Distribución Binomial Negativa en el análisis de fenómenos recurrentes Autores
Andrade Luzmila Moreno Moreno López Margarita Severiche Pacheco Indira
Resumen
El objet objetivo ivo del del traba trabajo jo es expo exponer ner las las aplic aplicac acion iones es que que tiene tiene la distr distribu ibuci ción ón binomial binomial negativ negativa a en el clculo clculo de probab probabilid ilidades ades en suceso sucesos s recurre recurrentes ntes!! La distri distribu buci ción ón binom binomial ial negat negativ iva a es un model modelo o adec adecua uado do para para trata tratarr aque aquello llos s procesos en los que se repite un determinado ensa"o o prueba hasta conseguir un n#mero determinado de resultados $avorables! Es por tanto de gran utilidad para aque aquello llos s muestr muestreos eos que que proce proceda dan n de esta esta maner manera! a! Se resue resuelve lven n divers diversos os problemas aplicados a este modelo para conceptualizar la teor%a " entender su aplicabilidad en sucesos recurrentes! Se conclu"e $inalmente que la distribución de &ernoulli busca analizar un evento' mientras la distribución binomial busca analizar varios eventos( la distribución geom)trica busca analizar los eventos necesarios antes de obtener un )xito' " la distribución binomial negativa no busca sólo un )xito sino varios! Palabras Claves
&ino &inomia miall *egati *egativa va'' $enóme $enómeno nos s recur recurre rente ntes' s' Prob Probab abili ilida dades des'' )xito )xito'' $raca $racaso so'' geom)trica' &ernoulli! Introducción
Pretend Pretendemos emos con este este trabajo trabajo'' en primer primer lugar' lugar' present presentar ar las caracte caracter%st r%sticas icas esenciales del modelo de la distribución binomial negativa' analizando algunos $enó $enóme meno nos s del del mund mundo o emp% emp%ri rico co que que o$re o$rece cen n tale tales s cara caract cter er%s %sti tica cas s " saca sacar r conclusiones acerca la e$iciencia de la distribución &inomial negativa! En el contexto de los $enómenos recurrentes' el anlisis mediante la regresión de Poisson puede provocar provocar sobredispersión sobredispersión o variancia variancia extra+Poisson! extra+Poisson! Esto conduce conduce
a la subestimación de los errores estndares de los coe$icientes' pudiendo derivar en la signi$icación estad%stica de $actores que realmente no est)n asociados con el $enómeno! La binomial negativa puede captar parte de la variancia que no identi$ica la regresión de Poisson!,A!*avarro' -../0! En ese orden de ideas supongamos el $enómeno recurrente de las consultas m)dicas a cierta entidad de Salud' que veri$ican una secuencia in$inita de intentos del tipo de &ernoulli' es decir1 2 La secuencia de intentos es independiente! 2 3ada resultado del intento puede tomar #nicamente dos resultados mutuamente exclu"entes' que denotaremos por E4I56 ,E0 o 78A3AS6 ,70! 2 La probabilidad de )xito ," por lo tanto la de $racaso0 es constante en cada intento! 2 Los intentos contin#an ,se ejecutan0 hasta que un total de r )xitos se ha"an observado! As% cada intento' de$iniendo p 9 P ,E4I560 " asignando el valor . cuando ocurre 7 " el valor / cuando ocurre E' se puede describir como una distribución de &ernoulli de parmetro p! ,:onzales Ana0 Si el $enómeno que se estudia permite que un individuo presente el mismo episodio ms de una vez ,n#mero de hospitalizaciones' consultas ambulatorias' ataques de asma' etc!0' )ste es recurrente! Por lo tanto el objetivo de este estudio consiste en exponer la posible problemtica que generan los $enómenos recurrentes en la atención medica de un paciente en una entidad de salud' respecto el n#mero de veces que un paciente debe ir a consulta para determinar su en$ermedad u anomal%a' el n#mero de hospitalizaciones' etc! " presentar la &inomial *egativa como una alternativa vlida " sencilla para analizar este tipo de $enómeno!
Marco teórico
;na variable aleatoria &inomial negativa representa el n#mero de $racasos que ocurren hasta obtener el n+)simo )xito en la realización de ensa"os de &ernoulli con probabilidad p de )xito! As%' el n#mero de art%culos examinados de un lote hasta que aparece el n+)simo de$ectuoso( el n#mero de candidatos a entrevistar cuando se quiere $ormar un equipo de n personas idóneas para un puesto de trabajo( el n#mero de melocotones que un cliente exigente manipula antes de conseguir un
El proceso consta de un n#mero no de$inido de pruebas separadas o separables! El proceso concluir cuando se obtenga un determinado
• •
• •
n#mero de resultados $avorables r! 3ada prueba dar dos resultados posibles mutuamente exclu"entes A " no A La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es P' siendo la probabilidad de no A' q! Lo que nos lleva a que P = q 9 / Las probabilidades P " q son constantes en todas las pruebas! Si' en estas circunstancias aleatorizamos de $orma que la variable aleatoria 4 sea >El n#mero de pruebas necesarias para conseguir r )xitos o resultados A? ( entonces la variable aleatoria 4 seguir una distribución negativa con parmetros P " r ! x
&*,P'r0
Si 4 tiene la distribución &inomial negativa con r ,n#mero de )xitos0 " p ,probabilidad de )xito0 que denotaremos por 4 @ &*,r' p0 entonces la variable " 9 4=r' que representa el n#mero de pruebas para el )xito r+)simo' tiene una distribución relacionado con 4 por1
P=( y =k )= P ( X = K )=
{
( )
x −1 pr ( 1− p )k −r si k =r , r +1, r + 2, … r −1 0 en el otro caso
La distribución binomial negativa con r9/ es conocida por distribución geom)trica de parmetro p " mide el n#mero de $racasos antes del primer )xito Propiedades1
E ( x )=
Media
Barianza
Var ( X )=
2
σ
Cesviación 5%pica
r p
σ
σ =
√
r 1 ( −1 ) p p
r 1 ( −1 ) p p
Fenómenos recurrentes
3omo ejemplo' considere el uso de un medicamento que se sabe que es e$ectivo en D. de los casos en que se utiliza! El uso del medicamento se considerara un )xito si es e$ectivo al proporcionar alg#n grado de alivio al paciente! *os interesa encontrar la probabilidad de que el quinto paciente que experimente alivio sea el s)ptimo paciente en recibir el medicamento en una semana dada! Cesignamos )xito con S " 7racaso con 7' un orden posible para alcanzar el resultado que se desea es S7SSS7S' que ocurre con probabilidad! ,.'D0,.'F0,.'D0,.'D0,.'D0,.'F0,.'D0 9 ,.'D0 G,.'F0Podr%amos listar todos los posibles ordenes mediante el reacomodo de la 7 " las S excepto para el ultimo resultado' que dese ser el quinto )xito! El n#mero total de ordenes posibles es igual al n#mero de particiones de las primeras seis pruebas en dos grupos con dos $racasos asignados a un grupo " los cuatro )xitos
asignados al otro grupo! Esto se puede realizar de
( )= 6 4
15
$ormas mutuamente
exclu"entes! Ce aqu%' si 4 representa el resultado en el que ocurre el quinto )xito' entonces!
()
2 5 P ( X =7 )= 6 0,6 ( 0,4 ) =0,1866
4
Eem!lo "# Si la probabilidad de que un niHo expuesto a una en$ermedad
contagiosa la contraiga es .'F.' 3ul es la probabilidad de que el d)cimo niHo expuesto a la en$ermedad sea el tercero en contraerlaJ Solución1 En este caso' 4 es el n#mero de niHos expuestos la en$ermedad x 9 /. r 9 K
¿
( )
()
3 7 r k −r P ( X = K ) =¿ x −1 p (1 − p ) = 9 0,40 ( 1−0,40 ) =0,0645 r −1 7
Estad%stica matemtica con aplicaciones! &" ohn E! 7reund' Irin Miller' Mar"lees Miller ,Ejemplo G'K0
Eem!lo $# Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza tres monedas
obtenga solo caras o solo cruces por segunda vez en el quinto lanzamiento! Solución1 4 9 G ' r 9 - ' p 9 .'-G
( )
¿
()
2 3 r k −r P ( X = K ) =¿ x −1 p (1 − p ) = 4 0,25 ( 1− 0,25 ) =0,10 r −1 1
Probabilidad % estad&stica !ara ingenieros' B% Ronald E' (al!ole) Ra%mond *' M%ers) +,aron -' . Eercicio /)"01
Eem!lo 0# Los registros de una compaH%a constructora de pozos' indican que la
probabilidad de que uno de sus pozos nuevos' requiera de reparaciones en el t)rmino de un aHo es de .!-.! a0
3ul es la probabilidad de que el sexto pozo
construido por esta compaH%a en un aHo dado sea el segundo en requerir reparaciones en un aHoJ! Solución1 x 9 D pozos r 9 - pozos que requieren reparaciones en un aHo p 9 p,pozo requiera reparaciones en un aHo0 9 .!-. q 9 p,pozo no requiera reparaciones en un aHo0 9 .!N.
( )
P ( X = K ) =¿ x −1 p (1 − p ) r −1 r
¿ k −r
()
=5 1
0,20 ( 1 −0,20 ) 2
4
=0,081
http1OO!itchihuahua!edu!mxOacademicOindustrialOsabaticoritaOprivateO.NCIS58I &;3I6*-.&I*6MIAL-.*E:A5IBA!htm ,Ejercicio -0 Discusión
Si consideramos el caso especial de la distribución binomial negativa donde r 9 / ' tenemos una distribución de probabilidad para el n#mero de pruebas que se tiene para un solo )xito! ;n ejemplo seria lanzar una moneda hasta que salga cara! *o
podemos interesar en la probabilidad de que ocurra la primera cara en el cuarto lanzamiento! Se acostumbra a este caso especial como Cistribución geom)trica! Entonces las reas de aplicación para las distribuciones &inomial negativa " geom)trica di$ieren' en el caso de la geom)trica las pruebas ocurren antes de que un )xito represente un costo' mu" lejano a la realidad! Las aplicaciones de la binomial negativa son similares en naturaleza! Los intentos son costosos en alg#n sentido " ocurren en sucesión! Civersos autores han propuesto otras interesantes aplicaciones de la distribución binomial negativa " otros han comparado su e$iciencia con otras distribuciones! ,Prieto Eugenio0 Aplico la distribución binomial negativa a una aseguradora' su estudio demostró que el acaecimiento de los accidentes de automóviles a las pólizas aseguradas en una cierta entidad aseguradora presentan di$erentes grados de propensión al accidente' concretados en di$erentes valores de Q' en una distribución de Poisson' demostró que si Q se distribu"e seg#n una le" de Pearson de tipo III' la distribución del n#mero de accidentes para el total de la cartera de la entidad sigue el modelo de la distribución binomial negativa! El autor estudia con cierto detalle la distribución binomial negativa desde el punto de vista de las aplicaciones actuariales' analizando las diversas $ormas de generarse este modelo! ,Prieto Eugenio0 ,A!*avarro' -../0 expone en su art%culo titulado >La distribución binomial negativa $rente a la de Poisson en el anlisis de $enómenos recurrentes? !? En el contexto de los $enómenos recurrentes' el anlisis mediante la regresión de Poisson puede provocar sobredispersión
o
variancia
extra+Poisson! Esto conduce
a
la
subestimación de los errores estndares de los coe$icientes' pudiendo derivar en la signi$icación estad%stica de $actores que realmente no est)n asociados con el $enómeno! La binomial negativa puede captar parte de la variancia que no identi$ica la regresión de Poisson!? R conclu"e' la existencia de sobredispersión es $recuente en $enómenos recurrentes! 3uando esto sucede' el uso de la binomial negativa es ms apropiado que el de la regresión de Poisson! ,A!*avarro' -../0! Conclusiones
En este trabajo se explica la distribución binomial negativa a partir de la relación con la distribución geom)trica! Para poder comprender la distribución binomial negativa debe entenderse que esta es a la distribución geom)trica' lo mismo que la distribución binomial es a la distribución de &ernoulli! Se menciona la relación anterior como elemento introductorio "a que la distribución de &ernoulli busca analizar un evento' mientras la distribución binomial busca analizar varios eventos( la distribución geom)trica busca analizar los eventos necesarios antes de obtener un )xito' " la distribución binomial negativa no busca sólo un )xito sino varios! Lo que hace la distribución binomial negativa es arrojar valores m#ltiples para procesos predictivos' es decir' se est buscando aplicar la distribución de una progresión geom)trica para eventos di$erentes! La distribución binomial negativa es mu" prctica para modelar situaciones en las que se requiere determinar un n#mero de ensa"os de &ernoulli para poder obtener determinado n#mero de )xitos' por lo que se convierte en una continuación de la distribución geom)trica! Bibliograf&a
Estad%stica matemtica con aplicaciones ,Sexta Edición0! &" ohn E! 7reund' Irin Miller' Mar"lees Miller ,-...0! Probabilidad " estad%stica para ingenieros! ,Sexta edición0 &" 8onald E! alpole' 8a"mond T! M"ers' Sharon L! ,/UUU0 Cistribucion
&inomial
negativa
http1OO!itchihuahua!edu!mxOacademicOindustrialOsabaticoritaOprivateO.NCIS58I &;3I6*-.&I*6MIAL-.*E:A5IBA!htm Cistribucion
&inomial
negativa
,Para
Bariables
aleatorias
discretas0
https1OOaula!tareasplus!comOMarcela+:omezOProbabilidad+"+ EstadisticaOCistribucion+binomial+negativa+para+variables+aleatorias+discretas Articulo1 Aplicaciones al seguro de la distribución binomial negativa Por E;:E*I6 P8IE56 PE8EV
Articulo1 La distribución binomial negativa $rente a la de Poisson en el anlisis de $enómenos recurrentes por A! *avarro ,-../0 Principales
Cistribuciones
discretas
http1OOanapg!ebs!uvigo!esO5ema-Ciscretasmodi$!pd$ Modelos de probabilidad -! lejarza W I!lejarza variables Aleatorias Ciscretas ! 8a$ael :arcia Marin
,:onzales
Ana0!
