UNIVERSIDAD DE LOS LAGOS
Departamento de Ciencias Exactas El Teorema eorema de Poincaré Poincaré-Bend -Bendixson ixson
Por: Daniela Jacqueline Cárcamo Díaz
SEMINARIO PARA OPTAR AL TÍTULO DE PROFESOR DE EDUC EDUCAC ACIÓ IÓN N MEDI MEDIA A CON CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN Y AL GRAD GR ADO O DE LICE LICENC NCIA IADO DO EN EDUCACIÓN
Profesor Patrocinante: Sr. Rigoberto Medina Leyton
Octubre, 2012
Osorno, Chile
Dedicatoria
Dedicado a mi padre José Daniel Cárcamo Ortiz
Daniela Jacqueline Cárcamo Díaz 2
Agradecimientos Agradezco profundamente a mi padre José Daniel Cárcamo Ortiz por su amor y apoyo incondicional. También a mi madre Jacqueline Del Carmen Díaz Leal . Quiero agradecer a mi hermano menor Miguel Ángel Cárcamo Díaz por todos los momentos de alegría compartidos. En segundo lugar, quiero agradecer a todos mis amigos y amigas, especialmente a Ángela Naipil, Susana González, Isabel Caro, Anita Maripán y Macarena Cárdenas por su alegría, comprensión y apoyo. También a todos mis compañeros y compañeras, especialmente a la promoción 2008 de Pedagogía en Matemática y Computación , porque de cada uno de ellos aprendí y crecí como persona. En tercer lugar, agradezco a mis profesores de matemática, computación y educación que (en menor o mayor medida) me hicieron crecer académicamente. Especialmente quiero dar las gracias a mi profesor guía Sr. Rigoberto Medina Leyton por confiar en mí, por su apoyo, disponibilidad, honestidad y orientación en todo momento. Especiales agradecimientos a todos mis alumnos y alumnas de las prácticas profesionales, que permitieron desarrollarme profesional y personalmente. De formar particular al Séptimo Básico A y al Primero Medio D del Liceo Carmela Carvajal de Prat de Osorno. Y también a mis profesores guías de las prácticas profesionales, a la Profesora Ana María Carrasco Duhalde de quién aprendí muchísimo. Finalmente, este es un momento para mirar atrás y agradecer a todas las personas con quienes directa o indirectamente hemos compartido el camino...
MUCHAS GRACIAS A TODOS .
Daniela Jacqueline Cárcamo Díaz 3
Índice general Dedicatoria
2
Agradecimientos
3
Índice de Figuras
5
Intro ducción
7
1 Siste stemas de Ecuaciones Diferenci nciales. Conceptos Básicos. 1.1 1.1 Pun Puntos tos ddee Equ Equil ilib ibri rioo de de SSis iste tema mass ddee Ecu Ecuac acio ione ness Dif Difer eren enci ciale ales. s. . . . . . . 1.2 Caracteriza Caracterización ción del del Comportamien Comportamiento to de las Solucion Soluciones es de Ecuacion Ecuaciones es Autónomas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 10
2 Propie Propiedad dades es Cuali Cualitat tativ ivas as de las las Soluc Solucion iones es de Sist Sistema emass Autóno Autónomos mos.. 2.1 El Plano Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 2.2 Propi ropieedad dades Cual Cualit itat ativ ivas as de las las Órb Órbitas itas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 2.3 Retr Retrat atoo Fase ase de Sist Sistem emas as Line Lineal ales es y Semi Semi-L -Lin inea eale les. s. . . . . . . . . . . . .
26 26 33 37
3 El Teorema de Poincaré-Bendixson. 3.1 Soluciones Periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 3.2 Form ormulac ulació iónn del del Teore eorema ma de Poinc oincar aréé-Be Bend ndix ixso son. n. . . . . . . . . . . . . . 3.3 3.3 Disc Discus usió iónn y Apli Aplica caci cion ones es del del T Teo eore rema ma de Poinc oincar aréé - Bend Bendix ixso son. n. . . . . .
53 53 56 70
Bibliografía
80
4
15
Índice de figuras 1.1.1 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4
Gráfica de los valores de equilibrio del sistema (1.1.2). Concepto de estabilidad para n = 2. . . . . . . . . . . Concepto de inestabilidad para n = 2. . . . . . . . . . Interpretación geométrica del Teorema 1.2.1 . . . . . . Concepto de estabilidad asintótica para n = 2 . . . . .
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12 15 16 17 19
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.2.1 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.3.11 2.3.12 2.3.13 2.3.14
Gráfica de una solución φ(t) = (x(t), y(t)) de (2.1.1). . . . . . . Gráfica de la solución x = cos t, y = sen t. . . . . . . . . . . . . . Gráfica de órbita de la solución x = cos t, y = sen t. . . . . . . . Gráfica de órbita de la solución x = e −t cos t, y = e −t sen t. . . . Gráfica de órbita de la solución x = 3t + 2, y = 5t2 + 7. . . . . . Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.3). . . . . . Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.4). . . . . . Gráfica de órbita de la solución del sistema (2.2.3). . . . . . . . Gráfica del vector x = (x1 , x2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfica de vectores paralelos y antiparalelos. . . . . . . . . . . . Regla del Paralelógramo de la adición de dos vectores. . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.2). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.3). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.4). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.5). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.7). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.8). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.9). . . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.11). . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.12). . . . . . . Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.13). . . . . . . Naturaleza y propiedades de estabilidad del punto crítico (0, 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27 28 29 29 30 31 32 36 37 37 38 39 40 42 43 44 45 46 48 49 50 51
3.1.1 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7
Espiral que se aproxima a la circunferencia unitaria x2 + y2 . Representación geométrica del ciclo límite. . . . . . . . . . . Segmento finito cerrado de una línea recta. . . . . . . . . . . Diagrama de la Propiedad 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de la Propiedad 3.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de la Propiedad 3.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama del Caso I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama del Caso II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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54 57 58 59 60 61 64 64
5
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. . . . . . . .
. . . . . . . .
ÍNDICE DE FIGURAS 3.2.8 3.2.9 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6
Diagrama del Caso II, particular. . . . . . . . . . . . . . Diagrama flechas que indican las intersecciones. . . . . . Dominio M y ciclo límite del sistema (3.3.7). . . . . . . Direcciones del campo vectorial del sistema (3.3.9). . . . Región atractiva para el sistema (3.3.9). . . . . . . . . . Dominio M para el sistema (3.3.9). . . . . . . . . . . . . Región de existencia de soluciones periódicas de (3.3.9). Soluciones periódicas en el plano fase xy . . . . . . . . . .
6 . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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64 65 74 75 75 77 78 78
Introducción Las ecuaciones diferenciales ordinarias constituyen una parte importante del análisis matemático, y modelan variados fenómenos de evolución que aparecen en muchas ciencias. Es por ello que históricamente, los esfuerzos científicos se han dirigido a la búsqueda de métodos de resolución algebraicos y numéricos. Sin embargo, la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes y aplicables, son no lineales y en general, no se conocen métodos para resolverlas, por ende, no se les puede encontrar una solución exacta. De este problema surge la necesidad de recurrir a métodos alternativos, que permitan el análisis global del conjunto de todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales. En efecto, la forma de abordar la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias sufrió una revolución a finales del siglo XIX, como consecuencia del artículo “Memoire sur les courbes définiés par une équation différentielle” publicado por Henri Poincaré entre 1881 y 1886. Es así que, fundamentalmente, con las ideas de Poincaré, se desarrolló la llamada teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, que consiste en analizar con el mayor detalle posible, las características del comportamiento de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, es decir, un estudio geométrico global de las propiedades de la familia de soluciones de las ecuaciones diferenciales, sin la necesidad de conocer explícitamente las soluciones, esto es, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales. Este Seminario está enfocado a estudiar las propiedades generales de los sistemas diferenciales autónomos no lineales, poniendo especial atención en los teoremas de existencia y unicidad, y en el comportamiento de las soluciones de estas ecuaciones cuando t → ∞ . Cabe destacar, que la parte medular de este Seminario es el famoso Teorema de Poincaré-Bendixson, el cual juega un papel importante en el estudio del comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales autónomas no lineales y de los sistemas dinámicos definidos sobre 2 .
7
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
8
Específicamente el problema abordado en este Seminario consiste en el estudio de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales autónomas no lineales de la forma: x = f (x), ˙
donde x = (x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ n y f (x) = (f 1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn )) es una función no lineal en x 1 , . . . , xn .
En el caso en que f (x) = Ax, donde A es una matriz cuadrada de orden n con coeficientes reales, usaremos los valores propios de A para obtener una descripción completa de todas las órbitas de la ecuación diferencial lineal de la forma: x = Ax. ˙
En el caso en que f (x) = Ax + g(x), donde g(x) es pequeño comparado con x, también usaremos los valores propios de A para determinar la estabilidad de las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial lineal perturbada de la forma: x = Ax ˙ + g(x).
El estudio de los sistemas lineales y semi-lineales, mencionados anteriormente, nos permitirán realizar un análisis de los sistemas no lineales, el que se centra en encontrar un sistema lineal próximo, cuyo comportamiento en el entorno del punto de equilibrio pueda extrapolarse al sistema no lineal, lo que nos permitirá determinar la estabilidad de las soluciones de equilibrio del sistema autónomo no lineal. Si f es no lineal, en el caso n = 2, usaremos el Teorema de Poincaré-Bendixson para obtener una descripción completa de todas las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales autónomas de la forma: dx1 = f 1 (x1 , x2 ), dt
dx2 = f 2 (x1 , x2 ), dt
pues este teorema describe en forma precisa la estructura de los conjuntos límites de dicho sistema. Con más precisión, el Teorema de Poincaré-Bendixson permite clasificar todos los posibles comportamientos en el espacio de fases en dos dimensiones para funciones de la clase C 1 , que tengan un número finito de puntos de equilibrio, los cuales se pueden clasificar en convergencia (divergencia) a puntos de equilibrio u órbitas periódicas, y no existe otro tipo de comportamientos. Por lo tanto, nuestro objetivo es obtener información cualitativa del comportamiento de los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos no lineales, a través del estudio de sus puntos de equilibrio, la estabilidad de las soluciones de sistemas lineales, la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas lineales perturbados, los retratos fase de sistemas lineales y semi-lineales, las propiedades de existencia y unicidad de las
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN
9
órbitas, de la existencia de soluciones periódicas y la clasificación de todos los posibles comportamientos en el espacio fase en dos dimensiones para funciones de clase C 1 , que tengan un número finito de puntos críticos. Por otra parte, este informe está estructurado en tres capítulos que serán descritos a continuación: El Primer Capítulo: “Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Básicos” introduce a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales autónomas no lineales, por medio del estudio de los puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones diferenciales y la caracterización del comportamiento de las soluciones de ecuaciones autónomas, indicando los conceptos de estabilidad, inestabilidad y estabilidad asintótica, para luego estudiar la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales y estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales perturbados y autónomos no lineales. El Segundo Capítulo: “Propiedades Cualitativas de las Soluciones de Sistemas Autónomos” realiza un estudio geométrico de los sistemas diferenciales autónomos, a través del plano fase, introduciendo los conceptos de órbita o trayectoria de una solución, espacio fase y retrato o diagrama de fases. Además se estudian las propiedades cualitativas en términos de la existencia y unicidad de las órbitas y la existencia de soluciones periódicas. También se realiza una completa descripción geométrica de sistemas lineales y semi-lineales por medio de sus retratos fase en el caso n = 2. El Tercer Capítulo: “El Teorema de Poincaré-Bendixson” estudia las soluciones periódicas de los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos no lineales. Además se realiza la formulación del Teorema de Poincaré-Bendixson, introduciendo los conceptos de con junto Ω-límite, conjunto invariante, transversal de un segmento finito de línea recta, y resultados preliminares, como las propiedades de las transversales y el Teorema de la Curva de Jordan, para lograr su comprensión y así proceder formalmente a su demostración. Finalmente se realiza una discusión y aplicación del Teorema de Poincaré-Bendixson, a través de ejemplos que ilustran las hipótesis y el resultado de dicho teorema, además de destacar las extensiones del Teorema de Poincaré-Bendixson.
Cabe destacar que el lector debe tener domimio de un curso básico de ecuaciones di ferenciales ordinarias, esto es, estudio cuantitativo de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden y sistemas de ecuaciones diferenciales. También son necesarios conocimientos en análisis en dos variables reales, geometría del plano y álgebra lineal.
Capítulo 1
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Básicos. 1.1. Puntos de Equilibrio de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Este capítulo trata sobre la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, que se basa en obtener representaciones gráficas de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, o más precisamente de familias de soluciones, es decir, información gráfica sobre tipos de soluciones que se engloban en unos objetos llamados órbitas. La justificación de este enfoque, se origina a finales del siglo XIX, cuando la comunidad matemática pierde toda esperanza de encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales, se resiste del enfoque cuantitativo para las ecuaciones diferenciales, el que muchas veces resultaba tedioso, difícil y poco práctico en obtener soluciones incluso de sistemas de ecuaciones diferenciales ˙ Ax(t), con A matriz constante y lineales de primer orden, homogéneo de la forma x = ˙ también no homogéneo de la forma x = A(t)x(t) + f (t), con A matriz variable, de los cuales podemos apreciar por ejemplo los métodos desarrollados por medio del álgebra lineal. Ver [2], [3], [4]. En este capítulo se analiza cualitativamente la ecuación diferencial
x = f (t, ˙ x),
(1.1.1)
donde
x1 (t)
x =
.. .
y f (t, x) =
xn (t)
f 1 (t, x1 , . . . , xn )
.. .
f n (t, x1 , . . . , xn )
es una función no lineal de x1 , . . . , xn . Desafortunadamente no se conocen métodos para resolver la ecuación (1.1.1). Por supuesto, que esto nos desconcierta mucho. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones no es necesario encontrar explícitamente las soluciones de (1.1.1). Por ejemplo, denotemos por x1 y x2 las poblaciones en el tiempo t de dos especies que compiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos además que las tasas de crecimiento de x1 y x2 están 10
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 11 gobernadas por la ecuación diferencial (1.1.1). En tal caso, no interesan los valores de x1 y x2 en todo tiempo t. Más bien, son de interés las propiedades cualitativas que presentan x 1 y x2 . Concretamente, se desea contestar las preguntas siguientes: 1. ¿Hay valores 1 y 2 para los cuales ambas especies coexisten en un régimen permanente? Es decir, ¿existen números 1 y 2 , para todo t ∈ tales que x1 (t) ≡ 1 , x2 (t) ≡ 2 son una solución de (1.1.1)? Si tales valores existen se les llama puntos de equilibrio de (1.1.1). 2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio. Repentinamente, se agregan algunos miembros de la primera especie al microcosmos. ¿Permanecerán x 1 (t) y x2 (t) cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro? Es posible tal vez que los miembros adicionales de la especie uno le den a la misma una gran ventaja y entonces pueda eliminar a la segunda. 3. Supongamos que x1 (t) y x2 (t) tienen valores arbitrarios en t = 0. ¿Qué ocurre cuando t tiende a infinito? Triunfará una de las dos especies, o terminará la lucha en un empate. Más generalmente, también interesa determinar las siguientes propiedades de las soluciones de (1.1.1): 1. ¿Existen valores de equilibrio x01
x0 =
.. .
,
x0n
para los cuales x(t) ≡ x0 es una solución de (1.1.1)? 2. Sea φ(t) una solución de (1.1.1). Supongamos que ψ(t) es una segunda solución con ψ(0) muy cerca de φ(0); es decir, ψ j está muy cerca de φ j , siendo j = 1, . . . , n. ¿Permanecerá ψ(t) cercano a φ(t) para todo tiempo futuro, o divergerá ψ(t) de φ(t) al tender t a infinito? Esta pregunta se conoce como problema de estabilidad . Es el problema más fundamental en la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales y ha ocupado la atención de muchos matemáticos en los últimos cien años. 3. ¿Qué ocurre con las soluciones x(t) de (1.1.1) cuando t tiende a infinito? ¿Tienden todas las soluciones a valores de equilibrio? Si no tienden a valores de equilibrio, ¿se aproximarán al menos a una solución periódica?. Es sorprendente que con frecuencia puedan darse respuestas satisfactorias a tales preguntas a pesar de no poder resolver explícitamente la ecuación (1.1.1). De hecho, la ˙ es igual a cero primera pregunta puede responderse de inmediato. Observemos que x(t) 0 0 si x(t) ≡ x . Por lo tanto, x es una valor de equilibro de (1.1.1) si y sólo si f (t, x0 )
≡ 0.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 12
Ejemplo 1.1.1. El siguiente ejemplo ilustra la forma de determinar todos los valores de equilibrio del sistema de ecuaciones dx = x dt
dy = 2y dt
− x2 − 2xy,
− 2y2 − 3xy
(1.1.2)
En efecto,
x0 , y0
es un valor de equilibrio del sistema (1.1.2) , si y sólo si x0
− x20 − 2x0y0 = 0 ∧
2y0
− 2y02 − 3x0y0 = 0,
es decir, x0 (1
− x0 − 2y0) = 0 ∧
y0 (2
− 2y0 − 3x0) = 0,
entonces tenemos los siguientes casos x0 = 0 x0 = 0 x0 = 1 1 x0 = 2
∧ ∧ ∧ ∧
y0 = 0, y0 = 1, y0 = 0, 1 y0 = . 4
Por lo tanto, (x = 0, y = 0); (x = 0, y = 1); (x = 1, y = 0); (x = 12 , y = 14 ) son puntos de equilibrio del sistema (1.1.2), que se muestran en la Figura 1.1.1.
Figura 1.1.1: Gráfica de los valores de equilibrio del sistema (1.1.2). La cuestión de la estabilidad es de importancia primordial en todas las aplicaciones físicas, ya que nunca pueden medirse las condiciones iniciales con precisión, como ocurre en el siguiente ejemplo.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 13
Ejemplo 1.1.2. Consideremos el caso de una partícula cuya masa es 1 kg sujeta a un resorte elástico cuya constante de elasticidad es 1 N m y que se mueve en un medio sin fricción. Además actúa una fuerza externa F (t) = cos2t sobre la partícula. Denotemos por y(t) la posición de la partícula en relación con su posición de equilibrio. Entonces (d2 y/dt2 ) + y = cos 2t. Haciendo x 1 = y, x2 = y se transforma esta ecuación de segundo orden en un sistema de dos ecuaciones de primer orden. De manera que dx1 = x 2 , dt
dx2 = dt
−x1 + cos 2t
(1.1.3)
Las funciones y 1 (t) = sen t e y 2 (t) = cos t son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación no homogénea y + y = 0. Más aún, −1/3cos2t es una solución particular de la ecuación no homogénea. Por lo tanto, cualquier solución x(t) =
x1 (t) x2 (t)
de (1.1.3) es de la forma
− sen t + c2 cos t
x(t) = c 1
cos t + sen t
−
1/3cos2t . 2/3sen2t
En el instante t = 0 se mide la posición y la velocidad de la partícula y se obtiene y(0) = 1, y (0) = 0. Esto implica que c 1 = 0 y c2 = 4/3. Por consiguiente, la posición y la velocidad de la partícula para cualquier instante después, están dadas por la ecuación
y(t) x (t) = 1 = y (t) x2 (t)
4/3cos t 1/3cos2t . 4/3sen t + 2/3sen2t
−
−
(1.1.4)
Sin embargo, supongamos que las mediciones permiten un error de magnitud 10−4 . ¿Permanecerán la posición y la velocidad de la partícula cerca de los valores predichos por (1.1.4)? La respuesta a esta pregunta tiene que ser sí, pues de lo contrario la mecánica newtoniana no tendría valor práctico. Afortunadamente puede demostrarse, en este caso, que la posición y la velocidad de la partícula permanecen muy cercana de los valores predichos por (1.1.4). Denotemos por yˆ(t) e yˆ (t) los valores reales de y(t) e y (t), respectivamente. En verdad se cumple que y(t)
y (t)
− yˆ(t)
− yˆ (t)
= =
− 4 3
c2 cos t
−c1 cos t
− c1 sen t
− − 4 3
c2 sen t
donde c 1 y c2 son dos constantes que satisfacen
−10−4 ≤ c1 ≤ 10−4,
4 3
− 10−4 ≤ c2 ≤ 34 + 10−4.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 14 Estas ecuaciones pueden escribirse en la forma y(t)
y (t)
− yˆ(t)
− yˆ (t)
=
=
2 1/2
− − c21 +
4 3
c21 +
4 3
c2
cos(t
− δ 1),
tan δ 1 =
2 1/2
c2
cos(t
− δ 2),
tan δ 2 =
c1 c2
− 43
4 3
− c2 . c1
(t) están acotadas en valor absoluto por [c21 + ( 43 − Por lo tanto, y(t) − yˆ(t) e y (t) − yˆ √ c2 )2 ]1/2 . Esta cantidad es a lo sumo 2 · 10−4 . Por lo tanto, los valores reales de y(t) e y (t) están realmente cerca de los valores predichos por la ecuación (1.1.4).
Por lo regular es muy difícil resolver el problema de la estabilidad ya que no se puede resolver (1.1.1) en forma explícita. El único caso posible de analizar es cuando f (t, x) no depende explícitamente de t ; es decir, cuando f es función solamente de x . Las ecuaciones diferenciales que tienen esa propiedad se denominan autónomas . Aún en el caso de ecuaciones diferenciales autónomas hay, en general, sólo dos casos en los que puede resolverse completamente el problema de la estabilidad. El primero es cuando f (x) = Ax y el segundo es cuando se tiene interés sólo en la estabilidad de la solución de equilibrio ˙ de x = f (x) que se tratará en la siguiente sección.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 15
1.2. Caracterización del Comportamiento de las Soluciones de Ecuaciones Autónomas. En esta sección se estudia el problema de estabilidad para soluciones de ecuaciones diferenciales autónomas. Sea x = φ(t) una solución de la ecuación diferencial x = f (x). ˙
(1.2.1)
Interesa determinar si φ(t) es estable o inestable. Es decir, si cualquier solución ψ(t) de (1.2.1) que empieza suficientemente cerca de φ(t) en t = 0 permanecerá cercana a φ(t) para todo instante posterior t ≥ 0. Se iniciará con la siguiente definición formal de estabilidad. Ver [2], [4]. Estabilidad según Liapunov:
Definición 1.2.1. Una solución x = φ(t) de (1.2.1) es estable si toda solución ψ(t) de (1.2.1) que empieza cerca de φ(t) en t = 0 permanece cerca de φ(t) para todo tiempo futuro. La solución φ(t) es inestable si hay al menos una solución ψ(t) de (1.2.1) que empieza cerca de φ(t) en t = 0, pero no permanece cerca de φ(t) para todo tiempo futuro. Dicho con más precisión, la solución φ(t) es estable si para toda > 0 existe δ = δ () tal que
ψ(t) − φ(t) <
si
ψ(0) − φ(0) < δ (), ∀t ≥ 0. Observación 1.2.1. Para una solución estable, la definición − δ dice que uno elige el
máximo error que se puede tolerar entre ψ(t) y φ(t). El valor δ , el cual depende de nuestra elección de , dice que tan cerca de φ(0) debe empezar ψ(t) para estar dentro del error elegido. La interpretación geométrica de estabilidad e inestabilidad para el caso n = 2, es decir, para un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma dx1 = f (x1 , x2 ), dt
dx2 = g(x1 , x2 ), dt
es la que se ilustra en la Figura 1.2.1 y Figura 1.2.2 , respectivamente.
Figura 1.2.1: Interpretación geométrica del concepto de estabilidad para n = 2.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 16
Figura 1.2.2: Interpretación geométrica del concepto de inestabilidad para n = 2. El problema de la estabilidad puede resolverse por completo para todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal
x = Ax, ˙
(1.2.2)
con A una matriz no singular de coeficientes constantes de orden n . Esto no es sorprendente, por supuesto, ya que puede resolverse la ecuación (1.2.2) exactamente. Se tiene el siguiente teorema de importancia.
Teorema 1.2.1. 1) Toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es estable si todos los valores propios de A tienen parte real negativa. 2) Toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es inestable si al menos un valor propio de A tiene parte real positiva. 3) Supongamos que todos los valores propios de A tienen parte real ≤ 0 y λ1 = iα 1 , . . . , λl = iαl tienen parte real igual a cero. Supongamos además que λj = iα j tiene multiplicidad k j . Eso significa que el polinomio característico de A se puede factorizar como p(λ) = (λ
− iα1)k . . . (λ − iαl )k q (λ), i
l
donde todas las raíces de q (λ) tiene parte real negativa. Entonces toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es estable si A tiene k j vectores propios, linealmente independientes para cada valor propio λ j = iα j . De otro modo, todas las soluciones φ(t) son inestables. Observación 1.2.2. El Teorema 1.2.1 permite determinar la estabilidad o inestabilidad de un sistema de ecuaciones de la forma x˙ = Ax, conociendo los valores propios de la matriz A , geométricamente podemos ilustrar estos conceptos en el plano complejo, como se muestra en la Figura 1.2.3. El sistema será estable si λ pertenece al semiplano (abierto y excluyendo el eje Im(λ)) izquierdo del plano complejo, el sistema será inestable si λ pertenece al semiplano (abierto y excluyendo el eje Im(λ)) derecho del plano complejo y los valores propios que pertenecen al eje Im(λ) determinan sistemas estables si la cantidad de vectores propios coincide con la multiplicidad de los valores propios, en caso contrario el sistema es inestable.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 17
Figura 1.2.3: Interpretación geométrica del Teorema 1.2.1 El primer paso para demostrar el Teorema 1.2.1 es mostrar que toda solución φ(t) es estable si la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 lo es, y que toda solución φ(t) de es inestable si x(t) ≡ 0 es también inestable. Para ello, sea ψ(t) cualquier solución de (1.2.2). Observemos que z(t) = φ(t) − ψ(t) es nuevamente una solución de (1.2.2). Por lo tanto, si la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 es estable, entonces z(t) = φ(t) − ψ(t) será pequeña si z(0) = φ(0) − ψ(0) es suficientemente pequeña. De modo que toda solución φ(t) de (1.2.2) es estable. Supongamos que x(t) ≡ 0 es inestable. Entonces existe una solución x = h(t) que es inicialmente muy pequeña pero se vuelve muy grande cuando t tiende a infinito. La función ψ(t) = φ(t) + h(t) es claramente una solución de (1.2.2). Más aún, ψ(t) está inicialmente muy cerca de φ(t) pero diverge de φ(t) cuando t se incrementa. Por lo tanto, toda solución x = φ(t) de (1.2.2) es inestable. El siguiente paso en la demostración del Teorema 1.2.1 es reducir el problema de hacer ver que son n cantidades ψ j (t), j = 1, . . . , n , al problema mucho más sencillo de mostrar únicamente que una cantidad es pequeña. Tal cosa se logra introduciendo el concepto de magnitud (o longitud) de un vector.
Definición 1.2.2. Sea
x1
x =
.. .
,
xn
un vector con n componentes. Los números x 1 , . . . , xn pueden ser reales o complejos. Se define la magnitud de x, y se denota por x como
x = m´ax{|x1| , |x2| , . . . , |xn|}. El concepto de magnitud de un vector corresponde al concepto de magnitud (o longitud) de un número. Observemos también que x ≥ 0 para cualquier vector x y x = 0. Observemos también que
λx = m´ax{|λx1| , . . . , |λxn|} = |λ| m´ax{|x1| , . . . , |xn|} = |λ|x .
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 18 Observemos por último que
x + y
= m´ ax x1 + y1 , . . . , xn + yn
{| | | |} ≤ m´ax{|x1| + |y1| , . . . , |xn| + |yn|} ≤ m´ax{|x1| , . . . , |xn|} + m´ax{|y1| , . . . , |yn|} = x + y .
Así pues, la definición realmente coincide con el concepto de magnitud (o longitud). La siguiente demostración es válida para cualesquier n .
Demostración del Teorema 1.2.1: Ver [2], [3], [4]. 1) Toda solución x = ψ(t) de x˙ = Ax es de la forma ψ(t) = eAt ψ(0). Sea φij (t) el elemento ij de la matriz eAt , y sean ψ10 , . . . , ψn0 las componentes de ψ(0). Entonces la componente i de ψ(t) es n
ψi (t)
= φ i1 (t)ψ10 +
. . . + φin (t)ψn0 =
φij (t)ψ j0 .
j=1
Supongamos que todos los valores propios de A tienen parte real negativa. Sea − α1 la mayor de las partes reales de los valores propios de A. Es posible mostrar que para cualquier número − α, con − α1 < − α < 0, puede encontrarse un número K tal que |φij (t)| ≤ Ke −αt, t ≥ 0. De modo que n
|ψ j (t)
n
|≤
Ke
j=1
−αt
ψ j0
= Ke
−αt
≤ ψ j0 ,
j=1
para un par de constantes positivas K y α . Ahora bien, ψ j0
ψ(0) . Por lo tanto,
ψ(t) = m´ax{|ψ1(t)| , . . . , |ψn(t)|} ≤ nKe −αt ψ(0) . Sea > 0 dada. Elijamos δ () = /nK . Entonces, ψ(t) < si ψ(0) < δ () y t ≥ 0 , ya que
ψ(t) ≤ nKe −αt ψ(0) < nK/nK = Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 es estable. 2) Sea λ un valor característico de A con parte real positiva y sea v un vector caracte˙ rístico de A con valor característico λ . Entonces ψ(t) = ceλt v es una solución de x = Ax para cualquier constante c . Si λ es real, entonces v también lo es y ψ(t) = |c| eλt v. Claramente ψ(t) tiende a infinito cuando t tiende a infinito, para cualquier elección de c = 0, sin importar cuán pequeña sea. Por lo tanto, x(t) ≡ 0 es inestable. Si λ = α + iβ es complejo, entonces v = v 1 + iv2 también lo es. En tal caso e(α+iβ)t (v1 + iv2 ) = eαt (cos βt + i sen βt)(v1 + iv2 ) = eαt (v1 cos βt v 2 sen βt) + i(v1 sen βt + v 2 cos βt) ,
−
es una solución con valores complejos de (1.2.2). Por lo tanto, ψ1 (t) = ceαt (v 1 cos βt
− v2 sen βt),
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 19 es una solución con valores reales de (1.2.2), para cualquier elección de la constante c . Se tiene que ψ 1 (t) no está acotado cuando t tiende a infinito si c y alguno de los vectores v 1 o v 2 es diferente de cero. Así pues, x(t) ≡ 0 es inestable.
3) Si A tiene k j vectores propios linealmente independientes para cada valor característico λ j = iσ j de multiplicidad k j , entonces puede encontrarse una constante K tal que (eAt )ij ≤ K . En tal caso ψ(t) ≤ nK ψ(0) para toda solución ψ(t) de (1.2.2). De la demostración de 1) se sigue entonces inmediatamente que x(t) ≡ 0 es estable. Por otro lado, si A tiene menos de k j vectores propios linealmente independientes con ˙ valor característico λ j = iσ j , entonces x = Ax tiene soluciones ψ(t) de la forma
ψ(t) = ceiσj t [v + t(A
− iσ j I )v] ,
= 0. Si σ j = 0, entonces ψ(t) = c(v + tAv) toma valores reales. Más donde (A − iσ j I )v = 0. aún, ψ(t) no está acotada cuando t tiende a infinito, para cualquier elección de c En forma similar, tanto la parte real como la imaginaria de ψ(t) no están acotadas en = 0 es arbitrariamente pequeño, si σ j = 0. Por lo tanto, la solución magnitud para ψ(0) de equilibrio x(t) ≡ 0 es inestable.
Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa, entonces toda solución x(t) de x = Ax ˙ tiende a cero cuando t tiende a infinito. Esto se sigue inmediatamente de la estimación x(t) ≤ Ke −αt x(0), la cual se obtuvo en la demostración de la parte 1) del Teorema 1.2.1. Así pues, no sólo es estable la solución de equilibrio x(t) ≡ 0, sino que toda solución ψ(t) de (1.2.2) tiende a ella cuando t tiende a infinito. Este tipo de estabilidad tan fuerte se conoce como estabilidad asintótica .
Definición 1.2.3. Una solución x = φ(t) de (1.2.1) es asintóticamente estable si es estable y si toda solución ψ(t) que empieza suficientemente cerca de φ(t) tiende a φ(t) cuando t tiende a infinito. Dicho con más precisión, la solución φ(t) es asintóticamente estable, si es estable y existe un δ := δ (, 0) > 0 tal que l´ım ψ(t)
t→∞
− φ(t) = 0,
si
ψ(0) − φ(0) < δ.
La interpretación geométrica de estabilidad asintótica para el caso n = 2 se muestra en la Figura 1.2.4.
Figura 1.2.4: Interpretación geométrica del concepto de estabilidad asintótica para n = 2
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 20
Observación 1.2.3. La estabilidad asintótica de cualquier solución x = φ(t) de (1.2.2) es equivalente a la estabilidad asintótica de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0. En efecto, de los pasos claves de la demostración tenemos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.2.1. Este ejemplo ilustra el Teorema 1.2.1 para demostrar que toda solución de la ecuación diferencial x = ˙
− 0 2
3 x 0
es estable pero no asintóticamente estable. En efecto, el polinomio característico de la matriz A =
es
− 0 2
3 0
−
λ 2
−3 = λ2 + 6. p(λ) = det(A − λI ) = −λ √ Así pues, los valores propios de A son λ = ± 6i. Por lo tanto, por la parte 3) del ˙ Teorema 1.2.1, se tiene que toda solución x = φ(t) de x = Ax es estable. Sin embargo, ninguna solución es asintóticamente estable. Esto se sigue inmediatamente del hecho de ˙ que la solución general de x = Ax es x(t) = c 1
−√
√ √
√
6sen 6t + c2 2cos 6t
√ √
6cos 6t . 2sen 6t
√
Por lo tanto, toda solución x(t) es periódica, con período 2π/ 6, y ninguna solución (excepto x(t) = 0) tiende a 0 cuando t tiende a infinito. Ahora consideremos la ecuación diferencial:
x = Ax ˙ + g(x),
que satisface el problema de valores iniciales x01
.. .
x(t0 ) = x 0 =
.
x0n
Donde
g1 (x)
g(x) =
.. .
,
gn (x)
es muy pequeño comparado con x. Concretamente se supone que g(x) = 0, x→0 x l´ım
(1.2.3)
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 21 es decir,
g1 (x) gn (x) ,..., m´ ax x1 , . . . , xn m´ ax x1 , . . . , xn
{| |
| |}
{| |
| |}
,
son funciones continuas de x1 , . . . , xn que se anulan para x1 = . . . = xn = 0. Tal cosa siempre ocurre si cada una de las componentes de g(x) es un polinomio en x1 , . . . , xn que empieza con términos de orden 2 o superior. Por ejemplo, si g(x) =
x1 x22 , x1 x2
entonces tanto x1 x22 / m´ax{|x1 | , |x2 |} como x1 x2 / m´ax{|x1 | , |x2 |} son funciones continuas de x 1 = x 2 que se anulan para x 1 = x 2 = 0. Si g(0) = 0, entonces x(t) ≡ 0 es una solución de equilibrio de (1.2.3). Sería deseable determinar si es estable o inestable. A primera vista parecería imposible el hacerlo, ya que no puede resolverse explícitamente la ecuación (1.2.3). Sin embargo, si x es muy pequeña, entonces g(x) es muy pequeña comparada con Ax. Por consiguiente, parece plausible que la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) debería estar determinada por la estabilidad de la ecuación “aproximada” x = ˙ Ax . Entonces 0 es un punto de equilibrio de la ecuación (1.2.3), y la cuestión si el comportamiento de las órbitas de (1.2.3) en una vecindad suficientemente pequeña del origen 0 , están determinadas por los términos lineales de la ecuación.
Teorema 1.2.2 (Estabilidad para sistemas lineales perturbados ). Supongamos que la función con valores vectoriales g(x) x
g(x) ≡ m´ax{|x1| , . . . , |xn|} ,
es una función continua de x1 , . . . , xn que se anula para x = 0 y g(0) = 0. Entonces 1) La solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) es asintóticamente estable si la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de la ecuación “linealizada” x = Ax es asintóticamente estable. De ˙ manera equivalente, la solución x(t) ≡ 0 de (1.2.3) es asintóticamente estable si todos los valores propios de A tiene parte real negativa. Es decir, si el comportamiento de las órbitas de x = Ax cerca de 0 no es afectado seriamente por pequeños cambios, entonces ˙ las órbitas cerca de 0 de x = Ax y de la ecuación (1.2.3) son casi los mismos. ˙ 2) La estabilidad de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) no se puede determinar a partir de la estabilidad de la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 de (1.2.3) si todos los valores propios de A tiene parte real menor o igual a 0 , pero al menos un valor característico de A tiene parte real igual a cero. 3) La solución de equilibrio x(t) = 0 de (1.2.3) es inestable si al menos un valor propio de A tiene parte real positiva. Demostración: Ver [2], [3], [4], [8].
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 22
Ejemplo 1.2.2. Este ejemplo ilustra lo enunciado en el Teorema 1.2.2 para sistema de ecuaciones diferenciales dx1 dt dx2 dt dx3 dt
−2x1 + x2 + 3x3 + 9x32 = −6x2 − 5x3 + 7x53 (1.2.4) = −x3 + x21 + x22 . Investiguemos, si la solución de equilibrio x1 (t) ≡ 0, x2 (t) ≡ 0, x3 (t) ≡ 0 es estable o =
inestable.
˙ + g(x) al sistema (1.2.4), donde Dándole la forma x = Ax
x1 x = x2 , x3
A =
−
2 0 0
1 6 0
−
− −
3 5 , 1
9x32 g(x) = 7x53 . 2 2 x1 + x2
Se obtiene que la función g(x) satisface las hipótesis del Teorema 1.2.2, puesto que g(x) l´ım = x→0 x
y además
9x32 7x53 x21 + x22 l´ım , l´ım , l´ım = (0, 0, 0), x→0 x x→0 x x→0 x
0 g(0) = 0 . 0
Los valores propios de A son −2, −6 y −1. Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) ≡ 0 es asintóticamente estable. El Teorema 1.2.2 sirve para determinar la estabilidad de las soluciones de equilibrio de ecuaciones diferenciales autónomas arbitrarias. Sea x0 un valor de equilibrio de la ecuación (1.2.1) y hagamos z (t) = x(t) − x0 . Entonces 0 z = ˙ x = f (x ˙ + z).
(1.2.5)
Por supuesto que, z(t) ≡ 0 es una solución de equilibrio de (1.2.1) y la estabilidad de x(t) = x 0 es equivalente a la estabilidad de z (t) ≡ 0. Como siguiente paso se mostrará que f (x0 + z) = Az + g(z), donde g(z) es pequeña comparada con z .
Lema 1.2.1. Supongamos que f (x) tiene derivadas parciales hasta de segundo orden, ∂f i (x) 0 ∂x j , continuas con respecto a cada una de sus variables x 1 , . . . , xn . Entonces f (x + z) puede escribirse en la forma f (x0 + z) = f (x0 ) + Az + g(z),
(1.2.6)
donde g(z)/ m´ax{|z1 | , . . . , |zn |} es una función continua de z que se anula para z = 0.
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 23
Demostración 1: La ecuación (1.2.5) es consecuencia inmediata del Teorema de Taylor, el cual establece que cada una de las componentes f j (x0 +z) de f (x0 +z) puede escribirse en la forma f j (x0 + z) = f j (x0 ) +
∂f j (x0 ) ∂ f j (x0 ) z1 + . . . + zn + g j (z), ∂x 1 ∂x n
donde g j (z)/ m´ax{|z1 | , . . . , |zn |} es una función continua de z que se anula para z = 0. Por lo tanto, f (x0 + z) = f (x0 ) + Az + g(z),
donde A =
∂f 1 (x0 ) ∂x 1
.. .
∂f n (x0 ) ∂x 1
·· · ·· ·
∂f 1 (x0 ) ∂x n
.. .
∂f n (x0 ) ∂x n
.
Demostración 2: Si cada una de las componentes de f (x) es un polinomio (posiblemente infinito) en x 1 , . . . , xn , entonces cada una de las componentes de f (x0 + z) es un polinomio en z 1 , . . . , an . De modo que f j (x0 + z) = a j0 + a j1 z1 + . . . + a jn zn + g j (z),
donde g j (z) es un polinomio en z1 , . . . , zn que empieza con términos de orden dos. Haciendo z = 0 en (1.2.6) se obtiene f j (x0 ) = a j0 . Por lo tanto, f (x0 + z) = f (x0 ) + Az + g(z),
A =
a11
.. .
an1
· ··
a1n
· ··
ann
.. .
,
y cada una de las componentes de g(z) es un polinomio en z1 , . . . , zn , que empieza con términos de orden dos. El Teorema 1.2.2 y el Lema 1.2.1 proporcionan el siguiente método para determinar si ˙ una solución de equilibrio x(t) = x 0 de x = f (x) es estable o inestable: 1. Expresar z = x − x0 2. Escribamos f (x0 + z) en la forma A(z) + g(z), donde g(z) es un polinomio en z1 , . . . , zn con valores vectoriales, que empieza con términos de orden dos o mayor. 3. Calcular los valores propios de A. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa, entonces x(t) ≡ x0 es asintóticamente estable. Si algún valor característico de A tiene parte real positiva, entonces x(t) ≡ x0 es inestable.
Ejemplo 1.2.3. Este ejemplo ilustra el método mencionado para encontrar todas las soluciones de equilibrio del sistema de ecuaciones diferenciales dx =1 dt
− xy,
dy = x dt
− y3 ,
y determinar (si fuera posible) su estabilidad o su inestabilidad.
(1.2.7)
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 24 En efecto, las ecuaciones 1 − xy = 0 y x − y 3 = 0 implican que x = 1, y = 1, o bien x = −1, y = −1. Por lo tanto, x(t) ≡ 1, y(t) ≡ 1 y x(t) ≡ −1, y(t) ≡ −1 son las únicas soluciones de equilibrio de (1.2.7). i) x(t) = 1, y(t) = 1: Hagamos u 1 = x − 1, u2 = y − 1. Entonces du1 dt du2 dt
= =
dx = 1 (1 + u1 )(1 + u2 ) = u1 u2 u1 u2 dt dy = (1 + u1 ) (1 + u2 )3 = u 1 3u2 3u22 u32 . dt
−
− − − − − −
−
El sistema se puede escribir en la forma
− − −
d u1 = dt u2
1 1
1 3
−
u1 u2
La función g(u) satisface las hipótesis, es decir, y se anulan para u1 = u 2 = 0, puesto que g(u) l´ım = u→0 u
y además
u1 u2 . 3u22 + u32
2 3 −u1 u2 −3u2 −u2 , u u
3u22 − u32 − − u1 u2 l´ım , l´ım u→0 u u→0 u
g(0) =
son funciones continuas
= (0, 0),
0 . 0
La matriz
− − 1 1
1 , 3
− tiene solamente un valor característico λ = −2, ya que −1 − λ −1 = (1 + λ)(3 + λ) + 1 = (λ + 2)2. −3 − λ 1 Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) ≡ 1, y(t) ≡ 1 de (1.2.7) es asintóticamente estable. ii) x(t) = −1, y(t) = −1: Hagamos u1 = x + 1, u2 = y + 1 . Entonces du dx = = 1 − (u1 − 1)(u2 − 1) = u 1 + u2 − u1 u2 dt dt du2 dy = = (u1 − 1) − (u2 − 1)3 = u 1 − 3u2 − 3u22 − u32 . dt dt
El sistema se puede escribir en la forma
−
d u1 = dt u2
1 1
1 3
−
u1 u1 u2 + . 2 u2 3u2 u32
−
La función g(u) satisface las hipótesis, puesto que g(u) l´ım = u→0 u
−u1u2 , l´ım 3u22 − u32 l´ım u→0 u u→0 u
= (0, 0),
CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. CONCEPTOS BÁSICOS. 25 y además g(0) =
0 . 0
Los valores propios de la matriz
1 1
√
1 , 3
−
√
son λ1 = − 1 − 5, cuya parte real es negativa, y λ2 = − 1 + 5, cuya parte real es positiva. Por lo que la solución de equilibrio x(t) ≡ −1, y(t) ≡ −1 de (1.2.7) es inestable.
Capítulo 2
Propiedades Cualitativas de las Soluciones de Sistemas Autónomos. 2.1. El Plano Fase. Consideremos un sistema de n ecuaciones diferenciales autónomas de la forma x = f (x), ˙
donde
x1
x =
.. .
xn
con condiciones iniciales dadas
,
f (x) =
f 1 (x1 , . . . , xn )
.. .
,
f n (x1 , . . . , xn )
x(t0 ) = x 0 = (x01 , . . . x0n ),
donde f ∈ C 1 (Ω), con Ω ⊂ n abierta. Esta condición garantiza la existencia y unicidad de las soluciones del problema de valores iniciales. Como las funciones f 1 , . . . , fn no dependen explícitamente de un t, entonces se puede dar una interpretación de las soluciones x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) del problema que es particularmente necesario para continuar con el estudio de la estabilidad. Así, en el espacio euclídeo n , de coordenadas rectangulares {x1 , . . . , xn } la solución x1 = x 1 (t), . . . , xn = x n (t) determina la ley de movimiento de un punto que sigue una trayectoria según la variación del parámetro t, que es identificado como el tiempo. De este modo, la derivada x˙ representa la velocidad de un punto de la trayectoria y x1 , . . . , xn sus componentes. Es decir, conforme t aumenta, el conjunto de puntos (x1 (t), . . . , xn (t)) describe una curva C en el espacio Euclídeo n . Esta curva es la órbita de la solución x = x(t), y el espacio de dimensión n, x1 , . . . , xn , es el plano fase de las soluciones del sistema autónomo no lineal. Esta es una interpretación muy natural en ciertos problemas de aplicación. Ver [2], [3], [4], [8]. 26
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
27
Observación 2.1.1. Note que cada punto de la curva C determina el estado del sistema en el instante t correspondiente a ciertas condiciones iniciales determinadas. Por esto es de gran importancia el conocimiento de este tipo de curvas. El espacio E ⊆ n formado por todos los puntos que pueden Definición 2.1.1. ser condiciones iniciales de un sistema autónomo se denomina espacio de fases del sistema , donde sus coordenadas son x1 , . . . , xn . La curva x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) ⊂ E se denomina trayectoria de fases u órbita del sistema (son las proyecciones sobre el eje x ∈ n de las gráficas de las soluciones, es decir, de {(t, x(t, x0 )) : t ∈ I } ⊂ × n . La representación de las órbitas del sistema en E se denomina diagrama de fases del sistema. Para simplificar el estudio de la teoría “geométrica” de ecuaciones diferenciales, se supondrá en la mayoría de los casos que n = 2. El objetivo es obtener una descripción tan completa como sea posible de todas las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales de la forma dx = f (x, y), dt
dy = g(x, y), dt
(2.1.1)
que satisface el problema de valores iniciales x(t0 ) = x 0 ,
y(t0 ) = y 0 .
Con este objetivo, observemos que toda solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.1.1) define una curva en el espacio tridimensional t, x, y. Es decir, el conjunto de todos los puntos (t, x(t), y(t)) describe una curva en el espacio tridimensional t, x, y, como se muestra en la Figura 2.1.1, es decir, esto representa al conjunto {(t, x(t, 0)) : t ∈ I (0)}, donde I (0) es un intervalo que contiene a 0 .
Figura 2.1.1: Gráfica de una solución φ(t) = (x(t), y(t)) de (2.1.1) en el espacio tridimensional t, x, y .
Observación 2.1.2. La teoría geométrica de las ecuaciones diferenciales empieza con la importante observación de que toda solución (x = x(t), y = y(t)), t0 ≤ t ≤ t1 , de (2.1.1),
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
28
también es una curva en el plano xy . De hecho, conforme t aumente de t0 a t1 , el conjunto de puntos (x(t), y(t)) describe una curva C en el plano xy. Dicha curva se conoce como órbita o trayectoria de la solución (x = x(t), y = y(t)). Formalmente:
Definición 2.1.2. Sea x 0 ∈ Ω. Se llama trayectoria u órbita del punto x 0 al conjunto γ (x0 ) = x(t, x0 ), t
{
∈ I (x0)} ⊂ Ω.
En lo que sigue, se ilustran los conceptos de trayectoria u órbita de una solución y plano fase a través de ejemplos.
Ejemplo 2.1.1. Por ejemplo, la solución x = cos t, y = sen t del sistema de ecuaciones dx = dt
−y,
dy = x, dt
con condiciones iniciales x(0) = 1,
y(0) = 0,
describe una hélice en el espacio (t,x,y) que podemos ver en la Figura 2.1.2.
Figura 2.1.2: Gráfica de la solución x = cos t, y = sen t. El plano xy se denomina plano fase de las soluciones de (2.1.1). De manera equivalente, la órbita (x(t), y(t)) de (2.1.1) puede considerarse la trayectoria que describe la solución en el plano xy.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
29
Ejemplo 2.1.2. Las funciones x = cos t, y = sen t son una solución del sistema de ecuaciones diferenciales x˙ = −y, y˙ = x con condiciones iniciales x(0) = 1 e y(0) = 0. Conforme t aumenta de 0 a 2π, el conjunto de puntos (cos t, sen t) describe la circunferencia unitaria x2 + y 2 = 1 en el plano xy. Por lo tanto, dicha curva x2 + y 2 = 1 es la órbita de la solución x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π . Conforme t aumenta de 0 a infinito, el conjunto de puntos (cos t, sen t) describe la misma circunferencia un número infinito de veces, ver Figura 2.1.3.
Figura 2.1.3: Gráfica de órbita de la solución x = cos t, y = sen t en el plano fase xy .
Ejemplo 2.1.3. Las funciones x = e−t cos t, y = e−t sen t, −∞ < t < ∞, son una solución del sistema de ecuaciones diferenciales dx/dt = −x − y,dy/dt = x − y. Conforme t va de −∞ a ∞, el conjunto de puntos (e−t cos t, e−t sen t) describe una espiral en el plano xy. Por lo tanto, la órbita de la solución x = cos t, y = sen t es la espiral que se muestra en la Figura 2.1.4.
Figura 2.1.4: Gráfica de órbita de la solución x = e −t cos t, y = e −t sen t en el plano fase xy.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
30
Ejemplo 2.1.4. Una solución del sistema de ecuaciones diferenciales dx = y dt
10 = (x − 2), − 59 (x − 2)2 − 4, dy dt 3 es x = 3t + 2, y = 5t2 + 7, −∞ < t < ∞ . La órbita de dicha solución es el conjunto de todos los puntos (x, y) = (3t + 2, 5t2 + 7). Introduciendo t = 13 (x − 2) se ve que y = 59 (x − 2)2 + 7 . Por lo tanto, la órbita de la solución x = 3t + 2, y = 5t2 + 7 es la parábola y = 59 (x − 2)2 + 7, |x| < ∞ que se muestra en la Figura 2.1.5.
Figura 2.1.5: Gráfica de órbita de la solución x = 3t + 2, y = 5t2 + 7 en el plano fase xy .
Observación 2.1.3. Una de las ventajas de considerar la órbita de la solución y no la solución misma es que, con frecuencia, es posible obtener la órbita de una solución sin conocimiento previo de la solución. Sea (x = x(t), y = y(t)) una solución de (2.1.1). Si x (t) es diferente de cero en t = t1 , entonces se puede resolver con t = t(x) en una vecindad o entorno del punto x1 = x(t1 ). Así pues, para t cerca de t1 , la órbita de la solución (x(t), y(t)) es la curva y = y(t(x)). Bajo estas condiciones, se obtiene que dy dy dt dy/dt g(x, y) = = = , dx dt dx dx/dt f (x, y)
para f y g funciones continuas. En consecuencia, las órbitas de las soluciones (x = x(t), y = y(t)) de (2.1.1) son las curvas soluciones de la ecuación escalar de primer orden dy g(x, y) = . dx f (x, y)
(2.1.2)
Luego, no es necesario encontrar una solución (x(t), y(t)) de (2.1.1) para calcular su órbita, sólo se necesita resolver la ecuación diferencial escalar de primer orden (2.1.2). Observemos también que una curva solución de (2.1.2) es una órbita de (2.1.1) sólo si dx/dt y dy/dt son distintas de cero simultáneamente a lo largo de la solución. Si una curva solución de (2.1.2) pasa por un punto de equilibrio de (2.1.1), entonces la curva solución completa no es una órbita. Se trata más bien de la unión de varias órbitas distintas.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
31
Ejemplo 2.1.5. Las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales dx = y(1 + x2 + y2 ), dt
dy = dt
−2x(1 + x2 + y2)
(2.1.3)
son las curvas soluciones de la ecuación escalar dy = dx
−
2x(1 + x2 + y 2 ) = y(1 + x2 + y2
− 2xy .
Esta ecuación es separable y todas las soluciones son de la forma 12 y2 + x2 = c 2 . Por lo tanto, las órbitas de (2.1.3) son la familia de elipses 12 y2 + x2 = c 2 que se muestran en la Figura 2.1.6.
Figura 2.1.6: Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.3).
Ejemplo 2.1.6. Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales dx = y(1 dt
= −x(1 − x2 − y2 ). − x2 − y2), dy dt
(2.1.4)
Las soluciones de la ecuación escalar dy dy/dt = = dx dx/dt
− xy ,
son la familia de circunferencias concéntricas x2 + y 2 = c2 . Observemos, sin embargo, que todo punto de la circunferencia unitaria x2 + y 2 = 1 es un punto de equilibrio de (2.1.4). De modo que las órbitas de este sistema son la circunferencia x2 + y 2 = c2 para c = 1, y todos los puntos de la circunferencia unitaria x2 + y 2 = 1 que se muestra en la Figura 2.1.7. De manera similar, las órbitas de (2.1.4) son las curvas; y = (x3 − c)1/3 , c = 0; las semirectas y = x, x > 0, así como y = x, x > 0, y el punto (0, 0).
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
32
Figura 2.1.7: Gráfica de las órbitas de la solución del sistema (2.1.4). Cabe destacar que, en general, no es posible resolver explícitamente la ecuación (2.1.2), puesto que no existen métodos generales para su resolución, por ejemplo, la ecuación diferencial
√ |y| √ sen(x−37 |y|) √ |y| = e ,
dy esen x cos 37 = dx ecos x sen37
es una ecuación diferencial de la forma (2.1.2) que no se puede resolver en términos de funciones elementales. Por consiguiente, tampoco se puede, en general, encontrar las órbitas de (2.1.1). Sin embargo, sí es posible obtener una descripción precisa de las órbitas de (2.1.1). Tal cosa se debe a que el sistema de ecuaciones diferencias de (2.1.1) determina un campo de direcciones en el plano xy. Es decir, el sistema de ecuaciones diferenciales (2.1.1) indica cuán rápido se mueve una solución a lo largo de la órbita y en qué dirección se mueve. Dicho con más precisión, sea (x = x(t), y = y(t)) una solución de (2.1.1). Conforme t aumenta, el punto (x(t), y(t)) se mueve a lo largo de la órbita de dicha solución. Su velocidad en la dirección x es dx/dt; y en y es dy/dt y la magnitud de su velocidad es [(dx(t)/dt)2 + (dy(t)/dt)2 ]1/2 . Pero dx(t)/dt = f (x(t), y(t)) y dy(t)/dt = g(x(t), y(t)). Por lo tanto, en cada punto (x, y) del plano fase de (2.1.1) se conoce: la tangente a la órbita en (x, y) (la recta que pasa por (x, y) con números directores f (x, y) y g(x, y), respectivamente, la magnitud de la velocidad (o rapidez) [f 2 (x, y) + 2g2 (x, y)]1/2 , con la que la solución recorre su órbita. Como se verá en las siguientes secciones, esta información frecuentemente puede servir para obtener propiedades importantes de las órbitas de (2.1.1).
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
33
2.2. Propiedades Cualitativas de las Órbitas. En esta sección se deducirán dos propiedades muy importantes, tanto de las soluciones como de las órbitas del sistema de ecuaciones diferenciales autónomas
x1
x = f (x), ˙
x =
.. .
,
xn
f (x) =
f 1 (x1 , . . . , xn )
.. .
.
(2.2.1)
f n (x1 , . . . , xn )
La primera trata de la existencia y unicidad de las órbitas, y la segunda, de la existencia de soluciones periódicas de (2.2.1). Se iniciará el análisis con el siguiente teorema de existencia y unicidad para las soluciones de (2.2.1).
Teorema 2.2.1. Supongamos que cada una de las funciones f 1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn ) tiene derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a x1 , . . . , xn . Entonces, el problema de valor inicial x = f (x), ˙
x(t0 ) = x 0 ,
tiene una y sólo una solución x = x(t), para toda x0 en n . Demostración: Ver [2], [3], [8]. Además del Teorema 2.2.1, se necesita el siguiente lema sencillo, aunque extremadamente útil. Lema 2.2.1. Si x = φ(t) es solución de (2.2.1), entonces x = φ(t + c), c constante real, es también solución de (2.2.1). La interpretación del Lema 2.2.1 es la siguiente. Sea x = φ(t) una solución de (2.2.1) y sustituyamos toda t en la fórmula de φ(t) por t + c. De esa manera se obtiene una nueva ˙ + c). El Lema 2.2.1 establece que x es también solución de (2.2.1). Por función x = φ(t ejemplo, x1 = tan t, x2 = sec2 t es una solución del sistema de ecuaciones diferenciales dx1 /dt = x 2 , dx2 /dt = 2x1 x2 . Por lo tanto, x1 = tan(t + c), x2 = sec2 (t + c) es también una solución para cualquier constante c.
Demostración del Lema 2.2.1: Si x = φ(t) es solución de (2.2.1), entonces dφ/dt = f (φ(t)); es decir, las dos funciones dφ/dt y h(t) ≡ f (φ(t)) coinciden en cada momento. Fijemos un tiempo t y una constante c . Dado que dφ/dt y h coinciden en todo instante, entonces deben coincidir en el t + c. Por lo tanto, dφ (t + c) = h(t + c) = f (φ(t + c)). dt ˙ φ(t + c) evaluada en t. Por Pero dφ/dt evaluada en t + c es igual a la derivada de x = consiguiente d φ(t + c) = f (φ(t + c)). dt
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
34
Observación 2.2.1. 1. La afirmación del Lema 2.2.1 puede verificarse explícitamente para la ecuación lineal x˙ = Ax. Toda solución x(t) de esta ecuación es de la forma x(t) = e At v , para algún vector constante v . De modo que x(t + c) = e A(t+c) v = eAt eAc v,
ya que (At)Ac = Ac(At) para cualesquiera valores de t y c . Por lo tanto, x(t + c) es también solución de x˙ = Ax, ya que la forma eAt multiplicada por el vector constante e Ac v . 2. El Lema 2.2.1 no es válido si la función f en (2.2.1) depende explícitamente de t. Para verlo, supongamos que x = φ(t) es una solución de la ecuación diferencial no ˙ x). Entonces, φ(t + c) = f (t + c, φ(t + c)). Por consiguiente, la autónoma x = f (t, función φ(t + c) satisface la ecuación diferencial x = f (t ˙ + c, x),
y tal ecuación es diferente de (2.2.1) si f depende explícitamente de t . Ahora es posible deducir las siguientes propiedades muy importantes de las soluciones y órbitas de (2.2.1).
Propiedad 2.2.1 (Existencia y unicidad de órbitas .). Supongamos que cada una de las funciones f 1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn (x1 , . . . , xn ) tiene derivadas parciales continuas con respecto a x1 , . . . , xn . Entonces existe una y sólo una órbita a través de cada punto x0 en n . En particular, si las órbitas de dos soluciones x = φ(t) y x = ψ(t) de (2.2.1) tienen un punto común, entonces deben ser idénticas. Demostración: Sea x 0 un punto cualquiera en el espacio fase x 1 , . . . , xn , de dimensión n, y sea x = φ(t) la solución del problema de valor inicial x = f (x), ˙ x(0) = x 0 . La órbita de esta solución pasa por x0 . De modo que existe al menos una órbita a través de cada punto x0 . Supongamos ahora que la órbita de alguna otra solución x = ψ(t) también = 0, tal que ψ(t0 ) = x 0 . Pero entonces, por el pasa por x0 . Esto significa que existe t0 Lema 2.2.1 x = ψ(t + t0 ),
es también una solución de (2.2.1). Observemos que ψ(t + t 0 ) y φ(t) tienen el mismo valor en t = 0. Por lo tanto, por el Lema 2.2.1, se tiene que ψ(t + t 0 ) es igual a φ(t) para todo tiempo t. Eso implica que las órbitas de φ(t) y ψ(t) son idénticas. De hecho si es un punto de la órbita de φ(t), es decir, = φ(t1 ) para alguna t 1 , entonces está también en la órbita de ψ (t), ya que = φ(t1 ) = ψ(t1 + t0 ). Recíprocamente, si es un punto de la órbita de ψ(t), decir, existe t 2 tal que ψ(t2 ) = , entonces está también en la órbita de φ(t), ya que = φ(t2 ) = ψ(t2 − t0 ).
Propiedad 2.2.2. Sea x = φ(t) una solución de (2.2.1). Si φ(t0 +T ) = φ(t0 ) para alguna t0 y T > 0 , entonces φ(t + T ) es idénticamente igual a φ(t) . En otras palabras, si una solución x(t) de (2.2.1) regresa a su valor inicial después de un tiempo T > 0, entonces debe ser periódica con período T (es decir, debe repetirse a intervalos de magnitud T .)
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
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Demostración: Sea x = φ(t) una solución de (2.2.1) y supongamos que φ(t0 + T ) = φ(t0 ) para algún par de números t0 y T . Entonces es la función ψ(t) = φ(t0 + T ) es también una solución de (2.2.1) que coincide con φ(t) en el tiempo t = t 0 . Por lo tanto, por el Teorema 2.2.1, ψ (t) = φ(t0 + T ) es idénticamente igual a φ(t). La Propiedad 2.2.2 es muy útil en las aplicaciones, especialmente cuando n = 2. Sea (x = x(t), y = y(t)) una solución periódica del sistema de ecuaciones diferenciales dx = f (x, y), dt
dy = g(x, y). dt
(2.2.2)
Si x(t + T ) = x(t) e y(t + T ) = y(t), entonces la órbita de la solución es una curva cerrada C en el plano xy. En cualquier intervalo de tiempo t0 ≤ t ≤ t0 + T , la solución se mueve una vez a lo largo de C . Recíprocamente, supongamos que la órbita de una solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.2.2) es una curva cerrada que no contiene puntos de equilibrio de (2.2.2). Entonces la solución (x = x(t), y = y(t)) es periódica. Para demostrarlo, recordemos que una solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.2.2) se mueve a lo largo de su órbita con velocidad [f 2 (x, y) + g 2 (x, y)]1/2 . Si su órbita C es una curva cerrada que no contiene puntos de equilibrio de (2.2.2), entonces la función [f 2 (x, y) + g 2 (x, y)]1/2 tiene un mínimo positivo para (x, y) en C . Por lo tanto, la órbita de (x = x(t), y = y(t)) debe regresar a su punto inicial (x0 = x0 (t), y0 = y0 (t)) en algún tiempo finito T . Pero eso implica que x(t+T ) = x(t) e y(t+T ) = y(t) para toda t . En síntesis, las propiedades cualitativas de las órbitas permiten obtener información sobre el comportamiento de las soluciones: 1. Cada trayectoria del plano de fases representa infinitas soluciones del sistema autónomo, es decir, si (x(t), y(t)) es una solución de (2.2.2), entonces para cada c ∈ , se tiene que ( x˜(t), ˜y(t)) = (x(t + c), y(t + c)) es otra solución de la ecuación (2.2.2). x(t), ˜ y(t)) son 2. Dos trayectorias no tienen puntos comunes, es decir, si (x(t), y(t)) y (˜ soluciones de la ecuación (2.2.2), tales que la primera solución en t0 vale (x0 , y0 ) y la segunda en t1 toma los mismos valores (x0 , y0 ), entonces existe un c ∈ tal que (˜x(t), ˜y (t)) = (x(t + c), y(t + c)).
3. Las trayectorias cerradas corresponden a soluciones periódicas, si (x(t), y(t)) es una solución de (2.2.2) tal que t 0 y t 0 + T toma el mismo valor, entonces (x(t), y(t)) = (x(t + T ), y(t + T )) para toda t, es decir, (x(t), y(t)) es periódica.
Ejemplo 2.2.1. Este ejemplo también ilustra la Propiedad 2.2.2 para demostrar que toda solución del sistema de ecuaciones diferenciales dx = ye1+x dt
2
+y 2
,
dy = dt
2
2
−xe1+x +y ,
(2.2.3)
es periódica. En efecto, las órbitas de (2.2.3) son las curvas soluciones x2 + y 2 = c2 de la ecuación escalar de primer orden dy/dx = −x/y que se muestran en la Figura 2.2.1. Más aún,
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
36
(x = 0, y = 0) es el único punto de equilibrio de (2.2.3). Por consiguiente, toda solución (x = x(t), y = y(t)) de (2.2.3) es una función periódica en el tiempo.
Figura 2.2.1: Gráfica de órbita de la solución del sistema (2.2.3).
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
37
2.3. Retrato Fase de Sistemas Lineales y Semi-Lineales. En esta sección se presenta una descripción completa de todas las órbitas de la ecuación diferencial lineal x = ˙ Ax,
x x = 1 , x2
A =
a b . c d
(2.3.1)
Dicha descripción se conoce como un retrato fase, y depende casi por completo de los valores propios de la matriz A. También cambia notablemente si los valores propios de A cambian de signo o se vuelven imaginarios. Al estudiar la ecuación (2.3.1), con frecuencia es de gran ayuda representar un vector x en 2 como una dirección , o un segmento dirigido, en el plano. Sea x un vector en 2 y tracemos el segmento dirigido x del punto (0, 0) al punto (x1 , x2 ) como se muestra en la Figura 2.3.1. Este segmento dirigido es paralelo a la recta que pasa por (0, 0) y cuyos números directores son x 1 , x2 respectivamente.
Figura 2.3.1: Gráfica del vector x = (x1 , x2 ). Si se representa al vector x como el segmento dirigido x, entonces se ve como los vectores x y c x son paralelos si c es positiva, y antiparalelos si c es negativa como se muetra en la Figura 2.3.2.
Figura 2.3.2: Gráfica de vectores paralelos y antiparalelos.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
38
También es posible dar una elegante interpretación geométrica de la suma de dos vectores. Sean x e y dos vectores en 2 . Tracemos el segmento dirigido x y adjuntemos el y a la punta de x. El vector x + y es entonces la composición de ambos segmentos vector dirigidos, como se muestra en la Figura 2.3.3. Esta construcción se conoce como la regla o ley del paralelogramo de la adición de dos vectores.
Figura 2.3.3: Regla del Paralelógramo de la adición de dos vectores. Ahora es posible describir los retratos fase de (2.3.1). Denotemos por λ1 y λ2 los dos valores propios de A. Pueden distinguirse los siguientes casos: Valores propios reales, distintos y negativos: λ1 < λ2 < 0 . Sean v 1 y v 2 los vectores propios de A con valores propios λ1 y λ2 , respectivamente. Trácense en el plano x1 x2 las cuatro semirectas l1 , l1 , l2 , l2 como se muestra en la Figura 2.3.4. Los rayos l1 y l2 son paralelos a v 1 y v 2 , mientras que los rayos l1 y l2 son paralelos a v 1 y v 2 . Observemos primero que x(t) = ce λ t v 1 es una solución de (2.3.1) para cualquier constante c . Esta solución es siempre proporcional a v 1 , y la constante de proporcionalidad, ce λ t , varía de a cero, dependiendo de si c es positiva o negativa. Por lo tanto, la órbita de esta solución es la semirrecta l1 para c > 0, y la semirrecta l 1 para c < 0. Análogamente la órbita de la solución x(t) = ceλ t v 2 es la semirrecta l 2 para c > 0 , y la semirrecta l 2 para c < 0 . Las flechas sobre las cuatro líneas de la Figura 2.21 indican en qué dirección se mueve x(t) a lo largo de su órbita.
−
−
1
±∞
1
2
Recordemos, además, que toda solución x(t) de (2.3.1) puede escribirse en la forma x(t) = c 1 eλ t v 1 + c2 eλ t v 2 , 1
2
para un par de constantes c1 y c2 . Obviamente, toda solución x(t) de (2.3.1) tiende
0 cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, toda órbita de (2.3.1) tiende al origen 0 x1 = x2 = 0 cuando t tiende a infinito. Es posible incluso hacer una afirmación más fuerte si se observa que eλ t v 2 es muy pequeño comparado con eλ t v 1 , cuanto t es grande.
a
2
1
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39
= 0, x(t) se aproxima cada vez más a c 1 eλ t v1 conforme t tiende a Por lo tanto, para c 1 infinito. Esto implica que la tangente a la órbita x(t) de tiende a l 1 si c 1 es positiva; y a l1 si c 1 es negativa. De modo que el retrato fase de (2.3.1) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.4. La característica distintiva de este retrato fase es que todas las órbitas, con excepción de una sola recta, tiende al origen en una dirección fija (si se consideran como equivalentes las direcciones v 1 y −v1 ). En tal caso se dice que la solución de equilibrio x = 0 de (2.3.1) es un nodo estable. 1
Ejemplo 2.3.1. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, distintos y negativos para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial x = Ax = ˙
− − 2 4
1 x. 7
−
(2.3.2)
En efecto, puede verificarse que
1 v1 = 1
y v2 =
1 , 4
son vectores propios de A con valores propios −3 y −6, respectivamente. Por lo tanto, x = 0 es un nodo estable de (2.3.2), y el retrato fase de (2.3.2) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.4. La semirrecta l1 forma un ángulo de 450 con el eje x1 , en tanto que la semirrecta l2 forma un ángulo de θ grados con el eje x 1 , donde tan θ = 4.
Figura 2.3.4: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.2).
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
40
Observación 2.3.1. La órbita de toda solución x(t) de (2.3.1) tiende al origen x1 = x2 = 0 cuando t tiende a infinito. Sin embargo, ese punto no pertenece a la órbita de ninguna solución no trivial x(t). Valores propios reales, distintos y positivos: 0 < λ1 < λ2
En este caso, el retrato fase de (2.3.1) es exactamente el mismo que en la Figura 2.3.4, excepto que el sentido de las flechas es el opuesto. Por lo tanto, la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es un nodo inestable, si ambos valores propios de A son positivos.
Ejemplo 2.3.2. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, distintos y positivos para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial x = Ax = ˙
4 2
−
−1 5
x.
(2.3.3)
En efecto, puede verificarse que
1 v = 1 1
2
y v =
1 , 2
−
son vectores propios de A con valores propios 3 y 6, respectivamente. Por lo tanto, x = 0 es un nodo inestable de (2.3.3), y el retrato fase de (2.3.3) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.5. La semirrecta l1 forma un ángulo de 450 con el eje x1 , en tanto que la semirrecta l 2 forma un ángulo de θ grados con el eje x 1 , donde tan θ = −2.
Figura 2.3.5: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.3).
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
41
Valores propios reales y de distinto signo: λ1 < 0 < λ2 . Sean v 1 y v 2 vectores propios de A con valor característico λ 1 y λ 2 , respectivamente. Se trazan en el plano x 1 x2 las cuatro semirrectas l 1 , l1 , l2 , l2 : las semirrectas l 1 , l2 son paralelas a v 1 y v 2 , mientras que las semirrectas l1 , l2 deberán serlo a v 1 y v 2 . Observemos primero que toda solución x(t) de (2.3.1), es de la forma
−
−
x(t) = c 1 eλ t v 1 + c2 eλ t v 2 , 1
2
para alguna elección de constantes c 1 y c2 . La órbita de la solución x(t) = c1 eλ t v 1 es l1 para c1 > 0 y l1 para c1 < 0, mientras que la órbita de la solución es l2 para c 1 > 0 y l 2 para c 1 < 0. Notemos también el 1
0 cuando t 0 tiende a infinito, mientras que la solución x(t) = c2 eλ t v 2 es no acotada (para c2 = 0) cuando t tiende a infinito. Observemos además que eλ t v1 es muy pequeño, comparado con e λ t v 2 , cuando t crece mucho. Por lo tanto, toda solución x(t) de (2.3.1) con c 2 = 0 es no acotada cuando t tiende a infinito y su órbita tiende a l2 o bien l2 . Observemos por último que e λ t v2 es muy pequeño comparado con e λ t v1 , cuando t crece mucho con
sentido de las flechas
sobre l 1 , l1 , l2 , l2 ;
la solución x(t) = c 1
eλ1 t v 1
tiende a
2
1
2
2
1
signo negativo. = 0 tiende a l 1 o bien Por lo tanto, la órbita de cualquier solución x(t) de (2.3.1), con c 1 l1 cuando t tiende a menos infinito. Por consiguiente, el retrato fase de (2.3.1) posee la forma descrita en la Figura 2.3.6. Este retrato fase se asemeja a una “silla de montar” cerca de x1 = x2 = 0. Es por eso que se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es un punto silla si los valores propios de A tienen signos opuestos.
Ejemplo 2.3.3. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales y de distinto signo, para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal x = Ax = ˙
1 3
−
−3 1
x.
(2.3.4)
Solución. Se puede verificar que
1 v = 1 1
2
y v =
−
1 , 1
son vectores propios de A con valores propios −2 y 4, respectivamente. Por lo tanto, x = 0 es un punto silla de (2.3.4), y su retrato fase tiene la forma descrita en la Figura 2.3.6. La semirrecta l1 forma un ángulo de 450 con el eje x1 , en tanto que la semirrecta l2 forma un ángulo recto con el eje l1 .
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
42
Figura 2.3.6: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.4). Valores propios reales, iguales y negativos: λ1 = λ 2 < 0 En este caso, el retrato fase de (2.3.1) depende de si A tiene uno o dos vectores propios
linealmente independientes. a) Supongamos que A tiene dos vectores propios linealmente independientes v 1 y v 2 con un valor característico λ < 0. En tal caso, toda solución x(t) de (2.3.1) puede expresarse en la forma x(t) = c 1 eλt v 1 + c2 eλt v 2 = eλt (c1 v 1 + c2 v 2 ),
para alguna elección de constantes c1 y c2 . Ahora bien, el vector eλt (c1 v1 + c 2 v2 ) es paralelo a (c1 v 1 + c2 v 2 ) para toda t. Por lo tanto, la órbita de cualquier solución x(t) de (2.3.1) es una semirrecta. Más aún, el conjunto de vectores {c1 v 1 + c2 v 2 }, para todas las elecciones de c1 y c2 , cubren cualquier dirección en el plano x1 x2 , ya que v 1 y v 2 son linealmente independientes. Por lo tanto, el retrato fase tiene la forma descrita en la Figura 2.3.7.
Ejemplo 2.3.4. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y negativos, con dos vectores propios linealmente independientes, para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial x = Ax = ˙
− 1 0
0 x. 1
−
(2.3.5)
En efecto, puede verificarse que v 1 = (1, 0) y v 2 = (0, 1) son vectores propios de A con valor característico −1. Por lo tanto, x = 0 es un punto estrella estable de (2.3.5), y el retrato fase de (2.3.5) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.7.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
43
Figura 2.3.7: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.5). b) Supongamos que A tiene solamente un vector característico v linealmente independiente, con valor característico λ . En tal caso, x 1 (t) = e λt v es solución de (2.3.1). Para encontrar una segunda solución de (2.3.1) que sea linealmente independiente de x1 , observemos que (A − λI )2 u = 0 para todo vector u . Por lo tanto, x(t) = e Aλt u = e λt e(A−λI )t u = e λt [u + t(A
− λI )u],
(2.3.6)
es solución de (2.3.1), para cualquier elección de u . La ecuación (2.3.6) puede simplificarse observando que (A − λI )u debe ser un múltiplo k de v . Esto se sigue inmediatamente de la ecuación (A − λI )[(A − λI )u] = 0, y el hecho de que A tiene sólo un vector característico v linealmente independiente. Eligiendo u linealmente independiente de v , se ve que cualquier solución x(t) de (2.3.1) puede escribirse en la forma x(t) = c 1 eλ t v + c2 eλ t (u + ktv) = e λt (c1 v + c2 u + c2 ktv), 1
2
para alguna elección de constantes c1 y c1 . Obviamente, toda solución x(t) de (2.3.1) tiende a
0 cuando t tiende a infinito. 0
Además, observemos que c1 v + c2 u es muy pequeño comparado con c2 ktv si c2 es diferente de cero y t es muy grande. Por lo tanto, la tangente a la órbita de x(t) tiende a
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
44
±v (dependiendo del signo de c2) cuando t tiende a infinito, y el retrato fase de (2.3.1) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.8.
Ejemplo 2.3.5. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y negativos, con un vector propio, para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial x = Ax = ˙
− 1 0
1 x. 1
−
(2.3.7)
En efecto, puede verificarse que 1
v =
1 , 0
es vector característico de A con valor característico −1. Por lo tanto, x = 0 es un punto de equilibrio estable de (2.3.7), y el retrato fase de (2.3.7) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.8.
Figura 2.3.8: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.7). Valores propios reales, iguales y positivos: λ1 = λ 2 > 0 .
Los retratos fase de (2.3.1) en los casos de dos vectores propios linealmente independientes y un vector propio, son los que se muestran en la Figura 2.3.7 y la Figura 2.3.8, respectivamente, es decir, son los mismos que en el caso negativo, excepto que la dirección de las flechas es la opuesta.
Ejemplo 2.3.6. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y positivos, con dos vectores propios linealmente independientes, para trazar el retrato fase de la
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
45
ecuación diferencial x = Ax = ˙
1 0 x. 0 1
(2.3.8)
En efecto, puede verificarse que
1 v = , 0 1
2
y v =
0 1
son vectores propios de A con valor característico 1. Por lo tanto, x = 0 es un punto estrella inestable de (2.3.8), y el retrato fase de (2.3.8) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.9.
Figura 2.3.9: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.8).
Ejemplo 2.3.7. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios reales, iguales y positivos, con un vector propio, para trazar el retrato fase de la ecuación diferencial x = Ax = ˙
1 1 x. 0 1
(2.3.9)
En efecto, puede verificarse que 1
v =
1 , 0
es vector característico de A con valor característico 1 . Por lo tanto, x = 0 es un punto de equilibrio inestable de (2.3.9), y el retrato fase de (2.3.9) tiene la forma descrita en
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
46
la Figura 2.3.10.
Figura 2.3.10: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.9). Valores propios complejos: λ1 = α + iβ,λ2 = α
− iβ,β = 0.
El primer paso para deducir el plano fase de (2.3.1) es encontrar la solución general de (2.3.1). Sea z = u + iv un vectores propios de A con valores propios característico α + iβ . Entonces x(t) = e(α+iβ)t (u + iv) = e αt (cos βt + i sen βt)(u + iv) = eαt [u cos βt v sen βt] + ieαt [u sen βt + v cos βt],
−
es una solución con valores complejos de (2.3.1). Por lo tanto, x1 (t) = e αt [u cos βt
− v sen βt]
y x2 (t) = e αt [u sen βt + v cos βt],
son dos soluciones con valores reales de (2.3.1) linealmente independientes y toda solución x(t) de (2.3.1) es de la forma x(t) = c 1 x1 + c2 x2 .
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
47
Esta expresión puede escribirse en la forma x(t) = e
αt
R1 cos(βt R2 cos(βt
− δ 1) − δ 2)
,
(2.3.10)
para alguna elección de constantes R 1 ≥ 0, R2 ≥ 0, δ 1 y δ 2 . Se distinguirán los siguientes casos: a) α = 0: Observemos que x1 (t) = R1 cos(βt
− δ 1)
y x2 (t) = R2 cos(βt − δ 2 ),
son funciones periódicas en el tiempo, con período 2π/β . La función x1 (t) varía entre −R1 y +R1, mientras que x 2(t) varía entre −R2 y +R2. Por consiguiente, la órbita de cualquier solución x(t) de (2.3.1) es una curva cerrada que rodea al origen x 1 = x 2 = 0 y el retrato fase de (2.3.1) tiene la forma descrita en la Figura 2.3.11. Es por esa razón que se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es un centro cuando los valores propios de A son imaginarios puros. La dirección de las flechas en la Figura 2.3.11 debe ser determinada a partir de la ecuación diferencial (2.3.1). La manera más sencilla de hacerlo es encontrando el signo de x˙2 cuando x2 = 0. Si x˙2 es mayor que cero para x 2 = 0 y x1 > 0 , entonces todas las soluciones x(t) de (2.3.1) se mueven en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si es menor que cero para x2 = 0 y x1 > 0, entonces todas las soluciones x(t) de (2.3.1) se mueven en el sentido de las manecillas del reloj.
Ejemplo 2.3.8. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios imaginarios puros, para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal x = Ax = ˙
0 4 x. 9 0
−
(2.3.11)
En efecto, los valores propios de A son ± 6i. Por lo tanto, x = 0 es un centro estable de (2.3.11) y toda órbita no trivial de (2.3.11) describe una curva cerrada. Para determinar el sentido de rotación de la curva cerrada, observemos que x˙2 = − 9x1 cuando x2 = 0. Así pues, x˙2 es negativa para x1 > 0 y x2 = 0. Por consiguiente, todas las órbitas no triviales de (2.3.11) describen curvas cerradas en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2.3.11.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
48
Figura 2.3.11: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.11). b) α < 0 : En este caso, el efecto del factor e αt sobre la ecuación (2.3.10) es el de cambiar las simples curvas cerradas de la Figura 2.3.11 en las espirales de la Figura 2.3.12. Esto se debe a que el punto x(2π/β ) = e2πα/β x(0) está más cerca del origen que x(0). Una vez más, la dirección de las flechas debe determinarse a partir de la ecuación diferencial (2.3.1). En este caso, se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es un foco estable.
Ejemplo 2.3.9. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios complejos, con parte real negativa, para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal
−
1 1 x. 1 1
(2.3.12) − En efecto, los valores propios de A son −1 ± i. Por lo tanto, x = 0 es un foco estable x = Ax = ˙
de (2.3.12) y toda órbita no trivial de (2.3.12) describe una espiral acercándose al origen cuando t tiende a infinito. Para determinar el sentido de rotación de la espiral observemos que x˙2 = −x1 cuando x 2 = 0. Así pues, x˙2 es negativa para x 1 > 0 y x 2 = 0 . Por consiguiente, todas las órbitas no triviales de (2.3.12) describen espirales hacia el origen y en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2.3.12.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
49
Figura 2.3.12: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.12). c) α > 0 : En este caso, todas las soluciones de (2.3.1) describen espirales que se alejan del origen cuando t tiende a infinito que se muestra en la Figura 2.3.13, y se dice que la solución de equilibrio x(t) = 0 de (2.3.1) es un foco inestable.
Ejemplo 2.3.10. Este ejemplo ilustra el caso de valores propios complejos, con parte real positiva, para esquematizar el retrato fase de la ecuación lineal
1 2 x. 2 1
(2.3.13) − En efecto, los valores propios de A son −1 ± 2i. Por lo tanto, x = 0 es un foco inestable x = Ax = ˙
de (2.3.13) y toda órbita no trivial de (2.3.13) describe una espiral alejándose del origen cuando t tiende a infinito. Para determinar el sentido de rotación de la espiral observemos que x˙2 = − 2x1 cuando x2 = 0. Así pues, x˙2 es negativa para x1 > 0 y x2 = 0. Por consiguiente, todas las órbitas no triviales de (2.3.13) describen espirales alejándose del origen y en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la Figura 2.3.13.
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
50
Figura 2.3.13: Retrato fase de la ecuación diferencial lineal (2.3.13). Todo el estudio realizado lo podemos resumir como sigue, sea P (λ) =
− a
c
= λ2
λ
− b
d
λ
=0
− (a + d)λ + ad − bc = 0,
escribamos la ecuación anterior en la forma (λ
− λ1)(λ − λ2) = λ2 + pλ + q = 0,
de modo que p =
−(λ1 + λ2)
q = λ1 λ2 ,
los casos estudiados son sencillos de describir en término de p y q como en términos de λ1 y λ2 . De hecho si interpretamos estos casos en el plano pq llegamos al diagrama de la Figura 2.3.14, que permite saber a simple vista la naturaleza y las propiedades de estabilidad del punto crítico (0, 0). La primera cosa interesante a observar es que el eje p, q = 0, está excluido ya que λ1 λ2 = 0, luego toda la información condensada en el diagrama proviene directamente de que
− p ± λ1 , λ2 =
− p2 2
4q .
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES CUALITATIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
51
Figura 2.3.14: Naturaleza y propiedades de estabilidad del punto crítico (0, 0). ˙ , donde A Resumen: Considerando el sistema lineal con coeficientes constantes x = Ax es una matriz cuadrada de orden 2 . El único punto crítico de este sistema es el origen (0, 0). El tipo de punto crítico queda determinado por los valores propios λ1 , λ2 de la matriz A , en la siguiente forma: = λ 2 . 1. Si λ 1 , λ2 son reales y λ 1
a ) Si 0 < λ1 < λ2 , entonces el origen es un nodo inestable. b ) Si λ 1 < λ2 < 0, entonces el origen es un nodo asintóticamente estable. c ) Si λ 1 < 0 < λ2 , entonces el origen es un punto de silla inestable. 2. Si λ 1 , λ 2 son reales y λ 1 = λ 2 = λ
a ) Si 0 < λ, entonces el origen es un nodo inestable. b ) Si λ < 0, entonces el origen es un nodo asintóticamente estable. 3. Si λ 1 y λ2 complejos conjugados.
a ) Si Re(λ1 ) > 0, entonces el origen es un punto espiral inestable. b ) Si Re(λ1 ) < 0, entonces el origen es un punto espiral asintóticamente estable. c ) Si Re(λ1 ) = 0, entonces el origen es un centro estable, pero no asintóticamente estable. Caso no-lineal. Por último, es importante mencionar que los retratos fase de los sistemas no lineales, en la vecindad de un punto de equilibrio son, con frecuencia, muy similares a los retratos
CAPÍTULO 2. PROPIEDADES PROPIEDADES CUALITA CUALITATIVAS TIVAS DE LAS SOLUCIONES DE SISTEMAS AUTÓNOMOS.
52
fase de sistemas lineales. Dicho con más precisión, sea x = x0 una solución de equilibrio de la ecuación no li f (x) y hagamos u = x − x0 . Entonces puede escribirse la ecuación diferencial neal x˙ = f ( x˙ = f = f ((x) en la forma u˙ = Au = Au + g (u)
donde A es una matriz constante y g(u) es muy pequeña comparada con u. u = 0 es un nodo, un punto silla o bien un foco de la ecuaPor lo tanto, supongamos que u = ción diferencial u˙ = Au. Entonces, el retrato fase de la ecuación diferencial x˙ = f ( f (x), 0 x = x x , tiene una de las formas descritas en las Figuras 2.3.4, 2.3.6, en una vecindad de x = u = 0 es un nodo, un punto silla o bien un foco. Para 2.3.12 y 2.3.13, dependiendo de si u = más información, ver [2], [3], [4], [6], [8].
Capítulo 3
El Teorema de Poincaré-Bendixson. 3.1. Soluci Solucione oness Periódicas eriódicas.. En esta sección realizaremos un estudio de las soluciones periódicas de los sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos no lineales, y sus aplicaciones.
x1
x˙ = f = f ((x),
x =
.. .
,
f (x) =
xn
f 1 (x1 , . . . , xn )
.. .
.
(3.1.1)
f n (x1 , . . . , xn )
Hasta este momento, las soluciones y órbitas de las ecuaciones no lineales que hemos estudiado se comportan de manera muy similar a las soluciones y órbitas de las ecuaciones lineales. Sin embargo, la situación es en realidad muy diferente. En general, las soluciones y órbitas de las ecuaciones no lineales muestran un comportamiento completamente diferente al de las soluciones y órbitas de las ecuaciones lineales. Ver [3], [4], [8].
sistema de ecuaciones ecuaciones Ejemplo 3.1.1. Un ejemplo usual es el sistema dx = dt
−y + x(1 − x2 − y2),
dy = x + y (1 dt
− x2 − y2).
(3.1.2)
Como el término x 2 + y 2 está presente en ambas ecuaciones, introduciremos coordenadas polares r, θ, donde x = r cos θ, y = r sen θ, para reescribir (3.1.2) en términos de r y θ. Calculemos: d 2 dr dx dy r = 2r = 2x + 2y 2y , r2 = x 2 + y2 dt dt dt dt 2 2 2 = 2(x 2(x + y ) 2(x 2(x + y2 )2 = 2r2 (1 r2 ).
−
−
Análogamente dy dθ d y 1 x dt y dx x2 + y 2 dt = arctan = 2 = 2 = 1, dt dt x x 1 + (y/x ( y/x))2 x + y2
−
53
y θ = arctan , x
x = 0.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
54
Luego, el sistema de ecuaciones (3.1.2) es equivalente al sistema dr = r(1 r (1 dt
− r2),
dθ = 1. 1. dt
(3.1.3)
La solución general de (3.1.3) es r(t) =
[r02 + (1
r0 , r02 )e−2t ]1/2
−
= t + θ0 , θ = t
(3.1.4)
r (0) y θ 0 = θ(0) θ (0). Por lo tanto, donde r 0 = r(0) r0 cos(t cos(t + θ0 ), [r02 + (1 r02 )e−2t ]1/2 r0 y(t) = 2 sen(t sen(t + θ0 ). [r0 + (1 r02 )e−2t ]1/2
x(t) =
− −
Observemos ahora que (x = 0, y = 0) es la única solución de equilibrio de (3.1.2). Además x(t) = cos(t cos(t + θ0 ),
y(t) = sen(t sen(t + θ0 ),
cuando r0 = 1. Esta solución es periódica con período 2π, y su órbita es el círculo unitario x2 + y 2 = 1. Por (4), se sigue que r(t) tiende a 1 cuando t tiende a infinito, = 0. Por consiguiente, todas las órbitas de (3.1.2), con excepción del punto para r0 de equilibrio (x = 0, y = 0), describen una espiral que se aproxima a la circunferencia unitaria. unitaria. En la Figura Figura 3.1.1 se ilustra ilustra dicha dicha situación. situación.
Figura 3.1.1: Espiral que se aproxima a la circunfer circunferencia encia unitaria unitaria x 2 + y2 .
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
55
El sistema de ecuaciones (3.1.2) muestra que las órbitas de un sistema no lineal de ecuaciones pueden describir espirales que se aproximen a una curva cerrada simple. Por supuesto que tal cosa no es posible para sistemas lineales, ya que todas las órbitas de sistemas lineales se aproximan o alejan del origen, dependiendo de su estabilidad o inestabilidad, respectivamente. Más aún, puede demostrarse que las órbitas de un sistema no lineal describen espirales que se aproximan a una curva cerrada aún cuando no sea factible resolver explícitamente el sistema de ecuaciones o incluso determinar sus órbitas. Esta afirmación es esencialmente el contenido del Teorema Poincaré - Bendixson , el que afirma que si un sistema autónomo de dos dimensiones, tiene una solución que permanece manece en una región acotada acotada del plano que no contiene contiene puntos puntos de equilibrio, entonces entonces su órbita describe una espiral que se aproxima a una curva cerrada simple, la cual a su vez es la órbita de una solución periódica de dicho sistema. Desde un punto de vista intuitivo se trata de un resultado bastante razonable, puesto que la solución permanece en una región limitada y si no se aproxima a un punto de equilibrio, entonces tiene que acumularse en algún lugar, de modo que se acumula sobre una solución periódica. Sin embargo, una demostración rigurosa del teorema es bastante larga y requiere toda la potencia del Teorema de la Curva de Jordan. Como veremos, parte de la dificultad de probar el teorema, radica en el hecho de que todas las consideraciones tendrán lugar en el plano euclidiano y la distinción entre argumentos intuitivos y rigurosos en el plano a veces es difícil. Ver [2], [5], [9].
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
56
3.2. Formulación del Teorema de Poincaré-Bendixson. Comenzaremos enunciado el Teorema de Poincaré-Bendixson. Para esto, necesitamos la noción de conjunto ω-límite y de conjunto invariante.
Definición 3.2.1. Si x(t) es una solución del sistema (3.1.1) y existen un número t0 tal que x(t) es definida para todo t ≥ t0, entonces un punto ω-límite de la solución x(t) es un punto x0 , tal que existe una sucesión de números reales {tn }, tal que l´ım tn =
n→∞
∞
y l´ım x(tn ) = x0 n→∞
Si S denota la solución x(t) de (3.1.1), entonces el conjunto de puntos ω-límite de S , será denotado por Ω(S ) ó Ω[x(t)]. También usamos la notación O(S ) para denotar la órbita de la solución S .
Definición 3.2.2. Supongamos que la función f es continua en un conjunto abierto D ⊂ n . Un conjunto E ⊂ D es invariante, si y sólo si para cada punto x0 ∈ E se cumple que, si x(t) es una solución de (3.1.1), tal que para algún t, x(t) = x0 , entonces O[x(t)] ⊂ E . Un resultado importante sobre el conjunto Ω(S ) se presenta en el siguiente teorema.
Teorema 3.2.1. Supongamos que f es una función continua en un conjunto abierto D ⊂ n y supongamos que x(t) es una solución de (3.1.1), que no es un punto de equilibrio y es tal que existe un número t0 , tal que x(t) es definido para todo t ≥ t0 y existe un número B > 0 tal que para todo t ≥ t0,
|x(t)| < B Entonces Ω[x(t)] es no vacío, cerrado, conexo e invariante. Demostración: Ver [4].
Teorema de Poincaré-Bendixson. Teorema 3.2.2. ([2], [4], [5], [9]). Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales autónomo no lineal: dx = f (x, y), dt
dy = g(x, y) dt
(3.2.1)
donde f , g son continuas y satisfacen la condición local de Lipschitz en cada punto de un conjunto abierto en 2 , supongamos que la solución S = (x(t), y(t)) de (3.2.1) está definida para todo t ≥ t0 , donde t0 es un valor fijo, tal que existe un número M satisfaciendo
|x(t)| + |y(t)| < M,
para todo t ≥ t0
Además supongamos que Ω(S ) no contiene puntos de equilibrio de (3.2.1). Entonces se cumple una de las siguientes dos alternativas:
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
57
1) S es una solución periódica (en cuyo caso O(S ) = Ω(S )); o 2) Ω(S ) es la órbita de una solución periódica y la solución S se aproxima a Ω(S ) describiendo una espiral desde el interior o desde el exterior. Definición 3.2.3. La órbita Ω(S ) en la alternativa 2) se llama un ciclo límite, como se muestra en la Figura 3.2.1
Figura 3.2.1: Representación geométrica del ciclo límite. Con el fin de demostrar el Teorema de Poincaré-Bendixson, necesitaremos varios resultados preliminares.
Teorema de la Curva de Jordan. Teorema 3.2.3. ([2], [3], [4], [8]). Sea C una curva cerrada simple en 2 . Entonces
2 − C = O1 ∪ O2 donde O1 , O2 son conjuntos abiertos, conexos, disjuntos y no vacíos, tal que: 1) Para i = 1, 2, la frontera de Oi es C . 2) Uno de los conjuntos abiertos, digamos O1 es acotado (llamado interior de C ) y O2 no acotado (llamado exterior de C ). 3) Si p ∈ O2 , entonces i(C, p) = 0.
Para todo p ∈ O1, el índice i(C, p) tiene el mismo valor +1 ó −1. (El signo depende de la orientación asignada a C .)
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
58
Ejemplo 3.2.1. Para ilustrar la tercera parte del Teorema de la Curva de Jordan, consideremos en particular la curva cerrada simple C = C (a, r) como la circunferencia de centro a y radio r (orientada positivamente). Entonces i(C, z) = 1, si |z − a| < r. En efecto, puesto que C (a, r) es conexo, para todo z ∈ C (a, r) será 1 i(C, z) = i(C, a) = 2πi
2π
0
rieit dt = 1 reit
Por otro lado, si |z − a| > r, entonces i(C, z) = 0. En efecto, { z ∈ A : | z − a| > r} es la componente no acotada de A − sop C , donde sop C = {x : C (x) = 0}. Basta observar que 1 sup |i(C, z)| ≤ 2π1 long C · w∈sop C |w − z |
Como sop C es acotado, podemos tomar z en la componente no acotada con módulo suficientemente grande para que |i(C, z)| < 1 . Como debe ser un entero, no queda otra posibilidad que i(C, z) = 0. Ver [1].
Definición 3.2.4. Un punto (x0 , y0 ) ∈ D que no es un punto de equilibrio de (3.2.1) es un punto regular . Definición 3.2.5. Un segmento finito cerrado de una línea recta es un conjunto de puntos con una de las siguientes formas: L = (x, y)/y = mx + b
{
∧ c ≤ x ≤ d}
o L = {(e, y)/f ≤ y ≤ g},
donde m, b, c, d, e, f,g son constantes, como se muestra en la Figura 3.2.2.
Figura 3.2.2: Segmento finito cerrado de una línea recta.
Definición 3.2.6. Sea V = V (x, y) que denota el campo vectorial (f (x, y), g(x, y)) con dominio D. Una transversal L de V es un segmento finito cerrado de una línea recta, tal que: 1) L ⊂ D;
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
59
2) Si (x, y) ∈ L, entonces (x, y) es un punto regular de V ; 3) Si (x1, y1) ∈ L, entonces la pendiente de V (x1 , y1 ) no es igual a la pendiente de L ( V (x1 , y1 ) no es paralela a L), es decir, L no es tangente a una órbita de (3.2.1). Enumeremos algunas de las propiedades de las transversales que usaremos.
Propiedad 3.2.1. Si (x0 , y0 ) es un punto regular de V (x, y) y si λ es una línea que contiene a (x0 , y0 ) y no es paralela a V (x0 , y0 ), entonces existe una transversal L ⊂ λ , tal que (x0 , y0 ) está en el interior de L. Demostración: Como f y g son continuas, entonces existe una vecindad circular N (x0 , y0 ) (como se muestra en la Figura 3.2.3), tal que si (x, y) ∈ N (x0 , y0 ), entonces el vector (f (x, y), g(x, y)) no es paralelo a λ. Sea L = N (x0 , y0 )
{
} ∩ λ.
Figura 3.2.3: Diagrama de la Propiedad 3.2.1
Propiedad 3.2.2. Todas las órbitas de (3.2.1) que intersectan la transversal L , cruzan L en la misma dirección en que t aumenta. Es decir, toda órbita que cruza L debe hacerlo en la misma dirección. Demostración: Dada una transversal L donde P sea un punto interior de L y supongamos que en el punto P el flujo tiene un sentido y para otro punto Q en L el flujo tiene otro sentido, entonces es posible construir dos sucesiones de puntos una partiendo de P y otra partiendo de Q en las cuales el flujo de (f (tn , P ), g(tn , P )) y (f (tn , Q), g(tn , Q)) cortan a L . Así {(f (tn , P ), g(tn , P )) ∩ A} = {P n } y {(f (tn , P 2 ), g(tn , P 2 )) ∩ A} = {Qn }, como {P n } y {Qn } están en un conjunto cerrado y finito, entonces las sucesiones convergen, es decir, {P n } → R y {Qn } → S . Pero esto es una contradicción, ya que existen
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
60
puntos R y S en donde (f (P ), g(P )) = (0, 0) y (f (Q), g(Q)) = (0, 0), pero todos los puntos en L son puntos regulares.
Propiedad 3.2.3. Si F = (x(t), y(t))/t
{
∈ [a, b]},
es un arco finito de la órbita C de una solución de la ecuación (3.2.1), y si L es una transversal, entonces F puede cruzar a L sólo un número finito de veces.
Figura 3.2.4: Diagrama de la Propiedad 3.2.3
Demostración: Supongamos que esto no es cierto. Entonces existe una sucesión monótona {tn } ⊂ [a, b] tal que l´ım tn = t 0
∈ [a, b],
n→∞
y (x(tn ), y(tn )) ∈ L para todo n, y tal que para todo n, (x(tn ), y(tn )) = (x(t0 ), y(t0 )).
Sea A0 = (x(t0 ), y(t0 )),
y An = (x(tn ), y(tn )).
Sea l´ım An = A 0 ,
n→∞
entonces la dirección de la limitación de la secante A 0 An de la órbita C , es la dirección de la tangente a C en (x(t0 ), y(t0 )). Pero para todo n, A0 An está contenido en L. Por
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
61
lo tanto, L es tangente a C en (x(t0 ), y(t0 )). Esto contradice la condición de que L es una transversal.
Propiedad 3.2.4. Sea A un punto interior de la transversal L. Entonces, dado los números positivos ξ y ξ 1 , existe r > 0 tal que si ∆ es un disco con centro A y radio menor o igual a r , entonces si la órbita C (descrita por la solución (x(t), y(t)) está en el disco ∆ en t = 0 (es decir, (x(0), y(0)) ∈ ∆), existe t 1 tal que |t1 | < ξ y (x(t1 ), y(t1 )) ∈ L y |(x(t1 ), y(t1 )) − A| < ξ 1 .
Figura 3.2.5: Diagrama de la Propiedad 3.2.4
Demostración: Supongamos que los ejes coordenados han sido rotados y trasladados de modo que A es el origen del sistema de coordenadas y L está contenida en el eje x. Del Teorema de Existencia y Unicidad, existe una única solución (x(t, 0, 0), y(t, 0, 0)) de (3.2.1) tal que x(0, 0, 0) = 0,
y(0, 0, 0) = 0,
y existe una vecindad N de (0, 0) tal que si (x0 , y0 ) ∈ N , entonces existe una solución (x(t, x0 , y0 ), y(t, x0 , y0 )) tal que x(0, x0 , y0 ) = x 0 , y(0, x0 , y0 ) = y 0 .
Si ∂ y(0, 0, 0) = 0, ∂t
entonces la solución (x(t, 0, 0), y(t, 0, 0)) es tangente al eje x ( L transversal) en el origen A. Esto contradice el hecho de que L es una transversal. Por lo tanto ∂ y(0, 0, 0) = 0, ∂t
y podemos aplicar el Teorema de la Función Implícita para resolver la ecuación y(t, x0 , y0 ) = 0,
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
62
en particular para t como función de (x0 , y0 ) en una vecindad de t = x 0 = y 0 = 0. Como t(0, 0) = 0 y t(x0 , y0 ) es continua, entonces existe δ > 0 tal que si
|x0| + |y0| < δ, entonces
|t(x0, y0)| < ξ. Dado que x [t(0, 0), 0, 0] = 0,
y x [t(x0 , y0 ), x0 , y0 ]
es continua en (x0 , y0 ), entonces existe δ 1 > 0 tal que si
|x0| + |y0| < δ 1, entonces
|x[t(x0, y0), x0, y0]| < ξ 1. Sea a la distancia mínima desde A a un punto final de L y sea r = m´ın[δ, δ 1 , a].
Demostraremos el Teorema de Poincaré-Bendixson usando los siguientes lemas:
Lema 3.2.1. Supongamos que Ω(S ) contiene un punto regular A, y sea L una transversal tal que A es un punto interior de L. Entonces existe una sucesión monótona {tm } con tm → ∞, tal que si Am = (x(tm ), y(tm )),
entonces A
∪
m
Am = [O(S )]
∩ L.
Si A1 = A 2, entonces A = Am para todo m y O(S ) es una curva cerrada simple. Si A1 = A 2 , entonces todos los Am son distintos (es decir, si i = j , entonces,Ai = A j ) y para todo m, Am+1 está entre Am y Am+2 en L. Demostración: Notemos primero que por Propiedad 3.2.1 existe una transversal L. Tomando ξ = 1 y ξ n = 1/n en Propiedad 3.2.4, deducimos que existe una sucesión {tn } con tn → ∞ y una sucesión de discos ∆n con centro A tal que (x(tn ), y(tn )) ∈ ∆n y existe nn tal que |nn | < 1 y (x(tn + nn ), y(tn + nn ))
∈ L,
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
63
y
|(x(tn + nn), y(tn + nn)) − A| < n1 .
(3.2.2)
También podemos elegir t n tal que t 1 > t0 + 1 y para todo n ≥ 1 tn+1
− tn > 2.
Entonces existe una sucesión de valores distintos {tn + nn } tal que (x(tn + nn ), y(tn + nn ))
∈ O(S ) ∩ L,
y {tn + nn } es una sucesión monótona creciente tal que tn + nn → dad 3.2.3, el conjunto L
∞ . Por la Propie-
∩ {(x(t), y(t))/t ∈ [t0, t1 + n1]},
donde t0 es el valor dado en el enunciado del Teorema de Poincaré-Bendixson, y el conjunto L
∩ {(x(t), y(t))/t ∈ [tn + nn, tn+1 + nn+1]}, para n ≥ 1, son finitos. De las propiedades de la sucesión {tn + nn } se deduce que existe una sucesión monótona {tm} tal que t m → ∞ y O(S ) ∩ L = {(x(tm ), y(tm ))}. Sea Am = (x(tm ), y(tm )). Entonces por (3.2.2), {Am } es un conjunto finito o A es un punto límite del conjunto {Am }. Si A1 = A2 , entonces O(S ) es una curva cerrada simple y A 2 = A 3 = A m = A para todo m , puesto que si s > t 2 , (x(s), y(s))
∈ {(x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2]}. = A2 . Si t ∈ (t1 , t2 ), entonces (x(t), y(t)) ∈ / L. Entonces el Ahora supongamos que A1 segmento A 1 A2 y la curva
{(x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2]}, forman una curva cerrada simple C . La demostración convencional del Lema 3.2.1 se obtiene en la forma siguiente: Caso I. Existe > 0 tal que si t ∈ (t2 , t2 + ) entonces (x(t), y(t)) es un elemento del interior de C (Ver Figura 3.2.6). Entonces para todo t > t2 , (x(t), y(t)) es un elemento de el interior de C . Para demostrar esto, supongamos que no es cierto y sea t = ´ınf t > t2 /(x(t), y(t)) no está en el interior de C .
{
}
Entonces (x(t ), y(t )) ∈ C . Como O(S ) no puede autocruzarse, entonces (x(t ), y(t )) es un punto en el interior del segmento A1 A2 . Lo que implica que (x(t), y(t)) cruza a la transversal L en (x(t ), y(t )) en la dirección opuesta a la dirección en que cruza a
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
64
(x(t2 ), y(t2 )). Esto contradice la Propiedad 3.2.2.
Figura 3.2.6: Diagrama del Caso I. = A2 puesto que de lo contrario O(S ) se cortaría a sí misma y no sería una Además, A 3 / A1 A2 . Todos los puntos en curva cerrada. Por el argumento del párrafo anterior A3 ∈ L, a la izquierda de A1 están en el exterior de C . Por lo tanto, A3 está a la derecha de A2 . El resto de la demostración sigue por inducción desde el Caso I que también tiene A3 , es decir, existe > 0 tal que si t ∈ (t2 , t2 + ), entonces (x(t), y(t)) es un elemento en el interior de la curva cerrada simple formado por el segmento A 2 A3 y la curva
{(x(t), y(t))/t ∈ [t2, t3]} Caso II. Existe > 0 tal que si t ∈ (t2 , t2 + ), entonces (x(t), y(t)) es un elemento del exterior de C (Ver la Figura 3.2.7). Con el mismo tipo de argumento utilizado el Caso I, el conjunto
{(x(t), y(t))/t > t2}, está en el exterior de C . Los pasos restantes son análogos a los del Caso I, excepto que en algún paso, es posible reducir el Caso II (Ver la Figura 3.2.8).
Figura 3.2.7: Diagrama del Caso II.
Figura 3.2.8: Diagrama del Caso II, particular. Notemos que en esta demostración, se utiliza sólo las partes 1) y 2) del enunciado del Teorema de la Curva de Jordan.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
65
Ahora indicaremos cómo completar la demostración del Lema 3.2.1, partiendo del Caso I, sin dividir la demostración en casos y sin recurrir a las figuras geométricas (Figura 3.2.6, 3.2.7, 3.2.8). Para esta demostración, se requiere de la parte 3) del Teorema de la Curva de Jordan. Sea C una curva cerrada simple formada por el segmento A 1 A2 y la curva
{(x(t), y(t))/t ∈ [t1, t2]}. Sea p cualquier punto (x(t), y(t)) tal que t > t2 . Si para alguna t > t 2 , la solución cruza A1 A2 , entonces por la Propiedad 3.2.2 de las transversales, ellas deben cruzarse como se indica por las flechas de los trazos en la Figura 3.2.9 . Sea t˜ = sup t > t2 /(x(s), y(s)) / A1 A2 para t2
{
≤ s ≤ t}.
∈
Figura 3.2.9: Diagrama flechas que indican las intersecciones. ˜ (x(t˜), y(t˜)). Entonces se puede probar que existen puntos q y q , como se muestra Sea p = en la Figura 3.2.9, tal que i(C, q ) = i(C, q ),
(por el Teorema de la Curva de Jordan)
(3.2.3)
y
i(C, p) = i(C, q ).
(3.2.4)
(Elijamos q de tal manera que el segmento de pq está suficientemente cerca del segmento A1 A2 .) Pero
i(C, p) = i(C, q ),
(3.2.5)
puesto que el subconjunto de la curva solución entre p y q no cruza A1 A2 . Las ecuaciones (3.2.4) y (3.2.5) contradicen (3.2.3). Por tanto, si t > t2 , entonces la solución no cruza A 1 A2 . Sea E 0 el punto final de L que está a la izquierda de A1 , desde A2 . Falta demostrar que para t > t2 , la curva solución no cruza el segmento E 0 A1 . Supongamos que la curva cruza E 0 A1 . Sea t3 = m´ın t/t > t2
{
∧
(x(t), y(t))
∈ E 0A1},
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
66
y sea B = (x(t3 ), y(t3 )).
Como la intersección debe producirse en la dirección indicada en la Figura 3.2.9, entonces si el punto r está definido en la Figura 3.2.9, obtenemos que i(C, p) = i(C, r),
(3.2.6)
(pues la parte de la órbita que une los puntos p y r no intersecta la curva C ), además i(C, r) = i(C, q ),
(3.2.7)
si el segmento rq está suficientemente cerca del segmento A1 A2 . Pero por (3.2.4) y (3.2.5), i(C, q ) = i(C, p).
(3.2.8)
Pero las relaciones (3.2.6), (3.2.7) y (3.2.8) implican una contradicción. Esto completa la demostración del Lema 3.2.1.
Lema 3.2.2. Si L es una transversal, entonces L ∩ Ω(S ) contiene a lo más un punto. Demostración: Como L es una transversal, entonces no contiene puntos de equilibrio. Por Lema 3.2.1, L ∩ Ω(S ) contiene a lo más un punto, puesto que si L ∩ Ω(S ) contiene (2) dos puntos B 1 y B 2 , entonces por Lema 3.2.1, existen sucesiones A(1) m y Am tales
(2) que l´ım A(1) m = B 1 y l´ım Am = B 2 . Además por el Lema 3.2.1, tenemos que
O(S )
∩ L =
A(1) m
∩ L =
A(2) m
y O(S )
m
m
= B 2 , entonces Como B 1
m
A(1) m =
A(2) m
m
Con lo que obtenemos una contradicción.
Lema 3.2.3. Si O(S ) es una curva cerrada, entonces O(S ) = Ω(S ). Demostración: Primero demostraremos que O(S ) ⊃ Ω(S ). Como O(S ) es una curva cerrada, entonces existen números t 1 , t2 tales que t 1 < t2 y O(S ) = (x(t), y(t))/t
{
∈ [t1, t2]}.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
67
Por lo tanto, O(S ) es compacto (por ser la imagen continua de un compacto) y por lo tanto contiene sus puntos límite. Pero, un punto ω-límite de S es un punto límite de O(S ). Ahora demostraremos que O(S ) ⊂ Ω(S ). Sea T el período de (x(t), y(t)), y (x(t0 ), y(t0 )) ∈ O(S ). Entonces l´ım (x(t0 + mT ), y(t0 + mT )) = l´ım (x(t0 ), y(t0 )) = (x(t0 ), y(t0 )).
m→∞
m→∞
= φ , entonces O(S ) es una curva cerrada. Lema 3.2.4. Si Ω(S ) ∩ O(S )
Demostración: Si A ∈ Ω(S ) ∩ O(S ), entonces A es un punto regular puesto que cada punto de O(S ) es un punto regular. Si O(S ) no es una curva cerrada, entonces por Lema 3.2.1 existe una sucesión de puntos distintos { An } tal que para todo n, An ∈ O(S ) ∩ L, donde L es una transversal que tiene A como un punto interior. Pero O(S ) ⊂ Ω(S ), puesto que Ω(S ) es invariante. De donde
{An} ⊂ O(S ) ∩ L ⊂ Ω(S ) ∩ L, lo contradice el Lema 3.2.2.
Lema 3.2.5. Si Ω(S ) no contiene puntos de equilibrio y si Ω(S ) ⊃ O(S 1 ), donde S 1 es una solución periódica, entonces Ω(S ) ⊂ O(S 1 ). Demostración: Supongamos que el conjunto Q = [Ω(S )]
∩ [O(S 1)]c
es no vacío. Como el conjunto O(S 1 ) es un conjunto cerrado, el conjunto Q no es cerrado, porque de lo contrario Ω(S ) = O(S 1 )
∪Q
es la unión de dos conjuntos acotados, cerrados y disjuntos, lo que contradice que el conjunto Ω(S ) es conexo. Ahora demostremos que existe un punto límite p de Q tal que p ∈ O(S 1 ) usando el = φ y no es cerrado, entonces Q es infinito. Además Q es siguiente argumento: como Q acotado pues Ω(S ) es acotado. Entonces, Q tiene un punto límite p tal que p ∈/ Q (Por Teorema de Bolzano-Weierstrass). Por lo tanto p
∈ QC = [Ω(S )]C ∪ O(S 1).
Como p un punto límite de Q, entonces p es un punto límite de la Ω(S ). Pero Ω(S ) es cerrado. Por lo tanto p ∈ Ω(S ). Como p
∈ [Ω(S )]C ∪ O(S 1),
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
68
se deduce que p ∈ O(S 1 ). Sea L una transversal tal que p es un punto interior de L. Si N ( p) es una vecindad circular de p de radio > 0, entonces el conjunto N ( p)
∩ Q = [N ( p)] ∩ {Ω(S ) ∩ [O(S 1)]C },
es no vacío (ya que p es un punto límite de Q ) y se compone de puntos regulares, puesto que por hipótesis, Ω(S ) no contiene puntos de equilibrio. Sea q ∈ N ( p) ∩ Q. Por la Propiedad 3.2.4, L es intersectada en el punto p por una órbita O(S 2 ) a través de q . O(S 2 ) está contenido en Ω(S ), porque q ∈ Ω(S ) y Ω(S ) es invariante. Como q ∈ [O(S 1 )]C , entonces O(S 2 )
∩ O(S 1) = φ.
Por lo tanto, como p
∈ O(S 1) ∩ L ⊂ Ω(S ) ∩ L,
p
∈ O(S 2) ∩ L ⊂ Ω(S ) ∩ L,
y
se deduce que los puntos p y p son puntos distintos en Ω(S ) ∩ L. Esto contradice el Lema 3.2.2.
Demostración del Teorema de Poincaré-Bendixson: Ver [2], [3], [4], [5], [8]. Sea p ∈ Ω(S ). Como Ω(S ) no contiene puntos de equilibrio, entonces existe una solución S con órbita O(S ) tal que p ∈ O(S ). Como Ω(S ) es invariante, entonces O(S ) ⊂ Ω(S ). Si p ∈ Ω(S ), entonces p ∈ O(S ) o p es un punto límite de O(S ). Por lo tanto, como Ω(S ) es un conjunto cerrado, obtenemos Ω(S )
⊂ Ω(S ).
Además, como Ω(S ) no contiene puntos de equilibrio, entonces p es regular. Ahora por Propiedad 3.2.1 de las transversales, existe una transversal L, tal que p es un punto interior de L, y por el Lema 3.2.2, L
∩ Ω(S ) = p.
Como O(S ) ⊂ Ω(S ), entonces L ∩ [O(S )] contiene a lo más un punto. Por lo tanto, por el Lema 3.2.1, S es periódica. Como O(S ) ⊂ Ω(S ), entonces por el Lema 3.2.5, Ω(S ) = O(S ).
Si S es periódica, entonces por el Lema 3.2.3, O(S ) = Ω(S ) = O(S ).
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
69
Si S no es periódica, entonces por el Lema 3.2.4, Ω(S )
∩ O(S ) = φ,
O(S )
∩ O(S ) = φ.
y como O(S ) = Ω(S ), entonces
O(S ) es una curva cerrada simple y O(S ) es conexo. Por lo tanto, O(S ) está en el interior de O(S ) o en el exterior de O(S ). Sea q O(S ). Como q es regular, entonces existe una transversal L , tal que q es un punto interior de L . Dado que S es no periódica, entonces
∈
por el Lema 3.2.1, [O(S )]
∩ L = {Am}
(3.2.9)
donde { Am} es una sucesión de puntos distintos ordenados linealmente en L (por el orden de los índices m ), y l´ımm→∞ Am = q . Además, si U es un conjunto abierto tal que O(S )
⊂ U, entonces existe un número τ 0 tal que si t ≥ τ 0 , entonces (x(t), y(t)) ∈ U.
(3.2.10)
La solución S se acerca a Ω(S ) = O(S ), describiendo una espiral en el sentido descrito por (3.2.9) y (3.2.10). Esto completa la demostración del Teorema de PoincaréBendixson.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
3.3.
70
Discusión y Aplicaciones del Teorema de Poincaré Bendixson.
Ahora discutiremos la importancia, limitaciones y aplicaciones del Teorema de PoincaréBendixson. Como se señaló anteriormente, la demostración del Teorema de Poincaré-Bendixson depende en gran medida de la aplicación del Teorema de la Curva de Jordan. También la idea intuitiva, de que una solución acotada se aproxima a una solución periódica, ya no tiene mucha validez si la solución se mueve en un espacio n-dimensional, donde n > 2 . En consecuencia, es natural esperar que no exista una generalización n-dimensional del Teorema de Poincaré-Bendixson. De hecho, es fácil construir contraejemplos que muestren que no es posible una generalización n -dimensional. Lo que nos interesa principalmente del Teorema de Poincaré-Bendixson es que el proporciona un medio para establecer la existencia de soluciones periódicas. En primer lugar, indicaremos los métodos para demostrar que las hipótesis del Teorema de Poincaré-Bendixson se cumplen. Luego discutiremos las propiedades de estabilidad de los ciclos límite. El problema de mostrar que Ω(S ) no contiene puntos de equilibrio es a menudo resuelto estudiando los puntos de equilibrio en sí mismos y mostrando que ninguno de ellos es un punto ω -límite. Por ejemplo, si (x0 , y0 ) es un punto de equilibrio de x = f (x, y) y = g(x, y)
y si los valores propios de la matriz
f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) gx (x0 , y0 ) gy (x0 , y0 )
tienen ambos parte real positiva, entonces se puede mostrar que (x0 , y0 ) no es un punto ω -límite de cualquier solución. Hay que destacar que este procedimiento no es, en general, simple porque si f (x, y) y g(x, y) son funciones complicados, la determinación de los puntos de equilibrio pueden requerir un cálculo no trivial. Ahora estudiaremos algunas de las propiedades de estabilidad de los ciclos límite, es decir, las soluciones periódicas que son conjuntos Ω-límite de ciertas soluciones acotadas. Para ver la variedad de comportamientos que pueden ocurrir, consideremos en primer lugar algunos ejemplos.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
71
Ejemplo 3.3.1. Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales dx dt dy dt
=
−y +
x
x2
+ y2
y
= x+
x2
+ y2
[1
[1
− (x2 + y2)]
− (x2 + y2)]
Usando coordenadas polares tenemos que r2 = x 2 +y2 , es decir, r = escibir el sistema (3.3.1) como: dx dt dy dt
= =
(3.3.1)
−y + xr [1 − r2] y x + [1 − r2 ] r
x2 + y2 y podemos
(3.3.2) (3.3.3)
Como rr = xx + yy
entonces multiplicando (3.3.2) por x y (3.3.3) por y y sumando obtenemos rr = r(1
− r2 )
ó r = 1
− r2.
Como
θ =
xy
− yx
r2
entonces multiplicando (3.3.2) por −y y (3.3.3) por x y sumando obtenemos x2 + y2 θ = =1 r2
Ahora (3.3.4) puede ser escrito como: 1 2
1 2
r 1
−
r + = 1 r 1+r
ó
dr dr + = dt 1+r 1 r
−
e integrando obtenemos ln
− 1+r 1 r
= 2t + C
−
1 + r0 = 2t + ln 1 r0
(3.3.4)
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
72
donde r = r0 en t = t 0 . Si 0 < r < 1, entonces
1+r 1 + r0 2t = e 1 r 1 r0
ó
−
(3.3.5)
−
r =
Ke 2t 1 Ke 2t + 1
K =
r =
Ke 2t + 1 Ke 2t 1
−
donde
Si r > 1, entonces
1 + r0 1 r0
−
−
(3.3.6)
Por (3.3.5) y (3.3.6), se demuestra que r → 1 cuando t → ∞. Además r = 1 es la órbita de una solución periódica. Por lo tanto, (3.3.5) muestra que toda solución dentro del círculo de r = 1 describe una espiral que se aproxima desde el interior a la circunferencia unitaria y toda solución fuera del círculo de r = 1 describe una espiral que se aproxima desde el exterior a la circunferencia unitaria. También vemos que r = 1 es orbitalmente asintóticamente estable y asintóticamente estable en el plano fase. Así la solución x(t) = cos[θ(t)] y(t) = sen[θ(t)]
donde θ(t) = t , es un ciclo límite, además toda la solución se aproxima a este ciclo límite. Si todos los ciclos límite tuvieran propiedades de estabilidad tan fuertes, el Teorema de Poincaré-Bendixson sería mucho más valorado en la Matemática Aplicada. Desafortunadamente, muchos ciclos límite no tienen propiedades de estabilidad con alguna relevancia física, como se muestra ahora con ejemplos. Si se estudia un sistema físico descrito por estas ecuaciones, entonces si existieran pequeñas perturbaciones del sistema, las soluciones de las ecuaciones no podrían ser utilizadas para hacer predicciones definitivas sobre el comportamiento del sistema físico. Sería posible predecir que después de transcurrido un tiempo suficiente, tanto x(t) e y(t) serían menor o igual a uno (la órbita estaría en el círculo unitario), pero no se pueden hacer otras predicciones sobre los valores de x(t) e y(t). Si una pequeña perturbación lleva al sistema físico de una órbita circular a otra, no habría ninguna tendencia a que el sistema físico retorne a la órbita original. Por lo tanto, si las pequeñas perturbaciones ocurren con bastante frecuencia, la única predicción que se podría hacer es que (x(t), y(t)) tendería a permanecer en el círculo unitario. Ciertamente no se podría hacer predicciones de periodicidad.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
73
Ejemplo 3.3.2. Este ejemplo ilustra el Teorema de Poincaré-Bendixson, consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales dx dt dy dt
= x
−y
= x+y
− −
3 x + y2 x = f (x, y) 2 1 x2 + y2 y = g(x, y) 2 2
(3.3.7)
Para demostrar que el sistema (3.3.7) tiene soluciones periódicas se intenta encontrar dos círculos centrados en el origen, tal que las trayectorias del sistema sobre ellos estén orientadas hacia la región que limitan. Si se utilizan coordenadas polares, x = r cos θ e y = sen θ, esta condición impone que r sea positiva sobre el círculo interior, y negativo sobre el círculo exterior. Tomando r2 = x 2 + y2 , rr = xx + yy
− x4 − 12 y4 − 52 x2y2 1 r2 − r 4 + y2 (y 2 − x2 ) 2 1 1 r2 − r 4 1 + cos2θ − cos2 2θ 4 4
= x2 + y2 = =
ó
r = r
−r
3
1 1 + cos2θ 4
−
1 cos 2 2θ 4
(3.3.8)
El coeficiente de r 3 está acotado, pues 1 2
17 ≤ 1 + 14 cos2θ − 14 cos2 2θ < 16
Encontramos que r > 0 para r = 1/2 y r < 0 para r = 2. De manera que una región M apropiada para aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson es
M = (x, y)
∈ 2/(1/2)2 < x2 + y2 < 22
.
Sin embargo, el análisis puede refinarse un poco más, de forma de encontrar la corona circular más angosta que contega la solución periódica. La región más ajustada es tangente a la trayectoria cerrada en algún punto, en los cuales r = 0. Operando (3.3.8) encontramos que (r, θ) deben satisfacer 4
− 1 p2
1 = cos 2θ
− cos2 2θ.
Como −2 ≤ cos2θ − cos2 2θ < 1/4, el radio p debe satisfacer −2 ≤ 4( p−2 − 1) ≤ 1/4 de donde
√ 417 ≤ p ≤ √ 2.
CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE POINCARÉ-BENDIXSON.
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En la Figura 3.3.1 se muestra la región M y el ciclo límite del sistema.
Figura 3.3.1: Dominio M y ciclo límite del sistema (3.3.7). Es decir, cualquier solución que se inicie en la región anular M , permanecerá en ésta región anular para t ≥ t0 . Como (0, 0) no está contenido en la cerradura de M , entonces podemos aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson.
Ejemplo 3.3.3. En este ejemplo se ilustra una aplicación del Teorema de PoincaréBendixson al proceso bioquímico de glicólisis. En el proceso bioquímico denominado glicólisis, las células vivientes obtienen energía degradando azúcar. En algunos casos, la glicólisis puede darse de modo oscilatorio, con concentraciones que aumentan y disminuyen a medida que pasa el tiempo. Sel’kov (1968) ha propuesto un modelo simple para estas oscilaciones. Las ecuaciones adimensionales son dx dt dy dt
= =
−x + ay + x2 b − ay − x2 y
(3.3.9)
donde x e y son las concentraciones de ADP(adenosindifosfato) y F6P (fructosa-6fosfato), y a,b > 0 son parámetros cinéticos. Se desea encontrar el domino M para este sistema: un conjunto atractivo para las trayectorias del sistema, que no contenga ningún punto de equilibrio, y tal que toda solución que inicie en M permanezca en M para todo t > 0 . Para bosquejar el comportamiento del campo vectorial se grafican las curvas sobre las ˙ 0 ó y = ˙ 0. La primera ecuación indica que x = ˙ 0 sobre la curva y = x/(a+x2 ), cuales x = y de la segunda ecuación se encuentra que y˙ = 0 sobre la curva y = b/(a + x2 ). Estas dos curvas se muestran en la Figura 3.3.2, junto con algunos vectores de campo representativos.
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Para determinar el sentido de los vectores, debe tenerse en cuenta que, por definición, las ˙ 0, y horizontales sobre la curva y = ˙ 0. En otras flechas son verticales sobre la curva x = zonas la dirección del flujo está determinada por los signos de x˙ e y˙ = 0: por ejemplo, en la región que está por encima de ambas curvas, la ecuación (3.3.9) implica que x˙ > 0 e y˙ < 0, de manera que las flechas apuntan hacia abajo y hacia la derecha, como se muestra en la Figura 3.3.2.
Figura 3.3.2: Direcciones del campo vectorial del sistema (3.3.9). Para aplicar el teorema de Poincaré-Bendixson es necesario hallar una región M que sea atractiva, y que no contenga puntos de equilibrio. A continuación se demuestra que la región encerrada por la línea de puntos de la Figura 3.3.3 es atractiva, es decir, que todos los vectores de campo sobre el borde de la región apuntan hacia adentro de la misma.
Figura 3.3.3: Región atractiva para el sistema (3.3.9).
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Sobre los lados vertical y horizontal la dirección de los vectores resulta del análisis efectuado para la Figura 3.3.2. La dificultad de la construcción es probar que los vectores de campo apuntan hacia adentro de la región sobre los bordes de la diagonal de pendien˙ 0. te (−1) que se extiende desde el punto (b, b/a) hasta la curva y = x/(a+x2 ), donde x = Para corroborar este hecho se estudia el comportamiento de x˙ e y˙ para valores grandes de x˙ . Entonces, x˙ ≈ x2 y e y˙ ≈ −x2 y , de modo que a lo largo de las trayectorias la ˙ x˙ ≈ −1. Por lo tanto, para x grande el campo vectorial es pendiente es dy/dx = y/ aproximadamente paralelo a la línea diagonal de pendiente ( −1). Esto sugiere que en un cálculo más preciso se deben comparar los tamaños de x˙ e −y˙ para x suficientemente grande. En particular, analizando x˙ − (−y) ˙ se encuentra que x˙
− (−y)˙
= =
−x + ay + x2y + (b − ay − x2y) b − x.
Luego,
−y˙ > x,˙
si x > b.
Esta inecuación implica que el campo vectorial apunta hacia adentro de la región sobre la línea diagonal (ver Figura 3.3.3) ya que dy/dx es más negativa que (−1), y por lo tanto los vectores tienen mayor pendiente que la diagonal. De esta manera se concluye que la región bajo estudio es atractiva, como se había supuesto. Como en la intersección de las curvas y = x/(a + x 2 ) e y = b/(a + x 2 ) hay un pun˙ y˙ = 0), y este punto está contenido en la región atractiva, to de equilibrio (ya que x = no se puede concluir que exista una órbita cerrada dentro de esta zona pues no se satisfacen las condiciones del Teorema de Poincaré-Bendixson. Sin embargo, si el punto fijo es repulsor se puede probar la existencia de una órbita cerrada considerando la región modificada (agujereada) que se muestra en la Figura 3.3.4. El agujero es infinitesimal, pero se ha dibujado más grande para claridad. El repulsor envía todas las trayectorias hacia la región sombreada de la Figura, y como esta región está libre de puntos fijos, se puede aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson.
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Figura 3.3.4: Dominio M para el sistema (3.3.9). Las condiciones bajo las cuales el punto fijo es repulsor (nodo o foco inestable) se obtienen analizando el jacobiano. El modelo linealizado es
− x˙ = y˙
1 + 2xe ye 2xe ye
a + x2e (a + x2e )
−
x y
y el punto fijo está dado por xe = b,
ye =
b . a + b2
En este punto de equilibrio, el jacobiano tiene determinante ∆ = a + b2 , y su traza es τ =
b4 + (2a
− 1)b2 + (a + a2) . a + b2
Por lo tanto, el punto fijo es inestable para τ > 0 e inestable para τ < 0. La línea divisoria ocurre cuando τ = 0, es decir cuando 1 b2 = (1 2
− 2a√ 1 − 8a).
Esta ecuación define una curva en el espacio de parámetros (a, b) que se muestra en la Figura 3.3.5. Para parámetros dentro de la zona sombreada, que corresponde a τ > 0 , el sistema tiene una órbita cerrada.
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Figura 3.3.5: Región en el espacio de parámetros (a, b) para la cual el sistema (3.3.9) presenta soluciones periódicas. La integración numérica del sistema muestra que existe un ciclo límite para a = 0,08, b = 0,6, tal como se observa en la Figura 3.3.6.
Figura 3.3.6: Soluciones periódicas en el plano fase xy .
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Comentarios Finales 1. Sobre la bibliografía usada:
a ) El libro de Robinson [9] es muy detallado y requiere más conocimientos de topología y análisis que otros. Sin embargo, es autocontenido y las definiciones de los conceptos topológicos y analíticos se encuentran en el libro. b ) El libro de Hasselblatt et al. [5], tiene una orientación topológica y analítica de los sistemas dinámicos. Se da una demostración del Teorema de PoincaréBendixson sobre la esfera S 2 . c ) El libro de Perko [8], da una demostración más simple del Teorema de PoincaréBendixson, que los libros citados anteriormente y da una demostración detallada. d ) El libro de Strogatz [10], es fácilmente accesible para un nivel de pregrado, y muy adecuado para iniciar el aprendizaje de los sistemas dinámicos. 2. Extensiones del Teorema de Poincaré-Bendixson: Este teorema ha ocupado a un gran número de matemáticos del siglo XX, puesto que restringe bastante el comportamiento de un sistema dinámico. Sin embargo su validez en espacios distintos de la esfera es muy limitada. En cuanto a las vías para generalizar el resultado se han seguido dos caminos dependiendo de si estamos ante flujos derivados de ecuaciones diferenciales o flujos generales. Para flujos derivados de ecuaciones diferenciales en 1932 Arnold Denjoy puso de manifiesto la existencia de flujos de la clase C 1 sobre el toro sin puntos fijos ni órbitas periódicas, lo que implica que dicho teorema no es válido en el toro. La validez del teorema para flujos de clase C 2 sobre superficies compactas y conexas fue establecida por A. Schwartz en 1963. Por otro lado, la generalización del teorema, o la consecución de un contraejemplo para la esfera n -dimensional fue lograda por P. A. Schweitzer en el año 1987, quien logró construir contraejemplos a la conjetura de clase C 1 en cualquier variedad de dimensión 3 . La otra vía de extensión del resultado de Poincaré-Bendixson consiste en rebajar la hipótesis de la clase de diferenciabilidad, y plantearse si el teorema se satisface para flujos continuos que no derivan de la resolución de ecuaciones diferenciales. Por último, citemos los siguientes progresos parciales que han permitido la extensión del Teorema de Poincaré-Bendixson:
a ) H. Whitney y M. Bebutov definieron y probaron la existencia de secciones transversales para flujos definidos sobre espacios métricos. b ) H. Bohr y W. Fenchel, demostraron en 1936 que en el plano no existen puntos recurrentes no triviales para flujos continuos. c ) O. Hajek, consiguó la generalización del Teorema de Poincaré-Bendixson para flujos continuos.