TEORÍA DE CONJUNTOS –
Ejercicios
1. Escribe Escribe simbólicam simbólicamente ente las afirmacione afirmaciones ss siguien iguientes: tes: a) v pertenece al conjunto M d) El conjunto # no es un subconjunto del b) El conjunto T contiene como subcon- conjunto $ junto al conjunto H e) El conjunto % no contiene al conjunto & c) Entre los elementos del conjunto G no f) El conjunto H es un subconjunto propio est el n!mero " del conjunto & ". 'ompleta 'ompleta las propos proposicion iciones es siguie siguientes ntes con los s(mbo s(mbolos los ∈ o ∉ : " *1+,++/+ 3 4+ *"+0++/+ $m5rica * 6 7 6 es el nombre de un , { x ∈ℕ / 2< x <6 } , pa(s /+ 12 " *0+++/+ ℕ . 2 { x ∈ℕ / 8 < x < 10 } , 8 ,. 8efinir 8efinir por por e6tensión e6tensión cada uno de de los siguiente siguientes s conjunto conjuntos: s: 2 2 a) A= { x ∈ℤ / x = 4 } d) R={ x ∈ℤ x = 9 } c) B ={ x ∈ ℤ / x −2 =5 } f) Q= { x / x es una letra de la palabra calcular } e) T ={ x / x es una cifra del número 2324 } g) { x / x es una letra de la palabraCORRECTO } ={ x ∈ℤ/ ∈ℤ / x es positivo y negativo } b) C ={
∈ℤ / 4x =12 } . Es T =3 ;
ala se>ala los =ue =ue son el conjun conjunto to vac(o: vac(o: 2 ∈ℝ / x +5 =5 } D ={ x ∈ℝ/ ∈ℝ / x + x +1=0 } A= { x ∈ℝ/ ={ x ∈ℝ / x < 4∧ x >6 } E ={ ∈ℝ / x < 4 ∨ x >6 } B ={ x ∈ℝ/ ={ x ∈ℝ / x >4 ∧ x no es mayor !ue 6 } ={ x ∈ℝ/ ∈ℝ / x 2+ x −1=0 } C ={ . 'ules 'ules de los siguiente siguientes s conjuntos conjuntos son vac(os+ vac(os+ unitarios+ unitarios+ finitos finitos o infinitos; infinitos; a) $ ? * 6 7 6 es d(a de la semana/ e) E ? * x ∈ℕ 7 6 C 1/ b) @ ? * vo vocales de de la la pa palabra va vals/ f) D ? * x ∈ℕ 7 C 6 C / c) ' ? * 1+ ,+ + + A+ . . . . ./ g) G ? * x ∈ℕ 7 6 1/ 1/ d) 8 ? * 6 7 6 es un Babita itante de la luna/ B) H ? * x ∈ℕ 7 ,6 ? / i) F ? * 6 7 6 es pr presidente de del Ma Mar Me Medite iterr rrneo/ j) ? * 6 7 6 es el n!mero de pelos pelos de todos los eslovacos eslovacos =ue viven actualmente/ actualmente/ . 9ea M? M? {r ,s ,t } . 8(gase cules de las afirmaciones siguientes son correcta. 9i alguna es incorrecta+ decir el por =u5: a) a ∈ " , b) r ⊂ " , c) {r }∈ " , d) {r }⊂ "
={1, 0 } , raona cules de las afirmaciones siguientes son correctas I cules no: 2. 9i E ={ a) {0 }∈ E , b) ∅∈ E , c) {0 }⊂ E , d) 0 ∈ E I e) 0 ⊂ E# A. 'ons 'onsid ider erem emos os el co conj njun unto to A= {r , s , m , e } . Jaona la veracidad de las siguientes afirmaciones: a) c ∈ A , c) { m }⊂ A , e) { s , e }∈ A b) { r , c , m }⊂ A , d) { e , m , r }⊂ A f) { s , e }⊂ A 13. En el conjunto de las figuras geom5tricas del plano se consideran los conjuntos: conjuntos: ={ x / x es un cuadril$tero } , " ={ x / x es un rombo } , R={ x / x es un rect$ngulo } , C ={ Q= { x / x es un cuadrado }. 8ecir =u5 conjuntos son subconjuntos propios de los otros.
11. ustifica raonadamente =ue el conjunto C ={ x ∈ℕ/ x es par } .
A={2,3, 4,5 } no es un subconjunto del
1". 9ean los conjuntos: Establece la % ={d } , & ={c , d } , ' ={a , b , c } , ( ={a , b } I ) ={a , b , d } . veracidad de las siguientes afirmaciones+ justificando en cada caso tu respuesta: a) ( ⊂ ' , c) & ≠ ) , e) % ⊄( , g) % ⊂ ' , i) ' =& I b) & ⊅% , d) ) ⊃% , f) ) ⊅ ' , B) ( ⊄ ) , j) & ⊂( 1,. a)Es el conjunto A={1,3,5,7 } un subconjunto del conjunto B ={ x ∈ℤ/ x =2n , n ∈ℤ }* K del C ={ x ∈ℕ/ x = 2n +1, n ∈ℕ }*
A
b) 1
5 4
B
B 12
14 10
8
A
c)
A
5
8 9 5
B 15
B ={u , v , + , x , y , } , C ={ s , u , y , } , 1. 9ean los conjuntos A={r , s , t , u , v , + } , D ={u , v } , E ={ s , u } I ={ s }. 8etermina en cada caso+ con las informaciones dadas I con aIuda de un diagrama de Lenn+ cul de los conjuntos dados es %: a) ' ⊂ A I ' ⊂ B c) ' ⊄ A I ' ⊄C I b) ' ⊄ B I ' ⊂C d) ' ⊂ B y ' ⊄C A ={1,2,3,4,5,6 , 7,8,9 } , B ={2,4,6,8 } , C ={1,3,5,7,9 } , D ={3,4,5 } , 1.9ean E ={3, 5 } I ={ s }. 8etermina en cada caso+ con las informaciones dadas I con aIuda de un diagrama de Lenn+ cul de los conjuntos dados es %: a) % I @ son disjuntos c) ' ⊂ A I ' ⊄C I b) ' ⊂ D I ' ⊄C d) ' ⊂C y ' ⊄ A A⊂ B B ⊂C . 12.9ean $+ @ I ' conjuntos tales =ue I 9uponiendo =ue a ∈ A , b ∈ B , c ∈C I d ∉ A , e ∉ B I f ∉C , cules de las siguientes informaciones son ciertas; e ∉ A a) a ∈C , b) b ∈ A , c) c ∉ A , d) d ∈ B , e) f) f ∉ A# A ={ x ∈ℕ/ 2 ⩽ x ⩽ 9 } , B ={2,4,6,8 } , C ={ 3,5,7 } , 1A. 'onsideremos los conjuntos D ={2,4 } I E ={ 1,3 }. Fndica en cada caso cul de estos conjuntos puede ser el conjunto %: a) ' ⊂ A I ' ⊂ B , c) ' ⊄C I ' ⊂ D e) ' ⊂ A I ' ⊂ E . b) ' ⊄ B I ' ⊄ E d) ' ⊄ A I ' ⊂ E
"3. 8efine por e6tensión cada uno de los siguientes conjuntos: a) *6 7 6 es un n!mero entero =ue verifica , C 6 C 0/ b) *6 7 6 es entero positivo m!ltiplo de ,/ c ) { x ∈ℝ/( 3x +1)( x +2 )=0 } d ) *6 7 6 es un n!mero entero =ue es solución de la ecuación N,6 - 1)N6 O ") ? 3/ e) *6 7 "6 es entero positivo/ "1. 8escribe por e6tensión cada uno de los siguientes conjuntos a) *n 7 x ∈ℕ , n" ? A/ d ) *6 7 x ∈ℝ , 6 C 1 I 6 P 1/ " b) *6 7 x ∈ℕ , 6 ? A/ e) *6 7 x ∈ℚ , 6 " ? ,/ c ) *n 7 x ∈ℤ , , C n C / A "". Establecer todas las posibles relaciones entre los conjuntos representados en el siguiente diagrama de Lenn B
C D
2 A={2,3,4 } , ",.9e consideran los conjuntos B ={ x ∈ℕ / x − 4 es positivo} , 2 D ={ x ∈ℕ / x es par }. Establece todas las posibles C ={ x ∈ℕ/ x −6x +8= 0 } K relaciones de inclusión entre dicBos conjuntos.
"0.9ean $ I @ subconjuntos de un conjunto Q. a) 8e un subconjunto H de Q+ se sabe =ue A⊂ . , B ⊂ . I . ⊂ A∪ B# Ru5 se puede decir del conjunto H; b) 8e un / ⊂ B I A∩ B⊂ /# Ru5 se puede decir subconjunto & de Q se sabe =ue / ⊂ A , del conjunto &;
Operaciones con conjuntos ".'onsideremos A={a , b , d } , A∪ B , A∪ C , B ∪C , B ∪ B , A∩ B ,
0 ={a , b , c , d , e } como conjunto universal I los B ={b , d , e } I C ={a , b , e }. Halla: A∪ B ∪C B ∩ A 1 , A− B , 01 , A 1 1 , A − A , A∪ A1 , A∩ A , A 1 , A∩ A1 , B ∩C , C − A , B 1 , ∅1 , A∩ B ∩ C B −C , A∩C 1 , A 1 ∪C 1 , B − A , A∩ B ∩C
subconjuntos
A∪ B 1 , A 1 ∩ B 1 , B−C 1 , A∪ B 1 , B 1 − A1
0 ={a , b , c , d , e , f , g } como conjunto universal I ".Fdem al anterior+ para A={a , b , c , d , e } , B ={a , c , e , g } I C ={b , e , f , g }.
".
Jepresenta en el diagrama de Lenn dado al margen los siguientes conjuntos: A∪ B , A− B , 01 , A 1 1 , A∪ C , A ∪ A1 , U C B ∪C , A∩ A1 , C − A , ∅1 , B ∪ B , B −C , A 1 ∪C 1 , A∩ B , B − A , A∪ B 1 , A∩ A , B ∩ A 1 , B A− A , A 1 ∩ B 1 , B ∩C , A B−C 1 , A∩ B ∩ C , A 1 , A∩ B ∩C , B 1 , A∪ B 1 , A∩C 1 , B 1 − A1
"2.Escibe la e6presión =ue corresponde al conjunto marcado en gris en el diagrama de la derecBa.
"A. 'onsideremos como conjunto universal al conjunto 0 ={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }. B ≠∅ , a) Escribe dos subconjuntos A I B de 0 tales =ue cumplan A ≠∅ , A∩ B=∅ I A∪ B=0 . b) Escribe tres subconjuntos propios $+ @ I ' de Q+ cuIa unión sea el universal+ =ue sean disjuntos dos a dos. c) Escribe cuatro subconjuntos propios $+ @+ ' I 8 de Q+ cuIa unión sea el universal+ =ue sean disjuntos dos a dos. ,3. Jepresenta+ en cada uno de los diagramas de Lenn dados+ los siguientes conjuntos: A− B , A 1 , A∪ B , A 1 ∩ B 1 , A∪ B 1 , A 1 1 , B 1 , A∩ B 1 , B ∪ B , B 1 − A1 01 , B ∩ A 1 , A∩ B , A∪ B ∩ A , A 1 ∪ B 1 , A∪ A1 , A∩ A , A∪ B 1 B ∩ A∪ B . A− A , A∩ A1 , B − A ,
U
U
U B B
B A
,1. 9i Q ? *1+ "+ ,+ 0+ + + + 2+ A+ 13/ es el conjunto universal I $ ? *1+ 0+ + 13/+ @ ? *1+ "+ ,+ 0+ /+ ' ? *"+ 0+ + 2/+ define por e6tensión los siguientes conjuntos: a) $ ∪ @+ e) @ Q i ) $ ∪ ∅ m) N$ ∪ @) S N' S @) b) $ S @+ f ) B 1 N' S $) j ) $ N@ ∪ ') c ) A 1 , g ) A ∩ B 1 ∪ ' k ) N$ @) ∪ ' d ) 0 1 , h) @ ' l ) $ @) S '
,".9ea Q ? *1+ "+ ,+ 0+ + . . . + 1"/ el conjunto universal. 'onsideremos los subconjuntos+ $ ? *1+ ,+ + + A+ 11/+ @ ? *"+ ,+ + + 11/+ 8 ? *"+ 0+ 2/ I ' ? *"+ ,+ + 1"/. 8etermina los conjuntos: a) $ ∪ @ c ) N$ ∪ @) C 1 e) ' S 8 b) $ ' d ) $ S @ f ) N@ S 8) ∪ N8 S @) ,,.a) 'onoces alg!n conjunto =ue sea subconjunto de su complementario; b) E6iste alg!n conjunto =ue sea disjunto consigomismo; ,0. 9ean A= { x ∈ℝ/−2 < x ⩽10 } I B ={ x ∈ℝ/ x > 1 } E6presa dicBos conjuntos mediante intervalos I calcula la unión+ la intersección I la diferencia de uno con el otro. 'alcula+ adems+ los complementario I comprueba =ue se cumplen las leIes de 8e Morgan. ,.9e consideran los conjuntos $ ? NU + , )+ @ ? V U "+ )+ ' ? N U 0+ A W I 8 ? V U 1+2 W. ( B ∪C )∩ D , A 1 ∩ B , E6presa cada intervalo por comprensión I calcula A∪ B , ( B 2 A)∪( C 2 D ) , ( A 2 B ) 1 y ( B 2 A ) 1 .
{
,.9ean A= x ∈ℝ /
1
⩾1
}
I B ={ x ∈ℝ / x 2 2 4x +3 ⩾0 }.
E6presa dicBos conjuntos x −1 mediante intervalos I calcula la unión+ la intersección I la diferencia de uno con el otro. 'alcula+ adems+ los complementario I comprueba =ue se cumplen las leIes de 8e Morgan.
{
}
x +1 ⩾ 2 I B ={ x ∈ℝ / x 2+4x + 3<0 }. E6presa dicBos conjuntos x −1 mediante intervalos I calcula la unión+ la intersección I la diferencia de uno con el otro. 'alcula+ adems+ los complementario I comprueba =ue se cumplen las leIes de 8e Morgan.
,.9ean A= x ∈ℝ /
,2. 9ean $ I @ subconjuntos de un conjunto Q. E6presa correctamente+ usando la simbolog(a de la lógica cuantificacional o de predicados las e6presiones dadas a continuación+ representa mediante un diagrama de Lenn las situaciones en ellas descritas I escribe el e=uivalente de cada una de dicBas e6presiones usando la terminolog(a propia de la teor(a de conjuntos: a)
∈
XY+ b
∈
XY I a O b ? 1"/
01. 9i 6 toma el valor -1 ó 1+ cul de las siguientes alternativas representa pares de
conjuntos iguales ;
0". 8eterminar la cardinalidad de los conjuntos A , B , C ⊂0 , si Z Q Z ? ,3+ ZN$ Q @ Q ')[Z ? + Z $ Q @ Z? ",+ Z $-' Z ? 1"+ Z $ ' Z ? 0+ Z @ ' Z ? 2+ Z $ @ ' Z ? ,+ Z $ @ Z ? 11. 0,. 9ean $ I @ dos subconjuntos del universal Q =ue tiene Y elementos. 9i 1 2
∣ B∣= 3 ,
∣( A1 ∩ B 1 ) 1 ∣=
3 3 , calcula 20
∣ A∣ ,
2 5
∣ A∩ B∣= 3 ,
∣( A− B )∪( B − A )∣.
00.El e=uipo de f!tbol-sala de la ,\ clase del instituto Megal(o est formado por
corresponde al n!mero de personas =ue utilian ambos medios para estar al d(a en los acontecimientos del mundo. a) 'untas de las personas encuestadas se enteran de las noticias sólo a trav5s de la televisión; b) 'untas de las personas entrevistadas lo Bacen !nicamente a trav5s de la radio; c) 'untas de las personas investigadas no Bacen uso de ninguno de los dos medios; 3.$ una prueba de ingreso a la Qniversidad se presentaron 133 alumnos+ de los cuales aprobaron el e6amen de Matemticas+ " el de Matemticas I D(sica I 1 aprobaron sólo el de D(sica. 'untos no aprobaron ninguno de los e6menes mencionados; 1.8e un total de 3 alumnos del primer curso del F. @. Todoestudiado: 1 estudian solamente ruso+ 11 estudian ruso e ingl5s+ 1" estudian sólo alemn 2 estudian ruso I alemn 13 estudian sólo ingl5s estudian ingl5s I alemn I , los tres idiomas. 8etermina: a) 'untos no estudian ning!n idioma; b) 'untos estudian alemn; c ) 'untos estudian sólo alemn e ingl5s; d ) 'untos estudian ruso; ".9e preguntó a unas cuantas madres de alumnos de nuestro instituto sobre si leen o no alguna de las revistas `^a Mar=uea+ `9ólo
N' ) I @iolog(a+ obteni5ndose los siguientes datos: ninguno de los =ue prefieren N') simpatian con N@)+ "" sólo con N9)+ "3 sólo con NE)+ "3 sólo con N')+ "3 con N9) I N@) pero no con NE)+ sólo con N') I NE)+ 0 con N9) I N')+ "0 con N@) I NE)+ "2 sólo con N@). 'untos prefieren sólo N9) I NE)+ si a todos les gusta por lo menos una de esas tres carreras; .9e llevó a cabo una investigación con 1333 personas+ para determinar =ue medio utilian para conocer las noticias del d(a. 9e encontró =ue 033 personas escucBan las noticias en forma regular por TL+ ,33 personas escucBan las noticias por la Jadio I " se enteran de las noticias por ambos medios. a.-'untas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la TL; b.-'untas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por Jadio; c.-'untas de las personas investigadas no escucBan ni ven las noticias; 2.9e realió una encuesta a 11 personas+ sobre sus preferencias por dos tipos de productos $ I @. ]bteni5ndose lo siguientes resultados: El n!mero de personas =ue prefirieron uno solo de los productos fueron . El n!mero de personas =ue prefirieron ambos productos fue igual al n!mero de personas =ue no prefirió ninguno de los dos productos. El n!mero de personas =ue no prefieren el producto $ I prefirieron el producto @ fueron ,. 9e desea saber: a) 'untas personas prefieren el producto $; b) 'untas personas prefieren el producto @ solamente; c) 'untas personas prefieren ambos productos; A.9e le preguntó a un grupo de 13 estudiantes sobre sus preferencias por dos marcas de refrescos
tengan !nicamente la especialidad en electricidad; 'untas plaas se ofrecen para ingenieros especialiados en electricidad I =u(mica pero no en mecnica; ".Qna farmacia rebajó el precio de una loción I el de una crema. ^a contabilidad al final de un d(a indicó =ue personas Bab(an comprado crema "1 compraron loción I "1 ambos productos. a) 'untas personas aprovecBaron la oferta; b) 'untas compraron solamente la loción; c) 'untas compraron solamente la crema; ,.Qna encuesta realiada a un grupo de empleados reveló =ue " ten(an casa propia ",, pose(an automóvil 03 televisor 1 automóvil I televisor 1"3 automóvil I casa 1A3+ casa I televisor I 13 ten(an casa+ automóvil I televisor. a. 'untas personas fueron encuestadas; b. 'untas personas tienen solamente casa propia; c. 'untas personas tienen solamente casa I televisor; 0.En un curso compuesto por "" alumnos 1" estudian $lemn 11 estudian ingl5s I 11 franc5s+ estudian alemn e ingl5s estudian Fngl5s I Dranc5s estudian alemn I franc5s I " estudian los tres idiomas. 'untos alumnos estudian sólo ingl5s; .En una encuesta sobre preferencias de los canales de T.L.+ + A I 1, se obtuvo la siguiente información: Encuestados ven el canal + 1 9ólo ven el canal I el canal A+ ,, Len el canal I el canal 1,+ , 9ólo ven el canal 1,+ " Len los tres canales+ 0 Len el canal A+ Yo ven T.L+ " 9ólo ven el canal 1, I el canal A. $verigua: a) ^a cantidad de personas encuestadas. b) ^a cantidad de personas =ue ven sólo el 'anal A. .En un total de "3 personas encuestadas sobre su desaIuno se obtuvieron las siguientes respuestas+ ,3 personas tomaban t5 con lecBe+ 03 personas tomaban caf5 con lecBe+ 23 personas tomaban lecBe+ 1,3 personas tomaban t5 o lecBe I 13 tomaban caf5 o lecBe. a) 'untas personas tomaban t5 puro; b) 'untas personas tomaban lecBe pura; c) 'untas personas tomaban caf5 puro; d) 'untas personas no tomaba ninguna de estas tres cosas al desaIuno; .Qn Botel recibe 3 visitantes+ de los cuales , permanecen como m(nimo 1 semana+ 0, gastan como m(nimo ,3.333 diarios+ ," estn completamente satisfecBos del servicio ,3 permanecieron como m(nimo una semana I gastaron como m(nimo ,3.333 diarios+ " permanecieron como m(nimo una semana I =uedaron completamente satisfecBos+ " gastaron como m(nimo ,3.333 diarios I =uedaron completamente satisfecBos I "0 permanecieron como m(nimo una semana+ gastaron como m(nimo ,3+333 diarios I =uedaron completamente satisfecBos. a) 'untos visitantes permanecieron como m(nimo una semana+ gastaron como m(nimo ,3.333 diarios pero no =uedaron completamente satisfecBos; b) 'untos visitantes =uedaron completamente satisfecBos + pero permanecieron menos de una semana I gastaron menos de ,3.333 diarios; c) 'untos visitantes permanecieron menos de una semana I gastaron menos de ,3.333 diarios I no =uedaron completamente satisfecBos.; 2. 9e encuesta a 133 personas obteni5ndose la siguiente información: -Todo encuestado =ue es propietario de automóvil tambi5n lo es de una casa. - 0 encuestados son Bombres. - ,3 de los encuestados =ue son Bombres no son propietarios de un
automóvil. - ,3 de los encuestados =ue son mujeres son propietarios de una casa. - de los encuestados =ue son mujeres son solamente propietarios de una casa. - 1 encuestados =ue son propietarios de una casa no lo son de un automóvil. a) Hacer un diagrama adecuado a la situación e indicar la cardinalidad correspondiente a cada región. b) 'untos encuestados =ue son Bombres son solamente propietarios de casa; c) 'untas mujeres no son propietarios de casa; A.Qna tienda de art(culos electrónicos vende en un d(a 00 e=uipos de m!sica+ todos los =ue tienen lector de '8 N'.8.) tienen lector de cassetes NT.'.). $lgunos tienen control remoto N'.J) I otros ninguna de las tecnolog(as nombradas. 9i se vendieron: 1 e=uipos con N'.J) pero sin N'.8)+ 1" e=uipos con NT') pero sin N'8) ni N'J)+ "0 e=uipos sin N'.J)+ A e=uipos con N'.J) I NT.')+ 1 e=uipos con NT.') pero sin N'.J): a) 'untos e=uipos =ue ten(an alguna de 5stas tecnolog(as se vendieron; b) 'uantos e=uipos se vendieron con N'8) I N'J); c) 'untos e=uipos con N'J) pero sin NT') se vendieron;
