EJERCICIOS
RESUELTOS DE
CONJUNTOS CONVEXOS
*( ) + a. *( Solución
Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite
(Ecuación de una recata de pendiente - ).
Definimos la expresión
como el límite del conjunto . Para su gráfica es
calculemos los valores para y cuando x = 0 y x =2 como aparece a continuación:
Si x = 0, entonces
, de donde .
Para cuando x =2, entonces lo que
. Luego , de donde
. Por
. Así, tenemos los ( ) ). los puntos de la recta ( ) y ( La gráfica correspondiente correspondiente es: Para saber cuál es exactamente el recito de esta tómese un punto que no pertenezca a la recta, esto es, ( 3, -5). Remplazando los valores de x e y en la ecuación de la recta en estudio: x + 2y =3 + 2(-5)= 3 -10 = -7 cumple con la condición del conjunto dado.
Por lo
tanto el conjunto se sitúa en la parte del plano donde esta el punto escogido, como se muestra en la gráfica siguiente: Tomemos dos puntos de este conjunto S 3, (-7, 1) y (2, -3) y tracemos el segmento correspondiente correspondi ente a estos puntos, se observa que queda totalmente contenido en el conjunto. Lo cual demuestra que es un conjunto
convexo.
correspondiente.
Ver
gráfica
Grafica del conjunto S representado por la zona de color verde, por lo qu el conjunto es convexo.
b. *( ) + Solución
( ) ( ) y para cualquiera , -, veamos si () . Sean
En efecto: como , - y y son elemento de R, (por que el producto de números reales es otro número real). Además, () y
() son también números reales. Luego ( ) y (() () ) , entonces
( ) (() () ) , la suma es cerrada en Pero ( ) ( ) y (() () ) ()( ) por propiedad de los vectores. Así ( ) (() () ) ( ) ()( )
() , lo que prueba que () . Así es un conjunto convexo.
c. *( ) + Solución
Representemos gráficamente el conjunto, para ello dibujamos el límite
y y
(Ecuaciones de una recta vertical o recta horizontal respectivamente). Tomemos un punto que no este en la recta, por
ejemplo:
(-1, 2). En este caso x=-1,
entonces el conjunto esta ubicado del lado izquierdo del eje Y, identificado con el color azul.
Ahora tomemos un punto que no esté en la recta y =0, (2, -3), de donde y =-3 y por lo tanto el conjunto esta situado por debajo deleje X, correspondiéndole el color amarillo.
La intersección de los dos subconjuntos es el cuadrante de color verde.
Tomemos dos puntos del conjunto S 4, sean (2,3) y (4,5) y tracemosel segmento que los une. Lo cual queda registradoen la siguiente gráfica:
Por lo tanto el conjunto S 4 es convexo.
