Ejercicios Resueltos Nara Grupo 17

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA (SEGUNDA UNIVERSIDAD FUNDADA EN EL PERÚ)

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS Y CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS

DOCENTE:

Ing. Cristian CASTRO PÉREZ CURSO:

Dinámica (IC - 244) ALUMNOS:

CERDA AYALA, Wilbert Teófilo

16105692

ASTO BERROCAL, Richar

16090630

FELIX PAHUARA, Carlos

16095048

LLAMOJA CONDE, Carmen Mary

16001213

SEMESTRE ACADÉMICO:

2012 – II AYACUCHO - PERÚ

Cinemática

EJERCICIOS RESUELTOS DE CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS Y CINEMÁTICA DE CUERPOS RÍGIDOS 2.16. El bloque B se mueve hacia la derecha con una velocidad constante vo. Escribir la expresión para la velocidad y aceleración del punto c extremo inferior de la varilla̅̅̅̅ , cuando desliza a lo largo del plano inclinado. Solución:

Hallando ecuación: ̇

………. (1) ̇ …….. (2) ̇

̈ Entonces de (3) ̈ ̈

̈ ̈

̇

̇ ……(3)

Ahora: ̇ ̇ ̇

………………..(a) ̇ …………. (b) ̈ ̈ ……..(c)

De (3) y (c) ̈(

̇ ……….. (3c)

)

De (b) y (2) ̇( ̇ ̇

) ….. (2b)

De (3c) y (2b) ̇ ̈ ̇ De (2), (b) y usando la identidad ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Luego usando la formula general: √ ̇

̇

√(

̇) ̇

3

Cinemática

2.18. Obtener una expresión para la velocidad del émbolo si la manivela gira con una rapidez angular ̇ . Solución: A A

𝜽 aSen𝜽

a

O

O

𝒍𝟐

aCos𝜽

l

𝒂𝟐 𝑪𝒐𝒔𝜽𝟐

B

B

vA    r v A   kˆ  aSen iˆ  aCos ˆj





v A   aCos iˆ   aSen ˆj vB  vB/ A  v A v B  1  r B / A  v A vB iˆ  1kˆ 





l 2  a 2Cos 2 iˆ  aCos ˆj   aCos iˆ   aSen ˆj

vB iˆ  aCos1iˆ  l 2  a 2Cos 2 1 ˆj   aCos iˆ   aSen ˆj vB iˆ  (aCos1   aCos )iˆ  ( l 2  a 2Cos 2 1   aSen ) ˆj Comparando coordenadas, tenemos:

vB  aCos1  aCos m / s

2.25. Un pequeño anillo m esta colocado sobre un aro de alambre de radio r. Una varilla OA pasa por el anillo y gira alrededor del punto o sobre el aro con una velocidad ̇ . a) Si ̇ es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M. b) Si M se mueve con una rapidez constante ̇ , hallar ̇ y ̈ . Solución: a) Si ̇ es una constante, hallar la velocidad y la aceleración de M.

v   eˆ   eˆ a  (    2 )eˆ  (   2  )eˆ Por ley de cosenos:

r 2  r 2   2  2r  cos 

  2r cos    2r sen

𝝆 r

,  

r

  2r 2 cos  ,   0 v  2r sen eˆ  2r cos  eˆ v  4r 2 2 sen 2  4r 2 2 cos 2  v  2r

4

Cinemática

a  (2r 2 cos   2r 2 cos  )eˆ  (4r 2 cos  )eˆ a  (4r 2 cos  )eˆ  (4r 2 sen )eˆ a  (4r 2 ) 2 cos 2   (4r 2 ) 2 sen 2 a  4r 2 b) Si M se mueve con una rapidez constante ̇ , hallar ̇ y ̈ .

sv s 0

s  v  2r sen v 2r sen 2r cos   2 2 2 4r  sen 

 

2.32. Hallar la velocidad angular de la barra AC para la posición general que se muestra. ⃗⃗⃗⃗ es constante. Solución:

(

)

2.43. El bloque esta originalmente B. El anillo en A rodea el poste y a la cuerda y se mueve hacia abajo a razón de 1m/s. ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando el anillo esta en D? Solución:

x2  y 2  (l  t )2 ..........(1) vax  t  d 1 t  4 t4s

5

Cinemática

Cuando está en la posición A:

42  x f 2  (8 2  4) 2 x f 2  53.4903  16 x f  6.1229 m Derivando:

2 xvx  2 yv y  2(l  t )

v f vB  y f v A  (8 2  4) 6.1229vB  4(1)  (8 2  4) 6.1229vB  4  8 2  4 88 2 6.1229 vB  0.5411 m / s vB 

2.57. El eje CD gira alrededor de AB con velocidad angular constante ̅ ; el disco gira con velocidad angular constante ̅ relativa al eje. La cuenta P se mueve en el interior y a lo largo de la ranura radial con rapidez ̇ relativa al disco y esta disminuyendo en la razón ̈ . Determinar la aceleración de P suponiendo que esta a la mitad de su recorrido cuando la ranura está en su posición vertical, que se muestra. Efectuar los cálculos cuando , , ̇ , ̈ , , a) Resolver utilizando un sistema móvil de coordenadas fijo en el disco. b) Resolver utilizando un sistema móvil de coordenadas fijo en el eje CD. Solución: En el disco:

a r  sjˆ a O   a1iˆ

  2 5 ˆ j 2 v r   sjˆ r

a  a r   a O    (  r )   2  v r 5 ˆ a  sjˆ  a1iˆ  2iˆ  (2iˆ  j )  22iˆ  ( sjˆ) 2 5 a  sjˆ  a1iˆ  2iˆ  ( 2 kˆ)  22 skˆ 2 5 a  sjˆ  a1iˆ  2 2 ˆj  22 skˆ 2 5 a  a1iˆ  ( s  2 2 ) ˆj  22 skˆ 2

6

Cinemática

En la barra:

5 a r  sjˆ  2 2 ˆj  22 skˆ 2 aO  0   1 ˆj 5 ˆ r  aiˆ  j 2 5 v r   sjˆ  2 kˆ 2 5 ˆ ar  sjˆ  2iˆ  (2iˆ  j )  22iˆ  ( sjˆ) 2 5 ar  sjˆ  2iˆ  ( 2 kˆ)  22iˆ  sjˆ 2 5 ar  sjˆ  2 2 ˆj  22 skˆ 2

v  vr  vo    r 5 ˆ v   sjˆ  2iˆ  j 2 5 v   sjˆ  2 kˆ 2 5 5 ˆ 5 a  sjˆ  2 2 ˆj  22 skˆ  1 ˆj  (1 ˆj  (aiˆ  j ))  21 ˆj  ( sjˆ  2 kˆ) 2 2 2 5 5 a  sjˆ  2 2 ˆj  22 skˆ  1 ˆj  (1akˆ)  21 2iˆ 2 2 5 5 a  sjˆ  2 2 ˆj  22 skˆ  12 aiˆ  21 2iˆ 2 2 5 5 a  (12 aiˆ  21 2 )iˆ  ( s  2 2 ) ˆj  22 skˆ 2 2 2.64. La barra delgada uniforme AB es de 12m de longitud y descansa horizontalmente sobre un canal que, como se muestra, tiene paredes laterales de 45°. Si la aceleración angular ̇ de la barra es de en el sentido de las manecillas del reloj, hallar la velocidad angular de la barra para la cual la aceleración del extremo a será cero. Solución:

v A  vx vB  v y Se tiene que:

aA  ax  0 cuando y  0 x2  y 2  l 2 ..........(1)

7

Cinemática

Entonces:

SenB 

x  lCosB    vx l y  vx ............(4)  x  v y ..........(3)

x d dx Se deriva: ( yTanB)  y dt dt 2 v y  TanB  y  Sec B    vx ..........(4)

TanB 

ax  v y  Sec 2 B    TanB  ax    v y  Sec 2 B  y  Sec 2 B    2 y  Sec 2 B  TanB   Sustituyendo: 2 2 2 l  l  x  xax  vx  v y  2 l   x   y     2 y 2     2 y y y y  y   ax   x 2l 2 2  x 2 ax  yl 2  ax y 2

 ax   x  

2

2

2

2

l x  y y

Sustituyendo con las condiciones iniciales:

ax  0 y0 Despejamos:

2 

y l 2  y2



2  0  0

2.82. El disco rueda sin deslizamiento con una velocidad angular de 9 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, mientras que el bloque se desliza hacia abajo del plano inclinado. Hallar la velocidad del punto P. Solución:

  9kˆ rad / s v A    r OA

v A  9kˆ 1.2 ˆj v A  10.8iˆ m / s Mediante el centro instantáneo de rotación de la barra AB, en el triángulo ABC, tenemos:

BA  4.8 m rA/ C  3.6 m rB / C  6 m

Si v A  10.8iˆ m / s : v A   AB  rA/ C

 AB 

vA rA/ C

10.8 3.6  3 rad / s

 AB   AB

8

Cinemática

Determinamos la velocidad de P:

vP  v A  vP/ A v P  v A   AB  r P / A v P  10.8iˆ  3kˆ  1.5iˆ









v P  10.8iˆ  4.5 ˆj m / s

v P  11.7m / s 2.88. La rueda está rodando sin deslizamiento en la superficie horizontal sobre su cubo de 2.40 m de diámetro en el punto B. una barra rígida DE esta articulada al diámetro exterior de la rueda en D y resbala a lo largo de la superficie horizontal. Hallar la velocidad de E, suponiendo que la velocidad de A sea de 3 m/s hacia la derecha. Usar el método de los centros instantáneos. Solución: Por la figura determinamos que:

vD  vA  3m / s

Determinamos el centro instantáneo de rotación de la barra DE:

Hallamos el ángulo

Sen 

 en el triángulo:

2.1 7.5  2.1    7.5 

  arcSen    0.28

Por el teorema de los senos hallamos rD/C y rD/C:

rD / C 7.5  Sen53 Sen82.72 7.5  Sen82.72 rD / C  Sen53 rD / C  9.39 m

rE / C 7.5  Sen53 Sen37.28 7.5  Sen37.28 rE / C  Sen53 rE / C  5.69 m

9

Cinemática

Si vD= vA =3 m/s. Determinamos

vD  rD / C  



  DE :

vD rD / C

3 9.39   0.32 rad / s   0.32kˆ rad / s



Por lo tanto la velocidad en E es:

v E  r E /C  



v E  5.69 ˆj  0.32kˆ



v E  1.82iˆ m / s v E  1.82 m / s 2.91. La placa rectangular es “móvil” y, según se muestra, sus extremos están en contacto con el suelo y el plano inclinado. Si la aceleración de A es 7.5m/s2 hacia la derecha y la velocidad angular de lado CD es cero, determinar la aceleración angular del lado AB. Solución: C’ 60° 3m 60°

3m 3m

60°

Se observa que el triángulo formado es equilátero. Por ello:

rA/ C '  rB /C ' Entonces:

vA    rA/ C ' vB    rB / C ' vA  vB

Como también:

aA  aB a A    rA/ C ' 7.5    3

  2.5 rad / s 2

10

Cinemática

2.95. El cuerpo rígido ABC gira alrededor de un pivote sin fricción O con una celeridad angular de 5 rad/s contraria a las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rad/s 2 de sentido opuesto. Determine la velocidad y aceleración del bloque que desliza en el instante en que el mecanismo adopta la posición que se muestra. Solución:

  5kˆ rad / s   10kˆ rad / s 2 En el cuerpo rígido ABC:

vC    r OC vC  5kˆ  0.4iˆ  0.3 ˆj









vC  1.5iˆ  2 ˆj m / s Para el bloque:

v D  vC   DC  r D / C



vDiˆ  1.5iˆ  2 ˆj  DC kˆ  0.25iˆ



vDiˆ  1.5iˆ  2 ˆj  0.25DC ˆj Comparando coordenadas:

2  0.25DC  0

vD  1.5

0.25DC  2

^

→

DC  8



a c    r OC      r OC



vD  1.5iˆ m / s   8kˆ rad / s DC





 

a c  10kˆ  0.4iˆ  0.3 ˆj  5kˆ  5kˆ  0.4iˆ  0.3 ˆj



a c  3iˆ  4 ˆj  5kˆ  1.5iˆ  2 ˆj





a c  3iˆ  4 ˆj  10iˆ  7.5 ˆj





a c  13iˆ  3.5 ˆj m / s 2

a D  a C  a D / C( n ) a D / C( t )





a D  a C   DC   DC  r D / C   DC  r D / C

 





aD iˆ  13iˆ  3.5 ˆj  8kˆ  8kˆ  0.25iˆ   DC kˆ  0.25iˆ





aD iˆ  13iˆ  3.5 ˆj  8kˆ  2 ˆj  0.25 DC ˆj aD iˆ  13iˆ  3.5 ˆj  16iˆ  0.25 DC ˆj aD iˆ  3iˆ  3.5 ˆj  0.25 DC ˆj

11



Cinemática

Comparando coordenadas:

3.5  0.25 DC  0

aD  3

^

0.25 DC  3.5

a D  3iˆ m / s 2

→

 DC  14 rad / s 2 2.98. a) En la posición que se indica, la velocidad del pasador B es 6j0 m/s; determinar para este instante la velocidad de la mosca parada en el eslabón C. b) Determinar la aceleración de la mosca suponiendo que la aceleración de B sea horizontal. Solución: a) Usando velocidad relativa con respecto a A: ( ̂) de donde se tiene

Hallando la velocidad en el punto C ̂ ( ) ̂ ( ̂ ̂ De donde se tiene:

̂

(

)̂

̂

) (

)̂

Velodidad de la mosca en el instante que muestra la figura: ( )

̂ ̂ Por coordenadas:

̂

̂

b) Si:

a B  aBiˆ

y



 AB  10kˆ

a B   AB   AB  r AB







a B   AB kˆ   AB kˆ  0.6iˆ



a B  60iˆ aB  60 rad / s 2



a C   CD  r C / D   CD   CD  r C / D





 



a C   CD kˆ  1.5 ˆj  3kˆ  3kˆ  1.5 ˆj



a C  1.5 CD iˆ  13.5 ˆj

12

Cinemática



a C  a B   BC  r C / B   BC   BC  r C / B











1.5 CDiˆ  13.5 ˆj  60iˆ   BC kˆ  1.2iˆ  0.9 ˆj  (5kˆ)  (5kˆ)  1.2iˆ  0.9 ˆj 1.5 CDiˆ  13.5 ˆj  60iˆ  (30iˆ)  22.5 ˆj  0.9 BC iˆ  1.2 BC ˆj Comparando coordenadas:

 CD  2 rad / s  BC  30 rad / s

Entonces:

a P  aC  a P /C





a P  1.5  2  iˆ  13.5 ˆj  3kˆ  3kˆ  0.6 ˆj  2kˆ  0.6 ˆj





a P   CD   CD  r P / C   CD  r P / C





a P  1.8iˆ  8.1 ˆj m / s

13

