ALGEBR ALGEBRA A LINEAL. LINEAL. CON CONJUNT JUNTOS OS CON CONVEX VEXOS. OS.
1. Dependen Dependencia cia e independ independenc encia ia lineal. lineal. Base. Base. 2. Sistem Sistemas as de ecuaci ecuacione oness linea lineales les.. Soluci Solucion ones. es. 3. Solucion Solu ciones es b´ asicas. asic as. 4. Conjun Conjuntos tos convexos convexos.. 5. Conjun Conjuntos tos convexos convexos:: defini definicio ciones nes.. 6. Conjun Conjuntos tos convexos convexos:: teorem teoremas. as. 7. Aplica Aplicaci´ ci´ on on a la Programaci´ on on Lineal.
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1 Dependencia e independencia lineal. Base. Definici´ on 1 Dados v 1, v2 , . . . , vn, se llama combinaci´ on lineal de esos vectores a
α1 v1 + α2 v2 + · · · + αnvn siendo α1, . . . , αn ∈ R . Definici´ on 2 Los vectores v1, v2 , . . . , v p ∈ R n son linealmente dependientes si existen α1 , . . . , α p ∈ R no
todos nulos tales que
α1 v1 + α2 v2 + · · · + α pv p = 0 Definici´ on 3 Dados v1, v2 , . . . , v p ∈ R n , si se verifica
α1 v1 + α2v2 + · · · + α pv p = 0 ⇒ α1 = α2 = · · · = α p = 0 entonces, los vectores v1, v2 , . . . , v p son linealmente independientes. Definici´ on 4 Un conjunto {v1 , v2, . . . , v p} ∈ R n es un sistema generador si ∀y ∈ R n ∃α1, . . . , α p tal que
y = α1v1 + . . . + α pv p
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Definici´ on 5 Una base de un espacio vectorial es un
conjunto de vectores {v1 , . . . , v p } que verifica a) Son linealmente independientes. b) Son un sistema generador.
Definici´ on 6 La dimensi´ on de un espacio vectorial es
el n´ umero de vectores de una base. Observaci´ on: Todas las bases de un espacio vectorial
tienen el mismo n´ umero de vectores.
Teorema 1 Cualquier vector de un espacio vectorial se
puede escribir como combinaci´ on lineal de los vectores de una base, siendo esa combinaci´ on lineal ´ unica.
Teorema 2 Dada una base B del espacio vectorial R n
= 0, siempre y un vector v ∈ R n que no est´ a en B, v es posible conseguir otra base sustituyendo alg´ un vector de B por el vector v.
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2. Sistemas de ecuaciones lineales. Soluciones.
Dada A ∈ R m×n, rang A = n´ umero filas lin. ind.. Sea Ax = b,
A∈
R m×n .
1. Si rang A = rang [A b] → sistema incompatible. 2. Si rang A = rang [A b] → sistema compatible. umero de incognitas • Si rang A = rang [A b] = n´ on ´ unica. → soluci´ umero de incognitas • Si rang A = rang [A b] < n´ → infinitas soluciones. Soluciones.
Sea Ax = b,
A∈
R m×n ,
m < n.
Si rang A = m y B es una submatriz de A con m columnas linealmente independientes, BxB + NxN = b
BxB = b − NxN xB = B−1 b − B−1NxN 4
3. Soluciones b´ asicas.
Ax = b A∈
R m×n ,
m < n,
rang A = m,
xB = B−1 b − B−1NxN
ognitas b´ asicas. • xB : inc´ ognitas libres. • xN : inc´ Definici´ on 7 Dado un sistema lineal Ax = b, llamamos soluci´ on b´ asica xB a la que se obtiene dando a todas
las inc´ ognitas libres el valor 0. xN = 0 ⇒ xB = B−1 b
N´ umero m´ aximo de soluciones b´ asicas:
n = m! (nn−! m)! m
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4 Conjuntos convexos. Ecuaci´ o n de una recta.
Dados los puntos x1, x2 ∈ junto es una recta
R n,
x1 = x2 el siguiente con-
= x2 , λ ∈ R } R = {x/x = λx2 +(1−λ)x1 , x1, x2 ∈ R n , x1 Segmentos.
S = {x/x = λx2 +(1−λ)x1 , x1 , x2 ∈ R n , x1 = x2 , 0 ≤ λ ≤ 1} Hiperplanos y semiespacios.
1. {x/cT x < z } semiespacio abierto. 2. {x/cT x = z } hiperplano (semiespacio cerrado). 3. {x/cT x > z } semiespacio abierto. Los siguientes semiespacios son cerrados:
{x/cT x < z } ∪ {x/cT x = z } = {x/cT x ≤ z } {x/cT x = z } ∪ {x/cT x > z } = {x/cT x ≥ z }
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5. Conjuntos convexos: definiciones. Definici´ on 8 Sean x1 , x2 ∈ R n. La combinaci´ on lineal
x = λx2 + (1 − λ)x1 ,
0≤λ≤1
on lineal convexa de x1 y x2 . se llama combinaci´
Si 0 < λ < 1, a la combinaci´ on lineal convexa se le llama restringida. Observaci´ on: El segmento que une dos puntos es el
conjunto de las combinaciones lineales convexas de los dos puntos.
Definici´ on 9 Un conjunto X ⊂ R n es convexo si dados
2 puntos cualesquiera x1, x2 ∈ X , cualquier combinaci´ on lineal convexa pertenece al conjunto X .
Definici´ o n 10 x ∈ X ⊂ R n es punto extremo si
= x2 , / x = λx2 + (1 − λ)x1 , 0 < λ < 1 ∃x1 , x2 ∈ X, x1
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6. Conjuntos convexos: teoremas. Teorema 3 Un hiperplano es un conjunto convexo. Teorema 4 Los semiespacios cerrados y abiertos son
conjuntos convexos. Teorema 5 La intersecci´ on de un n´ umero finito de con-
juntos convexos es un conjunto convexo. n
X1, X2 , . . . , Xn convexos
⇒
X=
Xi es convexo.
i=1
Generalizaci´ on. Definici´ o n 11 Dados x1, . . . , x p ∈ R n llamamos combinaci´ on lineal convexa generalizada a x tal que
x=
p
p
λi xi ,
λi ≥ 0 ∀i ,
i=1
λi = 1
i=1
Definici´ o n 12 El conjunto de todas las combinaciones
lineales convexas de un n´ umero finito de puntos se llama poliedro convexo. Observaci´ on. Se puede demostrar que
X = {x =
p
p
λi xi ,
i=1
λi ≥ 0
∀i y
λi = 1}
i=1
es un conjunto convexo. 8
7. Aplicaci´ o n a la Programaci´ on Lineal.
Dado un modelo lineal, opt z = c1 x1 + c2x2 + · · · + cn xn sujeto a ≤
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn > b1 ≤
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn > b2 ... ≤
am1x1 + am2 x2 + · · · + amnxn > bm x1 , x2 . . . xn ≥ 0 Se puede observar que, on objetivo es un hiperplano y, por tanto, 1. La funci´ un conjunto convexo.
2. Cada restricci´ on es un semiespacio cerrado y, por tanto, un conjunto convexo. 3. Hay un conjunto finito de restricciones y la intersecci´ on es un conjunto convexo. El conjunto de soluciones de un modelo lineal es un conjunto convexo. Se trata de buscar los puntos de ese conjunto convexo de optimizan la funci´ on objetivo. 9
