Ejercicios resueltos de volumen… METODO DE LOS DISCOS 1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva: y = √x, de 0 a 1. -solución: el solido
está
entre
x=0
y
x=1,
graficamos
y
sacamos
un
disco
(disco
rosado).
El volumen de este disco será: V= π (√x)² = πx
V=
A(X) dx =
πx dx = π
calculado entre 0 y 1 =
=
2) Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la región limitada por , -solución:
y
Tenemos que despejar a
,
alrededor
en términos de y así:
Graficamos y sacamos el disco (disco rosado):
del
eje
y.
el volumen de este disco será:
calculado entre 0 y 8 METODO DE LOS ANILLOS: 3) Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas y= x y y= x² en torno al eje x. -solución: Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección: x=x² x−x²=0 X x=0 y x=1
(x−1)=0
ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado)
En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x. Ahora hallamos el volumen:
V=π
(R²−r²) dx
V=π
=
calculado
entre
0
y
1
= METODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS: 4) la región acotada por la grafica de y= 2x−x ² alrededor del eje y¸ calcule el volumen del solido resultante. -solución: Graficamos y obtenemos:
Donde wi es el radio de él cascaron y el grueso es Axi, y la altura es y= 2x−x ² tenemos que el volumen del cascaron es: 2πWi(2Wi − Wi²) ∆Xi
V= 2π
x(2x − x²) dx
V= 2π
Calculado entre 0 y 8 Acerca de estos anuncios
Por medio del método de arandelas Volumen Mediante Metodo de Arandelas Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es
o
dependiendo del eje de rotación.
1. Se dibuja, en un diagrama, el area generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacion, y su rectangulo correspondiente. 2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilindrico producido en la rotacion del rectangulo generico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectangulos. 3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el numero de rectangulos crece indefinidamente.
Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por la parabola correspondiente a
y la ordenada
con respecto a esta recta. Aplicar el metodo del anillo
Volúmenes por método de arandelas.
Dividimos el area mediante franjas verticales y elegimos, para mayor sencillez, el punto P de forma que sea el punto medio del segmento AB. La altura del rectangulo generado es
su base:
y su distancia al eje de giro, es:
Cuando este rectangulo gire alrededor de este eje se produce un anillo cilindrico de volumen: . El volumen pedido sera:
Ejemplos Ejemplo # 1
Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje encerrada por las curvas:
la figura
para encontrar el área de un anillo: tenemos que: Encontramos el volúmen calculamos para n-anillos y optimisamos.
Reescribimos como la integral variando de 0 a 1
resolvemos. Ejemplo # 2
Encontrar el volúmen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas
alrededor del eje
-las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera:
siendo la curva roja
y la azul
.
lo primero que debemos darnos cuenta es que, al girar la region sobre el eje , necesitamos tener las funciones respecto al eje y, para asi encontrar los intervalos entre los puntos de intersección sobre el eje funciones ya están despejadas para por cada valor de
. En este ejemplo las
, ya que necesitamos una función que
nos devuelva el valor correspondiente en
, puesto que
éste será nuestro radio para cada circunferencia que sumaremos. para encontrar los puntos de intersección realizamos lo siguente: igualamos: despejamos: obtenemos el punto de interseccion de las 2 curvas sobre el eje y: . con esto sabemos que el integral correria desde
hasta
.
ahora construyamos el integral: sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la grafica podemos darnos cuenta que
está sobre
volúmen de un solo disco vendría dado por:
, esto quiere decir que el ,
Entonces, el volúmen total del sólido sería:
Y expresado en una integral definida sería:
resolviendo la integral:
la respuesta final: Wizzard12:12 31 oct 2009 (CST) Ejemplo # 3
Calcular el volúmen del sólido:
que gira alrededor del eje
Solución Como se observa en la gráfica anterior, al girar el sólido en torno al eje
, el
sólido que se forma mediante el método de discos es un anillo, entonces se procede a calcular el volúmen total del anillo, sabiendo que éste es: Y tomamos en cuenta los valores para cada radio del anillo
y
Buscamos los intervalos; igualamos
Intervalos [0,2]
Ahora encontramos el
Ahora encontramos el
:
:
Ahora encontramos el
Ahora aplicamos límites
:
:
Ahora por medio del teorema fundamental del cálculo, integramos:
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Método de Arandelas Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el
nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es o dependiendo del eje de rotación.
Otra explicación: El método de Arandelas o Washer, es una extensión del método de discos para sólidos huecos. Donde se tiene un radio interno r y un radio R externo de la arandela.
La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo.
Definición:
Vídeos: Ejemplos: Ejemplo 1:
Ejemplo 2: o
Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje encerrada por las curvas:
la figura
para encontrar el área de un anillo: tenemos que: Encontramos el volúmen calculamos para n-anillos y optimisamos.
Reescribimos como la integral variando de 0 a 1
resolvemos.
