M ATEMÁTICAS II: EBAU 2018 JULIO C ASTILLA Y LEÓN
Opción A Ejercicio A1
Tres números , , cumplen lo siguiente:
El primero de ellos, , es la suma de los otros dos.
El segundo, , es la mitad del primero más el triple del tercero.
1′5 puntoss
a) Demostrar que hay infinitos números que cumplen esas condiciones, encontrando una expresión general de la solución. Se nos plantea el siguiente sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas:
0 2 3 ⟶ 260 rangongo rango rango <3, númer número de incógncógniitas 11 12 61 , 11 12 61 00 2 11 211≠0 11 12 2 T i b l e i n det e r m i n ado Ré−F rangongo rango rango 2<3 ⇒ Sistemaicompat nfinitas solucionesnes 11 12 6 00 ⟶ 11 12 6 →− 10 11 7 ⟹ 7 8, 7,
Y se nos pide demostrar que hay un número infinito de soluciones, es decir, que se trata de un sistema compatible indeterminado. Por el teorema de Rouché –Frobenius, para que así sea, ha de cumplirse:
Donde representa la matriz de los coeficientes y , la matriz ampliada con los términos indepen – dientes:
Evidentemente, por tener ambas dos filas, su máximo rango posible es dos y, de hecho, es dos, pues en ambas encontramos (al menos) el siguiente determinante no nulo:
En consecuencia:
Para resolverlo, trataremos trataremos una de las incógnitas como un parámetro, por ejemplo, haciendo
:
Por tanto:
Autor: ENRIQUE CASTAÑOS GARCÍA
[email protected]
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b) Encontrar tres números concretos que cumplan estas condiciones.
0′5 puntoss
0
Se trata de un sistema de ecuaciones homogéneo (todos los términos independientes son nulos), con infinitas soluciones, entre ellas, la solución trivial (que se obtiene haciendo en el conjunto de las soluciones obtenido anteriormente): anteriormente):
0, 0, 0 ≡ ≡ 1 punto 1 = 0 0 ≡ 2 → ≡ 1 2 ∙ 1 11 30 22130 20 2 ,,, ∩ 1122 ⟶ 3,3,1,22 1 2 ,,, 23 3 ⟶ ⟶ 3, 3 , 1, 2 2 0 1 2 2 1 punto
Nota: dando cualquier otro valor real a se obtiene un nuevo conjunto de soluciones.
Ejercicio A2
Dados el plano
y la recta
:
a) Calcular el punto de intersección del de l plano y de la recta . Expresamos la recta en forma paramétrica:
La intersección de la recta con el plano se deduce al sustituir las ecuaciones paramétricas de en la ecuación de :
En consecuencia, el punto
es:
También podrían haberse determinado las coordenadas del del punto resolviendo el sistema formado por la ecuación general del plano y las ecuaciones implícitas de la recta:
b) Encontrar la ecuación de la recta contenida en el plano y que corta perpendicularmente a .
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⃗ ×⃗ ⃗ ⃗2⃗ 1 10 11 ⃗ 3⃗ ⟶⃗ 1,1,3,1 3,3,1,22 ⃗3,31,1,,1,3,122} ⟶ ≡ 1 3 3 1 1 2
En consecuencia,
:
Además, sabemos que corta a , luego el punto de corte debe ser la intersección de con (ya que pertenece a ), es decir, el punto , que se ha calculado anteriormente. anteriormente. Por lo tanto, la recta resulta:
Ejercicio A3 Sea la función:
⁄ , 1′ punto ⁄ ⁄ 12 1 2 0 ′ 1 ⟶′ (12)40⟶4 ⁄ 1 2 , 6 (12)6⟶2 2 6 →= 2 12⁄ 2 1 ′ 1⁄2 ′ ⟶ ′ (2)16<0 se trata de un mínimoo 1 punto 1 42 ℝ 0 0 es continua en ℝℝ 0 ⟶0
a) Encontrar y para que la función tenga un mínimo relativo en el punto La función presenta un mínimo relativo cuando
, por lo que ha de cumplirse que
Teniendo en cuenta que la gráfica de la función pasa por el punto
Se comprueba que en
b) Suponiendo que
El dominio de la función es
:
:
hay, efectivamente, un mínimo, evaluando el signo de
y
.
:
, estudia su continuidad y, en el caso de tenerlas, sus asíntotas.
, ya que en
Evaluamos Evaluamos el límite de la función cuando
la función no está definida. En consecuencia:
:
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Evaluamos Evaluamos los límites infinitos de la función:
l⟶+im (1 44 2)2) ∞⟶ ∞ ⟶ No hayhay asíntota hoririho zontzontalal cuacuandondo ⟶ ∞ l⟶−im (1 44 2)2) ∞⟶ ∞ ⟶ No hayhay asíntota hoririho zontzontalal cuacuandondo ⟶ ∞ 1 2 lim 4 4 14 lim⟶ lim⟶ 42 lim 1 ⟶ ⟶1 lim⟶ lim⟶ ( 424)lim⟶ ( 2)2 HayHay asísía ntntotota oblblo icuaua 44 2
Consideramos Consideramos la posibilidad de que exista una asíntota oblicua de ecuación
Por lo tanto:
, donde:
Ejercicio A4
Sea la función
:
1 punto ′ , ∙
a) Encontrar las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos Encontrar el punto en el que se cortan ambas rectas tangentes. La recta tangente a la gráfica de una función
Siendo
′
en en un punto
y
.
viene viene dada por:
. Así, la recta tangente a la gráfica de cuando
0
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′cos1 sen0 } ⟶01∙ ⟶01∙ ⟹ 1 punto Y la recta tangente a la gráfica de cuando
es:
b) Hallar el área comprendida entre la gráfica de .
y las rectas de ecuaciones
e
Se trata de calcular el área del recinto que aparece sombreado en la siguiente representación:
sen
La gráfica de
corta al eje en:
sen0⟶ sen0⟶ 0 0 ⟶ 2 ∫ sen sen ∙ ∫ sen sen ∙ 2 ∙ ∫sen sen ∙ 2∙2 cos 2 ∙ 42 cos 2 02 cos0 cos0
Y las rectas (tangente a la gráfica de ) se cortan en:
en
)e
En consecuencia, el área pedida es igual a:
Aunque, si tenemos en cuenta la simetría de la representación:
(tangente a la gráfica de
en
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Ejercicio A5 Se lanzan tres monedas al aire: a) Hallar el espacio muestral.
1 punto
1 punto
,, , , , , , ,
b) Hallar la probabilidad de: i) obtener más caras que cruces; ii) obtener las mismas caras que cruces. Teniendo en cuenta la Ley de Laplace:
os en loosdequecassaolsenposmásiblecars as que cruces 48 12 másmás caras que crucesces Número de casNúmer
Por otra parte, como se trata de un lanzamiento de tres monedas, no es posible que salga el mismo número de caras que de cruces, así que:
mimismas caras que crucesces 0
Opción B Ejercicio B1
1 punto | | ≠ 0 | | 1 0 1 | | 01 10 0 10⟶1 SSii ≠ 11 ⟶⟶ || || 0⟹∄ 0≠ 0 ⟹∄⟹∃ −− −1 0 1 2 1 0 1 2 0 1 01 10 02 , | | 1, 01 10 02 , Adj 01 10 01
Dadas las matrices:
y
:
a) Discutir, según los valores de , cuando tiene inversa y calcularla para Para que una matriz tenga inversa, debe cumplirse que función del parámetro :
En consecuencia:
Calculamos
cuando
:
.
. Así que evaluamos el valor de
en en
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b) Para
1 punto − − − ⟶ ⟶ ⟶ → = − 1 0 0 2 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 2 01 11 22 01 10 01 ∙ 01 11 22 01 11 22 00 11 22 0 1 2 01 00 00 ≡ ≡ − −− − 1 punto ⃗ 1,1,1,1 ,,1,11 ⃗ 1,1,2,3 ∙⃗ 0 ⟶ ,,1,11 ∙ 1,1,1,1 20⟶2 ≡0 →==,,, 2 3 0 →= 1 1 ≡ 2 , resolver la siguiente ecuación matricial:
.
Despejamos en la ecuación matricial propuesta:
Operando:
Ejercicio B2
Dados el plano
y la recta
:
a) Encontrar y para que la recta esté contenida en el plano. La recta pasa por el punto tenida en el plano , el vector para ello imponemos que:
y y su vector director es . Para que esté con– debe ser perpendicular al vector normal al plano, ,y
Además, también ha de cumplirse que el punto de pertenezca al plano :
Estrategia de resolución alternativa
Expresamos en forma paramétrica:
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1 punto ,,1,11 ⃗ 1,1,1,1 1 11 11 ⟶ 1 1⟶1 ≡0
b) ¿Existen valores y para que la recta sea perpendicular al plano? Razonar la posible respuesta negativa o encontrarlos en su caso. Si la recta fuese perpendicular al plano , el vector director de , al vector normal de , . Para ello:
, sería proporcional
Es decir, cualquier plano de la forma será perpendicular a la recta , sea cual sea el valor de (hay infinitos planos, paralelos entre sí, dependiendo del valor que demos a , que serán perpendiculares a ).
Ejercicio B3
2 puntoss
De todos los rectángulos cuyo perímetro es 40 cm, encontrar el que tiene la diagonal de menor longitud.
⟶ 2240⟶20⟶20 20 2 0 40040 40040 22 40400 440 220 ′ 2 ∙ √ 22 40400 √ 22 40400 0 ⟶2 ⟶2220 0 ⟶ 2 20 ⟶ 10 cm
Sea la base del rectángulo, su altura y la longitud de su diagonal (todas en cm). Aplicando el teorema de Pitágoras:
Teniendo en cuenta que el perímetro del rectángulo debe ser 40 cm:
Sustituyendo Sustituyendo en la expresión de la diagonal, se obtiene una expresión que únicamente es función de :
Como queremos calcular las dimensiones del rectángulo que hacen que su diagonal sea mínima, debemos minimizar la función , para lo cual se deriva e iguala a cero:
Siendo la longitud de la base del rectángulo de 10 cm, la altura debe ser:
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Ejercicio B4 a) Calcular:
1 punto
⟶+ sen ⟶∞ 1,1,1 1 1 3 sen 3 sen 3 lim ⟶+ ⏟lim lim⟶+ ⏟ ú = ⟶+lim ⟶+ 3 3 3 lim lim⟶+ 1 ⟶+lim 3 ⟶+ || 1 punto 1 sisi <0≥ 0 1 1 0 1 0,0,11 0 ,0, 1 1,1,0 1,1, 0
El límite de la función cuando no está definido, por ser una función periódica acotada entre y . En todo caso, siempre tomará valores reales pertenecientes pertenecientes al intervalo , por lo que:
Aplicando la regla de L’Hôpital:
b) Encontrar el área del recinto limitado por las funciones Redefinimos la función
y
.
:
Luego su gráfica está formada por dos rectas: la primera, cuando es negativa, que es decreciente, con pendiente ; la segunda, a partir de , que es creciente, con pendiente . Ambas se juntan en el punto . Por su parte, la función es una parábola, cuyo vértice es un máximo, en el punto es corta al eje de las en los puntos y y .
, y que
Con esta información podemos esbozar sus gráficas e identificar el recinto cuya área hay que calcular:
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1 1 vál v á l i d a, p ues u es > 0 11 ⟶ 20⟶ 20⟶ 2 no n o vál i d a a || 11 ⟶ 11 ⟶ 20⟶ 2 nonovávávállida,dida,aapuespues < 0 20⟶ 1 ∫−1 1 1 ∙ ∫ 1 1 ∙ 2 ∙ ∫−1 1 1 ∙ 2∙∫− 2 2 ∙ 2∙ 3 2 2− 2 ∙ [0 (13 12 2)]2)] 2 ∙ 76 146 ⟶ 73 u
Calculamos los puntos de corte entre las gráficas de
y y
:
En definitiva, el área pedida es igual a:
O bien, por la simetría de la representación:
Ejercicio B5
El diámetro interior de un anillo se distribuye normalmente con una media de 10 cm y una desviación típica de 0,03. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro mayor de 10,075?
10 cm
1 punto
0,03 cm ~~10;10;0,033 10, 0>7510 10,07575 > 10,07575 (> 0,03 ) >2, >2, 5 1 1<2, <2, 5 10,99380,0062
El diámetro interior de un anillo es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media y desviación típica :
Se nos pide la probabilidad
. Tipificando la variable:
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo tenga un diámetro entre 9,97 y 10,03?
1 punto
