Definisi Formal Limit

O L E H Budi Irwansyah 087021054

Sekolah Pasca Sarjana Matematika Edukator Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara 2009

The world’s largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





DEFINISI FORMAL LIMIT

Sejak dari SMU kita sudah belajar konsep limit. Secara intuitif notasi mempunyai arti apa yang terjadi dengan nilai

kalau kita buat

juga mendekati suatu nilai tertentu, katakan

mendekati . Jika

maka kita katakan

.

Lebih tepatnya notasi ini mempunyai arti bahwa nilai dapat kita buat sedekat mungkin dengan asalakan cukup dekat dengan (tanpa membuat ). Untuk membuat formal konsep ini kita harus memperjelas apa yang kita maksud dengan "dapat di buat sedekat mungkin" dan "cukup dekat". Konsep dapat dibuat sedekat mungkin dapat diformalisasi dengan mengatakan bahwa untuk setiap

.

Lengakapnya sebagai berikut :

berarti bahwa untuk setiap

sedemikan sehinnga jika

maka

ada

.

Contoh Buktikan bahwa Diberikan sebarang

. . Kita bekerja secara terbalik. Tujuan kita adalah membuat

dengan mengambil suatu ekivalen dengan kita misalkan

tertentu. Perhatikan bahwa

. Perhatikan bahwa maka

membuat

. JIka

dan akibatnya

. Sekarang untuk

maka kita cukup mengambil

.

Ok sekarang bukti formalnya kita tulis sebagai b erikut. Diberikan

. Ambil

. Jika

maka

. Dari sini kita peroleh and we are done!

Definisi : f ( x) Dikatakan lim x c →

=

L , adal adalah ah bahwa bahwa untuk untuk seti setiap ap ε

> 0 yang

diberikan berapapun kecilya, terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga |f(x) – L | < ε untuk setiap 0 < | x – c| < δ . Dengan menggunakan definisi limit di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok tentang limit suatu fungsi sebagai berikut : 1.

lim k = k , jika k suatu konstanta.

x →c





5.

lim f ( x ).g( x ) = lim lim f ( x ). lim lim g( x ) x →c

x →c

x →c

6. Huku Hukum m sub subst stit itus usii : lim g(x) Jika xlim → c

7. 8.

lim lim

1

x →c g(x)

=

1 L

=

L dan

lim f(x)

=

f(L), maka

x →c

lim f(g(x))

f(L)

=

x →c

jika lim lim g(x) = L dan L ≠ 0. x →c

lim lim f(x) →c x = lim lim , jika lim lim g(x) lim lim g(x) x →c g(x) x →c x →c f(x)

≠ 0.

9. Teor eorema ema Api Apitt : Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi : lim lim f(x) = lim lim h(x) = L maka x →c

x →c

lim lim g(x) = L. x →c

Bukti-bukti dari teorema-teorema limit utama di atas adalah : lim k = k. 1. Buktikan k lim →c

Bukti : Untuk setiap bilangan positip ε > 0 berapapun berapapun kecilnya akan didapat δ >0 sedemikian untuk setiap x pada |x – c| < δ dipenuhi |k – k| < ε . Dari |k – k| = 0, maka berapapun nilai δ > 0 yang diambil yang menyebabkan |x – c| < δ akan berakibat |k – k| < ε .

lim (ax 2. Buktikan xlim → c

b) = ac + b. b. + b)

Bukti : Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu ε > 0 betapapun kecilnya, akan ditemukan δ > 0 sedemikian hingga 0 < |x – c| < δ ⇒ |(ax + b) – (ac + b)| < ε . Sekarang dari |(ax + b) – (ac +b)| = |ax – ac| = |a(x – x)| ≤ |a| x – c|. ε

Kelihatan bahwa δ = | a | akan memenuhi persyaratan di atas. Sehingga jika diberikan ε > 0 betapapun kecilnya dan dipilih δ = 0 < |x – c| < δ menunjukkan :

ε

|a |

maka





m k f(x) 3. Buktikan : xli→ c

= k lim f(x)

x →c

Bukti : m f(x) Misalkan xli→ c

=

L

Misalkan diberikan ε > 0, kita harus harus mendapatkan δ > 0 sedemikian hingga ε

ε

0 < |x – c| < δ berakibat |f(x) – L| < | k | (mengingat | k | > 0 juga). Sekarang dengan telah ditetapkan δ , kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap x ε

yang terletak 0 < |x – c| < δ berlaku : |k f(x) – kL| = |k||f(x) – L| < |k| | k | = ε . Ini menunjukkan bahwa : lim k f(x)

=

kL

=

k lim f(x).

x →c

x →c

+ g(x)) =

lim (f(x) 4. Buktikan xlim →c

lim lim f(x) + lim lim g(x) x →c

x →c

Bukti : f(x) Andaikan xlim →c

= L dan

lim g(x) = M x →c

.

Jika ε sebarang bilangan positip yang diberikan, maka Karena

lim lim f(x) = L, x →c

ε

2

adalah positip.

maka maka terdap terdapat at suatu suatu bilanga bilangan n positi positip p δ , sedemikian sedemikian

hingga: 0 < |x – c| <

Karena

⇒ |f(x) – L| <

δ 1

lim lim g(x) = M, x →c

ε

2

.

maka terdapat suatu bilangan positip δ

2

sedemikian

hingga : 0 < |x – c| < δ

⇒ |g(x) – M| <

ε

. 2 Pilih δ = min {δ 1, δ 2}, yaitu pilih δ sebagai sebagai yang terkecil diantara diantara δ 1 dan δ 2, maka 0 < |x – c| < δ menunjukkan |(f(x) + g(x)) – (L + M)| = |(f(x) – L) + 2

(g(x) – M)| ≤ |f(x) – L| + |g(x) – M| < m (f(x) Jadi xli→ c

ε

2

+

ε

2

=ε .

lim f(x) + lim g(x). + g(x)) = L + M = lim x →c

x →c

Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa : lim (f(x) - g(x)) x →c

=

L-M

=

lim f(x) - lim g(x). x →c

x →c





m f(x) Misal xli→ c

= L dan

lim g(x) = M. x →c ε

ε

Jika diberikan sembarang ε > 0 maka 2(| L | 1 > 0 dan 2(| M | 1) > 0. + + Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan ε > 0, kita harus mendapatkan bilangan δ > 0 sedemikian hingga untuk : 0 < |x – a| < δ berakibat |f(x) . g(x) – L . M| < ε . Untuk : |f(x) . g(x) – L . M| = |f(x) . g(x) – L . g(x) + L . g(x) – L . M| ≤ |g(x)| . |f(x) – L| + |L| g(x) – M| … (2). m f(x) Dari xli→ c

δ

=

L,

berarti terdapat δ

1

> 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| <

ε

2

berakibat |f(x) – L| <

lim g(x) Dan dari xlim →c

x| < δ

=M

2(| M | +1)

… (3)

, berarti terdapat δ

2

> 0 sedemikian hingga jika 0 < |x –

ε

berakibat |g(x) – L| < 2(| L | +1 … (4). Selanjutnya terdapat bilangan ketiga δ 3 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| < δ 3 berakibat |g(x) – M| < 1 yang berarti |g(x)| < |M| + 1 …….(5) Sekarang kita pilih δ bilangan terkecil dari ketiga bilangan positip δ 1, δ 2 dan δ 3. Dan jika substitusi (3), (4) dan (5) ke dalam (2), akan diperoleh jika |x – c| < δ berakibat : |f(x) . g(x) – LM ≤ |g(x)| . |f(x0 – L| + |L| . |g(x) – M| 2

< (|M + 1| . <

ε

2

+

ε

2

ε

2(| M | +1)

+|

L|.

ε

2(| L | +1)

= ε.

Kenyataan ini berarti terbukti bahwa : lim f(x) . g(x) = L.M = lim f(x) . lim g(x)

x →c

x →c

m g(x) 6. Bukt Buktik ikan an jika ika xli→ c

=

x →c

L dan

lim f(x)

=

f(L), maka

x →L

lim f(g(x))

=

Bukti : Misalkan Misalkan diberikan diberikan ε > 0, kita kita harus harus mendapa mendapatka tkan n suatu suatu bilanga bilangan n δ sedemikian hingga apabila 0 < |x – a| < δ berakibat |f(g(x) – f(L)| < ε . Dari

lim y →L

f(y)

=L, terdapat δ

1

= L,

> 0

> 0 sedemikian sedemikian hingga, hingga, untuk untuk 0 < |y – L| < δ

akan berakibat |f(y) – f(L)| < ε ………. (1). m g(x) Dan dari xli→ c

f(L).

x →c

kita dapat memilih δ > 0 sedemikian hingga jika

0 < |x – c| < δ berakibat |g(x) – L| < δ

1

atau |y – L| < δ

1

dimana y = g(x).

1





lim g(x) 7. Bukt Buktik ikan an : Ji Jika lim

= L dan

L ≠ 0 maka

x →c

Bukti : Misalkan diberikan ε

> 0, kita akan menemukan δ 1

1 g( x )

m g(x) Dari xli→ c

1 L

−

=

=

−

1

L

1

=

x →c g(x)

apabila dipenuhi 0 < |x – c| < δ berakibat g ( x ) Sekarang

1

lim

L

.

> 0 sedemikian hingga,

<ε.

L −g ( x ) . L . g(x)

L maka

lim h . g(x)

=

L2 .

x →c

Dengan definisi limit, jika diambil ε hingga, japabila 0 < |x – c| < δ

L2 . akan diperoleh 2

=

δ

1

sedemikian

dipenuhi | L . g(x) – L2| < ε atau L2 - ε < L .

1

L2

g(x) < L + ε dan jika diambil ε = 2

maka

2

L2 2

<

L . g(x)

Dari sini sini berart berartii L . g(x) g(x) positip, positip, sehingg sehinggaa kita peroleh peroleh

<

2 L2

3L 2 2

>

.

1 L.g ( x )

untuk

0 < |x – c| < δ 1. Selanjutnya : L −g( x )

=

| L −g ( x ) |

L.g ( x )

<

L.g ( x )

2 L2

| L −g ( x ) | untuk 0 <| x - c | < δ1 .

Terakhir diperoleh δ 2, sedemikian hingga untuk setiap x yang memenuhi 0 < |x – c| < δ dan δ

2

2

2 berakibat |L – g(x)| <

2

. Jika diambil δ yang terkecil dari δ

maka untuk setiap x yang memenuhi : 0 < |x – c| < δ berakibat :

L −g ( x ) L.g( x )

<

2 L2

| L −g( x ) |<

2 L2

2

.

εL

Ini menunjukkan bukti bahwa lim

2

x →c

8. Buktikan : lim

x →c

f(x) g(x)

= ε.

1 f(x)

=

1 L

jika L ≠ 0.

lim f(x) =

x →c

lim g(x) x →c

Bukti :

εL

jika lim g(x) ≠ 0 x →c

1







lim x →c

f(x) g(x)

=

lim f(x) . x →c

=

g(x) 1

lim f(x) . lim x →c

=

1

x →c

g(x)

1

lim f(x) .

lim f(x)

x →c

jika lim g(x)

≠0

x →c

jika lim g(x)

≠0

x →c

x →c

lim f(x) =

x →c

lim g(x) x →c

9. Buktik Buktikan an teor teorema ema apit apit,, bahwa bahwa jika jika f(x) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pada interval yang memuat lim f(x) c dan dipenuhi xlim →c

=

lim h(x) x →c

=L

maka

lim lim g(x)

= L.

x →c

Bukti : Jika diberikan ε > 0, akan kita dapatkan δ 1 > 0 dan δ 2 > 0 sedemikian hingga : Jika 0 < |x – c| < δ 1 berakibat |f(x) – L| < ε , dan jika 0 < |x – c| < δ 2 berakibat |h(x) – L| ε . Dan jika kita pilih δ > 0 yang terkecil dari dua bilangan δ 1 dan δ 2 maka jika dipenuhi 0 < |x – c| < δ berakibat f(x) dan g(x) keduanya terletak pada interval terbuka (L - ε , L + ε ). Sehingga : L - ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε . Jadi jika : 0 < |x – c| < δ berakibat |g(x) – L| < ε . Ini menunjukkan bahwa teorema apit ap it telah terbukti. Latihan Buktikan bahwa

Definisi Formal Limit

Recommend Documents