Evaluation du Risque en Assurance
1
ère
partie : Assurance dommages
Objectifs: • •
Faire appréhender aux étudiants la mécanique mathématique mathématique qui sous-tend la gestion d’une compagnie d’assurance. Sur des modèles pratiques, leur faire acquérir la démarche d’appréciation actuarielle du risque et de sa tarification.
1
ère
partie : Assurance dommages
Objectifs: • •
Faire appréhender aux étudiants la mécanique mathématique mathématique qui sous-tend la gestion d’une compagnie d’assurance. Sur des modèles pratiques, leur faire acquérir la démarche d’appréciation actuarielle du risque et de sa tarification.
I. L’aspect statistique de l’assurance Pour être qualifiée d’opération d’assurance, une opération doit présenter trois aspects fondamentaux indissociables où elle puise ses caractéristiques et son vocabulaire. Outre l’aspect juridique l’aspect juridique vue que l’opération d’assurance comporte un contrat et l’aspect l’aspect financier financier et économique, économique, il l’aspect statistique l’aspect statistique car l’assureur utilise la loi des grands nombres. Pour pouvoir fournir sa prestation, l’assureur a besoin de répartir sur tous les assurés les conséquences de sinistres survenus à quelques uns d’entre eux. Il effectue cette mutualisation dans le cadre de la loi des grands nombres. nombres . A. Compensation des risques et mutualité En utilisant le schéma général précédent, l’opération d’assurance réduite à un seul contrat ne serait qu’un pari. Contrairement à la prime qui est certaine (connue d’avance), la pres presta tati tion on est est aléatoire (inconnue à l’avance). Elle peut être nulle et l’assureur réalise un petit bénéfi bénéfice ce (la prime) prime).. Mais Mais,, elle elle peut peut être être aussi aussi positi positive ve et engend engendrer rer une perte perte insup insuppor portab table le pour lui. Pour éviter la faillite suite s uite à un sinistre unique, on peut affirmer de manière intuitive que l’assureur doit avoir réuni un grand nombre d’assurés. L’ensemble L’ensemble des assurés forme alors une mutualité au sein de laquelle l’assureur compense les risques. Ce n’est pas une question facile à trancher, car n’augmente-tn’augmente -t-il il pas par la même occasion l’impact de risques catastrophiques ?
Dans ce qui suit, les ssymboles ymboles utilisés auront les significations suivantes suivantes : -
« i » : indice indice désignant désignant le i-ème assuré. Il Il varie varie entre entre 1 et na.
-
: Nombre d’assurés.
-
: prime commerciale payée par i.
-
: la part de la prime pure qui permet, par mutualisation des risques, de payer les sinistres.
-
Le reste de la la prime prime commerciale commerciale est constitué constitué des chargements chargements destinés à financer financer le fonctionnement de l’entreprise.
-
-
: somme des primes pures, connue d’avance, certaine. certaine. : Prestation que peut recevoir l’assuré i. Elle est aléatoire et positive ou nulle.
: Somme des prestations. Elle est aléatoire. aléatoire. L’actuaire cherchera toujours à la prév prévoi oirr avec avec le maxi maximu mum m de préc précis isio ion. n.
B . La loi loi des des g rand rand nombres nombres L’assureur dispose des primes
pour payer les sinistres
. Son équilibre s’est-il s’est-il
amélioré ou n’a-tn’a-t-il il fait qu’augmenter qu’augmenter son risque de catastrophe ? Grâce à la loi des grands nombres nous pouvons répondre à cette question. Lorsque les risques sont identiques et indépendants, indépendants, la loi des grands nombres dit, sous
certaines conditions, que le montant aléatoire
peut être d’autant d’autant mieux mieux prévu prévu que le
nombre d’assurés na est plus grand. Le calcul des probabilités permet ainsi de prouver que si on multiplie le nombre de risques par na , -
L’incertitude absolue est multipliée non par na mais par
-
L’incertitude relative est divisée par
.
.
La mutualisation m utualisation des risques permet donc de dimi di minuer nuer l’incertitude l’incertitude relative qui pèse sur les comptes de l’assureur. En effet, la loi des grands nombres permet d’affirmer que, dans la
réalisation des risques, il n’y a pas trop de variations dans le nombre de malchanceux par rapport à ce qui était prévu initialement.
C. Les conditions d’application de la loi des grands nombres La loi des grands nombres nombres est valable valable pour des des risques identiques et indépendants. indépendants. Dans la pratique, pratique, on l’étend aux risques dits assez homogènes et indépendants que nous pourrions définir par des contre-exemples : -
Une maison et une usine ne sont pas des risques incendie homogènes.
-
Les appartements d’un même immeuble ne sont pas des risques incendie indépendants.
Les notions notions d’homogénéité et d’indépendance dépendent de la garantie. Si les risques assurés ne sont pas suffisamment nombreux, homogènes et indépendants pour que l’assureur puisse prévoir correctement la somme des prestations, autrement autrement dit si la loi des grands nombres ne peut pas s’appliquer, l’assureur doit se réassurer.
D . Traduction T raduction actuari actuari elle elle Le « temps » d’une part et l’ « aléa » qui est lié à la prestation d’autre part sont les paramètres les plus importants dans le schéma général g énéral de l’assurance l’assurance rappelé ci-dessous. Les caractéristiques de ces deux paramètres dans les risques assurables ont conduit à définir deux modélisations et par conséquence deux actuariats : •
un actuariat à court terme et fort aléa
•
et un actuariat à long terme et faible aléa. aléa .
1. Comparaison des deux actuariats -
Le temps / L’écart temporel entre les primes et les prestations est différent : o
Bref (6 mois en moyenne) dans le premier exemple, il permet, en première approximation de ne pas modéliser explicitement les produits financiers.
o
Long (8 ans) dans le second exemple, le temps doit y être modélisé explicitement.
-
Le caractère aléatoire / L’impact d’un écart par rapport à la moyenne de la sinistralité n’a pas la même importance. o
Deux dizaines de décès de plus ou de moins ont un impact important sur le résultat dans le premier exemple car le nombre « espéré » de prestations est égal au (petit) nombre de décès attendus (faible probabilité de décès, donc aléa fort).
o
Il ont beaucoup moins d’importance dans le second exemple car le nombre « espéré » de prestations est égal au nombre des survivants qui est presque égal au nombre des assurés (forte probabilité de survie, donc faible aléa).
2. Choix du modèle actuariel On constate qu’en général, sur les comptes des compagnies d’assurance, les provisions techniques représentent 5 fois les primes en vie et 1,5 fois les primes en non vie. Cela signifie, qu’il s’écoule, en moyenne, 5 ans en vie entre l’encaissement de la prime et le décaissement de la prestation et 1,5 ans en non vie. C’est la raison pour laquelle, traditionnellement : -
On utilise le modèle d’actuariat à court terme et fort aléa en assurance non vie.
-
On utilise le modèle d’actuariat à long terme et faible aléa en assurance vie.
L’assurance en cas de décès sera décrite par le modèle non vie si elle est de durée un an. Autrement, elle sera décrite par le modèle vie tout comme l’assurance en cas de vie.
II. Modèle actuariel simple de l’assurance Les hypothèses de ce modèle sont : -
Durée du contrat modélisé = 1 an,
-
na assurés ont souscrit ce contrat (ou encore na adhérents dans le cadre d’une assurance de groupe).
-
Pour i (i = 1, …, n a),
o
L’assuré paie une prime commerciale
o
La prestation de l’assureur est
en cas de sinistre dans l’année
-
Tous les risques assurés sont de même nature.
-
Ils sont identiques et indépendants (ou à défaut homogènes et peu dépendants).
Sur ce modèle simple, nous montrerons que, même si le risque est correctement tarifé, l’assureur s’expose à un risque de perte, voire, plus grave, à un risque de ruine. Cette situation empire si la tarification n’a pas été maîtrisée. L’assurance temporaire décès d’un an est un exemple de contrat simulable par ce modèle.
A. Aléa et résultat de l’assureur Dans cette partie, le tarif pratiqué par l’assureur est supposé juste. Autrement dit, l’assureur est supposé connaître ex ante l’espérance E X i de la charge aléatoire annuelle des prestations
. La prime pure à payer par chaque assuré i est donc exactement égale à
1. Etude générale Les produits de l’assureur sont : -
les na primes commerciales payées par les assurés :
-
les produits financiers provenant des placements : PF
Les charges de l’assureur sont : -
les prestations éventuellement versées aux assurés :
-
les frais de gestion nécessaires au fonctionnement de l’Entreprise : FG
Son résultat est la différence entre ses produits et ses charges :
où FNG sont les frais de gestion nets des produits financiers.
a) La charge de prestation des n a risques Les na risques étant supposés identiques et indépendants :
et ainsi, la charge annuelle totale de sinistres
X
i
a l’espérance et l’écart type suivants :
Quelle que soit la loi de Xi, le théorème de la limite centrale permet d’affirmer que la loi de :
ou encore que :
tend vers une loi normale centrée et réduite lorsque na tend vers l’infini. Par conséquent, il y a 99,9% de chances que :
ou encore, en notant Ia, l’incertitude absolue et Ir, l’incertitude relative :
Application: -
Lorsqu’on prévoit que o
vaudra environ
L’incertitude absolue Ia, mesurée par
, , soit
varie comme
.
o
L’incertitude relative I , mesurée par r
varie comme o
, soit
.
Ainsi, lorsque le nombre d’assurés est multiplié par 100, l’incerti tude absolue est multipliée par 10 seulement. L’incertitude relative est quant à elle divisée par 10. C’est la traduction de la loi des grands nombres.
,
L’incertitude relative
o
est plus intéressante à étudier
que l’incertitude absolue
car, c’est en proportion du chiffre
d’affaires que s’apprécient les gains et les pertes et non en montants. o
Pour un nombre n a d’assurés donnés, l’incertitude relative est d’autant plus
petite que l’écart relatif
est petit.
b) Les primes des na risques L’assureur encaisse, au total, les primes commerciales
. Ces primes doivent
servir à financer les sinistres, les frais et le résultat de l’assureur : . L’usage actuariel traduit cette préoccupation en décomposant la prime commerciale
en
trois termes :
soit encore :
où : -
Avec l’ensemble des primes pures , l’assureur espère faire face à la charge des prestations.
-
Avec l’ensemble des chargements de gestion
, l’assureur espère faire face à tous
ses frais de gestion c’est-à-dire à ses frais d’acquisition (commissions payées aux intermédiaires, etc.) et à ses frais d’administration (salaires de son personnel, etc.). frais étant diminués des produits de placement. -
Avec l’ensemble des chargements de sécurité à un écart éventuel entre la charge réelle des prestations , et donc dégager un bénéfice.
, l’assureur espère faire face et la charge probable
''
c) Les frais de gestion et les produits financiers sont prévisibles avec exactitude L’hypothèse sim plificatrice que nous effectuons est que les frais de gestion sont compensés globalement avec exactitude par les ressources que sont les chargements de gestion et les produits financiers. Cette hypothèse est raisonnable dans la mesure où la différence entre les frais de gestion et les ressources citées est négligeable devant l’aléa résultant de la sinistr alité. Par ailleurs, l’assureur peut intervenir pour contenir ses frais nets dans l’enveloppe des chargements, alors qu’il est difficile de limiter les sinistres des assurés.
d) Le résultat de l’assureur Le résultat de l’assureur Rn est une variable aléatoire : a
Son espérance et son écart-type sont les suivants :
D’après le théorème de limite centrale,
suit une loi approximativement normale centrée réduite.
2. Le risque de perte L’assureur peut faire une perte avec la pr obabilité suivante :
-
L’assureur peut diminuer sa probabilité de perte en augmentant
. Il peut
chercher à le faire en : o
Augmentant na, pour un risque de nature donnée tarif donné
et un
. Cette augmentation du nombre des assurés peut altérer
l’homogénéité des assurés qui avait permis de construire un tar if équilibré. o
Augmentant donnée
o
et donc la prime commerciale, pour un risque de nature et un nombre d’assurés donnés (na donné).
Améliorant le risque en donnant des conseils de prévention.
-
En l’absence de chargement de sécurité, l’assureur fera une perte en moyenne un exercice sur deux. o
En effet, comme
et comme les lois normales sont des lois
symétriques par rapport à leur espérance, on a :
o
Le chargement de sécurité est nécessaire pour permettre à l’assureur de faire, en moyenne, un bénéfice plus d’un exercice sur deux.
o
-
Un assureur ne doit donc jamais tarifer « à prix coûtant ».
Un événement qui a une chance sur 1000 de se réaliser est, en général, considéré comme pratiquement impossible. Une perte sera donc pratiquement impossible si :
o
En pratique,
est rarement supérieur à « 3,1 ». L’assureur ne peut donc jamais
exclure de faire une perte.
3. Le risque de ruine Comme l’assureur peut réaliser des pertes, il doit disposer de fonds propres (ou marge de solvabilité) pour pouvoir faire face à ces pertes éventuelles. La ruine survient si la perte annuelle dépasse le montant des fonds propres FP. Sa probabilité est égale à :
En appelant impossible si
coefficient de sécurité, la ruine sera dite pratiquement .
Donc, pour des risques de nature donnée coefficient de sécurité
à un niveau satisfaisant :
, l’assureur doit porter le
-
en augmentant les fonds propres FP par appel auprès des actionnaires. Cette possibilité n’est pas illimitée car, pour un chiffre d’affaires donné, plus les fonds propres sont importants, plus le dividende versé par action est faible.
-
En augmentant le chargement de sécurité
qui implique une augmentation de la
prime commerciale qui pourrait impliquer la fuite des assurés vers la concurrence. -
En augmentant le nombre des assurés na. Mais cette possibilité est, en général, limitée par la taille du marché, la concurrence et suppose que tarif soit exact c’est-à-dire que .
4. Diminution du risque de ruine par la réassurance Les mesures évoquées jusqu’ici que peut prendre un assureur pour diminuer son risque de ruine ne sont pas faciles à mettre en œuvre et/ou nécessitent des délais. Une autre mesure est possible et ne nécessite pratiquement pas de délai : l’assureur peut se réassurer (c’està-dire transférer une partie des risques assurés à un réassureur). En ce faisant, il diminue cependant son espérance de bénéfice.
5. La réassurance en quote-part En réassurance en quote- part, l’assureur cède une part déterminée de chaque prime au réassureur qui, en contrepartie, s’engage à payer la même part de chaque sinistre. Quelle que soit le risque assuré, la part cédée est constante. En appelant le coefficient de rétention de l’assureur, nous supposons que,: -
L’assureur cède une partie
-
En contrepartie, l’assureur se voir rembourser conserve à sa charge
-
de ses primes et conserve donc
de ses sinistres, mais
.
Le réassureur reverse à l’assureur une partie
des primes cédées
.
c ,r
appelée commission de réassurance,
, en compensation des chargements de gestion que lui a
cédés l’assureur. Avant réassurance, le résultat de l’assureur était égal à :
Après réassurance, son résultat devient :
La réassurance en quote-part a pour but de diminuer le risque de ruine, au prix, généralement, d’une diminution de l’espérance de bénéfice. Cas où C = gr On vérifie que Par ailleurs, dans tous les cas,
, alors
. .
Par conséquent : -
L’espérance de bénéfice est moindre qu’avant réassurance :
-
En contrepartie, le résultat est moins dispersé et le coefficient de sécurité augmenté :
d’où :
Remarques - Si l’assureur cède 100% de ses risques, il ne court plus aucun risque de ruine, mais il ne peut non plus espérer de bénéfice. - Dans le cas d’une réassurance en quote-part, il existe un coefficient de rétention maximal si l’assureur veut raisonnablement exclure d’être ruiné :
B . Tarification Dans le cas le plus courant et contrairement à ce que nous avons supposé jusqu’ici, l’assureur ne connaît pas la prime pure. Il doit bâtir son tarif en utilisant une estimation
ˆ
de la prime
pure. Il écrit donc :
L’estimateur ˆ peut différer sensiblement de l’espérance de la charge annuelle des sinistres E(X). En cas de sous-tarification (ˆ
ˆ serait positif.
C . A pplic ation E rreur de tari fic ation Un assureur propose à un groupe de 10 000 assurés la même garantie C =100 000D pour la même prime commerciale
Il a des frais de gestion de 3,5 MD que l’assureur
précédent. Mais, il a commis une erreur de tarification : ses assurés ont une probabilité de décéder dans l’année qui n’est pas de 1% mais de 1,5%. Quelle probabilité cet assureur non réassuré a-t-il de faire une perte ou de se ruiner ? Le résultat aléatoire de l’assureur est :
Son espérance est :
Le coefficient de sécurité est :
FP = 1 millions Le risque de ruine est : soit 99,79%. Sa ruine est donc pratiquement certaine.
Pour tarifer, il est nécessaire de disposer de données. Il faut en particulier connaître une réalisation xi de la charge aléatoire moyenne de sinistres X i (relative à na risques assurés soit plus généralement à n0 risques observés, assurés ou non).
1. Tarification de risques homogènes La tarification doit évidemment chercher à ce que la prime pure estimée, que possible de la prime pure
ˆ , soit aussi proche
E X dans chaque catégorie de risques de même nature.
L’assureur observe une réalisation de la charge aléatoire moyenne relative à n0 risques identiques et indépendants. Estimation ponctuelle : La prime pure estimée,
ˆ , est égale tout simplement à la réalisation
E X
x de la charge aléatoire moyenne X . En effet, E X
estimateur non biaisé de E(X)).
(On dit que X est un
Lorsque les risques ne sont pas identiques mais homogènes, ce qui précède pourrait être reformulé avec E(X ) dépendant de i, en cherchant à estimei uniforme.
ˆ = valeur moyenne des E(X )i On a généralement des raisons de penser que la prime pure n’est pas identique pour tous les risques, mais varie en fonction d’un ou plusieurs facteurs Z, Z’, Z’’… En assurance décès, Z peut être l’âge, Z’ le sexe, Z’’ la profession … En assurance habitation, Z peut être la surface assurée, Z’ peut être la zone de résidence, Z’’ le type d’habitation… En assurance auto, Z peut être la puissance du véhicule, Z’ la zone de circulation, Z’’ l’usage qui est fait du véhicule… La tarification doit en principe chercher à ce que de E X Z
ˆ z , z ', z ' ' soit aussi proche que possible
z ....
Cette nécessité n’est pas de nature morale, mais de nature technique : l’assureur doit éviter une antisélection des risques (Cf. Exemple sur la sous tarification). On peut vouloir tarifer le décès en fonction non seulement de l’âge Z, mais aussi du sexe Z’, de la profession Z’’ : 50 âges, 2 sexes, 20 professions. De même, en auto, la fréquence des sinistres et étudiée en fonction de la puissance du véhicule, de la zone de circulation, de l’usage qu’en fait le conducteur principal, de l’âge du véhicule, de l’ancienneté du permis de conducteur principal. Estimer séparément les
avec 50 modalités pour Z, 2 pour Z’ et 20
pour Z’’ reviendrait à estimer 50*2*20 = 2 000 primes pures. Comme il n’est pas évident de réunir assez d’observations pour chacune de ces primes pures, il est usuel de commencer par modéliser l’influence de chaque facteur pris isolément. Enfin, les observations du passé permettent d’estimer la prime pure du passé. Mais les risques évoluent (en assurance santé, par suite des progrès de la médecine, en assurance auto, par suite de l’amélioration du réseau routier…). Il est donc souhaitable de disposer de statistiques sur une longue période afin d’extrapoler l’évolution passée et d’étudier les facteurs qui influent sur l’évolution du risque. Néanmoins, la tarification ne pourra pas toujours être aussi adaptée à l’évolution du risque qu’il serait techniquement souhaitable : des contraintes commerciales (imposés dans certains pays par suite de considérations économiques) peuvent freiner cette adaptation.
r une prime
III.Modèle actuariel de l’assurance auto A. Aléa et résultat de l’assureur Nous allons reprendre les notations adoptés dans le modèle simple. Nous supposerons, comme dans cette partie de description du modèle simple qu’il n’y a pas d’erreur sur la tarification. Par conséquent, est supposée exactement connue :
1. Modèle Fréquence-Coût Adoptons les nouvelles notations suivantes : K : nombre total de sinistres de l’assuré i au cours de l’année. Ki est une variable aléatoirei entière positive. j : un sinistre quelconque de l’assuré i (j = 1,…, Ki). Yi,j : coût aléatoire de l’éventuel j-ème sinistre imputable à l’assuré i. La charge annuelle de prestations Xi imputable à l’assuré i est la somme d’un nombre aléatoire Ki de coûts aléatoires de sinistres Yi,j.
Les prestations sont la somme d’un nombre aléatoire de sinistres dont les montants sont euxmêmes aléatoires. Dans le cas général, qui est celui de l’auto, pour chaque assuré i, nous avons remplacé l’étude d’une variable aléatoire Xi par l’étude de Ki+1 variables aléatoires : -
le nom bre aléatoire Ki des sinistres de l’assuré i,
-
le coût aléatoire Yi,j de chacun des Ki sinistres éventuels de l’assuré i.
2. Nombre des sinistres
a) Nombre des sinistres d’un assuré Le nombre de sinistres Ki de chaque assuré i est en général modélisé en utilisant une loi de Poisson pour sa commodité (un seul paramètre), mais aussi parce qu’elle peut se construire à partir d’une hypothèse unique : la probabilité de survenance d’un sinistre dans le futur proche est proportionnelle à la durée envisagée et ne dépend pas des observations passées. Supposons que le nombre des sinistres de chaque assuré suive une loi Poisson et d’écart type
.
d’espérance
b) Nombre total de sinistres Soit Ns le nombre total de sinistres tous assurés confondus. C’est la somme des sinistres de chacun des assurés :
Dans le cadre du modèle de Poisson, Ns suit une loi de Poisson P n
d’espérance na et a
d’écart-type
.
c) Fréquence des sinistre des na assurés La fréquence des sinistres des na assurés est le nombre aléatoire de sinistres Ns rapporté au nombre certain d’assurés na. Cette fréquence est une variable aléatoire dont l’espérance
est appelée la fréquence probable. Dans le cadre du modèle de Poisson, on a :
3. Coût des sinistres Le montant Y d’un sinistre est une variable aléatoire dont l’espérance E(Y) est appelée le coût probable d’un sinistre. Dans le cas de l’assurance décès étudié dans le modèle simple, le montant Y d’un sinistre, le capital
c,
était
un
montant
certain.
Dans
ce
cas
. On pourra s’y ramener dans le cas où
particulier,
on
est petit.
En général, on ne disposera pas d’une fonction de répartition théorique mais d’une fonction de répartition d’origine statistique, éventuellement ajustée. Cette fonction de répar tition, quelle que soit son origine (statistique sur un très grand nombre d’observations, ajustements), est considérée dans cette partie comme étant exacte. Les fonctions de répartition sont présentées généralement par tranche de coût. Il existe deux présentations équivalentes : une forme densité de distribution et une forme répartition cumulée.
avait
a) Présentation de la densité de distribution La présentation de la densité de distribution comprend trois colonnes, tranches de coûts, nombres, coûts (Voir exemple ci-dessous).
Lorsque le nombre de sinistres total, toutes tranches confondues, vaut 1 000, le nombre de sinistres d’une tranche divisé par 1 000 est la probabilité qu’un sinistre soit dans la tranche de coût en question : il y a donc une probabilité de 12,9% qu’un sinistre ait un coût compris entre 0 et 1 000. On peut obtenir le coût moyen des sinistres dans chaque tranche en divisant simplement le coût total des sinistres de la tranche par le nombre de sinistres de la tranche :
Le coût moyen est, en général, différent du centre de la tranche comme le montre le tableau et les confondre serait une erreur.
Dans cette distribution, le centre de la tranche est souvent supérieur au coût moyen. Par exemple, dans la tranche 10 000 à 50 000, le centre de la tranche est 30 000, alors que le coût
moyen est 17 258. Ceci indique qu’il y a, dans cette tranche, plus de petits sinistres que de grands sinistres.
b) Présentation de la répartition cumulée Reprenons l’exemple précédent en utilisant cette méthode de présentation :
c) Dissymétrie de la distribution et ajustements possibles La distribution précédente est très dissymétrique, ce qui peut en particulier s’observer en constatant que, dans cette distribution, la médiane est très au-dessous de la moyenne : -
La médiane (coût du 500 sinistre et celui du 702
-
ème
sinistre sur 1 000) est comprise entre le coût du 295
ème
, donc dans l’intervalle 2 000 D – 3 000 D.
La moyenne, estimation de E(Y), est de 3 452 D (coût total divisé par le nombre total de sinistres).
En effet, un très petit nombre de sinistres est à l’origine d’une partie im portante du coût (et de l’essentiel de l’écart-type) : les sinistres de plus de 10 kD sont à l’origine de 24% du coût probable (et de l’essentiel de l’écart-type). Il est donc naturel de chercher une modélisation des distributions de sinistres en considérant le logarithme du montant des sinistres. Les deux lois que sont la loi log-normale et la loi de Pareto sont usuelles : -
La loi log-normale se définit simplement (ln Y suit une loi normale).
-
La loi de Pareto se définit tout aussi simplement (le logarithme du nombre de sinistres dépassant y est une fonction linéaire de ln y ) et ne dépend que d’un s eul paramètre.
d) Sinistres de faibles montants Les lois log-normales ou de Pareto ne permettent jamais d’ajuster et de modéliser toute la distribution des sinistres mais uniquement les sinistres supérieurs à un certain montant. La raison en est que les sinistres de trop petit montant ont une existence statistique incertaine.
ème
Selon qu’une clause de bonus-malus ou de franchise est présente ou non, l’assuré déclarera ou pas les sinistres de faibles montants. Inversement, l’assureur ne s’intéresse qu’aux sinistres qui sont supérieurs à la franchise laissée à la charge de l’assuré par le contrat d’assurance. De même le réassureur en excédent de sinistres s’intéresse essentiellement aux sinistres (supérieurs au plein de conservation) laissés à sa charge par le contrat de réassurance.
e) Calcul de E(Y) Nous avons vu que les sinistres y sont rangés par classe. On j directement :
a évidemment
. Si l’on veut calculer E(Y) comme moyenne des valeurs que peut prendre Y pondérées par les probabilités que Y prenne ces valeurs, il faut veiller à remplacer les sinistres d’une classe par le coût moyen de la classe :
f) Calcul de Pour calculer
2
connaissant E(Y), il suffit de calculer E(Y ). Pour ce faire, il ne faut pas
remplacer les sinistres d’une classe par le centre de la classe ni par le coût moyen de la classe. Pour trouver, à défaut de la valeur exacte, une valeur plus prudente, on peut remplacer, dans chaque tranche ymin , ymax , une proportion 1 des sinistres de la tranche par des sinistres de montant ymin et la proportion α restante par des sinistres de montant ymax, en choisissant α de manière à ne pas modifier y. Ainsi, α est défini par :
y
2
y
j
1 ymin
ymax
(d’où
1S
y ymin
ymax
2
n y
min
)
ymin
2
max n y
S
Tranches de coûts 0 à 1 000 1 000 à 2 000 2 000 à 3 000 3 000 à 4 000 4 000 à 5 000 5 000 à 10 000 10 000 à 50 000 50 000 à ∞ TOTAL
2
Variance de Y = E (Y )-[E(Y]
Nombres 129 165 408 108 56 90 43 1 1 000
y
Coûts 62 128
2
n
62 128 000
241 610 394 830 000 1 101 051 3 057 255 000 376 221 1 337 547 000 251 965 1 147 685 000 590 219 4 353 285 000 742 088 23 025 280 000 86 289 7 445 791 521 3 451 571 40 823 801 521
2
En appliquant la formule précitée, on obtient un écart -type égal à 5 377 D, alors qu’on obtiendrait 4 244 D avec la formule faisant intervenir les carrés des coûts moyens de chaque tranche (formule plus simple, mais qui donne un résultat inférieur au résultat réel).
4. Charge globale des prestations Nous avons déjà vu que le coût aléatoire X des prestations relatifs à l’assuré i est la sommei d’un nombre aléatoire Ki de sinistres qui ont chacun un coût aléatoire Yi,j :
Il reste à étudier l’espérance de Xi (la prime pure) et son écart-type.
a) Identification des sinistres d’un assuré La prestation aléatoire -
relative aux na assurés peut s’écrire de deux manières :
en continuant de distinguer les sinistres de l’assuré i des sinistres relatifs aux autres assurés :
-
en cessant de distinguer les sinistres d’un assuré des sinistres d’un autre assuré sachant na
que N s
K i
:
i1
La première des deux représentations des sinistres des assurés constitue un modèle individuel utile pour les problèmes de bonus-malus, alors que la deuxième constitue un modèle collectif.
b) Analyse de la charge des prestations de n a assurés (1) La charge probable Sous réserve que les différents sinistres Yi,j soient indépendants et de même loi, notamment de même coût probable E(Y)=E(Yi,j), en notant Ns le nombre total de sinistres des na assurés, on montre que :
d’où :
La prestation probable par assuré (ou prime pure) est le produit du nombre probable des sinistres par assuré (ou fréquence probable) par le coût probable d’un sinistre.
(2) Ecart-type de la charge Dans le cas où le nombre de sinistres Ns suit une loi de Poisson de paramètres
,
Cette formule est conforme à l’intuition, du moins dans les deux cas extrêmes que sont la RC auto, où -
est considérable, et la branche temporaire décès où
En effet, en RC auto
est nul.
, donc la formule se lit :
Ainsi, en RC auto, la variance de la prestation est à peu près égale au produit de la variance du nombre de sinistres par la variance du coût d’un sinistre. -
Cette dernière formule n’est pas vrai dans tous les cas. En décès (capital c en cas de décès), la formule initiale devient :
et en prenant la moyenne par assuré :
5. Etude d’un plafond et d’une franchise
La catégorie de risques étudiée comporte 20 000 assurés avec une fréquence de sinistres de 8 % (cela fait 1 600 sinistres par an ; rappelons que le tableau ci-dessus est établi par pure commodité sur la base de 1 000 sinistres). Calculons la prime pure :
a) Etude d’un plafond Supposons que l’assureur se fasse réassurer en excédent de sinistres. Au-delà d’un plafonds, appelé priorité, le réassureur prend en charge le sinistre. Prenons comme priorité 10 kD et supposons qu’il n’y ait pas de franchise. Le tableau ci-après présente le partage de la prise en charge d’un sinistre Y.
Ce tableau se résume à dire que l’assureur prend à sa charge max (0 ;Y-Pl) et la distribution devient :
La prestation probable devient :
b) Etude d’une franchise Supposons que l’assureur décide d’appliquer une franchise fr de 5 000 D. Le tableau ci-après présente le partage de la prise en charge d’un sinistre Y entre l’assureur et l’assuré.
Ce tableau se résume en disant que l’assureur prend à sa charge max (0 ; Y-fr) et la distribution devient :
-
-
En continuant d’appeler sinistres les événements où l’assureur ne dépense rien, o
La fréquence probable reste de 8%,
o
Le coût probable d’un sinistre devient :
o
la prestation probable devient :
En cessant d’appeler sinistres les événements où l’assureur ne dépense rien, o
La fréquence probable tombe à :
o
Le coût probable d’un sinistre devient :
o
la prestation probable devient :
6. Cas des sinistres à écart-type non borné Les sinistres de montant élevé étant en nombre trop faible pour générer des statistiques stables et fiables, l’actuaire éprouve le besoin de lisser les observations, par exemple en les ajustant avec une loi classique (Pareto, log normale,…). Or, l’ajustement peut conduire à utiliser une variable aléatoire dont l’écart-type serait infini : c’est fréquemment le cas en assurance auto. Dans ce cas, la charge cumulée des sinistres n’est plus approximable par une loi normale car les conditions d’application des grands nombres ne sont plus vérifiées et le calcul du coefficient de sécurité β m’a plus le même sens. La mesure du risque peut alors être appréhendée en estimant la charge cumulée des sinistres par une série de simulations. La théorie des grands nombres est cependant suffisante pour l’assureur. Si le montant d’un sinistre n’a pas d’écart-type fini, une réassurance en excédent de sinistre permet de borner l’écart-type qui reste à la charge de l’assureur. Les problèmes de simulation évoqués ci-dessus concernent donc essentiellement le réassureur.
B . La tari fic ation et la s eg mentation du tari f 1. La tarfication L’étude complète exposée dans le cadre du modèle simple reste bien entendu valable. Contrairement à l’hypothèse de la section précédente, l’assureur ne connaît pas la valeur de l’espérance de la charge de sinistre et donc ne connaît pas la prime pure. Il doit en conséquence bâtir son tarif en utilisant une estimation
ˆ
de la prime pure qui peut différer
sensiblement de l’espérance de la charge annuelle de sinistres E(X). Il est toutefois plus efficace d’estimer séparément la fréquence probable et le coût probable plutôt que la seule prime pure. En effet : -
La fréquence probable est plus rapide à estimer que le coût probable : ainsi en auto, le nombre des sinistres est connu en temps réel (au délai de courrier près), tandis que le coût des sinistres corporels ne peut être estimé avec précision qu’après plusieurs
années, lorsque les blessures des victimes sont consolidées, et que le juge a rendu ses décisions. -
Les facteurs expliquant l’évolution de la fréquence probable au cours du temps sont différents de ceux expliquant l’évolution du coût probable : ainsi, en auto, la fréquence probable est influencée par des mesures de sécurité routière et décroît si celle-ci sont efficaces, tandis que le coût probable varie principalement en fonction de l’inflation et augmente de manière continue.
2. Anti-sélection et segmentation tarifaire La charge probable de prestations du risque i est une grandeur inconnue. L’assureur doit donc l’estimer à priori alors qu’il ne pourra observer qu’a posteriori la charge effective du risque i : La qualité de prévision pour un portefeuille se heurte aux deux risques d’antisélection : -
celle découlant de la diversité de la segmentation pratiquée par les assureurs.
-
Celle découlant de la dissymétrie de l’information entre l’assuré et l’assureur (l’assuré bénéficie d’une meilleure connaissance de son risque et, dans une assurance non obligatoire, peut choisir de ne pas s’assurer).
Les critères de tarification sont nombreux et font courir à l’actuaire tarificateur dont le rôle est d’estimer la charge individuelle probable des prestations deux risques d’antisélection : •
Antisélection interne liée à la dissymétrie de l’information : connaissant mieux son risque, l’assuré peut choisir de ne pas s’assurer ou de s’assurer partiellement (sauf cas des assurances obligatoires).
•
Antisélection externe liée à la diversité des segmentations pratiquées par les assureurs.
Ces deux risques sont par ailleurs fortement liés car la finesse et la diversité des segmentations augmentent le niveau d’information des assurés et leur capacité d’évaluer leur propre risque. En pratique, l’actuaire qui cherche à définir des classes de risques homogènes, dispose de 2 grandes classes de variables : • Les variables exogènes, c’est-à-dire les informations relatives au risque (Age de l’assuré, son activité professionnelle, la zone géographique de circulation, le groupe et la classe du véhicule…), à l’exclusion de toute donnée relative aux réalisations du risque. •
Les variables endogènes, c’est-à-dire les informations relatives aux réalisations du r isque (passé sinistres de l’assuré…).
ANNEXES
IV.
Rappels A . Probabilités 1. Addition des variables aléatoires
-
: sans aucune condition.
-
: si X1 et X2 sont indépendantes.
-
Si X1, X2, …, Xn sont des variables aléatoires indépendantes de même espérance E(X) et de même écart-type ( X ) : o
o
Leur somme
D’espérance :
De variance :
D’écart-type :
Leur moyenne
est une variable aléatoire
est une variable aléatoire
D’espérance :
D’écart-type :
En outre, (théorème de la limite centrale), la loi loi normale quand n devient grand.
2. Loi normale
-
Définition où P est la probabilité : o
o
tend vers une
-
Loi centrée et réduite : o
Elle suit la loi est tabulée
o
-
Addition : Si X suit N (m1, 1) et Y suit
, X et Y étant indépendantes, alors
X+Y suit une loi normale
3. Loi de Bernouilli -
Définition : o
X = 1 avec une probabilité p et X = 0 avec une probabilité (1-p)
o
E(X) = p et
4. Loi binomiale -
Définition : , où les Xi constituent un échantillon d’une loi
o
B(1, p) B(1, p) . o
-
E(X) = np et
Addition : Si X suit une loi B(n1, p) et Y suit une loi indépendantes, alors X+Y suit une loi
-
.
Approximation : Si n est grand et si p est petit, alors X suit à peu près une loi normale .
5. Loi de Poisson de paramètre -
Définition :
Les probabilités que X prenne les valeurs 0, 1, 2, … varient comme suit :
et -
, X et Y étant
et
.
- Addition : Si X suit une loi P (1) et Y suit une loi alors X+Y suit une loi
, X et Y étant indépendantes,
.
6. Le calcul des probabilités et la prévision du résultat -
X1, X2, …, Xn étant des variables aléatoires indépendantes de même espérance E(X) et de même écart-type
. En pratique, le théorème de la limite centrale permet de
considérer que : o
La charge moyenne centrée et réduite :
o
Et par conséquent que la charge totale centrée et réduite :
suivent une loi normale centrée réduite si n est suffisamment grand. -
En se reportant aux tables de la loi normale centrée réduite, on peut lire que : o
o
o
o
o
Ainsi, il y a 99,9% de chances que :
Soit
qui tend vers 0 quand n tend vers
l’infini.
On peut donc prévoir une réalisation future de et
si l’on connaît E(X)
( X ) et si le théorème de la limite centrale s’applique.
Il
y
a
ainsi
99,9%
de
chances
que :
7. Le calcul statistique et la tarification -
Inversement, si l’on a observé une réalisation x de X et une estimation de
( X ) , on
peut estimer E(X) et si le théorème de la limite centrale s’applique, il y a par exemple 95% de chances que :
-
Grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff, valable pour toute variable aléatoire, donc pour x , le résultat précédent peut être généralisé qualitativement au cas où l’approximation du théorème de la limite centrale ne s’applique pas.
8. Importantes remarques pratiques -
Il est important de distinguer à chaque fois : o
X d’espérance E(X), d’écart-type
d’espérance nE(X) et d’écart-type
o
o
-
-
.
d’espérance E(X) et d’écart-type
. .
Il ne faut pas non plus confondre les trois notions suivantes : o
La moyenne aléatoire
.
o
La moyenne observée
o
La moyenne probable E(X).
.
Les mots « fréquence moyenne » et « coût moyen » qui reviennent souvent dans le vocabulaire usuel désigneront, suivant le contexte, l’une ou l’autre des ces notions.
B . Mathématiques financi ères 1. Intérêt simple L’intérêt I relatif au prêt d’un capital c pendant une durée t et au taux i est dit simple lorsqu’il est payé en une seule fois (à terme échu ou d’avance) et qu’il est proportionnel à la durée du placement :
I = cti
2. Intérêts composés Un placement est fait à intérêts composés lorsqu’à la fin de chaque unité de temps (le plus souvent une année), l’intérêt sim ple obtenu au cours de la période est ajouté au capital pour porter à son tour intérêt simple pendant la période de temps suivante.
Si un capital c0 est placé à intérêts composés au taux i pendant k années, alors le capital acquis ck sera égal à : -
ck est appelé valeur acquise du capital c0.
-
c0 est appelé valeur actuelle du capital ck .
-
Capitalisation :
&
Actualisation :
3. Valeur acquise, valeur actuelle d’un ensemble de flux financiers Soit une opération qui génère les flux financiers (positifs ou négatifs) suivants :
-
Valeur acquise à la date finale t f , au taux d’intérêt i :
-
Valeur actuelle à la date t 0, au taux d’intérêt i :
4. Sensibilité de la valeur actuelle d’un ensemble de flux financiers au taux d’intérêt
Le cas où une petite modification de i ne modifie pas la valeur actuelle correspond au cas où cette quantité est nulle : Les expressions suivantes sont alors équivalentes : -
une petite modification de i ne modifie pas V :
-
la duration des flux D est nulle :
-
la duration des flux positifs est égale à la duration des flux négatifs.
V. Bibliographie « Calculs élémentaires de l’assurance vie » – Ouvrage écrit par Mr Thierry Poincelin – Edition « Economica ». « Théorie et pratique de l’assurance vie » - Ouvrage écrit par Mr Pierre Pétauton – Edition « Dunod » (2ème édition). « Les outils de l’actuariat vie » - Ouvrage écrit par Messieurs Alain Tosetti, François Weiss et Thierry Poincelin – Edition « Economica ». « Théorie de l’assurance dommages » - Ouvrage écrit par Mr Pierre Pétauton – Edition « Dunod ». « Les formules mathématiques de base de l’assurance » - Ouvrage écrit par Mr Christian Harig – Edition Economica.
2
ème
partie : Assurance vie
OBJECTIFS: • •
Faire appréhender aux étudiants la mécanique mathématique qui sous-tend la gestion d’une compagnie d’assurance. Sur des modèles pratiques, leur faire acquérir la démarche d’appréciation actuarielle du risque et de sa tarification.
I. INTRODUCTION Les principaux contrats en assurance vie ont un caractère d’épargne et sont de longue, voire de très longue, durée, durée pendant laquelle les bases tarifaires ne sont pas révisables. En outre, le paiement de la prestation dépend en général de la survie de l’assuré, événement qui a une forte probabilité, contrairement à l’assurance non-vie, où les sinistres ont de faibles probabilités. C’est peut-être pour cette raison que l’usage actuariel de prise en compte d’un chargement de sécurité afin de diminuer le risque de perte ou de ruine suite aux fluctuations aléatoires de la sinistralité diffère entre l’assurance non-vie et l’assurance vie : -
En non-vie, le chargement de sécurité est explicite et égal à « Alpha ».
-
En vie, le chargement de sécurité est usuellement implicite et découle d’un choix prudent des taux d’intérêt et des tables de mortalité.
II. ALEA ET RESULTAT DE L’ASSUREUR Dans cette première section, l’assureur est supposé connaître ex-ante l’espérance de la charge annuelle des prestations. Cette connaissance lui permet de calculer la prime pure qui annule l’espérance de son résultat. Nous mesurerons l’aléa auquel l’assureur est confronté. Pour modéliser cet aléa, il est nécessaire d’effectuer des hypothèses sur le taux d’intérêt utilisé, sur la table de mortalité employée et sur les frais de gestion payés. A cette occasion, nous serons amenés à définir les principales probabilités viagères et à formuler un principe de calcul des primes à l’aide du concept, fondamental en assurance vie, de valeur actuelle probable. Enfin, nous étudierons l’impact de l’aléa de mortalité et le comparerons à celui d’une erreur de taux ou de table.
A . Les probabi lités viag ères Contrairement à ce qui a été fait dans l’exemple précédent où la prime commerciale une donnée, il est usuel en assurance vie de déterminer
était
''
de telle manière que l’espérance
du résultat soit nulle. C’est le choix réputé prudent des hypothèses (Taux d’intérêt, Table de mortalité et Chargement de gestion) qui induit implicitement un chargement de sécurité et une espérance de résultat positive. Afin de pouvoir calculer ces primes, nous avons besoin de définir les probabilités viagères fondamentales.
''
1. Les probabilités de survie (et de décès) pour un individu d’âge x Considérons l x assurés d’âge x à l’époque 0 dont chacun a une probabilité p de vivre jusqu’à l’âge x+k qu’il atteindra à l’époque k . Le nombre d’assurés vivant à l’époque k est une variable aléatoire (binomiale de paramètres l x et p). Son espérance est l x p, que l’on peut noter l x+k , nombre probable de vivants à l’âge x+k . -
La probabilité pour qu’un individu d’âge x à la date 0 survive jusqu’à l’âge x+k qu’il
atteindra à la date k est donc: -
.
La loi de survie de l’individu d’âge x est ainsi définie par la table de mortalité :
ω étant l’âge extrême de la vie humaine, en pratique environ 110 ans selon les tables (Comme exemples de tables de mortalité, voir, en annexe 1, les tables françaises TV 88-90, TD 88-90 et TPRV 93). -
La probabilité que l’individu d’âge x décède avant la date k est :
-
La probabilité que l’individu d’âge x à la date 0 décède entre la date k et la date k+k’ est :
2. Les hypothèses : Taux d’intérêt, Table de mortalité, Frais de gestion Pour calculer la prime, nous supposerons connaître le taux d’intérêt i, la table de mortalité l x et les frais de gestion. Nous examinerons alors dans quelle mesure, sous ces hypothèses supposées exactes, le résultat est aléatoire.
B . L’aléa de la mortalité compar é aux autres err eurs de tarification La valeur actuelle des prestations de l’assureur (actualisée au taux i et à la date de souscription) est une variable aléatoire dont la prime doit être l’espérance mathématique (la valeur actuelle probable). En promettant une garantie, l’assureur prend deux risques :
-
se tromper dans l’estimation de l’espérance mathématique (par un mauvais choix du taux ou de la table).
-
Enregistrer une charge de prestation (très) supérieure à la vraie valeur moyenne, supposée convenablement estimée.
Nous étudierons successivement ces deux risques au regard des trois principaux types de garanties d’assurance : le Capital Différé, la Temporaire Décès et la Rente Viagère.
1. Le capital différé
a) Le contrat et le résultat de l’assureur A t = 0, l’assureur souscrit na contrats identiques dans chacun desquels un assuré verse une prime unique pure л. En contrepartie, l’assureur s’engage à verser c à la date t = k ans à chaque assuré vivant. En notant N v le nombre aléatoire des survivants (qui suit une loi binomiale – approximativement normale d’espérance na p variable aléatoire :
Avec
na
l xk ), le résultat de l’assureur est la l x
b) La prime La prime qui correspond à une espérance du résultat nulle est obtenue comme suit :
La prime pure л calculée apparaît comme la valeur actuelle probable (V.A.P.) de la prestation. Cette notion de VAP est un outil fondamental en assurance vie pour mesurer les engagements susceptibles d’être pris par l’assureur et l’assuré.
c) Application numérique Un assuré d’âge x = 40 ans souscrit un capital différé de montant c = 100 000 D payable dans k = 8 ans s’il est vivant à cette date. L’expression théorique de la prime telle que déterminée plus haut est :
En utilisant les trois tables TD 60-64, TD 88-90, TV 88-90 et les deux taux d’intérêt 3,5% et 7%, on obtient les résultats théoriques suivants :
Une erreur dans le choix de la table de mortalité n’est pas très grave. Par contre, une erreur dans le choix du taux d’intérêt peut avoir de lourdes conséquences. Cette situation est typique des contrats qui ont essentiellement un caractère d’épargne.
d) L’aléa de la mortalité On suppose maintenant que la bonne estimation de la valeur actuelle probable est obtenue avec TV 88-90 et i = 3,5% et que l’assureur gère n = 10 000 contrats identiques souscrits simultanément par des assurés de même âge. La charge des prestations sur un contrat est une variable aléatoire X qui prend à la date k les valeurs :
-
c avec la probabilité
-
0 avec la probabilité
,
.
La valeur actuelle de la charge des prestations sur un contrat est la variable aléatoire X’, qui prend à la date 0 les valeurs :
k
-
cv avec la probabilité
-
0 avec la probabilité
,
.
Son espérance mathématique est égale à
E X ' et son écart-type vaut :
La valeur actuelle de la charge totale des prestations pour l’ensemble des n = 10 000 contrats souscrits est une variable aléatoire d’espérance :
et d’écart type En approchant cette variable aléatoire par une loi normale, on trouve que la charge totale des prestations a 95% de chances de se situer dans l’intervalle :
Soit dans l’intervalle : L’incertitude sur la valeur actuelle de la charge des prestations est donc très faible et, en tout cas, beaucoup plus faible que l’incertitude engendrée par une erreur de taux.
Dans ce contrat de capital différé, l’aléa de mortalité est donc faible. Ce n’est pas le cas dans d’autres types de contrats d’assurance vie (Ex. Temporaire au décès).
2. La temporaire décès (cap tal versé au moment du décès)i
a) Le contrat et le résultat de l’assureur A t = 0, l’assureur souscrit na contrats identiques dans chacun desquels un assuré d’age x verse une prime unique pure л. En contrepartie, l’assureur s’engage à verser c à la date du décès si ce décès survient entre t = k et t = k+1. On suppose que les placements rapportent i% l’an, que chaque assuré a une probabilité
de décéder entre k et k+1 et on fait abstraction des frais de gestion. L’approximation habituelle consiste à supposer que le versement, s’il a lieu entre k et k+1, a lieu en moyenne à la date k+0,5 année. -
A t = 0, l’assureur encaisse na primes (qu’il place au taux i), 1 1 k - A t k ans, l’assureur disposera donc de na 1 i 2 pour payer c aux N D 2 bénéficiaires. N D est le nombre aléatoire de décès entre k et k+1. Il suit une loi binomiale (approximativement normale) d’espérancenaq . Le résultat de l’assureur, vu en fin de contrat à la date k+1, sera la variable aléatoire :
avec
b) La prime
La prime apparaît ici aussi comme la VAP des prestations de l’assureur.
c) Application numérique On suppose maintenant que la garantie temporaire décès d’une année est immédiate (k = 0), de montant c = 100 000 D, souscrite par un assuré d’âge x = 40 ans. La prime pure est ici :
En utilisant les trois tables TD 60-64, TD 88-90, TV 88-90 et les deux taux d’intérêt 3,5% et 7%, on obtient les résultats théoriques suivants :
On constate que pour la Temporaire au Décès, c’est le choix de la table qui est crucial. Les conséquences d’une erreur de taux sont relativement moins importantes.
d) L’aléa de la mortalité On suppose que la bonne estimation de la valeur actuelle probable est obtenue avec TD 88-90 et i = 3,5% et que l’assureur gère n = 10 000 contrats identiques souscrits simultanément par des assurés du même âge. La charge des prestations est une variable aléatoire X qui prend (en moyenne à la date t = ½), les valeurs
-
c avec la probabilité
-
0 avec la probabilité
,
.
La valeur actuelle probable de la charge des prestations sur un contrat est la variable aléatoire X’ qui prend les valeurs :
-
1
cv2 avec la probabilité
,
-
0 avec la probabilité
.
Son espérance mathématique est égale à
et son écart-type vaut :
La valeur actuelle de la charge totale des prestations pour l’ensemble des n = 10 000 contrats souscrits est une variable aléatoir e d’espérance
et d’écart type
La charge totale des prestations a donc 95% de chances de se situer dans l’intervalle :
C’est-à-dire dans l’intervalle :
L’incer titude sur la valeur actuelle de la charge des prestations est donc forte en proportion de la prime. Elle est du même ordre de grandeur que l’incertitude engendrée par un mauvais choix de la table.
3. La rente viagère Tous les engagements sur un seul assuré ( sur une tête ) peuvent s’analyser comme une juxtaposition des deux engagements précédents (en faisant l’approximation du décès en milieu d’année). On peut additionner leur VAP, ce qui permet d’obtenir la VAP de l’engagement global. C’est le cas de la rente viagère. La rente viagère la plus simple est l’engagement de régler 1 D chaque année si l’assuré est vivant. La VAP de la prestation de l’assureur est donc:
Ici, on se trouve dans un cas hybride par rapport au cas du capital différé et de la temporaire décès. L’erreur de taux et l’erreur de table ont toutes deux des conséquences lourdes pour l’assureur et de même ordre de grandeur.
III.LA TARIFICATION A. Taux d’intérêt technique et risques financiers Le taux d’intérêt technique est le taux i avec lequel l’assureur escompte ses engagements. Il reflète une prévision des produits financiers futurs. Cette prévision doit être prudente. A titre d’exemple, en France, la réglementation fixe : •
Pour les contrats à prime unique et de durée limitée, un taux maximal fonction du taux de rendement de l’investissement réalisa ble à t=0 avec la prime. Ce taux est actuellement égal à 75% du taux moyen des emprunts d’Etat, par référence aux placements possibles à la réception de la prime, avec une marge prudente de 25%.
•
Pour les autres contrats (pour lesquels les placements des primes peuvent intervenir à des dates futures et lointaines), un taux maximal plus bas correspondant à un taux de rendement qui historiquement s’est révélé prudent. Ce taux est actuellement égal à 60% du taux moyen des emprunts d’Etat (sans dépasser 3,5%).
1. Les deux risques de taux encourus par l’assureur La baisse et la hausse des taux du marché sont toutes les deux sources de risques pour l’assureur. Ces deux risques seront illustrés sur l’exemple sommaire suivant. On suppose que : -
Les contrats sont sans aléa viager : ce sont des bons de capitalisation.
-
Les placements de l’assureur se font en obligations à coupon zéro : paiement des intérêts et amortissement du capital au terme de l’obligation.
A t = 0, l’assur eur peut placer à j0 = 8%, mais choisit prudemment de garantir i = 6%. Chacun des n contrats qu’il souscrit garantit, pour une prime 1000 D , un capital
à t = 8 ans. A la date t = 0, l’assureur place n pour 4 ans. Il disposera donc à t = 4 ans de n
1 j0
a) Le risque de baisse des taux du marché Hy pothèse 0 : A t = 4, l’assureur peut replacer à 8%, l’assureur disposera donc de
L’assureur dégage un bénéfice confortable. Hypothèse 1 : A t = 4, le taux de rendement des placements que peut faire l’assureur passe à j4
3% .
A t = 8, il ne disposera donc que de
Alors qu’il doit payer
L’assureur réalise donc une perte de63 n , proportionnelle au nombre de contrats.
4
.
b) Le risque de hausse des taux du marché et le risque de rachat Hypothèse 2 : A t = 1, le taux de rendement des placements possibles passe à j1 = 12%. Rappelons que chacun des contrats garantit un capital à t = 8 égal à :
Par ailleurs, chacun des contrats garantit une valeur de rachat pour t<8 égale à :
Certes, l’assureur a des actifs dont la valeur de remboursement à t = 4 est
Mais, à t = 1, le marché évalue ces actifs à leur valeur actualisée au taux j1 = 12%, soit :
Alors que les rachats garantis sont de
La hausse des taux d’intérêt est un facteur incitant des assurés au rachat car ils pourront replacer les sommes récupérées à un taux supérieur à celui qui leur est garanti. La hausse des taux d’intérêt constitue un facteur incitant des assurés rationnels au rachat pour pouvoir replacer les sommes récupérées à un taux supérieur à celui qui leur est garanti. Par conséquent, si les assurés usent massivement de leur droit au rachat, l’assureur peut constater une perte qui peut atteindre
, proportionnelle au nombre de contrats.
c) Comment l’assureur peut-il se prémunir contre ces risques ? Sur cet exemple, l’assureur aurait été avisé de choisir des obligations de même durée que celle des contrats pour se prémunir contre le risque de baisse des taux. D’une façon générale, l’égalisation de la duration de l’actif et de la duration du passif immunise, en pr incipe, contre le risque de taux (en baisse ou en hausse). Cependant, le passif peut ne pas avoir une duration connue : la faculté donnée à l’assuré de racheter son contrat ne permet pas de définir de manière précise la duration du passif et donc ne permet pas de s’immuniser contre le risque de hausse de taux.
B . Table de mortalité Les tables de mortalité utilisées découlent des statistiques relatives à la population assurée (exemple celles de la population française de 1960-1964, 73-74, 88-90). Selon une mesure de prudence, Dans les assurances en cas de décès est utilisée la table relative à la population
o
masculine. Dans les assurances en cas de vie est utilisée la table relative à la population
o
féminine. Mais il y a deux f acteurs de discordance entre la mortalité d’un ensemble d’assurés d’une compagnie d’assurance donnée et la mortalité de l’ensemble de la population. Il s’agit de : o
l’amélioration de la longévité depuis la date d’établissement de la table.
o
La meilleure longévité de la population assurée : sélection de l’assuré en décès, auto sélection de l’assuré en vie.
Pour l’assurance en cas de décès, ces deux facteurs vont dans le sens de la sécurité, mais audelà de ce qu’exige une prudence raisonnable. Ils conduisent donc à un tarif trop cher dans un marché concurrentiel : pour les contrats en cas de décès temporaires d’un an, il est d’usage en France de ne tenir compte que de l’expérience. Pour l’assurance en cas de vie, les deux facteurs précités jouent contre l’assureur. Ceci explique qu’ait été introduite en 1993 des tables prospectives (TPRV93) dans lesquelles sont estimés les progrès de longévité dont bénéficient les assurés actuels et des tables d’expérience, qu’un assureur peut construire à partir de ses propres données. Pour les rentes toutefois, ces tables ne doivent pas conduire à des primes ou des provisions moindres que la table de référence. Comme indiqué plus haut, les conséquences sur le résultat de l’assureur d’une erreur sur le choix de la table dépend beaucoup de la nature du contrat.
C . Frais de g es tion ''
Dans la prime payée par le souscripteur, ou prime commerciale , l’assureur distingue une prime pure
et des chargements.
L’assureur espère : o
avec l’ensemble des primes pures, équilibrer les prestations garanties,
o
avec l’ensemble des chargements, équilibrer ses frais de gestion et réaliser un bénéfice.
Le principe de tarification peut ainsi être énoncé en deux temps : -
Abstraction faite des frais de gestion et des ressources correspondantes, la VAP des primes pures est égale à la VAP des prestations de l’assureur.
-
Lorsque les frais de gestion sont compensés par des chargements de gestion augmentant les primes, la VAP des primes commerciales totales est égale à la somme de la VAP des engagements de prestations et de la VAP des frais de gestion.
Dans les frais de gestion, il convient souvent de distinguer des frais d’acquisition exposés à t=0, par exemple, et des frais de gestion annuels. Application : Nous allons dans ce qui suit exposer, sur un exemple simple (bon de capitalisation), la manière de tenir compte des frais. A la date de la souscription (t = 0), le souscripteur verse une prime unique commerciale et l’assureur s’engage à verser c = 100 000 D à t = 8 (que l’assuré soit vivant ou non). L’assureur vend des bons de capitalisation et il a des frais d’acquisition FA = 3 500 D, dépensés à t = 0 et les mêmes frais de gestion annuels g k , dépensés à t = k en progression géométrique :
pour k = 1, 2, …, 8 avec g0 = 383,20 D.
Cet assureur choisit un taux d’intérêt technique égal à 3,5%. Ses engagements de prestations et de frais sont donnés dans le tableau suivant :
L’assureur compense tous les frais de gestion par des chargements majorant la prime ; Il ajoute à la prime pure (calculée comme étant la VAP des engagements de l’assureur en matière de prestations), des chargements dont la VAP est égale à la VAP des frais prévus. Il écrira : Où :
''
et
Et par conséquent
.
La présentation ci-dessous, qui utilise un tableur, permet de vérifier le calcul précédent:
IV.
LES P. MATHEMATIQUES ET LE RESULTAT ANNUEL
OBSERVE L’assurance vie étant une branche dans laquelle les principaux contrats sont de longue durée, alors que les Entreprises doivent établir des comptes annuellement, ou même plus fréquemment. Outre cette contrainte comptable, l’assureur se doit de détecter le plus rapidement possible les dérives tarifaires, de manière à y remédier au plus tôt. Les provisions mathématiques sont l’outil indispensable pour établir des comptes annuels réalistes. Leur calcul, abstraction faite des frais et en y incluant ceux-ci sera traité dans ce qui suit.
A . L es provis ions mathématiques 1. Illustration de l’utilité des provisions mathématiques Temporaire décès à prime annuelle constante Considérons le cas d’une temporaire décès de d’une personne âgée de
et de durée
sur la tête
. On suppose que des primes constantes sont payées
annuellement et on utilise la table TD88-90. La prime annuelle pure est égale à:
.
Par ailleurs, si l’assuré souscrivait des contrats successifs d’un an de durée, il paierait des primes p0, p1, …, p7. Ce qu’on peut remarquer c’est qu’à partir de la cinquième année, l’assureur va percevoir une prime inférieure à la prime correspondant au véritable coût du risque. Pour équilibrer ses comptes, il est donc nécessaire qu’il ait au préalable constitué une provision.
2. Définition et calcul Rappelons que le principe de tarification utilisé en assurance vie veut qu’à la souscription du contrat (époque 0), il y ait égalité entre les valeurs actuelles probables des engagements (de prestations et de frais) respectivement pris par l’assureur « A » et des engagements (de primes) pris par l’assuré « a »:
A une époque ultérieure t quelconque, cette égalité n’est généralement plus respectée. On définit la provision mathématique (PM) du contrat à t comme la différence entre les valeurs actuelles probables des engagements respectivement pris par l’assureur et l’assuré :
Le calcul de la prime et celui de la provision mathématique apparaissent donc comme des calculs analogues effectués à des époques différentes. L’équation précédente peut aussi se lire :
Son interprétation est la suivante : pour un contrat souscrit à l’époque 0 : à l’époque t, si l’on voulait initier un contrat comportant pour le futur les mêmes engagements résiduels de l’assureur, il faudrait que l’assuré, outre les primes futures résiduelles du contrat précédent,
paie une prime immédiate
. Pour les contrats en cours, l’assuré n’a pas à payer
que l’assureur dispose de fonds égaux à
parce
parce qu’il les a provisionnés.
On note : •
: Provision mathématique pure, abstraction faite des frais de gestion et des ressources correspondantes.
•
: Provision mathématique qui tient compte des frais de gestion et des ressources correspondantes.
3. La provision mathématique comptabilisée Dans un contrat à prime unique, cette provision ne peut pas être négative. La PM peut être négative dans le cas d’une Temporaire décès a capital dégressif et à primes annuelles (au-delà d’une certaine durée de paiement des primes). Quand cela se produit à une date t, l’assuré a en principe intérêt à abandonner le paiement des primes (l’assureur n’ayant pas d’action pour l’exiger) et à souscrire un nouveau contrat, couvrant, pour moins cher les garanties résiduelles. La PM comptable peut être différente de la provision actuarielle car elle : •
cherche à distinguer la partie de la provision nécessaire à la gestion future.
•
ne doit pas être négative
Elle est égale à :
4. Prise en compte des frais Le contrat d’assurance vie fait naître chez l’assureur comme chez l’assuré, des engagements qui ne se limitent pas aux engagements purs. L’assuré doit payer la prime commerciale et l’assureur s’engage à gérer le contrat et encaisser les primes. En outre la commercialisation des contrats induit des frais d’acquisition. "
La provision mathématique t V s’écrit donc :
"
Dans un contrat à primes périodiques, si t V < 0, bien que t V > 0, ce serait à cause de la 2 ligne et l’assuré n’a plus de raison aussi claire de quitter l’assureur que si t V <0. En effet, un autre assureur lui facturerait des chargements d’acquisition.
B. Le rachat du contrat par l’assuré avant terme L’équité veut que l’assuré en cas de vie ait droit à sa provision mathématique si le contrat est modifié ou s’arrête. Ce droit de rachat peut être exercé par l’assuré dans les 4 cas suivants : le rachat, la transformation (avec en particulier le cas de la réduction) et l’avance.
1. Le rachat Lorsqu’il met fin à son contrat, l’assuré reçoit, sauf cas particulier, un montant basé sur la provision mathématique (avec abattement éventuellement). Les cas particuliers regroupent les cas où le risque d’anti-sélection rend le rachat impossible. C’est, par exemple, le cas du rachat d’une rente viagère en cours de service.
2. La transformation L’assuré a la possibilité de changer la nature du contrat. Le principe actuariel correspondant à cette transformation s’écrit :
La réduction est le cas où l’assuré n’a plus d’engagement de payer des primes.
3. L’avance Une partie de la provision mathématique représente l’épargne acquise par l’assuré. Ainsi, il est possible de faire en sorte que cette épargne constitue une garantie d’un prêt (avance) consenti par l’assureur à l’assuré. Si l’assuré ne rembourse pas sa dette, l’assureur impute les sommes impayées sur le montant de ses engagements ou de ses prestations.
C . C alcul de VA P et notations internationales 1. Probabilités viagères -
Tx : Durée aléatoire de survie de l’individu d’âge x.
-
: table de mortalité. -
ème
-
-
2. VAP des engagements fondamentaux Les engagements sont basés sur la tête d’un assuré d’âge x à la date t = 0 : -
: valeur actuelle probable, à t = 0, d’un engagement qui est pris entre t = k et t =
k+k’. •
L’engagement
est dit :
•
différé de k années (si k = 0, il est dit immédiat),
•
temporaire de k’ années (si x+k+k’ =
, il est dit vie entière).
a) L’engagement élémentaire en cas de vie : le capita l différé Il consiste à verser 1 D dans k années si l’assuré (d’âge x à t = 0) est vivant dans k années. -
-
: VAP de l’engagement élémentaire en cas de vie.
(avec v = 1/(1+i))
b) L’engagement
élémentaire
en
cas
décès (engagement différé, temporaire d’un an) Il consiste à payer 1 D à l’époque du décès de l’assuré, si cet assuré (d’âge x à t = 0) décède entre les dates k et k+1. -
-
: VAP de l’engagement élémentaire en cas de décès.
.
de
c) Les combinaisons d’engagements viagers Tous les engagements sur un seul assuré (sur une seule tête) peuvent s’analyser comme une juxtaposition des deux engagements précédents (en faisant l’approximation du décès en milieu d’année). Soit, par exemple, l’engagement de verser un capital c si un assuré d’âge actuel x décède entre les dates 0 et 10 ans, et de lui verser, s’il survit au-delà de 10 ans, une rente annuelle de montant r jusqu’à son décès. Cet engagement global peut être considéré comme la somme de 10 engagements élémentaires en cas de décès et de -x-10 engagements élémentaires en cas de vie. Sa VAP est :
(1) L’annuité viagère L’annuité viagère la plus simple est l’engagement de régler 1 D chaque année si l’assuré est vivant. On distingue : -
l’annuité payable d’avance, dont la VAP est notée
-
l’annuité payable à terme échu (c’est-à-dire en fin d’année), dont la VAP est notée :
(2) La garantie décès vie entière L’engagement de verser 1D à l’époque du décès de l’assuré, quelle qu’en soit la date, a une VAP notée Ax :
3. Applications Nous allons calculer, dans chacun des cas suivants la VAP de l’engagement de l’assureur en prenant i = 3,5% et la table TV 88-90 (et en faisant abstraction des frais de gestion et des ressources correspondantes).
a) Les deux garanties élémentaires : (1) Le capital différé : Un assuré d’âge x = 40 ans souscrit un capital différé de montant c = 100 000 D payable à t = 8 ans si l’assuré est vivant :
(2) La garantie décès temporaire : Un assuré d’âge x = 40 ans souscrit une garantie décès de montant c = 100 000 D payable à la date t du décès si 0 < t < k=8 (on dit que la garantie est immédiate et temporaire de 8 ans).
(3) La rente viagère (a) La rente viagère versée à terme échu
Un assuré d’âge x = 65 ans souscrit une rente viagère immédiate, d’arrérage annuel r = 1 000 D payable aux dates t = 1, 2, 3…si l’assuré est vivant à ces dates (on dit que la rente est viagère et versée à terme échu) :
(b) La rente viagère versée d’avance
Si dans le contrat précédent, le premier arrérage annuel r = 1 000 D est payable à t = 0, on dit que la rente est viagère et versée d’avance et :
b) Les nombres de commutation sur une tête
Pour faciliter les calculs numériques, on introduit traditionnellement des nombres auxiliaires appelés nombres de commutation. Ces nombres peuvent se lire dans une table, définie pour un taux d’intérêt et une table de mortalité déterminés.
(1) Les nombres de commutation en cas de vie On pose : -
La VAP du capital différé est égale à :
La VAP de la rente viagère :
On montre de même que :
(2) Les nombres de commutation en cas de décès On pose :
Les VAP des principaux engagements en cas de décès s’écrivent alors :
ANNEXE 1
