ECUAŢII FUNCŢIONALE
CUPRINS
Ecuaţia funcţio funcţională nală a lui Cauchy Cauchy.. Ecuaţii Ecuaţii funcţi funcţional onalee reductibi reductibile le la CAP I. Ecuaţia ecuaţia_Cauchy………………………………………………………………….2
CAP II. Ecuaţii funcţionale generale………………………………………………………………………….9 funcţionale care care se rezolvă rezolvă folosind folosind criteriul criteriul cu şiruri şiruri a CAPIII. Ecuaţii funcţionale continuităţii…………………………………………………………………….14
CAP IV. Ecuaţii funcţionale funcţionale în care apar primitivele primitivele funcţiei funcţiei necunoscute……….............................................................................................53
CAP V . Funcţii determinate prin inecuaţii………………………………………………………………………..56
Bibliografie……………………………………………………………………65
1
CAPITOLUL I ECUAŢII FUNCŢIONALE REDUCTIBILE LA ECUAŢIA LUI CAUCHY Ecuaţi Ecuaţiaa funcţio funcţional nalăă a lui Cauch Cauchyy. Determinaţi toate funcţiile funcţiile continue continue f:R→R a.î. C1. Determinaţi
f x y f x f y pt.
orice x,y numere reale.
Soluţie : pt. x=0 avem f(0)=0. x→-y avem 0=f(y)+f(-y) deci f(-y)=-f(y) y R f(2)=2f(1) şi prin inducţie rezultă f(n)=nf(1) n N ; Deoarece n N , f(-n)=-f(n)=-nf(1) ; atunci putem spune că x Z f x xf 1 ;
Dacă x Q m, n Z ; m, n 1 2 n
1 n
a.î . x
n
1 1 2 f şi prin inducţie obţinem n n
Dacă n N ,
f
k 1 f kf n n
; k Z ; atunci pt. k=n avem
f
m
f
1 f 1 nf n
inductie 1 1 m m f f 1 f f 1 . n n n n
Deci x Q
avem
Pentru x R \ Q
f x xf 1 .
un şir xn Q,
f x n Avem f xn xn f 1 lim n
n N a.î . x n x .
f continuă
f lim x n lim x n f 1 xf 1 .
2
n
n
În concluzie f(x)=xf(1) x R deci clasa de funcţii continue ce verifică ecuaţia funcţională Cauchy este :
f | f x ax;
x R
aR
Obs. Este suficient ca funcţia f să fie continuă numai în 0 , de aici rezultând continuitatea ei pe întreg domeniul de definiţie. Într-adevăr Într-adevăr , pentru a arăta că f este continuă continuă folosim criteriul criteriul cu şiruri de caracterizare a continuităţii. Fie x R şi fie şirul şirul arbi arbitrar trar xn nN cu
xn x .Vrem
lim f xn f x . Fie Fie şiru şirull α n nN dat prin n
Cum xn x
α
n
0 dar funcţia f
α
n
să arătăm că
x n x n N
.
fiind continuă continuă în 0 , rezultă că :
lim f α n f lim α n f 0 0 ; n n n
deci f n f xn x f xn f x 0 de unde lim f xn f x q.e.d. n α
x y f x f y pt. Determinaţi toate funcţiile funcţiile continue continue f:R→R f:R→R + a.î. f C2. Determinaţi
orice x,y numere reale.
Soluţie 1 : Dacă x0 R
a.î .
f x0 0
atunci
f x f x x0 f x0 0
Dacă f x 0, x R atunci putem face substituţia
f x e
g x
deci
f 0.
unde
g :R R.
Cu această substituţie ecuaţia devine : e
g x y
e g x e g y g x y g x g y , x, y R deci se reduce la ecuaţia lui
Cauchy Cauchy şi atun atunci ci g x c x, x R . Rezultă că soluţiile vor fi : f x 0, x R
sau
f x e
cx
, x R
unde a 0 este o constantă arbitrară .
3
f x a , x R x
0 0 f 0 f 0 f 0 f 2 0 f 0 0,1 Soluţie 2: f y 0
i)
f 0 0 f x f x f 0 f x 0, x R .
ii)
f 0 1 f 0 f x f x f x
y x
1 f x
, x R
Avem f 2 x f 2 x ; f 3 x f 3 x ,..., f kx f k x , k N , x R (1). not
n f n 1 a n unde Fie n număr natural , avem din (1) pentru x=1 şi k=n că f a f 1 .
Fie 1 un număr raţional , avem n
1 2
f 2 f 1
1 1 ; f 3 f 1 ...; f n f 1 a 3 n
1
1 f a n , n N . n
Fie k un număr raţional . n
k
Avem: f k f k 1 1 f k 1 f 1 f k 2 f 2 1 ... f k 1 a n . n n n n n n n n Deci x Q
avem
f x a x .
Fie acum x un număr iraţional. Deoarece x R \ Q
un şir xn Q,
Avem
f xn
f xn a xn
lim n
f continuă
f
n N a.î . x n x .
lim x lim a n
n
n
xn
a . x
În concluzie f x a x x R deci clasa de funcţii continue ce verifică ecuaţia funcţională este cea a funcţiilor exponenţiale : funcţia identic nulă f x 0, x R .
4
f | f x a x ;
x R
aR
sau
C3.Determinaţi toate funcţiile continue f:R +→R a.î.
f x y f x f y pt.
orice x,y numere reale pozitive.
Soluţie : pentru x 0, există unic u R y e
v
deci ecuaţia se poate scrie
Efectuăm notaţia
a.î .
xe
; u ln x şi analog
u
, u , v R .
f eu v f eu f e v
, u R .
g u f eu
Deoarece funcţia u eu este continuă , g este continuă şi verifică ecuaţia lui Cauchy , deci soluţiile sunt f x c ln x,
g u f eu c u , u R sau
x 0, .
C4 . Determinaţi toate funcţiile continue
f : R R a.î. f x y f x f y pt.
orice x,y numere reale pozitive .
Soluţie : dacă există y0 R
cu
f y0 0
atunci
f xy0 0
, x R* deci
f 0 . 2
Dacă f x 0 , x R* atunci f x 2 f x 0, deci
f : 0, 0, .
Făcând substituţiile x eu , y ev şi de funcţie g u f eu ; g : R 0, obţinem ecuaţia g u v g u g v , u , v R. Cum g u 0, u R dacă logaritmăm relaţia obţinem ln g u v ln g u ln g v , u , v R. deci funcţia not
continuă h ln g verifică ecuaţia funcţională a lui Cauchy având soluţiile h u au, u R .
Revenind la substituţia făcută avem
g u ea u , u R
deci f x x a , x R* .
5
sau
g u eu
a
,u R
C5. Să se det. funcţiile continue
: 1,1 R care verifică :
f
f x f y f x
1 y 2 y 1 x 2 , x, y 1,1 .
Soluţie : Deoarece x, y 1,1 rezultă că există u , v R astfel ca
; y sin v .
x sin u
Ecuaţia devine : f
sau cu notaţia
sin u f sin v f sin u v , u, v R
g f sin
care este o funcţie continuă ca funcţie compusă de
funcţii continue , ajungem la ecuaţia lui Cauchy cu soluţiile
g u au , u R .
Revenim la substituţia făcută şi obţinem : f
sin u t
sin u a u
sin bijectivă
f t a arcsin t , t 1,1 .
C6 : 21332 (G.M.1/1988). Să se determine funcţiile continue
f : R R cu
proprietatea : x y f x f y , x, y R . 2 2
f
Marius Cavachi f x f 0 Soluţie : pentru y=0 avem f x , x R şi evident 2 2 f x f y y f y f 0 x de unde f y R , 2 2 2 2
f
y f 0 , x, y R şi 2
f
din enunţ f x y f x f y f 0 , x, y R şi dacă scădem din ambii 2 2 2 membrii numărul x y f 0 2
f x
2
u ,
y
2
v
f 0 obţinem
x f 0 2
f
: y f 0 , x, y R şi cu substituţile 2
f
; g u f u f 0 obţinem ecuaţia lui Cauchy
g u v g u g v , u , v R cu
soluţia g u u g 1 , u R .
6
Revenind la substituţia făcută avem soluţiile finale f u f
0 f 1 f 0 u , u R adică funcţiile de forma
f x ax b, x R.
Obs : ecuaţia din enunţ este de fapt ecuaţia lui Jensen. Dacă semnul egal se înlocuieşte cu semnul ,, ” atunci funcţiile care verifică inecuaţia lui Jensen sunt numite funcţii convexe.
C7 : 19134*(G.M.2-3/1982) . Să se det. funcţiile continue f:R→R care verific ă : f x y f x f y 2 xy 1, x , y R .
Marcel Chiriţ ă Soluţie : cu ajutorul identităţii 2 xy x y 2 x2 y 2 ecuaţia mai poate fi scrisă 2
f x y f x f y x y x 2 y 2 1 2
f x y x y f x x 2 f y y 2 1 1 2
f x y x y 1 f x x 2 1 f y y 2 1
şi notând g x f x x 2 1; x R obţinem ecuaţia funcţională a lui Cauchy cu soluţia
g x a x, x R de
unde revenind la substituţia de funcţie făcută
obţinem : f x ax x 2 1; x R .
C8 : 24388.(GM.10/2000).Să se det. funcţiile continue f:R→R care verific ă : f x y f x f y xy x y , x , y R .
Marian Ursărescu Soluţie : Avem
3 xy x y x 3 y 3 x y 3 .
Din : f x y f x f y xy x y
3
3 f x y 3 f x 3 f y 3xy x y , x , y R 3
3 f x y x y 3 f x x 3 3 f y y 3 7
def
Definim funcţia g x 3 f x x 3 ; x R
cu
g C R şi
obţinem ecuaţia
funcţională g x y g x g y ; x, y R a cărei cărei soluţ soluţie ie este este g x ax, x R cu a parametru real. Revenind la substituţia făcută obţinem soluţia
3
x ax
f x
3
q.e.d.
, x R
C9 : 24467. (GM.2/200 (GM.2/2001). 1). Determinaţi funcţia continuă f:R→R ştiind că : f x y f x f y 3xy x y 6 8 ; x, y Q; f k 0; k R ,k
fixat.
C r i sti sti an Chise Chi ser r Soluţie : f x y f x f y 3xy x y 18xy 8
3 xy x y x y 3 x 3 y 3 2 xy x y 2 x 2 y 2 3
2
f x y f x f y x y x 3 y 3 9 x y 9 x 2 9 y 2 8 3
2
f x y x y 9 x y 8 f x x 3 9 x 2 8 f y y 3 9 y 2 8
Definim g:R→R prin g x f x 9 x 2 8, x R Atunci căutăm funcţiile g:R→R continue a.î. g x y g x g y ; x, y Q (1) ;
şi g k k 3 9k 2 8 pt. un k real fixat. Ştim că ecuaţia (1) are soluţiile de forma g(x)=xg(1) f x x 3 9 x 2 8 x f 1 1 9 8 f x x 3 9 x 2 8 x f 1 18; x R
Din f k 0 f 1 18
3
2
k 9k 8 k
După efectuarea efectuarea calculelor calculelor se se obţine :
f x x k x 2 k 9 x
8
8 k
, x R .
CAPITOLUL II
ECUAŢII FUNCŢIONALE GENERALE Determinati funcţiile funcţiile continue continue G1. Determinati f
: 0,1 R ;
, x , y 0, 0,1 .
f xy xf x yf y
Soluţie : Punem
x 0 x 0
T .Weierstrass
, y 0 f 0 0 f 0 0 f 0 f 0 0 f 0 finita
f continua
, y 0 f 0 0 f 0 yf y
yf y 0 : y 0 f y 0
Cum f este continuă în 0 rezultă că f(y)=0 , y 0,1 .
G2 : 20 2009 0944* ( G.M.4-5/1984 ) .Fie a un număr real. Să se det. funcţiile continue f:R→R\{a} care verifică :
f y
f x f x y
f x y a
,
x, y R .
Walter Walter J anous nous Soluţie : Facem x=y=0 în relaţia (1) (1) şi obţinem obţinem : 0 Dacă a 0 0
f 0 f 0
f 0 f
0 a
(2) .
1 contradicţie.
Deci a 0 f 0 0 conform (2) . Facem x= 0 în relaţia relaţia (1) şi obţinem : f
0 f y
f 0 f y a
f y a f y f y , y R
Deoarece f este continuă rezultă că : f y 0, y R
sau
9
f y a 1, y R .
Al doilea caz se reduce la primul deoarece
f 0 0 deci a 1 0 .
În concluzie pentru a=0 ecuaţia funcţională (1) nu are soluţie , iar pentru ecuaţia admite o unică soluţie Determinaţi naţi funcţiile funcţiile G3. Determi
a 0
f x 0, x R .
f : R R care satisfac condiţia *
f x 2 f y 2 x y f x f y
x, y R .
Soluţie : y 0 y 1
2 f 0 x f x f 0 2 f x f 1 x 1 f x f 1 f x
f 0 f 1 f x xf 1 f 1 xf 0
f x x f 1 f 0 f 0 , x R .
care verific ă : G4 : Genera Generaliz lizare. are. Să se determine funcţiile f:R→R care
f x n
1
f y 1 x n
x n 1 y .. xy n1 y n f x f y
n
(1) x, y R
unde n N , n 2 este număr fixat.
Soluţie : n f y 0 f x
y 1 f x
1
n 1
0 x n f x f 0
f 1
1 x n 1
x 1
n 1
f x f 1
n 1
1 x 1 n n f x f 1 x f x x f 0 x 1 x 1 x n 1 1 n x n1 1 x f x 1 f 1 x n 1 f 0 x 1 x 1 f 0 f 1
x n 1 x 1
f x
x
x x n 1 x 1
f
1 x n 1 f 0
f x xf 1 x 1 f 0 f x x f 1 f 0 f 0 , x R
10
x 1 n x 1
G5. Să se determine funcţia
f : 0, R pentru
x x f x 1 5 f 6 f , 2
4
care f(0)=0 şi x 0, .
Vasile Pop
Soluţie : k
x x x k =2 1 2 f x 1 5 f 6 f f 2k 1 5 f 2 k 6 f 2 k , k 2. 2 4 Fie xn nN cu xn f 2 n , n N . x0 f
1 1 5 f 0 6 f 0 1 x1 f 2 1 5 f 1 6 f 0 6 xn 1 5 xn1 6 xn 2
(1)
, n 2
O soluţie particulară a recurenţei (1) este şirul constant 1 deci făcând substituţia 2
yn xn
1 şirul yn nN verifică relaţia de recurenţă : yn 5 yn1 6 yn2 , n 2 2
Ecuaţia caracteristică este
r1 2, r2 3 de unde rezultă că
r 2 5r 6 0
A, B R asfel ca yn A2n B 3n cu n N .
Avem y0 1 ; 2
xn f 2n
Pentru
y1
11 2
yn
1 n 2 n 3 3 2 N . 2
1 1 3n 2 2n 3 , n N . 2
x 2n , 2n 1
,
Prin inducţie se obţine
x n 1 n x n 2 n 1 2 , 2 ; 2 4 2 , 2 0, x 0 f x 1, x 0, 2 n n 1 xn , x 2 , 2 , n N
11
.
G6 : Generalizare . Să se determine funcţia x x f x 1 f 6 f 2 , p p
Soluţie : pentru 0
f : 0, R pentru
care f(0)=0 şi
x 0, une p>1 este un număr real fixat.
x x p p 2 0 f x 1 .
Partiţionăm mulţimea 1, in
p 0 , p1 p1 , p 2 p 2 , p3 ... p n 1 , p n ...
Pentru n natural , daca x p n , p n1 , atunci x x n 1 n n 2 n 1 , ; p p p p 2 p , p
.
Cum pe intervalul 1, p 2 funcţia este constantă ( egală cu 1 pe intervalul 1, p şi egală cu 2 pe intervalul p, p 2 ) rezultă inductiv că f este constantă pe fiecare din intervalele p n , p n1 .Pentru n natural notăm xn f p n ;
y n 1 xn .
n 2 xn 1 xn 1 xn 2 ; yn yn1 yn2 , y0 1 x0 1 ; y1 1 f p 3
Aşadar n N
xn yn 1 f n 3 1,
; f n n 1 este şirul lui Fibonacci.
Inductiv obţinem , folosind ii că pentru n natural
x p n , p n 1 , f x xn f n 3 1 .
În concluzie
0, x 0 f x 1, x 0, p n n 1 f n 3 1, x p , p
.
12
G7
: 18703* ( G.M.4/1981 ) .Să se determine funcţiile de gradul întăi care verifică
f f ... f x f f ... f x 0, n ori n ori
x R
I.Ursu
Soluţie : prin compunerea funcţiei f cu ea însăşi avem : f f x a 2 x ab b f f f x a 3 x a 2b ab b ...................................................... f f ... f x a n x a n 1b a n 2b ... ab b n or i
Aşadar condiţia din enunţ devine : b a n1 ... a 1 0 . Distingem două cazuri : i) n=2k+1 , egalitatea este verificată numai pentru b=0 deoarece ecuaţia a 2 k ... a 1 0 nu
are nici o rădăcină reală.
ii) n=2k , avem egalitatea b a 2k 1 a 2 k 2 ... a 1 0 care este verificată pentru b0
sau
a 1 deoarece
ecuaţia
a 2 k 1 a 2 k 2 ... a 1 0 are
singura rădăcină
reală a 1 .Deci funcţiile căutate sunt de forma f x x b pentru
f x ax pentru
n par.
13
orice n N sau
CAPITOLUL III
ECUAŢII FUNCŢIONALE CARE SE REZOLVĂ FOLOSIND CRITERIUL CU ŞIRURI A CONTINUITĂŢII
Definiţie1 . Fie f : D R o funcţie dată , unde D este domeniul de definiţie şi x0 D
, unde
D
este mulţimea punctelor de acumulare a mulţimii
că funcţia f este continuă în punctul
x0 dacă există
D .Spunem
lim f x şi lim f x f x0 . x x
x x0
0
Definiţie2 . Fie f : D R o funcţie dată . Spunem că funcţia f este continuă pe domeniul D dacă este continuă în fiecare punct din mulţimea D.
Teoremă ( criteriul de caracterizare prin şiruri a continuităţii unei funcţii într-un punct ). Fie f : D R o funcţie dată , unde D este domeniul de definiţie şi D
x0 D
, unde
este mulţimea punctelor de acumulare a mulţimii D . Dacă ( xn ) nN ; x n D ; xn x0 f xn f x0
atunci funcţia f este continuă în punctul
x0 .
Metoda de rezolvare a problemelor din acest capitol în ipoteza de continuitate utilizează criteriul cu şiruri de caracterizare a continuităţii într-un punct sau pe o mulţime de puncte de acumulare ale domeniului de definiţie .
14
S1. Determinaţi funcţiile
f care satisfac
relaţia x D ,
f x f x 2
unde domeniul de definiţie
D în
ipotezele următoare :
a) f : 0, R este continuă în x 0=1; b) f : 0,1 R este continuă numai în x 0=0 ; c) f : 0, R este continuă în x0 0,1
Soluţie : a) avem dacă x R* că f x f x 2 f x 4 ...
f x
2n
(1)
n N
2 sau cu substituţia x y ; y 0 avem
21 12 f y f y ... f y
n
, y 0
(2)
Prin trecere la limită mai sus în ipoteza continuităţii în 1 , se obţine 21 lim f y lim f y n n
n
f 1 adică f(y)=f(1) , y>0.
Am pus în relaţia (2) condiţia y 0 , dacă y ar fi fost 0 atunci prin trecere la limită am fi ajuns la cazul de nedeterminare 00 . Soluţiile sunt reprezentate de funcţiile de forma :
c1 ; x 0 . c x ; 0 2
f x
b) Dacă trecem la limită în relaţia (1) avem pentru x 0,1 lim f x lim f x n
n
2n
f continuă
f lim x n
Deci soluţiile sunt de forma
2n
f 0 ; x 0;1 f 1 ; x 1
c1 ; x 0;1 f x . c x ; 1 2
c) Dacă f este continuă în punctele 0 şi 1 atunci din continuitatea în 1, la soluţia de la punctul ii) se adaugă condiţia
c1 c2 ,
15
adică
f 0 f 1 şi
atunci funcţia dată
va fi constantă pe [0;1] . Analog pentru x 1, dacă folosim relaţia (1) şi trecem la limită obţinem
f x f
1 , x 1, . Soluţiile vor fi de forma : x R .
f x c
Obs : acest exemplu dovedeşte că soluţia unei ecuaţii funcţionale diferă după caz , depinzând atât de mulţimea de definiţie a funcţiei , cât şi de ipoteza de continuitate . S2 : 23194.(G.M.2/1995) . Determinaţi funcţiile continue
2
f x y
2
f x f y ln xy ,
f : R R astfel
încât:
x , y 0 .
Florin Rotaru
Soluţie : relaţia din enunţ mai poate fi scrisă
f x 2 y 2 f x f y ln x ln y ,
De aici pentru x y 1
x , y 0 .
f 1 0.
Se observă cu uşurinţă că funcţia ln verifică ecuaţia dată. Orice altă posibilă soluţie a ecuaţiei date va putea fi scrisă sub forma : Înlocuind în ecuaţie obţinem ecuaţia în necunoscuta
f x ln x g x g x de
, x 0 .
forma :
x, y 0 cu g 1 0 .
g x2 y2 g x g y
Din relaţia mai sus pentru y 1 obţinem g x 2 g x , x 0 cu g funcţie continuă , deci conform problemei S 1 punctul iii) găsim pentru funcţia
g soluţia
g x g 1 0, x 0
şi soluţia finală unică
f x ln x
, x 0 .
Obs : descoperim aici o altă metodă de reducere a unei ecuaţii funcţionale la una mai simplă , astfel : se observă o soluţie particulară f0 x a ecuaţiei date şi apoi cu o substituţie liniară de funcţie f x f 0 x g x
16
se ajunge
la o ecuaţie mai simplă în necunoscuta g x care a mai fost de obicei întâlnită . S3. Fie f:R→R o funcţie continuă a.î. f kx f x ; x R; k 0, k 1 .
Determinaţi funcţiile f. x f kx f k 2 x ... f k n x Soluţie : f
i) k <1 avem lim f x lim f k x n n n
f continuă
x R,
n N
n f lim k x f 0 deci n
f(x)=f(0) .
ii) k>1 avem f x f x f x2 ... f xn x R, n N k
x f continuă lim f x lim f n n n k în 0
k
f lim n
k
x f 0 k n
deci f(x)=f(0) . Cum x a fost arbitrar ales rezultă că pt. orice x real avem f(x)=f(0) deci soluţiile problemei sunt funcţiile constante.
Obs : ipoteza din enunţul problemei poate fi slăbită cerând continuitatea funcţiei într-un singur punct şi anume x0=0 . S4. Fie q R , q 1 .Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 0 care verifică relaţia : f x f qx 0, x R .
Soluţie : din f x f qx 0 (1) cu substituţia x:=qx avem
17
f x f qx 0
f x f qx 0
2 f qx f q x 0 1
2
3
f q x f q x 0 1
f qx f q 2 x 0
n
n
1 n2 f q n2 x 1n2 f q n1 x 0 1 n1 f q n1 x 1 n1 f q n x 0
x f q x 0 1 1 1 f q x f q x 0 1 f q
n 1
...........................................
........................................... n 2
2 3 f q x f q x 0
2
n 2
n
f x 1 f q n x 0 n 1
iar din ultima relaţie f x 1 n f q n x f q n x 1 n f x De aici pt. n=2k=par avem f q 2 k x f x de unde prin trecere la limită k avem
:
lim f q 2 k x f lim q 2 k x k
k
continuă
f
în
0
f
0 f x f 0 , x R .
Pt. n=2k+1=impar avem f q 2 k 1 x f x de unde prin trecere la limită k avem
lim f q k
2 k 1
x f
lim q k
2 k 1
x
continuă
f
în
0
f 0 f x f 0 , x R .
Dar cum din (1) pentru x=0 rezultă f(0)=0 avem soluţia f x 0, x R .
Voi prezenta în continuare soluţ iile unor ecuaţ ii reductibile la ecuaţ ia de forma S4 . S5 : 25190 (G.M.11/2004) . Să se determine toate funcţiile f:R→R continue pentru care : f x 2 f
2 x f 4 x 25x 2 9 x 4, x R .
Marian Ursărescu Soluţie : căutăm o soluţie particulară de forma
f 0 x ax bx c, x R . 2
Prin înlocuire în relaţia din enunţ şi identificarea coeficienţilor avem : a b c 1 deci
o soluţie particulară a ecuaţiei date este funcţia f 0 x x x 1, x R . 2
18
Orice altă soluţie posibilă f(x) a ecuaţiei date poate fi scrisă f x f 0 x g x , x R
şi avem f continuă pe R g continuă pe R ,
iar funcţia g verifică ecuaţia : g x 2 g 2 x g 4 x 0, x R .
Ecuaţia de mai sus mai poate fi scrisă efectuând schimbarea de funcţie h x g x g 2x , x R astfel
:
h x h 2 x 0 sau
1 y 0, y R care conform problemei S 4 cu coeficientul q 2 2
h y h
soluţia
are
h y 0, y R .
De aici obţinem că
g verifică
ecuaţia :
g x g 2 x 0, x R sau
y 0, y R cu soluţia unică dată de S 4 , adică g y 0, y R . 2
g y g
Asfel se obţine unica soluţie a problemei : funcţia
f x x x 1, x R . 2
S6. Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 0 pentru care f x f kx x ,
x R
, unde
k 1 , k R
fixat.
Soluţie : o funcţie de gradul I f x ax b verifică ecuaţia funcţională dacă 1 k 1 a 1 a ax b kax b x k 1 ax 2b x k 1 b 0 b 0
Deci o soluţie particulară a ecuaţiei date este
f 0 x
1 k 1
.
x.
Orice altă posibilă soluţie a ecuaţiei date poate fi scrisă ca
f x
1 k 1
x g x şi
avem f continuă în 0 g continuă în 0 iar din (1) avem : 1
x g x
k 1
k k 1
x g kx x g x g kx 0
avem g x 0, x R , 19
cu
k 1
şi cf. ex. precedent
Deci singura soluţie este
f x
1 k 1
x.
S7 .Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 0 pentru care 2 x x, x R . 3
f x f
Indicaţie : se aplică aceeaşi metodă ca mai sus. S8 : 23728 (G.M. 4-5/1997). Fie a R ,
fixat
, a 0,1 .Să se determine toate
funcţiile f:R→R continue pentru care f x f ax e , x R . x
Nicolae Muşuroia Soluţie : Înlocuind în relaţia din enunţ pe x cu 0 avem : Observăm că dacă x0 R
cu
f
0 1
f x0 0 ar
atunci
f 0 1 deci f 0 1 .
f x 0, x R pentru
că dacă ar exista
fi posibile cazurile :
i)
Dacă f x0 0
ii)
Dacă
0 e x0 fals.
atunci
f x0 0 cum
f este continuă există c între 0 şi x 0
astfel ca f c 0 .Rezultă 0 ec fals. iar dacă f 0 1
atunci
f x 0, x R .
Prin logaritmarea relaţiei din enunţ avem : ln f x ln f ax x, Dacă notez cu g : R R ; g x x iar h : R R
x R .
; h x ln g f x , x R
atunci funcţia h verifică ecuaţia h x h ax x, x R cu a 0,1 care conform problemei S6 are soluţiile
20
h x
x a 1
, x R ln f x
x
f x e
a 1
x a 1
x
, x R f x e
a 1
cu explicitarea
, x R .
S9 : Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 0 pentru care 2 f 2 x f x x, x R .
Soluţie : o funcţie de gradul I f x ax b verifică ecuaţia funcţională dacă 1 4 a a 1 a 1 2 2ax b ax b x 3 f x x 3 2b b b 0
Deci o soluţie particulară a ecuaţiei date este
f 0 x
1 x. 3
Orice altă posibilă soluţie a ecuaţiei date poate fi scrisă sub forma f x
1 x g x şi avem f continuă în 0 g continuă în 0 , iar din (1) avem : 3
1 2 1 2 x g 2 x x g x x g x 2 g 2 x g 2 x g x 2 3 3 1 x 1 g x g 2 2 2 2
1 x x g 2 ... n g n 2 2 2
1 x g continuă g x lim n lim g n 0 g 0 0 n 2 n 2
n
. Deci g(x)=0 şi singura soluţie rămâne
f x
1 x. 3
S10. Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 0 pentru care f
2 x f 3x 5x, x R .
Soluţie : o funcţie de gradul I f x ax b verifică ecuaţia funcţională dacă 5a 5 a 1 2ax b 3ax b 5x 5ax 2b 5 x . b 0 b 0
Deci o soluţie particulară a ecuaţiei date este
21
f 0 x x .
Orice altă posibilă soluţie poate fi scrisă ca
f x x g x şi
avem f continuă
în 0 g continuă în 0 iar din (1) avem : 2u 2 x g 2 x 3x g 3 x 5 x g 2 x g 3 x 0 g u g 0 şi cf. S6 cu 3 3 x u
coeficientul q 2 avem g x 0, x R ,deci singura soluţie este 3
f x x .
S11 : 21109* ( G.M. 5/1987 ) . Fie f:R→R o funcţie continuă în x=0 a.î : kf kx f x kx; x R; k 1 k
fiind un număr natural fixat. Determinaţi funcţia f .
Matematica v şkole , 3/1986 Soluţie : Căutăm mai întâi funcţiile de gradul 1 , f : R R ; f x ax b care verifică ecuaţia. Prin înlocuire şi identificarea coeficienţilor se obţine Deci o soluţie particulară a ecuaţiei date este
f 0 x
Orice altă posibilă soluţie a ecuaţiei poate fi scrisă ca
k k 2 1
k 2
k 1
k k 2 1
x g x şi
avem f continuă în 0 g continuă în 0 iar înlocuind în enunţ avem : g kx
1 k
g x , R
;
de unde cu substituţia
1 1
kx y avem g y
k
y cu g 0 0 . k
g
Prin efectuarea unor substituţii succesive în ultima relaţie avem : g y
1 1 1 1 k
g
y
k
k
g
k
2
y ...
1 1 k
y , y R, n N k
g
n
iar prin trecere la limită se obţine dacă k>1 că deci singura soluţie este
f x
k k 2 1
x.
22
g y
1 k
şi
x R .
x,
f x
a
g 0 0, y R
b 0
S12. Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în -1 pentru care f
2 x 1 f x , x R .
Soluţie : cu substituţia 2 x 1 t x 1 t 1 obţinem f t f 1 t 1 sau 2
1 2
f x f x
2
2
2
1 . 2
Deci avem f x0 f x1 ... f xn unde şirul xn n1 verifică 1 2
x n1 x n
1 , n N , x 0 R . 2
n 1 n 1 1 1 n1 n 1 n n k 1 k k k 1 k 2 xn1 2 xn 2 2 xk 1 2 xk 2 2 xk 1 2 xk 2 k xn1 xn 2 2 2 k 0 k 0 x 1 2 n xn x0 1 2 2 2 ... 2 n 1 2 n xn x0 1 2 n xn 0 n 1 2
Cum şirul x n este convergent la -1 pt. orice valoare a primului termen x 0 avem : lim f x0 lim f xn n
n
f continuă
f lim xn f 1 . n
Cum x0 R a fost arbitrar luat x0 R avem f ( x0 ) f 1 . În concluzie funcţiile care verifică ecuaţia din enunţ sunt funcţiile constante.
S13. Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în f
1 pentru care : 2
3x 1 f x , x R .
Soluţie : cu substituţia 3 x 1 t x 1 t 1 obţinem f t 3
3
1 1 x . 3 3
f x f
Deci avem f x0 f x1 ... f xn unde şirul xn n1 verifică xn 1
1 1 xn , n N , x 0 R . 3 3
23
1 3
1 3
f t sau
n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 n n k 1 k k k 1 k k xn 1 xn 3 3 xn 1 3 xn 3 3 xk 1 3 xk 3 3 xk 1 3 xk 3 3 3 k 0 k 0 n n 3 1 1 3 1 1 3n xn x0 1 3 32 ... 3n 1 3n xn x0 xn n x0 2 3 2 3n 2
Cum şirul x n este convergent la 1 pt. orice valoare a primului termen x 0 avem : 2
lim f x0 lim f xn n n
f continuă
f
lim x f 12 . n
n
Cum x0 R a fost arbitrar luat x0 R avem f ( x0 ) f 1 . 2 În concluzie funcţiile care verifică cond. din enunţ sunt funcţiile constante.
Generalizare. S14. 18099 (G.M.7/1980) . Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în b
1 a
pentru care : f ax b f x , x R unde
a>1. Marcel Chiriţă
Soluţie : cu substituţia
ax b t x
1 a
t
b a
obţinem f t f 1 t b sau
b 1 x . a a
f x f
Deci avem f x0 f x1 ... f xn unde şirul xn n1 verifică xn1
1 a
xn
b a
, n N , x 0 R .
Voi găsi expresia termenului general al şirului xn n1 .
24
a
a
xn 1
1 a
xn
b a
a
n 1
n 1
k 1
a xn1 a xn ba a xk 1 a xk ba n
n
k
k
n 1
0 a
k 1
k
a n xn x0 b 1 a a 2 ... a n 1 a n xn x0 b
a 1 n
a 1
Deoarece a 1 1n 0 , şirul xn este convergent la
xn b
1 a
a
x0
b
a
a 1
n
b
a 1 a n
pt. orice valoare a
primului termen x0 avem : lim f x0 lim f xn n n
f continuă
f
b
lim xn f . n 1 a
Cum x0 R a fost arbitrar luat x0 R avem f ( x0 ) k , unde k f b 1 a În concluzie funcţiile care verifică ecuaţia din enunţ sunt funcţiile constante.
S15 : 21221.(G.M.9/1987). Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 1 pentru care : f
4 x 3 2 f 2 x 1 f x x 1, x R Marcel Chiriţă
Soluţie : Facem substituţia 4 x 3 u x 1 u 3 şi ecuaţia devine : 4
1 1 u 2 2
3 1 1 u u 1 (1) 4 4 4
f u 2 f
Atunci 2 x 1 1 u 1 g u not
2
2
4
f
1 4
u
not 3 g g u g2 u 4
2
11 1 1 1 1 1 g g t u u 2 şi prin inducţie avem 2 2 2 2 2 2 2 1
n 1 u 1 1 2n u 1 1 1 1 g g ... g u u 2 ... n n n 1 1 2 2 2 2 2 2 2 n 1
2
Prin înlocuirea repetată în relaţia (1) a lui u cu g(u) obţinem :
25
x k 1 a x k k
n 1
0 ba k
k
1 u 1 4 1 f g u 2 f g 2 u f g 3 u g u 1 4 1 f g 2 u 2 f g 3 u f g 4 u g 2 u 1 4 ................................................................................ 1 f g n 2 u 2 f g n1 u f g n u g n 2 u 1 4 1 f g n 1 u 2 f g n u f g n 1 u g n1 u 1 4 f u 2 f g u f g 2 u
1 n 1 f u f g u f g n 1 u f g n u g k u n 4 k 0
unde am notat cu g k u g g ... g u k
ori
1 1 u 1 1 2n 1 u 1 1 1 f u f g u f g n1 u f g n u k 1 n u 1 n 1 2 4 k 0 2 4 2 1 2 1
n 1
De aici prin trecere la limită ţinând cont că f este continuă în 1 obţinem : 1 u 1 2 1 f g u f g 2 u g u 1 2 1 f g 2 u f g 3 u g 2 u 1 2 ........................................................... 1 f g n 1 u f g n u g n 1 u 1 2 f u f g u
1 n 1 1 f u f g n u g k u n u 1 1 n 2 k 0 2
De aici prin trecere la limită obţinem : f x f
1 x 1 şi soluţia
26
f x x c .
S16. Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în 1 pentru care : f
9 x 8 2 f 3x 2 f x 4 x 4, x R Vasile Berinde
Soluţie : Facem substituţia 9 x 8 u x 1 u 8 şi ecuaţia devine : 9
1 3
f u 2 f u
1 2 not Atunci 3 x 2 u g u 3 3
2 3
1 9
f u
9
8 4 u 1 (1) 9 9
not 1 8 u g g u g2 u 9 9
not 11 2 2 1 2 2 g g u g2 u u 2 u 2 33 3 3 3 3 3
şi prin inducţie obţinem : 1 1 2 2 2 1 3k 1 u 1 1 u 1 1 k N . g k u k u 2 ... k k u 3 3 3 3 3 3 1 1 3k 3k 3k 3 2 1
Prin înlocuirea repetată în relaţia (1) a lui u cu g(u) obţinem : 4 u 1 9 4 f g u 2 f g 2 u f g 3 u g u 1 9 4 f g 2 u 2 f g 3 u f g 4 u g 2 u 1 9 ................................................................................ 4 f g n 2 u 2 f g n1 u f g n u g n 2 u 1 9 4 f g n 1 u 2 f g n u f g n 1 u g n1 u 1 9 f u 2 f g u f g 2 u
4 n 1 f u f g u f g n 1 u f g n u g k u n 9 k 0
unde am notat cu g k u g g ... g u k
ori
27
1 4 u 1 4 3k 2 u 1 1 1 f u f g u f g n 1 u f g n u k 1 n u 1 k 1 3 9 k 0 3 3 9 1 3 1
n 1
De aici prin trecere la limită obţinem : 2 u 1 3 2 f g u f g 2 u g u 1 3 2 f g 2 u f g 3 u g 2 u 1 3 ........................................................... 2 f g n1 u f g n u g n 1 u 1 3 f u f g u
2 3 2 n 1 1 f u f g n u g k u n u 1 1 k 3 k 0 3 3 2
De aici prin trecere la limită obţinem : f x f
1 x 1 şi soluţia
f x x c .
S17 : (GM 7/1985 pag 271). Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în -1 asfel încât : f
2 x 1 f x x 2 1, x R . Laurenţiu Panaitopol
Soluţie : cu substituţia 2 x 1 t x 1 t 1 g t obţinem : not
2
2
2 f t f g t g t 1
f g t f g g t g g t
2
1
...................................................................................... f g g ... g t n 1 ori f t f g n t
2
f g g ... g t g g ... g t 1 n ori n ori
n
1 g 2 t n k
k
28
unde am notat cu
g k t g g ... g t k
ori
2
1 1 1 1 1 1 1 g g t t t 2 2 2 2 2 2 2 2
şi prin inducţie avem 1
n 1 t 1 1 2n t 1 1 1 1 g g ... g t t 2 ... n n n 1 1 2 2 2 2 2 2 2 n 1
2
2
t 1 n t 1 f t f n 1 k 1 n 2 k 1 2
2
n t 1 t 1 n t 1 f n 1 k 2 k n n 2 k 1 2 k 1 2
1 1 1 1 2 2 1 t 1 t 1 22 n 2 t 1 1 1 f n 1 t 1 2 k 2 t 1 k f n 1 t 1 2 2n 2 1 1 2 2 k 1 2 k 1 2 2 2 n
Din continuitatea lui
n
f prin
trecere la limită n obţinem soluţia :
f t f 1
t 1 3
29
2
2 t 1 , t R .
S18 . Să se determine toate funcţiile f:R→R continue în -1 pentru care 7 f 2 x 1 f x 4 x 2 4 x 1, x R .
Soluţie : cu substituţia 2 x 1 t x 1 t 1 g t obţinem : not
2
2
1 1 2 f g t t 7 7 2 1 1 1 f g t f g 2 t g t 7 7 7 2 1 1 1 f g 2 t f g3 t g 2 t 2 7 7 7 .................................................................. 2 1 1 1 f g n 2 t f g n1 t g n 2 t n 2 7 7 7 2 1 1 1 f g n 1 t f g n t g n 1 t n 1 7 7 7 f t
2
1 1 n g k t f t f g n t 7 7 k 1 7 k
unde am notat cu
g k t g g ... g t k
n
k 1
2
g k t
7k
1 k k 1 7 n
t 1
ori
2k
1
n 1 n 1 t 1 2 2 t 1 1 1 n1 1 2 1 t 1 k 2 t 1 k k k k 4 2 k 0 28 k 0 14 k 0 7
1 1 1 1 1 28n 2 t 1 14n 7 n t 1 1 1 1 1 1 1 28 14 7 1 2
Din continuitatea lui f în 1 prin trecere la limită n obţinem soluţia : 1 1 28 14 7 2 f 1 t 1 2 t 1 7 7 27 13 6 1 4 4 1 2 f t f 1 t 1 t 1 7 27 13 6
f t
30
S19 . Să se determine toate funcţiile f:R→R + continue pentru care f
2 x 1 f 3 x 1 e6 x5 , x R . Vasile Pop
Soluţie : prin logaritmarea relaţiei date obţinem : ln f 2 x 1 ln f 3x 1 6 x 5, x R 1 1 2 5 2 x 1 y 3 x 1 y x y ;6 x 5 2 y 7 3 3 3 3 not 5 2 ln f y ln f y 2 y 7; ln f u 3 3 not 5 2 5 2 u y u y 2 y 7 1 ; g y y 3 3 3 3 2
2 2 5 5 2 5 2 g2 t g g t t t 1 2 3 3 3 3 3 3 not
şi prin inducţie avem k
2 1 k k 1 k k 5 2 5 3 2 2 2 2 g g ... g y y 1 ... y y 5 5 2 3 3 3 3 3 3 3 k 1
3
Prin înlocuirea succesivă în relaţia (1) a lui
y cu g y avem
:
u y u g y 2y 7 u g y u g 2 y 2 g y 7 1 u g 2 y u g3 y 2 g 2 y 7 1
2
................................................................ u g 2 n 1 y u g 2 n y 2 g 2 n 1 y 7 1 u g 2 n y u g 2 n 1 y 2 g 2 n y 7 1 2n
2 n 1
2n
2n
u y u g 2 n 1 y 2 1 g k y 7 1 k 0
k
k 0
k 2n k 2 k k 2 1 y 5 5 1 7 1 3 k 0 k 0
2n
31
k
k
2n
2n k 2 2 y 5 17 1 3 k 0 k 0 2 n 1
2 1 2 2 n 1 6 3 2 y 5 17 y 5 1 17 3 5 2 1 3
În ultima relaţie dacă facem n obţinem : u y u 5
6 y 11 5
de unde ţinând cont că u y ln f y se obţine f y f y c
S20. Determinaţi toate funcţiile
6 y 11 e5
f 5
6 y 11 e5
şi soluţia
, y R .
f : R R continue
f x f
1
în 0 care verifică relaţia :
2 x f 4x 27 x ; x R . Vasile Pop
Soluţie : 8 x y 2 x f 4 x 27 x 7 x f x f x 8 2 14 x f 2 x f 4 x f 8 x 2
f x f
7 y 8
7y
7 y
7y
7y
f y 2 7y
7 y 8
y 2 y 2 y f y 2 f 2 8 2 8 f 2 ... 2 8 2 8 ... 2 8 f n 8 8 8 n
De aici prin trecere la limită avem
f y 2 f 0 .
obţinem f(0)=1 deci
unica soluţie .
x f x 2 este
y
32
y f 8 8n 1
8 2
n
y
y f n 8
Din relaţia dată pentru x=0
S21. 24169 (G.M. 9/1999) . Determinaţi toate funcţiile
f : R R continue
care
verifică relaţia : f x f
2x f
6
6
4x f
6
8x 2 x 4 ; x R . Florin Rotaru
Soluţie : din enunţ pentru x=0 obţinem f(0)=0 . cu substituţia x y 6 2 obţinem
f y
6
de unde 2 y
4
6
6
2 f y 6 4 f y 6 8 2 y 4 f y 6 16
f y f y 6
f y 3
f y
6
2 3
16 2 2 y 4 f y : 2 y 4 0 şi rezultă
4 3 4 f y iar mai departe cu notaţia
f α y α f y
2 3
2 f y 4 f y 8 f y 16 2 2 y 4 f y 6
:α f y
1
3
4 α 1
1 1 1 f t f t cu 0,1 α α α y t
α
f
α
α
y
ecuaţie pe care am mai întâlnit-o , având soluţia
f y cy
, y R.
S22. C982 (G.M.11-12/1989 ). Determinaţi toate funcţiile continue
f : 0,1 R
care verifică f xf x f x ,
x 0,1 .
A.I.Sehorskii, Matematica v şkole
Soluţie : fie x0 un număr real din 0,1 fixat. Avem xf x x x 0 , sau
f x 1 .
deci voi studia în prealabil aceste două cazuri . f x0 f x0 f x0 f x1 f x1 f x1 f x2 ... f xn 1 f xn 1 f x n1 f xn x x2 x1 n
33
unde şirul xn 0,1, n N verifică relaţiile f x0 f x1 ... f xn (1) şi n 1 (2).
x n1 x n f xn , 1
2
Dacă x0 0 f x n f 0 x n1 0, n N deci xn tinde constant la 0. 1
Dacă x 0 1 f x n f 1
2
x n 1 x n f 1, n N (3)
Dar cum f : 0,1 R rezultă că : 1 0 f x , x 0,1 (4) .
0 xf x 1, x 0,1 f 1 1 şi 3
Atunci dacă f 1 1 3
Dacă f 1 1 0
x n x 0
x
x n1 x n , n N că xn tinde n 1
xn1
xk 1
f 1, 0
xn
k 0
f 1 0 x n x0 f 1 n
x k
constant la x 0=1.
n 1
f 1 k 0
n
de unde prin trecere la limită avem
xn 0.
Dacă x0 0,1 avem relaţiile f x0 f x1 ... f xn (1) şi x n1 x n f xn ,
n 1 (2).
xn 1 xn f xn : xn 0
xn 1 x f xn n n 1 xn 2 xn 2 xn 1 xn 2 x n x x f xn 1 1 k 2 k 1 xn 1 xn xn 1 xn1 xk 1 k 0 xk 1 xn 1 f x f x n 1 n
xn 1 x0
x1 xn
1
xn1 xn
x1 x0
m 1
xn 1
, n 1 n 1
x n
x 1 x1 x0 n 1 x0 m 1
x1
xm
m 1
x xm x1 1 x0
m 1
x0 f x0 m
De aici distingem cazurile : i)
dacă f x0 1 atunci xn tinde constant la x 0 , deci f(x n )tinde constant la f x0 1
ii)
dacă f x0 1 atunci xn tinde la 0.
34
Prin trecere la limită în relaţia
f x0 f x1 ... f x n f lim x n f 0 n
f 0, dacă f x0 1 f x0 şi ţinând cont de faptul că x0 a fost arbitrar ales 1, în rest
avem dacă f este continuă că f x 1 , x 0,1 . dacă f x0 1 atunci xn tinde la contradicţie cu xn 0,1 , n N .
iii)
S23. G.M.5/2005( dată în concurs) . Să se determine funcţiile continue f:R→R care verifică :
3 3 2 2 x f y x, y R f x f y x xy y f
Vasile Pop
Soluţie : 3 f y 3 f x f y Avem 3 3
f x
dacă
x y
x y
x y (1)
.
Observ că relaţia de mai sus devine o identitate pentru Din relaţia (1) pentru x : 3 x şi y : 3
y
31 31 f x f y 3 f x f y f x f 3 y 3 ... 1 1 3 x y x y x 3 y 3 n
n
n
x
x 3
1 3 f lim x f 0 n f x f 0
x
lim x
1 3n
n
x Întru-cât lim n
1 3n
şi
n 1
31 f x f 0 f x f 0 în care dacă facem n→∞ 1
n
obţinem :
pt . x y
n
n
i) pt. y=0 şi x 0 avem
3 y y y 1,0,1 .
1; x 0 0; x 0 1; x 0
35
n
f x f 0 x
f 1 f 0 ; x 0 1 f 1 f 0 ; x 0
f 0 f 1 x f 0; x 0 f x f 1 f 0 x f 0; x 0
1 3 f lim x f 1 n f x f 1 f 1 f 1 ; 1 x 1 2 lim x 3 1 n
ii) pt. y=1 şi x 1 avem :
dacă
x 0
n
n
În concluzie : i)
f 0 f 1 x f 0; x 0 f x f 1 f 0 x f 0 ; x 0
ii) f x
f
1 f 1 2
x
f
1 f 1 2
Deoarece funcţia este unică avem : not
; x0
f 1 f 1 f 0 f 1 f 1 f 0 2 f 1 f 1 2 f 0
not
Deoarece f 0 b ; f 1 a f 1 2b a ; a, b sunt constante arbitrare funcţiile cerute au forma: a b x b; x 0 f x adică f x a b x b , x R . b; x 0
S24. G.M.2/1990. Se consideră şirul xn n1 definit de relaţia de recurenţă
x0 R
şi x n31 x n2 2 x n 12, n N .
a) Să se studieze convergenţa şirului xn n1 . b) Să se det. funcţiile continue 2 f x f 3 x 2 x 12
f : R R cu
proprietatea că
. M.Burtea şi N.Loghin
36
Soluţie : a) monotonia : x n31 x n3 x n2 2 x n 12 x n3 3 xn x n2 2 xn 4 x n1 x n x n21 x n 1 x n x n2 3 x n x n2 2 x n 4 sgn x n 1 x n sgn 3 x n
Avem x n31 33 x n2 2 x n 12 27 xn2 2 x n 15 x n 3 xn 5 x n 1 3 x n21 3 x n 1 9 x n 3 x n 5 (1).
Din x n31 x n2 2 xn 12, n N x n 0; n N (prin inducţie ). Din (1)
1, x0 3 sgn 3 x n1 sgn 3 x n sgn 3 x n1 …= sgn 3 x0 0; x0 3 1; x 3 0
Distingem deci 3 cazuri : ( 2)
3 x n 0 x 3 ; n N n ; n N x n convergent 0 x x x x n n 1 n n1
i) x0 3
l lim x n n
şi 0≤l ≤3 şi prin trecere la limită în relaţia de recurenţă
l 3 l 2 2l 12; l 3 inductie
xn 3 cu limita 3. ii) x0 3 x1 3 prin ( 2)
3 x n 0 x 3 ; n N n ; n N xn convergent 0 x x x x n n1 n n 1
iii) x0 3
l lim x n 3 n
b) f x f 3 x 2 2 x 12 ; x R Fie x0 R ;avem
f x0 f
3
2 x0
2 x0 12
not
f x1
f
3 x 2 1
not
2 x1 12
f x 2 f x3 ... f x n 1 f x n
Deci avem f x0 f x1 ... f xn unde şirul xn n1 verifică x n31 x n2 2 x n 12, n N .
lim f x0 lim f xn n
n
f continuă
f lim xn f 3 . n
37
Cum x0 R a fost arbitrar luat x0 R avem f ( x0 ) f 3 . În concluzie funcţiile care verifică cond. din enunţ sunt funcţiile constante.
S25. Să se determine toate funcţiile
f
: 0, R cu proprietatea că
2 x x 0 ; lim f x f 1 . 2 , x 1 x 1
f x f
Soluţie : fie şirul definit astfel
a0 x 0,
; an 1
2an , n 0 . 1 an2
1 an2 Avem prin inducţie că an 0,1 , n 1 şi apoi an1 an a 0, n 1 de unde 1 an2 n an avem rezultă că şirul este convergent şi notând cu l lim n 2
l l 1 0 l 0,1
an crescator
l 1.
Din 2 x f a0 f a1 f a2 ... f an ... , x 0 ; lim f x f 1 2 x 1 1 x
f x f
de unde prin trecere la limită n avem
n
an 1 f an f
1 adică
f x f 1 .
Cum x a fost arbitrar ales în 0, rezultă că soluţiile sunt funcţiile constante.
38
S26 . Să se determine toate funcţiile
f
: 0,1 R continue în
1 , cu proprietatea 2
că : k x f x f k x k 1 x , x 0,1 , k 2 număr natural fixat.
Pop Sever
Soluţie : Fie x0 0,1 ;avem k x k x not 0 1 f x0 f f x1 f k x k 1 x k x k 1 x 0 1 0 1 f x2 f x3 ... f xn 1 f xn
not
Deci avem f x0 f x1 ... f xn unde şirul xn n1 verifică xn 1
xn
k k
, n N .
xn k 1 xn
Studiem convergenţa şirului. Avem : 1 1 1 1 ln 1 ln 1 xn 1 xn xn 1 xn xn 1 k xn 1 1 1 ln ln 1 n 1 n 1 xi 1 xi 1 1 1 1 1 1 , i 1, n 1 ln 1 n ln 1 k 1 k 1 i 0 xn k x0 ln 1 ln 1 i 0 xi xi
1
1 k
1
1 1 1 xn x0
1
1
1
1 k
n
1
k
1
1 1 1 xn x0
1
1 n
k
1
i) dacă x0 0 atunci din recurenţa şirului rezultă că x n converge constant la 0 ; ii) dacă x0 1 atunci din recurenţa şirului rezultă că x n converge constant la 1 ; iii) dacă x0 0,1 atunci prin trecere la limită în relaţia (1) avem lim f x0 lim f xn n n
f continuă
1
în
2
f
1 lim xn f . n 2
Cum x0 R a fost arbitrar luat x0 0,1 avem f ( x0 ) f 1 . 2 39
xn
1 2
În concluzie funcţiile care verifică ecuaţia din enunţ sunt funcţiile c1 ; x 0 ; x 0,1 f x c2 c ; x 1 3
S27. Fie f : R R o funcţie continuă în punctele 2
şi
2 cu proprietatea
că f x f 1 x 2 , x R . 2 x
Să se arate că f este constantă pe ,0 , respectiv pe 0, .
Soluţie : fie şirul definit astfel
a0 x 0,
1 2 ; an 1 an , n 0 . an 2
2 an2 Avem an1 an (1) 2an 2
Apoi
2
an 1 2
1 2 an 2 4 4an2 an
2 an 2
2
0 n 0 an 1 2 n 0
Din (1) a n1 a n de unde rezultă că şirul
an este
convergent şi notând cu
a lim an avem n
a
1 2 a a2 2 a 2 2 a
Din f x f 1 x 2 f a0 f a1 f a2 ... f a n ... , x 0 2 x de unde prin trecere la limită n avem f x f
2 .Cum x a fost arbitrar ales în
an
n
2 f an f 2 adică
0, rezultă că soluţiile sunt funcţiile
constante. ii)
a0 x ,0 atunci
prin inducţie avem că
2 an2 Avem an1 an (1) 2an
40
an 0 , n N
2
Apoi
2
an 1 2
1 2 an 2 4 4an2 an
2 an 2
2
0 n 0 an 1 2 n 0
Din (1) a n1 an de unde rezultă că şirul
an este
convergent şi notând cu
a lim an avem n
a
1 2 a a2 2 a 2 2 a
Din f x f 1 x 2 f a0 f a1 f a2 ... f a n ... , x 0 2 x
de unde prin trecere la limită n avem
f x f
n
2 f an f 2 adică
an
2 .Cum x a fost arbitrar ales în 0, rezultă că soluţiile sunt
funcţiile constante de forma : c1 , x ,0 c2 , x 0,
f x
S28. 25010 (G.M.12/2003). Să se determine funcţiile continue
, 2 1 x
f x f
x
f : R R a.
î. :
x R .
Marian Ursărescu
Indicaţie : se arată că şirul xn n0 ; x n1
xn
1 xn2
este convergent la 0 indiferent
de valoarea primului termen al său.
S29 : G.M.5-6/2000 ( dată în concurs ). Determinaţi funcţiile continue f : R R astfel
ca
f 0 0 şi
f x sin a f x sin 2 a x 1 x sin a , x R
k π , k Z . 2
,a R
Eugen Jecan
Soluţie :
41
Cu notaţia sin a f
α
x f
α
2
α
; α R , α 1 avem :
x x 1 α x de
unde prin substituirea succesivă a lui
f
α
f
α
x f 2
α
x f
2
α
x avem
2 x x αx 3
α
x cu
3 2 x αx α x
.............................................. f
f
α
α
n 1
x f
x f
α
α
n
n
2n 3 2 n 2 x α x α x
2 n 1 1 1 2α αx x x 2 α 1 α 1 α
n 1
De aici prin trecere la limită avem f
α
x f
α 1
x
0
1α
αx
1
2
2
1
y
2
α
f α x
y
yy
y
2
α
2
x α x x α
y
sin a2 rezultă f y 2 cos a cos a α
α
2
1
y
şi dacă facem
α
xy
1 sin a y 2 sin a cos a cos 2 a
S30. 21333*(G.M.1/1988). Determinaţi funcţiile continue pe R ce verifică relaţia f 2 x f 3 x , x R . Marius Cavachi
Soluţie : (1) f 2 x f 3 x , x R
2 y 0 x log 2 y 3 3 x
unde
x
α
log 2 y
3
log3 y log3 2
1.
Dacă în relaţia (1) facem
1
y : y
α
12 1 f y f y f y ... f y α
α
1 α
n
, y 0; n N
de unde prin trecere la limită n→∞ avem 1 f y lim f y n α
n
f continuă
f lim y n
1 α
n
f 1 .
42
3
log3 y log 2 3
y
log 2 3
not
y
α
Deci f y f 1, y 0 şi atunci soluţiile problemei vor fi de forma : f 1, x 0 f x g x ; x 0
unde g este o funcţie continuă cu g 0 f 1 .
Obs : problema poate fi rezolvată înlocuind condiţia din ipoteza ei cu condiţii mai slabe după cum urmează :
i)
i)
f continuă în punctul 1;
ii)
f are limită finită în punctul 1;
iii)
f are limită finită la dreapta în punctul 1.
1 f y f y , α
y 0; n N .
n
Din ipoteză f continuă în punctul 1
(1) 1 f y lim f y n α
n
f continuă
în 1
f lim y n
1 α
n
f 1 .
Obţinem soluţia : f 1, x 0 f x g x ; x 0
unde g este o funcţie arbitrară . ii) f are limită finită în punctul 1 xn ;
xn 1 lim f xn l .
această definiţie pentru şirul yn nN ; yn
n
1 n y2
1 pentru orice y 0, y 1 .
de unde prin trecere la limită când n→∞ în relaţia (1) avem : 1 f y lim f y l , n α
n
y 0 .
Obţinem soluţia : l , x 0,1 1, f x a, x 1 g x ; x 0
43
Folosind
unde g este o funcţie arbitrară şi a este o constantă oarecare. iii) f are limită finită la dreapta în punctul 1 xn ;
x n 1 , x n 1 lim f x n l d n
de unde prin trecere la limită n→∞ în relaţia (1) avem : α
1 0
1 α
n
1
1 1 y
α
y , deci cu alte cuvinte şirul yn
n
1 n 2 y
tinde spre 1
prin valori mai mari ca 1 . Apoi aplicând definiţia , prin trecere la limită când n→∞ în relaţia (1) avem : 1 f y lim f y ld , n α
n
y 0
Obţinem soluţia : ld , x 0,1 1, f x a, x 1 g x ; x 0
unde g este o funcţie arbitrară .
S31. Să se determine funcţiile continue f
f
: 0, R x 0, .
3 f 4 x, x
x
Marcel Chiriţă
Soluţie : log 3 y
3 y 0 x log3 y 4 4 x
unde
x
α
1
şi ecuaţia noastră devine
4
log4 y log 4 3
4
log3 y .
f y f y
1
α
Dacă în relaţia dată facem y : y obţinem şirul de relaţii : α
44
log 4 y log 3 4
y
log3 4
not
y
α
1 1 f y f y log3 y α 12 1 1 f y f y 2 log 3 y 1 α 13 12 1 2 f y f y 3 log 3 y 1 α α
α
α
α
α
................................................. 11 12 1 n 1 log f y f y y 1 3 n α 1 11 1 n f y f y y 1 log 3 1 n α α
α
n
α
n
α
1 1 f y n
α
n
n
n
1 k 1 k n 1 1 n 1 log a y α f y log 3 y k 1 log3 y 1 α k 0 α α k 0 α 1 α
Fie n un număr impar. Din relaţia anterioară rezultă 1 f y α
n
1 1 log3 y α f y 1 α 1
n 1
α
în care facem n şi obţinem f y f 1 1 log3 y, y 0, 1 α
Pentru y 1
rezult ă
f 1 0 deci f y
1 1 α
log3 y .
Dacă n număr par şi y 1 obţinem : 1 f y α
n
1 1 log3 y α f y 1 α 1
n 1
α
de unde se obţine în mod analog
f y
1 1α
log3 y .
Dar log3 4 ceea ce arată că funcţia căutată este α
45
f y log12 y .
n 1
GENERALIZARE : S32. Să se determine funcţiile continue
f a 2 x, x
x
f a
f
: 0, R care verifică:
x 0, unde a 0
, a 1 fixat. Vasile Berinde
Soluţie : a x y 0 x log a y a 2 x y 2 şi ecuaţia noastră va fi :
f y f y 2 log a y
(1) Dacă în relaţia dată facem y :
1 y2
12 1 f y f y log a y 2 212 21 1 f y f y 2 log a y 1 2 213 212 1 2 f y f y 3 log a y 1 2
................................................. 2 11 2 12 1 n 1 log f y f y y 1 a n 2 21 2 11 1 n f y f y n 1 log a y 1 2 n
n
n
n
1 k 1 k 1 n 2 1 log a y n 1 log3 y 2 n 1 f y f y log a y k 1 1 2 2 2 2 0 0 k k 1 n
2
Fie n un număr impar. Din relaţia anterioară rezultă 1 1 1 log a y 2 f y 2 f y 1 2 1
n 1
n
2
în care facem n şi obţinem f y f 1 1 log a y, 3
46
y 0,
n 1
Pentru y 1 din relaţia (1) rezultă
f 1 0 ,
deci f y 1 log a y . 3
1 1 21 log a y 2 Dacă n număr par şi y 1 obţinem : f y f y 2 1 1 n
n 1
de unde
2
se obţine în mod analog
f y
1 log y . 3 a
S33. 21671( G.M.1/1989).Să se determine funcţiile continue f:R→R a.î. x 0, .
f log 2 x f log 3 x log 5 x,
V.Berinde
Soluţie : log 2 x y x 2 y not
log 3 x y log 3 2 ay unde a log 3 2 0,1 not
log 5 x y log 5 2 by unde b log 5 2 0,1 f y f ay by, y R
2
f ay f a y bay
2 3 2 f a y f a y ba y
..........................................
n 1 n n 1 f a y f a y ba y
n n 1 f y f a y by 1 a ... a , y R , n N
1 an f y f a y by, y R , n N 1 a n
De aici prin trecere la limită avem : f y f 0
b
1 a
f x f 0
y
log 5 2 x, x R 1 log 3 2
f x c x log 5 2 log
47
3 2
3
Obs : condiţia din ipoteza problemei se poate înlocui cu condiţii mai slabe : i)
f continuă în punctul 0;
ii)
f are limită finită în punctul 0;
iii)
f are limită finită la dreapta în punctul 0.
S34. 21671( G.M.1/1989).Să se determine funcţiile continue f:R→R a.î. f
log3 x f log 4 x log7 x, x 0, . Florin Rotaru
Soluţie : fac substituţia log3 x y x 3 y not
log 4 x log 4 3 y log 4 3 ky 0,1 y
not
log 7 x log 7 3 y y log 7 4 α y 0,1
Prin efectuarea acestei substituţii suntem conduşi la ecuaţia funcţională f y α yf ky
Această relaţie o vom aplica repetat obţinând :
2 2 2 3 3 3 3 1 f y α yf ky kα y f k y k α y f k y ... k n n 1
f y k
2
α
n
n
n
y f k y
2 ... n 1
α
n
n
n
y f k y
Preupunem pentru început că y 0;1 . Atunci ţinând cont că funcţia f este continuă pe R *+ , prin trecere la limită când n obţinem
pentru y fixat , y 0;1 :
n n 1
f y lim k n
2
α
n
y n f k n y f y f 0
.
Dacă
S35. 22557*(G.M. 11-12/1991). Să se determine funcţiile continue f
2 f 2 1 4 1; x
x
x
f : R R
x R . Constantin Nicolau
S36 .Să se determine funcţiile continue f:R→R care verifică
48
2 f 2 1 f 2 2 2 3 ;
f 2
x
x
x
x
x R .
V.Berinde
Soluţie : 2 x y 0 f y 2 f 2 y f 4 y 8 y y f 2 f y f 2 y 22 y 2 y y f 2 2 f f y 2 y 2 2 y y y f 3 2 f 2 f y 2 2 2
........................................................... y y y y f f 2 n n 1 n 1 n 2 2 2 2 2 y y y y f n 2 2 f n 1 f n n 1 2 2 2 2 f
y 2
f y f
y 2
f y f
1 y 1 2 y 1 ... n 1 , y R , n N n 1 2 2 2
y n2 2
f
y n2 2
1 y 2n , y R , n N f n 1 2 y 1 2 1 2
f
f
1
De aici prin trecere la limită , datorită faptului că f este continuă în 0 obţinem : y 22 y f y f , y R 2 2 1
care este o relaţie întâlnită la problema precedentă. Se obţine soluţia
f y 4 y f 0 , şi
soluţia finală :
g x ;............. x 0 unde f(0) este o constantă oarecare iar g : ,0 R este f x x f x 4 0 ; 0
o funcţie continuă cu proprietatea că f(0)=g(0).
S37. G.M.11/2006. Să se determine funcţiile continue f x
p
x q f x r , x 0
unde p,q,r>0 şi p>r sunt numere reale date.
49
f : 0, R pentru
care:
Laszlo Szilard
Soluţie : f x p
x q f x r 1
x y
x y
p
p
de unde cu substituţia
r p f y y f y . q
p
Ultima relaţie o aplicăm repetat şi avem : qr r q 2 p p p p f y y f y y y q
q
y
p
qr p
... 2
r 1 p f yp qr n
n
n
n
q
y
n 1 r ... r p p p
r2 f yp 2
qr qr q r3 2 3 ypyp y p f yp 2
3
...
f y p
rn n
y
De aici prin trecere la limită
r n1 1 n1 q p r p 1 p
n avem
f yp
r n
cum
n
y
q
1 r p r p
r p r p
n1
r f y p
n n
n 1
0 şi atunci
deoarece f este continuă are loc n 1 q r
f y lim y
1 p r p
n
q q r f y p y p r f y 0 y p r f 1 şi cum y a fost ales n
n
arbitrar rezultă că singurele funcţii care verifică ecuaţia funcţională sunt funcţiile q
de forma f y c y pr .
Obs : faptul că exponentul q este pozitiv nu influenţează mersul problemei dacă domeniul de definiţie al funcţiei cerute nu conţine pe 0 , aşa că putem renunţa la condiţia
q 0 pe
un interval ce nu conţine pe 0,de exemplu 1, .
S38. Să se determine funcţiile continue
f
: 1, R pentru care
, x 1
f x xf x 2
50
Soluţie : dacă scriem pentru p 2 , q 1
f x 2 x 1 f x atunci
r 1,
Soluţiile vor fi date de
f y
putem aplica rezultatul precedent
p r . c y
unde c f 1 .
S39. Să se determine funcţiile continue
f : R R pentru
care
f x arctan y f y arctan x , x, y R .
Soluţie : pentru y=0 din enunţ obţinem
f x f
arctan x , x R
Şirul xn n0 dat prin xn1 arctan xn este convergent la 0 indiferent de valoarea primului termen. Dacă x0 0 atunci şirul converge constant la 0. Dacă x0 0 atunci prin inducţie xn 0, n 0 şi xn1 arctan xn xn , n 1 . Dacă x0 0 atunci prin inducţie xn 0, n 0 şi xn1 arctan xn xn , n 1 În toate cazurile limita l a şirului xn n0 este unica soluţie a ecuaţiei arctan l l , fiind egală cu 0. Obţinem soluţia f x f 0 , x R .
51
CAPITOLUL IV ECUAŢII FUNCŢIONALE ÎN CARE APAR PRIMITIVELE FUNCŢIEI NECUNOSCUTE P1. Determinaţi funcţiile continue 1 1 x 2
f
f : R R cu
proprietatea că :
arctan x f x , x R . Dan Bărbosu
Soluţie : deoarece f este continuă ea admite primitive şi fie F o primitivă a sa care se anulează în 0 . Ecuaţia se mai poate scrie : F arctan x F x , x R sau F arctan x F x c . Deoarece pentru x 0 c 0 avem rezultatul problemei S41 obţinem că
F arctan x F x , x R şi
F x F 0 0, x R de
folosind
unde prin derivare
rezultă f x 0, x R .
P2 . 21568 ( G.M. 9/1988 ). Să se determine funcţiile continue
f
: 1, R
care verifică relaţia : x k 1
x
1
f t dt
f t dt , x 1, k N .
x k
Dan Bărbosu
Soluţie : deoarece f este continuă ea admite primitive ( fie F o primitivă a sa ) şi putem aplica teorema Leibniz-Newton :
F x F 1 F x k
1
Fx . k
52
Pentru k=1 avem :
F x F 1 F x 2 F x de
unde prin derivare obţinem
ecuatie care mai poate fi scrisa
f x 2 xf x 2 f x f x xf x 2 f x 2 x 1 f x cu
soluţia obţinută în problema S 38 pentru p=2, q=-1 , r=1 ,p>r>0
adică f x
c x
unde c f 1 .
P3 : 22124*(G.M. 6-7/1990 ). Să se determine funcţiile continue
: 1, R
f
care verifică relaţia : x
x k
1
x
k 1 f t dt f t dt , x 1 unde k N 1 este fixat. Emil C. Popa
Soluţie : deoarece f este continuă ea admite primitive ( fie F o primitivă a sa ) şi putem aplica teorema Leibniz-Newton : k 1 F x F 1 F x k F x de unde prin derivare obţinem : mai poate fi scrisă în forma k 1 f x kx k 1 f x k f x f x x k 1 f x k care
cu k>1 şi q=1-k<0 cu soluţia din problema S 37 , adică
f x k x1 k f x1
f x c x
1 k k 1
cx 1
c x
cu c f 1 .
P4 : C95(G.M.2/1981).Să se determine funcţiile continue
f
: 1, R astfel
încăt x n
x
f t dt 1 t
n 1
t n 2 ... t f t dt , x 1, ;
x
53
unde n N , n 2 este fixat. Marcel Chiriţă
Soluţie : derivând în ambii membrii obţinem :
nx n 1 f x n f x x n 1 x n 2 ... x f x
sau
nx
n 1
n x 1
x 1 f x sau nx
f x
n
n 1
f x
n
n x 1
f x x 1
n
sau
n
xf x
x f x
n
n x 1
x 1
de unde prin înmulţirea acestei ultime relaţii cu ln x obţinem n
ln x
x f x
n
n
n x 1
xf x ln x x 1
Efectuând schimbarea de funcţie : x ln x f x , pentru x 1, g : 1, R , g x x 1 f 1 , pentru x 1
obţinem ecuaţia g x n g x , x 1, , n 2 1
Cu schimbarea x y , y 1, ajungem la ecuaţia n
care prin inducţie dă
n1 g y g y
k
fixat .
1n g y g y , y 1
, k N , y 1
Prin trecere la limită k în relaţia de mai sus , obţin datorită faptului că g este
continuă în 1 :
g y g 1 f
1 , y 1, .
Revenind înapoi la schimbarea de funcţie şi notând
a f 1
a x 1 , x 1, . f x x ln x a, x 1
54
avem soluţia :
CAPITOLUL V
FUNCŢII DETERMINATE PRIN INECUAŢII I1. 21899.( G.M.9/1989) . Să se determine funcţiile continue
f
: 0,1 R care
îndeplinesc condiţia :
f x 2 xf x 2
, x 0,1 . Şerban Olteanu
Soluţie : cu substituţia x t 2
adică
x
1 t 2
avem :
1 12 12 f t t f t , t 0,1 2
în care efectuăm repetat aceeaşi substituţie şi avem ţinând cont că t e pozitiv : 1 12 f t t f 2
12 1 12 212 f t 2 t 2
212 t
1 1 1 induc ţie 1 2 22 ... 2 f ... n t 2 n
21 t
n
În relaţia de mai sus dacă trecem la limită n şi fixăm pe t avem : f t 0
1
t
f
1 , t 0,1
sau f t 0, t 0,1 Din relaţia din enunţ
f x 2 xf x 2
(1)
, x 0,1 avem prin înlocuirea succesivă a
lui x cu x 2 , şirul de inegalităţi :
f x 2 2 x 2 f x 2
55
2
2x f x
f x 2
2
22
24
……………………..
n 1
f x 2
2x
2n1
n
f x2
Folosindu-le împreună cu relaţia din enunţ avem : n1
, x 0,1 , n N ,
f x 2 x1 2... 2 f x 2 n
n
care mai poate fi scrisă : f x 2 x n
sau
f x
2n 1 x
2 1 n
2n 1
f x
2n
, x 0,1 , n N .
f x
2n
Dacă facem n şi fixăm pe x avem : f x lim
n
2n 1 x
α
x
p
lim
p α p 1
lim f x 2 , x 0,1
2n 1 n
Cu efectuarea notaţiilor 1 1, 0
n
şi
2n p N prima limită se rescrie :
( deoarece
α
1 )
Apoi
n
n
lim f x 2 f lim x 2 f 0 , x 0,1 , în baza continuităţii lui f. n
n
Astfel pentru x 1 se obţine f x 0, x 0,1 Din relaţiile (1) şi (2) plus condiţia de continuitate impusă funcţiei f x 0, x 0,1 .
56
(2). f
avem
I2 : 22872(G.M.9/1993). Să se determine funcţiile continue f:R→R cu f 0 0
care verifică : f 2 x x f x f 3x 2 x f x
, x R . Florin Rotaru
I3 . 22985(G.M.4/1994). Să se determine funcţiile continue f:R→R cu f 0 0
; f 1 1 care verifică f x3 x 2 f x ; x R . f 2 x x f x
Florin Rotaru
Soluţie : în relaţia din enunţ dacă facem substituţia repetată
x :
1 x3
obţinem :
13 f x f x 13 322 312 32 f x x f x x 0 312 323 313 32 322 f x x f x x x 0 2 x3
.................................. 2 3 11 3 f x x n
n
31 f x
n
32 322 32 x x ...x 0 n
Prin înlănţuirea acestor inegalităţi obţinem : f x
2 x3
2 2 13 2 f x x 3 x3
312 f x 1
f x x
de unde prin trecere la limită
1 3n
n avem
Din 57
32 322 32 x x ...x
n
31 f x
n
: f x xf 1 (1).
31 fx
n
sau
cu substituţia
f 2 x x f x x
y
2 k
y y y f k 1 f k k 2 2 2
, k N
y y 2 2 y y y f f 2 2 2 2 2 f y f
.......................................... y y y f n 1 n1 n2 2 2 2 y y y f n1 f n n 2 2 2 f
1 1 y 2 n y y 1 1 f y f n 1 ... n 1 y1 n 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1
de unde prin trecere la limită
n avem
: f y f 0 y f y y f 0 (2).
Din (1) , (2) şi f 0 0 ; f 1 1 f x x, x R .
I4. Să se determine funcţiile continue în x 0=0 , f:R→R care verifică f 3x f x 8x 2 2 x 2 f 2 x f x 3x x
, x, y R .
Soluţie : din a doua relaţie avem : f x
2 x 3x 2 x f x
y
2
k
, k N
f
58
y k 1 2
y f k 2
2 y y k 3 k 4 2
2 y y y f y f 3 4 2 2
y f 2
2
y y y f 2 2 3 2 4 2 2
.......................................... 2
y y y y f n 2 f n1 n 1 3 n1 4 2 2 2 2 y y y y f n 1 f n n 3 n 4 2 2 2
1 1 1 2 1 y 1 1 y y 1 2n 3 y 4n f y f n 1 ... n 1 3 1 ... n 1 2 4 4 4 2 1 1 4 1 1 2 2 2 2 4 1 1 y 1 n y 2 1 n 2 4 1 y
2
de unde prin trecere la limită f y f
n avem
:
0 y y 2 f y y y 2 f 0 (1).
Din prima inecuaţie a sistemului avem : 3 x f x 8x 2 2 x
f x
y
3
k
f
, k N
y k 1 3
2
y y y f k 2 k 8 k 3 9 3
2
y y y f y f 2 8 3 9 3
y f 3
2
y y y f 2 2 2 8 2 3 9 3
.......................................... 2
y y y y f n 2 f n 1 2 n 1 8 n 1 3 9 3 3 2 y y y y f n1 f n 2 n 8 n 3 9 3 3
1 1 2 1 n n y 1 1 1 y 2 y 1 3 8 y 9 f y f n 1 ... n 1 8 1 ... n 1 3 9 9 9 3 1 1 9 1 1 2 3 3 3 9 1 1 y 1 n y 2 1 n 3 9 2 y 1
2
de unde prin trecere la limită
n avem
59
:
f y f
0 y y 2 f y y y 2 f 0 (2).
Din (1) , (2) f y y y 2 f 0 , y R .
I5 . Să se determine funcţiile continue
f : R R care
f x3 f x 2ln x 2 f x f x ln x
verifică
, x R .
Soluţie : 1 1 f x 2 f x ln x 1 1 2 2 2 f y f y k ln y f x f x ln x 1 x y 2 2 1 1 n n 1 1 2 2 f y f y ln y k k 1 k 1 2 n 21 1 f y f y 1 2 n ln y f y f 1 ln y f y f 1 ln y 1 k
k
k
k
k
n
3 f x 2ln x
f x
x
1 k y3
f k 1 n
3 11 y k
31 f y f y
n
3 11 f y k
31 f y
k
31 f y
k
2 k ln y 3
n 2 ln y k k 1 3
n 1 1 n ln y f y f 1 ln y f y f 1 ln y 3
Din (1) , (2) f x c ln x, x R; c R .
60
2
I6 : C.2010.( G.M.2/1998). Să se determine funcţia
f
: 0, R care pentru
orice x, y 0 verifică relaţiile : xy ln xy yf x xf y f xy .
Marian Ursărescu
Soluţie : prin împărţirea cu
x y a
ln xy
sau echivalent
f x x
ln x ln y
şi cu schimbarea de funcţie
relaţiilor date obţinem :
f y y
f x
g x
x f x x
f xy
f y
y
xy
, x, y 0
f xy xy
, x , y 0
, x 0 obţin inegalităţile :
ln x ln y g x g y g xy , x, y 0 .
Se observă cu uşurinţă că funcţia ln verifică inegalităţile din enunţ , iar orice altă posibilă soluţie poate fi scrisă sub forma
g x ln x h x
, x 0 .
Prin înlocuire avem inecuaţiile în variabila h x : 0 h x h y h xy , x, y 0 (2).
Din (2) pentru x y 0
h x 0 (1)
iar pentru y 1
h 1 0 ceea
ce
împreună cu (1) duce la h 1 0 . Din (2) pentru x 1 y
1 0, x 0 şi cum h x , x
h x h
h x 0, x 0, .
Revenind la substituţiile făcute anterior obţinem soluţia unică f x x ln x, x 0, .
61
1 0 se obţine x
h
I7: 21821* ( G.M. 7/1989 ) . Să se determine funcţiile f:R→R cu proprietatea c ă f x y f x f y 1989 x y ,
x, y R . Marius Crainic
Soluţie : Din f x y 1989 x y pentru y=0 obţinem că f x 1989 , x R x
De asemenea avem : f x y f x f y
Din (1) rezultă că
f x 0, x R (3)
În (2) facem x=y=0 şi obţinem
f
x, y R .
.
0 f 0 1 0 deci conform (3) obţinem că
f 0 1 .
Dar din (1) avem că
f 0 1 deci f 0 1 .Acum
1 f x x f x f x deci 1989 x f x
1 f x
f x
1 f x
pentru y x în (2) obţinem :
deci conform (1) avem că
adică f x 1989 x , x R şi din nou conform (1) avem că
f x 1989 , x R . x
I8 : 20623* ( G.M. 12/1985 ) .Dacă f : R R este o funcţie strict monotonă să se determine funcţia g : R R astfel încât : f
g x 1985 f x f g x 1985 , x R .
D.M.Bătineţu-Giurgiu
Soluţie : Putem presupune că funcţia f este strict crescătoare ( pentru cazul când este descrescătoare se procedează analog ) . Din relaţia din enunţ rezultă : g x 1985 x g x 1985, x R g x 1985 x, x R
62
(1)
şi x g x 1985, x R g x x 1985, x R (2) Dacă în (1) înlocuim pe x cu x 1985 obţinem g x x 1985, x R (3) Din (2) şi (3) deducem că g x x 1985, x R .
I9. Se consideră
f : R N având
proprietatea că x 0 ;2 f x x 21 f x .
i)
Să se determine funcţia f .
ii)
Să se calculeze f(1989).
Soluţie : logaritmez relaţia : f x log 2 x 1 f x . Fie g restricţia lui f la mulţimea N * , atunci avem că
g : N N
; g n f n
şi în plus verifică g n log 2 n 1 g n . Dacă consider funcţia : R N partea întreagă a numărului real x această funcţie verifică x x x 1 Însă g n log 2 n 1 g n ceea ce implică log 2 n 1 g n log 2 n sau g n log 2 n Avem f 1989 g 1989 log 2 1989 10 pt. că 1024 210 1989 211 2048
63
