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Ejemplos de Series Geométricas
Nótese que la única diferencia la marca el n con el que se empieza, por un lado una empieza en 0 y la otra en 1, eso se debe tomar en cuenta, como veremos en los ejemplos que vienen. Averiguar si estas series convergen o divergen y en caso de converger averiguar cual es su suma. Para el primer ejemplo usaremos una serie que empiece en cero y la misma pero empezando en cero para que se vea la diferencia 1.
La primera tarea es acomodarla acomodar la para que quede en la forma estándar de las series geométricas, véase (). Para lo cual manipulamos algebraicamente
Obsérvese que ahora tiene la forma estándar que andábamos buscando
La serie converge y su suma sería:
Ahora haremos el ejercicio para
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Multipliquemos por el siguiente término valor de nuestro término
evidentemente eso es 1 por lo que no cambiará el
Obsérvese que ahora tenemos la forma estándar, cuando la serie empieza en 1
La serie converge y su suma sería:
En general es muy sencillo pasar de una forma continuación:
a su equivalente forma
, y lo veremos a
Fijémonos en la diferencia entre las dos series, la que inicia en cero y la que inicia en 1, ambas van a converger pero las sumas son diferentes, para la primera era 9 y para la segunda es 6, lo que nos dice que debemos tener cuidado a la hora de calcularla, tenemos que fijarnos primero en donde empieza la serie para ver cual de las formas estándar debemos usar.
Contactos al correo: 3
[email protected] 2. Mediante la serie geométrica convierta el número decimal periódico a su forma fraccional
Veamos que la serie empieza en 1 por lo que la forma estándar es
3.
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Por lo que la serie converge y:
4.
Pero tenemos que escribirla en su forma estándar cuando la serie comienza en 1
5.
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Asumamos que la serie converge, en ese caso cuál sería su suma?
6. Haremos una más extrema que la anterior
Como empieza en 1, la forma estándar es
Ahora si queremos que esta serie converja que propiedad se debe cumplir? Simplemente la ya enunciada sobre r.
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Demostración de por qué
La forma de descubrir cuanto da esta suma es la siguiente, tomemos la suma original (la igualdad y multipliquemos a ambos lados por r)
Ahora a la primera igualdad le vamos a restar la que acabamos de fabricar
