Cuaderno de Examenes Generados

2 MATERIA:

ÁLGEBRA LINEAL LINEAL,, Primer parcial

DOCENTE: Nombre del estudiante:

1. (Teoría 10 puntos). Resolver cuatro de los siguientes incisos: a) Rango Sea A

∈ M 4 7 ¿Cuáles son los posibles valores para el rango de A ? ,

b) Inversa Si A y B son matrices invertibles, ¿Es cierto que 2 A + 4 B es invertible? c) Propiedades

conmutan, ¿Es cierta la matriciales Si A y B son matrices invertibles y B y C conmutan, siguiente igualdad? A−1 (2 BC + 4 A + 3 B) B−1

=

−1 + 3 A−1 2 A−1C + + 4 B

∈ M . tal que Av λ v, calcular A4 − λ4 I v. e) Existencia de soluciones Sea A ∈ M 6 3 ¿es cierto que el sistema A x b tiene solución única?, f ) Sistemas homogéneos Sea A ∈ M no nula ¿es cierto que existe una matriz B ∈ M no nula d ) Producto matricial Sea A



=

n,n



=

,

n,n

A B = 0?. tal que AB

n,m

2. (20 puntos) (Determinantes) Sin emplear cofactores, hallar la factorización del determinante de la matriz: A =

  

x + e x x x

x x+e x x

x x x+e x

x x x x+e

  

3. (20 puntos) (Existencia de soluciones) Hallar los valores de m de modo que el sistema tenga (i) Sol única, (ii) infinitas soluciones, (ii) ninguna solución

 2  4 12

6 3 2 m + 18 m + 12m + 42 3m + 54 4m2 + 49m + 168

   

x1 x2 x3

 

=

0 2 m + 12m + 45 m2 + 38m + 51

  5

 

4. (20 puntos) (Sistemas) Un criadero de peces produce tres tipos de peces. Un pez de la especie I consume por semana, un promedio de una unidad del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Un pez de la especie II consume por semana tres unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y tres unidades del alimento 3. Finalmente un pez de la especie III consume dos, dos y tres unidades de los alimentos 1, 2, 3 respectivamente. respectivamente. En el criadero se disponen semanalmente de 14200 unidades del alimento 1, 14200 unidades del alimento 2 y 19500 unidades del alimento 3. Asumiendo que todo el alimento se consume, ¿Cuántos peces de cada especie pueden mantenerse en el criadero?. 5. (20 puntos) Criptografía Decodificar el mensaje secreto: ZFÑFKOJVGX. Emplee la matriz A

=

1

5 2 21



3 6. (20 puntos) (Sistemas) Resolver:

 −1  2  2 −2

0 −3 3 −2

−2 0 1 0 −1 −2 −1 −1 −2 2 0 1 0

2

0

1 1 0 1 1

2 0 2 −1

   0  0   0   5   

Elegido entre:3.76e +31posibilidades 1

1

AmaruSoft (fase alpha),17-Jul-2017 16:11:25, Tiempo de generacion:0.13 Segundos

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

      

=

 −2   −1   0  3

4 Soluciones 2



Sol.: Todos los valores menores o iguales a:4 b) Inversa Si A y B son matrices invertibles, ¿Es cierto que 2 A + 4 B es invertible? Sol.: No necesariamente c) Propiedades matriciales Si A y B son matrices invertibles y B y C conmutan, ¿Es cierta la siguiente igualdad? A−1 (2 BC + 4 A + 3 B) B−1

=

2 A−1C + 4 B−1 + 3 A−1

Sol.: Si. d ) Producto matricial Sea A ∈ M n,n . tal que Av = λ v, calcular A4 − λ 4 I v. Sol.: Para todo natural m y todo número λ, de Av = λ v se deduce: Am v = λ m v, de esto el resultado sigue. e) Existencia de soluciones Sea A ∈ M 6,3 ¿es cierto que el sistema A x = b tiene solución única?, Sol.: No necesariamente, sólo tiene solución única cuando rango([ A|b]) = rango( A) = 3. f ) Sistemas homogéneos Sea A ∈ M n,n no nula ¿es cierto que existe una matriz B ∈ M n,m no nula tal que AB = 0?. Sol.: No necesariamente, la matriz B sólo existe cuando la matriz A no es invertible.





2. (Determinantes) Sin emplear cofactores, hallar la factorización del determinante de la matriz:

A =

Sol.: | A| = e 3 (e + 4 x)

  

x + e x x x

x x+e x x

x x x+e x

x x x x+e

  

3. (Existencia de soluciones) Hallar los valores de m de modo que el sistema tenga (i) Sol única, (ii) infinitas soluciones, (ii) ninguna solución

 2  4 12

6 3 m + 18 m2 + 12m + 42 3m + 54 4m2 + 49m + 168

Sol.: (i) m  {−6, −7}, (ii) m = −7;, (iii) m = −6

   

x1 x2 x3

 

=

0 m2 + 12m + 45 m2 + 38m + 51

  5

 

4. (Sistemas) Un criadero de peces produce tres tipos de peces. Un pez de la especie I consume por semana, un promedio de una unidad del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Un pez de la especie II consume por semana tres unidades del alimento 1, dos unidades del alimento 2 y tres unidades del alimento 3. Finalmente un pez de la especie III consume dos, dos y tres unidades de los alimentos 1, 2, 3 respectivamente. En el criadero se disponen semanalmente de 14200 unidades del alimento 1, 14200 unidades del alimento 2 y 19500 unidades del alimento 3. Asumiendo que todo el alimento se consume, ¿Cuántos peces de cada especie pueden mantenerse en el criadero?. Sol.: especie 1: 1800, especie 2: 1800, especie 3: 3500. 2


5 5. Criptografía Decodificar el mensaje secreto: ZFÑFKOJVGX. Emplee la matriz A =

1

5 2 21



Sol.: Mensaje en clave numerico:27 6 15 6 11 16 10 23 7 25 Matriz inversa: 7 25 A−1 = 10 23





Mensaje numerico:3 16 3 8 1 2 1 13 2 1 Mensaje decodificado: COCHABAMBA 6. (Sistemas) Resolver:

 −1  2  2 −2

0 −3 3 −2

−2 0 1 0 −1 −2 −1 −1 −2 2 0 1 0

2

0

1 1 0 1 1

2 0 2 −1

Sol.: Rango [A]=4 Rango [A:b]=4

   0  0   0   5   

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9

x(1) =

4 + 5t 1 + t 3 + 2t 4 11

x(2) =

−31 − 14t 1

x(3) =

9 + 3t 1 + 5t 3 + 10t 4 11

x(4) =

13 + 2t 1 − 5t 2 − t 3 + 3t 4 − 15t 5 10

x(5) =

t 1

x(6) =

t 2

x(7) =

t 3

x(8) =

t 4

x(9) =

t 5

+

      

=

 −2   −1   0  3

17t 3 − 21t 4 + 55t 5 55

Matriz aumentada escalonada:

 2  0  0 0

−3 −1 −2 −1 −1 1 6 −1 4 1 2 −1 0 −11 0 3 0 5 0 0 −20 4 −10 −2

0 2 10 6

0 0 0 −30

−1  1  −9  −26

6 MATERIA:

ÁLGEBRA LINEAL, Primer parcial




b) Inversa Si A y B son matrices invertibles, ¿Es cierto que 2 A + 3 B es invertible? c) Inversa Sea A d ) Propiedades

∈ M 7 7 invertible ¿es cierto que A−1 BA ,

=

B ?

matriciales Si A y B son matrices invertibles y B y C conmutan, ¿Es cierta la siguiente igualdad? A−1 (3 BC + 3 A + 4 B) B−1

=

3 A−1C + 3 B−1 + 4 A−1

e)

Propiedades matriciales Sean A y B son matrices. ¿Para que tipo de matrices la siguiente igualdad es correcta?. ( A + B)3 = A 3 + 3 A2 B + 3 AB2 + B3 f ) Producto matricial Sea A ∈ M n,n . tal que Av = λ v, calcular A3 − λ 3 I v.



2. (20 puntos) (Determinante) Hallar la factorización del determinante de:

A =

.

  

km km k 2 m2

k 2 m2 km km

m2 k 2 km km

km km m2 k2



  

3. (20 puntos) (Existencia de soluciones AMARU-SOFT) Hallar los valores de x y y de modo que el sistema tenga (i) Sol única, (iii) infinitas soluciones, (ii) ninguna solución

  4

x x x

−1 x − 1 3 x − 4 −16 x2

  4    12 y

+

2

y

y+ +

4 y +

x1 x2 x3

 

=

 −5   − 3  4 − 4 − 14 y

y

x

4. (20 puntos) (Temperatura) En una placa con puntos igualmente espaciados, la temperatura de un punto es aproximadamente el promedio de las cuatro temperaturas adyacentes, por ejemplo en la figura que se muestra a continuación: T =

A + B + C + D

4 D

A

T

C

B

En la siguiente gráfica, aproximar las temperaturas T 1 ,T 2 ,T 3 y T 4 .

7 2000

1200

T 1

T 2

T 3

T 4

1000

1500 5. (20 puntos) Criptografía Decodificar el mensaje secreto: XPPOLXAA__. Emplee la matriz A =

1

2 1 13



6. (20 puntos) (Sistema lineal) Resolver el sistema:

 2  2  −5 2

4 4 −10 4

4 5 −8 −1


3

4 6 −6 −6

−10 −8 29 −20

 −10   −15   16    17 

x1 x2 x3 x4 x5 x6


    

=

 4   6   −4  −2

8 Soluciones 4



Sol.: Todos los valores menores o iguales a:2 b) Inversa Si A y B son matrices invertibles, ¿Es cierto que 2 A + 3 B es invertible? Sol.: No necesariamente c) Inversa Sea A ∈ M 7,7 invertible ¿es cierto que A −1 BA = B ? Sol.: No necesariamente, pues no siempre AB = BA. d ) Propiedades matriciales Si A y B son matrices invertibles y B y C conmutan, ¿Es cierta la siguiente igualdad? A−1 (3 BC + 3 A + 4 B) B−1

=

3 A−1C + 3 B−1 + 4 A−1

Sol.: Si. e) Propiedades matriciales Sean A y B son matrices. ¿Para que tipo de matrices la siguiente igualdad es correcta?. ( A + B)3 = A 3 + 3 A2 B + 3 AB2 + B3 Sol.: A y B conmutan. 3 3 n,n . tal que Av = λ v, calcular A − λ I v. Sol.: Para todo natural m y todo número λ, de Av = λ v se deduce: Am v = λ m v, de esto el resultado sigue.

f ) Producto matricial Sea A



∈ M



2. (Determinante) Hallar la factorización del determinante de:

A =

. Sol.: | A| = (k − m)4 (k + m)4

  

k 2 m2 km km

km km k 2 m2

m2 k 2 km km

km km m2 k2

  

3. (Existencia de soluciones AMARU-SOFT) Hallar los valores de x y y de modo que el sistema tenga (i) Sol única, (iii) infinitas soluciones, (ii) ninguna solución

  4

x x x

Sol.: (i) x x

=

0, y 



0, y

−1 x − 1 3 x − 4 −16 x2

± 4 x, (ii) x √ 



=

+

2

y

y+ +

4 y +

x1 x2 x3

 

=

 −5   − 3  4 − 4 − 14 y

y

0 , y = 0 o también: x = 0 , y = −1 ±

 20  −1 ± 2  o también: .

  4    12 y

x  0, y =

x

√

20 o también: y 2

=

4 x, (iii)

−4 x

4. (Temperatura) En una placa con puntos igualmente espaciados, la temperatura de un punto es aproximadamente el promedio de las cuatro temperaturas adyacentes, por ejemplo en la figura que se muestra a continuación: T = 4

A + B + C + D

4


9 D

A

C

T B

En la siguiente gráfica, aproximar las temperaturas T 1 ,T 2 ,T 3 y T 4 . 2000

1200

T 1

T 2

T 3

T 4

1000

1500 Solu.: T 1 = 151.25, T 2 = 146.25, T 3 = 138.75, T 4 = 133.75, 5. Criptografía Decodificar el mensaje secreto: XPPOLXAA__. Emplee la matriz A =

1

2 1 13



Sol.: Mensaje en clave numerico:25 17 17 16 12 25 1 1 0 0 Matriz inversa: 19 10 A−1 = 5 23





Mensaje numerico:1 12 7 5 2 19 1 0 0 0 Mensaje decodificado: ALGEBRA 6. (Sistema lineal) Resolver el sistema:

 2  2  −5 2

4 4 −10 4

4 5 −8 −1

4 6 −6 −6

−10 −8 29 −20

 −10   −15   16   17 

x1 x2 x3 x4 x5 x6

    

=

 4   6   −4  −2

Sol.: x 1 = −2t − 12 + 2k + 9r , x2 = t , x3 = −2k + 12 − 2r , x4 = k , x5 = r , x6 = 2.

10 ÁLGEBRA LINEAL, Primer parcial

MATERIA: DOCENTE: Nombre del estudiante:

1. (Teoría 10 puntos). Resolver cuatro de los siguientes incisos: a) Inversa Si A y B son matrices invertibles, ¿Es cierto que 3 A + 4 B es invertible? b) Existencia de soluciones Sea A

∈ M 8,5 ¿Bajo que condiciones el sistema A x = b tiene soluciones?, c) Conmutatividad Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de orden p, si p el el menor entero tal que A p = 0 . Si A en nilpotente de orden 2, simplificar: A ( B + A)4 , donde A y B son matrices que conmutan d ) Operaciones elementales Sea A ∈ M n,n . Si reemplazamos la última fila por la suma de todas las filas de la matriz, probar que el determinante no cambia de valor. e) Existencia de soluciones Sea A ∈ M 9,2 ¿es cierto que el sistema A x = b tiene solución única?, f ) Sistemas homogéneos Sea A ∈ M n,n no nula ¿es cierto que existe una matriz B ∈ M n,m no nula tal que AB = 0?. 2. (20 puntos) (Determinantes) Hallar la factorización del determinante de la matriz:

A

=

  

4 x − 8 8 4 4 2 2 x − 2 x x − 7 x + 20 6 x − 20 2 x − 4 x2 − 2 x 8 x − 30 2 x + 35 x + 8 −6 x + 32 x − 24 x − 1 x − 2

  

3. (20 puntos) (Existencia de soluciones ) Hallar los valores de p de modo que el sistema tenga (i) Sol única, (iii) infinitas soluciones, (ii) ninguna solución p + 4 p + 20 p 20

  5 −5

−

−4

4 p − 24 p + 16 2 5 p p + 5 p − 56

   

x1 x2 x3

 

=

  5

4

  4 − 104

p2 + p + p 2

4. (20 puntos) (Temperatura) En una placa con puntos igualmente espaciados, la temperatura de un punto es aproximadamente el promedio de las cuatro temperaturas adyacentes, por ejemplo en la figura que se muestra a continuación: T =

A + B + C + D

4 D

A

T

C

B

En la siguiente gráfica, aproximar las temperaturas T 1 ,T 2 ,T 3 y T 4 .

11 2000

1200

T 1

T 2

T 3

T 4

1000

1500 5. (20 puntos) Criptografía Decodificar el mensaje secreto: AZHWZEIIÑABB . Emplee la matriz A

=

 1  2 2

4 6 9 15 9 18

6. (20 puntos) (Sistema lineal) Resolver el sistema:

 5  5  5 5

25 25 25 25

25 26 30 28


5

10 15 35 25

25 27 35 31

  15   20    41   32 

  x1 x2 x3 x4 x5 x6

    


=

 25   30   52  44

12 Soluciones 6

1. (Teoría 10 puntos). Resolver cuatro de los siguientes incisos: a) Inversa Si A y B son matrices invertibles, ¿Es cierto que 3 A + 4 B es invertible?

Sol.: No necesariamente b) Existencia de soluciones Sea A ∈ M 8,5 ¿Bajo que condiciones el sistema A x = b tiene soluciones?, Sol.: Cuando rango([ A|b]) = rango( A) < = 5. c) Conmutatividad Una matriz cuadrada A se dice nilpotente de orden p, si p el el menor entero tal que A p = 0 . Si A en nilpotente de orden 2, simplificar: A ( B + A)4 , donde A y B son matrices que conmutan Sol.: AB4 . d ) Operaciones elementales Sea A ∈ M n,n . Si reemplazamos la última fila por la suma de todas las filas de la matriz, probar que el determinante no cambia de valor. Sol.: Las operaciones elementales F n,1(1) , F n,2(1) , . . . F n,(n−1)(1) justifican el resultado e) Existencia de soluciones Sea A ∈ M 9,2 ¿es cierto que el sistema A x = b tiene solución única?, Sol.: No necesariamente, sólo tiene solución única cuando rango([ A|b]) = rango( A) = 2. f ) Sistemas homogéneos Sea A ∈ M n,n no nula ¿es cierto que existe una matriz B ∈ M n,m no nula tal que AB = 0?. Sol.: No necesariamente, la matriz B sólo existe cuando la matriz A no es invertible. 2. (Determinantes) Hallar la factorización del determinante de la matriz: A

=

  

4 x − 8 8 4 4 2 2 x − 2 x x − 7 x + 20 6 x − 20 2 x − 4 x2 − 2 x 8 x − 30 2 x + 35 x + 8 −6 x + 32 x − 24 x − 1 x − 2

Sol.: 4( x + 5)( x + 2)( x − 2)( x − 4)( x − 5).

  

3. (Existencia de soluciones ) Hallar los valores de p de modo que el sistema tenga (i) Sol única, (iii) infinitas soluciones, (ii) ninguna solución p + 4 p + 20 p 20

  5 −5

−

−4

4 p − 24 p + 16 5 p p2 + 5 p − 56

Sol.: (i) p  {−4, 4}., (ii) p ∈ {4}, (iii) p ∈ {−4}.

   

x1 x2 x3

 

=

  5

4

  4 − 104

p2 + p2 + p

4. (Temperatura) En una placa con puntos igualmente espaciados, la temperatura de un punto es aproximadamente el promedio de las cuatro temperaturas adyacentes, por ejemplo en la figura que se muestra a continuación: T =

A + B + C + D

4 D

A

T

C

B 6


13 En la siguiente gráfica, aproximar las temperaturas T 1 ,T 2 ,T 3 y T 4 . 2000

1200

T 1

T 2

T 3

T 4

1000

1500 Solu.: T 1 = 151.25, T 2 = 146.25, T 3 = 138.75, T 4 = 133.75, 5. Criptografía Decodificar el mensaje secreto: AZHWZEIIÑABB . Emplee la matriz A

=

 1  2 2

4 6 9 15 9 18

 

Sol.: Mensaje en clave numerico:1 27 8 24 27 5 9 9 15 1 2 2 Matriz inversa: 9 22 2 − 1 26 2 27 A = 0 9 19 Mensaje numerico:3 16 3 8 1 2 1 13 2 1 0 0 Mensaje decodificado: COCHABAMBA

 

 

6. (Sistema lineal) Resolver el sistema:

 5  5  5 5

25 25 25 25

25 26 30 28

10 15 35 25

25 27 35 31

  15   20   41    32 

x1 x2 x3 x4 x5 x6

    

=

 25   30   52  44

Sol.: x 1 = −5t + 24 + 23k + 5r , x2 = t , x3 = −5k − 5 − 2r , x4 = k , x5 = r , x6 = 2.

14 MATERIA:

ÁLGEBRA LINEAL, segundo parcial


1. (10 puntos): JUSTIFIQUE SU RESPUESTA a) Inversa

y semejanza Si A es matriz invertible, ¿Es cierto que AB es semejante a BA, en caso afirmativo pruébelo, aquí B es una matriz del mismo orden que A .? b) Autovalor nulo Sea A ∈ M 6,6 ¿Bajo que condiciones un autovalor de A es cero?. c) Diagonalización Si λ es un autovalor de una matriz A ¿es cierto que λ 5 es uutovalor de A 5 . d ) Bases ¿Porque tres vectores no pueden ser bases de R2 ?

2. (25 puntos) (A-S) Sean {u1 , u2 , v1 , v2 } un conjunto tal que {6u1 + 3v1 , 6u2 + 3v2 } es linealmente independiente. Sea w un vector tal que {6u1 + 3v1 + w, 6u2 + 3v2 + w} es linealmente dependiente. Probar w ∈ L IN {6u1 + 3v1 , 6u2 + 3v2 }. 3. (25 puntos) (A-S) Desarrolle y simplifique la siguiente diferencia:

3u

+

3v2 − 2u − v2

4. (30 puntos) (A-S) Diagonalizar ortogonalmente la matriz:

 4  4 6

.

4 6 6 4 4 4

 

Elegido entre:1.37e+08posibilidades 7

7


15 Soluciones 8

1. (Teoría 10 puntos) . Justifique respuestas: a) Inversa

y semejanza Si A es matriz invertible, ¿Es cierto que AB es semejante a BA, en caso afirmativo pruébelo, aquí B es una matriz del mismo orden que A .? Sol.: AB = ( A)( BA) A−1 , esto muestra lo pedido. b) Autovalor nulo Sea A ∈ M 6,6 ¿Bajo que condiciones un autovalor de A es cero?. Sol.: Cuando rango( A) < 6 o su equivalente. c) Diagonalización Si λ es un autovalor de una matriz A ¿es cierto que λ 5 es uutovalor de A 5 . Sol.: Si pues A 5 v = λ 5 v. d ) Bases ¿Porque tres vectores no pueden ser bases de R 2 ? Sol.: No serian linealmente independientes,

2. (A-S) Sean {u1 , u2 , v1 , v2 } un conjunto tal que {6u1 + 3v1 , 6u2 + 3v2 } es linealmente independiente. Sea w un vector tal que {6u1 + 3v1 + w, 6u2 + 3v2 + w} es linealmente dependiente. Probar w ∈ LIN {6u1 + 3v1 , 6u2 + 3v2 }. Sol.: Sugerencia: En un conjunto linealmente dependiente existen constantes no todos cero tales que la combinación lineal de los vectores del conjunto da cero. 3. (A-S) Desarrolle y simplifique la siguiente diferencia:

3u

+

3v2 − 2u − v2

Sol.: 3u + 3v2 − 2u − v2 = 5 u2 + 8 v2 + 22 u, v

4. (A-S) Diagonalizar ortogonalmente la matriz:

 4  4 6

. Sol.: Parejas de autovalores y autovectores:

4 6 6 4 4 4

 

 −1   1   1  −2 ⇔  0  2 ⇔  −2  14 ⇔  1  1 1 1 Base ortogonal:  −1   1   1   0   −2   1   1 1 1 La base requerida se encuentra dividiendo cada vector entre su norma.Matriz diagonal:  −2 0 0   0 2 0  0 0 14 ,

8

,


16 MATERIA:



1. (10 puntos): JUSTIFIQUE SU RESPUESTA a) Inversa

y semejanza Si A es matriz invertible, ¿Es cierto que AB es semejante a BA, en caso afirmativo pruébelo, aquí B es una matriz del mismo orden que A .? b) Diagonalización Si λ es un autovalor de una matriz A ¿es cierto que λ 7 es uutovalor de A 7 . c) Suma de matrices Sean λ 1 , λ2 autovalores de A y B respectivamente, ¿Es cierto que λ 1 + λ2 es un autovalor de A + B? d ) Autovalores Sean A y B son matrices. tales que λ es autovalor de A y también de B, ¿es cierto que λ 2 es un autovalor de AB?.

2. (25 puntos) (A-S) Sea B = {v1 , . . . , v3 } una base de V , sea B0 = {w1 , . . . , w3 } donde w1 w2 w3

2v2 + 5v3 , = −2v1 + v2 − 5v3 , = v 1 − 2v2 + v3 =

v 1

+

Determinar si B 0 es o no una base de V . 3. (25 puntos) (A-S) Ortogonalizar el conjunto B producto interno usual de C [−2, 2].

=

x + 2, x2

2 − ,

−

 en el intervalo [−2 2], con el ,

4. (30 puntos) (A-S) Hallar los valores de k para los cuales la siguiente matriz no es diagonalizable. k − 20 4 24 5k − 124 k 0 0

.

 2  10

 


9


17 Soluciones 10

1. (Teoría 10 puntos) . Justifique respuestas: a) Inversa

y semejanza Si A es matriz invertible, ¿Es cierto que AB es semejante a BA, en caso afirmativo pruébelo, aquí B es una matriz del mismo orden que A .? Sol.: AB = ( A)( BA) A−1 , esto muestra lo pedido. b) Diagonalización Si λ es un autovalor de una matriz A ¿es cierto que λ 7 es uutovalor de A 7 . Sol.: Si pues A 7 v = λ 7 v. c) Suma de matrices Sean λ 1 , λ2 autovalores de A y B respectivamente, ¿Es cierto que λ 1 + λ2 es un autovalor de A + B ? Sol.: No necesariamente d ) Autovalores Sean A y B son matrices. tales que λ es autovalor de A y también de B , ¿es cierto que λ 2 es un autovalor de AB?. Sol.: No necesariamente

2. (A-S) Sea B = {v1 , . . . , v3 } una base de V , sea B0 = {w1 , . . . , w3 } donde w1 w2 w3

= = =

v 1

+

2v2 + 5v3 ,

−2v1 v2 − 5v3 , v 1 − 2v2 v3 +

+

Determinar si B 0 es o no una base de V . Sol: No es una base de V . 3. (A-S) Ortogonalizar el conjunto B = 2, − x + 2, − x2 en el intervalo [ −2, 2], con el producto interno usual de C [−2, 2]. 1 Sol.: C = 2, − x, −3 x2 + 4 . 3











4. (A-S) Hallar los valores de k para los cuales la siguiente matriz no es diagonalizable. 4 k − 20 24 5k − 124 k 0 0

. Sol.: k = 12, k = −4.

10

 2  10

 


18 MATERIA:



1. (10 puntos): JUSTIFIQUE SU RESPUESTA a) Base ¿Es verdad que las 8 columnas de una matriz A 8,8 forman una base de R 8 ? b) Inversa

y semejanza Si A es matriz invertible, ¿Es cierto que AB es semejante a BA, en caso afirmativo pruébelo, aquí B es una matriz del mismo orden que A .? c) Diagonalización Si λ es un autovalor de una matriz A ¿es cierto que λ 8 es uutovalor de A 8 . d ) Suma de matrices Sean λ 1 , λ2 autovalores de A y B respectivamente, ¿Es cierto que λ 1 + λ2 es un autovalor de A + B?

2. (25 puntos) (A-S) Sea B = {v1 , . . . , v3 } una base de V , sea B0 = {w1 , . . . , w3 } donde w1 w2 w3

=,

2v1 + 6v3 , = −3v1 − v 2 − 10v3 =

Determinar si B 0 es o no una base de V . 3. (25 puntos) (A-S) Cuál es la matriz A que genera el producto interno en R 2 , sabiendo que la entrada A1,1 = 4 (una matriz es suficiente):

    x , x

u v

=

16 xu + 17 yv − 4 yu − 4 xv

4. (30 puntos) (A-S) Diagonalizar ortogonalmente la matriz:

 4  4 −10

.

4 8 4

−10

 4   4


11


19 Soluciones 12

1. (Teoría 10 puntos) . Justifique respuestas: a) Base ¿Es verdad que las 8 columnas de una matriz A 8,8 forman una base de R8 ? Sol.: no necesariamente pues para que esto sea verdad la matriz A debe ser invertible. b) Inversa

y semejanza Si A es matriz invertible, ¿Es cierto que AB es semejante a BA, en caso afirmativo pruébelo, aquí B es una matriz del mismo orden que A .? Sol.: AB = ( A)( BA) A−1 , esto muestra lo pedido. c) Diagonalización Si λ es un autovalor de una matriz A ¿es cierto que λ 8 es uutovalor de A 8 . Sol.: Si pues A 8 v = λ 8 v. d ) Suma de matrices Sean λ 1 , λ2 autovalores de A y B respectivamente, ¿Es cierto que λ 1 + λ2 es un autovalor de A + B ? Sol.: No necesariamente

2. (A-S) Sea B = {v1 , . . . , v3 } una base de V , sea B0 = {w1 , . . . , w3 } donde w1 w2 w3

=, =

2v1 + 6v3 ,

−3v1 − v2 − 10v3

=

Determinar si B 0 es o no una base de V . Sol: No es una base de V .

3. (A-S) Cuál es la matriz A que genera el producto interno en R2 , sabiendo que la entrada A 1,1 = 4 (una matriz es suficiente):

    16  4 −1   4 −1   4 −1   4 x , x

Sol.: A =

0

4

,

0

−4

,

u v

0

=

xu + 17 yv

,

0

 4  4 −10

4 8 4

4

4. (A-S) Diagonalizar ortogonalmente la matriz:

. Sol.: Parejas de autovalores y autovectores:

−1 −4

− 4 yu − 4 xv



−10

 4   4

 2   1   −1  −8 ⇔  −1  10 ⇔  4  14 ⇔  0  2 1 1 Base ortogonal:  2   1   −1   −1   4   0   2 1 1 La base requerida se encuentra dividiendo cada vector entre su norma.Matriz diagonal:  −8 0 0   0 10 0  0 0 14 ,

12

,


20 MATERIA:

ÁLGEBRA LINEAL, tercer parcial


1. 10 puntos (A-S) Considere la transformación lineal: T

   2 3  −53 −− 4 4 x y

x + y x y x y

=

 

(a) Determine el núcleo, (b) Determine la imagen, (c) Calcule la inversa si tal inversa existe. 2. 20 puntos (A-S) Considere la transformación lineal:

 

x1 T x2 x3

 

=

 − − 2  −3 4 − 3 −9 18 − 11 x1 x2 x1 + x2 x1 + x2

+

x 3 x3 x3

 

Determine si es o no diagonalizable, en caso afirmativo, halle la base en la cual la representación matricial es diagonal. 3. 20 puntos (A-S) Hallar los valores de k de modo que la siguiente matriz sea definida positiva:

A =

 17   

k

12

k

10

k

12

k

17

   

2 4. 20 puntos (A-S) Ajustar los siguientes datos a la curva dada por la ecuación: y = a e−bx

xi

yi

−1.3 −1.1

2.59 2.77 0.5 3.01 1.5 2.42

5. 20 puntos (A-S) Mediante Gauss con pivote y la factorización LR resolver:

 1  −3  3 4

−2 −2   x1 7 3   −10 6   x x23 −9 −5

 

=

 −2   5   −2  −7


13


21 Soluciones 14

1. (A-S) Considere la transformación lineal: T

   2 3  −53 −− 4 4 x y

x + y x y x y

=

 

(a) Determine el núcleo, (b) Determine la imagen, (c) Calcule la inversa si tal inversa existe. (Sol.:)

 −  

a b c

T 1

donde 32a + b + 23c = 0.

 

=

 4  235  23

a+ a

−

3 b 23 2 b 23

  

2. (A-S) Considere la transformación lineal:

 

x1 T x2 x3

 

=

 − − 2  −3 4 − 3 −9 18 − 11

x1 x2 + x 3 x1 + x2 x3 x1 + x2 x3

 

Determine si es o no diagonalizable, en caso afirmativo, halle la base en la cual la representación matricial es diagonal. Sol.: Si es diagonalizable la base es B =

 1   2   −1    −3  ↔ −4  1  ↔ −2  0  ↔ −2  −9  0 1 ,

,

3. (A-S) Hallar los valores de k de modo que la siguiente matriz sea definida positiva:

A =

Sol.: k ∈

− √ 145 √ 145 .

 17   

k

12

k

10

k

12

k

17

   

,

2 4. (A-S) Ajustar los siguientes datos a la curva dada por la ecuación: y = a e−bx

xi

yi

−1.3 −1.1

2.59 2.77 0.5 3.01 1.5 2.42

2 Sol.: y = 3.1167e−0.10942 x

14


22 5. (A-S) Mediante Gauss con pivote y la factorización LR resolver:

Sol.:

 1  −3  3 4

−2 −2   x1 7 3   −10 6   x x23 −9 −5 z =

 

=

 −2   5   −2  −7

 −7   13   40    0

x

=

 8 − 4   3 − 1  t t

t

P=

A =

L

=

 1  −3  3 4

 1  3  43  − 4  1  44  0  0  0

R =

Se cumple: PA = LR

 0  0  0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 1 0

−2 −2 7 3 −10 6 −9 −5

  

  

0 0 0 1 − 113 − 113 −9 − 134 0 0

  0 0   1 0   0 1  −5  39  4  0  0

23 MATERIA:




   −  − 5 x y

 

x y x + y x + y

=


 

x1 T x2 x3

 

=

 −8  36 −60

x1 + 3 x2 + 3 x3 x1 5 x2 9 x3 x1 + 15 x2 + 19 x3

− −

 

Determine si es o no diagonalizable, en caso afirmativo, halle la base en la cual la representación matricial es diagonal. 3. 20 puntos (A-S) Hallar los valores de k de modo que la siguiente matriz sea definida negativa:

A

=

 −9   −8  −8

−8 −8 k

k

k

−10

   


xi

yi

−1

1.07 −0.4 1.79 0.3 1.88 1 1.04 5. 20 puntos (A-S) Mediante Gauss con pivote y la factorización LR resolver:

 1  2  3 −4

3 7 11 −10

1 0 −1 −8

     

x1 x2 x3

 

=

 1   2   2  −3


15


24 Soluciones 16


   −  − 5 x y

 

x y x + y x + y

=


 −  

a b c

T 1

donde −a − 4c = 0.

 

=

 5  241  − 24

a+ a+

1 b 6 1 b 6

  


 

x1 T x2 x3

 

=

 −8  36 −60

3 x2 + 3 x3 − 5 x2 − 9 x3 x1 + 15 x2 + 19 x3 x1 x1

+

 


 1   −1   −1    −3  ↔ −2  −4  ↔ 4  0  ↔ 4  5  −4 0 ,

,

3. (A-S) Hallar los valores de k de modo que la siguiente matriz sea definida negativa:

A =

 −9   −8  −8

Sol.: k ∈

−10, − 649



−8 −8 k

k

k

−10

   



≈ (−10, −7.1111) .


xi

yi

−1

1.07 1.79 0.3 1.88 1 1.04

−0.4 2

Sol.: y = 1.9856e−0.63257 x 16



 1  2  3 −4

3 7 11 −10

Sol.: El sistema no tiene solución:

P=

A

=

L =

R

=

1 0 −1 −8

 0  0  0 1

 1  2  3 −4  1  − 3  41  − 2  − 1  −44  0  0  0

Se cumple: PA = LR

      0 0 1 0

x1 x2 x3

 

0 1 0 0

1 0 1 0

=

3 7 11 −10

1 0 −1 −8

0

0

  

 1   2   2  −3

    0 0 0   1 0 0   4 1 0  7  1 0 1 7 −10 −8  7 −7  2 0 0 

26 MATERIA:




   5 2  3 −− 5 x y

 

x + y x y x y

=


 

x1 T x2 x3

 

=

 −7 6  6 − 23 24 − 72

x1 + x2 2 x3 x1 x2 + 6 x3 x1 x2 + 19 x3

−

 

Determine si es o no diagonalizable, en caso afirmativo, halle la base en la cual la representación matricial es diagonal. 3. 20 puntos (A-S) Hallar los valores de k de modo que la siguiente matriz sea definida negativa:

A =

 −9   0  −7

0

−7

k

k

k

−7

   


xi

yi

−1.2

0.24 0 0.83 1.3 0.16 1.4 0.16

5. 20 puntos (A-S) Mediante Gauss con pivote y la factorización LR resolver:

 1  2  −1 4

2 5 0 11

−1 −3 −1 −7

     

x1 x2 x3

 

=

 0   2   4  6


17


27 Soluciones 18


   5 2  3 −− 5 x y

 

x + y x y x y

=


 −  

T 1

donde 6a − 31b + 21c = 0.

a b c

 

=

 1  71  7

2 b 21 5 b 21

a+ a

−

  


 

x1 T x2 x3

 

=

 −7 6  6 − 23 24 − 72 x1 x1 x1

+

x2 2 x3 x2 + 6 x3 x2 + 19 x3

−

 


 1   3   −1    −3  ↔ −1  1  ↔ −5  0  ↔ −5  −12  0 1 ,

,

3. (A-S) Hallar los valores de k de modo que la siguiente matriz sea definida negativa:

A =

 −9   0  −7

Sol.: k ∈



− 149 , 0

0

−7

k

k

k

−7

   



≈ (−1.5556, 0) .


xi

yi

−1.2

0.24 0 0.83 1.3 0.16 1.4 0.16

2 Sol.: y = 0.82248e−0.88348 x

18



Sol.:

 1  2  −1 4

2 5 0 11

−1 −3 −1 −7 z =

     

x1 x2 x3

 

=

 0   2   4  6

 6   11   20    0

x

P=

A =

L

=

t t + t

 0 0 0 1   0 0 1 0   0 1 0 1  1 0 0 0  1 2 −1   2 5 −3   −1 0 −1  4 11 −7

 1  − 1  41  2  1  44  0  0  0

R =

Se cumple: PA = LR

=

 − − 4   2 

0 0 0

  1 0 0   − 211 1 0   − 311 0 1  −7  11 11 11  − 4 4  0 0  0 0

29 Hecho con LATEX

Cuaderno de Examenes Generados

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