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PESADescripción completa
sistemas de comunicaciones
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transmitter
Air corps
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EFECTO DEL RUIDO EN SISTEMAS FM Parte I
Temario
Receptor FM
SNR a la entrada del Receptor
SNR a la salida del Receptor
Receptor FM
La señal modulada en FM es de tipo compleja, donde la información se encuentra en la fase o específicamente en la frecuencia instantánea de la señal FM. El detector utilizado es aquel cuya salida sea proporcional a , para obtener esto se utiliza un discriminador (slope detector o diferenciador) para luego utilizar un detector de envolvente. d
dt
Receptor FM
SNR a la entrada del detector
Recordando la señal modulada en FM:
s t A c cos c t t Re A c e
j t
e
j c t
(1.1)
:es la componente de fase donde se t encuentra la señal mensaje, para FM la expresion es:
(1.2) t
t 2 K
f
m u du
…Continuación
SNR a la entrada del detector
N
•
El ruido n(t) AWGN con (PSD) • Este se suma a nuestra señal modulada en FM, luego pasa por un filtro pasobanda ideal. A la salida del filtro tenemos un proceso de ruido pasobanda n f t descrito como: (1.3) 0
W
Hz
2
n
•
t f
n I t cos
c t
n Q t sin
c t
Re
n
I
jn
Q
e
j c t
Entonces el proceso se puede representar por una envolvente compleja formada por dos subcomponentes: una real (o en fase) y otra en cuadratura (imaginaria), que a su vez son procesos Gaussianos independientes con media cero y varianza N0.
…Continuación
También se puede representar la ecuación anterior así: n
t f
N t cos c t t Re N t e
j t
e
j c t
(1.4).
N t
t
2
2
n I n Q
tan
1
:"envolvente" con distribución Rayleigh.
nQ
:el cual es un proceso uniforme entre
n I
. 0 , 2
Se asume que el filtro pasobanda tiene un ancho de banda equivalente al de modulación B 2 1 B. (Carson). T
f
La señal filtrada resulta: (1.5).
Potencia De Ruido
Para obtener el SNR en la entrada primero hallamos la potencia de la señal 2
P s
A c
(1.6)
2
La potencia del ruido se obtiene a partir de la grafica de PSD de ruido pasobanda: P n 2
f c f c
B T 2
B T 2
N 0 2
(1.7)
Por tanto la SNR en la entrada es: 2
P s A c S P N 2 N 0 B T N in
(1.8)
SNR a La Salida Del Detector
La señal que ingresa al detector FM :
r f t Re A c e
j t
e
j c t
Re N t e
j t
e
j c t
(2.1)
Podemos representar las componentes de señal y ruido (envolventes complejas) como vectores así como lo muestra la figura siguiente: Señal FM
ruido (dist. Rayleigh)
…Continuación
ángulo en términos de la señal FM y de ruido: tan
N t sin t t
1
(2.2)
A c N t cos t t
Entonces el ángulo del vector resultante : (2.3) T t t tan
1
N t sin t t A c N t cos t t
Nota •
La envolvente de la señal resultante para efectos de analisis NO ES IMPORTANTE dedido a la influencia del limitador al inicio del detector FM.
•
Lo importante aqui es conocer la influencia del ruido en el angulo resultante, o sea, t T
…Continuación Asumimos SNR alto >>1
Aproximando (2.3) (
SNR
in
es grande entonces
T t t
N t
A c N t )
sin t t
A c
(2.4)
Salida del detector AM : r 0 t
V L d T t 2
dt
K DC
(2.5)
K DC
: nivel DC que es eliminado en el receptor usando un capacitor en serie.
Reemplazando la expresión (2.4) en (2.5): r 0 t
V L d t 2
dt
V L
d N t
2 dt A c
sin t t
(2.6)
…Continuación
De la expresión t
t
2 K
r 0 t V L K
f
f
m u du
tenemos:
m t n d t
(2.7)
Donde: n d t
V L
d N t
2 dt
A c
sin t
t
nuestra señal mensaje m(t) escalada por algún valor constante y se encuentra además una señal adicional que corresponde al ruido.
PSD del proceso nd(t)
El ruido antes de ingresar al diferenciador tiene componentes de: N t amplitud (Rayleigh) y el ángulo (uniforme). Pero, desconocemos la distribución del ángulo o fase , debemos notar además que corresponde a m(t) y podemos suponer que dicha fase tiene un comportamiento determinístico (aunque no en el sentido estricto dado que el audio y voz tienen comportamientos aleatorios).
…Continuación
Suponemos que el ruido a la salida del discriminador es independiente de m(t) y depende de las caracteristicas de la portadora y del ruido de banda angosta. (solo si el SNR de entrada es alto. ) Expresion simplificada de n d n d t
nQ
V L
d
N t sin
t
(2.8a)
2 A c dt
:es la componente de ruido pasobanda en cuadratura n d t
V L
d
2 A c dt
n t Q
(2.8b)
…Continuación
Debemos obtener la PSD de la derivada de la componente de ruido en cuadratura ( n (Gaussiano) con media cero y varianza N )
Q
0
PSD a la salida del diferenciador
Recuerden una propiedad importante de señales aleatorias procesadas por sistemas lineales:
S nq ( f )
S nd
H f j j 2 f
f
H f
2
S nq ( f )
…Continuación
Relacion PSD de salida con la PSD de entrada: S nf
V L 2 f H f 2 A c
2
S nQ f
(2.9) H f :respuesta de frecuencia del sistema lineal diferenciador, y ésta por propiedades de Fourier resulta ser: (2.10) H f j f 2
La magnitud de H(f) es 2 f y S f N tanto la expresion (2.9) se convierte en: nQ
2
S nd
2
V L f N ; f 2 0 A c
f
B T 2
0
por (2.11)
Grafica de la PSD resultante
B:es T
el ancho de banda total en FM generalmente mayor que el ancho de banda de la señal m(t) usando la Regla de Carson tenemos: (2.12) B T 2
f
1 B
…Continuación
A la salida del discriminador del receptor viene un detector de envolvente, este tiene un dispositivo no lineal que captura la amplitud o envolvente de la señal y luego lo pasa a traves de un filtro paso bajo con ancho de banda igual al de la señal mensaje ( B ). Con esto debemos notar que el proceso de ruido descrito en la figura (2.5) atraviesa otro sistema lineal (en este caso es el filtro paso bajo), por lo que la PSD del ruido resulta ser:
PSD del ruido
Potencia del ruido (integrando la PSD del ruido):
P nd
B
S nd
2
2
V L 2 2 V L df N 0 f df N 0 B A 2 2 3 A c c B
3
(2.13)
…Continuación
La potencia de la señal detectada se obtiene a partir de la ecuación (2.7): P V K m t (2.14) 2
s
L
2
f
Modificando la ecuación 2.14 para que dependa de el índice de modulación FM. ( ) f
V p
: valor máximo pico de m(t)
señal mensaje normalizada: m
n
t
m t V P
(2.15)
…Continuación
•
La desviación máxima de frecuencia en FM : F K V (2.16) El índice de modulación en FM: K V F (2.17) f
•
f
f
Despejando K
f
B
p
B
: K
p
f
f B V p
(2.18)
…Continuación
•
Reemplazando la expresión (2.18) y (2.15) en la ecuación de potencia de señal recibida (2.14) tenemos: P V B m t (2.19) • Finalmente, el SNR de salida resulta al combinar las expresiones (2.13) y (2.19), 3 A m t (2.20) P S 2
s
L
2
2
f
2
n
s
P nd N out
•
2
2
2
c
f
n
2 N 0 B
El SNR de la entrada segun la expresion (1.8) se puede expresar nuevamente como: A A S (2.21) N in
