UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA
2013
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
TEMA: CINEMATICA DE PARTICULAS Y CUERPOS RIGIDOS RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS DE MECÁNICA PARA INGENIEROS DINÁMICA (T.C. HUANG) CURSO: DINAMICA (IC – 244) ESTUDIANTES: ESCALANTE BORDA, Wirson VELAZQUE VELAZQUE, Yimi
SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE MECÁNICA PARA INGENIEROS DE T.C. HUANG - DINAMICA
6-48 La trayectoria de un proyectil esta descrita por la ecuación de la parábola y
g 2
2v0 (cos 0 ) 2
(tan 0 ) x En donde v0 es la velocidad inicial y
0 es
el ángulo
de inclinación con respecto a la horizontal, cuando X=Y=0. Deducir las ecuaciones para la altura máxima y la distancia horizontal máxima. Y vy
vx v0
hmax dy
0
X dx d Dmax
Como todos los componentes del movimiento se expresan directamente en función de las coordenadas horizontal y vertical emplearemos un sistema rectangular x-y asumiendo que no se considerara la resistencia del aire a x 0 y
a y
g se tiene la siguiente:
d x v x dt Integrando tenemos lado a lado t
x
v
0
cos 0 dt
0
t
x
v 0 cos 0
dt 0
x
v 0 cos 0 t
dv y a y dt
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Aplicamos la integral ambos lados se tiene: t
v
v0 sen 0
v y
( g )dt
dv y
0
v
t
gt 0
v0 sen 0
v y v0 sen 0 gt v y v0 sen 0 gt d y
v y dt
Integrando se tiene t
d (v sen y
0
0
0
gt )dt
gt 2 y (v0 sen 0t ) 2 gt 2 y v0 sen 0t 2
t 0
Cuando se encuentra en B cuando v y 0 , lo cual ocurre para: v y v0 sen 0 gt , pero se sabe en el punto B v y 0
v y v 0 sen 0 gt 0 v 0 sen 0 gt v0 sen 0 t g Sustituyendo este valor del tiempo en la expresión de: y v0 sen 0t
gt 2 2
se tiene la altura máxima
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hmax
2 v0 sen 2 0 v0 sen 0 g v0 sen 0 2 g 2 g 2
hmax
v0 sen 2 0 g
2 1 v0 sen 0
2
2
g
2
hmax
v0 sen 2 0 2 g
La distancia horizontal máxima:
v0 sen 0 g
d v0 cos 0
Para obtener la distancia horizontal máxima multiplicamos por dos se tendría:
Dmax
2d
v0 2 cos 0 sen 0 v0 sen 0 2 Dmax 2 v0 cos 0 g g 2 * (2v0 2 cos 0 sen 0 ) Dmax 2 * ( g ) 2
Dmax
2v0 sen2 2 g
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6-122 una partícula P se mueve con una aceleración relativa constante a0 , de A hacia B, en la ranura AB de un disco giratorio. En el instante considerado, la partícula está en B con una rapidez v0 a lo largo de AB, y el disco está girando con una rapidez angular en el sentido de las mansillas del reloj y una aceleración angular en sentido contrario al de las mansillas del reloj(fig. P6122). Determinar la velocidad de P. Si h=3m , R=5m , v0 =10m/s , a0 = 3m/s2 , =15rad/s ,
SOLUCION:
=3rad/s2.
y h
A h
R
Ω
x
α
B z
Movimiento en coordenadas: x y z
̇ ̇ ̈
Movimiento de la partícula P respecto de coordenadas: x y z
̂ √ ̂ ̇ ̂ ̈ ̂
CALCULAMOS LA VELOCIDAD DE P:
̇ ̇ INGENIERÍA CIVIL
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̂ ( ) ̂ √ ̂ ̂ √ ̂ ( ) ̂ √ ̂ ̂ ̂ ̂
Reemplazando con los datos tenemos:
CALCULAMOS LA ACELERACION DE P:
̈ ̈ ̇ ̇
̂ () ̂ √ ̂ ( )*( ) ̂ √ ̂+( ) ̂ ̂ √ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ √ ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̂ ̂
Reemplazando con los datos tenemos:
√ ̂ ̂
̂ ̂
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6-124 Una partícula p
se mueve con una velocidad
relativa v0 a lo largo de una
periferia de un disco de radio R , mientras que el disco está girando con una velocidad angular uniforme en sentido contrario .Hallar la velocidad y la aceleración de la partícula cuando v0 ct , teniendo c una constante. La posición de la particula en el instante considerado se indica en la (fig.p6-124). SOLUCIÓN
y
R
P
V0
x
z Ω
Del dato tenemos:
̇
Movimiento en coordenadas: x y z
̇ ̇ ̈
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Movimiento de la partícula P respecto de coordenadas: x y z
̂ ̂ ̇ ̂ ̂ ̈ DINAMICA
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CALCULAMOS LA VELOCIDAD DE P:
̇ ̇ ()( ) ̂
̂ ̂ CALCULAMOS LA ACELERACION DE P:
̈ ̈ ̇ ̇
̂ ̂ ()[ ̂ ̂]() ̂ ̂
() ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
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7-52.una rueda que rueda y desliza en el plano xy tiene su centro C localizado en: , , en donde y se miden en cm y t se mide en segundos.(fig.P752). El desplazamiento angular de un radio de la rueda, medido a partir de una recta vertical de referencia es:
En donde esta en radianes y se mide en el sentido de las manecillas. La barra ABestá unida a la rueda en A y su extremo B se mueve a lo largo del eje x. (a) Determinar la velocidad y la aceleración de B, cuando A coincide con el extremo derecho de un diámetro horizontal, para t=1s. (b) hallar los centros instantáneos de velocidad cero para el disco y la barra, en ese instante. y
3cm 10cm
A
C
B
x
O Fig. P7-52 SOLUCION: (a) y
P
3cm
10cm
A
C
Q
O
B
Fig. P7-52
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x
DEL DATO TENEMOS:
Como vectores:
̇ ̈ ̇ ̈ ̇ ̂ ̇̈ ̂ ̇ ̇
Calculo de la velocidad de A:
̇ ( ) ̂ ̂ ̂
̂
Calculo de la aceleración de A:
̈ ̈ ̇ ( )
̈ ̇
̂ ( ) ̂ ( )[() ̂] ̂ ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ Calculo de la velocidad de B:
̂ ̇ ̇
̂ ̂ () ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ,
ʌ
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De modo que
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Luego de
De la figura:
:
, reemplazando en (1), tenemos :
̂
,
y para
̂ ⁄ ̂ ⁄ () Calculo de la aceleración de B:
̂ ̇ ( ) ̇ ( ) ̂ ̂ ( ̇ ) ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̇ ̂ ̇ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̇ ̂ ̇ ̂ ̂ ̂ ̇ ̂ ̇ ̂ ̂ ̇ ̇ ̇ ̂ De modo que :
,
ʌ
Luego de
:
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, reemplazando en (2), tenemos:
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̂
̂ ̂
SOLUCION: (b) Para cualquier punto P para el disco:
̇ ( )
Para: v=0 , t=1s
Por tanto el centro instantáneo del disco es:
Para cualquier punto Q para la barra:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Para: v=0 , t=1s
Por tanto el centro instantáneo del disco es: INGENIERÍA CIVIL
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7-62. un mecanismo plano consiste de una rueda y una barra. La rueda O tiene una ranura radial recta y efectúa rotaciones oscilatorias alrededor de O. la abarra AB gira alrededor de A. en su extremo B tiene una corredera que está restringida a moverse en la ranura de la rueda. En la posición indicada en la fig.P7-62, la rueda tuene la velocidad angular y aceleración angular siguientes:
Determinar: (a) la velocidad angular y la aceleración angular de la barra AB, y (b) la velocidad y aceleración del extremo B.
y
41cm
A
B
O
60º
x
z
Solución Como datos tenemos:
wOB 4k
0 B 0
r B
r B
41 cos i 41 sen j A
i 41 sen j 41 sen ctg 60 o
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Donde la velocidad en B
v B v A ( w AB xr B )
A
v B w AB k x ( 41cos i 41 sen j )
v B 41w AB sen i 41w AB co s j ..................(1)
a B a A AB x r B w AB x( w AB xr B )
A
A
a B AB k x(41cos i 41 sen j ) w AB k x(41w AB cos j 41w AB sen i )
a B 41 AB sen i 41 AB cos j 41w2 AB cos i 41w2 AB sen j
a B (41 AB sen 41w2 AB cos )i (41 AB cos 41w2 AB sen ) j ...................(2)
v B v0 wOB xr B
O
v B 4k x ( 41 sen .ctg 60i 41 sen j )
v B 4 x 41 sen i 4 x 41 sen .ctg 60 j ..................................(3)
igulando (1) y (3)
41w AB sen 4 x 41 sen w AB 4 ; w AB 4k Rpta
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a B 0 OB xr B wOB x ( wOB xr B )
O
O
a B 4 k x ( 4 x 41 sen i 4 x 41 sen .ctg 60 j )
a B 16 x 41 sen .ctg 60i 16 x 41 sen j ............................(4)
igulando ( 2) y ( 4)
41 AB sen 41w 2 AB cos 16 x 41 sen .ctg 60 AB sen 16 cos 16 sen .ctg 60
AB
AB
16(ctg 60 ctg ) 61.87
61.87 k
resolviend o cada ecuacion setiene que
v B ( 164 sen i 164 co s j )cm / s
v B 231 .93cm / s
la celeracion de igual forma de la ecuacion anterior
( 83.13i 144 j )cm / s 2
B
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;
B
166 .27 cm / s
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7-72. En el instante considerado, un furgón de ferrocarril está viajando a razón de 90 y acelera a razón de 100
(tangencialmente) sobre una curva de 1.5
de radio (fig.P7-72). Un péndulo instalado en el furgón se mece alrededor de un eje horizontal que es paralelo al eje longitudinal del furgón, con una rapidez angular
, y una aceleración angular
, relativas al furgón. La
péndula es un disco circular con centro en B, siendo OB de 40cm. El péndulo OB forma un ángulo con la vertical. Determinar: (a) la velocidad angular y la aceleración angular del péndulo, y (b) la velocidad y la aceleración de la péndula B.
O
B
1.5 km
fig.P7-72
y
R=1.5km
O
A
B
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x
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Datos
vo 90 km / h 25m / s a o t 100 m / s
ao n
v 2 A R
w2 k rad / s
2k rad / s 2
2
v o 25m / s
a o 100i 0.42 j
Se tiene que la velocidad en B
v B vo woB x r B
o
v B 25i m / s k x 0.4 cos i 0.4 sen j
v B 25 m / s j 0.4 cos j 0.4 sen i
v B 0.4 sen i (25 0.4 cos ) j m / s
La aceleración en B es:
a B
ao oB xr B woB x(woB xr B )
a B
0.42i 100 j 2k x(0.40 cos i 0.40 sen j ) k x(0.4 cos i 0.4 sen j )
a B
0.42i 100 j 0.8 cos i 0.8 sen j 0.40 cos i 0.4 sen j
a B
(0.42i 0.8 sen 0.4 cos )i (100 0.8 cos 04 sen ) jm / s 2
o
o
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