MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CON CORRECCIÓN DE ALTURAS PIEZOMÉTRICAS Ecuaciones Básicas:
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ H i − H j Qij = ⎜ ⎟ ⎞ ⎟ lij ⎜ ⎛ ⎜⎜ ⎜⎜ f ij ⋅ d + ∑ Km ij ⎟⎟ ⎟⎟ ij ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
1/ 2
Comentario: Surge de la Ecuación de Energía entre los Nodos i a j [1] desp despej ejan ando do la Vari Variab able le Caud Caudal al (Qij). ij). (Se (Se ha desp despre reci ciad ado o el Valo Valorr Ciné Cinéti tico co
⋅ 2 ⋅ g ⋅ Aij
2
v /2g).
En vez vez de supo supone nerr los los caud caudal ales es en la Red, Red, este este meto metodo do supo supone ne la Cabe Cabeza za en cada cada uno uno de los los (NU(NU-1) 1) nodo nodoss de la red. red. Lueg Luego, o, se ajus ajusta tan n las las cabe cabeza zass supu supues esta tass nodo nodo por por nodo nodo,, repi repiti tien endo do el proc proces eso o hast hastaa que que la Ec. Ec. De Cont Contin inui uida dad, d, lleg llegue ue a valo valore ress "raz "razon onab able leme ment ntee cerc cercan anos os"" a cero cero en todo todoss los los nodo nodos. s. El fact factor or de corr correc ecci cion on,, esta esta dado dado por por el desa desarr rrol ollo lo de la Ec. Ec. orig origin inal al agre agrega gand ndol olee un dif. dif. de Cabe Cabeza za,, de la sigu siguie ient ntee
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ( H i − H j ) − Δ H i ⎟ Q ij = ⎜ ⎟ ⎞ ⎟ l ij ⎜ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎜ f ij ⋅ d + ∑ Km ij ⎟ ⎟⎟ ij ⎠ ⎠ ⎝ ⎝
Qij =
2 ⋅ g ⋅ Aij
1/ 2
⋅
2 ⋅ g ⋅ Aij
Reso Resolv lvie iend ndo o el term termin ino o (usa (usand ndo o el teor teorem emaa del del Bino Binomi mio o de Newt Newton on)) y desp despre reci cian ando do para para la expr expres esio ion n los los term termin inos os pequ pequen enos os (Pot (Poten enci cias as alta altass de ΔHi), obtenemos:
[2]
Teniendo en cuenta que la Ec. De Continuidad ara el Nodo i, esta dada or:
1 ⎡ ⎤ 1/ 2 1/ 2 ⋅ ⎢( H i − H j ) − ⋅ ( H i − H j )− ⋅ ΔH i ⎥ 2 ⎣ ⎦
1/ 2
⎛ ⎞ l ⎜ f ij ⋅ ij + ∑ Kmij ⎟ ⎜ ⎟ d ij ⎝ ⎠
NT i
∑ Qij − Q Di
=0
[3]
j =1
Despejamos finalmente, el factor de correccion de cabezas y obtenemos: Δ H i =
2 ⋅ (∑ Q ij − Q Di + ( Q Ei ) )
∑ H
Q ij i
[4]
− H j
Metodología: 1. Definir claramente la Geometría de la Red, identificando en forma coherente los Nodos y los Circuitos (NC). 2. Suponer la Cabeza Piezometrica en cada uno de los nodos de la Red (excepto en el de H conocido). 3. Se definen los circuitos cerrados en cualquier orden. Se debe garantizar que todos los tubos queden incluidos por lo menos en un circuito 4. Se calculan los Caudales en cada una de las tuberias, mediante la Ecuacion [1], hallando el f (Colebrook-White) (Colebrook-White) mediante algun metodo numerico. 5. Se estima el factor de Correcion de Cabeza (Ec. [4]) y se corrige en cada uno de los nodos de cabeza variable. Los Caudales Qij, se consideran positivos positivos si se dirigen hacia el nodo respectivo, es decir si Hj es mayor que Hi. 7. El proceso se detiene, en el momento, que la suma de caudales, sea razonablemente inferior a la tolerancia establecida Ejercicio: Datos:
υ (m²/sg) = 10 (Válvu (Válvula) la).. = 6.00E-05 H1 (mca) = 100 Nota: Los Diámetros se se indican en pulgadas pulgadas y los Q en l/s. ΣKm2-3 =
ε (m (m)
500 500 m 1
300 300 m
10"
60 2
10"
200
I
4"
5
8" 6
40
600 600 m
40
400 400 m
30
6"
II 6"
400 400 m
3
4"
200 4
30
1.140E-06
Desarrollo del Metodo. Entrada de Datos (Primer Ciclo). 1. Resumimos la Geometria de la Red, y Suponemos las Cabezas Iniciales en Cada Nodo (excepto en el de Cabeza Conocida). Tubo Longitud (m) Diametro (m) km
[1 - 2] 500.0 0.254 0.0
[2 - 3] 400.0 0.152 10.0
[3 - 4] 200.0 0.102 0.0
[4 - 5] 400.0 0.152 0.0
[2 - 5] 200.0 0.102 0.0
[5 - 6] 600.0 0.203 0.0
Suposicion Inicial: Nodo 1 Presion (mca) 100.00
2 92.00
3 80.00
4 75.00
5 90.00
6 95.00
3
NODO 2 Tubo 2a1 2a3
Hi (mca) 92.000 92.000
Hj (mca) 100.000 80.000
2a5
92.000
90.000
QDi (m /s) = hf (m) 8.000 12.000 9.398 9.984 9.853 9.882 9.876 9.877 2.000
Velocidad (m/s) 2.2500 2.2594 1.9887 2.0526 2.0384 2.0416 2.0409 2.0410 0.9727 =
Mediante Ecuacion [4]:
3a2
Hi (mca) 80.000
Hj (mca) 92.810
3a4
80.000
75.000
Velocidad (m/s) 2.3376 2.0569 2.1233 2.1085 2.1119 2.1111 2.1113 1.5823 =
Mediante Ecuacion [4]:
4a3 4a5
Hi (mca) 75.000 75.000
Hj (mca) 75.397 90.000
hf (m) 0.397 15.000
Velocidad (m/s) 0.4048 2.5377 =
5a2 5a4 5a6
Hj (mca) 92.810 78.450 95.000
-0.0372 -0.0079 0.06889
0.003769 0.003943 0.02196
H2 =
0.0385 -0.0128 0.02568
H3 =
0.003655 0.002566 0.00622
Velocidad (m/s) 1.1661 2.2148 1.3867 =
Mediante Ecuacion [4]:
-4.6027
Q (m /s)
0.008261 0.003086 0.01135
3.4499
Q (m /s)
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0095 -0.0404 0.0450 0.01402
H5 =
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0033 0.0463 0.04957
H4 =
-0.040 Q/hf (m /s)
3
hf (m) 2.810 11.550 5.000
0.8097
Q (m /s)
QDi (m /s) =
NODO 5 Hi (mca) 90.000 90.000 90.000
0.014251
3
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
0.1140
QDi (m /s) =
NODO 4 Tubo
Q/hf (m /s)
QDi (m /s) = hf (m) 12.810 10.025 10.653 10.512 10.544 10.536 10.538 5.000
-0.060
Q (m /s)
3
NODO 3 Tubo
0.003365 0.003498 0.008994 0.01586
-2.0152
[1 - 6] 300.0 0.254 0.0
3
NODO 6 Tubo 6a1 6a5
Hi (mca) 95.000 95.000
Hj (mca) 100.000 87.985
QDi (m /s) = hf (m) 5.000 7.015
Velocidad (m/s) 2.2983 1.6575 =
Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
Q/hf (m /s)
0.1165 -0.0538 0.06271
H6 =
-0.040
0.023292 0.007662 0.03095
1.4672
Iteracion No. 1 (Segundo Ciclo) Para este ciclo, tenemos las siguientes cabezas en los Nodos: Nodo 1 2 3 Presion (mca) 100.00 92.810 75.397
4 78.450
Hi
Hj
2a1 2a3
(mca) 92.810 92.810
(mca) 100.000 75.397
2a5
92.810
87.985
QDi (m /s) = hf (m) 7.190 17.412 13.580 14.453 14.255 14.300 14.289 14.292 4.825
3a2
Hj (mca) 91.857
Q
(m/s) 2.1283 2.7420 2.4098 2.4891 2.4713 2.4754 2.4744 2.4746 1.5528 =
3
(m /s)
0.1078
0.014998
-0.0451 -0.0126 0.05011
0.003159 0.002609 0.02077
3a4
75.397
78.450
Velocidad (m/s) 2.6631 2.3409 2.4177 2.4005 2.4045 2.4036 2.4038 1.2187 =
4a3 4a5
Hj (mca) 79.634 87.985
hf (m) 1.184 9.535
Velocidad (m/s) 0.7339 2.0037 =
5a2 5a4 5a6
Hi (mca) 87.985 87.985 87.985
Hj (mca) 91.857 81.272 96.467
0.0438 0.0099 0.05373
H3 =
0.003244 0.003237 0.00648
Velocidad (m/s) 1.3825 1.6669 1.8312 =
Mediante Ecuacion [4]:
0.0059 0.0366 0.04250
0.005025 0.003833 0.00886
2.8223
Q (m /s)
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0112 -0.0304 0.0594 0.04018
H5 =
-0.030 Q/hf (m /s)
QDi (m /s) = hf (m) 3.872 6.713 8.482
4.2365
Q (m /s)
H4 =
-0.040 Q/hf (m /s)
3
NODO 5
-0.9526
Q (m /s)
QDi (m /s) =
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
3
NODO 4 Hi (mca) 78.450 78.450
2
3
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
H2 =
Q/hf
QDi (m /s) = hf (m) 16.460 12.845 13.667 13.480 13.523 13.513 13.515 3.053
-0.060
(m /s)
NODO 3 Hi (mca) 75.397
Velocidad
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
6 96.467
3
NODO 2 Tubo
5 87.985
0.002895 0.004530 0.007001 0.01443
1.4121
3
NODO 6 Tubo 6a1 6a5
Hi (mca) 96.467 96.467
Hj (mca) 100.000 89.397
QDi (m /s) = hf (m) 3.533 7.070
Velocidad (m/s) 1.9173 1.6643 =
Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
Q/hf (m /s)
0.0972 -0.0540 0.04318
H6 =
-0.040
0.027500 0.007634 0.03513
0.1809
Iteracion No. 2 (Tercer Ciclo) Para este ciclo, tenemos las siguientes cabezas en los Nodos: Nodo 1 2 3 Presion (mca) 100.00 91.857 79.634
4 81.272
2a1 2a3
Hi (mca) 91.857 91.857
Hj (mca) 100.000 79.634
2a5
91.857
89.397
QDi (m /s) = hf (m) 8.143 12.223 9.571 10.169 10.034 10.065 10.058 10.059 2.460
Velocidad (m/s) 2.2708 2.2812 2.0077 2.0723 2.0580 2.0612 2.0605 2.0606 1.0865 =
Mediante Ecuacion [4]:
3a2
Hi (mca) 79.634
Hj (mca) 92.665
3a4
79.634
81.272
hf (m) 13.032 10.196 10.837 10.692 10.725 10.718 10.719 1.638
Velocidad (m/s) 2.3586 2.0752 2.1423 2.1274 2.1308 2.1300 2.1302 0.8741 =
4a3 4a5
Hi (mca) 81.272 81.272
Hj (mca) 81.129 89.397
hf (m) 0.143 8.125
Velocidad (m/s) 0.2298 1.8427 =
5a2 5a4 5a6
Hj (mca) 92.665 81.476 96.648
-0.0376 -0.0088 0.06867
0.003737 0.003580 0.02145
H2 =
Q (m /s)
0.0389 0.0071 0.04594
H3 =
0.003625 0.004326 0.00795
Velocidad (m/s) 1.2637 1.8183 1.6866 =
Mediante Ecuacion [4]:
1.4953
Q (m /s)
0.013023 0.004137 0.01716
0.2039
Q (m /s)
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0102 -0.0332 0.0547 0.03177
H5 =
-0.030 Q/hf (m /s)
-0.0019 0.0336 0.03175
H4 =
-0.040 Q/hf (m /s)
QDi (m /s) = hf (m) 3.268 7.921 7.251
0.8083
3
NODO 5 Hi (mca) 89.397 89.397 89.397
0.014131
QDi (m /s) =
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
0.1151
3
NODO 4
-0.060 Q/hf (m /s)
3
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
Q (m /s)
QDi (m /s) =
NODO 3 Tubo
6 96.648
3
NODO 2 Tubo
5 89.397
0.003135 0.004187 0.007543 0.01486
0.2383
3
NODO 6 Tubo 6a1 6a5
Hi (mca) 96.648 96.648
Hj (mca) 100.000 89.635
QDi (m /s) = hf (m) 3.352 7.013
Velocidad (m/s) 1.8653 1.6572 =
Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
Q/hf (m /s)
0.0945 -0.0537 0.04077
H6 =
-0.040
0.028197 0.007663 0.03586
0.0431
Iteracion No. 3 (Cuarto Ciclo) Para este ciclo, tenemos las siguientes cabezas en los Nodos: Nodo 1 2 3 Presion (mca) 100.00 92.665 81.129
4 81.476
1a2 2a3
Hi (mca) 92.665 92.665
Hj (mca) 100.000 81.129
2a5
92.665
89.635
QDi (m /s) = hf (m) 7.335 11.536 9.039 9.601 9.475 9.503 9.497 9.498 3.030
Velocidad (m/s) 2.1504 2.2134 1.9485 2.0110 1.9972 2.0003 1.9996 1.9997 1.2139 =
Mediante Ecuacion [4]:
3a2
Hi (mca) 81.129
Hj (mca) 92.906
3a4
81.129
81.476
hf (m) 11.777 9.226 9.800 9.671 9.700 9.694 9.695 0.347
Velocidad (m/s) 2.2374 1.9695 2.0327 2.0187 2.0218 2.0211 2.0213 0.3758 =
4a3 4a5
Hi (mca) 81.476 81.476
Hj (mca) 81.116 89.635
hf (m) 0.360 8.159
Velocidad (m/s) 0.3835 1.8468 =
5a2 5a4 5a6
Hj (mca) 92.906 81.567 96.691
-0.0365 -0.0098 0.06264
0.003840 0.003248 0.02194
H2 =
Q (m /s)
0.0369 0.0030 0.03992
H3 =
0.003803 0.008780 0.01258
Velocidad (m/s) 1.2643 1.8360 1.6626 =
Mediante Ecuacion [4]:
-0.0131
Q (m /s)
0.008635 0.004129 0.01276
0.0906
Q (m /s)
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0102 -0.0335 0.0539 0.03067
H5 =
-0.030 Q/hf (m /s)
-0.0031 0.0337 0.03058
H4 =
-0.040 Q/hf (m /s)
QDi (m /s) = hf (m) 3.271 8.069 7.056
0.2410
3
NODO 5 Hi (mca) 89.635 89.635 89.635
0.014856
QDi (m /s) =
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
0.1090
3
NODO 4
-0.060 Q/hf (m /s)
3
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
Q (m /s)
QDi (m /s) =
NODO 3 Tubo
6 96.691
3
NODO 2 Tubo
5 89.635
0.003133 0.004151 0.007641 0.01493
0.0904
3
NODO 6 Tubo 6a1 6a5
Hi (mca) 96.691 96.691
Hj (mca) 100.000 89.726
QDi (m /s) = hf (m) 3.309 6.966
Velocidad (m/s) 1.8527 1.6513 =
Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
Q/hf (m /s)
0.0939 -0.0536 0.04033
H6 =
-0.040
0.028372 0.007688 0.03606
0.0180
Iteracion No. 4 (Quinto Ciclo) Para este ciclo, tenemos las siguientes cabezas en los Nodos: Nodo 1 2 3 Presion (mca) 100.00 92.906 81.116
4 81.567
1a2 2a3
Hi (mca) 92.906 92.906
Hj (mca) 100.000 81.116
2a5
92.906
89.726
QDi (m /s) = hf (m) 7.094 11.790 9.236 9.811 9.682 9.711 9.704 9.706 3.181
Velocidad (m/s) 2.1133 2.2387 1.9706 2.0339 2.0198 2.0230 2.0223 2.0225 1.2456 =
Mediante Ecuacion [4]:
3a2
Hi (mca) 81.116
Hj (mca) 92.915
3a4
81.116
81.567
hf (m) 11.799 9.242 9.818 9.689 9.718 9.711 9.713 0.451
Velocidad (m/s) 2.2395 1.9713 2.0346 2.0206 2.0237 2.0230 2.0232 0.4339 =
4a3 4a5
Hi (mca) 81.567 81.567
Hj (mca) 81.189 89.726
hf (m) 0.378 8.159
Velocidad (m/s) 0.3937 1.8467 =
5a2 5a4 5a6
Hj (mca) 92.915 81.645 96.709
-0.0369 -0.0101 0.06009
0.003801 0.003175 0.02207
H2 =
Q (m /s)
0.0369 0.0035 0.04042
H3 =
0.003800 0.007805 0.01160
Velocidad (m/s) 1.2473 1.8374 1.6536 =
Mediante Ecuacion [4]:
0.0730
Q (m /s)
0.008451 0.004129 0.01258
0.0786
Q (m /s)
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0101 -0.0335 0.0536 0.03022
H5 =
-0.030 Q/hf (m /s)
-0.0032 0.0337 0.03049
H4 =
-0.040 Q/hf (m /s)
QDi (m /s) = hf (m) 3.189 8.080 6.984
0.0082
3
NODO 5 Hi (mca) 89.726 89.726 89.726
0.015095
QDi (m /s) =
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
0.1071
3
NODO 4
-0.060 Q/hf (m /s)
3
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
Q (m /s)
QDi (m /s) =
NODO 3 Tubo
6 96.709
3
NODO 2 Tubo
5 89.726
0.003171 0.004148 0.007679 0.01500
0.0294
3
NODO 6 Tubo 6a1 6a5
Hi (mca) 96.709 96.709
Hj (mca) 100.000 89.755
QDi (m /s) = hf (m) 3.291 6.954
Velocidad (m/s) 1.8474 1.6499 =
Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
Q/hf (m /s)
0.0936 -0.0535 0.04010
H6 =
-0.040
0.028446 0.007694 0.03614
0.0057
Iteracion No. 5 (Sexto Ciclo) Para este ciclo, tenemos las siguientes cabezas en los Nodos: Nodo 1 2 3 Presion (mca) 100.00 92.915 81.189
4 81.645
1a2 2a3
Hi (mca) 92.915 92.915
Hj (mca) 100.000 81.189
2a5
92.915
89.755
QDi (m /s) = hf (m) 7.085 11.726 9.186 9.758 9.629 9.658 9.652 9.653 3.160
Velocidad (m/s) 2.1120 2.2323 1.9650 2.0281 2.0141 2.0172 2.0165 2.0167 1.2412 =
Mediante Ecuacion [4]:
3a2
Hi (mca) 81.189
Hj (mca) 92.930
3a4
81.189
81.645
hf (m) 11.741 9.197 9.770 9.641 9.670 9.664 9.665 0.456
Velocidad (m/s) 2.2338 1.9663 2.0294 2.0154 2.0186 2.0179 2.0180 0.4369 =
4a3 4a5
Hi (mca) 81.645 81.645
Hj (mca) 81.250 89.755
5a2 5a4 5a6
Hi (mca) 89.755 89.755 89.755
Hj (mca) 92.930 81.695 96.715
0.015104
-0.0368 -0.0101 0.06017
0.003811 0.003185 0.02210
H2 =
hf (m) 0.395 8.110
Velocidad (m/s) 0.4037 1.8409 = Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
0.0368 0.0035 0.04035
H3 =
0.003809 0.007761 0.01157
Mediante Ecuacion [4]:
-0.0033 0.0336 0.03031
0.008280 0.004141 0.01242
0.0495
Q (m /s)
-0.030 Q/hf (m /s)
0.0101 -0.0335 0.0535 0.03014
H5 =
-0.030 Q/hf (m /s)
3
Velocidad (m/s) 1.2443 1.8350 1.6506 =
0.0611
Q (m /s)
4 =
-0.040 Q/hf (m /s)
QDi (m /s) = hf (m) 3.175 8.060 6.960
0.0151
QDi (m /s) =
NODO 5 Tubo
0.1070
3
NODO 4
-0.060 Q/hf (m /s)
3
Mediante Ecuacion [4]:
Tubo
Q (m /s)
QDi (m /s) =
NODO 3 Tubo
6 96.715
3
NODO 2 Tubo
5 89.755
0.003178 0.004153 0.007691 0.01502
0.0192
3
NODO 6 Tubo 6a1 6a5
Hi (mca) 96.715 96.715
Hj (mca) 100.000 89.774
QDi (m /s) = hf (m) 3.285 6.941
Velocidad (m/s) 1.8457 1.6482 =
Mediante Ecuacion [4]:
Q (m /s)
Q/hf (m /s)
0.0935 -0.0535 0.04007
H6 =
-0.040
0.028469 0.007701 0.03617
0.0040
Solucion Final R/ Las correciones de Cabezas en todos los nodos, son pequenas, lo que indica que el proceso ha llegado a su final, o ha tenido convergencia. Los Resultados Finales son: Nodo Presion (mca)
1 100.00
2 92.930
3 81.250
4 81.695
5 89.774
6 96.719
Tubo Caudal (l/s)
[1 - 2] 107.02
[2 - 3] 36.81
[3 - 4] -3.27
[4 - 5] -33.47
[2 - 5] 10.09
[5 - 6] -53.45
[1 - 6] 93.52
