Capítulo 1 CONJUNTOS CONVEXOS
1. Introducción: Un conjunto es una colección de objetos donde se denota como S .Cada uno de los objetos que pertenece a S se denomina elementos, para denotar que X es un elemento de S se escribe . Si eliminamos algunos elementos del conjunto S se obtiene otro conjunto T. Se dice entonces que T es un subconjunto de S y se escribe .Si .Si llegamos a suprimir en S algunos elementos, el conjunto T no contendría elemento alguno, en donde se denominará conjunto vacío y se denota por .La .La intersección de dos conjuntos ,V y W ej:se denota como . Se dice que V y W son conjuntos disjuntos si .
∈
⊂
∅
∩∅
⋂
2. Subconjuntos de R Se denominara R denominara R como como un conjunto muy importante, el conjunto de todos los números reales. Sea:
2 { ∈ ⁄1 ≤ ≤ 1} 3 { ∈ ⁄1 < < 1} 4 { ∈ ⁄2 < < 3}3} 5 { ∈ ⁄0 ≤ ≤ 1 2 < > 3} 6 { ∈ / 1, 2, 3 } 7 { ∈ ⁄ ≥ 0} 8 { ∈ ⁄ > 0}
Los conjuntos anteriores son subconjuntos de R, se dice que un conjunto es acotado si existe un número real positivo, M, tal que Tomando M=4, vemos que los subconjuntos mencionados S1-S6 son acotados, caso contrario para S7-S8 es imposible encontrar un número por ende no son acotados.
⊂ ∀∈,<<.
3. Subconjuntos convexos de R
.1 Definición. Un conjunto ⊂ es convexo si, solamente si [, ] ⊂ ∀, ∈ , , ≤ Un conjunto de R es convexo sss, para cualquier par de puntos pertenecientes al conjunto, conjunto, el segmento que los une une esta enteramente contenido en el conjunto.
S⊂R es convexo sss, su representación gráfica es una línea conexa ,
en otras palabras será convexo si presenta un inter valo contenido en R.
S⊂R
Para que un subconjunto sea convexo es preciso que todas las combinaciones convexas de todos los pares de puntos de S se encuentren también en S.
S ⊂ R es convexo si y solamente si ⋋ (1 ⋋) ∈ ∀⋋∈ [0,1] ∀ , ∈
3.2 Definición. Un conjunto
Demostración: Tomemos un conjunto de forma es convexo.
[,] , queremos demostrar si [,]
, cualesquiera, ⋋∈ [0,1] arbitrario y examinemos el ⋋ (1 ⋋). Dado que , ∈ [0,1] ≤ ≤ (1.10) ≤ ≤ (1,11) Multiplicamos por ⋋ a (1.10), (1,11) por (1 ⋋) y sumando, resulta ≤⋋ (1 ⋋) ≤ Queda que ⋋ (1 ⋋) ∈ [, ] ,∀ ⋋∈ [0,1] ∀ , ∈ . Por ende queda confirmado que [, ] es un conjunto convexo. 4. Subconjuntos de El producto cartesiano de dos conjuntos que se denota como , es el conjunto de todos los pares ordenados ( ∈ ) tales que ∈ ∈ en donde ù . Presentamos algunos ejemplos de subconjuntos de {(, ∈ / < } {(, ∈ / } {(, ∈ / ≥ } {(, ∈ /< < } {(, ∈ / } {(, ∈ / < } {∈/∑ } Sea pues valor de x=
=
{ ∈ /∑ ≥ } =
⊂ es acotado si existe un número real ∀ ∈ ∀ < <
Se dice que un conjunto positivo M tal que
Basta tomar que M=3 para mostrar que S9 y S12 son acotados. Si M=2 garantía la acotación de S14, sin embargo ninguno de los S10, S11, S13, S15, S16 es acotado. 5. Subconjunto convexos de es convexo sss el segmento rectilíneo que une dos puntos cualesquiera del conjunto S está enteramente contenido en S.
⊂
5.1 Definición. Un conjunto
⊂ es convexo si, y solamente si ⋋ (1 ⋋) ∈ ∀ ⋋ ∈ [0,1],∀ , ∈
Demostración. En S15 tenemos que demostrar que cualquier , y para cualesquiera Sea pues entonces
⋋ (1 ⋋) ∈5 , para , ∈15.
⋋ ∈ [0,1] , ∈15
=
=
∑ ∑ ∀ ⋋ ∈ [0,1]. Multiplicando la primer ecuación por ⋋, la segunda por (1 ⋋), y sumando, resulta Sea
=
=
⋋ ∑ (1 ⋋)∑ ⋋ (1 ⋋) 1 Así pues
∑[⋋ (1⋋)] 1 =
, ∈ 15, ∀⋋ ∈ [0,1] , ⋋ (1 ⋋) ∈15 y S15 es efectivamente un conjunto convexo. Por tanto, si
Teorema.
Ay A son dos conjuntos convexos de R ,su interseccion ,A ∩ A tambien es convexo . Si
Demostración.
, ∈ ∩ . Entonces , ∈ y , ∈ . Dado son convexos, de ahí que x ∈ y que x ∈ siendo ⋋ (1 ⋋) ⋋∈ [0,1] Por tanto, x ∈ ∩ . , ∈ ∩ , ⋋ ∈ [0,1] , se deduce que, efectivamente, ∩ . Sean que
Hiperplanos Una importante familia de subconjuntos de
R
son los hiperplanos.
Definición.
⊂ es un hiperplano si, y solamente si, puede ser
Un conjunto descrito como
{ ∈ ∕∑ ∝. } =
Cuando n=1, H contiene al único punto /α. Cuando n=2, el hiperplano es una línea recta, mientras que para n=3 es un plano. Un hiperplano de “esciende” a en dos partes: el conjunto de puntos situados en el hipeplano o “por encima” de él, y de él de los situados en él, o por “debajo “del hipeplano.
Estos dos partes se denominan semiespacios asociados a H, en donde demostramos que los hiperplanos y los semiespacios asociados a ellos son siempre conjuntos convexos.
Teorema .1
, y sus semiespacios asociados Los hiperplanos siempre conjuntos convexos.
⊂
+ − son
Teorema 1.2 Si A y B son dos conjuntos convexos disjuntos de tal que A + y B −
⊂
⊂
⊂.
, existe un hiperplano
X1
X2
El teorema nos dice que existe una recta (hiperplano en ) tal que A está enteramente situado a uno de los dos lados de la recta, y B enteramente al otro. H tiene la propiedad de separar A y B.
