Ejercicios tema 3 1. Un tanque rígido contiene 20 lbm lbm de aire a 20 psi y 70ºF. Se agrega agrega más aire al tanque hasta que la presión y la temperatura se elevan a 35 psi y 90ºF, respectivamente. Determine la cantidad de aire añadida al tanque. Solución
Para determinar la cantidad de masa introducida bastará calcular la masa final y la inicial y restar una de otra, y utilizando la relación entre masa y densidad se obtiene: ∆m = m2 − m1 = V ( ρ2 − ρ 1 ) . Si aplicamos la ecuación de los agses perfectos obtenemos: molecular
PV = nRT → ρ =
del
m
=
V
nM
=
V
PM RT
fluido.
−3 Kg 28.8 x10 M P2 P1 mol ( − )= ∆m = R T2 T1 8.31 J mol·K
siendo M la masa Así
N x 3 5 6 8 9 5 m2 273 + 32.2 K
pues,
N 20 x6895 m 2 − = 1.115 Kg 2 7 3 2 1 . 1 K +
2. Se comprime de forma isotérmica isotérmica agua desde 1 ATA hasta 800 ATA. Si la compresibilidad isotérmica del agua es de 4.8x10 -5 atm-1, ¿cuánto vale el cambio de densidad del agua?. Solución
Para determinar el cambio de densidad hay que emplear la expresión del coeficiente de compresibilidad isotérmica del fluido. 1 ∂ ρ 1 ∆ρ En efecto, α = →α = → ∆ρ = αρ∆P y sustituyendo tenemos: ρ ∂P T ρ ∆P T −5
−1
∆ ρ = (4.8 x10 atm )(10
3
Kg
3
m
3
)(799 atm) = 38.4 Kg / m
3. Se introduce un tubo cuyo diámetro es de 0.03 pulgadas en queroseno queroseno a 68ºF. El ángulo de contacto con el tubo de vidrio es de 26º. Determínese el ascenso capilar. Solución
En primer lugar verificaremos la temperatura a la que se produce el ascenso capilar, que viene dada por: C =
5 9
( F − 32) =
5 9
(68 − 32) = 20º C , es decir a
temperatura estándar. Seguidamente, aplicamos la expresión para el ascenso capilar que es: h=
2σ
ρ gR
cos φ =
4σ
ρ gD
cos φ =
( 4)(0.028 N / m) (700 Kg / m )(9.8m / s )(3 x10 − x2.54 x10 − m) 3
2
2
2
cos 26 = 0.019 m
donde los valores de la tensión superficial y densidad los hemos buscado en las tablas. 4. Se quiere determinar la cantidad de reserva petrolífera de un depósito subterráneo de 2 Ha de superficie, para lo cual se introduce un tubo de vidrio de 0.1 pulgadas de diámetro con un sensor en la pared interior del tubo que detecta el nivel del queroseno tan pronto éste toca el sensor. Si la
lectura indica un valor de 38,150 m. y el fondo del tubo está a 43,295 m., ¿cuál es la reserva de queroseno del depósito?. NOTA: Los datos que se necesiten se deberán buscar en la bibliografía. Solución
Para determinar la reserva de queroseno es preciso calcular el volumen a partir de la relación V=Sh, donde h es la altura de dicha reserva. La altura se determina a partir de la relación: h = h fondo − hsensor − hcapilar siendo hcapilar el ascenso capilar que se determina a partir de la relación: hcapilar =
2σ
ρ gR
cos φ , por
lo que: h = h fondo − hsensor −
2σ
ρ gR
cos φ = 43.295 − 38.150 −
y por tanto el volumen valdrá: V
4
2(0.028) (0.8 (0. 8 x10 )(9.8 )(9.8)(0 )(0.0 .05 5 x2. 2.54 54 x10 − ) 3
5
= 2 x10 x5.14 = 10 m
2
cos 26 = 5.14 m
3
5. Se tira horizontalmente de una placa plana delgada de 20 cm. x 20 cm. a 1 m/s a través de una capa de aceite de 3.6 mm. de espesor (ver figura). La viscosidad dinámica del aceite es de 0.027 Pa·s Si se supone que la velocidad varía de forma lineal, a) Trazar la gráfica del perfil de velocidades, b) Encontrar el punto donde la velocidad es cero, c) Determinar la fuerza necesaria que hay que aplicar sobre la placa para mantener el movimiento. Solución
a) El perfil de velocidades viene representado en la siguiente siguiente figura, donde la flecha amarilla representa la velocidad de la placa, y donde se puede apreciar que el perfil de velocidades es lineal. b) La velocidad será cero en el punto de contacto con la placa inferior. c) Para determinar la fuerza necesaria es preciso calcular la fuerza viscosa dada por: Fv = µ A
v l
= (0.027)(0.04)
1 3.6x10
−3
= 0.3 N
6. Considerando que burbujas y gotas son esferas (volumen de la esfera 4/3πr3) ¿cuál es la presión en el interior de una gota de agua (tensión superficial del agua 73.37 din/cm) de 3cm de radio? ¿cuál es la presión en el interior de una burbuja de agua jabonosa (tensión superficial del agua jabonosa 0.025N/m) de 3cm de radio? Si la burbuja jabonosa es de 3.5cm de radio, ¿cuál es la presión en su interior?. Comentar el resultado comparándolo con lo obtenido en el apartado anterior. ¿cuánta masa de aire tiene una persona que insuflar a una pompa de jabón de 3 cm. para aumentar su radio en 0.5 cm.?.
Solución
De
la
Pi = Po +
2σ
R
Pi − Po =
relación
2σ
para
R
una
gota
tenemos:
−3
5
= 1.013 x10 +
burbuja: Pi − Po
=
2σ
R
( 2)(73.37 x10 ) 0.03
, luego Pi
= Po +
Si el agua es jabonosa, se tiene: Pi
4σ
R
= 101304 Pa .
Para el caso de una −3
5
= 1.013 x10 +
= Po +
4σ
R
( 4)(73.37 x10 ) 5
= 1.013 x10 +
0.03 ( 4)(0.025) 0.03
= 101310 Pa = 101303 Pa
En caso que el diámetro sea de 3.5 cm. la presión en el interior será: Pi = Po +
4σ
R
5
= 1.013 x10 +
( 4)(0.025) 0.035
= 101302.9 Pa ,
es decir ligeramente menor, lo
que indica que a medida que aumenta el radio disminuye la presión en el interior. Finalmente, la masa de aire que habrá que introducir viene dada por: m=nM, siendo n el número de moles introducido y M la masa molecular del aire (28.8 P V PV M g/mol). Así pues: m = M ∆n = M ( n2 − n1 ) = M 2 2 − 1 1 = ( P2V2 − P1V1 ) , de RT RT RT donde sustituyendo los valores queda: m=
M RT
( P2V2 − P1V1 ) =
0.0 .028 288 8
4
(8.3)(293) 3
3 3 5 π (10 1013 1302 02.9 .9)(0 )(0.0 .035 35)) − (10 1013 1303 03)(0 )(0.0 .03 3) = 8 x10 − Kg
7. Se va a medir medir la viscosidad viscosidad de un fluido con un viscosímetro viscosímetro construido con dos cilindros concéntricos de 3 pies de largo. El diámetro interior del cilindro exterior mide 6 pulgadas y la brecha entre los dos cilindros es de 0.05 pulgadas. Se hace girar el cilindro interior a 250 rpm y se mide el par de torsión que resulta ser de 1.2 lbf·ft. Determinar la viscosidad del fluido. Solución
Para determinar la viscosidad emplearemos la expresión que relaciona dicha •
2
magnitud con el par de torsión provocado −2
T = µ
3
4π R n L
l
(1. 1.2 2 x4. 4.45 45 x0. 0.3 3)(0 )(0.0 .05 5 x2. 2.54 54 x10 ) 2 −3 µ = = = 2.36 x10 N · s / m • 1 250 2 3 4π R n L 4π 2 ( 6 x 2.54 x10 −2 ) 2 ( )(3 x0.3) 2 60
Tl
de donde
