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REGRESION LINEAL
Ejercicios Resueltos de regresión lineal.
1.- La empresa paraíso analiza la relación entre el consumo de energía (en miles de KWH) y el número de habitaciones en una residencia privada unifamiliar. En una muestra aleatoria de 10 casas se obtuvo la siguiente información: a) Elabora el diagrama de dispersión. De los datos del problema.
Diagrama de dispercion consumo de energia
12 10
10, 10
14, 10 12, 9
8
10, 8 7, 7
6
9, 7 8, 6
6, 5 4
Series1
5, 4
2 0 0
5
10
15
numero de habitaciones.
b) Suponiendo que existe una relación lineal, determine los parámetros „‟a” y „‟b‟‟ de la recta de regresión e intérprete su significado.
PRODUCCION.
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Con los datos del problema calculamos los parámetros a y b.
Calculo del parámetro a:
Con los parámetros antes calculados se tiene la ecuación de regresión lineal.
De los cuales se puede interpretar que “a” nos representa que cuando no hay consumo en las habitaciones del edifico el consumo de energía por otros factores es 1.3333 kwh es decir solo encendido de luces de calle. Y el parámetro “b” nos indica que tanto crece el consumo de energía conforme aumenta el número de habitaciones por edificio.
Diagrama de dispercion consumo de energia
12 y = 0.6667x + 1.3333 R² = 0.8168
10 8 6
Series1
4
Lineal (Series1)
2 0 0
5
10
15
numero de habitaciones.
PRODUCCION.
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c) anticipe el consumo de energía para una casa de 6 habitaciones. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Reemplazando para x=6 se tiene que:
2:_Un reciente artículo en la revista de negocios presentó una lista de las mejores empresas pequeñas. Existe interés en los resultados actuales de las ventas y ganancias de las empresas. Se seleccionó una muestra aleatoria de doce empresas. A continuación se indican las ventas y ganancias, en miles de nuevos soles. a) Trace un diagrama de dispersión ¿qué relación existe entre las variables? Con los datos del problema se tiene.
DIAGRAMA DE DISPERCION GANANCIAS EN MILES()S/
14 69.2, 12.8
12 10
51.2, 8.2
8 6 4
71.7, 8 58.6, 6.6
28.6, 6 19.6, 3.5 18.6, 4.4 11.9, 1.7
2
89.2, 4.9
46.8, 4.1
Series1
17.5, 2.6 18.2, 1.3
0 0
20
40
60
80
100
VENTAS EN MILES (S/)
Luego completamos la tabla para realizar los cálculos.
PRODUCCION.
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b) Determine la ecuación de regresión e intérprete los valores de los parámetros “a” y”b”.
Calculo del parámetro a:
Con los parámetros antes calculados se tiene la ecuación de regresión lineal.
c) Calcule el coeficiente de la determinación e interprete el resultado.
O también se puede utilizar esta otra.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
El resultado obtenido nos indica que no se puede utilizar esta relación para fines de pronóstico es inferior al 50%. d) Calcule el coeficiente de correlación e interprete el resultado.
Al reemplazar los valores antes obtenidos se tiene que: PRODUCCION.
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Se puede inferir que la variable está próximo a la unidad existe una relación entre las variables consideradas para nuestro pronostico e) Estime las ganancias de una empresa pequeña con ventas de S/. 50,000. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Reemplazando para x = 50 000 se tiene que:
3:_ AMERCA S.A.C, supervisora de mantenimiento, le gustaría determinar si existe una relación entre costo anual de mantenimiento de autobús y su antigüedad. Si hay relación MERCA piensa que puede pronosticar mejor el presupuesto anual de mantenimiento de autobuses. Por ello, reúne los siguientes datos. Con los datos anteriores graficamos el diagrama de dispercion.
Costo de Manto.($)
EMPRESA S.AC 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
10, 90 8, 70 5, 60
9, 60
3, 40
0
2
4
Series1
6
8
10
12
ANTIGUEDAD (AñOS)
PRODUCCION.
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Luego completamos la tabla para realizar los cálculos.
a) ¿Qué porcentaje de la varianza no se puede explicar con la recta de regresión? Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Lo cual representa un 72.1925% por lo tanto el 27.8075 la varianza no se puede explicar con la recte de regresión.
b) Calcula el costo mensual de mantenimiento para un autobús con 20 años de antigüedad. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Reemplazando para x = 20 años se tiene que:
c) Con un 95% de confianza, estima el costo mensual de mantenimiento para un autobús que tiene 5 años de antigüedad. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Reemplazando para x = 5 años se tiene que:
PRODUCCION.
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d) ¿Deberá usar MERCA el análisis de regresión para pronosticar el presupuesto mensual de mantenimiento en autobuses? ¿PORQUE? Al calcular los coeficientes tenemos.
Al reemplazar los valores antes obtenidos se tiene que:
Existe una fuete relación de las variables tomadas para el pronóstico y el coeficiente de determinación explica un 72% de los resultados obtenidos.
e) Si se usa el análisis de regresión para formular dicho presupuesto, ¿Cuál es el incremento mensual en el costo de mantenimiento por cada año de antigüedad de un autobús. Es de 5.2912 el incremento mensual por cada año de antigüedad. 4:_Nuevo milenio S.A.C. le contrata a ud. Como analista de medio tiempo. La empresa quedó complacida cuando usted determinó que existe una relación positiva entre el número de permisos de construcción y cantidad de trabajo disponible en la empresa. Ahora, se pregunta si es posible emplear el conocimiento de las tasas de interés sobre primeras hipotecas, para predecir el número de permisos de construcción que se emitirán cada mes. Usted reúne una muestra aleatoria de nueve meses de datos: MES PERMISOS CONSTRUCCION TASA INTERES %
1
2
3
4
5
6
7
8
9
796
494
289 892
343
888
509
987
187
10.2
12.6 13.5
10.8
9.5 10.9
9.7
9.2 14.2
a) Grafique los datos de un diagrama de dispersión.
PRODUCCION.
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Título del gráfico 1500 9.2, 987 1000
9.5, 888
500
9.7, 892 10.2, 796 10.9, 509 12.6, 494 Series1 13.5, 289
10.8, 343
0 0
5
10
14.2, 187
15
b) Determine la ecuación de regresión de la muestra. Para ello completamos la tabla:
Calculo del parámetro b:
Calculo del parámetro a:
Con la cual se tiene. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
PRODUCCION.
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c) Al incrementarse la tasa de interés en 1% ¿cuál es la disminución promedio en el número de permiso de construcción? De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
La disminución promedio seria en 145.315 d) Calcule e interprete el coeficiente de determinación. Con los datos antes calculados se tiene: Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
La recta explica gran parte del pronóstico. e) Redacte un memo explicando los resultados de su análisis. Notamos que existe una dependencia inversa es podemos fijarnos en la siguiente grafica. También al calcular el coeficiente de correlación es negativo y es próximo a -1 es decir no ay una estrecha relación entre la variable tomadas para el análisis del pronóstico.
diagrama de dispersion permiso para construccion
1200 1000 800 600
Series1
400
Lineal (Series1) y = -145.31x + 2222.6 R² = 0.793
200 0 0
5
10
15
tasa de interes
PRODUCCION.
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5.El Sr. Aguilar observa el precio y el volumen de ventas de latas de leche de 10 semanas elegidas en forma aleatoria. Los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:. a) Elaborar en diagrama de dispersión ¿qué tipo de relación existe entre las ventas y el precio?
diagrama de dispersion 25
ventas (latas)
20
1.1, 20 1.0, 17
15
1.2, 15
10
1.5, 12 1.6, 10
1.3, 10
2.0, 6 1.7, 5
5
1.4, 12 Series1 1.6, 5
0 0
2
4
6
8
10
12
precio (s/)
b) Establezca la ecuación de pronóstico. Calculo del parámetro b:
Calculo del parámetro a:
Con la cual se tiene. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
c) Pronostique las ventas para un precio de s/1.8 y de s/3 con 95% de confianza. Para X=1.8:
PRODUCCION.
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Para X=3:
d) ¿Qué porcentaje de las ventas se puede explicar mediante la variabilidad en el precio. Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Lo cual representa un 44.44% por lo tanto el 56.56 la varianza no se puede explicar con la recte de regresión. 6. Al gerente de una empresa que fabrica partes le gustaría desarrollar un modelo para estimar el número de horas-trabajador requeridas para las corridas de producción de lotes de tamaño variable. Se seleccionó una muestra aleatoria de 14 corridas de producción (dos por cada tamaño de lote: 20, 30, 40, 50, 60, 70 y 80) y los resultados se muestran a continuación: a) Elabore un diagrama de dispersión ¿qué relación existe entre las variables?
diagrama de dispersion 180
80, 162
horas de trabajador.
160
70, 148
140
80, 170
70, 160
60, 135 60, 128 50, 112 50, 108 40, 95 40, 87
120 100 80
30, 67
60
20, 55
40
30, 73
Series1
20, 50
20 0 0
20
40
60
80
100
tamaño de lote
PRODUCCION.
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b) Suponiendo que existe una relación lineal, determine los coeficientes de regresión a y b.
Calculo del parámetro b:
Calculo del parámetro a:
Con la cual se tiene. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
PRODUCCION.
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diagrama de dispersion 180
horas de trabajador.
160
y = 1.9607x + 12.679 R² = 0.9878
140 120 100 80
Series1
60
Lineal (Series1)
40 20 0 0
20
40
60
80
100
tamaño de lote
c) Qué cantidad de horas-trabajador no se ven afectadas por la variación en el tamaño del lote de producción. Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Luego el 1.2215% no se ven afectados con la variación del lote de producción. d) Si el tamaño del lote se incrementa en 2 unidades ¿cuál es el efecto en las horas-trabajador? De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
El efecto en las horas del trabajador aumente a 16.59.
e) Estime el número promedio de horas-trabajador requerido para una corrida de producción con tamaño de lote de 45. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
PRODUCCION.
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Reemplazando para x=45 se tiene que:
f)
¿Sería apropiado estimar el número promedio de horas-trabajador requerido para una corrida de producción con un tamaño de lote de 100? Explique su respuesta.
No sería apropiado pues escapa de los límites del rango de de los datos obtenidos . g) Calcule el coeficiente de determinación e intérprete su significado. Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
h) Calcule el coeficiente de correlación e intérprete su significado.
Al reemplazar los valores antes obtenidos se tiene que:
i)
Establezca una estimación de intervalo de confianza del 90% de las horastrabajador promedio para todas las corridas de producción con un tamaño de lote de 45.
Primeramente calculamos el erro estándar
Ahora calculamos el error estándar de pronóstico.
PRODUCCION.
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Calculo de grados de libertad gl.
Luego buscamos su valor en la tabla estándar. t(90%) = 1.87 Luego en la ecuación de intervalo.
Con los resultados anteriores se tiene que:
j)
Establezca un intervalo de confianza del 90% de las horas-trabajador para una sola corrida de producción con un tamaño de lote de 45.
Primeramente calculamos el erro estándar
Ahora calculamos el error estándar de pronóstico.
PRODUCCION.
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Al gerente de Comercialización de una cadena grande de supermercados le gustaría determinar el efecto del espacio en estantes sobre las ventas de comida para mascotas. Se selecciona una muestra aleatoria de 12 supermercados de igual tamaño y los resultados se presentan a continuación:
a) Elabore un diagrama de dispersión ¿qué relación existe entre las variables?
diagrama de dispersion venta semanal(miles de S/)
3.5 3 10, 2.6 10, 2.4
2.5 5, 2.2
2
20, 3.1 20, 2.9 20, 2.6
15, 2.8 15, 2.7 15, 2.3
10, 1.9 5, 1.6 5, 1.4
1.5 1
Series1
0.5 0 0
5
10
15
20
25
espacio del estante (m2)
Existe una relación directa según el diagrama dispersión
PRODUCCION.
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b) Suponiendo que existe una relación lineal, calcule los coeficientes e regresión a y b. Calculo del parámetro b:
Calculo del parámetro a:
c) Interprete el significado de a y b. “a” representa el numero de ventas por otros medios sin contar con stands. “b” la variación de las ventas en relación con el tamaño de stands. d) Si no se dispone de ningún espacio en estantes para alimentos de mascotas, es decir X = 0, estimar la venta e interpretar el resultado. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Para x=0 se tiene
Es decir la venta es por otros medio otros stands. e) Por cada m2 de incremento en el espacio del estante ¿cuál es el efecto en las ventas? De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Se tiene que:
f) Estime las ventas semanales promedio (en miles S/.) de alimentos para mascotas en estantes de 8 m2 de espacio. De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
PRODUCCION.
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g) Calcule el error estándar de la estimación e interprete el resultado.
Primeramente calculamos el erro estándar
Este número nos indica que tan alejados están los valore de Y respecto a Yp. h) Calcule el coeficiente de determinación e interprete el resultado. Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
i) Calcule el coeficiente de correlación e interprete el resultado. Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Al reemplazar los valores antes obtenidos se tiene que:
j) Establezca una estimación de intervalo del 95% de las ventas semanales promedio para todas las tiendas que poseen 8 m2 de espacio en estantes para alimento de mascotas. Primeramente calculamos el erro estándar
PRODUCCION.
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Ahora calculamos el error estándar de pronóstico.
Calculo de grados de libertad gl.
Luego buscamos su valor en la tabla estándar. t(95%) = 2.23 Luego en la ecuación de intervalo.
Con los resultados anteriores se tiene que:
k) Con un 95% de confianza ¿cuál es la venta estimada para una sola tienda que disponga de 8 m2 de espacio en estantes para alimentos de mascotas? Primeramente calculamos el error estándar
Ahora calculamos el error estándar de pronóstico.
PRODUCCION.
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8. Un analista extrae una muestra aleatoria de 10 embarques recientes en camión que ha realizado una empresa y registra la distancia en Km., así como el tiempo de entrega con una aproximación de medio día desde el momento en que el embarque estuvo disponible para recogerlo, tal como se indica: De los datos del ejercicio
a) Elabora un diagrama de dispersión ¿ Qué tipo de relación existe entre el tiempo de entrega y la distancia?
grafica de regresion 6 1215, 5
time de entrega
5
1350, 4.5
825, 3.5
4
1070, 4 920, 3
670, 3
3
325, 1.5
2
550, 2
Series1
480, 1
1
215, 1
0 0
500
1000
1500
distancia en km
PRODUCCION.
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b) Establece la recta de regresión. Calculo del parámetro b:
Calculo del parámetro a:
De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
c) Estima el tiempo de entrega desde el momento en que el embarque está disponible para enviarlo en un camión que recorrerá c1) 1,000 Km., c2) 2500 Km. Para: 1000km
Para: 2500km
d) ¿Qué porcentaje de la varianza en el tiempo de entrega es estadísticamente explicable por la distancia del recorrido en camión? Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Solo el 98%.
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e) Calcula el coeficiente de correlación e interpreta el resultado Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Al reemplazar los valores antes obtenidos se tiene que:
Las variables son muy relacionadas.
f) Presenta en un cuadro los intervalos de pronóstico del 95% para la muestra de 10 observaciones. N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
dato 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215
Yp min 2.71989 0.251423 3.49289 1.68309 1.39369 3.03356 4.286686 0.732049 2.15826 3.91071
yp 3.1726346 0.8889225 3.954186 2.089934 1.838977 3.416421 4.958014 1.2832865 2.520146 4.4740255
Yp max 3.43183 1.52644 4.41555 2.49681 2.2843 3.79934 5.62925 1.83855 2.88207 5.03742
g) Al incrementarse la distancia en 100 Km. ¿cuál es el efecto en el tiempo de entrega? De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
Luego de operar se tiene.
Se tiene que el time de entrega se incrementa. h) Determina el tiempo de entrega mínimo. Para ello reemplazamos en la ecuación.
PRODUCCION.
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El tiempo mínimo es 0.1181129 días es decir 2.83 horas 9. El Gobierno Regional de Arequipa estudia la relación entre el número de licitadores en un proyecto para una carretera y la licitación más alta (menor costo) para el proyecto. De interés particular resulta saber si el número de licitadores aumenta o disminuye la cantidad de la oferta ganadora.
a) Determine la ecuación de regresión. Interprete la ecuación. ¿Más licitadores tienden a aumentar o a disminuir la cantidad de la oferta ganadora? Calculo del parámetro b:
Calculo del parámetro a:
PRODUCCION.
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De las ecuaciones de regresión se tiene reemplazando en las formulas.
b) Estime la cantidad de la oferta ganadora si hubiera habido siete licitadores.
c) Se construye una nueva entrada en la carretera. Hay siete licitadores en el proyecto. Determine un intervalo de predicción de 95% para la oferta ganadora. Primeramente calculamos el error estándar
Ahora calculamos el error estándar de pronóstico.
d) Determine el coeficiente de determinación. Interprete su valor. Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
e) Para qué oferta ganadora no se presentarán licitadores. PRODUCCION.
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Para ello hacemos a X=0
Para esta oferta no se presentan licitadores. f) Para qué número de licitadores no habrá oferta ganadora?
Para ello hacemos a Yp=0
No existirá oferta ganadora para una licitación de 24.
10. En la siguiente tabla se muestra el número de automóviles vendidos en Lima durante los doce últimos años y el porcentaje de automóviles importados por la compañía Alfa SAC.
PRODUCCION.
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a)¿El número de automóviles vendidos se relaciona de forma directa o indirecta con el porcentaje del mercado de la empresa ALFA? Trace un diagrama de dispersión para apoyar su conclusión.
diagrama de dispersion porcentaje de alfa
60
78, 50.4
60, 50.2
50 73, 44
40
103, 49.9
115, 44
108, 43.1
154, 40.1
101, 39.5 135, 36
155, 31.7 174, 28.6 171, 27.8
30 20
Series1
10 0 0
50
100
150
200
automoviles vendidos
b) Determine el coeficiente de correlación entre las dos variables. Interprete el valor. Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Al reemplazar los valores antes obtenidos se tiene que:
Las variables no se encuentran relacionadas. c) ¿Es razonable concluir que hay una asociación negativa entre ambas variables? Utilice el nivel de significancia de 0.01. Si es razonable concluir que exista una relación inversa entre dichas variables. d) ¿Cuánta variación en el mercado de ALFA se explica por la variación en los automóviles vendidos? Para ello calculamos el coeficiente de determinación.
Reemplazando los valores obtenidos anteriormente.
Aproximadamente el 78%. PRODUCCION.
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