Descomposición en Parte Controlable-No Controlable

Control de Procesos Industriales Profesor: Juan Ignacio Mulero Martínez Curso 2014-2015 Primer Cuatrimestre Controlabilidad Fecha 20/09/2014

Teorema de Kalman Supongamos que el rango de C es m < n y sea Bc = fu1 ; : : : ; um g un conjunto (maximal) de vectores columna de C linealmente independientes. Siempre podemos completar este conjunto con n m vectores linealmente independientes fv1 ; : : : ; vn m g para formar una base en Rn . Se puede comprobar que span (u1 ; : : : ; um ) es A invariante: Cada vector u 2 Bc se puede escribir como u = Ak Bei para ciertos k, i. En consecuencia, Au = Ak+1 Bei . Aquí se presentan dos casos: (i) Si k < n 1, entonces Au es una columna de C. En consecuencia Au es una combinación lineal de los elementos de Bc . P (ii) Si k = n 1 entonces Au = An Bei . Sea pc (s) = ni=0 ai si , con an = 1 el polinomio Pn 1caraci n terístico de A. En virtud del teorema de Cayley-Hamilton pc (A) = 0 ) A = i=0 ai A , P n 1 i por lo que An Bei = i=0 ai A Bei , es decir Au es una combinación lineal de n vectores columna de C, y por tanto una combinación lineal de vectores de Bc . De…nimos Q = T 1 = (u1 ; : : : ; um ; v1 ; : : : ; vn m ) . Dado que span (u1 ; : : : ; um ) es A invariante, para cada u 2 Bc existe un x 2 Rm tal que 1

Au = T

x 0

De esta forma, AT

1

= (Au1 ; : : : ; Aum ; Av1 ; : : : ; Avn

m)

=T

1

Ac A12 O Ac

Ac A12 son similares. Las columnas de B están O Ac en C por lo que serán combinación lineal de los elementos de Bc :

Esto signi…ca que las matrices A y A~ =

B=T

1

Bc 0

Con el cambio de base T llegaríamos a un sistema (algebraicamente equivalente) con matriz de controlabilidad: C~ = T

1

C=T

1

Bc Ac Bc A2c Bc O O O

Acn 1 Bc O

n 1

De nuevo cada Akc es combinación lineal de fAjc gj=0 por el teorema de Cayley-Hamilton (¿por qué?). Esto signi…ca que rango

Bc Ac Bc A2c Bc

y (Ac ; Bc ) es controlable. 1

Anc 1 Bc

=m