O L E H Budi Irwansyah 087021054
Sekolah Pasca Sarjana Matematika Edukator Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara 2009
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
DEFINISI FORMAL LIMIT
Sejak dari SMU kita sudah belajar konsep limit. Secara intuitif notasi mempunyai arti apa yang terjadi dengan nilai
kalau kita buat
juga mendekati suatu nilai tertentu, katakan
mendekati . Jika
maka kita katakan
.
Lebih tepatnya notasi ini mempunyai arti bahwa nilai dapat kita buat sedekat mungkin dengan asalakan cukup dekat dengan (tanpa membuat ). Untuk membuat formal konsep ini kita harus memperjelas apa yang kita maksud dengan "dapat di buat sedekat mungkin" dan "cukup dekat". Konsep dapat dibuat sedekat mungkin dapat diformalisasi dengan mengatakan bahwa untuk setiap
.
Lengakapnya sebagai berikut :
berarti bahwa untuk setiap
sedemikan sehinnga jika
maka
ada
.
Contoh Buktikan bahwa Diberikan sebarang
. . Kita bekerja secara terbalik. Tujuan kita adalah membuat
dengan mengambil suatu ekivalen dengan kita misalkan
tertentu. Perhatikan bahwa
. Perhatikan bahwa maka
membuat
. JIka
dan akibatnya
. Sekarang untuk
maka kita cukup mengambil
.
Ok sekarang bukti formalnya kita tulis sebagai b erikut. Diberikan
. Ambil
. Jika
maka
. Dari sini kita peroleh and we are done!
Definisi : f ( x) Dikatakan lim x c →
=
L , adal adalah ah bahwa bahwa untuk untuk seti setiap ap ε
> 0 yang
diberikan berapapun kecilya, terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian hingga |f(x) – L | < ε untuk setiap 0 < | x – c| < δ . Dengan menggunakan definisi limit di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok tentang limit suatu fungsi sebagai berikut : 1.
lim k = k , jika k suatu konstanta.
x →c
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
5.
lim f ( x ).g( x ) = lim lim f ( x ). lim lim g( x ) x →c
x →c
x →c
6. Huku Hukum m sub subst stit itus usii : lim g(x) Jika xlim → c
7. 8.
lim lim
1
x →c g(x)
=
1 L
=
L dan
lim f(x)
=
f(L), maka
x →c
lim f(g(x))
f(L)
=
x →c
jika lim lim g(x) = L dan L ≠ 0. x →c
lim lim f(x) →c x = lim lim , jika lim lim g(x) lim lim g(x) x →c g(x) x →c x →c f(x)
≠ 0.
9. Teor eorema ema Api Apitt : Misalkan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi : lim lim f(x) = lim lim h(x) = L maka x →c
x →c
lim lim g(x) = L. x →c
Bukti-bukti dari teorema-teorema limit utama di atas adalah : lim k = k. 1. Buktikan k lim →c
Bukti : Untuk setiap bilangan positip ε > 0 berapapun berapapun kecilnya akan didapat δ >0 sedemikian untuk setiap x pada |x – c| < δ dipenuhi |k – k| < ε . Dari |k – k| = 0, maka berapapun nilai δ > 0 yang diambil yang menyebabkan |x – c| < δ akan berakibat |k – k| < ε .
lim (ax 2. Buktikan xlim → c
b) = ac + b. b. + b)
Bukti : Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu ε > 0 betapapun kecilnya, akan ditemukan δ > 0 sedemikian hingga 0 < |x – c| < δ ⇒ |(ax + b) – (ac + b)| < ε . Sekarang dari |(ax + b) – (ac +b)| = |ax – ac| = |a(x – x)| ≤ |a| x – c|. ε
Kelihatan bahwa δ = | a | akan memenuhi persyaratan di atas. Sehingga jika diberikan ε > 0 betapapun kecilnya dan dipilih δ = 0 < |x – c| < δ menunjukkan :
ε
|a |
maka
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
m k f(x) 3. Buktikan : xli→ c
= k lim f(x)
x →c
Bukti : m f(x) Misalkan xli→ c
=
L
Misalkan diberikan ε > 0, kita harus harus mendapatkan δ > 0 sedemikian hingga ε
ε
0 < |x – c| < δ berakibat |f(x) – L| < | k | (mengingat | k | > 0 juga). Sekarang dengan telah ditetapkan δ , kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap x ε
yang terletak 0 < |x – c| < δ berlaku : |k f(x) – kL| = |k||f(x) – L| < |k| | k | = ε . Ini menunjukkan bahwa : lim k f(x)
=
kL
=
k lim f(x).
x →c
x →c
+ g(x)) =
lim (f(x) 4. Buktikan xlim →c
lim lim f(x) + lim lim g(x) x →c
x →c
Bukti : f(x) Andaikan xlim →c
= L dan
lim g(x) = M x →c
.
Jika ε sebarang bilangan positip yang diberikan, maka Karena
lim lim f(x) = L, x →c
ε
2
adalah positip.
maka maka terdap terdapat at suatu suatu bilanga bilangan n positi positip p δ , sedemikian sedemikian
hingga: 0 < |x – c| <
Karena
⇒ |f(x) – L| <
δ 1
lim lim g(x) = M, x →c
ε
2
.
maka terdapat suatu bilangan positip δ
2
sedemikian
hingga : 0 < |x – c| < δ
⇒ |g(x) – M| <
ε
. 2 Pilih δ = min {δ 1, δ 2}, yaitu pilih δ sebagai sebagai yang terkecil diantara diantara δ 1 dan δ 2, maka 0 < |x – c| < δ menunjukkan |(f(x) + g(x)) – (L + M)| = |(f(x) – L) + 2
(g(x) – M)| ≤ |f(x) – L| + |g(x) – M| < m (f(x) Jadi xli→ c
ε
2
+
ε
2
=ε .
lim f(x) + lim g(x). + g(x)) = L + M = lim x →c
x →c
Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa : lim (f(x) - g(x)) x →c
=
L-M
=
lim f(x) - lim g(x). x →c
x →c
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
m f(x) Misal xli→ c
= L dan
lim g(x) = M. x →c ε
ε
Jika diberikan sembarang ε > 0 maka 2(| L | 1 > 0 dan 2(| M | 1) > 0. + + Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan ε > 0, kita harus mendapatkan bilangan δ > 0 sedemikian hingga untuk : 0 < |x – a| < δ berakibat |f(x) . g(x) – L . M| < ε . Untuk : |f(x) . g(x) – L . M| = |f(x) . g(x) – L . g(x) + L . g(x) – L . M| ≤ |g(x)| . |f(x) – L| + |L| g(x) – M| … (2). m f(x) Dari xli→ c
δ
=
L,
berarti terdapat δ
1
> 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| <
ε
2
berakibat |f(x) – L| <
lim g(x) Dan dari xlim →c
x| < δ
=M
2(| M | +1)
… (3)
, berarti terdapat δ
2
> 0 sedemikian hingga jika 0 < |x –
ε
berakibat |g(x) – L| < 2(| L | +1 … (4). Selanjutnya terdapat bilangan ketiga δ 3 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| < δ 3 berakibat |g(x) – M| < 1 yang berarti |g(x)| < |M| + 1 …….(5) Sekarang kita pilih δ bilangan terkecil dari ketiga bilangan positip δ 1, δ 2 dan δ 3. Dan jika substitusi (3), (4) dan (5) ke dalam (2), akan diperoleh jika |x – c| < δ berakibat : |f(x) . g(x) – LM ≤ |g(x)| . |f(x0 – L| + |L| . |g(x) – M| 2
< (|M + 1| . <
ε
2
+
ε
2
ε
2(| M | +1)
+|
L|.
ε
2(| L | +1)
= ε.
Kenyataan ini berarti terbukti bahwa : lim f(x) . g(x) = L.M = lim f(x) . lim g(x)
x →c
x →c
m g(x) 6. Bukt Buktik ikan an jika ika xli→ c
=
x →c
L dan
lim f(x)
=
f(L), maka
x →L
lim f(g(x))
=
Bukti : Misalkan Misalkan diberikan diberikan ε > 0, kita kita harus harus mendapa mendapatka tkan n suatu suatu bilanga bilangan n δ sedemikian hingga apabila 0 < |x – a| < δ berakibat |f(g(x) – f(L)| < ε . Dari
lim y →L
f(y)
=L, terdapat δ
1
= L,
> 0
> 0 sedemikian sedemikian hingga, hingga, untuk untuk 0 < |y – L| < δ
akan berakibat |f(y) – f(L)| < ε ………. (1). m g(x) Dan dari xli→ c
f(L).
x →c
kita dapat memilih δ > 0 sedemikian hingga jika
0 < |x – c| < δ berakibat |g(x) – L| < δ
1
atau |y – L| < δ
1
dimana y = g(x).
1
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
lim g(x) 7. Bukt Buktik ikan an : Ji Jika lim
= L dan
L ≠ 0 maka
x →c
Bukti : Misalkan diberikan ε
> 0, kita akan menemukan δ 1
1 g( x )
m g(x) Dari xli→ c
1 L
−
=
=
−
1
L
1
=
x →c g(x)
apabila dipenuhi 0 < |x – c| < δ berakibat g ( x ) Sekarang
1
lim
L
.
> 0 sedemikian hingga,
<ε.
L −g ( x ) . L . g(x)
L maka
lim h . g(x)
=
L2 .
x →c
Dengan definisi limit, jika diambil ε hingga, japabila 0 < |x – c| < δ
L2 . akan diperoleh 2
=
δ
1
sedemikian
dipenuhi | L . g(x) – L2| < ε atau L2 - ε < L .
1
L2
g(x) < L + ε dan jika diambil ε = 2
maka
2
L2 2
<
L . g(x)
Dari sini sini berart berartii L . g(x) g(x) positip, positip, sehingg sehinggaa kita peroleh peroleh
<
2 L2
3L 2 2
>
.
1 L.g ( x )
untuk
0 < |x – c| < δ 1. Selanjutnya : L −g( x )
=
| L −g ( x ) |
L.g ( x )
<
L.g ( x )
2 L2
| L −g ( x ) | untuk 0 <| x - c | < δ1 .
Terakhir diperoleh δ 2, sedemikian hingga untuk setiap x yang memenuhi 0 < |x – c| < δ dan δ
2
2
2 berakibat |L – g(x)| <
2
. Jika diambil δ yang terkecil dari δ
maka untuk setiap x yang memenuhi : 0 < |x – c| < δ berakibat :
L −g ( x ) L.g( x )
<
2 L2
| L −g( x ) |<
2 L2
2
.
εL
Ini menunjukkan bukti bahwa lim
2
x →c
8. Buktikan : lim
x →c
f(x) g(x)
= ε.
1 f(x)
=
1 L
jika L ≠ 0.
lim f(x) =
x →c
lim g(x) x →c
Bukti :
εL
jika lim g(x) ≠ 0 x →c
1
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
The world’s largest digital library
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
lim x →c
f(x) g(x)
=
lim f(x) . x →c
=
g(x) 1
lim f(x) . lim x →c
=
1
x →c
g(x)
1
lim f(x) .
lim f(x)
x →c
jika lim g(x)
≠0
x →c
jika lim g(x)
≠0
x →c
x →c
lim f(x) =
x →c
lim g(x) x →c
9. Buktik Buktikan an teor teorema ema apit apit,, bahwa bahwa jika jika f(x) f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pada interval yang memuat lim f(x) c dan dipenuhi xlim →c
=
lim h(x) x →c
=L
maka
lim lim g(x)
= L.
x →c
Bukti : Jika diberikan ε > 0, akan kita dapatkan δ 1 > 0 dan δ 2 > 0 sedemikian hingga : Jika 0 < |x – c| < δ 1 berakibat |f(x) – L| < ε , dan jika 0 < |x – c| < δ 2 berakibat |h(x) – L| ε . Dan jika kita pilih δ > 0 yang terkecil dari dua bilangan δ 1 dan δ 2 maka jika dipenuhi 0 < |x – c| < δ berakibat f(x) dan g(x) keduanya terletak pada interval terbuka (L - ε , L + ε ). Sehingga : L - ε < f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε . Jadi jika : 0 < |x – c| < δ berakibat |g(x) – L| < ε . Ini menunjukkan bahwa teorema apit ap it telah terbukti. Latihan Buktikan bahwa