Tujuan pembelajaran pembelajaran
Adapun tujuan dari mempelajari materi ini adalah 1. Mahasiswa dapat mengetahui definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema dari distribusi gamma. 2. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal terkait masalah distribusi gamma. A. Distribusi Gamma
Distribusi gamma dapat digunakan untuk memodelkan distribusi peluang dari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. 1.
Definisi
Fungsi gamma didefinisikan sebagai
x
1 x
e
0
dx untuk
>0 dan x R
Peubah acak kontinu X berdistribusi Gamma, dengan parameter kepadatan peluangnya berbentuk:
{
, dimana
Sifat fungsi Gamma :
√ ∫ ∫
a. b. c. d.
Bukti : a.
Integral parsial: Misalkan:
,
dan
, dan
jika fungsi
∫ ∫
Integral parsial: Misalkan:
Untuk
Dengan memakai rumus berulang berkali-kali diperoleh:
Dan seterusnya. Perhatikan jika
Karena Karena
∫ ∫ √
b.
Integral parsial: Misalkan:
c.
Berdasarkan sifat bagian a, maka
d.
Menggunakan integral substitusi:
Misalkan :
Transformasi kekoordinat kutub
] √ {
Menggunakan integral substitusi:
Misalkan :
2. Teorema-teorema Teorema 1
Jika X berdistribusi Gamma dengan parameter
dan jika fungsi padatnya berbentuk dan
maka:
,
dan
Bukti :
∫ ∫ ∫
Misalkan : Sehingga
dx
() Untuk memperoleh variansi distribusi gamma,
∫ ∫ ∫
Misalkan :
Sehingga
dx
()
Sehingga,
Sehingga, terbukti bahwa rataan dan variansi distribusi gamma adalah
Teorema 2
Jika X berdistribusi
, maka f.p.m adalah:
Bukti:
dan
Misalkan :
, maka
dan
Akibatnya,
∫ Berdasarkan definisi fungsi Gamma
Jadi, terbukti bahwa jika X berdistribusi
, maka:
, maka f.p.m adalah:
3. Contoh soal
1) Untuk
5 , tentukan fungsi gamma dan nilain ya,
Penyelesaian :
x
1 x
e
dx
0
Untuk
5, maka fungsinya (5) x 4 e x dx dan nilai (5) (5 1)! 4! 24 0
2) Misal peubah acak kontinu
X
berdistribusi Gamma dengan parameter dan . Jika
= 2 dan = 3, maka tulislah fungsi densitasnya ! Penyelesaian :
Fungsi densitasnya adalan sebagai berikut:
3) Misalkan waktu tunggu w berdistribusi gamma dengan
. Tentukan
ekspektasi waktu tunggu sampai muncul kejadian pertama! Penyelesaian :
Maka ekspektasinya adalah
ekspektasinya
akibatnya untuk k=1, nilai
4) Jika X peubah acak berdistribusi gamma dengan parameter a=4 dan b=8. Tentukan nilai rataan dan variansinya. Penyelesaian :
Jadi, nilai rataan dan variansinya adalan 32 dan 256.
Soal pilihan ganda 1. Untuk n=10, maka fungsi Gamma dan nilainya adalah ....
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
a. (10) =
dx dan (10) = 362880
b. (10) =
dx dan (10) = 362880
c. (10) =
dx dan (9) = 362880
d. (10) =
dx dan (9) = 362880
Penyelesaian : (n) =
(10) =
dx
dx
Berdasarkan sifat fungsi gamma yaitu (n) = Untuk n=10 , maka nilainya : (n) =
bila bila n suatu bilangan bulat.
(10) = (10 – 1)! 1)! = 9! = 362880
Jawaban : b
2. Jika X peubah acak berdistribusi gamma dengan parameter ekspektasi dari dari X adalah .... a. 4 b. 8 c. 12
d. 72
Penyelesaian :
Substitusikan nilai a=2 dan b=6 sehingga
Jawaban : c
a=2
dan
b=6 ,
maka