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DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y MATEMÁTICAS EJERCICIOS UNIDAD UNIDAD 1 ESTADÍSTICA II SEMESTRE 2014 – II II EJERCICIOS PROPUESTOS Nro. 1. Texto Freud, John. Irwin Miller y Marylees Miller. Estadística matemática con aplicaciones. Pearson – Prentice-Hall. Sexta edición. 2000. Ejercicio 8.1 Use el las propiedades de la covarianza para mostrar que si X 1, X 2 X n constituyen una muestra aleatoria de una población infinita, entonces ,…,
cov X r X , X 0, r 1, 2, 3, ..., n
Ejercicio 8.2 Use las propiedades de la esperanza y varianza para mostrar que si X 11 1122, 11, X X 1n1 X 2n 1n1 y X 21 2222, 21, X 2n son variables aleatorias independientes, donde las primeras n1 constituyen una muestra aleatoria de una población infinita con la media y la varianza y las otras n constituyen una muestra aleatoria de una población infinita con la media y la varianza , entonces … ,
…,
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a) E X1 X 2 1 2 ; 12 22 b) var X1 X 2 . n1 n2
Ejercicio 8.21 Para muestras aleatorias de una población infinita, ¿qué pasa con el error estándar de la media si el tamaño de la muestra se a) aumenta de 30 a 120; b) aumenta de 80 a 180; c) disminuye de 450 a 50; d) disminuye de 250 a 40? Ejercicio 8.23 Se toma una muestra aleatoria de tamaño n = 100 de una población infinita con la media 75 y la varianza 2 256. Con base en el teorema del límite central, ¿con qué probabilidad podemos afirmar que el valor que obtenemos para X caerá entre 67 y 83? Ejercicio 8.26 Se tomará una muestra aleatoria de tamaño n = 225 de una población exponencial con 4 . Con base en el teorema del límite central, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra excederá 4.5?
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Ejercicio 8.27 Se tomará una muestra aleatoria de tamaño n = 200 de una población uniforme con 24 y 48. Basado en el teorema del límite central, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra será menor que 35? Ejercicio 8.28 Se toma una muestra aleatoria de tamaño 64 de una población normal con 51.4 y 6.8. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra a) excederá 52.9; b) caerá entre 50.5 y 52.3; c) será menor que 50.6? Ejercicio 8.29 Se toma una muestra aleatoria de tamaño 100 de una población normal con 25. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra diferirá de la media de la población por 3 o más en cualquier dirección? Texto de Newbold “Estadística para los Negocios y la Economía” capitulo 6, páginas 203 – 208
Ejercicio 1. Cuando un cierto proceso de producción está funcionando correctamente, la resistencia en ohmios de los componentes producidos sigue una distribución normal con media 92 y desviación típica 3,6. Se toma una muestra aleatoria de cuatro componentes. a) Hallar la media de la distribución muestral de la media muestral de la resistencia. b) Hallar la varianza de la media muestral. c) Hallar el error estándar de la media muestral. d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral resulte ser mayor que 93 ohmios? Ejercicio 3. El consumo de combustible, en kilómetros por litro, de todos los coches de cierto modelo tiene media diez y desviación típica dos. Puede asumirse que la distribución poblacional es normal. Se toma una muestra aleatoria de estos coches. a) Hallar la probabilidad de que la media muestral del consumo de combustible sea menor que diez kilómetros por litro si i) se ha tomado una muestra de una observación. ii) se ha tomado una muestra de cuatro observaciones. iii) Se ha tomado una muestra de dieciséis observaciones. b) Explicar por qué las tres respuestas de (a) son iguales. Hacer un gráfica para ilustrar el razonamiento. Ejercicio 4. El precio medio de venta de casas nuevas durante el último año en cierta ciudad americana fue de 115.000 dólares. La desviación típica de la población fue de 25.000 dólares. Se toma una muestra aleatoria de 100 casas nuevas de esta ciudad. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea menor que 110.000 dólares? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 113.000 dólares y 117.000 dólares? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta esté entre 114.000 y 116.000 dólares?
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d) Sin hacer los cálculos, razonar en cuál de los siguientes rangos resulta más probable que se encuentre la media muestral de los precios de venta: 113.000 dólares 115.000 dólares, 114.000 dólares 116.000 dólares, 115.000 dólares 117.000 dólares, 116.000 dólares 118.000 dólares. – – – –
Ejercicio 5. Los candidatos a empleados del departamento de bomberos de cierta ciudad han de realizar un examen de actitudes. Las puntuaciones en dicho examen siguen una distribución normal con media 280 y desviación típica 60. Se toma una muestra aleatoria de nueve puntuaciones de estos exámenes. a) ¿Cuál será el error estándar de la media muestral de las puntuaciones? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea menor que 270? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de las puntuaciones sea mayor que 250? d) Supongamos que la desviación típica poblacional fuese 40 en lugar de 60. Sin repetir los cálculos, establecer cómo cambiarían las respuestas a los apartados (a), (b) y (c). Ilustrar las conclusiones con los gráficos adecuados. Ejercicio 7. Una compañía produce cereales para el desayuno. La media del peso que contienen las cajas de estos cereales es de doscientos gramos y su desviación típica de seis gramos. La distribución de los pesos en la población es normal. Se eligen cuatro cajas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria del total de la producción. a) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral del peso de estas cuatro cajas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como media, el peso de estas cuatro cajas sea menor que 197 gramos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que, como media, el peso de estas cuatro cajas sea mayor que 206 gramos? d) ¿Cuál es la probabilidad de que, como media, el peso de estas cuatro cajas esté entre 195 y 205 gramos? e) Se eligen al azar dos de estas cuatro cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que, como media, el contenido de estas dos cajas pese entre 195 y 205 gramos? Ejercicio 8. Supongamos que la desviación típica de la cuota pagada mensualmente por los estudiantes de cierta ciudad americana es de 40 dólares. Se toma una muestra de 100 estudiantes con el fin de estimar la renta media pagada mensualmente por el total de la población de estudiantes. a) ¿Cuál será el error estándar de la media muestral de la cuota mensual? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda a la media poblacional en más de cinco dólares? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté más de cuatro dólares por debajo de la media poblacional? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de tres dólares?
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Ejercicio 9. El tiempo que dedican a estudiar los estudiantes de cierta universidad en la semana anterior a los exámenes finales sigue una distribución normal con una desviación típica de ocho horas. Se toma una muestra aleatoria de cuatro estudiantes con el fin de estimar el tiempo medio de estudio para esta población de estudiantes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral exceda a la media poblacional en más de dos horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté más de tres horas por debajo de la media poblacional? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral difiera de la media muestral difiera de la media poblacional en más de cuatro horas? d) Supongamos que se toma una segunda muestra de diez estudiantes, independiente de la anterior. Sin hacer los cálculos, razonar si las probabilidades calculadas en los apartados (a), (b) y (c) serán mayores, menores o iguales para esta segunda muestra. Ejercicio 10. Un proceso industrial produce lote de un cierto producto químico cuyos niveles de impureza siguen una distribución normal con una desviación típica de 1,6 gramos. Se selecciona una muestra de 100 lotes a fin de estimar la media poblacional del nivel de impurezas. a) 0,05 es la probabilidad de que la media muestral del nivel de impurezas exceda a la media poblacional, ¿en qué cantidad? b) 0,1 es la probabilidad de que la media muestral del nivel de impurezas esté por debajo de la media poblacional, ¿en qué cantidad? c) 0,15 es la probabilidad de que la media muestral del nivel de impurezas difiera de la media poblacional, ¿en qué cantidad? Ejercicio 11. Las tasas de rentabilidad de cierto tipo de acciones siguen una distribución con una desviación típica de 3,8. Se extrae una muestra de tales acciones con el fin de estimar el precio medio. a) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para asegurarnos de que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en una cantidad superior a 1 sea menor que 0,1? b) Sin realizar los cálculos, razonar si será preciso un tamaño muestral mayor o menor que el requerido en el apartado (a) para garantizar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de 1 sea menor que 0,05. c) Sin realizar los cálculos, razonar si será preciso un tamaño muestral mayor o menor que el requerido en el apartado (a) para garantizar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de 1,5 sea menor que 0,1. Ejercicio 12. El tiempo que dedican a estudiar los estudiantes de cierto campus en la semana anterior a los exámenes finales sigue una distribución normal con una desviación típica de 8,4 horas. Se toma una muestra aleatoria de estos estudiantes con el fin de estimar el tiempo medio de estudia para esta población de estudiantes. a) ¿Qué tamaño ha de tener la muestra para poder asegurar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de dos horas sea menor que 0,05?
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b) Sin realizar los cálculos, razonar si se requerirá un tamaño muestral mayor o menor que el del apartado (a) para poder garantizar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de dos horas sea menor que 0,10? c) Sin realizar los cálculos, razonar si se requerirá un tamaño muestral mayor o menor que el del apartado (a) para poder garantizar que la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional en más de 1,5 horas sea menor que 0,05. Texto de Canavos “Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos” capitulo 7, páginas 244 – 2.47
Ejercicio 7.3.
Ejercicio 7.11 Una tienda de artículos eléctricos para el hogar vende tres diferentes marcas de refrigeradores. Sean X 1, X 2 y X 3 variables aleatorias las cuales representan el volumen de ventas mensual para cada una de las tres marcas de refrigeradores. Si X 1, X 2 y X 3 son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con medias $8.000, $15.000 y $12.000, y desviaciones estándar $2.000, $5.000 y $3.000, respectivamente, obtener la probabilidad de que, para un mes en particular, el volumen de venta total para los tres refrigeradores sea mayor de $50.000. Ejercicio 7.15 Para cierta prueba de aptitud se sabe con base en la experiencia que el número de aciertos es 1.000 con una desviación estándar de 125. Si se aplica la prueba a 100 personas seleccionadas al azar, aproximar las siguientes probabilidades que involucran a la media muestral X . a) P 985 X 1015 b) P 960 X 1040 c) P X 1020 d) P X 975 Ejercicio 7.16 Un contratista piensa comprar una gran cantidad de lámparas de alta intensidad a cierto fabricante. Éste asegura al contratista que la duración promedio de las lámparas es de 1.000 horas con una desviación estándar igual a 80 horas. El contratista decide comprar las lámparas sólo si una muestra aleatoria de 64 de éstas da como resultado una vida promedio de por lo menos 1.000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que el contratista adquiera las lámparas?
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Ejercicio 7.17 Un inspector federal de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en éstas. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750 gr con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. Bajo estas condiciones, ¿qué tan probable es tener un peso de 748 o menos? ¿Qué actitud debe tomar el inspector? Ejercicio 7.18 En la fabricación de cojinetes para motores, se sabe que el diámetro promedio es de 5 cm con una desviación estándar igual a 0.005 cm. El proceso es vigilado en forma periódica mediante la selección aleatoria de 65 cojinetes, midiendo sus correspondientes diámetros. El proceso no se detiene mientras la probabilidad de que la media muestral se encuentre entre dos límites especificados sea de 0.95. Determinar el valor de estos límites. Ejercicio 7.19 En la producción de cierto material para soldar se sabe que la desviación estándar de la tensión de ruptura de este material es de 25 libras. ¿Cuál debe ser la tensión de ruptura promedio del proceso si, con base en una muestra aleatoria de 50 especímenes, la probabilidad de que la media muestral tenga un valor mayor de 250 libras es de 0.95? Ejercicio 7.27. El gerente de una refinería piensa modificar el el proceso para producir petróleo crudo. El gerente hará la modificación sólo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo proceso aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en un experimento de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso fue 24.6 con una desviación estándar de 2.3, y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El Gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias normales independientes con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso? Texto guía Ejercicio 8.17. Si se extraen todas las muestras posibles de tamaño 16 de una población normal con media 50 y desviación estándar 5, ¿Cuál es la probabilidad de la media muestra X caiga en un intervalo que va desde X 1.9 X hasta X 0.4 X Ejercicio 8.20. Dada la población uniforme discreta con fdp 13 , x 2,4,6 f ( x) 0, en otro caso
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 54, seleccionada con reemplazo, tomada de esta población produzca una media muestral mayor o igual a 4.1 pero menor que 4.4.
Ejercicio 8.21. Una maquina de bebidas gaseosas se ajusta de forma que la cantidad de bebida que se sirve promedie 240 mililitros con una desviación estándar de 15 mililitros. La maquina se verifica en forma periódica tomando una muestra aleatoria de 40 bebidas y
7 calculando su promedio. Si la media muestral cae en un intervalo de la forma X 2 X , se piensa que maquina está operando de forma satisfactoria; en caso contrario, se ajusta el proceso. En una muestra particular se encontró que x 236 mililitros y el gerente concluyo que la maquina no necesitaba ajuste. ¿Fue ésta una decisión razonable? Justifique. Ejercicio 8.23. La variable aleatoria X , que representa el número de cerezas que tiene una tarta, tiene la siguiente fdp x
P( X = x)
4 0.2
5 0.4
6 0.3
7 0.1
a) Encuentre la media y varianza de X b) Encuentre la media y la varianza de X para muestras aleatorias de tamaño n = 36 de tartas de cereza. c) Calcule la probabilidad de el número medio de cerezas en 36 tortas sea menor que 5.5. Ejercicio 8.28. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 25 de una población normal que tiene una media de 80 y una desviación estándar de 5. Una segunda muestra de tamaño 36 de toma de una población normal independiente de la anterior que tiene una media de 75 y una desviación estándar de 3. Calcule la probabilidad de que la media muestral de la primera muestra exceda la de la segunda por lo menos 3.4 pero menos de 5.9. Ejercicio 8.30. La calificación promedio de los estudiantes de primer año en un examen de aptitudes en cierta universidad es de 540 puntos, con una desviación estándar de 50 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos seleccionados al azar, que constan de 32 y 50 estudiantes difieran en sus calificaciones promedio por más de a) 20 puntos? b) Una cantidad entre 5 y 10 puntos? Ejercicio 8.34. En la fabricación de cierto producto de acero se están utilizando dos aleaciones, la A y la B. Se necesita diseñar un experimento para comparar las dos aleaciones en términos se su capacidad de carga máxima en toneladas, es decir, la cantidad máxima de carga que soportan sin romperse. Se sabe que las dos desviaciones estándar de la capacidad de carga de las dos aleaciones son iguales a 5 toneladas cada una. Se realiza un experimento en que se prueban 30 especímenes de cada aleación (A y B) y se obtiene los siguientes resultados: x A 49.5, xB 45.5, x A xB 4
Los fabricantes de la aleación A están convencidos de que esta evidencia demuestra de forma concluyente A B que la aleación y, por lo tanto, que su aleación es mejor. Los fabricantes de la aleación B afirman que el experimento podría haber resultado x A xB 4 , incluso si las dos medias poblacionales fueran iguales; es decir, los resultados no son concluyentes. a) Encuentre un argumento para poner en evidencia el error de los fabricantes de la aleación B; para ello calcule
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P ( X A X B 4 / A B )
b) ¿Considera que estos datos apoyan fuertemente a la aleación A?
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EJERCICIOS PROPUESTOS Nro. 2. Texto Freud, John. Irwin Miller y Marylees Miller. Estadística matemática con aplicaciones. Pearson – Prentice-Hall. Sexta edición. 2000. Página 292 Ejercicio 8.61 La afirmación de que la varianza de una población normal es 2 25 debe rechazarse si la varianza de una muestra aleatoria de tamaño 16 excede 54.668 o es menor a 12.102. ¿Cuál es la probabilidad de que esta afirmación se rechazará aun cuando 2 25 ? Ejercicio 8.62 La afirmación de que la varianza de una población normal es 2 4 debe rechazarse si la varianza de una muestra aleatoria de tamaño 9 excede 7.7535. ¿Cuál es la probabilidad de que esta afirmación se rechazará aun cuando 2 4 ? Ejercicio 8.63 Una muestra aleatoria de tamaño n = 25 de una población normal que tiene la media x 47 y la desviación estándar s 7 . Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema 8.13, ¿podemos decir que la información dada sustenta la conjetura de que la media de la población es 42 ? Ejercicio 8.64 Una muestra aleatoria de tamaño n = 12 de una población normal tiene la media x 27.8 y la varianza s 2 3.24. Si basamos nuestra decisión en la estadística del teorema 8.13, ¿podemos decir que la información dada sustenta la afirmación de que la media de la población es 28.5 ? Ejercicio 8.65 Si S 1 y S 2 son las desviaciones estándar de variables aleatorias independientes de tamaños n1 = 61 y n2 = 31 de poblaciones normales con 12 12 y 22 18 , encuentre P S12 / S 22 1.16 .
Ejercicio 8.66 Si S y S son las varianzas de las variables aleatorias independientes de tamaños n1 = 10 y n2 = 15 de poblaciones normales con varianzas iguales, encuentre 2
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2
2
P S12 / S 22 4.03.
Texto de Canavos páginas 244 – 247 Ejercicio 7.22 Para un gerente de planta es muy importante controlar la variación en el espesor de un material plástico. Se sabe que la distribución del espesor del material es normal con una desviación estándar de 0.01 cm. Una muestra aleatoria de 25 piezas de este material da como resultado una desviación estándar muestral de 0.015 cm. Si la varianza de la población es (0.01)2 cm2, ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea igual o mayor que (0.015)2 cm2? Por lo tanto, ¿qué puede usted concluir con respecto a la variación de este proceso? Ejercicio 7.23 Si se obtiene una muestra aleatoria de n = 16 de una distribución normal con media y varianza desconocidas, obtener P( S 12 / 2 2.041). Ejercicio 7.24 Si se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n = 21 de una distribución normal con media y varianza desconocidas, obtener P( S 12 / 2 1.421).
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Ejercicio 7.25 Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, en una de sus marcas, es de 0.6 mg. por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de este marca y encuentra que el promedio y la desviación estándar muestral es de 0.75 y 0.175 mg., respectivamente, de nicotina. Si se supone que la cantidad de nicotina en estos cigarrillos es una variable aleatoria normal, ¿qué tan probable es el resultado muestral dado el dato proporcionado por el fabricante? Ejercicio 7.26 Durante los 12 meses pasados el volumen diario de ventas de un restaurante fue de $2.000. El gerente piensa que los próximos 25 días serán típicos con respecto al volumen de ventas normal. Al finalizar los 25 días, el volumen de ventas y su desviación estándar promedio fueron de $1.800 y $200, respectivamente. Supóngase que el volumen de ventas diario es una variable aleatoria normal. Si usted fuese el gerente, ¿tendría alguna razón para creer, con base en este resultado, que hubo una disminución en el volumen de ventas promedio diario? Texto de Newbold: Páginas 214 – 216 Ejercicio 35. Un proceso produce lotes de un producto químico cuyos niveles de concentración de impurezas siguen una distribución normal con varianza 1,75. Se extrae una muestra aleatoria de 20 lotes. Hallar la probabilidad de que la varianza muestral sea superior a 3,10. Ejercicio 37. Los salarios de los contables durante sus primeros años de trabajo siguen una distribución normal con desviación típica de 250.000 pesetas. Se extrae una muestra aleatoria de 16 observaciones. a) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 300.000 pesetas. b) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que 150.000 pesetas. Ejercicio 38. Se quiere someter a todos loes empleados de una gran universidad a un test de 100 preguntas de elección múltiple. Inicialmente, en un estudio piloto, se somete a este a este test una una muestra aleatoria de 20 trabajadores. Supongamos que, para la población completa de todos los trabajadores de la Universidad, la distribución del número de respuestas correctas sigue una normal con varianza de 250. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que 100? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 500? Ejercicio 39. Se ha comprobado que, en cierta ciudad española, las facturas de electricidad durante el período de verano siguen una distribución normal con una desviación típica de 10.000 pesetas. Se toma una muestra aleatoria de 25 facturas. a) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que 7.500 pesetas. b) Hallar la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 15.000 pesetas.
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Ejercicio 40. El número de horas que dedican a ver televisión los estudiantes en la semana anterior a sus exámenes finales sigue una distribución normal con una desviación típica de 4,5 horas. Se toma una muestra aleatoria de 30 estudiantes. a) La probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que 3,5 horas ¿es mayor que 0,95? b) La probabilidad de la desviación típica muestral sea menor que seis horas, ¿es mayor que 0,95? Ejercicio 42. En una empresa se fabrican componentes electrónicos que emiten señales cuya duración sigue una distribución normal. Se extrae una muestra aleatoria de seis componentes, y se mide la duración de las señales que emiten. a) 0,05 es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que ¿qué porcentaje de la varianza poblacional? b) 0,10 es la probabilidad de que la varianza muestral sea menor que ¿qué porcentaje de la varianza poblacional? Ejercicio 43. Se toma una muestra aleatoria de diez acciones de empresas aseguradoras. Supongamos que la distribución de las tasas de rentabilidad de las acciones en la población de todas las empresas aseguradoras es normal. a) 0,10 es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que ¿qué porcentaje de la varianza poblacional? b) Encontrar dos números, a y b, que hagan correcta la frase siguiente: 0,95 es la probabilidad de que la varianza muestral esté entre el a% y el b% de la varianza poblacional. c) Supongamos que se extrae una muestra de 20 acciones. Sin realizar los cálculos, indicar cómo cambiaría esto la respuesta al apartado (b). Ejercicio 44. Se extrae una muestra aleatoria de 15 economistas y se les pregunta sobre su predicción acerca de la tasa de inflación para el próximo año. Supongamos que las predicciones para la población completa de economistas sigue una distribución típica de 1,8%. a) 0,01 es la probabilidad de que la desviación típica muestral sea mayor que ¿qué numero? b) 0,025 es la probabilidad de que la desviación típica muestral sea menor que ¿qué numero? c) Encontrar un par de números tales que la probabilidad de que la desviación típica muestral se encuentre entre estos dos números sea 0,9. Ejercicio 45. Para comprobar la precisión de cierto instrumento, se hacen 12 lecturas de la misma cantidad. La distribución poblacional de las lecturas que hace este instrumento es normal. a) 0,95 es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que ¿qué porcentaje de la varianza poblacional? b) 0,9 es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que ¿qué porcentaje de la varianza poblacional? c) Encontrar un par de números, a y b, que hagan correcta la frase siguiente: 0,95 es la probabilidad de que la varianza muestral esté entre el a% y el b% de la varianza poblacional.
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Texto guía Ejercicio 8.48. Una empresa que fabrica juguetes electrónicos afirma que las baterías que utiliza en sus productos duran en promedio 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 baterías cada mes. Si el valor t calculado cae entre t 0.025 y t 0.025 la empresa queda satisfecha sobre su afirmación. ¿Qué conclusión debería sacar la empresa a partir de una muestra que tiene una media muestral x 27.5 horas y una desviación estándar s = 5 horas? Suponga que la distribución de la duración de las baterías es normal. –
Ejercicio 8.50. Un fabricante de cierta marca de barras de cereal con bajo contenido de grasa afirma que el contenido promedio de grasa saturada en éstas es 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras se encontró que el contenido de grasas saturada era de 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4, y 0.2. ¿Estaría de acuerdo con la afirmación del fabricante? Suponga que la distribución es normal.
