Ejercicios de Canales Resueltos

PROBLEMA N° 08 n un canal canal $!a%e $!a%e-oi -oidal dal de anco de sole! sole!aa 0.70 m. y $alud $alud Z=1.00, Z=1.00, ci!cul ci!culaa un caudal caudal de de 1.50 m8/s m8/s con una una 9eloc 9eloc m/s. Conside!ando Conside!ando un coecien$e de !u&osidad de n=0.05. Calcula! la %endien$e del canal.

1

y

Z= 1

45° b = 0.7 0.70 0m SOLUCIÓN

Datos a ingresar:

Donde:

Q= b= "= Z= *= n=

1.50 m³/s 0.70 m 0.#0 m/s 1.00 45° 0.05

Q : Caudal de diseño, m³/s b: anco de sole!a ": "elocidad media, en me$!os %o! se&undo 'm/s( Z: )alud )alud de las la$e!ales del canal%a!edes *: +n&ulo de inclinacin de las %a!edes la$e!ales con la o!i-on$ n: Coecien$e de !u&osidad

Datos a encontrar: = 

: 2endien$e del canal

1! C"LCULO DEL "REA: i: 3 = 1.5/0.# 3=

1.#75 m

# C"LCULO DE DIMENSIONES DE LA SECCION EN BASE AL $IRAN$E: i:

Donde: 3: 3!ea id!aulica 2: 2e!ime$!o moado 6: 6adio id!aulico

  ∗ � +� ∗ � ^ � ^

$ 6em%la-ando: A ' 0()* + 1),*-.& 1),*-.& P ' 0(+.) 0(+.)*) *),,1,,1-.&+ .&+1&1&-0/ 0/ $ ' 0(+.)1)* 0(+.)1)* ! C"LCULO DEL $IRAN$E *: abemos ue: A' 0()* + 1),*-.& ;&ualando, $enemos: 0.7( 0.7(?1.#75

= =

y

A'

18(/ 23

1.#75 0.000

@a A!mula de la !aB- cuad!ada:

y

&

%, ^

Donde:

6esol9iendo, se obene: y1 = 1.08 2o lo $an$o, esco&emos el 9alo! %osi9o: * ' 104# 2 6eem%la-ando, $enemos: A' 18( 18( 23 P' #(0( #(0( 2 R' 0/04 0/04 2 $' .8.4 .8.4 2 /! C"LCULO DE LA PENDIEN$E: Eli-ando la Ao!mula de mannin&:

Des%eando la %endien$e FF, $enemos:



y = ?1.78

a = 1.00 b = 0.70 c = ?1.#75

$ 6em%la-ando: A ' 0()* + 1),*-.& 1),*-.& P ' 0(+.) 0(+.)*) *),,1,,1-.&+ .&+1&1&-0/ 0/ $ ' 0(+.)1)* 0(+.)1)* ! C"LCULO DEL $IRAN$E *: abemos ue: A' 0()* + 1),*-.& ;&ualando, $enemos: 0.7( 0.7(?1.#75

= =

y

A'

18(/ 23

1.#75 0.000

@a A!mula de la !aB- cuad!ada:

y

&

%, ^

Donde:

6esol9iendo, se obene: y1 = 1.08 2o lo $an$o, esco&emos el 9alo! %osi9o: * ' 104# 2 6eem%la-ando, $enemos: A' 18( 18( 23 P' #(0( #(0( 2 R' 0/04 0/04 2 $' .8.4 .8.4 2 /! C"LCULO DE LA PENDIEN$E: Eli-ando la Ao!mula de mannin&:

Des%eando la %endien$e FF, $enemos:



y = ?1.78

a = 1.00 b = 0.70 c = ?1.#75

=(( ∗   ∗ -( �/  &

S ' ,,1/) ,,1/)00 00./& ./&5,1 5,18( 8(), ),0/ 0/0404-,.5 ,.5#&& #&&&&&&-. .

2

 = 0.001

100

S'

4! BORDO LIBRE i:

6eem%la-ando: BL' 0#/ 0#/ 2

3sumimos:

000 2

(! ELEMEN$OS 6EOM7$RICOS DE LA SECCIÓN $RANSERSAL DEL CANAL Donde: y = 1.08 m G@ = 0.400 m H = 1.48 m b = 0.700 m ) = .# m C = 1.00 m * = 45 45.00 ° Z = 1.00

y : )i!an$e de a&ua G@ : Go!do lib!e H : 2!oAundidad $o$al del canal b : 3nco de sole!a ) : s%eo de a&ua C : 3nco de co!ona * : +n +n&ulo de inclinacin de las %a!edes la$e!ales con la o!iZ : )alud de las la la$e!ales del canal%a!edes SECCIÓN $9PICA DEL CANAL

1.00

0.0

8.000 .500

1 1

.#

  1   :    5  .   1        0        0        3   .

0.400 1 2

1

1.00

0.700

1.08

1.48

idad de 0.#0

al

 

on$al

.500

1 1

       0        0        3   .

PROBLEMA 0 n el Cam%us de la Eni9e!sidad, se desea con$!ui! un canal !e9esdo de conc!e$o, de seccin $!a%e-oidal con $alud -=1, %a!a e9acua! las a&uas %lu9iales. l caudal de diseño es de 500 @$s/s, el anco de sole!a 0.5m y la %endien$e 1L. e %ide calcula! el !an$e del canal SOLUCION: eccin $!a%e-oidal con -=1, In&ulo de 45J.

1

y 1

45° b = 0.5m

Datos a ingresar: Z= Q= b= = *= n=

1 500 @$s/s 0.50 m 0.01 45° 0.014

Donde: Z: )alud Q: Caudad de diseño b:3nco de sole!a : 2endien$e del canal *: 3n&ulo de $alud n: 6u&osidad

Datos a encontrar: CIlculo del !an$e no!mal: Kn = K C;e i2ensiones >e< cana< en ?ase a
Donde: 3: 3!ea id!aulica 2: 2e!ime$!o moado 6: 6adio id!aulico

6em%la-ando:

A@o e 2anning:

6eem%la-ando 9alo!es calculados en base al !an$e FyF 0.500 m³/s

=

1 0.014

,

M

M

&

M

' 〗

6esol9iendo: '

0.#7

=

0.N m

6es%ues$a

Hallando la 9elocidad: A'

0.N1

"= Q/3 "= .1# m/s O

8.0 m/s

PR

SECCION $IPICA DEL CANAL

6eem%la-ando: BL'

010 2

3sumimos:

011 2

G@=0.11m

H=0.40cm 1

y=0.Ncm 1 1L

45°

b=0.50cm

PROBLEMA 10 l canal del %!oblema an$e!io! debe a$!a9esa! un camino, %a!a lo cual se ene ue diseña! una alcan$a!illa, con una $ube!Ba de conc!e$o si&uiendo la %endien$e del canal. 2o! se&u!idad, el !an$e debe se! el N0L del diIme$!o de la $ube!Ba. e le %ide %a!ci%a! con el diseño, indicando el diIme$!o de la $ube!Ba 'en %ul&adas( ue debe adui!i!se:

SOLUCION: Como se $!a$a de un conduc$o ci!cula! %a!cialmen$e lleno, usa!emos el C=a>ro 11 "reaG @erH2etro 2oa>o * ra>io Ji>r;==ctos circ=
0

0(/

.81

0.80

Des%eamos el I!ea id!Iulica, %e!Bme$!o moado y !adio id!Iulico en Auncin del diIme$!o: 3 = 0.7445 D 2 = .4N#1 D 6 = 0.N#0 D 3%licando la A!mula de mannin&:

e conoce el caudal, 9alo! de !u&osidad, %endien$e y el I!ea id!Iulica y !adio id!Iulico ue  ue es$an en Auncin del diIme$!o, %o! lo $an$o, se alla!I su 9alo! con la ecuacin an$e!io! 0.500 m³/s

=

1 0.014

M

0.7445 D

M

'0.N#0D(>/8

M

0.1

Des%eando: D ' 0//8 2 DiIme$!o de $ube!Ba en %ul&adas: 2o! lo $an$o:

D ' .14 P=as D ' ..000 P=as

PROBLEMA 11  En canal de !ie&o de seccion $!a%e-oidal, cons$!uido en e!!a 'n=0.05(, se usa %a!a !e&a! una su%e!cie de 15a. l modulo de en$!e&a maMimo ado %o! el Dis$!i$o de !ie&o es 1.#@/s/a. De$e!mina! la seccion de maMima eciencia id!aulica y la %endien$e del canal, %a!a una 9elocidad en el canal 0.75m/s y un $alud Z = 1.

G@ H 1

y 1

45°

 b

SOLUCION Datos a ingresar: 3$= T!= "= Z= *= n=

Donde:

15 a 1.# @$/se&/a 0.75 m/s 1 45° 0.05

3$: 3!ea de $e!!eno a i!!i&a! T!: Todulo de !ie&o ": "elocidad del a&ua Z: )alud *: 3n&ulo de $alud n: 6u&osidad

Datos a encontrar: eccion de maMima eciencia Q=  = 

Q: Caudad de diseño : 2endien$e del canal

1! CALCULO DE CAUDAL DE DISEKO  ELOCIDAD i:

'

0140 2F5s

i:

C3U3@ D CE36)P P6DU n$onces:

=,∗-

-=/,

6eem%la-ando ob$enemos 3 '3!ea id!aulica( A'

0.1# 23

.! MAIMA EICIENCIA IDRAULICA 2a!a la TaMima eciencia id!aulica de un canal se %uede uli-a! las si&uien$es ecuaciones:

=2∗0∗13(4/2)

=2∗0∗(√(5^2+6)−5)

Eli-ando 3n&ulo F*F

Eli-ando FZF

?'

?'

08.8 *

08.8 *

# CALCULO DE DIMENSIONES DE LA SECCION EN BASE AL $IRAN$E <3!ea id!aulica

 -=∗0+7∗0^2 A'

18# *3

<2e!ime$!o moado

8=+2∗0∗√(5^2+6) P'

#44 *

<6adio id!aulico

9=-/8=(∗0+7∗0^2)/ (+2∗0∗√(5^2+6)) R'

0/0 *

<s%e%eo de a&ua

:=+2∗5∗0 $'

.8# *

! CALCULO DEL $IRAN$E * )enemos ue: A' 18# *3

y

A'

0.1# 23

;&ualando ob$enemo el !an$e FyF *' 0#. 2 = #. c2 6eem%la-ando: A' 0.1# 23 P' 0.( 2 R' 01(1 2 ?' 0.8# 2 $' 044 2

= =

.8# c2 44 c2

/! CALCULO DE LA PENDIEN$E Eli-ando la Ao!mula de mannin&:

=6/;∗-∗<^(2/)∗>^( 6/2) 6eem%la-ando 9alo!es calculados en base al !an$e FyF 0.10 m³/s

=

1 0.05

M

0.18 m

M

'0.17m(>/8

M >'1/(

6esol9iendo: S'

000#(

=

#(1o5oo

4! BORDE LIBRE i:

?@=6/∗0 6eem%la-ando: BL'

11 c2

3sumimos:

.00 c2

(! NUMERO DE ROUDE  $IPO DE LUO i:

A=,/√(B∗0 C ) *'

0..1 2

0= C -/: '

Donde: &: V!a9edad W: )i!an$e c!ico X: Uume!o de A!oude 0/1 LUO SUBCRI$ICO

SECCION $IPICA DEL CANAL )=N.1 m G@=0cm

H=54.1cm 1

y=84.1cm 1 8.7 o/oo b=#.80cm

45°

PROBLEMA 1.

Calcula! el caudal en un canal de maMima eciencia id!aulica, sabiendo ue el anco de sole!a es de 0.7m, el es%eo de a&ua 1.Nm, %endien$e 0.001 y el coecien$e de !u&osidad n=0.05

0.0m

0.70m

0.0m

H y

1 -

1 o/oo

*

0.70m

SOLUCION Datos a ingresar: )= b= = n=

1.N0 m 0.70 m 0.001 0.05

Datos a encontrar: eccion de maMima eciencia Q=  y=  *=  Z=  1! RELACION $ALUD  $IRAN$E Eli-ando el es%eo de a&ua:

:=+2∗5∗0 Des%eando FZF !es%ec$o al !an$e FyF

5=(:−)/ (2∗0)

Donde: ): s%eo de a&ua b: %lanlla o base del canal : 2endien$e del canal n: 6u&osidad

Q: Caudad de diseño y: )i!an$e *: 3n&ulo del $alud Z: )alud

6eem%la-ando: '

040 5 *

.! MAIMA EICIENCIA IDRAULICA 2a!a la TaMima eciencia id!aulica de un canal se uli-a:

6eem%la-ando FZF ueda: 0.70 m

=

 <

y

<

Y

Y '

0.0 / y

(> 

6esol9iendo: *'

0( 2

=

(#( c2

# CALCULO DE DIMENSIONES DE LA SECCION DEL CANAL <)alud '

081

<3n&ulo de $alud /1° Q' <3!ea id!aulica

 -=∗0+7∗0^2 A'

0423

<2e!ime$!o moado

8=+2∗0∗√(5^2+6) P'

.40 2

<6adio id!aulico

9=-/8=(∗0+7∗0^2)/ (+2∗0∗√(5^2+6)) R'

0#( 2

1 >0.5

?

0.0 / y



! CALCULO DEL CAUDAL  ELOCIDAD Eli-ando la Ao!mula de mannin&:

6eem%la-ando 9alo!es calculados: '

04.. 2F5s

'

04/ 25s

/! BORDE LIBRE i:

6eem%la-ando: BL'

.// c2

3sumimos:

./0 c2

4! NUMERO DE ROUDE  $IPO DE LUO i:

A=,/√(B∗0 C ) *'

0#48 2

0= C -/: '

Donde: &: V!a9edad W: )i!an$e c!ico X: Uume!o de A!oude 0# LUO SUBCRI$ICO

SECCION $IPICA DEL CANAL )=1.N0 m G@=5cm

H=N#.5cm y=78.5cm

1.00o/oo

51°

b=70.00cm

PROBLEMA N° 1# En canal $!a%e-oidal con $alud 1:1, %endien$e 0.7 y %lanlla 4.00 m., [uye un caudal de  m8/s con un !an$e siendo las %a!edes del canal lisasS lue&o se al$e!an a !u&osas las %a!edes del canal, no$Indose ue %a!a el mism 1.07 m. e %ide: 3. Calcula! el caudal %a!a un !an$e no!mal de 1.5 m., si el Aondo Auese liso y las %a!edes !u&osas. G. Calcula! el caudal %a!a el mismo !an$e, si el Aondo Auese !u&oso y las %a!edes lisa.

SOLUCIÓN 1!

C"LCULOS PREIOS 11! CONDICIÓN INICIAL

1 p1,n1 1.00

p3,n1 p2,n2 0.##

4.00

0.##

Datos: Q= y= b= 3= C;e

.00 m³/s 0.## m 4.00 m 4.N44 m

'%a!edes lisas(

% = 4.000 m n1 = 0.01 n = n

'236D @;3( 'coecien$e de !u&osidad de la base(

∑▒ 〖 , 〖 _  ∗ 〗 _(-(. . & & 〗 -(/&

De acue!do con la &u!a, se ene: %1 = 1.45 m %8 = 1.45 m  pt1=

 = 0.0007 Z = 1.00 n1= 0.01

2.489 m

@ue&o: ∑▒ 〖 ' 〖 %\i∗n 〗 \i>1.5( 〗 >'/

= '.4#N<'0.01>1.5(4<'n>1.5((>'/8(

∑▒  〖 , 〖 _∗ 〗 _(-(. . && 〗 -(/&

  

'.4#N<'0.01>1.5(4<'n>1.5((>'/8( = ''4.N44>'5/8(<'0.0007>'1/((((/'( .4#N<'0.01>1.5(4<'n>1.5( = 0.0044##57 'n>1.5( = 0.004##5 n = 0.0 'coecien$e de !u&osidad de la base( 1.! CONDICIÓN POS$ERIOR A AL$ERACION DE RU6OCIDAD DE LAS PAREDES DEL CANAL

1 p1,n1 1.00

p3,n1 p2,n2 1.07

4.00

1.07

Datos: Q= y= b= 3= C;e

.00 m³/s 1.07 m 4.00 m 5.44N m

0.0007 1.00 0.0 n1

'coecien$e de !u&osidad de la base( '236D 6EVP3(

∑▒  〖 , 〖 _  ∗ 〗 _(-(. . & & 〗 -(/&

De acue!do con la &u!a, se ene: %1 = 1.518 m %8 = 1.518 m  pt1=

= Z= n= n1=

3.026 m

% = 4.000 m n= 0.0 n1= n1

'coecien$e de !u&osidad de la base( '236D 6EVP3(

@ue&o: ∑▒ 〖 ' 〖 %\i∗n 〗 \i>1.5( 〗 >'/

8(

= '8.0<'n1>1.5(4<'0.0>1.5((>'/8(

∑▒  〖 , 〖 _∗ 〗 _(-(. . && 〗 -(/&

  

'8.0<'n1>1.5(4<'0.0>1.5((>'/8( = ''5.44N>'5/8(<'0.0007>'1/((((/'( 8.0<'n1>1.5(4<'0.0>1.5( = 0.08015141# 'n1>1.5( = 0.00448#4 n1 = 0.07 '236D 6EVP3(

.!

LO UE SE PIDE A! ONDO LISO   PAREDES RU6OSAS

1 p1,n1 1.00

p3,n1 p2,n2 1.5

4.00

1.5

Datos: Q= y= b= 3= C;e

Q 1.5 m 4.00 m .55 m

0.0007 1.00 0.01 0.07

'XPUDP @;P( '236D 6EVP3(

∑▒  〖 , 〖 _  ∗ 〗 _(-(. . & & 〗 -(/&

De acue!do con la &u!a, se ene: %1 = 1.7# m %8 = 1.7# m  pt1=

= Z= n= n1=

3.536 m

% = 4.000 m n1= 0.07 n= 0.01

'236D 6EVP3( 'XPUDP @;P(

@ue&o: ∑▒ 〖 ' 〖 %\i∗n 〗 \i>1.5( 〗 >'/

= '8.58<'0.07>1.5(4<'0.01>1.5((>'/8(

8(

∑▒ 〖 ' 〖 %\i∗n

=

8(

 \i>1.5(

>'/

.

 ▒     〖 , 〖 _∗ 〗 _(-(. . & & 〗 -(/& Q = ''.55>'5/8(<'0.0007>'1/(((/'0.075N#((  ' 800 2F5s B! ONDO LISORU6OSO   PAREDES LISAS

1 p1,n1 1.00

p3,n1 p2,n2 1.5

4.00

1.5

Datos: Q= y= b= 3= C;e

Q 1.5 m 4.00 m .55 m

0.0007 1.00 0.07 0.01

'XPUDP 6EVPP( '236D @;3(

∑▒  〖 , 〖 _  ∗ 〗 _(-(. . & & 〗 -(/&

De acue!do con la &u!a, se ene: %1 = 1.7# m %8 = 1.7# m  pt1=

= Z= n= n1=

3.536 m

% = 4.000 m n1= 0.01 n= 0.07

'236D @;3( 'XPUDP 6EVPP(

@ue&o: ∑▒ 〖 ' 〖 %\i∗n 〗 \i>1.5( 〗 >'/

= '8.58<'0.01>1.5(4<'0.07>1.5((>'/8(

∑▒ 〖 ' 〖 %\i∗n 〗 \i>1.5( 〗 >'/

= 0.07N45

8(

8(

〖 , 〖 _∗ 〗 _(-(. . & & 〗 -(/&

Q = ''.55>'5/8(<'0.0007>'1/(((/'0.07N45((  ' (440 2F5s

o!mal de 0.## m., caudal el !an$e es

1

0.##

1

1.07

1

1.5

1

1.5

PROBLEMA N° 1 @a seccin ob$enida $o%o&!Icamen$e en el canal )aymi an&uo ue se mues$!a en la &u!a adun$a, se ene n 1 n=0.050. Calcula! el caudal ue [uye %o! dica seccin si la %endien$e es de 1 L

1

1

0.0

0.75

.10

2

1

1

1.50

1.50

0.45

8.50

.5

.#0

8.15

SOLUCIÓN Datos a ingresar: = n1 = n =

0.01 0.085 0.050

Datos a encontrar: Q=  1! De ac=er>o con e ManningG se ene:

]]] '1(

.! De< MPPDCG e orton * Einstein @ara a> @on>era>aG es:

n

〖 〖  〗 〗

n (  - �/ & 〖  〗

〖 〗

]]] '(

#! S=st=*en>o ,.& en ,1&G res=
〖 〖 

〗

〗

]]] '8(

! C;e A Descom%oniendo el I!ea $!ans9e!sal en dos I!eas %a!ciales, se ene:

1

1

0.0

0.75

.10

2

1

1

1.50

1.50

0.45

8.50

.5

2a!a una seccin $!ans9e!sal, se ene:

31 = 31 =

0.5<0.45<0.0.<8.5 .850 m

3 = 3 =

0.5<'.##.<1.5(#.<0.0.5<0.<0.N 14.145 m

@ue&o: +  

3 = .8514.145 3 = 1.8775 m

/! C;e

∑▒  〖 , 〖 _  ∗ 〗 _(-(. . && 〗 -(/&

]]] '4(

.#0

8.15

Descom%oniendo los %e!Bme$!os %a!ciales, se ene:

1

p1,n1

0.0

p2,n1

.10

2

p5,n2 p3,n2 p4,n2 0.45

8.50

.5

De acue!do con la &u!a, se ene: %1 = 0.750 m %8 = .704 m % = 8.500 m %4 = .#00 m %5 = 8.7# m  pt1= 4.250 m

.#0

8.15

n1 = 0.085 n = 0.050

 pt2= 9.290 m

@ue&o: ∑▒ 〖 ' 〖 %\i ∗n 〗  \i>1.5( 〗 >'/8(

= '4.5<'0.085>1.5(N.N<'0.05>1.5((>'/8(

4! S=st=*en>o ,& * ,/& en ,#&G res='5/8((<'0.01>'1/(((/''0.5##47((  ' 080 2#5s

= 0.5##47

=0.085 y

1 1.50

1 1.50

p5,n2

PROBLEMA 1/ e !euie!e diseña! un canal de conduccin ue se!9i!a %a!a !e&a! una su%e!cie de 815 a con un modulo de !ie&o de 1. l$s/s/a. De acue!do al es$udio de mecanica de suelos !eali-ado en el $!a-o del ee del canal se ob$u9o como suelo %!edominan$e un C@?T@ '3!cilla @imosa(. Eli-a! las conside!aciones %!Iccas %a!a dimensiona! el canal.

SOLUCION Datos a ingresar: 3$= T!= Z= *= n=

Donde:

815 a 1.0 @$/se&/a 1 45° 0.05

3$: 3!ea de $e!!eno a i!!i&a! T!: Todulo de !ie&o Z: )alud *: 3n&ulo de $alud n: 6u&osidad

1! CALCULO DE CAUDAL DE DISEKO  ELOCIDAD i:

'

0#.1 2F5s

C3U3@ D )6C6 P6DU

.! MAIMA EICIENCIA IDRAULICA 2a!a la TaMima eciencia id!aulica de un canal se %uede uli-a! las si&uien$es ecuaciones:

=2∗0∗13(4/2)

=2∗0∗(√(5^2+6)−5)

Eli-ando 3n&ulo F*F

Eli-ando FZF

?'

?'

08.8 *

08.8 *

# CALCULO DE DIMENSIONES DE LA SECCION EN BASE AL $IRAN$E <3!ea id!aulica

 -=∗0+7∗0^2 A'

18# *3

<2e!ime$!o moado

8=+2∗0∗√(5^2+6) P'

#44 *

<6adio id!aulico

9=-/8=(∗0+7∗0^2)/ (+2∗0∗√(5^2+6)) R'

0/0 *

<s%e%eo de a&ua

:=+2∗5∗0 $'

.8# *

/! CALCULO DE LA PENDIEN$E  ELOCIDAD Eli-ando la Ao!mula de mannin&:

=6/;∗-∗<^(2/)∗>^( 6/2) 2a!a es$o, asumi!emos un 9alo! de 2endien$e'(, y con ello %ode! ob$ene! la 9elocidad'"(, y ue es$a se encuen$!e den$!o del !an&o %e!misible. CONDICIONES DE DISEÑO

P2C;PU 1

P2C;PU 

P2C;PU 8

P2C;PU 4

 S 

0.0010 0.47 0.57 1 0.# 0.5N 1.0 0.05 0.55

0.0015 0.44 0.58 1 0. 0.51 1.4N 0.05 0.4

0.000 0.41 0.50 1 0.5 0.45 1.41 0.05 0.71

0.005 0.40 0.4# 1 0.4 0.4 1.85 0.05 0.77

b  y  z   R  A T  n V 

Vmax=0.45-0.75 m/s '%a!a e9i$a! le9an$amien$o del !e9esmien$o(

4! BORDE LIBRE