Cours économétrie appliquée

Printemps 2013

Econométrie linéaire appliquée

© Soussi Noufail Outmane Université Mohammed V Souissi Printemps 2013

Introduction à l’Econométrie Université Mohammed V Soussi FSJES Salé Licence des études fondamentales Filière d’économie et de Gestion

Année 2012-2013

Semestre «S6» : Econométrie linéaire appliquée Pratique de l’économétrie à travers des exemples ©Mr. Soussi Noufail Outmane

Plan du cours : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Econométrie : Origine(s), définition(s) et objectif(s) La démarche économétrique Analyse de régression simple Analyse de régression multiple Domaines d’application (en cours de préparation) Types de données (en cours de préparation)

Travaux dirigés 1. Généralités : commentaires des relations économiques et passage aux relations économétriques 2. Exercices : série 4, série 5

Bibliographie : 1. 2. 3. 4. 5.

Régis BOURBONNAIS, « Econométrie – Manuel et exercices corrigés », Dunod, 1998. Y.Dodge, V.Rousson, « Analyse de régression appliquée», Dunod, 2004. M. Tenenhaus, « Statistique : Méthodes pour décrire, expliquer et prévoir », Dunod, René GIRAUD, Nicole CHAIX, « Econométrie», PUF, 1994. Jack JOHNSTON, John DINARDO, « Méthodes économétriques », Economica, 1997.

1

Introduction à l’Econométrie

Econométrie : Origine(s), définition(s) et objectif(s) Utilité L’économétrie est le principal outil d’analyse quantitative utilisé par les économistes et gestionnaires dans divers domaines d’application. Comme la macroéconomie, la finance ou le marketing. Les méthodes d’économétrie permettent de vérifier l’existence de certaines relations entre des phénomènes économiques, et de mesurer correctement ces relations, sur la base d’observations et de fais réels. Quelques définitions Définition 1. Etudes des relations quantitatives de la vie économique faisant appel à l’analyse statistique et à la formulation mathématique. Définition 2. L'économétrie exprime quantitativement les corrélations pouvant exister entre des phénomènes économiques dont la théorie affirme l'existence. La théorie économique fournit des idées sur les processus qui déterminent les grandeurs économiques, l'économétrie apporte une vérification empirique et établit quantitativement les corrélations qui apparaissent valides. Définition 3. L’objectif de l’économétrie est de confronter un modèle économique à un ensemble de données (données de panel, série temporelle, etc.) et ainsi d’en vérifier la validité. Définition 4. L’économétrie est une branche de l’économie qui traite de l’estimation pratique des relations économiques. Econométrie : Carrefour de 3 disciplines Economiste (Expert du domaine) Exprime une théorie sur un phénomène économique Ex. La demande dépend du prix

Mathématicien (Modélisation) Propose une formulation algébrique de la théorie Ex.
 =  ∗  + 

Statisticien (Estimation) Estime les paramètres du modèle à partir de données : Validation statistique Ex.  = −0.5 ;  = 10

Sous le contrôle de l’Economiste Validation de l’Expert du domaine (ex.  est forcément négatif)

2

Introduction à l’Econométrie Notions Clés : Modèle économique Un modèle consiste en une présentation formalisée d’un phénomène des idées sous forme d’équations mathématiques. Le raisonnement sur le modèle nous permet d’explorer les conséquences logiques des hypothèses retenues, de les confronter avec les résultats de l’expérience, d’arriver ainsi à mieux connaitre la réalité, et agir plus efficacement sur elle. Comme toutes les variables économiques sont interdépendantes (notion de système), il n'est pas suffisant de construire des équations isolées : il faut établir un système complet d'équations. Exemple : Depuis les premiers économistes classiques, ont sait que, sur un marché concurrentiel, l’équilibre des échanges s’établie grâce à un arbitrage entre l’ensemble des offres et des demandes. Toutes les ventes d’un même produit se concluent au même prix. Soient D et O les quantités demandées et offertes d’n certain produit, un certain jour, sur un certain marché. Soit p le prix auquel s’effectuent les échanges. Les quantités O et D dépendent des , car les échangistes peuvent décider de ne pas acheter ou de ne pas vendre si le prix ne leur donne pas satisfaction. Pour exprimer ce faite, on dit qu’il existe deux fonctions,
= ( ) fonction de demande, et  = ( ) fonction de l’offre, qui déterminent respectivement les quantités
et  à partir des . Ceci convient à dire qu’une fois les prix du produit sont connus, les quantités
et  le sont. Pour qu’il y ait équilibre sur le marché il faut que
= . Formellement on a :
= ( )  = ( )  =
+∆

 =× +
= × +

Equations de comportement

Théorie économique

Identité Modélisation (Introduction d’hypothèses simplificatrices sur la forme de la relation)

Estimation de , ,    à partir des données disponibles

Limites de cette relation : existence d’autres variables exogènes au modèle tels que le revenu, le prix du bien de substitution, etc. Les formulations précédentes supposent un ajustement instantané de l’offre et la demande aux variations du prix, puisque le temps n’intervient pas explicitement. Dans certains cas, cette simplification ne sera pas admissible. Ainsi l’offre de nombreux denrées agricoles dépend peu de prix auxquels elles se vendront, et beaucoup plus des prix observés au cours de l’année antérieure.
! = ( ! ) ! = ( !"# ) ! =
! + ∆!

3

Introduction à l’Econométrie Notions Clés : Modèle économétrique Faire intervenir l’aléatoire dans l’équation économique. Parce que la relation n’est pas déterministe.
La spécification retenue est une simplification, il est évident qu’il ne résume pas toute la teneur de la relation (ex. dans les équations, la relation est vraiment linéaire ?)
Il y a d’autres facteurs dont on ne tient pas compte (ex. le prix des autres de biens qui peuvent se substituer au bien étudié).
Les erreurs de mesure sur les grandeurs étudiées, soit lors du processus de récolte des informations, soit tout simplement parce que la donnée récoltée représente peu ou prou le concept que l’on veut étudier.  =  × +  + $%
=  × +  + $&

Introduction du facteur «aléatoire» Résumé de toute l’information non prise en compte dans le modèle

Notions Clés : Variables Les variables représentent des grandeurs économiques observées ou mesurées. Ex. les quantités vendues d’un bien, le prix d’un bien, des taux d’intérêt, le solde d’une balance commerciale, le taux de change, etc. La variable doit être représentative du phénomène que l’on étudie, de sa qualité dépend la validité des résultats obtenus

Problèmes dur les variables


Problèmes d’inadéquation (étudier les ventes de pain, et utiliser des données mesurant les ventes de biscottes)
Erreur de mesures (problèmes lors du recueil des données ou des transmissions des données), d’unités (compter en nombre de pain vendu, ou en chiffre d’affaires)
Problème de représentativité (mesurer uniquement des ventes des boulangeries, et ne pas tenir compte des ventes en grande surface)

Notions Clés : Variables aléatoire Une variable aléatoire est une grandeur mesurable dont les valeurs sont soumises à une certaine dispersion lors de la répétition d’un processus donné. La dispersion d’une variable aléatoire est régie par une loi de probabilité. Ex. le résultat du jet d’une pièce de monnaie est une variable aléatoire, il prend deux valeurs possibles «pile» ou «face», il suit une loi de Bernouilli de paramètre = 0.5.

Remarque : à chaque phénomène étudié sa loi de probabilité.

Ex. Durée entre deux phénomènes, nombre d’occurrence d’un phénomène dans un laps de temps, nombre d’essais avant d’obtenir un résultat, etc. 4

Introduction à l’Econométrie Notions clés - Types de variables 1. Quantitative 2. Qualitative nominale 3. Qualitative ordinale Le critère le plus important pour distinguer les variables est de déterminer si l’écart entre deux valeurs a un sens, et qu’elles sont comparables deux a deux. Ex. Age, Salaires, Satisfaction, Type d’études suivies,… Notions clés – Population et échantillon
La population définit l’ensemble d’individus sur lesquels nous voulons travailler : on parle alors de population de référence ou de population parente ou population mère (ex. les véhicules vendus au Maroc en 2005, etc.). Tous les résultats obtenus sont toujours relatifs à (circonscrites à) une population.
Les enquêtes exhaustives consistent à observer tous les individus qui composent la population. Opération très coûteuse.
On procède alors à un échantillonnage, on prélève une fraction de la population en veillant à ce qu’il soit représentatif de la population c’est-à-dire refléter la composition et la complexité de la population.
Le taux de sondage correspond au rapport entre la taille de l’échantillon et la taille de la population. Attention au mauvais échantillonnage. Comment s’assurer que l’échantillon est représentatif ? Rôle des variables de contrôle. Notions clés – Inférence statistique Inférence statistique. Elle consiste alors à effectuer des études sur l’échantillon et transposer les résultats sur la population. Cette transposition n’est pas stricte, elle attache toujours une probabilité aux résultats et aux conclusions émises.  Tirer des conclusions sur l’existence ou non d’un phénomène (test d’hypothèses - ex. l’augmentation du prix du tabac réduit-t-il vraiment la consommation de cigarettes ?).  Estimer les paramètres d’un phénomène (estimation de paramètres – ex. une augmentation de 1 dirham du prix du paquet de cigarette réduit de combien le nombre de paquets vendus?).

5

Introduction à l’Econométrie

La démarche économétrique THEORIE

FORMALISATION DE LA THEORIE (MODELISATION)

CONFRONTATION DU MODELE AVEC LA REALITE ESTIMATION ECONOMETRIQUE

THEORIE NON VALIDEE THEORIE VALIDEE RE SPECIFICATION DU MODELE Attention : Distinguer ce qui relève de la simple régularité statistique (artefact) de ce qui représente une causalité économique. La théorie économique (la connaissance du domaine) est un garde-fou indispensable. Phases de l’élaboration d’un projet économétrique professionnel Compréhension du la problématique

Connaissance des données

− Détermination des objectifs Background Objectifs Critères

− Collecte des données Données initial Rapport

− Evaluer la situation Risc

− Données descriptives Descriptif des données Rapport

− Déterminer les objectifs de l’exploration des données Data mining goals

− Exploration des données Rapport

− Produire le plan du projet Plan Techniques à utiliser

− Vérification de la qualité des données Rapport

Préparation des données

Modélisation

− Sélectionner les données Inclusion/exclusion

− Sélection de la technique de modélisation

− Données claires Rapport

− Générer les tests

− Construction des données Données intégrée Fusion

− Construction du modèle Paramètres Modèle − Description du modèle

− Formes des données − Description de l’ensemble des données

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− Evaluer le modèle Evaluation du modèle Révision des paramètres

Evaluation − Evaluer les résultats Evaluation des données

Déploiement − Plan du déploiement − Production du rapport final

− Approuver le modèle − Examen du Processus d’examen projet Expérience − Détermination des documentation étapes suivantes Liste des actions futures possibles

Introduction à l’Econométrie

Le modèle de régression simple Ce chapitre est consacré au traitement du modèle le plus simple de tous ceux que l’on puisse rencontrer : une variable endogène unique ' dépend linéairement d’une variable exogène unique ( et une perturbation aléatoire non observable.

'! = (! +  (1.1) Comme il est douteux que tous les points appartiennent à la droite correspondante, la relation linéaire exacte (1.1) doit être modifiée afin d’inclure le terme stochastique1 que nous désignons par )! . Terme d’Erreur (1.2) '! = (! +  + )! L’ajustement par la méthode des moindres carrées ordinaires, va apparaitre comme le procédés convenant à l’estimation des paramètres du modèle. Variable explicative

Variable Endogène

Transformation simple permettant d’étendre l’usage du l’ajustement linéaire

S’il existait une relation certaine entre consommation * et revenu des ménages +, et que cette relation était précisément la même pour tout le monde, on aurait pour chaque individu : *, = *- + +,

Dans ce cas, toutes les observations appartiendraient à la même droite, Il suffirait alors de connaitre les observations pour 2 ménages seulement pour trouver les valeurs des paramètres *- et . Ce cadre de figure ne se rencontre jamais car la réalité est plus complexe. En effet, aucun ménage ou presque ne vérifie exactement la fonction de consommation keynésienne : Certains ménages sont plus dépensiers, D’autres ménages sont très exposés au risque de chômage par exemple ils cherchent à consommer moins pour économiser pour se constituer une épargne de précaution. Pour gérer cette incertitude, on utilise une approche probabiliste en introduisant une variable aléatoire : Le modèle économétrique que l’on considérera est alors le suivant : *, = *- + +, + ),

Bien entendu, on peut s’intéresser à d’autres modèles, par exemple, l’estimation d’une fonction de production Cobb-Douglass, où la production ' (variable endogène) dépend des facteurs de production, le capital . et le travail /, ainsi que le temps : ' = 0/1 . #"1 2!

On remarque que ce modèle n’est pas linéaire tel que, mais on peut le rendre linéaire (dans les variables) si on prend le logarithme de cette équation. En effet, on obtient : 3 =  + 4 + (1 − )5 + 

Où on note en minuscule le logarithme des variables (5 = 4(.), 4 = 4(/), et des paramètres ( = 4(0),  = 4(2)). Le modèle économétrique à estimer est dit modèle de régression multiple, car il comporte plusieurs variables explicatives (capital, emploi, temps) au phénomène étudié (production de l’entreprise). Si nous disposons d’observations dans le temps pour les variables, le modèle est donné par : 3! = ( + ) + 4! + (1 − )5! + )! 1

)! est un terme aléatoire non observable appelé : terme d’erreur, terme aléatoire ou perturbation aléatoire

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Introduction à l’Econométrie Hypothèses d’application du modèle : Nous supposons le modèle soumis aux conditions suivantes :

1. Les variables ( et ' sont observer sans erreurs ; la variable ( est certaine : elle prend des valeurs fixes dans l’échantillon répétés, de sorte que ( et ) ne sont pas corrélés ; 2. Le terme d’erreurs est de moyenne (ou d’espérance mathématique) nulle (hypothèse fondamentale) ; 3. Il suit une loi de distribution normale (hypothèse de normalité) ; 4. Sa variance est constante (hypothèse d’homoscédasticité) ; 5. Il n’y pas de corrélation entre les termes d’erreurs (hypothèse d’indépendance des divers observations)2.

Exemple : Pendant dix ans, de 2001 à 2010, une ferme a expérimenté le rendement du Maïs (3 en Tonnes par hectare) associé à l’administration d’une quantité croissante d’un fertilisant ( en litres par hectare). Le tableau (1.1) rassemble ces données qui sont également rapportées sur le diagramme de dispersion de la figure (1.1). La relation existante entre et 3 apparait approximativement linéaire, les points ( , 3) se trouvent placés sur une ligne droit ou à son voisinage immédiat.

2001

1

6

76

40

86

2002

2

44

10

2003

3

46

12

2004

4

48

14

2005

5

52

16

2006 2007

6 7

58 60

18 22

2008

8

68

24

2009

9

74

26

2010

10

80

32

10

570

180

Tableau (1.1) : production du Maïs et emploi du fertilisant

Figure (1.1): Rendement du Fertlisant

6

100 Maïs (tonnes par hectare)

Années

80 60 40 20 0 0

10

20

30

40

Fertilisant (Litres par hectare)

Ajustement par la méthode des moindres carrées ordinaires La méthode des moindres carrées ordinaire est un procédé qui permet d’ajuster la «meilleure droite» sur les données d’observation 3 constituant un échantillon. Si nous considérons les distances verticales (écarts verticaux) des points 3 par rapport à la droite d’ajustement, cela implique de minimiser la somme des carrées des écarts : (1.3) 9  ∑(3! − 3;! )² = Où 3, désigne une observation effective et '! la valeur correspondante ajustée, de sorte que 3! − 3;! = $! , le résidu3 (écart résiduel observé). Ces hypothèses s’inscrivent respectivement : (2) >(), ) = 0 ; (4) >(), ? ) = @ ? , (pour tout i) ; (5) >(), , )A ) = 0 pour = B. 3 Strictement parler, dans les modèle économiques, les résidus peuvent être calculés ($! est la différence entre le terme calculé et le terme observé), tandis que les erreurs ()! ) ne sont pas observables, donc inconnues appelées simplement aléas. 2

8

Introduction à l’Econométrie L’équation (1.3) implique que l’on minimise la somme des écarts (des résidus) quadratiques. On déduit des équations normales (voir le cours) les valeurs des paramètres ; et =. ; =

∑ ! 3! − C ̅ 3E ∑ ! ² − C ̅ ²

= = 3E −  ̅ L’équation de régression par la méthode des MCO est alors :

3G! = ; ! + =

(1.4)

(1.5)

Exemple : Le tableau (1.2) réunit les résultats des calculs en vue d’estimer l’équation de régression correspondante : Années 6 76 86 86 76 86 ² 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Sommes Moyennes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

40 44 46 48 52 58 60 68 74 80 570 57

6 10 12 14 16 18 22 24 26 32 180 18

240 440 552 672 832 1044 1320 1632 1924 2560 11216

36 100 144 196 256 324 484 576 676 1024 3816

Nous pouvons donc déduire les valeurs des paramètres du modèle à partir des relations (1.4) et (1.5). ; =

∑ HI JI "KH̅ JE ∑ HI ²"KH̅ ²

=

##?#L"#- ×#M×NO QNL = QOL PM#L"#-×#M²

= = 3E −  ̅ = 57 − 1.65972 × 18 =

1,6597

=

27.125

Il en résulte :

la pente estimée de la droite de régression

L’ordonnée à l’origine

3G! = ; ! + =

7G6 = W, XYZ86 + [\, W[Y

Figure (1.2): Rendement du Fertlisant

Equation estimée de la droite de régression

90 Maïs (tonnes par hectare)

80 70

( ̅ , 3E)

60 50 40

y = 1,6597x + 27,125

! = 0, alors 3; = 27.125 = =

Par conséquent si :

−

Et lorsque ! = 18 = ̅ , alors 3; = (1,6597 × 18) + 27,125 = 57 = 3E

30

−

20 10 0 0

10

20

30

Fertilisant (Litres par hectare)

9

40

−

passe par le point ( ̅ , 3E).

Il en résulte que la droite de régression

Introduction à l’Econométrie Autres relations pour calculer du paramètre ; de la régression linéaire ; =

Avec

∑ ! 3! − C ̅ 3E ∑( ! − ̅ )3! ∑] ! − ̅ )(3! − 3E)^ _`a( , 3) = = = ∑( ! − ̅ )² ∑ ! ² − C ̅ ² ∑( ! − ̅ )² a( )

_`a( , 3) =

∑]HI "H̅ )(JI "JE)^ K

et

a( ) =

∑(HI "H̅ )² K

Propriétés des estimations des moindres carrés À défaut de connaître la vraie droite, on retient la droite des moindres carrés, les valeurs : ; et =, calculées comme précédemment par la méthode MCO, ne sont plus simplement les coefficients d'une droite géométriquement satisfaisante, mais des estimations statistiques des coefficients :  et , du modèle théorique de base. Attention :

La relation 3G! = ; ! + = est l'équation estimée. Tandis que chaque relation '! = (! +  + )! (à ne pas confondre avec la relation «vraie» du paragraphe précédent) fournit le résidu )! correspondant. Les propriétés des estimateurs des moindres carrés, dépendent des caractéristiques de l'aléa $!

On suppose les hypothèses de la méthode de MCO: la normalité, l’indépendance et l’efficacité. Et sous ces conditions nous avons les propriétés suivantes des estimateurs: 1. Les résidus calculés: )! , approchent les erreurs inconnus: $! , et la quantité

∑ )!

c √C − 2

liée à la somme des carrés des résidus, est une bonne estimation de l'écart-type: @, de l'aléa. Elle est appelée: écart-type résiduel ; 2. Les estimateurs : ; et =, sont les «meilleurs possibles» (en un sens mathématique qu'on ne précisera pas davantage pour l'instant); 3. Les estimateurs : ; et =, suivent des lois normales : d(>(;), @e; ) et d(>(=), @f= ), dont les espérances de ; et =, sont les quantités estimées ; ces estimateurs sont sans biais ; 4. Les écarts-types : @e; et @f= , des estimateurs : ; et =, peuvent également être estimés.

Pour une précision minimale des estimations, on demande généralement que le nombre : C, d'observations utilisées approche au moins la quinzaine. Tests de signification de coefficients pour les estimations (Test de Student) Si nous voulons tester la signification statistique des estimations des paramètres dans la régression nous devons déterminer les variances de ; et =. (Pour les démonstrations voir le cours)

Les tests de signification des estimateurs se font à travers un test d’hypothèse sur ; et = en utilisant la distribution de Student, avec  − 5 degrés de liberté, afin de construire les intervalles de confiances correspondants.

10

Introduction à l’Econométrie Pour réaliser ces tests, nous devons étudier les paramètres des estimateurs à savoir leurs variances : a(;) a]=^ et leurs espérances mathématiques : >(;)  >]=^.

Il s'agit de tester si, pour un niveau de confiance donné (en général 95%), l'intervalle de confiance peut ou non contenir la valeur 0. En effet si la valeur véritable du coefficient peut être 0, il n'est même pas certain que la variable explicative (ou le terme constant) intervienne réellement dans le modèle.

Sachant que pour un risque α, l'intervalle de confiance pour ; est : [; − Le test revient à examiner si le rapport suivant dépasse ou non 1 :

; 1 h

; ; +

;] 1 h

|;| |Coefoicient estimé| = h; écart − type estimé On fait en général ce test au risque  = 5%, ce qui donne, en utilisant la valeur approchée 1







||}~o€|€~‚ ~ƒ‚€„é| é|…†‚"‚‡ˆ~ ~ƒ‚€„é

=

< 1.96 > 1.96

||}~o€|€~‚ ~ƒ‚€„é| é|…†‚"‚‡ˆ~ ~ƒ‚€„é

⇝ coefficient non significatif au risque 5% ;

-,-N

≈1,96

Pour n = 30

⇝ coefficient significatif au risque 5% ;

Ce test est généralement appelé test de Student, car, strictement, lorsque l'échantillon utilisé est de petite taille (C < 30), il conviendrait d'employer une loi de Student, voisine de la loi normale mais plus dispersée, pour tenir compte du fait que l'écart-type est lui-même estimé. Lors d'une étude économétrique, le test de Student sur chacun des coefficients est beaucoup plus important que l'examen du coefficient de corrélation. Un «bon» test de Student doit toutefois être regardé avec une certaine modestie, ce test suppose en effet la pertinence du modèle, mais il n'a pas vocation à la confirmer; en fait, il sert essentiellement à mettre en doute ou à écarter les variables d'influence incertaine. Donc nous avons (voir le cours) : outils nécessaires pour faire le calcul (C étant l’effectif total)

̅ =

3E =

Alors

∑ ! C ∑ 3! C

a( ) =

a(3) =

∑ HI ² K

@H = Œa( )

− ̅ ²

∑ 3! ² − 3E² C

@J = Œa(3)

a(;) = ∑(H Ž"H̅ )²  ²

=

∑ ! 3! − ̅ 3E C

_`aHJ a( )a(3)

Variance de )! étant Inconnue, nous

utilisant la variance résiduelle @; appelée encore variance des erreurs, notée

I

a]=^ = @ ²

_`aHJ =

simplement @; ou ²

∑ ! ² C ∑( ! − ̅ )²

² = @; = @; = 11

∑ ! ² C−5

Nombre de paramètres estimé ici pour la régression simple (nous disposant de deux paramètres)

Introduction à l’Econométrie Donc une estimation non biaisée des variances de  et  est alors de la forme : e; ² =

∑ ! ² 1 × C − 5 ∑( ! − ̅ )²

f= ² =

(1.6)

∑ ! ² ∑ ! ² × C − 5 C ∑( ! − ̅ )²

a 4 ~4` d`4 → a 4~   ) a 4 ~4` d`4

Exemple : Le tableau (1.3) qui est une extension du tableau (1.2) rassemble des calculs nécessaires pour tester la signification statistique de ; et =. Années 2001

“ 1

”“ 40

•“ 6

•“ ”“ 240

•“ ² 36

G 7 37,08

–6 2,92

–— ² 8,51

˜)² (86 − 8 144

2002 2003

2 3

44 46

10 12

440 552

100 144

43,72 47,04

0,28 -1,04

0,08 1,09

64 36

2004 2005

4 5

48 52

14 16

672 832

196 256

50,36 53,68

-2,36 -1,68

5,57 2,82

16 4

2006 2007

6 7

58 60

18 22

1044 1320

324 484

57,00 63,64

1,00 -3,64

1,00 13,24

0 16

2008 2009

8 9

68 74

24 26

1632 1924

576 676

66,96 70,28

1,04 3,72

1,09 13,85

36 64

2010 Sommes Moyennes

10 10

80 570 57

32 180 18

2560 11216

1024 3816

80,24

-0,24 o

0,06 47,31

196 576

Il en résulte que pour tester la signification des paramètres ; et = à partir de l’équation estimée : 7G6 = W, XYZ86 + [\, W[Y Le calcul du test d’hypothèse suivant se ( e; ) ?

( f= ) ?

e;

=

|e;| œG

=

De déterminer 3; (colonne 7), et par conséquent le calcul des erreurs |žeŸe é!Ÿ¡| (voir le cours du test œ¢£ é¤eŸ!"!Jž¡ S’effectue ! = (3! − 3;! ) (colonne 8). d’hypothèse) Et à partir des relations (1.6) : ∑ ! ² 1 47,31 1 e; ² = × = × = 0,01 C − 5 ∑( ! − ̅ )² 10 − 2 567

Donc

e; = √0,01 ≈ 0,1

réalise en calculant

De la même manière, ∑ ! ² ∑ ! ² 47,31 3816 f= ² = × = × = 3,92 Donc e; = Œ3,92 ≈ 1, 98 C − 5 C ∑( ! − ̅ )² 10 − 2 10 × 567 Par conséquent, |;| |1,659 | = ≈ 16,6 e; = e; 0,1 12

Introduction à l’Econométrie f=

=

¥=¥ |27,125| = ≈ 13,7 f= 1,98

Comme e; et f= dépassent tous deux !ef¦é¡ = 2,306 avec C − 5 = 8 degrés de liberté au seuil de signification de 5% (d’après la table de Student), nous concluons que ; et = ensemble sont statistiquement signifiants au seuil de 0,05. Test d’efficacité d’ajustement et coefficient de corrélation Plus les points représentatifs des observations sont proches de la droite de régression (c'est-à-dire plus les résidus sont faible), plus importante est la variabilité de ' expliquée par l’équation de régression estimée. La variabilité totale de ' est donc égale à la somme de variabilité expliquée et la variabilité résiduelle. §('! − 'E)? =

Variabilité Totale de ' (somme totale des écarts à la moyenne)

©*C

Somme des carrées Totale

§]'=! − 'E^²

Variabilité expliquée de ' (somme des carrées de la régression)

=

©*>

+

+

§('! − '¨! )²

(1.7)

Variabilité résiduelle de ' (somme des carrées des erreurs)

©*+

= Somme des carrées explicatives + Somme des carrées résiduelle

©*> ©*+ + ©*C ©*C Si le coefficient de détermination, +², désigne la proportion de la variabilité totale de ' expliquée par la régression de ' par rapport à (, il vient :

On peut encore écrire :

1=

+² =

Ce qui peut s’exprimer sous la forme : +² =

©*> ©*+ =1− ©*C ©*C

∑(3;! − 3E)² ∑ ! ² =1− ∑(3! − 3E)² ∑(3! − 3E)²

La valeur de +² s’établit entre 0 (l’équation de régression estimée n’explique en rien la variabilité de ') et 1 (tous les points ((, ') appartiennent à la droite de régression). Le coefficient de corrélation , est alors tel que :

∑(y;‚ − yE)²  = Œ+² = ª ∑(y‚ − yE)²

Les valeurs de  s’établissent entre -1 (corrélation linéaire négative parfaite) et +1 (corrélation linéaire positive parfaite), mais ce coefficient n’implique ni causalité, ni dépendance entre les variables. Avec des données qualitatives, on peut employer le coefficient de corrélation de rang (ou d’ordre), appelé le coefficient de Spearman, ′.

13

Introduction à l’Econométrie Exemple : le tableau (1.4) permet de calculer le coefficient de détermination dans le cas du fertilisant du maïs en ajoutant les deux dernières colonnes: Années 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Sommes Moyennes

“ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

Nous avons : Et encore :

”“ 40 44 46 48 52 58 60 68 74 80 570 57

•“ 6 10 12 14 16 18 22 24 26 32 180 18

•“ ”“ 240 440 552 672 832 1044 1320 1632 1924 2560 11216

•“ ² 36 100 144 196 256 324 484 576 676 1024 3816

G 7 37,08 43,72 47,04 50,36 53,68 57,00 63,64 66,96 70,28 80,24

–6 2,92 0,28 -1,04 -2,36 -1,68 1,00 -3,64 1,04 3,72 -0,24 0

˜)² –— ² (86 − 8 8,51 144 0,08 64 1,09 36 5,57 16 2,82 4 1,00 0 13,24 16 1,09 36 13,85 64 0,06 196 47,31 576

˜)² (76 − 7 289 169 121 81 25 1 9 121 289 529 1634

­ R² = 1 − ∑(‡ "‡ = 1 − #LP® = 1 − 0,029 ≈ 0,971, ˜)²

∑~ ² ­

®O,P#

R² = ∑(‡­"‡˜)² = #LP® ≈ 0,971, ∑(‡ G "‡ ˜)² ­

#NMO

97,10%

G6 − 7 ˜)² (7 397 176 99 44 11 0 44 99 176 540 1587

97,10%

≈ 3% représente la part de la variabilité résiduelle

L’équation de régression explique donc environ 97% de la variabilité totale de la production du maïs. Les 3% restant peuvent être attribués à des facteurs inclus dans le terme d’erreur. Dés lors :

 = Œ+² = √0,971 ≈ 0,9854 = 98,54% ;  est positif parce que ; l’est.

Propriétés des estimations par les moindres carrées ordinaires Les estimateurs MCO (méthode des moindres carrées ordinaires) sont des estimateurs efficace dans la classe des estimateurs linéaires sans biais. On les dira encore estimateurs «BLUE» (de l’anglais best linear unbiased estimators : meilleur estimateurs linéaires sans biais). L’absence du biais signifie que l’estimateur ; présente une espérance mathématique égale à la valeur vrai  (on dit aussi que  est centré) : >(;) =  De sorte que : 2   = >(;) −  = 0

Un estimateur sans biais est efficace (ou optimal) si la variance est minimale. Les estimateurs MCO sont donc les meilleurs de tous les estimateurs linéaires sans biais. Ce résultat est connu sous le non de théorème de Gauss-Markov : il représente la justification la plus importante dont on dispose pour l’emploi du MCO. Il peut arriver qu’un chercheur choisisse d’accepter un léger biais afin d’obtenir éventuellement une variance plus faible : il cherchera alors à minimiser l’erreur quadratique moyenne : >¯9(;) = >(; − )? = a(;) + (   ;)²

Supposons une population infinie et un échantillon de plus en plus grand extrait de cette population : à la limite, l’échantillon sera de taille infinie. Dans ce cas, l’échantillon est dit convergent en probabilité si sa valeur est égale à la limite à celle du paramètre «vrai» (l’estimateur est asymptotiquement centré) et si sa distribution se comprime sur le paramètre «vrai».

14

Introduction à l’Econométrie Résumé :

Le modèle de régression simple

Relation économique

'! = (! + 

Spécification économétrique '! = (! +  + )! Ajustement linéaire

Hypothèses

Méthode des MCO

Recherche des paramètres Propriétés

3! = 3! +  + ! 9  ∑ ! ² 3G! = a; ! + =

∑ ! 3! − C ̅ 3E ∑ ! ² − C ̅ ² = = 3E −  ̅

; =

Questions importantes : 1) Est-ce que l’ajustement est «bon» dans sa globalité ? 2) Est-ce que les paramètres sont significatifs ?

Réponse pour question 2 : Voir si ces paramètres sont « robustes» |;| | é | Voir leurs significations (tests = e; = e; ` é_ − 3  d’hypothèses) e; inconnue (car @ est inconnue)

Problème qui se pose :

∑ ! ² ² = @; = @; = C−5

Solution : calcul de la variance résiduelle

Réponse pour question 1 : Tester la qualité de la régression Relations : ∑(3;! − 3E)² ∑ ! ² +² = =1− Solution : ∑(3! − 3E)² ∑(3! − 3E)² 0 ≤ +² ≤ 1 ∑(y;‚ − yE)² −1 ≤  ≤ 1  = Œ+² = ª ∑(y‚ − yE)² Si ²² est proche de 1 : l’ajustement est «bon» Si ³ est proche de 1 : il y a une forte corrélation positive

15

Accepter si leurs valeurs si sont supérieurs à 1.96.

Maintenant on peut calculer : e; et f= à partir des calculs de e; ² = ∑(H

GŽ  I "H̅ )²

et f= ² = @; × ∑ HI ² K ∑(HI "H̅ )²

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : Modèle linéaire Exercice : Définir les concepts suivant ainsi que leurs fonctions : (a) modèle de la régression simple, (b) modèle linaire de la régression, (c) diagramme de dispersion, (d) terme d’erreur. a) Le modèle de la régression simple est utilisé pour tester des hypothèses portant sur la relation entre la variable indépendante, ', et une variable indépendante ou explicative, (, il sert également à la prévision, dans les même conditions. Il faut le distingué du modèle de la régression multiple qui au lieu d’une variable indépendante, en comporte deux ou davantage, le chapitre suivant traitera ce problème. b) Le modèle linaire de la régression suppose qu’il existe une relation linéaire approchée entre ( et ' : autrement dit, l’ensemble des couple de valeurs (! et '! appartenant à l’échantillon aléatoire observé par les points ((! , '! ) répartis sur une droite ou au voisinage immédiat de celle-ci. Il faut distinguer un tel modèle des modèles de régression non linéaire. c) Un diagramme de dispersion est un graphe qui associe à chaque couple d’observations indépendantes et indépendantes un point dans un plan euclidien orthonormé ('. Il permet d’établir au jugé, par observation direct, s’il existe une relation linéaire approchée entre la variable indépendante ' et la variable indépendante ou explicative (. d) Le terme d’erreur (encore appelé terme stochastique ou perturbation aléatoire) mesure l’écart (d’ordinaire en projection verticale) entre chaque valeur observée Y et la valeur vraie mais inobservable, donnée par la courbe de régression. Ces termes d’erreurs désignée par )! , interviennent parce que (1) de nombreuses variables explicatives dont les effets sont faibles et irréguliers ne figurent pas dans l’équation linéaire exacte (1.1), (2) la mesure de ' peut être entachée d’erreur, (3) le comportement humain introduit un élément de variabilité intrinsèque. Exercice : Formuler la relation générale entre la consommation, ´, et le revenu disponible, µ, (a) sous une forme linéaire exacte, (b) sous une forme aléatoire, (c) pourquoi peut on s’attendre à ce que la plus part des valeurs observées de ´ ne donnent des points situés exactement en ligne droite. a) La relation exacte, déterministe, entre les dépenses globales de consommation, Y, et le revenu disponible global, X, peut être écrite sous la forme suivante : '! = (! +  Où, selon le type d’analyse, désigne une année ou une unité économique, a et b sont des constantes inconnues appelée paramètres. Le paramètre  représente l’ordonnée à l’origine, tandis que le paramètre  mesure ¶¸ , c'est-à-dire, ici dans le contexte du problème, mesure ¶·

la propension marginale à consommer (PMC). Pour obtenir la relation linéaire correspondante à la relation linéaire générale (1.1), il faut estimer les valeurs de  et  ; ces valeurs estimés s’écrivent ; et = et se lisent  chapeau, et  chapeau. b) On peut rendre aléatoire la relation linéaire exacte (1.1) en lui adjoignant un terme d’erreur non observable : '! = (! +  + )! c) Divers raison empêchent la plupart des valeurs observées de ' d’appartenir exactement à l’ensemble des ordonnées d’une droite : (1) bien qu’on suppose que la consommation ' 16

Introduction à l’Econométrie dépende avant tout du revenu disponible (, de nombreuses autres variables -omises icipeuvent intervenir, qui n’ont sur ' qu’un effet faible ou irrégulier (par contre, si l’effet de certaines d’entre elles était significatif et régulier, il faudrait les introduire dans la relation entre ' et ( à titre de variable explicatives supplémentaires, ce qui exigerait de recourir à un modèle de régression multiple. (2) des erreurs sont susceptibles de modifier la mesure de '. (3) le comportement humain a en lui-même un aspect aléatoire, de sorte qu’on observera d’ordinaire, des circonstances identiques, différentes valeurs de ' pour une même valeur de (.

Exercice : Formuler les cinq hypothèses sur lesquelles repose le modèle classique de régression linaire simple et donner une explication intuitive de la signification et de la nécessité de chacune ? 1. Première hypothèse du modèle classique de régression linaire simple (modèle MCO) : le terme d’erreur ) suit une loi de distribution normale. En conséquence, ´ et la distribution d’échantillonnage des paramètres de la régression suivent aussi une loi normale et il est possible d’effectuer des tests de signification sur les paramètres. 2. Seconde hypothèse : le terme d’erreur est d’espérance mathématique ou de moyenne nulle : >()! ) = 0 En raison de cette hypothèse, l’équation (1.1) fournit la valeur moyenne de '. En effet, dans la mesure où l’on dispose que la valeur de ( dans l’équation (1.1) varie au-delà de sa moyenne suivant que ) est plus grand ou plus petit de zéro. Puisque la valeur moyenne de ) est nulle par hypothèse, l’équation (1.1) donne bien la valeur moyenne de '. 3. Troisième hypothèse : La variance du terme d’erreur est constante à chaque période et pour tous les valeurs de (. autrement dit : >(), )² = @ ² L’hypothèse signifie que chaque observation est également sûre (les variables sont observée sans erreur) : il en résulte que les estimateurs des paramètres de la régression sont efficaces et que les tests les concernant ne présentent pas de biais. On peut résumer ces trois hypothèses sur le terme d’erreur par l’expression : )~d(0, @? ) 4. Quatrième hypothèse : Les erreurs relatives à deux observations différentes quelconques ou à deux périodes quelconques sont indépendantes entre elles. Autrement dit, >]), , )A ^ = 0 `) ≠ B; , B = 1,2, … . , C La valeur moyenne de ' dépend donc seulement de ( et non de ), d’où, une fois encore, l’efficacité des estimateurs des paramètres et l’absence du biais dans les tests de signification qui s’y rattachent. 5. Cinquième hypothèse : La variable explicative est une variable certaine. En d’autres termes, elle prend des valeurs fixes qui peuvent se retrouver en prenant l’échantillonnage, de sorte qu’elle est sans corrélation avec le terme d’erreur : >((! , )! ) = 0 Cette dernière hypothèse permet de simplifier l’analyse.

17

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : Ajustement par la méthode de moindre carrée ordinaire

Exercice : (a) En quel sens la méthode dite des moindres carrées ordinaire (MCO), permet-elle d’estimer la meilleure droite d’ajustement par un échantillon d’observation µ´ ? (b) Pourquoi choisir les écarts verticaux ? (c) Pourquoi ne pas prendre simplement la somme des carrées sans les porter au carré ? (d) Pourquoi ne pas prendre la somme des valeurs absolues des écarts ? a) Une droite ajuste les données (les observations de l’échantillon (') au sens des moindres carrées lorsque, sur un graphe de dispersion, la somme des distances verticales entre les points observés et la droite est minimale. b) On utilise les écarts verticaux parce qu’on s’efforce d’expliquer ou de prédire les changements de ', lequel est mesuré sur l’axe vertical. c) Si l’on somme simplement les écarts, deux écarts de même valeur absolue mais de signes opposés s’éliminent, de sorte que la somme totale est nulle (voir ∑ ! dans le tableau (1.3)) : la méthode serait inapplicable. d) On pourrait éviter la difficulté précédente en prenant la somme des valeurs absolues des écarts. On préfère toutefois d’utiliser la somme des écarts quadratique de manière à défavoriser relativement les grands écarts par rapport au petits (voir le théorème dit de Gauss-Markov).

¨) ? (b) quelle est la G, ¼ (a) Quelle est la différence entre les deux couples de termes (», ¼) et (» différence entre ½6 et –6 ? (c) Ecrire les équations exprimant les deux relations, vraie et estimée, entre µ et ´ ? (d) Ecrire les deux équations des droites correspondantes aux deux régressions, vraie et estimée, de ´ par rapport à µ ? Exercice

a) (, ) sont les paramètres de la régression linéaire vraie mais inconnue de ' par rapport à ( ; (;, =) sont les paramètres de la régression linéaire estimée. b) )! est le terme d’erreur ou terme aléatoire dans la relations vraie mais inconnue de ' par rapport à ( ; le terme ! est le résidu calculable, défini par la différence entre chaque valeur observée 3;! et la valeur ajustée 3! qui lui correspond dans la relation estimée entre ( et '. c) Les deux relations, vraie et estimée, entre ( et ', ont respectivement pour équation : 3! =  ! +  + )! 3! =  ! +  + ! d) Les deux régressions, vraie et estimée, de Y par rapport à X ont, quant à elles, respectivement pour équation : >(3! ) =  ! +  3;! = ; ! + =

Exercice Le tableau suivant trace la relation entre la consommation globale et le revenu disponible dans un ¨ ? (b) tracer la droite de régression? G et ¼ pays pendant douze années. (a) déterminer la valeur de » ¨ en utilisant les valeurs centrée de 8 et 7 (´ = 7 − 7 G et ¼ ˜, (c) calculer les valeurs des paramètres » ˜) ? et µ = 8 − 8

18

Introduction à l’Econométrie a) Le tableau suivant fournit les résultats des calculs nécessaires pour déterminer ; et = . ¾ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7— 102 106 108 110 122 124 128 130 142 148 150 154 1524 127

8— 114 118 126 130 136 140 148 156 160 164 170 178 1740 145

8— 7— 11628 12508 13608 14300 16592 17360 18944 20280 22720 24272 25500 27412 225124

8— ² 12996 13924 15876 16900 18496 19600 21904 24336 25600 26896 28900 31684 257112

˜ ´ — = 7— − 7 -25 -21 -19 -17 -5 -3 1 3 15 21 23 27

˜ µ— = 8— − 8 -31 -27 -19 -15 -9 -5 3 11 15 19 25 33

Minimiser ∑ ! ² revient à calculer : (voir les colonnes 4 et 5) ; =

µ— ´ — 775 567 361 255 45 15 3 33 225 399 575 891 4144

µ— ² 961 729 361 225 81 25 9 121 225 361 625 1089 4812

∑ , 3, −  ̅ 3E 225124 − (12 × 127 × 145) = ≈ 0,86 ∑ , ² −  ̅ ² 257112 − (12 × 145? ) = = 3E −  ̅ = 127 − 0,86 × 145 = 2,13

3;, = ; ! + = = 0,87 , + 2,13 = 2,13 + 0,87 ,

Revenu disponible

b) Pour définir complètement la droite de régression correspondant à cette équation, il suffit évidement de disposer de deux points de cette droite : par exemple quand , = 114, 3, = 2,13 + (0,86 × 114) = 100,34 ; et quand , = 178, 3, = 2,13 + (0,86 ∗ 178) = 155,38. La droite de régression pour la consommation est tracée sur la figure ci-dessous, laquelle on peut dire qu’elle représente le meilleur ajustement des observations constituant l’échantillon consommation – revenu disponible. 200 150 100 50 0 0

50

100

150

200

Consommation globale

c) Calcul des valeurs des paramètres ; et = à partir des valeurs centrée de et 3 : les colonnes 6, 7, 8 et 9, fournissent les calculs nécessaires pour calculer les paramètres du modèle. ∑ (, ', 4144 Une autre relation (1.8) de  sur la base des ; = = ≈ 0,86 valeurs centrée de et de 3 (sera utilisée ∑ (, ² 4812 dans la régression multiple = = 3E −  ̅ = 127 − 0.86 × 145 = 2,13 3;, = ; , + = = 0,87 , + 2,13 = 2,13 + 0,87 ,

G¿ ? On considère les résultats le l’exercice précédent, (a) indiquer la signification de l’estimateur » ¨ ? (c) déterminer l’élasticité-revenu de la consommation ? (b) celle de ¼

Exercice

19

Introduction à l’Econométrie a) L’estimateur = = 2,13 représente la valeur de la consommation globale, en millions de dirhams, lorsque le revenu disponible est nul ; c’est aussi l’ordonnée à l’origine de la droite de régression sur le graphique. Le fait que = > 0 confirme les considérations théoriques.

b) L’estimateur ; =

ÀJ ÀH

≈ 0,86 donne la pente de la droite de régression estimée. Il mesure la

proportion marginale à consommer, PMC, c’est-à-dire la variation de la consommation pour une variation unitaire du revenu disponible. Ici encore, le fait que 0 < ; < 1 corrobore les anticipations théoriques. c) L’élasticité-revenu de la consommation, Á, mesure la variation relative de la consommation rapportée à la variation relative du revenu disponible qui l’a provoquée. Comme l’élasticité change d’ordinaire en chaque point ((, ') de la courbe concernée, on définit une élasticité moyenne :

̅ Á = ; 3E Dans ce cas traité, et d’après les données du tableau précédent : Á = ; JE = 0,86 #?O = 0,98 H̅

#®N

On notera qu’à la différence de la pente, l’élasticité est mesurée par un nombre pur, indépendant des unités utilisées.

20

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : Tests de signification pour les paramètres estimés Exercice : ¨) ? (c) ûG ² et è ² ? G ) et Ä»³(¼ Définir (a) ½ ² et ò ? (b) Ä»³(» ¼

a) @ ² est la variance du terme d’erreur dans la relation vraie entre ( et '. par contre ² = @; ² =

∑ ¡I ² K"Å

est la variance résiduelle et fournit une estimation sans biais de @ ², lequel

est inconnu. 5 étant le nombre de paramètres estimés : 5 = 2 dans le cas de la régression simple. Par conséquent, C − 5 = C − 2 appelé nombre de degrés de liberté.

b) a(;) = ∑(H Ž

 ² I "H̅ )²

a]=^ = @ ²

∑ HI ² K ∑(HI "H̅ )²

. il est nécessaire de connaitre les

variances de ; et = (ou leurs estimations) pour tester les hypothèses sur ces deux paramètres et pour construire les intervalles de confiances correspondants.

c) e; ² =

∑ ¡I ² K"Å

× ∑(H

#

tandis que

I "H̅ )²

et f= ² =

∑ ¡I ² K"Å

× K ∑(H I"H̅ )² sont les écarts types respectifs de ; e ∑H ²

d) t =, lesquelles sont connues puisque ∑ ! ² est connue. I

e; = Œe; ² et f= = Œf= ² sont respectivement les écarts types respectifs de ; et = : on les appelle erreurs standard ou erreur types.

Exercice En reprend les observations consignées dans le tableau précédent qui trace la relation entre la consommation globale et le revenu disponible. Déterminer (a) ò , (b) ûG ² et ûG , (c) ü¨ ² et ü¨ ?

Le tableau suivant, extension du tableau précédent, rassemble les résultats des calculs nécessaires pour déterminer ². Les valeurs de y, viennent de l’équation de régression établie précédemment. ¾ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a)

b)

7— 102 106 108 110 122 124 128 130 142 148 150 154 1524 127

8— 114 118 126 130 136 140 148 156 160 164 170 178 1740 145

8— 7— 11628 12508 13608 14300 16592 17360 18944 20280 22720 24272 25500 27412 225124

G 7 100,30 103,75 110,64 114,08 119,25 122,69 129,58 136,47 139,92 143,36 148,53 155,42

8— ² 12996 13924 15876 16900 18496 19600 21904 24336 25600 26896 28900 31684 257112

² = @; = @; =

∑ ¡Ç ² £"Å

f= ² = @; × £ ∑(H Ç"H̅ )² = ∑H ² Ç

=

##N,?O #?"?

∑ ¡Ç ² £"Å

–— 1,70 2,25 -2,64 -4,08 2,75 1,31 -1,58 -6,47 2,08 4,64 1,47 -1,42 0,00

–— ² 2,88 5,07 6,96 16,67 7,57 1,71 2,51 41,90 4,34 21,51 2,16 2,01 115,27

= 11,52752 ≈ 11,53

˜)² (8— − 8 961 729 361 225 81 25 9 121 225 361 625 1089 4812

× £ ∑(H Ç"H̅ )² = 11,53 × #?×®M#? ≈ 51,32 ∑H ² Ç

21

?NO##?

Introduction à l’Econométrie f= = Œe; ² = Œ51,32 ≈ 7.23

Par la suite :

s…?; = ∑(Ê

GÉ È E )Ì Ë "Ê

c)

=

##,NP ®M#?

≈ 0,0024

e; = Œe; = Œ0,0024 ≈ 0,05

Exercice Dans le cas du problème précédent, tester au seuil de signification de 5% pour (a) Í et (b) Î ? a)

b)

f=

=

=

¥f=¥

=

|?,#P|

≈ 0,29

e;

= œ¢£ é¤eŸ!"!Jž¡ =

|e;|

=

|-,ML|

≈ 17,2

|žeŸe é!Ÿ¡|

œ¢£ é¤eŸ!"!Jž¡

œÏ¨

O,?P

Cette valeur de f= est d’après la table de Student, inférieur à la valeur tabulée = 2,228 au seuil de 5% (test bilatéral) et pour a = 10 : il faut conclure que f= n’est pas statistiquement signifiant au seuil de 5% ; autrement dit, on ne peut rejeter l’hypothèse Ð- suivant laquelle =0 |žeŸe é!Ÿ¡|

œG

-,-N

Par conséquent, a est statistiquement signifiant au seuil de 5% (et aussi au seuil de 1%) : on ne peut rejeter l’hypothèse H# , suivant laquelle a ≠ 0.

Exercice Dans le cas du même problème, établir les intervalles de confiances à 95% pour (a) Í et (b) Î ? a) L’intervalle de confiance à 95%, dans le cas de b est donné par :  = = ± 2,228 × f= = 2,13 ± (2,228 × 7,23) = 2,13 ± 16,10

b)

Par conséquent  est compris entre -13,97 et 18,23 au seuil de confiance de 95%. La largeur de cette intervalle, qui lui ôte tout intérêt, reflète que = n’a pas de signification statistique.  = ; ± 2,228 × e; = 0,86 ± (2,228 × 0,05) = 0,86 ± 0,11

 est donc compris entre 0,75 et 9,97 (0,75 <  < 9,97) au seuil de confiance de 95%.

22

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : Test d’efficacité d’ajustement et coefficient de corrélation Exercice : (a) Définir le ²² (b) que mesure le coefficient de corrélation ? (c) quel est son intervalle de variation ? (d) quel rapport existe-t-il entre corrélation et régression ? a) Par définition le coefficient de détermination, +², est la proportion de la variabilité totale de ' «expliquée» par la régression de ' par rapport à (. +² est une grandeur sans dimension, indépendante de toute unité, et 0 ≤ +² ≤ 1 parce que 0 ≤ ©*+ ≤ ©*C. +² = 0 lorsque, par exemple, tous les points représentatifs de l’échantillonnage se trouvent sur la droite horizontale ' = 'E. +² = 1 quant tous les points de l’échantillon appartiennent à la droite de régression estimée, ce qui est appelé un ajustement parfait. b) Le coefficient de corrélation donne une mesure de la liaison entre deux variables ou davantage. Dans le cas où l’on envisage que deux variable, le coefficient de la corrélation linéaire simple qui peut exister entre elle, pour l’ensemble des observations d’un échantillon, s’écrit :

 = Œ+² = Ô∑(‡­"‡˜)² ∑(‡ ˜)² G "‡ ­

L’intervalle de variation de +² détermine évidement celui de −1 ≤  ≤ 1. Que  soit négatif est l’indication que ( et ' varient dans le sens inverse : s’agissant d’une marchandise, tel est le cas, par exemple, de la quantité demandée et du prix. Par contre  > 0 signifie que ( et ' varient dans le même sens, comme l’offre et le prix d’une marchandise.  = 1 et  = −1 dénotent une corrélation parfaite, soit positive, soit négative : toutes les observations de l’échantillon sont représentées par des points alignés sur une même droite, à pente représentativement positive ou négative. Ces deux éventualités se rencontrent rarement. Mais plus  se rapproche de ±1, plus forte est la liaison linéaire positive ou négative entre ( et '. on notera que le signe de  est toujours celui de ;. Un coefficient de corrélation nul indique qu’il n’existe entre ( et ' aucune relation linéaire quelle qu’elle soit ; autrement dit, ( et ' ont tendance à varier de façon indépendante l’un de l’autre. Par exemple, si tous les points représentatifs d’un échantillon appartiennent exactement à une circonférence, il existe entre ( et ' une relation non linéaire parfaite et une relation linéaire nulle de sorte  = 0. Un modèle de régression suppose une dépendance causale entre la variable indépendante ( et la variable dépendante '. La corrélation, en revanche, n’implique aucune notion de causalité ou de dépendance, mais concerne seulement le mode et la force de la liaison entre deux variables. Ainsi, par exemple, ( et ' peuvent être étroitement corrélés par l’effet d’une troisième variable qui agit séparément et fortement sur chacun d’eux. Au regard de la régression, la corrélation n’offre donc qu’un instrument d’analyse sensiblement moins puisant. Exercice : On considère l’équation de la régression estimée dans l’exercice précédent à propos de la consommation, déterminer R² en utilisant (a) l’équation de ²² = ∑(”“ "”E)² (b) l’équation ²² = W −

∑ –— ² ∑(”Õ "”E)²

∑(”; "”E)² “

?

a) Nous avons vu dans l’exercice précédent que : 23

Introduction à l’Econométrie ¾ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7— 102 106 108 110 122 124 128 130 142 148 150 154 1524 127

8— 114 118 126 130 136 140 148 156 160 164 170 178 1740 145

8— 7— 11628 12508 13608 14300 16592 17360 18944 20280 22720 24272 25500 27412 225124

8— ² 12996 13924 15876 16900 18496 19600 21904 24336 25600 26896 28900 31684 257112

G 7 100,30 103,75 110,64 114,08 119,25 122,69 129,58 136,47 139,92 143,36 148,53 155,42

+² =

–— 1,70 2,25 -2,64 -4,08 2,75 1,31 -1,58 -6,47 2,08 4,64 1,47 -1,42 0,00

–— ² (8— − ˜ 8)² 2,88 961 5,07 729 6,96 361 16,67 225 7,57 81 1,71 25 2,51 9 41,90 121 4,34 225 21,51 361 2,16 625 2,01 1089 115,27 4812

˜)(7— − 7 ˜) ˜)² (8— − 8 (7— − 7 625 775 441 567 361 361 289 255 25 45 9 15 1 3 9 33 225 225 441 399 529 575 729 891 3684 4144

∑(3;, − 3E)² 3569 = ≈ 0,9687 = 96,87% ∑(3, − 3E)² 3684

Ç +² = 1 − ∑(J "J =1− E)²

b)

G— − 7 ˜)² (7 712,71 540,65 267,73 166,87 60,07 18,54 6,67 89,74 166,87 267,73 463,52 807,64 3569

∑¡ ² Ç

C’est vraiment la même valeur de (a).

##N,?O PLM®

≈ 0,9687 = 96,87%

Exercice : Toujours dans le même problème, déterminer ³ en utilisant les expressions suivantes : (b)  =

(a)  = Œ+²

∑(HÇ "H̅ )(JÇ "JE)

(c)  = Ô; ×

Œ∑(HÇ "H̅ )²×Œ∑(JÇ "JE)²

∑(HÇ "H̅ )(JÇ "JE) ∑(JÇ "JE)²

 = Œ+² = √0,9687 = 0,9842  est positif puisque ; > 0

a) Le tableau ci-dessus fournit les calculs nécessaires : b) Aussi :

c) Et

=

∑( , − ̅ )(3, − 3E)

Œ∑( , − ̅ )² × Œ∑(3, − 3E)²

 = ª; ×

=

4144

√4812 × √3684

= 0,9842

∑( , − ̅ )(3, − 3E) 0,86 × 4144 =ª = 0,9836 ∑(3, − 3E)² 3684

24

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : Propriétés des estimations par les moindres carrées ordinaires Exercice : Que faut-il entendre par « estimateur sans biais » ? Comment définir le biais ? Un estimateur est dit : centré ou sans biais, si la moyenne de sa distribution d’échantillonnage est égale au paramètre vrai. La moyenne de la distribution est égale à l’espérance mathématique de l’estimateur. Si ; est estimateur du paramètre vrai de . L’absence de biais signifie donc que >(;) = . Le biais est alors défini comme la différence entre l’espérance mathématique de l’estimateur et la valeur vraie du paramètre :    = >(;) − . On notera que l’absence du biais ne signifie pas que ; =  , mais que, si l’on répète l’échantillonnage aléatoire, on obtiendra, en moyenne, l’estimation correcte. On espère dons que l’échantillon effectivement sélectionné fournisse une valeur de ; proche de la moyenne de la distribution d’échantillonnage de l’estimateur. Exercice : Que faut-il entendre par « le meilleur estimateur sans biais » (estimateur efficace) ? Quelle est l’importance de cet estimateur ?

Parmi tous les estimateurs sans biais, le meilleur qui est dit aussi efficace est celui dont la variance est minimale. C’est l’estimateur centré qui présente la distribution la plus compacte, la moins dispersée. Cette caractéristique est fort importante car le chercheur qui examine une population sera ainsi mieux assurer que la valeur prise par l’estimateur est voisine à la valeur vraie du paramètre qu’il doit estimer. Il revient au même de dire qu’un estimateur efficace présente le plus petit intervalle de confiance et qu’il a donc plus de chance d’être statistiquement signifiant qu’aucun autre estimateur. On notera toutefois que la variance minimale n’a pas grand intérêt en elle-même, à moins d’être couplé avec absence de biais. Exercice : Pourquoi des estimateurs MCO sont-ils fréquemment utilisés ? Sont-ils supérieur à tout autre estimateur ? L’intérêt des estimateurs MCO, et qui rend compte de leur large usage, est qu’ils sont BLUE (best linear unbiaised estimators) : ce sont des estimateurs efficaces dans la classe des estimateurs linéaires ; autrement dit, parmi tous les estimateurs linéaires sans biais, ils présentent la plus faible variance. Les propriétés BLUE des estimateurs MCO déroule du théorème de Gauss-Markov. Exercice : Que faut-il entendre par « convergence » ? Pour être convergent en probabilité, un estimateur doit satisfaire à deux conditions (1) lorsque la taille de l’échantillon augmente indéfiniment, la valeur de l’estimateur tend vers la valeur vrai du paramètre (il s’agit d’une probabilité asymptotique que l’on peut appeler le centrage asymptotique de l’estimateur). (2) lorsque la taille de l’échantillon devient infinie, la distribution de l’échantillonnage de l’estimateur se comprime pour devenir, à la limite un segment de droite verticale de hauteur 1 et d’abscisse a (valeur vraie du paramètre). On emploi cette propriété asymptotique de convergences des grands échantillons seulement si l’on ne peut obtenir de petits échantillons BLUE ou des estimateurs EQM minimaux.

25

Introduction à l’Econométrie Problèmes supplémentaire : le modèle de régression simple Exercice : On cherche s’il existe une relation linéaire entre le revenu réel par tête dans les pays développés et leur population agricole active. Le tableau suivant rassemble les données correspondantes pou un échantillon de 15 pays développés, pendant une année donnée. (a) Estimer l’équation de régression de ´— par rapport à µ— . (b) Tester la signification statistique des paramètres, au seuil de signification de 5%. (c) Trouver le coefficient de détermination (d) présenter sous forme habituelle les résultats obtenus. Pays n° ', (,

1 6 9

2 8 10

3 8 8

4 7 7

5 7 10

6 12 4

7 9 5

8 8 5

Données du revenu réel ', sont arrondis au millier de dollars American (, Est en pourcentage de la population active totale

9 9 6

10 10 8

11 10 7

12 11 4

13 9 9

14 10 5

15 11 8

Le tableau suivant présente les résultats des différents calculs nécessaires pour répondre aux questions posées : Pays n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

(a) ; =

(b) ² =

7— 6 8 8 7 7 12 9 8 9 10 10 11 9 10 11 135 9

8— 9 10 8 7 10 4 5 5 6 8 7 4 9 5 8 105 7

=

¥f=¥ œÏ¨

∑ ¡Ç ² £"Å

; s…?; = ∑(Ê "ÊE)Ì ; ∑H ² Ç

œ² Ë

e;

=

|e;| œG

;

Ç (c) +² = 1 − ∑(‡ "‡ ;  = Œ+² ˜)²

(d)

8— ² 81 100 64 49 100 16 25 25 36 64 49 16 81 25 64 795

Relations de base et = = 3E −  ̅

∑ HÇ JÇ "£H̅ JE ∑ HÇ ²"£H̅ ²

f= ² = ² × £ ∑(H Ç"H̅ )² ; f=

8— 7— 54 80 64 49 70 48 45 40 54 80 70 44 81 50 88 917

∑¡ ² Ë

3;, = ; , + =

+² =?  =?

( e; ) ? ( f= ) ?

G 7 8,07 7,60 8,53 9,00 7,60 10,40 9,93 9,93 9,47 8,53 9,00 10,40 8,07 9,93 8,53

–— ² 4,27 0,16 0,28 4,00 0,36 2,56 0,87 3,74 0,22 2,15 1,00 0,36 0,87 0,00 6,08 26,93

˜)² (8— − 8 4 9 1 0 9 9 4 4 1 1 0 9 4 4 1 60

; = −0,47 ; = = 12,27

˜)² (7— − 7 9 1 1 4 4 9 0 1 0 1 1 4 0 1 4 40

Résultats

² = 2,07 ; s…?; = 0,03 ; f= ² = 1,83 ; 2,51 ;

f=

=

|#?,?O| #,PN

= 9,07 > 2,16

e;

=

|"-,®O| -,#M

=

Les deux paramètres sont significativement différents de zéro au seuil de 5%.

+² = 0,33 ;  = 0,57

3;, = ; , + = (2,51 ) (9,07)

26

+² = 0,33

 = 0,57

Introduction à l’Econométrie Exercice : La prévision des ventes du produit «Jawal» C’est en fonction des prévisions de ventes que l’entreprise détermine la production, les achats et les investissements nécessaires. La prévision des ventes conditionne l’ensemble de la construction budgétaire. Elle est généralement mise à œuvre à partir de modèles de prévisions reposant sur des méthodes statistiques. Ces méthodes ont pour objet : De mesurer les phénomènes d’évolution des ventes à moyen terme (tendance ou «trend») et l’estimation de la tendance à l’aide d’un ajustement linéaire. Les méthodes basées sur l’ajustement linéaire nécessitent une: 1. Représentation graphique de la série afin d’observer la tendance. 2. Confirmation de l’évolution linéaire par le calcul du coefficient de corrélation linéaire. 3. Identification de la relation par le calcul des paramètres du modèle par la méthode MCO. Vous êtes analyste chez une entreprise de télécom, et on vous pose les questions suivantes et vous disposer d’une plage de données, votre savoir faire pour construire votre modèle et un logiciel de bureautique pour faire des calculs, donc : 1. Les affiches publicitaires dans la presse ont-elles un impact sur les ventes du produit «Jawal»? 2. Les quantités vendues dépendent-elles du nombre d’affiches publicitaires ? Au cours des années écoulées l’entreprise a relevé les données suivantes (en millions de dirhams): Années

Dépenses publicitaires

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Chiffre d’affaires

5 3,4 3,6 5,6 4,4 4 3,8 4,4 6 6,1

560 500 510 584 530 520 524 560 570 592

600

Chiffre d’affaires

580 560 540 520 500 480

0

2

4 6 Dépenses publicitaires

8

27

Le graphique illustre une relation linéaire entre le chiffre d’affaire et les dépenses publicitaires du produit « Jawal », la tendance est haussière donne un premier aperçu de la relation, il parait que l’évolution des dépenses publicitaires suivent l’évolution du chiffre d’affaire de l’entreprise (on prévoie une évolution des deux variables à un sens unique.

Introduction à l’Econométrie Nous pouvons maintenant construire notre modèle théorique : on veut rechercher la relation entre les dépenses publicitaire et le chiffre d’affaire de l’entreprise, '! = (() , avec (! sont les dépenses publicitaires et '! représente le chiffre d’affaire de l’entreprise. ', = (, +  Puis notre spécification économétrique est sous la forme : ', = (, +  + ), On dispose du modèle de régression linéaire, nous utilisons la méthode des moindres carrées ordinaires pour avoir un meilleur ajustement linéaire des données par une droite de régression qui prendra la forme de : 3G× = a; , + = Notre travail sera consacré en premier lieu à la recherche des paramètres a; et b= , et en deuxième lieu, valider notre modèle à partir des tests d’hypothèses sur les paramètres estimés et à calculer le coefficient de détermination qui permettra de juger la qualité de la régression. Mais avant, on calcul le coefficient de corrélation. Années 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N = 10

7— 560 500 510 584 530 520 524 560 570 592 5450 545

8— 5 3,4 3,6 5,6 4,4 4 3,8 4,4 6 6,1 46,300 4,630

8— 7— 2800 1700 1836 3270 2332 2080 1991 2464 3420 3611 25505

8— ² 25,00 11,56 12,96 31,36 19,36 16,00 14,44 19,36 36,00 37,21 223,25

G 7 556,30 507,43 513,54 574,63 537,97 525,75 519,64 537,97 586,85 589,91

–— ² 13,67 55,14 12,50 87,76 63,58 33,11 18,97 485,15 283,96 4,38 1058,229

˜)² (8— − 8 0,137 1,513 1,061 0,941 0,053 0,397 0,689 0,053 1,877 2,161 8,881

˜)² (7— − 7 225 2025 1225 1521 225 625 441 225 625 2209 9346

La corrélation linéaire exprime l’intensité de la liaison entre deux variables : le chiffre d’affaires en fonction des dépenses publicitaires. Le coefficient de corrélation () est un indicateur de cette relation. Il est déterminé de la façon suivante : ∑ , 3, −  ̅ 3E ∑( , − ̅ ) × (3, − 3E) _`a( , 3) = = = = 0,942 ∑ , ² −  ̅ ² × ∑ 3, ² − 3E ² Œ∑( , − ̅ )² × Œ∑(3, − 3E)² @H @J Ce qui confirme une forte corrélation entre les dépenses publicitaires et le chiffre d’affaires. Lorsque la corrélation linéaire est significative, on peut estimer notre relation économétrique.

D’après le tableau des calculs, on peut calculer a; et b= , nous avons donc : 3G× = 30,55 , + 403,56 Et (7,9) (22,13) R² = 0,8868

600

y = 30,548x + 403,56 R² = 0,8868

Chiffre d’affaires

580 560 540

La droite obtenue permet d’effectuer des prévisions. Par exemple, le chiffre d’affaires prévisibles  + 1 pour des dépenses publicitaires de 6.3 millions de dirhams, serait de 596 Millions de dirhams.

520 500 480 0

2

4

6

Dépenses publicitaires

28

8

Introduction à l’Econométrie Exercice : L’analyse des ventes du carburant Supposant que vous être recruté en tant qu’analyste au sein d’une compagnie de distribution du carburant opérant dans la région de Rabat, et elle prévoit investir en termes d’augmentation des points de vente dans d’autre région que Rabat. Le tableau suivant trace l’évolution pendant un mois des ventes (en milliers de Dirhams) en fonction de l’évolution du nombre des points de vente du carburant (nombre de station d’essence). 3

2000 12 48 192 24 768 96 96 384 1536

2 4 6 3 8 5 5 7 9

1500 1000 500 0

0

2

4

6

8

10

On vous demande d’analyser d’abord la courbe tirée du croisement de variables à partir du tableau, et ensuite proposer une modélisation linéaire et une estimation des ventes si le nombre des stations égale à 12. La représentation graphique de l’évolution des ventes nous renseigne que la relation entre les deux variables peut avoir la forme d’une courbe exponentielle, de la forme : ', = 20 HÇ Dans ce cas on ramène la tendance exponentielle à la forme linéaire (logarithme népérien): 43, = (40) , + (42)

On procède à un changement de variable de sorte que : ', = 43, ,  = (40) et  = (4) : on aura la forme : 3, =  , +  Puis notre spécification économétrique est sous la forme : 3, =  , +  + ), On calcul les paramètres ; et = par la méthode des moindres carrées ordinaires : 43

8,000 2,485 3,871 5,257 3,178 6,644 4,564 4,564 5,951 7,337

2 4 6 3 8 5 5 7 9

y = 0,6931x + 1,0986 R² = 1

6,000 4,000 2,000 0,000

0

2

4

6

8

= La valeur de 0Ø et 2=: 0Ø =  e; =  -,LQP# ≈ 2 et 2= =  f =  #,-QML ≈ 3 Maintenant on peut prévoir les ventes pour trois de stations supplémentaires : = 12, ', = 20 HÇ = 3 × 2#? = 12281

29

10

Introduction à l’Econométrie

Le modèle de régression multiple Définition et Ajustement par la méthode des moindres carrées ordinaires L’analyse par régression multiple permet de tester les hypothèses portant sur la relation entre une variable dépendante ', et au moins deux variables indépendantes notées (Å (il s’agit donc d’un ensemble de variables exogènes, (# , (? , etc.). Cette analyse permet également d’effectuer des prévisions. Le modèle de régression linéaire à plusieurs variables peut s’exprimer sous la forme : Terme constant Variable Endogène

Variables explicatives (composante déterministe)

Ù + Å (Å, + ), ', = - + # (#, + …

étant le nombre de variables exogènes, et varie selon les  individus. Paramètres

Terme d’Erreur composante aléatoire

(2.1)

Ce qui peut encore représenté par la forme matricielle :

', = (, + ),

(2.2)

La multiplicité des variables exogènes conduit à ajouter une hypothèse nouvelle à celles qui spécifient le modèle de régression simple : il n’existe pas de relation linéaire exacte entre les (Å , (absence de colinéarité). On peut estimer les paramètres de l’équation (2.1) par les moindres carrées ordinaires (MCO) en recherchant le minimum de la somme des résidus quadratiques :

Il en résulte des équations normales :

Avec :

minÚÛ ,ÚÜ ,..ÚÝ ∑ , ²

(2.3)

Ø = (( Þ ()"# (′' ØØ Ø = à # ã ⋮ ßØÅ â

Exemple : Le tableau (2.1) une extension du tableau (1.1) : il rapporte les effets d’un insecticide ajoutés à ceux du fertilisant sur la production du Maïs. Les observations concernent également les mêmes années. Dans le cas de la régression multiple il est difficile de mener les calculs avec plusieurs variables explicatives. L’usage des logiciels spécialisés reste une solution très pratique. Nous utilisons : 1. Excel pour faire le calcul des paramètres 2. La calculette pour faire le calcul manuellement (pour le cas de deux variables exogènes, les calculs sont un peut abordable). 3. Le calcul matriciel

30

Introduction à l’Econométrie

1. Calcul en utilisant Excel (facile quelque soit le nombre k paramètres et de n observations) ´— 40 44 46 48 52 58 60 68 74 80 570

Années 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

µW— 6 10 12 14 16 18 22 24 26 32 180

µ[— 4 4 5 7 9 12 14 20 21 24 120

Procédure Excel: 1. Outils  Utilitaire d’analyse  Régression linéaire 2. Indiquez les données pour la variable ', et pour les variable(s) (. Cochez les cases : Intitulé présent, Résidus, Courbes des résidus et Courbes de régression et faites OK. 3. Les résultats seront affichés sur une feuille séparée. NB : le cas ou « Utilitaire d’analyse » ne figurent pas dans l’anglet «outil», allez au : option Excel  Complément  allez au gérer complément  atteindre  choisir utilitaire d’analyse (analysis toolPak)  suivre les indications d’installation.

Les résultats sont les suivants : Coefficients Erreur-type Statistique t Probabilité

Constante 31,9806714 1,63179572 (#, 0,65005086 0,25016126 (#, 1,10986775 0,26743364 Donc l’équation prend la forme suivante :

19,5984528 2,59852729 4,1500679

2,2481E-07 0,0355012 0,00429473

'=, = 31,98 + 0,65(#, + 1,11(?,

2. Calcul en utilisant le calcul simple (difficile si k>2 et ~∞)

Pour le calcul manuelle nous utilisons les valeurs centrée de 3, = ', − 'E , #, = (#, − (E et de

?, = (?, − (E, voir la relation (1.8), le tableau suivant résume les calculs nécessaires : Années 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Ø# =

Ø? =

¾ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10

´— 40 44 46 48 52 58 60 68 74 80 570 57

µW— 6 10 12 14 16 18 22 24 26 32 180 18

µ[— 4 4 5 7 9 12 14 20 21 24 120 12

7— -17 -13 -11 -9 -5 1 3 11 17 23

8W— -12 -8 -6 -4 -2 0 4 6 8 14

(∑ # 3)]∑ ?² ^ − (∑ ? 3)(∑ # ? ) ]∑ #² ^]∑ ?² ^ −

(∑ # ?

)²

(∑ ? 3)]∑ #² ^ − (∑ # 3)(∑ # ? ) ]∑ #² ^]∑ ?² ^ − (∑ # ? )²

= =

8[— -8 -8 -7 -5 -3 0 2 8 9 12

8W— 7 204 104 66 36 10 0 12 66 136 322 956

8[— 7 136 104 77 45 15 0 6 88 153 276 900

8W— 8[— 96 64 42 20 6 0 8 48 72 168 524

8W— ² 144 64 36 16 4 0 16 36 64 196 576

(956) × (504) − (900) × (524) ≈ 0,65 (576) × (504) − (524)² (900) × (576) − (956) × (524) ≈ 1,11 (576) × (504) − (524)²

Ø- = ' − Ø# (E# − Ø? (E? ≈ 57 − (0,65) × 18 − (1,11) × 12 ≈ 31,98 31

8[— ² 64 64 49 25 9 0 4 64 81 144 504

Introduction à l’Econométrie '=, = 31,98 + 0,65(#, + 1,11(?,

De sorte que :

3. La recherche des paramètres en utilisant le calcul matriciel : (difficile si k> 2) ', = (, + ),

Notre modèle

peut être écrit de la façon suivante :

)# 40 16 4 ) Ø 44 110 4 ?  à46ã à112 5 ã # à )P ã Ø å ⋮ æ = å ⋮ ⋮ ⋮ æ ç? è + å ⋮ æ )Q ØP 74 12621 ) ß80â ß13224â ß #- â

Il s’agit de calculer le vecteur des estimateurs Ø défini par l’égalité suivante : ØÅ = (( Þ ()"# (′'

Important à retenir

(( Þ ()"# =?

 à (Þ( = å å§ (#

§ (#

§ (# ²

ߧ (?

Calculons d’abord

§ (# (?

 (( Þ () :

§ (?

Voir le tableau (1.3) pour le calcul des ', et (# , on vous laisse la peine du calcul des valeurs de (?

10 180 120 ã § (# (? æ = é ê 180 3816 2684 æ 120 2684 1944 § (? ² â

 (( Þ () = 10 × ](3816 × 1944) − (2684²)^ − 180](180 × 1944) − 322080^ + 120 × 25200 = 157280

La transposée de ( Þ ( est :

10 180 120 ( Þ ( K = é180 3816 2684ê 120 2684 1944

La matrice inverse est alors : (( Þ ()"# = ë~‚ (¸ ì ¸) (0B (( Þ ()) #

La co-matrice appelée encore la matrice adjointe est calculée comme suit : 3816 í 2684 à 180 Þ 0B (( () = åí 2684 180 ßí3816 (( Þ ()"# =

2684 180 î í 1944 120 120 10 î í 1944 120 120 10 î í 2684 180

2684 180 î í 1944 120 120 10 î í 1944 120 120 10 î í 2684 180

3816 î 2684 + 180 ã îæ × é− 2684 + 180 îâ 3816

− + + −ê − +

1,363 −0,177 0,160 1 Þ (0B −0,177 0,032 −0,033ê (( ()) = é det (( Þ () 0,160 −0,033 0,037

32

Introduction à l’Econométrie §'

570 à ã (Þ' = å § '( = é ê 11216 å æ #æ 7740 ߧ '(? â

Aussi : Important à retenir Donc :

1,363 −0,177 0,160 31,98 570 570 ØÅ = (( Þ ()"# ( Þ ' = é−0,177 0,032 −0,033ê × é11216ê = é11216ê = é 0,65 ê 0,16 −0,033 0,037 1,11 7740 7740

De sorte que :

'=, = 31,98 + 0,65(#, + 1,11(?,

L’estimation des paramètres à plusieurs variables explicatives nécessite bien l’assistance d’un ordinateur. Tests de signification pour les paramètres estimés (Test de Student) Comme dans la régression simple, il faut déterminer les variances des estimateurs si l’on veut évaluer, dans une régression multiple, la signification statistique des estimations de paramètres. ð]ØÅ ^ = @ ²(( Þ ()"#

Comme @ ² est inconnue, on utilise la variance résiduelle, ², à titre d’estimation sans biais de cette grandeur : ∑ ,² );′); ² = @; = @; = = −5 −5

Où 5 représente le nombre de paramètres estimés.

L’estimation de sans biais est alors donnée par la formule :

Ú¨Ý ² = @; (( Þ ()"#

De sorte que Ú¨ ² fournit les erreurs types de l’estimation.

Exemple : On teste la signification statistique des paramètres du modèle de l’exemple précédent. Il en résulte des valeurs rassemblées dans le tableau (2.1) que, Nous pouvons également calculer : ∑ ,² ∑(', − '=, )² );′); 13,67 ² = @; = @; = = = = = 1,95 −5 −5 −5 10 − 3 1,363 −0,177 0,160 2,663 −0,346 0,313 Ú¨Ý ² = @; ²(( Þ ()"# = 1,95 é−0,177 0,032 −0,033ê = é−0,346 0,063 −0,065ê 0,16 −0,033 0,037 0,313 −0,065 0,072

D’où :

Les écarts types Ú¨Ý des estimateurs ØÅ sont alors donnés par les racines carrées des éléments diagonaux de cette matrice. Nous avons ainsi :

33

Introduction à l’Econométrie Ú¨Û = Œ2,663 = 1,63 Ú¨Ü = Œ0,063 = 0,24

Par conséquent

¨Ý Ú

=

¨Ý ¥ ¥Ú œñ ¨

Ý

Ú¨Ì = Œ0,072 = 0,27 , alors on déduit :

¥Ø- ¥ 31,98 ¥Ø# ¥ 0,65 ¥Ø? ¥ 1,11 = = 19,6 = = = = 2,70 = = = = 4,15 ¨ ¨ # ? ÚÜ ÚÌ Ú¨Û 1,63 Ú¨Ü 0,24 Ú¨Ì 0,27 Comme - , # , ? dépassent tous le œ!À¡£! = 2,635 pour  − 5 = 7 degrés de liberté au seuil de signification de 5% . - , # , ? sont tous statistiquement signifiants au seuil de 0,05. =

¨Û Ú

=

Coefficient de détermination multiple Le coefficient de détermination multiple, +², est défini par la proportion de la variabilité totale de ' «expliquée» par la régression multiple de ' par rapport à (# et (? et, on peut le calculer à partir de l’expression suivante : +² =

©*> '=′' );′); ©*+ = =1− =1− ©*C '′' '′' ©*C

Comme il est vraisemblable que l’inclusion de nouvelles variables explicatives accroisse la part «expliquée» = '=′' , pour une même variabilité totale, ©*C = '′', +² doit augmenter dans une régression multiple. Cette augmentation ne tenant qu’au nombre et non au pouvoir explicatif (à l’influence linéaire) des variables additionnelles, on défini un +² corrigé, écrit +E ², qui tienne compte de la diminution du nombre du degrés de liberté consécutive à l’introduction de nouvelles variables indépendantes : +E ² = 1 − (1 − + ? )

©*+ò −1 −5 =1− ©*Cò −5 −1

Ou  représente le nombre d’observations et k, le nombre de paramètre estimés.

Exemple : Calculons sur la base du tableau (2.1) le +² et le +E ². Méthode : calculons le tableau d’ANOVA pour notre exemple, il s’agit de calculer les quantités suivantes : ©*C = ©*> + ©*+

570 Avec : ©*> = Ø Þ ( Þ ' − 'E² = (30,98 0,65 1,11) × é11216ê − (10) × (57)? = 1620 7740

Et

©*C = ' Þ ' − 'E ? = 34124 − (10) × (57)? = 1634

©*+ = ©*C − ©*+ = 1634 − 1620 = 13,67 +² =

©*> 1620 = = 0,992 ©*C 1634 34

Introduction à l’Econométrie £"# #-"# Par conséquent : +E ? = 1 − (1 − + ? ) = 1 − (1 − 0,992) = 0,989 ≈ 98,9% £"Å

Méthode : calcul direct

Nous avons : Ø Þ ( Þ ' = 34110,32 Et

² = 1,95 donc : +E ? =

+? = 1 −

et

#-"P

);’); = ' Þ ' − Ø Þ ( Þ ' = 34124 − 34110,32 = 13,67

);’); 13,67 =1− = 0,992 ? E 34124 − 10 × (57)? − '

'Þ'

−1 5 − 1 10 − 1 3−1 × +? − = × 0,992 − = 0,989 ≈ 98,9% −5  − 5 10 − 3 10 − 3

Test d’ensemble sur la signification de la régression La signification globale de la régression peut être appréciée grâce au rapport de la variance expliquée et la variance inexpliquée. Celui-ci obéit à une loi de distribution de Ficher-Snedecor (distribution ô) avec 5 − 1 et  − 5 degrés de liberté,  étant le nombre d’observations et 5 le nombre de paramètres estimés :

Si le rapport ô calculé dépasse la valeur tabulaire de ô pour le risque admis (c’est à dire pour le seuil de signification donnée) en fonction des degrés de libertés 5 − 1 et  − 5, on accepte l’hypothèse que les paramètres de la régression ne sont pas tous nuls et +² diffère significativement de zéro. Exemple : Pour tester au seuil de 5% la signification d’ensemble de la régression estimée dans l’exemple précédent, nous pouvons utiliser +² , de sorte que : 0,992ò +²ò 5−1 = 3 − 1 = 413,17 ôÅ"#;£"Å = ô?;O = 1 − 0,992ò 1 − +²ò 10 − 3 −5

Comme la valeur calculée de ô dépasse la valeur tabulaire ô = 4,74 pour le seuil de signification de 5% avec le couple de degrés de liberté (2 ; 7), nous admettons l’hypothèse que ne sont pas tous nuls et que +² est significativement différent de zéro.

Coefficients de corrélation partielle Considérons l’une des variables indépendantes du modèle. Le coefficient de corrélation partielle mesure la corrélation nette entre la variable dépendante et cette variable indépendante après avoir exclu l’effet collectif des autres variables indépendantes dan le modèle : autrement dit, ces dernières demeurent alors constantes. Par exemple ·¸Ü ,¸Ì est le coefficient de corrélation partielle entre ' et (# , après avoir éliminer l’effet de (? sur els deux variables ' et (# . ·¸Ü ,¸Ì =

·¸Ü − ·¸Ì ¸Ü ¸Ì

Ô1 − ¸Ü ¸Ì ² × Ô1 − ·¸Ü ²

Où ·¸Ü , ·¸Ì et ¸Ü ¸Ì représentent respectivement les coefficient de corrélation simple (ou d’ordre zéro) entre ' et (# , ' et (? , (# et (? . les coefficients de corrélation partielle ont une valeur appartenant à l’intervalle (−1, +1), borne comprises, comme les coefficients de corrélation simple. 35

Introduction à l’Econométrie Ils ont le signe du paramètre estimé correspondant et servent à déterminer l’importance relative des différentes variables explicatives dans une régression multiple.

36

Introduction à l’Econométrie Résumé :

Le modèle de régression multiple

Relation économique

', = - + # (#, + ⋯ + Å (Å,

Spécification économétrique ', = - + # (#, + ⋯ + Å (Å, + ), Hypothèses du Régression Simple + absence de colinéarité (pas de relations linéaire entre les (,

Propriétés

Ajustement linéaire

Méthode des MCO

', = (, + );!

minÚÛ ,ÚÜ ,..ÚÝ ∑ );, ² 3G! = Ø (,

Recherche des paramètres ØÅ = (( Þ ()"# (′'

Questions importantes : 1) Est-ce que l’ajustement est «bon» dans sa globalité ? 2) Est-ce que les paramètres sont significatifs ? 3) Tester l’absence de colinéarité ?

Réponse pour question 2 : Voir si ces paramètres sont « robustes» | é | ¥ØÅ ¥ Voir leurs significations (tests = = ¨ ÚÝ d’hypothèses) Ú¨Ý ` é_ − 3  e; inconnue (car @ est inconnue)

Problème qui se pose :

);′); ² = @; = @; = −5

Solution : calcul de la variance résiduelle

Réponse pour question 1 : Tester la qualité de la régression multiple Relations : ©*> '=′' );′); ©*+ +² = = =1− =1− Solution : ©*C '′' '′' ©*C 0 ≤ +E ² ≤ 1 SCRò −1 5−1 n−k +E ² = +² × − =1− SCTò −5 −5 n−1 ˜ ² est proche de 1 : l’ajustement est «bon» Si ² Réponse pour question 1 : test d’ensemble sur la signification de la régression Test de Ficher-Snedecor ù +²ò 5−1 ôÅ"#;£"Å = 1 − +²ò −5 37

Accepter si leurs valeurs si sont supérieurs à 1.96 pour n>30

Maintenant on peut calculer : e; et f= à partir des calculs de Ú¨ ² = @; ²(( Þ ()"#

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : modèle linéaire à plusieurs variables explicatives Exercice : D’après le modèle linéaire fourni par l’analyse de régression multiple, lorsque deux variables exogènes sont en jeu, indiquer la signification de (a) ú¿ , (b) úW , (c) ú[ . (d) ces trois paramètres sont –ils BLUE ? a) Le paramètre Ø- est le terme constant de l’équation de la régression, '=, = Ø- + Ø# (#, + Ø? (?, ; Dans un espace euclidien à trois dimensions, c’est la coordonnée , '= de l’intersection de l’axe des Y avec le plan de régression défini par cette équation ; autrement dit, Ø- donne

la valeur estimée de ', lorsque (#, = (?, = 0. b) Le paramètre Ø# mesure la variation de '= pour toute variation unitaire de (# , lorsque (? reste constant ; il représente la pente des droites du plan de régression parallèle au plan (# ', O étant l’origine des coordonnées. Ce paramètre est un coefficient de régression partielle parce qu’il est égal à la dérivée partielle de '= par rapport à (# soit

û· . û¸Ü

c) Le paramètre Ø? mesure la variation de '= pour toute variation unitaire de (? , lorsque (# reste constant ; il représente la pente des droites du plan de régression parallèle au plan (? '. C’est le second coefficient de régression partielle, étant égal la dérivée partielle de '= par rapport à (? soit

û· . û¸Ì

d) Comme Ø- , Ø# et Ø? sont obtenus par la méthode MCO, ils sont aussi les meilleurs estimateurs linéaires sans biais (BLUE). Autrement dit : >(Ø- ) = - , >(Ø# ) = # et >(Ø? ) = ? , et Ú¨Û , Ú¨Ü et Ú¨Ì ont des valeurs minimales par rapport à tout autre estimateur linéaire sans biais. Prouver ces propriétés manque particulièrement d’élégance hors l’emploi du calcul matriciel.

Exercice : Le tableau suivant (2.2) concerne 15 pays développés et donne pour chacun le niveau de revenu réel par tête ´ en milliers de US$. Avec le pourcentage de de la force de travail employé dans l’agriculture et la durée moyenne de la scolarité µ[ (en années) pour une population au-dessus de 25 ans (a) établir l’équation de régression MCO de ´ par rapport à µW et µ [ ? (b) interpréter les résultats ainsi obtenus ? pays n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

', 6 8 8 7 7 12 9 8 9 10 10 11 9 10 11 135 9

(#, 9 10 8 7 10 4 5 5 6 8 7 4 9 5 8 105 7

(?, 8 13 11 10 12 16 10 10 12 14 12 16 14 10 12 180 12

', ² 36 64 64 49 49 144 81 64 81 100 100 121 81 100 121 1255

(#, (?, ', (#, (#, ² (?, ² 81 64 72 54 100 169 130 80 64 121 88 64 49 100 70 49 100 144 120 70 16 256 64 48 25 100 50 45 25 100 50 40 36 144 72 54 64 196 112 80 49 144 84 70 16 256 64 44 81 196 126 81 25 100 50 50 64 144 96 88 795 2234 1248 917 Quantités utilisées pour calculer ØÅ

38

', (?, 48 104 88 70 84 192 90 80 108 140 120 176 126 100 132 1658

Introduction à l’Econométrie

a) Calcul des paramètres à partir de l’équation :

', = - + # (#, + ? (?, + ),

Nous utilisons le calcul matriciel, d’après les calculs tirés du tableau (2.2), nous avons :



à ( Þ ( "# = å å§ (#

ߧ (?

Et

§ (#

§ (# ²

ØÅ = (( Þ ()"# (′'

§ (# (?

§ (?

ã § (# (? æ æ § (? ² â

"#

3,391 −0,154 −0,187 = é−0,154 0,017 0,003 ê −0,187 0,003 0,014

§' 135 à ã ( Þ' = å å§ '(# æ æ = é 917 ê 1658 ߧ '(? â

Donc :

6,20 ØÅ = (( Þ ()"# ( Þ ' = é−0,38ê 0,45

'=, = 6,20 − 0,38(#, + 0,45(?,

b) Cette dernière équation indique que le niveau du revenu réel par tête ', est inversement lié au pourcentage (# de la force de travail dans l’agriculture, mais qu’il est en relation directe avec la durée (? de la scolarité de la population au dessus de 25 ans : ce qui d’ailleurs aurait pu être anticipé. De façon précise Ø# fait apparaitre qu’une réduction de 1% de l’effectif employé e agriculture est associée à une augmentation de revenu réel par tête égale à 380 dollars. (? restant constant. Lorsque (? = (? = 0 , '=, = Ø- = 6,20. Dans la mesure où il est prouvé que (? est statistiquement signifiant et doit par conséquent être inclus dans l’équation de régression, la valeur Ø# = −0.47 déterminée dans l’exercice du modèle de régression simple n’est pas une estimation satisfaisante de .

39

Introduction à l’Econométrie Exercices résolus : tests de signification pour les paramètres Exercice : ¨ sont obtenues par D’après le tableau (2.2) qui réunit les calculs nécessaires. Les valeurs de ´ substitution des valeurs de µW et de µ[ dans l’équation estime par la régression MCO, telle que l’on établie dans l’exercice précédent. Dés lors : Calculons d’abord : );² '= );′); 12,27 6,44 0,19 ² = @; = @; = = = 1,023 0,10 8,32  − 5 15 − 3 On déduit : 0,03 8,17 8,09 7,87 11,94 8,85 8,85 9,38 9,53 9,00 11,94 9,15 8,85 8,62 135

1,20 0,76 0,00 0,02 0,72 0,14 0,22 1,00 0,88 0,02 1,33 5,65 12,27

Donc :

3,391 −0,154 −0,187 Ú¨ ² = @; ²(( Þ ()"# = 1,023 × é−0,154 0,017 0,003 ê −0,187 0,003 0,014 3,468 −0,154 −0,193 = é−0,154 0,017 0,003 ê −0,193 0,003 0,014

Ú¨Ý

¨Ý dépassent Ú

þ =  − 5 = 15 − 3 = 12, on conclura que

Puisque les valeurs absolues de

¨Ý Ú

Œ3,468

1,86 = üŒ0,017ý = é0,13ê 0,12 Œ0,014 3,33 ¨Ý = é2,83ê Ú 3,78

sa valeur tabulaire

= 2,17 au seuil de 5% pour

sont tous signifiant au seuil de 5%.

40

Table de la Loi de Student – Test t Seuil de risque alpha (bilatéral) DDL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 infini

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,005

0,001

0,1584 0,1421 0,1366 0,1338 0,1322 0,1311 0,1303 0,1297 0,1293 0,1289 0,1286 0,1283 0,1281 0,128 0,1278 0,1277 0,1276 0,1274 0,1274 0,1273 0,1272 0,1271 0,1271 0,127 0,1269 0,1269 0,1268 0,1268 0,1268 0,1267 0,1267 0,1267 0,1266 0,1266 0,1266 0,1266 0,1265 0,1265 0,1265 0,1265 0,1264 0,1264 0,1264 0,1264 0,1264 0,1264 0,1263 0,1263 0,1263 0,1263 0,1262 0,1261 0,1261 0,126 0,126 0,126 0,1259 0,1259 0,1259 0,1257

0,3249 0,2887 0,2767 0,2707 0,2672 0,2648 0,2632 0,2619 0,261 0,2602 0,2596 0,259 0,2586 0,2582 0,2579 0,2576 0,2573 0,2571 0,2569 0,2567 0,2566 0,2564 0,2563 0,2562 0,2561 0,256 0,2559 0,2558 0,2557 0,2556 0,2555 0,2555 0,2554 0,2553 0,2553 0,2552 0,2552 0,2551 0,2551 0,255 0,255 0,255 0,2549 0,2549 0,2549 0,2548 0,2548 0,2548 0,2547 0,2547 0,2545 0,2543 0,2542 0,2541 0,254 0,254 0,2539 0,2539 0,2538 0,2533

0,5095 0,4447 0,4242 0,4142 0,4082 0,4043 0,4015 0,3995 0,3979 0,3966 0,3956 0,3947 0,394 0,3933 0,3928 0,3923 0,3919 0,3915 0,3912 0,3909 0,3906 0,3904 0,3902 0,39 0,3898 0,3896 0,3894 0,3893 0,3892 0,389 0,3889 0,3888 0,3887 0,3886 0,3885 0,3884 0,3883 0,3882 0,3882 0,3881 0,388 0,388 0,3879 0,3878 0,3878 0,3877 0,3877 0,3876 0,3876 0,3875 0,3872 0,3869 0,3867 0,3866 0,3864 0,3863 0,3862 0,3862 0,3861 0,3853

0,7265 0,6172 0,5844 0,5686 0,5594 0,5534 0,5491 0,5459 0,5435 0,5415 0,5399 0,5386 0,5375 0,5366 0,5357 0,535 0,5344 0,5338 0,5333 0,5329 0,5325 0,5321 0,5317 0,5314 0,5312 0,5309 0,5306 0,5304 0,5302 0,53 0,5298 0,5297 0,5295 0,5294 0,5292 0,5291 0,5289 0,5288 0,5287 0,5286 0,5285 0,5284 0,5283 0,5282 0,5281 0,5281 0,528 0,5279 0,5278 0,5278 0,5272 0,5268 0,5265 0,5263 0,5261 0,5259 0,5258 0,5257 0,5256 0,5244

1 0,8165 0,7649 0,7407 0,7267 0,7176 0,7111 0,7064 0,7027 0,6998 0,6974 0,6955 0,6938 0,6924 0,6912 0,6901 0,6892 0,6884 0,6876 0,687 0,6864 0,6858 0,6853 0,6848 0,6844 0,684 0,6837 0,6834 0,683 0,6828 0,6825 0,6822 0,682 0,6818 0,6816 0,6814 0,6812 0,681 0,6808 0,6807 0,6805 0,6804 0,6802 0,6801 0,68 0,6799 0,6797 0,6796 0,6795 0,6794 0,6786 0,678 0,6776 0,6772 0,677 0,6767 0,6765 0,6764 0,6762 0,6744

1,3764 1,0607 0,9785 0,941 0,9195 0,9057 0,896 0,8889 0,8834 0,8791 0,8755 0,8726 0,8702 0,8681 0,8662 0,8647 0,8633 0,862 0,861 0,86 0,8591 0,8583 0,8575 0,8569 0,8562 0,8557 0,8551 0,8546 0,8542 0,8538 0,8534 0,853 0,8526 0,8523 0,852 0,8517 0,8514 0,8512 0,8509 0,8507 0,8505 0,8503 0,8501 0,8499 0,8497 0,8495 0,8493 0,8492 0,849 0,8489 0,8477 0,8468 0,8461 0,8456 0,8452 0,8449 0,8446 0,8444 0,8442 0,8416

1,9626 1,3862 1,2498 1,1896 1,1558 1,1342 1,1192 1,1081 1,0997 1,0931 1,0877 1,0832 1,0795 1,0763 1,0735 1,0711 1,069 1,0672 1,0655 1,064 1,0627 1,0614 1,0603 1,0593 1,0584 1,0575 1,0567 1,056 1,0553 1,0547 1,0541 1,0535 1,053 1,0525 1,052 1,0516 1,0512 1,0508 1,0504 1,05 1,0497 1,0494 1,0491 1,0488 1,0485 1,0482 1,048 1,0478 1,0475 1,0473 1,0455 1,0442 1,0432 1,0424 1,0418 1,0413 1,0409 1,0406 1,0403 1,0364

3,0777 1,8856 1,6377 1,5332 1,4759 1,4398 1,4149 1,3968 1,383 1,3722 1,3634 1,3562 1,3502 1,345 1,3406 1,3368 1,3334 1,3304 1,3277 1,3253 1,3232 1,3212 1,3195 1,3178 1,3163 1,315 1,3137 1,3125 1,3114 1,3104 1,3095 1,3086 1,3077 1,307 1,3062 1,3055 1,3049 1,3042 1,3036 1,3031 1,3025 1,302 1,3016 1,3011 1,3007 1,3002 1,2998 1,2994 1,2991 1,2987 1,2958 1,2938 1,2922 1,291 1,2901 1,2893 1,2886 1,2881 1,2876 1,2816

6,3137 2,92 2,3534 2,1318 2,015 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,7056 1,7033 1,7011 1,6991 1,6973 1,6955 1,6939 1,6924 1,6909 1,6896 1,6883 1,6871 1,686 1,6849 1,6839 1,6829 1,682 1,6811 1,6802 1,6794 1,6787 1,6779 1,6772 1,6766 1,6759 1,6706 1,6669 1,6641 1,662 1,6602 1,6588 1,6576 1,6567 1,6558 1,6449

12,706 4,3027 3,1824 2,7765 2,5706 2,4469 2,3646 2,306 2,2622 2,2281 2,201 2,1788 2,1604 2,1448 2,1315 2,1199 2,1098 2,1009 2,093 2,086 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0555 2,0518 2,0484 2,0452 2,0423 2,0395 2,0369 2,0345 2,0322 2,0301 2,0281 2,0262 2,0244 2,0227 2,0211 2,0195 2,0181 2,0167 2,0154 2,0141 2,0129 2,0117 2,0106 2,0096 2,0086 2,0003 1,9944 1,9901 1,9867 1,984 1,9818 1,9799 1,9784 1,9771 1,96

31,821 6,9645 4,5407 3,7469 3,3649 3,1427 2,9979 2,8965 2,8214 2,7638 2,7181 2,681 2,6503 2,6245 2,6025 2,5835 2,5669 2,5524 2,5395 2,528 2,5176 2,5083 2,4999 2,4922 2,4851 2,4786 2,4727 2,4671 2,462 2,4573 2,4528 2,4487 2,4448 2,4411 2,4377 2,4345 2,4314 2,4286 2,4258 2,4233 2,4208 2,4185 2,4163 2,4141 2,4121 2,4102 2,4083 2,4066 2,4049 2,4033 2,3901 2,3808 2,3739 2,3685 2,3642 2,3607 2,3578 2,3554 2,3533 2,3264

63,656 9,925 5,8408 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,797 2,7874 2,7787 2,7707 2,7633 2,7564 2,75 2,744 2,7385 2,7333 2,7284 2,7238 2,7195 2,7154 2,7116 2,7079 2,7045 2,7012 2,6981 2,6951 2,6923 2,6896 2,687 2,6846 2,6822 2,68 2,6778 2,6603 2,6479 2,6387 2,6316 2,6259 2,6213 2,6174 2,6142 2,6114 2,5759

127,32 14,089 7,4532 5,5975 4,7733 4,3168 4,0294 3,8325 3,6896 3,5814 3,4966 3,4284 3,3725 3,3257 3,286 3,252 3,2224 3,1966 3,1737 3,1534 3,1352 3,1188 3,104 3,0905 3,0782 3,0669 3,0565 3,047 3,038 3,0298 3,0221 3,0149 3,0082 3,002 2,9961 2,9905 2,9853 2,9803 2,9756 2,9712 2,967 2,963 2,9592 2,9555 2,9521 2,9488 2,9456 2,9426 2,9397 2,937 2,9146 2,8987 2,887 2,8779 2,8707 2,8648 2,8599 2,8557 2,8522 2,8072

636,58 31,6 12,924 8,6101 6,8685 5,9587 5,4081 5,0414 4,7809 4,5868 4,4369 4,3178 4,2209 4,1403 4,0728 4,0149 3,9651 3,9217 3,8833 3,8496 3,8193 3,7922 3,7676 3,7454 3,7251 3,7067 3,6895 3,6739 3,6595 3,646 3,6335 3,6218 3,6109 3,6007 3,5911 3,5821 3,5737 3,5657 3,5581 3,551 3,5443 3,5377 3,5316 3,5258 3,5203 3,5149 3,5099 3,505 3,5005 3,496 3,4602 3,435 3,4164 3,4019 3,3905 3,3811 3,3734 3,367 3,3613 3,2908

Lois de Student Si T est une variable al´eatoire suivant la loi de Student ` a ν degr´es de libert´e, la table donne, pour α fix´e, la valeur t1
α{2 telle que
{ u 


Pt|T | ¥ t1

α 2

α.

Ainsi, t1
α{2 est le quantile d’ordre 1 Student ` a ν degr´es de libert´e. ν

α

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 80 120

8

{

α 2 de la loi de

α/2

α/2

tα/2

0

t1−α/2

0,900 0,1584 0,1421 0,1366 0,1338 0,1322 0,1311 0,1303 0,1297 0,1293 0,1289 0,1286 0,1283 0,1281 0,1280 0,1278 0,1277 0,1276 0,1274 0,1274 0,1273 0,1272 0,1271 0,1271 0,1270 0,1269 0,1269 0,1268 0,1268 0,1268 0,1267 0,1265 0,1261 0,1259

0,500 1,0000 0,8165 0,7649 0,7407 0,7267 0,7176 0,7111 0,7064 0,7027 0,6998 0,6974 0,6955 0,6938 0,6924 0,6912 0,6901 0,6892 0,6884 0,6876 0,6870 0,6864 0,6858 0,6853 0,6848 0,6844 0,6840 0,6837 0,6834 0,6830 0,6828 0,6807 0,6776 0,6765

0,300 1,9626 1,3862 1,2498 1,1896 1,1558 1,1342 1,1192 1,1081 1,0997 1,0931 1,0877 1,0832 1,0795 1,0763 1,0735 1,0711 1,0690 1,0672 1,0655 1,0640 1,0627 1,0614 1,0603 1,0593 1,0584 1,0575 1,0567 1,0560 1,0553 1,0547 1,0500 1,0432 1,0409

0,200 3,0777 1,8856 1,6377 1,5332 1,4759 1,4398 1,4149 1,3968 1,3830 1,3722 1,3634 1,3562 1,3502 1,3450 1,3406 1,3368 1,3334 1,3304 1,3277 1,3253 1,3232 1,3212 1,3195 1,3178 1,3163 1,3150 1,3137 1,3125 1,3114 1,3104 1,3031 1,2922 1,2886

0,100 6,3138 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,7056 1,7033 1,7011 1,6991 1,6973 1,6839 1,6641 1,6577

0,050 12,7062 4,3027 3,1824 2,7764 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2010 2,1788 2,1604 2,1448 2,1314 2,1199 2,1098 2,1009 2,0930 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0555 2,0518 2,0484 2,0452 2,0423 2,0211 1,9901 1,9799

0,020 31,8205 6,9646 4,5407 3,7469 3,3649 3,1427 2,9980 2,8965 2,8214 2,7638 2,7181 2,6810 2,6503 2,6245 2,6025 2,5835 2,5669 2,5524 2,5395 2,5280 2,5176 2,5083 2,4999 2,4922 2,4851 2,4786 2,4727 2,4671 2,4620 2,4573 2,4233 2,3739 2,3578

0,010 63,6567 9,9248 5,8409 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,7969 2,7874 2,7787 2,7707 2,7633 2,7564 2,7500 2,7045 2,6387 2,6174

0,001 636,6192 31,5991 12,9240 8,6103 6,8688 5,9588 5,4079 5,0413 4,7809 4,5869 4,4370 4,3178 4,2208 4,1405 4,0728 4,0150 3,9651 3,9216 3,8834 3,8495 3,8193 3,7921 3,7676 3,7454 3,7251 3,7066 3,6896 3,6739 3,6594 3,6460 3,5510 3,4163 3,3735

0,1257

0,6745

1,0364

1,2816

1,6449

1,9600

2,3263

2,5758

3,2905

Lorsque ν

 8, t1
α{2 est le quantile d’ordre 1
α{2 de la loi normale N p0, 1q.

A.4. Lois de Fisher–Snedecor (α  0, 05) p


Si F est une variable al´eatoire suivant la loi de P t ¥ u  
Fisher–Snedecor `a ν1 , ν2 q degr´es de libert´e, la table donne la valeur f1 α telle que
 F

f1

α

α

0,05. α

Ainsi, f1
α est le quantile d’ordre 1 α 0,95 de la loi de Fisher–Snedecor `a pν1 , ν2 q degr´es de libert´e.

0

f1−α

ν1

1

2

3

4

5

6

8

10

15

20

30

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 40 50 60 80 100

161 18,5 10,1 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,30 4,26 4,23 4,20 4,17 4,08 4,03 4,00 3,96 3,94

200 19,0 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,63 3,59 3,55 3,52 3,49 3,44 3,40 3,37 3,34 3,32 3,23 3,18 3,15 3,11 3,09

216 19,2 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 3,16 3,13 3,10 3,05 3,01 2,98 2,95 2,92 2,84 2,79 2,76 2,72 2,70

225 19,2 9,12 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 2,93 2,90 2,87 2,82 2,78 2,74 2,71 2,69 2,61 2,56 2,53 2,49 2,46

230 19,3 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,03 2,96 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,66 2,62 2,59 2,56 2,53 2,45 2,40 2,37 2,33 2,31

234 19,3 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,55 2,51 2,47 2,45 2,42 2,34 2,29 2,25 2,21 2,19

239 19,4 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,40 2,36 2,32 2,29 2,27 2,18 2,13 2,10 2,06 2,03

242 19,4 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,85 2,75 2,67 2,60 2,54 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,30 2,25 2,22 2,19 2,16 2,08 2,03 1,99 1,95 1,93

246 19,4 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,72 2,62 2,53 2,46 2,40 2,35 2,31 2,27 2,23 2,20 2,15 2,11 2,07 2,04 2,01 1,92 1,87 1,84 1,79 1,77

248 19,4 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 2,16 2,12 2,07 2,03 1,99 1,96 1,93 1,84 1,78 1,75 1,70 1,68

250 19,5 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2,15 2,11 2,07 2,04 1,98 1,94 1,90 1,87 1,84 1,74 1,69 1,65 1,60 1,57

254 19,5 8,53 5,63 4,36 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,92 1,88 1,84 1,78 1,73 1,69 1,65 1,62 1,51 1,44 1,39 1,32 1,28

8

3,84

3,00

2,60

2,37

2,21

2,10

1,94

1,83

1,67

1,57

1,46

1,00

ν2

A.5. Lois de Fisher–Snedecor (α  0, 025)

p Si F est une variable al´eatoire suivant la loi de Fisher–Snedecor `a
ν1 , ν2 q degr´es de libert´e, la table donne la valeur Ptf1 ¥α telle  
uque F

f1

α

α

0,
025. 

α

Ainsi, f1
α est le quantile d’ordre 1 α 0,975 de la loi de Fisher–Snedecor `a pν1 , ν2 q degr´es de libert´e.

0

f1−α

ν1

1

2

3

4

5

6

8

10

15

20

30

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 40 50 60 80 100

648 38,5 17,4 12,2 10,0 8,81 8,07 7,57 7,21 6,94 6,72 6,55 6,41 6,30 6,20 6,12 6,04 5,98 5,92 5,87 5,79 5,72 5,66 5,61 5,57 5,42 5,34 5,29 5,22 5,18

800 39,0 16,0 10,6 8,43 7,26 6,54 6,06 5,71 5,46 5,26 5,10 4,97 4,86 4,76 4,69 4,62 4,56 4,51 4,46 4,38 4,32 4,27 4,22 4,18 4,05 3,98 3,93 3,86 3,83

864 39,2 15,4 9,98 7,76 6,60 5,89 5,42 5,08 4,83 4,63 4,47 4,35 4,24 4,15 4,08 4,01 3,95 3,90 3,86 3,78 3,72 3,67 3,63 3,59 3,46 3,39 3,34 3,28 3,25

900 39,2 15,1 9,60 7,39 6,23 5,52 5,05 4,72 4,47 4,28 4,12 4,00 3,89 3,80 3,73 3,66 3,61 3,56 3,51 3,44 3,38 3,33 3,29 3,25 3,13 3,06 3,01 2,95 2,92

922 39,3 14,9 9,36 7,15 5,99 5,29 4,82 4,48 4,24 4,04 3,89 3,77 3,66 3,58 3,50 3,44 3,38 3,33 3,29 3,22 3,15 3,10 3,06 3,03 2,90 2,83 2,79 2,73 2,70

937 39,3 14,7 9,20 6,98 5,82 5,12 4,65 4,32 4,07 3,88 3,73 3,60 3,50 3,41 3,34 3,28 3,22 3,17 3,13 3,05 2,99 2,94 2,90 2,87 2,74 2,67 2,63 2,57 2,54

957 39,4 14,5 8,98 6,76 5,60 4,90 4,43 4,10 3,85 3,66 3,51 3,39 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01 2,96 2,91 2,84 2,78 2,73 2,69 2,65 2,53 2,46 2,41 2,36 2,32

969 39,4 14,4 8,84 6,62 5,46 4,76 4,30 3,96 3,72 3,53 3,37 3,25 3,15 3,06 2,99 2,92 2,87 2,82 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,39 2,32 2,27 2,21 2,18

985 39,4 14,3 8,66 6,43 5,27 4,57 4,10 3,77 3,52 3,33 3,18 3,05 2,95 2,86 2,79 2,72 2,67 2,62 2,57 2,50 2,44 2,39 2,34 2,31 2,18 2,11 2,06 2,00 1,97

993 39,4 14,2 8,56 6,33 5,17 4,47 4,00 3,67 3,42 3,23 3,07 2,95 2,84 2,76 2,68 2,62 2,56 2,51 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,20 2,07 1,99 1,94 1,88 1,85

1 001 39,5 14,1 8,46 6,23 5,07 4,36 3,89 3,56 3,31 3,12 2,96 2,84 2,73 2,64 2,57 2,50 2,44 2,39 2,35 2,27 2,21 2,16 2,11 2,07 1,94 1,87 1,82 1,75 1,71

1 018 39,5 13,9 8,26 6,02 4,85 4,14 3,67 3,33 3,08 2,88 2,72 2,60 2,49 2,40 2,32 2,25 2,19 2,13 2,09 2,00 1,94 1,88 1,83 1,79 1,64 1,55 1,48 1,40 1,35

8

5,02

3,69

3,12

2,79

2,57

2,41

2,19

2,05

1,83

1,71

1,57

1,00

ν2