Laboratorio de Física Moderna Problema 1. La potencia de radiación de un cuerpo negro es de 34 Kw .Hallar la temperatura de este cuerpo si el área de su superficie es de 0,6m2. Datos: Rt = 34∙103W A = 0,6 m2 σ = 5,67∙10-8W·m-2·K-4 Solución: Si Rt es la potencia radiada por toda la superficie del cuerpo, entonces la potencia radiada por la unidad de superficie (radiancia) es igual a
Según la ley de Stefan-Bolttzman: R = σT 4. Por consiguiente,
Problema 2. Una lámina de color negro se encuentra colocada de manera tal que los haces de luz incidente caen sobre ella perpendicularmente. ¿Hasta que temperatura se calienta la lámina si en cada minuto caen 2 calorías por 1cm2de su superficie? Datos: U = 2 cal = 2∙4,1869 J = 8,3738 J A = 1cm2 = 1∙10-4m2 t = 1min = 60s σ = 5,67·10-8W· m-2·K -4
Solución: Consideramos que la lámina se comporta como un cuerpo absolutamente negro y que se encuentra en el equilibrio térmico. Esto significa que la energía que incide sobre la lámina es igual a la energía que ella emite. La energía recibida por la lámina por unidad de superficie y de tiempo (la radiancia R) es igual a
Sustituyendo R en la fórmula de Stefan-Boltzman R = σT4 por su valor numérico obtenido, se calcula la temperatura.
La temperatura de la lámina en grados Celsius es de 123° Problema 3. Calcule la temperatura de la superficie del sol, si se sabe que en el espectro de radiación del sol, lo corresponde una mayor emisión de energía a la longitud de onda de 4,75·10 -5cm. Considere que el sol emite como un cuerpo negro. Datos: λ = 4,75∙10-5cm = 4,75∙10-7m b = 289∙10-5 m∙K Solución: Utilizando la ley de desplazamiento de Wien, se calcula la temperatura T.
Problema 4. Generalmente se considera que el valor medio de la energía que emite 1 cm2 de la superficie terrestre en un minuto es de 0,13 calorías. Considerando la Tierra como un cuerpo negro, determine la temperatura media de su superficie y la longitud de onda a la cual corresponde el máximo de la energía que se radia. (1 cal = 4,18 J). Datos: A = 1 cm2 = 1·10-4m2 U = 0,13 cal = 0,13·4,18 J = 0,5434 J t = 1 min = 60 s σ = 5,67·10-8W·m-2·K-4. b = 289∙10-5m∙K Solución: La radiancia del cuerpo negro, es decir, la energía que emite en 1 s la unidad de superficie del cuerpo negro, se determina por la fórmula de Stefan-Boltzman R = σT4. De otro lado,
Por lo tanto,
La longitud de onda a la cual corresponde la radiancia máxima se calculautilizando la ley de Wien
Dondeb es la constante de Wien.
Así pues, el máximo del poder emisivo de la superficie terrestre corresponde a la parte de onda larga (infrarroja) del espectro. Hay que aclarar que la Tierra tendría la temperatura media tan baja (200K = -73°C), si faltara la atmósfera. La atmósfera absorbe la radiación de la Tierra y se calienta por ésta, pero, a su vez, la atmósfera calentada la emite. Una parte de esta radiación va a la Tierra y se absorbe por ella, originando el calentamiento de la superficie terrestre. Por eso la temperatura media real de la Tierra resulta mucho más alta que la calculada anteriormente. La atmósfera preserva la superficie terrestre de demasiado enfriamiento, crea un efecto invernadero Problema 5. Un cuerpo negro se calienta a una temperatura a) 10 6K, b) 103K. Calcule a que longitud de onda le corresponde la mayor cantidad de energía emitida. Datos: T1 = 1∙106K T2 = 1∙103K b = 289∙10 -5m∙K σ = 5,67∙10-8W∙m-2∙K-4 Solución: Aplicando la fórmula de la ley de desplazamiento de Wien
Se calcula la longitud de onda para la cual la radiancia espectral del cuerpo negro tiene valor máximo para cada temperatura. A la temperatura de 1∙106K corresponde la longitud de onda
Y a la temperatura de 1∙103K corresponde
La mayor cantidad de energía emitida corresponde la longitud de onda de 2,89∙10-9 m Problema 6. La temperatura de la superficie de las estrellas llamadas “enanas blancas” es de 1∙104K. ¿En qué parte del espectro se encuentra el máximo de su radiación? Datos: T = 1∙104K Solución: Utilizando la fórmula de la ley de desplazamiento de Wien, se calcula la longitud de onda λmáxque corresponde a la temperatura de 104K.
Esta longitud de onda corresponde a la parte ultravioleta del espectro. Las “enanas blancas” son las estrellas compactas cuya masa es del mismo orden que la masa del Sol y su radio son aproximadamente igual al 1% del radio del Sol. Las estrellas cuya temperatura es de 7∙104 K se llaman estrellas calientes. Y si la temperatura es de 5∙103 K las estrellas se laman frías. Problema 7. Sobre 1 cm2 de la superficie terrestre caen 1,92 calorías de energía térmica por minuto. Encuentre cuál es la temperatura de la superficie del sol, bajo la suposición que éste radia como un cuerpo negro. La distancia entre el sol y la tierra es 1,5·1011m y su radio es de 6,96∙108m. Datos:
A = 1 cm2= 1∙10-4 m2 t = 1 min = 60 s U = 1,92 cal = 8,064 J s = 1,5∙1011 m Rsol= 6,96∙108m. σ= 5, 67∙10-8 W∙m-2∙K-4 Solución: La energía irradiada por toda la superficie del sol US= (4πRsol2).RS,
(1)
Donde (4πRsol2) es el área de la superficie del sol;RS, la radiancia del sol. La energía que incide sobre la tierra por unidad de superficie y tiempo
(2) Por otro lado, según los datos del problema
(3) Sustituyendo US en la fórmula (2) por la expresión (1), obtenemos
(4) Según la ley de Stefan-Boltzman para el cuerpo negro la energía emitida por el sol por unidad de superficie y tiempo (la radiancia) es igual a: RS = σT4. Poniendo la última expresión en la igualdad (4) y sustituyendo UT por (3), se obtiene
Problema 8. Un cuerpo negro se encuentra a una temperatura 2900 K. Como resultado de enfriamiento de este cuerpo, la longitud de onda correspondiente a la radiancia espectral máxima sufrió una variación de 9 nm. ¿Hasta qué temperatura se enfrió el cuerpo? Datos: T1 = 2900 K Δλ = 9 nm = 9∙10-9m b = 289∙10-5K∙m Solución: Según la ley de desplazamiento de Wien para el cuerpo negro λT = b = Const. En el caso de enfriamiento la temperatura del cuerpo disminuye (T2< T1), por lo que la longitud de onda λmáx aumenta (ver la figura). Pues, entonces
Como λmáxT = Const., entonces se puede escribir
(1) Según la ley de desplazamiento de Wien
Sustituyendo λ1máx en la expresión (1), se obtiene
Poniendo los valores numéricos del problema, se calcula la temperatura T2.
Problema 9. Un filamento metálico cuyo diámetro es 0,2 mm se calienta con corriente eléctrica hasta una temperatura de 3000 K. Calcule que tiempo demorará en enfriarse, después de apagarse (desconectarse), hasta una temperatura de 800 K. Considere que el filamento emite como un cuerpo negro y que no recibe ninguna energía del medio que le rodea. Desprecie cualquier efecto que produzca la perdida de su energía. La densidad del filamento es 19 g/cm3 y el calor específico es 0,037 cal/ (g·K). (1 cal = 4,1868J). Datos: d = 0,2mm = 2∙10-4 m T1 = 3∙103 K T2 =8∙102 K ρ = 19 g/cm3 = 19∙103 kg/m3 c = 0,037 Cal/ (g∙K) = 154, 9 J/ (kg∙K) σ = 5, 67∙10-8 W/ (m2∙K4) Solución: Si A es el área de la superficie del filamento y R es la energía emitida por el filamento por unidad de tiempo y superficie (la radiancia), entonces la energía U emitida por la superficie del filamento en unidad de tiempo es igual a U = RA. El área de la superficie del filamento A = (πd) l, donde l es la longitud del filamento. Según la ley de Stefan-Boltzman
R = σT4.
Por lo tanto,
U = σT4 (πd) l.
(1)
Durante el tiempo dt la temperatura del filamento disminuye en dT y el filamento pierde una energía
Udt = - mcdT, Dondem es la masa del filamento y c es el calor especifico del material del filamento. Sustituyendo U por la expresión (1), se obtiene
σT4 (πd) ldt = - mcdT,
Integrando la última expresión, tenemos
(2) La masa del filamento m = Vρ, donde V es su volumen.
Sustituyendo m en la expresión (2), obtenemos para el tiempo lo siguiente
Rectificando las unidades y poniendo los valores numéricos del problema, se obtiene
El filamento se enfríe rápidamente ya que la radiancia es directamente proporcional a T4 Problema 10. A partir de la fórmula de Planck para la radiancia espectral encontrar: a) la ley de Stefan-Boltzman, b) la ley de desplazamiento de Wien. Solución: a) Planck descubrió la forma de la función Rλ = f (λ, T):
(1) Donde C1 y C2 son constantes. C1= 2πc2h y C2 = hc/k; k = 1,38066·10-23J/K es la constante de Boltzman; c = 2,9979·108m/s, la velocidad de la luz y h = 6,626176·10-34J.s, la constante de Planck. Esta fórmula responde a los datos experimentales y de ella pueden deducirse directamente, como casos particulares, la ley termodinámica de Stefan-Boltzman y la ley de deslazamiento de Wien. La radiancia R (es decir, la cantidad total de energía radiante emitida por el cuerpo por unidad de superficie y tiempo) del cuerpo negro se puede obtener integrando la radiación emitida en todos los intervalos de longitud de onda:
(2) DondeRλ es la radiancia espectral. Si la distribución de la energía entre las zonas del espectro del cuerpo negro se representa en la escala de frecuencias, en lugar de Rλ hay que tomar la radiancia Rν referida a un intervalo unidad de frecuencias. Entonces,
Rλdλ = Rνdν
(3)
Y la expresión (2) se presenta en forma
(4) Y como λ = c/ν, donde c es la velocidad de la luz en el vacío, │dλ│= cν-2dν, y poniendo este valor en (3), obtenemos:
Sustituyendo en la fórmula (1) λ por c/ν (λ = c/ν), la fórmula de Planck se transforma en la siguiente expresión:
Y, por consiguiente,
(5) Poniendo la expresión (5) en (4), se obtiene la energía total emitida por el cuerpo
Utilicemos el método de integración por sustitución. Podemos introducir una nueva variable
Entonces,
Donde
Por lo tanto,
Sustituyendo las constantes C1 y C2 por sus respectivas expresiones, se obtiene
Donde b) Para obtener le ley de desplazamiento de Wien, utilizando la fórmula de Planck, es necesario encontrar analíticamente la expresión de la posición del máximo en la curva que responda a la distribución de la radiancia del cuerpo negro entre las longitudes de onda. Para esto es necesario encontrar el valor λ = λmáx para el cual la función Rλ= f (λ, T) para la temperatura constante tiene su valor máximo, por lo que debe cumplirse la condición
Sacando factor común, se obtiene
De aquí tenemos
Realizando el cambio de variable
(1) Tendremos
Si x es suficientemente grande se puede despreciar el 1 en el denominador, comparando con ex, entonces ya tenemos una primera solución aproximada para x:
Tomando este valor como punto de partida, podemos encontrar el valor real de x. Por ejemplo, utilizando el método de aproximaciones sucesivas, obtendremos x1= 4,965. Sustituyendo x en la expresión (1) por el valor numérico encontrado de x1, se obtiene
DondeC2/5 = b, que es la constante de la ley de desplazamiento de Wien. Calculando b, se obtiene su valor numérico
Es evidente, que para demostrar que λT = const no es necesario calcular el valor numérico de x, ya que λT = C2/x = const. Rt = 0,92∙ 5,67∙10-8∙ (103)4∙3,14∙0,15∙10-2∙1 = 245,69(W) Problema 11. Una superficie metálica de 10cm2 de área, se encuentra a una temperatura de 2500 K y emite durante un minuto una energía térmica de 4 x 10 4 J. Encuentre: a) la energía emitida por la superficie si fuera un cuerpo negro, y b) la razón de la radiancia de esta superficie a la de un cuerpo negro de igual área y a la misma temperatura. a )sisecomportacomouncuerponegro
5.67 108Wtt / (m2 K 4 ) 2
1m 1m 2 2 A 10cm 10cm 10 cm 2 100cm 10000cm 2
2
103 m 2 t60 s T 2500 K E tAT 4 (5.67 108 )(60)(10 3 )(2500) 4 1.33 105 J
b) energia termica emitida por la superficie : 4 10 4 J energia termica emitida sisecomporta comouncuerponegro: 1.328906250 105 J
porcentaje :
4 10 4 J 100% 30.09994121% 1.328906250 105 J
Problema 12. El espectro de la luz visible (luz blanca) incluye longitudes de onda comprendidas entre 380nm (violeta) y780nm (roja) a) Determinar la frecuencia de la radiación correspondiente a estos colores. b) Calculé conforme a la hipótesis de Planck, la energía de loa fotones que corresponden a la luz violeta y luz roja. c) cuantos fotones de luz roja son necesarios para cumular 3J de energía.
Datos: c=3,00. 108 ms−1 , h=6,63.10−34 Js Solución: Para la pregunta a: luzvioleta :v 1=
luzroja: v 2=
C 3,00.10 8 14 = =8,57. 10 Hz ⋋1 350. 10−9
C 3,00. 108 14 = =3,85.10 Hz ⋋ 2 780.10−9
Para la pregunta b: −34
EVioleta :hv 1=6,626. 10
−34
E Roja : hv 2=6,626.10
14
−19
.8,57 . 10 =5,68. 10 14
−19
.3,85 .10 =2,55.10
J
J
Para la pregunta c: 3J −18 =1,18. 10 fotones −1 2,55. 10 J foton −19
Problema 13. Un cuerpo está radiando energía conforme a la hipótesis de Planck. a) Determina la energía de un cuanto, cuya longitud de onda es de 25nm. b) Calcule la frecuencia correspondiente dicho cuanto de energía. ⋋=25 nm Datos: Solución: a ¿ E=hv=h
b¿v=
8 C −34 3,00. 10 −18 =6,626.10 =8,0. 10 J −9 ⋋ 25.10
C 3,00.10 8 16 = =1,2. 10 Hz −9 ⋋ 25. 10
Problema 14.
¿Qué longitud de onda debe tener un fotón para ionizar un átomo de cesio con potencial de ionización de 3,88V? Datos: V = 3,88V h = 6,626∙10-34J·s e = 1,602∙10-19C Solución: La ionización de un átomo es la separación de uno o varios electrones del átomo. Para que el átomo se ionice el electrón debe realizar un trabajo (energía de ionización E0) contra las fuerzas de atracción entre el electrón y el resto de las partículas que componen el átomo, o sea, compensar la energía de enlace del electrón. La energía necesaria el electrón adquiere del fotón de la luz que él lo absorbe. La energía del fotón depende de la longitud de onda y es igual a hν, donde ν es la frecuencia de la luz y h es la constante de Planck. De modo que tendremos hν = E0. La energía de ionización ionización.
E0 = eV, donde V es el potencial de
Por lo tanto hν = eV. Sustituyendo ν por c/λ (ν = c/λ), se obtiene
Poniendo los valores numéricos del problema, tenemos
Problema 15. Determinar la velocidad de un electrón emitido de una superficie de plata iluminada con luz monocromática de longitud de onda de 1500 Å. La longitud de onda a la cual comienza a manifestar este efecto es de 2600 Å.
Datos: λ0 = 2600 Å = 260∙10-9 m λ = 1500 Å = 150∙10-9 m h = 6,626∙10-34 J∙s c = 3∙108 m/s m =9,109∙10-31 kg Solución: La ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico es hν = E0 + Ec, máx,
(1)
Donde hν es la energía del fotón; E0 el trabajo de salida del electrón del metal; Ec, máx= mυ2/2, la energía cinética máxima del electrón que se desprende del metal. La energía necesaria para arrancar el electrón del metal E0 = hν0, Donde ν0 = c/λ0 es la frecuencia umbral (de corte) debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico. Por consiguiente,
Sustituyendo ν por c/λ , E0 por hc/λ0 ecuación (1), se obtiene
y
Ec,máx por mυ2/2 en la
Rectificando las unidades y poniendo los valores numéricos, se obtiene
Problema 16. Determine el trabajo de extracción de un electrón en el efecto fotoeléctrico, si longitud de onda a la cual se produce el efecto fotoeléctrico es menor que
295·10-6 mm. Datos: λ0 = 295∙10-6 mm = 295∙10-9 m h = 6,626∙10-34 J∙s c = 3∙108 m/s 1e.υ. = 1,6·10-19 J Solución: La energía necesaria para la realización del trabajo de extracción de un electrón se calcula por la fórmula E0 = hν0, Donde ν0 es la frecuencia de corte por debajo de la cual no se produce el efecto fotoeléctrico. Sustituyendo ν0 por c/λ0, se calcula E0.
Problema 17. Hallar la frecuencia de la luz que arranca los electrones de la superficie de un metal que se retardan por un potencial retardador de 3 V. En este metal el efecto fotoeléctrico comienza cuando la frecuencia de la luz que incide sobre él es de 6.1014 Hz. Hallar el trabajo necesario para arrancar el electrón de este metal. Datos: V0 = 3V ν0 = 6∙1014 Hz = 6∙1014s-1 Solución: El trabajo necesario para arrancar el electrón del metal se calcula por la fórmula E0 = hν0, Donde ν0 es la frecuencia de corte. E0 = 6,626∙10-34J∙s∙6∙1014s-1 = 3,98∙10-19J.
Entre la energía cinética máxima y el potencial retardador existe la siguiente relación:
Ec,máx = eV0, Donde e es la carga del electrón y V0 es el potencial retardador. Sustituyendo
Ec, máx por eV0 en la ecuación de Einstein, obtenemos
hν = E0 + eV0. Por consiguiente,
Problema 18. Un fotón de radiación de rayos X con longitud de onda 0,1 nm cae sobre un electrón débilmente enlazado de un elemento ligero y se desvía 90º de su dirección inicial. Calcule la energía que adquiere el electrón después del choque y la dirección de su movimiento. Datos: λ = 0,1 nm = 1∙10-10 m φ = 90º h = 6,626∙10-34 J∙s c = 3∙108 m/s m = 9,1∙10-31 kg Solución: La variación de la longitud de onda de los rayos X cuando se produce la difusión de Compton se determina por la fórmula:
(1) Siendo φ el ángulo de difusión y m la masa del electrón en reposo. Sustituyendo en esta igualdad (1-cosφ) por 2sen2φ/2 y teniendo en cuenta que Δλ = λ’ -λ, obtenemos: (2)
(3) Si la energía del fotón primario es hν y la del fotón difuso hν’, tendremos que, de acuerdo con la ley de la conservación de la energía, la energía Ec adquirida por el electrón vendrá expresada por la igualdad:
Sustituyendo ν por c/λ y ν’ por c/λ’, tenemos:
(4) Poniendo las expresiones (2) y (3) en la igualdad (4), se tiene:
Donde A =h/ (mc). La constante A = 0,02426 Å suele llamarse longitud de onda Compton. Rectificando las unidades y poniendo los datos numéricos del problema, hallamos la energía del electrón después del choque:
Hallamos ahora la razón de la energía del electrón de retroceso Ec a la energía del fotón incidente hν = hc/λ.
En general, el electrón obtiene una pequeña parte de la energía del fotón. En el caso nuestro solamente 0,024 (2,4%) de la energía del fotón. La fig.1 muestra el movimiento del electrón a) antes de la colisión y b) después de la colisión. Para determinar la dirección del movimiento del electrón después de la colisión es necesario calcular el ángulo α bajo el cual está dirigido su movimiento (fig.1b).
a)
b) Fig.1
Fig.2
De acuerdo con la ley de la conservación de la cantidad de movimiento en forma vectorial tenemos la ecuación pf = pf’ + pe, (5) Donde pf (pf = hν/c = h/λ) es la cantidad de movimiento del fotón antes de la colisión, pf’ (pf’ = hν’/c = h/λ’) es la cantidad de movimiento del fotón difuso y pe es la cantidad de movimiento del electrón después de la colisión. pe = mυ, donde υ es la velocidad del electrón. La cantidad de movimiento del electrón antes del choque es igual a cero ya que en reposo su velocidad es cero. Gráficamente el vector pf es la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores pf’ y mv (fig.2). Los ángulos φ y α representan, respectivamente, los ángulos bajo los cuales tienen lugar la difusión del fotón y la aparición del electrón de retroceso. De la fig.2 se deduce que
Poniendo en lugar de pf y pf’ sus valores respectivos h/λ y h/λ’, podemos escribir esta igualdad de forma siguiente
Sustituyendo λ’ por la expresión (3), obtenemos
Problema 19. ¿Con qué fuerza se atraen el núcleo y el electrón en la primera órbita del átomo de hidrógeno? ¿Cuántas veces es esta fuerza mayor que la fuerza gravitacional que actúa entre el núcleo y el electrón? Datos:
me = 9,109∙10-31 kg mp = 1840∙9,109∙10-31 kg
G = 6,672∙10-11 N∙m2∙kg-2 r = 0,53∙10-10 m n=1 ε0 = 8,854∙10-12F∙ m-1 e = 1,602∙10-19 C Solución: La fuerza de interacción entre el núcleo y el electrón es la fuerza electroestática de Coulomb:
Donde r es el radio de la primera órbita estacionaria del átomo de hidrógeno. Rectificando las unidades y poniendo los valores numéricos, se calcula la fuerza electroestática
Donde
La fuerza gravitacional se calcula por la fórmula:
Donde me es la masa del electrón; mp, la masa del protón; G, la constante gravitacional.
Por lo que,
Problema 20. Calcule cual es el radio de la primera orbita del electrón que gira alrededor de un núcleo del átomo de hidrógeno según el modelo de Bohr. Determine la velocidad con que el electrón se mueve en esta órbita. Datos: ε0 = 8,854∙10-12 F∙m-1 e = 1,602∙10-19 C m = 9,109∙10-31 kg h = 6,626∙10-34 J∙s Solución: La fuerza de interacción entre el electrón y el protón del núcleo es la fuerza electrostática ( Fel) de Coulomb:
Donde r es la distancia entre el núcleo y el electrón. Bajo la acción de esta fuerza el electrón describe alrededor del núcleo órbitas en forma de elipses de Kepler y, como un caso particular, en forma de circunferencia. La fuerza de Coulomb es una fuerza centrípeta (Fc) y es numéricamente igual, cuando se trata de una órbita circular, a
Por lo tanto,
(1)
Para una órbita circular la cantidad de movimiento angular del electrón es p = mυr. La condición cuántica de Bohr p = nh/2π da la posibilidad de calcular el radio de La órbita circular estacionaria. (2)
La expresión (1) se puede escribir en forma siguiente:
Sustituyendo (mυr) por la expresión (2), se obtiene
Para la primera órbita n = 1. Por lo tanto (3)
Esta magnitud representa el radio de la primera órbita circular del electrón (radio de Bohr), es decir, de la más próxima al núcleo del átomo de hidrógeno. Rectificando las unidades y poniendo en lugar de h, m, ε0 y e sus respectivos valores numéricos, se obtiene
Donde
(4)
Utilizando la expresión (2), podemos calcular la velocidad υ con que el electrón se mueve en la primera órbita.
Sustituyendo r por la expresión (3), tendremos
Rectificando las unidades, se obtiene
Para n = 1
Problema 21. ¿Calcule la energía total del electrón en la segunda órbita del átomo de Bohr? Solución: La energía total del electrón es
E = Ec+ Ep. Donde Ec es la energía cinética y Ep es la energía potencial del electrón. La energía potencial del electrón en el campo electrostático del núcleo es igual a
Donde r es la distancia entre el núcleo y el electrón (el radio de la órbita).
La energía cinética
(1) Donde m es la masa del electrón y υ es su velocidad. Sobre el electrón actúa una fuerza electroestática
Que es una fuerza centrípeta igual a
Por consiguiente
(2) Sustituyendo mv2 en la fórmula de la energía cinética (1) por la expresión (2), se obtiene
Por lo tanto, la energía total será igual a
Sustituyendo r (ver el resultado del problema anterior) por
Se obtiene
Rectificando las unidades, obtenemos
Para la segunda órbita el número cuántico n = 2. Poniendo en lugar de h, m y e sus respectivos valores numéricos, hallamos
Problema 22. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón emitido por el átomo de hidrógeno cuando el electrón transita de la cuarta órbita a la segunda? Solución: La radiación se produce sólo cuando el átomo sufre una transición de una órbita, con energía Ek, a otra órbita de menor energía Ej (Ej < Ek). En forma de ecuación
hν = Ek - Ej Donde hν es el cuanto de energía transportado por el fotón emitido del átomo durante la transición. En el caso nuestro k = 4 y j = 2. Por lo tanto, hν = E4 - E2; Utilizando la fórmula de la energía del electrón (ver el problema 21), se obtiene
Donde el término
Es la energía del electrón en la segunda órbita. (Ver el problema 21).
Por consiguiente
Según el resultado del problema 21
E2 = -5,4∙10-19J.
Por lo tanto
Como λ = c/ν, entonces
Problema 23. El electrón del átomo de hidrógeno salta de la tercera órbita a la segunda. a) Calcular la longitud de onda del fotón emitido. b) Calcular la disminución de la energía del átomo.´ Datos:
j =1 k=3 R = 1,097·107 m-1 h = 6,626∙10-34 J∙s Solución: Cuando el electrón pasa de la órbita de mayor energía (Ek) a una orbita de menor energía (Ej.) el átomo emite un fotón cuya energía es igual a E = Ek- Ej. La longitud de onda del fotón emitido se calcula por la fórmula
J y k son los números de las órbitas y R es la constante de Ridberg.
La disminución de la energía del átomo es igual a la energía del fotón emitido
Problema 24. a) ¿Qué tensión del campo eléctrico es necesaria según la mecánica clásica para que un electrón acelerado en este campo adquiera la velocidad de la luz? b) ¿Cuál serán la velocidad del electrón y su masa en este campo según la mecánica relativista? Datos: m0 = 9,109∙10-31kg c = 3∙108m/s e = 1,602∙10-19C Solución: a) Según la mecánica clásica la energía cinética del electrón
Donde m0 es la masa de reposo del electrón y υ es su velocidad. La diferencia de potencial V multiplicada por la carga del electrón es una medida de la energía cinética del electrón adquirida en el campo eléctrico. En otras palabras
Sustituyendo υ por c, se calcula la diferencia de potencial del campo eléctrico necesaria para que el electrón adquiera la velocidad de la luz.
Analizando las unidades y poniendo los valores numéricos del problema, se obtiene
b) En la mecánica relativista se calcula la masa m del electrón y su energía cinética Ec utilizando las fórmulas siguientes:
Pero numéricamente Ec = (m0c2)/2, o sea
La masa del electrón será igual a
Problema 25. ¿Cuál es la energía de un fotón 6 radio de frecuencia 1,255 x 10 Hz ?
correspondiente a ondas
Datos: E=hv
v=c/⋋
Solución: −34
E=6,626.10
6
−28
.1,255. 10 =8,316.10
J
PROBLEMA 26. La línea verde en el espectro atómico del talio tiene una longitud de onda de 535 nm. Calcular la energía de un fotón. Solución: H=6,626. 10−34 ; C=3,00. 108 ms−1
8
E=hv ; v=c /⋋ ; v=
−1
3,00.10 ms =5,60. 1014 −9 535. 10 −34
E=6,626.10
14
.5,60. 10 =3,72.10
−19
J
PROBLEMA 27. Un electrón salta desde un orbital más externo a otro más interno entre los que existe una diferencia de energía de 1,5 x 10-15 J. ¿Cuál es la frecuencia de la radiación emitida? Datos: ∆ E=hv Solución: −15
v =∆ E/h=
1,5. 10 J =2,26.10 18 S−1 −34 6,626.10 JS
Problema 28. La longitud de onda umbral para que cierta superficie metálica emita electrones es 6000 Å. Se observó que si esa superficie fotosensible se ilumina con luz de 4000 Å, los electrones son emitidos con una velocidad de 6,06 x 105m s1. Deducir el valor de la constante de Planck. Datos: λ1=600 Å=6.
−7
10
λ2=400 Å=4.
−7
10
V = 6, 06 x 10 5m s-1
−31
m=9, 1. 10
Solución:
h=
C C mv =h + λ2 λ1 2
2
−31
h=
3.10 8 3. 108 9,1. 10 =h + 4.10−7 6. 10−7 14
14
−19
7,5.10 h=5.10 h+1,67. 10 2,5.10 14 h=1,67.10−19
.(6,06. 105)2 2
−34
h=6,68.10
Js
Problema 29. La frecuencia umbral de cierto metal es 8,8 x 1014 s-1. Calcular la velocidad máxima de los electrones emitidos por ese metal cuando se ilumina con luz cuya longitud de onda es 2536 Å. ¿Qué energía cinética poseen esos electrones?
(
8
)
10 m C s −34 −19 EC =h −V C =6,626. 10 J . s . −8,8 x 10 14 s−1 = 2,01.10 J −10 λ 2536.10
(
EC =
)
3.
√ √
2 EC m v2 2.2,01. 10−19 J → v 2= = =6,64.105 m/s −31 2 m 9,1. 10 kg
Pregunta 30. Una superficie de cierto metal emite electrones cuya energía cinética equivale a 3 eV cuando se ilumina con luz de longitud de onda de 1500 Å ¿cual es el valor de la frecuencia umbral de ese metal? Solución: Se debe cumplir que E incidente= E umbral+E cinética del electrón h 6,62 .10−34 J . S .3. 108 ms−1 E incidente=hv= = =1,3.10−18 J −10 λ 1500. 10 m E incidente delelectron=3 eV .1,6 .10−19 J . e V −1 =4,8. 10−19 J E umbral=1,3.10
−18
J −4,8.10
−19
−19
J =8,2. 10
E 8,2. 10−19 J 15 υ= = =1,3.10 Hz −34 h 6,62. 10 JS Problema 31. Calcule la longitud de onda y la frecuencia da la 2da raya de la serie de Balme en el espectro del hidrogeno. Constante de 7 rydberg=1.09677 .10 m−1. La segunda raya nj=4 entonces ni=2
1 1 1 1 7 1 7 3 −7 =R H ( 2 − 2 )=1,09677.10 ( 2 − 2 )=1,09677.10 → ⋋2=4,86. 10 m ⋋2 16 ¿ nj 2 4
v=
C 3,00. 108 = =6,17.1014 Hz ⋋2 4,86. 10−7
Problema 32. Calcúlese la longitud de onda de De Broglie en cada uno de los siguientes casos: a) un neutrón que se mueve a una velocidad de 10 km/s. b) Un móvil de 20 g que se mueve a 72 km/hora. Solución: a) un neutrón que se mueve a una velocidad de 10 km/s. masa del electron=1,67.10−27 kg mv=1,67.10−27 kg . 104 m s−1=1,67.10−23
λ=
h 6,63.10−34 −11 = =3,97. 10 m −23 mv 1,67.10
b) Un móvil de 20 g que se mueve a 72 km/hora. λ=
h 6,63.10−34 = =1,6. 10−33 m mv 2. 10−2 .20
Problema 33. Una superficie de sodio se ilumina con luz de 300 nm de longitud de onda.la función de trabajo para el metal de sodio es 2,46 eV. Encuentre: a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos. b) la longitud de onda de corte para el sodio. c) calcule la rapidez máxima del efecto fotoeléctrico. Solución: a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos. −34 8 hc ( 6,626.10 J . s ) .(3. 10 m/s) E=h . f = = =6,63. 10−19 J=4,14 eV −9 λ 300. 10 m
Luego aplicamos: K max=h . f −Ф=4,14 eV −2,46 eV =1,68 eV
b) la longitud de onda de corte para el sodio. E=h . f 0=Ф , de donde :
aislamos : λ0 =
hc =Ф λ0
hc Ф
Reemplazamos:
pero:Ф=( 2,46 eV ) (1,6. 10−19 J /eV )=3,94.10−19 J
λ0 =
( 6,626.10−34 Js ) (3. 108 m/s) −19
3,94.10
J
=¿
−7
5,05.10 =505 nm
c) calcule la rapidez máxima del efecto fotoeléctrico. 1 E= m v 2 →1,68 eV 2
−31
(9,11. 10 kg) v ¿ 2
2
→ v=7,68. 105 m/ s
Problema 34. Un átomo absorbe un fotón que tiene una longitud de onda de 375 nm e inmediatamente emite otro fotón que tiene una longitud de onda de 580 nm ¿Cuál es la energía neta absorbida por el átomo en este proceso. Solución: Eneta =E f −E i
Eneta =
1240 eV . nm 1240 eV .nm 1240 eV .nm 1240 eV .nm − = − λemite λabsorbe λemite λabsorbe
Eneta =2,138 eV −3,31 eV =1 ; 172 eV Problema 35. La mayoría de los procesos gaseosos de ionización requieren −18 −16 1 x 10 a 1 x 10 cambios de energía de ¿qué región del espectro electromagnético del sol es entonces principalmente responsable de la creación de la ionosfera en la atmosfera de la tierra. Solución:
tenemos : E=
1240 eV . nm λ
reemplazamos:1 x 10
−16
−18
−1 x 10
convirtiendo a eV :625−6,25=
=
1240 eV . nm λ
1240 eV .nm λ
cancelando eV :
λ=
1240 nm =¿ 618,75
2,004 nm (ultravioleta)
Problema 36.
Se desea escoger una sustancia para una foto celda operable con luz visible. ¿Cuál de la siguientes lo hará(la función de trabajo aparece entre paréntesis ):el tantalio(4,2eV),el tungsteno(4,5eV),el aluminio(4,2eV),el bario(2,5eV),el litio(2,3eV),el cesio(1,9eV)?
Solución: E=
Sabemos:
1240 eV . nm λ
Reemplazamos: E=Ф
Luego
λ=
1240 eV . nm Ф
λ=
a ¿ tantalio:
b ¿ tungsteno :
c ¿ aluminio:
d ¿ bario:
295,2 nm(ultravioleta )
1240 eVnm =¿ 4,5 eV
275,6 nm(ultravioleta)
1240 eV . nm =¿ 4,2 eV
295,2 nm(ultravioleta )
λ=
λ=
1240 eV . nm =¿ 4,2 eV
λ=
1240 eV . nm =¿ 2,5 eV
496 nm ( visible)
1240 eV . nm =¿ 2,3 eV
539,1nm( visible)
1240 eV . nm =¿ 1,9 eV
652,6 nm (visible)
λ=
e ¿ litio :
λ=
f ¿ sesio:
Problema 37. a) La energía necesaria para desprender un electrón de sodio metálico es de 2,28eV. ¿Muestra el sodio un efecto fotoeléctrico bajo luz roja, con λ=678 nm? b) ¿Cuál es la longitud de la onda de corte de la emisión fotoeléctrica del sodio y a que color corresponde esta longitud de onda? Solución: Para la pregunta a: Tenemos:
E=
Reemplazamos
1240 eV . nm λ
E=
1240 eV . nm =¿ 678nm
1,8289 eV
no se produce el efecto fotoelectrico porque : E<2,28 eV
Para la pregunta b: E=
Reemplazamos
E=
1240 eV . nm λ
1240 eV . nm =¿ 2,28 eV
543,86 nm(verde)
Pregunta 38. Un numero de fotones incide sobre una superficie de sodio que tiene una función de trabajo de 2,28eV, causando la emisión fotoeléctrica .cuando se impone un potencial de frenado de 4,92 V, no existe una fotocorriente. Halle la longitud de onda de los fotones incidentes. Solución: Tenemos:
Ф=2,28 eV
h . f =Ф+k max
También:
h . f =Ф+e V 0
Reemplazado:
Luego:
1240 eV . nm =2,28 eV +( 1,6.10−19 C )(4,92 V ) λ V =J /C
Sabemos:
por lo tanto convertimos a eV:
1240 eV . nm −19 −19 =2,28 eV +( 1,6.10 C )(4,92 J /C)(1 eV / 1,6.10 J ) λ Cancelando:
λ=1,72,2nm
Pregunta 39. a. Si la función de trabajo de un metal es de 1,85eV ¿Cuál seria el potencial de frenado de la luz que tenga una longitud de onda de 410 nm? b. ¿Cuál seria la velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos en la superficie de metal? Solución: Para a: h . f =Ф+k max
Sabemos:
Reemplazamos:
1240 eV . nm =1,85 eV +e . V 0 λ 1240 eV . nm =1,85 eV +e . V 0 410 nm
Reduciendo:
V 0=1,17 V
Para b: Tenemos:
k max =e .V 0 1 m v 2=e . V 0 2
1 ( 9,11. 10−31 ) v 2=( 1,6. 10−19 ) (1,17 V ) 2
Reemplazamos:
Reduciendo:
V =641 km/s
Pregunta 40. El molibdeno encuentre la corte para el frenado si la 180nm.
tiene una función de trabajo de 4,20 eV longitud de onda de corte y la frecuencia efecto fotoeléctrico. B) calcule el potencial luz incidente tiene una longitud de onda
a) de de de
Solución: Para a:
sabemos:
Ф=h . f 0 ;
Aislamos:
λ λC =h .
( 6,626.10−34 ) (3. 108 ) −19
4,20.1,6 .10
Ahora calculamos la frecuencia de corte:
Para b:
C =¿ λC
Sabemos:
f 0=
tenemos:
K max =
3.10 8 295,8. 10−9 =
−34
K max =6,626.10
K max =2,675 eV
Finalmente calculamos el De:
=¿
295,8 nm
f0
1,014 pHz
C −Ф λC
Reemplazamos:
Reduciendo:
C λC
C Ф
λC =¿
Reemplazamos:
Ф=h .
de aquí:
K max =e V 0
V 0:
.
3.10 8 180. 10−9
−4,20 eV
Aislamos:
−19
2,675.1,6 . 10 J =¿ 1,6. 10−19 C
V 0=¿
2,675 V
Problema 41. Un estudiante que analiza el efecto fotoeléctrico de dos metales diferente registra la siguiente información:i) el potencial de frenado para los fotoelectrones liberados en el metal 1 es 1,48 V mayor que para el metal 2 y ii) la frecuencia de corte para el metal 1 es 40% mas pequeña que para el metal 2.determine la función de trabajo para cada metal.
Metal 1
Metal 2
V 01=V 02+ 1,48
f 01=
V 02=V 02
60 .f 100 02
K maxi =e .V 01
f 01=f 02
K maxi=e(V 02 +1,48)
K maxi=e .V 02
(2)
h . f 01 =Ф1
h.
h . f 02 =Ф 2
60 . f =Ф1 100 02
(4)
En (1) h . f −h . f 01=e (V 02+ 1,48)
(5)
h . f −h . f 02=e .V 02 Luego (6) en (5) h . f −h
60 . f =h . f −h . f 02+ e .1,48 100 02
(6)
(1)
(3)
f 02=
Simplificando:
e .1,48.5 =Ф 2 2h Ф2=3,7 eV
60 . f =Ф1 100 02
Entonces:
h
Pero:
h . f 02=Ф 2
f 02=h
Reemplazando:
Simplicando:
60 Ф2 . =Ф1 100 h
Ф1=2,22 eV
Pregunta 42. Dos fuentes luminosas se utilizan en un experimento fotoeléctrico para determinarla función de trabajo para una superficie metálica particular. Cuando se emplea luz verde de una lámpara de mercurio (λ=546,1 nm), un potencial de frenado de 0,376 V reduce la fotocorriente a cero. a. Con base a esta medición, ¿Cuál es la función de trabajo para este metal? b. ¿Qué potencial de frenado se observaría al usar la luz amarilla de un cubo de descarga de helio λ=587,15 nm? Solución: Para a: K maxi=h . f −Ф K maxi=e .V 0
(1) (2)
(1)En (2): h . f −Ф=e .V 0 Luego:
Ф=−e .V 0 + h. c / λ
Reemplazando valores:
Ф=−( 1,6. 10−19 C ) ( 0,376 V )+ ( 60626.10−34 J . S ) .3 . 108 /546,1.10−9 Ф=1,899 eV Para b:
h . f −Ф=e .V 0
De la ecuación:
Aislamos:
h.
V 0=¿
C −Ф λ e
34
6,623.10 . V 0=¿
3.10 8 −¿ −9 587,5. 10
−19
1,9 eV ¿/1,6 .10
C=0,2125 V
Pregunta 43. Fotones de 450 nm de longitud inciden sobre un metal los electrones mas energéticos expulsados del metal se desvían en in arco circular de 20.0 cm de radio por medio de un campo −5 magnético, con una magnitud de 2.00x 10 T ¿Cuál es la función de trabajo del metal? Datos: λ=450. 10−9 m r=2.00 cm=0,2 m
t=2.00 x 10−5 T Solución: Hallamos “E” E=
hc λ
E=( 6,626.10−34 J . S ) (3.10 8)/450. 10−9 m=4,417. 10−19 J
→
Hallamos “V “ V =q . Br /m
V=
( 1,6. 10−19 J ) ( 2,00. 10−5 T ) ( 0,2m ) 9,11.10
−31
Kg
=0,07025 .107 m/S
Hallamos {k} rsub {max}
1 k max = mv 2 2
→
0.07025 107 m/s ¿ ¿ −31 k max =( 9,11.10 Kg ) ¿
Hallamos “Ф” Ф=
hc −k max=4,417.10−19 J −2,248. 10−19 J =2,169.1019 .1eV /1,6.10−19 λ
Ф=1,35 eV Problema 44. Un Fotón que tiene energía Eo es dispersado por un electrón libre inicialmente en reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del fotón dispersado ( ) a) Determine los ángulos y b) La energía y el momentum del fotón dispersado y c) La energía cinética del electrón dispersado. Solución: a ¿ Determine los ángulos y X:
h h .cosФ = + γ me VcosФ λ0 λ,
Y : 0=
−h . senФ +γ m e VsenФ λ,
DeY :0=
De X :
−h h =γ me V → , =γ m e V , λ λ
h hcosФ hcosФ = + () λ0 λ, λ,
despejando λ, 2 λ0 cosФ corrimiento de compton
λ, −λ 0=
h h ( 1−cosФ ) →2 λ 0 cosФ− λ0= ( 1−cosФ ) me c me c
Sabiendo que : λ 0=
hc E0
en funcionde : E0
2 λ0 cosФ−1=
E0 me c
2
( 1−cosФ ) → si hacemos:
E0 me c 2
=x
2 λ0 cosФ−1=x (1−cosФ )
Aislamos el ángulo:Ф=arcocos (
x +1 ) x +2
b ¿ La energía y elmomentum del fotóndispersado : energía
entonces : E=
si : λ 0=
si : λ ,=2 λ 0 cosФ
E=hc /λ , E0 2 cosФ
obtenemos : E ´ =(
hc λ0
x 2+2 x )me c 2 2 x +2
Momenton: Si :´ 2 λ 0 cos
p h/' E ' h/2 λ0 cos
E0 entonces : p 2 C . cos Ф
Si : λ0 =hc /E 0
c ¿ La energía cinéticadel electrón dispersado :
E0
¿ E + Ke
2
x +2 x obtenemos : P =( )me c 2 2 x +2 ´
E0−E =Ke
2
Reemplazamos: Ke=(
x )m c2 2 x+2 e
Problema 45. Un Fotón de 0.880mev es dispersado por un electrón libre inicialmente en reposo, de tal manera que el ángulo de dispersión del electrón dispersado es igual al del fotón dispersado ( ) a) Determine los ángulos y b) La energía y el momentum del fotón dispersado y c) La energía cinética del electrón dispersado. Solución: a ¿ Determine los ángulos y X:
h h .cosФ = + γ me VcosФ , λ0 λ
Y : 0=
−h . senФ +γ m e VsenФ λ,
DeY :0= En X :
−h h =γ me V → , =γ m e V , λ λ
h hcosФ hcosФ = + () λ0 λ, λ,
h h . cosФ =2 → λ, =2 λ0 cosФ , λ0 λ ,
λ −λ 0=
h h ( 1−cosФ ) →2 λ 0 cosФ− λ0= ( 1−cosФ ) me c me c
Pero : E0 =
hc ,reemplazando y combinando : λ0
me 2 . c ( 2 cosФ−1 )= (1−cosФ ) E0
2cosФ−¿ ¿ −31 16 2 2 (9,1. 10 kg)(9.10 m / s )¿ ¿
58,09.10−2 ( 2 cosФ−1 )
( 1−cosФ )=¿ cosФ=0,13
Ф=43,1 0
b ¿ La energía y elmomentum del fotóndispersado : Si :´ 2 λ 0 cos
E ' hc /' E ' hc /2 λ 0 cos
Si : λ0 =hc /E 0
E ' E0 /2 cos '
Reemplazando: E =0.808 meV /2cos 43 º=602 KeV P h/'=E ' /c=602. 103 .1,6 . 10−19 /3.10 8=¿ P3,21. 10−22 kg . m/ s c ¿ La energía cinéticadel electróndispersado : k e =880 KeV −602 KeV k e =278 KeV Problema 46. En un experimento de dispersión Compton un fotón se desvía en 90.0º y el electrón se desvía en un ángulo de 20.0º. Determine la longitud de onda del fotón dispersado. Solución: h h .cosФ X: = + γ me VcosФ , λ0 λ Luego:
Y : 0=
−h . senФ +γ m e VsenФ , λ
h 0 =γ me Vsen 20 , λ
Y:
X:
( 2¿
h =γ me Vcos 200 λ0
( 1¿
De 2 y1 ,
λ0 =λ tg 20
0
De: ,
λ −λ 0= ,
h 0 (1−cos 90 ) mc
,
0
λ −λ tg 20 =
h h , 0 → λ ( 1−tg20 )= mc mc
λ, (1−0,36 )=0,00243.10−9 m ,
−12
λ =3,8. 10
m
Problema 47. Un fotón de 0.00160nm se dispersa a partir de un electrón libre. ¿Para qué ángulos de dispersión (fotón) el electrón de retroceso tiene la misma energía cinética que la energía del fotón dispersado? Solución: λ0 =0,00160.10−9 λ, −λ 0=
hc hc hc 1 2 = , + , =→ = , λ0 λ λ λ0 λ
h (1−cosФ ) mc
0,00160.10−9 m=0,00243.10−9 m(1−cosФ ) cosФ=0,34 0
Ф=70, 1
Problema 48. A partir de la dispersión de la luz solar de Thompson calculo −15 el radio clásico del electrón que tiene un valor de 2,82.10 . 2 Si la luz del sol con una intensidad de 500W/ m cae sobre un
disco con este radio, calcule el tiempo requerido para acumular 1eV de energía. Suponga que la luz es una onda
clásica y que la luz que golpea al disco es absorbida por completo. ¿Cómo se compara su resultado con la observación que los fotoelectrones son emitidos con rapidez dentro de 10−9 s . Solución: 2
radiaccion=500W /m
tenemos : I =P/ A → P=I . A
Luego :W /t=I . A −15
2,82. 10 m ¿ ¿ ¿2 ¿ W.π¿ 500¿ E 1 eV t= . A= ¿ I Absolutamente largo
