UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
2013
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CINETICA SEGUNDA PRÁCTICA CALIFICADA RESOLUCION DE MECANICA VECTORIAL (T.C. HUANG)
Asignatura: DINAMICA (IC – 244) Estudiantes: ESCALANTE BORDA, Wirson VELAZQUE VELAZQUE, Yimi Docente: Ing. Cristian, CASTRO PEREZ Ayacucho, 22 de Julio del 2013
I .CINETICA DE PARTICULA
ECUACION DE MOVIMIENTO
una partícula de peso “W “está cayendo verticalmente a través de un medio resistente. La fuerza de fricción ejerce un arrastre que es proporcional a la velocidad de la partícula, es decir, F kv , en donde k es
PROBLEMA 8-43:
una constante de proporcionalidad proporcionalidad que debe determinarse experimentalmente experimentalmente para la partícula y el medio en cuestión. Dado que la partícula parte del reposo en la superficie del medio resistente, determinar su velocidad como función del tiempo (sugestión: Si se toma el eje de las y como el eje vertical, con el sentido positivo
hacia abajo, cámbiese la variable haciendo y v ) Solución:
kv
y W W W d y W k y y g dt g
g dt W
d y
...............(int egrandoambosmienbros )
W k y
g W
t
v
0
0
dt
d y
W k y v
1 LnW k y W k 0
gt
resolviend olaecuacionsetiene : kgt W v 1 e W k
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PROBLEMA
8-44: calcular
la velocidad y desplazamiento de la partícula del problema 8-43, cuando la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir, F kv 2 . Solución:
kv 2 y
W Solución 1:
W kv 2
W dv g dt
W 2 W dv v k g dt
k
int egrandomiembroamiembro
t W v dv g dt 0 k 0 2 W v k W k v gt arctgh W k W k resolviend olaecuacionsetiene : 1
k W 2 ...................... Rpta v tgh gt k W
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Solución 2: Para determinar el desplazamiento integramos la ecuación de la velocidad. v
y
0
W dy k
1 2
t
0
tgh gt
dy dt
dy vdt
k dt W
evaluandol a int egracionsetiene : 1
W 2 k kg ln cosh ln cosh 0 y gt 1 W 2 k kW luego y
W k ........................ Rpta ln csoh gt kg W
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PROBLEMA 8-65: Una
partícula de peso ´W´ se muestra a lo largo de un trayectoria circular horizontal de radio ´´ r ´´, con una rapidez constante ´´ v ´´. Cuando t 0 , la partícula esta sobre el eje x . describir el movimiento usando coordenadas rectangulares y determinar las componentes de la fuerza requerida para mantener este movimiento.
y
v W x, y x
Solución:
y
v
r
W
( x, y)
x
r
s
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x r cos ........................(1) y rsen ..........................(2) donde: s * r s ................................(3) r s vt .................................(4) reenplasamos ecuacion (4) en (3) : vt ..................................(5) r reenplasamos ecuacion (5) en (1) :
vt r vt v vt x rsen * vsen r r r v2 vt v vt x v cos * cos ...................................(6) r r r r x r cos
reenplasamos ecuacion (5) en (2) :
vt r vt v vt y r cos * v cos r r r v 2 vt v vt y vsen * sen ............(7) r r r r y rsen
las escuacione s (6) y (7) represen tan las aceleraciones de los componente s " x" e " y" respectivamente. por 2da ley de newton :
F x F y
wv 2 x gr 2
wv 2 xy gr 2
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F ma
....................... Rpta ...................... Rpta
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TRABAJO Y ENERGIA
PROBLEMA 8-219: La
curva 0AB indicada en la fig. P8-219 Esta dada por
x . .Una pelota que pesa "W " , parte del reposo en " o" L
la ecuación Y Hsen
y rueda hacia abajo por la rampa lisa bajo la influencia de la gravedad, Hallar la reacción R que ejerce la rampa sobre la pelota en el punto
A .
L
o
x
B H
y
A
Solución:
F ma R w
n
2 w v A
wv A g g
1
radio de curvatura :
wv A 2 y R w 2 ...........(1) g (c y ) 3 / 2 1 x y H cos * L L x
y
L 2
................ y 0
H
x sen L L L
x , y H 2 L L
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2
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reenplazando en la ecuacion (1) : 2
R w wv A H ...............(2) L 2
por el teorema del trabajo y energia w f pesa Em f Emi Em f Emi 1 2 * v A wH 2 g v 2 A 2 gH ..........................(3) 2 2 H R w1 2 H L
PROBLEMA 8-226: Un
péndulo simple cuya péndola pesa W y tiene una
longitud l , se suelta desde el reposo en la posición OA, como se indica en la fig.P8-226. Cuando la péndola alcanza la posición inferior, choca contra un resorte de constante k . Demostrar que el resorte se comprime una cantidad. 2Wl 1 cos
k
Determinar para 90 y para 60
O 3 6 °
l
A W x
l l cos
NR
dx Fig.P8-226
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por el teorema del trabajo y energia w f peso Em f Emi w f peso 0 Emi el resorte se comprime x y evaluamos en un diferencia l dx
o
kxdx mg l l cos
x 2 k 2 Wl 1 cos 0 k
2 2
Wl 1 cos
despejando :
2Wl 1 cos
k
................l .q.q.d
luego calculamos para : 90 para : 90
2Wl
para 60
Wl k
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y para 60
k
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CANTIDAD DE MOVIMIENTO
PROBLEMA 8-226:
Una pelota de peso w tiene una velocidad inicial
V 0 v x i v y j v z k . Rebota en el rincón de un cuarto en la forma indicada en ˆ
ˆ
ˆ
la fig. Suponiendo que no hay pérdida de energía durante el movimiento, determinar la relación entre la velocidad de partida y la velocidad inicial.
z
pared
pared
v0 piso
x
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y
v
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como hay conservacion de energia cinetica : 1 w 4 w 1 w v 0 2 v1 2 v 2 2 g 2 g 2 g v 0 v...............(1)
luego
la fuerza que ejerce la pared sobre la pelota es normal
F F i ............(2) ˆ
F dt
w w v1 v0 .....................(3) g g
reemplazando.los.valores.en.(3).obtenemos.las. siguientes.ecuaciones
F dt
w w v1 x v x g g
w w w w v y v1 y , v z v z de.donde: g g g g v1 y v y
v1 z v z ......................(4) v1 x v x
para.obtener .v1 x .tomamos.las.velocidade s.relativas .a.lo.l arg o.de.la.linea.de.choque, velocidad .de.la. pared 0, antes. y.despues.de.choque : v x 0 e0 v1 x ; e 1, pues.no.hay. perdida.de.energia v1 x v x ...................(5) de.(4). y.(5). se.tiene v1 v x i v y j v z k
ˆ
ˆ
ˆ
del .mismo. mod o : v 2 v x i v y j v z k
ˆ
ˆ
ˆ
tambien : v v x i v y j v z k v 0
ˆ
ˆ
ˆ
luego : v v 0 ................... Rpta
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PROBLEMA 8-287: Un
chorro de agua incide perpendicularmente contra una placa fija, como se indica en la fig. El chorro tiene un área en su sección pies transversal de 1 pu lg 2 y un velocidad de 40 . Suponiendo que el peso s específico del agua es 62.4 lb , determinar la fuerza ejercida del chorro pie 3 sobre la placa.
1 pu lg 2 v 40 pies s
Solución:
F .t mv2 v1
F .t v t v2 v1
v v2i v1i F t
donde componente en x :
1 2 62.4 40 21.53 144 32.2
F x
porque esta en eje x
luego : F 21.53lb
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II .CINETICA DEL SISTEMA DE PARTICULAS
Usando la ecuación de Lagrange, encontrar las ecuaciones de movimiento para la vibración forzada del sistema indicado en la figura.
PROBLEMA
8-287:
x
F
k
cos wt
M
2 4 °
y1
l
x m x
Solución:
1
Tomando a x y
como las coordenadas generalizadas para el sistema, tenemos,
para la partícula m , x1
x lsen , e y1 l cos , sea v la velocidad de la
partícula. Entonces, 2
v x l cos l cos
2
2
2
2
2 v x l 2l x cos 2
Las energías cinéticas y potenciales son: 2
1 T M x mv 2 2 2 2 2 2 1 1 2 T M x m x l 2l x cos 2 2 2 2 1 1 2 T M m x m l 2l x cos 2 2 1
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V
1 2 kx mgl 1 cos 2
Por la ecuación de Lagrange:
L T V 2 2 1 1 2 L M m x m l 2l x cos kx 2 mgl 1 cos 2 2 2
1
L
x
M m x ml cos ..........................(1)
d L M m x ml cos sen ...................(2) dt x 2
L kx........................(3) x
d L
L Qni ...............ecuacion.de. Lagrange. para.vibracion. forzada dt q q reemplazando.(2), (3) la.ecuacio.de.movimiento.es :
2 M m x ml cos sen (kx) F cos wt 2 M m x ml cos sen kx F cos wt ...................(4) luego.en.la.ec.(4). para.oscilacion es. pequeñas( )
M m x ml kx F cos wt ........................Rpta
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Para la coordenada :
L
M m x ml cos ..........................(1)
d L ml (l x cos x sen )...................(2) dt L ml ( x g ) sen ........................(3) x
d L L Qni ...............ecuacion.de. Lagrange. para.vibracion. forzada dt q q reemplazando.(2), (3) la.ecuacio.de.movimiento.es :
ml (l x cos x sen ) (ml ( x g ) sen ) 0
ml (l x cos x sen ) ml ( x g ) sen 0...................(4) luego.en.la.ec.(4). para.oscilacion es. pequeñas( )
x l g 0........................ Rpta
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III .CINETICA DEL CUERPO RIGIDO
ECUACION DE MOVIMIENTO
PROBLEMA 9-57: En
la figura se indica un tambor circular que tiene un momento de
inercia I 20lb pie s , y su sistema de frenaje. El coeficiente de fricción entre el 2
tambor y la barra de frenaje es 0.3 . Para una fuerza de frenaje P 120lb , determinar el tiempo t necesario para llevar al reposo el tambor, a partir de una rapidez angular de 900 rpm
P r 1.5 pies 2 1 °
30
I 5 pies 300
Datos:
I 20lb pie s 2 ; 0.3 ; P 120lb w0 900rpm 30 rad s w f 0 t ?
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D.C.L: BARRA
N 2.60 , 8 2 1 7 3
f r 1.5
O
P 120lb
30
2 1 °
' '
5
M
o
0
N 2.60 P 5 0 N
P 5 1205 230 .77lb 2.60 2.60
D.C.L: TAMBOR
N
f r
O
w
I
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por .dinamica.de.cuerpo.rigido
M
O
I
f r r I sabemos.que : f r N N r I
N r
I
0.3 230 .77 1.5 20
5.19 rad 2 s
por .cinematica.del .movimiento.circular w f w0 t 0 w0 t
t
w0
30
5.19 t 18.15 s........................... Rpta
TRABAJO Y ENERGIA
PROBLEMA 9-57: Un
sistema rotatorio que pesa 322lb y tiene un radio de giro de 1 pie
, es frenado mediante el sistema de frenaje simple indicado en la fig. El tambor de freno, que tiene un radio de 1 pie , es una parte del sistema. El coeficiente de fricción entre la zapata del freno y el tambor es de 0.4 . Para una fuerza de F 120lb , determinar el número de revoluciones que dará el tambor antes de llegar al reposo, partiendo de una velocidad angular de 1000 rpm .
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F 120lb
20 pu lg
16.60 pies
5 3 2
O 4 pu lg
0 5
1 pie
3.32 pies
10
1 pu lg
0.83 pies
Datos: Peso del tambor
W 322lb su.masa. sera : m
Radio.de. giro R
I
W g
m
322lb 10lb pies 32.2 s 2
I mR 2 I 10
m w0 1000 rpm 33.33 rad s numeroderewvolucione s :" n ?"
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F 120lb
5 3 2
f r 1 pie
N
o 0 5
N
16.60 pies
3.32 pies 0.83 pies
f r
M
0
0
N 3.32 f r 0.83 F 16.60 0 sabemos que : f r N N f r
f r
3.32 f r 0.83 F 16.60 0
f r
F 16.60 218.18lb 3.32 0.83
porelteore ma det rabajoyenergiaparacuerporigido W k 2 nrf r .........................(1) 1
T 0 Iwo 2 ......................(2)
2 igualando(1) (2)
W k T 1
2 nrf r Iwo 2 2
n
1 Iwo
2
4 rf r
1 10 33.33
2
4
1 218.18
n 39.99 40rev.
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