ejercicios de conjuntos resueltosDescripción completa
mate 4
ejercicios resueltos aplicando las diferentes operaciones entre conjuntos
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EJERCICOS RESUELTOS DE CONJUNTOS CONVEXOS 2
Representar los siguientes conjuntos de R e indicar cuáles son convexos; a. *( ) + Solución
Si lo hacemos gráficamente, representemos el conjunto. Para ello dibujamos el límite
(circunferencia de radio 2). Definimos la expresión:
Y lo representamos como como aparece:
Ahora determinemos en que lado de la circunferencia se sitúa el conjunto. Tomemos un punto fuera de la circunferencia, por ejemplo (3,3). Y comprobemos comprobemos si cumple la condición que impone el conjunto este punto.
Evidentemente no la cumple y por lo tanto el conjunto
se
sitúa
hacia
adentro
de
la
circunferencia. Tomemos
los
puntos
(1,
-1)
y
(2,0)
que
pertenecen al conjunto según lo muestra la siguiente gráfica gráfica y segmento que los une queda queda totalmente
contenido
en
el
círculo.
Así
gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de
, el segmento que los está totalmente
contenido en dicho conjunto.
Por lo tanto el conjunto es convexo.
1
b. *( ) + Solución
Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite
(circunferencia de radio 2). Definimos la expresión:
Y su gráfica es como aparece a continuación: Ahora determinemos en que lado de la circunferencia se sitúa el conjunto. Tomemos un punto fuera de la circunferencia, por ejemplo (1,-1). Y comprobemos si cumple la condición que impone el conjunto este punto.
() Evidentemente no lo cumple y por lo tanto el conjunto
se
sitúa
hacia
afuera
de
la
circunferencia, representado con el color azul. Tomemos
los
puntos (-2, 1) y (2,1)
que
pertenecen
al
conjunto según lo muestra
la
siguiente gráfica y segmento que los une
queda
totalmente contenido en el círculo. Así gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de , el segmento que los une no está totalmente contenido en dicho conjunto . Por lo tanto el conjunto NO es
