DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Aprendizaje básico 5.7. Si n =5 y p = 0.40, encuentre cual es la probabilidad de que: b) x = ≤ 3
a) x = 4 P=
(
(
)
n=5 Pr =
(
)
d) x > 1
)
X=4 (
c) x < 2
p = 0.40 )
Pr = 0.0768 b) n = 5 Pr = Pr = Pr = Pr =
(
p= 0.40 )
(
)
(
)
(
)
P( x = ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) (
)
= 0.0778
(
)
= 0.2592
(
)
= 0.3456
(
)
= 0.2304
Pr = 0.0778 + 0.2592 + 0.3456 + 0.2304 = 0.9130 c)
P( x = < 2) = P(X=0) + P(X=1)
Pr = Pr =
(
)
(
)
(
)
= 0.0778
(
)
= 0.2592
Pr = 0.0778 + 0.2592 = 0.337 d) P( x = > 3) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Pr =
(
)
(
)
= 0.0102
Pr = 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 + 0,0102 = 0,663
5.8. Determine lo siguiente : Pr =
(
)
(
)
a) para n = 4 y p = 0,12 ¿Cuánto es P(x = 0)? Pr =
(
(
)
)
= 0.5996
b) para n =10 y p = 0,40 ¿Cuánto es P(x = 9)? Pr =
(
)
(
)
= 0.0015
c) para n = 10 y p = 0,50 ¿Cuánto es P(x = 8)? Pr =
(
(
)
)
= 0.0439
d) para n = 6 y p = 0,83 ¿Cuánto es P(x = 5)? Pr =
(
)
(
)
= 0.4017
APLICACIÓN DE CONCEPTOS 5.9. Se supone que el aumento o La disminución del precio de una acción durante el transcurso de un día hábil e un evento aleatorio igualmente posible. ¿Cuál es la probabilidad de que una acción muestre un aumento en su precio al cierre durante cinco días consecutivos? DATOS: N=5 Pr = 0,50 X≥1 Pr = Pr = Pr = Pr =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= 0.1562
(
)
= 0.3125
(
)
= 0.3125
(
)
= 0.1562
Pr =
(
(
)
)
= 0.03125
Pr = 0.1562 + 0.3125 + 0.3125 + 0.1562 + 0.03125 = 0,96865 5.10. El 60% de los estadounidenses leen en su contrato de trabajo, incluyendo las letras pequeñas (“Snapshots”usatoday.com, 20 de enero del, 2004). Suponga que el número de empleados que leen cada una de las palabras de su contrato se puede modelar utilizando la distribución binomial. Considerando un grupo de cinco empleados, encuentre cual es la probabilidad de que: a) Los cinco lean cada una de las palabras de su contrato b) Al menos tres lean cada una de las palabras de su contrato. c) Menos de dos lean cada una de las palabras de su contrato. d) ¿Cuáles serían sus respuestas para los incisos a) a c), si la probabilidad de que un empleado lea cada una de las palabras de su contrato es de 0,80? DATOS: Pr = 60% = 0.6 n=5 x=5 Pr = Pr = b) Pr = Pr = Pr =
(
)
(
)
(
) (
)
= 0.07776
(
)
= 0.3456
(
)
= 0.2592
(
)
= 0.07776
x = 3,4,5 (
)
(
)
(
)
Pr = 0.07776 + 0.3456 + 0.2592 + 0.07776 = 0.68256 c) Pr =
x = 0,1 (
)
(
)
= 0.01024
P+r =
(
(
)
)
= 0.0768
Pr = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704 d) Pr = 0.80 Inciso a Pr = Inciso b Pr = Pr = Pr =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= 0.3277
(
)
= 0.2048
(
)
= 0.4096
(
)
= 0.3277
Pr = 0.2048 + 0.4096 + 0.3277 = 0,9421 Inciso c Pr = Pr =
(
(
)
(
)
) (
= 0. 00032 )
= 0.0064
Pr = 0.00032 + 0.0064 = 0.00672 5.11. Una estudiante presenta un examen de opción múltiple, en el cada pregunta tiene cuatro opciones. Suponga que ella no conoce la respuesta correcta de ninguna de las preguntas, y que decidió utilizar una estrategia en la que colocara cuatro pelotas (marcadas como A,B,C y D dentro de una caja. Ahora, para responder cada pregunta, selecciona una pelota de manera aleatoria y la devuelve a la caja. La letra de la pelota determinara su respuesta a la pregunta. El examen se compone de 5 preguntas de opción múltiple, ¿Cuál es la probabilidad de que ella obtenga a.- cinco respuestas correctas? b.- al menos cuatro respuestas correctas? c.- Ninguna respuesta correcta? d.- No mas de dos respuestas correctas? DATOS : Pr = 0.25 N=5
X=5 a) Pr = Pr =
(
(
)
)
( (
) )
= 0.000976
(
)
= 0.01464
(
)
= 0.000976
b) p ( ≥ 4 ) x = 4,5 Pr = Pr =
(
)
(
)
Pr = 0.01464 + 0.000976 = 0,01561 c) x = 0 Pr =
(
)
(
)
= 0.2373
d) No más de dos respuestas correctas? X= 2 Pr =
(
)
(
)
= 0.2636
5.12.En el ejemplo 5.4 de la página 163, usted y dos amigos decidieron ir a Burger King. En lugar de eso, suponga que McDonald´s, donde durante el mes pasado sirvieron el 90%´s, donde durante el mes pasado sirvieron el 90% de los pedidos con exactitud. ¿Cuál es la probabilidad de que a. Los tres pedidos se sirvan con exactitud? b. Ninguno de los tres pedidos se sirva con exactitud? C. al menos de los tres pedidos se sirva con exactitud? d. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de pedidos servidos con exactitud? DATOS: n=3 Pr = 0.90
a. x = 3
Pr =
b. x = 0
Pr =
c. x
2
(
)
(
)
Pr =
(
Pr = P(x
(
)
= 0.729 = 72.9%
(
)
= 0.001 = 0.1%
(
)
(
)
) (
= 0.243 = 24.3% )
= 0.729 = 72.9%
2 ) = 0.243 + 0.729 = 0.972
d. µ = n.p
µ = E(x) = n.p
µ = 3 x o.90 = 2.7 promedio de que nos sirven bien DESVIACION = √
(
)
D = 3 x 0.90 ( 1 – 0.90 ) D = 0.5196 5.13. Durante varios años se ha reducido el porcentaje de comisión que las líneas aéreas comerciales pagan a los agentes de viajes. Muchas agencias, en busca de mejorar sus ingresos, cobran ahora a sus clientes una cuota por boleto, generalmente de entre 10 y 25 dólares. De acuerdo con la sociedad estadunidense de agentes boleteros, cerca del 90% de los agentes de viajes cobra cuotas a sus clientes cuando estos adquieren boletos de avión (Kortney Stringer, “American Air Fees for Travel Agents to Be Cut Again” , The Wall Street Journal, 20 de agosto , 2001, B2) a. La cifra del 90% citada por la sociedad estadounidense de agentes boleteros, ¿quedaría mejor clasificada como probabilidad clásica a priori, probabilidad clásica empírica o probabilidad subjetiva? DATOS: N = 10 Pr = 0,90 =n.p = 10 x 0.90 =9
DESVIACION = √
(
)
D = 10 x 0,90 x (1 – 0,90) DESVIACION = √ D = 0.948683
b. Usted selecciona una muestra aleatoria de 10 agencias de viajes. Suponga que el número de 10 agencias de viajes que cobran una cuota por boleto se distribuye como variable aleatoria binomial. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar de esta distribución?
c. ¿Qué suposiciones es necesario hacer el inicio b)?
5.14. Consulte el, problema 5.13 y calcule la probabilidad de que de 10 agencias de viajes: a. ninguna cobre cuota por boleto DATOS : n = 10 pr = 0,90
x=0 a) Pr = Pr =
(
(
)
)
(
)
(
)
= 0.000000001
b. exactamente una cobre cuota por boleto. X=1 Pr =
(
)
(
)
= 0.000000009
c. dos o menos cobren cuota por boleto.
X=≤2
Pr = Pr = Pr =
(
)
(
)
(
)
(
)
= 0.000000001
(
)
= 0.000000009
(
)
= 0.0000003736
Pr = (x≤2) = 0,0000003736 d. tres o más cobren cuota por boleto. X= ≥3 P (x≥3) = 1 – p P (x≥3) = 1 - 0.0000003736 P (x≥3) = 0,998
5.15. Cuando un cliente hace un pedido a la papelería en línea de Rudy, un sistema contable computarizado (AIS, por sus siglas en inglés) verifica automáticamente si el cliente ha excedido o no su límite de crédito. Los registros señalan que la probabilidad de los clientes exceden su límite de crédito es de 0.05. Suponga que durante un día determinado, 20 clientes hicieron un pedido. Suponga también que el número de clientes que según el sistema AIS excedieron su límite de crédito está distribuido como variable aleatoria binomial. a. ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de clientes que excedieron su límite de crédito? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente exceda su límite de crédito? c. ¿Cuál es la probabilidad de que solo un cliente exceda su límite de crédito? d. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más clientes excedan su límite de crédito? DATOS : n = 20 p = 0.05 a. µ = n.p µ = 20 x 0.05 = 1 (
DESVIACION = √
) (
)
(
)
= 0.3584
(
)
= 0.3773
=√ =√ = 0.9746 b) Pr = c) Pr =
x=0 (
)
x=1 (
d) Pr =
)
(
)
(
)
x = 2, 3, 4,5,…20 X=1 Pr =
(
)
(
)
P (X≥2) = 1 – P (X = 1) P (X≥2) = 1 - 0.3773 = 0.6227
= 0.3773
