1.- TEMA: DEFORMACIONES EN VIGAS DEFLEXIÓN “ECUACIÓN UNIVERSAL”
2.- OBJETIVOS.2.1 OBJETIVO GENERAL
Conocer los diferentes métodos para la resolución de las deformaciones en vigas
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ESPECÍFICOS
Estudiar el método de la Ecuación Ecuación general para deformaciones en vigas. vigas. Resolver problemas de deformaciones en vigas mediante el método de la ecuación general Analizar los resultados que se obtendrán o btendrán mediante los cálculos, para escoger la mejor elección para el diseño de vigas.
3.-MARCO TEÓRICO DETERMINACIÓN DE LAS DEFORMACIONES EN VIGAS ECUACIÓN GENERAL Si sobre una viga actúan varias fuerzas, entonces en los distintos tramos de la ley de variación de los momentos flectores estará dada por distintas expresiones analíticas. Será necesario plantear la ecuación diferencial de la línea elástica para cada tramo. El número de constantes de integración resultará ser el doble del número de tramos. Para calcularlas, siempre se puede plantear el número suficiente de ecuaciones, aprovechando para ello los apoyos y en los extremos de los tramos contiguos, son de las cargas y los ángulos de inclinación son iguales entre sí.
Si no es posible realizar esto recurrimos a procedimientos especiales, entonces el cálculo de las constantes arbitrarias, en el caso de muchos tramos de solicitación, resulta muy laborioso. Con procedimientos especiales puede reducirse a dos el número de constantes de integración, independientemente del número de tramos. Estos procedimientos consisten en lo siguiente: 1. Obtenemos la expresión del momento flector en la sección siempre como el momento de las fueras exteriores, situadas entre el origen del sistema de coordenadas. 2. Integramos estas expresiones sin abrir los paréntesis 3. Para obtener una fórmula definitiva mas cómoda, introducimos para el momento M el multiplicando (z-a)0 que es igual a la unidad. 4. Planteemos e integremos la ecuación diferencial de la flexión para cada uno de los cuatro tramos de la viga. Tramo 1 = 0 ´´ 1 = 0 ´1 = 1 1 = 11 + 1
Tramo 2 = = ( ) ´´ = ( ) ´1 = ( ) + 1 =
( ) 2
+ +
Tramo 3 1 = (3 ) + (3 ) ´´ 3 = (3 ) + (3 ) ´3 = (3 ) +
(3 ) 2
+ 3
1 =
( ) 2
+
(3 )3 6
+ 3 3 + 3
Tramo 4
= ( ) + ( ) ÷
( ) 2
( −)
´´ = ( ) + ( ) ÷
´ = ( ) + =
( ) 2
+
( ) 2 ( )3 6
+
+
( )3 6
( )3 24
+ 3
+ +
Para obtener las ocho constantes de integración disponemos de las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Cuando Cuando Cuando Cuando Cuando Cuando Cuando Cuando
1 = ,
1 =
1 = ,
1 ′ = ′
= 3 ,
= 3
= 3 = ,
′ = 3 ′
3 = = , 3 = = ,
3 = 3 ′ = ′
= ,
= 0
= ,
= 0
Por medio de ellas hallamos, 1 = = 3 = = 1 = = 3 = =
Así pues, en lugar de ocho constantes quedan dos, que se obtienen de las condiciones 7 y 8. Como ya se indicó anteriormente la constante arbitraria C representa el Angulo de giro del origen de coordenadas multiplicado por la rigidez de la sección de la viga, es decir =
Mientras que la constante D representa la flecha en mismo origen multiplicado por EJ, =
Analizando las expresiones de la viga, observaremos que la forma mas general la tiene la ecuación del tipo siguiente: = + +
(−)
+
( −)
+
(−)
Teniendo en cuenta que = y = y considerando el caso de la aplicación de varios momentos y fuerzas, obtendremos, la así llamada, fórmula universal. = + +
( ) 2
+
( )3 2
+
( ) 24
Aquí, M, P y q son las fuerzas y momentos exteriores (incluyendo las reacciones de los apoyos), situados entre la sección dada y el origen de sistemas coordenados; , La flecha y el ángulo de giro en el origen del sistema de coordenadas.
Por el mismo procedimiento o derivando las fórmulas se obtiene la fórmula universal para los ángulos de giro. ′
= + ΣM(z a) +
( ) 2
+
( )3 6
Siendo a,b, c las distancias del origen de coordenadas a los puntos de aplicación del momento, de la fuerza concentrada y al comienzo de tramo solicitado por carga uniformemente distribuida. Si los momentos y las fuerzas actúan en dirección contraria a la considerada, al deducir la fórmula, entonces deben considerarse negativos. Es importante observar, que el último término de estas fórmulas es correcto solamente cuando la carga distribuida nose interrumpe antes de la sección en la que se calcula y o . Si la carga se interrumpe antes, se la debe continuar hasta la sección dada, agregando al mismo tiempo otra carga de magnitud igual, pero en dirección contraria a la primera.
El inconveniente de las fórmulas universales consiste en que no se pueden emplear directamente para el cálculo de las deformaciones en las vigas de distinta rigidez de sección EJ en los distintos tramos. Estas fórmulas no son aplicables al caso, cuando las secciones varían de manera continua a lo largo de la viga. En estos casos se debe emplear el método general de cálculo de los desplazamientos el método de mohr.
Ejemplo 1 Calcular la fuerza máxima y el ángulo de giro máximo en el voladizo solicitado por la carga uniforme distribuida.
Calculamos y, cuando z = l, es decir, Ymax =
=
( 0) 2
2
+
( 0)3 6
( 0) 24
8
Utilizando la fórmula general de los ángulos de giro se deduce que ′
=
2
( 0) +
′
= =
( 0) 2
( 0)3 6
3 6
4.- CONCLUSIONES
Un método muy utilizado y muy conveniente es la ecuación universal para deformaciones en vigas. Existen diferentes tipos de cargas ya sean distribuidas o puntuales que se pueden aplicar en las vigas y ser resueltas por este método. Solo se tienen dos constantes de integración generales en este método.
5.- RECOMENDACIONES 6.- BIBLIOGRAFÍA
STIOPIN, Resistencia de materiales, Mir editorial (1968), Moscú
