10.61: Designado por YN la profundidad de la figura. Deducir una expresión para el flujo laminar a lo largo de una placa de anchura infinita. Considerando el volumen lire con anchura unidad.
Equilibrio de fuerzas:
Pero la tensión cortante:
es igual a dv La velocidad media es:
De aquí tenemos teniendo en cuenta u=densidad.viscosidad cinematica y despeando
10.6!: Demostrar "ue la velocidad media # puede expresarse como: " " " V = '.&! R # %V ∗ $ ! n
(olución: V ∗
τ
=
V = S = V =
ρ "
R
!
&
S
&
%
n τ
"
!
γ ) R " n
R
!
τ γ ) R
$
"
!
γ = ρ g " " " V = '.&! R # %V ∗ $ ! n
10.66: $e "uiere transportar un caudal de %.1 m !&s en un canal aierto a una velocidad velocidad de 1.!m&s. determinar determinar las dimensiones dimensiones de la sección recta ' la pendiente pendiente si la sección recta es( a) rectangular con una profundidad igual a su anchura( ) semicircular semicircular ' c) trape*oidal trape*oidal con una profundidad profundidad igual a su anchura anchura de la solera del canal ' con pendiente de los lados 1&1 utilice n+0.0%0.
10.6!: Demostrar "ue la velocidad media # puede expresarse como: " " " V = '.&! R # %V ∗ $ ! n
(olución: V ∗
τ
=
V = S = V =
ρ "
R
!
&
S
&
%
n τ
"
!
γ ) R " n
R
!
τ γ ) R
$
"
!
γ = ρ g " " " V = '.&! R # %V ∗ $ ! n
10.66: $e "uiere transportar un caudal de %.1 m !&s en un canal aierto a una velocidad velocidad de 1.!m&s. determinar determinar las dimensiones dimensiones de la sección recta ' la pendiente pendiente si la sección recta es( a) rectangular con una profundidad igual a su anchura( ) semicircular semicircular ' c) trape*oidal trape*oidal con una profundidad profundidad igual a su anchura anchura de la solera del canal ' con pendiente de los lados 1&1 utilice n+0.0%0.
DATOS Q=2.1m3/s V=1.3m/s y=b a = 2b
b
2b
(olución: A =
Donde:
Q V
De donde A =
*rea +idr,ulica:
!." ".&
A = b × !b
= ".#"-m !
".#"-m !
= !b !
= '.'00 b = y = './'m a = ! y = ".'m b!
Perímetro +idr,ulico:
P = ! y + b ⇒ P = ".' + './ P = !.0'm
1adio +idr,ulico: RH =
A P
=
".#"!.0'
= '.#
Por formula de 2anning.
" Q = R ! 3 & S " 3 ! A n S =
S =
!
(V × n )
⇒
R ! 3 &
'.''"&
b$ A =
!."
Q V
⇒
".&
= ".#"-4 =
π r !
!
(".& × '.'!') = S '.# ! 3 &
r = ".'"4m
⇒
"
( &b + b ) × b = ".#-4 ! b = './' y = './' ".#-4
R = S =
&.44#
= '.4#
".& × '.'! '.4#! 3 &
→ S = '.''"-
10.6,: Con "ue pendiente se tra*ar-a el canal representado para transportar 1.,/m!&s C + 22). 2.44 1.22
3.05
2.44
1.80 3.15
5="4.0/m& A =
" !
(".!! + &.'-) × !.44 = -.!"m !
P = ".!! + &.'- + &."- = 0.&!m RH = Q A
-.!" 0.&!
= C
= '.0"!m
RS
Q S = AC ×
!
= '.''&04 R
10.63: 4l canal representado se tra*a con una pendiente de 0500016 cuando llega a un terrapln de una v-a de tren5 el flujo se transporta mediante dos tuer-as de hormigón n+0.01%) tra*adas con una pendiente de %52m sore 1000m 78u dimensiones deer9n tener las tuer-as
T
1
1
1.22
6.10
Figura 10.18
Solución: S =0.00016 n =0.020 T =6.10 + 1.22=7.32 m
A =
(
6.10
+ 7.32 2
)∗
1.22
=8.186 m 2
P=1.22 + 6.10 + 1.22 √ 2=9.045 m
R=
A 8.186 = =0.905 m P 9.045 2 /3
1 /2
2/ 3
R ∗ S ∗ A 0.905 ∗0.00016 = Q= 0.020 n
1/ 2
∗8.186
= 4.84 m 3 / s
Ahora en la tubería Numero de tuberías = 2 Por tanto el caudal de diide en dos Q=2.42 m 3 / s n =0.012 S =2.5 / 1000
A =
π ∗ D
2
4
P= π ∗ D
R=
D 4
2/ 3
( ) D 4
2/ 3
2.42
=
1 /2
R ∗S ∗ A 0.012
=
∗0.0025 0.012 4
1 /2
∗π ∗ D
2
D =1.26 m 10.,0: Circula agua a una profundidad de 1./0m en un canalrectangular de %.m de ancho.la velocidad media es de 0.2,/m&s 7con "ue pendiente proale estara tra*ado el canal si C+22
(6L7896.
8;;L1E8<;7L;1 D;<6(: >=!.44m ?='.-0/m3s 8=-(=@ P=>A!B=!.44A!C%"./'$=#.!4m ;=>CB=!.44C"./'=4.#&#m A 4.636 1= P = 6.24 =0.7429 m
E2PLE;D6L;6127L; DE 8EFB P;1; EL8;L87L6 DE L; PED9E
2
V =C RS 2
V =S 2 RC
2
V =S 2 RC
0.579
2
∗
2
0.7429 55
=S
RESPUESTA: 0.000149 = S
10.,%: 7cu9l es el caudal de agua en una tuer-a de alcantarillado vitrificado nueva de 61cm de di9metro5 estando la tuer-a semillena ' teniendo una pendiente de de 0.00%2
D;<6(: ;lcantarillado vitrificado nueva 5=@ D=#"cm (='.''!(6L7896
DE L; <;>L; G '/ (E <9EE %n='.'"& H m='.!/$ p= π r
❑
P= π ∗0.305 m P='./-"/m A =
πD
∗
2
4 2
A =
π ∗0.61
2
∗2
4
2
A = 0.1461237 m
R= R=
A =¿ P 0.1461237 0.95819
=0.1525 m
Por la ecuación de 2anning se tiene: R
v=
v=
2 /3
∗S
2
n
0.1525
2/ 3
∗0.0025
1 /2
0.013
?=".'/m3s
5=;C?
5='."4#"!&0C".'/m &3s
5='."#'4m&3s
10.!": #ue $ro%undidad tendr& el %lu'o de agua en una ace(uia en con un Angulo de )0 grados n=0.01*+ tra,ado con una $endiente de 0.000"+ si trans$orta 2.--m*
b
zy
n = 0.013 S=0.0004 Q=2.55m3/s
zy
Y
Tg 4- =
b = ! zy
A = zy ! P = ! y
=
y
= z →
" = z
H
b = ! y
R H
zy
A P
= y ! " + z ! = !.! y !
=
y !.! y
= '.&-&-- y
formula de maning
Q
" =
!.-- =
n
" '.'"&
R
! 3 &
" 3 !
S
A
%'.&-&--4$ ! 3 & %'.'''4$ " 3 ! C y !
%'.&-&--4$ ! 3 & y !
y ! 3 & y !
= ".#-0-
= &.&"-'!
y = ".-#04 → y = ".-0
rpsta
10.!/:$ara construir una ace(uia de seccion triangualar se em$lea madera serada. ual deera ser el angulo en el ertice $ara $oder trans$ortar el maimo caudalcon una $endiente dada
b
zy
θ = @
zy
Y
Tg
b = ! zy b = ! y
θ !
=
H
Se sabe !ue para "audales m#$imos z%& Enton"es :
zy y
= z →
θ
tg
!
= z
θ
tg
!
= z
θ
⇒ tg = " !
θ !
θ
=
=
4-G /'
10.!8:una ace(uia desagua 1.1)m*s con una $endiente de 0.-0m sobre1000m.a seccion es rectangular3 el coe%iciente de rugosidad es n=0.012 .4eterminar las dimensiones o$timas+es dicir+las dimensiones (ue dan el menor $erimetro mo'ado Sololu"ion
b
DATOS Q=1.19m3/s S=0.0005 n = 0.012 yC=? bC=? Y
formula de maning
Q
" =
n
R
! 3 &
" 3 !
S
A
"."/ =
y % $ ! 3 & %'.'''-$ " 3 ! C y ! '.'"! ! "
y ! 3 & y !
= '.#&#
y 3 &
= ".'"&0 y = ".''-" → y = ".''m b = !.'" → b = !m
rpsta
10.80: un canal rectangular reestido de ".88mde anchura+ tras$orta un caudal de 11.--m*s con una $ro%undidad de0.8/*m.5allar n si la $endiente del canal es de 1m sobre ")!m 6a$licar la %ormula de maninng7 S'(UC)'*
DATOS Q=11.55m3/s Y=0.863 S=0.0002 n = ? Y
b = 4.88m
A = b × y A = 4. × '.#& = 4.!""44 m P = b + ! y P = 4. + !%'.#&$ = #.#'#m
R = R =
A P 4.!""44 #.#'#
= '.#&0-
formula de maning
Q
" =
"".-- =
" n
n
R
! 3 &
" 3 !
S
A
%'.#&0-$ ! 3 & %'.'''!$" 3 !
× 4.!""44 !
n = '.'"!'0 → n = '.'"!"
rpsta
10.36. Dise;ar el canal trape*oidal optimo para transportar 1,m!&s a una velocidad m9xima de 0./12m&s . 4mplear n+0.0%2 ' como pendiente de las paredes 1 vertical sore % hori*ontal.
Solución:
Datos: Q = "0
m& seg
Vmax = 0.915m/s n=0.025 Z=2:1 Desarrollando por M.E. Y
!=
2
≈
A != P
2= √ 2 √ 1 + Z − Z 2
Q ;= V →
→
17
;=
0.915
2= √ 2 √ 1 + 2 −2 =".-0 2
2 =".-0/ m
1
B= M
√ A
A b= Y IFB
1
→
B=
→
b=
1.57
√ 18.579
18 . 579 2 . 74
¿ 2.74
I!%!.04$ = ".!/0m
10.33: 7cu9l de los dos canales representados en la fig. 10.1/ conducir9 el ma'or caudal si amos est9n tra*ados con la misma pendiente
Datos 5 = J@ m3s B=/m n='.'"! b=!'m
5=J@m3s B=#m n='.'"' b=!'m
Para canal trapezoidal: A = %b + ,+ $+ = ( !' + ".&&& $# ) # → A = "#0./m ! P = b + !+ (" + , ! ) R =
A P
=
"#0./ &/.//
→ P = !' + ! $# (" + ".&&& ! ) → P = &/.//m
→ R = 4."//0
"sumiendo una de 0.001
!
" " & V = $4."//0 $'.''"! '.'"'
m V = .!&"-4" seg
3
5 = ? C ; → 5=.!&"-4"C"#0.//="&!.
m s
Para canal rectangular: 2 ; =bCy → ;=!'C/= "!' m
P=b A!y → P=!'A!C/=&3m A 1= P →
120
1=
= &."-0m
38 !
" " & V = $&."-0 $'.''"! '.'"'
V = 4.-4
m seg
3
5 = ? C ; → 5=4.-4C"!'=-44.-&
m s
1espuesta la sección trapezoidal 10./0 7Cual es el radio de la ace"uia semicircular < representada en la figura 10.%1 si su pendiente $+0.0%00 ' C+20
C
EI=73.63 m
A EI=65.24 m
C=110 Q2 C=100 Q1
D
EI=36.6 m C=120 Q3 r
B
s 1=
s 2=
65.24 2745
73.63 3050
=0.0273
Q=0.2788 ∗c∗ D
2.63
0.5
∗S
c =50 s= 0.0200
=0.0241
Q 1+ Q 2 = Q 3
KKKKKKKK." 2.63
Q 1=0.2788 ∗100∗(61 )
0.5
∗( 0.0273 )
→
2.63
Q 2=0.2788 ∗110∗( 76.2 )
0.5
∗(0.0241 )
Q1=212.86 ¿ s
KK!
Q 2= 423.87 ¿ → s 3
2 y 3 !n 1
Q 1+ Q 2 = Q 3
s4 =
Q3=212.86 + 423.87 = 636.73 ¿ → s
36.6 1220
'.'&'' 2.63
Q 4 =0.2788∗120∗( 91.5 ) 198.05
r
2.63
0.5
∗( 0.0300 )
2.63
Q 4 =834.78 ¿ → s
0.5
=0.2788 ∗50∗( 2 r ) ( 0.0200 )
=0.197786
r = 0.5399 m
10./% =na tuer-a de alcantarilla n+0.01 esta tra*ada con una pendiente de 0.00013 ' por ella circula un caudal de %.,6m!&seg. Cuando la profundidad es el 30> de la profundidad total determinar el di9metro re"uerido en la tuer-a.
T d 8 . 0
R=
n = 0.014
(
− A = ∆ AOCE ∆ AOCD P Arco ABC
)
S= 0.0018 3
m s
Q=2."6
cos θ
=
0.36 d 0.44
d →#=38$ 56%
( )( ) = −( )∗ =
∆ AOCE=
2 A
360
∗
1 4
πd
2 A
Are ABC πd
360
2
=0.1699 d 2
πd
2.46192 d
A 0335 d tan ¿
¿ 2∗1 ∗( 0.35 d )∗¿ Are ∆ AOCD = 2
πd 4
R=
2
−[ ( 0.1699 d ) −(0.09899 d ) ] 2
2.46192 d 1
2 /3
2
=
0.714488 d 2.46192 d
1/ 2
Q= ∗ R ∗S ∗ A n 2.76=
1 0.014
8
d 3 =9.19217
∗0.29022/ 3∗0.000181 /2∗0.714488 d 2
2
=0.2902 d
d =2.31
10./: ?or una tuer-a de 1m de di9metro circula un caudal de agua de 0.0m!&s a una velocidad de 0.30m&s. determinar la pendiente ' la profundidad de la corriente. $olución
"m '.#& m
A - !
= '.-!"! =
A
%"$!
= '.-!"!
A = '.-!"!
+ -
R -
= '.#& "
= '.!&/ R %"$
η L Con"uen
1='.!&/ Por 2anning "
5=
n
$R ! 3 & $S " 3 ! $A
= '.!&/
" '.'"!
$ %'.!&/$
!3&
"3 !
$S $'.-! $"!
'.4' = (= 4.--
10./6: Calcular la energ-a espec-fica cuando circula un caudal de 3.,3m!&s por un canal trape*oidal cu'a solera tiene %5m de ancho5 las pendientes de las paredes 1 sore ' la profundidad 1.1/m.
5= .0 m&3seg 5=?M; ;= %bAyz$y Q
q u=
b
=
V$A b
=
%b + yz $ y$. b
%!.44 + "."/$"."/ $V !.44
q u= qu= ".00? .0
∴
qu=
!.44
= &.-/
Energía específica !
E = BA
! $ " " . 00 ! g !
E = "."/ A E = ".4
&.-/ ".00
" ! g
10./3. 4n el prolema 10./2. 7Con "ue profundidades dee circular el caudal de 65%! m!&s para "ue la energ-a espec-fica sea 1.2! m.@p&@p 7Cual es la profundidad cr-tica
-atos:
5=#.!& m&3s E=".'- m.Np3Np b=&.'-m
Q
! =
b
Cal"ulo del "audal unitario:
!
=
#.!&m & 3 seg &.'-m
= !.'4m & 3 seg !
! E = + + ! g y "
!
!.'4 ".-& = + + "/.#! y "
y &
− ".-& y ! = −'.!"!
Por aproMimaciones sucesivasO encontraremos el valor de y: B='.44-O &
y " =
!! g
=
&
!.'4 ! /."
='.0-m. 10.100. 4n un canal rectangular de !.02 m de ancho el caudal es de ,.20 m!&s cuando la velocidad es de %. m&s. Determinar la naturale*a del flujo.
Q = 0.-'m & 3 seg
V = !.44m 3 seg
y "
!
0.-'
=
&.'-
=&
!! g
= !.4#m & 3 seg .ml
y "
= '.-m
V "
=
! y "
= ".&'m 3 sg
!.44 /."× '.-
= '.4
'.4∠"
?or lo tanto es un flujo su. Cr-tico.
10.102: Para una $ro%undidad critica de 0+)81 m en un canal rectangular de *+0"8 m de ancho+ calcular el caudal. B = T = 3.048 m
Datos Y= 0.981 m
Q= Yc = 0,981 m
b = 3.048 m
Q=VxA
A.5allando el 9rea 5idr&ulica AH1 = b Y! = 3.048 m 0"981 m = 2.990 m2
.Form. ;arring: < =
1
= n . 2- -12
3.048 # 0.981
!"
#H1 =
Q A
=
! + 2 "
3.048
2 + 2 ( 0.981) = 0"597 m
. 5allandola $ % minima YC 2 /3
=
%$YC + Q
$%&
E=
2
2
29 & Y C
4. 5allando el >(? 2 ' = √ 2 # 9.81 # ( 0.981 ) ( 1.47 − 0,981 ) ' = 3.04m3(). m* Q ⟹ '+ = ! Q= '+ b Q= 3.04 , 3.048 Q= 9.28 m3().
10.10": @n canal tra$e,oidal+ cu3as $aredes tienen una $endiente de 1 Q= 20,04 m3/89 sobre 1+ trans$orta un caudal de 20.0" m * s. $ara una anchura de X= ZY solera de "+88 m+ calcular la elocidad critica.
VC = ¿?
AH1 Z= 1 4,88 m
Y
"
A. 5allando al ( = B 3
'- =
20,04 m Q ⟹ 4,88 m# 89 !
= 4"11 m3(s. m*
. 5allando la Pro%. ritica 6C7 YC =
√
4,11
'v (
2
=
¿ ¿ ¿ √ ¿
¿2
=
1"31 m
. 5allando la elocidad crítica 6<7. (# Y C C = √ C =
√ 9.81 # 1,31
C = 3"58 m(s..
10.106: un canal rectangularn+0.016) tra*ado con una pendiente de 0.006 transporta 1,m!&seg. de agua en condiciones de flujo critico 7"ue anchura deer9 tener el canal
/
b
n= '.'"#
s= '.''#4 3
m s
5= "0 b=@
7<9L9F;D6 L; 6127L; DE 2;9 Q=
A= by
1
∗ R / ∗S / ∗ A &1' n 2 3
1 2
→ R ) =
(=2y)b
A !" = * * * * * . ( 2 ) P 2 " + !
&2' !n &1' *+,- → y= 1.63 m
=
17
(
1 0.016
)(
∗ !" 2 " + !
(
2 /3
)
0.5
∗( 0.0064 ) ∗!"
17 62.5
3.4
∗0.08
(
=
=
(∗
1.63 ! 3.26
+!
!"
2/ 3
1.63 !
2 1.63
2/ 3
)∗ ∗ + )
!" 17= 62.5∗0.08 ∗ 2 " + !
!
1.63 !
2/ 3
)
∗1.63 !
Despeando el valor de bQ es b=!.-/! 10.103: =n canal rectangularn+0.01%) de !.02m de ancho ' tra*ada con una pendiente de 0.00/ transporta 1!.6m!&seg. De agua para producir un flujo critico el canal de contrae. 78u anchura deer9 tener la sección contra-da para cumplir esta condición si se desprecia las prdidas producidas en la gradual reducción de la anchura
/1
b1
n= '.'"! s= '.''4/ 3
m s
5= "&.# b= &.'-
1elación geomRtrica A =! + " 1
1
1
P=! 1+ 2 " 1
Por maning 1 / / Q = ∗ R ∗S ∗ A 2 3
1 2
n
13.6
13.6
= =
1 0.012 1 0.012
" 1=1.049 m
2/ 3
( )
∗
A P
(
∗
∗(0.0049 ) / ∗ A 1 2
2 /3
3.05 " 1 3.05
+ 2 "
1
)
∗(3.05 ) / ∗ " 1 2
1
/2
b2
Q 1 =Q 2 S 2= S1
(E P9DE L7S6 819<986 " =2.57 m 2
P61 2;9 Q=
1
n
∗ R / ∗S / ∗ A 2 3
1 2
2 /3
( ) ∗ (∗
A ∗ 2 Q 2= 0.012 P2 1
13.6
=
1
∗( 0.0049 ) / ∗ A 1 2
2 2.57
13.6
( 83.33 ∗0.07 ∗2.57 )
0.9
=
(∗
=
+!
2
(∗
)
∗(0.0049 ) / ∗2.57 ! 1 2
2 /3
! 2∗2.57
2 2.57
2
+!
2
)∗
!2
2 /3
!2∗2.57
2 2.57
2/ 3
!2∗2.57
0.012
2
+!
2
)∗
!2
= P61 L6 <;<6 ! 1.3656 m 2
10.114 D!m"#$%&% '& (%")*+-& c%-$-c& !+ *+ c&+&' (&%&b'-c" !# 3/4 ! '& !+!%& !#(!c-c& m+-m& #- '&# -m!+#-"+!# !' c&+&' #"+ Y c ! (%")*+-& b ! &+c*%& ! '& #*(!%c-! '-b%! ! &*&. S"'*c-+
√
A T
C =¿ ( + V ¿ 2
A = " c T 3
V C =
√
2 3
+ √ ( + " c 2
V c
2(
=
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