1585 · 0,1592)(m) Pd = Ps + 1,57 · 106(kg/m·s2)

201

(c)


USACH

Pero, de un balance entre el punto (1) y la succión de la bomba:

Reemplazando este valor en la ecuación(c) se obtiene: Pd = 1576030(kg/m · s2) = 15,55(atm) Para determinar si la bomba cavita o no, debe calcularse el NPSH del sistema:

Dado que NPSHsistema > NPSHrequerido, la bomba no cavitará.

Ejemplo 5.3 Se necesita especificar una bomba para impulsar agua de mar a 20 ºC, la que se empleará como refrigerante en un intercambiador de calor. El flujo de agua necesario es de 300(gpm), con una presión de 30(psia) a la entrada del

202


intercambiador de calor. La cañería es de 4" de acero comercial, tipo 40, con una longitud de 200(m) entre la bomba y el intercambiador. Debe incluirse en ese trayecto 8 codos de 90º y una válvula de compuerta. En el tramo de succión de 12(m), se debe considerar un codo de radio largo de 90º.

Aplicando un balance de energía mecánica (Bernoulli) entre (1) y (2):

(a)

(b)

f ==00,0185 ,00425 ε/D = 0,00045 ⇒ 4f

203


USACH

Reemplazando los valores en (b), se obtiene:

Introduciendo estos valores en la ecuación (a): ∧

337,6(m/s) ·⋅ gg ⇒ ΔH f H=sistema 0,00425 ==34,5(m) W == −–337 ,6(m s ) 2 = ΔH ∆Hsistema ∆ 34 ,5(m ) üüü üüü 2

Esta carga o energía, requerida por el sistema. ∧ Potencia Potencia= W ⋅·QQ⋅ ρ · ρ==−–8,8,6(hp) 6(hp ) (Potencia requerida por el fluido)

(c)

La presión de succión se obtiene de un balance entre el punto (1) y la succión de la bomba:

(d)

Introduciendo estos valores en la ecuación (c):

De acuerdo con la información para bombas centrífugas (curvas características), se debe seleccionar la bomba centrífuga más adecuada.

204


EJERCICIOS 5.1. Se necesita especificar una bomba para impulsar agua de mar a 20 ºC, la que se empleará como refrigerante, en un intercambiador de calor. El flujo de agua necesario es de 500 gpm, con una presión de 50 psia a la entrada del intercambiador de calor. La cañería es de 4" de acero comercial, tipo 40, con una longitud de 150 m entre la bomba y el intercambiador. Deben incluirse en ese trayecto 6 codos de 90º, una válvula de compuerta 50% abierta y una placa orificio con β = 0.5. En el tramo de succión de 12(m), se debe considerar un codo de radio largo de 90º.

5.2. Hasta el circuito de refrigeración de una serie de compresores, que se emplea para obtener nitrógeno líquido a partir de aire, se bombeará agua desde un pozo. Por consideraciones técnicas, especificadas por los representantes del equipo de compresión, la presión a la entrada del circuito de refrigeración debe ser de 2(kgf/cm2), con un caudal mínimo de agua de 0,002(m3/s). Para bombear el agua se dispone de varias bombas, todas ellas iguales y con las mismas curvas características. Estas son:

205


USACH

Q(m3/s)

H(m)

NHPSrequerido(m)

ηGMB%

0

45

-

50

0,0002

44

1,2

55

0,0004

43

1,3

60

0,0006

42

1,4

60

0,0008

40

1,6

65

0,001

38,5

1,8

70

0,0012

35

2,1

75

0,0014

31

2,4

75

0,0016

25

2,8

67

0,0018

19

3,3

60

0,002

12

3,8

55

El diámetro de la tubería en el sistema es de acero comercial tipo 40 de 1" y el plato orificio representado en la figura, tiene un diámetro de 1.5 cm. Considerando que la temperatura del agua es de 15 ºC, responda: a) ¿Cuántas bombas serán necesarias? ¿En serie o en paralelo? (R: 2 en serie). b) ¿Cuál será el caudal de operación? (R: Qoperación = 0,0014(m3/s); ΔHoperación = 58(m)). c) ¿Cuál será la potencia hidráulica en HP, en las condiciones de operación? d) ¿Cuál será la potencia eléctrica en (KW) en las condiciones de operación? e) ¿Cuál es la desventaja de utilizar varias bombas en vez de una sola? f) ¿Se producirá cavitación? g) ¿Qué lectura en (cmHg) se leerá en el manómetro, en las condiciones de operación?

206


h) Explique cómo determinaría la fracción a cerrar en la válvula de globo, si se desea trabajar con el mínimo de agua requerida.

5.3. La curva característica de una bomba centrífuga está dada por: H= 35 – 0.1 · Q2 , con: H[≡](m) y Q[≡](l/s) La bomba está instalada en una red de cañerías de 2" y 30(m) de longitud. Los accesorios de la red significan además una longitud equivalente de 30(m). La bomba impulsa agua a 20 ºC desde un estanque a otro, ambos abiertos a la atmósfera, estando el estanque receptor a tres metro sobre el primero. a) Graficar las curvas características de la bomba y del sistema. b) ¿Qué caudal circula por el sistema? (R: 9.6 l/s). c) Si se instalara una placa orificio que produce una pérdida de carga adicional equivalente a 10(m). ¿Cuál será el nuevo caudal? p1 = p2 dN = 2(in) ⇒ dfi ==0,0525(m) 0,00425 z2 – z1= 3(m) Lequibalente(accesorios) = 30(m) Lcañería = 30(m) Lequibalente(placa orificio) = 10(m) ρH2O = 999(kg/m3) µH2O = 1 · 10–3(kg/m · s)

207

Capítulo 6: Flujo de gases

CAPÍTULO 6 FLUJO DE GASES

En el flujo de gases por tuberías, si la variación de presión es significativa, se produce una variación de la densidad del gas, que inhabilita el uso de la ecuación de Bernoulli. Una situación especial son los ductos de acondicionamiento de aire, donde los bajos flujos y caídas de presión permiten seguir considerando al aire como fluido incompresible, y por lo tanto emplear la ecuación de Bernoulli. En el flujo de fluidos compresibles debe considerarse que a lo largo de la tubería la densidad del gas disminuye (proporcional a su presión), con lo cual su velocidad aumenta a expensas de su energía interna (o sea baja su temperatura), todo lo cual dificulta la integración del Balance de Energía Mecánica. Para el estudio del escurrimiento de fluidos compresibles suelen plantearse las siguientes consideraciones: 1) Estado estacionario. 2) Flujo unidimensional. 3) Sin perfiles radiales de presión ni velocidad. 4) Fricción solo en las paredes del ducto. 5) Trabajo mecánico nulo (Para su evaluación debe usarse la ecuación correspondiente aplicada a la entrada y salida del equipo impulsor). 6) Energía potencial despreciable. En el estudio del flujo de gases, además del Balance de Energía Mecánica, se utiliza el Balance de Energía Total (si el flujo es adiabático), la ecuación de continuidad y una ecuación de estado. No obstante lo anterior,

209


USACH

es posible aplicar el Balance de Energía Mecánica a un ducto de diámetro D constante y de longitud dL, tal como muestra la figura siguiente:

Figura 6.1. Sección de tubería de longitud dL.

(6.1)

(6.2)

Introduciendo la densidad de flujo másico, G = w/A = ρV, la cual permanece constante en la tubería, e integrando, se obtiene:

6.1.

(6.3)

Flujo isotérmico

La integración del término que incorpora la densidad del gas requiere el empleo de una ecuación de estado. Considerando gas ideal (ρ = p · M/RT), y que la temperatura permanece constante [Flujo Isotérmico], se obtiene:

210

(6.4)


Además, usando la definición de G y la ecuación de gas ideal, se tiene que V2/V1 = p1/p2, con lo cual:

(6.5)

Si Δp/p1 ≤ 0.20 es posible eliminar el término ln (p1/p2), obteniéndose la ecuación de Waymouth: (6.6) Despejando G desde la ecuación 6.5, es posible analizar qué sucede con la densidad de flujo másico, cuando se conectan dos gasómetros a diferentes presiones. En este ejercicio virtual consideremos que p1 permanece constante y que gradualmente es posible disminuir p2, desde un valor p1 hasta cero (Figura 6.2).

Figura 6.2. Representación esquemática de la conexión de dos gasómetros.

211

(6.7)


USACH

En primer lugar es posible observar que la disminución de p2 afecta tanto el numerador como el denominador de la ecuación 6.7. Por un lado, tiende a disminuir G, mientras que por otro, su tendencia es incrementarlo. Esto nos indica matemáticamente que dicha expresión presenta un valor máximo. Este máximo se obtiene derivando G con respecto a p2, manteniendo los demás parámetros constantes, obteniéndose la expresión siguiente, donde p2C, es la presión que produce el flujo máximo, Gmáx.

(6.8)

Figura 6.3. Representación esquemática de la variación del flujo másico versus la presión de descarga (p2).

La comparación de la predicción de la ecuación con valores experimentales muestra, que si bien es cierto sus predicciones son razonables para presiones entre p2C y p1, bajo p2C, el flujo no disminuye, como lo predice dicha ecuación, sino que éste permanece constante. La existencia de Gmáx puede explicarse usando conceptos de física. Consideremos una tubería conteniendo un gas y que repentinamente un

212


pistón se mueve a la izquierda, generando una subida de presión en dicho sector. Esta región de mayor presión, tal como una onda sonora, viaja a la velocidad del sonido (VS). Por delante del frente de onda, la velocidad del fluido es cero y detrás de él hay una velocidad V+dV, provocada por el incremento de presión dp. Un observador en posición estacionaria observaría que se le aproxima una onda de presión a una velocidad V y que se aleja a V+dV, siendo dV<0.

Figura 6.4. Representación del avance de una onda de presión provocada por una perturbación.

En esta situación, aplicaremos la ecuación de continuidad en estado estacionario, d(ρVA) = 0, la que se reescribirá como: V A dρ + ρ A dV + V ρ dA = 0

(6.9)

Dividiendo por AVρ y considerando que A = constante, se obtiene:

(6.10)

Por otro lado, si en el balance diferencial de Energía Mecánica se desprecian las pérdidas por fricción, se obtiene:

213

(6.11)


USACH

Combinando ecuaciones 6.10 y 6.11 y teniendo presente que el proceso es isentrópico (adiabático y reversible), se obtiene:

(6.12)

Ya que V corresponde a la velocidad del frente de onda y este se mueve a la velocidad del sonido VS. Considerando que el gas tiene un comportamiento ideal [ρ = pM/ RT] y que el proceso es isentrópico [P/ρk = constante], se obtiene:

(6.13)

Para aire (k = Cp/Cv =1.4) a 20 ºC se obtiene VS = 343.5 m/s.

De la ecuación 6.13 se desprende que VS2 es proporcional a T y por lo tanto a la energía interna del gas. Por otro lado, se sabe que la energía cinética es proporcional a V2. La razón V2/VS2 corresponde entonces al cuociente entre ambas formas de energía:

(6.14)

Luego, el número de Mach mide los valores relativos de las energías cinética e interna, ambas a la misma presión y temperatura. En la definición del flujo máximo de gas en el interior de un ducto, Gmáx = V* ∙ ρc, V* es ligeramente inferior a la velocidad del sonido en flujo isotérmico y exactamente V* = VS, cuando el flujo es adiabático. La existencia del flujo máximo, Gmáx, para una presión de descarga de p2C, nos indica que desde un punto de vista práctico, no tiene sentido dis214


minuir la presión bajo p2C, motivo por el cual resulta de interés determinar la magnitud de ambos parámetros. La ecuación 6.5 es válida hasta el punto crítico, condición en la cual se obtiene:

(6.15)

Introduciendo la ecuación 6.8 en 6.15, se obtiene:

(6.16)

Siendo N = 4f L/D

6.2.

Flujo adiabático

Cuando un gas circula por el interior de una tubería, al bajar la pre-

sión, la energía cinética aumenta a expensas de la energía interna y la temperatura del gas disminuye. Por lo tanto, el flujo de gases en la realidad no es isotérmico y en la modelación matemática, el otro extremo a la aproximación de flujo isotérmico es considerar que la tubería esta bien aislada y por lo tanto el flujo es adiabático.

Para flujo adiabático, además del balance de Energía Mecánica, utili-

zado en flujo isotérmico (Ecuación 6.2), se requiere del Balance de Energía Total en forma diferencial:

(6.17)

Aún cuando se utilice el comportamiento de gas ideal, el manejo de las ecuaciones 6.2 y 6.17 es complejo, ya que en la tubería varía tanto la presión como la temperatura. Al respecto, Levenspiel muestra ecuaciones

215


USACH

implícitas para determinar tanto p como T en función de números de Mach. Evaluaciones rápidas del flujo de gas desde un depósito de almacenamiento a través de una tubería (Figura 6.5) pueden realizarse usando las Figuras 6.6 y 6.7, propuestas por Levenspiel, en función de G*nz, siendo este parámetro la densidad de flujo máximo que se produce en la descarga de un estanque o por el paso a través de un orificio, la cual es evaluable con la expresión:

(6.18)

Figura 6.5. Flujo de gas desde un gasómetro a través de una tubería (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

216


Figura 6.6. Gráfico que representa la descarga de gas a través de una tubería, desde un gasómetro, de acuerdo con nomenclatura de Figura 6.5 (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

Figura 6.7. Gráfico alternativo para evaluar el flujo de gas a través de una tubería, de acuerdo con nomenclatura de Figura 6.5 (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

217


USACH

El flujo de gas en condiciones adiabáticas no es nunca superior al 20%, obtenido para la misma diferencia de presión al considerar el proceso isotérmico. En cañerías largas (L/D > 1000), esta diferencia no supera el 5%. Por esto, es corriente hacer estimaciones utilizando las ecuaciones para flujo isotérmico, dada su facilidad de manejo Cálculo de trabajo mecánico y potencia

Entre los equipos impulsores de gases se tienen sopladores, compre-

sores y ventiladores. El trabajo necesario se obtiene aplicando un balance de energía mecánica a la entrada y salida del equipo impulsor.

Figura 6.8. Balance de energía mecánica a equipo impulsor.

En esta situación son despreciables las variaciones de energía cinética y potencial. Por otro lado las pérdidas por fricción en el paso del gas por el equipo impulsor, serán consideradas en la eficiencia del equipo y por lo tanto no evaluadas en forma separada. De acuerdo con esto, el balance de energía mecánica se reduce a: (6.19) Suponiendo un comportamiento ideal del gas y que la compresión es reversible y adiabática, el trabajo ideal efectuado sobre el gas esta dado por: (6.20)

218


Luego, la potencia teórica requerida se calcula como: (6.21)

Donde n corresponde a moles/tiempo, k = Cp/Cv Durante la pasada del gas por el equipo impulsor, la fricción produce el calentamiento del gas, debido a lo cual la potencia real consumida es mayor que la potencia ideal, relacionándose ambas a través de la eficiencia del equipo impulsor. (6.22)

6.3.

Equipos impulsores de gases

Existe una similitud entre los equipos impulsores de líquidos descritos en el capítulo 5 y los equipos utilizados para impulsar gases. Estos son clasificados, de acuerdo con el nivel de sobrepresión que entregan, en compresores, sopladores y ventiladores. Los compresores de gases son subdivididos en compresores de desplazamiento positivo y compresores centrífugos. A su vez, entre los de desplazamiento positivo se distinguen los compresores recíprocos (con pistones) y los compresores o sopladores rotatorios. Compresores recíprocos. Estos pueden entregar el gas con sobrepresiones desde algunas psi hasta presiones mayores a 35000 psi. En estos equipos el gas que va a ser comprimido, entra y sale del cilindro, a través de válvulas diseñadas para actuar cuando la diferencia de presión entre el contenido del cilindro y las condiciones exteriores es la deseada. Si se usa un compresor con varias etapas, generalmente se debe enfriar el gas entre ellas (hasta 12 etapas). Con una etapa se consiguen presiones de descarga de 150 psi, su-

219


USACH

biendo a 750 psi con dos etapas y 3000 psi con tres etapas. Estos equipos presentan eficiencias entre 65 y 80%. Compresores o sopladores rotatorios. Al igual que los equipos impulsores de líquidos, existe una gran variedad de elementos rotantes, que entregan características específicas a cada equipo: de engranajes, de tornillo, de lóbulos, de aletas deslizantes, etc. Se caracterizan por entregar una descarga prácticamente continua.

La selección de los compresores se efectúa generalmente mediante catálogos, en los cuales se indican para diversas capacidades y presiones de descarga, los tipos más adecuados, junto con datos de tamaño y potencia de los motores. Compresores centrífugos. Consisten en uno o más rodetes montados en un mismo eje, dentro de una carcasa. En un compresor centrífugo se aumenta la presión del gas, cuando éste circula a través del impulsor o rodete, en forma análoga a lo que sucede en una bomba centrífuga (Figura 6.8). Son utilizados tanto para impulsar un gas como para ejercer vacío. Normalmente entregan sobrepresiones inferiores a 9 psi, aunque diseños especiales entregan presiones de salida hasta de 800 psi.

Figura 6.9. Compresores centrífugos.

220


Ventiladores. Los ventiladores se utilizan para transportar gases a bajas presiones, generalmente bajo 40 cm col de agua (~0.6 psi). Su principio de funcionamiento es semejante a un compresor centrífugo, aunque al operar a bajas presiones, los volúmenes de succión y descarga son similares, siendo posible despreciar el efecto de compresibilidad sobre el gas. De acuerdo con la dirección del flujo de aire, los ventiladores se clasifican en ventiladores de flujo radial y ventiladores de flujo axial. Ambos tipos se utilizan para trabajos de ventilación, suministro de aire a quemadores y calderas, suministro de aire para secado, transporte neumático de sólidos, eliminación de humos, etc. En términos generales, la eficiencia de funcionamiento de los ventiladores se encuentra entre 40 a 70%. La presión operacional es la suma de la presión estática y la carga de velocidad del aire que sale del ventilador. Normalmente se expresa en cm de columna de agua.

El volumen de gas desplazado varía directamente con la velocidad de giro del impulsor (rodete). La presión estática cambia en relación con el cuadrado de la velocidad del rodete y la potencia varía en relación al cubo de la velocidad. En la práctica, la eficiencia final de un ventilador (depende fuertemente del tipo de álabe), debe ser determinada experimentalmente. El tamaño de los ventiladores va desde pequeñas unidades, para circular aire en vehículos, hasta enormes ventiladores industriales, diseñados para mover hasta 60 m3/s a 15 cm col de agua. Los ventiladores de aleta radial son recomendados para el transporte de gases que contienen sólidos en suspensión, debido a que la acción centrífuga tiende a mantener limpias las aletas. Su eficiencia es moderada. El ventilador curvado hacia delante es apropiado para baja velocidad y grandes volúmenes. Su eficiencia es media y es adecuado para gases limpios. Los ventiladores con las aletas curvadas hacia atrás se caracterizan por una mayor eficiencia mecánica (cercana al 90%) y son adecuados parta gases limpios.

221


USACH

Los ventiladores axiales son utilizados en aplicaciones de ventilación, donde se requieren bajas presiones. Se instalan en el interior del mismo ducto o en ventanas y/o paredes. Determinación del caudal de operación. Para determinar el caudal de operación debe trazarse la curva de resistencia del sistema en función del flujo de aire. La intersección de ambas curvas define el caudal de operación, tal como se esquematiza en la Figura 6.10.

Figura 6.10. Determinación del punto de operación y efecto de la velocidad de giro en las curvas características.

Ejemplo 6.1 Se debe transportar hidrógeno (M=2 kg/kmol) desde un estanque a 20(atm) hasta otro estanque a igual presión. Para realizar la operación es necesario elevar la presión hasta 25(atm) a la salida del primer estanque, mediante una bomba. La tubería de conducción es de acero de 2" y su longitud es de 500(m). Calcular el flujo de gas y la potencia de bombeo.

222


Solución: A continuación se entregan una serie de datos: di = 52,5(mm) ε/D = 0,0009 T = 20 ºC ⇒ μf H2= =0,900425 · 10–5 (poise) Como Δp/p1 = (25 – 20)/25 = 20%

Se usará la ecuación de Weymouth donde:

(1) El método de cálculo consiste en suponer un valor de f *, con ε/D determinar el Re del gráfico f * v/s Re. Con la ecuación (1) calcular G y el Re = G · D/μ hasta obtener Re aproximadamente constante. f* 0,0250 0,0220 0,0200 0,0195

Re 3,5 ·104 9,0 ·104 3,5 ·105 6,0 ·105

G, (kg/cm2 · s) 8,975 ·10–3 9,567 ·10–3 10,030 ·10–3 10,160 ·10–3

Re 5,24 ·105 5,58 ·105 5,85 ·105 5,93 ·105

Se considerará el valor real G = 101,6 (kg/cm2 · s) w = G · A = 101,6 · 21,6 · 10–4 = 0,219(kg/s)

Para calcular la potencia real se requiere disponer de la eficiencia del equipo impulsor.

223


USACH

Ejemplo 6.2 Un gasómetro contiene metano (M =16 kg/kmol)) a 5(atm). El gas debe llevarse hasta su lugar de uso a través de una tubería recta de 250(m)de acero comercial, tipo 40 de diámetro nominal 2" (Di = 2,067(in)). Determinar la presión en el lugar de llegada, para que el flujo sea de 4/5 del máximo. Considerar temperatura constante de 20 ºC. Solución:

μ = 0,017(cp) (ε/D) = 8,71 · 10–4

Suponiendo flujo muy turbulento, f = 0,0047 De ln(p1/p2C)2 + 1 – (p1/p2C)2 + 4f · (L/D) = 0 L/D = 4761,73 ln(X2) – X2 = – 4 · 0,0047 · 4761 – 1 = – 90,52 X 10 9 9,7 9,75

ln(X2) – X2 – 97,69 – 76,60 – 89,55 – 90,51

X = 9,75 = p1/p2C p2C = 5/9,75 = 0,513(atm)

Gmax = 133,13(kg/m2 · s)

Re = G · D/μ = 6,5 · 105 (Altamente turbulento) f = 0,0047 (Suposición correcta) G = 4/5 · Gmax = 106,5(kg/m2 · s) Re = 3,28 · 105 Del gráfico f v/s Re, f = 0,0049

224


Reemplazando en:

p2(atm) φ(p2)

1 4,57

4 47,71

3 27,22

3,3 32,74

3,29 32,546

p2 = 2,39(atm) Ejemplo 6.3 En un estanque se mantiene aire a 20 ºC y 5 kgf/cm2. Determine el flujo de aire que saldrá a la atmósfera, cuando se descarga a través de una tubería de longitud 7,9 m y de DN 2" con 3 codos de 90º. El extremo del tubo penetra ligeramente en el depósito. Solución: Є/D = 0.0004; M = 29 kg/kg-mol ; γ = k= Cp/Cv = 1.4 Suponiendo f* = 4 f = 0,016 Resistencias

L/Dequivalente

N = f * L/D

Contracción y expansión en el tubo Tubo recto 3 Codos Total:

~72 150 90 354

1.15 2.41 + 1,44 5,00

225


USACH

Usando la Figura 6.6 se obtiene: G/Gnz*=0.5  G = 712,9 (kg/m2s) Luego, el flujo másico de aire será:

Ahora debe verificarse si efectivamente nos encontramos en la zona alta turbulencia:

En este caso la suposición considerada es correcta. Si el valor de f * es inadecuado, deberá repetirse el cálculo.

226


EJERCICIOS 6.1. Una tubería que conduce gas natural tiene un diámetro interior de 36". Las estaciones compresoras están distanciadas 60 millas, siendo la presión de salida de la primera 750 psia y la presión de entrada de la segunda 500 psia. El gas puede ser considerado como gas ideal de peso molecular 16. Si la temperatura se mantiene constante en 70 ºF. a) ¿Cuál es flujo másico? b) ¿Hasta qué valor se puede bajar la presión a la entrada de la segunda estación? c) Manteniendo el valor de 750 psia a la salida de la primera estación, ¿Hasta qué valor puede aumentarse como máximo el flujo gaseoso? 6.2. Se bombea hidrógeno a 20 ºC, desde un estanque a 20 atm de presión (absolutas) a través de 1600 pies de cañería horizontal de 2" de diámetro nominal. En la descarga, la presión también es de 20 atm. La presión es elevada a 25 atm. por una bomba ubicada a la salida del estanque. Si en las condiciones del transporte la viscosidad es de 0.009 cp. ¿Cuál es el flujo transportado? ¿Cuál es la potencia de la bomba? 6.3. Nitrógeno fluye desde una tubería de 2" en la cual la temperatura y presión son de 40 ºF y 40 psig, hacia una cañería de 1" en la cual la presión es de 21,3 psig. Calcule la velocidad en cada tubería, suponiendo condiciones isotérmicas y que no se producen pérdidas. 6.4. Un gasómetro contiene SO2 a la presión de 5 atm. El gas ha de llevarse hasta el lugar de aplicación a través de una tubería de 2" y longitud total de 250 m. Determine la presión en el lugar de aplicación, para que el flujo sea 2/3 del máximo, considerando flujo isotérmico.

227


USACH

6.5. El hidrógeno empleado en una planta de síntesis de amoniaco ha de entrar en los convertidores a 75 atm. Si el gasómetro dispone de hidrógeno a 90 atm. y la línea de conducción tiene una longitud de 220 m. Determine el diámetro de la tubería, si el flujo másico debe ser de 60 kg/min, en condiciones isotérmicas a 27 ºC.

228

Capítulo 7: Caracterización de partículas sólidas

CAPÍTULO 7 CARACTERIZACIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS

Las propiedades físicas y fuerzas de atracción que existen entre partículas sólidas, caracterizan el escurrimiento de fluidos a través de ellas. Entre las propiedades físicas, deben mencionarse la densidad, el tamaño y forma de las partículas. Con respecto a la densidad, debe diferenciarse entre la densidad de la partícula (llamada también densidad real), ρs y la densidad aparente (“bulk”), ρb. Esta última corresponde a la densidad global del material disperso, incluyendo los espacios libres entre partículas. Su evaluación experimental es simple, utilizándose por ejemplo con un picnómetro o una probeta graduada. La relación entre ambos parámetros es a través de la porosidad, ε, la cual se define como: (7.1) De esta forma:

ρb = ρs (1 - ε)

(7.2)

Valores frecuentes de porosidad en lechos fijos constituidos por partículas se encuentran entre 0.35 y 0.5. En aplicaciones en lechos fluidizados, estos valores suben a porosidades sobre 0.6 y son superiores a 0.85 en transporte neumático.

7.1.

Tamaño de partículas

El tamaño de la partícula es una descripción de su extensión en el espacio, la cual puede describirse en forma lineal (diámetro, ancho, alto, espesor), superficial o de volumen. El concepto de diámetro, originalmente definido para describir el tamaño de partículas esféricas, también puede

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ser empleado para caracterizar partículas irregulares. El diámetro de éstas últimas puede ser definido en términos de la geometría de partículas individuales, existiendo varias alternativas al respecto. Una de ellas considera el diámetro de la partícula como un promedio aritmético de sus dimensiones lineales características (di = (l + b + h)/3). Otra definición utiliza el promedio geométrico de las dimensiones lineales (di = (l b h)1/3). Un diámetro recomendado para emplear con partículas de pequeño tamaño (< 40µm) es el diámetro de Stokes, Dst, el cual esta basado en la ley de Stokes: (7.3) donde µ es la viscosidad del fluido, V es la velocidad de descenso de la partícula de densidad ρs, en el fluido de densidad ρf. Aunque teóricamente la Ley de Stokes es válida solo para partículas esféricas, la diferencia entre el volumen de una partícula irregular y el volumen de una esfera equivalente, no representa un error, sino que por el contrario, da información útil sobre la forma de la partícula. Para la determinación experimental del tamaño de mezclas de partículas irregulares, entre 7.6 mm y 0.038 mm, lo usual es emplear una serie de tamices, cuyas mallas de alambres y aberturas están cuidadosamente estandarizadas. Los tamices se identifican por el número de mallas por pulgada, debiendo considerarse que las aberturas son menores a causa del espesor de los alambres. Las series de tamices más usadas son la Sieves y la Tyler. Esta última se basa en la abertura del tamiz de 200 mallas, la que se establece en 0.074 mm. El área de las aberturas, en cualquier tamiz de la serie, es exactamente el doble de las aberturas del tamiz inmediato inferior. La relación de la dimensión real de las mallas de cualquier tamiz a la del inmediato inferior es √ 2. Para análisis especiales es posible disponer de tamices intermedios.

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Tabla 7.1. Abertura de tamices Tyler. # malla 3 4 6 8 10 14 20 28

Abertura, µm 6680 4699 3327 2362 1651 1168 833 589

# malla 35 48 65 100 150 200 325 400

Abertura, µm 417 295 208 147 104 74 53 38

El análisis de una muestra de sólidos se realiza colocando la muestra (alrededor de 200 gramos, aunque varía según la densidad de las partículas) en el tamiz superior, y agitando la serie de tamices seleccionados durante un tiempo definido (entre 10-25 minutos). Luego se pesan las fracciones retenidas en cada tamiz y se informan los % o fracciones respecto a la masa total inicial. Las partículas que pasan por el tamiz más fino se recogen sobre un colector colocado en el fondo de la serie de tamices. Los resultados de un análisis por tamizado se tabulan o grafican, para indicar la fracción másica sobre cada tamiz, en función del intervalo del tamaño de malla entre dos tamices. Puesto que las partículas retenidas en cualquier tamiz provienen del tamiz inmediatamente superior, se necesitan dos números para especificar el tamaño de la fracción retenida entre dos tamices consecutivos, uno para el tamiz a través del cual pasan las partículas y otro para el tamiz donde son retenidas. Así la notación 14/20 significa que las partículas pasaron el tamiz de 14 mallas y quedaron retenidas en el de 20 mallas. También se usa la notación – 14 + 20, con igual interpretación. La dispersión de una mezcla de partículas es frecuentemente representada por una curva de distribución de tamaño de partículas, en la cual se grafica el diámetro de las partículas vs la fracción (o porcentaje) de partículas de tamaño i. Esta representación corresponde a la curva de distribu-

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ción diferencial (se conoce también como análisis de frecuencia). También se emplea la distribución de partículas en forma acumulativa (integral), en cuyo caso se grafica di vs fracción (o porcentaje). En el análisis acumulativo (Figura 7.1) se suman los incrementos diferenciales individuales, comenzando por el retenido en el tamiz superior y tabulando o representando las sumas acumuladas frente a la dimensión de malla del tamiz que retiene la última fracción acumulada o añadida. En cálculos basados en el análisis diferencial (Figura 7.2), se considera que todas las partículas de una fracción tienen igual tamaño, y que éste es la media aritmética de las dimensiones de malla de los tamices que definen la fracción. En algunas aplicaciones se emplea la media geométrica para obtener el tamaño representativo.

Figura 7.1. Análisis acumulativo por tamizado.

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Figura 7.2. Análisis por tamizado.

Funciones empíricas de distribución. Frecuentemente es necesario representar las distribuciones de tamaño de partículas a través de diversos modelos empíricos, con el fin de facilitar el manejo y/o análisis de la información. Entre los modelos más usados están los de Gates-Gaudin-Schumann y el de Rosin-Rammler-Bennett. El primer modelo corresponde a una representación del tipo: (7.4) donde K y m son parámetros del modelo. Yi representa la fracción acumulada pasante en el tamiz i, es decir la fracción de partículas con tamaño menor a dpi. El modelo (o función) de Rosin-Rammler-Bennett, tiene la forma: (7.5)

donde la representación adecuada de los valores experimentales permite determinar los parámetros xo y m. Llamando Ri a la fracción acumulada rete233


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nida, la cual representa la fracción de partículas con tamaño mayor a dpi, definida como: Ri = 1 – Yi, se tiene: (7.6)

Aplicando logaritmo dos veces a esta ecuación, y representando el resultado en un gráfico log-log vs log (papel Rosin-Rammler) se obtiene una recta de pendiente m. Si se introduce dpi = xo, entonces Ri = 1/e. El tamaño representativo de mezclas de sólidos irregulares, debe ser caracterizado a través de un diámetro promedio: Dprom = d1G1/G + d2G2/G + ···· dn Gn/G = Σ di Gi/G (7.7) donde di corresponde a la partícula de diámetro di, mientras que Gi representa el peso de cada fracción i. Otras formas para expresar el diámetro de mezclas, consisten en el empleo de promedios geométricos. Un tamaño representativo muy utilizado lo constituye el diámetro superficie/volumen, conocido como diámetro de Sauter, dps: (7.8)

Otra alternativa es el empleo de un diámetro medio volumétrico, dv, cuya expresión para una mezcla constituida por partículas de igual factor de forma (volumétrico) está dada por:

(7.9)

234


7.2.

Forma de las partículas

Generalmente la forma de partículas irregulares se expresa como una aproximación a una esfera, utilizándose el concepto de esfericidad, φs, definido como: (7.10) Si dp representa el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula, Vp, entonces (7.11) Si Sp representa la superficie de la partícula, entonces:

(7.12) Por otro lado, la superficie específica, av, se define como: av = Sp/Vp. Si la partícula es de forma esférica, entonces, se obtiene: av = 6/dp, siendo dp el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula. Esta ecuación permite definir un diámetro equivalente, Dp, para partículas no esféricas. Por lo tanto, en general: (7.13)

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Tabla 7.2. Esfericidad de algunas partículas. Tipo de partícula Esfera Cubo Cilindro (h = d) Cilindro ( h = 10 d) Carbón activado y sílica gel Carbón calidad antracita Carbón pulverizado Láminas de mica Arena redondeada Arena de playa Arena de río Trigo

Esfericidad (φ) 1.0 0.81 0.87 0.47 0.70 – 0.90 0.63 0.73 0.28 0.86 < 0.86 > 0.53 0.85

El número de partículas de una muestra de masa m, está dado por: (7.14) Si llamamos S a la superficie total de las partículas, entonces, empleando la definición de esfericidad, se tiene: (7.15)

Ahora bien, si se dispone de una mezcla de partículas, constituida por n fracciones de masa total m y cada una de las fracciones con masas m1, m2, mn y densidades ρ1, ρ2 ρn, esfericidades φ1, φ2, φn, y tamaño medio en cada fracción dp1, dp2, dpn, y siendo xi =mi/m, la fracción másica de la

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fracción i de la mezcla, la superficie específica de la mezcla por unidad de masa, Sm, será: (7.16)

Ejemplo 7.1 La tabla siguiente resume valores de un análisis por tamizado de 117.431 gramos de partículas de aserrín de madera, obtenidos con tamices con aberturas entre 4.00 mm y 0.090 mm. Abertura tamiz [mm] 4.000 3.360 2.830 2.360 2.000 1.400 1.000 0.710 0.600 0.500 0.356 0.217 0.150 0.090 0.000 TOTAL

mret [g] 1.5598 2.2786 3.4165 5.0329 3.2621 17.2481 46.9982 25.5679 4.2913 3.9841 2.6114 0.8997 0.1569 0.0859 0.0376 117.431

a) Represente gráficamente la distribución en forma diferencial y acumulativa. b) ¿Qué función representa mejor la distribución de la galena? ¿Cuáles son sus parámetros? c) Determine el diámetro medio de Sauter, promedio y volumétrico de la mezcla.

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Solución: a) La siguiente tabla muestra los valores necesarios para graficar la distribución, tanto diferencial como acumulativa. A continuación se muestra un ejemplo de cálculo para la primera corrida. dp = Abi = 4.000(mm), para el resto de la tabla se utiliza la fórmula

dpi [mm] 4,000 3,680 3,095 2,595 2,180 1,700 1,200 0,855 0,655 0,550 0,428 0,287 0,184 0,120 0,045

xi 0,013 0,019 0,029 0,043 0,028 0,147 0,400 0,218 0,037 0,034 0,022 0,008 0,001 0,001 0,000

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Yi 0,013 0,033 0,062 0,105 0,132 0,279 0,680 0,897 0,934 0,968 0,990 0,998 0,999 1,000 1,000


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b) Modelo Gates-Gaudin-Schuman (G-G-S):

Aplicando logaritmos: ln(1 – yi) = – m · ln(k) + m · ln(dpi)

ln(1 – yi) = 2,4138 – 2,4182 · ln(dpi) → R2 = 0,9531 m = 2,4182 – m ∙ ln(k) = 2,4138 → k = 2,713 Modelo Rosin-Rammler-Bennett (R-R-B)

→ R2 = 0,9844

m = 2,8411 m ∙ ln(x0) = 1,9268 → x0 = 1,970 El modelo de R-R-B representa mejor la distribución de galena, ya que presenta un mayor valor del parámetro de ajuste R2. c)

240


EJERCICIO 1.

Galena triturada proveniente de un molino de bolas, presenta la siguiente distribución granulométrica: Mallas Tyler -28+35 -35+48 -48+65 -65+100 -100+150 -150+200 -200

Esfericidad, φ 0.85 0.85 0.86 0.87 0.88 0.90 0.93

Fracción en peso 0.150 0.200 0.171 0.134 0.104 0.080 0.161

a) Represente gráficamente la distribución en forma diferencial y acumulativa. b) ¿Qué función representa mejor la distribución de la galena? ¿Cuáles son sus parámetros? c) Determine la superficie específica y el diámetro medio de Sauter de la mezcla.

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Capítulo 8: Factores de fricción en medios porosos

CAPÍTULO 8 FACTORES DE FRICCIÓN EN MEDIOS POROSOS

En diversas aplicaciones industriales se produce el flujo de un fluido a través de un medio poroso (Figura 8.1): filtración, reacciones químicas con uso de catalizadores, columnas de relleno, secado de cereales, etc. Con respecto a la determinación de la caída de presión a través del lecho de partículas, se distinguen tres métodos: en uno de ellos se considera la columna de relleno como un manojo de tubos enmarañados de sección irregular, a los cuales se adapta el desarrollo de la teoría aplicada al flujo en el interior de un ducto. En otro método, se representa la columna de relleno como un conjunto de objetos sumergidos, calculándose la pérdida de presión como la suma de las resistencias de las partículas sumergidas. Finalmente, existe también un método teórico que aplica la mecánica del medio continuo (ecuación de continuidad y la ecuación del movimiento) a la matriz porosa.

8.1.

Teoría del conjunto de tubos

En la teoría del conjunto de tubos, el relleno puede estar constituido por partículas de diferentes formas (Figura 8.2), debiendo aceptarse las siguientes consideraciones: a) Relleno uniforme y sin canalizaciones. b) Diámetro de la columna, Dc >> D partículas. c) Diámetro constante de la columna. d) No existe efecto de pared.

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Figura 8.1. Columna de relleno.

Figura 8.2. Materiales típicos de columnas de relleno.

Para el flujo por el interior de tuberías se definió el factor de fricción (Ecuación de Fanning). En forma análoga para columnas de relleno se define: (8.1) donde el Dp equiv corresponde al diámetro equivalente de las partículas (Dp = φs dp), siendo dp el diámetro de una esfera de igual volumen que la partícula. vo es la velocidad superficial, es decir, la velocidad lineal que tendría el flui244


do en la columna sin relleno. P corresponde al potencial fluido-dinámico y L es la longitud de la columna de relleno (vo = Q/Acolumna). La velocidad real del fluido, v, se relaciona con vo a través de la porosidad del lecho, ε: v = vo/ε (8.2) Para describir el flujo a través de medios porosos, es necesario definir un diámetro equivalente de la columna de relleno, De: (8.3)

Por otro lado, para el escurrimiento en régimen laminar de un fluido

newtoniano, por el interior de un ducto circular, es utilizable la ecuación de Hagen-Poiseuille: (8.4)

Aplicando esta ecuación para la columna de relleno e incorporando la definición de De =Dc = 4 RH se obtiene: (8.5) Re-ordenando, utilizando la definición de radio hidráulico y de Dp, se obtiene: (8.6) En esta ecuación, el empleo del concepto de radio hidráulico y el hecho de que la longitud real que recorre el fluido en el interior del lecho sea mayor que L, se traduce en que sus predicciones deban ser corregidas, a fin de representar adecuadamente la situación real. En efecto, sus predicciones

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mejoran bastante si en vez del factor 72, se introduce el factor empírico 150, de tal modo que: (8.7) Esta ecuación se conoce como ecuación de Blake-Koseny (ó ecuación de Koseny-Carman) y es válida para: (8.8) con

Go = ρ vo

Introduciendo en la ecuación de Koseny-Carman la definición del factor de fricción, se obtiene: (8.9) Para flujo altamente turbulento en columnas de relleno (Rep > 1000), con un desarrollo análogo al recién planteado, pero considerando un factor de fricción independiente del flujo, se obtiene: (8.10) Estas ecuaciones se conocen con el nombre de ecuaciones de BurkePlummer.

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Sumando las expresiones de Koseny-Carman (válida en régimen laminar), y la de Burke-Plummer (válida en régimen turbulento), se obtiene la siguiente ecuación general, deducida por ERGUN: (8.11)

En esta ecuación Dp = dp ∙ φs, siendo dp el diámetro de la esfera equivalente de la partícula.

Figura 8.3. Representación gráfica del factor de fricción vs número de Reynolds (Adaptado de Levenspiel, Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor, 1993).

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Figura 8.4. Relaciones gráficas para estimar la porosidad de columnas de relleno (Adaptadas de Levenspiel, 1993).

8.2.

Teoría del medio continuo

Otro enfoque teórico para el análisis del flujo en medios porosos es la aplicación de la mecánica del continuo a mezclas fluido-partícula. En este método se aplica la ecuación de continuidad y del movimiento a una matriz porosa indeformable: (8.12) (8.13) donde m es la fuerza resistiva, para la cual existen varios modelos. τ es el tensor tensión extra, que depende de la velocidad superficial. Existe muy poca información para este parámetro, aunque afortunadamente es un término de menor importancia frente a los otros.

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Henry Darcy (1856) propuso para la fuerza resistiva, en cualquier régimen de flujo, la siguiente expresión: (8.14) k y c son parámetros que dependen solamente de la estructura de la matriz porosa, excepto cuando se producen interacciones físico-químicas entre la matriz porosa y el fluido. k representa la permeabilidad del medio poroso, con dimensión L2, mientras que c es adimensional.

El flujo lento (escurrimiento Darcyniano), se observa cuando . En esta situación, m = µ vo/k, con lo cual se obtiene la cono-

cida “Ley de Darcy”: -grad p = µ vo/k + ρ g, o bien, utilizando el concepto de altura piezométrica (P = p + ρg h): -grad P = µ vo/k (8.15) Los parámetros k y c son determinados experimentalmente en un permeametro:

Si el escurrimiento es incompresible, para cualquier régimen de flujo: (8.16)

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Si se trata de un gas ideal: (8.17) Relacionando el modelo capilar de ERGUN con el modelo recién expuesto se observa que: (8.18) Con

el diámetro medio de Sauter y β con valores entre 4 y 5.

Estas expresiones reproducen los valores experimentales de lechos con porosidades alrededor de 0.4 y valores de 10-5 < k < 10-4 cm2. Churchill y Usagi (1972) proponen una correlación para estimar c, cuyo rango de validez es: 0.15< ε <0.75, y 10-9 < k < 10-3: (8.19) donde ko =10-6 (cm2). Las ecuaciones anteriores son válidas para fluidos incompresibles y fluidos compresibles con variaciones moderadas en la caída de presión, es decir, con variaciones en la densidad inferiores a 10%. En caso contrario, debe considerarse la compresibilidad del gas, siendo aplicable la ecuación siguiente: (8.20)

250


Considerando flujo isotérmico y gas ideal, la ecuación 8.20 queda así: (8.21) Ejemplo 8.1 Se someterá a craking catalítico benceno (vapor) en un reactor de 1 m de diámetro y largo 3 m, que contiene en su interior pellets cilíndricos de diámetro 10 mm y largo 20 mm, con una porosidad de lecho de 0.45. La presión a la salida del reactor no debe ser inferior a 2.5 atm y la temperatura media del reactor es de 700 ºC. ¿Cuál es el flujo de benceno en kg/s, si la presión a la entrada del reactor es de 3 atm.? Solución: A T = 700 ºC → μbenceno= 2,35 ∙ 10-5(kg/m∙s) Mbenceno=80(kg/kmol) Utilizando la ecuación de Ergun, considerando gas ideal y flujo isotérmico, se tiene:

Luego:

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→ G0 = 7,227(kg/m2∙s) → w = G0∙A = 7,227∙(π/4)∙12 = 5,676(kg/s) Ejemplo 8.2 Con esferas de naftalina (Dp = dp =2,9 mm) se forma un lecho de 7,5 cm. de diámetro y 25 cm. de longitud. El peso de 100 cm3 de estas “esferas” es 63 gr. A) Calcule el flujo másico de aire que puede atravesar este lecho, a una temperatura de 38 ºC y con una diferencia de presión de 45 cm. de agua. B) Analice qué sucede con sus resultados si a las mismas esferas se les perfora radialmente con un diámetro de 1.55 mm. A) 38 ºC: ρaire (38 ºC)= 1,1379 kg/m3 µaire (38 ºC)= 2,0032x10-5 kg/m s Utilizando la siguiente ecuación se despeja la porosidad (ε) ρb = ρs ·(1 – ε) Donde

Reemplazando se tiene: 0,63 = 1,14 ·(1 – ε)

ε = 0,4474

Utilizando la ecuación de Ergun:

y:

(P0 – PL) = 45 (cmH2O)  4412,99 (Pa) Dp = 2,9 (mm)  0,0029 (m) y

252

L= 25 (cm) 0,25 (m)


Reemplazando los valores en la ecuación queda:

Como: B) Como

entonces, despejando m1esfera queda

Ahora, despreciando el volumen de la curvatura de los cascos se tiene que el volumen y la superficie de la nueva partícula es:

Entonces:

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Ahora bien:

Reemplazando, se obtiene: ε = 0,685 Luego, reemplazando en Ergun queda:

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EJERCICIOS 8.1. El depurado de un aceite (ρ = 790 kg/m3; ρ =0,916cp) se realiza haciéndolo pasar por una torre cilíndrica de 60 cm de diámetro y altura de 3 m, cargada con partículas de alúmina activada (diámetro medio de 12 mm), con una porosidad de 0.45. La depuración de 0.50 m3/m2min se desarrolla a 30 ºC, con una caída de presión de 0.25 kgf/cm2. Se desea utilizar esta torre para desecar parcialmente un caudal de aire húmedo de 5.0 m3/h (CN). Admitiendo que el desecador funciona isotérmicamente a 40 ºC, y que el aire debe salir de la torre con una sobrepresión de 1.8 kgf/cm2, ¿Cuál será la presión con que debe ingresar a la torre? 8.2. Para precalentar aire desde 30 a 120 ºC se utilizará un intercambiador de calor que realiza la transferencia de calor utilizando partículas sólidas, que constituyen un lecho a través del cual circula el aire. A través de un lecho formado por esferas de material cerámico de 25 mm de diámetro se hacen pasar, alternativamente, corrientes de gases de combustión (que ceden parte de su energía) y de aire frío (que retiran la energía desde las partículas). La porosidad del lecho es 0.4, con 90 cm de diámetro y 2.4 m de altura. Se ha sugerido la incorporación al lecho de cierta cantidad de esferas de 2.35 mm de diámetro, con la misión de llenar los intersticios que quedan entre las esferas mayores, con lo que se espera aumentar la capacidad calorífica del conjunto. Experimentos previos han demostrado que las partículas menores pueden llegar a llenar un tercio de los espacios huecos que dejan entre sí las partículas mayores. Represente gráficamente la caída de presión vs la velocidad másica del aire, para los dos lechos.

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8.3. Una torre de 1 (m) de alto y 0.2 (m) de diámetro interno, rellena con 100000 partículas cúbicas provistas de un orificio cuadrado, se utiliza para purificar un gas de proceso a temperatura ambiente (ρg = 1 kg/m3, μg = 1 x 10-5 kg/ms, M = 0.0289 kg/mol). Debido a la acumulación de impurezas en las partículas, la porosidad del relleno disminuye en un 20%, por lo que la torre debe ser lavada con un solvente especial una vez por semana (ρSol = 800 kg/m3, μg = 0.7 x 10-3 kg/ms). Para el proceso descrito anteriormente determine: a) La presión de entrada al lecho al inicio de la purificación, si el gas en el lecho posee una velocidad de 2 (m/s) y es descargado a la atmósfera. b) La variación de la velocidad del solvente en el lecho durante la limpieza, si la caída de presión se mantiene constante e igual a 1 (atm).

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Capítulo 9: Filtración

CAPÍTULO 9 FILTRACIÓN

La filtración de suspensiones es una de las aplicaciones más conocidas del flujo de fluidos a través de un medio filtrante. En esta operación, las partículas suspendidas en el fluido, son retenidas en un medio poroso, dejando pasar éste último, un fluido sin partículas sólidas. Dependiendo de la aplicación, el objetivo principal puede ser el de recuperar el sólido, suspendido en el líquido o bien obtener un filtrado libre de partículas, a fin de disminuir el impacto ambiental de aguas industriales con sólidos residuales. La operación de filtrado de líquidos puede ser realizada en diversos equipos, dependiendo de las características de la suspensión (viscosidad, pH, concentración, temperatura), de los volúmenes a manejar y de la naturaleza y tamaño de las partículas. La clasificación de los equipos de filtración puede ser realizada bajo diversos esquemas. Por ejemplo, forma de funcionamiento (filtros continuos o discontinuos); tipo de gradiente que produce el movimiento del fluido (filtros que operan por gravedad o que operan debido a un gradiente de presión o vacío). Finalmente, también es posible clasificar los filtros de acuerdo con la naturaleza del medio filtrante y de los mecanismos de retención de las partículas: filtración en profundidad y filtración sobre superficies.

9.1.

Filtros de lecho profundo

En los filtros de lecho profundo o “filtros clarificadores”, las partículas sólidas son atrapadas en el interior del medio filtrante, no observándose en general, una capa de sólidos sobre la superficie del medio filtrante (Figura 9.1). El tamaño de los poros y canales determina el tamaño de las partículas, que pueden ser removidas por medios mecánicos. Si las partículas de la suspensión

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son granulares, puede conseguirse una filtración de hasta 100% de eficiencia de retención. Este % disminuye si las partículas se deforman bajo las fuerzas hidráulicas, ya que en este caso, consiguen atravesar el medio poroso.

Figura 9.1. Esquemas de filtros abiertos (multicapas).

Es posible diferenciar tres clases de filtros de lecho profundo, dependiendo del número de capas de partículas: a) Lechos con una capa de partículas: Generalmente es arena y se operan con flujos entre 5 - 15 m3/h ⋅ m2 (Tabla 9.1). b) Lechos con dos capas: En el tope se ubica una capa de antracita y en el fondo una capa de arena. c) Lechos con multicapas: Se ubica grava en el fondo, partículas de 0.2 mm de tamaño y gravedad específica 4.2, luego una capa de arena (0.5 mm de tamaño y gravedad específica 2.6), y en el tope una capa de antracita (1.1 mm de diámetro y gravedad específica 1.5). Esta configuración en tamaño y densidad de las partículas facilita su reordenamiento, después de la etapa de lavado por fluidización. Un ejemplo típico de filtro de lecho profundo, lo constituyen los filtros de lecho por gravedad (abiertos) o a presión (cerrados), para el tratamiento de agua. Los depósitos pueden construirse de acero o de cemento. Los conductos situados bajo el falso fondo perforado evacuan el líquido fil-

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trado procedente del lecho arenoso. Estos conductos van provistos de compuertas o válvulas, que permiten efectuar el lavado del lecho de arena por circulación de agua en sentido opuesto, para arrastrar así a los sólidos acumulados. El fondo perforado está cubierto por una capa de 30 cm o más de rocas trituradas o de grava gruesa, para sostener la capa superior de arena. Tabla 9.1. Valores de diseño para filtros con una capa de partículas. Característica

Rango

Poco profundo Arena Profundidad (m) Tamaño efectivo partícula (mm) Coeficiente de uniformidad Velocidad de filtración, m3/h⋅m2 Antracita Profundidad (m) Tamaño efectivo partícula (mm) Coeficiente de uniformidad Velocidad de filtración, m3/h⋅m2 Profundidad convencional Arena Profundidad (m) Tamaño efectivo partícula (mm) Coeficiente de uniformidad Velocidad de filtración, m3/h⋅m2 Antracita Profundidad (m) Tamaño efectivo partícula (mm) Coeficiente de uniformidad Velocidad de filtración, m3/h⋅m2 Muy profundo Arena Profundidad (m) Tamaño efectivo partícula (mm) Coeficiente de uniformidad Velocidad de filtración, m3/h⋅m2 Antracita Profundidad (m) Tamaño efectivo partícula (mm) Coeficiente de uniformidad Velocidad de filtración, m3/h⋅m2

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Valor

Típico

0.25 – 0.30 0.35 – 0.6 1.2 – 1.6 5 – 15

0.28 0.45 1.5 10

0.30 – 0.50 0.8 – 1.5 1.3 – 1.8 5 – 15

0.40 1.3 1.6 10

0.50 – 0.75 0.4 – 0.8 1.2 – 1.6 5 – 15

0.60 0.65 1.5 10

0.60 – 0.90 0.8 – 2.0 1.3 – 1.8 5 – 20

0.75 1.3 1.6 13

0.90 – 1.80 2–3 1.2 – 1.6 5 – 25

1.35 2.5 1.5 15

0.90 – 1.20 2–4 1.3 – 1.8 5 – 25

1.0 2.75 1.6 15


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9.1.1. Filtros abiertos La mayor parte de las instalaciones de filtración destinadas al abastecimiento de agua potable, así como numerosas instalaciones de clarificación de aguas industriales o residuales de gran caudal, utilizan filtros abiertos, generalmente de hormigón (Figura 9.2).

Figura 9.2. Esquema de un filtro abierto (AQUAZUR tipo T). 1. Arena; 2. Fondo falso; 3. Boquillas; 4. Entrada de agua; 5. Canal de distribución de aire y agua de lavado y de salida de agua filtrada; 7. Canales de evacuación de fangos.

Según la aplicación, el agua a filtrar no recibe previamente ningún reactivo, se somete simplemente a una coagulación sin fase de decantación, o bien, lo que es más frecuente, a un proceso de coagulación, floculación y decantación. El sistema de tratamiento influye en la concepción tecnológica de los filtros y, especialmente en el diseño de la batería filtrante. Los filtros abiertos funcionan generalmente a velocidades de filtración comprendidas entre 4 y 20 m/h. Los factores que determinan la velocidad de filtración son principalmente la composición y espesor del medio filtrante, en conjunto con la altura de agua sobre el lecho filtrante. Los fabricantes ofrecen diversas alternativas que combinan los parámetros anteriores, junto con ciertos esquemas de limpieza del filtro empleándose combinaciones agua/aire. A modo de

260


ejemplo, en la Tabla 9.2 y Tabla 9.3 se adjuntan dimensiones geométricas y condiciones típicas de operación de filtros AQUAZUR, tipo T. Tabla 9.2. Dimensiones de filtros abiertos (AQUAZUR tipo T). Ancho (m) 3 3.0 3.0 3.5 3.5 3.5 4.0 4.0

Longitud (m) 8.18 10.5 12,82 8,02 12,0 14,98 11,66 17.46

Superficie (m2) 24.5 31.5 38,5 28,0 42,0 52,5 46,5 70.0

Tabla 9.3. Características de operación de filtros AQUAZUR tipo T. Operación caudal de agua filtrada agua de lavado Aire de lavado

Flujo [m3/(m2 h)] 5 a 10 5a7 50 a 60

9.1.2. Filtros cerrados Para lograr una capacidad de trabajo elevada, el lecho filtrante puede instalarse en un recipiente cerrado y actuar bajo presión (Figura 9.3). El proceso de filtración transcurre hasta que la caída de presión sobrepasa un límite preestablecido (del orden de 3 a 5 psig). En este momento, se procede con la etapa de limpieza del filtro, lo que se realiza con un flujo de agua en sentido contrario al de filtración. Para cada lecho particular existe una velocidad definida, a la cual el agua de lavado inicia la fluidización del lecho, liberando las partículas atrapadas. La capacidad efectiva media puede llegar a ser incluso menor al 50% del valor determinado para el filtro inicialmente limpio.

261


USACH

En las instalaciones de funcionamiento continuo se utiliza un cierto número de lechos de filtración, estableciéndose turnos para el lavado de cada uno de ellos. En Tablas 9.2 y 9.3 se muestran algunas dimensiones y capacidades de filtrado, para unidades similares a la de Figura 9.3.

Figura 9.3. Filtro de arena cerrado (a presión).

Tabla 9.4. Tamaños y capacidades de filtros (Candy Pressure Filter). Diámetro del filtro (pie) 1 2 3 4 5

Filtrado (gal/h) 75 315 700 1250 2000

Agua de lavado (gal/min) 4a6 15 a 20 35 a 50 65 a 85 100 a 140

En todos los casos, el material de relleno grueso se dispone sobre el fondo perforado, para que sirva de soporte a los materiales más finos. Los

262


diferentes tamaños de materiales deberán disponerse en capas, de modo que partículas de tamaños distintos no se mezclen.

9.2.

Filtros sobre superficies

La principal característica de estos filtros es que forman una capa de

sólidos, denominada torta, sobre la superficie filtrante. En estos equipos, el medio filtrante es relativamente delgado, en comparación con el filtro clarificador. Al comienzo de la filtración algunas partículas sólidas entran en los poros del medio filtrante y quedan inmovilizadas, pero rápidamente empiezan a ser recogidas sobre la superficie del medio filtrante. Después de este breve período inicial, la torta de sólidos es la que realiza la filtración y no el medio filtrante. La torta que se forma sobre la superficie, debe ser periódicamente retirada.

Con respecto a los filtros de superficie, los fabricantes ofrecen diversos diseños, los que han sido agrupados en siete categorías. Los diversos sistemas de filtración no son fácilmente comparables entre ellos, dificultándose la selección de un sistema de filtración. A continuación se describen en forma general los sistemas básicos de filtración: 1. Cedazos y coladores Son útiles para retener partículas de tamaño superior a 75 micrones. Frecuentemente se emplean para filtrar líquidos viscosos. Funcionan por gravedad. El principio de funcionamiento consiste en colocar un cedazo o tamiz, con una determinada abertura en la línea de circulación del fluido. Las partículas mayores a esa abertura son detenidas en la superficie del cedazo. Dado que el filtrado es estrictamente un efecto de superficie y el número de aberturas por unidad de superficie es relativamente bajo, el cedazo

263


USACH

se tapona relativamente rápido. Existen métodos para recuperar la superficie filtrante, que incluyen lavado por contracorriente y/o elementos vibradores. 2. Filtros prensa Consiste en una serie de placas que actúan como soporte y drenaje de los elementos filtrantes. Alternando con esas placas hay una serie de marcos huecos, que forman las cámaras filtrantes donde se juntan los materiales sólidos. Esta serie de placas y marcos, unidos alternadamente con una tela filtrante sobre cada lado de las placas, cuelgan de un bastidor, y se prensan apretadamente por medio de un mecanismo de tornillo o hidráulicamente, para formar un sistema estanco (Figura 9.4). La estanquidad del conjunto queda asegurada por la presión, muy fuerte, de aplicación de unas placas contra otras. La presión de filtración puede llegar a 25 bar.

Las placas pueden ser grandes (9.8 m x 9.8 m ó mayores), con hasta

950 placas por filtro, lo cual configura una gran área de filtrado. Dependiendo de la aplicación, el medio filtrante (tela) puede ser tejido (fibras sintéticas) o no.

El filtro prensa está diseñado para efectuar cierta variedad de funciones, la secuencia de las cuales puede ser controlada manual o automáticamente. Durante la filtración, el filtro prensa permite la entrada de la pasta de alimentación hacia la superficie filtrante, a través de un ducto, forzando su paso contra las superficies filtrantes. El filtrado, que ha pasado a través de las superficies filtrantes, sale a través de otro ducto, mientras que en el interior de los marcos se retiene los sólidos. Durante la secuencia de lavado (no siempre necesaria), el filtro permite alimentar agua limpia a los sólidos filtrados, forzando a que el agua de lavado pase a través de los sólidos retenidos en el filtro, saliendo el agua de lavado con las impurezas a través de un ducto separado (Figura 9.4). Existen diversos diseños para realizar el lavado. Después de la secuencia de lavado, la prensa se desarma

264


y los sólidos pueden recolectarse manualmente, o simplemente descargarse y descartarse.

a)

b)

Figura 9.4. Filtro prensa. a) Esquema de funcionamiento, b) Filtro LOPU/USACH.

Los filtros prensa son versátiles, adaptándose para filtrar elevadas alimentaciones (con casi cualquier porcentaje de carga de sólidos), tanto para recuperar las partículas, el filtrado o ambos. También pueden manejar materiales viscosos y en casos especiales, donde hay gelatinas o partículas muy finas.

265


USACH

Figura 9.5. Diagrama de un lavado en paralelo (Adaptado de Foust y col., 1993).

3. Filtros de bolsa (manga) Los filtros se colocan en el flujo líquido, de manera que la corriente fluya desde el interior de cada bolsa hacia el exterior. Los filtros de bolsa son ideales para aumentar la capacidad filtrante y se usan para recuperar sólidos, sólo cuando estos son valiosos. El manejo de los filtros de bolsa es de bajo costo, pues el material queda retenido en su interior y es fácilmente desechable, por lo tanto no hay necesidad de limpiar los filtros. Los sólidos a filtrar no deben superar el 1% del flujo total. 4. Filtros de cartucho Están diseñados para limpiar líquidos y no para recolectar sólidos. El líquido fluye desde el exterior hacia el interior del cartucho, que puede ser simple o de grupos múltiples. Dado que el cambio de cartuchos no es frecuente, los sólidos no deben sobrepasar el 0.1% del flujo total. Estos filtros son similares a los de bolsa en flexibilidad y capacidad.

266


Figura 9.6. Filtros de cartucho.

Se distinguen tres tipos de cartucho: de membrana, tejidos y de fibra aglomerada. Los de membrana difieren de los otros en que pueden filtrar partículas sub-micrónicas y generalmente son inspeccionados y probados en su totalidad, y el costo es muy alto. Los tejidos se usan dentro del micrón y generalmente con muy poca carga de sólidos y baja viscosidad. Los de fibra aglomerada pueden manejar mayores cargas de sólidos y líquidos más viscosos. Son también aptos para eliminar partículas gelatinosas. 5. Filtros de presión de hojas Consisten en hojas o láminas espaciadas, horizontales o verticales, que actúan como drenaje y soporte del elemento filtrante. Estos filtros tienen una gran área filtrante respecto a la superficie ocupada y también ofrecen una gran capacidad de filtrado, respecto al volumen que ocupan. Son aptos para líquidos con viscosidades medianas (como aceites) con cargas de sólidos regulares (de 1 a 5%). No trabajan bien con cargas muy pesadas. Para mejorar la calidad de filtrado se emplean a menudo auxiliares filtrantes. Los sólidos se recogen en el medio filtrante y se sacan en forma manual o mecánica (Figura 9.7).

267


USACH

Figura 9.7. Filtro de hojas verticales.

La suspensión se alimenta al recipiente llenando el espacio comprendido entre las hojas, y por medio de presión sobre la pasta el líquido es forzado a fluir, a través de las hojas. La torta se deposita sobre la parte exterior de las láminas, y el líquido que se encuentra en su interior sale por el sistema de descarga del filtrado. En estos equipos, la operación de lavado es más eficiente que en un filtro prensa ya que el agua de lavado sigue la misma trayectoria que la suspensión. Para remover la torta debe abrirse el recipiente, inyectándose algunas veces aire a presión, en dirección inversa para despegar los sólidos de la tela. 6. Tambor rotatorio (filtro de vacío) En el filtrado a vacío en un tambor rotatorio, entre un 15 a un 40% de su área se sumerge en el líquido a filtrar, girando el tambor lentamente (8 a 15 rpm). La totalidad de la superficie exterior del tambor es cubierta con la tela filtrante y una sección del interior del tambor se coloca bajo una presión ne-

268


gativa (vacío de 30 a 60 cm de mercurio), para succionar el líquido a través del medio filtrante, que pasa al interior del tambor (filtrado) (Figura 9.8). La pasta sólida que queda adherida en la superficie exterior del tambor se retira mediante el raspado de cuchillas, operación que se facilita al impulsar aire comprimido desde el interior hacia afuera, en la fracción de área no sumergida (Figura 9.9).

La cantidad de sólidos recuperados puede ser elevada debido a que

la remoción es continua. Dado que el gradiente de presión es relativamente bajo, no se puede usar este filtro con fluidos viscosos. Raramente se consigue filtrar suspensiones con partículas inferiores a 50 micrones.

Para estimar áreas de filtración, requeridas para filtrar lodos prove-

nientes de desechos urbanos, se recomienda considerar una carga de filtración de 17 kg/m2-hora, para % de sólido seco a la entrada entre 3 y 10 % (depende del tipo y tratamiento previo del lodo). El espesor de la torta es de 5 a 20 mm. En los últimos años, los fabricantes ofrecen los filtros de discos, cuyo principio de funcionamiento es similar al tambor rotatorio, pero con un área de filtración bastante superior, ya que la unidad de filtración consta de varios discos, produciéndose la filtración a través de ambas caras de los discos (Figura 9.10).

269


USACH

Figura 9.8. Esquema de un filtro de tambor rotatorio.

Figura 9.9. Filtro de tambor rotatorio.

270


9.10. Filtro de discos cerámicos.

7. Correas de vacío (filtros de banda) Una tela filtrante continua pasa por una sección plana horizontal, donde se aplica vacío. Luego la tela pasa sobre un rodillo, en el que el cambio brusco de dirección hace caer el material sólido retenido. El lavado de la tela se produce cuando ésta pasa por debajo del área horizontal, al regresar a la sección plana para repetir el ciclo de filtración. En algunos diseños de filtros, se considera adicionalmente un prensado de la torta, con una segunda banda deslizante en uno de los extremos (Figura 9.11). La velocidad de la cinta es regulable entre 1,5 y 9 (m/min). Los anchos de banda están entre 0,5 y 4 metros y sus longitudes entre 3,5 y 5,5 metros. Tiene las desventajas de ocupar un gran espacio y de presentar altos costos de mantención. Considerando que el vacío tiene poca fuerza de ex-

271


USACH

tracción, no puede ser empleado para manejar líquidos viscosos y no retiene partículas inferiores a 50 micrones. En estos filtros pueden tratarse lodos primarios y biológicos (sólido seco < 10%), digeridos y sin digerir. En Tabla 9.5 se presentan valores típicos de operación de filtros de banda, de la marca Voest-Alpine (referido a un ancho de banda de 1 metro): Tabla 9.5. Rendimiento de un filtro de banda Voest-Alpine (referido a un ancho de banda de 1 metro)*:

Lodo urbano Lodos primarios Lodos digeridos Lodos biológicos

Contenido de materias sólidas (% sólido seco) Carga Torta 3 - 10 32 - 38 4-7 32 - 38 1,5 - 5 23 - 30

m3 lodo / hora 4 - 10 5 - 10 3,5 - 8

* Aurelio Hernández, “Depuración de aguas residuales”- 1992.

272


Figura 9.11. Esquema de un filtro de banda (FLOCPRESS).

9.2.1. Selección de filtros sobre superficies Los diversos sistemas de filtración no son fácilmente comparables entre ellos, complicándose la selección de un filtro. En el cuadro siguiente (Tabla 9.6) se esquematiza cómo seleccionar en primera instancia el tipo de sistema básico de filtración, según el % de partículas en la suspensión (carga), el flujo de la suspensión (gal/min), su viscosidad y el tamaño de las partículas (Industrial World, 1988).

273


USACH

Tabla 9.6. Sistemas básicos de filtración sobre superficies. Característica % carga de partículas

1

2

3

4

5

<0.1

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

0.1-1.0

Sí

Sí

Sí

1.0 - 10

Sí

> 10

Sí

6

7

*

*

Sí

Sí

Sí Sí

Flujo G.P.M. <500

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

1000

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

3000

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

10.000

Sí

**

Sí

20.000

Sí

**

Viscosidad (cp) <100

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

1.000

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

**

**

50.000

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

100.000

Partícula (micrones) 1

Sí

Sí

Sí

50

Sí

Sí

Sí

Sí

100

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

200

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

400

Sí

Sí

500

Sí

**

*Sólo en algunos casos **Recomendados para filtrar lodos residuales (A. Hernández, “Depuración de aguas residuales”-1992).

274


9.3.

Teoría de filtración de lechos profundos

En un filtro de lecho profundo, las partículas provenientes de la suspensión son retenidas en el interior del lecho granular, llenándose gradualmente los intersticios libres. La disminución de la porosidad (Volumen de huecos/Volumen total del lecho), produce un aumento paulatino de la caída de presión y/o una disminución del filtrado. Generalmente, al inicio de la filtración la porosidad (ε) es 0.45 disminuyendo hasta 0.34 al finalizar el período de filtración (en un filtro abierto, idealmente al cabo de 8 hrs.). En este período se depositan entre 1100 y 6600 gr/(m3 de lecho), dependiendo de la densidad del depósito, aunque en la filtración de efluentes industriales pueden sobrepasarse ampliamente las cifras anteriores. El término de la etapa de filtración se produce cuando se alcanza la caída de presión máxima permisible, y/o cuando comienzan a aumentar los sólidos suspendidos en la corriente de descarga. Estos eventos pueden ocurrir simultáneamente (Figura 9.12).

Figura 9.12. Ilustración de un ciclo para un proceso de filtración.

275


USACH

Una vez que se cumple alguna de las situaciones mencionadas, se finaliza con la etapa de filtración y se inicia la etapa de lavado, haciendo pasar agua en contracorriente, de forma tal de producir una expansión del lecho (> 15%), para lo cual el agua debe ingresar a una velocidad superior a la mínima de fluidización (Vmf). En algunas aplicaciones, el lavado es realizado simultáneamente con inyecciones de aire, lo que facilita la remoción de fangos adheridos al medio filtrante (Tabla 9.7). Tabla 9.7. Flujos de agua y aire normalmente utilizados en la etapa de lavado.

Medio Arena Antracita

Características del medio Tamaño efectivo Coeficiente de partículas uniformidad 1.00 1.40 1.49 1.40 2.19 1.30 1.10 1.73 1.34 1.49 2.00 1.53

Flujo de lavado Aire Agua 3 2 3 m /m h m /m2 min 24 13 36 20 50 26 17 7 24 13 36 20

Para evaluar la caída de presión en el medio filtrante, puede emplear-

se la ecuación de Darcy, válida para el escurrimiento de fluidos a través de medios porosos, en régimen laminar (Darcyniano): (–∆p) = μ Rm vo (9.1)

donde Rm representa la resistencia del medio filtrante, la cual aumenta a medida que transcurre la filtración. vo [Lθ-1] representa la velocidad de filtración, dada por: (9.2) siendo dV/dt el caudal volumétrico instantáneo de filtración.

276


La variación de la resistencia del medio filtrante, Rm, depende fuertemente de las características del medio poroso y de la suspensión a filtrar, por lo tanto, la variación de Rm durante la filtración debe necesariamente ser determinada en ensayos experimentales. Para un filtro abierto, bastará registrar la variación del caudal de filtrado en función del tiempo, luego calcular para cada tiempo la correspondiente resistencia del medio filtrante. Un ajuste adecuado permitirá disponer de una expresión para Rm en función del tiempo, la que podrá ser utilizada para programar el tiempo de lavado. Otra forma de describir la filtración de lechos profundos es empleando la ecuación de Blake-Koseny, válida para escurrimiento laminar: (9.3) donde: Go = ρ vo = densidad de flujo másico. vo = velocidad del fluido, considerando que no hay lecho. Dp = 6/av = diámetro de las partículas. av = superficie específica de las partículas, definida por: (9.4) En la Tabla 7.1 y en la Tabla 7.3 se presentan valores de abertura de tamices Tyler y de esfericidad de partículas. Ejemplo 9.1 Determine la capacidad de filtrado de un filtro abierto, en el cual se obtiene agua potable para una ciudad. El filtro es de arena de mallas – 28 + 35, altura 30 cm y sobre el lecho se mantienen 50 cm de agua. a) Determine la capacidad inicial, considerando que la porosidad del lecho es de 0.45. b) Estime en cuánto disminuye la capacidad de filtrado, si la porosidad baja a 0.34.

277


USACH

Considere que la temperatura media del agua es de 20 ºC y que la esfericidad de las partículas (φ) es 0,75 (Ver otros valores en tabla 7.3). Solución:

De tabla 7.1: Malla 28 -- abertura 0,589 mm Malla 35 -- abertura 0,417 mm

El tamaño promedio de las partículas, determinado por las aberturas

de las mallas, es 0,503 mm. Puesto que el área de las partículas y el volumen no son conocidos, el diámetro de las partículas (Dp) no puede ser determinado con precisión. Una alternativa es considerar el diámetro de las partículas igual a 0,503 mm, sin embargo, una alternativa más cercana a la realidad es considerar que las partículas tienen un volumen medio igual al de una esfera de diámetro 0,503 mm. Entonces: Superficie de una esfera (Sesf) = π 0,5032 = 0,795 (mm2) Volumen de una esfera (Vesf) = π 0,5033/6 = 0,067 (mm3) pero, Sp = Sesf /φ = 1,06 (mm2) y considerando Vesf = Vp = 0,067, se obtiene: Dp = 6/(Sp/Vp) = 0,38 (mm) Despejando de ecuación 9.3, Go:

278


Introduciendo los valores numéricos correspondientes al período inicial de filtración, se obtiene:

Go = 4,74(kg/m2 s) ; → Go* = 17 (m3/(m2 h)

Para la parte b, se obtiene: Go = 1,42 (kg/m2 s); → Go* = 5,1 (m3/(m2 h) Los valores calculados se encuentran en el rango de lo informado para filtros abiertos AQUAZUR-Tipo T (Tabla 9.3).

9.4.

Teoría de filtración sobre superficies

Las partículas retenidas por el medio filtrante constituyen la torta o queque, a través de la cual percola el líquido limpio o filtrado (Figura 9.13). La acción de las fuerzas que actúan en el escurrimiento hace que las partículas sólidas adquieran diferentes grados de compactación a lo largo de la torta, la cual aumenta a medida que se aproxima al medio filtrante (tela) y, en una dada sección transversal de la torta, varía con el tiempo de filtración. Por lo tanto, estrictamente, la torta es un medio poroso que crece y se deforma continuamente.

279


USACH

Figura 9.13. Esquema de filtración.

Analizando la Figura 9.13, se observan dos resistencias en serie al escurrimiento del líquido: la que ofrece la torta (p1 – pi) y la del medio filtrante (pi – p2). A continuación se desarrollan expresiones para cada una de estas diferencias de presión, en función de la velocidad del líquido. La nomenclatura básica será la siguiente: p1: presión en interfase suspensión-torta. pi: presión en interfase torta-medio filtrante. p2: presión en interfase medio poroso-líquido filtrado. ps: presión de compresión en las partículas. S: fracción másica de sólidos en la suspensión. r: razón de torta húmeda a torta seca. Planteando un balance global de masa para un tiempo t de filtración, para el volumen de control localizado entre los planos x = 0, x = L y las paredes que lo envuelven (Figura 9.13), se obtiene:

siendo Ms la masa de torta seca. 280


Al introducir cada uno de estos términos en el balance global de masa, se obtiene: Ms = (ρ S V)/(1 - r S) (9.5) donde ρ denota la densidad del líquido. Por lo tanto, para un elemento diferencial de torta conteniendo una masa de sólidos, dMs, es posible escribir: (9.6) Otra forma de expresar dMs, es en función del elemento diferencial dx de torta. Introduciendo la porosidad del lecho ε, definida como: (9.7) y ρs, la densidad de las partículas sólidas del lecho y A su sección transversal total, perpendicular a la dirección del flujo, se obtiene: (9.8) Combinando las ecuaciones para obtener una relación entre el elemento diferencial dx de torta y el volumen colectado de filtrado, se obtiene: (9.9) La torta de sólidos constituye un tipo de medio poroso, y por lo tanto es posible emplear la ecuación de Koseny-Carman, válida para escurrimiento laminar, para evaluar la caída de presión a través de la torta: (9.10)

281


USACH

donde: Go = ρ vo = densidad de flujo másico. vo = velocidad del fluido, considerando que no hay torta. Dp = 6/av = diámetro de las partículas. av = superficie específica de las partículas.

Introduciendo estos parámetros en la ecuación 9.10, se obtiene: (9.11)

La expresión anterior es válida para ε y av constantes a través del lecho de partículas. Para un elemento diferencial de torta, la ecuación anterior podemos escribirla como: (9.12) Si la torta presenta tanto una porosidad ε como una superficie específica de las partículas av, independiente de la posición, la torta formada recibe la denominación de torta incompresible. Por el contrario, si ε y av varían con la posición, la torta recibe el nombre de torta compresible. En este último caso, la fuerza de arrastre que ejerce el filtrado tiende a mover las partículas en la dirección del flujo. Este arrastre es contrarrestado por una fuerza equivalente, pero opuesta que ejercen las partículas ubicadas delante de la partícula considerada. Este efecto es acumulativo y por ende, cada capa de sólidos transmite este arrastre a la capa siguiente. Los esfuerzos mecánicos que tienden a comprimir la torta en la dirección x, denominados presiones de compresión ps, surgen al dividir las fuerzas acumulativas por el área de filtración A: ps = p1 - p

282


donde p representa la presión del fluido en el plano x = x. Dado que p1 es constante, al derivar la última expresión, se obtiene que dps/dx = - dp/dx. Luego, es posible introducir la presión de compresión en la ecuación 9.12: (9.13)

Para relacionar el comportamiento del filtro con el volumen de filtra-

do, introduciremos dx desde la ecuación 9.9, obteniéndose: (9.14) De lo anterior se desprende que ε y av dependen sólo de la presión de compresión ps. Por lo tanto, es conveniente agrupar todos estos factores en un solo término α, denominado “resistencia específica local de la torta”. Así: (9.15) De esta forma, la ecuación 9.14 puede escribirse como: (9.16) Integrando la expresión anterior entre los límites V = 0, (ps = 0) y V = V, (ps= p1- pi), y considerando que la velocidad superficial vo permanece constante al igual que las propiedades físicas de la suspensión y del líquido filtrado, se obtiene: (9.17) Esta ecuación, en rigor es válida para tortas incompresibles (α = constante), las cuales se forman cuando la suspensión está constituida por sólidos cristalinos de forma regular. En la práctica la mayoría de las tortas

283


USACH

presentan algún grado de compresibilidad y por lo tanto debe evaluarse α en las condiciones de interés, para lo cual se requiere el conocimiento de la relación de α = f(ps). En esta situación α en ecuación 9.17 es reemplazado por αav, definido como: (9.18)

Para tortas incompresibles la ecuación 9.17, puede ser escrita como: (9.19)

ecuación en la cual: (9.20)

Si tanto la fracción másica de sólidos en la suspensión como la temperatura no varían durante el proceso de filtración, entonces K1 será constante y no dependerá de las condiciones de operación. Dado que la ecuación 9.19 se aplica solamente a la torta, debemos deducir otra expresión para evaluar la caída de presión del medio filtrante, la que se debe a la resistencia de la tela, con sus poros parcialmente bloqueados por las partículas sólidas. Esta evaluación puede ser realizada usando nuevamente la ecuación de Koseny-Karman, para lo cual es necesario definir un volumen hipotético de filtrado (Ve). Otra forma de evaluación es empleando la ecuación de Darcy, válida para el escurrimiento de fluidos a través de medios porosos, en régimen laminar. En este caso: p1 – p2 = μ Rm vo (9.21) donde Rm representa la resistencia del medio filtrante. Experimentalmente se ha observado que los factores que influencian Rm son la caída de presión y en algún grado el flujo volumétrico de filtrado. 284


Evidentemente que depende fuertemente del tipo de tela y de las características de la suspensión. Incluso puede variar de un experimento a otro en un mismo filtro. La caída de presión total a través del filtro, es decir, (p1 – p2), se obtiene sumando las expresiones correspondientes a las caídas de presión parciales. Por lo tanto:

(9.22)

donde:

(9.23)

En las últimas expresiones dV/dt representa el caudal volumétrico instantáneo de filtración. La ecuación 9.22 recibe el nombre de ecuación fundamental de filtración. A continuación se mostrará como dicha ecuación se aplica para resolver diferentes situaciones de filtración. 9.4.1. Filtración discontinua

9.4.1a. Filtración discontinua a presión constante

Este tipo de operación se presenta principalmente en trabajos a escala de laboratorio y en equipos industriales que operan a vacío, como por ejemplo en filtros de hojas o láminas filtrantes.

Para asegurar una presión constante en la interfase torta-suspensión, se puede utilizar el esquema indicado en la Figura 9.14.

285


USACH

Figura 9.14. Esquema de alimentación de suspensión a un filtro a presión constante.

La integración de la ecuación 9.22 para una torta incompresible, considerando (–Δp) = constante, permite llegar a la expresión siguiente:

(9.24)

donde to y tf corresponden al tiempo necesario para colectar un volumen de filtrado Vo y Vf respectivamente. Generalmente para to = 0, el volumen de filtrado será 0.

Figura 9.15. Filtro de laboratorio (a vacío).

286


Pruebas de filtración a presión constante, a escala de laboratorio, permiten obtener un conjunto de pares ordenados (tiempo, volumen de filtrado). De un gráfico (tf – to)/(Vf – Vo) vs (Vf + Vo), se obtiene una recta cuya pendiente y coeficiente de posición, permiten determinar K1 y la resistencia del medio filtrante (Rm):

(9.25)

(9.26)

En la Figura 9.15 se muestra un esquema típico de filtración, que se utiliza a escala de laboratorio y que opera a presión constante. Si en una corrida de laboratorio se alcanza rápidamente un valor constante para (-Δp), entonces pueden considerarse to = 0 y Vo = 0.

9.4.1.b. Filtración a presión y caudal constante (Ecuación de lavado) Al finalizar la operación de filtrado, es necesario lavar la torta con un solvente apropiado, a fin de disminuir el contenido de soluto soluble retenido por la torta. Durante la operación de lavado las resistencias permanecen constantes, por lo tanto la operación se efectúa a (-Δp) y flujo constante:

(9.27)

donde dV/dt = qw =constante, representa el caudal de lavado. El tiempo de lavado está dado por: tw = Vw /qw siendo Vw el volumen de líquido empleado en el lavado de la torta.

287


USACH

Si el líquido de lavado es diferente del líquido de filtrado, será necesario corregir K1 en lo que se refiere a las propiedades físicas del fluido. Otra observación importante está relacionada con el área de lavado, ya que, dependiendo del recorrido del solvente de lavado, podría ser distinta del área de filtrado. 9.5.1.c. Filtración a caudal constante (9.28) Dado que dV/dt = Q= caudal =[L3/t] = constante, la ecuación 9.28 se transforma en: (9.29) O bien:

(9.30)

Esta situación se presenta cuando se utiliza para impulsar la suspensión una bomba de diafragma.

9.5.1.d. Filtración a caudal y diferencia de presión variables (9.31) Esta situación es usual en procesos industriales de filtración, en los cuales para impulsar la suspensión se utiliza una bomba centrífuga. Para una bomba centrífuga, la curva característica ΔH vs Q, al despreciar el término cinético (1/2 ΔV2) y el término potencial (gΔZ =0), se puede representar como

288


(–ΔP) vs Q. Por lo tanto, esta expresión nos proporciona la relación entre el flujo [Q(t)] y la diferencia de presión [ΔP(t)], que se requieren en la ecuación 9.31. Despejando de esta ecuación V(t), se obtiene: (9.32) Una vez conocida la relación V(t) vs Q(t), el tiempo necesario para filtrar un volumen VF, se obtiene a través de la integración de la siguiente ecuación: (9.33)

9.4.2. Ciclo de filtración en procesos discontinuos Una vez finalizado el período de lavado, se requiere de un tiempo adicional para extraer la torta, limpiar y armar el filtro para dejarlo nuevamente en condiciones de operar. Este tiempo adicional se conoce como tiempo de descarga, td. Se define tiempo de ciclo, tc, como la suma del total de tiempo empleado en la filtración. Es decir: tc = tf + tw + td (9.34) La capacidad del filtro discontinuo será: C = Vf /tc (9.35) Generalmente interesa que la capacidad del filtro sea máxima, de modo que el tiempo de ciclo óptimo se obtiene al derivar la capacidad respecto del volumen de filtrado e igualar a cero, o sea: (9.36)

289


USACH

Ejemplo 9.2 En la tabla siguiente se presentan resultados correspondientes a una experiencia de filtración a (-Δp)= 276,52 (kN/m2) de una suspensión de CaCO3 en agua a 20 ºC y con una fracción másica (S) de 0.0723. El filtro corresponde a uno de placas y marcos, acondicionado con un solo marco de área 0.0263 (m2) y un espesor de 0,03 m. La densidad aparente de la torta seca fue de 1604 (kg/ m3), mientras que la densidad del sólido puede tomarse igual a 2930 (kg/m3). Volumen de filtrado (L) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

Tiempo (s) 1.8 4.2 7.5 11.2 15.4 20.5 26.7 33.4 41.0 48.8 57.7 67.2 77.3 88.7

Suponiendo que la torta es incompresible, determine: a) La porosidad y superficie específica de la torta. b) La resistencia específica de la torta (α). Solución: En primer lugar, se deben evaluar los parámetros K1 y Rm, para lo cual se requiere en primer lugar representar (tf/Vf) vs Vf (ecuación 9.24) y luego utilizar las ecuaciones 9.25 y 9.26.

El ajuste de la mejor recta: Y = mX + b

290


con: Y = (tf/Vf) y X = Vf

Permite determinar los valores:

m = 8.73 (s/l2) b = 7.0 (s/l) r = 0.998 (factor de correlación)

De lo anterior, se concluye que la ecuación de la recta buscada es: tf/Vf = 8.73 Vf + 7.0

Empleando ecuaciones 9.25 y 9.26, se obtiene K1 y Rm:

K1 = 2x (2x0.0263)2(m4)x8.73x106(s/m6)x2.7652x105(kg/m-s2) K1 = 1.34x1010 (kg/s-m3)

Rm = 7000(s/m3)(2x0.0263)(m2)x2.7652x105(kg/m-s2)/0.001(kg/m-s) Rm = 1.02x1011(1/m) La porosidad de la torta puede calcularse empleando el concepto de densidad aparente ρap. Así, se tiene:

ρap = masa de sólido/(volumen del lecho) = Ms/V

Introduciendo en esta expresión la masa de sólidos, Ms, en función de la densidad de las partículas y utilizando la definición de porosidad, se obtiene: ε = (V- Vs)/V = 1 - Vs/V = 1 - (Ms/ρs)/V= 1 - ρap/ρs ε = 0.453

291


USACH

Para evaluar la resistencia específica de la torta, α, se requiere conocer el valor de r, dado por: r = (Ms + Mw)/Ms = (ρs Vs + ρw Vw)/(ρs Vs) donde M representa la masa, V significa volumen y los subíndices s y w denotan sólido y agua, respectivamente. De la definición de la porosidad se obtiene:

ε = Vw/V

y

(1 - ε) = Vs/V

luego,

r = [(1-ε)ρs + ε ρ]/[(1-ε)ρs]

Introduciendo los valores numéricos se obtiene:

r = 1.283

Utilizando la ecuación que define K1 (ecuación 9.20), se obtiene: α = 1.66x1011 (m/kg) Para evaluar la superficie específica de la torta, av, se utiliza la ecuación 9.15, obteniéndose:

Ejemplo 9.3 En un filtro prensa de laboratorio, con un solo marco de área filtrante 0.03 m2 y 30 mm de espesor, se filtró a una presión constante de 2.5 kgf/cm2 una suspensión al 8% de CaCO3 (ρs = 2700 kg/m3), obteniéndose que la relación torta húmeda/torta seca, r = 1.5. La representación adecuada de los valores experimentales (tf/Vf vs Vf) permitió obtener los parámetros de la torta y del medio filtrante: K1 = 9.22 x 109 (kg/(s-m3) ; Rm = 5.7x1010 (1/m) 292


Se desea filtrar también a 2.5 (kgf/cm2),la misma suspensión en un filtro prensa, constituido por 20 marcos de dimensiones 60 cm x 60 cm x 3cm de espesor. Al respecto, calcule: a) La cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos, señalando el tiempo empleado. b) El tiempo de lavado, si se lava con agua a 15 ºC y a (-Δp) = 2,5 (kgf/ cm2), empleando 5 volúmenes de agua de lavado por volumen de huecos de la torta. c) El volumen medio por ciclo, suponiendo que el tiempo total necesario para vaciar, limpiar y rearmar el filtro es de 30 minutos. Solución: Para evaluar la porosidad de la torta se tiene: ε = ρs(1 - r)/(ρs[1 - r]- ρ] = 0.57 Con respecto al área de filtración en el filtro industrial:

A = 2x20x0.6mx0.6m = 14.4 (m2)

Utilizando la ecuación 9.9, se obtiene:

Integrando esta expresión entre x=0, (V=0) y x =0.015m, (V=Vf), se obtiene Vf = 2.757(m3), siendo Vf el volumen de filtrado obtenido para llenar los marcos. Por otro lado: masa de suspensión = masa de torta húmeda + masa de filtrado

293


USACH

Utilizando ecuación 9.5, se obtiene: Ms = ρ S Vf /(1- r S)= 1000(kg/m3)0.08x2.757(m3)/(1- 1.5x0.08)

Ms = 250.6 (kg)

pero: r = ( Ms + masa de agua en torta )/Ms = 1.5, de acá: (masa de agua en torta) = 125.3 (kg), por lo tanto: (Volumen de agua “procesada”) = 2.757 + 0.125 = 2,882 (m3) = 2882 kg Luego, la masa de suspensión es:

Masa de suspensión = 2882 + 250.6 = 3132.6 (kg)

Para estimar el tiempo de filtración, emplearemos la ecuación 9.24:

Introduciendo valores numéricos:

obteniéndose:

tf =733 (s) = 12.2 (min)

294


b) Para evaluar el tiempo de lavado, en primer lugar se debe determinar el volumen de agua empleado en esta tarea, usando la información entregada en el enunciado: Vw = 5 Vhuecos Vtorta = 20x0.62 (m2)x0.03 (m) = 0.216 (m3) Utilizando la definición de porosidad:

Vhuecos = 0. 57x 0.216 (m3) = 0.123 (m3)

luego: Vw = 0.616 (m3) Por otro lado: Aw = Af/2 = 7.2 (m2) Introduciendo estos valores en la ecuación de lavado: (9.27) con dV/dt = Vw/tw = qw =constante.

se obtiene:

tw = 1252 (s)

c) Recordando que: tc = tf + tw + td; e introduciendo los valores respectivos, se obtiene: tc = 733 (s) + 1252 (s) + 1800 (s) = 3785 (s); luego, la capacidad C, es: C = Vf/tc = 7.284*10-4 (m3/s) = 2.62 (m3/h) 295


USACH

Filtro prensa LOPU/ DIQ / USACH (Vista parcial).

9.4.3. Filtración continua a presión constante Este tipo de operación se realiza en filtros tales como los de tambor rotatorio o los de discos. En ellos se observa que la caída de presión (–Δp) permanece constante. El espesor de una determinada fracción de área filtrante, aumenta gradualmente a medida que ella gira, sumergida en el interior del estanque con la suspensión. Cuando emerge desde la suspensión, se

296


realizan consecutivamente las operaciones de lavado, secado (opcional) y desprendimiento de la torta. Considerando que la operación de filtración se realiza a (–Δp) = constante, es posible “adecuar” la ecuación deducida para filtración discontinua a (–Δp) = constante. Sean L y R el largo y radio del tambor rotatorio. Por lo tanto, la superficie filtrante total del tambor está dada por la expresión:

A=2πRL

y la superficie sumergida por:

Ao = ψ’ R L

De lo anterior se concluye que la fracción de superficie sumergida del filtro ψ adopta la forma:

ψ = ψ’/(2 π) = Ao/A

donde ψ’ se expresa en radianes y constituye una medida de la superficie sumergida del tambor. Por otro lado, la ecuación de filtración, deducida para un filtro discontinuo, considerando que a t = 0 no se ha recolectado filtrado, fue:

(9.37)

donde t* representa el tiempo “real” de filtración, o sea el tiempo que permanece sumergido un área determinada de filtro. V* corresponde al volumen de filtrado, colectado por la fracción de superficie sumergida Ao en el tiempo t*. El tiempo de filtración t* puede expresarse en función de la velocidad de giro del tambor, N (revoluciones/tiempo): t* = (ψ /N),

297


USACH

por otro lado, también es posible relacionar V* con el volumen de filtrado recolectado Vc durante el tiempo de un ciclo de filtración tc. Así:

V* = Vc (Ao/A) = Vc ψ = Qo tc = Qo/N = (Ψ/N)Qo

donde Qo es el flujo volumétrico de filtrado. Introduciendo las expresiones para t* y V*, se obtiene:

(9.38)

Ensayos a nivel de laboratorio, permiten obtener valores de (–Δp)/Qo vs Qo/N, los que representados adecuadamente, permiten determinar los parámetros K1 y Rm.

Filtro rotatorio (LOPU/DIQ/USACH).

298


Ejemplo 9.4 Un filtro de tambor rotatorio con el 30% de su superficie sumergida, se ha de utilizar para filtrar una suspensión acuosa concentrada, que contiene partículas en una concentración de 14.7 (lb/pie3 de suspensión), equivalente a S = 0.2 (masa de sólido/masa total de la suspensión). Si la torta contiene 50% de humedad (basada en la torta húmeda, o sea r = 2) y la caída de presión se mantiene constante en 20 pulg. de mercurio (equivalente a 1414 (lbf/pie2), estime el área que debería tener el filtro para tratar 10 gal/min (equivalente a 0.0223 de desechos, considerando que el tiempo del ciclo es de 5 min. Experiencias anexas de laboratorio señalan que la resistencia específica de la torta (α) es 1.833 x 1011(pie/lb). Solución: Considerando que no se dispone de información para evaluar la resistencia del medio filtrante, ésta será despreciada, lo cual, en la mayoría de los casos es una aproximación razonable. Por lo tanto, la ecuación de filtración queda reducida a: recordando que K1 esta dado por: K1 = (α μ ρ S)/(1-r S), se obtiene:

La diferencia entre el flujo de alimentación de suspensión y el flujo de filtrado (esencialmente agua), se obtiene a partir de un balance global de masa: entrada de suspensión = masa de filtrado + masa de torta 0.0223x14.7x(1/S) = Qox62.4 + 0.0223x14.7xr

299


obteniéndose

USACH

Qo = 0.0158(pie3/s)

Introduciendo estos valores en la ecuación de filtración, se obtiene: A = 84 (pie2) Ejemplo 9.5 Un filtro de hojas de 1 m2 de superficie de filtración, que opera a (–Δp) = 2.8 kgf/cm2 entrega los siguientes resultados, en un ensayo de 1 hora de duración: V. de filtrado (m3) Tiempo (min)

13.1 10

20 20

25.1 30

31.6 45

37.2 60

Si la suspensión original contiene 10% en peso de sólidos: a) Determine el tiempo necesario para lavar la torta formada al cabo de 70 min. de operación, si éste se realiza también a (–Δp) = 2.8 kgf/cm2 y si se utilizan 2.83 m3 de agua de lavado. b) Determine el tiempo del ciclo, considerando que el tiempo empleado en descargar la torta y en volver a dejar el filtro, dispuesto a continuar el trabajo es de 60 min. Solución: Para determinar los parámetros K1 y Rm, se debe graficar o correlacionar tf/Vf vs Vf. De esta forma se obtiene la expresión: donde:

tf/Vf = 0.0355 Vf + 0.3

K1 = 0.0355x2xA2 x(–Δp) = 1.987 (kgfxmin/m4)

Rm = 138.927 (min2xkgf/(m2xkg)

300


Ahora, utilizando dicho ajuste, es posible determinar el volumen de filtrado recolectado al cabo de 70 min de filtración, el cual es de 40.4 m3. Suponiendo que durante el lavado no cambian las propiedades físicas de la torta y por lo tanto se mantienen constantes K1 y Rm, se tiene para la ecuación de lavado:

(–Δp)w = 1987 Vf Qw + 8.335 Qw = 2.8x 104 (kgf/m2)

Introduciendo Qw = Vw/tw = 2.83/tw, y Vf = 40.4, se obtiene que el tiempo de lavado es: tw= 9 min. Para el tiempo de ciclo, tc, se tiene: tc = tw + tw + td = 70 + 9 + 60 = 139 (min) Ejemplo 9.6 Un filtro continuo, utilizado para desparafinar aceites petrolíferos, consiste en un tambor rotatorio horizontal, de 1.83 m de diámetro y 3.66 m de longitud. La densidad de la parafina es 800 kg/m3 y el del aceite 850 kg/m3. Las condiciones de trabajo son las siguientes: Velocidad de filtración = 841 (lt/min) Concentración de parafina = 0.05 [m3 parafina/m3 de solución] Velocidad de giro del tambor = 6 rpm Inmersión del tambor = 20% de su periferia Analice cómo varía la velocidad de filtración (lt/min), al modificar las siguientes condiciones: a) Si se aumenta el nivel de solución en el estanque, para aumentar la inmersión hasta un 40% de su periferia.

301


USACH

b) Si se disminuye la velocidad de giro a 3 rpm. c) Si las condiciones señaladas en a y b se llevaran a efecto simultáneamente. d) Comente de qué manera influyen tanto en el proceso de filtración como en los costos operacionales, las modificaciones propuestas. Solución: En primer lugar se calcularán algunos parámetros básicos: A = π D L = 21 (m2) (área de filtrante) Qo = 841(lt/min) Dado que no se tiene información respecto de la resistencia del medio filtrante, esta será despreciada (Rm = 0). Además, como no se menciona la presión de trabajo, se evaluará K1* = K1/(–Δp). Luego, Introduciendo en esta ecuación valores de A, Qo, ψ y N se obtiene el valor de K1* = 0.0015(m4/lt). a) Qo = [2x212x0.4x6/0.0015]0.5 = 1.188 (lt/min) b) Qo = [2x212x0.2x3/0.0015]0.5 = 594 (lt/min) c) Qo = [2x212x0.4x3/0.0015]0.5 = 840 (lt/min) d) Un aumento en la superficie sumergida del filtro, se traduce en una disminución del tiempo “disponible” para las etapas de lavado y secado de la torta. Una disminución de la velocidad de giro del tambor se traduce en un mayor tiempo disponible para las etapas de lavado y secado de la torta. El consumo de energía disminuye al disminuir la velocidad de giro del tambor.

302


Ejemplo 9.7 Una suspensión que contiene 0,2 lb de sólido (de gravedad específica 3) por libra de agua, es alimentada a un filtro rotatorio de 2 pies de longitud y 2 pies de diámetro. El tambor rotatorio gira a una revolución cada 6 minutos, y un 20% de la superficie de filtración está en contacto con la suspensión en todo momento. Si la velocidad de filtración es de 1000 lb/h y la torta tiene una porosidad de 0,5, determine el espesor de torta que se produce cuando se filtra con un vacío de 20 pulg. de mercurio? Solución:

N = 1/6 [rpm] = 10 [rph]

Por otro lado:

Con el dato de la suspensión

se calcula de la fracción de

sólidos en la suspensión (S): Cálculo de razón de torta húmeda torta seca (r): Para el cálculo del área del tambor: Atambor = π · D · L = π · 2 · 2 = 12,56[pies2]

303


USACH

Como el área de filtración es el 20% de la superficie del tambor, se tiene:

Afiltr = N · Atambor · Ψ = 10 · 12,56 · 0,2 = 25,12[pies2]

La masa de sólidos, se determina desde un balance de masa:

Reemplazando los datos anteriores, se tiene:

Despejando se obtiene: ms = 214,68[lb/h] De la razón torta húmeda torta seca, se tiene:

Para calcular el espesor de la torta, se necesita el volumen de la torta húmeda, el cual se obtiene de la definición de porosidad:

304


Calculando el volumen de torta seca:

Luego, el volumen de torta húmeda corresponde a: VTH = Afiltr · Espesor VTH = 2,29[pies3/h] = 25,13[pies2] · Espesor Espesor = 0,09[pies] = 1,09[pulg] Por lo tanto, para el vacío de 20 pulg Hg se forma una torta de espesor de 1,09 pulg. Ejemplo 9.8 El filtro rotatorio del problema anterior falla, y la operación de filtrado debe ser realizada temporalmente en un filtro prensa de placas y marcos, con un área por marco de 1 pie2. El tiempo para desarmar y armar el filtro es de 4 minutos. Se debe considerar además 2 minutos por cada marco, a fin de remover la torta. Si la filtración se realiza a la misma velocidad que en el problema anterior, con una presión de operación de 25 psig, ¿Cuál es el número mínimo de marcos que deben ser usados y cuál es el espesor de ellos? Suponga que la torta es incompresible y desprecie la resistencia de la tela. Solución: Se tiene: → AF = 2 · 1[pies2]· n = 2 · n[pies2] td = 4 [min] tw = 2·n [min] m0 = 1000 [lb/h] Q0 = 16,025 [pies3/h] (–ΔP)op = 25 [psig] = 1,5011·1012 [lb/pies·h2] 305


USACH

Para un filtro continuo, se tiene:

Despreciando la resistencia de la tela (Rm):

Utilizando los valores del ejemplo anterior:

Para (–ΔP) constante y Q variable, se tiene:

Reemplazando los valores del ejemplo anterior:

Por otro lado, la capacidad de filtración esperada es de 16,025 pie3/hora, es decir: Es decir, para el filtro prensa de placas y marcos, en una hora del ciclo de filtración se debe obtener 16,025[pies3] de filtrado. Por lo tanto, considerando que el ciclo de filtración es: tc = tF + tw + td 306


Y reemplazando los tiempos entregados, se tiene:

De lo anteriormente calculado se reemplaza el tiempo de filtrado: Esta ecuación tiene tres soluciones matemáticas:

De estas soluciones se descarta la primera, y relacionando con el espesor del marco, se selecciona el número de marcos a utilizar:

El espesor de 5.5 pulgadas aparece como exagerado para lo habitualmente observado en operaciones industriales, motivo por el cual se seleccionará el espesor de 1 pulgada con el empleo de 28 marcos.

9.5.

Filtración de tortas compresibles

La mayoría de los lodos de aguas residuales forman tortas compresibles, para las cuales la resistencia específica es función de la pérdida de carga o diferencia de presión a través de la torta, es decir: α = f(ps). Por este motivo, los parámetros K1 y Rm, determinados de datos de laboratorio, no 307


USACH

pueden extrapolarse a otras condiciones de caída de presión, (–Δp), y caudal, Q. Para diseñar un filtro discontinuo, con formación de torta compresible, la relación entre (–Δp) y Q debe ser la misma en el filtro de laboratorio y en el filtro industrial. Para trabajar con tortas compresibles, se requiere conocer de antemano la relación entre α y ps de modo de evaluar αAV (resistencia específica promedio de la torta). Normalmente la relación entre α y ps es dada por una correlación empírica de la forma:

α = αo (ps)γ

(9.39)

siendo αo y γ constantes empíricas. En la ecuación anterior, γ recibe el nombre de coeficiente de compresibilidad, y generalmente está comprendido entre 0.4 y 0.9 para los lodos que se producen en el tratamiento de aguas residuales. Evidentemente, para tortas incompresibles se cumple que γ = 0. Para determinar αo y γ se debe linealizar la ecuación anterior, aplicando logaritmos:

log α = log αo + γ log ps

(9.40)

Ahora, desde un gráfico de log α vs log ps, con valores experimentales de α obtenidos en el equipo de laboratorio para diversas presiones, se obtiene del coeficiente de posición de la recta αo y de la pendiente γ.

308


9.6.

Auxiliares filtrantes

Las filtraciones que presentan dificultades relacionadas con bajos niveles de filtración, atascamiento del medio o calidad poco satisfactoria del filtrado, pueden ser substancialmente mejoradas al emplear auxiliares filtrantes, materiales granulares capaces de formar una torta sumamente permeable. Los auxiliares filtrantes son particularmente útiles en lechadas, que contienen sólidos muy finamente divididos, o grumos limosos y deformables. Los auxiliares filtrantes son de baja densidad volumétrica, porosos y químicamente inertes. Los tipos comerciales más efectivos y versátiles son las diatomitas, (conocidas también como tierras de diatomáceas, sílicas diatomáceas, tierras de infusorios o Kieselguhr) y las perlitas. Los tipos menos usados son de fibra de asbesto, celulosa y caolín. 9.6-1. Diatomitas Están compuestas por caparazones de algas acuáticas microscópicas unicelulares. Tienen una densidad volumétrica en seco de 8 a 12 lb/pie3 y contienen partículas, en su mayoría inferiores a 50 micras. A continuación se muestra su composición química promedio en % base seca:

SiO2 : Al2O3 : Fe2O3 : TiO2 : CaO : MgO : Na2O-K2O :

70 - 90% 2 - 5% 1 - 2% 0.1% 0.2 - 8% 0.2 - 2% 0.05 - 0.85%

309


USACH

Los diferentes métodos de procesamiento de la diatomita cruda, dan como resultado una serie de auxiliares filtrantes que tienen grados variables de eficiencia de clarificación y velocidad de filtración. Al respecto: Producto natural: obtenido por secado, molienda, purificación y clasificación del material crudo. Producto calcinado: el producto natural es calcinado en un horno rotatorio, donde la temperatura aumenta gradualmente. El producto calcinado es enfriado, sometido a molienda y clasificación. Este producto es de color rosado, insoluble en ácidos fuertes y estabilizado contra altas temperaturas. Al realizar la calcinación en presencia de un agregado fundente, como por ejemplo carbonato de sodio anhidro, se obtiene un producto blanco. Dependiendo de la cantidad, tipo de fundente y temperatura de fusión, es posible producir un amplio rango de productos con diversos grados de eficiencia de clarificación y velocidad de filtración. 9.6-2. Perlitas

Es el producto resultante del tratamiento y trituración de una roca volcánica. La perlita es un vidrio químicamente inerte, libre de impurezas orgánicas, con pH aproximado de 7, que tiene agua ocluida en combinación, lo cual le otorga la propiedad de expandirse al ser sometida a temperaturas elevadas, llegando a aumentar 20 veces su volumen inicial, alcanzando densidades tan bajas como 32 kg/m3. Con respecto a su tamaño, gran parte de sus partículas están entre 50 y 150 micras. En la tabla siguiente se presenta su composición media:

310


SiO2 Al2O3 K2O Na2O CaO Fe2O3 MgO TiO2

: : : : : : : :

71 - 75% 12.5 - 18% 4 - 5% 2.9 - 4% 0.5 - 2% 0.5 - 1.5% 0.2 - 2% 0.03 - 0.2%

Aunque las diatomitas soportan niveles ligeramente más extremos de pH que la perlita y se sostiene que es menos compresible, en general, las diatomitas pueden ser reemplazadas por las perlitas, con escasa diferencia en la calidad del filtrado y con apreciables conveniencias de costos y rendimientos. Comparando la misma unidad de masa, las perlitas dan una capacidad de filtración del orden de 25% mayor que las diatomitas, con el consecuente ahorro de 20 - 30% en el uso de auxiliares filtrantes. La mezcla de arcilla decolorante y carbón activado, por lo común junto con sílice diatomáceo, actúan como adsorbente y ayuda simultánea de filtración, para los aceites, las grasa y las soluciones de azúcar. La decisión de usar o no auxiliar filtrante, y en caso de requerirse, su grado, tipo y cantidad, son determinados empíricamente. Los auxiliares filtrantes se usan en dos formas: a) Formando una delgada capa (del orden de 0.1 lb de diatomáceas/pie2 de área de filtro), para proteger el medio filtrante y evitar el escape de partículas pequeñas ocasionales al interior del filtrado. b) Mezclando el auxiliar filtrante con la suspensión, todavía no filtrada, para atrapar las partículas de filtración difícil en una torta permeable. La canti-

311


USACH

dad óptima para este fin, aunque relativamente pequeña, varía mucho con la aplicación y se debe determinar con tanteos en ensayos experimentales. Un punto razonable de partida es de una a dos veces la concentración de masa de los sólidos que se van a retirar. Para decidir tanto la inclusión o no del auxiliar filtrante (AF), como también para cuantificar la cantidad y tipo de AF, los proveedores de dichos productos recomiendan algunos procedimientos empíricos.

312


EJERCICIOS 9.1. Para purificar agua se dispone de un filtro de lecho profundo, constituido de dos capas: la primera de 50 cm de partículas de antracita de tamaño –14 + 10 (Tyler), y la segunda de 50 cm de partículas de arena de tamaño –48 + 35 (Tyler). En la tabla siguiente se resumen las características de cada una de las capas:

Capa 1 Capa 2

Porosidad 0.48 0.44

Densidad(kg/m3) 1500 2650

Esfericidad 0.70 0.8

Considerando que sobre el lecho del filtro se mantienen 75 cm de agua, determine la capacidad inicial del filtro (Go), en m3/m2h.

9.2. Un filtro de tambor rotatorio con el 30% de su superficie sumergida, se ha de utilizar para filtrar una suspensión acuosa concentrada que contiene partículas en una concentración de 14.7 (lb/pie3 de suspensión), equivalente a S = 0.2 (masa de sólido/masa total de la suspensión). Si la torta contiene 50% de humedad (basada en la torta húmeda, o sea r = 2) y la caída de presión se mantiene constante en 20 pulg. de mercurio (equivalente a 1414 (lbf/pie2), estime el área que debería tener el filtro para tratar 10 gal/min (equivalente a 0.0223 de desechos, considerando que el tiempo del ciclo es de 5 min. Experiencias anexas de laboratorio señalan que la resistencia específica de la torta, α, es 1.833x1011(pie/lb). 9.3. Se trata de filtrar un precipitado de hidróxido férrico a presión constante en un filtro prensa de placas y marcos. Las dimensiones de estos son 90 cm. x 90 cm. x 2,5 cm. Después de 6,5 horas de funcionamiento normal los marcos se han llenado y el filtrado recogido asciende

313


USACH

a 1,37 m3/m2 de superficie de filtración. Se ha pensado lavar la torta con 1/3 de volumen de líquido recogido como filtrado. Si para ello se aplica la misma presión ¿Cuánto tiempo se empleará en el lavado? 9.4. Para filtrar sedimentos petrolíferos se utiliza un filtro prensa. Una serie de ensayos efectuados a presión constante de 2.5 kgf/cm2 han dado estos resultados: Volumen filtrado (lts) Tiempo (seg) --------------------------------------------------------------------------------- 0,2 2,0 0,4 4,6 0,6 8,2 0,8 12,4 1,0 16,9 1,2 22,5 1,4 29,3 1,6 33,7 1,8 45,0 2,0 53,0 2,2 63,4 2,4 74,0 2,6 85,0 2,8 97,5

Se hicieron los ensayos en un filtro prensa de diseño especial, con un solo marco de área filtrante 0,03 m2 y 30 mm de espesor. La suspensión contenía 8% en peso de CaCO3 y la relación torta húmeda/torta seca = 2,0. La misma suspensión se trata ahora en un filtro prensa, constituido por 20 marcos de dimensiones 60 cm. x 60 cm. x 3 cm., efectuándose la filtración a 20 ºC, y con diferencia de presión de 2,5

314


Kg f/cm2. Determine la cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos y el tiempo empleado. 9.5. Para filtrar sedimento petrolífero se utiliza un filtro prensa. Una serie de ensayos efectuados a caudal constante (378.5 cm3/min) han dado los siguientes resultados: (–∆P) kgf/cm2 2.24 V cm3 37.85

4.69 75.70

11.33 113.55

Se propone ahora que este filtro trabaje a diferencia de presión constante igual 3.5 kgf/cm2. Suponiendo el lodo a filtrar homogéneo, determine el volumen de aceite filtrado en 30 minutos, en las condiciones citadas y admitiendo que la resistencia a la filtración no varía apreciablemente al variar el caudal de filtración.

9.6. Los ensayos de laboratorio para una filtración de CaCO3 en agua a presión constante de 2.5 kgf/cm2 han dado los siguientes resultados, obtenidos en un filtro prensa de diseño especial, con un solo marco de área filtrante 0.03 m2 y 3 cm de espesor. Volumen filtrado (lt) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6

315

Tiempo (s) 2.0 4.6 8.2 12.4 16.9 22.5 29.3 33.7 45.0 53.0 63.4 74.0 85.0


USACH

La suspensión contenía 8% en peso de CaCO3 y la relación torta húmeda/torta seca = 2. La misma suspensión se trata ahora en un filtro prensa, constituido por 20 marcos de dimensiones 60 cm. x 60 cm. x 3 cm., efectuándose la filtración a 20 ºC y con una diferencia de presión de 2.5 kgf/cm2. Determine la cantidad de suspensión que puede manejarse hasta llenar los marcos y el tiempo empleado.

316

Capítulo 10: Flujo alrededor de objetos sumergidos

CAPÍTULO 10 FLUJO ALREDEDOR DE OBJETOS SUMERGIDOS

Al igual que en el flujo por el interior de ductos, se define: FK = A · K · f

(10.1)

donde: FK: fuerza relacionada con el comportamiento cinético del fluido. Tiene la misma dirección que la velocidad de aproximación del fluido V∞ (velocidad de la partícula relativa a la del fluido). A: es el área máxima que se obtiene al proyectar el sólido en un plano perpendicular a la velocidad de aproximación del fluido. K: término de energía cinética = (V∞)2 ρ /2. f = CD: coeficiente de fricción o de resistencia. Para el flujo alrededor de una esfera de radio R, CD se define como:

(10.2)

Experimentalmente, la magnitud medible es V∞ y no Fk, por lo tanto debe plantearse un balance de fuerzas para el descenso de la partícula, bajo la acción de una fuerza externa, la que generalmente es la fuerza de gravedad, aunque en algunas aplicaciones puede ser una fuerza centrífuga.

317


USACH

La teoría básica del movimiento de partículas sólidas a través de fluidos, se apoya en el concepto del movimiento libre de los cuerpos: (10.3) siendo F la fuerza resultante que actúa sobre cualquier cuerpo, dv/dt la aceleración del cuerpo y m su masa.

Figura 10.1. Balance de fuerzas.

Introduciendo en el balance de fuerzas, las expresiones correspondientes a cada una de las fuerzas presentes, se obtiene: (10.4) Simplificando esta ecuación se tiene:

(10.5)

La ecuación 10.5 es una expresión general de la fuerza total que actúa sobre un cuerpo, bajo cualquier campo de fuerzas. Su solución requiere un conocimiento de la naturaleza de la fuerza externa y del coeficiente de resistencia CD.

318


Si la fuerza externa es la gravedad, aE corresponde a la aceleración de gravedad g y si la fuerza externa se refiere al campo centrífugo, entonces aE = r ω2, siendo r el radio de la trayectoria y ω la velocidad angular en rad/seg. En cualquiera de las situaciones, para evaluar CD se dispone de correlaciones empíricas y/o gráficos del tipo CD vs Re, en los cuales aparece como parámetro el factor de forma de las partículas, φs (o ψ).

10.1. Velocidad Terminal Consideremos una partícula aislada o en presencia de otras que no interfieran su caída, bajo la acción de un campo gravitatorio. A medida que cae la partícula, su velocidad aumenta hasta que las fuerzas acelerantes y de resistencia se igualan. En este momento, la velocidad de la partícula permanece constante durante el resto de la caída. Esta velocidad recibe el nombre de velocidad terminal, Vt. Para el caso de partículas esféricas, donde el área proyectada, A= (π/4) (dp)2, y m = (π/6) (dp)3 ρs, se tiene: (10.6) De aquí se obtiene la expresión para la velocidad terminal de una partícula. dp corresponde al diámetro equivalente a una esfera de cualquier partícula: (10.7) Para el caso particular de régimen laminar, el cual se presenta cuando el número de Reynolds para partículas es <1, y considerando partículas esféricas (Dp = dp), Stokes demostró que:

FK = 3π dp µ V 319


USACH

Introduciendo esta ecuación en el balance de fuerzas, mostrado inicialmente y considerando estado estacionario, se obtiene: (10.8) Para CD se obtiene: (10.9)

10.2. Coeficientes de arrastre Para evaluar el coeficiente de arrastre CD, en régimen de flujo distinto de Stokes, puede utilizarse el gráfico que se adjunta o utilizar correlaciones disponibles en la literatura especializada.

Figura 10.2. Representación del factor de fricción o coeficiente de arrastre (CD) vs Ret (Adaptado de Levenspiel ,Flujo de Fluidos e Intercambio de calor, 1993).

320


Haider y Levenspiel proponen la siguiente expresión para determinar CD: (10.10) Para partículas esféricas (φs =1), esta ecuación se reduce a: (10.11)

La Figura 10.3 es una representación gráfica de las ecuaciones 10.10 y 10.11, las que permiten evaluaciones directas de Vt, conocidos dp (diámetro de la esfera equivalente) y las propiedades físicas del sistema. En la Figura 10.3 se utiliza un tamaño de partícula adimensional (dp*) y una velocidad del gas adimensional (vt*), definidas así: (10.12)

(10.13)

321


USACH

Figura 10.3. Gráfica para determinar la velocidad de caída libre de partículas (Adaptado de Kunii y Levenspiel, Fluidization Engineering, 1991).

Por otro lado, Haider y Levenspiel presentan la correlación siguiente, válida para estimar Vt* de partículas con esfericidad entre 0.5 y 1.0. (10.14)

322


EJERCICIOS 10.1. Determine la velocidad terminal de partículas de densidad 2500 kg/m3, cuando son arrastradas por aire a 20 ºC. Considere cada uno de los siguientes tamaños: a) Esferas de 10 µm. b) Esferas de 1 mm. c) Partículas irregulares de 10 µm y esfericidad, φ= 0.67. d) Partículas irregulares de 1 mm y esfericidad, φ = 0.67. 10.2. Una mezcla de galena (ρ = 7500kg/m3), y sílice (ρ = 2650kg/m3), será sometida a elutriación con agua, a una velocidad de 0.37 m/min, a una temperatura de 20 ºC. La alimentación de sólidos contiene 30% en peso de galena, con el siguiente análisis granulométrico:

dp (µm)

20

30

40

50

60

70

80

90

100

% peso

33

53

67

77

83

88

91

93

94.5

Si la sílice posee la misma distribución granulométrica en la alimentación, ¿qué fracción de la alimentación de galena se encuentra en el producto del fondo y en el producto de tope? ¿Qué sucede con esta separación si se cambia el agua por tetracloruro de carbono como agente elutriador?

10.3. Una mezcla finamente dividida de galena (ρ = 7500kg/m3), y caliza(ρ = 2700kg/m3), en la proporción de 1:4 en masa, será sometida a elutriación con agua, a una velocidad de 0.5 cm/s, a una temperatura de 20 ºC. La alimentación de sólidos contiene 30% en peso de galena, con el siguiente análisis granulométrico tanto para la galena (φ=0.8), como la caliza (φ=0.7):

323


USACH

dp (µm)

20

30

40

50

60

70

80

100

% peso

15

28

43

54

64

72

78

88

a) Determine la función que representa el análisis granulométrico de la alimentación. b) Calcule el % de galena en el material arrastrado en el producto de fondo.

324

Capítulo 11: Fluidización

CAPÍTULO 11 FLUIDIZACIÓN

11.1. Introducción a la fluidización La fluidización es la operación mediante la cual sólidos granulares son transformados en un estado pseudo-líquido, al contactarse con un gas o un líquido. Este método de contacto tiene características tales que hacen de la fluidización una operación con gran potencialidad. Utilizada a escala industrial desde 1948, esta técnica ha crecido en popularidad para el secado de materiales como minerales, polímeros, productos farmacéuticos y materiales cristalinos. Los equipos que utilizan el concepto de lecho fluidizado son compactos, de construcción simple e involucran una inversión, costo de operación y manutención relativamente bajos. Además, la eficiencia térmica de estos equipos es alta debido a que se obtienen elevados coeficientes de transferencia de calor y masa. Para utilizar esta técnica se debe cumplir un requisito fundamental, el cual es que el material en cuestión sea fluidizable; en esto el tamaño, densidad y contenido de humedad juegan un rol de importancia. Por ejemplo, si la humedad es excesiva, se corre el riesgo que se produzcan aglomeraciones al interior del lecho, con lo cual la calidad de la fluidización se vería afectada. Actualmente, sólidos no fluidizables en unidades convencionales, son tratados en lechos tales como vibrofluidizados, o lechos agitados por artefactos mecánicos, o por la corriente de aire (lechos pulsantes), diseños en los cuales se mejora el contacto fluido-partícula. Cuando un flujo de gas o líquido se hace circular en la misma dirección, pero en sentido opuesto a la gravedad, a través de un lecho formado por partículas sólidas, se tiene que a bajas velocidades de flujo el gas fluye

325


USACH

a través de los intersticios del lecho, permaneciendo éste estático (Figura 11.1). La caída de presión del fluido se incrementa con la velocidad de éste. Esta situación se mantiene hasta una velocidad característica del sistema sólido-fluido, en donde las partículas comienzan a vibrar, manteniendo sus posiciones relativas. Hasta este punto es aplicable la ecuación de Ergun. Esta velocidad es denominada de mínima fluidización. A velocidades superiores, la porosidad del lecho se incrementa y la curva de caída de presión versus velocidad cambia abruptamente de pendiente, como se puede observar en la Figura 11.2.

Se dice entonces, que el lecho está fluidizado. Este estado se mantie-

ne hasta que la velocidad superficial se iguala a la velocidad terminal de los sólidos, punto en el cual la porosidad del lecho tiende a 1, transformándose la operación en un transporte neumático de sólidos.

Si la velocidad del fluido que circula a través del lecho es baja, como

lo muestra la Figura 11.1.a, el lecho permanece fijo. A velocidades más altas, se alcanza un punto en el cuál todas las partículas se encuentran suspendidas por el fluido. En este punto el peso del lecho por unidad de área es igual a la caída de presión a través de éste. En dicho punto el lecho se encuentra en el estado de fluidización mínima (Figura 11.1.b), y a la velocidad del fluido se la conoce como la velocidad de mínima fluidización (Vmf). En sistemas sólido-líquidos, un incremento en la velocidad del fluido por sobre la de mínima fluidización, generalmente ocasiona una uniforme y progresiva expansión del lecho. Los efectos de volúmenes muertos de líquidos y grandes inestabilidades de flujo resultan pequeños, y sus efectos no provocan alteraciones en las condiciones normales de operación [Fluidización homogénea].

326


En sistemas sólido-gas, los efectos anteriores son apreciables. Con un incremento en la razón de flujo más allá de la velocidad mínima de fluidización, la aparición de volúmenes muertos, burbujas y canalizaciones son claramente apreciables. Estas últimas hacen que el lecho en ocasiones no se expanda con el aumento en la caída de presión; provocando perturbaciones en los procesos de transferencia de calor y masa [Fluidización heterogénea].

En general, a altas velocidades, la agitación y el movimiento de los

sólidos se hace importante, por lo que en condiciones ideales el lecho se expande aún más (Figura 11.1.c). Si la velocidad del fluido es muy superior a la de mínima fluidización, las partículas son arrastradas fuera del lecho (Figura 11.1.d). Esta velocidad es la llamada velocidad de arrastre o de elutriación.

Figura 11.1. Tipos de contacto fluido-partícula.

327


USACH

Figura 11.2. Curva típica de caída de presión vs velocidad del fluido.

La caída de presión del lecho aumenta proporcionalmente en función de la velocidad del fluido (Figura 11.2), hasta el punto de la velocidad mínima de fluidización (vmf). A partir de este punto, se observa que la caída de presión se hace constante con un aumento en la velocidad del fluido.

Figura 11.3. Comportamiento de un lecho fluidizado (Adaptado de Kunii y Levenspiel, Fluidization Engineering, 1991).

328


La Figura 11.3 esquematiza la similitud entre un lecho fluidizado y un líquido: objetos livianos flotan; al inclinar la columna de fluidización, su superficie se mantiene horizontal. Si se perfora una pared lateral, los sólidos salen del lecho. Columnas inicialmente con diferente nivel de sólidos se igualan si ambas son conectadas; la caída de presión a través del lecho es igual al peso del lecho.

Figura 11.4. Anomalías en un lecho fluidizado: a) flujo pistón, b) canalización.

La representación de la caída de presión en función de la velocidad del aire, mostrada en Figura 11.2, puede en la realidad alejarse de dicha representación idealizada, debido a las características de las partículas y/o un diseño inadecuado de la placa distribuidora de aire en la base de la columna. La línea horizontal en Figura 11.4 corresponde al comportamiento idealizado: fluctuaciones en la caída de presión son atribuibles al fenómeno de flujo pistón, en el cual burbujas empujan grandes cantidades de partículas. Por otro lado, la presencia de caminos preferenciales para el paso de gas produce la anomalía de canalización, con valores de la caída de presión

329


USACH

inferiores a lo esperado. Estas dos anomalías empobrecen el contacto fluidopartícula, motivo por el que deben evitarse o al menos minimizarse.

11.2. Aplicaciones industriales de la fluidización

Existen innumerables aplicaciones industriales en las áreas de: gasificación y combustión de carbones y biomasa, reacciones en presencia de catalizadores, secado de sólidos granulares y pastas, en limpieza de filtros de lecho profundo y en aplicaciones de transferencia de calor gas-partícula. A continuación se describen algunas de estas aplicaciones. Combustión de carbones La combustión en un lecho fluidizado es una innovación técnica versátil, que permite quemar carbón u otros combustibles sólidos en forma “limpia”. Una caldera de lecho fluidizado consiste de partículas soportadas por un distribuidor de aire. El lecho contiene partículas de sólidos que pueden ser inertes (como cenizas) o bien materiales como caliza y/o dolomita, utilizados para adsorber el SO2 producido durante la combustión del carbón, especialmente cuando éste tiene un alto contenido de azufre. El material del lecho es agitado y puesto en movimiento turbulento al subir el aire a través del distribuidor a una velocidad superficial adecuada, la que depende principalmente del tamaño y densidad de las partículas. Los elevados coeficientes de transferencia de calor y materia, característicos de un lecho fluidizado, se traducen en elevadas tasas de liberación de energía en equipos de volumen considerablemente inferior a los tradicionales. Secado de suspensiones y pastas Actualmente, el secado industrial de pastas se desarrolla principalmente empleando el secador spray, obteniéndose productos de calidad razonable, pero

330


con la desventaja de exigir una gran inversión inicial, con costos de mantención elevados, dada la complejidad del equipo, lo que constituye una fuerte limitación especialmente cuando se piensa aplicar para recuperar productos de moderado valor. El secado de pulpas de fruta en forma de pastas en secadores spray, requiere necesariamente del uso de aditivos (maltodextrinas y derivados), para permitir el secado de los azúcares presentes y disminuir parcialmente la higroscopicidad del producto seco. Resultados preliminares del secado de pulpas de manzana, en secadores que emplean inertes, muestran que en ellos también es necesaria la presencia de dichos aditivos. El secado de pastas en lechos de partículas inertes, se produce al “pulverizar” la suspensión en el interior de los respectivos lechos (de chorro y fluidizado). El secado de la pasta, que cubre las partículas inertes, se produce por el contacto de éstas con el aire caliente. La colisión entre las partículas inertes y con las paredes de los equipos, produce la remoción del producto seco, siendo arrastrado por la corriente de aire hacia el exterior, donde es retenido por un ciclón. Una malla metálica ubicada en el extremo superior del equipo, impide la salida de los inertes.

Los equipos que emplean partículas inertes (lecho de chorro, fluidizado, neumático, entre otros), a la fecha presentan pocas aplicaciones industriales en el campo del secado de pastas, aunque en los últimos años, investigaciones a nivel de laboratorio y de planta piloto han mostrado que técnicamente es posible obtener productos que satisfacen plenamente las exigencias del mercado, como por ejemplo, secado de sangre animal (Canadá y Brasil), secado de pastas de tomate, frutas tropicales (Brasil), secado de lacas y tintas (ex‑Unión Soviética), secado de suspensiones de hidróxido de aluminio (Brasil), secado de mezclas de carbohidratos (Chile), secado de huevos y bacterias probióticas (Chile), entre otras aplicaciones.

331


USACH

Diversos resultados confirman la factibilidad técnica del secado de suspensiones en unidades que emplean inertes, siempre que la cohesión del film de sólido adherido a los inertes permita su remoción, lo que no se observa en pulpas de frutas, ya que su elevada viscosidad incluso forma grumos de inertes. Dado que el agregar maltodextrina (uso corriente al secar en spray) o dilución de la pasta mostró solo mejorías parciales, se investigó el empleo de agitación mecánica para romper el film de producto sobre los inertes, evitar la formación de grumos y aumentar la capacidad de secado, con resultados auspiciosos.

Figura 11.5. Etapas del secado de suspensiones utilizando partículas inertes.

Liofilización de partículas a presión atmosférica en un lecho fluidizado El proceso de liofilización es la técnica de secado que produce un menor deterioro en el sustrato que se seca, aunque tiene como gran desventaja el elevado costo involucrado, debido principalmente al elevado vacío requerido y las bajas temperaturas (-50 ºC). Ensayos preliminares han mostrado que la liofilización también puede desarrollarse a presión atmosférica, aunque los tiempos de secado son elevados. Una opción para disminuir los tiempos involucrados es realizar la liofilización en un lecho fluidizado, opción que actualmente se evalúa en el DIQ/USACH, con diversos sustratos de interés.

332


Lavado de filtros de lecho profundo En un filtro de lecho profundo, las partículas provenientes de la suspensión son retenidas en el interior del lecho granular, llenándose gradualmente los intersticios libres. La disminución de la porosidad (volumen de huecos/volumen total del lecho), produce un aumento paulatino de la caída de presión y/o una disminución del filtrado. Generalmente, al inicio de la filtración la porosidad (ε) es 0.45 disminuyendo hasta 0.34 al finalizar el período de filtración. El término de la etapa de filtración se produce cuando se alcanza la caída de presión máxima permisible, y/o cuando comienzan a aumentar los sólidos suspendidos en la corriente de descarga. Una vez que se cumple alguna de las situaciones mencionadas, se finaliza la etapa de filtración y se inicia la etapa de lavado, haciendo pasar agua en contracorriente, de forma tal de producir una expansión del lecho (> 15%), para lo cual el agua debe ingresar a una velocidad superior a la mínima de fluidización (Vmf). En algunas aplicaciones el lavado es realizado simultáneamente con inyecciones de aire, lo que facilita la remoción de fangos adheridos al medio filtrante.

11.3. Calidad de la fluidización Geldart clasificó las partículas en cuatro grandes grupos, en función de su tamaño y densidad, presentando cada uno un comportamiento característico. Las partículas de los grupos A y B presentan un adecuado comportamiento para ser fluidizadas. Partículas relativamente gruesas (grupo D) son adecuadas para ser fluidizadas en un lecho vibro-fluidizado. En el otro extremo, partículas muy pequeñas se caracterizan por presentar fuertes atracciones entre ellas, dificultando su adecuada fluidización, teniendo que emplearse sólidos que disminuyen estas fuerzas de atracción, o bien introduciendo agitadores mecánicos para romper estas fuerzas.

333


USACH

Figura 11.6. Representación de Geldart.

Tabla 11.1. Características de las partículas según clasificación de Geldart. GRUPO

A

B

D

Ideal para fluidizar

La formación de burbujas se inicia a Vmf

Sólidos gruesos

Harina de trigo, cemento

Catalizadores

Arena

Semillas y granos

Expansión del lecho

Baja, debido a la canalización

Alta

Moderada

Baja

Característica de las burbujas

Sin burbujas. Solo Canalización

Las burbujas crecen hasta un tamaño máximo y se rompen

Las burbujas crecen sin un tamaño máximo

Las burbujas crecen sin un tamaño máximo

Muy baja

Alta

Moderada

Baja

Muy bajo

Alto

Moderado

Bajo

Característica más relevante Partículas típicas

C Fluidización difícil por la cohesión de las partículas

Propiedad

Mezcla de sólidos Mezcla del gas

334


11.4. Equipos de fluidización El equipo clásico de fluidización consiste de una columna de sección circular (o rectangular), en cuya sección inferior se debe disponer de un distribuidor de aire (“placa distribuidora”), cuya finalidad es generar pequeñas burbujas del gas para tener un adecuado contacto gas-partícula. Kunii y Levenspiel en su texto Fluidization Engineering describen diversos tipos de placas distribuidoras. En general, mientras mayor es la caída de presión a través de la placa, mejor es la calidad de la fluidización. Para partículas relativamente grandes (sólidos tipo D, según Geldart), se recomienda utilizar equipos vibro-fluidizados, en los cuales el movimiento de las partículas se produce por la acción combinada del aire y del impulso provocado por la placa distribuidora, que es móvil.

Figura 11.7. Secador vibro fluidizado.

335


USACH

Figura 11.8. Equipo de docencia de fluidización (LOPU/DIQ/USACH). A) Fluidización de partículas B) Fluidización de rosa C) Fluidización de láminas de CaCO3 (bajo 60 mallas). mosqueta (en mitades). de zanahoria.

11.5. Parámetros de diseño y de operación de lechos fluidizados Velocidad mínima de fluidización Para un lecho de partículas ubicadas sobre la placa distribuidora y considerando un flujo uniforme de gas, se tiene para el punto mínima de fluidización que: Fuerza de arrastre = peso neto de las partículas (11.1) es decir:

336

(11.2)


(11.3)

Ordenando la ecuación anterior se obtiene:

(11.4)

En el punto de mínima fluidización, el volumen del lecho es un poco

mayor que en un lecho empacado, aunque las partículas no pierden sus posiciones relativas, siendo posible considerar este estado como de lecho fijo. Debido a esto, es posible estimar la porosidad de mínima fluidización en función de parámetros típicos de lechos empacados. Así, la caída de presión a través de lechos empacados de longitud Hm, ha sido correlacionada por Ergun mediante la ecuación:

(11.5)

donde dp es el diámetro de la esfera equivalente. La velocidad de mínima fluidización se encuentra combinando la ecuación de Ergun con la ecuación 11.4, obteniéndose:

(11.6)

donde los números adimensionales de Arquímedes (Ar) y Reynolds (Re), son definidos como:

(11.7)

Otros autores denominan al número de Arquímedes, número de Galileo (Ga).

337


USACH

Para el caso de partículas muy pequeñas y Remf < 20, la ecuación 11.6 se simplifica a: Para partículas grandes y Remf > 1000, se obtiene:

(11.8)

(11.9)

Para estimar la velocidad mínima de fluidización, sin conocer valo-

res de la porosidad ni de la esfericidad de mínima fluidización, la ecuación modificada de Ergun puede ser descrita de manera más conveniente como: K1 · Remf2 + K2 · Remf = Ar donde: K1 y K2 están definidos respectivamente como:

(11.11)

(11.12)

(11.10)

Diferentes autores han obtenido diversos valores para tales constantes: Investigador

K1

K2

Wen y Yu (1966) Richardson, (1977) Saxena y Vogel (1977) Babu et. al. (1978) Grace (1982) Chitester et. al. (1984)

24.51 27.40 17.51 15.36 24.51 20.24

1652 1408 886.2 777.3 1333 1162

338


Otras expresiones son las de Thonglimp (1981):

Primera Forma: Remf = 7.54 · 10–4 · Ar0.98 Válida si Remf < 30, y Remf = 1.95 · 10–2 · Ar0.66 si 30 >Remf <180 Segunda Forma:

Remf = (31.62 + 0.0425Ar)1/2 –31.6

(11.13) (11.14)

(11.15)

Wen y Yu ajustaron para un gran grupo de sólidos: Con lo cual es posible reescribir la ecuación 11.6, como:

(11.16)

(11.17)

donde dp es el diámetro de la esfera equivalente. La velocidad de operación de un lecho fluidizado, por tanto, debe estar dentro de un rango comprendido entre la velocidad de mínima fluidización (vmf) y la velocidad terminal de los sólidos. Ejemplo 11.1 Resultados del estudio preliminar del secado de láminas de zanahorias (9x9x3)(mm3), realizados en el equipo de fluidización del LOPU/DIQ/ USACH, de sección transversal 0,005(m2) mostraron un notorio encogimiento de las partículas durante el proceso de secado, proporcional a su contenido de humedad:

339


USACH

V: Volumen de la partícula, de humedad X (kg H2O/kg SS) V0:Volumen inicial de la partícula, de humedad X0 (kgH2O / kgSS) La determinación de la densidad de las partículas usando un picnómetro y glicerina como fluido, mostraron que ésta aumenta desde 1020(kg/m3) a X0 = 9, hasta 1150(kg/m3) a X = 0,5. Se planifica secar láminas de zanahoria de (9x9x3)(mm3), con aire a 80 ºC, a fin de reducir su contenido de humedad inicial desde X0 = 9, hasta un contenido de humedad final de X = 0,5. Para evitar la permanencia en el secador de las láminas que alcanzan la humedad deseada (y así minimizar la pérdida de carotenos), se planifica retirar por arrastre las partículas que alcanzan la humedad deseada. Determine la velocidad de aire que permite retirar las partículas con la humedad deseada, e indique además cuál debería ser el flujo mínimo requerido de aire que asegure la fluidización de todas las partículas. Solución: En primer lugar se calculará Vmf de partículas húmedas y la velocidad de arrastre de las partículas secas: Volumen inicial de las partículas = V0 = 0,009 · 0,009 · 0,003 = 2,47·10–7(m3) Densidad inicial = ρ0 = 1020(kg/m3) Densidad final = ρf = 1150(kg/m3)

340


Cálculo de Dp inicial:

Cálculo del Dp final:

Suponiendo:

Cálculo de vmf, para las partículas de tamaño inicial:

Velocidad de arrastre para las partículas de tamaño final:

341


USACH

Iterando: Sea vtf = 4,41(m/s);

tanto velocidad de operación v op ≥ 4,5(m/s) ⇒ vvtft f= =4,5(m/s) 4,5(m /∴ sPor )Porlolotanto la lavelocidad de operación será: será vop ≥ :4,5(m/s)

342


EJERCICIOS 11.1. Determine la velocidad mínima de fluidización y la velocidad de arrastre de partículas de arena, considerando como fluido aire, con una densidad de 1.2 kg/m3 y una viscosidad de 1.8 · 10-4 gr/cm∙s. La arena posee una densidad de 2600 kg/m3, una esfericidad de 0.67 y un tamaño de 160 µm. Analice sus resultados si en vez de aire fluidiza con agua a 20 ºC. 11.2. Determine el rango de velocidades en el cual puede ser “manejada” la velocidad de fluidización, en una columna de diámetro 0,8 m, en la cual se secan partículas de carbón de 1 mm. a 1 at y 80 ºC. ¿Qué sucede si el tamaño del carbón aumenta al doble? 11.3. El catalizador de un reactor periódicamente debe ser arrastrado por el gas reactante para ser regenerado. Dado que el soplador disponible entrega una velocidad máxima en el reactor de 19.6 (m/s), el ingeniero encargado ha propuesto que las partículas catalíticas tengan una velocidad terminal de 15.7 (m/s), las que se obtienen de barras cilíndricas de 1 cm de diámetro. Estudios previos encontraron que para cilindros de altura igual a x veces su diámetro (h = x⋅d), existe una magnitud x óptima que se adecua perfectamente a los requerimientos del diseño. Lamentablemente el ingeniero jefe de la investigación extravió el valor de x óptimo y la confección de las partículas aun no se ha concluido. Entonces, para partículas cilíndricas de diámetro d = 1 cm y altura h = x · d, determine:

343


USACH

a. La magnitud óptima x extraviada. b. Esfericidad, desf y dp del cilindro. c. La razón entre la velocidad mínima de fluidización y la velocidad terminal de las partículas cilíndricas (utilice la ecuación de Wen y Yu). Datos: Propiedades ρ (grs/cm3) µ (g/cm seg)

Gas 0.001 0.0001

Catalizador 3 -

(Problema Inventado por alumno ayudante Mario Eckholt R.- 2002).

344

Capítulo 12: Sedimentación

CAPÍTULO 12 SEDIMENTACIÓN

Las dispersiones son sistemas constituidos por dos o tres fases: una fase continua, denominada medio dispersante y una o dos fases discontinuas, denominadas fases dispersas. En el caso de las pulpas, el medio dispersante generalmente es agua o soluciones acuosas, mientras que la fase dispersa está constituida por el sólido. De acuerdo con el tamaño de las partículas, se distinguen:

a) Suspensiones: sistemas de dispersión con partículas mayores a 1 micrón, y b) Coloides: sistemas con partículas de tamaños en el rango de 1 micrón a 10 Ángstrom.

La separación de sólidos suspendidos desde una suspensión, debido a la acción de la fuerza de gravedad, se denomina sedimentación. Industrialmente, la sedimentación de suspensiones acuosas es un proceso continuo, que se realiza en grandes depósitos a los cuales llega, por el centro o por un costado, la suspensión o lodo diluido, y que permiten el rebalse del líquido que sobrenada separándolo del lodo espeso, que sale por el fondo del equipo. El objetivo principal de la sedimentación puede ser: a) Obtener una fase líquida clara, sin sólidos en suspensión, como por ejemplo en la recuperación de agua de relave en plantas de concentración, o b) Obtener una pulpa de densidad adecuada para alguna operación subsiguiente, por ejemplo filtración o flotación.

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USACH

Si la suspensión posee un alto contenido de sólidos, la operación de sedimentación es denominada espesamiento. En caso contrario, se denomina clarificación. Las características de la sedimentación dependen de una serie de factores que incluyen la densidad, forma, tamaño y naturaleza de las partículas. La interacción entre las partículas (fuerzas electrostáticas y las fuerzas de atracción de Van der Waals) depende fuertemente de los dos últimos parámetros mencionados. Junto con lo anterior, deben considerarse fenómenos tales como coagulación y floculación. La combinación de los factores mencionados establece las características de estabilidad de la dispersión de partículas, entendiéndose por estabilidad de una dispersión, la capacidad del sistema para mantener en el tiempo una concentración uniforme, a través de todo el volumen, sin el concurso de agitación externa. En un sistema no estable es posible separar ambas fases.

Figura 12.1. Factores que influyen en la estabilidad de una suspensión.

346


Dependiendo de las características del sistema en estudio, es posible diferenciar tres tipos de sedimentación:

a) Sedimentación libre o discreta. b) Sedimentación retardada o por zonas. c) Sedimentación floculada (o acelerada).

a) Sedimentación libre Si la concentración de las partículas es baja y/o su tamaño es relativamente grande, es posible despreciar las interacciones entre las partículas y por lo tanto determinar su velocidad de descenso, utilizando expresiones de caída libre de partículas. En esta situación, durante todo el descenso de la partícula, su velocidad de caída se mantiene constante (Capítulo 10). Físicamente esta situación se presenta en los llamados “desarenadores”, sedimentadores en los cuales se retiran partículas de arena o similares. Normalmente estos equipos son canales de sección rectangular, y su tamaño se determina considerando que el tiempo de residencia de las partículas que se desea remover debe ser mayor o igual que el tiempo de sedimentación de dichas partículas (tr ≥ ts). Note que Vt = Vsed = H/tsed y que tr = Volumen/Flujo = W H L / Q.

Figura 12.2. Desarenador en planta de tratamiento de aguas residuales (Tres canales en paralelo).

347


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b) Sedimentación retardada A medida que transcurre el proceso de sedimentación, el aumento de la concentración de partículas produce una disminución notable de la velocidad de descenso de las partículas. Salvo situaciones muy puntuales, no se dispone de ecuaciones para predecir la velocidad de las partículas en estas condiciones. Esta situación se presenta en procesos minero-metalúrgicos, donde deben emplearse grandes sedimentadores para concentrar el mineral de interés. En éstos, se encuentran presentes gran número de partículas, interactuando entre ellas, lo cual afecta las velocidades de cada partícula. En este flujo retardado, la velocidad de las partículas es considerablemente menor a la calculada con ecuaciones disponibles para la caída de partículas aisladas.

La dificultad en conocer y representar adecuadamente el gran núme-

ro de parámetros involucrados, se traduce en que no existen modelos que caractericen adecuadamente la sedimentación de partículas, excepto algunos sistemas particulares. Lo anterior se ha traducido en que a la fecha, la evaluación de velocidades de sedimentación, sea esencialmente un proceso empírico.

Figura 12.3. Sedimentador.

348


c) Sedimentación floculada Sistemas conteniendo partículas muy pequeñas y/o de baja densidad (coloides) son muy estables, siendo imprescindible el uso de coagulantes y/o floculantes, para romper la estabilidad de la suspensión. La velocidad de descenso de los flóculos formados aumenta durante su sedimentación, ya que éstos modifican su forma, tamaño y densidad. No se dispone de ecuaciones teóricas para describir esta sedimentación, característica de procesos de clarificación de aguas. En la literatura especializada se describen metodologías experimentales para determinar la velocidad de sedimentación en función del tiempo. Existen varios diseños para este tipo de sedimentador, en todos ellos se dispone de n láminas en paralelo, de allí su nombre de sedimentadores “laminares”.

Figura 12.4. Sedimentador laminar, con flujo en contracorriente.

349


12.1. Análisis de retardada

USACH

sedimentadores

con

sedimentación

El procedimiento de diseño de estos equipos de separación fluidopartícula es esencialmente empírico, requiriéndose en una primera etapa información de experiencias batch. Sedimentación discontinua (batch) Si bien es cierto, industrialmente los sedimentadores operan en forma continua, la información que se obtiene en experiencias batch es fundamental para comprender y determinar parámetros aplicables a la operación continua. La separación batch se puede analizar mediante la observación de la sedimentación de un volumen de pulpa, en un tubo cilíndrico transparente (probeta). Se caracteriza porque la concentración de sólidos varía tanto con la altura como con el tiempo. La Figura 12.5 representa la historia simplificada de una sedimentación batch. Tan pronto como se inicia el proceso, todas las partículas empiezan a sedimentar, y se supone que se aproximan rápidamente a sus velocidades terminales bajo condiciones de sedimentación retardada, estableciéndose varias zonas de concentración. La zona D de partículas sedimentadas, predominantemente incluye las partículas más pesadas y por lo tanto con mayores velocidades de sedimentación. El cilindro (a) representa la situación inicial con la pulpa uniformemente mezclada. En el cilindro (b) se aprecia que, luego de un corto tiempo de sedimentación es posible diferenciar cuatro zonas de concentración:

- Zona inferior de sedimento (partículas gruesas)(D). - Zona de concentración variable (C). - Zona de concentración uniforme (B). - Zona de líquido claro (A).

350


A medida que transcurre la sedimentación, las alturas de cada zona varían como se indica en la Figura 12.5. El cilindro (c) muestra que las zonas A y D crecen en el tiempo a expensas de la zona B de concentración uniforme, hasta que ésta desaparece (cilindro d), y que la zona C permanece aproximadamente constante en volumen, pero desplazándose hacia arriba. El cilindro (d) representa el instante en que desaparece la zona B. Posteriormente también desaparece la zona C, concentrándose todos los sólidos en D, el que recibe el nombre de punto crítico de sedimentación (e), o sea el punto en el cual se forma una sola interfase precisa, entre el líquido claro y el sedimento. El proceso de sedimentación a partir de este punto consiste en una compresión lenta de los sólidos, lo que hace que el líquido sea forzado hacia arriba, a través de los sólidos, hacia la zona clara.

Figura 12.5. Visualización de las zonas en una sedimentación discontinua.

Desde el inicio de la sedimentación, hasta el punto crítico, las partículas sedimentan libremente, chocando eventualmente debido a la concentración. Al alcanzar el punto crítico, las partículas descansan unas sobre

351


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otras y la posterior reducción de volumen del sedimento se produce por su reordenamiento, debido al peso de las partículas y de la columna hidrostática. Esta situación se conoce como compresión del sedimento, corresponde a la mayor parte del tiempo, y alcanza el equilibrio cuando se iguala su peso con la resistencia mecánica de los flóculos o de las partículas. De las interfases, sólo se puede apreciar nítidamente la existente entre el agua clara y la pulpa, las restantes se pueden identificar con ayuda de rayos X o ultrasonido. La variación de la altura de esta interfase en función del tiempo (curva de sedimentación), se utiliza para caracterizar la sedimentación batch, determinándose la velocidad de su desplazamiento mediante la pendiente de la curva. Evidentemente su velocidad será igual a la velocidad de sedimentación de las partículas que se encuentran inmediatamente debajo de ella.

Como se muestra en la Figura 12.6, la curva de sedimentación pre-

senta tres tramos típicos:

a) Una recta inicial, b) Un tramo curvo, c) Una curva asintótica (para t → oo).

352


Figura 12.6. Curva de sedimentación batch.

El tramo recto, en que la velocidad de la interfase es constante, se debe a que la interfase limita con una pulpa de concentración constante. Al desaparecer esta zona en el tiempo, la interfase limitará con la zona de concentración variable, por lo que su velocidad disminuirá gradualmente con el aumento de la concentración. Hasta el instante en que la interfase alcanza el punto crítico, la velocidad depende solamente de la concentración del sólido existente junto a ella. Posteriormente, en la zona de compresión depende también de la altura de sedimento, de la columna hidrostática y de la formación de canalizaciones. Como el mecanismo cambia más allá del punto crítico, también lo hace la forma de la curva, transformándose en asintótica a la altura final de sedimentación. De acuerdo con lo anterior, cabe hacer notar que el punto crítico es el límite entre la sedimentación propiamente tal y la compactación del sedimento.

353


USACH

La masa de sólidos, que sedimenta en cualquier nivel del cilindro, se puede caracterizar por la variable densidad de flujo de masa, G, que se refiere a la masa que atraviesa una unidad de área perpendicular a la dirección de flujo, en la unidad de tiempo. O mediante su valor inverso conocido como área unitaria, AU, que representa el área de sección transversal necesaria para que atraviese una unidad de flujo másico. La densidad de flujo de masa de sólidos,Gb, durante la sedimentación batch de una pulpa, se puede expresar por la ecuación: Gb = v ⋅ C = W/S (12.1) donde: C: Concentración de sólidos expresada como masa de sólidos por unidad de volumen de pulpa. v: Velocidad de sedimentación del sólido a la concentración C. W: Flujo másico de sólidos. S: Sección transversal al flujo. La expresión muestra que Gb es una función del producto de la concentración y la velocidad de sedimentación del sólido, a esa concentración. La Figura 12.7 muestra la forma típica de curvas de velocidad de sedimentación y de densidad de flujo de sólidos, en función de su concentración. El cálculo de la densidad de flujo (Gb) en función de la concentración, requiere del conocimiento de la funcionalidad entre velocidad de sedimentación y concentración. La falta de modelos y/o ecuaciones impone la utilización de las curvas de sedimentación, determinadas experimentalmente.

354


Figura 12.7. Curvas típicas de velocidad de sedimentación y densidad de flujo batch en función de la concentración.

Coe y Clevenger, en 1916, bajo las suposiciones que la velocidad de sedimentación es sólo función de la concentración, y que características del sólido tales como grado de floculación no varían con la concentración, propusieron obtener esta información a partir de los instantes iniciales de una serie de pruebas de sedimentaciones batch, realizadas a diferentes concentraciones iniciales, aprovechando el hecho que para esos tiempos la curva de sedimentación es una recta. En 1952 Kynch presentó la primera teoría de sedimentación, la cual describe la sedimentación batch como un fenómeno de propagación de ondas, basándose en las siguientes suposiciones: a) La suspensión es originalmente homogénea. b) La velocidad de sedimentación es una función de la concentración local solamente.

355


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c) Las partículas son esféricas y de tamaño uniforme, por lo que el material sedimentado es incompresible. La interpretación de una prueba batch de sedimentación, desde el punto de vista de la propagación de onda, se puede resumir en los siguientes puntos: 1. Antes que comience la sedimentación, existe una concentración uniforme de partículas en todo el volumen de la columna. 2. Las partículas en sedimentación llegarán al fondo de la columna, donde se acumularán. La concentración del material acumulado será mayor que la concentración inicial de la suspensión. Dentro del material sedimentado, cualquier nivel de coordenada vertical fija aumentará la concentración con el tiempo. Esto significa que una zona de concentración determinada, que al comienzo se encontraba cerca del fondo de la columna, se desplazará a regiones superiores a ella. Si se sigue un nivel de concentración constante, se ve que éste se desplaza hacia arriba, constituyendo lo que se denomina una onda de concentración constante.

Kynch, mediante un balance de masa de sólidos, demostró que la ve-

locidad de ascenso de una onda es constante. Esto es, si se realiza un balance en una onda de concentración C, Figura 12.8, la masa de sólidos que entra a la onda debe ser igual a la que sale, por lo tanto: (12.2)

Es decir: _

_

(v + dv + v )(C–dC)S = (v + v )·C · S

356

(12.3)


Desarrollando la expresión, se obtiene: _ _ _ C(v + v ) + C · dv – dC · (v + v ) – dv · dC = C ·(v+ v ) (12.4) donde: C: concentración de sólidos en la onda de concentración constante. v: velocidad de sedimentación de las partículas a la concentración C. _ v : velocidad de ascenso de la onda de concentración constante.

Reduciendo términos y despreciando el infinitésimo de segundo orden, se obtiene para la velocidad de ascenso de la onda la expresión siguiente: _ v = C(dv/dC) – v (12.5) En sus postulados Kynch supone que la velocidad es sólo función de la concentración de los sólidos, por lo tanto la expresión recién planteada se puede escribir como: _ v = C · ƒ(C) – ƒ(C) (12.6) _ concluyéndose que v es constante debido a que la concentración en la onda también lo es.

Figura 12.8. Balance de sólidos en una capa de concentración constante.

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USACH

Junto con lo anterior, Kynch demostró que la concentración de sólidos justo bajo la interfase con el agua clara, en cualquier instante de una prueba batch, se puede deducir de la curva de sedimentación. Esto permite determinar tal funcionalidad a partir de una sola prueba batch. Kynch llegó a esta conclusión analizando el comportamiento de una onda de concentración cualquiera. Como las ondas nacen en el fondo de la columna y se desplazan con velocidad constante hacia la interfase agua clara-pulpa, en el instante en que una de ellas alcance la interfase, todo el sólido presente en la columna la habrá atravesado. Por lo tanto si todo el sólido presente en la columna es Co ho S, se puede escribir que: _ Co ho S = Ci ti (vi + v i ) S (12.7) donde: _ v i = velocidad de ascenso de la onda de concentración ci. vi = velocidad de sedimentación de las partículas a la concentración Ci. ti = tiempo en que la onda de concentración Ci alcanza la interfase agua clara-pulpa. ho = altura inicial de la pulpa. Si hi es la altura de la interfase para el tiempo t = ti, y como Kynch demostró que la velocidad de ascenso de la onda es constante; vi es igual a la razón hi/ti. Reemplazando esta razón en la última ecuación, se tiene: CohoS = Citi (vi + hi/ti) S (12.8) expresión que se puede simplificar a:

Ci = Coho/[hi + viti]

358

(12.9)


En la Figura 12.6 se puede apreciar que vi es la pendiente de la tangente a la curva de sedimentación para t = ti, luego:

vi = -dh/dt = [Zi - hi]/ti,

o bien:

Zi = hi + ti vi,

introduciendo esta ecuación en la expresión de Ci: Ci ⋅ Zi = Co ⋅ ho

(12.10)

(12.11)

lo que significa que Zi es la altura de la pulpa de concentración uniforme Ci que contiene la misma cantidad de sólidos que la pulpa inicial. La velocidad de sedimentación en función de la concentración, por lo tanto, se puede obtener a partir de una sola prueba de sedimentación. La determinación se realiza entonces en forma gráfica y discreta, evaluando la velocidad a través de tangentes a la curva para los tiempos seleccionados y su correspondiente concentración mediante la última expresión. Tanto Coe y Clevenger, como Kynch supusieron que la velocidad de sedimentación es sólo función de la concentración. Esta suposición es aceptable para concentraciones menores que la del punto crítico, sin embargo, no es válida en la zona de compresión, ya que la compactación del sedimento en cualquier nivel se ve afectada por el peso de la columna hidrostática y del sólido sedimentado en los niveles superiores. Por lo tanto, las curvas de velocidad y densidad de flujo de sólidos en función de la concentración son dependientes en la zona de compresión, de la altura de la columna en que se realiza la prueba, según se esquematiza en la Figura 12.9. Para concentraciones mayores que la concentración crítica, Cc, las curvas se hacen indefinidas en función de la altura del sedimento.

359


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Figura 12.9. Curvas de velocidad de sedimentación y densidad de flujo, en función de la concentración.

Así entonces, conocido v = f(C) mediante los métodos propuestos por Coe y Clevenger o Kynch, se puede construir la curva de densidad de flujo de sólidos que caracteriza a la pulpa estudiada en sedimentación batch, y cuya información es necesario extrapolar a un sistema continuo.

12.2. Dimensionamiento de espesadores continuos El dimensionamiento implica especificar el diámetro (o área) y la altura del estanque. Pruebas continuas en unidades piloto, permitirían analizar el comportamiento de la pulpa problema y diseñar los espesadores industriales. Sin embargo, la poca disponibilidad de estas unidades y la magnitud del volumen de pulpa que debe manejarse hacen poco practicable esta alternativa. En Figura 12.10 se muestran las diferentes zonas de un sedimentador continuo y en Figura 12.11 se muestran dos espesadores continuos en funcionamiento.

360


Figura 12.10. Sedimentador continuo.

La herramienta más utilizada, es el estudio de la muestra de pulpa mediante pruebas de sedimentación batch, comúnmente realizadas en probetas de uno o dos litros, aunque para el análisis de aguas residuales se recomienda el empleo de columnas de altura similar a la de los decantadores (2 m) y con diámetro de 20 cm, provistas con dispositivos para toma de nuestras cada 30 o 50 cm. Los resultados son posteriormente analizados con alguna de las metodologías que permiten utilizar la información de pruebas batch para el dimensionamiento de unidades continuas.

Figura 12.11. Sedimentadores continuos.

361


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En un sedimentador continuo, en estado estacionario, la densidad de flujo másico de sólidos debe ser constante a través de toda la unidad para que no exista acumulación de sólidos en algún nivel. Esta densidad de flujo másico, G, tiene dos componentes: una debida a la sedimentación, Gb, y otra debida al flujo global de la pulpa hacia el underflow, por lo tanto se puede escribir: G = Gb + Gu = v C + v*C (12.12) donde v* es la componente de la velocidad del sólido debida al flujo del underflow. Si a la curva de densidad de flujo para sedimentación batch se le suma la componente debida al flujo del underflow, se obtiene la respectiva curva para un sistema continuo, Figura 12.12. Evidentemente existirá una curva para cada velocidad considerada para el underflow.

Figura 12.12. Densidad de flujo de sólidos para un sistema continuo.

362


Las curvas de densidad de flujo de sólidos para sistemas continuos se caracterizan por la presencia de un mínimo, que indica que para una pulpa en particular, existe una concentración CL para la cual el flujo de masa que atraviesa un área unitaria es mínimo. Dado que la concentración de sólidos en el flujo de alimentación Ca es normalmente menor que CL, y que la de descarga, Cu, es siempre mayor, entonces el máximo flujo de sólidos que puede pasar por unidad de área hacia el underflow está dado por este valor mínimo, constituyendo el punto de operación estable de la unidad. Las condiciones que corresponden a este punto se denominan límites, ya que limitan la capacidad de una operación continua. Un G mayor que GL provoca que el nivel de sólidos aumente hasta eventualmente rebalsar, debido al desplazamiento hacia la superficie de la capa de concentración CL por la acumulación de sólidos. Por el contrario, una densidad de flujo menor que GL provoca la disminución del nivel de sólidos hasta vaciarse. Todo esto sin variar el flujo del underflow. Área de un espesador continuo Existen diversas metodologías que utilizan la información de pruebas batch para el dimensionamiento de unidades continuas. Todas ellas se basan en la determinación de las condiciones límites (VL, CL), variando sólo la forma de manejar la información experimental, como se mostró en la sección anterior. A continuación se describe el procedimiento general para determinar la densidad de flujo másico. Coe y Clevenger, en 1916 plantearon la existencia de la condición límite para el flujo de sólidos en una operación continua, y en base a ella delinearon un procedimiento que se utiliza hasta el día de hoy. Supusieron que la velocidad de sedimentación es sólo función de la concentración, re-

363


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comendando determinarla a partir de los instantes iniciales de una serie de pruebas de sedimentación batch, realizadas a diferentes concentraciones iniciales, entre las concentraciones de la pulpa de la alimentación y descarga, esperadas a nivel industrial. Con la información así obtenida se calcula la densidad de flujo de sólidos para cada caso, con el objetivo de estimar el valor correspondiente a la condición límite.

La densidad de flujo másico para un nivel i cualquiera, dentro del sedimentador, está representada por:

Gi = vi Ci + v*Ci, donde: v* = Qu/S, siendo:

(12.13)

Qu el flujo volumétrico de pulpa en el underflow y S la sección del espesador. Despejando vi se obtiene:

(12.14)

Como en estado estacionario la densidad de flujo de sólidos en cualquier nivel del espesador debe ser igual a la de descarga, se puede escribir: (12.15) luego, (12.16)

364


y despejando la densidad de flujo se obtiene: (12.17)

Cuando se utiliza la dilución (razón agua/sólido en peso) como medida de la concentración de sólidos, la última ecuación se transforma en: (12.18) donde D representa la dilución y ρ la densidad del fluido. Se acostumbra a utilizar también la variable área unitaria, AU, que corresponde al valor inverso de Gi e indica el área necesaria para que atraviese la unidad másica de sólidos en la unidad de tiempo. En este caso debe estimarse el valor máximo.

Ejemplo 12.1 Determinar el área de un espesador para concentrar una suspensión mineral desde 155 g/l hasta 660 g/l, utilizando información experimental de curvas de sedimentación (h vs t), obtenidas con diversas concentraciones (Ci). Solución: El área unitaria (AU) del espesador corresponde al valor inverso de la densidad de flujo de sólidos en el punto límite (GL). En el procedimiento de Coe y Clevenger, para obtener GL en primer lugar se deben determinar pares vi, Ci, leídos desde la zona recta (primera parte) de curvas de altura de interfase vs tiempo. En este ejemplo, dichos valores son incorporados en la tabla que se adjunta. Luego, se debe calcular el área unitaria para cada situación, utilizando la expresión correspondiente para Gi. Por ejemplo, para el primer valor de la tabla se tiene:

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Luego,

De acuerdo con los valores de la tabla adjunta, el área unitaria máxima es 54.7 m2s/kg. Tabla. Resultados del ejemplo 12.1. Experiencia

Concentración (kg/m3)

vi (cm/s)

AU (m2s/kg)

1 2 3 4 5 6

180 250 300 350 400 450

0.020 0.015 0.010 0.008 0.0075 0.0071

35.4 36.7 48.5 54.7 53.5 52.6

366


Ejemplo 12.2 Estimar el área unitaria necesaria para llevar una pulpa de concentración inicial de 236 g/l a una concentración final de 550 g/l. Una prueba de sedimentación batch con dicha pulpa dio los siguientes resultados: Tabla. Prueba de sedimentación batch. t (h)

h (cm)

t (h)

h (cm)

t (h)

h (cm)

0

36.2

1.5

16.2

5.0

11.5

0.1

34.6

1.75

14.7

6.0

11.2

0.25

32.3

2.0

13.75

8.0

10.65

0.50

28.5

2.25

13.3

12.0

9.80

0.75

24.8

2.5

12.8

20.0

8.80

1.0

21.2

3.0

12.3

∞

7.70

1.25

18.2

4.0

11.8

Solución: 1) Trazado de la curva de sedimentación con los datos de la tabla. 2) Trazado de las tangentes a la curva de sedimentación para determinar v vs C, mediante las ecuaciones:

vi = (Zi - hi)/ti

;

Ci = (Co*Ho)/Zi

Por ejemplo, para t = 1 hora se tiene: v2 = (33.9 - 21.0)/1 = 12.9 (cm/h); C2 = (0.236*36)/33.9 = 0.2506 (g/cm3) Los resultados para los tiempos seleccionados se encuentran a continuación:

367


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Tabla. Resultados del ejemplo 12.2. t (horas) 0.5 1.0 1.25 1.50 1.75 2.0 2.25 2.50 3.0 4.0 5.0

h (cm) 28.6 21.0 18.30 16.10 14.7 13.75 13.30 12.80 12.30 11.80 11.50

z (cm) 36.0 33.9 30.3 27.2 22.6 19.8 18.2 16.0 14.1 13.1 12.80

V (cm/s) 14.8 12.9 9.6 7.4 4.51 3.03 2.18 1.26 0.60 0.33 0.26

C (g/cm3) 0.236 0.2506 0.2804 0.3124 0.3759 0.4291 0.4668 0.5327 0.6026 0.6486 0.6638

G (g/cm2h) 6.118 5.939 5.491 5.349 5.362 5.904 6.721 21.294 -------------

Curva de sedimentación para el ejemplo 12.2.

368

AU (cm2 h/g) 0.163 0.168 0.182 0.187 0.186 0.169 0.149 0.047 -------------


3) Cálculo de las densidades de flujo, para t = 1 h: Gi = vi /(1/Ci - 1/Cu)

G2 = 12.9 /(1/0.2506 -1/0.55)= 5.939 (g/cm2 h)

y para el área unitaria: AU2 = 1/G2 = 1/5.939 =0.168(cm2 h/g) 4) La selección del mínimo valor de densidad de flujo o máximo de área unitaria, resulta ser AU = 0.187 cm2h/g.

Velocidad de sedimentación vs concentración, obtenida con el método de Kynch.

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Concentración vs tiempo.

Altura de un espesador continuo La altura de un espesador continuo está determinada por la altura de la zona de compresión, más alturas que se adicionan, principalmente por concepto de sumergimiento de la alimentación. Experimentalmente se ha determinado que, para una pulpa en particular, la concentración de sólidos en la descarga de un espesador es función, fundamentalmente, de la altura de la zona de compresión y del tiempo que los sólidos permanecen en ella (tiempo de residencia). Un ensayo batch no permite obtener directamente una estimación adecuada del tiempo de residencia, ya que, desde los primeros instantes de la prueba, se forma la zona de sedimento en la que las partículas entran en compresión. Por este motivo, Roberts, basándose en evidencia experimental, propone estimar el tiempo de residencia de la unidad continua como la diferencia entre un tiempo θ y el tiempo necesario para que la pulpa en la prueba batch alcance la concentración de descarga deseada.

370


El tiempo θ corresponde a una altura Z en un gráfico de (h - h∞) en función del tiempo en coordenadas semi-logarítmicas, gráfico de Roberts. En el que Z se determina como: (12.19) donde Zo es el valor de (h - h∞) para t = 0, y , corresponde a la intersección de la extrapolación de la recta de la zona de compresión con la ordenada, Figura 12.13.

Figura 12.13. Gráfico de Roberts (Semi-log).

El volumen de la zona de compresión, y por lo tanto su altura, se determina haciendo uso del concepto de tiempo de residencia promedio. Éste se expresa, para un reactor cualquiera, como la razón entre su volumen y el flujo volumétrico que circula a través de él. Para este caso particular, en que el flujo es una pulpa, se puede expresar también como la razón entre el contenido de sólidos, m, y el flujo másico, W: (12.20)

371


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Si se considera C como la concentración promedio en la zona de compresión y Vc como su volumen, se puede escribir para el contenido de sólidos: m= Vc ⋅C = W⋅tr (12.21) de lo cual se desprende que el volumen de la zona de compresión se puede estimar como: (12.22)

Si se utiliza la fracción másica como medida de la concentración, el

volumen de la zona de compresión está dado por: (12.23) donde ρs y ρ son las densidades del sólido y del líquido respectivamente y X la fracción de sólidos promedio en la zona de compresión. La altura final del espesador se estima como la suma de la altura de la zona de compresión más los siguientes términos adicionales, de carácter empírico:

- Sumergimiento de la alimentación 0,6 m - Capacidad de almacenamiento 0,6 m - Inclinación del fondo 0,6 m

Ejemplo 12.3 Determinar la altura de la zona de compresión para el espesador del ejemplo 12.2, si se requiere una capacidad de 50 ton/h. Solución: 1) Tiempo de residencia. Para determinar el tiempo de residencia en la zona de compresión, se debe estimar el tiempo θ y el tiempo necesario para que

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la pulpa, en la prueba batch, alcance la concentración de descarga. El tiempo θ se obtiene trazando el gráfico de ROBERTS, Figura 12.13, a partir de los datos del ejemplo 12.2. Si:

Z = (28.3 + 5.7)/2 = 17 cm

el tiempo θ es de 0.7 h. Nota: En vez de utilizar el gráfico en coordenadas semi-logarítmicas (Figura 12.13), puede graficarse ln (h - hoo) vs t, como se muestra a continuación:

A partir de un gráfico de concentración en función del tiempo (ver ejemplo 12.2), se obtiene que una concentración de 0.55 g/cm3 se logra en un tiempo de 2.6 h. Luego, el tiempo de residencia se estima en 1.9 h.

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2) Volumen de la zona de compresión. El tiempo θ corresponde una concentración de 0.24 g/cm3 [Se lee de Figura de C vs t], luego la concentración media C es:

C = (0.24 + 0.55)/2 = 0.395 g/cm3

por lo tanto, para el volumen de la zona de compresión se obtiene, de la ecuación respectiva: Vc = W*tr/C = 50*1.9/0.395 = 240 m3. Dado que la altura es de 0.187 cm2 h/g o 18.7 m2h/ton, la altura de la zona de compresión es: hc = Vc/S = 240/(50*18.7) = 0.26 m Factores de corrección El escalamiento de la información obtenida de pruebas batch, con el objetivo de estimar el área unitaria, se realiza bajo el supuesto que está definida sólo por las propiedades de la pulpa en sedimentación. Esta suposición hace que la estimación del área unitaria de la unidad continua no considere el efecto de la compresión del sedimento, el que puede llegar a ser significativo dependiendo de la altura de la zona de compresión. Adicionalmente, diversas fuentes mencionan que los métodos de Coe y Clevenger y el de Kynch, subestiman el área del sedimentador. Por lo tanto, se recomienda aplicar los siguientes factores de diseño (denominados también “factores de seguridad”):

Parámetro de dimensionamiento Área Altura

374

Factor de diseño 1.25 a 1.75 1.50 a 2.0


A pesar de la magnitud de los factores de diseño, éstos no cubren variaciones extremas en el flujo de la suspensión, % de sólidos ni variaciones de temperatura muy diferentes de las observadas en los ensayos batch.

375


USACH

EJERCICIOS 12.1. En una industria de celulosa se estudia la posibilidad de usar un sedimentador de 23 (m) de diámetro y 3 (m) de altura para el tratamiento del licor negro. Calcule la capacidad del sedimentador para las siguientes condiciones operacionales: 6,7 (g/L) de concentración de sólidos en la alimentación y 19 (g/L) de concentración de sólidos en el lodo. La densidad del sólido, 2,8 (g/cm3). Temperatura: 25 ºC. Ensayo de la probeta a 25 ºC z(cm)

30

26,5

23,2

16,6

13,5

12,4

11,2

10,4

10,2

θ(min)

0

2,5

5

10

15

20

30

50

70

12.2. La tabla siguiente corresponde a una prueba batch de sedimentación de una suspensión, preparada con 200 (g) de cal por litro de suspensión: θ (h)

0

0,25

0,50

1,00

1,75

3,00

4,75

12,0

20,0

∞

z (cm)

36,0

32,4

28,6

21,0

14,7

12,3

11,55

9,8

8,8

7,7

Un flujo de 40 (ton/h) de una suspensión de la misma concentración inicial de la prueba batch, se alimentará a un espesador continuo para producir un lodo de 500 (g) de cal por litro de suspensión.

Determine el área y profundidad del espesador. Considere peso específico de la cal = 2,09.

Solución: Diámetro del espesador 37 m y altura de la zona de compresión 0.3 m.

376

Capítulo 13: Separaciones gas-partícula

CAPÍTULO 13 SEPARACIONES GAS-PARTÍCULA

Existen diversos equipos para retener partículas desde corrientes gaseosas, los que pueden ser clasificados en cinco grandes categorías: 1. Sedimentadores gravitatorios. En éstos, la corriente gaseosa se encuentra con un abrupto aumento de la sección de flujo, disminuyendo la velocidad del gas y así se permite la sedimentación de las partículas. Su eficiencia de captura es baja. Usualmente la velocidad del gas en la cámara debe ser lo suficientemente baja (requieren láminas), para evitar el arrastre de las partículas sedimentadas. 2. Separadores centrífugos (ciclones). En éstos se utiliza la fuerza centrífuga para permitir la captura de las partículas. 3. Precipitadores electrostáticos. El gas se hace pasar por un campo electrostático, siendo las partículas atraídas por los electrodos, que usualmente son placas o cilindros concéntricos. La diferencia de potencial aplicado es del orden de 10.000 V, para unidades de bajo voltaje, y alcanzando sobre 100.000 V para unidades de alto voltaje. La velocidad normal del gas es de 10 pie/s. En la eficiencia de captura de estos equipos es fundamental la resistividad eléctrica de las partículas. 4. Filtros de tela y fibras. En éstos, las partículas son atrapadas en un medio filtrante. El tipo más utilizado es el filtro de mangas o “bag house”. En éstos, un conjunto de tubos filtrantes se suspende en el interior de una caja. Las partículas capturadas deben ser periódicamente removidas de éstas, ya sea moviéndolas mecánicamente, revirtiendo la dirección del flujo o bien aplicando una fuerte corriente de aire o nitrógeno.

377


USACH

5. Lavadores húmedos (wet scrubbers). Éstos dependen del atomizado de un líquido en la corriente gaseosa para remover las partículas. Cabe diferenciar venturi scrubber, jet (fume) scrubbers y torres spray. En el lavador venturi, el líquido es inyectado en la garganta del venturi y así es dispersado en el gas a alta velocidad. Su alta eficiencia se contrarresta con el elevado consumo de agua y altas caídas de presión. Entre los parámetros que gobiernan su eficiencia esta la velocidad en la garganta, caída de presión, razón líquido/gas y tamaño de las gotas. En el jet o fume scrubbers, a diferencia del lavador venturi, se utiliza la energía cinética del líquido para favorecer el contacto gas-líquido, para lo cual éste es atomizado a gran velocidad en el gas. En las torres spray (rectangulares o cilíndricas), el agua es introducida a través de toberas en contracorriente, co-corriente o en flujo cruzado a la corriente de gas. El gas de salida normalmente sale saturado en agua.

La selección de un determinado equipo para remover partículas de-

penderá del flujo de gas (Q), su temperatura (T), concentración y tipo de partículas (tamaño, densidad) y del grado de remoción deseado. En Tablas 13.1 a 13.4 se presentan antecedentes que facilitan la selección de equipos para la separación de partículas desde corrientes gaseosas [Chemical Engineering (Julio 1993)]. Tabla 13.1. Clasificación de las partículas de polvo por tamaño (Chemical Engineering, Julio 1993). Clasificación Extremadamente finos Finas Medias Gruesas

Tamaño 50% son 0.5 a 2.0 µ m 50% son 2.0 a 7.0 µ m 50% son 7.0 a 15 µ m 50% son 15 a 50 µ m

378


Tabla 13.2. Concentración de polvos (Chemical Engineering, Julio 1993). Concentración Clasificación de la Granos/pie3 lb/1,000 pie3 concentración Liviana ½a2 0.07 a 0.3 Media 2a3 0.3 a 0.4 Moderada 3a5 0.4 a 0.7 Alta Sobre 5 sobre 0.7 Tabla 13.3. Comparación de costos relativos de equipos de separación de polvos (Chemical Engineering, Julio 1993).

Tipo Cámara de sedimentación Ciclón Lavador scrubber (jet) Torre spray Precipitador electrostático Fabric filter (shaker) Venturi scrubber Fabric filter (reverse jet)

Clasificación1 Costos de Caída de preoperación sión media

Eficiencia global de colección de un polvo tipo

Costos de capital

60

1

1

1

85

2

2

3

88

4

4

5

95

6

6

1

99

10

1

1

99

8

5

2

99

5

10

10

99

9

9

2

Para manejar 60.000 pie3/min de gas de escape a 20 ºC 1 es el más bajo y 10 es el mayor. (1)

379

380

> 0.001

> 0.3 - 0.5

Filtros de papel de alta eficiencia

> 0.5 – 1.0

Filtros de manga

Precipitadores electrostáticos

> 0.3 – 1.0

Venturi scrubbers

Torres spray

Ciclones

Cámaras de sedimentación

Colector

0.5 2.0

0.25 -- 0.5

1 - 10

15 –30

500 50

Sobre el 99.9% de todas las partículas bajo 5 µm

200-250

95-99 % de partículas bajo 5 µm 80% a más de 99% de todas las partículas

200-250

200-250

No sensible Poco efecto

No sensible Poco efecto

Seco

Muy crítico

No afecta la eficiencia

Seco o No afecta la Muy crítico eficiencia húmedo Poco efecto Seco o Crítico en la eficienhúmedo cia

Húmedo

Húmedo

Máxima Condición Sensibilidad Efecto de la temperatura del gas de al punto de densidad de de trabajo salida rocío las partículas (°C) Aumenta la Seco o No muy e f i c i e n c i a 500 húmedo sensible con la densidad Aumenta la Seco o eficiencia 500 Crítico húmedo con la densidad

90-99% de partículas bajo 5 µm

Rango de Caída de Grado de limpieza tamaño de presión, cm partículas, esperado agua µm 50% de partículas bajo 50 µm y µm > 150 <1 95% de partículas sobre 300 µm 80% de partículas bajo 20 µm y más >10 1 - 3 de 95% de partículas sobre 50 µm 98 % de partículas >3 2 - 7 sobre 5 µm y 50% de partículas bajo 3 µm

Tabla 3.4. Carta de selección de equipos (Chemical Engineering, Julio 1993).

Escurrimiento de fluidos USACH


13.1. Separadores gravitatorios Los sedimentadores gravitatorios o cámaras de sedimentación, han sido tradicionalmente utilizados para remover partículas desde corrientes gaseosas. Entre sus ventajas debe considerarse su sencillez, bajo costo inicial y de inversión, y sus bajas caídas de presión. El diseño básico de una cámara de sedimentación consiste de una cámara de expansión, en la cual la velocidad de la partícula se reduce a tal grado, que ella puede sedimentar bajo la acción de la gravedad. Industrialmente se utiliza para remover partículas relativamente grandes (>40 µm), con velocidad del gas inferior a 1 m/s. Aún así, la eficiencia de separación es inferior al 50%. Normalmente este equipo cumple el rol de pre-separador o separador primario, ya que para conseguir mejores eficiencias de separación, el tamaño de equipo requerido sería demasiado grande.

Figura 13.1. Separador gravitatorio.

Para determinar las dimensiones básicas de un sedimentador gravitatorio, es imprescindible conocer las características de las partículas, específicamente su velocidad terminal, vt. Para que se produzca la retención de la partícula, esta debe llegar a la superficie horizontal inferior (piso), en el tiempo que ésta permanece en la cámara de separación (tiempo de residencia, tr). Considerando flujo pistón: tr = L/V ; V = Q/BH ⇒ tr = LBH/Q, (13.1)

381


USACH

donde V es la velocidad del fluido, Q el flujo volumétrico de gas, H el alto de la cámara, L su largo y B su ancho. El tiempo requerido para que la partícula sedimente, ts, en la distancia H, mientras desciende a su velocidad terminal vt, es: ts = H/vt (13.2) Para que la captura de la partícula efectivamente se produzca, se debe verificar que: ts ≤ tr. En el límite: ts = tr. Por lo tanto: H/vt = LBH/Q, o bien: vt = Q/LB. Utilizando expresiones adecuadas para las velocidades de sedimentación (zona de Stokes, zona de transición o zona de Newton), es posible obtener ecuaciones para el tamaño de partícula (dp), a partir del cual son retenidas en la cámara de sedimentación. Estas ecuaciones se resumen en la tabla 13.5. Tabla 13.5. Expresiones para determinar tamaños de partícula. Régimen de flujo Transición

Stokes {18µQ/(gρpBL)}

0.5

Q

0.88

ρ

0.254

µ

/{0.193(g ρp)

0.377

Newton (LB)

0.623

}

0.88

0.33 (ρ/g ρp)(Q/LB)2

Los diámetros de partícula calculados con las ecuaciones anteriores representan valores límites, dp mín = dp*, puesto que partículas con tamaños iguales o mayores llegarán a la superficie inferior y partículas con diámetros menores saldrán de la cámara de sedimentación. En las ecuaciones anteriores no aparece la altura de la cámara de sedimentación, H, y por lo tanto puede concluirse que la eficiencia de la captura es independiente de dicho valor. Sin embargo, existe un valor mínimo de H, usualmente establecido para asegurar que la velocidad del gas sea lo suficientemente baja y que no produzca el arrastre de las partículas ya depositadas.

382


Si en el diseño de una determinada cámara de sedimentación se utiliza dp mín, la eficiencia de recolección de partículas, η, para partículas mayores o iguales a dicho tamaño será 100%. Puede demostrarse que: η = vt B L/Q 100% = (vt/V)(L/H) = (H*/H)100% (13.3) donde H* es la mínima altura que asegura la captura de las partículas.

Si en la corriente gaseosa existen partículas con una distribución de

tamaño, existirá una curva de eficiencia de recolección de partículas para cada tamaño. Si una partícula de tamaño dp está a H*, entonces (H*/H) representa la fracción de partículas de este tamaño que será recolectado. Si H* es igual o mayor que H, todas las partículas de ese tamaño o mayores serán recolectadas en la cámara de sedimentación. Para evitar el re-arrastre de las partículas depositadas, la velocidad del gas no debe ser superior a la velocidad de arrastre, vp. Una expresión semi-empírica para estimar vp es: (13.4) donde (W/G) es la velocidad de los sólidos arrastrados (masa de sólidos/ masa de gas); Ps es la presión estática del gas.

Figura 13.2. Cámara de Howard.

383


USACH

Para aumentar la eficiencia y disminuir el tamaño del equipo, se introducen planchas horizontales dentro del separador, constituyéndose la llamada “cámara de Howard”. De esta forma se consigue separar partículas de hasta 15 µm. La distancia entre las placas puede ser tan pequeña como una pulgada. Una de las desventajas de este diseño es la dificultad para retirar los sólidos que se depositan en la cámara. Por este motivo no se recomienda su uso para concentraciones de partículas superiores a 1 gr/pie3. En esta familia de separadores, dadas las bajas velocidades del gas (1 a 10 pie/s), cabe esperar bajas caídas de presión, menores a 0.2 pulgadas de agua. El conjunto de dos o más tubos verticales, con diámetros crecientes por los cuales pasa el gas, constituyen los llamados elutriadores. En estos, las partículas mayores sedimentan en el fondo del tubo, mientras que las partículas menores son arrastradas hacia el tope.

Figura 13.3. Elutriadores.

Existe otro tipo de cámara de sedimentación, en la cual, junto con el efecto de la gravedad se inducen fuertes cambios de dirección del gas, de forma tal que las partículas impactan en placas internas. Estos equipos se

384


conocen con el nombre de separadores de momentum. Su eficiencia puede superar el 70%, para partículas mayores a 50 µm.

Figura 13.4. Separadores de momentum.

13.2. Separadores centrífugos (ciclones) Los ciclones son ampliamente utilizados en diversos procesos industriales: minería, metalurgia, procesos farmacéuticos, operaciones de combustión, etc. En los ciclones, el gas ingresa tangencialmente en la parte superior, adquiriendo un movimiento centrífugo, siendo las partículas desplazadas hacia la periferia, continuando con su movimiento espiral hacia abajo debido a la fuerza de gravedad, mientras tanto el gas libre de partículas (o con partículas de menor tamaño), asciende por la parte central. Cuando el gas ingresa al ciclón, su velocidad se distribuye de tal manera que su componente tangencial (Vct) aumenta al reducirse el radio, mientras

385


USACH

la velocidad radial (Vcr) se dirige hacia el centro en casi todas las partes del ciclón. La separación de las partículas es influenciada por el campo centrífugo, velocidad radial, tiempo de residencia y la turbulencia dentro del ciclón. El tiempo de residencia depende del número de orbitales que se forman en el interior del ciclón, el que a su vez depende de factores geométricos y del flujo de gas. La caída de presión en el ciclón es provocada por: - Expansión a la entrada del ciclón. - Pérdida de energía cinética en la trayectoria espiral del gas, dentro

del ciclón. - Fricción en las paredes internas y en el ducto de salida.

Figura 13.5. Dimensiones básicas de un ciclón Lapple (Adaptado de Perry, Manual del Ingeniero Químico).

386


Obedeciendo en general a una misma forma, es posible agrupar los ciclones en tres categorías: a) Ciclones convencionales (eficiencia media). Con eficiencias entre 80 a 95%, son capaces de manejar flujos con caídas de presión entre 5 y 13 cm col agua. b) Ciclones de alta eficiencia (95 a 99%). En general son de menor diámetro y mayor longitud. Sus rangos de caídas de presión típicos están entre 5 y 16 cm col de agua. c) Sistemas multi-ciclones. Están constituidos por un conjunto de ciclones de pequeño diámetro que funcionan en paralelo. Sistemas bien diseñados pueden presentar eficiencias tan altas como 90% para partículas en el rango de 5 a 10 µm.

La eficiencia de un ciclón es usualmente especificada en términos de

un tamaño de corte, el cual corresponde al tamaño de partícula recolectada con una eficiencia del 50%, es decir: dp50. Este tamaño de corte depende del gas, de las propiedades de las partículas, de las dimensiones del ciclón (normalmente el tamaño de un ciclón se representa en función del diámetro de la sección cilíndrica, Dc) y de las condiciones de operación. Puede calcularse con la expresión: (13.5) µ es la viscosidad del gas en lb/pie-s, Bc es el ancho de la entrada del gas, pie, Nt es el número efectivo de espiras que el gas desarrolla en el ciclón, vi es la velocidad del gas en la entrada, pie/s, ρs es la densidad de las partículas, lb/pie3 y ρ es la densidad del gas, lb/pie3. Lapple entrega las dimensiones básicas de un ciclón convencional, demostrando que para esta configuración Nt = 5.44. Partículas mayores a dp50 serán recolectadas con eficiencias superiores al 50%, mientras que las de 387


USACH

menor tamaño serán recolectadas con una eficiencia menor. Para determinar la eficiencia de colección puede utilizarse la ecuación siguiente: (13.6)

En general, la eficiencia de recolección aumenta con el aumento de

la velocidad de entrada, encontrándose ésta en el rango de 20 a 70 pie/s. Velocidades mayores aumentan la eficiencia, aunque valores superiores a 100 pie/s no son recomendables, ya que se produce el arrastre de partículas separadas, bajando la eficiencia de colección.

Instalaciones en serie se justifican solo si:

• El polvo presenta una amplia distribución de tamaños, incluyendo partículas bajo 15 µm. En esta situación un primer gran ciclón permite separar las partículas gruesas, luego varios ciclones menores en paralelo permiten separa las partículas menores. • El polvo es fino, pero con partículas que forman flóculos.

Los ciclones operan de igual modo a vacío o a presión.

Ejemplo 13.1 Debido a su cargo de Inspector Controlador de la Polución Atmosférica, usted ha sido comisionado para evaluar el funcionamiento de un ciclón usado a la salida de un secador de áridos de una planta de asfaltos. La norma vigente prohíbe la emisión de más de 229 [mg/m3] de partículas menores de 10 [μm]. Un análisis de partículas a la entrada del ciclón indica que el 10% de la emisión másica particulada está entre 5 y 10 [μm], siendo despreciable la concentración de partículas menores de 5 [μm]. La carga total de entrada al ciclón es de 11450 [mg/m3]. El ciclón disponible es uno convencional, de

388


diámetro 0,61 [m], con una velocidad a la entrada de 15,2 [m/s]. La densidad del polvo es 2,75 [g/cm3]. El número de giros del gas se estima en 4,5 y opera a una temperatura ambiente de 21 [ºC]. ¿Daría usted el permiso de operación para el ciclón? Solución: Considerando que el ciclón es del tipo Lapple, se tiene: Total de partículas: 11450 [mg/m3] Partículas ≤10 [μm]: 11450 · 0.1 = 1145 Se pide: Tamaño promedio de partículas ≤10 [μm]: Para el cálculo del diámetro de corte se utiliza la ecuación:

donde

;luego:

El cálculo de la eficiencia, Ei, se realiza mediante la ecuación:

El ciclón no cumple con la Emin requerida, por lo tanto no se da el permiso.

389


USACH

Ejemplo 13.2 Una dada muestra de una corriente de aire tiene la siguiente distribución en % en peso con cada tamaño medio de partículas: Tamaño (μm)

1

10

50

100

200

% en peso

10

20

40

20

10

Se usará un separador ciclónico convencional, basado en lo siguiente: ancho de entrada, 12 pulg; Nº efectivo de giros o vueltas, 5; velocidad del gas de entrada, 60 (pie/s); densidad de la partícula, 1,6 (g/cm3); densidad del gas, 0,074 (lb/ft3); viscosidad del gas, 0,045 (lb/pie·h). a) Use el método de Lapple para estimar el % del peso total que sería removido en el ciclón. b) ¿Qué flujo de aire contaminado podría tratarse en el ciclón? Solución: Primero se determinará dp50. Para esto se transformaran los datos a SI Bc = 0,3048 (m) vi = 18,288 (m/s) ρs = 1600 (kg/m3) ρ = 1,185 (kg/m3) μ = 1,9x10-5 (kg/ m*s)

390


A continuación se muestra un ejemplo para el primer rango de tamaño. Los cálculos siguientes son análogos.

El cálculo de Ei se puede realizar mediante la ecuación:

y por último: x · Ei = 0,1 · 1,74 = 0,174 dp (μm) 1 10 50 100 200

x

dp/dp50

Ei

x · Ei

0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

0,133 1,328 6,640 13,280 26,560

1,74 63,82 97,78 99,44 99,86

0,17 12,76 39,11 19,89 9,99

del peso total será removido en el ciclón b) Q = vi · Bc · Hc

391


USACH

EJERCICIOS 13.1. En una de las etapas del proceso de fabricación de cemento se utiliza un ciclón Lapple, de diámetro 8 [ft]. Medidas de la velocidad del aire a la entrada del ciclón señalan que ésta es de 60 [ft/s] y que el número efectivo de espiras dentro del ciclón, Nt, es 5,4. En las condiciones del proceso la viscosidad del gas es 0,02 [cp] y la densidad de las partículas es 181 [lb/ft3]. El análisis granulométrico de las partículas es: Dp [μm] 2 8 15 20 35 45 55 >55

% peso 5 15 20 28 15 10 5 2

Determine el diámetro de corte y la eficiencia global del ciclón. [Solución: Eglobal = 78,9%].

13.2. La distribución de tamaños de partículas emitidas por un incinerador es: Rango de tamaños (μm)

d p (μm) 1 3 7 12,5 17,5 25 > 30

0–2 2–4 4 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 30 30 - +

392

% en peso 17 5 8 3 3 5 59


a) ¿Cuál es la eficiencia global de un ciclón convencional si se usa un dp50 de 10 (μm)? b) Si la caída de presión máxima permisible es de 5 (pulg de agua), ¿cuáles serían las dimensiones del ciclón para tratar 1500 (m3/h)? Solución [Et = Σx · Ei = 70,59%, Dc = 47,1(cm)].

393

Capítulo 14: Transporte hidráulico de sólidos en tuberías

CAPÍTULO 14 TRANSPORTE HIDRÁULICO DE SÓLIDOS EN TUBERÍAS

14.1. Introducción Existen numerosas aplicaciones de transporte hidráulico de sólidos a través de tuberías, especialmente en el área de la minería. Cabe destacar el transporte de suspensiones de cobre en el norte de Chile, de mineral de fierro en Brasil y de carbón mineral en EE.UU., lugares donde los minerales recorren distancias superiores a cien kilómetros. Prácticamente en todas las operaciones conocidas el fluido de transporte es el agua. Desafortunadamente, el avance en las aplicaciones no significa que se tenga el completo conocimiento teórico del efecto de las variables involucradas en el transporte hidráulico. Para que el transporte de mezclas líquido-sólido a través de cañerías sea técnicamente factible, se deben cumplir las siguientes condiciones: 1) El sólido debe poder mezclarse y separarse fácilmente. 2) No debe existir el riesgo de taponamiento de la cañería. 3) El desgaste y ruptura que sufren las partículas durante el transporte, no debe tener efectos adversos para el proceso posterior de ellas. 4) La cantidad del fluido empleado para el transporte debe ser adecuada. Variables del sistema El flujo de mezclas sólido-líquido por cañerías depende de diversos parámetros, no conociéndose con exactitud la influencia de ellas. Estos parámetros se sintetizan en la Figura 14.1:

395


USACH

Figura 14.1. Variables a considerar en el diseño de un sistema hidráulico de material particulado.

Aspectos Básicos: Al aplicar un balance de energía mecánica a una tubería horizontal, por la cual circula un fluido, debido a un gradiente de presión, se obtiene: (14.1) donde (–∆p) representa la caída de presión a través del sistema, ρ la densidad del fluido y Eˆ v , las pérdidas por fricción. Si en el mismo sistema, en vez de un fluido puro, circula una suspensión se obtiene: (14.2) En esta situación, las pérdidas por disipación de la mezcla, pueden expresarse en altura de suspensión al dividir la última expresión por g. Si se divide además por L y denominando Jm al término 2fv2/gD, entonces, las pérdidas

396


por disipación viscosa estarán expresadas en altura de suspensión por unidad de longitud de tubería. (14.3) En forma equivalente, si el fluido que circula es agua, llamaremos en este caso a las pérdidas de disipación viscosa, expresadas en altura de agua por unidad de tubería, como Jw. La densidad de la mezcla, ρm, si se comporta como un fluido homogéneo está dada por: (14.4) donde Vw y Vs corresponden a los volúmenes de agua y sólido, respectivamente y V representa el volumen de la suspensión. Llamando C a la concentración en volumen de los sólidos en la mezcla, se tiene, que C = Vs/V y por lo tanto, se puede escribir también: 1 – C = Vw/V. Introduciendo, estas expresiones en la ecuación que representa la densidad de la mezcla, se obtiene: ρm = ρw + C(ρs – ρw) (14.5) Newitt, relacionó las pérdidas por fricción de la mezcla en altura de agua, J, con las pérdidas por fricción del agua sin partículas, Jw, en términos de la función φ, característica de cada sistema: J = Jw + Jw C φ Entonces la función φ se define como:

(14.6)

(14.7)

397


USACH

14.2. Modelos para predecir pérdidas de carga La modelación del transporte hidráulico de sólidos está siendo perfeccionada continuamente por el aporte de diversos investigadores. Los modelos tradicionales corresponden a los formulados por Durand y también el modelo de Newitt. Modelo de DURAND (Durand, 1953) Basándose en numerosos valores experimentales, Durand propone la siguiente clasificación para las mezclas: A. Mezclas homogéneas. Válido para sólidos con tamaño inferior a 20 ó 30 micrones. Las mezclas homogéneas presentan dos tipos de regímenes de flujo: laminar y turbulento. A.1 Régimen laminar. Las mezclas se comportan como fluidos no newtonianos, con formación de depósito en la sección inferior de la tubería. Este tipo de comportamiento debe ser evitado en las instalaciones. A.2 Régimen turbulento. En este régimen, las pérdidas por disipación viscosa son iguales a las del agua pura, por lo tanto, J = Jw, y: (14.8) donde J representa las pérdidas por fricción de la suspensión, por unidad de longitud de cañería, Jw las pérdidas por fricción del agua pura por unidad de longitud de cañería y (Ev/g)m las pérdidas por disipación viscosa de la mezcla, expresada como altura de mezcla.

398


B. Mezclas intermedias. Válido para sólidos con tamaño entre 25 y 50 micrones. Durand no presenta expresiones para este tipo de régimen. C. Mezclas heterogéneas. Están constituidas por sólidos que exceden los 50 micrones de diámetro. Es posible encontrar la siguiente subdivisión, válida en rigor para sólidos con una estrecha distribución de tamaños. Para mezclas con una amplia granulometría, la clasificación puede variar, dependiendo de la concentración de los sólidos. C.1. Transportadas en suspensión (diámetro de sólidos entre 50 micrones y 0.2 mm). C.2. Categoría de transición (diámetro de sólidos entre 0.2 y 2 mm). C.3. Transportadas por saltos (diámetro de sólidos superior a 2 mm).

Los movimientos del agua son insuficientes para mantener a los sóli-

dos y el agua homogeneizados y la gravedad tiende a sedimentar a las partículas. Durand encontró que existe una velocidad límite del agua, vL, bajo la cual se inicia el depósito de partículas en la tubería. Encontró que vL depende del diámetro de la cañería D, de la densidad de los sólidos, ρs de la densidad del líquido, ρw, de la concentración volumétrica de sólidos C y del diámetro de las partículas Dp. Entrega la siguiente relación para estimar vL: (14.9) donde FL es una variable que depende únicamente de la concentración en volumen (C) y del diámetro de los sólidos, tal como se muestra en la figura siguiente:

399


USACH

Figura 14.2. FL vs Dp para diversas concentraciones en volumen (Adaptado de Durand, 1953).

Por lo tanto, dependiendo de la velocidad límite de depósito, se desprende que en mezclas heterogéneas existen dos tipos de regímenes: régimen sin depósito de sólidos (v > vL) y régimen con depósito de sólidos (v < vL). Régimen sin depósito de sólidos en la tubería. Para el parámetro φ, informan de la siguiente expresión: (14.10) donde CD es el coeficiente de fricción representativo de las partículas. S es el cuociente ρs/ρw.

400


Régimen con depósito de sólidos en la tubería. Si la velocidad de operación es menor que la velocidad límite de depósito vL, en la parte inferior de la cañería comenzará a formarse un lecho, que con el tiempo puede obstruir totalmente la cañería. Sin embargo, experiencias visuales muestran que la cima de los depósitos es aproximadamente plana, y que por este motivo existe una altura h y una sección de flujo libre, siendo aplicable también la ecuación para φ, introduciendo ve en vez de v, siendo ve la velocidad de flujo sobre el depósito y cambiando D por 4 RH, donde RH es el radio hidráulico. En el diseño de sistemas de transporte hidráulicos, se recomienda emplear v > vL. Modelo de NEWITT (Newitt, 1955) Newitt clasifica las suspensiones en las siguientes categorías: a. Mezclas homogéneas. b. Mezclas heterogéneas en suspensión. c. Mezclas heterogéneas por saltos o lecho móvil. d. Mezclas heterogéneas con lecho estacionario. Esta clasificación puede visualizarse en la figura siguiente, en la que se grafica el diámetro de la partícula en función de la velocidad media, para una densidad de sólidos y un diámetro de cañería dados. Newitt propone además, ecuaciones que permiten calcular la transición entre cada uno de los patrones de flujo indicados en la Figura 14.3.

401


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Figura 14.3. Diámetro de partícula vs velocidad media.

Para mezclas homogéneas, se propone la siguiente correlación: φ = 0.6 (S – 1)

(14.11)

Para suspensiones heterogéneas se propone: (14.12)

402


Para suspensiones con lecho móvil: (14.13) Velocidades de transición

El cálculo de las velocidades de transición permite decidir que mo-

delo debe aplicarse a una determinada suspensión. Es decir, dichas velocidades permiten clasificar las mezclas. Las velocidades de transición vH y vB, se obtienen igualando las correlaciones correspondientes a dos zonas sucesivas y reemplazando v por vH o vB, según corresponda. De esta forma se obtiene para la transición entre mezcla homogénea y heterogénea: vH = (1800 g D vt)1/3 (14.14) Análogamente, para la transición entre mezcla heterogénea y flujo con lecho móvil, se tiene: vB = 17 vt (14.15) El criterio que permite decidir establece que si la velocidad media es mayor que la velocidad de transición, debe considerarse la mezcla en la categoría inferior, entendiéndose como orden creciente: homogéneas, heterogéneas, lecho móvil. Procedimiento de diseño Para diseñar un sistema de transporte hidráulico de sólidos por tuberías bajo presión, se recomienda que la mezcla fluido partícula sea una suspensión heterogénea; además de un completo conocimiento de las características de la mezcla y del sistema (topografía). Los modelos para evaluar las pérdidas de disipación viscosa están formulados para mezclas con estrechas granulometrías de tamaño, situación que en las aplicaciones industriales no

403


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se presenta. Con el propósito de incorporar en las ecuaciones el efecto de la distribución de tamaño, se recomienda utilizar un tamaño ponderado vía un coeficiente de arrastre representativo de la mezcla, el que se determina con la expresión siguiente: (14.16) donde Xi corresponde a la fracción en peso de las partículas de tamaño Dpi y CDi su correspondiente coeficiente de arrastre. Luego, con el valor del coeficiente de arrastre representativo de la mezcla, CD, usando las ecuaciones que representan este coeficiente, se obtiene el tamaño representativo de la mezcla, Dp y la velocidad de arrastre (llamada también velocidad terminal) de la mezcla, vt. Consideraciones particulares: i) Amplia granulometría y C ≤ 15% Para esta situación se recomienda el siguiente procedimiento de diseño: 1. Calcular el diámetro promedio de la mezcla de partículas, utilizando los coeficientes de arrastre. 2. Clasificar la suspensión según Durand. 3. Seleccionar un diámetro de cañería. 4. Calcular las pérdidas por disipación viscosa de la mezcla, Ev, usando preferentemente el modelo de Durand. 5. Si corresponde, calcular los requerimientos de potencia de bombeo. La selección del diámetro de la cañería, está directamente relacionada con la velocidad de la suspensión, considerándose que un diámetro inadecuado puede producir depósitos estacionarios de sólidos en la tubería.

404


La velocidad de operación óptima, vópt, es aquella que produce las pérdidas por disipación mínimas y puede obtenerse derivando la ecuación que relaciona velocidad con diámetro de tubería. Al usar la expresión correspondiente a Durand, se obtiene una expresión para la velocidad óptima, a la cual le corresponde un diámetro óptimo de cañería: (14.17)

(14.18)

Calculada la velocidad y el diámetro óptimos, se procede a calcular la velocidad límite de depósito, vL. Si es necesario, debe rediseñarse la velocidad de operación a fin de evitar la formación de depósitos, entrando en un ciclo iterativo que incluye el diámetro de la cañería. Una vez conseguidas las dimensiones con un régimen sin formación de depósitos, se procede a calcular las pérdidas por disipación viscosa. ii) Amplia granulometría y C > 15% Cuando se presenta este caso, no es posible calcular vL, ya que la ecuación planteada se aplica a concentraciones bajo 15%. En esta situación, las etapas básicas del procedimiento de diseño son las siguientes: 1. Calcular el diámetro promedio de la mezcla, usando los coeficientes de arrastre. 2. Seleccionar un diámetro mínimo de cañería, D, verificando que se cumpla la relación: vB < v
405


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3. Calcular las pérdidas por disipación viscosa de la mezcla, Ev, empleando la ecuación: (14.19) donde x puede evaluarse de la Figura 14.4.

Figura 14.4. Gráfico para estimar el parámetro x.

Ejemplo 14.1 Se desea transportar hidráulicamente 200 (m3/h) de pulpa al 10% (en volumen), desde la descarga de celdas de flotación, hasta un sedimentador ubicado 10 (m) sobre las celdas de flotación. Tanto el punto de succión como la descarga se encuentran a presión atmosférica, separados 150 (m). Un análisis granulométrico de los sólidos contenidos en la pulpa, entregó los siguientes resultados: Diámetro (µm) Fracción en peso

25

60

100

150

200

0,15 0,30 0,40 0,10 0,05

406


Determinar el diámetro de la tubería y la potencia de la bomba (con una eficiencia global estimada de 75%). En las condiciones de transporte, la densidad del agua es 1000 (kg/m3) y su viscosidad 1 cp, mientras que la densidad de los sólidos es 2500 (kg/m3).

Solución: Primero se debe determinar el diámetro de partícula representativo de la mezcla ( D p ). Suponiendo régimen de Stokes (Re < 1).

Para el primer diámetro el cálculo es el siguiente:

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Dp (µm) 25 60 100 * 150 * 200

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F. en peso 0,15 0,30 0,40 0,10 0,05

vt (m/s) 5,10 · 10–4 2,94 · 10–3 8,17 · 10–3 1,66 · 10–2 2,40 · 10–2

Ret

CD

0,013 1882 0,176 136,4 0,817 29,4 2,490 10,5 4,800 7,0

CD 43,4 11,7 5,4 3,2 2,7

* Para estos valores no se cumplió la suposición de Stokes, calculándose entonces iterativamente con el siguiente procedimiento: vt  Ret  CD (Figura 10.2 )  vt (ecuación 10.6) Luego, Ahora asumiendo Stokes:

(1)

(2)

Igualando (1) y (2) se obtiene: D p == 56,8(µm) 56 ,8( µm) Para obtener el diámetro de la tubería se puede resolver iterando. Para partir con la iteración se utilizará el concepto de velocidad óptima.

y como,

408


se parte la iteración con una tubería de D = 10”Di=10,020”Di=0,2545(m)

, FL se obtiene de Figura 14.2.

∴vvLL >> v,v se forma depósito.  Se tiene que disminuir el diámetro de la tubería. D = 8”  Di = 7,981”  Di = 0,203 (m) v = 1,72 (m/s) vL = 1,71 (m/s) ∴vvLL <>v,v si bien se cumple la condición para que no haya deposito, está muy al límite por lo que se opta por un diámetro aun menor. D = 6”  Di = 6,065”  Di = 0,154 (m) v = 2,98 (m/s) vL = 1,49 (m/s) ∴vvLL << > vv. Este será el diámetro de tubería a usar. Resolviendo el problema por el método Durand queda:

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Utilizando la expresión de Shacham para determinar el factor de fricción: fW = 0,0041

Realizando un Bernoulli entre los puntos (1) y (2)

entonces: , por lo tanto, la potencia es: Potenciateórica= Potenciareal =

410


EJERCICIOS 14.1. Determine el flujo de agua y la potencia de bombeamiento requeridas para el transporte hidráulico de 40 ton/h de arena. La tubería es de acero comercial de diámetro nominal de 5", tipo 40. El sistema debe operar con una velocidad de mezcla 20% mayor que la velocidad de depósito. La pérdida de carga total de los accesorios puede ser estimada en 25% de la proporcionada por las tuberías. Temperatura del sistema: 20 ºC. Densidad y esfericidad de la arena: 2600 kg/m3 y 0,78 respectivamente. La distribución granulométrica de la arena se muestra en la tabla siguiente: # Tyler -35+48 -48+65 -65+100

Fracción retenida 0,3 0,4 0,3

Solución: Flujo = 128 m3/h; Potencia teórica = 6.5 KW.

14.2. En una planta de fabricación de cemento se desea implementar un sistema para transportar hidráulicamente 140 m3/h de una suspensión de concentración 3.16% en peso y de 1.22% en volumen. En la succión se dispone de una presión de 2.76 · 105 Pascales (manométrica), estando la descarga a presión atmosférica, 6 metros bajo la succión. En la tabla siguiente se muestra la distribución granulométrica de las partículas, de densidad, ρs = 2600 kg/m3. 411


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Análisis por tamizado Diámetro (mm) 0,037 0,053 0,074 0,105 0,149 0,21 0,297 0,420 0,595

% peso (pi) 11,50 10,50 12,60 20,70 20,45 19,95 3,80 0,35 0,15

Utilizando los métodos de Newitt y Durand, determine las pérdidas por fricción, considerando que se utilizará una tubería de 220 metros de longitud y diámetro nominal 4".

Solución: Por ambos métodos se obtiene:

412

Eˆ v

g

≈ 3 ,5 (m

mezcla) .

Apéndice

APÉNDICE

413

Apéndice

Factores de conversión

415


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416

Apéndice

Temperatura t(ºF) = 1.8 t (ºC) + 32 t(ºC) = [ t (ºF) – 32]/1.8 t(ºK) = t (ºC) + 273,15 T(ºR) = t (ºC) + 459,67 T(ºR) = 1.8 T (ºK) T(ºR) =1.8 t (ºC) + 459,67 T(ºK) = t (ºF)/1.8 + 255,4 t(ºF) =1.8 T (ºK) – 459,67 t(ºC) = T (ºR)/1.8 – 273.15 Constante Universal de los Gases (R) R = 1,987 [cal/gramo mol ºK] R = 10,731 [psi pie3 /lbmol ºR] R = 0,08206 [lt at/g mol ºK] R = 0,7302 [at pie3 /lbmol ºR] R = 82,06 [cm3 at/g mol ºK] R = 62,36 [lt mm Hg/g mol ºK] R = 8,309 [Joule /gmol ºK] R = 8308,7 [m2 kg/kgmol seg2 ºK]

417


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TABLAS A.1. Dimensiones de tubos de acero normal (ASA Standards). Tamaño nominal (plg)

Diámetro exterior (plg)

1/8

0.405

1/4

0.540

3/8

0.675

1/2

0.840

3/4

1.050

1

1.315

1 4 1 1 2

1

1.660 1.900

2

2.375

1 2

2.875

3

3.500

1 2

4.000

4

4.500

5

5.563

6

6.625

8

8.625

10

10.75

12

12.75

2

3

Cédula Nº 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80 40 80

Espesor de pared (plg) 0.068 0.095 0.088 0.119 0.091 0.126 0.109 0.147 0.113 0.154 0.133 0.179 0.140 0.191 0.145 0.200 0.154 0.218 0.203 0.276 0.216 0.300 0.226 0.318 0.237 0.337 0.258 0.375 0.280 0.432 0.322 0.50 0.365 0.593 0.406 0.687

418

Diámetro interno (plg) 0.269 0.215 0.364 0.302 0.493 0.423 0.622 0.546 0.824 0.742 1.049 0.957 1.380 1.278 1.610 1.500 2.067 1.939 2.469 2.323 3.068 2.900 3.548 3.364 4.026 3.826 5.047 4.813 6.065 5.761 7.981 7.625 10.020 9.564 11.938 11.376

Diámetro interno (m) 0.00683 0.00546 0.00925 0.00767 0.01252 0.10744 0.01580 0.01387 0.02030 0.01885 0.02665 0.02431 0.03505 0.03246 0.04089 0.03810 0.05250 0.04925 0.06271 0.05900 0.07793 0.07366 0.09012 0.08545 0.10226 0.09718 0.12819 0.12225 0.15405 0.14633 0.20272 0.19368 0.25451 0.24293 0.30323 0.28895

Apéndice

A.2. Abertura de tamices Tyler. Nº de malla 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20 24 28 32 35 42 48 60 65 80 100 115 150 170 200 230 270 325 400

Abertura (mm) 6.680 4.699 3.962 3.327 2.794 2.362 1.981 1.651 1.397 1.168 0.991 0.833 0.701 0.589 0.495 0.417 0.351 0.295 0.248 0.208 0.175 0.147 0.124 0.104 0.088 0.074 0.061 0.053 0.043 0.038

419


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A.3. Largo equivalente (L/D) en accesorios [Adaptado de Foust y col., 1961].

Accesorio

L/D

Convencional, 100% abierta Con disco de chaveta, 100% abierta Convencional, 100% abierta Válvula angular Con disco de chaveta, 100% abierta 100 % abierta Válvula de 75 % abierta 50% abierta compuerta 25% abierta 100 % abierta 75 % abierta Válvulas de lodo 50% abierta 25% abierta Giro convencional, 100% abierta Válvulas de retención Giro de despeje, 100% abierta Válvulas de aspira- Con disco de alza vertical, 100% abierta Con disco articulado, 100% abierta ción con cedazo

340 450 145 200 13 35 160 900 17 50 260 1200 135 50 420 75

Válvula de globo

Válvula de tres pasadas Codos T normal

Flujo directo Flujo a través de la bifurcación De 90º, radio normal De 90º, radio largo De 45º, radio normal Con flujo a lo largo Con flujo a través de la ramificación

420

44 140 30 20 16 20 50

Apéndice

A.4. Aspereza relativa en función del diámetro de la tubería [Adaptado de Foust y col., 1961].

421


USACH

A.5. Factor de fricción en función del número de Karman [Adaptado de Foust y col., 1961].

422

Apéndice

A.6. Coeficiente de resistencia (K) para expansiones y contracciones. [Adaptado de Foust y col., 1961].

423


USACH

A.7. Densidad y valores x, y para leer viscosidades de líquidos [Adaptado de Ocon y Tojo 1979].

424

Apéndice

425


USACH

A.8. Viscosidad de gases y vapores a 1 atmósfera [Adaptado de Ocon y Tojo 1979].

426

Apéndice

427


USACH

A.9. Presión de vapor y densidad de agua a diferentes temperaturas.

428

Apéndice

A.10. Curvas características de bombas centrífugas.

429

Escurrimiento de Fluidos Aplicaciones

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