24/11/2010
Diagonalização de Operadores
3.3 DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES
Noss o ob jetivo jetivo aq ui será enco ntrar uma uma bas e do espaço esp aço v etorial V na qu al a matri matrizz de um determinado determinado operador linear T:V→ V seja a mais mais simples simples po ss ível. ível. Por muitos muitos motivos, incluindo incluindo um que será t rabalhado no est udo de cô nicas, a melhor situação pos sível é aqu ela em que cons eguimos eguimos uma uma matriz matriz diagonal ass ociada a u m operador. Dado um u m operador ope rador linear T:V→ T:V→ V, noss o objetivo é cons eguir uma uma bas e β , para V, V, na qual q ual a matriz matriz do o perador perad or nesta base (
) seja seja uma uma matr matriiz di diagonal. agonal. Esta Esta é a form forma mai maiss s imples ples de se representar representar um operador operador e a base base β , nesse
caso , é uma uma bas e cujos vet ores s ão auto vetores de T. Observemos Observemos inicial inicialm mente o exem exemplo plo que se gue.
linear definido definido por 3.3.1 Exemplo. Seja T: R 2 → R 2 o o perador linear T( x x, y) = ( – 3 x + 4 y, – x x + 2 y), cuja matriz, matriz, em relação à b ase as e canônica can ônica α é
. Seus autovalores autovalores s ão λ1 = 1 e λ2 = – 2 com autov etores as sociados so ciados v1 = (1, 1) e v2 = (4, 1), respectivamente. Notemos que os autov etores formam formam uma uma bas e de R 2 . Seja, então, β = {(1, 1), (4, 1)} a base de R 2 formada formada pelos aut oveto res de T e encont remos remos . Para tal, aplicam aplicamos os T em cada vetor da bas e β e escrevemos a imagem obtida como combinação linear dos vetores da base β : T(1, 1) = (1, 1) = a 11 (1, 1) + a21 (4, 1) = 1. (1, 1) + 0.(4, 1) T(4, 1) = (– 8, – 2) = a 12 (1, 1) + a22 (4, 1) = 0. (1, 1) – 2. (4, 1) Assim,
.♦
Notemos Notemos que
é uma uma matriz diagonal e representa o operador linear linear T na base bas e β de autovetores.
Na verdade, quando a bas e de au tovet ores existe, existe, a matri matrizz que representa um operador linear linear nes ta bas e será s erá sempre sempre uma matriz diagonal que, como já citado, é a forma mais simples de se representar o operador. O problema, então, é saber em que condições a base de autovetores existe, pois, em muitas situações como, por exemplo, nos exemplos 3.2.2 e 3.2.4 desta unidade, tal base não existe. existe. Neles Neles estã o definidos definidos operadores lineares lineares e m R 2 e R 3, respectivamente, respectivamente, com nenhum autoveto r ou apenas 1 autoveto r l.i. l.i. Cons Cons iderem ideremos, os, p ara elucidar elucidar o prob lema lema citado, as propriedades propriedades que seguem seg uem::
3.3.2 Propriedades. ociados a autovalores autovalores distintos distintos são linearm inearmente ente independentes. Propriedade 1. Autovetores ass ociados autovalores distintos, então o Propriedade 2. Se T: V→ V é um operador linear tal que dimV = n e T pos sui n autovalores conjunto β = {v1, v2, ..., vn}, form formado ado pelos correspond entes autovet ores, é uma uma bas e de V. V.
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24/11/2010 Diagonalização de Operadores 2 Exemplo 1 . Um operador linear T em R poss ui os seguintes autovalores:
λ1 = 1 e λ2 = 2. De acordo com a propriedade 2, existe uma base de R 2 formada pelos aut ovetores de T. ♦
Exemplo 2 . Um operador linear f em R 3 poss ui os seguintes autovalores λ1 = 2; λ2 = 2; λ3 = – 3. Não podemos, nes te caso , garantir a existência da base d e autovet ores. Mas , se para λ = 2 obtivermos 2 autovet ores l.i, então pela propriedade 1 os 3 autoveto res s erão l.i. e formarão uma base d e R 3.♦
3.3.3 Definição. Seja T: V→ V um operado r linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma bas e β de V cujos elementos são au toveto res de T. Neste cas o, a matriz que represen ta T na ba se β é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores d e T, ou s eja,
.
Aqui supomos que dim V = n .
3.3.4 Exemplo. Observemos os autovalores e respectivos autovetores associados a um operador linear T, representados pelas s eguintes matrizes:
Autovalores e autovetores de A1:
λ1 = 1; λ2 = – 2; λ3 = 3;
= (– z , 4 z , z ), z ∈ R* ⇒ v1 = (– 1, 4, 1) = (– y, y, y), y ∈ R* ⇒ v2 = (– 1, 1, 1) = ( x, 2 x, x), x ∈ R* ⇒ v3 = (1, 2, 1)
O operador T, represen tado pela matriz A1, é diagona lizável. Uma bas e, do R 3, formada po r autoveto res, de A1 ou de T, é β = {v1 = (– 1, 4, 1), v2 = (– 1, 1, 1), v3 = (1, 2, 1)}, o que significa que, nes ta bas e, o operador linear T é represent ado po r uma matriz diagonal D que é a matriz
. A construção da matriz
D pode s er acompanhad a conforme segu e: T(v1) = Av1 = (– 1, 4, 1)
1.v1
T(v2) = Av2 = (2, – 2, – 2) T(v3) = Av3 = (3, 6, 3)
– 2.v2
3.v3
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[T(v1)]β ⇒ (– 1, 4, 1) = a(– 1, 4, 1) + b(– 1, 1, 1) + c(1, 2, 1) ⇒ a = 1; b = 0; c = 0 ⇒ [T(v1)]β = (1, 0, 0) [T(v2)]β ⇒ (2, – 2, – 2) = a (– 1, 4, 1) + b (– 1, 1, 1) + c(1, 2, 1) ⇒ a = 0; b = – 2; c = 0 ⇒ [T(v2)]β = (0, – 2, 0) [T(v3)]β ⇒ (3, 6, 3) = a (– 1, 4, 1) + b (– 1, 1, 1) + c(1, 2, 1) ⇒ a = 0; b = 0; c = 3 ⇒ [T(v3)]β = (0, 0, 3). Dess a forma, temos
, ou seja,
Autovalores e autovetores de A2: λ1 = λ2 = – 1;
.
= ( x, – 2 x – 2 z , z ), x, z ∈ R*
donde p odemos esc olher dois autov etores l.i.: v1 = (1, – 2, 0) e v2 = (0, – 2, 1) λ3 = 8;
= (2 y, y, 2 y), y ∈ R* ⇒ (2, 1, 2).
O operador T é diagonalizável pois para λ = – 1 podemos ter 2 autovetores l.i e o conjunto β = {(1, – 2, 0), (0, – 2, 1), (2, 1, 2)} é uma base do R 3 formada por aut ovetores de A2. A matriz que represen ta o op erador na bas e β é
.
Autovalores e autovetores de A3:
λ1 = – 2;
= (2 z , z , – z ), z ∈ R* ⇒ v1 = (– 2, – 1, 1)
λ2 = i e λ3 = – i . O operador T não é diagonalizável pois não é p oss ível encont rarmos u ma base de aut ovetores para o R 3, já que o único autov alor real λ1 fornece um único autovetor l.i.
Autovalores e autovetores de A4: λ1 = λ2 = 2; λ3 = 3;
= (0, 0, z ), z ∈ R* ⇒ v1 = (0, 0, 1) = (– 2 y, y, y), y ∈ R* ⇒ v3 = (– 2, 1, 1)
Observe que A4 não pode ser diagonalizada, pois só é possível obter dois autovetores, de A4 , l.i. ♦ hermes.ucs.br/ccet/deme/…/diag.htm
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3.3.5 Matriz Diagonalizadora. Seja T:V → V um operador linear. Se α e β são bas es de V e A e B são as matrizes que repres entam o operador T nas bases α e β , respectivamente, ent ão
A = P – 1BP, sendo P a matriz de mudança da base β para α , isto é,
. Dizemos, nes se caso , que as matrizes A e B são
semelhantes. No caso em que A é a matriz canônica do operador T e D a matriz de T na base β de autovetores, temos
D = P – 1AP é a matriz cujas colunas são os autove tores de T. Observemos que a matriz D é obtida pela "atuação" da
onde
matriz P, quando ela existe, sobre a matriz A. Dizemos então que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora .
3.3.6 Exemplo. A matriz que d iagonaliza
é a matriz
.
Tal matriz tem suas colunas formadas pelos autove tores v1 = (1, 0, – 1), v2 = (1, 1, 1) e v3 = (1, – 2, 1), correspondentes aos autovalores de A, λ1 = 2, λ2 = 3 e λ3 = 6.
O produto P – 1AP
é a matriz
operador na base de autovetores.
Exercícios
, que representa o
♦
Ex Complementares
Ex MATLAB
Gabarito
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