DET,A,GEffiM
INVITACION A tA DIDACTICA DE tA GEOMETRIA
Colección: MATEMATICAS : CULIURA Y APRENDIZAJE 1 A¡€¡ de coDocimieDfo: di¿ictic{ de la5 mrt€miticas AnselGüt'érc, BenúidoG6M Alrors' ¡uú Díe codino Luir Rio R'* 2, Núú€m6 y op€r¡ciones Luis RicoRoI|Ñ. Er@ió¡
csfD M¡rfn-. E¡riqE ca¡trsM&dnez
3. Numer¡ción y cdlculo B'oardo cómz ^lrmo 4. Ff¡ccion€6 s¡lv!¡to.L¡i,es ct!ú, M.. victo¡is sósh.z c*f! 5. Núúerus deciúeleÉ: por qué y pera qué Jüli. CrdtenoPée 6. Númeroc eúteros ,osaL, G@dld M.d, M.' Dolñr l¡i.n! Bustos.AlfoM OrtizCoM, I¡M.1¡Ld. V¡¡C¡s Mochuca, MduelaJiMo P&É2,Alto¡io friz vilbFjo, astcba¡Sez Jináw
,14. Proporcionalidad geométrica y semejanza GrupoBeta 15, Poliedros c'!sdi.Gu¡[én so¡.. 1ó uns m€todologl¡ acdv¡ y lúdlcr p¡r¡ I¡ eÉ€ñ¡Da A¡g'l Mt¡tf¡e R@io'Foci$o Juú Fiv¡th 17. El problem¡ de l¡ m€(üds c¡¡'Mch.tt|o@P|U JMM Bclnútecó@ por el círcuto l& cirtul¡dlo FE¡ck@ P.diIÁ Df¡z,Anulfo Súto. Hd¡ln¡L¿, E&l¡ Vcl&qüe, MdEl Rmá¡d'¿ 1"6 19. SuDcrfici€ v voluDen ¡,¡..ie"ro d"r o* no*.,
E, pmbremrs ¡ritméticos RcDardo""col¡r., ¡nis hig Esp¡nosa. C.rdá! Pé¡E 9. ¡;$rin¡c¡ón cn cálct¡lo y medid¡ ls¡tun Scgovi!alcr, E r¡mión C¡de Maí¡ne, Eüiqre C¡r¡o MartlÉ, r.ui¡ R¡h Ro'Em 10. Aritmétic¡ y calcul¡dor¡ Frldc¡icud¡m i Ab.uó
¡-cú6
M.-o
cmr.o, FMcú@ cil cu¡d'
20. hoporciod¡lid.d tlir€ct¡ .¡r¡is Fiol M@, J6é M,, FdrunyAyirmi 21. Nudo6 y Dexos. RedeÉ en l¡ 6cuel¡
7. Divisibirid¡d ModoroSi.@ Vázq@,And¡&G@r¡, M.'T. Gonz{.¿Altud¡llq Múriooonrilc¿Ac6t¡
de h gcomeEí¡
Hfmflffio*''-"
sehocir'A¡ronio M.fr¡dérMoñr'
2¿ Por 106coE¡nc d€ l¡ lógic¡ I¡& st' M'd*rÓ arie Li"-*di EliM Phñ16 Rriz '.m 23. Inici¡dd¡ ¡l dgebr¡ Mdud Martl¡ Sod Rob¡y¡4M.d6 C.ruho M.chfi, M.' McEr¡16P¡llM Mcdin4 ¡oFf. Hd¡Dd.z Donr¡s!@ A
Er¡€'nrnrc
dchsum¡y
rl€ h r€6t¡
25. EDscñ¡Dza de l¡ mulfipficrción
y dc l¡ divi¡ión
11. Materi¡le p¡rs corBarülrl¡ geomca¡l¡ cu|c¡ Bu¡gu!¡FldFicll chudi Ak¡M c¡t¡lá, ¡@p M.'Fonuy Ar1tmi 12. Inüt¡ción ¡ l¡ ditác'tic¡ de la g€ometría cf,ddi Alsin¡ c.r¡r4 J@p M . Foruy ayÉni, canm Bu¡g!¿sFt@i.ü 13. SiúeÍríN diDlámicr
26' Furcione y 8ráfic¡3 ¡odi Da¡lof.! Piqet, G¡rM A.c*áÉcin&Éz 27' At¡r y prob¡bilid¡d t@ DlazGodino.Co¡|m BÁrúercBñabéu. M,'Jsú! CaÍtñ 2¡. Encu€5t¡s y pr€cioc André!Nor¡e!CIE¡
Caslellúo
29. Prensa y matemáticas Antonio Fernández Cano. Luis Rico Romero
30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso
illllllllllllllllllll
JoséA. Cajaraville Pegito
31. Ordenary clasificar Carlos Maza Gómez, Ca¡los Arce Jiménez
32. Juegos y pasatiempos en la enseñarüzade la matemática elemental
INVITACION A tA DIDACTICA DE LA GEOMETRIA
JosefaFemández Sucasas,M." Inés Rodríguez Vela
33. Ideas y actividades para enseñar álgebra GrupoAzarquiel 34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco Hemán Siguero, Elisa Carrillo Quintela
CLAUDI ALSINA CA'I'AI,A Catedráticode Matemáticas E.T.S.A.B. UniversidadPolitécnicade Cataluña
Consejoeditor: Luis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa
CARME BURGUÉSFLAMARICH ProfesoraTitular de Didácticade las Matemáticas EscuelaUniversitariade Formacióndel Profesoradode EGB Universidadde Barcelona JOSEPM." FORTUNY AYMEMMI Catedráticode Didácticade las Matemáticas EscuelaUniversitariade Formacióndel Profesoradode EGB UniversidadAutónoma de Barcelona
EDITORIAL
SINTESIS
\ t*r..uffilo\. ba¡'ras
g i ur\*\'r,* $a deadquisición: Fs¡'ma Donación Canje Compra deadqursrción Fecha DíaMesAñotechadeProcesanliento Día Mcs -Año: Proveedor por ftocesado # destinq. Biblioteca t _ t,o.¡D.t¿üF'
Primera reimpresión:octubre 1989 Segundareimpresión:octubre 1992 Tercerareimpresión:julio 1995 Cuarta reimpresión:noviembre 1997 Diseñode cubierta:JuanJoséVázquez Reservadostodos los derechosEstá prohibido, bajo las sancionespenalesy el resarcimientocivil previstosen las leyes,reproducir,registraro transmitir estapublipor cualquiersistemade cación,lntegrao parcialmente, recuperacióny por cualquiermedio,seamecánico,electrónico,magnético,electroóptico,por fotocopia o por cualquier otro, sin la autorización preüa por escrito de Editorial Síntesis,S.A. @ ClaudiAlsina Catalá Carme BurguésFlamarich JosepM.' Fortuny Aymemmi @ EDMORIAL SÑTESIS,S.A, Vallehermosq34.28015Madrid Teléfono(91) 59320 98 http://www.sintesis.com Depósito legal:M, 23,366-1997 ISBN: 84-7738-020-1 Impresoen España- Printed in Spain
A las gentes entusiastas de la Geometría
Indice
Presentación
It
l. Invltación a la Geometría
13
l.l. Hacia la Geometría. 1.2. Finalidadesy objetivosen la enseñanza de la Geometría. 1.3. Algunasreflexioneshistóricas. 2. Entorno 2.1. Geometríay Naturaleza. 2.2. Geometría,Cienciay Tecnología. 2.3. Geometríay Arte. 3. Razonamiento 3.1. Procesosinductivos. 3.2. Procesosdeductivos. 4. Representación 4.1. Visualización. 4.2. La representacióngráfica. 4.3. Los modelosmanipulativos. 5. Aprendizaje 5.1. Conocimientoy comprensión. 5.2. Habilidadesy procesos.
l4 17 23
27 28 3l 35 4l 42 49 59
60 63 72 83 84 90
6. Enseñanza 6.1. Planificacióne instrucción. 6.2. Lenguaje,comunicacióne información. 6.3. Relacionary clasificar. 6.4. La resoluciónde problemas. 6.5. Diagnósticoy evaluación. EpíIogo APENDICE: Sugerencias y respuestas a ejerciciosseleccionados. Bibliografía Indice analítico
97 98
r03 107 lll 117 129
Presentación
133 137 139
El término rehabilitar está de moda. Recuperar la belleza escondida en nuestro entorno es un objetivo apetecible:descubrimos la casa, la calle y la ciudad tal y como eran, tal y como nunca deberían dejar de ser. La Geometría ha estado siempre ahí, en la enseñanzay en la investigación, pclo hoy a nivel educativo está pendiente de una completa rehabilitación. l)cnsando en este objetivo nació la idea de este libro. La enseñanzade la Geometría ha de ser un núcleo central en el currfculo escolar. Se trata de una disciplina útil, deseabley bella que ofrece tanto resultados interesantescomo razonamientos y metodologías de marcado carácter formativo. El presentetexto presuponedel lector un conocimiento de los contenidos elementalesde Geometría y centra su finalidad en orientar la enseñanza escolar de la misma. A lo largo de seis capítulos se desgranan temas tales como la historia, la intuición, la percepción, el entorno natural, social y artístico, el razonamiento, la representación, el aprendizaje y temas específicamente didácticos sobre el currículo, la simbolización, las clasificaciones, los problemas o la evaluación. En todos los apartados se incluyen propuestas y actividades que pueden orientar, por su carácter paradigmático, la dinámica en el aula. En cada caso se indican los niveles adecuados,que siempre están comprendidos en el intervalo de la enseñanza obligatoria. Los capítulos principales incluyen algunas investigacionesy ejerciciospara el lector con los cuales se pueden ampliar temas desarrollados anteriormente. Quisiéramos que los futuros enseñantes,o educadoresactuales interesados en el mundo de la Geometría, compartieran con nosotros a lo largo de estas próximas páginas muchas de las vivencias y experiencias que en este terreno hemos realízado, en los distintos niveles,durante los últimos quince años. Esperamos que la obra sea útil para una rehabilitación geométrica eficaz.
C. Alsina, C. Burgués, J. M." Fortuny l0
il
Invitación a la Geometría Pero puesto que queremos que la cosa resulle et'idente' no: serviremos en el escrilo, como se acoslumbra o decir, de utt tono muy sent'illo (LzoN B¡rrlsrn ALBERTI)
Un viejo poema dedicado a Euclidesdecía que Euclides,ya anciano, se :¡ a la orilla del mar y con un estileteiba marcando círculosy rectassobre : arena.Las olas borraban las figuras y Euclidesvolvía alrazarlas, siempre -nido en sus meditaciones.Añade el poema que un niño lo miraba diver:o desdedetrás de una roca, fascinadode ver cómo aquel anciano traza, sin parar, imágenesredondasde la luna...
l3
radamente los contornos y perfiles de cada nivel paisajístico' De hecho este modo de proceder es común en la mayoría de profesionesque necesitanestudiar lai relaciones espaciales.En este libro se pondrá énfasis a menudo en el espacio tridimensional, aunque sólo sea para contrarrestar la influencia que los medios de comunicación ejercen, al presentar siempre la informacíón uni y bidimensionalmente,por la utilización casi exclusiva de los medios tipográficos y telemáticos. En-ellonocimiento del espacio geométrico hay que distinguir dos modos de comprensión y expresión, el que se tealiza de forma directa, que corresponde a la intuición geométrica, de naturaleza visual y el que se realiza de forma reflexiva, es decir, lógica, de naturaleza verbul. Estos modos de conocimiento aunque muy distintos son complementarios. El primero es creativo y subjetivo, mientras que el segundo es analítico y objetivo. El primero está caracterizado por la intuición y el segundo por la lógica. La historia del desarrollo de las Matemáticas es Ia historia de la relación entre estosdos aspectosdel conocimiento. Ambos modos del conocimiento geométrico pueden considerarsecomo fases del desarrollo del pensamiento. La visualizacióncorrespondeal saber ver el espacioen el cual la intuición es el motor que hace arrancar y avanzar la comprensión de las distintas relacionesespaciales.Ahora bien, para que se tenga un conocimientocorrecto, hay que analizarlo con las leyes de la deducción lógica, para que así se pueda expresar y comunicar por medio del lenguaje. A este respecto es ilustrativa la siguiente cita de Einstein (en Hadamard, 1945):
' Esta distinción éntre éstoi dos modos de conocimiento es muy útil para sentar las basesde la enseñanzade la Geometría. Así la enseñanzade la Geo' metría puede ser caracterizada como el estudio de las experiencias espacia' /es. A partir de estasexperienciasse puede construir el programa completo, el cual a su vez puede ser desarrollado teniendo en cuenta los dos modos de conocimiento aquí citados. El hecho de adquirir conocimientosdel espacioreal a travésdc la intuición geométrica es lo que se llama la percepción espacial.
t.5
La percepciónesel resultadode una scriede fasesde procesamiento que ocurrenentre la recepciónde un estímulovisual y el logro de un percepto. La basede la percepciónestáen las operaciones cognitivasque se efectúan sobrela informacióncontenidaen el estímulo. La percepciónespacialdesempeñaun papel fundamentalen el estudio de la Geometría,reconociendoformas, propiedadesgeométricas, transformacionesy relacionesespaciales. La percepciónespacialpuedecompararsea la comprensiónde un texto escrito.De la mismamaneraque en el procesode lecturaseagrupanlas letras en palabrasy éstasen frases,obteniéndose por comprensiónglobaluna información,la percepciónespacialseocupade obtenerun mensajepor medio de la
ción, la determinacióny la clasificación.Cada una de estasetapasincluyen accionesque van desdeel reconocimientode los objetosa la realizacióny aplicaciónde los mismos.El nivel de dificultadesde las accionesa realizar de estaforma un aumentanal pasar de una etapaa otra, consiguiéndose desarrolloprogresivode la percepciónespacial.La tipologíade estasetapas sedefinecomo sigue: l. La visualización:Despuésde haber observadoun objeto, su visualiimágenesparzaciónconsisteen poder memorizar(sulicientemente) por camcialesa fin de poder reconocerobjetosigualeso semejantes bio de posicióno de escala,entreuna diversidadde objetosteniendo el mismo croquis. 2. La estructuración:Despuésde haber visualizadoun objeto, su (estructuración>consisteen poder reconocery reconstruirel objeto a partir de suselementosbásicosconstituyentes. 3. La traducción:Consisteen poderreconocerun objetoa partir de una descripciónliteraria y viceversa. 4. La determinación:Consisteen poder reconocersu existenciaa partir de una descripciónde susrelacionesmétricas. 5. La clasificación:Consisteen poder reconocerclasesde objetosequivalentessegúndiferentescriteriosde clasificación. Estasetapaspermitena su vez desarrollarlas habilidadesde observar (visualización),abstraer(estructuración),comunicar (traducci6n) y organi rar (determinacióny clasificación).(Véasela actividadtipo de percepción upacial.) I.2, FINALIDADES Y OBJETIVOSEN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA Si setratara de encontrarun contenidogeométricopara ejercerunasacel problema'deldiseñocurricular seríarelativatuacionesmuy específicas, gráficos,topógraBrentesimple.Una Geometríapara modistas,diseñadores para todos, Pero una Geometría evidente. fos o ceramistasresultabastante resulta más difícil de determinar. cn su nivel obligatorio, ¿Cuálesson aquegeométricos que normal, margende su laciudadano al un contenidos llos bor profesional,debeposeer? En la enseñanzaobligatoriade la Geometríahay que fijar unos objetivos mínimos en función de los cualesdebenprogramarselas actividades. En un aprendizajedinámico de la Geometría,por sus relacionescon las esmuy difícil marotrasmateriasy con las propiasdisciplinasmatemáticas, car unosobjetivosprecisospara un períodocorto: los conceptosdebenaparccer y reaparecer,traducirseen diversoslenguajes,tener representaciones
t7
plurales y sólo por esta vía cabe esperarun¿rconsolidaciónconceptual.Así pues, parece más adecuado plantearsc objctiv
Hay algunas peculiaridadesque diferenciarán los objetivos en los dos ciclos aludidos. Por ejemplo, en el ciclo 6-t2 años los objetivos terminales son mucho más borrosos, forman necesariamenteun conjunto en evolución: no existe un discurso deductivo, ni tienen sentido ciertas abstracciones.ni se resuelven problemas en un sentido formal, etc. En cambio. en la etapa 12-16la estructuración de objetivos puede ser más diáfana. Así pues procederemosahora a listar por ciclos los objetivos terminales de conceptos y de procedimientos, que, a nuestro entender, deberían ser los mínimos deseables.(En todos los listadosel orden no presuponeningún orden conceptual.)
DIgi RIT¡^L RSIDAD UNIVE
loil nl cqLuns rtmr'criib 1',;:i lr I i ! "! ' , . ') 5i5f t l, lf , ! - t ! :
l9
OBJETIVOSTERMINALES
Algún comentario puede ser oportuno. Nótese que se enfatiza en esta propuesta el estudio de la Geometría plana y de la medida en longitud y área, pero en absoluto se niega la vivencia del espacio tridimensional que es el gran objetivo de la Geometría. Se trata de una estrategía para llegar a é1,y toda actividad de construcción de modelos espaciales(que incluyan f iguras planas conocidas) o de ver movimientos reales es absolutamente enriquecedora.
1. Objetivosterminalesde conceptos(6-12años)
4,
. Localizar figuras planas en los entornos reales. o Distinguir figuras y encontrar relacionesgeométricasentre ellas que posibiliten clasificacionessencillas (igual longitud o área, etc.). r Enumerar, describir y contar los elementos de una figura plana. o Generar figuras a partir de otras y diseccionar figuras. . Clasificar los triángulos y los cuadriláteros. . Comparar y ordenar según longitudes y áreas. o Poseer nociones y métodos de medida, y relacionar las magnitudes de longitud y área. Algoritmos de cáLlculode áreas. . Medir ángulos de polígonos. ¡ Conocer las transformaciones elementalesdel plano y sus propiedadesmás simples.
geoo Describirsituaciones con diferentes lenguajes reales,fenómenosy experiencias figuraso graficos). métricos(palabras,símbolos,signos,fórmulas,expresiones, o Reconocermagnitudesy conocerunidadesen el casode longitudes,superficiesy volúmenes,sabiendométodosdirectose indirectospara medir. r Distinguirfiguras lineales,planasy espaciales, describiendosus elementosy haángulos,simetría, llandolas relacionesde igualdad,incidencia,perpendicularidad, etc.,entredichoselementosmedianteel lenguajeadecuado. r Reconocery explicarfigurascongruentes, o equivalentes segúnun crisemejantes terio dado (en áreao volumen). ¡ Definir conceptosy enunciarpropiedadesgeométricas, tanto planascomo esp¿rciales,sabiendodeduciro inducir algunasfundamentales. r Enunciary explicarlas relacionesmétricasdel triángulo y las propiedadessobre las que éstasse basan(Thales,Pitágoras...). r Conocery situar en el tiempo aspectosrelevantes de la historia de la Geometría y su relacióncon el progresode la Humanidad.
(6-12años) 2, Objetivosterminalesde procedimientos . Comparar,identificary relacionarfigurassegúncriteriosdiversos. o Empleartransformaciones geométricas planaspara generary clasificarfiguras. ¡ Iniciarseen la utilizacióncorrectade instrumentosde dibujo para representarfigurasplanas(regla,compás,escuadra,cartabón...). . Elaborarplanosy representaciones sencillas. e Construir modelosde figuras lineales,planasy espaciales. . Aplicar las nocionesy métodosde medidade longitud y áreaal resolverproblemas realesy al deducir algoritmosde calculo (fórmulas).
3.
Objetivos terminales de actitudes, valores y normas (6-12 años)
o Mostrarinclinaciónpor interrogarse y buscarrespuesta planteadas. a lascuestiones preguntar hasta obtenerla información suficientey organizarlapara ser Inquirir, ' utilizada. . Valorar el esfuerzoy la planificaciónpa,radescubriry conocer. o Reconocerla elaboraciónde modelosfacilita el estudiode la realidad. . Utilizar correctamente los instrumentosgeométricos para representar figurasplanas y resolverproblemas. . Conocerlos términosque designanfiguras,elementos y relacionesgeométricas.
20
5.
Objetivos terminales de conceptos (12-16 años)
Objetivos terminales de procedimientos (12-16 años)
y expresarlas ¡ Realizarobservaciones en clasificarlas, esquematizarlas sistemáticas, diferenteslenguajes(símbolo,palabra, fórmula, figura...) sabiendorealizarIos cambiosde lenguaje. ¡ Usarlos métodosinductivosy deductivos. r Relacionarla Geometríacon las otras disciplinas. r Medir por métodosdirectose indirectoslongitudes,ángulos,superficiesy volúla unidadadecuadae indicandoel gradode precisiónobtenido. menes,escogiendo r Aplicar la proporcionalidaddirecta o inversaa la resoluciónde problemasgeométricos. ¡ Resolverproblemaspor tanteo,por métodoanalíticoy por métodográfico,realizandola comprobaciónde las solucionesobtenidasy la discusiónde las mismas. ¡ Clasificary ordenarfigurasplanasy espaciales. r Construirmodelosde figuraslineales,planasy espaciales. o Hacerconstrucciones gráficasplanascon instrumentosde dibujo. r Hacerrepresentaciones planasdel espacio. r Usarlastransformaciones geométricas (isometrías y semejanzas) paraclasificar,generar y analizarhguras. o lnterpretarrepresentaciones y deducirdatosde las mismas(planos,mapas...).
?.1
. Usar y calcularfuncionestrigonométricas. o Estudiarfigurasgeométricas,gráficay analíticamente con especialénfasisen los triángulos. 6.
Objetivos terminales de actitudes, valores y normas (12-16 años)
o Mostrar disposicióna interrogarseen cualquiersituación,formulandohipótesisy comprobarlasexperimentalmente o razonándolas. . Criticar la informaciónque se recibeprocurandocontrastarlacon los métodoso informaciónque se posea. . Reconocerla necesidad de utilizar instrumentosde mediday dibujo, tipos distintos de papel,etc. r Valorar positivamentelas actividadesdestinadas a resolvercuestiones o descubrir hechoslo que comportaplanificar,buscarmediosadecuados,diseñarexperiencras... . Abordar las situacionesproblemáticashaciendouso de todas las técnicasa su alcance:medir, construir,dibujar,etc. o Valorar positivamenteel uso correctodel vocabularioestudiado,en ordena conseguirclaridady concisión.
22
1.3. ALGUNAS REFLEXIONES HISTORICAS Cuando una disciplina como la Geometría tiene un prestigio milenario, cabe hacer unas reflexiones, que aunque sean pinceladas, sirvan para una actuación futura. Los problemas de medidas (longitudes, áreas, volúmenes...) motivaron nacimiento de la geometría empírica. Pronto se añadieron a estas neceel ¡idades las de usar ciertas figuras en procesos constructivos y hacer representacionesgráficas y esculturales.Podemos encontrar en la cultura egipcia una culminación de geometría aplicada tanto ligada a la resolución cotidiana de problemas como a la creación artística. Su enseñanzafue restringida a una minoría de Ia jerarquizada sociedad egipcia. Entre los siglos vl y III a. C., se da en la sociedadgriega el paso decisivo del empirismo al carácter científico. Según Proclo: A Thales se unirían, junto con sus respectivasescuelas,nombrcs tan singularescomo Pitágoras, Heráclito de Efeso, Hipócrates de Quío, Eudoxo, Euclides, Arquímedes, Apolonio, etc. Los resultados fueron cuantio¡os, los nuevos métotlos pata atacar problemas brillantes y el grado de abstracción ejemplar. El conocimiento geométrico pasó de maestros a discípulos pero el acceso al mismo era ya más un problema de vocación y de acercarse a un núcleo de estudio que no un problema de estirpe. Hay que remarcar en este período los libros denominados los Elementos de Euclides. Los Elemenfos fueron libros de texto de la época, usados por los alumnos de Euclides en su escuelade Alejandría. Pero con ellos se hizo algo más que un texto. Euclides recoge gran parte del conocimiento geométrico de la época y en lugar de limitarse a una recopilación, estructura todo el ¡aber en forma lógico-deductiva: nociones comunes, postulados, axiomas, teoremas...,la Geometría adquiere rango universal. Los Elementos se conrolidan como el texto , cuyo prestigio y uso se prodigará durante dos milenios. Hay algunas característicasde la Geometría euclidiana que cabe resaltar. Por una parte, la ambición geométrica de creer ser la disciplina esencial para la descripción de la realidad. Por otra parte, se privilegian las transformaciones rígidas (que clasifican a las figuras por superposición) y se usa un lenguaje sintético al margen del cálculo efectivo aritmético. Estos aspectos brillantes representan a su vez unas limitaciones: hay fenómenos y representacionesno resolubles en términos euclidianos y se acentúa un divorcio con la Aritmética y en cierta forma con la medida práctica. La Geometría encarna el gran modelo del rigor, algo a lo que Ia Filosofía y los otros saberes deberían tender. Su enseñanza usa de interrogaciones socráticas, de dialogos peripatéticos, de esquemas trazados con estilete oobre arena y no está exenta de escritura. El énfasis está más en el razona-
23
miento deductivo correcto que en la aplicabilidad, o la exactitud de la representación. A partir de ahí la Geometría como la Aritmética formarán apartados indiscutidos e indiscutibles de cualquier formación académica. Herencia recogida por el Imperio Romano que luego se refugiará en las paredes de monasterios medievales. Las traducciones del griego al latín d,e los Elementos desempeñaráun papel esencial en la difusión del conocimiento geométrico en Europa y tendrá una trascendencianotable en posibilitar el Renacimiento, como transformación cultural y social. En el caso árabe es curioso el avance de la Aritmética hacia la algebrizacióny un remarcable conocimiento empírico de Geometríapara la generación de figuras artísticas. Sin embargo, el conocimiento arresanal de frisos o mosaicos no representaen absoluto un progreso científico, si acaso una base para una futura creación. El arte en el siglo xvl será el gran motor de nuevas geometrías para la representación: la Proyectiva y la Descriptiva son nombres con origen común en las técnicas perspectivasque los Elemenroshabían obviado. La Descriptiva pondrá el énfasis en la resolución gráfica, la proyectiva en los modelos no gráficos. A Ia superposición euclidiana se le unen las proyecciones y las perspectivas. Pronto lo que fuera un método artístico se convertirá en la base de una nueva Geometría al servicio de las construcciones y fortificaciones. Esta Geometría necesitarádel cálculo efectivo junto a la descripción sintética de formas y transformaciones.La aritmetización de la Geometría encontrará su punto feliz en Ia Geometría Analítica de Descartes:números y elementos geométricos se integrarán en un discurso perfecto, camino de una progresiva algebrización de la Geometría. El divorcio Aritmética-Geometría consumado en parte en los Elementos deja de existir. En la enseñanzasurgirá el gran debate entre una enseñanzareligiosa anclada en el clasicismo y la perseveranciaen los Elemento,sy otra tendencia más abierta a las nuevas concepcionesde la época. Con el tiempo irán surgiendo aún nuevas geometrías: algebraica, diferencial, probabilística o integral, geometríasno euclideas,combinatoria, etc. Son modelos con los que describir nuevos fenómenos que requieren una artillería conceptual matemática más sofisticada. A finales del siglo xrx será Félix Klein quien tenga la genial idea (Programa de Erlangen) de intentar definir un concepto unificador de geometría del que todos los adjetivos históricos resulten casos particulares: en Geometría se considerará un espacio (recta, plano, espacio tridimensional, superficie...) y unas transformaciones que permitan clasificar figuras (figuras equivalentesserán las que se pueda pasar de una a otra usando una transformación de la gama considerada). Los conceptos genuinos de cada geometría serán los que se conserven(queden invariantes) por las transformaciones. El desarrollo de las geometríasen la investigación ha seguido siendo una constante vital de la Matemática del siglo xx, habiendo sido remarcable el
24
cmpuje dado por Hilbert. Este esplendor en investigaciónha contrastado con un fluctuante cambio en la enseñanzaelemental de la Geometría. Centremosunos momentos el discursoen el caso españolde las últimas décadasa nivel obligatorio. En la escuelatradicional, de pupitre con tintero, pizarra y estufa de leña la Geometría, quedó esencialmenterelegada a los aspectosmétricos (cálculo de áreas y volúmenes de figuras planas o espaciales),una introducción a la trigonometría y una fuerte tendencia a la resolución automática de problemas. En algunos casos se dieron incursiones a unas ideas axiomáticas que dejaban perplejos a los estudiantes obligados a memorizar y recitar unas propiedades que por evidentestenían una oscura importancia. En el aspecto algebraico se primó más la resolución de ccuacionesy sus sistemasque su interés geométrico. Se dieron ciertas iniciativas muy interesantes(véaseP. Puig Adam, 1958, 1967). Globalmente la situación empeoraría años después. Con el nacimiento de la denominada Matemática Moderna (debe recordarse que el arte gótico fue llamado en su día arte moderno) la Geometría en la enseñanzallegó a ¡u estado más lamentable: ¡el olvido!, frente a unos diagramasy enfoqucs conjuntistasque no supieron ni conservarde las viejas tradicioneslo bucntt que en ellas podía haber. Progresivamente,la fue dejando paso a las reflexionescríticasy a la que podríamos llamar (postmodernización>. Aquí ha resurgidocon fuerza el valor de la Geometríaen el currículo. Nuestra época, sumida en un eclecticismo integrador, ha reivindicado tanto valores antiguos (el cálculo mental por ejemplo) como nuevos enfoques (el material y el Iaboratorio como base de aprendizaje).Hoy la Geometría vive de nuevo un momento de esplendor: todo el mundo reconoce ru calidad y su conveniencia.No obstante el debate de su didáctica está hoy por hoy abierto.
-l
Entorno Hay que mirar mucho para llegar a ver (ANtotNE nE S¡.INI Exup¡ny)
La palabra entorno aglutina realidadessustancialmentediversas:hay un entorno natural ajeno a la creatividad humana y hay un entorno artificial que el hombre ha creado con su ciencia,su tecnologíay sus artes...,el viejo sueño de la Geometría fue precisamenteser el lenguaje adecuado para des-
cribir y transformar estos ent'ornos en sus vcrticntes más elementalesy a la vez más profundas: las dimensiones,las f ulrnas, los movimientos, las relaciones cualitativas y cuantitativas, etc. El entorno, en su sentido más amplio, ha sido y seguirásiendo, el gran reto, manantial y fuente de los estudios geométricos, no sólo para motivar descripcionesy modelos sino, lo más interesante, para que con dichos resultados geométricos pueda incidirse en la transformación de la realidad. En la enseñanza,demasiadoa menudo se ha confundido el entorno con el aula, la realidad con la pizarra. Este capítulo reivindica esencialmenteel uso de los entornos humanos como material para la educación geométrica.
2.I.
GEOMETRIA Y NATURALEZA
2.1.1. Los fenómenosnaturales EI entorno natural siempre ha sido fuente de estudio e inspiración de la actividad humana. Los orígenes de la Geometría hay que buscarlos en las situaciones y problemas del entorno, como los que tenían las antiguas civilizaciones egipcias con las crecidas e inundaciones de las tierras producidas por el río Nilo. Multitud de fenómenos naturales han hecho crecer, desarrollar y aplicar los conocimientos geométricos para su descripción, control y estudio. Entre ellos cabe destacar los problemas de medición del tiempo, de localización y situación geográfica, la descripción y reproducción de modelos de paisajes, la forma, el tamaño y el crecimiento de los seresvivos, el análisis de la constitución de la materia, la explicación del cosmos, etc. El estudio de los hechosnaturales desdeuna perspectivageométrica, además de tener un intrínseco interés cultural, tiene un enorme interés pedagógico de caÍa a motivar la enseñanza-aprendizajedg la Geometría. Se puede hablar en este sentido de una fenomenología didáctica tal como la define el profesor H. Freudenthal (véaseFreudenthal, 1983).
nes y proporciones y las de elección de sistemasde referencia, con el uso de coordenadas,etc. En cuanto al análisis figurativo, es el que hace referencia al tipo de forma independiente del tamaño y el material, como es el estudio de la regularidad, de la simetría, de las transformaciones geométricas,el caos, etc. Por último, en el análisis estructural nos ocupamos de la estructura formal de los objetos, analizando sus esquemasde constitución, sus propiedades cualitativas, como son las relaciones topológicas, proyectivas, afines y euclídeas. La actividad espacial puede enmarcarseen dos tipos de procesos:el que corresponde ala traducción en clave geométrica de los fenómenos y el que favorece el desarrollo de Ia intuición geométrica, La actividad espacial en el entorno constituye el soporte adecuado del proceso de conceptualización espacial, las observacionesy experimentaciones geométricascon los objetos y sistemasde la naturalezapropician el conocimiento operacional de las nociones espacialesy permiten estructurar las operaciones mentales que da lugar a la representación espacial (Fig. 2.1). El comportamiento espacial es distinto según el tamaño del espacio quc se considere. Se puede distinguir cuatro tamaños de espacio donde las acciones geométricas se realizan de distinta manera: . EI micro-espacio: Es el que corresponde a la Geometría con el uso del microscopio. Las actividades propias son las de creación de modelos teóri-
Representación mental
2.1.2. La actividadespacialen el entornonatural Básicamentepodemos enumerar tres tipos de accionesgeométricasreferentes a la actividad espacial en el entorno: el análisis cuantitativo, el análisis figurativo y el anólisis estructural. Por análisis cuantitativo entendemos operacionesen las que se realizan medidas numéricas, como son las longitudes, amplitudes, áreas,volúmenes; las que expresan relaciones numéricas, como son la determinación de razo-
28
Figura 2.1.
Esquema del proceso de conceptua[z¿gión del espacio.
i gT r i IT-AL U N i VEF r SlDünD tiI 105[ f'ALrJfrS FP'ANttSt0 lrlii:i'-A'i 1¡¡rili:;i 5iSTF¡flf,
29
cos. Es el ámbito de estudio de las cstlr¡ctr¡rasmicroscópicas:moléculas, virus, células, etc. o El meso-espacio:Es el espaciode los uh.ictt)sque se puedendesplazarsobre la mesa. Permite efectuar manualmcntc exploracionesgeométricasy transformaciones. Corresponde al estudio de rocas, plantas, flores, etc. ¡ El macro-espacio:Se trabaja con objetos entre 0,5 y 50 vecesel tamaño del sujeto. Se pueden efectuar representacionesgráficas. Es el ámbito de los trabajos de campo, cortes topográficos, etc. r El cosmo-espacio:Pone en juego los problemas de referencia y orientación. Su ámbito de estudio corresponde a los fenómenos ecológicos, geográficos, topográficos y astronómicos (Cuadro-ejemplo 2.1). CUADRO-EJEMPLO2.I Posibles actividades geométricas en el entorno natural
TAMAÑO DEL ESPACIO
6l
Micro-espacio
Meso-espacio
Macro-espacio Cosmo-espacio
Analizar las distanclas y proporc l o n e s l n te r a tómicas de un modelo molecular o vírico
An a liza r la se cu e n cia d e lo s ángulos de crecimiento de hojas de ramas de distintos árboles.
Tomar las medidas necesariasde un pequeño montículo de los alrededores para poder realizar su alza d o topográfi co .
D etermi nar l as medidas necesanas para construi r a escal a model os de l as distintas constelaciones.
Visualizar y estud i a r l o s e je s y planos de simet r í a d e u n a e structura cristalina o vírica.
Clasificar según lo s d istin to s tipos de simetría flo r e s, p la n ta s hojas, caracoles, animales. etc.
Co n s trui r una m a q ueta topográfica y analizar su forma, desniveles, cortes, fallos, etc.
Hacer una observaci ón astronómica para localizar en la esfera cel este di sti ntas constelaciones.
Construcción de m o d e l o s e str u cturales de cristal e s , o v i r us( l) .
Explorar y hacer un grafo de tipo de <árboración> de distintas ramas de árbole s( 2 ) .
Diseñar e interpretar mapastopográficos(2)
Tomar las referencrasy onentacrón necesari a para colocar en una pequeña cúpul a geodési ca l os model os de l as di sti ntas constel aci ones(2).
(J
BO
o
(l) VéaseC. Alsinay J.M. Fortuny, 1988. (2) VéaseJ Giménezy J.M. Fortuny, 1987 (3) Véaseactividadtipo
30
ACTIVIDAD TIPO DE TRABAJO DE CAMPO . Nivel: 12-14 años. e Objetivos: Práctica de conceptos geométricos sobre el terreno con especial énfasis en los aspectosde medidas lineales,superficialesy de ángulos, y teniendo en cuenta aspectos físicos como la gravedad, los puntos cardinales, la trayectoria solar..., etc. . Materiales: Regla de 50 cm, cinta métrica de 20 m,lápiz, transportador de ángulos grande (de pizarra), brújula, reloj. o Motivacíón: La actividad se titula .E/ itinerario misterioso. Hay un punto de SALIDA y una META de llegada, y diversos lugares donde cada equipo encuentra las instrucciones para poder llegar al punto siguiente. A parte de las instrucciones de pasar de un lugar a otro pueden añadirsesobres plantean-docuestionesdiversas o graduando un problema en variasetapas (completar datos a Io largo del itinerario). Esta variante permite practicar, a parte del descubrimiento del itinerario en sí, cualquier tipo de conocimientos. Si bien el itinerario podría ser urbano, la actividad es más recomendable en el campo. Cada equipo participante deberá poseer el material mencionado.
Instrucciones tipo a plantear en los diversos puntos son: a) Seguir en dirección norte 10 metros y girar a la derecha un ángulo de 30 grados. á) Determinar el árbol más cercano a éste (en donde se halla la presente instrucción). Buscar el punto medio entre estos dos árboles. La siguiente instrucción se halla en un punto de la circunferencia de centro este punto medio y radio 5 metros. c) Andar en dirección Nordcstc hasta hallar la siguienteinstrucción. d) Calcular el perimetro de cstc campo donde están marcados los cuatro vértices con unos palos. Una vez hecho dicho cálculo andar en dirección sur una distancia igual al perímetro calculado. Los problemas adicionales a facilitar en los puntos adecuados pueden estar relacionados con las formas de los propios cartones donde se encuentran las instrucciones o pueden ser de tipo interdisciplinar aprovechando el entorno natural o del tipo cacería de formas (véase la actividad tipo del apartado 2.3).
2.2. GEOMETRIA, CIENCIA Y TECNOLOGIA El hombre en su afán de mejorar las condiciones de vida de su hábitat ha desarrollado los conceptosgeométricosde cara a tener un mayor control y explicación de los fenómenos naturales. A este fin ha elaborado teorías y modelos científicos para describir de forma coherente la evolución de dichos fenómenos.Por otra parte ha desarrolladotoda una tecnologíapara
3l
ayudarle en su acomodación al entorrr.. lll ¡rirpclde la Geometría en esta fenomenologíacientíficay técnica hir sitlr t:l dc darle contenido formal. Así se ha producido una interacciónentrc los ¿rv¡rnccs científicosy tecnológicos y Ios progresosen el estudio de los conccptosgeométricos.Esta interacción entre ciencia, técnica y Geometría nos propolciona un marco de referencia básico para enfocar el proceso de la cdt¡cacióngeométrica.Las situaciones de aprendizaje de la Geometría se ven I'ucrtcmentemotivadas cuando uno parte de las referenciasde los fenómenos científicos y tecnológicos. A la hora de planificar situaciones de aprendizaje es muy útil disponer de una categorización de estos fenómenos. Entre los modelos científicos en que la interacción con la Geometría es más evidente podemos distinguir: los modelos cosmológicos, que nos dan CUADRO EJEMPLO 2.2 Posibles actividades geométricas en el entorno natural
explicaciones de la forma del universo; los modelos estructurales,que analizanla constitución interna de la materia, tanto desdeel punto de vista químico, biológico o geológico;los modelos eyolutivos, que nos describenlas leyes físicas; los modelos numéricos, que nos describen la geometría oculta de la naturaleza. como es el caso de la teoría de los fractales, etc. En cuanto a los fenómenos tecnológicos, la Geometría se hace presente en el diseño y uso de instrumentos cotidianos, en el funcionamiento de máquinas, en las estructuras tecnológicas de los puentes, cubiertas, edificios, etcétera, en los modelos energéticosde transformación de la energía, en el diseño asistido por ordenador, en la robótica, automática, etc. Todo lo que se ha dicho relativo a la actividad espacial, a la geometrización, al comportamiento, a la representaciín espacial y al tamaño del espacio en el entorno natural sigue siendo válido en el entorno artificial de la cienciay la técnica;por tanto, con la adaptaciónliteral de estoscomponentes nos queda definido aquí la fenomenología didáctica de la ciencia .y la técnica para la educación geométrica.
TAMAÑO DEL ESPACIO
6l
Ál
L)
-.1 O (h
a¡
F (J
I
O
Micro-espacio
Meso-espacio
Macro-espacio Cosmo-espacio
Analizar el número de esferas iguales y mutuamente tangentbs, n e c e s a r r as p a r a d eterminar un modelo atómico de un elemento químico.
Analizar numericamente la prop o r cio n a lid a d inversa de la ley de la palanca.
Contar el número y el tipo de para bar r a s construir cúpulas geodésicas.
Visualizary estu- Describirlos es- Visualizar y lodiar los ejes y quemasgeográfi- calizar los ejes de planos de sime- cos de diversas sim e tría de ortría de los mode- m áquinas s r m - d e n 5 y 6deuna los atómicos de ples. cú p u l a geodési diversoselemenca . tos químicos.
Compara el cambio de forma de di versas zonas geográfi cas según las diversas proyeccrones cartográficas.
Estudiarlos diagramas de fuerzas de diferentes m áquinas s r m ples(2).
Interpretar y construi r di ferentes mapamundi s(3).
Construir divers a s e s t r u ctu r a s atómicas de elementos químicos mediante la aglomeración de esferas( l).
(l) VéaseK. Miyazaki,1986. (2) Véasela Actividadtipo 2.2 (3) Véasela revistaP/ol núms.38 y 39.
32
Localizar puntos geográficos en el gl obo terrestre dadas sus correspondientes coordenadas.
Co n strui r dado el grafo de incidencia una cúpula geodésica.
ACTIVIDAD TIPO DEL ENTORNO CIENTIFICO Y TECNICO c Nivel: 13-14 años. . Objetivos: Describir y esquematizarla estructura geométrica de diversasmáquinas simples.
matizar el esfuerzo que hacemos con la mano para aflojar el tornillo? Completa el correspondiente esquema geométrico (Fig. 2.2):
. Materiales: Tornillo hexagonal, llave inglesa, balanza de brazos graduados y pesas. t Motivación' Propuesta de estudio de la geometría subyacenteen una serie de máquinas simples:llave inglesa, tijeras, poleas, engranajes...Todas las máquinas están basadas en la ley de la palanca. Interesa especialmentehacer reflexionar sobre los esquemas geométricos que regulan su funcionamiento. c Ficha del alumno: l. Desatornillar un tornillo con la llave inglesa. Describir la manera de hacerlo con el mínimo esfuerzo. 2. Si esquematizamosel tornillo por un punto y la llave inglesa por una semirrecta, ¿cómo podemos esque-
Figura 2.2 3. Describe otros objetos o situaciones técnicas en que hay que realizar esfuerzos parecidos al de aflojar un tornillo. C o m p l e ta l a si g u i cn tc ta b l a d e e sq u e m a ti za ci i r n g co r r r Ótr i ca (Fig. 2.3).
.1.1
Objetos reales
J
Accioltc¡ lisr r ir r
Ab r ir u n r r ¡ r L r cr la
Esquemas geométricos
4. Si la siguiente Fig. 2.4 representa una balanza con 3 arandelascolgadas en la graduación 4 del brazo derecho, ¿cuántas arancelesse deben colgar en la graduación 3 del brazo izquierdo para que la balanza esté en equilibrio? ¿Y si queremos colgar las arandelasen la graduación 6 del brazo izquierdo? ¿Qué propiedades podemos observar en la acción de la balanza que sean comunes con las de la tabla de esquematizacióngeométrica de la actividad núm. 3? Figura 2.4
2.3. GEOMETRIA Y ARTE
Pe d a le a re n una bicileta
Figura 2.3
34
Arte y ciencia comparten un factor común esencial:la creatividad como motor generadorde formas e ideas. Pero no siempre se da la feliz circunstancia de que un conocimiento científico ayude a una realización artística o de que una obra de arte motive un análisis riguroso. Las artes y las geometrías son un caso de feliz coexistencia en la cultura del hombre. La Geometría ha aportado a las artes plásticas y a la Arquitectura una gama interesante de elementosbásicos: formas y figuras, métodos paratrazarlas o edificarlas y sistemasde representación (axonometrías, perspectivas, pl anos...). La componente geométrica no agota el planteamiento artístico: es simplemente una componente más de la obra. Las dimensionesgeométricasaparecenen la obra junto con otras dimensionessensiblescomo laluz, el color o la textura. Es de la conjunción feliz de estascomponentesde donde surge la capacidad de provocar emociones, es decir, arte. Sin geometría espacialno hubiesen sido posible las pirámides, ni los templos clásicos,ni las catedralesy palacios...,ni los rascacielos.Sin el conocimiento de las figuras no hubiese existido una teoría de la proporción en pintura, ni realismo, ni cubismo. Los ejemplos de geometría versus arte son apabullantes. Y cabe notar que no sólo existe una geometría visible en muchas obras de arte sino también una geometría complementaria, a menudo invisible, que puede rodear a una obra. Así, por ejemplo, en una obra teatral puede no haber geometríapero éstase encuentraen la forma e inclinación del escenario,en la distribución de asientosal servicio de la visibilidad, en la forma de la sala oara facilitar Ia acústica.etc. En definitiva. v aunoue
35
se haya repetido hasta la saciedad,tott:¡ttlo Geometríano existiría arte, pero sin ella tampoco. Una situación recíprocainteresantccs notar lo que el arte ha motivado en el terreno geométrico,sugiriendo problcmas que han dado lugar a nuevos contenidos matemáticos.Las GeornctríasDescriptiva y Proyectiva no existirían si no se hubiese planteado cl pr
llegarse a descubrir aquello que la obra esconde, la geometría profunda, aquellos diseños que el artista hizo antes de la realización concreta. c) Creación artística basada en Geometría Aquí el objetivo es superar el histórico de las actividades anteriores para dar paso a la plena creatividad: inventar mosaicos, hacer frisos, maquetas escultóricas con cubos (policubos), bordar superficies con hilos, esbozarfiguras humanas a proporción, etc. Estos tres tipos de actividadesrequierenpor supuestouna adecuacióna cada nivel educativo y adaptarse a los conceptos geométricos previamente desarrolladosen clase.
a) Observación directa de elementos geométricos artísticos Las visitas a edificios singulareshistóricos y a los museosconstituyen un material de primer orden para descubrir elementosgeométricosglobaleso en detalles(plantas,arcos,cúpulas,frisos, mosaicos,escenarios,bancos,rosetones,filigranas,farolas, perspectivas,volúmenes,etc.). Por supuestohay que elegir convenientementelos lugaresvisitadosy no restringir Su uso a la simple observación visual. Cabe ofrecer explicacionessobre el contexto cultural de la obra, proponer trabajos a desarrollarposteriormentecon bibliografía o entrevistas, tomar notas gráficas, hacer clasificacionesde estas notas según formas o tamaños, etc. La observación directa puede también complementarse con fotos, diapositivas,videos, postales,etc., con Ia finalidad de dar una visión más universal y atemporal de la Geometría en las Artes y Ia Arquitectura. En este sentido una selecciónde imágenesdel arte egipcio, griego, romano, árabe (¡La Alhambra!), románico, gótico, renacentista,barroco y moderno puede ser un viaje apasionantepor la Geometríay la belleza. b) Observación indirecta de elementos geométricosartísticos Se trata de descubrir elementosgeométricos como trazados reguladores, proporciones,figuras, etc., que no son observablesa simple vista. Para ello se tendrá que disponer de un plano o un alzado de un edificio, o una fotografía a escala conveniente de un cuadro o fachada, o una maqueta de una escultura...,o tomar datos de medicionesen el propio lugar (espacioescénico y coreográfico). Mediante estas representacionesgráficas o fotográficas o con los modelos se procederá a descubrir relaciones geométricas tomando medidas (y pasándolas a medidas reales con cambios de escala adecuados), trazando con regla y compas rectas y círculos determinados por los elementos singulares (columnas, arcos, caras, etc.). Al final podrá
36
ACTIVIDAD TIPO DE GEOMETRIA Y ARTE o Nivel: l2-14 años. c Objetivos: Captar figuras geométricas a partir de la realidad artística. lncluyendo a las formas planas y lineales formando parte de las espacialesque las contienen. Primera aproximación a la idea de dimensión. Analizar las propiedades de las figuras captadas. Reproducciones con diferentes materiales. Clasificacionessimultáneas. . Materiales.' Entorno arquitectónico de un cierto valor artístico.Fichas de recogida de datos. Materiales diversos que permitan reproducir algunas de las formas. . Motivación; La actividad se plantea a los alumnos como una
como de los objetos, se pucdc tcrtcr u n a vi si ó n to ta l , p a r ci a l , u n d ctr r l l c, un corte, etc. Formas lincalcs y pl:rnas apareceráncomo integrantcstlc formas espaciales. Se incitará a los alumnos a la captura de formas de todo tipo, así como de aquellasque componenun solo objeto al aplicar diferentes grados de simplificación. Para facilitar la recogida de datos sedará a los alumnos fichas en las que constará: -
Cazador. Fecha. Objeto. Situación. Dimensiones. Grado de simplificación (de qué se ha prescindido). Optica de observación (global, detalle...). Dibujo/s (vistas laterales,glob a l e s...) . Pr o p i e d a d e s ( a r e l l e n a r e n clase).
También se les entregaráun plano y los límites de la zona a recorrer.
37
A partir de las formas encontradas seprocederáa un análisisconjunto de las propiedades más elementales como: ---
tienen carasplanas? ¿Cuáües ¿Contienenrectas? ¿Tienendesarrolloplano? ¿Esuna figura de revolución? Etcétera.
Para facilitar dicho análisisse pueden reproducir las formas en plastili-
n8, papcl,mediantehilos y cartón, etcétera. Se propondrá despuésla clasifrcación dcl conjunto. Criterios apropiados para las formas espaciales son: contenerrectaso no, desarrollables o no, de revolucióno no. cóncavaso convexas,poliedros o no poliedros, según el número de caras, vértices, forma de las caras,paralelismode caras, aristas,segúnla igualdadde los ángulos,simétricaso no...
INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS l. Realizar las actividadestipo contenidasen estecapítulo. 2. Programar las actividadescitadas en el Cuadro 2.1 realizandoen cada caso la ficha del alumno. 3. Plantear actividadesde equipo que permitan llevar a lapráctica algunasde las ideasinsinuadasen el Cuadro 2.2. \ 4. Diseñaruna actividadpara el estudiode los diferentesmovimientospresentes en la aberturade puertasy veotanasde tipos diferentes(giratorias,garage,enrollables...). 5. Diseñar una ficha concretapara el alumno de la actividad tipo de Geometríay Arte. Programarcon detallela organizaciónde la clasificaciónde las formas obtenidas. 6. Adaptar la activid4d tipo de Geometríay Arte al casode un conjunto de objetos diversoscolocadossobre una mesa. 7. Plantear cómo se tlesarrollaríacon alumnosde 14-16años una (cazaDde movimientos (trasláciones,giros, simetrías...). t. Estudiar la Geometríacompletadel presentelibro como objeto (relacionescaja de letra con página, má¡genes,relacionesentre tamaños de letras...,etc.). Prógramar una actividad para alumnos de 12-14años que consistaen ver la geometría en las páginasde un periódico. 9. Programar para alumnosde 15-16años la construccióncon regla y compásde un rosetón. 10. Programar para alumnosde 12-14añosun estudiopara hacersecon todo el colectivo de la clasesobrelas proporcionesen el cuerpo humano.
38
39
Razonamiento Aproxímate a tus problemas desde el verdadero final y empieza con las respuestas. Entonces quizás algún día enconfrarás finalmente cuál era la cuestión (R. V,rN Gur-x)
El razonamiento matemático constituye un hito de claridad y rigor. Paradigma de corrección y exactitud, se distingue de otros tipos de razonamiento por el hecho de seguir unas reglas lógicas que a la vez que guían la inferencia del discurso permiten verificar, en cada paso, la corrección de las
4l
aserciones.Inducir y deducir son l'acct¡rscscncialesde este tipo de razonamiento nacido, precisamente,del estutlio gcrlrnétrico.Una de las grandes contribucionesde la cultura griega al pcrrsirrrricnto de la humanidad fue este saber mezclar, en el caso concreto dc l¿r(ic
3 .1 . P RO CE S O S IN D U C T IV O S Un proceso característico del razonamiento matemático es la generalización, es decir, la capacidadde llegar a propiedadesgenerales,conclusiones o resultados a partir de la observación, el análisis o la verificación de casos particulares. Como forma de rszoncmiento, la inducción permite demostrar una cierta propiedad aritmética o geométrica P, que se deseaválida para cualquier número natural n (n puede representar el número de lados de un polígono, las caras de un poliedro, las dimensiones,etc.). El procesode demostración por inducción de una relación { exige dos pasos: primero verificar efectivamente que el resultado P, es cierto; en segundo lugar se explicita la hipótesisde inducción que supone válida P,y de ello debe poderse seguir la validez de Pn-r. En definitiva, una vez realizado dicho procedimiento como se sabe P, se inducirá P2y de ahí Pr,..., etc., por lo-cual la secuenciade propiedades Pv Pz, P3,...,Pn...,queda verificada al irse implicando sucesivamente. Varios comentarios útiles proceden en este momento: c) El primer caso a verificar puede ser P, o P, o P,..., se trata de la primera propiedad que tenga sentido para un cierto valor natural. Así, en una propiedad { que dependadel número de lados n de un polígono será normal tomar como primer caso el P.,correspondiente a un triángulo. á) Los dos pasos realizadosen la inducción permiten sacar conclusiones sobre infinitas propiedades. Así, una demostración lógica en un número finito de etapas asegurala validez de infinitas relaciones,siendo una situación típica de lógica matemática. I-a inducción, como forma de procedimiento educativo es un motor esencial para el descubrimientoy la consolidaciónde conceptos:la propiedad { no se conoce y el juego resideen llegar a formul¿rrla relación P, a partir de analizar los primeros casos P' P2, P3,...Por ello scrlr común a muchas
42
situaciones didácticas plantear la búsqueda inductiva. Vamos a anal\zar algunos usos interesantesde razonamiento inductivo en Geometría'
3.1.1. Inducciónpara contar Se trata de ir analizando cómo una determinada cantidad evoluciona al aumentar progresivamente la complejidad del problema (número de Iados o de ángulos o de apotemas,etc.). EJEMPLO l. Hallar la suma de los ángulosinterioresde un polígono convexo de n lados. Para el primer caso interesantet?=3 tenemosun triángulo y obviamente sus ángulossuman l80o Para n=4 tendremosuna cuadriláteroconvexo que en 2 triángulos y, por tanto, sus ángulosinterioressupodrá descomponerse marán 2'180o Aquí ya se puede observarque en generalse tratará dc dcscomponer el polígono convexo de 5 lados en 3 triángulos, el de 6 lados cl¡ 4 triángulos (Fig. 3.1)...,el de n lados en n-2triángulos. Así obtcnd¡crtros inductivamenteque la suma de los ángulos interioresdel polígono collvcx() de n lados es precisamente(n-2) 180"
Figura3.1 En algunos casos para llegar a la fórmula general buscada no sólo cabe contar inductivamente sino realizar algún tipo de operación algebraica' EJEMPLO 2. HaIlar Ia suma de las áreas de los n rectángulos de base I y altura n (Fig. 3.2). Obvi amentee st a sum a es I 'l +) xl+Jxl+. . . +71' l. Así , el pr oblem a se reduce a expresar la suma S" de los primeros n naturales mediante una expresión sencilla. AI escribir esta suma S, en dos formas diferentes: g = l+/ +J+. . . +¿ $,= n + (n - l) + (n -2) + ...+ 1 y sumar ambas igualdadesobtenemos 25, =( n+ l) +( n+ l) +( n+ l) +. . . +( n+ l) =nx( n+ l) ,
43
(b)
( a)
Figura 3.3
3.1.3. Figura 3.2
El proceso inductivo sirve en Geometríapara ver cómo evoluciona utr¿t (recta, plarelación o propiedad al ir aumentandola dimensión del espacio no, espaci o...). en EJEMPLO 4. En una recta si tenemosn puntos la recta queda dividida dividen común punto por un pasan que n+l trozos. En un plano n rectas
de donde resulta la expresióndeseada
')'=
Inducción sobre dimensiones
n(n+ l) ----¡L
3.1.2. Inducciónpara yerificar vamos a considerar ahora el caso de enunciadosexplícitos donde se plantea el comprobar inductivamente una relación o propiedad. EJEMPLO 3 (Fórmula de Euler). En un mapa poligonal el número de vértices vn más el número de regiones o caras n (las propias y la exterior) es igual al número de aristasA,más 2, es decir, n+Vn=An+2 (Fig. 3.3). En efgcto, para n=2 tenemos una cara propia y una región exterior (Fig. 3.3a)) tratándose,pues, de un polígono, y en este caso el número de vértices Vres igual al de aristasAr. Así,2+Vz=Az+2. Supongamosla relación cierta para n caras,es decir, n+V,=An+2 y induzcamosde ello la valídezparan+l caras(Fig. 3.3á) notamos que la caran+ I se obtiene al añadir el mapa de n caras unos k vértices nuevos y /c+ I aristas (en la figura k=2). Entoncesaplicando la hipótesisde inducción resulta n+ l+ V* ¡- n + l + V ,+ k = (n + V ,)+ (k+ t¡= - A,+ 2 + ft+ l = A,,,+ 2
44
(a)
(b)
(c )
Figura 3.4
45
de los ángulospoliedrosformadospor los primerosn planos.Así, si n planosdividíanenn(n-l)+) partescon l+ | tcndremos fn(n- l) + 2l+2n=n (n+ l) +2. 3.1.4. Inducción sobre conceptos Conceptosbien establecidos para una ciertafigura de n ladospuedenno ser obviospara la figura con n+l lados.un procesoinductivose impone. EJEMPLO 5. Hallar una definicióninductivamentecorrectade las de un cuadrilátero. Paran=3, dado un triángulolas medianasunenlos vérticescon los puntos mediosde los lados opuestos,debiéndosenotar que dichospuntos medios son precisamente los centrosde gravedadde los lados.paran=4, dado un vértice,una
\\:-:\
Figura 3.6
c t+ c2, (c'+ c ) + c t, ((c, * c ) + q) + c 4)+ c s,...,etc.,reiterandosimplementc el-proiesodescritoparan=2. Vistos estoscasostípicosde inducciónvale la pena notar algunosusos incorrectosde la inducciónpara prevenirde su utilización' /
EJEMPLO NEGATIVO 7. Si en un conjuntode chicasuna esrubia todas lo son.
Figura 3.5
3.1.5. Inducción sobre construcciones En muchasconstrucciones geométricas de reglay compaso de manipulación, interesadar un métodoinductivoo recurrentepara agregarfiguras. EJEMPLO 6. Dadosn cuadradosconstruirun cuadradoquetengapor área la sumade las áreasde los cuadradosdados. Para n=2 tendremosdos cuadradosC, y Cr. Yia el teoremade pitágoras (Fig. 3.6) construiremosun cuadradode área sumade la de C, y la de C, a travésde la hipotenusadel triángulo rectángulocuyoscatetosson los lados de los cuadradosC, y Cr. Dados Cp C2,...,C, podemosconstruirrecurrentcrncnte los cuadrados 46
posibledemostrarel cason=2, \a inducciónno es correcta' Lamoraleja de esteejemplonegativoesque el procesode demostración inductiva debe cubrir todos los casos-
ción rebasa,en la mayoría de los casoscl rrivcl obligatorio de enseñanza,Io que sí merece atención especiales intlut'it ('(,ttil'ptos,propiedades y relaciones, Íazonando como éstosevolucionanul ¡tuntcntarIa complejidad:aumentar número de lados o caras,pasar a la tlirrrcnsiónsiguiente,etc. Es común en educación que no de una propiamente dicha, el proccso cs tremendamente fundamental: la intuición, la experimentación, los primeros casos..., posibilitan ÍazonaÍ ejemplos más difíciles, más interesantes.Y también puede considerarseilustrativo el observar cuando esta inducción falla (por ejemplo, los poliedros regularesespacialesextiendena los polígonos regularesplanos...,pero en el espacio sólo hay cinco y en el plano infinitos [!]). Tampoco debe confundirse el razonamiento inductivo con Ia exÍrapolación de datos: en Estadística, a partir de una colección de datos se intenta deducir el siguiente (n días de cotización en bolsa, n temperaturas...). Pueden darse predicciones pero no inducciones seguras (es curioso, observar que la inmensa mayoría de los mortales induce opiniones generalesa partir de observacionesmuy particulares, así una persona que conoce sólo un americano puede afirmar que ). Discutir inducciones correctas e inducciones erróneas (aunque populares) es también un buen argumento educativo.
(b) aaa
(c) aaa
Figura 3.7
3.2. PROCESOS DEDUCTIVOS Las deducciones Iógicas en Matemáticas son el método caractcrístico con el cual desarrollar los conceptos.A partir de unos términos dados, sc dan unos postulados o propiedadesque deben aceptarsecomo válidas sin justificación y de ahí se infieren los teoremas Ios cuales exigen vna demostración.
3.2.1. La fundamentaciónde Ia Geometríade Euclides ACTIVIDAD TIPO DE INDUCCION ¡ Nivel:9-10años. . Objetivos:Obtenciónde poligonales por recurrencia: Descubrimiento de la regla aplicadae inducir la serie siguiente. . Materiales:Papelde malla triangular (isométrica),papelcuadriculadoy papel vegetal. . Motivación'Propuesta de estudiode cada una de las colecciones de dibu-
en de Euclides Por su interéshistóricocitemosalgunosplanteamientos
jos utilizandopapeltransparente para superponerimágenessucesivas y descubrir lo queseha añadidoal casoanterior. En el caso c) se puedereproducir la seriedoblandoun rectánsulo de papelvegetal. . Ficha del alumno: l. Observacon atenciónestasseries de dibujos y añade I o 2 más a cadauna (Fig. 3.7a,b, c).
(a)
aa
48
a
susElementosde Geometría.Euclideseligiócinconocionescomuneso axiomasgenerales: l. 2. 3. 4. 5.
Cosasigualesa una tercerason igualesentresí. Si a cosasigualesse añadencosasiguales,las totalesson iguales. Si a cosasigualessesustraencosasiguales,las diferenciassoniguales. son iguales. Cosasque puedenllevarsea ser congruentes El todo es mayor que su parte.
A continuaciónEuclidesda cinco postuladoso axiomasparticulares: Pl. Por dos puntosdistintospasauna únicarecta. P2. Un segmentorectilíneopuedeser siempreprolongado. P3. Hay una únicacircunferencia con un centroy un diámetrodados. P4. Todos los ángulosrectosson iguales. P5. Si una secantecorta a dos rectasformandoa un lado ángulosinteriores cuya sumaes menor de dos rectos,las dos rectassuficientementeprolongadassecortan en estemismo lado. 49
il Por otra parte, Euclides da los ttinttitto,r,definicioneso descripciones. Ejemplos de estostérminos son: Tl. T2. T3. T4.
Un punto es aquello que no ticnc partcs. Una línea es una longitud sin anchula. Las extremidadesde una línca sorr puntos. Una recta es una línea que yacc por igual respecto de todos sus puntos.
El gran mérito euclidiano es haber elegido unas basesesencialesen las que poder deducir, con ayuda de los principios lógicos, los resultados más básicosde la Geometría.
3.2.2.
Implicaciones para la enseñanza
Comentemosahora las limitacionesy posibilidadesdel procesodeductivo geométrico a nivel de enseñanza.En la deducción interviene,como hemos venido comentando, no sólo una cierta soltura en los conocimientos geométricossino una cierta habilidad en principios lógicos. Así pues no será hasta la etapa posterior a los l6 años en que tendrá sentido plantear deducciones en el sentido riguroso de la palabra. No obstante, y para llegar a ello, cabe plantearse determinadas habilidades deductivas desde los primeros niveles, pero atendiendo a las limitaciones de cada caso. Enumeremos algunas actividades recomendables: a) Trabajar la equivalencia de propiedades Se trata de distinguir propiedadesequivalentesde las que no lo son. Hay que recordar y saber escoger,en cada caso y en función de su uso, cuál es la versión de una propiedad que interesa poner en juego. Este apartado puede ser relevante en relación a las clasificacionespues propiedades equivalentes se traducirán en clasificacionesidénticas. Así, por ejemplo, ser isóscelespuede leersedesdela igualdad de dos lados o desde la igualdad de dos ángulos; ser un triángulo rectángulo puede entendersevía la existencia de un ángulo recto o vía la validez del teorema de Pitágoras,etc. Los cambios de lenguaje(dibujo, ecuación,representacióngráfica...)son también un caso interesante de expresar una misma cosa en formas diferentes. b) Saber reqlizar e interpretar la conjunción, disyunción y negación El uso del
{ convexidad conjuntada con la de igualdad de lados ángulos.¿Quéquiere decir que un polígono no sea regular? c) Saber comprender el campo de validez de los cuantiJicadores Ello incluye dar significado a expresionesdel fipo <. La existencia de algo se reduce a menudo a dar una construcción efectiva. Así, la existenciapuede equivaleren muchos casospor ejemplo, a una verificación gráfíca de que tal punto o tal figura se puede construir. El proceso de unicidad acostumbra a ser márscomplicado y a menudo exige un razonamientode reducción al absurdo consistenteen suponer la existencia de dos solucionesdistintas y de ahí deducir una contradicción. El caso de cuantificadoresdel tipo , (para todo)), (cualquier))...,etc., es sumamente importante, pues exige delimitar dentro del tipo de figuras o movimientos con los que se está trabajando a cuáles afecta la propiedad. A menudo, será convenientegraduar estas propiedades generalesanalizí¡ndolas desde los casos más regulares a los más generales.Por ejemplo, si se trata de concluir que (en todo cuadrilátero los puntos medios de los lados determinan un paralelogramo> se puede empezarpor ver lo que sucede en un cuadrado, un rectángulo, un paralelogramo, un trapecio y un trapezoide. Un caso interesanteal que hay que prestar especialatención es el de distinguir casosparticulares de los casos generales,resaltando las hipótesis o condiciones suplementarias que llevan a distinguir el caso particular. Hay una famosa situación en las clasesde Geometría que merece especial atención. El profesor deseaque el alumno dibuje en la pizarra o en su cuaderno un triángulo cualquiera. El alumno dibuja un equilátero o un rectángulo. Para é1,si vale, estos dos casosestán bien hechos. El profesor desapruebala propuesta porque entiende por .
5l
Imaginemos la siguientesituación cn cl ¡rul¿r.Un niño dibuja un triángulo (Fig. 3.8.), lo recorta y, a continuaciirn, kr parte en tres trozos para poder disponer de los tres ángulosdel triángulo. l,uegojunta estostres ángulosy v¿ que suman 180o.
Figura 3.10
t I l i_:
srl ¿¿\
Figura3.8 En determinado nivel es absurdo intentar aiadir argumentos a esta (demostración>. Porque incluso estos argumentos adicionalespueden hacer tambalear la confianza en las propias experiencias. En cambio, el mostrar contraejemplos, el ver casosen donde ya no vale la propiedad analizada puede ser muy instructivo, como lo es el propio proceso de tanteo para dar con una demostración. A partir de los l2 años las pequeñasdeduccionessí que son deseablesy en Geometría las demostracionesvisuales son especialmenteatractivas. Dichas demostracionesvisuales son particularmente recomendablesen los casos de equivalencia de áreas o yolúmenes, superposiciones efectivas de figurqs y descomposicionesdefiguras. En la Fig. 3.9 se demuestra el teorema de Pitásoras.
También tienen interés las demostraciones dinámicas. Asi. en la Fig. 3.10 puede verse cómo una recta genera un cono y, en Ia Fi g. 3. 11,cóm o de un cilindro puede pasarse a una hiperboloide.
Figura 3.11 a/
ACTIVIDAD TIPO DE DEDUCCION . Nivel: l5-16 años.
.á
c Objetivos: Demostraciones gráficas del teorema de Pitágoras. Expresión algebraica y geométrica.
b Figura 3.9
52
e Materiales: Cartulina, del alumno.
tijeras, ficha
c Motivación' Plantear la equivalencia de superficiescomo un método de demostración de teoremasgeométricos. Utilizar la traducción de lengua.jcs geométrico y algebraico como vehículo de expresióndel procesodemostrativo.
53
4. Construir un rompecabezasque corresponda a cualquiera de las tres demostraclones anterlores.
c Ficha del alumno: l. Describir las acciones realizadas en cada paso de la siguienteconstrucción (Fig.3 .12 ).
Figura3.12 a) ¿Cu6les el principio que sejustifica? ó) Enunciarloen otros términos(relativosa los ladosde los cuadrados). 2. Completael siguientecuadrode traducciónde lenguajes(Fig. 3.13).
Lenguajegeométrico
Lenguaje algebraico
Lenguajeordinario
(m+ n )2 = a T * t'
( m + n ¡ z=
m2+ n2+,(t;,+, -
Figura 3.13
3. Explicar el proceso y comparar con la construcción del númeroI (Fig. 3.la).
54
55
INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS l. Realizarlas actividadestipo contenidascn estecapítulo.
Programaruna actividadde laboratoriode tipo induczas,y asísucesivamente. ción para alumnosde ll-12 añosque conduzcaa averiguarcuántaspiezasdel para construir sucesivasZ. primer tipo son necesarias
2. HaIlar inductivamente el númerode diagonalesque puedehaberen un polígono convexode n lados.
14. Adaptar y programarel problemadescritoen el ejercicionúmero2 para alumnos de 9-10años.
3. Encontrarel númeromáximo de ángulosinteriorescóncavosque puedeposeer un polígonode n lados.¿Quése puedededucirsobreel númeromínimo de ángulosconvexosque puedetenerun polígono?
el teoremade que permitademostrarconstructivamente 15. Idear un rompecabezas la altura para triángulosrectángulos.
4. Dado un polígonocóncavode n ladosy considerando simultáneamente los ángulosinterioresy exteriores,¿cuáles el númeromáximo de ángulosrectosque se puedencontar?
16. Idear una actividadde laboratorioen la que se estudienlos métodosde obtenestudiara qué nivelespodría ción de triángulosequiláterosdados.Previamente plantearseesta actividad.
5. Si se poseeun cuadradocuadriculadodividido en n2 cuadraditos, ¿cuántos cuadrados se podrían enumerar en el dibujo? Plantear inductivamente el recuento. 6. Dado un rectángulode ladosa y á diferentes, constrúyase el rectángulode lados a y a+b. A partir de ésteel de lados a+b y 2a+b. Seguirinductivamenteesta progresiónde rectángulos.¿Quétipo de sucesióndeterminanlos lados menores?,¿y los mayores?Calcularlas proporcionesde dichosrectángulosy averiguar si tiendena un límite.Indicación:dadala sucesiónl,1,2,3, 5, 8, 13,..., sesabequeel límite de cadatérminodividido por el anterioresel númerode oro
a=Uf =1 .6 1 8 . 7. Demostrarla validezde la fórmula de Euler directamenteen los casosde los cinco poliedrosregulares.¿Porqué sólo hay cinco? 8. Establecerinductivamenteque tras lanzarn rectasal azar en un plano, la división resultantesiemprese puedecolorearcon 2 coloresde forma que carascon frontera(no puntual)comúntengancolor diferente.¿Encuántasregionespuede dividirse el plano con estas¿ rectas? 9. Demostrarque el postuladoP5 de Euclidestal como estáenunciadoen el apartado 3.2,es equivalentea decir que por un punto exterior a una rectasólo puede trazarseuna paralela. 10. Utilizandolos principioseuclidianosdeducirpor qué los ángulosde un triángulo sumandos rectos. 11. Demostrarque dadasdos figurassemejantes la divisiónde susáreases siempre el cuadradodelarazón de semejanza. 12. Completarcon algunasotras seriesde dibujoslas que aparecenen la actividad tipo de inducción. 13. Utilizandoel tetraminoZ sepuedeconstruiruna nucva/. empleandodichaspie-
56
57
Representación ..levantaron un Mapa del Imperio y coíncidía punlualmente con é1. Menos Adictas al Estudio de la Cartografía, las Generaciones Siguientes entendieron que este dilatado Mapa era Inú/i/. (JoRcE Lurs BoRcEs)
Las representaciones en Geometríahan sido, por sí solas,un núcleo central de interés. Las representacionesgráficas, planas o espaciales,tienen una larga tradición y prestigio, habiéndose de distinguir las representacionesal servicio del propio razonamiento geométrico de las representacionesque gra-
59
tuación de comprobar que un triángulo rectángulo se percibe mejor si un lado del ángulo recto está en posición horizontal que cuando está en posición inclinada (Fig. 4.2). En la educación geométrica el correcto desarrollo de la percepción visual es fundamental para alcanzar un perfecto conocimiento de las relaciones espaciales.La percepción visual, igual que el lenguaje, puede ser aprendida, favoreciendo así el desarrollo del conocimiento seométrico.
planos y diseños.A la popular cias a la Geometríaposibilitan haccl rrrir¡.rirs, afirmación de que se le podría añ¿rdilcl enorme interésde las . Pero no se agota el repertorio de reprcsentaciones con las meramentegráficas. Modelos o maquetasa escalason otra fuente de análisisgeométrico. Hoy se habla más que nunca de la imagen. Las imágenes más genuinas y, en cierta forma, más bellasson las ligadasal mundo geométrico...,un eslabón insoslayable e imprescindible en todas las etapas educativas.
4.I.
N VAN
VISUALIZACION
Cuando nos enfrentamos a una situación nueva, por ejemplo, cuando entramos en una ciudad desconocida, vamos percibiendo a través del sentido de la vista diversoselementos:árboles, coches,casas.En una segundafase vamos integrando estasprimeras imágenesen una estructura más compleja, percibiendo las calles, las manzanas de casasy las grandes zonas urbanas de la ciudad. Obtenemos así, de forma gradual, una imagen visual de la misma que podemos reconocer en una posterior visita. Este proceso de captación y formación de una imagen mental es lo que se llama el proceso visual. En Ia construcción del proceso interviene nuestra experiencia previa haciendo asociacionescon otras imágenes mentales almacenadas en nuestra memoria. EI desarrollo completo del proceso visual es esencial para lograr una adecuada percepción espacial. De hecho es un primer paso para obtener un conocimiento de las estructuras espacialesque nos rodean. Los estímulos visualesson el medio que hace ayanzar el proceso de construcción de imágenes mentales. En las personas ciegas,los estímulos visuales se sustituyen,en menor grado, por el desarrollode otros sentidos,como el del tacto, de cara a tener una mínima percepción espacial. El sentido de la vista, a veces,no es absolutamentefiel en la percepción de las imágenes de las formas. El contexto, los hábitos y costumbres influyen en el procesamiento de las imágenes. Ejemplos ilustrativos son las conocidasilusionesvisuales(Fig. a.l). En el currículo escolares familiar la si-
Figura4.2
I
& I
La percepciónvisual exige el desarrollode una seriede habilidadcs,c¡rtre las que destacan el saber ver y el sober interpretar. Estas habilidadcs Ilo son innatas e instantáneas,deben ser aprendidas.Un ejemplo de est¿rctlnsideraciónes presentarla Fig. 4.3 y preguntar a alumnos de distintos nivcIes todos los triángulos, cuadriláteros, pentágonos, líneas paralelas transversales,y las relacionesgeométricas que pueden ver.
Figura4.3 La adquisición de técnicas y habilidades de percepción visual puede ser aprendida simultáneamenteal estudio de la Geometria, ya que ésta requiere que el alumno identifique y reconozca figuras, formas, relacionesy propie-
Figura 4.1
60
1 t
L
6l
dadestanto en dos como en tres dimensiones. Existenprogramasde entrenamientode la percepciónvisual.Uno de los másconocidosesel programa Frostig en el que se diseñanactividadespara desarrollarhabilidadesclasificadasen sietecategorías(véaseA. H. Hoffer, 1977): l. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
La coordinaciónvisual-motor. Percepcióndel fondo y formas. La constanciaen la percepción. La posiciónen el espacio. Las relacionesespaciales. La discriminaciónvisual. La memoriavisual.
Exploraciones: Se presenta al alumno una colección de los 5 modelos y una bolsa conteniendo la otra colección. Bajo la mesa y sin mirarlo, se le pide que saque uno y 1o identifique con los de la colección expuesta. Se repite la operación tantas veces como sea necesarlo.
Material:
-
ACTIVIDAD TIPO DE PERCEPCION ESPACIAL
. Objetivo: Desarrollar la habilidad de percibir formas espaciales. c Motivación' Para diseñar actividades de percepción espacial, los poliedros son de gran utilidad, ya que tienen unas propiedades geométricas perfectamente definidas. Utilizando poliedros, se presentan aquí cinco fichas de actividades que ilustran las distintas
Expioración: Seleccionarlos poliedrosque correspondena cada uno de las definicionesde poliedro regulary semirregular.
B) Actividad 2 (estructuración)
-
c Nivel: 14-16 años.
-
boctaedro, octaedro, tetraedro y dodecaedro. Definiciónde poliedroregulary semirregular.
fases del desarrollo de la percepción espacial (véasesección l.l).
-
D) Actividad 4 (determinación)
Modelo de tronco de pirámide irregular triangular (Fig. 4.5). Plantillas de triángulos equiláteros y cuadrados de igual lado. Cinta adhesiva.
Material: -
Tetraedrosde porespán. Sierra para cortar porcsp/rn o cutex.
Exploración:
o Ficha del alumno:
Con sólo dos cortes del tetraedro, determinar primero una forma
A) Actividad I (visualización) Material:
2 colecciones de 5 modelossólidos de poliedros:A, B, C, D y E (Fig. a.a). Bolsade lona.
Figura4,5 Exploración: Se pide al alumno que eliga las plantillasy construyauna reproducción regulardel modelo. C) Actividad3 (traducción) Material: -
Modelosde romboedro,bipirámide pentagonal regular, cu-
E) Actividad 5 (clasificación) Material: -
Un tetraedro de porespán. Sierra para cortar porespán.
Exploración: Ensayar los posibles cortes que seccionan a un tetraedro. Proponer criterios de clasificación para agrupar los distintos poliedros resultantes de las seccionesdel tetraedro.
4.2. LA REPRESENTACION GRAFICA
Figura 4.4
62
gráficadesempeña un papelmuy importantepara exLa representación presarnuestrosconocimientos e ideas.Ia construcciónde las imágenesmentalesde nuestroentorno requierehacerpresenteen la mentelas formas y
63
las relacionesde los objetosreales.Lu r<,pr<,scnlación gráficaesuna manera de comunicación,un lenguajepara cxpr'csary construirlos conocimientos geométricos.La expresióngráficase rcalizapor mediode esquemas, figuras y dibujosmucho mássencillosy directosque los símbolosde la escritura. Es el lenguajeideal para la intuición geométrica,la percepciónvisual y en definitivaIa percepciónespacial(Fig. a.6). Figura 4.7
Figura 4.6
La comunicación grafica es, por tanto, una habilidad que tiene que ser aprendida y practicada. De hecho constituye un lenguaje universal e interdisciplinar de toda la información espacial.La representacióngráfica es utilizada tanto por geógrafos y diseñadoresprofesionales, como por matemáticos, científicos, técnicos,etc. Es una herramienta muy útil en la resolución de problemas. Algunas veces la representación gráfica de los datos de un problema puede sugerirnos las estrategias para encontrar su solución. En Geometría, no sólo es importante para expresar formas, sino que lo es para comprender razonamientos (Figs. 4.7 y 4.8, y actividad tipo de deducción). Básicamente hay dos clasesde representacióngráfica: la representación de objetos reales o concretos y la representación de ideas absfiactas
(Fig.a.e). Entre los modelos de representaciónconcreta cabe resaltar las reproducciones de modelos a escala, los dibujos en perspectiva, Ias proyecciones descriptivas, los planos y mapas a escala, etc. En cuanto a los lenguajes gráficos abstractos, podemos citar los dibujos técnicos de figuras bidimensionales, las construcciones geométricas clásicas, los esquemas,croquis y grafos, etc. A continuación se comentará brevemcnte las representaciones gráficas más significativas en cuanto a sus aplicacioncs. 64
\/
/ -.- \{ /'
3
5 t'- -
u, ,.\
-_
/'4
Figura 4.E
A) La representacióngráfica plana Hay dos posibilidades.La primera consisteen hacer una reproducción exactade la figura inicial por medio de un cambio de escala.Esta exige como dificultad perceptivael hacer un pequeñorazonamientode proporcionalidad. La segundaconsisteenla reproducciói perspectiva,queimplica el reconoceruna figura desdediferentespuntosde vista y, por tanto, la dificultad perceptualresideen tenerdesarrolladala habilidadde la constancia perceptiva. 65
grafos
lenguajes
esquemas
gráficos
geométricas clásicas construcciones
abstractos
t r+ m I Techo
dibujo geométrico2D
Planta
Figurr 4.10 map a s y d i b u j o s a e s c ala dibujos perspectivos
lenguajes
dibujos descriptivos
gráficos
2. Los dibujos isométricos
modelos reproducidos
concretos
Se reproducentres carasadyacentesdel objetode maneraque los ángulosdel punto de vista seande 120"(Fig.4.ll).
Figura 4'9
abstracias:el dibujo técnico exacto, Hay tres tipos de representaciones eI dibujo topográfrcoaproximado y los grafos topológicos.El primer caso consisteen haceruna copia perfectade la figura; su única dificultad se deriva de tener un desarrollode la habilidad de coordinaciónvisual-motora etc') en el manejode los instrumentosgeométricosclásicos(regla-compás' o modernos(pantallainteractivade ordenadores). En cuanto al segundocaso,consisteen dibujar e interpretarplanosde ciudades,mapasde carreteras,etc.; las dificultadesestribanen establecero en el espacio. fijar posicionesy orientaciones que que exige mas abstracción,es el de reconocer es el tipo, El tercer relacionestopológicasde incidencia,conectividady continuidad,etc.,en redes tanto de comunicación(por ejemplo,planos de metro de una ciudad) como de funcionamiento(diagramade circuitosintegrados).
Figura 4.1I
3. Los dibujos en perspectiva Se da la (verdaderaD imagendel objeto(Fig.a.l2).
B) La representacióngráfica del espacio Para comunicary expresarla informaciónespacialque sepercibeal obson de gran utilidad el uso de represenservarlos objetostridimensionales Hay distintos y tridimensionales. relaciones las formas planas de taciones Cada una de ellases importantepara resaltipos de talesrepresentaciones. tar un aspecto,pero es necesarioutilizar variasa lavezpara desarrollary más significompletarla percepcióndel espacio.Entre las representaciones cativaspor su utilidad prácticay formativa citaremos: l. I-asproyeccionesortogonales a cadauna de las caConsisteen un grupo de dibujosque corresponden enfrentede cada perpendicularmente es observado ras de un objeto cuando cara(Fig. 4.10). 66
Figura 4.12
4. Cortes de nivel topográfico Se dan diferentescortes,planosa alturasdeterminadas (Fig. .l3). Además de estasrepresentaciones convencionales es muy pedagógico proponerotras representaciones personales. 67
u l
Nivel I
Nivel 3
Nivel 2
á) Utilizando el papel isométrico, dibujar cada una de las posiciones (b), (c) V (d), tomando como modelo la representaciónde la posición (a) (Fig. a.l5).
objeto
Figura 4.13
{ ACTIVIDAD TIPO DE REPRESENTACIONGRAFICA . Nivel: ll-16 años. . Objetivos: Interpretar, construir y comunicar diferentes modos de reoresentación gráfica. . Material:27 cubos encajablesde I cm de arista. Hoja de cartón cuadriculada de 5 ,5 cm2.Hojas de papel isométrico y cuadriculado de I cm.
es desarrollar las habilidades de interpretación figurada, así como favorecer el progreso de los procesos visuales.
3. a) utilizando una y una ensayarla construcciónde las siguientescomposicionessobre la plantilla de 5'5 (Fig. a.l6). á) Sombrear en los dibuios anteriores la letra .
c Ficha del alumno: Exploración 1; Dibujos isométricos (G. Giles, 1979)
t. Construir una juntando 4 cu-
c Motivación' Se presenta a los alumnos diferentes policubos que tienen que construir y describir, dándoles diversasinformaciones gráficas o materiales. Se pone énfasis en la necesidad de utilizar varias representaciones eráficas. La finalidad de la actividad
Figura4.14
68
Figura4.15
bos. ¿Cuántos cubos son necesarios para construir una (SD. Construirla. a) Colocar Ia y la en la plantilla de 5'5 cm2 en cada una de las siguientesposiciones ( Fig . 4 . l a ) .
F'igura 4. | ó
69
4. Utilizando 4 cubos construir cada t¡rt¿trlc lirs siguientesfiguras (Fig. a.l7). Y comoletar la tabla adiunta.
J o
Z
:
vt.; l
._ |
L
A =l B=
ñ
(=
O
I
Fd a=
-
tt-al
d ó x':v
D=
.o
E= p=
-6 Xo
Q= H=
r:;''.,\ ^
<
AJ
¿É
I
I_
I-
(n JJ.,]
K= L= ly[=
z Q
9 |J.^
zq.,l <ú ú6 F
i\y'=
a fjl
Q=
E.¡ F
ñ-
p=
J
z F
-ffi ^ffi -ffi !H
E H E
a
= ú
H
Effi ffi !ffi ffi
O F
Figura 4.17 Exploración 2.' Cuadro de distintas representacioncsgrhlicas.
^z\
\___J.
U)
so t , it f f t o
Completar el siguiente cuadro (Fig. a.l8).
70
7l
4.3. LOS MODELOS MANIPULATIVOS El materialcomo forma de representación y estudiode la Geometríaes tan rico e importanteque hemosdedicadootro libro, el númeroll, de esta colecciónde Matemáticas:Cultura y Aprendizaje,a su descripciónpormenorizada(C. Alsina, C. Burguésy J. M." Fortuny: Construirla Geometría: Materislespsra unü Didáctica).En estaseccióndaremosunos listadosgeneralesdonde el material aparececlasificadoy de cada uno se indican algunasaplicaciones didácticas(Fig. a.l9).
A
A
H (b)
72
t5
MODELOS MOVILES Y/ O DESMONTABLES (Continuacíón)
(e) Figura4.19
de cuerpostridiDescomposiciones mensionales
D es c ompos i c i onespos i bl esde un pol i edro en otros poliedros Poliedros inscritos, duales, recíprocos. Obrención de nuevos cuerpos a partir de piezas dadas. Secciones. Secciones modulares Comparación de volúmenes. Algoritmos para cálculo de v ol úmenes .
Mosai cos
Recubrimiento de una superficie plana con polígonos iguales o no. Lo mismo con figuras no poligonales. Suma de los ángulos interiores de un poIigono. Obtención de tramas. lsometrías del plano. Angulos suplementarios. Superficies equivalentes. Paralelismo, perpendicularidad. Escalas
Tangrams cuadrangul aro chino tri angul ar rectangular o pitagórico pentagrama cruz de Ll oyd
Obtención de nuevas formas por yuxtaposiciirn lntroduc c i ón de c onc eptos rel ati v os a mc di c l asdc l ongi tud, ampl i tud y área.C onc av i dad y c onv c x i dad. C l as i fi c ac i onesS. uma de l os ángul osi ntc ri ores de un pol ígono. S uma de l os ángul os c x tc ri ()res . A reas equi v al entes .R el ac i onespc ri ntc tto-área. Introducción de algunos irracionales. T¡'iángulos semejantes,etc.
Poliminosy similares
Ceneración combinatoria de formas distintas obteni das por l a y ux tapos i c i ón de un número deter' minado de cuadrados (triángulos equiláteros). Areas equivalentes.Reunión y diferencia de áreas. Concavidad y convexidad.
Teorema de Pitágoras Teorema de la altura Teorema del cateto...
Pruebas geométricas del teorema de Pitágoras (u otros) basadasen la equivalencia de áreas.
Cubode Rubik
Estudio de los movimientos rígidos espacialesy sus c ombi nac i ones .
MODELOS FIJOS A ngu l o s
Comparación, ordenación y medida de ángulos. Transporte de ángulos, suma y diferencia.Trazado del arco capaz. Relación ángulo-lado opuesto en el caso de triángulos.
Polig o n o s
Clasificaciones múl¡ioles.
Figurasplanas
Comparación de áreas.
Figuras tridimensionales
Clasificaciones múltiples. Estudio de propiedades y relaciones. Comparación de volúmenes.
Fotografías
Análisis geométrico.
M apa s
Proporcionalidad geométrica. Deformaciones ópticas. Cálculo de distancias. Escalas.
MODELOS MOVILES Y/O DESMONTABLES Descomposicionesde poligonos surna y diferenciade áreas.Algoritmospara cálcuI círculos o cualesquierafiguras I lo de áreas.Triangulaciónde polígonoi.Sumade planas
74
I
los ángulos interiores de un polígono. Relaciones e n tr e p o líg o n o s
MATERIALES PREPARADOSPARA EL MONTAJE DE MODELOS B arras y conexi ones Cañas de bebida y limpiapipas
C ons truc c i ón de pol i edros . E s tudi o de s us el ementos . C ons truc c i ón de pol ígonos .Teorema de E uler Determinación de la existencia de poliedros a partir del número de aristas y/ o del número de caras que c onv ergenen un v érti c e.
Cubos iguales
C ons truc c i ón de pol i edros . Medi da del v ol umen. E mpaquc tami entosdel es pac i o.D es c ri pc i ónaprox i mada i l c s unc rfi c i es .Gráfi c as tri di mens i onal es .
75
MATERIALES PREPARADOS PARA EL MoN l'AJE DE MoDELos (conrinuación) Mecano
Construcción dc polígonos: existencia y determinació n . Cla silica ció nde pol ígonos.pol ígonos i sope_ rimétricos. Area máxima, área mínima. Angulos. Construcción de algunos poliedros. Deformación de polígonos Polígonos equiláteros y regulares.
Plantillas de polígonos encajables
Construcción de poliedros. Estudio de sus elementos. Teorema de Euler
MATERIALES APTOS PARA LA CONFECCIONDE MODELOS Espejos
Estudio de simetrías axiales. de simetrías esoecular e s. Re p r o d u cció nó pti ca de un cuerpo a parti r de una parte del mismo y diferentes espejos(calidosco p io s) .
MATERIALES APTOS PARA LA CONFECCION DE MODELOS (Continuación) P apel , cartul i na
Plegado de papel: Rectas, ángulos, suma de ángulos de un triángulo, intersección de las alturas, de las mediatrices,etc. Representaciónde identidadesalgebraicas. Construcción de polígonos. Simetrías. Construcción de poliedros. Areas equivalentes. Desarrollos planos: Obtención de modelos espaciaIes. Posibles desarrollos planos de un cuerpo.
P apel con trama rmp res a cuadrado triangular (equilátero o no)
Obtención de nuevas tramas lsometrías del plano. paral el i s mo y perpendi c ul ari dad.A ngul os c ompl ementari os , s upl ementari os .P ol ígonos equi v al entes .Mos ai c os no pol i gonal es A reas de pol ígonos s emerantes .
hexagonal romboidal rectangular
Tablero reglado con sierra de porespán incorporada
P aral el i s moy perpendi c ul ari dadc n c l c s pi tc i tt,( otts truc c i ón de pol i edros y c uerpos c l c Ic v ol t¡c i drtl S ec c i onespl anasde c uerpostri di mc ns i orl ¿rl c sl {.c l ac i ones entre pol i edros (regul ares .s c mi rrc gul l res ...).
G eopl a n o s c uad r a d o s3 ' 3 , 5 ' 5 rectangularesn ' rn c i rc uI a r e s
Segmentos. Posiciones relativas. Polígonos. Clasificaciones. Areas. Angulos. Perímetros. Teorema de Pitágoras. Geometría asociada al geoplano. Equivalencia. lgualdad. Circunferencia. Elementos. Angulos centrales, inscritos y semiinscritos. Po líg o n o s in scr ito s , estrel l ados, ci rcunscri tos. Congruencias. Bordado de curvas.
( ic oc s p a c i o s
Representaciónde puntos, rectas, polígonos y poliedros en el espacio. Paralelismo y perpendicularidad. Posiciones relativas de rectas. caras... lntroducción a las coordenadas tridimensionales.
Hilos y c u e r d a s
Bordado de curvas sobre cartulina. Obtención de cónicas mediante cuerdas.
Hojas transparentes y rotuladores
Pruebas dinámicas y visuales de algunas propiedades. Movimientos rígidos de figuras planas. Secuenciar la presentación de elementos relativos a una fisura.
Lámina s d e h u l e
76
lntroducción de conceptoselementalesrelativos a las deformaciones topológicas dc figuras planas.
ME C A N IS MOS
Barrasarticuladas(solaso hilos combinadaso no con elásticos) ruedasplacas
Bisecar ángulos. Trazar simetrías centrales, axiales, traslaciones, giros, semejanzas,inversiones. Trazado de paralelas, cónicas y otras curvas. Modos de superficiesregladas. Obtención de paralelogramos de igual base y altura, de triángulos de igual base y altura. Estudio de las variaciones relativas de área y perímetro.
Generador figuras de revolución
Creación de superficies a partir de partes de secciones planas de las mismas.
IN STR U M EN TOSD E M ED ID A Metro lineal Metro circular
Longi tudc s .
Metro cuadrado
A l c as
INSTRUMENTOS DE M Ul)l | ) tr ( ()ontinuación)
INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS
Metro cúbico
Volúmcnes
l . Realizar las actividades tipo contenidas en este capítulo.
Semicírculo graduado Teodolito Semicírculo con olomada
Amplitudes
t
Compásde proporción Rectángulocon plomada Hipsómetro,Cuadrante
Razones
Representación de geodésicasen cubos y ortoedros. Problema de investigación.'Situadosen una habi tación nos imaginamos que, en el centro de una de las paredes pequeñasy a 30 cm del techo, hay un dragón. Delante a 30 cm del suelo, unainosca
(Fig.a.20). Sepide:¿Cuálesel caminomáscortoquehabrá de seguir el dragón para comerse la mosa?
Figura 4.20
Montaje experimental: Formulación de hipótesis (a priori): Dibujar el camino en perspectiva y en proyección general. Para comprobar la validez de tus hipótesis te proponemos quc hagas la siguiente experiencia: Material necesario: -
3 hojas de papel vegetal. Regla graduada, escuadra,compás, lápiz y rotulador. Tijeras, pega, papel folio, cinta adhesiva. l0 chinchetas, hilo (40 cm), cinta métrica (10 m).
Procedimiento: l. Mide con la cinta métrica las tres dimensionesde la habitación largo
ancho
alto
2. Distingue cada una de las paredes interiores con las letras A, B, C, D, E, F, como indica la Fig. 4.20. 3. Encuentra una escalade manera que el desarrollo plano de la habitación ocupe una hoja de papel vegetal. 4. En cada una de las hojas, dibuja a escala,un desarrollo diferente de la habitación, marcando la posición exacta del dragón y la mosca (Fig. a.2l).
v o
l¡l
U
U o
t{
o
\ Figura 4.21
78
79
5. En cadadesarrolloplano,trazael segmcntode rectaque une el dragóncon la moscay mide con la máximaprecisiónlu distanciaque los separa.Rotulaa continuaciónla ruta máscorta. 6. Recortalos patrones(del desarrollode la habitación)y con pegacierralascajas. Cogiendo como modelo la caja de la ruta más corta, con las chinchetasy el hilo, sobre la pared,techo y suelo,enfila con el hilo el camino más corto que te pedíael problemade investigación. 7. ¿El resultadocoincidecon tu hipótesishechaa priori? Ampliación: -
-
Problema de investigación:lmagina que la mosca se pone sobre una de las carasde un cubo de , que hay colgadoen la habitacióny quiere que el dragónno estáen el cubo. Por ello sin salir de lascarasdel asegurarse cubo quiererecorrertodassuscaras,volviendoa la mismaposicióninicial lo mas rápidamenteposible.¿Quétrayectoria habrá de seguir?Haz una representacióngritfica. Diseño de un experimento:Para resolvereste problema te proponemosque tú mismo hagasel diseñode un experimentoque te conduzcaa su resolución. Preparandoel experimentose ha de decidir qué materialesespeclficosharás servir, y cómo los manipularáspara llegar a la solución del problema.
Figtra 4.22
E. Programaractividadescentradasen el uso de materialesdescritosen el apartaa nivelesdido 4.3. Para un mismo materialidear actividadescorrespondientes ferentes,estudiandoen cadacasolos distintosgradosde dificultad'
Cuestiones: l. ¿Hay más de una trayectoriaque te dé la mínima distancia?Represéntala indicando sus propiedadescaracterísticas. 2. ¿La longitud recorrida dependede la posición del punto inicial de partida? ¿Porqué? 3. Y una {¡ltima cuestión:Si la moscase sitúa en el punto medio de una de las aristasdel cubo. ¿Cuálesel lugar más lejanodonde puedeir sin salir del cubo? ¿Y cuál es el camino más corto para llegar a él?
3. Completary explicarlo que se observaen las Figs.4.3 y 4.7 a y ó del texto. 4. Experimentarla actiüdad tipo 4.1 con un pequeñogrupo de 4 a 6 compañeros. Redactarun informe escritoanalizandosus respuestas. l.
Realizarla ficha del alumno de la actividadtipo 4.2. (Se recomiendacompletar esta investigacióncon la realizaciónde las actividadesdel [véaseGiles,G., 1979].)
6. Cadauna de las figurasde estared de triángulossugiereal menosun teoremade geometríaplana. Indica para cada figura el teoremay la demostraciónsugeridas Gí9. a.22\. 7. Si una estructurade un cubo se observamuy cercadel centrode suscaras,éste apaÍececomo un marco en cuyo interior se sitúan todos los lados.Esta representaciónsellama un diagramade Schegel.Dibujar los diagramasde Schegelde todos los poliedrosregulares.
80
8l
Aprendizaje
Las teorías nuevas no hacen a menudo sino declarar provincianas a las anteriores. (XAvrER RUBERTDE VENTós)
Aprender es una actividad necesaria.Aprender a aprender es el fin último de la educación. Podríamos decir que no importa tanto el enseñar como el aprender. La capacidad de aprender es siempre útil y deseable.El aprendizaje en Geometría, aunque su problemática es común a las otras partes de la Matemática, posee,por supuesto,característicasespecialesen cuanto a habilidades a desarrollar, metodologías y adecuación de niveles.
83
5.1. CONOCIMIENTO Y COMPRENSION Cuando uno se plantea estudiar las basesdel aprendizaje de la Geometría cabe distinguir dos aspectos.Un aspecto corresponde a analizar cómo se construyen las relacionesespacialesen la mente de los individuos. El otro aspecto atratat, es analizar los distintos niveles de conocimiento, que sobre Ias cuestionesgeométricasse pueden tener. Aclarados estos aspectoses propio el formular las fases de aprendizaje, que favorezcan la adquisición de Ios conceptos y relacionesgeométricas.
5.1.1. Definicionesde espacio Antes de analízatcómo se adquierela noción de espacio,hay que conno hay unanimisiderarlo que se entiende,por espacio.Desgraciadamente dad en describirel conceptode espacio.Esto es debido a que existenmuchasmanerasde abordarlo.Entre las mfu significativasse encuentranlas jilosófica, física y psicológica. perspectivas dos acepEn la perspectivafilosóficasehan consideradohistóricamente ciones:espacioabsolutoversusespaciorelativo.En la acepciónde espacio de la existenciaproabsoluto,los objetosy susrelacionessonindependientes pia del espacio.En la otra acepcióncontraria,la del espaciorelativo,sesupone que el espacioquedadeterminadopor medio de las relacionesde posiciénde los objetos.El espacioabsolutoha sido defendidopor la doctrina filosóficade Platón, y Newton se ha servidode él para sentarlas basesde su rnecánicaclasica.En cuanto al espaciorelativo ha sido propuestoen la filosofíade Kant y kibniz y consideradoen Ia mecánicarelativistade Einstein. La perspectivafilosólica del espacionos sirve para fijar su naturalezay delimitarlo de las perspectivasfísicasy psicológicas. El espaciofísico es cualquierespacioatribuido al mundo exterior, esdecir, al entorno físicoque nos rodea.En contra, el espaciopsicológicoescualquier espaciorepresentadoen la mente y no existesi la mente no existe. 5.f .2.
Orígenes del espacio psicológico
Hay diferentesposicionesepistemológicas sobrela ontogénesis del espacio psicológico.Una esla posiciónempirista,que sostienequeel espaciopsicológicosederiv¿directamentede la experienciacon el espaciofísico.Otra opciónesla nativista que sostieneque el desarrollodel espaciopsicológico es determinadopor la herenciacongénitay constitucionalde cada indivi duo. La terceraposiciónes la constructivista,que sostieneque el espacio psicológicoes activamenteconstruidopor el individuo. Los factoreshere84
interacttianpara producir estaconstrucción.Por ditarios y experimentales posición tanto, en estaúltima el espacioesconstruidopor un procesoindividual de interacción. 5.1.3. Etapas genéticas Precisamente desdeestaúltima posició-n,Piagetformula su teoríapsicogenética,distinguiendodistintosnivelesde organizaciónespacial,en correspondencia con diferentesetapasgenéticas del desarrollointelectual. Las etapasgenéticasque Piagetproponeson las siguientes: . Etapa-I: espaciosensorio-motor,caracterizado por percepciones sensorialesde las relacionesespaciales. En estaetapase tiene una visión egocéntricadel espacio. . Etapa-2: espaciointuitivo, caracterizadopor representaciones intuitivas en un nivel preoperatorio. . Etapa-3: espacioconcreto, caracterizadopor representaciones operotorias. En estenivel seefectúanoperaciones reversibles con diferentes materialesconcretos. . Etapa-4:espacioabstracto,caraclerizadopor representaciones formales y abstractas.Es el espaciodescritopor la Geometríadeductivade Euclidesy Hilbert (Fig. 5.1). 5.1.4. La representaciónmental del espacio En la teoría psicogenética de Piagetse suponeque todos los nivelesde organizaciónespdcialpropuestosponen en juego actividadesde construcción por parte del sujeto.El espaciono es dado anteriormentesino que se construyementalmente,despuésde efectuarlas correspondientes operaciones.Así la percepciénespacialno esuna simpleactividadde copiade la realidad, como la que haceuna máquinafotográfica,sino que es el resultado de actividadesde organizaciín y de codificación de informacionessensoriales. De la mismamanera,las representaciones mentalesde los objetosfísicos que seapbyansobrelas accionescon los son el resultadode construcciones objetosy con las coordinaciones de estasacciones. Estasafirmacionesgeneraleshan sido comprobadaspor diversasinvestigaciones,que tratan de analizarla maneracomo los individuosadquieren susrepresentaciones espaciales. Los resultadosde estasinvestigaciones son productodel analisisde respuestas a diversassituacionesproblemáticasque se presentana los individuos,ya seavía resoluciónde problemas,tests,entrevistasorales,ejecuciónde actividades,etc.
85
d o
lc 'Es Efl .E E
E H ,ü Ó üI d
b 'a gl*
v-Y !
o
o,El>,
I
o
I I
o _o a o
ül (.n e¡
o h0
a
I
d o
¡
d
(J d
aA Q aa az 4
I oñ
ocrrloul o oepllJno orc"dsg I
a f¡
o,ulcer{ordotcudsg
E .91 =^'
za= < -q )az
z o
l¡O
O(É
HE O¡o s?o.
'6H
:l
r!A AQ
ág f¡ o
É.
o
d o o
o cr Sg lo d o lo tce d se ,
'i9
d
En resumen la construcción del espacio cabe entenderla como un proceso cognitivo de interacciones. Desde un espacio intuitivo o sensoriomotor, que se relaciona con la capacidad prítctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando desplazamientos, medidas, cálculos espaciales,etc., a un espacio conceptual o abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y razonando sobre propiedades geométricas abstractas, tomando sistemas de refereneia, prediciendo y manipulando mentalmente, etc. Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las característicascognitivas individuales, como por la influencia del entorno físico, cultural, social e histórico. Por tanto, en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría se debe tratar de favorecer Ia interacción de cada uno de los componentes que determinan la construcción del espacio (Fig. 5.2).
^O =6
o< , ; N? l Z ': . ñfi
2sh
o
F o o o E
foofl"f*f*t"t
o o0
l:
d
ugtcelueserda¿
I slúl
[3UOrJ3lUaS -erder-er¿
o ! ^v)
o d o
^.1 ¡< JD
;Q? A ri E
ntr7
^z ó
(! .(! o
PRODUCTOS:
P E N S A MIE N TO:
ME MOR IA :
-
-
.o
-
d
-
o
o o o
h
O'I'IOUUVSAC
Q"-'
o
Modelos de reproducción Representación grafica Descripciones verbales
-
Conciencia espacial Manipulación mental Resolución de problemas espaciales Imaginación espacial
-
Informaciones espaciales almacenadas Teoremas
COMPONENTES: - Intuitivas(cognicióndel entorno). - Abstractas(relacionesproyectivas,afines,sistemasde referencia)
u
Figura 5.2
86
87
5.1.5. El modelo de aprendizaje de Van Hiele Un modo de estructurarel aprendizajede la Geometría,coherentecon la construccióndel espacio,es el propuestopor Van Hiele. El trabajo de Van Hiele proponeun modelo de estratificacióndel conocimientohumano en una seriede nivelesde conocimientoque permitencategorizarlos distintos gradosde representación del espacio. El aprendizaje escomparadoa un procesoinductivo.En un niveln-l ciertas versioneslimitadasde los objetosgeométricos puedenserestudiadas. Algunasrelacionesacercade los objetospuedenser explicadas,sin embargo hay otras relacionesque no son accesibles a estenivel y, por tanto, no pueden ser abordadas.En el nivel n se suponenconocidoslos conocimientos del nivel n-l y se explicitan las relacionesque estabanimplícitas en el nivel anterior, aumentándosede estamanerael grado de comprensiónde los conocimientos.Así los objetosdel nivel n son extensiones del nivel n-I. Una de las aportacionesmás significativasde los nivelesde Van Hiele es reconocerlos obstáculosgue encuentranlos estudiantes delantede ciertosconceptosy relacionesgeométricas.Si los estudiantes estánen un nivel de conocimientode grado n-l y se les presentauna sitüaciónde aprendizajeque requiereun vocabula¡io,unos conceptosy unos conocimientosde nivel n, no son capacesde progresaren la situaciónproblemáticapresentaday, por ya que no se lleva a cabo su tanto, se produceel fracasoen su enseñanza, aprendizaje. o Nivelesde conocimientoen Geometría
comprenderlas primerasdefinicionesque describenlas interrelaciones de las figurascon suspartesconstituyentes. deproposicionespara Nivel 3: Los individuos puedendesarrollarsecuencias propiedad por Así, ejemplo, se puededemostrar de otra. deducir una que el postuladode las paralelasimplica que la sumade los ángulosde un triángulo es igual a l80s Sin embargo,no se reconocela necesidad del rigor en los razonamientos. Nivel 4: Los individuosestáncapacitadospara analizarel gradode rigor de la indepenvarios sistemasdeductivos.Puedenapreciarla consistencia, denciay la completitudde los axiomasde los fundamentosde la Geometríapropuestospor Hilbert (véaseInvestigaciónnúm. 2, Capítulo5). Esteúltimo nivel, por su alto grado de abstraccióndebeserconsiderado en una categoríaaparte,tal como sugierenlos últimos estudiossobreel tema (véaseP. H. Van Hiele, 1986.) del conocimientoha sido validadopor Estemodelode estratificación por psicólogos soviéticos. extensosestudiosrealizados Las investigaciones de Van Hiele y de los psicólogossoviéticoshan de la edad, demostradoque el pasode un nivel a otro es independiente muchosadultosseencuentranen un nivel0 (porqueno han tenidooporque les invitasena pasaral nitunidad de enfrentarsecon experiencias vel 1). Un profesora travésde los contenidosy los métodosde enseñanzapuedenprovocarel pasode un nivel a otro. Van Hiele propone también una seriede fasesde aprendizajepara pasar de un nivel a otro. El plan de las faseses el siguiente:
Van Hiele propone cinco nivelesde conocimientoen Geometría: Nivel 0: Los individuospercibenlas figurascomo un todo global. No reconocenlas partesy componentes de las figuras.No explicitanlas propiequedisdadesdeterminantes de lasfiguras,por ejemplo,laspropiedades tinguen un cuadradode un rombo o un rombo de un paralelogramo. Pueden,sin embargo,producir una copiade cadafigura particularo reconocerla. Nivel l: Los individuos pueden analizarlas partesy propiedadesparticulares de las figuras, por ejemplo:,pero no explicitanrelacionesentre distintasfamiliasde figuras;por ejemplo,un rombo o un rectángulono se percibenexplícitamentecomo un paralelogramo.Las propiedadesde las figurasse establecen experimentalmente. Nivel 2: Los individuos determinan lasfiguras por suspropiedades.'
o F¡ses de aprendizaje situacionesde aprenFase1: discernimienlo.Sepresentana los estudiantes para el tray necesarias el las observaciones dizaje dando vocabulario bajo. Fase2: orientacióndirigida. El profesor,proponeuna secuenciagraduada de actividadesa realizary explorar.La ejecucióny la reflexiónpropuesta serviráde motor para propiciar el avanceen los nivelesde conocimiento. Fase 3: explicitación Los estudiantes,una vez realizadaslas experiencias, expresansus resultadosy comentarios.Durante esta faseel estudiante estructurael sistemade relacionesexploradas. Fase4: orientaciónlibre. Con los conocimientosadquiridoslos estudiantes disaplicansusconocimientosde forma significativaa otrassituaciones pero con estructuracomparable. tintas de las presentadas, 89
Fase 5: integración. Los objetos y las rcllcioncs son unificada! e interiorizadasen su sistemamental de conocinric¡ltos. Una vez se ha pasado por la fase 5 un nucvo nivel de conocimiento es adquirido. (Véaseactividad tipo 5.t.) Estas fases de aprendizaje pueden compararse con las etapas de aprendizaje, de las matemáticas propuestas por Dienes. Así, la primera fase de discernimiento se corresponde con el juego libre, la de orientación dirigida con la etapa de juego estructurado, la de explicitación con la de representación, la cuarta fase de orientación libre con la de predicción y la quinta fase de integración, con la de juegoformal. (Yéase Z. P. Dienes,1971.)
CUADRO 5.1 Modelo de estructura Van Hiele de enseñanza-aprendizaje de las transformaciones geométicas planas.
\"'
F¡ses\ I
Discernimlento
ACTIVIDAD TIPO DE CONOCIMIENTO Y COMPRENSION . Nivel: Según los distintos niveles de conocimiento de Van Hiele. o Material: Papel para doblar, espejos, reflex, hoja de acetato, papeles cuadriculados e isométricos, tijeras, fotografías de objetos simétricos, regla y compás. c Motivación' Se presenta un modo de estructurar la enseñanzade las transformaciones seométricas de acuerdo
con los niveles de conocimiento y las fases de enseñanza de Van Hiele (Cuadro 5.1). La propuesta incluye un cuadro-modelo con indicaciones generalespara elaborar fichas de trabajo del alumno graduadas y clasificadas. El lector puede encontrar el detalle de las actividades en otra obra de la misma colección, dedicada explícitamente a transformaciones geométricas o en el libro de R. G. O'Daffer y S. R. Clemens (1977\.
2
Orientación dirigida
3
Exp licitación
5.2. HABILIDADES
Y PROCESOS
Cualquier aprendizaje debe pasar necesariamentepor una etapa previa de observaciones.En el caso de la Geometría Ias experienciassensibles,visuales y táctiles han de constituir la base sobre Ia cual fundamentar las actividades y abstracciones posteriores. Cuenta un viejo chiste la situación de un alumno que asistió a su clase de Matemáticas con un loro. Al cabo de un buen rato de dar clase el profesor constató la presenciaentre la clase de tan singular aprendiz e interpeló al alumno dueño del loro en el sentido de que: <¿creeusted que este loro entiende algo?>...y el alumno replicó: Observar no es fijarse, no es mirar, es yer: nolar lo común que puede haber en situaciones diversas (movimientos, figuras, formas, e|c.), notar lo diferencial en objetos y acciones,notar lo característico de cada cosa. En Geometría, ¿qué debe observarse?En primer lugar aquello que de Geometría tenga
90
4
Ori entación libre
5
Interrogación
0 FIGURA
I PROPIED AD
2 RELACION
3 DEMOSTRACION
^ SISTEMA
Comparar las acci ones de deslizar, girar y saltar con los movimi entos de traslación de rotación y de reflexión.
C o mp arar por ejemplo, l a i dea de medi atri z con la de eje de simetría.
R el ac i onar las acciones de gi rar y trasladar con las de doblar.
Relacionarel ca m b i o d e p o si ci ó n d e u n a fi g u r a con su superposiciónmediante pliegues suces¡vos.
R el ac i onar la regularidad con la rmportancra.
Trasladar, girar y simetrizar una figura.
Encontrar las propiedades comunes de l o s p u n to s que se obtienen al transfo r m a r u n punto dado.
Efectuar diferentes composiciones de reflexiones.
Efe ctu a ¡ co m p o si ci o nes de 3 reflexiones.
I denti fi c ar todas l as trans formac l ones que dej an invariante a una figura.
Explicitar todas las posibi l i dades de trasladar, girar o srmetrlzar una figura.
E nc ontrar todos los elementos de simetría de una figura.
Explicitar todas las posibilidadesde componer 2 reflexiones.
Explicitar todas las posibilidadesde componer 3 reflexiones.
E x pl i c i tar la estructura de grupo de simetría.
Resolver un probl ema por el método de las transform acrones geométricas.
Descubrir los el ementos c ons tl tuy entes de una figura que se conserven al efec tuar trans formac rones geométricas.
Dado un giro o una traslac i ón enc ontrar los ejes de reflexión que los descompone.
Dadas 2 posi ci o n e s d e u n a fi g u r a encontrar la composición de reflexionesque transfo r m a u n a p o si ci ó n u
E n co n tr a r l a fi g u r a d a d o su grupode simetría.
D efi ni ci on es el emento s básicos de la transformacl ones g eométricas.
E nunc i ar l a noción general de propiedades i nv ariantes.
Estudio de l¿ c ompos i c i ón general de 2 reflexiones.
otfa.
Estudio de la generac i ón de cualquier i s ometría c omo producto de reflexiones.
C l as i fi c a ción y teo ría de gru pos .
9l
el entorno natural, social, técnico y artistico; tanto las formas estáticascomo las evoluciones dinámicas. En segundo lugar cabe observar las representaciones gráficas y su correspondencia o fidelidad con Ia realidad que reflejan o proponen. En tercer lugar cabe dirigir la observación hacia el material didáctico, la experiencia en el laboratorio de Matemática. En la enseñanzade la Matemática la observación libre debe ir acompañada de la observación provocada. Ya sea con preguntas orales, o con fichas escritasdebe orientarse las observacioneshacia aspectosque no siendo obvios o aparentespueden tener gran interés. Son las observacioneslas que motivarán o actuará,nde referenciapara las posterioresabstraccionesde conceptos y análisis de propiedades. Actuar es simplemente añadir a la observación acciones personalesde comparación, comprobación, manipulación..., etc. Una observación carente de una actuación personal puede ser una curiosidad pero no un aprendizaje. Aquí cabe reivindicar el trabajo personalizado. El individuo realiza sus observaciones,sus accionesy sólo basándoseen esta actividad personal realiza su aprendizaje. Ello implica la necesidad de manejar en la enseñanza una enorme cantidad de material. Una observación puede ser hecha de forma múltiple, pero las investigacionesdeben tender a un carácter personal. De la misma manera que el alumno resuelve un problema en su cuaderno, debe medir un cubo o montar un rompecabezas.¿Qué sentido tiene entonces el trabajo en grupo? Realizar una investigación en equipo puede tener sus ventajas: mas rapidez en realizar un montaje, una mutua provocación de actividad entre los integrantes del grupo, una naturalidad en'el planteo de cuestiones y debate de posibles soluciones, etc. Por tanto, el trabajo en equipo es altamente recomendable. Pero ello no debe excluir el que en un momento dado haya una labor personal, una interiorización propia del problema y sus soluciones. La Matemática no admite la resolución de una cuestión . Ello puede tener sentido en política, en discusionesde tipo social o filosófico pero no en el aprendizaje matemático. Superadas las etapas de observación, actuación, reflexión e interiorización se puede pasar al proceso de abstracción. Abstraer será reconocer lo que hay de común o de diferente en unas situaciones,determinar el campo de validez de una propiedad, ver las variantes bajo las cuales el resultado sigue siendo cierto, simplificar la situación real esquematizándolay concretando la idea..., etc. Si estas frases son válidas en el aprendizaje matemático general, lo son mucho más en el caso geométrico. Comentemos un ejemplo: se observan rectas, se trazan rectas, se nota que la recta divide al plano en dos partes, pero otras líneas también realizan la misma división. La abstracción ha llevado a notar que dividir el plano en dos partes no es una propiedad genuina de la recta sino común a muchas líneas y curvas. A menudo, los procesosde abstracción llevan a nuevas preguntas, con-
92
jeturasque no tienenrespuestas obviaso conocidas.Planteardesdelos primeros nivelescuestionesabiertaspuedecontribuir a quitar esta sensación nefastade que en Matemáticas
ACTIVIDADES TIPO DE HABILIDADES Y PROCESOS . Nivel 1.'l0-ll años.
o Nivel:13-14años.
. Objetivos: Comparación de longitudes,amplitudesy superficies. Generación de formas.
. Objetivos: Construcciónde los cinco poliedrosregulares.
c Materiales:Tangramchino (de 7 piezas), papeI, liprz. c Motivación' Despuésde familiarizarse con las piezaspor mediodel juego libre seprocederáa plantearoralmente, y a pequeñosgrupos,cuestiones como las siguientes: . Ficha del alumno: l. ¿Cuántaspiezashay? 2. ¿Quéformas tienen? 3. Ordenarlassegún distintos criteflos.
4. Comprobar si existenpiezascon ladosiguales. 5. Obtener sobre el papel todas las longitudesdistintas(marcandolos ladosseparadamente). ó. Idem con los ángulos. 7. Encontrar relacionesentre las piezaspor el procedimientode unir 2 o más piezaspara obtenerotra del conjunto. 8. Por reunión, repeticióno diferencia de los ángulosde laspiezasobtener ángulosdistintos. 9. Obtenernuevasformaspor yuxtaposición,con ladoscoincidentes o no, de 2 piezas.
c Materiales:Colecciónde plantillasde polígonosregularesacoplables. o Motivación' Plantearel estudiodc posiblespoliedrosconstruibloscon carasregularesiguales. t Ficha del alumno: l. Tomar 3 triángulosequiláterosy unirlos de modo que coincidanen un vértice.Llamaremosa una figura de estetipo un . 2. Construir rinconesutilizando4, 5 o 6 triángulos. 3. Construir rinconesformados por cuadrados, pentágonosy hexágonos. 4. Construiruna figura cerrada: a) Utilizandodos rinconesformados por cuadrados. á) Utilizandocuatro rinconesformadospor pentágonos. 5. Construir figuras cerradasutilizando rinconesdel mismotipo. 6. De las figuras construidasseleccionar las que en cadavérticeaonaurren el mismo número de polígonos iguales. 7. ¿Cómosejustificaríael casode los rinconesformadospor hexágonos?
93
INVESTIGACIONES Y EJERCICIOS l. Realizar las actividadestipo contenidascn estecapítulo. 7 Completar la ficha del alumno de la actividad tipo 5.2 con los siguientesestudios: a) Dar una definición de poliedro regular. á) Mostrar la existencia de sólo 5 poliedros regulares. c) Teniendo en cuenta el siguiente esquema didáctico, estructurar las actividades y cuestionessugeridasen la ficha del alumno.
F ASES
M EDIOS
l. Observación
Actividades
JJ 2. Interiorización<-----+ JJ 3. Abstracción <->
tando y pegandocartuünaslos posiblesdeltaedros(poliedros convexoscon las caras igualesen forma de triángulo equilátero). 7. Programaruna actividadal nivel l2-14 añospara recortarelipsesdiferentes,ver sus relacionesy sus sombrasasí como posiblesordenaciones' E. Efectuarun estudiocompletodel tangramcuadrangular.Clasificarlos polígonos obtenidospor yuxtaposiciónde un número cualquierade piezas' 9. Programar una actividad de laboratorio a partir del tangram rectangularpara alumnosde 1l-12años.
Reflexión Generalización
3. Tomandocomo modelola actividad5.1, explicitarlas correspondientes fasesde aprendizajepara la siguienteestructurade nivelestle conocimientode los poliedros regulares. .
Nivel 4: Demostración formal de la existencia efectiva y clasesde simetría de los grupos puntuales del espaclo.
. Nivel 3: Demostraciónde
. Nivel 0: Obbervacióny construcciónde modelosde los poliedrosregulares.
4 . Programar una actividad para alumnos de l2 años para construir los cinco poliedros regulares con cañas de refresco y limpiapipas. El lector comparará los diferentes puntos de dificultad que puede haber entre usar elementos superficiales o lineales al montar poliedros. J.
Programar una actividad de laboratorio para alumnos de 7-8 años de generación de formas a partir de cubos iguales (encajableso no).
6. Programar un actividad para alumnos de 14-16 años consistenteen montar cor-
94
95
Enseñanza
Lo que ya se sabe no hay que explicarlo (Llurs SaNreló)
) maestroera: (personade actitud bon_ -el orden en clase,sabe enseñar>.No ho más importante. Exige de una bue_ rado, de un proceso comunicativo fe_ :uados,de una evaluación óptima... y partir enseñanza con aprendizaie es la
necesidadcontinua de adaptar, graduar, cambiar, evaluarse...Hoy está de moda inventar nuevos materiales para el autoaprendizaje, desde las modestas fichas a los programas más sofisticados de ordenador. Juegos, videos, libros..., toda una gama diversa de elementospara Ia enseñanzaestán hoy en el mercado. Pero enseñar es tremendamente complejo y requiere una labor humana dúctil y divertida. Este capítulo completa algunos aspectos que dentro de la didáctica de Ia Geometría pueden ser claves a la hora de aprender.
6.I.
PLANIFICACION
E INSTRUCCION
6.1.1. Planificación El conocimientode la concepcióndel espacioen los individuosnos marca las pautaspara planificarel procesode enseñanza-aprendizaje de la Geometríade acuerdocon su desarrolloindividual. Por una parte, como la concepcióno representación mentaldel espacio selogra a travésde un desarrolloprogresivo,la planificaciónde la enseñanza-aprendizajede la Geometríadebe estar orientada a favorecereste progreso,por tanto, una primeracaracterística a teneren cuenta,esque sedebe tratar de ranaplanificación progresivay cíclica. Por otra parte, como esteprogresoselogra a travésde accionescon los objetosgeométricos,ya seanobjetosreales,represeitadoso mentales,otro aspectofundamentala teneren cuenta,esquela planificacióndebedar oportunidad a actuar en el espacio,es decir, se debetratar de unaplanificación acliva. Otros aspectosa teneren cuentaserám,por un lado, los relativosa expresión y comunicación.Por tanto, habrá que definir una plahificación comunicativaque favorezcatanto la representación gráficacomo la expresión oral, manual y escrita.Por otro lado, como la actividadespacialno sólo debe propiciar un conocimiento relacional e intelectual, sino que también debepropiciar un conocimientoinstrumentaly práctico, debetratarse de una p laniJicaciónfenomenológica. En conclusión,másque diseñarun programade contenidosya elaborados seráconvenienteplanificarun currículoque incluyaactividades de comportamientoespacial. 6.1.2. Instrucción Unavez sentadaslas basesde la planificaciónde la enseñanza-aprendizajede la Geometríahay que plantearsesu instrucción.Estaconllevala co98
municación sistemática de los conocimientos, habilidades y procesos espaciales. De acuerdo con las partes de la planifrcación, habría que tener en cuenta las siguientesrecomendacionesgenerales:
El estudiode la Geometríadebeesfarrelqcionadocon el mundo real. Los alumnosdebentener oportunidadde explorar distintasrelaciode su entorno,asícomo buscar,aplicary transferirrenesespaciales lacionesgeométricaspara analizarlos fenómenosnaturales,científicos,técnicos,socialesy artísticos. b) El currículode Geometríatieneque estardesarrolladosegúnlos modelosde conocimientoy aprendizajede los alumnos.En estesentido la instrucciónen Geometríadebefavorecerla interacciónentrela acmentaldel espacio. tividad espacialy la representación seguirel procesodel desarrollo debe de la Geometría c) La presentación con intelectual,es decir, debe ser gradual y progresiva,empez-ando graquc cotidianas mediante situaciones informal introducción una dualmentese irán precisandoy formalizando.Esta iniciacióninlbrmal debepermitir el descubrimientoactivo,el razonamientoinductiy conjeturas, el desarrollode la perde inferencias vo, la construcción cepciónvisual y la imaginaciónespacial,etc. a)
podemosdefinir la estructurade Ia A partir de estasrecomendaciones (Cuadro6.1). instrucciónpor mediode tres niveleso dimensiones CUADRO 6.I
DimensiónI
¡ Análisisde los puntosde partidade la instrucción.Suscomponentes básicosson: - Contexto,vocabulario,representación. didactica. - Fenomenología - Matematizaciónprogresivay gradual. - Aspectosdel lenguaje. - Aspectossociales.
Dimensión2
o Explicitación del currículo. Concreciónde los objetivosinstructivos y expreslvos. ¡ Evaluación.
Dimensión3
o Desarrollodel procesode enseñanza-aprendizaje de la Geometría. Procesode adquisición de las actividades. Progresivaestructuración espacial.Evaluación. de los conceptosRepresentación o Nivelesde Van Hiele.
,{ü:ül}:''"i?{
Para lograr que la instrucciónde la Geometríaseasatisfactoriahay que llevar a cabo en la prácticadocenteuna seriede estrategiasde enseñanza. Estasestrategias,a modo de técnicasde comunicación,debenasegurarla formaciónde conceptosy el desarrollode las habilidadesy procesosen los alumnos. Hay dosgrandescorrientespedagógicas a esterespecto.Una la quepone énfasisen la formación de conceptos:In estructura de laboratorio. Y la otra, que pone énfasisen el desarrollode habilidadesy procesos:In resolución deproblemas.Estasdos funciones,en realidad,son complementarias y, por tanto, en la enseñanza de la Geometríaes aconsejable tratarlasconjuntamente.La resoluciónde problemasserádescritaen una secciónaparte en estecapítulo. En cuanto a la estructurade laboratorio,hay que entenderlo,tal como la defineel pedagogoitaliano De Bartolomeis,(De Bartolomeis,1986). Por forma de producción,en lo que serefierea una actividadinvestigadora sobrela construcciónde conceptos,la resoluciónde problemas,la innovación organizativa,la puestaa punto de procedimientosde investigación, de técnicasde colaboración,etc. En cuanto a espaciode comportamiento,el procesoo manerade construir un concepto,de asumirun procesogradualy personalde aprendizaje; en definitiva,la estructuraque da la oportunidadde experimentaren las situacionesadecuadas. Más que en la idea clásicadel laboratorio,pensamosen situacionesde laboratorio,que ponen énfasisen el hechode que el alumno se considera como un participanteactivo que construyesus propios conocimientos,en contraposicióna la concepcióndel alumnocomo receptorde conocimientos ya construidos.Esto suponeque el profesorse convierteen w promotor de conocimientosmíl'sque en un transmisor. Para que seaposibleuna estructurade laboratorio,hay que disponerde un espacioorganizadoy equipado,que dé soportea las actividadesde investigación.Hay que contarnecesariamente con un centrode programación y control que canalicedichasinvestigaciones, en el cual el profesorseráuna componenteimportante. El progresogradualde las etapassepuedelograr por una adecuadapresentacióny graduaciónde las actividadesde investigaciónde la estructura de laboratorio. La estructuradel laboratoriopresuponeuna reordenacióncurricularen el nivel conceptual.Es necesarioestudiarlas ideasfundamentales de cada nivel, inclusode todo el currículo. Elegidauna de estasideasfundamentales, habráque adecuarla entrada al tema al nivel cognitivodel alumno. Una estrategiadeseablees partir de lo que el alumno sabesobre el conceptoy a travésde distintosmateria100
les y preguntashacerposible que estosconceptosinicialesse plasmenen accionesy lenguaje.A partir de ahí se trabajaráel conceptoen diferentes situaciones(numéricas,geométricas,etc.), situando al alumno frente a problemasque obliguen a replantearposiblessolucionesparciales,para pasarfinalmentea la aplicacióndel conceptoa distintassituaciones.Por otro lado, creemosqueuna vezestánasimiladoslos conceptosbásicos,no es necesarioconstruirlos restantesdirectamenterelacionadoscon é1.Como Ia estructurade laboratorioya da una baseconcreta,podríamosa partir de aquí relacionartodo lo que se ha hechocon los otros conceptosy así utilizarlos como consolidacióny aplicación. En cuanto alaorganizacióndel grupo clase,el profesorse convierteen promotor de investigación,ha de presentar,organizaty guiar el trabajo, pero nunca ha de ser el protagonistadel saber,actuandomás bien como componentedel centrode control. El trabajode los alumnostendráquc scr prioritariamenteen grupo, tanto en lo que respectaa la experimentaci¿)n y explicaciónde los conceptosy resultadosprocomo a la comunicación ducidos. Pensamosque en una adecuadadinámicade clasecon €structurade laboratorio, hay que tenersiempreen cuenta,los siguientesaspectos: l. Una introducciónal tema, para situar al alumno. 2. Dar a conocer los objetivos, pafa enmarcarlas accionesa realizar. 3. Una presentaciónde las investigacionesa realizar, adecuadamente graduadaspor nivelesde comprensión'en las que se inducea manipular, construir,observar,explicary expresarconjeturasy descubrir distintasrelacionessobreel conceptoa tratar' 4. Una discusióny contrasteen gran grupo' para así enriquecery corealizados.En estemomentoel municarlos distintosdescubrimientos conclusiones. profesoractúade moderadorde cara a establecer y consolidación de utilizqción 5. Realizacióny resoluciónde ejercicios y y de problemas de extensión ampliación. En la evaluaciónde estaforma de tareadocente,se tieneen cuenta: l. La evaluaciónde los registrosescritosy orales. 2. La observacióndel gradode participacióne interacciónde cadaalumno en las actividadesde investigaciónpropuestas. Las investigacionesde un tema determinadose componen de una serie graduadade actividadesque se presentana los alumnos en unas hojas,divididassiempreen los cuatro apartadossiguientes:Trabajoa realizar. Material a utilizar. Explicación de lo que ha hecho. Descubrimientos realizados.
t0r
ACTIVIDAD TIPO DE PLANII.'I(]A(]IONE INSTRUCCION o Nivel: 12-14 años. . Objetivo: Descubrir la definición de mediatriz, formular una propiedad y redactar una explicación. o Motivación' Se utiliza un método experimental en Geometría. En esta me-
todología se sitúa al alumno como un pequeño investigador que partiendo de una serie graduada de actividades experimentalesse le encamina al descubrimiento de una definición y la formalización de una propiedad.
o Ficha del alumno:
Ficha de la Actividad N.s 5 de la investigación Trabajo arealizar: Trazar con regla y compás en I folio la línea del pliegue que hace coincidir 2 puntos marcados en é1.
Explicación:
Ficha de la Actividad N.q 6 de la investigación Trabajo a realizar: Dar una definición de . Enunciar una propiedad y redactar una demostración de la propiedad. Material: lápiz y papel. Explicación: D e s c u b r i m i e n t o :................
Ficha de la Actividad N.s I de la investigación Trabajo arealizar:Situar 7 bolasde maneraque equidistende 2 pilones. Materiales:7 bolas,2 pilonese hilo. Explicación: D e s c ubr im ient.o: . . . ............
Ficha de la Actividad N.s 2 de la investigación Trabajo a realizar:Doblar un folio de maneraque dos puntos se superpongan. Materiales:I folio con dos puntosmarcados. Explicación: Descubrimiento
Ficha de la Actividad N.a 3 de la investigación Trabajo a realizari Poner el (reflex)) entre dos puntos de manera que la imagen de un punto coincida con el otro punto. Material: I folio con dos puntos marcados y I reflex. Explicación: D escub rimien to...... . . . . . . . . - . .
Ficha de la Actividad N.s 4 de la investigación Trabajo a realizar: Hacer pasar una goma elástica por dos clavos de un y una goma elástica. Explicación: Des cu brimie nto :...... . . . . . . . . . .
t02
6.2. LENGUAJE, COMUNICACION
E INFORMACION
En Geometría la formación de conceptosy la construcciónde sistemas conceptualestiene su fundamento en Ia observación de objelos y situacio/reJ reales y no puede completarse sin el uso de símbolos para designarlos y transmitirlos. Analicemos paso a paso esta reflexión general. Los objetos reales en Geometría pueden ser edificios, obras de arte, paisajes,seres,caminos, automóviles...,cualquier forma o movimiento observable en nuestro entorno puede considerarseun objeto real (geometrizable>. Pero tan real es el objeto medible, táctilmente palpable como las experiencias visuales que podemos captar. Es tan real una pirita, un pez o una olla como las sombras de los objetos o la visión de los bordes de una carretera recta uniéndose a (cierta distancia visuab. Como ya se ha remarcado anteriormente en este texto, son precisamente las diferentes sensacionesreales las definidoras de diversos tipos de Geometría. Los conceptoJ(recta, paralelismo, ortogonalidad...), que en definitiva tienen una categoría mental, precisan para su asimilación, manipulación y transmisión el uso de sonidos, imágenes,etiquetaslingüísticas,es decir, Jírnbolos con los cuales referenciar o expresar la idea fundamental. En lo referente al caso geométrico, juegan un papel esencial los símbolos visuales al estar éstos estrechamenterelacionados con los objetos y conceptos que designan, siendo de mas difícil comunicación estos símbolos visuales que no los símbolos (verbalesD.Por supuesto hay algunos casos sencillos en donde conjuntamente al símbolo visual puede unirse una simbolización algebraica simple. De este modo, de una recta puede hacerseun dibujo o trabajar con su ecuación.
r03
Analicemos con especial cuidado las lunciones que los símbolos deben tener en el proceso educativo geométrico. 1) El símbolo para comprender, recordar y comunicar Las representacionesvisuales,como se ha tratado en el Capítulo 4, o algebraicas en su caso, permiten comprender los conceptos muchísimo más eficazmente que determinadas frases verbales o descripcionessintéticas. En Ia Fig.6.l vemos dos nivelessimbólicoscorrespondientesa una recta(a)y a una catenaria (á).
2) El símbolo para construir conceptosnuevosy facilitar la creatividad La combinaciónde conceptospreviospara elaborarconceptosnuevos Así, los puedeversefacilitadamedianteel uso de los símbolosadecuados. casos y perpendicularidad, entendidos como dos conceptosde paralelismo comunicason fácilmente entre rectas, relativa dos especiales de situación bles.Y mediantela manipulaciónde símbolosesmuchomásfácil crearnvevas situacionesy conceptosque a priori puedenno tenerningúnnombreni descripciónverbal.Así se puedetrazar corlhilos (o dibujando)un cono esde la
3) El símbolo para reflexionar y automatizar
'¿
y=J¡+2
ex + e"
(b)
(a)
Figura 6.1 Si en el caso(a) la palabra(recta) ya essuficientemente clara,en el caso (b) la etiqueta puedeno evocarnada mientrasque el dibujo (á) llena de a tal palabra.Una es un viejo principio que aquí cabereivindicar.Pero ademasdel comprender hay un segundoestadioimportante,sin el cual la comprensiónquizás dejaríade tener sentido,que es el de poder recordqry por endecomunicar los conceptos.Es mucho más fácil recordarla catenariavía su gráficay transmitirla como tal que no por una descripciónlingüísticade la misma. Por supuestoa partir de cierto nivel interesarámezclare identificar las diy significadosde un concepto:el objeto o modelo ferentessimbolizaciones gráfica,el vocabloy la definicióno descripciónsinreal, la representación tética. En la enseñanza de los conceptoshay que trabajar de forma específica y relacionalcon cada simbolizaciónparticular, puestoque la traducción e interpretaciónde significadosconstituyeuna excelenteestrategiapara la enseñanza de la Geometría.Asimismo,los cambiosde lenguajeaun fuera del campo de la Geometríapermitenrelacionarsusconceptoscaracterísticoscon otros camposde las Matemáticasy otrasciencias.Asignarnombres o símbolosy significadosdistintosa un mismoob.jctocs una tareaque pasa indiscutiblemente por una clasificaciónprevia. 104
simbólicasfacilita la actividadreflexivaclcl El uso de las descripciones pensamientopara tomar concienciade los conceptosasumidos,susrelacioy la resolua la vez que posibilitala automatización nes y posibilidades; ción. Si las actividadesrutinariasdistraenla atenciónpor falta de un correcto uso simbólicoseráenormementedifícil hacernuevasadquisiciones, aspirara nuevosconceptos. Estostres puntoscomentadosaquí no debenaplicarsesin teneren cuenta ciertascautelassimbólicasy de lenguaje.En primer lugar cabetenerprecaucióncon la elecciónde los símbolosa utilizar: un mismo símbolopuede aparecerligado a conceptosdiferentesy un mismo conceptopuede ser des' crito mediantesímbolosdiversos.Por razones,a vecespuramentehistóricas,hay símbolosplurivalentes.La letra x seríaun casoextremoal poder representar:una incógnita,una variable,un producto, una recta...,etc.; e o a signosde números inclusosímboloscomo+ o - dan lugar a operaciones dos enteros...,etc. Incluso a nivel de dibujo puedensurgir ambigüedades: o puedenrepresentar realmentedos circunferencias secantes circunferencias ala líneao un diagramade conjuntos;la propia circunferencia, ¿representa a todo el círculo como regiónplana?Si bien convieneeliminar al máximo las ambigüedades simbólicasen el otro sentido,el que un mismo concepto puedarepresentarse mediantelenguajeso símbolosplurales,esnormalmenseao seaun trazo hechocon un compáso sea La situaciónes,en el etc., es no sólo habitual sino conveniente. x2+yz=¡72, equívocas expresiones no usar fondo, parecidaal lenguajeusual:es mejor pero es bueno sabermuchossinónimosy tener la capacidadde expresar una mismaidea con solucionesdiversas.Caraa la resoluciónde problemas la ductilidaden el cambiode lenguajeesimprescindibley, además,estacapacidad evitaró confundir el conceptocon un determinadosignificado. 105
Ni que decir tiene que deben evitarsc los símbolos carentes de significados, Ios ruidos del lenguaje.Así, dccorar un cubo con flores en las caras puede ser un interesante ejercicio plástico o tener sentido en un análisis de romper simetrías,pero las flores no añadirán nada nuevo al concepto de cubo y, por el contrario, pueden enrarecersu estudio.
ACTIVIDAD TIPO DE SIMBOLIZACION o Nivel: 12-14 años. . Objetivos: Presentación divertida de un problema relacionado con la simbolización, con vistas a motivar creaciones posteriores entorno al tema. c Materiales: 4 actores v 2 actrices de la clase. c Motivación' Hacer la representación y posteriormente hacer ejercicios individuales sobre usos de símbolos.
TEATRO: (En escena aparecen tres huéspedes del hotel [Bob, Jack y Rosa], los dueños Paco y Lourdes y el inspector Rop de la policía.) ROP: Bien. Van ustedesa relatarme Io que ha sucedido en el hotel. PACO: Mire señor inspector, aquí nunca había pasado nada extraño. Es un hotel muy pequeño, con pocas habitaciones y muy lejos del pueblo... y hoy por la mañana al ir a servir los desayun os... ¡señ or ! , ¡ qué dis gus to!..., la caja fuerte del hotel donde se guardaba nuestro dinero y el de los huéspedesestaba abierta y ¡VACIA! LOURDES: No Paco, habíauna nota... PACO: Sí. Una cuartilla con una letra escrita en rojo: una x.
ROP: ¿Dónde estaban ustedesen el momento en que esta nota fue descubierta? BOB: Yo estabaen mi habitación, la número 10, afeitándome.
106
ROSA: El señorPaco no sabeálgebra, sólo númerospara hacercuentas:no pudo pensaren un símbolotan abstracto y el ladrón no podía preveer quecruzaríala recepciónen diagonal. La señora Lourdes sirve tres tazasy tresplatosy no diezpiezasporquelos dueñosdesayunanantes.Bob en la habitaciónl0 y Jack con susquinielasno podiantenerinterésen el robo: después los dos estánde vacaciones de haber ganadocien millonesen la lotería...,ustedvino de nochey dejó
su firma una .x, no una letra r, no el número romano diez...,la x de signo de multiplicar: por, es decir, leído al revés ¡rop! Usted. R.OP (llorando): suspense!
¡Malditos
libros de
(Los huéspedes atan al inspector por las manos,) PACO: Y ahora, ¿a qué policía llamamos?
JACK: Yo estaba haciendo una quiniela en la mesilla de mi habitación. ROSA: Estaba releyendo la última edición de la obra de Agata Christie, l¿ ratonera. LOURDES: Me encontraba llevando las tazas y platos del café con leche. PACO: Yo crucé en diagonal la recepción corriendo para llamarle. ROP: El caso es realmente difícil: ¡Todos ustedesson sospechosos!En efecto, Bob está en la habitación l0 que es el número representadopor los romanos por la letra x. Jack se entretenía rellenando quinielas, es decir, haciendo crucecitas, o sea, x, Rosa leía un libro que ahora se ha publicado con la décima edición. de nuevo l0 o x. Lourdes servía 5 tazas y 5 platos, es decir, l0 cosas y Paco cruzó en diagonal la recepción. La diagonal tiene ecuación l¡=x. Todos pudieron ser...,pero cualquierapudo haber dejado esta pista falsa para inculpar a los demás.
ROP: Déjeme ver esta nota... (El inspector examina cuidadosamente la nota y prosigue el interrogatorio.)
ROP: ¡Por Dios!,no digatonterías.
ROSA: Se equivoca inspector. Ahora todo está muy claro. El ladrón ha s ido. . . ¡ u s t e d !
ó.3. RELACIONAR Y CLASIFICAR Relacionar y clasificar son dos verbos clave en la enseñanzade la Geometría, tal y como ya se ha indicado en diversas seccionesanteriores. Para llegar a conjugar correctamente los verbos de relacionar y clasificar durante el aprendizaje deben plantearse actividades previas tales como tener una gran diversidad de elementos para relacionar o clasificar y hacer observacionesdiversificad¿ssobre los mismos. EI tipo de elementos a considerar dependerá del nivel correspondiente: hojas de árbol, bloques lógicos, modelos,figuras...,etc. Dichos elementospuedenproporcionarsede entrada o pueden dar ocasión para plantear una actividad previa (que en sí misma constituya ya una preclasificación): recoger hojas, recortar elipses, montar cubos... El que se planteeen de entrada criterios muy amplios para establecerrelaciones puede servir para enriquecer la labor (color, tamaño, textura, forma...). Fijados los elementosdel conjunto a clasificar, deben darse criterios diversos de forma que cada uno de los criterios lleve a una clasificación. Cada elemento debe ser contrastado para ver si se verifica o no el criterio dado y así ir formando las clases de elementos equivalentes (criterio de comparación). Una vez fijada una clasificación habrá que corroborar que no se han producido ambigüedades:cada elemento sólo ha de estar en una sola clase y lo que es vital: al añadir nuevos elementos al conjunto ver cómo se asignan a las clasespreexistentes.Otros elementos a tener en cuenta son los siguientes:
t07
Ser un polígono, tener la misma área o ser de igual color son criterios clasificadores. es un criterio claro, pero no clasifica.
A
A.
b) Ver cómo criteriosaparentemente distintosdan lugar a la misma clasificación
A \
N
\
\
R.
Así, o (tener dos ángulos idénticos>lleva a una misma clasificación de triángulos.
o.
c) Dada una clasificacióndeducir posiblescriterios que la han generado Se trata del problema recíproco al clasificatorio y en muchos casosmás difícil, aunque no menos instructivo que éste.
(b)
d) Superponerclasilicaciones,refinando Se trata de mostrar la riqueza de clasificacionesde un mismo conjunto aplicando criterios diferentes;desde los casosextremos en que todos los elementos son equivalentesentre sí o bien cada elemento sólo equivale a sí mismo, a los casos más interesantesde clasesintermedias.
E.
I
E q.
a) Distinguir criteriosque permitenclasificardc kls que no
Eq
-A
Triángulo
e) Clasificar ví¡ transformaciones Estas son las clasificacionesmás genuinamente geométricas,las que permiten distinguir entre Ios diferentes tipos de Geometría y dan lugar a la clasificación de las figuras, encontrándose en cada clase aquella que resta invariante. Ello admite presentacionesmuy simples al ir fijando con qué tipo de transformaciones se trabajará: trasladando, girando, simetrizando, haciendo homotecias, cambios de escala,proyecciones,etc. f) Representaciones de las clasificaciones A parte de la clasificación de tipo verbal o de material por agrupaciones conviene clarificar Ia clasificación final mediante unos esquemasadecuados: diagramas de Venn o conjuntistas, diagramqs de Carroll o tablas de doble entrada para clasificacionesdobles superpuestaso diagramas en órbol (múltiples o productos) (Fig. 6.2). En estos esquemasconviene dar nombres a las clases. Las relaciones de orden, especialmente a nivel de inclusión, también merecen un tratamiento similar al dado a las clasifibaciones,siendo conveniente identificar los casos de ordenación total o parcial y hacer los diagramas correspondientes. 108
(c)
Figura 6.2
ACTIVIDAD TIPO DE RELACIONAR c Nivel: l3-14 años. . Objetivos:Ensayarun métodode obtenciónde todos los desarrollosplanos de un poliedroregular(tetraedro, cubo, octaedro). . Motivación'A partir de dosconstruccionesde poliedrossimplesy obtenidos de desarrollosplanosdistintosse plantearáel estudiode losposiblesdesarrollosplanosde un poliedro cualquiera.Se concretaráen los casosde tetraedro,cubo y octaedro.Para ello
cadaalumnotendrámodelosde triángulo equiláteroy cuadrado,un tetraedro, un octaedroy un cubo,papel,lápiz, tijeras y un guión escritode las actividadesy estudiosarealízar. ¡ Ficha del alumno: planodel l. a) Obtenerundesarrollo tetraedroutilizandoel módulo de triángulo equilátero.Puedes abatir las caras del tetraedro para comprobar el desarrollo plano.
109
ó) Observar las posiciones de los triángulos: r tienen lados en común, r tienen vértices en común,
g) Describir cuáles son las caracteristicas comunes a todos los í€tradiamantes seleccionados. 2. a) Estos son algunos polígonos obtenidos uniendo 6 cuadrados (con lados comunes) (Fig. 6.3).
. 4 triángulos tienen un vértice común, . 3 triángulos tienen un vértice común,
á) Obtener las posibilidades restantes.
. 2 triángulos tienen un vértice común, y ¡ 0 triángulos tienen un vértice común.
c) Asignar una letra o símbolo a cada uno. d) Sin recortar ni montar, decir cuálesson desarrollos planos de un cubo. (Utilizar el modelo cúbico y la imaginación.)
c) Con sid era nd o el des ar r ollo co mo un ú nico polí gono, ¿cuánto miden sus ángulos interiores?
e) Describir las característicasque han hecho rechazar los casos restantes.
d) Obtener todos los polígonos posibles combinando 4 triángulos equiláteros de modo que los triángulos tengan lados comunes (no sólo vértices). Les llamaremos tetradiamantes. e) Asignar una letra o símbolo a cada uno.
Partiendo de uno de los casos seleccionados,ordenar los restantes de modo que de un caso al siguiente la variación en la colocación de los 6 cuadrados sea mínima.
Seleccionar aquellos que sean desarrollos planos de un tetraedro.
3. Aplicar lo anterior a la obtención de desarrollos planos de un octaedro.
/)
/)
ACTIVIDAD TIPO DE CLASIFICAR c Nivel: 7-8 años. c Objetivos: Obtención de triángulos (no necesariamentede todos los tipos posibles). Partición en subconjuntos disjuntos. Obtener criterios de clasificación ligados a la partición. Adición de nuevos elementos al conjunto y su asignación a las clasesprevias. t Materiales: Geoplanos de 5 ' 5 pivotes (uno para cada alumno), cintas elásticasde caucho de colores diferentes, hojas impresas con modelos de geoplanos, lápices de colores, tijeras (Fig. 6.a).
oo
ooo
oo
ooo
oo
ooo
oo
ooo
oo
oo o Figura 6.4
Figura ó.3
ll0
¡ Motivación.' Suponiendo que los alumnos conocen el material se les propondrá Ia obtención de triángulos distintos. En esta primera fase se hará necesario discutir acerca de la igualdad o desigualdad de los triángulos obtenidos, llegando a establecercriterios inteligibles a este nivel. Por ejemplo, la superposición. De cada triángulo situado en el tablero se hará una representación sobre diagramas de geoplanos.
A partir de aquí se puede Proceder de dos modos: a) Pidiendo que formen grupos de triángulos atendiendo a semejanzas que observen. ó) Planteando cuestionesque obliguen a un análisis comparativo de las figuras obtenidas. Algunas cuestionespodían ser: L To m a u n tr i á n su l o cu a l quiera. Escogeotro que se le Parczca en algo. ¿En qué se parece'l Toma otro que pudicrls rrit;rdir a estosdos. Si n o e n cu e n tr a s n i n g tttttr empieza otro montón. Y así sucesivamente. 2. ¿Hay triángulos con dos de sus lados iguales? Haz un montón con ellos. ¿Cómo son los restantes? Dibuja sobre el papel los lados de cada uno de los triángulos, uno a continuación de otro (sobre la misma recta) ¿Qué ocurre? En ambos casos se llega a una o varias particiones del conjunto de origen. Se trata ahora de expresar la característica común a todos los elementosde una parte y tratar de relacionar las diferentes partes como grados o modalidades de una misma característicao cualidad. Por ejemplo: Tener 2 lados iguales y tener los 3 lados distintos son los grados posibles de (Recordar que en un geoplano no se pueden obtener triángulos equiláteros.) Hay que notar los tipos de figuras que no podrán hacersey asignar nuevos elementos a clasesva dadas.
lll
6.4. LA RESOLUCION DE PROBI,F]MAS El tema de la resolución de problcrnas es central en cualquier parte de la Matemática y a él se dedicará m
t12
los finespropuestos.Un mismo problemapresentadode diferentesmaneras permitedesarrollarestrategias diferentes. El profesorFielker (1979)nos da un buenejemplo: Esta situaciónproblemáticaes un buenejemplode cómo haceradquirir la idea esencial(o concepto)de lo que esun cuadrado. ACTMDAD
TIPO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (E-10)
c Nivel:8-10años. . Objetivos: Generar formas geométricas con un mínimo número de piezas iguales. . Mateñales: Diversaspiezasen cartón en forma de eles(Fig. 6.5). c Motivación'Cada alumnotendrá un montón de .Verbalmentese plantearán problemas de combinación de dichaspiezasque el alumno deberá resolver manipulativamente. Cuestionestípicas son, por ejemplo: a) Con dos elesformar un rectángulo. á) ¿Concuántaselessepuedeformar un cuadrado?
c) ¿Con cuántaseles se puedeformar otra ele mayor?
Figura 6.5
ACTIVIDAD TIPO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (11-12) c Nivel: ll-12 años. . Objetivos:Cálculo del áreade una superficie real (eleccióny medición de determinalas longitudesadecuadas, ción de la forma, algoritmode cálculo y/o subdivisiónen figurasde área conocida. o Materiales:Rueda-metroo cinta métrica, transportadorde ángulos (de cualquiertipo), papelmilimetrado.
t Motivación' Propuestade cálculodel área de una superficieque tenga algún interéspara el alumno.Dicha superficieseráplana(o casi)y de forma poligonal.La determinacióndel área irá precedidade una hipótesis tanto para el área,como para las dimensionesy la forma. Resulta muy interesante analizarcómoseha hecho la estimación,porquefavorecela elaboración de un plan de acción. En
il3
caso de que esto presentedificultades a los alumnos puede ofrecerse un guión indicativo que no tiene por qué segurrsepaso a paso.
-- Tipo de ángulos (iguales, agudos, rectos, obtusos, cóncavos). - Tiene lados paralelos.
Ficha del alumno: 1. Tomar las medidas de los lados. 2. ¿Qué patrón es el más adecuado? ¿Por qué? 3. Suponiendo que I mm represente una unidad, representa la superficie en papel milimetrado. 4. ¿Han resultado suficienteslos datos? ¿Qué otros habría que tomar? ¿Por qué? 5. Representada la superficie, ¿de qué tipo de figura se trata?: - Número de lados. - Medidas de los lados (iguales...).
6. ¿Conoces alguna fórmula que permita calcular su á,rea?¿Tienes los datos necesarios? 7. En caso contrario descomponerla en figuras más simples. Observa que se puede descomponerde varias maneras. ¿Cuáües la que facilita más el cálculo? 8. ¿Qué diferencia existe entre la estimación previa y el valor calculado? 9. Expresa el resultado en una única unidad de superficie. 10. ¿Esexacta la medición?¿Por qué?
perponen y cuáles están orientadas diferentemente? d) Hacer una tabla donde para cada hoja se indique su anchura, su altura y la división de altura por anchura. ¿En qué casos dichas divisiones coinciden? Relaciona el resultado con lo expe-
ACTIVIDAD TIPO DE RESOLUCIONDE PROBLEMAS (15-16) c Nivel: 15-16años. c Objetivos: Traducción del lenguaje coloquialal lenguajegeométrico.Resolución del problema de construcción utilizando modelos materiales. Aproximación al problema general mediantecuestiones de dificultadcreclente.
ACTMDAD
TrpO DE RESOLUCION DE PROBLEMAS (13_14)
. N ivel: l3 -14 a ño s. . Ob.jetivos:Llegar al concepto de de los rectángulos queda determinada por la proporción entre sus lados. ll4
o Ficha del alumno: Tienes cinco hojas de papel numeradas del I al 5. Intenta contestar razonadamente a las cuestionesplanteadas en esta ficha manipulando las hojas y realizando las mediciones oportunas. a) Dobla la hoja I por el lado mas largo. La mitad de la hoja: ¿coincidecon alguna de las otras 4 hojas? á) Dobla la hoja 2 como antes y mira si su mitad coincide con alguna otra hoja. c) Plegando primero y desplegando despuésprocura que queden marcadas las 5 diagonalesde las 5 hojas. Una vez hecho esto pon todas las hojas con un vértice común. ¿,Quédiagonalesse su-
rimentado en los apartados a, b yc. e) Puestas dos hojas en posición vertical diremos que una hoja (va delante)) de otra si su altura y a la vez su anchura son menores. ¿Sepueden ordenar las 5 hojas con este criterio?
. Materiales: Ficha del alumno, papel, tablero, barra, tornillo, cordel, goma elástica, transportador de ángulos. o Motivación'Se planteará el problema asegurandola comprensión del texto. Previamente a la entrega del guión se analizará el enunciado y se propondrán soluciones.Es importante no dar soluciones por adelantado ni tampoco conjeturas. En el subproblema a) se busca la interpretación de la perpendicular en términos de simetría, puesto que la distancia.4-4' es menor que AC+ A'C para cualquier otro punto C que esté fuera de la perpendicular (Fig. 6.6). La equidistancia se obtiene en á) mediante el eje de simetría del segmento AB. El caso general se resuelve situando la perpendicular que deja ángulos iguales a ambos lados de ,4 y B. Lajustificación puede aproximarse según el esquema adjunto (Fig. 6.7).
'?*-1
l\.
A' r ' Figura 6.6
.48
--.'j' Figura 6.7 c Ficha del alumno: Sea r la tubería principal de un gaseoducto. Se quiere distribuir gas a dos centros de población A y B de modo que la longitud de la tubería de A a \a conexión mas la de B a la conexión seala mínima posiblepara evi-
il5
tar averíasy reducircostes(Fig. 6.8). ¿Dónde se situará el centro distribuidor? .B Ao
Figura6.t Haz un esquemade la situación. Tratemoscasosmás sencillospara ir aproximándosea la solución. a) ¿Quépunto de la tuberíaprincipal seencuentramáscercade ,4? Para estudiar esta cuestión utilizar un artilugio como el de la Fig. 6.9.
ó) ¡;Quépunto de la tuberíase encuentraa la mismadistanciade las dos poblaciones? Tantearalgunospuntosequidistantesde A y.B aunqueno se encuentrensobrela recta. Para ello sobreun papeltrazar una rectay los puntos,{, .8. Tomar un cordel y marcar el punto medio M, clavandosus extremosen los puntos. Sujetando el punto medio con una mano, con la otra hacercorrer una pequeñaanilladesdeel punto M hastaque seaposible(véase Fig. 6.10).
Tantear con algunosPuntos entre R y ^S. Para cada uno medir los ángulos segúnse ve en el gráfico adjunto (Fig. 6.12).
Fig. 6.13y trazar las rectaspor A y por ,8.Medir la sumade distancias. ¿Quérelacióntiene con la simetría?
//
tt", i
Figura6.12 ¿Qué valores de los ángulos correspondenal casode menor longitud entrelos encontrados? Utilizando un transportador de ángulosy colocarlo segúnla
I Figuraó.13
6.5. DIAGNOSISY EVALUACION 6.5.1. Diagnosis
Figura6.10 ¿Cómoes la rectaque describe la anilla sobreel papel? Trazarla usandoel plegadode papely/o el compas. Figura6.9 Sobreuna placade maderase fija una barra por la que se ha pasadouna anilla. Un elástico une la anilla y el punto ,4. Se deja libre la anilla hastaque encuentre la posición de menor tensión. decirsede la po¿Qué^puede sición del elásticorespectoa la recta? Usar papel para confirmarla hipótesis.Recordarque el segmentode rectaque une un punto y su simétricoesla menord istanciaposible.
l16
c) Busquemosahora el punto D dondela sumadedistanciasAD y BD seala mínima posible. Comprobarque no se corresponde con los casosanteriores (F i g .6.1l ).
\
A6 I I
--AB
--\'::)t' /Y /\
\-/
7Y-
---\
\ \\:
Figuraó.11
de la Geometría Al abordarla planificaciónde la enseñanza-aprendizaje puntosy situalos a ser van y cuáles preveer explicitar es muy importante cionesclavesque entrañaránmayor dificultadde aprendizaje.Previstaslas dificultadessepodrá ponerel énfasisdebidoy tenerplanificadaslas correspondientesactividadesterapéuticasde las mismas.Se tratará de distinguir y graduar tanto situacionesde aprendizajegrupales,como, sobretodo, de situacionesde aprendizajeindividuales.En el diagnósticode la diferenciación individual nos seráde gran utilidad el modelo de Van Hiele de estrageométrico, descritoen la sección5.l. Estemotificacióndel conocimiento delo nos permitirádisponer,de entrada,de una clasificaciónde los posibles los Iugaresdonde podemosenconnivelesde conocimiento,señalándonos de la Geometría. trar las dificultades básicasen la enseñanza-apretdizaie que tener en cuentaotros tiAdemásde estadiagnosiscognitivahabrá referente a Ia organización pedagógica en lo pos de diagnosis,como son la y el revisualización la análisis, el perceptiva mediante del grupo clase;la y finalmente la diagnosis y espaciales, relaciones conocimientode formas epistemológicapara explicar el grado de distinciónentre los tipos de preasí como la descripciónde los e instrumentales, conocimientosrelacionales que de las ideasespaciau obstáculosepistemológicos erroresespontáneos les presentanlos alumnos.
n7
Para elaborar inventarios de diagnosis, el método más común es analizar y codificar las respuestasde un colectivo de individuos frente a situaciones problemáticas presentadas. Estas situaciones problemáticas pueden incluir tanto tests individuales, análisis de estrategiasde resolución de problemas, registro y transcripción de entrevistas,etc. (véaseactividad tipo 6.5).
6.5.2.,Evaluación lJna vez hechas las exploraciones previas, diagnosticado el estadio inicial de conocimientos, planificado las actividades y llevadas a cabo en Ia práctica docente, cabe culminar el proceso educativo con la fase final de evaluación y en su caso retro-alimentación. La evaluación en geometría nos debe indicar qué comportamientos de percepción espacial han sido adquiridos y cuál ha sido su grado de adquisición. Al mismo tiempo debe ser un instrumento correcto de la planificación, instrucción y ejecución de la tarea educativa ppr parte del profesor. Habrá que diseñar diferentes métodos y técnicas de evaluación para conocer el proceso de aprendizaje y maduración dé los distintos conceptos y relacionesgeométricas. Una fase de la evaluación estará basada sobre la observación directa en la realización de las distintas actividades y exploraciones propuestas. Esta observación se podrá realizar de forma subjetiva en el momento de la realización de las actividades y de forma más objetiva controlando y revisando los registros escritos en la libreta de laboratorio. Otra fase que llamaremos de observación indirecta, quizá la más productiva, es analizar el tipo de respuesta,tanto oral, gráfica, manual o escrita que un alumno da al aplicar un concepto o habilidad enseñado a una nueva situación. La observación indirecta nos permitirá evaluar si el aprendizqe ha sido significativo. No hay que olvidar el grado de logro de los objetivos afectivos, es decir, los relativos a valores, actitudes y normas. Por tanto, también deberemos diseñar técnicas para evaluar el comportamiento docente del alumno. Por parte del profesor, debe saber diseñar, escoger,presentar y corregir distintas situaciones didácticas para culminar de forma adecuadael proceso de evaluación. De hecho el saber hacer preguntas no sólo es de vital importancia para la evaluación sino para todo el proceso educativo. En el momento de plantear cuestioneshay que distinguir distintos niveles de interrogación: o Nivel 1.' Es el que corresponde a típicos ejercicios, de memoria visual, de reconocimiento de formas, recuerdo de propiedades rutinarias (por ejemplo, cuál es la suma de los ángulos de un triángulo). ll8
o Nivel2.'Corresponde a cuestionesen las que se necesitaalgo más que recurrir a la memoria. Incluye las siguientestareas: a) Representaciones gráficas (construcción e interpretación). b) Explicación de una definición o de una propiedad geométrica. c) Anólisis, interrelación y aplicación de distintos conceptos geométricos reconociendo y dando ejemplos y contraejemplos. d) Preparación de mensajes para comunicar correctamente un informe espacial. e) Investigaciones abiertas sobre resolución y planteamiento de problemas geométricos. c Nivel -3;Elaboración y redacción de informes y trabajos monográficos sobre distintos aspectosy fenómenos de contenido espacial. Cada uno de estos niveles nos indic¿iráel grado.de adquisición y manejo de los conocimientos geométricos, con lo que podremos de esta manera estructurar la evaluación.
ACTIVIDAD TIPO DE DIAGNOSIS Y EVALUACION e Niyel: 12-16 años. t Objetivo: Evaluar la habilidad de visualizar las relaciones geométricasen el espacio tridimensional. o Motivación: La evaluaciónestará destinada a medir el desarrollo de la habilidad de visualización de las relaciones geométricasen el espacio tridirnensional. Para ello se especificarán tres sub-objetivos: l . I n t e r p r e t a r r e p r e se n ta ci o n e s gráficas de objetos tridimensionales. 2. Construir representacionesgráficas. 3. Efectuar transferencias y manipulaciones de imágenes mentales. Estos objetos específicosse trasladarán a diferentesítems de evaluación
que incluirán diferentes tipos de aciión espacialestructurada tanto en taxonomías de conocimiento como en taxonomías de conocimiento como en taxonomías heurísticas. El resultado de la evaluación se podrá plasmar en el Cuadro 6.2. . Taxonomías de conocimiento: (D): Número de dimensiones donde tiene lugar la realización de la p r u e b a . Se va l o r a p o r 1 ,2 ,3 . (I):: Grado de interiorización exigido por el item. Se valora por
0, 1,2 (P): Tipo de presentación de la respuesta exigida en la prueba se va l o r a p o r 0 , 1 ,2 . (C): Análisis de las operacionesmentales necesarias para resolver problemas. Se valora por 0,1.
lt9
2. ¿Cuántoscuboshay en el siguiente apilamiento?
CUADR( ) 6, 2
Objeti. vos
Tipos de ¡cción espacial
Texonomíss de conocimicnto
Items
Bsrcmo
Rend¡miento
Est¡&tegirs
Taxonomí¡s heurlsticas
3. La Fig. 6.16 representaun sólido. Este sólido tiene aristasque no se puedenver. Las aristasescondidas se dibujan como aparecenen la Fig. 6.17.
DIPC 1
3100
2
^t200
Apilardientos
Perspectiva
2
Representaclones
3
3120
2
B
3120
3
c
3120
3
D
3120
2
4
3200
5
3220
6
3210
Figura6.15
Pliegues
3
Descomposiclones
Secciones
1
3210
8
3210
o
Figura6.16
Figura 6.17
Dibuja de la mismamaneralas aristasescondidas en los sólidosrepresentados en Ia Fig. 6.18.
3210
l0
c
3120
I
3120
I
3120
I
o Taxonomíasheurísticas: (R): Modo de representación utilizado. Se clasifica en estrategias verbales(EVE), estrategiasvisuales(EVI), estrategias mixtas (EMr).
(F): Modo de focalizar la atención. globaSe clasificaen estrategias les (EG), estrategiasparciales (EPA). (M): Medios auxiliaresconcretosutilizados.
Items: l. ¿Cuántoscuboshay en el siguiente apilamiento?
D Figura6.14
120
Figura.6.18
121
+ . Supongamos que se observa la for-
ma de la Fig. 6.19, mirándola si-
guiendo la dirección de la flecha. l'lntonces se percibirá la Frg. 6.20.
6. Supongamos que se dobla dos veces una hoja de papel rectangular Y se corta a continuación un Pequeño triángulo rectángulo en la hoja plegada tal como indica la Fig. 6.23.
Figura 6.23
Desplegandoel papel,¿cuálde las figuras,4, B, C, D, E (Fig. 6.24)se obtendrá?
Figura 6.19
Figura 6.20 D Figura 6.24
Supongamos ahora que se observa la forma de la Fig. 6.21, mirándola siguiendo la dirección de la flecha. Dibuja la figura que sepercibe.
que se observala for5. Supongamos ma de la Fíg. 6.22, mirándola siguiendola direcciónde Ia fecha.Dibuja la figura que se percibe.
7. Se pliega una hoja de papel rectangular y se hace un corte tal como se indica en laFig.6.25.
Si se despliegala hoja, ¿cuálde las figva A, B, C, D, E (Fig. 6.26) se obtendrá?
Figura 6.25
Figura ó.21
122
F'igura6.22
123
¿Cuálde las figurasA, B, C, D, E queseobmuestranlos trespedazos tienen?
9. Supongamosque se corta un Prisma en tres trozos siguiendolas líneas marcadas(véaseFig. 6.28).
E
8. Supongamosque se corta un cubo en dos t'rozossiguiendolas líneas marcadas(véaseFig. 6.27).
D
E
D
Figura 6.26
Figura 6.28
¿Cuálde las figuras A, B, C, D, E muestranlos dospedazosqueseobtienen?
10. En los siguientesdibujosde cubos, los trazosdiscontinuosrepresentan las aristasescondidasy los demas indicanla direcciónen que secorta
el cubo en dos pezados.En cada caso,dibuja con precisiónla superficie que se obtieneal seccionarel cubo.
E Figura 6.27
Figura 6.29
r24
t25
INVESTIGACIONESY EJERCICIOSPARA I'L LECTOR
actividadesterapéuticas 6. Diagnosticarel error y proponerlas correspondientes ejercicio' siguiente del soluciones las a resp-ecto en cada caso(Fig' 6'30)' Ejercicio:Redondearlos ángulosde mayor amplitud
l. Realizarlas actividadestipo contenidasen estecapitulo. estudios:Redactarun mensaje 2. CompletarIa actividadtipo 3.1con los siguientes escritopara dictar por teléfonolas solucionesa), b), c) de la ficha del alumno. 3. Tomandocomo referenciala actividadtipo 6.1.,planificaruna lecciónsobrela enseñanza de la mediatrizparael ciclo superior,con el siguienteesquema: a) b) c) d) e)
Intoducción (presentacióndel conceptoy motivación). Investigación(presentacióny realizaciónde actividadesde laboratorio). Discusión(puestaen común de los resultadosde la investigación. ejerciciosde consolidación). Utilizaciónuso de las ideasdesarrolladas, Extensión(ampliación,otros conceptos,interrelación,etc.).
4. Administrar el test de la actividadtipo 6.5 a un grupo de compañerosy completar la tabla de resultadosde la evaluación.Seráconvenienterealizaralgunas entrevistas. 5. Resolvei y categorizarel siguienteproblema de acuerdocon las siguientesvariablesinstructivas: (R) Recursos: - Percepciónvisual. - RepresentacióngráLfica. - Calculadoras. - Aplicaciones. - Heurística. - Estimacióny aproximación. - Estructuras de... (N) Nivel: - Introducción. - Consolidación. - Extensión. (P) Pedagogía: -
Teoríasde aprendizaje. Técnicasde metodología. Diagnosisy evaluación. Finalidadesy objetivos.
L Dibujar un triángulo z4-BC. 2. En cada lado, construyeun triángulo equilátero.Denótalo por las letras X, Y, Z. 3. Unir Z con B, A co¡ Y, X co¡ C. 4. ¿Quérelacionescumplenlas líneasasí obtenidas?
r26
Figura6.30 el concepto de para7. Hacer un comrcParaalumnos de 8-9 años para explicar lelismo. lenguajes,para explicar una misma pro8. -- Preparar textos, utilizando diferentes añosy compararlos gradosde difil4-ló pi.á.¿ geométricapara alumnosde cultad de cadacaso.
g. Prepararuna actividadpara alumnosde I I -l 2 añosdondeseclasifiquenlos cuadriliteros segúnel punto de intersecciónde susdiagonales' las formas obtenidas 10. Redactarla ficha del alumno de 7-8 añospara clasificar conungeoplanocir cular . ¿Q uédif er enciaspodr í ahaber ent r eest af ichayot r a dedicadaa alumnosde l0-12 años? l l .P rogramarpar aalum nosde13- 14añosunaact ividadenlaqueensayenm ét opoliedro distintosde la actividad dos de obtención¿e áesarrollosplanosde un tipo del aPartado6'3. puedanestarcontenidosen las carasde un cubo, pero 12. -- EstudiarpolígonoSque para hacer .on todos sus-vérticesen aristasdel cubo. Programar una actividad cubo' un de posibles estudiarsecciones a la clasifi13. Hacer los diagramasde Venn, Carroll y en árbol correspondientes cación de los Paralelogramos. las fasesde observación' 14. En la actividadtipo de relacionar,marcarclaramente y abstracción' relación actuación' expresión, en lenguajeordi15. Elegir un problemageométricoy pensardiferentesversiones narro.
r27
16. Dado el problemade hallar el centrodc gravcdadde un polígono,inventarun material para resolverdicho problema,indicandoa qué nivel seríaadecuado usar dicho material. 17. Programarcon problemasde dificultadcrecienteuna investigación sobrelas relacionesentre los ángulosinscritos y centralesen una circunferencia.
Epílogo
Exactamente lo contrario de lo que generalmenle se (re.' es a menudo la verdad. (JrrN or LA BRUvERE)
En la presentacióndel libro aludíamosa la rehabilitaciónde la Geometría. Todaslas páginasanteriorespuedenorientar de cómo montar un andamio adecuadopara procedera tal rehabilitación.Pero ahora es cuando realmenteempiezala labor. La obra bien hechaserá,en estecaso,posibilitar que tras el estudiode la geometríaescolarlos alumnos poseanilusión y habilidadescon las que observary actuaren su entorno.Que los usosgeométricos,para aquellosque los precisen,seanfácilesy válidosy que los reTanto el uso como el recuerdodecuerdosgeométricos,seaninteresantes. ben ser situacionesfeüces. C. Alsina, C. Burgués, J. M.a Fortuny
128
129
APENDICB
y respuestas Sugerencias a ejerciciosseleccionados Capítulo 2 L Tanto en la actividadtipo comoen lade < necesario hacer el aula una adecuadaprede es en insistiendoen la parte del currículoque sentaciónde las experiencias, se va a trabajar. Se recomiend,arealizar las mencionadasactividadestipo en grupos de dos o tres alumnos.Cada alumno debedisponerde un correspondiente cuadernode a bordo para registrartodas las observaciones e incidencias que se produzcanen el transcursode las actividades. En cuantoa la actividadtipo hay que insistiren el trabajo de traducciónparalelaa los tres niveles:objetos,accionesy esquemas. 2. En todas las investigacionesy ejerciciosde programar, plantear y diseñar actividadeses muy convenientetomar como marco de referencialos distintosnivelesde concrecióndel diseñocurricular.El libro de César Coll es una buena guia para estascuestiones. 3. Consultar la correspondientebibliografía citada a pie de página de la actividadtipo. 4. Tomar como referenciala actividad tipo . 5. Puedeser recomendableidear fichas monográficasen torno de una temática muy concretaobservableen obras de arte: concavidady convexidad en escultura,simetríaen figuraspintadas...,e inclusohacerfichas relativasal tratamientode una proporción(númerode oro...),o una figura (cubo, esfera...),o a lo largo de diferentesestilosartísticospartiendo de una relaciónde fotos. 6 y 7. Llegar a clasificacionesde formas captadasa partir de objetos simples colocadosencimade una mesapuedeser más sugerentesi los objetos tienencomponentes dinámicos(relojes,móviles,etc.).
t33
8. Consultarla obra de C. Alsina y t,l. Marquet Pesos,Mides i Mesures. 9. Se recomiendahaceruna visita previa a una iglesiapara observarun rosetón.Posteriormente, a partir de una fotografíadel rosetón,se analizaránlasdistintasrelaciones geométricas subyacentes. En estemomento el profesorpuedehacerun repasode las construcciones geométricas elementales. La culminaciónde la actividadserála construccióncon regla y compásdel rosetónelegido. 10. Consultar las fichas de A. Alsina: Una lligó de Matemdtica corporal.
l. La actividad tipo de inducción sugiereuna iniciaciónelementala los fractalescomo tema de recienteactualidadcientífica.La actividadtipo de deducciónpuedeexperimentarse con niños de 13-14años. 2. n(n-3)12. 3. n - 3 ángulosinteriorescóncavos;3 ángulosinterioresconvexos. sin esimpar.
5. lz+22+32+...tn2. 6. En la construcciónrecurrentede los ladosde los rectángulosaparecen dos sucesiones de Fibonaccidonde cadatérmino es igual a la sumade los dos anteriores.Susproporcionestiendenal númerode oro. 7. Este problemapuedetratarsea partir de los desarrollosplanosde los poliedrosregularesy viendolas posiblescoincidencias de polígonosregularesen un vértice. 8. Debe procederseinductivamenteañadiendoen cada paso una recta y viendolas nuevasregionesque aparecen.Se relacionarácadapasocon los anteriores.Puedeplantearseun problemasimilar con círculosen lugar de rectas. 9. Véaseel libro de A. Don: Fundamentosde Geometríaparauna interesantediscusiónhistóricadel quinto postuladode Euclides. 10. Dado un triángulo, por un vértice se traza una paralelaal lado opuesto. Se compruebaque los ángulosadyacentes a derechae izquierdadel ángulo cuyo vérticese considerason congruentes con los dos ángulosdel triángulocuyo lado comúnes el lado opuestoal vérticeconsiderado. I l. La aproximaciónde áreasmediantecuadradosa rectángulos puedeaclarar estarelación. 134
para gene13. Deberátrabajarseel número mínimo de piezasL necesarias rar una nuevaL, acotandoel tamañode la nuevaL a obtener(doble,...). 14. Para 9-10años,podríaplantearsela investigacióna partir de contar las diagonalesposiblesdesdeun vértice. 15 y 16. Véaseel libro de E. CastelnuovoI-a Geometría. Capítulo4
Capítulo3
4. nsir?esparyn-2
12. Los crecimientosde tipo espiral (con curvas o con segmentosrectos) dan induccionesinteresantes.
l. Es interesantecomprobar,medianteentrevista,que las actividadestipo de percepciónespacialforman una jerarquía.En cuanto a la actividad gráfica se sugiereconsultarlas fichasde trabajo tipo de representación del ProyectoDIME en G. Giles. 2. Esta investigaciónhay que desarrollarlacomo una actividadde lab
135
Capítulo6 l. Consultarel artículode J. M.u F'ortunysobreel 4. l:14:' 2:36; 6:B; 7:B; 8:C; 9:E 5. Percepciónvisualy heurística;extensión;evaluación.Líneasconcurrentes. 6. Confusiónentre extensiónsuperficialy amplitud. 9. Consultarla obra de E. CastelnuovoLa Geometría. ll y 12. Consultarla obra de C. Alsina, C. Burguésy J. M." Fortuny, Bon día Geometría! 13 y 16. Consultarla obra de E. CastelnuovoLa Geometría.
r36
Bibliografía ALSTNA, C. (1987): Una lligó de Matemittica Corporal, La Caixa a les Escoles,FundacióCaixa de Pensions,Barcelona. ALsrNA,C. (1987):Las Geometíasno sonpara el verano,Actas,Pub. Thales(Huelva). ALsrNA,C.; BuncuÉs,C., y FonruNv, J. M.a (1985):Bon dia, Geometrial,Cirit, Barcelona. ALSINA,C., y Fonrutv, J. M." (1988):FascinantSimetia, Museude la Ciéncia,FundacióCaixa de Pensions.Barcelona. ALSTNA, C., y otros (1985):Estadesde Motivació Matemittica, Centre d'Iniciativesi ExperiBarcelona. mentacióper a Escolars,FundacióCaixa de Pensions, AI-srNn,C., y Tntllrs, E. (1984):I¿ccionesde Algebray Geometla,Gili, Barcelona. ARrIAco, R. A. (1981): ln geometrie du monde technologique,Proceedingsof the 33th CIEAEM'S meeting. B¡n¡n, D., y Fonrunv, J. M.a (1982):
137
FonruNv, J. M.a (1986): un Írencaclosquesuntb el.r¡xtliedresregulars,Guix, núm. I04, págs. 49-55. Fonrurv, J. M., y ALMAro, A. (1982):I-o Get¡metríua travésde investigacionesde l-aboratorio, ActasII JAEM, Zaragoza,págs.337-343. Fnruornter, H. F. (1985):Didacticas Pherutmerutktg... of Mathematical structures,Reidel. Dordkecht. GeuI-IN,c. (1985): The needfor emphasizingvarious graphical representationsof 3-DimensionalSpacesand Relations,Proceedings, PME 9, vol. II, págs.53-71. GIr¡s, G. (1979):3-D sketching,se¡ies, DIME, Projecrs,Univ. of Stirling/Oliverand Boyd, Scotland. GTMENEZ, J., y Fonruuv, J. M.' (1987): propostesdidácticasal voltant del comeraHallev. Graó, Barcelona. GrrN, W. H., yJouNsor.r,D. A. (19ó7):El TeoremadiPitagora,Zanichelli,Bologna. Heoeueno, J. (1945): Thepsychology of invention in the MathematicalField, Dover. New York. Horrrn, A. R. (1977)(Ed..):Geometryand visualizatio¿,Univ. of Oregon. Horrrn, A. R. (1983):van Hiele basedResearch, en Lesh,Landau(eds.),Acquisitionof MathematicsConceptsand Processes, AcademicPress,New york. I.C.M.I. (1987):lns Matemáticasen primaria y secundariaen la décadade los 90 (Kuwait, 1986),Mestral,Valencia. Jotnvsox, D. A. (1969):Curve nello spazio, Zanichelli,Bologna. JoHNsoN,D.A., y WENNTNGER, M. J. (1975):Matemáticasmásfácilescon manualidades de papeI, Distein, Barcelona. Leunrzt, H. (198a): Etude de I'habilité a visualiserdes relations geométriquesdans trois dimensions..., TheseUniv. MohamedV. Rabat. Ltnrn, c. s. (eds.)(1981):spatial Representationand Behaviour Acrossthe Life space, AcademicPress.New York. LLTBRE, J. (1977):El Tiangram de los 8 elementos,Barral, Barcelona. Mtvnznrr, K. L. (1986):An Adventure in Multidimensionalspace,John wiley and Sons,New York. O'DenEen,R.G., y CLEMENs, S. R. (1977):Geometry:investigative approach,AdissonWesley, California. Prrrescto, R. y otros (1985):Typologiedeshabiletesperceptivesd'objectespolyedric, clRADE, núm. 6, Universidadde Quebec. P¡oop, D. (1979):l-a Geometríaen el Arte, Gili, Barcelona. Plor (1987):Números38 y 39, IREM, Orleans. PuIc Aoeu, P. (1958):El Material Didúctico Matemático Actual, M. E., Madrid. Pulc Aoev, P., y otros (1967):El Material para la Enseñanzade las Mdtemáticag Aguilar, Madrid. Scorr NonroN, M. (1969):Costruzionigeometriche,Zanichelli, Bologna. Sr¡rr¡p, R. (1980):Psicologíadel Aprendizajede las Matemátícas,Morata, Madrid. TttotrrRsott, J. E. (1967):Geometría,Uteha,México. Vnr Hrrrr, H. P. (1986):Stucture and Insight, Academicpress,New york. WrLsoN(1979): The Matlumatic, Curriculum Geomety, Blackie,London.
138
Indice analítico
Abstracción,92. Acciones espaciales,16-17, 85, 92, 98-99. físicas.34. 100. Actividadde investigación, espacialen el entornonatval,28,29' 30. cuadro-ejemplo, 15. Adquirir conocimientos, Alsina,C. y FortunY,J. M., 1988'30. Análisis cuantitativo,figurativo y estructural,28. Aprendizaje,83. Axiomas,49. Bartolomeis,De, 1986,100. Cazade formas, 37. Clasificación,16-17,63. 37. Clasificacionessimultá,neas, Clasificar,107-108. actividadtiPo, 109-110. 84. Comprensióndel esPacio, Comunicación,103-104. Conceptos,99-103.
14, 15,84. Conocimientosespaciales, actividadtipo, 90. geométricos,15,28, 63'64. modos,15. promotor, 100. Construccióndel espacio,87. con reglay compás,46. Construcciones Constructivista, Posición,84, l12Creaciónartística,36. Currículo,98-99. Deducciónlógica,15. Demostración,49, 51. Demostracionesdinámicas, gráficas y visuales,52-54 actividad tipo, 53. Desarrolloindividual,98. intelectual.86. Determinación,17, 63. Diagnosis cognitiva, epistemológica, pedagógica, Perceptiva,I 17. actividadtipo, I19. 67. Dibujo en perspectiva, isométrico.67.
139
técnico exacto,ó6. topográficoaproximado,66. Dimensiónuno, dos, tres,etc., 14,37. Dimensionesde la instrucción,99. Descubrimientoactivo,99. Dienes,Z. P., 1971,90. Discernimiento,89.
Educacióngeométrica,60-61. Einstein,15,84. Enseñanzade la Geometria,15, 97-98. Enseñanza-aprendizaje, 87. Entorno,conocimiento,63-64,92. arltficial, 27-28. artístico.36. científico,32. espacial,63-64,92. natwal,27-28. técnico,32. actividadtipo,32. punto de vista, 112. Epistemología, Equivalenciade areas,5l-52. de propiedades, 50. de volúmenes,5l-52. Espacioabsoluto,84. abstracto,85. ambiental,l4-16. arquitectónico,16,84. comportamiento,de, 100. concreto,85. cosmo-,29-30. filosófico,16,84. físico,16,84. geométrico,16,84. intuitivo, 85. macro-,29-30. meso-.29-30. micro-, 29-30. multidimensional.14. orientación.14. posición,14. psicológico,16,84. real,15. relativo. 84. sensorio-motor, 85. social,16,84. 140
geométricos, l;.squcmas 34. l,lstructurageométrica, 33. l'lstructuración, 16-17,63. lrtapasgenétricas, 85. Euclides,elementosde, 13,23-24,49. Euler,fórmulade,44. Ev a l u a c i ó nl l.8 -119. Experiencias espaciales, 15. Fenomenología didactica,28, 33. Fenómenosnaturales,28. tecnológicos, 33. Fielker, 1979,ll3. Finalidadesde la enseñanza de la Geometria, 17. Forma de producción,100. Formaslineales,planosy espaciales, 37, 6 l -6 2 ,9 3 ,l l 4-115. Freudenthal, 1983,28. Frostig programa,62. Fundamentación de la Geometría.49. Geometríay Arte, 35-37. ciencia.3l-32. como las Matemáticasdel espacio, t4,24-25. 14. cuerpode conocimientos, estudioparatodos,16, 17. nuevasgeometrías:Descriptiva,Diferencial, Integral, No-Euclideas, Probabilística,Pr oyectiva,24. técnica,3l-32. actividadtipo, 37. Giles, 1979,68. J. y Fortuny,J. M., 1986,30. Giménez, Grafostopológicos,66. Habilidadesde abstraer,comunicar,observary organizar,17,64,90. de saberver e interpretar,6l,l19. actividadtipo, 93. Hilbert. 25. Historia, reflexiones,23-25. Hoffer, 1977,62. Ideacióngráfica,64.
Ilusionesvisuales,60. 16,59-60. Imágenesespaciales, 60, 119. mentales, visuales,60. Imaginación,99. Inducción,42, 44. demostraciónpor, 42, 44. hipótesis,42, 44. para contar,43. para verificar, 44. sobreconceptos,46. 46. sobreconstrucciones, 45. sobredimensiones, actividadtipo, 48. Información,103. Instrucción.98. Instrumentosde medida,77-78. Intuición geométrica,14, 15, 29, 74-75. 31. Itinerariomisterioso.
Motivación en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría,28. Naturalezaverbal,visual, 15. Nivelesde conocimiento,84. de interrogación,I l8-l 19. de organizaciónespacial,86. de la GeomeObjetivosen Ia enseñanza tria, 17. de actitudes,20-22. de conceptos,20-22. de normas,20-22. de procedimientos, 20-22. Objetosreales,29. O'Daffer y Clemens,1977,90. cognitivas,16. Operaciones 29. espaciales,
Pallascio.16. desarrollo,15,87. Pensamiento, Kant, 84. 15. elementos, 15. mecanismos. Laboratorio,estructurade,92, 100,l0l. Percepciónespacial,15, 60, 61, 63-64, Leibniz,84. 85. 15,64,l 0l , 10 3,l12, l14. Lenguaj e, etapasde desarrollo,17. Lógica, 15. nivelesde comprensión,16. 15. conceptos, visual,60, 63-64,99. 50-51. conectoresy cuantificadores, actividadtipo,62. Piaget,etapas,85, 86. Planificación activa, cíclica, comunicaMaestro,97. progresista, 98, tipo, 32-33. tiva, fenomenológica, actividad Máquinas, 99. Material,72,92. Plot, revistanúms. 32, 38, 39. Materialesaptos para la confecciónde Poliedrosregulares,93. modelos,76. Problemasde extensióny ampliación, preparadospara el montajede mode99. los,75. Procesos.99. Mecanismos,77. cognitivos,85, 86. Mediatriz,laboratorio,102-103. de conceptualizacií¡, 29. Medidas angulares,linealesy superfi42,49. deductivos, ci al es,31,93. 29. espaciales, Memoria.87. de existenciay unicidad,51. Miyazaki, 1986,32. visuales.60. Modelos cosmológicos,desmontables, Progresogradual,100-101. evolutivos, estructurales, energéticos, geométricas, 14,16,85,86. Propiedades fijos, manipulativos,móvilesy numé66. ortogonales, Proyecciones rtcos.32-33.72-75.
141
Psicologla,punto de vista, 15. Puig Adam, 1958-1967,25. Puntoscardinales,31. Razonamientodeductivo.23. inductivo,48, 99. matemático,41. Relacionar,107. actividadtipo, 109-110. Relacionesespaciales, 7-16, 6l-62, 84, 8 6 , 99. lectura comprensiva,16. topologías,proyectivas,afinesy euclideas,29. Representación,59, 92. actividadtipo, 68-69. bidimensional,14. espacial,63-64,ll9. del espacio,66. gríú.ica,63-64,ll9. mental,29, 85, 87,98, 99. de objetos realeso ideas abstractas, 64. Reproduccionescon diferentesmateriales, 37. exacta,65. perspectiva,65. Resoluciónde problemas,100,I12. actividadtipo, l14, l15. Significado,105. Símbolos,103. paracomprender,recordary comunicar. 104.
142
para construirconceptos,105. para reflexionar y automatizar, 105103. visuales, Simbolización,actividadtipo, 106. Situacionesproblemáticas, I 18. reales,103.
Tangram,93. Taxonomíasde conocimiento.l19. heurísticas,120. Teatro, 106-107. Teorema,49. Pitágoras,52. Teoría psicogenética,85. Términos,49. Thales,23. Topográ,ficos,cortesde nivel, 67. Trabajo de campo,31. actividadtipo, 93. en equipo,92. personalizado, 92. Traducción,17,29, 53, 112. Transformacionesgeométricas,24. enseñanza de,93-94.
Van Hiele,nivelesde conocimiento,9l, 109. fasesde aprendizaje,89-90. Variables,l12. Visualización,15, 17, 60,62. Visualizar.habilidadde. 119.
05012
