DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
Disusun untuk memenuhi tugas Statistik Matematika 2 Oleh:
Weindy Pramita A. (070210101088) Dimas Ariwibowo (080210101033)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2011
DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
DEFINISI Peubah Acak X dikatakan berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan r, dinotasikan r2, jika ia berdistribusi Gamma dengan para meter =
dan = 2.
Ingat, distribusi Gamma
f(x) =
, untuk , > 0
maka, distribusi Chi-Kuadrat dengan parameter =
dan = 2 adalah
f(x) = , untuk = , = 2 > 0 dan 0
x
Distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf. Syarat suatu distribusi merupakan pdf, yaitu: a) f(x) 0 b)
Bukti
= 1
bahwa distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf.
a) Apakah f(x) 0?
YA, karena = > 0, = 2 > 0 dan 0 x
b) Apakah
= 1?
f(x) = dx = ( ) = ( ) = ( ) =
Misal,
x=
sehingga f(x) =
0
( ) = ( ) =
: ( )
=
1=
Oleh karena x = y, maka = 1
Jadi, YA
distribusi Chi-Kuadrat = 1
Fungsi Pembangkit Momen (M(t)) dari distribusi Chi -Kuadrat adalah M(t) =
Bukti:
M(t)
) =
= E(
=
= =
Misal, z = (1 ± 2t)
dx = dz x=
maka,
, t<
dz = = dz = dz = dz dz =
= . = = Jadi, terbukti bahwa M(t) =
, t<
Mean (µ) distribusi Chi-Kuadrat 2
Mean untuk distribusi Chi-Kuadrat ( ) adalah turunan pertama M(t) pada saat (t=0). M(t) M¶(t)
-r/2
= (1-2t) , t < ½ -r/2-1 = (-r/2).(1-2t) . (-2) , t < ½ -r/2-1 = r.( 1-2t) ,t<½
M¶(t=0) = r.( 1-2.0) -r/2-1 = r µ = r Varians
2
( ) distribusi Chi-Kuadrat 2 Varians untuk distribusi Chi-Kuadrat ( ) adalah turunan kedua M(t) dikurangi
kuadrat turunan pertama pada saat (t=0). M(t) M¶(t) M¶¶(t)
-r/2
= (1-2t) -r/2-1 = r.(1-2t) -r/2-1-1 = r.(-r/2-1) .(1-2t) . (-2) 2 -r/2-2 = (r + 2r). (1-2t)
,t<½ ,t<½ ,t<½ ,t<½
2
M¶¶(t=0) = (r + 2r). (1-2.0) 2
= r + 2r y
2 = M¶¶(t=0) ± (M¶(t=0) 2) = r 2 + 2r - r 2 = 2r
-r/2-2
,t<½
