11.8 Multiplicadores de Lagrange Luiza Luiz a Amal Amalia ia Pin Pinto to Can Cant˜ t˜ ao ao Depto. de Engenharia Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP
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Id´eia
2 R
Id´ eia: Determinar os valores extremos de f (x, y ) sujeito `a restri¸c˜ao da forma g (x, y ) = k . Ou seja, queremos encontrar os valores extremos de f (x, y ) quando o ponto (x, y ) pertencer `a curva de n´ıvel g (x, y ) = k . Exemplo: Encontre o m´aximo da fun¸c˜ao f (x, y ) = 49 − x2 − y 2, sujeito `a restri¸c˜ao g (x, y ) = x + 3 y − 10 = 0.
Desenvolvimento • Suponha que uma fun¸c˜ao f tenha um valor extremo no ponto P (x0, y0, z 0) sobre a superf´ıcie S e seja C a curva com equa¸c˜ao vetorial r(t) = x(t), y (t), z (t) que perten¸ca a S e passe pelo ponto P . • Se t0 ´e o valor do parˆametro correspondente ao ponto P , ent˜ao r(t0) = x0, y0, z 0 e h(t) = f (x(t), y (t), z (t)) fornece os valores de f sobre C . • f tem um valor extremo em (x0, y0, z 0) e h tem um valor extremo em t0 e, portanto, h(t0) = 0. Se f for diferenci´avel, usando a regra da Cadeia, temos: 0 = h(t0) = f x(x0, y0, z 0)x(t0) + f y (x0, y0, z 0)y (t0) + f y (x0, y0, z 0)z (t0) = ∇f (x0, y0, z 0) · r(t0) • Logo, ∇f (x0, y0, z 0) ´e ortogonal `a r(t0), para toda curva assim obtida. Assim, ∇f (x0, y0, z 0) e ∇g (x0, y0, z 0) precisam ser paralelos. • Se ∇g (x0, y0, z 0) = 0, existe um n´umero λ tal que: ∇f (x0, y0, z 0) = λ ∇g (x0, y0, z 0) onde λ ´e conhecido como multiplicador de Lagrange
M´etodo dos Multiplicadores de Lagrange M´ etodo: Para determinar os valores m´aximos e min´ımos de f (x,y,z ) sujeito a g (x,y,z ) = k [supondo que esses valores existam e que ∇g = 0 sobre a superf´ıcie g (x,y,z ) = k ]: (a) Determine todos os valores de x, y , z e λ tal que: ∇f (x,y,z ) = λ∇g (x,y,z ) g (x,y,z ) = k (b) Calcule f em todos os pontos (x,y,z ) que resultaram do passo (a). O maior desses valores ser´a o valor m´aximo de f , e o menor ser´a o valor min´ımo de f .
Multiplicadores de Lagrange Trˆ es vari´ aveis: Escrevendo ∇f = λ∇g em termos de seus componentes, teremos: f x = λg x
f y = λg y
f z = λg z
g (x,y,z ) = k
gerando um sistema de quatro equa¸c˜oes e quatro inc´ognitas.
Duas vari´ aveis: Para f (x, y ) sujeito `a g (x, y ) = k temos um sistema de trˆes equa¸c˜oes e trˆes inc´ognitas: f x = λg x
f y = λg y
g (x, y ) = k
Aten¸c˜ ao: N˜ ao ´e necess´ario calcular de modo expl´ıcito valores para λ.
Exemplo Gr´afico
max e min f (x, y ) = xy sujeito `a g (x, y ) =
x2
8
+
y2
2
= 1.
min f (x, y ) = 3x + 4 y sujeito `a x2 + y 2 = 1.
Exemplos Exemplo (1): Uma caixa retangular sem tampa ´e feita de 12m2 de papel˜ao. Determine o volume m´aximo dessa caixa. Exemplo (2): Determine os valores extremos da fun¸c˜ao f (x, y ) = x2 + 2y 2 no c´ırculo x2 + y 2 = 1. Exemplo (3): Estabele¸ca os valores extremos de f (x, y ) = x2 + 2y 2 no disco x2 + y 2 ≤ 1. Exemplo (4): Determine os pontos da esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que est˜ao mais pr´oximos e mais distantes do ponto (3, 1, −1).
Figura do Exemplo (2)
Duas Restri¸c˜oes Objetivo: Deteminar o m´aximo ou m´ınimo de f (x,y,z ) a duas restri¸c˜oes da forma g (x,y,z ) = k e h(x,y,z ) = c . Geometricamente: Procurar valores extremos de f quando (x , y , z ) est´a restrita `a curva C , obtida pela interse¸c˜ao das superf´ıcies de n´ıvel g (x,y,z ) = k e h(x,y,z ) = c . Suponha: f tem um valor extremo P (x0, y0, z 0): • ∇f ´e ortogonal `a C ; • ∇g ´e ortogonal `a g (x,y,z ) = k ; • ∇h ´e ortogonal `a h(x,y,z ) = c . Logo ∇f e ∇g s˜ao ortogonais a C , o que significa que o vetor gradiente ∇f (x0, y0, z 0) pertence ao plano determinado por ∇g (x0, y0, z 0) e ∇h(x0, y0, z 0). Ou seja, os vetores gradientes n˜ ao s˜ao paralelos nem nulos. Logo, existem n´umeros λ e µ (multiplicadores de Lagrange), tais que: ∇f (x0, y0, z 0) = λ∇g (x0, y0, z 0) + µ∇h(x0, y0, z 0)
M´etodo de Lagrange: duas vari´aveis M´ et. de Lagrange: Encontrar os valores extremos resolvendo as cinco equa¸c˜oes nas cinco inc´ognitas x, y , z , λ e µ, ou seja: f x f y f z g (x,y,z ) h(x,y,z )
= = = = =
λgx + µhx λgy + µhy λgz + µhz k c
Exemplo (5): Determine o valor m´aximo da fun¸c˜ao f (x,y,z ) = x + 2 y + 3z na curva da interse¸c˜ao do plano x − y + z = 1 com o cilindro x2 + y 2 = 1. Exerc´ıcios Propostos: George B. Thomas – Volume 2 P´aginas Exerc´ıcios 335 a` 337 1 a` 44 348 a` 351 1 a` 88 351 a` 353 1 a` 22
