ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Öğretim üyesi: Doç. Dr. S. Özoğuz Tel: 285 36 19 Ders saati:
e-posta: ozoguz@ itu.edu.tr
Pazartesi, 10.00-13.00 / D-5107
İçindekiler
1. Devre teorisi, toplu parametreli devreler, Kirchhoff’un gerilim ve akım yasaları 2. Graf teorisi; temel tanımlar, lineer bağımsız denklem takımları 3. Bazı 2- ve 3- uçlu devre elemanlari, paralel-seri bağlantı 4. Genel direnç devreleri, Norton ve Thevenin eşdeğer devreleri, lineer olmayan devreler 5. Dinamik devrelere giriş ve durum denklemleri 6. RLC ve çok uçlulardan oluşmuş devrelerde durum denklemlerinin elde edilmesi 7. İkinci mertebeden devreler
Kaynaklar: 1- Linear and Nonlinear Circuits L.O.Chua, C.A.Desoer, E.S.Kuh 1987-Mc Graw Hill 2- Devre Analizi Dersleri Kisim I Prof. Dr. Yilmaz Tokat 1986-Çaglayan Kitapevi 3- Elektrik Devrelerinin Analizi Prof. Dr. Cevdet Acar 1995-I.T.U Elektrik-Elektronik Fak. 4- Electric Circuits J.W.Nilsson 1994-Adison-Wesley-literature 5- Analysis of Linear Circuits Clayton R.Poul- Mc Graw Hill 6- M. H. Rashid, ”SPICE for Circuits and Electronics Using PSpice”, Prentice-Hall, 1995, New Jersey.
ELEKTRİK DEVRE TEMELLERİ Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını niceliksel ve niteliksel olarak öngörme akım [A], gerilim [V] Fiziksel devrede elemanların uçlarındaki akım ve gerilim, ölçme elemanlarının koordinatlarına bağlı değil ise devreye toplu parametreli devre denir. Aksi halde devre dağılmış parametreli devre olarak adlandırılır. Toplu parametreli devrede devrenin fiziksel uzunluğu d, işaretin dalga boyundan çok küçük olmalıdır. d=1mm⇒t=10-3/3.108=0,0033 ns
d << c/f
Uygulama alanı: Gerilim µV (10-6) Akım
fA (10-15)
Frekans 0 Hz Güç
MV (106 V)
10-14W
MA 1GHz (109Hz) 1GW
Tanımlanmamış büyüklükler: Akım i(t) [A] ve gerilim v(t) [V] devre teorisinin tanımlanmamış büyüklükleridir.
Fiziksel devre ve model
İşaret üreteci, transformatör, pil, transiztör, direnç gibi elektrik devrelerini oluşturmakta kullanılan aletlerden oluşmuş fiziksel devreye karşı düşen, tanım bağıntıları ile tanımlı ideal devre elemanlarından oluşan model oluşturulur. Devrenin çalışma koşullarına (uygulanan kaynak büyüklükleri, incelemenin yapıldığı frekans aralığı gibi) bağlı olarak aynı fiziksel devreye birden fazla elektriksel model karşı düşebilir. Her model bir yaklaşıklıktır. Fiziksel model ⇒ Fiziksel elemanlar
Devre modeli ⇒ Devre elemanları (eleman modeli)
Elemanların akım, gerilim yönleri
i1=2mA, i2= -3mA, v1=3mV=vd1=vd2+3mV 1 A Uyarma Devresi
i(t) +
v(t)
V –
2
Kirchhoff'un gerilim yasası n düğümlü birleşik ve toplu parametreli bir devrede herhangi bir düğümü şekildeki gibi referans seçerek, (n-1) düğüm gerilimi tanımlayalım.
Kirchhoff'un gerilim yasası (KGY) vk-j=ek-ej Kapalı düğüm dizileri için KGY Tüm kapalı düğüm dizileri için, düğümler arası geriimlerin toplamı sıfırdır. Örnek:
1 - 2- 3-1 v12+v23+v31=0 KGY ⇔ kapalı düğüm dizileri için KGY
⇒1 - 2- 3-1 v12+v23+v31=(e1-e2)+(e2-e3)+(e3-e1)=0 ⇐ v12+v23+v31=0 olsun. 3 düğümü referans ise
v23=e2, v31=-e1, v12+e2-e1=0 v12=e1-e2 Örnek:
vA=v12=e1-e2, vC=v23=e2-e3 2 - 4- 5- 2
T:
v24+v45+v52=0
v25=e2-e5=e2, v45=e4
1- 2- 3-4- 5 -1
v42=e4-e2
Gauss-yüzeyi: Sadece devre elemanlarını birleştiren bağlantıları kesecek şekilde çizilmiş çift yönlü kapalı yüzey Kirchhoff'un akım yasası (KAY) Toplu parametreli devrelerde, tüm Gauss yüzeyleri için, her t anında, Gauss yüzeyini kesen akımların cebirsel toplamı sıfırdır. Düğümler için KAY: Bir düğümden çıkan akımların toplamı sıfırdır. i 1 + i2 - i3 = 0
i1 i3
i2
Örnek:
S1: i1+i4+i5+i6=0 S4: -i4-i10-i7=0 S5: -i12-i3-i11-i8-i9=0 KAY ve KGY - Toplu parametreli devrelerde - Eleman özelliklerinden bağımsız - Elde edilen denklemler katsayıları +1, -1 veya 0 olan lineer denklemler
Graf teorisi dal ve düğümlerden oluşan topolojik yapı 4 5
a 1
7
b
c
6
düğüm sayısı=4 dal sayısı=7
3
2
d Uç graf i
1
1 +
uygun yön p=v.i
i
v –
2
2 i1
+
3-uçlu
i2 +
v1
v2 –
–
v2, i2
v1, i1
n-uçlu elemana ilişkin uç grafı
2-kapılılar ve çok-kapılılar
1 i1
i2 2 +v 2 – 2'
v1+ – 1'
2
1 1 1'
2 2'
1
i1 v1+ – i2
3-kapılı
v2+ –
i3 + v3 –
1 3 1'
3
2 2 2'
2-kapılıların uç grafları ayrık Ancak her ayrık graf aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, birleşik bir grafa dönüştürülebilir.
Aşağıdaki altdevre hem 2-kapılı, hem de 3-uçlu olarak düşünülebilinir.
3'
Verilen bir devrede, her elemana ilişkin uç grafı çizilerek elde edilen topolojik yapıya devre grafı denir. Analiz = matematiksel model(ne)+bağlantı denklemleri (ne) Bağlantı denklemleri: Akım denklemleri+gerilim denklemleri (Bağlantı denklemleri elemanın cinsine bağlı değil)
Devre grafı: Devre elemanlarının özelliklerine bakılmaksızın düğümler
arasındaki
bağlantının
mevcut
olup
olmadığını
belirleyen, yönlendirilmiş doğru parçalarından oluşmuş geometrik yapı Graf elemanı: İki düğüm arasındaki bağlantıyı gösteren yönlendirilmiş doğru parçası Düğüm: graf elemanının uçları. (küçük harfle gösterilir.) İlmek: Tek düğümlü graf elemanı Graf: Aralarında bazılarının ortak noktalarının olduğu sonlu sayıda graf elemanının oluşturduğu yapı Derece: bir düğüme bağlı graf elemanı sayısı δ(di)=4
di
Ayrık düğüm: derecesi 0 olan düğüm
ne adet eleman ve n adet düğüm içeren bir grafta düğümlere ilişkin derecelerin toplamı eleman sayısının iki katına eşittir.
Alt graf: Bir G grafının bazı elemanlarından oluşmuş yeni grafa G'nin alt grafı denir. Yol: G'nin, Gy alt grafı a) Gy'nin n adet elemanı varsa, düğüm sayısı n+1 'dir b) Gy'deki düğüm ve elemanlar d1, d2, .. ve e1,e2,.. olarak numaralandırılırsa, herhangi bir ei elemanının ilişkin düğümler di ve di+1 olur c) birinci ve sonuncu düğümlerin dereceleri 1, diğerlerinin 2 dir.
Birleşik graf: Bir grafın herhangi iki düğümü arasında an az bir yol varsa, bu grafa birleşik graf denir. Aksi halde, grafa ayrık graf denir. Parça: Ayrık bir G grafında aralarında en az bir yol bulunan elemanlardan oluşmuş birleşik altgraflarının aralarında ortak ne bir eleman, ne bir düğüm varsa, bu alt graflar G'nin parçalarıdır . Çevre: Bir grafın tüm düğümlerinin derecesi 2 olan birleşik bir alt grafına çevre denir. Çevre yönü çizgisi: Çevrenin elemanlarını izleyecek biçimde çevre içerisinde çizilmiş yönlü eğri.
Ağaç: Birleşik bir G grafının birleşik, G'nin tüm düğümlerini içeren ve çevre içermeyen alt grafına ağaç denir. Ağacın elemanlarına dal, ağaç dışı elemanlara da kiriş denir.
1. ne elemanlı ve nd düğümlü bir grafta dal elemanlarının sayısı nd-1, kiriş elemanlarının sayısı ne-nd+1 dir. 2. Bir ağaç alt kümesinde düğümler arasında bir ve yalnız bir yol vardır. 3. Seçilen bir ağaçtan sonra geriye kalan kiriş elemanlarının oluşturduğu kümeye ağaç tümleyeni ya da kirişler kümesi denir. Temel çevreler kümesi: ne elemanlı ve nd düğümlü birleşik bir grafta GT ağacını seçelim. GT grafının ne-nd+1 kirişinden her biri, sadece GT grafına ait olan elemanlar (dallar) ile bir çevre oluşturur. Bu şekilde elde edilen ne-nd+1 çevreye temel çevreler kümesi denir. ⑦ 1 5
①
2
⑥
3
② 8
13
10
4
6
12
7
③
9
④
11
⑤
Temel çevreler kümesi: {8, 7} {9, 7, 6} {3, 12, 2} {13, 1, 2} {11,10, 12} toplam ne-nd+1=13-7+1=7
Kesitleme: G'nin içindeki bazı elemanlar aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, bunlara kesitleme kümesi denir. a) Bu elemanlar graftan çıkarılırsa, graf iki parçaya ayrılır, b) Bu kümenin hiç bir alt kümesi a) yı sağlamaz. kesitleme çizgisi 2 B
A
d1
d5
1
7 8
A
6
d2 5
4
3
d4 B
Düğümlerin bir kısmına A, diğerlerine
d3
B
denilsin
(düğüm ayrımlaması). İki ucu farklı harfli olan elemanlar
kesitleme yönü
B
bir
kesitleme
oluşturur.
Dikkat: Her düğüm ayrımlamasından bir kesitleme elde edilmez. d3=A, d2=B Temel Kesitlemeler Kümesi: ne elemanlı ve nd düğümlü birleşik bir grafta GT ağacını seçelim. GT grafının nd-1 dalından her biri, sadece GT' grafına ait olan elemanlar (kirişler) ile bir kesitleme oluşturur. Bu şekilde elde edilen nd-1 kesitlemeye temel kesitlemeler kümesi denir.
⑦ 1
①
5
2
⑥
ne=13 => dal nd-1=7-1=6
12
nd=7=> kiriş ne-nd+1=7
3
② 8
Birleşik graf
13
10
4
6 7
③
④
9
⑤
11
• Kirişler kümesi
GK={3, 4, 5, 8, 9, 11, 13}
• Dallar kümesi ⑦
GT={1, 2, 6, 7, 10, 12}
1
13
①
2
⑥
5
3
② 8
6
4
10
{5, 4, 10, 11} bir kesitlemedir
12
7
③
9
④
11
⑤
• Düğüm kesitlemesi GDK={1, 2, 3, 4 , 5} 1. numaralı düğüm ayrık parça
Bir G birleşik grafının G1 ve G2 altgrafları aşağıdaki koşulları sağlıyor ise: 1. G1 ve G2 nin ortak elemanları yok 2. G1 içinde çevre yok (ağaç) 3. G2, G'in herhangi bir kesitlemesine sahip değil (kirişler), G de bir GT ağacı seçilebilir.
Graf Matrisleri 1. Temel çevreler matrisi G (birleşik) grafındaki temel çevreler kümesine ait Bt=[bij] matrisi bij=0;
(devrenin) j. elemanı i. temel çevrede bulunmuyorsa,
bij=1;
j. elemanı i. temel çevrede bulunuyor ve bu elemanın
yönü çevre yönü ile aynı ise, bij=-1;
j. elemanı i. temel çevrede bulunuyor ve bu elemanın
yönü çevre yönüne ters ise, alınırsa, Bt’ye temel çevreler matrisi denir. (çevre yönü=kiriş yönü) 8 6 B nin boyutu (n -n +1) x (n ) t e d e
1 3
2
5
9
4 10
Bt =
7 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(8)
-1
0
-1
0
-1
1
0
1
0
0
(9)
0
0
0
-1
1
0
-1
0
1
0
(10)
0
1
-1
-1
0
0
0
0
0
1
1444442444443 14243 dallar kirişler Bt = [
B1 M U ] 123 123 ne-nd+1 nd-1
ne-nd+1
6
1
7 Bt 4
1
5
2
(7) = (8) (9)
3
8
2
3
4
5
B1
M
U
]
Rank {Bt} = ne-nd+1= kiriş sayısı = temel çevre sayısı
2. Temel kesitlemeler matrisi G grafındaki temel kesitlemeler kümesine ait Qt=[qij] matrisi qij=0;
(devrenin) j. elemanı i. temel kesitlemede
bulunmuyorsa, qij=1;
j. elemanı i. temel kesitlemede bulunuyor ve bu
elemanın yönü kesitleme yönü ile aynı ise, qij=-1;
j. elemanı i. temel kesitlemede bulunuyor ve bu
elemanın yönü kesitleme yönüne ters ise, alınırsa, Qt’ye temel kesitlemeler matrisi denir. (kesitleme yönü = dal yönü)
7
8
9
0 0 0 -1 -1 1 1 0 0 1 1 0 -1 0 0 0 1 0 0 -1 -1 0 -1 0 0 0 1 144424443 14243 dallar kirişler
9 Bt = [
6
4 5 7
1
1
6
3
Qt
2
Qt = [
(4) = (5) (6) (7)
2
3
1 1 -1 -1 -1 1 0 1 -1 -1 -1 0 14243 B1
4
3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 14243 dallar
U M Q1 ] 123 123 nd-1 ne-nd+1 1
Bt
(1) = (2) (3)
2
5
6
7
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 142443 U
B1= -Q1T
QtBtT=0 ⇔ BtQtT=0
B1T QtBt = [U Q1][B1 U] = [U Q1 ] U T
T
= B1T+Q1 = B1T+( -B1T) = 0
5
6
7
-1 1 0 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 0 1442443 kirişler
nd-1
Q1= -B1T Özellik:
4
3. Düğümler matrisi G grafındaki parçalarından biri tek bir düğüm olan kesitlemeler kümesi ele alınsın ve kesit yönü tek düğüm olan parçadan diğerine doğru olsun. Bu kümeye ait A=[aij] matrisi aij=0;
(devrenin) j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde
bulunmuyorsa, aij=1;
j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde ve yönü düğümden
uzaklaşan yönde ise, aij=-1;
j. elemanı i. düğüm kesitlemesinde ve yönü düğümden
yaklaşan yönde ise, alınırsa, A’ya düğümler matrisi denir. A nın boyutu ( nd ) x ( ne )
4 5
a 7
1
b
c
6 2
d
3
A
(a) = (b) (c) (d)
1
2
3
4
5
6
7
1 0 -1 0
0 0 1 -1
0 1 0 -1
-1 1 1 -1 0 0 0 0
0 1 -1 0
1 0 0 -1
4. İndirgenmiş düğümler matrisi, A
A matrisinden bir satır silinerek elde edilen matris
A
(a) = (b) (c) (d)
1
2
3
4
5
1 0 -1 0
0 0 1 -1
0 1 0 -1
-1 1 1 -1 0 0 0 0
6
7
0 1 1 0 -1 0 0 -1
rank A = nd-1
* nd düğümlü birleşik bir grafına ilişkin indirgenmiş düğümler matrisi, A’nın nd-1 satır ve nd-1 sütunlu altmatrislerinin tekil olmamaları için gerek ve yeter koşul, bu altmatrislerin sütunlarına ilişkin elemanların G’nin içindeki bir ağacın dalları olmalarıdır. A’nın özellikleri:
A=[
A1 M A2 ] nd-1 ⇒ 123 123 dallar kirişler A1-1A = [ U M A1-1A2 ] = QT = [ U M Q1 ]
⇒
Q1 = A1-1A2
A1-1A=QT
4 5 7
1
1
6
(a) 1 = (b) 0 (c) -1
2
A=[
A1
M
A2
1 0 0 A 1 = 0 0 1 − 1 1 0
3
0 0 0 1 1 0 14243 dallar (A1)
A
3
2
4
]
- 1 1 0 1 A2 = 1 - 1 1 0 0 0 - 1 0
Qt
(1) = (2) (3)
2
3
1 0 0 0 1 0 0 0 1 14243 dallar (U)
4
5
6
7
-1 1 0 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 0 1442443 kirişler (Q1)
6
7
-1 1 0 1 1 -1 1 0 0 0 -1 0 1442443 kirişler (A2)
1 0 0 1 0 0 − 1 1 0 1 Q t = A1−1 A = 1 0 1 0 0 1 1 − 1 1 0 0 1 0 − 1 1 0 0 0 − 1 0 1
5
Devreler Teorisinin 2. Postülası G grafında seçilmiş bir ağaca ilişkin temel çevreler matrisi Bt G nin elemanlarının gerilimlerinin oluşturduğu vektör, v(t) Bt v(t) = 0 Bu bağıntıya temel çevre denklemleri adı verilir. 5 2
1 7
nd=5, ne=8 4
3
6
Bt v(t)=0
8 1
Bt =
2
3
4
5
6
7
8
(5)
-1
-1
0
0
1
0
0
0
(6)
0
1
0
-1
0
1
0
0
(7)
-1
0
1
0
0
0
1
0
(8)
0
0
-1
-1
0
0
0
1
1442443 1442443 kirişler (U) dallar (B1) temel çevre denklemleri (5)
-v1(t)- v2(t)+ v5(t)
=
0
(6)
v2(t)- v4(t)+ v6(t)
=
0
(7)
- v1(t)+ v3(t)+ v7(t)
=
0
(8)
- v3(t)- v4(t)+ v8(t)
=
0
v1(t) v2(t) v3(t) v4(t) v(t) = v5(t) v6(t) v7(t) v8(t)
Devreler Teorisinin 3. Postülası G grafında seçilmiş bir ağaca ilişkin temel kesitlemeler matrisi Qt G nin elemanlarının akımlarının oluşturduğu vektör, i(t) Qt i(t) = 0 Bu bağıntıya temel kesitleme denklemleri adı verilir. 5
a 1 7
b
2 3e
nd=5, ne=8 4
6
Qt i(t)=0
d
c 8 1
Qt =
2
3
4
5
6
7
8
(1)
1
0
0
0
1
0
1
0
(2)
0
1
0
0
1
-1
0
0
(3)
0
0
1
0
0
0
-1
1
(4)
0
0
0
1
0
1
0
1
1442443 1442443 kirişler (Q1) dallar (U) temel kesitleme denklemleri (1)
i1(t)+ i5(t)+ i7(t) =
0
(2)
i2(t)+ i5(t) - i6(t) =
0
(3)
i3(t) - i7(t)+i8(t) =
0
(4)
i4(t)+ i6(t)+ i8(t) =
0
i1(t) i2(t) i3(t) i4(t) i(t) = i5(t) i6(t) i7(t) i8(t)
Qt=A1-1A olduğundan ⇔
Qt i(t) = 0
[
A1
A i(t) = 0
]
A2
14243 14243 dallar kirişler
i1 (t) i (t) = 0 2
Her iki tarafı soldan A1-1 ile çarparsak
[
i (t) A 2 ] 1 = U A1−1 A 2 i 2 (t)
A1−1 [A1
]ii (t) = [U (t) 1
2
2
3
i (t) Q1 ] 1 = i 2 (t)
i (t) Q t 1 = Q t i(t) = 0 i 2 (t)
5
a
2
1 7 c
3
e
4
6 d
8
1
b A
a = b c d e
4
5
6
7
8
1 0 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 1 -1 1 0 0 0
0 0 1 -1 0
İndirgenmiş düğümler matrisi, A 1
A
a = b c d
2
3
4
1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 1442443 A1
5
6
7
i1(t) i2(t) i3(t) i4(t) i5(t) i6(t) i7(t) i8(t)
8
i1(t)
1 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 -1 0 -1 142443 A2
i(t) =
=
İ2(t)
Düğüm denklemleri, A i(t) = 0 (a)
i1(t)+ i5(t)+ i7(t) =
0
(b)
- i2(t)- i5(t)+ i6(t)=
0
(c)
i3(t)- i7(t)+ i8(t) =
0
(d)
- i4(t)- i6(t)- i8(t) =
0
1 0 0 − 1 −1 A1 A 2 = 0 0 0 0
A1−1 [A1
0 0 1 0 0 − 1 0 0
[
1 0 −1 0 − 1 A1 = 0 0 0 0
0 0 1 0 0 − 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 − 1 1 0 0 1 − 1 0 = 0 0 − 1 1 0 0 − 1 0 − 1 0 − 1 0 1 0
i (t) A 2 ] 1 = U A1−1 A 2 i 2 (t)
]ii (t) = i (t) + Q i (t) = 0 (t) 1
2
1
1 2
0 0 = Q1 1 1
Toplam ani güç özelliği ve Tellegen teoremi İki farklı D ve D' devresi aynı G grafına sahip olsun.
D grafı
D' grafı
Bt v(t) = 0
Bt v'(t) = 0
Qt i(t) = 0
Qt i'(t) = 0
(v(t), i(t) ile v'(t), i'(t) farklı)
Daha açık olarak
[B1
v (t) U] 1 = 0 v 2 (t)
[B1
v' (t) U] 1 = 0 v'2 (t)
[U
i (t) Q1 ] 1 = 0 i 2 (t)
[U
i' (t) Q1 ] 1 = 0 i'2 (t)
v2(t) + B1 v1(t) = 0
v'2(t) + B1 v'1(t) = 0
i1(t) + Q1 i2(t) = 0
i'1(t) + Q1 i'2(t) = 0
v2(t) = -B1 v1(t)
v'2(t) = -B1 v'1(t)
i1(t) = -Q1 i2(t)
i'1(t) = -Q1 i'2(t)
[
]
i (t) v T (t)i(t) = v1T (t) v T2 (t) 1 = v1T (t) i1 (t) + v T2 (t) i 2 (t) = i 2 (t) v1T(t) [ -Q1i2(t) ] + [ -v1T(t)B1T ] i2 (t)= v1T(t) B1T i2(t) – v1T(t) B1T i2T(t) = 0 ( Q1 = -B1T ) yani vT(t)i(t) ≡ 0
Aynı şekilde Q1 ve B1 matrislerine sahip D' grafı için de v'T(t) i'(t) ≡ 0 vT(t) i'(t) ≡ 0 v'T(t) i(t) ≡ 0 bağıntıları gösterilebilinir.
Buradan aşağıdaki teoremleri yazabiliriz.
Toplam ani güç özelliği Bir devredeki toplam ani güç T
ne
p (t ) = v(t) i(t) = ∑ v k (t)i k (t) ≡ 0 k =1
özdeş olarak sıfırdır. Yani üretilen enerji = tüketilen enerji Telegen teoremi Grafları aynı olan D ve D' graflarında çapraz ani güçlerin toplamı özdeş olarak sıfırdır. p1(t) = vT(t) i'(t) ≡ 0 p2(t) = v'T(t) i(t) ≡ 0
Devreler teorisindeki devrelerin özellikleri 1) Gerilim kaynaklları aralarında çevre oluşturmazlar 2) Akım kaynakları aralarında kesitleme oluşturmazlar. Bu türden devrelere uygun devreler denir. Aksi halde, devre ancak uygun kaynak fonksiyonları için kısmen çözülebilir. Denklem kurma ağacı Teorem: Uygun ve birleşik bir D devresinin grafı G ise, G'de öyle bir ağaç seçilebilir ki, bu ağaç tüm gerilim kaynaklarına ilişkin graf elemanlarını dal olarak içine alır ve tüm akım kaynaklarına ilişkin graf elemanları bu ağacın dışında kalır. Bu ağaca denklem kurma ağacı denir. Denklem kurma ağacı seçilmiş grafa ilişkin denklemler
B11 B12 B 21 B 22
U 0 Q11 0 U Q 21
U 0
0 U
v e (t) v (t) d =0 v k (t) v (t) j
i e (t) Q12 i d (t) = 0 şeklinde bölümlendirilebilir. Q 22 i k (t) i (t) j
v k (t) B11 = − v (t) B 21 j
i e (t) Q11 Q12 i k (t) = − i (t) Q 21 Q 22 i j (t) d
B12 v e (t) ; B 22 v d (t)
Tüm gerilimlere ilişkin v(t) vektörü
v e (t) U v1 (t) v d (t) 0 v(t) = = = v 2 (t) v k (t) − B11 v (t) j − B 21
0 U v e (t) − B12 v d (t) − B 22
Ayrıca B11 = -Q11T, B12 = -Q21T, B21 = -Q12T, B22 = -Q22T
yardımıyla
0 U 0 U v e (t) U = v1 (t) v(t) = T Q11 Q T21 v d (t) Q1T T T Q12 Q 22 olarak bulunur. Benzer şekilde
i e (t) − Q11 i1 (t) i d (t) − Q 21 = i(t) = = i 2 (t) i k (t) U i (t) j 0 olmaktadır.
− Q12 − Q 22 i k (t) B1T = [i 2 (t)] 0 i j (t) U U
