Ejemplo de Un Proyecto de Aula en Calculo Diferencial-1

UNIVERSIDAD DE LA COSTA, CUC

DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA

INTRODUCCION

En el siguiente trabaj trabajos os resolv resolvere eremos mos un problema para el diseño de una cilindro que tendrá q ue contener una cantidad determinada de refresco, es importante cono conoce cerr los métod étodos os de la optimización y razón de cambio para poder entender un poco mejor el procedimiento realizado en el problema. También debe debemo moss cono conoce cerr lo loss métodos de la

derivación y tener claro los conceptos del despeje. Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de u na función de u na variable. Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables variables relacionada relacionadass


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en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.

conceptos derivadas optimización

de y

1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS Aplicar los métodos de la derivada de una función para encontrar los puntos críticos.

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1. OBJETIVOS Optimizar el área superficial de un cilindro recto de un volumen dado.

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1.1 OBJETIVO GENERAL Estudiar aplicar



y los



Graficar el comportamiento de la función a optimizar

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Verificar cálculos con la grafica.

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2 MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION Función creciente y decreciente:

Creciente en xo si para x > xo F(x) ≥ F(xo) ► F ' (xo) ≥ 0 Ya que: F(x) - F(xo) F'( Li ————— ≥ xo) m ——— = 0 x→ x - xo xo

Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva; F '(xo) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos



la derivada (pendiente) está por encima de los ejes X (es positiva). Decreciente en xo si para x > xo F(x) ≤ F(xo) ► F ' (xo) ≤ 0 Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa; F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).

F(x) F(xo)

-

F'( Li ———— ≤ xo) m ——— 0 = x→ x - xo xo

F(x) = 1/(x2 + 1) Se observa que para x є (∞, 0] es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta F(x). Su derivada es positiva en ese intervalo. Para x є (0, + ∞], es decreciente, al aumentar la x disminuye F(x). Su derivada es negativa. Su derivada es: F ' (x) = - 2·x/(x2 +1)2 que como puede observar



es positiva para x < 0 y negativa para x > 0. Máximos y Mínimos Relativos. Puntos Singulares.

Máximos de una Función. En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativo, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su

derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (Se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a)) Mínimos Función.

de

una

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en



ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo). Puntos de Inflexión de una función. Máximos y mínimos de la derivada. Concavidad.

Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la

concavidad. Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada



tiene un mínimo en (0,c). Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad. En F(x) = x4 - 4·x2 = x2·(x2 - 1) puede observarse que su derivada: F'(x) = 4·x3 - 8 · x = 4·x·(x2 - 2) presenta un máximo y un mínimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.

La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas condiciones. La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara: calcular superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de determinadas figuras... Es importante en este tipo de problemas identificar claramente la función a optimizar que suele depender de dos variables. El



ejercicio nos dará una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas y sustituirla en la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable. A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar máximos o mínimos. 3. DESARROLLO DEL PROBLEMA (PROBLEMA DE OPTIMIZACION) Análisis numérico, grafico y analítico. Se

va a diseñar cilindro circular recto que pueda contener 22 pulgadas cubicas de refresco (aproximadamente 12 onzas de fluido). a) En forma analítica completar seis renglones.



b) Utilizando la calculadora para generar renglones adicionales de la tabla podemos estimar el área superficial mínima. Ingresando función:

Partiendo desde 0 de hasta 2.0 de 0.1 a 0.1 tenemos que

Radio Altura Área de la r superficie 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 la 1.2 el área superficial mínima es cuando el radio es igual a 1.5 y el área superficial mínima es 43.47.



c)Escribir el área S superficial como una función de r

d) Utilizar la calculadora para representar gráficamente la función del apartado.

x 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 1. 2 1. 4 1. 6 1. 8 2. 0

y 220.3

111.0 75.6 59.0 50.3 45.8 43.7 43.6 44.8 47.1



apartado y las dimensiones que producirán el área superficial mínima.

El área superficial mínima es hallada a partir del punto crítico, es decir, remplazamos el punto crítico en la función:

a) Encontrar el punto crítico de la función del

Para hallar el punto crítico de la función tenemos que derivar la función, igualarla a 0 y despejar x:



4 CONCLUSION

Para encontrar las dimensiones, remplazamos x para encontrar h:

El calculo diferencial nos entrega unas herramientas o métodos para la solución de diversos problemas en la ingeniería, uno de ellos como se mostro en este trabajo es la optimización de una



actividad a partir de ciertas condiciones dadas, por ello la importancia de tener claro los conceptos de puntos críticos, derivadas, máximos relativos y mínimos relativos, puesto tener estos conceptos claros nos ayudaran en la solución y optimización de problemas a lo largo de nuestra ingeniería. 5 BIBLIOGRAFIA Leithold EC7 – Edicion 7

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http://www.info adcom.com/LuisR oche/optimizacion %20funciones.htm

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http://licmoralesvi dea.files.wordpres s.com/2008/08/res olucion problemascalculodiferencial.pdf STEWART, James. CÁLCULO Diferencial Integral. International Thomson

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Editores. 1999. http://es.wikipedia .org/wiki/Punto_cr %C3%ADtico_(m atem %C3%A1ticas)

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