Cuestionario Probabilidad y Estadística 2° Parcial
a) Lea los siguientes signifcados y escriba a que pertenecen. 1.- La regla multiplicativa, combinaciones y permutaciones son: técnicas de conteo. 2.- Técnica de conteo que permite encontrar las diferentes formas de realizar tareas o actividades. Regla multiplicatia. !.- Técnica de conteo que permite encontrar el n"mero de formas diferentes de tomar elementos en un con#unto de n elementos y el orden de selecci$n de los elementos no es importante. Combinaci!n. %.- Técnica de conteo que permite encontrar el n"mero de formas diferentes de tomar elementos en un con#unto de n elementos y el orden de selecci$n de los elementos es importante. Permutaci!n &.- 'on#unto de acciones con las que, utilizando procedimientos claramente establecidos, se efect"a alg"n tipo de observaci$n observaci$n medida. E"perimento. (.- )enotado por Ω , es el con#unto de todos los posibles resultados de un e*perimento. Espacio muestral. +.- )enotado por L , es el con#unto de todos los subcon#untos de
Ω .
Espacio de eentos. .- e denomina as al par
( Ω , L ) donde
Ω es el con#unto de todos los
posibles resultados del e*perimento y L es el con#unto potencia de
Ω .
Espacio #uestral del e"perimento. /.- Todo subcon#unto del espacio muestral se le denomina: Eento. 10.- na funcion P ( ) cuyo dominio es L y cuyo con#unto de llegada ll egada es el intervalo cerrado de n"meros reales de cero a uno es: uncion de probabilidad. 11.- i 3 es una funci$n de probabilidades, probabilidades, para para cualquier evento evento E ∈ L se puede calcular su probabilidad mediante la forma del complemento.
P ( E E ) =1− P ( E ) . Ley c
12.- i 3 es una funcion de probabilidades y 41 y 42 son eventos en el correspondiente espacio muestral
( Ω , L ) , entonces
P ( E1 ∪ E 2) = P ( E1 ) + P ( E2 )− P ( E 1 ∩ E2 ) . Ley aditia de probabilidades
1!.- 3robabilidad en la que para que se dé el 4vento 5 siempre debe darse el 4vento 6. Probabilidad Condicional. 1%.- ean 6, 5 eventos de7nidos sobre un espacio muestral
( Ω , L ) , la
probabilidad de que ocurra el evento 5 dado que ya se realiz$ el evento 6. Probabilidad Condicional. 1&.- ean 6 y 5 dos eventos cualesquiera dentro de un espacio muestral Ω . 8 si 6 no depende del evento 5 y 5 no depende del evento 6, se
conoce como: $ndependencia de eentos. 1(.- on una colecci$n de eventos E1 , E 2 , E3 , E4 … Tales que la uni$n de todos ellos forman el con#unto
Ω y sus intersecciones son dis#untas.
%istema e"&austio y e"cluyente de eentos. 1+.- ean E1 , E 2 , Ek … eventos de7nidos sobre el espacio muestral
( Ω , L ) tales que son e*9austivos y mutuamente e*cluyentes, con P ( Ei ) ≠ 0 . 4l 4vento 6 se encuentra mediante P ( A )= P ( A ∩ E1 ) + P ( A ∩ E2 ) + P ( A ∩ Ek ) + … 6 esto se lo conoce como:
'eorema de la probabilidad total. 1.- ean E1 , E 2 , Ek … eventos de7nidos sobre el espacio muestral
( Ω , L ) tales que son e*9austivos y mutuamente e*cluyentes, con P ( Ei ) ≠ 0 , y
P ( A ) se lo puede calcular utilizando el teorema de
probabilidad total, para encontrar la probabilidad dada en alguno de los eventos en se utiliza: El teorema de (ayes. b) Resuela los siguientes eercicios 1/.- )e cuantas maneras se pueden entregar & premios a 1& personas suponiendo que cada persona no puede recibir m;s de un premio< 31
32
3!
3%
3&
1&
1%
1!
12
11
15 ×14 ×13 × 12×11=360360
20.- )e cuantas maneras se pueden entregar & premios a 1& personas, sin importar si las personas reciben m;s de un premio<
5
15 × 15 × 15 × 15 × 15 =15
31
32
3!
3%
3&
1&
1&
1&
1&
1&
=759375
21.- '$mo se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde e*isten 1& participantes<
( )
P 15 4
=
15 !
( 15− 4 ) !
15 !
=
=32760
11 !
22.- 4n un curso de 20 estudiantes se quiere elegir primero a un presidente, luego a un vicepresidente y por ultimo a un secretario, de cuantas maneras se pueden elegir a los tres estudiantes<
( )
P 20 3
=
20 !
( 20−3 ) !
=
20 ! 17 !
= 6840
2!.- 4n un curso de 20 estudiantes se quiere elegir primero a un presidente, vicepresidente y secretario, de cuantas maneras se pueden elegir a los tres estudiantes sabiendo que no importa el orden en que se eli#an a los estudiantes<
( )
C 20 3
=
20 ! 3 ! ( 20 −3 ) !
20 !
=
3 ! 17 !
=1140
2%.- 4n una ;nfora 9ay ( canicas: ! ro#as, 2 azules y 1 amarilla. )e cuantas maneras se pueden sacar tres canicas, una de cada color<
( )+ ( )+ ( )=¿
C
3 1
C
2 1
3! 1 ! ( 3 −1 ) ! 3! 1!2!
+
+
C
1 1
2! 1 ! ( 2 −1 ) !
2! 1 ! 1!
+
1! 1! 0!
+
1! 1 ! ( 1 −1 ) !
= 3 + 2 + 1= 6
=¿
2&.- i un e*perimento consiste en lanzar ! monedas y observar que lados salen, liste los elementos del con#unto
Ω .
'ara: c ello: s Ω= { ( c , c , c ) ; ( c , c , s ) ; ( c , s , s ) ; ( c , s , c ) ; ( s , c , c ) ; ( s , s , c ) ; ( s , c , s ) ( s , s , s ) }
2(.- 4l p9 de una pecera puede ser acido, neutro o alcalino. 4l e*perimento consiste en anotar los p9 de 2 peceras, describa el con#unto
Ω .
6cido = a >eutro = n 6lcalino = c Ω= { ( a , a ) , ( a , n ) , ( a , c ) , ( n , a ) , ( n , n ) , ( n , c ) , ( c , a ) , ( c , n ) , ( c , c ) }
2+.- i un e*perimento consiste en lanzar tres monedas y observar que lados salen 41: 'u;l es la probabilidad de que en las tres monedas salga cara< 42: 'u;l es la probabilidad de que salga cara en por lo menos una moneda< 'ara: c ello: s
{
Ω= ( c , c , c ) ; ( c , c , s ) ; ( c , s , s ) ; ( c , s , c ) ; ( s , c , c ) ; ( s , s , c ) ; ( s , c , s ) ( s , s , s )
}=8
E1= { ( c , c , c ) }= 1 E2= { ( c , c , c ) ; ( c , c , s ) ; ( c , s , s ) ; ( c , s , c ) ; ( s , c , c ) ; ( s , s , c ) ; ( s , c , s ) }= 7
P ( E1 )=
P ( E2 )=
N ( E1 )
1
N ( Ω )
8
= =0.125
N ( E2 )
7
N ( Ω )
8
= =0.875
2.- i un e*perimento consiste en lanzar tres monedas y observar que lados salen
41: 'u;l es la probabilidad de que en las tres monedas salga cara< 42: 'u;l es la probabilidad de que salga cuando m;s en una moneda cara< 'ara: c ello: s
{
Ω= ( c , c , c ) ; ( c , c , s ) ; ( c , s , s ) ; ( c , s , c ) ; ( s , c , c ) ; ( s , s , c ) ; ( s , c , s ) ( s , s , s )
}=8
E1= { ( c , c , c ) }= 1 E2= { ( c , s , s ) ; ( s , s , c ) ; ( s , c , s ) } =3
P ( E1 )=
P ( E2 )=
N ( E1 )
1
N ( Ω )
8
= =0.125
N ( E2 )
3
N ( Ω )
8
= =0.375
2/.- i un e*perimento consiste en lanzar dos dados y observar los n"meros que quedan en las caras superiores de los mismos 'u;l es la probabilidad de que la suma de los n"meros de las caras superiores sea +<
{
(1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , (1,5 ) , ( 1,6 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 2,6 ) , Ω = ( 3,1 ) , (3,2 ) , ( 3,3 ) , ( 3,4 ) , ( 3,5 ) , ( 3,6 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) , ( 4,5 ) , ( 4,6 ) , ( 5,1 ) , ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , (5,4 ) , ( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,1 ) , ( 6,2 ) , (6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 )
}
= !(
E1= { (1,6 ) , ( 2,5 ) , ( 3,4 ) , ( 4,3 ) , ( 5,2 ) , ( 6,1 ) }= 6
P ( E1 )=
N ( E1 )
6
N ( Ω )
36
=
=0.167
!0.- 2/.- i un e*perimento consiste en lanzar dos dados y observar los n"meros que quedan en las caras superiores de los mismos 'u;l es la probabilidad de que la suma de los n"meros de las caras superiores sea %<
{
(1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , (1,5 ) , ( 1,6 ) , ( 2,1 ) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 2,6 ) , Ω = ( 3,1 ) , (3,2 ) , ( 3,3 ) , ( 3,4 ) , ( 3,5 ) , ( 3,6 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) , ( 4,5 ) , ( 4,6 ) , ( 5,1 ) , ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , (5,4 ) , ( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,1 ) , ( 6,2 ) , (6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5 ) , ( 6,6 )
}
= !(
{
E1= (1,3 ) , ( 2,2 ) , ( 3,1 )
P ( E1 )=
N ( E1 )
3
N ( Ω )
36
=
} =3
=0.083
!1.- 4n un ;nfora se tienen ! canicas negras, 2 amarillas y 1 ro#a. e van a sacar ! canicas 'u;l es la probabilidad de que al menos una sea negra<
(
P ( E1 )= 1 − P E1
c
( )( ) )= − () 1
3! P ( E1 )= 1 −
3 3 0 3
0 ! ×3 !
6 3
3!
×
3! × 0 !
=1− 1× 1 = 0.95
6!
20
3 ! ×3 !
!2.- 4n un ;nfora se tienen ! canicas negras, 2 amarillas y 1 ro#a. e van a sacar ! canicas 'u;l es la probabilidad de que al menos una sea amarilla<
(
P ( E1 )= 1 − P E1
c
) =1 −
2! P ( E1 )= 1 −
0 ! ×2 !
×
( )( ) () 2 4 0 3 6 3
4! 3 ! × 1!
6!
= 1−
1 ×4 20
=0.8
3 ! × 3!
!!.- e tiene un grupo de 10 9elados, & son de c9ocolate, !de frutilla y 2 de vainilla. e eligen al azar ( 9elados. )etermine: •
)e cuantas formas se pueden elegir los ( 9elados<
( )
N ( Ω )= 10 6 •
=
10 ! 6 ! ( 10 −6 ) !
=210
'u;l es la probabilidad de que ! sean 9elados de c9ocolate y uno de vainilla< P ( E 1 )=
( )( )( ) = 5 3
2 3 1 2
210
5! 3 ! × 2!
×
2! 1! × 1! 210
×
3! 2! × 1!
= 0.0238
!%.- e tiene un grupo de 11 estudiantes, ! son de sistemas, % de net?oring y % civil. e eligen al azar un grupo de & alumnos. )etermine: •
)e cuantas formas se pueden elegir los gruposs<
( )
N ( Ω )= 11 5 •
=
11! 5! ( 11−5 ) !
= 462
'u;l es la probabilidad de que al menos un estudiante sea de net?oring< P ( E 1
( )( ) = )= 4 1
7 4
4! 1 ! ×3 !
462
×
7! 4 ! ×3 !
210
=0.667
!&.- 4n un aula de clases 9ay dos ventiladores, la probabilidad de que uno funcione es de 0.+& y la probabilidad de que el otro funcione es de 0./. 6dem;s se conoce que la probabilidad de que ambos funcionen a la vez es de 0.&. 'u;l es la probabilidad de que el al menos uno de los ventiladores funcione< P ( A )=0.75
P ( B ) =0.9 P ( A ∩ B ) =0.85
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( A )− P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = 0.75 + 0.9− 0.85 P ( A ∪ B )= 0.8
!(.- La mam; de un ni@o lo de#a elegir un dulce entre 20 dulces en la dulcera, 12 tienen nueces, 1! tienen c9ocolate y & tienen nueces y c9ocolate. 'alcule la probabilidad de que: 6: el ni@o eli#a un dulce con nueces •
P ( A )= •
20
=0.6
5: el ni@o eli#a un dulce con c9ocolate P ( B ) =
•
12
13 20
= 0.65 +
&
': que el ni@o eli#a un dulce con nueces y c9ocolate P ( C ) =
5 20
=0.75
!+.- La probabilidad de que un avi$n bombardero acierte en su ob#etivo en una misi$n es 0,0. e envan cuatro bombarderos 9acia el mismo ob#etivo. 'u;l es la probabilidad de que:
•
41: Todos den en el blanco 6
5
'
)
0.
0.
0.
0.
P ( E1 )= P ( A ∩ B ∩C ∩ D ) = P ( A ) ∙ P ( B ) ∙ P ( C ) ∙ P ( D )
P ( E1 )= 0.8 × 0.8 × 0.8 × 0.8 =0.4096
•
42: >inguno de en el blanco 6
5
'
)
0.2
0.2
0.2
0.2
P ( E2 )= P ( A ∩ B ∩C ∩ D )= P ( A ) ∙ P ( B ) ∙ P (C ) ∙ P ( D ) P ( E2 )= 0.2 × 0.2 × 0.2 × 0.2= 0.0016
!.- e tiene una contrase@a de % dgitos del 0 al /. )etermine cuantas posibles contrase@as pueden e*istir. 'u;l es la probabilidad de que el "ltimo digito sea par y el pen"ltimo sea impar. 1
2
!
%
10
10
10
10
10 ×10 ×10 ×10 =10000
Aue el "ltimo sea par: P ( A )=
5 10
=0.5
Aue el pen"ltimo sea impar P ( B ) =
5 10
= 0.5
4ventos mutuamente e*cluyentes P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )=0.5 × 0.5=0.25
!/.- ea 6 el suceso de sacar un 6s de una bara#a est;ndar de &2 cartas y 5 sacar una carta con coraz$n ro#o. 'alcular la probabilidad de sacar un 6s o un coraz$n ro#o o ambos en una sola e*tracci$n. P ( A )=
4 52
= 0.077
P ( B ) =
13 52
= 0.25
P ( A ∩ B ) =
1 52
=0.019
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )− P ( A ∩ B ) P ( A ∪ B ) = 0.077 + 0.25− 0.019= 0.308
%0.- n e*perimento consiste en lanzar un dado y una moneda. 'alcule la probabilidad de obtener como resultado un n"mero impar y cara.
{
Ω ( 1, c ) , ( 2, c ) , ( 3, c ) , ( 4, c ) , ( 5, c ) , ( 6, c ) , ( 1, s ) , ( 2, s ) , ( 3, s ) , ( 4, s ) , ( 5, s ) , ( 6, s )
P ( A )=
3 6
}
1
=0.5 P ( B ) = = 0.5 2
P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )=0.5 × 0.5=0.25
%1.- 4n un grupo de 100 #$venes, +0 son mu#eres y !0 son 9ombres, %0 mu#eres est;n traba#ando actualmente y 20 9ombres est;n traba#ando. i se elige un #oven al azar cual es la probabilidad de que el #oven elegido este traba#ando. 8 cu;l es la probabilidad de que este traba#ando y sea mu#er. Bombres: 41 Cu#eres: 42 P ( E1 )=
P ( E2 )=
30 100 70 100
P
( )
20
P
( )
40
A E1 A
E2
=
=
30
70
=0.3 =0.7
=0.667
=0.571
P ( A )= P ( A ∩ E1 ) + P ( A ∩ E2 )
P ( A )= P
( ) A
E1
P ( A )=0.599
P ( E 1 ) + P
( ) A
E 2
P ( E 2) =( 0.667 × 0.3 )+( 0.571 ×0.7 )
